KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 5. tanításához

Csahóczi Erzsébet – Csatár Katalin – Kovács Csongorné – Érdemes Tankönyvíró

Érdemes Tankönyvíró

Morvai Éva – Széplaki Györgyné – Szeredi Éva

KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 5. tanításához

Kovács Csongorné a Tankönyvesek Országos Szövetségétől 2008-ban elnyerte az „Érdemes Tankönyvíró” kitüntető címet Csatár Katalin a Tankönyvesek Országos Szövetségétől 2011-ben elnyerte az „Érdemes Tankönyvíró” kitüntető címet Illusztrálta FRIED KATALIN LÉTAI MÁRTON SZALÓKI DEZSŐ Alkotószerkesztő CSATÁR KATALIN Szerkesztette ACKERMANN RITA Kapcsolódó kerettanterv EMMI Kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 2. sz. melléklet AP–050834 ISBN 978-963-328-193-2

© Csahóczi Erzsébet – Csatár Katalin – Kovács Csongorné – Morvai Éva – Széplaki Györgyné – Szeredi Éva, 2013 2. kiadás, 2014

A kiadó a kiadói jogot fenntartja. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmiféle formában nem sokszorosítható. Kiadja az APÁCZAI KIADÓ Kft. 9500 Celldömölk, Széchenyi u. 18. Telefon: 95/525-000, fax: 95/525-014 E-mail: [email protected] Internet: www.apaczai.hu Felelős kiadó: Esztergályos Jenő ügyvezető igazgató

Nyomdai előkészítés: Könyv Művek Bt. Terjedelem: 35,02 A/5 ív Tömeg: 678 g

Előszó Ne vágd el azt, amit kibogozhatsz! (Joubert, 19. századi filozófus)

Kedves Kollégák! Könyvünket Joseph Joubert és Varga Tamás szellemében írtuk, vagyis szeretnénk, ha tanulóink gondolkozva, felfedező úton tennének szert matematikai ismereteikre. Mi, a szerzők, legalább 20 éve tanítjuk ezt a korosztályt (is). Azt tapasztaltuk, hogy a játékos felfedeztetés nagy öröm a gyerekek számára, és nincs ennél hatékonyabb módszer. Tudjuk persze, hogy a tanulásnak vannak rögös és fárasztó periódusai is. A játékokkal, a tananyagtartalom játékos feldolgozásával a gyerekek motiválása a célunk. Nagy hangsúlyt fektettünk a matematikai fogalmak szemléletes kialakítására, a tankönyv kidolgozott példái többek között ehhez kívánnak segítséget nyújtani. Feladataink egy része a legalapvetőbb fogalmak és eljárások begyakoroltatását szolgálják. A tankönyv matematikatörténeti érdekességeket is tartalmaz. Az adott témakörrel kapcsolatos internetes kutakodásra is buzdítjuk a gyerekeket.

Könyvünk szerkezetéről Minden témakör 1–3 órás kis egységekből áll, amelyeket bőséges feladatanyag követ. Az egyes tanegységek kidolgozott példákon keresztül mutatják be a legfontosabb ismereteket, melyeket a példák után sárga háttérbe téve meg is fogalmaznak a szerzők. A feladatok sorszámát megkülönböztető jellel láttuk el: 1. Az új ismeretek elsajátítását, megértését igénylő alapfeladat, ezt a diákoknak meg kell tudniuk oldani ahhoz, hogy továbbhaladhassanak. 2. Az új ismeret alkalmazását, a tudás rögzítését, elmélyítését segítő feladat. 3. Többféle ismeret és képesség alkalmazását igénylő feladat. 4. Fejtörők, versenyfeladatok azoknak, akik további érdekes feladatokat szeretnének megoldani. Internettel támogatott feladatok A modellezhető, kivágható feladatokat jelöli ez a piktogram. A fentieken kívül, ha egy-egy részfeladat nehezebb, gondolkodtatóbb a többinél, így jelöljük: 123. A tankönyvhöz Feladatgyűjteményt is készítettünk, mely munkáltató jellegű feladatokat is tartalmaz.

A kézikönyv szerkezetéről A kézikönyvvel, mely szerkezetében követi a tankönyvet, kollégáink munkáját szeretnénk megkönnyíteni. E kézikönyv tartalmazza a tananyag beosztását az adott tanévre, majd minden fejezet óraszámjavaslattal kezdődik. Leírjuk, hogy milyen korábbi ismeretekre építünk, és meddig kell eljutni az adott fejezet feldolgozása során, illetve, hogy mi fogja követni a későbbiekben ezt a témát. Megjelöltük az adott tananyaghoz kapcsolódó feladatok sorszámát, utalva arra, hogy melyek 3

feldolgozása nélkülözhetetlen a továbbhaladáshoz. A feladatok eredményei, illetve azok megoldásai közvetlenül a példák után következnek, a nehezebb feladatoknál azok továbbfejlesztési lehetőségére, általánosítására is utalunk, remélve, hogy ezzel időt takarítunk meg az órákra való felkészüléskor. A módszertani útmutatókat és a tankönyv oldalszámait narancssárga háttérben helyeztük el. A tankönyv fejezeteit Tudáspróba zárja (megoldásuk szintén szerepel a kézikönyvben).

Kiegészítő segédletek Megjelent az ötödik évfolyamos matematikai felmérőfüzet, amely minden témához röpdolgozatokat (A és B csoport), valamint értékelő felmérőket tartalmaz (A és B csoport a kétféle óraszámban tanulók részére). Néhány fejezetben TSZAM (Továbbhaladáshoz Szükséges Alapismeretek Mérése) található. Minden felmérő megoldása és pontozási útmutatója megtalálható a tanári példányban. A tankönyvhöz digitális tananyag is készült, melyet nagy örömmel használnak a gyerekek és a tanárok is. A digitális tananyag segíti a tankönyvi tananyag feldolgozását, alkalmas a tanórai munka támogatására is, és a gyerekek tanári segítség nélkül is tudják használni. A tankönyvcsaládhoz elkészült az évfolyamokra lebontott tanterv is, amely letölthető a kiadó honlapjáról: www.apaczai.hu. Amennyiben könyvünkkel kapcsolatban bármilyen észrevétele van, kérjük, azt juttassa el az Apáczai Kiadónak! Eredményes munkát kívánunk: a Szerzők

4

Kerettanterv

Kerettanterv Bevezető A matematika-kerettanterv a Nemzeti alaptanterv (NAT) 2012 alapelvei szerint készült. A kerettanterv a hagyományosan igényes oktatáson kívül nagy hangsúlyt fektet az alapozó szakaszban (1–6. évfolyam) a felzárkóztatásra, amely hozzájárul az esélyegyenlőtlenség csökkentéséhez is. Továbbá a kerettanterv lehetőséget biztosít a tehetséggondozásra is mind a négy évfolyamon. Így jobban a biztosítható a tanulók egyéni képességeinek fejlesztése. Ezért olyan iskolák számára ajánlott, amelyek az oktatás minőségét és hatékonyságát fontosnak tartják. Az óraszámok a törvényben meghatározott lehetséges számokhoz igazodnak. Évfolyam

5.

6.

7.

8.

Heti óraszám

4

3

3

3

Éves óraszám

144

108

108

108

Célok és feladatok Az általános iskola 5–8. évfolyamán a matematikaoktatás megismerteti a tanulókat az őket körülvevő világ konkrét mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozza a korszerű, gyakorlatban alkalmazható matematikai műveltségüket, és az életkoruknak megfelelő szinten biztosítja a többi tantárgy tanulásához szükséges matematikai ismereteket és eszközöket. Alapvető célunk a gondolkodás képességének folyamatos fejlesztése és a kompetenciák kialakítása. Az általános iskola 5–8. évfolyama egységes rendszert alkot, de – igazodva a gyermeki gondolkodás fejlődéséhez, az életkori sajátosságokhoz – két, pedagógiailag elkülöníthető periódusra tagolódik. Az alapozó szakasz utolsó két évében a tanulók gondolkodása erősen kötődik az érzékelés útján szerzett tapasztalatokhoz, ezért itt az integratív-képi gondolkodás fejlesztése a cél. A 7–8. évfolyamon elkezdődik az elvont fogalmi és elemző gondolkodás kialakítása is. Ez a tanterv a NAT 2012-ben megfogalmazott fejlesztési célokhoz és a kijelölt legfőbb kompetenciaterületekhez kapcsolódó tananyagrendszert tartalmazza a fejlesztésközpontúságot szem előtt tartva. A fejlesztőmunkát a matematikai tevékenységek rendszerébe kell beépíteni. Ezért alapvető fontosságú az alapozó szakaszban a tevékenységek részletes kifejtése, például a mérések, a fogalomalkotást előkészítő játékok, az alapszerkesztések és a geometriai transzformációk tulajdonságainak megtapasztalása. Ezeket egészítik ki a tananyag feldolgozásában megjelenő munkaformák: a páros, illetve csoportmunka, valamint a projektfeladatok. Természetesen az önálló feladatmegoldást, a differenciált munkaformát továbbra is alkalmazzuk. A tevékenységek tárházába tartozik az eszközök használata, különös tekintettel az elektronikus eszközökre, azon belül az oktatási célú honlapokra az interneten. Fejlesztendő a tanulók kommunikációs képessége, saját gondolataik szabatos megfogalmazása szóban és írásban; mások gondolatainak megértése, érvek és ellenérvek logikus használata a vitákban. Az általános iskola felső tagozatán egyre nagyobb szerepet kap az elemző gondolkodás fejlesztése, a problémamegoldások mellett a felvetett kérdések igazságának vagy hamisságának eldöntése, a döntések igazolása. A tanulók legnagyobb része ebben a korban jut el a konkrét gondolkodástól az absztrahálásig. Ezért a legfontosabb cél a konstruktív gondolkodás kialakítása, amelyet a tanulók életkorának megfelelően manipulatív tevékenységek elvégeztetésével, az összefüggések önálló 5

Kerettanterv felfedeztetésével érhetünk el. Az önellenőrzéssel növeljük a tanulók önbizalmát, a változatos módszerekkel, a korosztálynak megfelelő játékos formákkal kis lépéseken keresztül, természetes módon hangoljuk őket a matematika tudományának befogadására. Fontos, hogy a valóságban előforduló problémákra a tanulók meg tudják találni a megfelelő matematikai modellt, azokat helyesen tudják alkalmazni. Ezért nagy hangsúlyt kell fektetnünk a szövegértő, -elemző olvasásra. Ugyanakkor azt is el kell érni, hogy a matematikában tanult ismereteket a tanulók alkalmazni tudják más műveltségi területeken is. Fokozatosan kell kialakítani a matematika szaknyelvének pontos használatát és jelölésrendszerének alkalmazását. Az általános iskolai matematikaoktatás alapvető célja, hogy a megszerzett tudás az élet minden területén, a gyakorlati problémák megoldásában is alkalmazható legyen.

Fejlesztési célok 1. • • •

Tájékozódás Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban

2. • • • • • •

Megismerés Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Az ismeretek rendszerezése Az ismerethordozók használata

3. Az ismeretek alkalmazása 4. Problémakezelés és -megoldás 5. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás 6. • • • •

Akarati, érzelmi, önfejlesztő képességek és együttéléssel kapcsolatos értékek Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás

7. A matematika épülésének elvei Kulcskompetenciák • A matematikai kulcskompetenciák folyamatos fejlesztése: – számlálás, számolás – mennyiségi következtetés, valószínűségi következtetés 6

Kerettanterv

• • • • • • • • •

– becslés, mérés – problémamegoldás, metakogníció – rendszerezés, kombinativitás – deduktív és induktív következtetés A tanulók értelmi képességeinek – logikai készségek, problémamegoldó, helyzetfelismerő képességek – folyamatos fejlesztése A tanulók képzelőerejének, ötletességének fejlesztése A tanulók önellenőrzésének fejlesztése A gyors és helyes döntés képességének kialakítása A problémák egyértelmű és egzakt megfogalmazása, megoldása A tervszerű és célirányos feladatmegoldási készség fejlesztése A kreatív gondolkodás fejlesztése A világról alkotott egyre pontosabb kép kialakítása A tanult ismeretek alkotó alkalmazása más tudományokban, a mindennapi életben

A helyes tanulási szokások, attitűdök kialakítása A tanulók – a számítások, mérések előtt végezzenek becsléseket; – ellenőrizzék a feladatmegoldások helyességét; – a feladatok megoldása előtt készítsenek megoldási tervet; – a geometriai szerkesztések elkészítése előtt készítsenek vázlatrajzot; – a szöveges feladatok megoldásánál a szöveget pontosan értelmezzék, és a választ, valamint az ellenőrzést szabatosan írják le! A tanulók – tudják a gondolataikat pontosan, életkoruknak megfelelően a szaknyelv használatával elmondani; – a számolási készség kialakulása után használják a zsebszámológépet; – szakirodalomból, internetről, egyéb ismerethordozókból önállóan is gyarapítsák tudásukat; – tájékozódjanak a korosztálynak megfelelő újságok, folyóiratok és szaklapok körében; – ismerjék a tananyaghoz kapcsolódó matematikatörténeti érdekességeket! A négy év során tudatosan kell fejleszteni a tanulók lényegkiemelő képességét, analizáló- és diszkussziós készségét, átfogó, nagyobb összefüggések felfedezésére is képes gondolkodását. Erre irányul a matematikaoktatásban a sokféle logikai feladat, a felfedeztető tanítás, az ismétlés, a rendszerezés, a szövegelemzés, a megoldások vizsgálata, a matematikai tartalmú játékok, és a tanár egyéniségétől, igényeitől függő, változatos módszertani megoldás. Az utóbbi években kiemelt cél a matematikai kompetenciák megszerzése, amelyeket új módszerek bevezetésével lehet kialakítani. Ilyenek például a pár-, csoport-, illetve a projektmunkák. A közösen, csoportban (vagy párban) végzett munka során ki kell alakítani a tanulók közötti együttműködést, a helyes munkamegosztást, az egyéni és a közösségi felelősségvállalást. A közös eredmény érdekében előtérbe kerül egymás személyének tiszteletben tartása, a szolidaritás, a tolerancia, a segítőkészség. Ebben a szocializációs folyamatban könnyebben fejleszthetők a tanulók egyéni képességei, könnyebben alakul ki az intenzív érdeklődés és a kíváncsiság, amelyek elősegítik a hatékonyabb tanulást. A tanulók matema7

Kerettanterv tikai szemléletének kialakításában nagy segítséget nyújtanak az interaktív tananyagok és az internet rendszeres használata. „A matematikai kompetencia az összeadás, kivonás, szorzás, osztás és arányképzés alkalmazásának képessége a mindennapok problémáinak megoldása érdekében, a fejben és papíron végzett számítások során. A hangsúly a folyamaton és a tevékenységen, valamint a tudáson van. A matematikai kompetencia felöleli – eltérő fokban – a matematikai gondolkodásmód alkalmazásának képességét és az erre irányuló hajlamot (logikus és térbeli gondolkodás), valamint az ilyen jellegű megjelenítést (képletek, modellek, szerkezetek, grafikonok, táblázatok). A matematikai kompetenciához szükséges tudás magában foglalja a számok, a mértékek és szerkezetek, az alapműveletek és alapvető matematikai fogalmak és koncepciók és azon kérdések megértését, amelyekre a matematika válasszal szolgálhat. Az egyénnek rendelkeznie kell azzal a készséggel, hogy alkalmazni tudja az alapvető matematikai elveket és folyamatokat a mindennapok során, otthon és a munkahelyen, valamint hogy követni és értékelni tudja az érvek láncolatát. Képesnek kell lennie arra, hogy matematikai úton indokoljon, megértse a matematikai bizonyítást, és a matematika nyelvén kommunikáljon, valamint hogy megfelelő segédeszközöket is alkalmazzon. A matematika terén a pozitív hozzáállás az igazság tiszteletén és azon a törekvésen alapszik, hogy a dolgok okát és azok érvényességét keressük.” (Részlet a Kulcskompetenciák az élethosszig tartó tanuláshoz – Európai referenciakeret anyagából) 5. évfolyam Éves óraszám: 144 Heti óraszám: 4 Témakör

A témakör feldolgozására javasolt óraszám

I. Gondolkodási módszerek

Folyamatos

II. Számtan, algebra

22 + 14 + 22 + 20 = 78

III. Geometria, mérés

12 + 20 + 10 = 42

IV. Összefüggések, függvények, sorozatok

6

V. Valószínűség, statisztika

Folyamatos

Négy felmérő dolgozat

8

A • • •

8

szabadon hagyott órák felhasználása: számonkérés tehetséggondozás projektfeladatok elvégzése és megbeszélése

Kerettanterv

Tematikai egység / Fejlesztési cél


Órakeret folyamatos

Előzetes tudás

Adott tulajdonságú elemek halmazba rendezése. A halmazba tartozó elemek közös tulajdonságainak felismerése, megnevezése. Annak eldöntése, hogy egy elem beletartozik-e egy adott halmazba. A több, kevesebb, ugyanannyi fogalma. Állítások igazságtartalmának eldöntése. Néhány elem sorba rendezése, az összes eset megtalálása (próbálgatással).

A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai

A A A A

rendszerezést segítő eszközök használata. halmazszemlélet fejlesztése. tervezés, ellenőrzés, önellenőrzés igényének kialakítása. kommunikáció fejlesztése.

