Az optimális csatorna - keresztmetszet feladatáról Ez a hidraulikai probléma már az egyetemi tanulmányok során is érdekesnek tűnt. Most valamiért újra előjött. Talán azért, mert a vizsgán probléma adódott ezzel kap csolatban; talán azért is, mert a szélsőérték - feladatok sok morfondíroznivalót tarto gathatnak. Az biztos, hogy az ismétlés / emlékeztetés sosem árthat. Az első feladat felvezetéshez tekintsük az 1. ábrát is!
1. ábra Forrása: [ 1 ]. Itt egy szimmetrikus / egyenlőszárú trapéz alakú vízszállító csatorna keresztmetszetét szemlélhetjük. Jelölések: b: a csatorna fenékszélessége ( m ); h: a vízmélység ( m ); α: a csatorna oldalfalainak hajlásszöge ( fok ); ρ: a rézsűhajlás ( − ); A: a csatorna - keresztmetszet nedvesített területe ( m2 ); P: a csatorna - keresztmetszet nedvesített kerülete ( m ). Az alapvető gondolatmenet az alábbi. Egy csatorna vízhozama:
Q = A ⋅ vátl ,
(1)
ahol: Q: a vízhozam ( m3/s ) vátl: a víz átlagos sebessége a csatornában ( m / s ). A mederalak hidraulikailag akkor kedvező, ha a lehető legnagyobb vízhozamot képes biztosítani. Minthogy a vízhozamot az elszivárgás is csökkenti, ez pedig a meder keresztmetszet nedvesített kerületével arányos, így az a mederalak lesz a kedvező, amelynél adott A mellett P a lehető legkisebb. Ez a szélsőérték - feladat lényege. Emellett a nagyobb nedvesített kerület nagyobb súrlódást, vagyis a mozgást akadá lyozó erőt is jelent. Eszerint a relatíve kis P kétféleképpen is támogatja a nagy Q - t.
2
A megoldás során felhasználjuk még a [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ] munkákban olvasottakat, valamint egyetemi tanulmányaink egy - egy emlékét is. Megoldás A nedvesített szelvény területe az 1. ábra jelöléseivel:
A=
b + ( b + 2 ⋅ h ⋅ ctgα ) 2
⋅ h = h ⋅ ( b + h ⋅ ctgα ) = b ⋅ h + h 2 ⋅ ctgα ,
azaz:
A = b ⋅ h + h 2 ⋅ ctgα .
(2)
Átalakítással:
b A = h 2 ⋅ + ctgα . h
(3)
Bevezetve a
b , h ρ = ctgα
β=
(4)
rövidítő jelöléseket, ( 3 ) és ( 4 ) - gyel kapjuk, hogy
A = h2 ⋅ (β + ρ) .
(5)
A nedvesített kerület számítása:
P = b + 2 ⋅ h2 + ( h ⋅ ctgα ) = b + 2 ⋅ h ⋅ 1 + ctg 2 α = b + 2 ⋅ h ⋅ 1 + ρ2 , 2
tehát:
P = b + 2 ⋅ h ⋅ 1 + ρ2 .
(6)
Bevezetve a
ρ ' = 2 ⋅ 1 + ρ2
(7)
újabb rövidítő jelölést, ( 6 ) és ( 7 ) - tel:
P = b + h ⋅ρ ' .
Ismét kiemeléssel:
(8)
3
b P = h ⋅ + ρ ' . h
(9)
Most ( 4 / 1 ) és ( 9 ) - cel:
P = h ⋅ ( β + ρ ') .
( 10 )
Az eddigi eredményeket összefoglalva, ( 5 ) és ( 10 ) szerint:
A = h 2 ⋅ ( β + ρ ) , P = h ⋅ ( β + ρ ') .
( 11 )
Most fejezzük ki h - t ( 11 / 1 ) - ből! Ekkor:
h=
A . β+ρ
( 12 )
Majd ( 12 ) és ( 11 / 2 ) - vel:
P=
A −1/2 ⋅ (β + ρ ') = A ⋅ (β + ρ ) ⋅ (β + ρ ') , β+ρ
azaz:
P ( β; A, ρ ) = A ⋅ ( β + ρ ' ) ⋅ ( β + ρ )
−1/2
.
