Külpontosan nyomott keresztmetszet számítása

Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék

Külpontosan nyomott keresztmetszet számítása A TELJES TEHERBÍRÁSI VONAL SZÁMÍTÁSA Az alábbi példa egy asszimmetrikus vasalású keresztmetszet teherbírási görbéjének 9 pontját mutatja be. Az első részben minden nyomaték a GEOMETRIAI középpontra van kiszámítva. A második rész a TEHERBÍRÁSI középpontra történő áttérést (transzformálást) ismerteti.

Kiindulási adatok: b = 300 mm h = 500 mm Beton: C30/25 Betonacél: B400 fcd =

fck 20 = = 13,33 N⁄mm2 γc 1,5

fyd =

fyk = 347,8 N⁄mm2 γs

ξc0 =

560 560 = = 0,534 fyd + 700 347,8 + 700

ξ′c0 =

560 560 = = 1,59 700 − fyd 700 − 347,8

As2

b

As1

d2

2

As1 = 6Φ20 = 1885 mm

a

As2 = 3Φ18 = 763 mm2

d1 h

a1 = 50 mm d1 = h − a1 = 500 − 50 = 450 mm d2 = 45 mm

TARTÓSZERKEZETEK I.

‐1‐

Teherbírási vonal számítása

Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 1.

PONT: ELVI KÖZPONTOS NYOMÁS (MAXIMÁLIS NYOMÓERŐHÖZ TARTOZÓ PONT) As1

As2

ε=2‰

-

NS

NC

NS'

σ

A tiszta nyomásnál figyelembe vehető betonacél feszültség: |σs | = min{fyd ; 400 N⁄mm2 } = min{347,8; 400 N⁄mm2 } = 347,8 N⁄mm2 NRd,1 = b ∙ h ∙ fcd + (As1 + As2 ) ∙ |σs | = 300 ∙ 500 ∙ 13,33 + (1885 + 763) ∙ 347,8 = 2920,5 kN h 500 h 500 ) MRd,1 = As2 ∙ |σs | ∙ ( − d2 ) − As1 ∙ |σs | ∙ (d1 − ) = 763 ∙ 347,8 ∙ ( − 45) − 1885 ∙ 347,8 ∙ (450 − 2 2 2 2 = −76,72 kNm


‐2‐



PONT: AZ As1 BETONACÉLBAN εs1=0 As1

As2

x=d1 -

εcu=3,5‰

εs1=0‰ NC

NS'

σ xc x = d1 = 450 mm xc = 0,8 ∙ x = 0,8 ∙ 450 = 360 mm ξ′c =

xc d2

=

360 45

= 8,0 > ξ′c0 = 1,59 , vagyis a nyomott oldali betonacél megfolyik (σs2 = fyd )

NRd,2 = b ∙ xc ∙ fcd + As2 ∙ fyd = 300 ∙ 360 ∙ 13,33 + 763 ∙ 347,8 = 1705,01 kN h h xc MRd,2 = As2 ∙ fyd ∙ ( − d2 ) + b ∙ xc ∙ fcd ∙ ( − ) 2 2 2 500 500 360 ) = 155,18 kNm = 763 ∙ 347,8 ∙ ( − 45) + 300 ∙ 360 ∙ 13,33 ∙ ( − 2 2 2


‐3‐



PONT: AZ As1 BETONACÉL A KÉPLÉKENY ÉS A RUGALMAS ÁLLAPOT HATÁRÁN VAN (MAXIMÁLIS POZITÍV NYOMATÉKHOZ TARTOZÓ PONT) As1

As2

-

εcu=3,5‰ NC

NS'

σ

NS

xc=xc0

xc = xc0 = ξc ∙ d1 = 0,534 ∙ 450 = 240,3 mm Az alapfeltétel miatt: σs1 = fyd ξ′c =

xc d2

=

240,3 45

= 5,34 > ξ′c0 = 1,59 , vagyis a nyomott oldali betonacél is megfolyik (σs2 = fyd )

NRd,3 = b ∙ xc0 ∙ fcd + As2 ∙ fyd − As1 ∙ fyd = 300 ∙ 240,3 ∙ 13,33 + 763 ∙ 347,8 − 1885 ∙ 347,8 = 570,73 kN h h xc0 h MRd,3 = b ∙ xc0 ∙ fcd ∙ ( − ) + As2 ∙ fyd ∙ ( − d2 ) + As1 ∙ fyd ∙ (d1 − ) 2 2 2 2 500 240,3 500 ) + 763 ∙ 347,8 ∙ ( = 300 ∙ 240,3 ∙ 13,33 ∙ ( − − 45) + 1885 ∙ 347,8 2 2 2 500 ) = 310,3 kNm ∙ (450 − 2