Ismeretek

Fejlesztési követelmények

Kapcsolódási pontok

Számok csoportosítása, halmazba rendezése adott feltételek szerint. Halmazok metszete, uniója, részhalmaz fogalma szemlélet alapján. Adott tulajdonságú pontok keresése. Elemek elrendezése, rendszerezése. Néhány elem sorba rendezése, kiválasztása különféle módszerekkel. Szövegértelmezés. Relációk ismerete: egyenlő, kisebb, nagyobb, több, kevesebb. Logikai kifejezések használata: nem, és, vagy, minden, van olyan, legalább, legfeljebb.

A halmazszemlélet kialakítása. Tárgyak tulajdonságainak kiemelése, halmazba rendezése: összehasonlítás, azonosítás, megkülönböztetés. A kombinatorikus gondolkodás, a célirányos figyelem kialakítása, fejlesztése.

Vizuális kultúra, technika, testnevelés, földrajz.

Az értő, elemző olvasás és a lényegkiemelő képesség fejlesztése. A kommunikáció fejlesztése a nyelv logikai elemeinek használatával.

Magyar nyelv és irodalom.

Megoldások megtervezése, eredmények ellenőrzése.

Tervezés, ellenőrzés, önellenőrzés.

Kulcsfogalmak/fogalmak

Halmaz, elem, részhalmaz, egyesítés, közös rész, igaz, hamis, nem, és, vagy, minden, van olyan, biztos, lehetséges, lehetetlen, legalább, legfeljebb.

9

Kerettanterv


II. Számtan, algebra

Órakeret 78 óra

Előzetes tudás

A számok helyes leírása és olvasása a tízes számrendszerben 10 000-ig. A számok különféle alakjainak (alaki-, helyi-, valódi) helyes értelmezése. Két-két szám összehasonlítása. Számok sorba rendezése növekvő és csökkenő sorrendben. Számszomszédok helyes megállapítása, számok kerekítése. A tanult számok számegyenesen való ábrázolása. Negatív számok a mindennapi életben (hőmérséklet, adósság). Kis nevezőjű törtek szemléletes fogalma, előfordulásuk a mindennapi életben. Matematikai jelek használata: +, −, ·, :, =, , , ( ). Az ésszerű becslés és a kerekítés alkalmazása a matematika különböző területein. Fejben számolás százas számkörben. A négy alapművelet, a műveleti sorrend és a zárójel használata természetes számok halmazán. Szorzás és osztás legföljebb kétjegyű számmal. Ellenőrzés. Páros és páratlan számok, többszörös, osztó, maradék fogalma.

<>


Biztos számfogalom kialakítása. Számolási készség fejlesztése. A műveleti sorrend használatának fejlesztése, készségszintre emelése. Megoldási terv készítése, az eredmény becslése, megoldás után a becsült érték és a tényleges megoldás összevetése. Fegyelmezettség, következetesség, szabálykövető magatartás fejlesztése. Pénzügyi ismeretek alapozása. Ellenőrzés, önellenőrzés.

Ismeretek



Természetes számok milliós számkörben. Alaki érték, helyi érték. Számok csoportosítása, ábrázolásuk számegyenesen. A négy alapművelet elvégzése. Műveleti sorrend.

A számfogalom mélyítése egyre bővülő számkörben. A természetes szám modellként való kezelése különféle fogalmi tartalmak (darabszám, mérőszám, értékmérő, jel) szerint. A számok helyesírása. Számok ábrázolása számegyenesen. A kombinatorikus gondolkodás alapelemeinek alkalmazása számok kirakásával. Becslési készség fejlesztése. Közelítő értékek szükségességének alakítása.

Földrajz. Mindennapi pénzforgalom.

Értő-elemző olvasás, problémamegoldó képesség fejlesztése, következtetési készség fejlesztése. 10

Kerettanterv

Ismeretek



Negatív szám értelmezése modellekkel: adósság, hőmérséklet. Ellentett, abszolút érték. Negatív számok összeadása, kivonása, szorzásuk és osztásuk természetes számmal.

A készpénz, adósság fogalmának továbbfejlesztése. Mélységek és magasságok értelmezése matematikai szemlélettel. A számolási készség fejlesztése.

Gazdaságtan: bankszámlakivonat. Történelem: időszalag.

A tört és a tizedes tört fogalma. A tört értelmezése kétféle modellel. A tört helye a számegyenesen. Törtek nagyság szerinti öszszehasonlítása. Összeadás, kivonás a törtek körében. Törtek szorzása, osztása természetes számmal. Tizedes törtek kerekítése. Átlagszámítás.

A törtek szemléltetése, a törtfogalom kialakítása kis nevezőjű törtek esetében. A törtek egész szomszédainak meghatározása, és ennek alkalmazása a számegyenesen történő ábrázoláskor. Matematikai jelek értelmezése ( , , = stb.), használata. A műveletfogalom mélyítése. A számolási készség fejlesztése gyakorlati feladatokon keresztül.

Ének-zene: a hangjegyek értékének és a törtszámoknak a kapcsolata. Matematika: valószínűség-számítás. Az átlagolás szerepe a mindennapi életben.

Egyszerű elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása következtetéssel. A megoldások ábrázolása számegyenesen, ellenőrzés behelyettesítéssel.

Önálló problémamegoldó képesség kialakítása és fejlesztése. Az egyenlő, nem egyenlő fogalmának elmélyítése. Ellenőrzés.


Természetes számok, alaki és helyi érték. Negatív számok, előjel, ellentett, abszolút érték. Közönséges tört, számláló, nevező, közös nevező. Tizedes tört.

<>

11

Kerettanterv



Előzetes tudás

Egyszerű térbeli és síkbeli alakzatok felismerése. Egyszerű térbeli és síkbeli alakzatok megnevezése. Vonalak (egyenes, görbe). Hosszúság és távolság mérése (egyszerű gyakorlati példák). A négyzet, a téglalap jellemzői, kerületük. Kör létrehozása, felismerése, jellemzői. A test és a síkidom megkülönböztetése. A kocka, a téglatest, jellemzői. Mérés, mértékegységek. Mérés alkalmi és szabványos egységekkel, valamint azok többszöröseivel. Egyszerű számítások elvégzése önállóan. A tanult mértékegységek átváltása.


Alakzatok. Helymeghatározás síkban. Mérés, mennyiségek. A sík- és térszemlélet fejlesztése. A vizuális képzelet fejlesztése, a területfogalom továbbfejlesztése. A rendszerezőképesség, halmazszemlélet fejlesztése. Számolási készség fejlesztése. A szaknyelv helyes használatának kialakítása. Pontos munkavégzésre nevelés. Esztétikai érzék fejlesztése.

Ismeretek



Alakzatok. Testek geometriai jellemzői. A tér elemei: pont, vonal, egyenes, félegyenes, szakasz, sík, szögtartomány. Párhuzamosság, merőlegesség, konvex alakzatok. Síkidomok, sokszögek szemléletes fogalma.

A tanult térelemek felvétele és jelölése. Merőleges és párhuzamos rajzolása vonalzóval. Síkidomok, tulajdonságainak vizsgálata, közös tulajdonságok felismerése.

Építészet. Vizuális kultúra: párhuzamos és merőleges egyenesek megfigyelése környezetünkben.

12

Órakeret 42 óra

Kerettanterv

Ismeretek


Mérés: szabványmértékegységek: hosszúság, terület, térfogat, űrtartalom, idő, tömeg. A szög mérése, egységei. A szög fajtái. A kocka, a téglatest tulajdonságai, hálója. A téglatest (kocka) felszínének és térfogatának kiszámítása.

Szabványmértékegységek ismerete és átváltásának fejlesztése: hosszúság, terület, térfogat, űrtartalom, idő, tömeg. Mennyiségi következtetés, becslési készség fejlesztése. Szögmérő használata. Testek építése, tulajdonságaik vizsgálata. Testek csoportosítása adott tulajdonságok alapján.

Ponthalmazok. A távolság szemléletes fogalma, adott tulajdonságú pontok keresése. Két pont, pont és egyenes távolsága. Két egyenes távolsága. Adott feltételeknek megfelelő ponthalmazok.


Technika, földrajz: mérések a mindennapi életben. Történelem: a görög ábécé betűi. Technika: téglatest készítése, tulajdonságainak vizsgálata. Vizuális kultúra: egyszerű tárgyak, geometriai alakzatok tervezése, modellezése használata Vizuális kultúra: A körző és a vonalzók helyes használata, két vonalzóval párhuzamosok, merőlegesek térbeli tárgyak síkbeli megjelenítérajzolása. se, a tér leképezési Törekvés a szaknyelv helyes használatára módjai. (legalább, legfeljebb, nem nagyobb, nem kisebb ).

::

Kör, gömb szemléletes fogalma. Sugár, átmérő.

Körök, minták keresése a környezetünkben, előfordulásuk a művészetekben és a gyakorlati életben. Minták szerkesztése körzővel. Esztétikai érzék fejlesztése.

Adott egyenesre merőleges „szerkesztése”. Adott egyenessel párhuzamos „szerkesztése”. Téglalap, négyzet, derékszögű háromszög „szerkesztése”. Kulcsfogalmak/fogalmak

Törekvés a pontos munkavégzésre. A szerkesztés lépéseinek átgondolása.

Csillagászat: égitestek. Testnevelés és sport: labdák. Hon- és népismeret: népművészeti minták, formák.

Pont, egyenes, szakasz, félegyenes, sík, merőlegesség, párhuzamosság, szögfajta. Távolság, szög. Síkidomok: sokszög, kör. Testek: kocka, téglatest (csúcs, él, lap), gömb. Konvexitás. Kerület, terület, felszín, testek hálója, térfogat. 13

Kerettanterv



Előzetes tudás

Tájékozódás a számegyenesen. Szabályfelismerés, szabálykövetés. Tapasztalati adatok lejegyzése, táblázatba rendezése.


A koordináta-rendszer biztonságos használata. A függvényszemlélet előkészítése. Az összefüggés-felismerő képesség fejlesztése. A szabálykövetés, szabályfelismerés képességének fejlesztése.

Ismeretek



Helymeghatározás gyakorlati feladatokban. A Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer. Sakklépések megadása, torpedójáték betű-szám koordinátákkal. Osztálytermi ülésrend megadása koordináta-rendszerrel. Kulcsfogalmak/fogalmak

A távolságfogalom alkalmazása, elmélyítése. Megadott pont koordinátáinak leolvasása, illetve koordináták segítségével pont ábrázolása a Descartes-féle koordinátarendszerben.

Földrajz, csillagászat.



Előzetes tudás

Adatgyűjtés, adatok lejegyzése, diagram készítése. Valószínűségi játékok, kísérletek, megfigyelések. Biztos, lehetetlen, lehet, de nem biztos.


A statisztikai gondolkodás fejlesztése. A valószínűségi gondolkodás fejlesztése. A megfigyelőképesség, az összefüggés-felismerő képesség, elemzőképesség fejlesztése.

Ismeretek


Valószínűségi játékok és kísérletek dobókockák, pénzérmék segítségével, urna. A valószínűség szemléletes fogalma.

Kísérletek elemzése, értelmezése, az adatok rendszerezése. A kommunikáció és az együttműködési készség fejlesztése a páros, illetve csoportmunkákban. A valószínűségi és statisztikai szemlélet fejlesztése. A számolási készség fejlesztése.


Adat, diagram.

14

Órakeret 6 óra

Koordináta-rendszer, pont koordinátái, síknegyedek.

Órakeret folyamatos


Természetes számok

Természetes számok 1–4. 5. 6–7. 8–9. 10. 11–13. 14–15. 16–17. 18. 19–22.

óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra:

A számok alakja a tízes számrendszerben A számok csoportosítása, halmazok Számok ábrázolása számegyenesen Kerekítés, becslés Összeadás és kivonás Összeg és különbség változásai Szorzás Osztás Szorzat és hányados változásai Műveletek sorrendje

Az óraszámokat csak útmutatásnak szánjuk, ezeken a tanár a saját elképzeléseinek és a gyerekek képességének megfelelően változtathat. Mire építünk? • Ennek a fejezetnek elsődleges feladata a természetes számokról szóló alsós ismeretek átismétlése és a fogalmak továbbfejlesztése. • Alsóban a gyerekek megismerték a helyi értékes írásmódot, az alaki érték, helyi érték fogalmakat, és otthonosan mozognak az ezres számkörben. • Megismerték a négy alapműveletet, tudnak írásban összeadni, kivonni, szorozni és egyjegyűvel osztani. Tudják, hogyan kell az ilyen számításokat ellenőrizni. Képesek előre megbecsülni az eredményeiket. • Azt is tanulták, hogyan kell természetes számokat kerekíteni. • Ismerik a számegyenes fogalmát, van némi kitekintésük a nem természetes számok világába, tapasztalatszerzés szintjén foglalkoztak negatív és törtszámokkal is. • Alsóból ismerik a halmaz fogalmát, csoportosítottak adott tulajdonságok alapján, és halmazábrákat is készítettek. Meddig jutunk el? • A számkört tovább bővítjük, túl a millión is. Példákat keresünk a valóságos világból a nagy számok használatára. Megismerkedünk ezek helyesírásával is. • Átismételjük és elmélyítjük a helyi értékes számrendszerről tanultakat. Nagy hangsúlyt fektetünk erre különféle feladattípusokon keresztül, több oldalról közelítjük meg ezt a fogalmat. Ezzel részben az alapműveletek mélyebb megértését, elsősorban pedig a tizedes törtek fogalmának megalapozását, előkészítését szolgáljuk. Feladataink közvetlenül folytatódnak a tizedes törtek tanításakor. • Az alapműveletek fogalmát, az elnevezéseket, írásbeli elvégzésüket átismételjük, és megtanítjuk a többjegyű számmal történő írásbeli osztást. • Megfogalmazzuk a számelmélet alapfogalmait, az osztója, többszöröse, osztható, nem osztható fogalmakat. • Összefoglaljuk a halmazokról szerzett alsó tagozatos ismereteket, tisztázzuk a halmaz eleme, halmazok közös része, halmazok egyesítése fogalmakat.

15


• Hangsúlyt fektetünk az összeg, különbség, szorzat, hányados változásainak megértetésére, a műveletek sorrendjének gyakorlására. Ezeket a témaköröket igyekeztünk minél gazdagabban szemléltetni, rajzokkal, fotókkal, sok és változatos feladatanyaggal. Itt kezdtük el megfogalmazni a zárójelfelbontás szabályait is egyszerű, szemléletes feladatokon. Ezek a példák az előjeles és a törtszámokkal végzett műveletek, valamint az algebra tanításában jelenthetnek nagyon komoly segítséget. • Nyitott mondatokat és egyszerű szöveges feladatokat is adunk, ezeket helyenként összekapcsoljuk a számegyenesen való tájékozódással.

1–4. óra: A számok alakja a tízes számrendszerben Tk.: 4–11. oldal, 1–24. feladatok A számok alakja Az egyiptomi számírás itt főleg illusztrációként, érdekességként szerepel, a gyerekekre bízhatjuk, hogy elolvassák-e vagy sem. Mégis, ez a rövid matematikatörténeti rész több lehet, mint egy érdekesség, segíthet a tízes számrendszer fogalmának az elmélyítésében. A tízes csoportok beváltása éppen úgy működik, mint a mi számrendszerünkben. Például: 10 egyes = 1 tízes 10 | = 1

Éppen csak az egyes, tízes, százas szavakat kell a megfelelő jelekre: |, , cserélni. Ez a számírás azonban nem helyi értékes. Az alaki értéket a megfelelő jelek darabszáma, a helyi értéket a megfelelő jelek formája helyettesíti. A tankönyvben a helyiérték-táblázatot 1 milliárdig terjesztettük ki. Könnyű tovább folytatni: 10 milliárd, 100 milliárd, ezer milliárd stb., de valahol mindenképpen meg kell állnunk. Beszélgethetünk a gyerekekkel arról, hogy akármilyen nagy számot le tudunk a számrendszerünkben írni, de a nagyon-nagyon nagyokat már nem tudjuk kiolvasni. Elfogynak a nevek. A számok leírásával a továbbiakban 7. osztályban foglalkozunk, a hatványok tanításakor. A római számok írása a legtöbb számírásnál sokkal nehézkesebb. A tízes számrendszer megértésében sokkal kevesebb segítséget ad, mint az egyiptomi. Mivel a római számokkal találkozhatnak a gyerekek régi szövegekben, épületek feliratain, ezért röviden ezzel is foglalkozunk. Biztathatjuk a gyerekeket, hogy utcán, képeslapokon keressenek ilyen feliratokat, és közösen fejtsük meg a jelentésüket. Javasolt eszközök Játék pénzek Házilag is elkészíthető, papírboltban is kapható. Nem a valódi pénzeket kell utánozni, csak a tízes számrendszer helyi értékeihez kell pénzeket készíteni. Elegendő színes kartonból egyforma téglalapocskákat kivágni. Mindegyik szín mást jelent, pl. kékre írjuk az egyest, zöldre a tízest. Minden fajtából sok kell, célszerű tízesével összegumizva tárolni őket.

