Nyomott oszlopok számítása EC2 szerint (mintapéldák)

Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék

Nyomott oszlopok számítása EC2 szerint (mintapéldák) 1. Központosan nyomott oszlop Központosan nyomott az oszlop ha ec = 0 (ec : elsőrendű, vagy kezdeti külpontosság). Megjegyzés: Az EC2 szerint nincs központosan nyomott oszlop, a külpontosságnövekményeket mindig figyelembe kell venni. Ebből az eljárásból került levezetésre a φ‐s módszer. l0  26 esetén alkalmazható az eljárás h l0  kihajlási hossz N Rd =   N u ' N u '  Ac  f cd  AS  f yd 1.1. Példa: Négyzet keresztmetszetű oszlop ellenőrzése 1.1.1. Kiindulási adatok: Anyagminőségek: B500; C20/25 a = betontakarás + kengyelátmérő + fővas átmérő/2 20mm a = 20 mm + 10 mm + = 40 mm 2 d = 400 mm – 40 mm = 360 mm N Ed = 1900 kN l0  3000 mm 1.1.2. Szükséges vasmennyiség számítása N Ed =   N u ' N u '  Ac  f cd  AS  f yd N Ed =   N u '    ( Ac  f cd  AS  f yd ) TARTÓSZERKEZETEK I.

-1-

Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)

Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék N Ed

 Ac  f cd  AS  f yd



N Ed

 Ac  f cd



f yd

N Ed 



 b  h  f cd f yd

 AS

 közelítő értékének számítása : ⁄

3000⁄400

7,5

12,0

téglalap keresztmetszet, 2 két sávban elhelyezett vasalás beton: C20/25   0,86 (táblázatból) 400

 max  0,81 (táblázatból)   0,81 f 500 f yd  yk   434,78 N mm 2 yS 1,5 f 20 f cd    ck  1,0   13,33 N mm 2 yc 1,5

N Ed AS' 



 b  h  f cd f yd

1900  103 N  13,33N / mm2  400mm  400mm 0,81   489,6mm2 2 434,78 N / mm

Alkalmazott vasalás: 4 db ø 14 = 616 mm2 0,1( N Ed f yd )  0,1(1900  103 N 434,78 N / mm 2 )  437 mm 2 AS min  max  0,003 AC  0,003  400mm  400mm  480,0mm 2 1.1.3. Ellenőrzés NW  b  h  f cd  AS  S  400mm  400mm  13,33N / mm2  616mm2  434,78 N / mm2  2400,6kN N Rd    NW  0,81  2400,6kN  1944,5kN > N Ed  1900kN → megfelel

TARTÓSZERKEZETEK I.

-2-


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 2. Külpontosan nyomott oszlop (kiskülpontos nyomás) 2.1. Példa: Tervezzük meg az alábbi nyomott oszlop szükséges vasalását! Megjegyzés: Feladatainkat szimmetriasíkban működő NEd erőre végezzük el, csak egyik tengely irányú külpontosságot vizsgálva. Konkrét tervezési feladatnál azonban a külpontosságnövekményeket mindkét tengely irányában figyelembe kell venni! 2.1.1. Kiindulási adatok Anyagminőségek: B500; C20/25 N Ed  1500kN ; M Ed  85kNm Betontakarás: c nom  20,0mm b = 300mm; h = 400mm f ck  20 N mm 2 ; f yk  500 N mm 2 l 0  3000mm

a  betontakarás  kengyel  

vasátmérő  20mm  10m 2

20mm  40mm 2

d  h  a  400mm  40mm  360mm d '  40mm z  d  d '  360mm  40mm  320mm z 320mm c   160mm 2 2 2.1.2. Anyagjellemzők számítása A beton nyomószilárdságának tervezési értéke: f cd  A betonacél folyáshatárának tervezési értéke: f yd 