‐4‐



PONT: TISZTA HAJLÍTÁS As1

As2

+ -

εcu=3,5‰ NC NS'

σ

NS

Először azt feltételezzük, hogy mindkét oldalon megfolynak a betonacélok (As1 és As2 is) NRd,4 = 0 Vetületi egyenlet (nyomott betonzóna magasságának számítása): b ∙ xc ∙ fcd + As2 ∙ fyd − As1 ∙ fyd = 0 (As1 − As2 ) ∙ fyd (1885 − 763) ∙ 347,8 xc = = = 97,6 mm 300 ∙ 13,33 b ∙ fcd x 97,6 ξc = c = = 0,217 < ξc0 = 0,534 , vagyis az As1 tényleg megfolyik d1

ξ′c =

xc d2

450

=

97,6 45

= 2,17 > ξ′c0 = 1,59 ,vagyis az As2 tényleg megfolyik

h h xc h MRd,4 = b ∙ xc ∙ fcd ∙ ( − ) + As2 ∙ fyd ∙ ( − d2 ) + As1 ∙ fyd ∙ (d1 − ) 2 2 2 2 500 97,6 500 ) + 763 ∙ 347,8 ∙ ( = 300 ∙ 97,6 ∙ 13,33 ∙ ( − − 45) + 1885 ∙ 347,8 2 2 2 500 ) = 264,05 kNm ∙ (450 − 2


‐5‐



PONT: AZ As1 BETONACÉL ELÉRI A HATÁRNYÚLÁS ÉRTÉKÉT εs,1= εuk As1

As2

d1 εs1= εuk=20‰

x=1,25 xc

+ NC

εcu=3,5‰ NS'

σ

NS

xc

xc = 0,8 ∙ x xc = 1,25 ∙ xc x= 0,8 Háromszögek hasonlóságából kiindulva: 1,25 ∙ xc d1 − 1,25 ∙ xc = εcu εuk 1,25 ∙ xc 450 − 1,25 ∙ xc = 3,5 20 xc = ξc = ξ′c =

3,5 ∙ 450 = 53,6 mm 1,25 ∙ (20 + 3,5) xc d1 xc d2

σs2 =

= =

53,6 450 53,6 45

= 0,119 < ξc0 = 0,534 , vagyis As1 megfolyik. = 1,191 < ξ′c0 = 1,59 , vagyis As2 nem folyik meg, redukálni kell a betonacél feszültségét.

560 560 − 700 = − 700 = −229,9 N⁄mm2 1,191 ξ′c

NRd,5 = b ∙ xc ∙ fcd + As2 ∙ |σs2 | − As1 ∙ fyd = 300 ∙ 53,6 ∙ 13,33 + 763 ∙ 229,9 − 1885 ∙ 347,8 = −265,8 kN h h h xc MRd,5 = b ∙ xc ∙ fcd ∙ ( − ) + As2 ∙ |σs2 | ∙ ( − d2 ) + As1 ∙ fyd ∙ (d1 − ) 2 2 2 2 500 53,6 500 ) + 763 ∙ 229,9 ∙ ( = 300 ∙ 53,6 ∙ 13,33 ∙ ( − − 45) + 1885 ∙ 347,8 2 2 2 500 ) = 214,9 kNm ∙ (450 − 2


‐6‐



PONT: MINDKÉT BETONACÉL (As1 ÉS As2) HÚZOTT ÉS MEGFOLYIK (MAXIMÁLIS HÚZÓERŐHÖZ TARTOZÓ PONT) As1

As2

εs1= εs2= εuk=20‰

+

NS'

NS

σ

NRd,6 = −(As1 + As2 ) ∙ fyd = −(1885 + 763) ∙ 347,8 = −920,97 kN 500 h h 500 ) MRd,6 = −As2 ∙ fyd ∙ ( − d2 ) + As1 ∙ fyd ∙ (d1 − ) = −763 ∙ 347,8 ∙ ( − 45) + 1885 ∙ 347,8 ∙ (450 − 2 2 2 2 = 76,71 kNm