16


Helyiérték-táblázatok A tábla tetejére kiragaszthatjuk a pénztárgép fiókjait, ezeket helyi értékként használjuk a későbbiekben. ::: E sz t e

Ha a tábla közepétől bal felé ragasztjuk ki a fiókokat, a tizedes törtek tanításakor ezt folytathatjuk a másik irányba. Jó, ha ezek a cédulák mindvégig fennmaradnak, hasznát vehetjük az írásbeli műveletek tanításakor is, automatikusan a megfelelő helyi értékekre rakjuk a számokat. Számkártyakészlet, öntapadós hátú noteszlapok Jó hasznát vehetjük az alsó tagozatosok szám- és jelkártyakészletének. Ezenkívül készíthetünk néhány – legalább 4-5 féle – különböző színű kártyát színes kartonlapból táblai demonstrációra. Ezeket mágnessel (vagy gyorsragasztóval) erősíthetjük fel. Több feladatnál olyan kártya szükséges, amelynek egyik oldalán szám van, a másik oldalán pedig vagy csak a szín, vagy betű. Hogy ne kelljen minden feladathoz másféle számmal új kártyát készíteni, a számot öntapadós hátú noteszlapra írhatjuk, és ezt ragasztjuk a színes karton egyik oldalára. Nagyon könnyen cserélhetők, és ezek a lapocskák a táblán is jól megtapadnak. Kaphatók írószerboltban több színben is.

Feladatok 1. Írd be helyiérték-táblázatba a következő számokat: kétszázharmincöt, kétezer-háromszázötven, huszonháromezer-ötszáz, kétszázharmincötezer, kétmillió-háromszázötvenezer, huszonhárommillió-ötszázezer a) Melyik az egyes számokban a legnagyobb alaki értékű számjegy? 5 b) Melyik az egyes számokban a legkisebb alaki értékű számjegy? Az első számban 2, a többiben 0. c) Melyik az egyes számokban a legnagyobb helyi értékű számjegy? 2 d) Mennyi a helyi értéke az egyes számokban a 3 alaki értékű számjegynek? tízes, százas, ezres, tízezres, százezres, egymillió

2. a) Melyik szám nagyobb? 32 571 vagy 3 tízezres + 1 ezres + 14 százas + 25 tízes 32 571 < 32 650 b) Melyik szám kisebb? 426 850 vagy 4 százezres+ 2 tízezres+ 5 ezres+ 16 százas+ 9 tízes+ 3 egyes 426 850 > 426 693 3. Fele sem igaz! Minden kérdéshez három választ kínálunk. Közülük csak egy jó. Mit gondolsz, melyik a helyes? Olvasd ki a számokat! A 2. és 6. kérdéshez tartozó számokat írd le betűkkel is!

17


Kérdés 1. Hány éve jelent meg az ember a Földön? 2. Hány kilométert tesz meg a fény 1 másodperc alatt?

A

B

C

10 000

100 000

1 000 000

300 000 km 2 500 km

33 km

3. Hány métert tesz meg a hang 1 másodperc alatt?

340 m

25 m

12 500 m

4. Mekkora a legmagasabb vízesés?

979 m

59 m

108 m

5. Hány betűből áll a Tüskevár című könyv?

100 000

3 000 000

500 000

6. Mekkora a legmagasabb hegycsúcs a Földön?

4 807 m

15 324 m

8 848 m

7. Hány kilométer a leghosszabb folyó a Földön?

6 670 km

18 200 km 4 325 km

8. Hány méter a legmélyebb tengerárok a Földön?

50 000 m

11 000 m

3000 m

Ezt a feladatot játsszuk el a gyerekekkel! Olvassák el a feladatot, tegyék meg a tippjeiket! Jutalmazhatjuk a győzteseket. 4. Írd le a számokat számjegyekkel! b) ezerháromszázöt 1305 a) nyolcszázkilencvenhat 896 c) kettőezer-tizenhét 2017 d) kilencvenezer-négyszázharmincegy 90 431 e) kétszáznegyvenötezer-huszonkilenc 245 029 f) hatvanhárommillió-négyszáztízezer 63 410 000 g) kétmillió-kilencszáznegyvenkétezer-hatvanöt 2 942 065 h) ötmillió-hetvenháromezer-tizenkettő 5 073 012 i) hétszáznyolcvanháromezer-ötvenkilenc 783 059 j) négymillió-négyezer-négy 4 004 004 Az a)-tól j)-ig jelölt számok közül melyikben áll az 5-ös számjegy a legnagyobb helyi értékű helyen? A legnagyobb helyi értékű helyen a h) feladatban áll az 5-ös. Melyikben van a 2-es számjegy a legkisebb helyi értékű helyen? A 2-es a legkisebb helyi értékű helyen áll az 5 073 012 számban.

Melyikben van a 2-es számjegy nagyobb helyi értékű helyen, mint az 5-ös számjegy? A 2-es számjegy nagyobb helyi értékű helyen áll, mint az 5-ös a 245 029 és a 2 942 065 számokban

5. Írd le betűkkel a megadott számokat! 2034 kettőezer-harmincnégy 1 032 510 egymillió-harminckétezer-ötszáztíz

53 005 ötvenháromezer-öt 1980 ezerkilencszáznyolcvan

6. a) 7-től 17-ig leírtam a számokat. Hány számot írtam le, és hány számjegyet írtam le? 11 számot és 19 számjegyet.

b) 3-tól 35-ig leírtam a számokat. Hány számot írtam le, és hány számjegyet írtam le? 33 számot és 59 számjegyet.

18

Természetes számok c) 45-től 187-ig leírtam a számokat. Hány számot írtam le, és hány számjegyet írtam le? 143 számot és 374 számjegyet, 55 kétjegyűt és 88 háromjegyűt.

7. Olvasd ki az egyes földrészek területét! Írd le a füzetedbe a földrészek nevét, és mellé betűvel a területüket! 43 608 000 km2 30 335 000 km

Ázsia

23 349 000 km2

2

Észak-Amerika Afrika

Ausztrália

Dél-Amerika

8 923 000 km2

10 498 000 km2

17 835 000 km2

Európa

Afrika területe:

harmincmillió-háromszázharmincötezer négyzetkilométer

Ausztrália területe:

nyolcmillió-kilencszázhuszonháromezer négyzetkilométer

Észak-Amerika területe:

huszonhárommmillió-háromszámznegyvenkilencezer négyzetkilométer

Dél-Amerika területe:

tizenhétmillió-nyolcszázharmincötezer négyzetkilométer

Ázsia területe:

negyvenhárommillió-hatszáznyolcezer négyzetkilométer

Európa területe:

tízmillió-négyszázkilencvennyolcezer négyzetkilométer

8. Párosítsd össze a történelmi eseményeket a római számokkal megadott évszámokkal! MCDXCII c) MDXXVI a) MCMXLV e) MCMLXIX d) MCMLIII b) a) 1526: mohácsi csata b) 1953: a magyar fociválogatott 6 : 3 arányú győzelme a londoni Wembley-stadionban c) 1492: Amerika felfedezése d) 1969: először lépett ember a Holdra e) 1945: a II. világháború véget ért 9. Írd le római számokkal: a) melyik évben születtél; b) hány éves vagy; c) a házszámot, ahol élsz; d) hány méter magas a legmagasabb hegycsúcs Magyarországon! MXIV méter 10. Hány tízforintosra tudnád felváltani? a) 2 százforintos 20 c) 7 ezerforintos 700

b) 1 ötszázforintos 50 d) 3 ötezerforintos 1500

11. Hány százforintosra váltható fel? a) 8 ezerforintos 80 c) 2 ötezerforintos 100

b) 12 ezerforintos 120 d) 18 kétezerforintos 360

12. Peti vásárolni indul az apukájával. Apa pénztárcájában van 4 ezerforintos, 12 százas, 8 tízforintos és 3 ötforintos. Mennyi pénz van nála? 5295 Ft-ot 19

Természetes számok 13. Hány forintot gyűjtött Julcsi nyáron, ha a perselyébe tett 29 db tízest, 18 db százast és 2 db ezerforintost? 4090 Ft-ot A következő feladatok a helyiérték-táblázatban való eligazodást hivatottak elősegíteni. Nagyon fontosnak tartjuk ezeket. Egyrészt nem nehezek még a gyenge gyerekeknek sem, másrészt ha itt megértik a rendszer működését, az óriási segítség lesz a tizedes törtek tanításakor, amikor nagyon sokat fog jelenteni az az otthonosság, amit itt megszereznek. 14. Mit ír ki a gép, ha a fiókokba ennyit teszünk bele? a) 3 E, 27 e, 14 sz, 2 t 7147 b) 34 sz, 53 e 3453 c) 200 e, 21 t 410 d) 2000 t, 38 sz 23 800 e) 28 sz, 532 E, 23 e 534 823 f) 25 E, 13 sz, 29 t, 78 e 26 668 15. Mennyivel nőtt meg a szám? Hányszorosára nőtt meg a szám? a) Ha 4-ből 40 lett; 36-tal, 10-szeresére 4-ből 400 lett; 396-tal, 100-szorosára 40-ből 4000 lett; 3960-nal, 100-szorosára c) 8-ból 80 lett; 72-vel, 10-szeresére 3-ból 300 lett; 297-tel, 100-szorosára 5-ből 5000 lett. 4995-tel 1000-szeresére

b) 13-ból 130 lett; 117-tel, 10-szeresére 13-ból 13 lett; 0-val, 1-szeresére 130-ból 1300 lett; 1170-nel, 10-szeresére

16. a) A 6 , 3 , 2 számkártyákból rakj ki olyan háromjegyű számokat, amelyekben a legnagyobb alaki értékű számjegy áll a legkisebb helyi értéken! Hány ilyen szám van? A legnagyobb alaki értékű számjegy a 6, ez áll az egyesek helyén. A másik két kártyát kétféleképpen tehetem a maradék helyekre: 3 2 6 vagy 2 3 6.

b) Az 1 , 3 , 4 , 5 számkártyákból rakj ki olyan négyjegyű számokat, amelyekben az 5 helyi értéke százas! Hány ilyen szám van? Az ötös a százasok helyén áll. A többi számjegyet hatféleképpen cserélgethetjük. Ezen a feladaton gyakorolhatjuk a fadiagramos elrendezést:

1

5

3

4

17. Számkártyákból kiraktuk az 1 9

20

1

5

3

4

1

5

3

4

1

5

4

3

1

5

4

3

3

5

1

4

3

5

1

4

3

5

4

1

3

5

4

1

4

5

1

3

4

5

1

3

4

5

3

1

4

5

3

1

5

5

5

9 8

8 1

7 számot, majd összekevertük a kártyákat, és a 7 számot raktuk ki.

Természetes számok Az 1 számkártya valódi értéke az első számban ezret jelent, a másodikban pedig tízet, és valódi értéke 990-nel csökkent. Mennyivel változott a 9 számkártya valódi értéke? 900 volt, 9000 lett. 8100-zal nőtt. Mennyivel változott a 8 számkártya valódi értéke? 720-szal nőtt. Mennyivel változott a 7 számkártya valódi értéke? Nem változott. Ezt a feladatot semmiképpen se hagyjuk ki! Könnyen megértik a gyerekek, és élvezettel kutatnak a megfejtések után. A feladat a gyökerüknél ragadja meg a helyi érték és alaki érték fogalmát. Nagyon jó úgy is feladni, hogy a tanulók készítsenek egymásnak ilyen rejtvényeket. 18. Egy kétjegyű szám jegyeit felcseréltük. Az első jegy valódi értéke 27-tel csökkent, a második jegy valódi értéke 63-mal nőtt. Mi volt az eredeti szám? 37 Ez a feladat az előbbinek a fordítottja. Csak a változást árulja el. Abból kell kitalálni, melyik számjegy melyik helyről melyik helyre került. Ezt úgy lehet megoldani, hogy megkeressük a változáshoz képest az első nála nagyobb, és „nála kerekebb” – azaz a végén nála legalább eggyel több 0-t tartalmazó – számot. Tehát a 27-hez az első nála nagyobb és 0-ra végződő számot, amely éppen a 30, és mivel 27 = 30 − 3, 3-as kerül a tízes helyi értékről az egyes helyi értékre. Az első jegy tehát a 3-as. Hasonló megfontolással a 63 = 70 − 7 alakba írható le, amelyből látszik, hogy a második jegy a 7-es. Az eredeti szám a 37. A gyerekek próbálgatással oldhatják meg a feladatot.

19. Színes hátú számkártyákból négyjegyű számokat raktunk ki. Először ilyen sorrendben tettük le őket: Majd összekevertük a kártyákat, és egy másik számot raktunk ki: A csere után a piros kártya értéke 7920-szal csökkent, a kék kártyáé 9-cel csökkent, a zöld 5400-zal nőtt, a sárga 396-tal nőtt. Találd ki, milyen számokat raktunk ki! Mennyit érnek ezek a számok? a)

b)

4168

4648

A jó képességű gyerekekkel érdemes megfigyeltetni, miféle számok jöhetnek ki változásként. A változásra kapott érték mindig olyan szám, amely egy csupa 0-ból és 9-esből álló szám, és egy egyjegyű szám szorzata. Például: 7920 = 8 · 990, 9 = 1 · 9, 396 = 4 · 99 stb. 20. Add meg a kettes számrendszer helyiérték-táblázatába beírt számokat tízes számrendszerben! 32

16 1

8 1 0 1

4 1 0 0

2 0 1 0

1 0 1 0

12 19 8

21. Írd át kettes számrendszerbe a tízes számrendszerben megadott számokat! 5 = 101 2 , 7 = 111 2 , 21 = 10101 2 , 25 = 11001 2 , 34 = 10010 2 21


22. Egymás mellé írtuk a számokat 1-től 20-ig. Ezt a 31 jegyű számot kaptuk: 1 234 567 891 011 121 314 151 617 181 920. A számjegyeik közül törölj ki 20 számjegyet úgy, hogy a megmaradt 11 jegyű szám a) a lehető legnagyobb legyen; 95 617 181 920 b) a lehető legkisebb legyen! 10 111 111 110 A 11 jegyű szám nem kezdődhet nullával. 23. Hányféleképpen lehet 85 Ft a pénztárgépben? Például 15 egyes, 7 tízes stb. Keresd meg az összes lehetőséget! 9 lehetőség van. 24. Melyik az a háromjegyű szám, amelyet számjegyei összegével akár növelünk, akár csökkentünk, csupa egyforma jeggyel írt számot kapunk? 105

t 0 1 2

e 85 75 65

.. .. Egy háromjegyű szám jegyeinek összege legfeljebb 27 és legalább 1. Ha egy háromjegyű . . számot megnövelünk a jegyeinek az összegével, akkor az új szám legalább 101, és leg7 15 feljebb 1026. Hasonlóan a jegyek összegével lecsökkentett szám legalább 99 és legfeljebb 8 5 972. A megnövelt és lecsökkentett számok tehát 99 és 1026 közé esnek, különbségük pedig éppen a számjegyek összegének a kétszerese, tehát legfeljebb 2 · 27 = 54. A megadott határok között előforduló, csupa egyforma jegyből álló számok a 99, 111, 222, 333, 444, 555, 666, 888, 999. E számok különbsége mindenütt legalább 111, kivéve a 99-et és 111-et, amelyek eltérése 111 − 99 = 12. A keresett szám csak az lehet, ami pontosan a kettő között középen van, vagyis a 105. A 105 jegyeinek összege 6, 105 + 6 = 111, 105 − 6 = 99. Ez a szám tehát valóban megfelel a feltételeinknek.

5. óra: A számok csoportosítása, halmazok Tk.: 12–16. oldal, 1–6. feladat

Feladatok 1. Az osztályban minden gyerek kapott egy sorszámot 1-től 26-ig. A tanár ezután tulajdonságokat mondott, és arra kérte a gyerekeket, hogy álljanak fel, ha az ő sorszámukra illenek ezek.

