Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék
Nyomott oszlopok számítása EC2 szerint (mintapéldák) 1. Központosan nyomott oszlop Központosan nyomott az oszlop ha ec = 0 (ec : elsőrendű, vagy kezdeti külpontosság). Megjegyzés: Az EC2 szerint nincs központosan nyomott oszlop, a külpontosságnövekményeket mindig figyelembe kell venni. Ebből az eljárásból került levezetésre a φ‐s módszer. l0 26 esetén alkalmazható az eljárás h l0 kihajlási hossz N Rd = N u ' N u ' Ac f cd AS f yd 1.1. Példa: Négyzet keresztmetszetű oszlop ellenőrzése 1.1.1. Kiindulási adatok: Anyagminőségek: B500; C20/25 a = betontakarás + kengyelátmérő + fővas átmérő/2 20mm a = 20 mm + 10 mm + = 40 mm 2 d = 400 mm – 40 mm = 360 mm N Ed = 1900 kN l0 3000 mm 1.1.2. Szükséges vasmennyiség számítása N Ed = N u ' N u ' Ac f cd AS f yd N Ed = N u ' ( Ac f cd AS f yd ) TARTÓSZERKEZETEK I.
-1-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék N Ed
Ac f cd AS f yd
N Ed
Ac f cd
f yd
N Ed
b h f cd f yd
AS
közelítő értékének számítása : ⁄
3000⁄400
7,5
12,0
téglalap keresztmetszet, 2 két sávban elhelyezett vasalás beton: C20/25 0,86 (táblázatból) 400
max 0,81 (táblázatból) 0,81 f 500 f yd yk 434,78 N mm 2 yS 1,5 f 20 f cd ck 1,0 13,33 N mm 2 yc 1,5
N Ed AS'
b h f cd f yd
1900 103 N 13,33N / mm2 400mm 400mm 0,81 489,6mm2 2 434,78 N / mm
Alkalmazott vasalás: 4 db ø 14 = 616 mm2 0,1( N Ed f yd ) 0,1(1900 103 N 434,78 N / mm 2 ) 437 mm 2 AS min max 0,003 AC 0,003 400mm 400mm 480,0mm 2 1.1.3. Ellenőrzés NW b h f cd AS S 400mm 400mm 13,33N / mm2 616mm2 434,78 N / mm2 2400,6kN N Rd NW 0,81 2400,6kN 1944,5kN > N Ed 1900kN → megfelel
TARTÓSZERKEZETEK I.
-2-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 2. Külpontosan nyomott oszlop (kiskülpontos nyomás) 2.1. Példa: Tervezzük meg az alábbi nyomott oszlop szükséges vasalását! Megjegyzés: Feladatainkat szimmetriasíkban működő NEd erőre végezzük el, csak egyik tengely irányú külpontosságot vizsgálva. Konkrét tervezési feladatnál azonban a külpontosságnövekményeket mindkét tengely irányában figyelembe kell venni! 2.1.1. Kiindulási adatok Anyagminőségek: B500; C20/25 N Ed 1500kN ; M Ed 85kNm Betontakarás: c nom 20,0mm b = 300mm; h = 400mm f ck 20 N mm 2 ; f yk 500 N mm 2 l 0 3000mm
a betontakarás kengyel
vasátmérő 20mm 10m 2
20mm 40mm 2
d h a 400mm 40mm 360mm d ' 40mm z d d ' 360mm 40mm 320mm z 320mm c 160mm 2 2 2.1.2. Anyagjellemzők számítása A beton nyomószilárdságának tervezési értéke: f cd A betonacél folyáshatárának tervezési értéke: f yd
TARTÓSZERKEZETEK I.