‐7‐



PONT: AZ As2 BETONACÉLBAN εs2=0 As1

As2

x=h‐d2 -

εcu=3,5‰ NS

εs2=0‰ NC

σ xc

Ebben az esetben az As1 betonacél nyomott. xc = 0,8 ∙ x = 0,8 ∙ (h − d2 ) = 0,8 ∙ (500 − 45) = 364 mm ξ′c =

xc 364 = = 7,28 > ξ′c0 = 1,59 50 a

NRd,7 = b ∙ xc ∙ fcd + As1 ∙ fyd = 300 ∙ 364 ∙ 13,33 + 1885 ∙ 347,8 = 2111,2 kN h h xc MRd,7 = −As1 ∙ fyd ∙ (d1 − ) − b ∙ xc ∙ fcd ∙ ( − ) 2 2 2 500 500 364 ) − 300 ∙ 364 ∙ 13,33 ∙ ( ) = −230,1 kNm = −1885 ∙ 347,8 ∙ (450 − − 2 2 2


‐8‐



PONT: AZ As2 BETONACÉL A KÉPLÉKENY ÉS A RUGALMAS ÁLLAPOT HATÁRÁN VAN As1

As2

+

εcu=3,5‰

-

NS NC NS'

σ

xc=xc0 Ebben az esetben az As1 betonacél a nyomott, az As2 betonacél pedig a húzott oldalon van. xc = xc0 = ξc ∙ (h − d2 ) = 0,534 ∙ (500 − 45) = 242,97 mm Az alapfeltétel miatt: σs2 = fyd ξ′c =

xc a

=

242,97 50

= 4,86 > ξ′c0 = 1,59 , vagyis a nyomott oldali betonacél is megfolyik (σs1 = fyd )

NRd,8 = b ∙ xc0 ∙ fcd + As1 ∙ fyd − As2 ∙ fyd = 300 ∙ 242,97 ∙ 13,33 + 1885 ∙ 347,8 − 763 ∙ 347,8 = 1361,9 kN h h xc0 h MRd,8 = −b ∙ xc0 ∙ fcd ∙ ( − ) − As1 ∙ fyd ∙ (d1 − ) − As2 ∙ fyd ∙ ( − d2 ) 2 2 2 2 500 500 240,3 ) − 1885 ∙ 347,8 ∙ (450 − ) − 763 ∙ 347,8 = −300 ∙ 240,3 ∙ 13,33 ∙ ( − 2 2 2 500 ∙( − 45) = −310,3 kNm 2


‐9‐



PONT: TISZTA HAJLÍTÁS As1

As2

+ -

εcu=3,5‰ NS'

NC

NS

σ Ebben az esetben az As1 betonacél a nyomott, az As2 betonacél pedig a húzott oldalon van. Azt feltételezzük, hogy az As2 betonacél megfolyik, viszont az As1 betonacél nem folyik meg. 560 560 − 700 = ∙ a − 700 ξc ′ xc

σs1 =

σs2 = fyd = 347,8 N⁄mm2 b ∙ xc ∙ fcd + As1 ∙ σs1 − As2 ∙ σs2 = 0 b ∙ xc ∙ fcd + As1 ∙ (

560 ∙ a − 700) − As2 ∙ fyd = 0 xc

b ∙ xc 2 ∙ fcd + As1 ∙ (560 ∙ a − 700 ∙ xc ) − As2 ∙ fyd ∙ xc = 0 xc 2 ∙ b ∙ fcd − xc ∙ (700 ∙ As1 + As2 ∙ fyd ) + As1 ∙ 560 ∙ a = 0 xc 2 ∙ 300 ∙ 13,33 − xc ∙ (700 ∙ 1885 + 763 ∙ 347,8) + 1885 ∙ 560 ∙ 50 = 0 xc 2 ∙ 3999 − xc ∙ 1584871,4 + 52780000 = 0 xc 2 − xc ∙ 396,32 + 13198,3 = 0 396,32

xc = ξc = ξ′c =

xc h−d2 xc a

σs1 =

=

=

36,7 500−45

36,7 50

396,322 2

4 ∙ 13198,3

36,7 mm

= 0,081 < ξc0 = 0,534 , vagyis As1 megfolyik.

= 0,734 < ξ′c0 = 1,59 , vagyis As2 valóban nem folyik meg, jó volt a kezdeti feltételezés.