A = {20-nál nagyobb} D = {20-nál kisebb}

B = {osztható 5-tel} E = {10 többszöröse}

C = {a szám jegyeinek összege 8}

Kik álltak fel, amikor a következő tulajdonságok hangzottak el? Add meg a sorszámukat! a) Teljesül a számra az A és B tulajdonság is. 25 b) Teljesül a számra a B és E tulajdonság is. 10, 20 c) Teljesül a számra a B és C tulajdonság is. Az adott számok közt nincs ilyen. d) Teljesül rá A vagy D . A 20 kivételével minden szám ilyen. e) Teljesül rá B vagy E . 5, 10, 15, 20, 25 f) Teljesül rá A és C . 26 A feladatot játsszuk el a gyerekekkel! Színes szalagokból készítsünk jó nagy karikákat, és hívjuk ki az A tulajdonságú gyerekeket, ők maguk köré tartják az egyik szalagot. Ezután hívjuk ki a B tulajdonságúakat, és adjuk kezükbe a másik színű szalagot, amelybe nekik kell beállniuk! Hamar rájönnek, hogyan lehet megoldani, hogy a 25-ös számú gyerek mindkét karikában (szalagban) benne legyen. 22

Természetes számok 2. Másold le a halmazábrákat, és írd be a számokat 45-től 55-ig a megfelelő tartományokba! Az ábra üres részeit satírozd be! a)

A = {50-nél kisebb} B = {50-nél nagyobb}

b)

C = {jegyeinek összege nagyobb, mint 7} D = {páros}

Természetes számok

A


B

D

C

45 46 47

51 52 53

55 45 47

48 49

54 55

53 49

46 48 54

50 52 51

50

c)

E = {kettővel több egyes van benne, mint tízes}

F = {jegyeinek összege 10}

d)

G = {egyjegyű} H = {10-nek többszöröse}



F

E 46

G 55

H 50

45 47 48 49 50 51 52 53 54

45 46 47 48 49 51 52 53 54 55

3. Ábrázold halmazábrában a megadott halmazokat! A halmazábra részekre bontotta a síkot. Minden részről mondd meg, milyen tulajdonságú elemek tartoznak bele! a) A = {járművek} B = {autók} b) C = {100-nál kisebb természetes számok} D = {természetes számok, amelyben a jegyek szorzata 0} E = {természetes számok, amelyben a jegyek között van 6-os} a) A: {járművek} B: {autók} 1 Jármű, de nem autó, pl. bicikli, repülőgép. 2 Autók.

b) C: {100-nál kisebb természetes számok} D: {természetes számok, amelyben a jegyek szorzata 0} E: {természetes számok, amelyben a jegyek között van 6-os} 23


1 100-nál kisebb természetes szám, amelynek jegyei között nincsen sem 0, sem 6, pl.: 98, 81, 17, 2: : : 2 100-nál kisebb, jegyei között van 0, de nincs 6, pl.: 80, 70: : :

3 Olyan természetes szám, amelyben van 0 számjegy, de nincs 6-os jegy, továbbá 100-nál nem kisebb, pl.: 107, 100, 508, 220: : : 4 Pl.: 160, 610, 6000: : : 5 Pl.: 266, 265 316, 1687: : : 6 Pl.: 6, 86, 66, 16, 6: : :

7 60 – itt csak egyetlen elem van!

4. A halmazábra jelölései az alábbiakat jelentik:

Gy

Sz = {szemüvegesek}

Ö = {ötödikesek} L = {lányok} Gy = {gyerekek} A halmazábra egyes részeit megszámoztuk. Melyik részbe vagy részekbe tartoznak azok a gyerekek, akikre a következő tulajdonságok teljesülnek? a) Szemüveges, de nem ötödikes. 1 6 b) c) Nem szemüveges. 3 4 7 8 d) e) Ötödikes, szemüveges lány. 5 f) g) Lány vagy szemüveges. 1 2 4 5 6 7 h) i) Nyolcadikos. 1 6 7 8 j)

Sz 1

2

¨ O 3

5 6

4 7 8 L

Ötödikes lány. 4 5 Óvodás lány. 6 7 8 Ötödikes és szemüveges. 2 Nem ötödikes lány. 6 7 Szemüveges fiú. 1 2

5

5. Jellemezd tulajdonsággal a beszínezett rész elemeit, és sorolj fel közülük néhányat! a)

E

H

b)

Nem emlős háziállat, pl.: tyúk, kacsa.

c)

E

H

Emlős vagy háziállat, pl.: tehén, kacsa, kutya, elefánt, bálna.

24

E

E = {emlősök} H = {háziállatok} A = {állatok}

H

Emlős háziállat, pl.: disznó, ló, macska.

d)

E

H

Emlősök, pl.: zsiráf, nyúl, delfin.

e)

E

H

A

Nem emlős állatok, pl.: krokodil, cserebogár, szúnyog, liba.

Természetes számok 6. Ezek a címkék a következő halmazábrákról estek le. Melyik hová való?

K

páros számok

nyugdíjasok

B

fák

emberek

K

B

A

növények

Y

20-nál kisebb számok

M

gyümölcsfák

Z Y

A C

X

óvodások

L

C

X Z

M

nullára végződő számok

L

6–7. óra: Számok ábrázolása számegyenesen Tk.: 17–20. oldal, 1–7. feladatok Abban, hogy tanítványaink hogyan tájékozódnak a számok világában, sokat számít, mennyire otthonosak a számegyenesen. Segíthetjük őket ebben például úgy, hogy különböző beosztású számegyeneseket teszünk ki az osztály falára, a tábla fölé. Mikor számegyenesen halmazokat ábrázolunk, az egyik problémát a nagyobb, kisebb, legalább: : : szavak és a megfelelő jelek használata jelenti. Ezen a gyakorlás, a tanár pontos szó- és jelhasználata, a gyerekek hibáinak türelmes javítgatása, a hibák megbeszélése segíthet. Apró szóbeli gyakorlatokat javasolunk, például: – Mondj olyan számokat, amelyekre igaz, hogy nem nagyobb, mint 5, legfeljebb 3, maximum 7, nem kisebb 6-nál stb.! – Mondd másképpen azt, hogy legalább 3! Válaszként a nem kevesebb, mint 3, minimum 3, 2-nél nagyobb (egész szám) stb. kifejezéseket várjuk. A gyerekek ilyen kérdéseknél maguktól még bizonyára csak a természetes számokra gondolnak. Ehhez kapcsolódik a másik, nehezebb probléma. Mégpedig az, hogy a számegyenesen való ábrázoláskor kilépünk a természetes számok világából – hacsak külön nem szűkítjük le a számkört, amiben dolgozunk. A 2-t és 20-at összekötő szakasz ugyanis egy olyan számhalmazt ad meg, amely nem csak egész értékeket tartalmaz. A gyerekek az eddigi tapasztalataik alapján pontosan értik, hogy az országútnak nemcsak a kilométerkővel jelzett helyeihez, hanem minden pontjához tartozhat egy szám, amely azt mondja meg, hogy az a pont milyen messze van a kiindulási helytől. A matematikának ugyanis igen sok fogalmáról – így a valós számokról is – korábban van az embereknek képzetük, mintsem tanultak volna róla. Nem szabad úgy tennünk, mintha a valós számok nem is léteznének, csak azért, mert a tananyagban még nem szerepeltek. Ezért aztán ennek a résznek a feldolgozásakor fontos, hogy a gyerekek figyelmét felhívjuk arra, hogy a számegyenes szakaszai nem csak az egész számokat tartalmazzák. Ilyen kérdéseket tehetünk fel: – Mondjatok olyan számot, amely a felrajzolt szakaszhoz tartozik! 25


Ha valaki mond egy – feltehetően egész – számot, azt színessel bejelöljük. – Most mondjatok egy másikat! Azt is megjelöljük. Amikor már a végpontokra is sor került, és elfogytak az egész megoldások, akkor is tovább kérdezünk. – Van még ilyen szám? Ki tud még más számot is mondani? Ekkor minden bizonnyal előbb-utóbb leesik a tantusz, és eszükbe jut a 3 és fél és a többi fél rész. Beszínezzük ezeket is. – Van-e még? Ezután következnek a negyedek és így tovább. Egészen addig a felismerésig, miszerint nem tudunk minden számot felsorolni, amelyet a 2-t és a 20-at összekötő szakasz tartalmaz. Semmiképpen se sürgessük ezt a felismerést, és semmiképpen se fogalmazzuk meg a gyerekek helyett! Inkább többször is járjunk végig egy-egy hasonló gondolatsort! Érdeklődő gyerekekkel még tovább mehetünk: – Melyik szám van a legközelebb a 2-höz? Van-e ilyen? A gyerekek rá fognak érezni, hogy ilyen szám nincs, hiszen bármilyen közeli számot javasolnak, van még közelebbi is. Ezekkel a gondolatokkal újra és újra találkoznak a törtek, a tizedes törtek tanulásakor, és közben fokozatosan egyre tisztább képet nyernek arról, hogy a valós számok hogyan töltik meg a számegyenest. Ezeket a gondolatmeneteket ne próbáljuk megtanítani, csupán kérdezzünk! Meg fogunk lepődni, milyen képek élnek a számokról a gyerekek fejében. Annak ellenére, hogy ezeket a gondolatokat fontosnak tartjuk, ebben a fejezetben a feladatok mindegyikében csak egész számok szerepelnek. Javasolt eszközök: különböző beosztású demonstrációs számegyenesek, öntapadós noteszlapok számkártyákhoz 10 cm széles, 5 m hosszú csíkokat készítünk valamilyen erős papírból, amire vastag filccel számegyenest rajzolunk 2 és fél cm-es beosztással. Minden 10. egységhez kiírjuk a megfelelő számértéket. Készítsünk többféle léptékkel számegyenest! Helyezzünk el többet is belőlük egymás felett! −10

0

10

−100

0

100

−1000

0

1000

−1 0 1 Segítségünkre lehetnek ezek a számegyenesek később, a negatív számok és a tizedes törtek tanításában. Speciálisan a törtek tanításához alkalmas (12-edes, 24-edes léptékű) további számegyenesekre is szükségünk lesz. Sokszor hasznos, ha van a falon egy hosszú „üres” számegyenesünk, amire az adott feladat igényei szerint magunk tesszük fel a számokat. Igen gyorsan és kényelmesen dolgozhatunk, ha a számokat öntapadós noteszlapocskákra írjuk. A témakörhöz kapcsolódó anyagot találunk az 5. évfolyamos digitális tananyagban. 26

Természetes számok Feladatok 1. Olvasd le a számegyenesről, hogy milyen számokat jelöltünk meg! a) −2

0

2

7

8

12

b) 7

9

11

16

18

24

c) −5

0

10

15

d) 600 700

900 1000

1300

1600

e) 3

12

21

24

33

f) −1

5

17

23

29

41

2. Másold le a füzetedbe a számegyenest! Jelöld be rajta a következő számokat! a) −1

13,

0

−1,

2,

2

10,

5,

5

7

9

10

19

20

13

9

b) 7

21,

9

7,

19,

12

12,

20,

15

16

25

30

21

15

c) 0

40,

25,

5,

5

10

40

30 950

d) 700 800

1500,

1000,

1000

1150,

1150

950,

1300

1500

800

e) 0

0,

9

30,

18,

12

18

21

30

9 33

f) 5

17,

33,

17

35,

29

35

47

47

3. Készíts megfelelő beosztású számegyenest! Jelöld be a következő számokat! a) 50, 65, 70, 90 Ötösével érdemes beosztani a számegyenest. b) 4, 12, 20, 24, −4 Négyesével érdemes beosztani a számegyenest. c) 300, 600, 750, 0 Százasával érdemes beosztani a számegyenest. d) 10, 60, 105, 35 Tízesével érdemes beosztani a számegyenest.

27

Természetes számok 4. Rajzolj számegyenest, és ábrázold rajta az adott tulajdonságú természetes számokat! a) 10-nél nagyobb 0 1

5

10

15

20

25

30

15

20

25

30

b) 5-nél nagyobb és 8-nál kisebb számok 0 1

5

10

c) 15-nél nem nagyobb, és 10-nél nagyobb 0 1

5

10

15

20

25

30

5

10

15

20

25

30

20

25

30

d) legalább 4 0 1

e) nagyobb vagy egyenlő 22-vel, és kisebb mint 30 0 1

5

10

15

f) legalább 4 és legfeljebb 10 0 1 5 10 15 20 25 30 Érdemes a feladatot megoldani úgy is, hogy nem csak a természetes számokat jelöljük ki a számegyenesen. Ilyenkor megmutatják, hogy a feltételnek egy-egy szakasz vagy félegyenes felel meg, és fontos jelölniük, hogy a végpontok hozzá tartoznak-e a szakaszhoz, félegyeneshez, vagy nem.

5. −776

−74 −490 A marathóni csata éve

896

500

0

1242

1000

Krisztus születése, az időszámítás kezdete

1456

1848

2000

1492

Szent István megkoronázása

Kolumbusz Kristóf útja Amerikába

1945

Rajzold le a füzetedbe a történelmi számegyenest, és jelöld be rajta a következő évszámokat! a) 1848: a márciusi forradalom éve b) 1945: a II. világháború vége c) 1456: a nándorfehérvári győzelem éve d) 1242: a tatárjárás vége e) 896: a honfoglalás éve f) −776: az első olimpia éve g) −74: a Spartacus-féle felkelés kitörésének éve 6. Ábrázold számegyenesen azokat az egész számokat, a) amelyekhez 4-et hozzáadva 17-nél nagyobb és 23-nál kisebb számot kapunk; 13

19

b) amelyek kétszerese 42 és 56 közé esik; 21

28

c) amelyeknek a fele kevesebb, mint 14; 27 28

d) amelyekből 123-at elvéve 100-nál nagyobb, de 114-nél nem nagyobb számot kapunk! 28

223

237


Adhatjuk önálló munkára, mindenkinek meg kell tudni oldani, ha máshogy nem, próbálgatással. Egyszerűbb változata ezeknek a feladatoknak az, ha megelégszünk néhány jó megoldással. A nehezebb változat az, amikor minden megoldást meg kell keresni, nem csak az egészeket. Erre fokozatosan neveljük rá a gyerekeket! 7. Írj nyitott mondatot a feladathoz, és a megoldást ábrázold számegyenesen is! a) Melyek azok a számok, amelyekhez 51-et hozzáadva 283-nál kisebb számot kapunk? + 51 < 283

232 b) Melyek azok a számok, amelyek háromszorosa több, mint 150? ·3> 150

50 c) Melyek azok a számok, amelyekhez 1250-et adva 7000-nél kisebb számot kapunk? + 1250 < 7000

5750 d) Melyek azok a számok, amelyek ötödrésze 230-nál nagyobb? :5> 230

1150 e) Melyek azok a számok, amelyekből 513-at elvéve 20-nál nagyobb és 53-nál kisebb számot kapunk? 20 < − 513 < 53

533

566

8–9. óra: Kerekítés, becslés Tk.: 20–22. oldal, 1–15. feladatok A kerekítés szabályai jól ismertek az alsó tagozatból. Itt a kerekítés témakörét összekapcsoljuk a számegyenesen való tájékozódással. A legegyszerűbb feladattípust – add meg egy szám adott pontossággal kerekített értékét – kiegészítjük ennek a számegyenesen való ábrázolásával, és a fordított kérdéssel: Milyen számokhoz tartozhat az adott kerekített érték? Javasolt eszközök: számegyenesek, számkártyák Ha a számegyenesnek ugyanazt a darabját különböző nagyításban vizsgáljuk, jól látszik, hogyan függ a hiba a kerekítés pontosságától. Ilyen számegyeneseket tegyünk fel a táblára pontosan egymás alá. 2500 2000

3500 3000

2950 2900

4000 3050

3000

3100

29


2995

3005

2990

3000

3010

2999 és fél

3000 és fél

2999

3000

3001

Mindegyiken a 3000-et ábrázoltuk, csak különböző pontossággal kerekítve. A számegyenesek számait kényelmesen és gyorsan cserélgethetjük, ha öntapadós noteszlapokra írjuk azokat. Az egymás alatt álló számegyenesek olyanok, mintha egy gumiszalagot nyújtottunk volna meg mindig a 10-szeresére. 2950

2990

2900

3010

3050

3000

3100

2995

3005

2990

3000

3010

Használhatjuk az 5. évfolyamos digitális tananyagot.

Feladatok 1. Döntsd el a következő értékekről, melyik kerekített érték és melyik pontos! a) Jánosnak 3 testvére van. Pontos érték. b) Panni 43 kg és 152 cm magas. Kg-ra, illetve cm-re kerekített értékek. c) 1 méter = 10 deciméter. Pontos érték. d) A szobánk 5 m hosszú és 4 m széles. Méterre kerekített érték. e) A családi nyaralás 50 000 Ft-ba került. A szállásért egy éjszakára fejenként 2000 Ft-ot fizettünk. Az 50 000 Ft valószínűleg kerekített, a 2000 Ft pedig pontos érték. f) Az osztály 24 tanulója az ötnapos táborozás alatt 50 kg kenyeret fogyasztott el, és 240 gombóc fagyit nyalt el. Természetesen mást is ettek. A tanulók és a napok száma pontos érték, az 50 kg valószínűleg kerekített, a 240 gombóc lehet, hogy pontos érték.

2. Kerekítsd a 8, 153, 1500, 87, 85 007, 3555, 25 499 számokat a) tízesekre; b) százasokra; c) ezresekre; d) tízezresekre! tízesekre

30

százasokra

ezresekre

tízezresekre

8

10

0

0

0

153

150

200

0

0

1 500

1 500

1 500

2 000

0

87

90

100

0

0

85 007

85 010

85 000

85 000

90 000

3 555

3 560

3 600

4 000

0

25 499

25 500

25 500

25 000

30 000

kerekítés


Megfigyelhetik a gyerekek az egy sorban álló számokat, tehát ugyanannak a számnak a különböző pontossággal kerekített értékeit. Találnak megegyezőket majdnem minden sorban. Mikor lesznek a különböző pontosságú kerekítések egyenlőek? Azt is megfigyelhetik, hogy majdnem mindegyik sorban a számok az őket megelőző kerekített érték kerekített értékével egyeznek meg. Ez a szabályosság azonban az utolsó sorban elromlik. Mi lehet ennek az oka? Figyeljenek meg más számokat is, és próbáljanak más „rendetlen” esetet is találni! 3. A boltban a kosarunkba tett árucikkekre a képen látható árak voltak írva. Mennyi az egyes árucikkek kerekített ára a Magyarországon érvényben lévő fizetési szabály szerint? 9743 Ft → 9745 Ft; 1758 Ft → 1760 Ft; 1999 Ft → 2000 Ft 3895 Ft → 3895 Ft; 4. A zöldségesboltban 865 Ft-ot fizettünk, mennyi lehetett a valódi ár? A fizetett ár 865 Ft, így a valódi ár 863 Ft-tól 867 Ft-ig bármi lehetett.