-3-
f ck
c
f yk
S
20 N mm 2 13,33 N mm 2 1,5
500 N mm 2 434,8 N mm 2 1,15
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 2.1.3. Külpontosság számítása M Ed 85 10 9 Nmm 56,7 mm Kezdeti külpontosság: ee N Ed 1500 10 3 N Külpontosságnövekmények (közelítő képlet alapján: kezdeti görbeség + másodrendű hatás) 2 2 l0 3000mm l0 3000mm 0,05 0,05 ei e2 0,05d d 0,05 360mm 360mm 38,0mm 400 400 10 360mm 10d A külpontosság tervezési értéke: e Ed ee ei e2 56,7 mm 38,0mm 94,7 mm 2.1.4. Szükséges vasmennyiség meghatározása 560 560 c0 0,493 f yd 700 434,8 700 xc 0 c 0 d 0,493 360mm 177,65mm Nyomott betonöv teljes kihasználtságához tartozó nyomaték: x 177,65mm M 0 b xc 0 f cd d co 300mm 177,65mm 13,33 N mm 2 360mm 2 2 192,70kNm A külső erő nyomatéka a húzott oldali betonacélokra: M S N Ed e Ed c 1500 10 3 N 94,7 mm 160,0mm 382,05kNm Nyomott betonacélokkal felveendő nyomaték: M M S M 0 382,05kNm 192,70kNm 189,35kNm Szükséges nyomott betonacél mennyisége: M 189,35 10 6 Nmm A' S 1360,90mm 2 2 z f yd 320mm 434,8 N mm Alkalmazott vasalás: 4 db ø 22 = 1520,50 mm2
TARTÓSZERKEZETEK I.
-4-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 2.1.5. Ellenőrzés: N Ed 1500 103 N 2 0,1 f 0,1 434,8 N mm2 345mm AS min max yd 2 0,3% AC 0,003 300mm 400mm 360mm AS max 4% AC 0,04 300 mm 400 mm 4800 mm 2 2.1.6. Szükséges húzott vasalás a vetületi egyenlet alapján: N C N ' S N S N Ed 0 b x c 0 f cd A' S f yd AS f yd N Ed 0 b x c 0 f cd A ' S f yd N Ed A S f yd
AS
b xc 0 f cd A' S f yd N Ed f yd
300mm 177,65mm 13,33 N mm 2 1360,90mm 2 434,8 N mm 2 1500 10 3 N AS 454,62mm 2 2 434,8 N mm Nincs szükség húzott vasalásra! A külpontosság lehet másik irányú is, így a kialakítandó vasalás:
Megjegyzés: Természetesen a számítása a „z” tengely irányában is el kellene végeznünk!
TARTÓSZERKEZETEK I.
-5-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 2.2. Ellenőrzés a normálerő tervezési értékéhez tartozó határkülpontosságra 2.2.1. Kiindulási adatok N Ed 1500kN 22mm a 20mm 10mm 41mm 2 d h a 400mm 41mm 359mm d ' 41mm z d d ' 359mm 41mm 318mm z 318mm c 159mm 2 2 AS A' S 1520,53mm 2
2.2.2. Nyomott betonzóna magasságának számítása N Ed N C N ' S N S 0 N C b xC f cd N ' S A' S f ' yd N S AS f yd N Ed b xc f cd A' S f ' yd AS f yd 1500 10 3 N 300mm xc 13,33 N mm 2 2
1520,53mm 2 434,8 N mm 1520,53mm 2 434,8 N mm 0 xc 375,09mm > xc 0 c 0 d 0,493 359mm 176,99mm
TARTÓSZERKEZETEK I.
-6-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék Mivel xc > xc 0 ezért redukálni kell a húzott acélban keletkező feszültséget a következőképpen: N S AS S 560 N mm 560 N mm S d 700 N mm 2 359mm 700 N mm 2 xc xc N Ed b xc f cd A' S f ' yd AS S 1500 10 3 N 300mm xc 13,33 N mm 2 560 N mm 1520,53mm 2 434,8 N mm 1520,53mm 2 359mm 700 N mm 2 0 xc 300mm 13,33N / mm 2 xc 2 1500 10 3 N 1520,53mm 2 434,8N / mm 2 1520,53mm 2 700 N / mm 2 xc
1520,53mm 2 560 N / mm 2 359mm 2 3999 xc 225801,55 xc 305687351,2 0 xc 249,68mm 2.2.3. Határkülpontosság számítása (1) Nyomatéki egyenlet a húzott acélbetétek súlyvonalára
x N Ed eRd c NC d c A' S f ' yd z 2 e Rd
x b xc f cd d c A' S f ' yd z 2 c N Ed
e Rd
249,68mm 2 300mm 249,68mm 13,33N / mm 2 359mm 1520,53mm 434,8 N / mm 318mm 2 159mm 3 1500 10 N
e Rd 136,72mm > e Ed 94,70mm → megfelel 2.2.3. Határkülpontosság számítása (2) A geometriai középpontra felírt nyomatéki egyenlet h x h h M Rd N C c N ' S d ' N S a 2 2 2 2
TARTÓSZERKEZETEK I.
