A hajlított fagerenda törőnyomatékának számításáról I. rész Bevezetés Tanultuk, hogy a faanyagnak sajátos tulajdonságai vannak; a faanyag: ~ inhomogén, ~ anizotróp, ~ fahibákat tartalmaz, ~ tulajdonságai függnek a nedvességtartalomtól, stb. Ez azt is jelenti, hogy ember legyen a talpán, aki elő tud állni egy használható, ámde nem túl bonyolult elmélettel, ill. szilárdságtani számítási modellel. Persze, sokan tettek erre kísérletet, több - kevesebb sikerrel. Nem elhanyagolhatóak azonban az ízlésbeli szempontok sem: az egyik modell valamiért közelebb áll hozzánk, mint a másik. Bár ilyenekről nem szokás beszélni, tagadhatatlan, hogy a jelenség létezik. Ma, a számítógépes világban talán könnyebben hagyják veszendőbe menni a régebbi idők „találmányait”, hiszen számítógéppel szinte minden megy. Talán egyfajta hagyományőrzés, örökségmentés lehet az is, amivel az elkövetkezendő egy - két dolgozatban foglalkozni fogunk: régi modellekkel ismerkedünk meg, szerzünk velük tapasztalatokat. A mottó: Régi modell – nem rossz modell! A Rosˇ ~ Thunell modell A faanyag húzó - nyomó diagramja a kísérletek szerint sajátos – ld. 1. ábra! – [ 1 ].
„A”: arányossági határ.
1. ábra Ez azt is jelenti, hogy a hajlított tartóban a σ - feszültségek eloszlása jelentősen eltér a Bernoulli ~ Navier - modellel számíthatótól. Egy sikeresnek is mondható, a B. ~ N. - től eltérő modell: a R. ~ T. - modell. Ezt és a vele végzett számítást az alábbiakban ismertetjük – v. ö.: [ 2 ]!
2
A modellalkotás egyik fő lépése a σ - ε diagram idealizálása – ld. 2. ábra!
2. ábra
3. ábra
Ennek mibenléte az 1. és 2. ábra összehasonlításával adódik. A jelöléseknél a „h” index a húzásra, az „ny” index a nyomásra, a „B” index a törésre utal. A modellalkotás második fontos lépése a sík keresztmetszetek elvének kimondása. A modellalkotás harmadik fontos lépése a méretek változatlansága elvének kimondása. Ahogyan az a 3. ábráról is látható – [ 3 ] – , a tönkremenetelig való terhelés folyamán a nyomott zóna jelentősen roncsolódik, így az utóbbi lépés jórészt munka - hipotézis. A 3. ábra egyes részeinek magyarázata: ~ 1: az arányossági határon belüli működés sík szerinti σ - eloszlás ( B. ~ N. modell ); ~ 2: működés a nyomott övben fellépő gyűrődések után, a törés kezdete már nem sík szerinti a σ - eloszlás; ~ 3: törés a húzott szálak szakadása miatt nagyon nem sík szerinti a σ - eloszlás. Most fogalmazzuk meg feladatunkat! Adott: h ,B ; ny,B ; h ; ny ; 1. Keresett: M törő . Itt M törő : a tiszta hajlítással törésig terhelt gerenda hajlítónyomatékának a modell által szolgáltatott elméleti értéke. Meghatározásához ismert statikai és geometriai tényeket használunk fel. A számításokat részletezzük, bár azok eléggé hosszadalmasak. Ezt azért is tesszük, hogy bemutassuk, mennyire egyszerűen adódnak az egyébként akár riasztónak is tűnhető eredmények. Sajnáljuk, hogy a bevezető jellegű szak - és tankönyvek sokszor nem élnek ezzel a lehetőséggel.
3
A számítás megkezdése előtt vessünk egy pillantást a 4. ábrára – [ 4 ] – , ahol a téglalap keresztmetszetű hajlított fagerenda hajlítófeszültség - eloszlási ábráit ábrázolták, Bach és Baumann – [ 5 ] – kísérleteire támaszkodva!