5. A pad hossza dm pontossággal mérve 13 dm. Mekkora lehet a valódi hossza? 12 és fél dm 5 valódi hossz < 13 és fél dm 6. A világ legnagyobb temploma a római Szent Péter-bazilika. Hatalmas kupolája 123 méter magas. Mekkora lehet pontosan, ha ez az adat 1 méteres pontossággal van kerekítve? 122 és fél méter

5 magasság < 123 és fél méter

7. A Kheopsz-piramist 2 500 000 darab mészkőtömbből építették. Hány követ használhattak fel, ha ez az érték ezresekre kerekített? 2 499 500 db 5 felhasznált kő < 2 500 500 db 8. A kerékpártúra első napján 60 km-t, a második napon 70 km-t, a harmadikon pedig 40 km-t tettünk meg. Az adatokat 10 km pontossággal adtuk meg. Legkevesebb hány km-t bicikliztünk? És legfeljebb hányat? Első nap legalább 55 km-t, a második nap legalább 65 km-t, a harmadik napon legalább 35 km-t tettünk meg. Összesen a megtett út legalább 155 km. Hasonló módon kapjuk, hogy legfeljebb 185 km-t tettünk meg.

9. Nagymama a lekvárfőzéshez kg-ra kerekítve hat kg cukrot használ fel. Mennyi cukrot jelenthet ez? 5 és fél kg 5 felhasznált cukor < 6 és fél kg 10. Megadtuk néhány szám százasra kerekített értékét. Meg tudod-e adni az ezresekre, a tízezresekre kerekített értékét? Ki tudod találni a tízesekre kerekített értékét is? 8300, 17 800, 200, 0, 10 000, 1500, 18 500, 1600 százasokra kerekített érték a)

8 300

b)

17 800

c)

200

d)

0

valódi érték

x 8 250 5 x <8 350 17 750 5 x < 17 850 150 5 x < 250 x < 50

ezresekre kerekített érték

y y = 8 000 y = 18 000 y=0 y=0

tízezresekre kerekített érték

z z = 10 000 z = 20 000 z =0 z =0

31

Természetes számok százasokra kerekített érték e)

10 000

f)

1 500

g)

18 500

h)

1 600

valódi érték

x 9 950 5 x < 10 050 1 450 5 x <1 550 18 450 5 x < 18 550 1 550 5 x <1 650

ezresekre kerekített érték

y y = 10 000 y = 1000 vagy y = 2000 y = 18 000 vagy y = 19 000 y = 2 000

tízezresekre kerekített érték

z z = 10 000 z =0 z = 20 000 z =0

A feladat kitűzésekor tegyük fel a kérdést: – mi lehet a szám valódi értéke, – mi lehet az ezresekre kerekített értéke az így szóba jöhető számoknak, – mikor nem állapítható meg egyértelműen a százasokra kerekített értékből az ezresekre kerekített érték? A tízesekre kerekített érték egyik feladatban sem határozható meg.

11. Melyek azok a háromjegyű számok, amelyekben a jegyek összege 18, százasokra kerekített értékük 900, és jegyeik között van két egyenlő? 855, 882, 909 12. Melyik az a szám, amelynek százasokra kerekített értéke 500, és a számjegyei egyesével növekedő számsorozatot alkotnak? 456 És ha kettesével növekedő sorozatot alkotnak a számjegyek? 468 És ha hármasával növekednek? Nincs ilyen szám. 13. Melyik az a szám, amely ezresekre kerekítve 8000, és a számjegyek összege a lehető legnagyobb? 7999 14. Egy szám százasokra kerekített értéke 500, a számjegyeinek összege 22. Mennyi az ezresekre kerekített értéke? A szám: 499, ez pedig ezresekre kerekítve 0. 15. Egy szám százasokra kerekítve 500, ezresekre kerekítve pedig 1000. Mennyi a számjegyeinek összege? A számot x -szel jelölve 450 5 x < 550. Jegyeinek összege 5–18-ig bármi lehet.

10. óra: Összeadás és kivonás Tk.: 23–26. oldal, 1–23. feladat Az összeadás és kivonás ismétlésénél az elnevezéseket, az írásbeli műveletvégzést és a művelet ellenőrzését tudniuk kell a gyerekeknek. Ezeknek az alapos átismétlése, begyakoroltatása fontos feladat, de önmagában már unalmas lehet, ezért itt érdemes minél több játékos, esetleg kicsit gondolkodtató példát adni. A tankönyv és a feladatgyűjtemény is igyekszik segítséget nyújtani ehhez. Álljon itt még néhány ötlet! – Mindenki rajzol a füzetébe egy ábrát, két szám összeadásáról vagy kivonásáról: +

32

−


Egyenként húzzuk a számjegyeket, minden húzás után be kell írni az ábrába a kihúzott számot. Az nyer, aki a legnagyobb, a legkisebb végeredményt kapja, akié a legközelebb van egy előre adott értékhez stb. Nagyon szeretik a gyerekek, szívesen számolnak, és még egy kis fejtörésre is hajlandóak a győzelem érdekében. – Öt (vagy még több) hatjegyű számot villámgyorsan összeadunk, a gyerekek pedig – miközben ámulnak – írásban ellenőrzik az eredményt, és próbálják megfejteni a trükköt. A gyerekek mondanak három hatjegyű számot. Ezekből kettőt kiegészítünk 999 999-re, és hozzáírjuk az előző háromhoz. Az eredmény 2 millió + a gyerekek harmadik számánál 2-vel kisebb szám. Például: A gyerekek mondják

568 399 145 171 232 683 mi tesszük hozzá 431 600 + 854 828 2 000 000 − 2 + 232 683 = 2 232 681 A feladat előremutat az összeg, különbség változásaira és a műveletek sorrendjére. A témakör feldolgozásakor jól használható az 5. évfolyamos digitális tananyag. Javasolt eszközök: számkártyák, dobókockák, színes hátú számkártyák

Feladatok 1. a) Számolj 29-től 13-asával addig, amíg túl nem léped a 100-at! b) Számolj 1980-tól 40-esével addig, amíg túl nem léped a 2200-at! c) Számolj el 50-től a 100 átlépéséig úgy, hogy 1 hozzáadásával kezdjed, majd minden lépésben eggyel többet adj hozzá! Hány lépés kellett a 100-ig? Hasonló számolási gyakorlatokkal versenyezhetnek a gyerekek például úgy, hogy előre megadott idő (1 vagy 2 perc) alatt ki meddig jut el a számsorban. 2. Számold ki fejben! a) 87 + 39 126 d) 391 + 17 408 g) 83 + 255 338

b) 87 + 41 128 e) 391 + 10 401 h) 83 + 120 203

c) 87 + 410 228 f) 391 + 110 501 i) 83 + 187 270

3. Állítsd az összegeket vagy különbségeket növekedő sorrendbe! a) 48 + 26 = 74 50 + 27 = 77 48 + 30 = 78 47 + 26 = 73 74 < 77 < 78 < 79 73 <

b) 53 − 17 = 36

53 − 15 = 38

36 < 38 < 43 < 72 = 72

60 − 17 = 43

52 + 20 = 72

51 + 28 = 79 50 + 22 = 72

33

Természetes számok 4. Add össze a) 198 + d) 423 + g) 891 +

a számokat fejben! 400 b) 4300 + 3700 202 577 1000 e) 9800 + 200 109 1000 h) 5432 + 2568

8 000 10 000 8 000

c) 270 + 5730 f) 6350 + 1150 i) 998 + 1002

6000 7500 2000

A számok ügyes bontásával és csoportosításával a műveletek egyszerűen elvégezhetők fejben is. Sokféleképpen lehet gondolkozni. Fontos és ugyanakkor szórakoztató feladatok ezek. Könnyű különböző nehézségűeket adni belőlük. Óra eleji bemelegítésnek is alkalmasak. Időnként érdemes feltenni a kérdést: hogyan számoltál? 5. Becsüld meg az összeget százas pontossággal, majd végezd el az összeadást! b) 3971 + 2067 6038 c) 85 426 + 12 318 97 744 a) 304 + 802 1106 d) 409 + 1572 + 935 2916 e) 1213 + 512 1725 f) 602 + 17 619 g) 800 003 + 199 957 999 960 h) 48 712 + 2017 50 729 i) 5611 + 1209 6820 6. Kedves tavaszi virágaink egyikének nevét rejti a feladat. Végezd el a műveleteket, majd írd az eredményeket csökkenő sorrendbe! A megfelelő betűkből az egyik virág nevét olvashatod ki. Melyik képen látod ezt? Ismered a nevét a többinek is? 10 504 − 2 987

R

7 517

8618 + 909

S

9527

64 1819 + 5678

F

7561

12 901 − 5 078 Á 7 823

5307 − 3978

Y

1329

6304 546 + 497 Á 7347

2021 2059 + 2117

N

6197 SÁFRÁNY

7. Végezd el a kivonásokat fejben! a) 326 − 126 200 d) 95 400 − 35 400 60 000 g) 8540 − 8320 220

b) 3405 − 1200 2205 e) 7800 − 4700 3100 h) 513 − 508 5

c) 872 − 252 f) 974 − 573 i) 698 − 297

620 401 401

8. a) Mennyivel magasabb a Föld legmagasabb csúcsa a legmagasabb európai hegycsúcsnál? 4041 m-rel.

b) A rajzon látható dél-amerikai csúcs és az észak-amerikai csúcs közül melyik magasabb és mennyivel? 766 m-rel magasabb a dél-amerikai. c) Mennyivel magasabb a japánok szent hegye az olasz tűzhányónál, amely Pompeji pusztulását okozta? 2499 m-rel. d) Hasonlítsd össze a világ legmagasabb hegyét Magyarország legmagasabb csúcsával! 7834 m a különbség, körülbelül 8-szor magasabb.

e) Mennyivel magasabb Afrika legmagasabb hegye, mint a Matterhorn? 1417 m-rel. 34

Természetes számok Csomolungma (Ázsia) 8848 m Aconcagua [akonkagva] (Dél-Amerika) 6960 m Mount McKinley [mont mekinli] (Észak-Amerika) 6194 m Kilimandzsáró (Afrika) 5895 m Mont Blanc [mon blan] (Európa) 4807 m Matterhorn (Európa) 4478 m Fudzsi (Japán) 3776 m Vezúv (Olaszország) 1277 m Kékes (Magyarország) 1014 m

9. Helyezd el a 8 , 5 , 2 , 3 , 6 , 1 , 0 számkártyákat úgy, hogy az összeg + a) a lehető legnagyobb legyen; 521 + 8630 = 630 + 8521 = 621 + 8530 = 9151 A nagyobb helyi értékre nagyobb számjegyet kell rakni.

b) a lehető legkisebb legyen; 236 + 1058 = 258 + 1036 = 256 + 1038 = 1294 A kisebb helyi értékre kisebb számjegy kerüljön! A gyerekek észrevehetik azt is, hogy a két összeadandóban az azonos helyi értéken álló számjegyek felcserélhetők, ettől az összeg nem változik.

c) a lehető legközelebb legyen a 2328-hoz; 506 + 1823 = 2329 d) a lehető legkisebb négyjegyű szám legyen! 236 + 1058 = 1294 A feladattípus fontos tulajdonsága, hogy egyesíti a gyakoroltatást a gondolkodtatással, így automatikussá teszi a differenciált foglalkoztatást. Érdemes versenyként kitűzni. Minden gyerek hozzá tud kezdeni a feladathoz egy tetszőlegesen kiválasztott összeg kiszámításával. Ezzel mindenképpen gyakoroltatjuk az összeadás műveletét. Aki gondolkodik, jobb eséllyel találja meg a nagyobb összegeket. 10. Helyezd el a 8 , 5 , 2 , 3 , 6 , 1 , 0 számkártyákat úgy, hogy a különbség − a) a lehető legnagyobb legyen; 8653 − 102 = 8551 A kisebbítendő a lehető legnagyobb, a kivonandó a lehető legkisebb legyen!

b) a lehető legkisebb legyen; 1023 − 865 = 158 A kisebbítendő a lehető legnagyobb, a kivonandó a lehető legkisebb legyen!

c) a lehető legközelebb legyen a 753-hoz; 1320 − 568 = 752 d) a lehető legnagyobb háromjegyű szám legyen! 1583 − 602 = 981 11. Egy kétjegyű és egy háromjegyű szám összege 111. Mely számok lehetnek az összeadandók? A legkisebb háromjegyű szám a 100. A legkisebb kétjegyű szám a 10. Tehát a keresett számok vagy 100 és 11, vagy 101 és 10.

12. a) b) c) d)

Két szám összege 3456. A kisebb összeadandó 1672. Mekkora a nagyobb összeadandó? 1784 A kivonandó 917, a kisebbítendő 4025. Mennyi a különbség? 3108 A kisebbítendő 83 503, a különbség 7824. Mennyi a kivonandó? 75 679 A különbség 376, a kivonandó 2815. Mennyi a kisebbítendő? 3191

35

Természetes számok 13. Oldd meg a nyitott mondatokat!

p k

+ 625 = 1213

p

− 1514 = 3210

628 +

o

= 45 603

= 588

k o

= 4724 = 44 975

8403 −

v a

s

= 1029

s v

+ 9237 = 10 000 − 121 = 987

a

g

= 7374 4192 − = 763 500 −

= 1108

z

y

g

= 1514 = 299

− 413 = 5238

y

= 2678

= 201

z

= 5651

14. A Föld két leghosszabb folyója a Nílus (6670 km) és az Amazonas (6448 km). Hány kilométerrel hosszabb a Nílus az Amazonasnál? 222 km-rel. 15. Zolinak és Ildinek együtt 5600 Ft-ja van. Zolinak 640 Ft-tal több pénze van, mint a húgának. Mennyi pénzük van külön-külön? Ildinek 2480 Ft-ja, Zolinak 3120 Ft-ja van. 16. A pisai ferde torony építését 1173-ban kezdték el. Hány éve volt ez? Attól függ, melyik évben járunk.

17. Tamás és kisöccse, Péter közösen vettek virágot édesanyjuk születésnapjára. A csokorért 1200 forintot fizettek. Tamás 200 forinttal többet fizetett, mint az öccse. Mennyit fizetett Péter? A: 450 Ft B: 550 Ft C: 500 Ft D: 300 Ft 18. Hol fűrészeljük el a 150 cm hosszú lécet, ha azt akarjuk, hogy az egyik része 26 cm-rel hosszabb legyen a másiknál?

x + x + 26 = 150 x + x = 124 x = 62

x x

26

A következő feladatoknál nagyon fontos, hogy elképzeljék, valami egyszerű rajzzal vizualizálják a gyerekek azt, amit a szöveg mond. Minden esetben próbálják ki az eredményt!

150

Az egyik léc 62 cm, a másik léc 62 + 26 = 88 cm. 62 + 62 + 26 = 150, jó a megoldás.

19. Két szám összege 630. Az egyik 28-cal kevesebb a másiknál. Melyik ez a két szám? 329 és 301. 20. Két könyvet vettem. Az egyik 280 Ft-tal drágább volt a másiknál. Mennyibe került az olcsóbb könyv, ha összesen 1400 Ft-ot fizettem? 560 Ft. 21. Melyik a legkisebb és melyik a legnagyobb olyan tízjegyű szám, amelyben a számjegyek összege 55? Mi a válaszod, ha kikötjük, hogy a számjegyek között nincsen 0? Akkor kapjuk a legnagyobb számot, ha az elején levő helyi értékeken a lehető legnagyobb számjegyek állnak. Ez 6 db 9-est és utána egy 1-est jelent. Tehát a legnagyobb szám a 9 999 991 000. A legkisebb számban az elején levő helyi értékeken a lehető legkisebb jegyek állnak. Ez a szám az 1 000 999 999 lesz. Ha a számjegyek között nincs 0, akkor 9 999 961 111, illetve 1 111 699 999 a keresett számok.

Nem baj, ha a gyerekek próbálkozással látnak a feladathoz, de versenyezhetnek is, és az a győztes, aki közülük a legnagyobb, illetve a legkisebb számot írja. Könnyebb az osztálytársak megoldásai közül a legkisebbet megtalálni, mint az összes lehetőségek közül.