-3-

f ck

c

f yk

S





20 N mm 2  13,33 N mm 2 1,5

500 N mm 2  434,8 N mm 2 1,15


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 2.1.3. Külpontosság számítása M Ed 85  10 9 Nmm   56,7 mm Kezdeti külpontosság: ee  N Ed 1500  10 3 N Külpontosságnövekmények (közelítő képlet alapján: kezdeti görbeség + másodrendű hatás) 2 2 l0 3000mm  l0   3000mm   0,05  0,05 ei  e2  0,05d   d  0,05  360mm   360mm  38,0mm 400 400  10  360mm   10d  A külpontosság tervezési értéke: e Ed  ee  ei  e2  56,7 mm  38,0mm  94,7 mm 2.1.4. Szükséges vasmennyiség meghatározása 560 560  c0    0,493 f yd  700 434,8  700 xc 0   c 0  d  0,493  360mm  177,65mm Nyomott betonöv teljes kihasználtságához tartozó nyomaték: x  177,65mm    M 0  b  xc 0  f cd  d  co   300mm  177,65mm  13,33 N mm 2  360mm   2  2     192,70kNm A külső erő nyomatéka a húzott oldali betonacélokra: M S  N Ed e Ed  c   1500  10 3 N 94,7 mm  160,0mm   382,05kNm Nyomott betonacélokkal felveendő nyomaték: M  M S  M 0  382,05kNm  192,70kNm  189,35kNm Szükséges nyomott betonacél mennyisége: M 189,35  10 6 Nmm A' S    1360,90mm 2 2 z  f yd 320mm  434,8 N mm Alkalmazott vasalás: 4 db ø 22 = 1520,50 mm2


-4-


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 2.1.5. Ellenőrzés:  N Ed 1500  103 N 2 0,1 f  0,1 434,8 N mm2  345mm AS min  max  yd  2 0,3%  AC  0,003  300mm  400mm  360mm AS max  4%  AC  0,04  300 mm  400 mm  4800 mm 2 2.1.6. Szükséges húzott vasalás a vetületi egyenlet alapján: N C  N ' S  N S  N Ed  0 b  x c 0  f cd  A' S  f yd  AS  f yd  N Ed  0 b  x c 0  f cd  A ' S  f yd  N Ed  A S  f yd

AS 

b  xc 0  f cd  A' S  f yd  N Ed f yd

300mm  177,65mm  13,33 N mm 2  1360,90mm 2  434,8 N mm 2  1500  10 3 N AS   454,62mm 2 2 434,8 N mm Nincs szükség húzott vasalásra! A külpontosság lehet másik irányú is, így a kialakítandó vasalás:

Megjegyzés: Természetesen a számítása a „z” tengely irányában is el kellene végeznünk!


-5-


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 2.2. Ellenőrzés a normálerő tervezési értékéhez tartozó határkülpontosságra 2.2.1. Kiindulási adatok N Ed  1500kN 22mm a  20mm  10mm   41mm 2 d  h  a  400mm  41mm  359mm d ' 41mm z  d  d '  359mm  41mm  318mm z 318mm c   159mm 2 2 AS  A' S  1520,53mm 2

2.2.2. Nyomott betonzóna magasságának számítása N Ed  N C  N ' S  N S  0 N C  b  xC  f cd N ' S  A' S  f ' yd N S  AS  f yd N Ed  b  xc  f cd  A' S  f ' yd  AS  f yd  1500  10 3 N  300mm  xc  13,33 N mm 2  2

 1520,53mm 2  434,8 N mm  1520,53mm 2  434,8 N mm  0 xc  375,09mm > xc 0   c 0  d  0,493  359mm  176,99mm


-6-


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék Mivel xc > xc 0 ezért redukálni kell a húzott acélban keletkező feszültséget a következőképpen: N S  AS   S 560 N mm 560 N mm S  d  700 N mm 2  359mm  700 N mm 2 xc xc N Ed  b  xc  f cd  A' S  f ' yd  AS   S  1500  10 3 N  300mm  xc  13,33 N mm 2   560 N mm   1520,53mm 2  434,8 N mm  1520,53mm 2   359mm  700 N mm 2   0 xc   300mm 13,33N / mm 2 xc 2  1500  10 3 N  1520,53mm 2  434,8N / mm 2  1520,53mm 2  700 N / mm 2 xc 

 1520,53mm 2  560 N / mm 2 359mm 2 3999 xc  225801,55 xc  305687351,2  0 xc  249,68mm 2.2.3. Határkülpontosság számítása (1) Nyomatéki egyenlet a húzott acélbetétek súlyvonalára

x   N Ed eRd  c  NC  d  c   A' S  f ' yd z 2  e Rd

x   b  xc  f cd  d  c   A' S  f ' yd z 2   c N Ed

e Rd

249,68mm   2 300mm  249,68mm  13,33N / mm 2  359mm    1520,53mm  434,8 N / mm  318mm 2    159mm  3 1500  10 N

e Rd  136,72mm > e Ed  94,70mm → megfelel 2.2.3. Határkülpontosság számítása (2) A geometriai középpontra felírt nyomatéki egyenlet h x  h  h  M Rd  N C   c   N ' S   d '   N S   a   2  2 2 2 