( 13 )
Minthogy a nedvesített keresztmetszetet és a rézsűhajlást adottnak / rögzítettnek tekintjük, így a nedvesített kerület csak a β viszonyszám függvénye; ezért P szélső értékének feltétele:
dP =0. dβ
( 14 )
A szorzat deriválási szabálya szerint, ( 13 ) és ( 14 ) - gyel is:
dP ( β ) dβ
= A ⋅ {1 ⋅ ( β + ρ )
innen:
1 1 β + ρ' = ⋅ β+ρ 2 β+ρ
(
)
3
→2=
−1/2
−3/2 1 + ( β + ρ ') ⋅ − ⋅ ( β + ρ ) = 0 , 2
β + ρ' → 2 ⋅ ( β + ρ ) = β + ρ ' → 2 ⋅β + 2 ⋅ρ = β + ρ ' → β = ρ '− 2 ⋅ ρ , β+ρ
4
tehát a b és h méretek optimális aránya:
βopt = ρ '− 2 ⋅ρ .
( 15 )
Ezután ( 4 / 2 ), ( 7 ) és ( 15 ) - tel:
βopt = ρ '− 2 ⋅ρ = 2 ⋅ 1 + ρ2 − 2 ⋅ρ = 2 ⋅ tehát:
βopt =
b = 2⋅ h opt
(
βopt =
b = 2⋅ h opt
(
(
) (
1 + ρ2 − ρ = 2 ⋅
)
1 + ctg 2α − ctgα ,
)
2 1 + ctg α − ctgα . 1 + ρ2 − ρ ,
)
( 16 )
Azonos átalakításokkal:
(
)
1 2 1 + ctg 2 α − ctgα = 2 ⋅ ctgα ⋅ 1 + − 1 = 2 tgα ⋅ ctg α cos α 1 − cos α α 1 = 2⋅ − = 2 ⋅ tg , = 2⋅ sin α 2 sin α sin α
βopt = 2 ⋅
(
)
1 + tg 2 α − 1 =
tehát:
βopt = βopt
b 1 − cos α = 2⋅ h opt sin α
b α = = 2 ⋅ tg . h opt 2
,
( 17 )
A ( 16 ), ( 17 ) képletek különböző alakokban fejezik ki az optimális méretek arányának a rézsű hajlásától való függését. Most tekintsük a 2. ábrát! ( Ennél kicseréltük az eredeti vízmélység - jelölést h - ra, az eredeti hajlásszög - jelölést pedig α - ra. ) Itt azt látjuk, hogy ha a vízfelszín közepén felvett O pontból h sugarú kört rajzolunk, akkor az adott α hajlásszög esetén megszerkesztett optimális szelvényalakra a fenék és a falak a kör érintői. Ezt fejezi ki a ( 17 / 2 ) képlet is:
b/2 α = tg . 2 h opt
( 17* )
5
h α
2. ábra Forrása: [ 3 ] Most számítsuk ki az optimális bopt fenékméretet, ha a h vízmélységet tekintjük független változónak! Először felírjuk hopt - ot, vagyis az optimális trapézszelvény alakhoz tartozó vízmélységet, a ( 12 ) képlettel:
hopt =
A ; βopt + ρ
majd ( 16 / 1 ) - ből:
βopt + ρ = 2 ⋅
(
( 18 )
)
1 + ρ2 − ρ + ρ = 2 ⋅ 1 + ρ2 − ρ ,
tehát:
βopt + ρ = 2 ⋅ 1 + ρ2 − ρ .
