Nyomott - hajlított fagerenda szilárdsági méretezése ~ egy régi - új megoldás Már régóta foglalkozom erőtani problémákkal, ám nagy meglepetésemre a minap egy olyan érdekes feladat - megoldást találtam, amilyet még nem láttam. Lelőhelye: [ 1 ], amely a vizsgált faszerkezetek statikai / szilárdságtani méretezésével, illetve ellenőrzésével is behatóbban foglalkozik. Németek… A feladatnak nem a mechanikai oldala, hanem a megoldás számszerű végrehajtásának a módja lepett meg. Az eredeti feladatnak itt csak egy részét vizsgáljuk meg, némiképpen megváltoztatott jelölésekkel. A feladat: Egy fa tetőtartó l = 4,50 m hosszú felső övrúdjában P = 15000 kp nagyságú nyomóerő ébred. A téglalap keresztmetszetű övrúd közepén elhelyezett szelemen a rúdra merőlegesen G = 1600 kp nagyságú erővel hat. A faanyag hajlításra megengedett feszültsége: σmeg = 100 kp / cm2 nagyságú. Határozzuk meg a csuklós kéttámaszú tartónak tekintett övrúd b és h keresztmetszeti méreteit! A megoldás: A megoldás az elsőrendű elméleten alapul, azaz a nyomóerőnek a tartó alakváltozásán keresztül a hajlítónyomaték lefutására gyakorolt hatását figyelmen kívül hagyjuk. Ekkor a számítás alapképlete:
max meg ;
(1)
majd az elemi Szilárdságtan tanítása szerint – [ 2 ] – :
max
P M max . F K
(2)
Továbbá:
F b h,
(3)
b h2 K , 6
(4)
vagy ( 3 ) és ( 4 ) szerint:
h K F . 6
(5)
Most ( 2 ) és ( 5 ) - tel:
max
P 6 M max , F F h
majd ( 1 ) és ( 6 ) - tal:
(6)
2
P 6 M max meg . F F h
(7)
A mondott kéttámaszú tartóra:
M max
Gl , 4
(8)
számszerűen:
M max
1600 kp 450 cm 180000 kpcm. 4
( 7 ) - tel és az ismert számadatokkal: 15000 kp 6 180000 kpcm kp 100 2 . 2 3 F (cm ) F h (cm ) cm
(a)
(b)
Határesetben az egyenlőséget véve ( b ) - ben:
15000 kp 6 180000 kpcm kp 100 . F (cm 2 ) F h (cm 3 ) cm 2
(c)
Most már csak a számértékekkel, ( c ) átalakítása után:
150 10800 1. F F h
(d)
A ( d ) egyenletet próbálgatással oldjuk meg, különböző F keresztmetszeti terület adatok felvételével. 1.) Legyen F1 = 300 cm2 ! Ekkor ( d ) - vel: 150 10800 1 h1 72 (cm) : sok! 300 300 h 2.) Legyen F2 = 400 cm2 ! Ekkor ( d ) - vel:
150 10800 1 h 2 43, 2 (cm) 43 ( cm ) : sok! 400 400 h 3.) Legyen F3 = 500 cm2 ! Ekkor ( d ) - vel: 150 10800 1 h 3 30,86 (cm) 31 ( cm ) : jó! 500 500 h Tehát: h > h3, azaz
h 31 cm.
(e)
3
Most ( 3 ) - ból, ( e ) - vel is: F 500 cm 2 b3 3 16,13 cm 17 cm, h 31 cm tehát b > b3, azaz
b 17 cm.
(f)
A keresztmetszeti terület ( 3 ), ( e ) és ( f ) - fel:
F 17 cm 31 cm 527 cm 2 .
(g)
Ellenőrzés a ( b ) képlettel:
15000 kp 6 180000 kpcm kp kp kp kp 28, 46 66,11 94,57 100 : jó! 527 cm 2 527 cm 2 31 cm cm 2 cm 2 cm 2 cm 2 Tehát a 17 / 31 cm keresztmetszetű gerenda megfelel az övrúdhoz. Ezzel a feladatot megoldottuk.