-7-



h x  h  h  M Rd  b  xc  f cd   c   A' S f ' yd   d '   AS   S   a  2  2  2 2  560 560 N / mm 2 S  d  700  359mm  700 N / mm 2  105,19 N / mm 2 xc 249,68mm  400mm 249,68mm  M Rd  300mm  249,68mm  13,33N / mm 2    2   2   2 2  400mm 2 2  400mm  41mm   1520,53mm 434,8 N / mm   41mm   1520,53mm 105,19 N / mm    2   2 M Rd  205,626kNm M 205,626  10 6 Nmm e Rd  Rd   137,08mm N Ed 1500  10 3 N e Rd  137,08mm > e Ed  94,70mm → megfelel


-8-


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 2.3. Ellenőrzés a mértékadó külpontossághoz tartozó határerőre 2.3.1. Kiindulási adatok e Ed  94,70mm 22mm a  20mm  10mm   41mm 2 d  h  a  400mm  41mm  359mm d ' 41mm z  d  d '  359mm  41mm  318mm z 318mm c   159mm 2 2 AS  A' S  1520,53mm 2 2.3.2. Erőkarok számítása NRd támadáspontjától h   400mm  rS    a   e Ed    41mm   94,7 mm  253,7 mm   2  2 h   400mm  r ' S    d '   e Ed    41mm   94,7 mm  64,3mm 2   2  xc  h x   400mm  x rC     e Ed   c    94,7 mm   c  105,3mm 2 2  2  2  2 2.3.3. Nyomott betonzóna magasságának számítása Nyomaték az erő támadáspontjára  N S  rS  N C  rC  N ' S r ' S  0  AS  f yd  rS  b  xC  f cd  rC  A' S  f ' cd r ' S  0

x  1520,53mm 2  434,8 N / mm 2  253,7mm  300mm  xC  13,33N / mm 2  C  105,3mm    2   1520,53mm 2  434,8 N / mm 2  64,3mm  0 2 2000 xC  421494,6 xC  210238209,1  0 TARTÓSZERKEZETEK I.

-9-


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék xc  446,28mm > xc 0   c 0  d  0,493  359mm  176,99mm Mivel xc > xc 0 ezért redukálni kell a húzott acélban keletkező feszültséget a következőképpen: 560 N mm 560 N mm S  d  700 N mm 2  359mm  700 N mm 2 xc xc  N S  rS  N C  rC  N ' S r ' S  0  AS   S  rS  b  xC  f cd  rC  A' S  f ' cd r ' S  0 2  x  2  560 N / mm   1520,53mm  359mm  700 N / mm 2   253,7 mm  300mm  xC  13,33 N / mm 2  C  105,4mm   xC  2   

 1520,53mm 2  434,8 N / mm 2  64,3mm  0 2 3  38786137  135049,2 xC  210,8 xC  21260,53xC  xC  0 3 2 xC  210,8 xC  113788,69 xC  38786137  0 xC  286,4mm  xc 0  c 0  d  0,493  359mm  176,99mm ,vagyis a feltételezésünk jó volt. 2.3.4. Határerő számítása Vetületi egyenletből NRd számítható N C  N ' S  N S  N Rd  0 N Rd  N C  N ' S  N S N Rd  b  xC  f cd  A' S  f ' yd  As   S

  560 N Rd  b  xC  f cd  A' S  f ' yd  As   d  700    xC N Rd  300mm  286,4mm 13,33 N / mm 2  1520,53mm 2  434,8 N / mm 2   560 N / mm   1520,53mm 2   359mm  700 N / mm 2   1803,5kN  286,4mm  N Rd  1803,5kN > N Ed  1500kN → megfelel


-10-


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 2.4. Tervezés szimmetrikus vasalással 2.4.1. Kiindulási adatok Anyagminőségek: B500; C20/25 N Ed  1500kN ; e Ed  100mm Betontakarás: c nom  20,0mm b = 300mm; h = 400mm f ck  20 N mm 2 ; f yk  500 N mm 2 l 0  3000mm a  50mm d  h  a  400mm  50mm  350mm d ' 50mm z  d  d '  350mm  50mm  300mm h 400mm c  a   50mm  150mm 2 2 2.4.2. Anyagjellemzők számítása A beton nyomószilárdságának tervezési értéke: f cd  A betonacél folyáshatárának tervezési értéke: f yd 

f ck

c

f yk

S





20 N mm 2  13,33 N mm 2 1,5

500 N mm 2  434,8 N mm 2 1,15

2.4.3 Szükséges vasmennyiség meghatározása 560 560  c0    0,493 f yd  700 434,8  700 560 560 c 0 '    2,112 400  f yd 700  434,8 xc 0   c 0  d  0,493  350mm  172,55mm