-7-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék
h x h h M Rd b xc f cd c A' S f ' yd d ' AS S a 2 2 2 2 560 560 N / mm 2 S d 700 359mm 700 N / mm 2 105,19 N / mm 2 xc 249,68mm 400mm 249,68mm M Rd 300mm 249,68mm 13,33N / mm 2 2 2 2 2 400mm 2 2 400mm 41mm 1520,53mm 434,8 N / mm 41mm 1520,53mm 105,19 N / mm 2 2 M Rd 205,626kNm M 205,626 10 6 Nmm e Rd Rd 137,08mm N Ed 1500 10 3 N e Rd 137,08mm > e Ed 94,70mm → megfelel
TARTÓSZERKEZETEK I.
-8-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 2.3. Ellenőrzés a mértékadó külpontossághoz tartozó határerőre 2.3.1. Kiindulási adatok e Ed 94,70mm 22mm a 20mm 10mm 41mm 2 d h a 400mm 41mm 359mm d ' 41mm z d d ' 359mm 41mm 318mm z 318mm c 159mm 2 2 AS A' S 1520,53mm 2 2.3.2. Erőkarok számítása NRd támadáspontjától h 400mm rS a e Ed 41mm 94,7 mm 253,7 mm 2 2 h 400mm r ' S d ' e Ed 41mm 94,7 mm 64,3mm 2 2 xc h x 400mm x rC e Ed c 94,7 mm c 105,3mm 2 2 2 2 2 2.3.3. Nyomott betonzóna magasságának számítása Nyomaték az erő támadáspontjára N S rS N C rC N ' S r ' S 0 AS f yd rS b xC f cd rC A' S f ' cd r ' S 0
x 1520,53mm 2 434,8 N / mm 2 253,7mm 300mm xC 13,33N / mm 2 C 105,3mm 2 1520,53mm 2 434,8 N / mm 2 64,3mm 0 2 2000 xC 421494,6 xC 210238209,1 0 TARTÓSZERKEZETEK I.
-9-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék xc 446,28mm > xc 0 c 0 d 0,493 359mm 176,99mm Mivel xc > xc 0 ezért redukálni kell a húzott acélban keletkező feszültséget a következőképpen: 560 N mm 560 N mm S d 700 N mm 2 359mm 700 N mm 2 xc xc N S rS N C rC N ' S r ' S 0 AS S rS b xC f cd rC A' S f ' cd r ' S 0 2 x 2 560 N / mm 1520,53mm 359mm 700 N / mm 2 253,7 mm 300mm xC 13,33 N / mm 2 C 105,4mm xC 2
1520,53mm 2 434,8 N / mm 2 64,3mm 0 2 3 38786137 135049,2 xC 210,8 xC 21260,53xC xC 0 3 2 xC 210,8 xC 113788,69 xC 38786137 0 xC 286,4mm xc 0 c 0 d 0,493 359mm 176,99mm ,vagyis a feltételezésünk jó volt. 2.3.4. Határerő számítása Vetületi egyenletből NRd számítható N C N ' S N S N Rd 0 N Rd N C N ' S N S N Rd b xC f cd A' S f ' yd As S
560 N Rd b xC f cd A' S f ' yd As d 700 xC N Rd 300mm 286,4mm 13,33 N / mm 2 1520,53mm 2 434,8 N / mm 2 560 N / mm 1520,53mm 2 359mm 700 N / mm 2 1803,5kN 286,4mm N Rd 1803,5kN > N Ed 1500kN → megfelel
TARTÓSZERKEZETEK I.
-10-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 2.4. Tervezés szimmetrikus vasalással 2.4.1. Kiindulási adatok Anyagminőségek: B500; C20/25 N Ed 1500kN ; e Ed 100mm Betontakarás: c nom 20,0mm b = 300mm; h = 400mm f ck 20 N mm 2 ; f yk 500 N mm 2 l 0 3000mm a 50mm d h a 400mm 50mm 350mm d ' 50mm z d d ' 350mm 50mm 300mm h 400mm c a 50mm 150mm 2 2 2.4.2. Anyagjellemzők számítása A beton nyomószilárdságának tervezési értéke: f cd A betonacél folyáshatárának tervezési értéke: f yd
f ck
c
f yk
S
20 N mm 2 13,33 N mm 2 1,5
500 N mm 2 434,8 N mm 2 1,15
2.4.3 Szükséges vasmennyiség meghatározása 560 560 c0 0,493 f yd 700 434,8 700 560 560 c 0 ' 2,112 400 f yd 700 434,8 xc 0 c 0 d 0,493 350mm 172,55mm
TARTÓSZERKEZETEK I.