Megjegyzések: M1. A ma már nemigen alkalmazott kp ( kilopond ) mértékegység származtatása:
1 kp 1 kg 9,81
m m 10 kg 10 N. s2 s2
Azért vettük ezt most elő, mert a régebbi könyvekben ez az erő - mértékegység még sűrűn előfordul. Nem árt néha az ilyen gyakorlás sem. M2. Hogy mi a „sok” és mi a „jó”, azt az adottságok / lehetőségek figyelembe vételével kell eldönteni. M3. A fenti eredmények megfelelnek a fűrészelt gerendákra általában kirótt ~ F 100 cm , valamint 2
~ 1
h 2 b
(*)
( ** )
feltételeknek is, bár ez itt nem volt követelmény. M4. Javasoljuk, hogy az Olvasó készítsen magának értelmező / magyarázó vázlatrajzot! M5. Most nézzük meg egy kicsit általánosabban – paraméteresen –, mit is csináltunk!
4
Induljunk ki a ( 7 ) összefüggésből!
P 6 M max meg . F F h
(7)
Átalakításokkal:
meg h
P 6 M max ; F F h
6 M max 6 M max , meg F P P F meg F
tehát
h
6 M max . meg F P
(9)
A ( 9 ) képletet úgy alkalmazzuk, hogy F - et ( 9 ) - ben változtatjuk / léptetjük, pl. ( * ) figyelembe vételével; az n - edik lépés után, felfelé kerekítéssel:
h hn
6 M max . meg Fn P
( 10 )
Most ( 3 ) - mal is:
Fn b n h b n
Fn ; h
( 11 )
majd ( 11 ) - ből felfelé kerekítéssel:
b bn .
( 12 )
Végül a biztonság és a célszerűség kedvéért a kapott b és h értékekkel ellenőrizzük ( 7 ) és ( ** ) teljesülését. M6. Azért érdekes számunkra a fenti számítási mód, mert az idők során más gyakorlati eljárásmódokhoz szoktunk hozzá. Ilyenek voltak például az alábbiak. Az ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) képletekkel kapjuk, hogy
6 M max P meg . bh b h2
( 13 )
5
Határesetben az egyenlőséget véve:
P 6 M max meg . b h b h2
( 14 )
1.) eset: felvesszük b értékét. Rendezve ( 14 ) - et:
P h 6 M max meg h 2 ; b b P 6 M max h h2; meg b meg b
h2
P meg b
h
6 M max 0. meg b
( 15 )
A másodfokú egyenlet ismert megoldóképletét alkalmazva:
6 M P max 4 1 meg b meg b meg b P h 2 1 2 meg b 2
P
6 M P max 2 b b ; meg meg 2
( 16 ) érvényesítve a h>0 feltételt, ( 16 ) és ( 17 ) - tel kapjuk:
( 17 )
6 M P max h szükséges . 2 meg b 2 meg b meg b 2
P
( 18 )
A szilárdsági méretezési feltétel ekkor – vesd össze ( 13 ) - mal! – :
h h szükséges . 2.) eset: felvesszük h értékét. Rendezve ( 14 ) - et:
P 6 M max meg b; h h2
( 19 )
6
bszükséges
P meg h
6 M max . meg h 2
( 20 )
A szilárdsági méretezési feltétel ekkor – vesd össze ( 13 ) - mal! – :
b bszükséges .
( 21 )
Úgy tűnik, hogy az [ 1 ] - ből vett fokozatosan közelítő eljárás jóval egyszerűbb és elegánsabb, mint a bemutatott egyéb megoldási módok. Ráadásul a számtani alapműveleteken kívül nem is igényel mást, azaz „gyalog” is megy. Bizonyára nem véletlen, hogy reprint kiadásban újra megjelentették [ 1 ] - et. Az innen is adódó fontos tanulság: régi könyv – nem rossz könyv. M7. A címben is szereplő „fagerenda” itt csak azt a következményt vonja maga után, hogy a vizsgált tartó keresztmetszete derékszögű négyszög alakú.
Irodalom: [ 1 ] – Eduard Schmitt ~ Theodor Landsberg: Dachstuhl - konstruktionen und Daecher Verlag von Arnold Bergstraesser, Stuttgart, 1897., illetve Reprint – Verlag – Leipzig [ 2 ] – Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2010. július 4.