-11-


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 2.4.4. Nyomott betonzóna magasságának számítása Vetületi egyenlet N C  N ' S  N S  N Ed  0 b  xC  f cd  A' S  f yd  AS  f yd  N Ed  0 Mivel AS  A' S , ezért az egyenlet egyszerűsíthető b  xC  f cd  N Ed  0 b  xC  f cd  N Ed N Ed 1500  10 3 N xC    375,10mm b  f cd 300mm  13,33N / mm 2 xc  375,010m > xc 0   c 0  d  0,493  350mm  172,55mm Mivel xc > xc 0 ezért redukálni kell a húzott acélban keletkező feszültséget a következőképpen: N S  AS   S 560 N mm 560 N mm S  d  700 N mm 2  359mm  700 N mm 2 xc xc Vetületi egyenlet b  xC  f cd  A' S  f yd  AS   S  N Ed  0

 560 N mm  300mm  x c  13,33 N mm 2  A' S 434,8 N mm 2  AS   350mm  700 N mm 2   1500  10 3 N  0 xc   196000 AS 4000 xC  434,8 AS   700 AS  1500000 xC  0 xC 2 4000 xC  434,8 AS  700 AS  1500000xC  196000 AS  0


-12-


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 2

4000 xC  1134,8 AS  xC  1500000xC  196000 AS  0 Nyomatéki egyenlet a húzott vasak súlyvonalára x   b  xC  f cd  d  C   A' S  f yd  z  N Ed e Ed  c   0 2   x   300mm  xC  13,33N / mm 2  400mm  C   AS  434,8 N / mm 2  300mm  1500  10 3 N  100mm  150mm   0 2   2

 2000 xC  1400000xC  130440 AS  375000000  0 2

130440 AS  2000 xC  1400000xC  375000000  0 2

AS  0,01533, xC  10,7329 xC  2874,885 Mivel a vetületi és a nyomatéki egyenlet is AS -re rendezhető, így a két egyenletet egymással egyenlővé téve a következőt kapjuk 2

4000 xC  1500000 xC 2  0,01533xC  10,7329 xC  2874,885 196000  1134,8 xC 2

3,52485xC  1321,81882 xC 2  0,01533xC  10,7329 xC  2874,885 172,71766  xC 2

2

3

3,52485 xC  1321,81882 xC  2,64828 xC  1853,76137 xC  496543,41  0,015333xC  2

 10,7329 xC  2874,885 xC 3

2

0,015333xC  9,85633xC  3406,82755xC  496543,41  0 A harmadfokú egyenlet megoldható Newton-módszerrel. Az xC -t becsüljük. Értéke várhatóan xC 0  172,55mm és d  350mm közé esik, és d-hez lesz közelebb. Első közelítésben felvesszük a két érték számtani közepében, d felé kerekítve. x c 0  d 172,55  350   261,275 2 2 3

2

f ( xC )  0,015333xC  9,85633xC  3406,82755xC  496543,41 TARTÓSZERKEZETEK I.

-13-


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 2

f ' ( xC )  0,046 xC  19,71266 xC  3406,82755 xC1  265mm

Behelyettesítve xC1  265mm -t

f ( xC1 )  0,015333  2653  9,85633  265 2  3406,82755  265  496543,41

f ( xC1 )  285341,38  692160,77  902809,30  496543,41  553,50 f ' ( xC1 )  0,046  265 2  19,71266  265  3,40682755

f ' ( xC1 )  3230,35  5223,85  3406,83  1413,33 x C 1 

f  xC1   553,50   0,391mm f '  xC1  1413,33

xC 2  xC1  xC1  265   0,391  265,391mm

Behelyettesítve xC 2  265,391mm -t

f ( xC 2 )  0,015333  265,3913  9,85633  265,3912  3406,82755  265,391  496543,41

f ( xC 2 )  286606,28  694204,81  904141,37  496543,41  0,57 f ' ( xC 2 )  0,046  265,3912  19,71266  265,391  3,40682755

f ' ( xC1 )  3239,89  5231,56  3406,83  1415,16 x C 2 

f  xC 2   0,57   0,0004mm f ' xC 2  1415,16

xC 3  xC 2  xC 2  265,391   0,004   265,3914 mm

Mivel a Newton-módszer második lépésénél is jelentéktelen a a különbség, ezért xC 3  265,39mm nek elfogadható.