-11-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 2.4.4. Nyomott betonzóna magasságának számítása Vetületi egyenlet N C N ' S N S N Ed 0 b xC f cd A' S f yd AS f yd N Ed 0 Mivel AS A' S , ezért az egyenlet egyszerűsíthető b xC f cd N Ed 0 b xC f cd N Ed N Ed 1500 10 3 N xC 375,10mm b f cd 300mm 13,33N / mm 2 xc 375,010m > xc 0 c 0 d 0,493 350mm 172,55mm Mivel xc > xc 0 ezért redukálni kell a húzott acélban keletkező feszültséget a következőképpen: N S AS S 560 N mm 560 N mm S d 700 N mm 2 359mm 700 N mm 2 xc xc Vetületi egyenlet b xC f cd A' S f yd AS S N Ed 0
560 N mm 300mm x c 13,33 N mm 2 A' S 434,8 N mm 2 AS 350mm 700 N mm 2 1500 10 3 N 0 xc 196000 AS 4000 xC 434,8 AS 700 AS 1500000 xC 0 xC 2 4000 xC 434,8 AS 700 AS 1500000xC 196000 AS 0
TARTÓSZERKEZETEK I.
-12-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 2
4000 xC 1134,8 AS xC 1500000xC 196000 AS 0 Nyomatéki egyenlet a húzott vasak súlyvonalára x b xC f cd d C A' S f yd z N Ed e Ed c 0 2 x 300mm xC 13,33N / mm 2 400mm C AS 434,8 N / mm 2 300mm 1500 10 3 N 100mm 150mm 0 2 2
2000 xC 1400000xC 130440 AS 375000000 0 2
130440 AS 2000 xC 1400000xC 375000000 0 2
AS 0,01533, xC 10,7329 xC 2874,885 Mivel a vetületi és a nyomatéki egyenlet is AS -re rendezhető, így a két egyenletet egymással egyenlővé téve a következőt kapjuk 2
4000 xC 1500000 xC 2 0,01533xC 10,7329 xC 2874,885 196000 1134,8 xC 2
3,52485xC 1321,81882 xC 2 0,01533xC 10,7329 xC 2874,885 172,71766 xC 2
2
3
3,52485 xC 1321,81882 xC 2,64828 xC 1853,76137 xC 496543,41 0,015333xC 2
10,7329 xC 2874,885 xC 3
2
0,015333xC 9,85633xC 3406,82755xC 496543,41 0 A harmadfokú egyenlet megoldható Newton-módszerrel. Az xC -t becsüljük. Értéke várhatóan xC 0 172,55mm és d 350mm közé esik, és d-hez lesz közelebb. Első közelítésben felvesszük a két érték számtani közepében, d felé kerekítve. x c 0 d 172,55 350 261,275 2 2 3
2
f ( xC ) 0,015333xC 9,85633xC 3406,82755xC 496543,41 TARTÓSZERKEZETEK I.
-13-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 2
f ' ( xC ) 0,046 xC 19,71266 xC 3406,82755 xC1 265mm
Behelyettesítve xC1 265mm -t
f ( xC1 ) 0,015333 2653 9,85633 265 2 3406,82755 265 496543,41
f ( xC1 ) 285341,38 692160,77 902809,30 496543,41 553,50 f ' ( xC1 ) 0,046 265 2 19,71266 265 3,40682755
f ' ( xC1 ) 3230,35 5223,85 3406,83 1413,33 x C 1
f xC1 553,50 0,391mm f ' xC1 1413,33
xC 2 xC1 xC1 265 0,391 265,391mm
Behelyettesítve xC 2 265,391mm -t
f ( xC 2 ) 0,015333 265,3913 9,85633 265,3912 3406,82755 265,391 496543,41
f ( xC 2 ) 286606,28 694204,81 904141,37 496543,41 0,57 f ' ( xC 2 ) 0,046 265,3912 19,71266 265,391 3,40682755
f ' ( xC1 ) 3239,89 5231,56 3406,83 1415,16 x C 2
f xC 2 0,57 0,0004mm f ' xC 2 1415,16
xC 3 xC 2 xC 2 265,391 0,004 265,3914 mm
Mivel a Newton-módszer második lépésénél is jelentéktelen a a különbség, ezért xC 3 265,39mm nek elfogadható.
TARTÓSZERKEZETEK I.