560 560 ∙ a − 700 = ∙ 50 − 700 = 62,94 N⁄mm2 xc 36,7

NRd,9 = b ∙ xc ∙ fcd + As1 ∙ σs1 − As2 ∙ fyd = 300 ∙ 36,7 ∙ 13,33 + 1885 ∙ 62,94 − 763 ∙ 347,8 ≅ 0 kN h h xc h MRd,9 = −b ∙ xc ∙ fcd ∙ ( − ) − As1 ∙ σs1 ∙ (d1 − ) − As2 ∙ fyd ∙ ( − d2 ) 2 2 2 2 500 500 36,7 ) − 1885 ∙ 62,94 ∙ (450 − ) − 763 ∙ 347,8 = −300 ∙ 36,7 ∙ 13,33 ∙ ( − 2 2 2 500 ∙( − 45) = −112,1 kNm 2


‐10‐



A geometriai középpontra felírt teherbírási görbe pontjai és ábrázolása Geometriai középpontra felírt teherbírási görbe pontjai NRd1= 2 921 kN MRd1= ‐77 kNm NRd2= 1 705 kN MRd2= 155 kNm NRd3= 571 kN MRd3= 310 kNm NRd4= 0 kN MRd4= 264 kNm NRd5= ‐266 kN MRd5= 215 kNm NRd6= ‐921 kN MRd6= 77 kNm NRd7= 2 111 kN MRd7= ‐230 kNm NRd8= 1 362 kN MRd8= ‐310 kNm NRd9= 0 kN MRd9= ‐112 kNm

TEHERBÍRÁSI VONAL

Geometriai kp.pontra

1. -77 kNm, 2 921 kN

7. -230 kNm, 2 111 kN 2. 155 kNm, 1 705 kN 8. -310 kNm, 1 362 kN

3. 310 kNm, 571 kN 4. 264 kNm, 0 kN 9. -112 kNm, 0 kN

5. 215 kNm, -266 kN

6. 77 kNm, -921 kN


‐11‐



A (nyomási) teherbírási középpont helyzetének meghatározása NRd,1 = 2921 kN

a a

MRd,1 = −77

d'

z c

t d h

A teherbírási középpont geometriai középponttól mért távolsága: t=

MRd,1 −77 kNm = = −26 mm NRd,1 2921 kN

A teherbírási középpont távolsága a húzott vasak súlyvonalától:

NS

h 500 c= −a−t= − 50 − 26 = 174 mm 2 2

NC

NS'

Áttérés a teherbírási középpontra h/2 As1

As2

Mgeom N

h/2 t As1

As2

Mteherb=Mgeom-t·N N


‐12‐



A teherbírási középpontra felírt teherbírási görbe pontjai és ábrázolása Geometriai középpontra NRd1= NRd2= NRd3= NRd4= NRd5= NRd6= NRd7= NRd8= NRd9=

2 921 kN 1 705 kN 571 kN 0 kN ‐266 kN ‐921 kN 2 111 kN 1 362 kN 0 kN

MRd1= MRd2= MRd3= MRd4= MRd5= MRd6= MRd7= MRd8= MRd9=

‐77 kNm 155 kNm 310 kNm 264 kNm 215 kNm 77 kNm ‐230 kNm ‐310 kNm ‐112 kNm

t [mm]

Korrekció= ‐t∙N

‐26.3 ‐26.3 ‐26.3 ‐26.3 ‐26.3 ‐26.3 ‐26.3 ‐26.3 ‐26.3

76.7 kNm 44.8 kNm 15.0 kNm 0 kNm ‐7.0 kNm ‐24.2 kNm 55.5 kNm 35.8 kNm 0 kNm

Teherbírási középpontra (Mteherb=Mgeom‐t∙N) NRd1= NRd2= NRd3= NRd4= NRd5= NRd6= NRd7= NRd8= NRd9=

2 921 kN 1 705 kN 571 kN 0 kN ‐266 kN ‐921 kN 2 111 kN 1 362 kN 0 kN

MRd1= MRd2= MRd3= MRd4= MRd5= MRd6= MRd7= MRd8= MRd9=

0 kNm 200 kNm 325 kNm 264 kNm 208 kNm 53 kNm ‐175 kNm ‐275 kNm ‐112 kNm

TEHERBÍRÁSI VONAL

Geometriai kp.pontra Teherbírási kp.pontra

1. 0 kNm; 2 921 kN

1. -77 kNm, 2 921 kN

7. -230 kNm, 2 111 kN

7. -175 kNm; 2 111 kN 2. 155 kNm, 1 705 kN

8. -310 kNm, 1 362 kN

2. 200 kNm; 1 705 kN

8. -275 kNm; 1 362 kN

3. 310 kNm, 571 kN 9. -112 kNm, 0 kN

9. -112 kNm; 0 kN

4. 264 kNm, 0 kN

5. 215 kNm, -266 kN

3. 325 kNm; 571 kN 4. 264 kNm; 0 kN

5. 208 kNm; -266 kN

6. 77 kNm, -921 kN 6. 53 kNm; -921 kN


‐13‐


Külpontosan nyomott keresztmetszet számítása

Recommend Documents