-14-



2.4.6. Szükséges vasmennyiség számítása

Korábban a vetületi és a nyomatéki egyenletből is kifejeztük AS -t. Ha jól számoltunk, akkor xC  265,39mm -t behelyettesítve mindkét egyenlet ugyanazt az eredményt adja. A vetületi egyenlet szerint 2

AS 

4000 xC  1500000 xC 4000  265,39 2  1500000  265,39  116357591,6    1106,43mm 2 196000  1134,8 xC 196000  1134,8  265,39  105164,57

AS 

4000  265,39 2  1500000  265,39  116357591,6   1106,43mm 2 196000  1134,8  265,39  105164,57

A nyomatéki egyenlet szerint 2

AS  0,01533, xC  10,7329 xC  2874,885 AS  0,015333  265,39 2  10,7329  265,39  2874,885  1106,41mm 2

Alkalmazott vasalás: AS = A' S = 3 db ø 22 = 1140,4 mm2


-15-


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 3. Külpontosan nyomott oszlop számítása (nagykülpontos nyomás) 3.1. Példa: Tervezzük meg az alábbi nyomott oszlop szükséges vasalását! 3.1.1. Kiindulási adatok: Anyagminőségek: B500; C20/25 N Ed  800kN Betontakarás: c nom  20,0mm b = 350mm; h = 450mm f ck  20 N mm 2 ; f yk  500 N mm 2 l 0  3000mm a  50mm d  h  a  450mm  50mm  400mm d ' 50mm z  d  d '  400mm  50mm  350mm z 350mm c   175mm 2 2 3.1.2. Anyagjellemzők számítása A beton nyomószilárdságának tervezési értéke: f cd  A betonacél folyáshatárának tervezési értéke: f yd 

f ck

c

f yk

S

20 N mm 2   13,33 N mm 2 1,5

500 N mm 2   434,8 N mm 2 1,15

3.1.3. Külpontosság számítása Kezdeti külpontosság: ee  300 mm Külpontosságnövekmények (közelítő képlet alapján: kezdeti görbeség + másodrendű hatás) 2 2 l 3000mm  l   3000mm  ei  e2  0,05d  0  0,05 0  d  0,05  400mm   0,05  400mm  38,75mm 400 400  10  400mm   10d  A külpontosság tervezési értéke: e Ed  ee  ei  e2  300mm  38,75mm  338,75mm


-16-


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 3.1.4. Szükséges vasmennyiség meghatározása 560 560  c0    0,493 f yd  700 434,8  700 xc 0   c 0  d  0,493  400mm  197,20mm Nyomott betonöv teljes kihasználtságához tartozó nyomaték: x  197,20mm    M 0  b  xc 0  f cd  d  co   350mm  197,20mm  13,33 N mm 2  400mm   2  2     277,30kNm A külső erő nyomatéka a húzott oldali betonacélokra: M S  N Ed e Ed  c   800  10 3 N 338,75mm  175mm   411,0kNm Nyomott betonacélokkal felveendő nyomaték: M  M S  M 0  411,0kNm  277,3kNm  133,45kNm Szükséges nyomott betonacél mennyisége: M 133,45  10 6 Nmm A' S    876,94mm 2 2 z  f yd 350mm  434,8 N mm Alkalmazott vasalás: 3 db ø 20 = 942,50 mm2 3.1.5. Nyomott betonzóna tényleges magassága Nyomatéki egyenlet a húzott vasak súlyvonalára x   M S  b  xC  f cd  d  C   A' S  f ' yd z  N Ed c  e Ed   0 2  

x   350mm  xC  13,33N / mm 2  400  C   942,50mm 2  434,8 N / mm 2  350mm  2    800  10 3 N (175mm  338,75mm   0 2  2333,33xC  1866666,67 xC  267570350  0 2 xC  800 xC  114673,01  0 xC  187,10mm < xc 0  197,20mm TARTÓSZERKEZETEK I.

-17-


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 3.1.6. Szükséges húzott vasalás a vetületi egyenlet alapján: N C  N ' S  N S  N Ed  0 b  xC  f cd  A' S  f yd  AS  f yd  N Ed  0 b  xC  f cd  A' S  f yd  N Ed  AS  f yd

AS 

b  xC  f cd  A' S  f yd  N Ed f yd

350mm  187,10mm  13,33 N mm 2  942,50mm 2  434,8 N mm 2  800  10 3 N AS   1110,20mm 2 2 434,8 N mm Alkalmazott vasalás: 4 db ø 20 = 1256,0 mm2, de hogy különbözzön a nyomott vasalástól, ezért inkább 6 db ø 16 = 1206,4 mm2.