-14-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék
2.4.6. Szükséges vasmennyiség számítása
Korábban a vetületi és a nyomatéki egyenletből is kifejeztük AS -t. Ha jól számoltunk, akkor xC 265,39mm -t behelyettesítve mindkét egyenlet ugyanazt az eredményt adja. A vetületi egyenlet szerint 2
AS
4000 xC 1500000 xC 4000 265,39 2 1500000 265,39 116357591,6 1106,43mm 2 196000 1134,8 xC 196000 1134,8 265,39 105164,57
AS
4000 265,39 2 1500000 265,39 116357591,6 1106,43mm 2 196000 1134,8 265,39 105164,57
A nyomatéki egyenlet szerint 2
AS 0,01533, xC 10,7329 xC 2874,885 AS 0,015333 265,39 2 10,7329 265,39 2874,885 1106,41mm 2
Alkalmazott vasalás: AS = A' S = 3 db ø 22 = 1140,4 mm2
TARTÓSZERKEZETEK I.
-15-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 3. Külpontosan nyomott oszlop számítása (nagykülpontos nyomás) 3.1. Példa: Tervezzük meg az alábbi nyomott oszlop szükséges vasalását! 3.1.1. Kiindulási adatok: Anyagminőségek: B500; C20/25 N Ed 800kN Betontakarás: c nom 20,0mm b = 350mm; h = 450mm f ck 20 N mm 2 ; f yk 500 N mm 2 l 0 3000mm a 50mm d h a 450mm 50mm 400mm d ' 50mm z d d ' 400mm 50mm 350mm z 350mm c 175mm 2 2 3.1.2. Anyagjellemzők számítása A beton nyomószilárdságának tervezési értéke: f cd A betonacél folyáshatárának tervezési értéke: f yd
f ck
c
f yk
S
20 N mm 2 13,33 N mm 2 1,5
500 N mm 2 434,8 N mm 2 1,15
3.1.3. Külpontosság számítása Kezdeti külpontosság: ee 300 mm Külpontosságnövekmények (közelítő képlet alapján: kezdeti görbeség + másodrendű hatás) 2 2 l 3000mm l 3000mm ei e2 0,05d 0 0,05 0 d 0,05 400mm 0,05 400mm 38,75mm 400 400 10 400mm 10d A külpontosság tervezési értéke: e Ed ee ei e2 300mm 38,75mm 338,75mm
TARTÓSZERKEZETEK I.
-16-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 3.1.4. Szükséges vasmennyiség meghatározása 560 560 c0 0,493 f yd 700 434,8 700 xc 0 c 0 d 0,493 400mm 197,20mm Nyomott betonöv teljes kihasználtságához tartozó nyomaték: x 197,20mm M 0 b xc 0 f cd d co 350mm 197,20mm 13,33 N mm 2 400mm 2 2 277,30kNm A külső erő nyomatéka a húzott oldali betonacélokra: M S N Ed e Ed c 800 10 3 N 338,75mm 175mm 411,0kNm Nyomott betonacélokkal felveendő nyomaték: M M S M 0 411,0kNm 277,3kNm 133,45kNm Szükséges nyomott betonacél mennyisége: M 133,45 10 6 Nmm A' S 876,94mm 2 2 z f yd 350mm 434,8 N mm Alkalmazott vasalás: 3 db ø 20 = 942,50 mm2 3.1.5. Nyomott betonzóna tényleges magassága Nyomatéki egyenlet a húzott vasak súlyvonalára x M S b xC f cd d C A' S f ' yd z N Ed c e Ed 0 2
x 350mm xC 13,33N / mm 2 400 C 942,50mm 2 434,8 N / mm 2 350mm 2 800 10 3 N (175mm 338,75mm 0 2 2333,33xC 1866666,67 xC 267570350 0 2 xC 800 xC 114673,01 0 xC 187,10mm < xc 0 197,20mm TARTÓSZERKEZETEK I.
-17-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 3.1.6. Szükséges húzott vasalás a vetületi egyenlet alapján: N C N ' S N S N Ed 0 b xC f cd A' S f yd AS f yd N Ed 0 b xC f cd A' S f yd N Ed AS f yd
AS
b xC f cd A' S f yd N Ed f yd
350mm 187,10mm 13,33 N mm 2 942,50mm 2 434,8 N mm 2 800 10 3 N AS 1110,20mm 2 2 434,8 N mm Alkalmazott vasalás: 4 db ø 20 = 1256,0 mm2, de hogy különbözzön a nyomott vasalástól, ezért inkább 6 db ø 16 = 1206,4 mm2.
TARTÓSZERKEZETEK I.