36


22. Keresd meg az üres négyzetekbe való számjegyeket! Az így kapott első négy szám összege legyen egyenlő az ötödik számmal! a) 3 4 9; 59 4 ; 4 37; 648; 2028 b) 412; 1 328; 2 0 0 1; 1 56 7 ; 5348 23. Az 1, 2, 3 számjegyekből készítsd el az összes háromjegyű számot úgy, hogy mindegyik számjegyet csak egyszer használd! Mennyi ezek összege? Az összeadandók között 2 db 1-esre végződő, 2 db 2-esre végződő és 2 db 3-asra végződő szám van. Ezek összesen 2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 = 12 db egyest adnak. Hasonlóan, az összegben 12 db tízes és 12 db százas szerepel. Ezek összege 12 e + 12 t + 12 sz = 1332

11–13. óra: Összeg és különbség változásai Tk.: 27–30. oldal 1–13. feladat

Összeg és különbség változásai Ebben a részben az a célunk, hogy az összeg és a különbség változásairól szemléletes képet adjunk, amire később egyszerűen hivatkozhatunk, emlékeztethetjük a gyerekeket, ha hibáznak. Ezekhez a képekhez kapcsolódva tárgyaljuk az összeg és különbség hozzáadását és kivonását is. Nagyon fontos, hogy ne elégedjünk meg a szabály ismeretével, törekedjünk arra, hogy minden gyerek – a leggyengébb is – megértse a képeknek és az alattuk levő műveleteknek az összefüggését! Beszéljük meg a képeket! Milyen kérdéseket tehetünk fel? Almás kép: – Mik az összeadandók ebben a feladatban? – Mi az összeg? – Hogyan változnak az összeadandók, mikor 3 almát átrakunk az egyik kosárból a másikba? – Hogyan változik az összeg? Mérőléces kép: – Mi a kisebbítendő? – Mi a kivonandó? – Hol látod a különbséget a rajzon? – Miért nem változik a különbség a képeken? Még jobb, ha el is játsszuk a gyerekekkel azt, ami a képeken történik. Később, feladatmegoldáskor könnyebben képzelnek valóságos helyzetet az absztrakt számok és műveletek mögé. Két kezünket egymás fölé tartva mérőléc nélkül is jól szemléltethetjük a kisebbítendőt, illetve a kivonandót. A két kéz közötti távolság jelenti a különbséget. Az egyes változásokat a gyerekek is mutatják a kezükkel. A változásokat a tanár mondja, például „a kisebbítendőt 20-szal növelem, a kivonandót tízzel csökkentem. A kezek mozgatásával nyilvánvalóan látszik, hogy a különbség 30-cal nőtt”. Ez leírva így néz ki: (a + 20) − (b − 10) = c + 30, ahol az a − b kivonásból indultunk ki, és a változtatást írtuk a zárójelek közé. Ezt, a számukra még nehéz algebrai összefüggést a gyerekek könnyen bemutatják a kezeik megfelelő mozgatásával.

37


Több tag összeadása és kivonása Zárójelek az összeadásban és a kivonásban Többtagú összeadás tagjainak felcserélése és csoportosítása általában nem okoz gondot. A műveletvégzés sorrendjének felcserélése az összeadást és a kivonást is tartalmazó feladatokban lehet, hogy szokatlanabb. A sorrend ilyenkor is cserélhető, de a számokat a hozzájuk tartozó műveleti jellel kell mozgatnunk. Ami előtt + jel van, azt hozzáadjuk, ami előtt − jel van, azt kivonjuk, mindegy, hogy milyen sorrendben. Készítsenek korongokra írt számokból és +, − jelekből műveletsorokat, cserélgessék a sorrendet, és ellenőrizzék, hogy minden esetben ugyanazt kapják! Érdemes ezt a részt a következő játékon keresztül feldolgozni: Írjunk egy hosszú műveletsort, amely csak összeadást és kivonást tartalmaz, hasonlóan a tankönyv példájához (27. oldal), majd a számokat az előttük álló műveleti jelekkel együtt írjuk fel korongokra! A korongokat tetszőleges sorrendben letéve végezzék el a gyerekek a műveletsort! Látni fogják, hogy mindenki ugyanazt a végeredményt kapja. A lényeg tehát az, hogy a számok „cipeljék magukkal” az előttük álló műveleti jelet, akkor tetszőleges sorrendbe állíthatjuk a tagokat. A műveletsor elé mindig odaképzelhetjük a + 0 korongot. A korong, rajta a szám és a műveleti jel sokat segíthet e két fogalom szoros kapcsolatának megértésében. Később is érdemes megengedni, hogy a füzetükben bekarikázással – a füzetbe rajzolt korongokkal – jelöljék maguknak a szám és a műveleti jel összetartozását. Ugyanez a modell előkerül majd az előjeles számok tanításakor, ott nagyon nagy segítségünkre lehet az előjel és műveleti jelek közötti összefüggések megértetésében. Az összeadás és a kivonás – vagy inkább hozzáadás és elvétel – műveletek sorrendje tehát felcserélhető, ha nincsenek zárójelek. Ha van zárójel, akkor azt bizonyos szabályok betartásával el lehet hagyni. Ezeket a zárójel-felbontási szabályokat itt nem kell megtanulniuk a gyerekeknek, ráérnek majd akkor, amikor algebrát tanulnak, és betűkifejezésekkel dolgoznak. Most ezekkel a szabályokkal még csak ismerkednek. Itt az a legfontosabb feladat, hogy a gyerekeknek elképzelésük legyen ezekről a szabályokról, megértsék a képek és az alattuk levő műveletek közötti összefüggést. A korábban leírtakhoz hasonlóan beszéljük meg, játsszuk el a képeken ábrázolt műveleteket! A szabályokat tehát megfigyelni, megbeszélni kell, nem mechanikusan memorizálni, hiszen amíg számok szerepelnek, a zárójelfelbontás egyszerűsítheti a dolgunkat, de nincs elengedhetetlen szükség a zárójelfelbontásra. Javasolt eszközök: számkártyák, korongok Minden gyereknek legyen korongkészlete! Ugyanez demonstrációs célokra is kell, nagyobb méretben. Itt is használhatjuk az öntapadós noteszlapokat, így elég, ha 8–10 darabos a táblai korongkészletünk, a számokat az öntapdós lapocskák segítségével könnyen változtathatjuk.

38

Természetes számok Feladatok 1. Számolj fejben! Változtasd ügyesen a tagok sorrendjét! a) 113 + 28 − 13 − 8 = 120 b) 229 − 40 + 11 + 73 = 273 c) 375 + 423 + 25 − 23 = 800 d) 220 + 176 + 80 − 75 = 401 e) 523 + 89 − 43 + 11 = 580 f) 1297 + 365 − 197 + 35 = 1500 g) 533 + 98 + 117 − 140 + 112 = 720 h) 8319 + 223 + 238 − 219 − 1100 + 77 − 238 = 7300 i) 2528 − 439 + 12 + 639 − 540 = 2200 j) 1349 − 623 + 111 + 1123 − 249 = 1711 Cél a csak összeadást és kivonást tartalmazó feladatokban a műveleti sorrend felcserélhetőségének a gyakorlása. Alkalmas óra eleji versenyfeladatnak is. Sokféleképpen lehet gondolkozni. Időnként érdemes feltenni a kérdést: hogyan számoltál? Például: (8319 − 219) + (223 + 77) + (238 − 238) − 1100 = 7300 2. Az összegek kiszámolása nélkül döntsd el, melyik nagyobb, és mennyivel!

< 43 + 20 3872 + 449 c) 3872 + 456 > e) 156 + 32 > 173 + 35 2752 + 1915 g) 2753 + 1916 > a) 43 + 9

11

7

40

2

i) 3871 + 914 = 3869 + 916

> 45 + 128 d) 976 + 1345 < 981 + 1345 f) 502 + 86 > 490 + 82 h) 189 + 25 > 180 + 30 f) 413 + 1325 > 403 + 1335 b) 57 + 128

12

5

16 4

1

3. Két kártyára olyan számokat írtunk, amelyek összege 100. Az egyik kártya hátulja piros, a másiké kék. A kártyákat számmal lefelé tettük le, így nem lehet tudni, melyiken milyen szám áll. Határozd meg az összeget, ha csak annyit tudunk, hogy + = 100! a) ( + 15) + ( + 3) = 118 b) ( + 5) + ( + 5) = 110 d) ( + 10) + ( − 20) = 90 c) ( − 6) + ( − 6) = 88 e) ( + 12) + ( − 12) = 100 f) ( − 20) + ( + 30) = 110 Fontos feladattípus, nagyon jól alapozza a későbbi algebratanítást. Érdemes kitenni a táblára a két kártyát két valódi számmal a másik oldalán. Segít abban, hogy a gyerekek megértsék – a színes kártyák számokat helyettesítenek, melyeknek az értékét nem ismerjük. Nagy segítséget jelent az azonosság fogalmának érlelődési folyamatában. Mikor megoldották a feladatot, megmutatjuk a kártyákat, és ellenőrizhetik a megoldásaikat. 4. Többet ésszel, mint erővel! A különbségek kiszámolása nélkül döntsd el, melyik nagyobb, és mennyivel! a) 4560 − 276

<4570 − 279 8

b) 3912 − 461

c) 895 − 377

=

898 − 380

d) 1965 − 418

e) 956 − 723

=

954 − 721

f) 644 − 328

> 3912 − 480 <1967 − 416 <646 − 326

19

4 4

39

Természetes számok 5. Péter apja egy külföldi útján vásárolni indult. 80 eurót vitt magával. A pénztárnál ötvenessel fizetett, és 13 eurót kapott vissza. Melyik megoldási terv alapján számítanád ki, hogy mennyi pénze maradt ezután? a) 80 − 50 − 13 b) 80 − 50 + 13 c) 80 − (50 − 13) d) 80 − (50 + 13) a) Nem jó megoldás. b) 80 eurójából kivett egy 50 euróst, maradt 80 − 50 eurója, majd ehhez a maradékhoz hozzátette a 13 euró visszajáró pénzt. Így a maradék pénze éppen 80 − 50 + 13 euró. c) 50 − 13 eurót költött el, tehát 80 − (50 − 13) eurója maradt. d) Nem jó megoldás.

6. Írj olyan feladatot, amelynek ez lehetne a megoldási terve! a) 150 − 43 − 10 b) 150 − (43 − 10) a) 150 oldalas könyvből egyik nap elolvastam 43-at, a másik nap 10-et. Hány oldal van még hátra? b) 150 oldalas könyv első fejezete 43 oldalas. Ezt a fejezetet 10 lap híján elolvastam. Hány oldal van még hátra?

7. Írj szöveges feladatot a műveletsorhoz, és válaszold is meg a feladatot! a) 50 − 10 + 4 b) (50 − 10) + 4 c) 50 − (10 + 4) d) 50 − 10 − 4 a) 50 euróm volt, abból elvesztettem egy tízest, de találtam 4 eurót. Mennyi pénzem van? 50 − 10 + 4 = 44 euróm van. b) Jobb zsebemben 50 euró van, bal zsebemben 4 euró. Jobb zsebemből egy tízest a barátomnak adtam. Mennyi pénzem maradt? (50 − 10) + 4 = 44 euróm maradt. c) Palkó 50 feladatból 10-et unalmasnak talált, 4 pedig egyáltalán nem tetszett neki. Hány feladattal volt Palkó többé-kevésbé megelégedve? 50 − (10 + 4) = 36 feladattal. d) Gábor 50 születésnapi lufijából 10-et elajándékozott, 4 pedig még aznap kipukkadt. Hány maradt másnapra? 50 − 10 − 4 = 36 lufija maradt.

8.

40

Tamás 13 cm-rel magasabb Balázsnál. Mennyi lesz a magasságkülönbség közöttük, ha a) Balázs beleugrik egy 60 cm mély gödörbe? 73 cm b) Tamás egy 50 cm magas székre áll, Balázs pedig egy 20 cm magas sámlira? 43 cm

c) Tamás feláll ugyanarra a székre, és Balázs a földön áll? 63 cm

d) Tamás is és Balázs is gödörben állnak, Tamásé 40 cm, Balázsé 60 cm mély? 33 cm

e) Tamás az 50 cm magas székre áll, Balázs meg a 40 cm mély gödörben van? 103 cm

Természetes számok f) Tamás is és Balázs is székre állnak? 13 cm

g) Tamás is és Balázs is a 60 cm mély gödörben állnak? 13 cm

Nagyon fontos feladat a különbség változásainak a tanításához. Az összeg és a szorzat változásai általában nem okoznak gondot a gyerekeknek, annál nehezebb viszont nekik a különbség és a hányados változásainak megértése. Ez a feladat nagyon jó a szemléletfejlesztéshez, ne sajnáljuk hát rá az időt! A legjobb az, ha valahogyan el is tudjuk játszani. Kimegy két gyerek, a pad teteje felelhet meg a székre állásnak, a pad ülése a sámlinak, és mondjuk a letérdelés és leguggolás a kétféle mélységű gödörnek. 9. Réka egy kosárba 23 db őszibarackot szedett. Elvitt belőle nyolcat a nagymamájának, ő pedig megevett kettőt. Hány barack maradt? Melyik műveletsor adja meg a megoldást? a) 23 − 8 + 2 nem b) 23 − (8 + 2) igen c) 23 + (8 − 2) nem d) 23 − 8 − 2 igen e) 23 + 8 + 2 nem f) 23 − (8 − 2) nem 10. Melyik több és mennyivel? a) 248 − (16 + 20) 40 248 − 16 + 20 c) 42 − (18 − 3) 6 42 − 18 − 3 e) 928 − (514 − 12) = 928 − 514 + 12 g) 230 − (81 + 9) = 230 − 81 − 9

< >

b) d) f) h)

248 − (16 + 20) = 248 − 16 − 20 42 − (18 − 3) = 42 − 18 + 3 928 − (514 − 12) 24 928 − 514 − 12 230 − (81 + 9) 18 230 − 81 + 9

> <

11. Két kártyára olyan számokat írtunk, amelyek különbsége 20. Az egyik kártya hátulja piros, a másiké kék. A kártyákat számmal lefelé tettük le, így nem lehet tudni, melyiken milyen szám áll. Határozd meg a különbséget, ha csak annyit tudunk, hogy − = 20! a) ( + 10) − = 25 b) ( − 3) − = 17 c) − ( − 5) = 25 d) − ( + 4) = 16 e) ( − 5) − ( − 5) = 20 f) ( + 3) − ( + 3) = 20 Fontos feladattípus, az összeg változásaival kapcsolatos 3. feladatnak a párja. Az ott elmondottak szó szerint érvényesek itt is. Ugyanez a típus megjelenik majd a szorzat és a hányados változásainál is. Az az ötlet azonban, hogy a számkártya hátulját színezzük, és csak a kártya hátát látják a gyerekek, sok egyéb helyen is felhasználható, átmenetet jelent az algebra és az aritmetika között. Ha valakinek nehézséget okoz, megoldhatja a feladatot úgy is, hogy a kék és a piros kártya helyére kitalál egy-egy számot, melyek különbsége 20. Jobb azonban, ha először enélkül próbálják kitalálni a válaszokat. Nagyon hasznos, ha a kezükkel eljátsszák a megadott műveleteket. Például így: – Képzeld el, hogy a két kezed között a távolság 20. A felső kezedet emeld fel 3-mal – ekkor a távolság 23-ra nő –, ezután az alsót is emeld fel 3-mal, a távolság 20-ra csökken. 12. Döntsd el, hogy a következő állítások közül melyik igaz, és melyik nem igaz! Válaszodat indokold is! a) Ha az összeg mindkét tagját ugyanannyival növeljük, akkor az összeg is nő. igaz b) Ha a kisebbítendőt és a kivonandót ugyanannyival növeljük, akkor a különbség is nő. hamis 41

Természetes számok c) Ha egy összeg egyik tagját ugyanannyival növeljük, mint amennyivel a másikat csökkentjük, az összeg nem változik. igaz d) Ha a kisebbítendőt ugyanannyival növeljük, mint amennyivel a kivonandót csökkentjük, a különbség nem változik. hamis e) Egy összeg egyik tagjához hozzá lehet adni egy számot úgy, hogy az összeg nem változik. igaz, a 0-t hozzáadva

f) Tudjuk a kisebbítendőt és a kivonandót úgy változtatni, hogy a különbség ne változzon. igaz 13.

A

B

5 18 13 28 23 10 32 27 14 4 43 38 25 15 11 50 45 32 22 18 7 56 51 38 28 24 13 6

C

D

E

F

G

8 település egy egyenes országút mentén helyezkedik el a következő sorrendben: A, B , C , D , E , F , G és H . Bizonyos települések közti távolságokat ismerünk, ezeket a táblázat tünteti fel. Az első oszlop 4. mezőjében álló 28 például azt jelenti, hogy az A és a D települések távolsága 28 km. Határozzuk meg a távolságokat a szomszédos települések között!