-18-



b

3.2. Ellenőrzés mértékadó erőhöz tartozó határkülpontosságra 3.2.1. Kiindulási adatok Anyagminőségek: B500; C20/25 z d' N Ed  800kN  800000 N d főőva eRd a  c nom  d kengyel   2 16 mm xc 20mm  10mm   38mm 2 d  h  a  450mm  38mm  412mm a c t a d h d főőva NEd d '  c nom  d kengyel  2 20mm  20mm  10mm   40mm 2 eRd NS NS' z  d  d '  412mm  40mm  372mm NC Alkalmazott vasalás: 3 db ø 20 = 942 mm2 és 6 db ø 16 = 1206,4 mm2. Mivel ebben az esetben a keresztmetszet vasalása asszimmetrikus, a geometriai és a teherbírási középpontok nem esnek egy pontba. Asszimmetrikus vasalás esetén mindig meg kell határozni a teherbírási középpontot, és ettől a ponttól kell mérni a külpontosságot. Szimmetrikus vasalás esetén ez nem okoz külön problémát, hiszen a geometriai és a teherbírási középpontok egybeesnek. A (nyomási) teherbírási középpont helyzetének meghatározása A tiszta nyomáshoz tartozó maximális nyomóerő: |σ | min fyd ; 400 N⁄mm2 min 434,8; 400 N⁄mm2 NRd,1 = b ∙ h ∙ fcd + (As + A′s ) ∙ |σs | = 350 ∙ 450 ∙ 13,33 + (1206 + 942) ∙ 400 = 2959,5 kN A nyomatéki teherbírás a geometriai középpontban: h h MRd,1,geom = As ∙ |σs | ∙ (d − ) − A′s ∙ |σs | ∙ ( − d′ ) 2 2 450 450 ) − 942 ∙ 400 ∙ ( = 1206 ∙ 400 ∙ (412 − − 40) = 20,5 kNm 2 2 A teherbírási középpont geometriai középponttól mért távolsága: M , , 20,5 kNm t= = = 7 mm N , 2959,5 kN A teherbírási középpont távolsága a húzott vasak súlyvonalától: h 450 c= −a−t= − 38 − 7 = 180 mm 2 2


-19-


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 3.2.2. Nyomott betonzóna magasságának számítása N Ed  N C  N ' S  N S  0 N C  b  xC  f cd  350  xC  13,33  4665,5  xC N 'S  A'S  f ' yd  942  434,8  409562,8 N N S  AS  f yd  1206  434,8  524344 ,7 N N Ed  b  xc  f cd  A'S  f ' yd  AS  f yd  800000 N  4665,5  xC  409562 ,8 N  524344,7 N  0 xc  196,07 mm < xc 0   c 0  d  0,493  412mm  203,12mm Mivel xc < xc 0 ezért az acélbetétek folyási állapotban vannak. Nincs szükség a húzott acélban keletkező feszültség redukciójára‐ 3.2.3. Határkülpontosság számítása Nyomatéki egyenlet a húzott acélbetétek súlyvonalára x   N Ed eRd  c   N C  d  c   A' S  f ' yd  z 2  x   b  xc  f cd  d  c   A' S  f ' yd z 2  e Rd  c N Ed 196,07mm   2 350mm  196,07 mm  13,33 N / mm 2  412mm    942,5mm  434,8 N / mm  372mm 2   eRd   180mm 3 800  10 N eRd  369,2mm > e Ed  338,75mm → megfelel


-20-


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 3.3. Ellenőrzés mértékadó külpontossághoz tartozó határerőre 3.3.1. Kiindulási adatok AS  1206,4mm 2 ; A' S  942,5mm 2 e Ed  338,75mm d'

z

a  20mm  10mm 

xc a a

c

t d h

NRd

eEd NS NC

NS' r's rc

rs

16mm  38mm 2

d  h  a  450mm  38mm  412mm 20mm d '  20mm  10mm   40mm 2 z  d  d '  412mm  40mm  372mm t  7mm c  180mm (számítása ld. 3.2.1.) xc 0   c 0  d  0,493  412mm  203,12mm