-18-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék
b
3.2. Ellenőrzés mértékadó erőhöz tartozó határkülpontosságra 3.2.1. Kiindulási adatok Anyagminőségek: B500; C20/25 z d' N Ed 800kN 800000 N d főőva eRd a c nom d kengyel 2 16 mm xc 20mm 10mm 38mm 2 d h a 450mm 38mm 412mm a c t a d h d főőva NEd d ' c nom d kengyel 2 20mm 20mm 10mm 40mm 2 eRd NS NS' z d d ' 412mm 40mm 372mm NC Alkalmazott vasalás: 3 db ø 20 = 942 mm2 és 6 db ø 16 = 1206,4 mm2. Mivel ebben az esetben a keresztmetszet vasalása asszimmetrikus, a geometriai és a teherbírási középpontok nem esnek egy pontba. Asszimmetrikus vasalás esetén mindig meg kell határozni a teherbírási középpontot, és ettől a ponttól kell mérni a külpontosságot. Szimmetrikus vasalás esetén ez nem okoz külön problémát, hiszen a geometriai és a teherbírási középpontok egybeesnek. A (nyomási) teherbírási középpont helyzetének meghatározása A tiszta nyomáshoz tartozó maximális nyomóerő: |σ | min fyd ; 400 N⁄mm2 min 434,8; 400 N⁄mm2 NRd,1 = b ∙ h ∙ fcd + (As + A′s ) ∙ |σs | = 350 ∙ 450 ∙ 13,33 + (1206 + 942) ∙ 400 = 2959,5 kN A nyomatéki teherbírás a geometriai középpontban: h h MRd,1,geom = As ∙ |σs | ∙ (d − ) − A′s ∙ |σs | ∙ ( − d′ ) 2 2 450 450 ) − 942 ∙ 400 ∙ ( = 1206 ∙ 400 ∙ (412 − − 40) = 20,5 kNm 2 2 A teherbírási középpont geometriai középponttól mért távolsága: M , , 20,5 kNm t= = = 7 mm N , 2959,5 kN A teherbírási középpont távolsága a húzott vasak súlyvonalától: h 450 c= −a−t= − 38 − 7 = 180 mm 2 2
TARTÓSZERKEZETEK I.
-19-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 3.2.2. Nyomott betonzóna magasságának számítása N Ed N C N ' S N S 0 N C b xC f cd 350 xC 13,33 4665,5 xC N 'S A'S f ' yd 942 434,8 409562,8 N N S AS f yd 1206 434,8 524344 ,7 N N Ed b xc f cd A'S f ' yd AS f yd 800000 N 4665,5 xC 409562 ,8 N 524344,7 N 0 xc 196,07 mm < xc 0 c 0 d 0,493 412mm 203,12mm Mivel xc < xc 0 ezért az acélbetétek folyási állapotban vannak. Nincs szükség a húzott acélban keletkező feszültség redukciójára‐ 3.2.3. Határkülpontosság számítása Nyomatéki egyenlet a húzott acélbetétek súlyvonalára x N Ed eRd c N C d c A' S f ' yd z 2 x b xc f cd d c A' S f ' yd z 2 e Rd c N Ed 196,07mm 2 350mm 196,07 mm 13,33 N / mm 2 412mm 942,5mm 434,8 N / mm 372mm 2 eRd 180mm 3 800 10 N eRd 369,2mm > e Ed 338,75mm → megfelel
TARTÓSZERKEZETEK I.
-20-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 3.3. Ellenőrzés mértékadó külpontossághoz tartozó határerőre 3.3.1. Kiindulási adatok AS 1206,4mm 2 ; A' S 942,5mm 2 e Ed 338,75mm d'
z
a 20mm 10mm
xc a a
c
t d h
NRd
eEd NS NC
NS' r's rc
rs
16mm 38mm 2
d h a 450mm 38mm 412mm 20mm d ' 20mm 10mm 40mm 2 z d d ' 412mm 40mm 372mm t 7mm c 180mm (számítása ld. 3.2.1.) xc 0 c 0 d 0,493 412mm 203,12mm
3.3.2. Erőkarok számítása NRd támadáspontjától rS eEd c 338,75mm 180mm 519mm h 450 r 'S eEd t d ' 338,75mm 7mm 40mm 147mm 2 2 450mm h x x x rC eEd t C 338,75mm 7mm C 107mm C 2 2 2 2 2 3.3.3. Nyomott betonzóna magasságának számítása Nyomaték az erő támadáspontjára N S rS N C rC N ' S r ' S 0 AS f yd rS b xC f cd rC A' S f ' cd r ' S 0
TARTÓSZERKEZETEK I.