4. ábra Az ábrán megfigyelhető, hogy ~ a semleges tengely egyre jobban eltolódik a húzott öv felé, a növekvő hajlító terhelésnek megfelelően ( I, II, III ); ~ a Navier - képlettel számított, a tőnyomatéknak megfelelő szélsőszál - feszültségek ( IV ) közül a nyomott oldali abszolút értéke nagyobb, a húzott oldalié kisebb, mint a megfelelő mérési eredmények. A R. ~ T. - modell szerinti számításhoz tekintsük az 5. ábrát! Itt N - nel a nyomott, H - val a húzott öv vízszintes részeredőjét jelöltük. Az egyensúly egyik feltétele ( vetületi egyenlet ):
H N.
(1)
A húzóerő nagysága az 5. ábra szerint:
1 H h,B h 3 b; 2
(2)
a nyomóerő nagysága:
1 h N ny,B h1 b ny,B h 2 b ny,B b h1 2 . 2 2 Most ( 1 ), ( 2 ) és ( 3 ) - mal:
(3)
4
5. ábra
1 h h,B h 3 b ny,B b h1 2 . 2 2
(4)
Rendezve ( 4 ) - et:
h3
ny,B h,B
2 h1 h 2 .
(5)
Bevezetve az
m
ny,B h ,B
(6)
viszonyszámot, ( 5 ) és ( 6 ) - tal kapjuk, hogy
h 3 m 2 h 1 h 2 .
(7) A ( 7 ) egyenletben három ismeretlen van, ezért még két másik egyenletre van szükség, hogy dolgozni tudjunk vele. Az első az 5. ábra szerint:
ny,B h2
h,B h3
;
most ( 6 ) és ( 8 ) - cal:
(8)
5
h2
ny,B
h3 m h3.
h,B
(9)
Majd ( 7 ) és ( 9 ) - cel:
h 3 m 2 h1 m h 3 , innen
1 m 2 h1 h3 . 2 m
( 10 )
A második segédegyenlet:
h1 h 2 h 3 h.
( 11 )
Most ( 9 ), ( 10 ), ( 11 ) - gyel:
1 m 2 h 3 m h 3 h 3 h, 2 m 1 m 2 h 3 m 1 h; 2 m 1 m 2 2 m 2 2 m h3 h; 2 m 1 2 m m2 h3 h; 2 m
1 m
2
h3
2 m
h,
innen
h3
2 m
1 m
2
h.
( 12 )
Most ( 9 ) és ( 12 ) - vel:
h2
2 m2
1 m
2
h.
Majd ( 10 ) és ( 12 ) - vel:
1 m 1 m 1 m 2 2 m 1 m 2 1 m h1 h h h h, 2 2 m 1 m 2 1 m 1 m 1 m 1 m
azaz
( 13 )
6
h1
1 m h. 1 m
( 14 )
A semleges tengely eltolódása: 2 h h 2 m h 4 m h 1 m 4 m e h3 h 1 2 2 1 m 2 2 1 m2 2 1 m 2 2 2 h 1 2 m m 2 4 m h 1 2 m m 2 h 1 m h 1 m , 2 2 2 2 2 2 2 1 m 1 m 1 m 1 m tehát
h 1 m e . 2 1 m 2
A szélső szálakban ébredő fajlagos hosszváltozások nagyságának viszonyára az 5. ábra alapján felírhatjuk, hogy
ny h
h h3 h 1; h3 h3
( 15 )
most ( 12 ) és ( 15 ) - tel:
ny h
1 m
2
2 m
1 m 2 m 2
1
2 m
1 2 m m2 2 m 1 m2 , 2 m 2 m
azaz
ny
1 m 2 . h 2 m
( 16 )
Miután már ismerjük a feszültségi ábra méreteit, jöjjön a törőnyomaték számítása! A belső erőrendszer eredője erőpár, melynek forgatónyomatéka: M. Értéke ( nyomatéki egyenlet ):
M H t h t ny .