3.3.2. Erőkarok számítása NRd támadáspontjától rS  eEd  c  338,75mm  180mm  519mm h 450 r 'S  eEd   t  d '  338,75mm   7mm  40mm  147mm 2 2 450mm h x x x rC  eEd   t  C  338,75mm   7mm  C  107mm  C 2 2 2 2 2 3.3.3. Nyomott betonzóna magasságának számítása Nyomaték az erő támadáspontjára  N S  rS  N C  rC  N ' S r ' S  0  AS  f yd  rS  b  xC  f cd  rC  A' S  f ' cd r ' S  0


-21-



x    1206,4mm2  434,8 N / mm2  519mm  350mm  xC  13,33N / mm2  107mm  C   2   942,5mm2  434,8 N / mm2  147mm  0 2 2333,33xC  499686 xC  211992411  0 2 xC  214,2 xC  90854  0 xc  213mm < xc 0   c 0  d  0,493  412mm  203,13mm 3.3.4. Határerő számítása Vetületi egyenletből NRd számítható N C  N ' S  N S  N Rd  0 N Rd  N C  N ' S  N S N Rd  b  xc  f cd  A'S  f ' yd  As  f yd N Rd  350mm  213mm  13,33 N / mm2  942,5mm2  434,8 N / mm2   1206,4mm  434,8 N / mm2  878,3kN N Rd  878,3kN > N Ed  800kN → megfelel


-22-


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 4. Teherbírási vonal (közelítő): Rajzolja fel az alábbi keresztmetszet közelítő teherbírási vonalát! 4.1. Kiindulási adatok Anyagminőségek: B500; C16/20 Betontakarás: c nom  20,0mm z d' b = 300mm; h = 500mm f ck  16 N mm 2 ; f yk  500 N mm 2

16 N mm 2  10,67 N mm 2 c 1,5 f yk 500 N mm2    434,78 N mm 2 1,15 S 560 560    0,493 f yd  700 434,8  700

f yd

 c0

f ck



AS  5 db ø 20  1571mm 2 A'S  2 db ø 20  628mm 2

b

f cd 

a a

c

t d h

a  c nom  d kengyel 

d főőva

 2 20mm  20mm  10mm   40mm 2 d  h  a  500mm  40mm  460mm d d '  cnom  d kengyel  főőva  2 20mm  20mm  10mm   40mm 2 z  d  a  460mm  40mm  420mm


-23-


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 4.2.A (nyomási) teherbírási középpont helyzetének meghatározása A tiszta nyomáshoz tartozó maximális nyomóerő: |σ | min fyd ; 400 N⁄mm2 min 434,8; 400 N⁄mm2 NRd,1 = Nc + Ns + Ns′ = b ∙ h ∙ fcd + (As + A′s ) ∙ |σs | a = 300 ∙ 500 ∙ 10,7 + (1571 + 628) ∙ 400 = 2480 kN a A nyomatéki teherbírás a geometriai középpontban: h h MRd,1,geom = As ∙ |σs | ∙ (d − ) − A′s ∙ |σs | ∙ ( − d′ ) 2 2 500 500 ) − 628 ∙ 400 ∙ ( = 1571 ∙ 400 ∙ (460 − − 40) 2 2 = 79 kNm NS A teherbírási középpont geometriai középponttól mért távolsága: M , , 79 kNm t= = = 32 mm N , 2480 kN A teherbírási középpont távolsága a húzott vasak súlyvonalától: h 500 c= −a−t= − 40 − 32 = 178 mm 2 2 h Szimmetrikus vasalás esetén értelemszerűen t=0 és c = − a 2 4.3. Az 1‐es jelű pont számítása (maximális nyomóerőhöz tartozó pont) M Rd 1  0 NRd,1 = 2480 kN 4.4. A 2‐es jelű pont számítása (maximális nyomatékhoz tartozó pont) xC  xC 0 xC 0   C 0  d  0,493  460 mm  227 mm Vetületi egyenlet: N Rd 2  N c  N s ' N s  b  xC 0  f cd  A'S  f ' yd  AS  f yd N Rd 2  300  227  10,67  628  434,78  1571  434,78  317 kN Szimmetrikus vasalás esetén a betonacélokhoz tartozó tagok kiesnek az egyenletből. Nyomatéki egyenlet a teherbírási középpontra: h x  M Rd 2  b  xC 0  f cd   C 0  t   AS  f yd  c  A'S  f ' yd  z  c  2 2   500mm 227  M Rd 2  300mm  227mm  10,67 N / mm2    32   2  2  2 2 2  1571mm  434,78 N / mm  178  628mm  434,78 N / mm 420  178mm M Rd 2  310 kNm


-24-

a a

d'

z c

t d h

NS'