( 19 )
Ezután ( 4 / 2 ) és ( 19 ) - cel:
1 βopt + ρ = 2 ⋅ 1 + ctg 2 α − ctgα = ctgα ⋅ 2 ⋅ 1 + − 1 = 2 ctg α 1 2 cos α 2 − cos α = ⋅ 2 ⋅ 1 + tg 2 α − 1 = − = , tgα sin α sin α sin α
(
tehát:
βopt + ρ =
2 − cos α . sin α
)
( 20 )
6
Most ( 18 ) és ( 20 ) - szal:
hopt =
A A ⋅ sin α = , 2 − cos α 2 − cos α sin α
tehát:
hopt =
A ⋅ sin α . 2 − cos α
( 21 )
Majd ( 2 ) - ből:
A − h 2 ⋅ ctgα A A = b ⋅ h + h ⋅ ctgα → b = = − h ⋅ ctgα , h h 2
tehát:
bopt =
A − hopt ⋅ ctgα . hopt
( 22 )
A ( 21 ) és ( 22 ) képletek megegyeznek [ 3 ] - beli megfelelőikkel. Egyéb képlet - alakok ( 17 ) - ből, ( 21 ) - gyel is:
α , 2 A ⋅ sin α 1 − cos α = 2⋅ ⋅ 2 − cos α sin α
bopt = 2 ⋅ hopt ⋅ tg bopt
.
( 23 )
Az R hidraulikus sugár
R=
A P
( 24 )
szerinti bevezetésével, valamint a ( 11 ) képletekkel is: 2 hopt ⋅ βopt + ρ hopt ρ '− 2 ⋅ρ + ρ ρ '− ρ Ropt = = hopt ⋅ = hopt ⋅ = , ρ '− 2 ⋅ρ + ρ ' 2 ⋅ ( ρ '− ρ ) 2 hopt ⋅ βopt + ρ '
( (
) )
tehát:
Ropt =
hopt 2
.
( 25 )
7
[ 2 ] megfogalmazásával: a hidraulikailag legkedvezőbb szelvényű csatornákra vonatkozóan a hidraulikus sugár a vízmélység felével egyenlő. Végül ( 21 ) és ( 25 ) - tel:
Ropt =
1 A ⋅ sin α ⋅ . 2 2 − cos α
( 26 )
Ez a képlet írja le az optimális hidraulikus sugár kifejezését, a nedvesített szelvény keresztmetszet és a rézsűhajlás adott értéke esetén.
Megjegyzések: M1. Az [ 1 ] internetes anyagban βopt képletében a második 2 - es szorzó már felesleges, a ( 16 / 1 ) képlet tanúsága szerint. M2. A ( 17 ) - ben rögzített trigonometriai azonosság egyszerűen belátható a 3. ábra alapján is:
3. ábra M3. A rézsűhajlás értéke több tényezőnek is függvénye; pl.: a rézsűállékonyságé, a helyigényé, stb. – [ 1 ]. M4. A [ 2 ] és [ 3 ] munkában az ittenitől eltérő levezetéssel jutottak ugyanezen ered ményekhez. Az itteni megoldást – vélhetőleg – az egyetemi tanulmányok emlékei is inspirálták. M5. Létezhet másfajta megközelítése is a szelvény - meghatározás feladatának. Ezt vizsgáljuk meg a következőkben.
8
Egy másik trapézszelvény - meghatározási feladat Az [ 5 ] munkában egy másfajta trapéz - szelvény meghatározásának feladata lett kitűzve. A második feladat felvezetéséhez tekintsük a 4. ábrát is!
4. ábra Adott egy l hosszúságú, trapéz keresztmetszetű árok / kis lejtésű csatorna, melynek anyagi oldalai egyaránt a hosszúságúak. Keressük azt az α hajlásszöget, amelynél az árok / csatorna térfogata maximális. Megoldás Az árok térfogata:
V = A⋅l ,
( 27 )
ahol ~ A: az árok keresztmetszeti területe, ~ l: az árok hossza. Az árok térfogata adott l - nél annál nagyobb, minél nagyobb A. A közvetlen feladat tehát: ~ adott: a, ~ keresett α0 , melyre A (α0 ) = Amax. Az árok A keresztmetszeti területe, a 4. ábra jelöléseivel:
A=
a + (a + 2 ⋅ b) 2
⋅ h = (a + b) ⋅ h ,
tehát:
A = (a + b) ⋅ h .
( 28 )
9
Tovább részletezve:
b = a ⋅ cos α , h = a ⋅ sin α .