H 14–15. óra: Szorzás

Tk.: 31–33. oldal, 1–12. feladat A szorzás ismételt összeadás, amiben a szorzandó az összeadásban szereplő azonos tagokat, a szorzó pedig azok darabszámát jelenti. A szorzó és szorzandó szerepe tehát nem azonos. Természetesen tudják már a gyerekek, hogy a szorzás tényezői felcserélhetők, ami sok esetben – ilyen a matchboxos példa is – nyilvánvaló, más esetekben azonban nem annyira magától értetődő. Például: 3 db 15 kg-os zsák hagyma tömege 15 kg · 3 = 45 kg, 15 db 3 kg-os zsák hagyma tömege 3 kg · 15 = 45 kg. A végeredmény megegyezik, azonban a két feladat különböző. A gyerekek számára ennek megértése sokkal nehezebb lehet, mint ahogy mi hisszük. Ezért ebben az életkorban nem haszontalan a szóhasználattal is kifejezni ezt. – 3 · 15 az 3-nak a 15-szöröse, azaz 3 · 15 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 45 (15 tagú összeg) – 15 · 3 az 15-nek a 3-szorosa, azaz 15 · 3 = 15 + 15 + 15 (3 tagú összeg). Idővel ez a szóhasználat már lényegtelenné válik. Célszerű azonban időről időre rákérdezni egyegy szorzat jelentésére (vagyis az összegalakjára), ez nagyon jó szolgálatot fog tenni a későbbiekben, például a negatív szám, törtszám természetes számmal való szorzásakor, a kiemelés tanításakor stb., különösen hasznos lehet a hatványozásnál. Ahogyan a szorzás az ismételt összeadás rövid formája, ugyanúgy lesz majd a hatvány alak az ismételt szorzás rövid alakja. Ebben a párhuzamban a szorzandó analógja a hatványozás alapja, a szorzóé pedig a hatványkitevő. A hatványozásnál természetesnek vesszük azt, hogy az alap és a kitevő szerepe különböző, mivel ezeket felcserélve más eredményhez jutunk, a szorzásnál ezt a különbséget könnyebben elfelejtjük. Mindenesetre, ha itt jól látják az összeadás és szorzás kapcsolatát, az nagyon megkönnyítheti a hatványozás megértését. 42


Szorzás 10-zel, 100-zal, 1000-rel. . . Ha a helyi értékes számírás ismétlésekor a tökéletes pénztárgéppel jól megismerkednek a gyerekek, annak többek között itt, a kerek számokkal való szorzás tanításakor igen jó hasznát vehetjük. Segít abban, hogy a gyerekek fejében együtt alakuljon ki az a kép, hogy a 10-zel, 100-zal, 1000rel: : : való szorzáskor a számjegyek a helyiérték-táblázatban magasabb helyi értékre ugranak, és ezért kerülnek 0-k a hátsó helyi értékekre, azaz az üresen maradó fiókok helyére. Javasolt eszközök: számkártyák, helyiérték-táblázat fólián, mozgatható számcsíkkal

Feladatok 1. Helyettesítsd az összeadásokat szorzással, a szorzásokat pedig összeadással! a) 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 = 112 · 8 = 96 b) 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 18 · 5 = 40 c) 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 110 · 6 = 60 d) 52 · 4 = 152 + 52 + 52 + 52 = 208 e) 7 · 10 = 17 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 70 f) 103 · 3 = 1103 + 103 + 103 = 309 2. Szorozz fejben! 10 · 9 = 90 100 · 20 = 2000 10 · 3560 = 35 600 1000 · 3 = 3000

10 · 81 = 810 1000 · 498 = 498 000 7 · 100 = 700 351 · 100 = 35 100

1000 · 16 = 16 000 249 · 10 = 2490 8077 · 100 = 807 700 300 · 1000 = 300 000

1000 · 5812= 5 812 000 10 · 200 = 2000 500 · 300 = 150 000 320 · 2000 = 640 000

Nem árt, ha észreveszik és megfogalmazzák, hogy a számok végén álló 0-k száma összeadódik, és az előttük álló értékek szorzata után kerül. Ilyen feladatokat játékosan, versenyszerűen is adhatunk óra eleji bemelegítésként. 3. Ezeket a szorzásokat fejben sem nehéz kiszámítani. Keress ügyes módszert! 27 · 11 = 297 27 · 101 = 2727 325 · 1001 = 325 325

34 · 99 = 3366 34 · 999 = 33 966 90 · 56 = 5040

23 · 9900 = 227 700 9090 · 12 = 109 080 10 010 · 21 = 210 210

998 · 15 = 14 970 1002 · 23 = 23 046 45 · 9998 = 449 910

Jó bevezető ezekhez a feladatokhoz, ha a tanár elkezd „hencegni” azzal, hogy milyen remekül tud fejben számolni. Pillanatok alatt megszoroz akármilyen (kétjegyű) számot 99-cel. A gyerekek adják a feladatokat, a tanár mondja az eredményt, a gyerekek ellenőrzik a tanárt írásban. Amint valaki rájött a „trükkre”, átveheti a tanár szerepét, ő mondja meg rövid fejszámolás után az eredményt. Addig játszhatjuk ezt, amíg a gyerekek érdeklődése tart, amikor kérik, hogy áruljuk el a trükköt, fogalmaztassuk azt meg valamelyik gyerekkel, aki már rájött. Ekkor „bedobhatjuk” a következőt, például azt, hogy remekül tudunk szorozni 999-cel stb: : : Egyre könnyebben fedezik fel az ügyes fejszámolási szabályokat, és ha sikerül ezt valóban játékként „eladnunk”, akkor tanulóink egy része lelkes fejszámolóvá fog válni. 43

Természetes számok 4. a) Végezd el fejben a szorzásokat! 40 · 600 = 24 000 50 · 80 = 4000 700 · 30 = 21 000 120 · 40 = 4800 210 · 200 = 42 000 b) Állítsd a következő szorzatokat növekedő sorrendbe! Használd fel ügyesen az a) feladatrész eredményeit! 690 · 31 205 · 197 599 · 39 42 · 77 123 · 42 42 · 77 < 123 · 42 < 690 · 31 < 599 · 39 < 205 · 179

3234 < 5166 < 21390 < 23361 < 40385

5. a) Tippeld meg, hogy körülbelül mekkorák az egyes szorzások eredményei! A szorzás elvégzése nélkül mindegyik szorzathoz válaszd ki, milyen színű tartományba esik! 23 · 410 a narancsba 198 · 48 a narancsba 8000 és 9000 között

51 · 31 a zöldbe 29 · 38 a zöldbe

620 · 9 a sárgába 5 · 1125 a sárgába

305 · 29 a kékbe

9000 és 10 000 között

1000 és 2000 között 5000 és 6000 között b) A szorzások elvégzésével ellenőrizd, jól tippeltél-e! 6. Helyezd el a 3 , 5 , 8 , 1 , 6 számkártyákat úgy, hogy a · szorzat a) a lehető legnagyobb legyen; 651 · 83 = 54 033 a legnagyobb, b) a lehető legkisebb legyen; 368 · 15 = 5520 a legkisebb, c) a lehető legközelebb legyen a 6000-hez; 156 · 38 = 5928 van a legközelebb a 6000-hez, d) a lehető legkisebb ötjegyű szám legyen! 856 · 13 = 11 128 a legkisebb ötjegyű szám. 7. A számokat szorzat alakban írtuk fel. Gyűjts minél többféle szorzat alakot! 660 = 66 · 10 = 2 · 33 · 10 = 66 · 5 · 2 = ? 8000 = 20 · 400 = 2 · 4 · 10 · 100 = 1000 · 8 = ? 144 = 12 · 12 = 2 · 72 = 2 · 9 · 8 : : : 5600 = 7 · 800 = 7 · 8 · 100 = 2 · 2800 = 2 · 7 · 400 : : : 10 000 = 100 · 100 = 2 · 5000 : : : 39 = 3 · 13 246 = 2 · 123 = 2 · 3 · 41 6 = 2·3 A matematikai gondolkodás fejlesztése szempontjából lényeges, hogy az egyenlőségjelet ne csak egy irányban használjuk! Adjunk olyan feladatokat is, amelyekben nem a szorzáshoz kell a végeredményt megkeresni, hanem egy adott számot kell szorzat alakba írni. Például írják fel a 660 számot minél többféleképpen szorzat alakban. A feladatból jó játékot csinálhatunk úgy, hogy kérjük, diktálják a megoldásaikat, és az a gyerek győz, aki a legutoljára tud olyan alakot mondani, ami még nem szerepelt. 8. A Kheopsz-piramist 2 500 000 db, egyenként 2500 kg tömegű faragott mészkőtömbből építették. Hány kilogramm követ használtak fel összesen? 6 250 000 000 kg = 6 250 000 t 9. A Föld legnagyobb tengere a Dél-kínai-tenger, 4999-szerese a Balatonnak. A Balaton területe 595 km2 . 2 974 405 km2 10. Egy 6 emeletes épület 18 lépcsőházból áll. Minden lépcsőházban, minden emeleten 4 lakás található. 432 lakás 44

Természetes számok 11. A világ népessége percenként 158 fővel gyarapszik. Hány embert jelent ez naponta? Ez 227 520 embert jelent naponta.

12. Az ábrán egy szorzótábla részletét látod. Az 56-ot például úgy kaptuk, hogy az oszlop tetején és a sor szélén álló számokat, a 8-at és a 7-et szoroztuk össze. Ezekben a szorzótáblákban néhány szám helyére betűket írtunk. Milyen számot jelenthetnek a betűk? a)

· 6

b7

a 23 138 161

83

b)

c 498 d 581

· 815 816 a b 901 902 c d

c)

·

a6 b9

c 7 42 d 3 e 18

63 27

vagy

·

5

8

7 35 56 11 55 88

·

a2 b3

c 21 42 d 9 e 18

63 27

Nagyon jó kis rejtvényes feladat. A gyengék is jó eséllyel látnak hozzá, az okosabbak is élvezik a megfejtését. Az egyetlen nehézséget az jelenti, hogy milyen sorrendben lehet kitalálni az ismeretleneket. b = 161 : 23 = 7 d = 83 · 7 = 581 a) c = 83 · 6 = 498 a = 138 : 6 = 23 b = 816 · 901 = 735 216 b) a = 815 · 901 = 734 315

c = 902 · 815 = 735 130

d = 902 · 816 = 736 032 c) Több megoldás is lehetséges, annyit lehet tudni, hogy a c -nek meg kell lenni egész számszor a 42-ben és a 63-ban is. Ilyen számok az 1, 3, 7 és a 21. Hasonló megfontolással a b az 1, 3 vagy 9. Így a lehetséges megoldások:

c=1 c=3 c=7 c = 21

b = 63 b = 21 b=9 b=3

ez lehetetlen ez lehetetlen

a=6 a=2

d=3 d=9

e = 18 e = 18

16–17. óra: Osztás Tk.: 34–41. oldal, 1–22. feladatok Az osztás ismétlésekor térjünk ki a bennfoglaló osztás és a részekre osztás megbeszélésére! Számunkra az 54 : 9 = 6 osztás egyaránt jelentheti azt, hogy az 54-ben hányszor van meg a 9, és azt, hogy az 54-et 9 egyenlő részre osztva mennyit kapunk. A gyerekek számára ez azonban nem olyan magától értetődő. Például: Ha 54 almát osztunk szét, és minden gyerek 9 almát kap, akkor 54 : 9 = 6 gyerek között osztunk. Ha 54 almát 9 gyerek között osztunk szét, akkor minden gyerek 54=9 = 6 almát kap. A végeredmény megegyezik, azonban a két feladat a gyerekek számára nagyon is különböző. Ezért ebben az életkorban nem haszontalan megengedni, hogy különböző műveleti jeleket használjanak. Idővel ez már lényegtelenné válik. Jó, ha megértik a gyerekek, hogy a bennfoglaló osztás végeredménye mindig egész szám, és van maradék, amely szintén egész, lehet, hogy nulla. A részekre osztásnál nincs maradék, ez vezet a pontos osztáshoz, amelynek a végeredménye lehet törtszám.

45


Szorzás és osztás ellenőrzése Az osztás, szorzás ellenőrzéséről szóló rész jelentősége – akár az összeadásnál, kivonásnál – elsősorban abban van, hogy megértsék az összetartozó műveletpárok – a szorzás és az osztás – közötti összefüggéseket. A kalkulátorok világában csökkent annak a jelentősége, hogy valóban a műveletvégzés helyességét ellenőrizzük általuk. Annál nagyobb a fontossága annak, hogy lássák a szorzás és osztás rokonságát, értsék a közöttük fennálló összefüggéseket. Ezt a megértést hatékonyan segítik azok a szorzási és osztási feladatok, melyeknek a végeredményét tudjuk, de valamelyik másik szám hiányzik belőlük.

Osztás 10-zel, 100-zal, 1000-rel. . . Ha a helyi értékes számírás ismétlésekor a tökéletes pénztárgéppel jól megismerkednek a gyerekek, annak többek között itt, a kerek számokkal való osztás tanításakor igen jó hasznát vehetjük. Segít abban, hogy a gyerekek fejében együtt alakuljon ki az a kép, hogy a 10-zel, 100-zal, 1000rel: : : való osztáskor a számjegyek a helyiérték-táblázatban lejjebb ugranak annyival, ahány 0 az osztó végén állt, megtöltenek a szám végén álló üres helyi értékek közül annyit, amennyivel lejjebb ugrottak, ahonnan így annyi 0-val kevesebb lesz, amennyi az osztóban szerepelt. Ez a kép a gyerekek számára nagyon érthetően és érzékletesen mutatja a szorzás és osztás rokonságát. Azt, hogy ugyanannak a folyamatnak a színe és visszája ez a két művelet. Érdemes megkérni a gyerekeket, hogy a szomszédok közül az egyik a szorzásnál, a másik az osztásnál nyissa ki a könyvét, és hasonlítsák össze a két részt. Keressék meg a különbségeket közöttük! Ügyeltünk arra, hogy az ábrák és a szövegek is a lehető legkevesebb eltérést tartalmazzák. Van azonban egy nagy különbség a két művelet között. A 10-zel, 100-zal, 1000-rel szorzásnál a számjegyek mindig tudnak magasabb helyi értékre ugrani, A 10-zel, 100-zal, 1000-rel osztásnál azonban nem biztos, hogy minden számjegy tud alacsonyabb helyi értékre ugrani, mivel előfordulhat, hogy egyesnél kisebb helyi értéket kapnánk, de a helyiérték-táblázat kibővítése még nem történt meg. Jó osztályokban kézenfekvően vethető fel a kérdés, lehet-e a helyiérték-táblázatot az egyesek előtt is, az egyeseknél kisebb értékek felé is folytatni. Érdekes beszélgetés alakulhat ki belőle. Javasolt eszközök: helyiérték-táblázat fólián mozgatható számcsíkkal, számkártyák Osztás többjegyű számmal A többjegyű számmal való osztást jól eljátszhatjuk a tökéletes pénztárgép pénzeivel. Legyen mondjuk a 20 757 000 : 17 az az osztás, amelyet el akarunk játszani. Válasszunk a gyerekek közül 17 rablót (kincsvadászt, vállalkozót, tengerészt stb.)! Egyikük legyen a vezér, aki el akarja osztani a nyereségüket – 20 757 000 Ft-ot (eurót, aranyat stb.) egyenlően. Nyolc gyerek a pénztárgép fiókjait kezelheti, egy pedig az automata lehet, aki a beváltásokat végzi. Legyen egy írnok is, aki jegyzi minden lépésben a rablóvezérnél, illetve a közönséges rablók kezében lévő pénzt. A rablóvezér így osztja szét a pénzt: Kezébe veszi a 20 757 000 Ft-ot. Először veszi ebből a 2 tízmillióst, de ezeket nem tudja szétosztani, ezért odaadja az automatának, hogy váltsa be 20 egymilliósra. 20 milliós van a kezében, ebből minden rablónak ad 1 millióst, nála marad 3. Ekkor a közösben 3 757 000 Ft van. Felváltja a 3 millióst 30 százezresre – 37 százezres van a kezében –, és minden rablónak ad két darabot. Megmarad nála 3, összesen 357 000 Ft. 46


A 3 százezrest felváltja 30 darab tízezresre – ebből most van 35 darab nála –, amiből mindenkinek oszt 2 tízezrest. Neki pedig marad 1, összesen 17 000 Ft. Az 1 tízezresét beváltja ezresekre, az így nyert 17 ezresből minden rabló kap egyet, és a közösben semmi sem marad. Az írnok a táblán követte a folyamatot, így: a rablóknál A közös pénz lévő pénz

tM M Sz

T

1. Oszd el a 345-öt maradékosan a) 2-vel, 172, marad 1 d) 5-tel, 69 g) 1-gyel, 345 j) 40-nel, 8, marad 25

b) e) h) k)

E

sz

t

e

kezdet 2 0 7 5 7 0 0 0 0 1. osztás előtt 20 7 5 7 0 0 0 3 7 5 7 0 0 0 1 000 000 1. osztás után 2. osztás előtt 37 5 7 0 0 0 2. osztás után 3 5 7 0 0 0 1 2 00 000 3. osztás előtt 35 7 0 0 0 1 7 0 0 0 1 2 2 0 000 3. osztás után 4. osztás előtt 17 0 0 0 4. osztás után 0 0 0 0 1 221 000 Ha ezután közösen elvégezzük az írásbeli osztást, és összehasonlítjuk az írnok jegyzeteivel, akkor látjuk, hogy pontosan megtalálhatók benne az írásbeli osztás lépései. Megkérhetjük őket, hogy karikázzák be azokat a részeket, amelyek az írásbeli osztásban is benne vannak (lásd fenn). A játéknak a tanításunk szempontjából több haszna is van. Az első és legfontosabb, hogy megélik a gyerekek azt, hogy az írásbeli osztás absztrakt receptje valóságos szétosztási folyamatot követ. A másik haszon az lehet, hogy látják, hogy az osztás egyes lépéseiben végig kellene írnunk az összes számjegyet, nem csak „levenni a következő számjegyet”. A harmadik – és nem elhanyagolható – haszon, hogy a játék pénzekkel való manipulálás segít abban, hogy a tízes számrendszerben otthonosabbak legyenek. Javasolt eszközök: játék pénzek a helyi értékeknek megfelelő értékű pénzekkel

Feladatok

3-mal, 115 6-tal, 57, marad 3 25-tel, 13, marad 20 300-zal, 1, marad 45

c) f) i) l)

4-gyel, 86, marad 1 10-zel, 34, marad 5 30-cal, 11, marad 15 500-zal! 0, marad 345

2. Melyik számnak többszöröse? a) 32 1, 2, 4, 8, 16, 32 c) 36 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 e) 72 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

b) 18 1, 2, 3, 6, 9, 18 d) 50 1, 2, 5, 10, 25, 50 f) 101 1, 101

3. Végezd el a következő osztásokat! a) 328 : 7 46, marad 6 d) 834 : 6 139

b) 450 : 9 50 e) 1310 : 3 436, marad 2

c) 296 : 8 37 f) 514 : 4 128, marad 2

47

Természetes számok 4. Számold ki! a) 3300 : 10 = 330 d) 8000 : 100 = 80

b) 3300 : 100 = 33 e) 900 000 : 1000 = 900

c) 5320 : 10 = 532 f) 57 000 : 100 = 570

5. a) Becsüld meg, hogy körülbelül mekkorák az egyes osztások eredményei! Az osztás elvégzése nélkül mindegyik hányadoshoz válaszd ki, milyen színű tartományba esik! 2100 : 53 kékbe 6993 : 38 zöldbe

8888 : 31 sárgába 4501 : 25 zöldbe

3050 : 31 narancsba 820 : 9 narancsba

30 és 50 között 90 és 110 között 180 és 200 között b) Az osztások elvégzésével ellenőrizd, jól tippeltél-e!