NC

d'

z xc0 c

t d h

NS NC


NS'

Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 4.5. A 3‐as jelű pont számítása (tiszta hajlítás) N Rd 3  0 Vetületi egyenlet (nyomott betonzóna magasságának számítása): xc ∙ b ∙ fcd + A′s ∙ fyd − As ∙ fyd = 0 As ∙ fyd − As ′ ∙ fyd 1571 ∙ 434,78 − 628 ∙ 434,78 = = 128 mm xc = 300 ∙ 10,67 b ∙ fcd xc = 128 mm < xC 0   C 0  d  0,493  460mm  227 mm , vagyis a húzott oldali betonacélok megfolynak. Nyomatéki egyenlet a teherbírási középpontra: h x  M Rd 3  b  xC  f cd   C  t   AS  f yd  c  A'S  f ' yd  z  c  2 2   500 128    32   1571  434,78 178  628  434,78420  178 M Rd 2  300 128 10,67 2  2  M Rd 2  277 kNm Szimmetrikus vasalás esetén xc=0 és a betonhoz tartozó tag kiesik a nyomatéki egyenletből. 4.6. Ellenőrizzük az „x” síkban ható nyomóerőre a keresztmetszetet! N Ed  250 kN ; eEd  300 mm N M Ed  N Ed  eEd  250 kN  0,3m  75kNm 2500 kN Mivel az N‐M koordináta‐rendszerben 1 0 kNm; 2480 kN felvett (NEd;MEd) pont a teherbírási vonalon belül esik, a keresztmetszet 2000 kN erre a terhelési esetre megfelel.

1500 kN

1000 kN

500 kN 75 kNm; 250 kN

100 kNm

200 kNm

2 3

310 kNm; 317 kN

300 kNm 400 kNm 277 kNm; 0 kN

M


-25-


Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék Az N Ed  300 kN erőhöz tartozó nyomaték meghatározása a teherbírási vonalon: Háromszögek hasonlóságából: MRd,2 500 kN x MRd,2 − MRd,3 2 310 kNm; 317 kN = NRd,2 75 kNm; 250 kN NEd x NEd NRd,2 100 kNm 200 kNm 300 kNm 400 kNm MRd,2 − MRd,3 3 277 kNm; 0 kN x= ∙ NEd NRd,2 MRd,3 M −M 310−277 ∙ 250 + 277 = 303 kNm > MEd = 75 kNm MRd = x + MRd,3 = Rd,2 Rd,3 ∙ NEd + MRd,3 = NRd,2

317

megfelel 4.7. Határozzuk meg az N Ed  250 kN erőhöz tartozó határkülpontosságot a közelítő teherbírási vonal alapján! M Rd  303kNm M 303  106 Nmm eRd  Rd   1212mm  eEd  300mm N Ed 250  103 N


-26-


M

Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 4.8. Határozzuk meg az eEd  300mm külpontossághoz tartozó határerőt a közelítő teherbírási vonal alapján! MRd NRd ∙ eEd tan α = = = eEd = 0,3 NRd NRd α 16,7° (az egyenes függőleges tengellyel bezárt szöge) MRd,2 310 tan β = = = 0,98 NRd,2 317 β 44° Mivel α , tudjuk, hogy az egyenes a felső részen metszi a teherbírási vonalat. Ezt egy már megrajzolt teherbírási vonalon szerkesztéssel (külön számítás nélkül) is könnyen megállapíthatjuk, pl. ha összekötjük az origót a már meglévő (NEd, MEd) ponttal, hiszen ebben az esetben is az eEd‐t jelentő egyenest rajzoljuk. MRd = NRd ∙ eEd MRd másképpen felírva (teherbírási vonal alapján): MRd = MRd,2 − x Háromszögek hasonlóságából: x MRd,2 = NRd NRd,2 NRd,1 NRd,2 310 MRd,2 = (NRd − 317) ∙ = 0,1433 NRd − 45,4 2480 − 317 NRd,1 NRd,2 = MRd,2 − x = 310 − (0,1433 NRd − 45,4) = −0,1433 NRd + 355,4

x = (NRd

NRd,2 ) ∙

MRd és MRd = NRd ∙ eEd = 0,3 NRd így 0,3 NRd = −0,1433 NRd + 355,4 = > =

1

0 kNm; 2480 kN

NRd,1

MRd

x MRd,2

NRd NRd,2


-27-

ß

75 kNm; 250 kN

2

310 kNm; 317 kN


Nyomott oszlopok számítása EC2 szerint (mintapéldák)

Recommend Documents