( 17 )
A húzóerő hatásvonalának távolsága a semleges tengelytől – ld. 5. ábra! – :
2 t h h 3. 3
( 18 )
A nyomóerő hatásvonalának távolsága a semleges tengelytől, nyomatéki egyenlettel:
h 1 2 t ny N ny,B h1 b h 2 1 ny,B h 2 b h 2 ; 2 2 3
( 19 )
7
most ( 3 ) és ( 19 ) - cel:
h 2 h1 h 22 t ny ny,B b h1 ny,B b h1 h 2 ; innen 2 2 3
h1 h 22 2 h1 h 2 h1 2 h 2 h1 h 22 3 h 2 h h 2 h 2 2 3 1 2 1 2 3 t ny , h2 2 h h 3 2 h h 1 2 1 2 h1 2 tehát
t ny
3 h1 2 h 2 h1 2 h 22 3 2 h1 h 2
.
( 20 )
Most ( 18 ) és ( 20 ) - szal:
3 h1 2 h 2 h1 2 h 22 2 t h t ny h 3 . 3 3 2 h1 h 2
( 21 )
Ezután írjuk fel ( 21 ) jobb oldalát ( 12 ), ( 13 ) és ( 14 ) - gyel! Részletezve:
2 2 2 m 4 m h3 h h ; 2 3 3 1 m 2 3 1 m
( 22 )
1 m1 m m 2 1 m m2 2 h1 h 2 2 h 2 h 2 h 2 2 1 m 1 m 1 m 2 h
1 m 2 m 2
1 m
2
3 2 h1 h 2 6 h
2 h
1
1 m
2
1
1 m
2
;
;
4 m2 1 m 1 m 1 m 2 h 2 h1 2 h h h 2 2 2 1 m 1 m 1 m 1 m 4 m 2 1 m 2 3 m 2 1 h h ; 2 2 1 m 1 m 2 m2
( 23 )
8
ezzel
1 m1 3 m 2 1 m 3 m 2 1 2 3 h1 2 h 2 h1 3 hh 3 h ; 2 3 1 m 1 m 1 m 2 m2 m4 2 2 2 h2 2 h 8 h ; 2 4 1 m 1 m
( 24 )
2
( 25 )
majd ( 24 ) és ( 25 ) - tel:
1 m 1 3 m2 m4 2 3 h1 2 h 2 h1 2 h 3 h 8 h . 3 4 1 m 1 m 2 2
2
( 26 )
Ezután ( 21 ), ( 22 ), ( 23 ), ( 24 ), ( 25 ) képletekkel:
1 m 1 3 m 2 m4 2 3 h 8 h 3 4 1 m 1 m 2
4 m t h t ny h 2 3 1 m
6 h
1
1 m
2
2 4 m h 31 m 1 3 m 8 m 4 h , 2 2 3 1 m 1 m 6 1 m
tehát 2 4 m h 3 1 m 1 3 m 8 m4 t h t ny h . 2 2 3 1 m 1 m 6 1 m
( 27 )
Most ( 2 ) és ( 12 ) - vel:
1 1 2 m m H h ,B h 3 b h,B b h h ,B b h . 2 2 2 2 1 m 1 m Majd ( 17 ), ( 27 ) és ( 28 ) - cal:
( 28 )
9
3 1 m 1 3 m 2 4 m h 8 m 4 M h,B b h h 2 2 2 3 6 1 m 1 m 1 m 1 m 8 m 8 m 4 3 1 m 1 m 1 3 m 2 h2 m h,B b 2 6 1 m2 1 m m
h2 m h,B b 3 1 m 2 1 3 m 2 8 m 8 m 4 . 4 6 1 m ( 29 ) Alakítsuk át a zárójeles kifejezést! 3 1 m 2 1 3 m 2 3 1 m 2 3 m 2 3 m 4 3 1 2 m 2 3 m 4
3 6 m2 9 m4 , 3 1 m 2 1 3 m 2 8 m 8 m 4 3 6 m 2 9 m 4 8 m 8 m 4 3 8 m 6 m2 m4 . Ezzel ( 29 ) az alábbi alakot ölti: 2 4 b h 2 m 3 8 m 6 m m M h,B . 4 6 1 m
( 30 )
Most fejtsük ki az alábbi szorzatot!