-21-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék
x 1206,4mm2 434,8 N / mm2 519mm 350mm xC 13,33N / mm2 107mm C 2 942,5mm2 434,8 N / mm2 147mm 0 2 2333,33xC 499686 xC 211992411 0 2 xC 214,2 xC 90854 0 xc 213mm < xc 0 c 0 d 0,493 412mm 203,13mm 3.3.4. Határerő számítása Vetületi egyenletből NRd számítható N C N ' S N S N Rd 0 N Rd N C N ' S N S N Rd b xc f cd A'S f ' yd As f yd N Rd 350mm 213mm 13,33 N / mm2 942,5mm2 434,8 N / mm2 1206,4mm 434,8 N / mm2 878,3kN N Rd 878,3kN > N Ed 800kN → megfelel
TARTÓSZERKEZETEK I.
-22-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 4. Teherbírási vonal (közelítő): Rajzolja fel az alábbi keresztmetszet közelítő teherbírási vonalát! 4.1. Kiindulási adatok Anyagminőségek: B500; C16/20 Betontakarás: c nom 20,0mm z d' b = 300mm; h = 500mm f ck 16 N mm 2 ; f yk 500 N mm 2
16 N mm 2 10,67 N mm 2 c 1,5 f yk 500 N mm2 434,78 N mm 2 1,15 S 560 560 0,493 f yd 700 434,8 700
f yd
c0
f ck
AS 5 db ø 20 1571mm 2 A'S 2 db ø 20 628mm 2
b
f cd
a a
c
t d h
a c nom d kengyel
d főőva
2 20mm 20mm 10mm 40mm 2 d h a 500mm 40mm 460mm d d ' cnom d kengyel főőva 2 20mm 20mm 10mm 40mm 2 z d a 460mm 40mm 420mm
TARTÓSZERKEZETEK I.
-23-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 4.2.A (nyomási) teherbírási középpont helyzetének meghatározása A tiszta nyomáshoz tartozó maximális nyomóerő: |σ | min fyd ; 400 N⁄mm2 min 434,8; 400 N⁄mm2 NRd,1 = Nc + Ns + Ns′ = b ∙ h ∙ fcd + (As + A′s ) ∙ |σs | a = 300 ∙ 500 ∙ 10,7 + (1571 + 628) ∙ 400 = 2480 kN a A nyomatéki teherbírás a geometriai középpontban: h h MRd,1,geom = As ∙ |σs | ∙ (d − ) − A′s ∙ |σs | ∙ ( − d′ ) 2 2 500 500 ) − 628 ∙ 400 ∙ ( = 1571 ∙ 400 ∙ (460 − − 40) 2 2 = 79 kNm NS A teherbírási középpont geometriai középponttól mért távolsága: M , , 79 kNm t= = = 32 mm N , 2480 kN A teherbírási középpont távolsága a húzott vasak súlyvonalától: h 500 c= −a−t= − 40 − 32 = 178 mm 2 2 h Szimmetrikus vasalás esetén értelemszerűen t=0 és c = − a 2 4.3. Az 1‐es jelű pont számítása (maximális nyomóerőhöz tartozó pont) M Rd 1 0 NRd,1 = 2480 kN 4.4. A 2‐es jelű pont számítása (maximális nyomatékhoz tartozó pont) xC xC 0 xC 0 C 0 d 0,493 460 mm 227 mm Vetületi egyenlet: N Rd 2 N c N s ' N s b xC 0 f cd A'S f ' yd AS f yd N Rd 2 300 227 10,67 628 434,78 1571 434,78 317 kN Szimmetrikus vasalás esetén a betonacélokhoz tartozó tagok kiesnek az egyenletből. Nyomatéki egyenlet a teherbírási középpontra: h x M Rd 2 b xC 0 f cd C 0 t AS f yd c A'S f ' yd z c 2 2 500mm 227 M Rd 2 300mm 227mm 10,67 N / mm2 32 2 2 2 2 2 1571mm 434,78 N / mm 178 628mm 434,78 N / mm 420 178mm M Rd 2 310 kNm
TARTÓSZERKEZETEK I.