( 29 )
Most ( 28 ) és ( 29 ) szerint:
A = ( a + a ⋅ cos α ) ⋅ a ⋅ sin α = a 2 ⋅ (1 + cos α ) ⋅ sin α ,
tehát:
A ( α ) = a 2 ⋅ (1 + cos α ) ⋅ sin α .
( 30 )
A - nak ott lehet szélsőértéke, ahol
dA =0. dα
( 31 )
Elvégezve ( 30 ) deriválását:
dA = a 2 ⋅ ( − sin α ) ⋅ sin α + (1 + cos α ) ⋅ cos α ; dα most ( 31 ) és ( 32 ) - vel:
− sin 2 α + (1 + cos α ) ⋅ cos α = 0 ;
rendezve:
(1 + cos α ) ⋅ cos α = sin 2 α ;
: sin α ⋅ cos α
1 + cos α sin α = ; sin α cos α de a 3. ábráról leolvashatóan:
1 + cos α α = ctg , sin α 2
így az előző sor átírva:
ctg
α = tgα ; 2
majd a
ctg
α α = tg 90 − 2 2
összefüggéssel átírva az előző sort:
( 32 )
10
α tg 90 − = tgα ; 2 innen az argumentumok egyenlősége:
90 −
α 3 = α → 90 = ⋅ α → α = 60 , 2 2
tehát:
α 0 = 60 .
( 33 )
A szélsőérték nagysága ( 30 ) és ( 33 ) - mal:
1 3 3⋅ 3 2 A0 = A α 0 = 60 = a 2 ⋅ 1 + cos 60 ⋅ sin 60 = a 2 ⋅ 1 + ⋅ = ⋅a , 2 2 4
(
)
(
)
tehát:
A0 =
3⋅ 3 2 ⋅a . 4
( 34 )
A szélsőérték fajtája a második deriválttal:
{
}
d 2 A d dA d = = a 2 ⋅ − sin 2 α + cos 2 α + cos α = 2 dα dα dα dα = a 2 ⋅ −2 ⋅ sin α ⋅ cos α + 2 ⋅ cos α ⋅ ( − sin α ) − sin α = = −a 2 ⋅ ( 4 ⋅ sin α ⋅ cos α + sin α ) = − a 2 ⋅ ( 2 ⋅ sin 2 ⋅ α + sin α ) , majd ezzel:
d2A d α2
α= 60
(
)
= − a 2 ⋅ 2 ⋅ sin 2 ⋅ 60 + sin 60 = −2,598 ⋅ a 2 < 0 ,
tehát a szélsőérték maximum. ( 34 ) alapján mondhatjuk, hogy e második feladatra a megoldás: egy szabályos hatszög fele – 5. ábra.
5. ábra
11
Megjegyzések: M1. [ 1 ] - ben mindkét itt vizsgált trapéz - keresztmetszetet – mint lehetőséget – megemlítik. M2. Eddig nemigen foglalkoztunk azzal, hogy a csatorna lejtéssel / eséssel bír, így a függőleges síkban rajzolt trapéz Af területe nem egyezik meg a tényleges A kereszt metszeti területtel – 6. ábra. Valójában a Geometria tanítása szerint:
A = A f ⋅ cos β , amelyből β kis értéke esetén:
A ≅ Af . 6. ábra
Irodalom: [ 1 ] – http://www.gtt.bme.hu/gtt/oktatas/feltoltesek/BMEEOGTSN6/kfm3_meder.pdf [ 2 ] – I. I. Agroszkin ~ G. T. Dmitrijev ~ F. I. Pikalov: Hidraulika Tankönyvkiadó, Budapest, 1952. [ 3 ] – Hjalmar Tallqvist: Lehrbuch der technischen Mechanik II. Helsingfors Actiengesellschaft Lilius & Hertzberg, 1904. [ 4 ] – Ferdinand Wittenbauer: Aufgaben aus der technischen Mechanik, III. Band 3. Auflage, Verlag von Julius Springer, Berlin, 1921. [ 5 ] – George B. Thomas ~ Maurice D. Weir ~ Joel Hass ~ Frank R. Giordano: Thomas - féle KALKULUS, I. kötet Typotex Kiadó, Budapest, 2006.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2012. október 15.