3 m 1 m 3 m 1 3 m 3 m 2 m 3 3
3 m 9 m 3 m 2 9 m 2 3 m3 3 m3 m 4 3 8 m 6 m 2 m 4 . Most ( 30 ) és ( 31 ) - gyel: b h2 m b h2 3 m 3 M h,B 3 m 1 m m , h,B 6 1 m4 6 1 m
( 31 )
tehát
b h2 3 m M h,B m . 6 1 m
( 32 )
Más alakban, ( 6 ) és ( 32 ) - vel:
b h 2 3 m M ny,B . 6 1 m
( 33 )
10
Megjegyzések: M1. Meglepő, hogy a magyar nyelvű szakirodalomban nem, vagy csak elvétve található meg a ( 32 ) és ( 33 ) képlet - alak. Furcsa, hogy [ 1 ], [ 2 ] - ben is a sokkal bonyolultabb ( 30 ) szerepel. M2. Úgy tűnik, hogy a [ 6 ] műben a 342. oldalon tesznek egy utalást a fentiekre, melynek nagyon valószínű forrása valamely – ott is hivatkozott – szovjet munka. Sajnos, sajtóhibák teszik szinte felismerhetetlenné az eredményeket. Ugyanis a szilárdságtanból ismert „rendes” keresztmetszeti tényező, téglalap keresztmetszetre:
b h2 K . 6
( 34 )
Most ( 33 ) és ( 34 ) - gyel:
M ny,B K
3 m ny,B K , 1 m
( 35 )
ahol bevezettük a
3 m 1 m
( 36 )
rövidítő jelölést. Ezután ( 35 ) - ből:
ny,B
M , K
( 37 )
ami egyezik a [ 6 ] - beli képlettel. Sajnos, nem örülhetünk sokáig, mert a következő sorokban jönnek a sajtóhibák; az ezekkel terhelt képletek helyett az alábbiak veendők. A ( 36 ) és a ( 6 ) képletek szerint:
3 m 1 m
h,B
ny,B m
3 1
ny,B h,B ny,B h,B
h,B 1 ny,B , h,B 1 ny,B 3
.
M3. ( 32 ), ill. ( 33 ) alapján feladatunkat úgy is megfogalmazhattuk volna, hogy Adott: b, h; σny,B , σh,B . Keresett: Mtörő.
( 38 )
( 39 )
11
Önállóan megoldandó feladat Határozza meg a semleges tengely távolságát a nyomott szélső szálaktól!
Összegzés A fentiekben összefoglaltuk a címbeli feladattal kapcsolatos főbb tudnivalókat, részletesen levezettük a szakirodalomban is felkereshető eredményeket. Megadtuk az általunk is elért főbb szakirodalmi forrásokat, rámutatva azok egyes hiányosságaira is.
Irodalom:
[ 1 ] – Rónai Ferenc ~ Somfalvi György: Fa tartószerkezetek Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1982. [ 2 ] – Franz Kollmann: Technologie des Holzes und der Holzwerkstoffe Zweite Auflage, Erster Band, Springer - Verlag, Berlin, 1951. [ 3 ] – V. A. Ivanov ~ V. Z. Klimenko: Konsztrukcii iz dereva i plasztmassz „Viscsa Skola”, Kijev, 1983. [ 4 ] – Kovács Illés: Faanyagismerettan Mezőgazdasági Kiadó, Budapest, 1979. [ 5 ] – C. Bach ~ R. Baumann: Elastizitaet und Festigkeit 9. kiadás, Verlag von Julius Springer, Berlin, 1924. [ 6 ] – Szerk.: Lugosi Armand: Faipari kézikönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2009. október 3.