-24-
a a
d'
z c
t d h
NS'
NC
d'
z xc0 c
t d h
NS NC
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
NS'
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 4.5. A 3‐as jelű pont számítása (tiszta hajlítás) N Rd 3 0 Vetületi egyenlet (nyomott betonzóna magasságának számítása): xc ∙ b ∙ fcd + A′s ∙ fyd − As ∙ fyd = 0 As ∙ fyd − As ′ ∙ fyd 1571 ∙ 434,78 − 628 ∙ 434,78 = = 128 mm xc = 300 ∙ 10,67 b ∙ fcd xc = 128 mm < xC 0 C 0 d 0,493 460mm 227 mm , vagyis a húzott oldali betonacélok megfolynak. Nyomatéki egyenlet a teherbírási középpontra: h x M Rd 3 b xC f cd C t AS f yd c A'S f ' yd z c 2 2 500 128 32 1571 434,78 178 628 434,78420 178 M Rd 2 300 128 10,67 2 2 M Rd 2 277 kNm Szimmetrikus vasalás esetén xc=0 és a betonhoz tartozó tag kiesik a nyomatéki egyenletből. 4.6. Ellenőrizzük az „x” síkban ható nyomóerőre a keresztmetszetet! N Ed 250 kN ; eEd 300 mm N M Ed N Ed eEd 250 kN 0,3m 75kNm 2500 kN Mivel az N‐M koordináta‐rendszerben 1 0 kNm; 2480 kN felvett (NEd;MEd) pont a teherbírási vonalon belül esik, a keresztmetszet 2000 kN erre a terhelési esetre megfelel.
1500 kN
1000 kN
500 kN 75 kNm; 250 kN
100 kNm
200 kNm
2 3
310 kNm; 317 kN
300 kNm 400 kNm 277 kNm; 0 kN
M
TARTÓSZERKEZETEK I.
-25-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék Az N Ed 300 kN erőhöz tartozó nyomaték meghatározása a teherbírási vonalon: Háromszögek hasonlóságából: MRd,2 500 kN x MRd,2 − MRd,3 2 310 kNm; 317 kN = NRd,2 75 kNm; 250 kN NEd x NEd NRd,2 100 kNm 200 kNm 300 kNm 400 kNm MRd,2 − MRd,3 3 277 kNm; 0 kN x= ∙ NEd NRd,2 MRd,3 M −M 310−277 ∙ 250 + 277 = 303 kNm > MEd = 75 kNm MRd = x + MRd,3 = Rd,2 Rd,3 ∙ NEd + MRd,3 = NRd,2
317
megfelel 4.7. Határozzuk meg az N Ed 250 kN erőhöz tartozó határkülpontosságot a közelítő teherbírási vonal alapján! M Rd 303kNm M 303 106 Nmm eRd Rd 1212mm eEd 300mm N Ed 250 103 N
TARTÓSZERKEZETEK I.
-26-
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)
M
Széchenyi István Egyetem Szerkezetépítési és Geotechnikai Tanszék 4.8. Határozzuk meg az eEd 300mm külpontossághoz tartozó határerőt a közelítő teherbírási vonal alapján! MRd NRd ∙ eEd tan α = = = eEd = 0,3 NRd NRd α 16,7° (az egyenes függőleges tengellyel bezárt szöge) MRd,2 310 tan β = = = 0,98 NRd,2 317 β 44° Mivel α , tudjuk, hogy az egyenes a felső részen metszi a teherbírási vonalat. Ezt egy már megrajzolt teherbírási vonalon szerkesztéssel (külön számítás nélkül) is könnyen megállapíthatjuk, pl. ha összekötjük az origót a már meglévő (NEd, MEd) ponttal, hiszen ebben az esetben is az eEd‐t jelentő egyenest rajzoljuk. MRd = NRd ∙ eEd MRd másképpen felírva (teherbírási vonal alapján): MRd = MRd,2 − x Háromszögek hasonlóságából: x MRd,2 = NRd NRd,2 NRd,1 NRd,2 310 MRd,2 = (NRd − 317) ∙ = 0,1433 NRd − 45,4 2480 − 317 NRd,1 NRd,2 = MRd,2 − x = 310 − (0,1433 NRd − 45,4) = −0,1433 NRd + 355,4
x = (NRd
NRd,2 ) ∙
MRd és MRd = NRd ∙ eEd = 0,3 NRd így 0,3 NRd = −0,1433 NRd + 355,4 = > =
1
0 kNm; 2480 kN
NRd,1
MRd
x MRd,2
NRd NRd,2
TARTÓSZERKEZETEK I.
-27-
ß
75 kNm; 250 kN
2
310 kNm; 317 kN
Nyomott oszlopok számítása (mintapéldák)