1985 : 41 kékbe 250 és 300 között

6. Végezd el az osztásokat! a) 413 : 12 34, marad 15 d) 353 : 37 9, marad 20 g) 2314 : 54 42, marad 46

b) 5304 : 21 252, marad 12 e) 285 : 31 9, marad 6 h) 15 687 : 126 124, marad 63

c) 4720 : 19 248, marad 8 f) 5200 : 65 80 i) 32 416 : 451 71, marad 395

7. Helyezd el az 1 , 2 , 3 , 4 , 5 kártyákat úgy, hogy a a) a lehető legnagyobb legyen; 543 : 12 = 45

:

hányados

3

b) a lehető legkisebb legyen; 123 : 54 = 2 15

c) a lehető legközelebb legyen a 30-hoz; 354 : 12 = 29 6

d) a lehető legkisebb kétjegyű szám legyen! 234 : 15 = 15 9

e) Készíts olyan osztást, amelyben nincs maradék! 532 : 14 = 38 8. Melyik az a szám, amelyet 19-cel osztva a hányados 23, és a maradék 5? 442 19 · 23 + 5 = 442 9. Melyik az a szám, amelyet 52-vel osztva a hányados 14, és a maradék 8? 736 52 · 14 + 8 = 736 10. Melyik számmal kell elosztani a 894-et, hogy a hányados 34, a maradék 10 legyen? 26 (894 − 10) : 34 = 26

11. Oldd meg a nyitott mondatokat! a) 1596 : 42 = = 38 c) : 91 = 36 = 3276 e) 3074 : (6 + ) = 58 = 47

b) 4088 : = 73 = 56 d) 1769 : 29 = + 4 = 57 f) ( + 2) : 30 = 13 = 388

12. Gondoltam egy számot, megszoroztam 12-vel, aztán hozzáadtam 54-et. Az eredményt elosztottam 6-tal, és 25-höz jutottam. Melyik számra gondoltam? 8 Visszafelé okoskodva: a keresett szám (25 · 6 − 54) : 12 = 8

13. Egy iskolába 858 gyerek jár. 26 fős osztályokat szeretnének létrehozni. Hány osztály lesz? 33

48


Érdemes ugyanezt a feladatot más számmal is kitűzni, és beszélgetni arról, mi van, ha maradnak gyerekek, akikből nem telik ki egy teljes osztály. Például ha 858 gyerek jár az iskolába, és 27 fős osztályokat szeretnénk. Ekkor 31 teljes osztályt kapunk, és kimarad 21 gyerek. Ezeket vagy szétosztjuk a többi osztályok között, és ezekben 27 helyett 28 gyerek lesz, vagy némelyik teljes osztályból idehívunk egy-egy gyereket, azokban csak 26 gyerek marad addig, amíg itt is 27 vagy 26 lesz a létszám. A valóságban ez persze attól is függ, milyen korú gyerekekből hány van. 14. Egy raktárba 917 doboz csempét hoztak. Minden polcra 12 dobozt raknak. Hány polc kell a dobozok elhelyezéséhez? Hány doboz kerül az utolsó polcra? 77 polc kell, 5 doboz marad az utolsó polcra.

917 : 12 = 76, marad 5; 76 teli polc lesz

15. Egy autó egyszeri tankolással 520 km-t tud megtenni. Hányszor kell teletankolni egy 6700 kmes úthoz? 6700 : 520 = 12, és marad 460 km. 13-szor kell tankolni, mert 12 tankolással még csak 6240 km-ig jut el az autó.

16. Áron, Márk és Juca megmérték a híd korlátjának hosszát. Áron és Márk 80 cm hosszú övvel mért. Ez 5-ször fért rá. Juca a hajából vette ki a szalagot, és azzal mért. 16-szor fért rá a korlátra. Hány centiméter Juca szalagja? 2 m = 200 cm A fiúk mértek 80 · 5 = 400 cm-t. Juca mért: 400 : 16 = 25 cm hosszú szalaggal.

17. Az újrahasznosított papír minden tonnája 18-20 öreg fát kímél meg a kivágástól. Ennyi fa évente körülbelül 120 kg szén-dioxidot köt meg. Emellett a gyártás során 30 köbméter vizet, 5 köbméter hulladéklerakó helyet, 280 l kőolajat is meg lehet takarítani. Egy iskolában a gyerekek 2200 kg papírt gyűjtöttek. a) Hány liter kőolajat spóroltak meg ezzel? 616 liter b) Hány fát mentettek meg? 44 c) Hány kg szén-dioxidot kötnek meg a megmentett fák? 264 kg 1 t = 1000 kg 100 kg újrahasznosított papír 28 l kőolajat spórol, 2 fát ment meg, 12 kg szén-dioxidot köt meg. 2200 kg 22-szer annyit: 28 · 22 = 616 l kőolajat, 2 · 22 = 44 fát és 12 · 22 = 264 kg szén-dioxidot jelent.

18. Kinek volt igaza? Ki tévedett? Palkó: Ha a szorzat egyik tényezője 0, akkor a szorzat értéke 0. Igaz. Péter: Szorzat értéke csak akkor lehet 0, ha legalább az egyik tényezője 0. Igaz. Balázs: Az osztandó sosem lehet 0. Nem igaz. Anna: Az osztó sosem lehet 0. Igaz. Misike: A hányados sosem lehet 0. Nem igaz, 0 : 3 = 0. Dani: Ha az osztandó 0, akkor a hányados 0. Nem igaz, mert lehet, hogy az osztó is 0, és a 0 : 0 osztás értelmetlen.

Kata: Ha az osztandó és az osztó megegyezik, akkor a hányados 1. Nem igaz, mert 0 : 0 kivétel, és ez az osztás értelmetlen.

49

Természetes számok 19. Húsvéthétfőn Julcsi hímes tojásokkal várta a locsolóit. 32 tojást festett. Minden fiúnak ugyanannyi tojást adott, és így az összeset szétosztotta. A 32 osztóit kell megkeresni, több lehetőség van. A fiúk száma A tojások száma

1 32

2 16

4 8

8 4

16 2

32 1

20. A család Ági születésnapját ünnepelte. A tortát 20 szeletre vágták fel. Anya és apa egy-egy szeletet evett. A testvérei és a meghívott gyerekek pedig mindannyian ugyanannyi szeletet kaptak. Hány gyerek lehetett a zsúron, ha senki nem evett több mint 3 szelet tortát? A fennmaradó 18 szelet tortát kell elosztani úgy, hogy a tortaszeletek száma legfeljebb 6 legyen. A gyerekek száma A tortaszeletek száma

3 6

6 3

9 2

21. Találd ki az osztandót és az osztót, ha csak az 1, 2, 4, 8 számjegyeket használhatod, ha kell, többször is! 4 2 4 8 : 1 2 = 354 22. Az ábrán egy szorzótábla részletét látod. Milyen számokat lehet a betűk helyére írni? Keress többféle megoldást!

·

c e

a

72

f

b d

60

például:

· 36 10

72

2

6 216

20

60

18. óra: Szorzat és hányados változásai Tk.: 41–44. oldal, 1–9. feladat Ebben a részben az a célunk, hogy a szorzat és a hányados változásairól egy nagyon szemléletes képet adjunk a gyerekeknek, amire később egyszerűen hivatkozhatunk, emlékeztethetjük őket, ha hibáznak. Ezekhez a képekhez kapcsolódva tárgyaljuk a szorzattal/hányadossal való szorzást, illetve osztást is. Nagyon fontos! Ne elégedjünk meg a szabály ismeretével, törekedjünk arra, hogy minden gyerek – a leggyengébb is – megértse a képeknek és az alattuk levő műveleteknek az összefüggését! Beszéljük meg a képeket! Ilyen kérdéseket tehetünk fel: 1. példa – Mi a szorzandó és a szorzó ebben a feladatban? – Egy füzet ára, illetve a füzetek darabszáma. – Mi a szorzat? – A füzetek együttes ára. – Hogyan változott meg a szorzandó és hogyan a szorzó? – Az egyik a negyedrészére csökkent, a másik a négyszeresére nőtt. – Hogyan változott a szorzat? – Ugyanannyi maradt. 50


2. példa – Mi az osztandó? – A cukorkák száma. – Mi az osztó? – A gyerekek száma. – Mit jelent a hányados? – Az egy gyereknek jutó cukorkák számát. – Miért nem változik a hányados a különböző esetekben? – Kétszer annyi gyereknek kétszer annyi cukorkából ugyanannyi jut. Még jobb, ha el is játsszuk a gyerekekkel, ami a képeken történik. Később, feladatmegoldáskor könnyebben képzelnek valóságos helyzetet az absztrakt számok és műveletek mögé. 3. példa A hányados egyszerűsítését mutatjuk be szemléletesen.

Több tényező szorzása, osztása A következő gyakorlat segíthet ennek megértésében: írjunk egy hosszú műveletsort, amely csak szorzást és osztást tartalmaz hasonlóan a tankönyv példájához (42. oldal), majd a számokat az előttük álló műveleti jelekkel együtt írjuk fel korongokra! A korongokat tetszőleges sorrendben letéve végezzék el a gyerekek a műveletsort! Látni fogják, hogy mindenki ugyanazt a végeredményt kapja. Tehát az a lényeg, hogy a számok „cipeljék magukkal” az előttük álló műveleti jelet, akkor tetszőleges sorrendbe állíthatjuk a tagokat. A műveletsor elé mindig odaképzelhetjük a · 1 korongot. Megfogalmazhatjuk azt is, hogy ami az összeadásban (kivonásban) a nulla, ugyanaz a szorzásban (osztásban) az egy. Újabb analógia, amely rámutat a műveletek közötti „rokonságokra”. Zárójelek a szorzásban és az osztásban Többtényezős szorzás tényezőinek felcserélése és csoportosítása általában nem okoz gondot. A műveletvégzés sorrendjének felcserélése a szorzást és osztást is tartalmazó feladatokban lehet, hogy szokatlanabb. A sorrend ilyenkor is cserélhető, de a számokat a hozzájuk tartozó műveleti jellel kell mozgatnunk. Ami előtt · jel van, azzal szorzunk, ami előtt : jel van, azzal osztunk, mindegy, hogy milyen sorrendben. Később is érdemes megengedni, hogy a füzetükben bekarikázással – a füzetbe rajzolt korongokkal – jelöljék maguknak a szám és a műveleti jel összetartozását. Ugyenez a modell előkerül majd a törtszámok tanításakor, itt is segítségünkre lehet a törtekkel végzett műveletek megértésében. A szorzás és az osztás műveletek sorrendje tehát felcserélhető, ha nincsenek zárójelek. Ha van zárójel, akkor azt bizonyos szabályok betartásával el lehet hagyni. Ezeket a zárójel-felbontási szabályokat itt nem kell megtanulni a gyerekeknek, ráérnek majd akkor, amikor algebrát tanulnak, betűkifejezésekkel dolgoznak. Most ezekkel a szabályokkal még csak ismerkednek. Itt az a legfontosabb feladat, hogy a gyerekeknek elképzelésük legyen ezekről a szabályokról, és megértsék a képek és az alattuk levő műveletek közötti összefüggést.

51


A korábban leírtakhoz hasonlóan beszéljük meg, játsszuk el a képeken ábrázolt műveleteket! A szabályokat tehát megfigyelni, megbeszélni kell, nem mechanikusan memorizálni, hiszen amíg számok szerepelnek, a zárójelfelbontás egyszerűsítheti a dolgunkat, de nincs elengedhetetlen szükség a zárójelfelbontásra. Javasolt eszközök: számkártyák, korongok

Feladatok 1. Számolj fejben! Ezek a számítások könnyen elvégezhetők, ha ügyesen változtatod a műveletek sorrendjét, és megfelelően csoportosítod a számokat. a) d) g) j)

13 · 4 · 25 = 1300 2 · 19 · 5 = 190 5 · 195 · 20 = 19 500 43 · 2 · 5 · 0 · 21 = 0

b) e) h) k)

25 · 30 · 15 · 4 = 45 000 8 · 5 · 7 · 125 = 35 000 3 · 5 · 29 · 20 : 29 : 2 = 150 43 · 12 · 5 : 43 · 2 = 120

12 · 3 · 13 · 2 : 26 = 36 47 · 12 · 0 : 35 : 7 = 0 7 · 15 · 7 : 49 : 3 = 5 99 · 110 : 33 : 33 = 10

c) f) i) l)

2. Állítsd a számokat növekvő sorrendbe! Próbáld megoldani a szorzatok kiszámítása nélkül! a) 126 · 3 b) 1260 · 30 c) 126 · 6

d) 63 · 6

A szorzat és hányados változásairól tanultak egyszerű alkalmazása kell a feladat megoldásához. 126 · 3 = 63 · 6 < 126 · 6 < 1260 · 30

3. A szorzások elvégzése nélkül döntsd el, melyik nagyobb, és hányszor! a) 72 · 56 c) 72 · 56 e) 100 · 21

< ·2 vagy 72 · 112 · 4> vagy 36 · 28 · 15> vagy 20 · 7

b) 63 · 64 d) 9 · 13 f) 100 · 18

=

vagy

< ·6 vagy · 2> vagy

126 · 32 27 · 26 25 · 36

4. Az osztások elvégzése nélkül állapítsd meg, melyik nagyobb, és hányszor! a) 50 : 5 c) 169 : 13 e) 81 : 9

vagy vagy vagy

100 : 5 1690 : 13 162 : 18

c) 169 : 13

< ·2 vagy < · 10 vagy

e) 81 : 9

vagy

a) 50 : 5

=

b) 555 : 5 d) 24 : 8 f) 720 : 90

vagy vagy vagy

5550 : 50 72 : 24 1440 : 45

=

100 : 5

b) 555 : 5

vagy

1690 : 13

d) 24 : 8

vagy

162 : 18

f) 720 : 90

=

< ·4 vagy

5550 : 50 72 : 24 1440 : 45

5. A család nyaralni ment Budapestről a Tisza-tóhoz. Laci biciklivel ment, a többiek autóval. Az autó átlagosan háromszor olyan gyorsan haladt, mint a kerékpár, utasai 3 óra alatt értek a tóhoz. Laci hajnali 5 órakor indult. Körülbelül mikor érkezett meg? Délután 2 óra körül. A bicikli körülbelül 3 · 3 = 9 óra alatt ér le a tóhoz, így 5 + 9 = 14, vagyis délután 2 óra körül érkezik meg.

52

Természetes számok 6. Ági vállalta, hogy a farsangi osztálybulira gondoskodik a málnaszörpről. Úgy tervezte, hogy mindenkinek jusson legalább 6 dl szörp. Literes flakonokat vásárolt, amelyek címkéjén ez állt: 1 literből 8 liter. Hány flakont vegyen Ági a 25 fős osztálynak? 6 · 25 = 150 dl = 15 l szörpöt készít Ági a bulira. 1 flakon sűrítményből 8 l-t tud keverni, így két flakont kell vásárolnia.

7. 22 m vászon 17 600 Ft-ba került. Mennyibe kerül ugyanebből a vászonból b) 11 m? 8800 Ft c) 33 m? 26 400 Ft a) 66 m? 52 800 Ft d) 20 m? 16 000 Ft e) 50 m? 40 000 Ft f) Párosítsd össze az a)–e) feladatokat az 1 – 10 megoldástervekkel! 1 (17 600 : 11) · 10 = 16 000 2 (17 600 : 22) · 33 = 26 400 3 (17 600 : 22) · 11 = 8800

6 17 600 − (17 600 : 11) = 16 000 7 17 600 : 2 = 8800 8 17 600 · 3 = 52 800

4 (17 600 : 11) · 25 = 40 000 5 (17 600 · 3) : 2 = 26 400

9 (17 600 : 2) · 3 = 26 400 10 (17 600 : 22) · 50 = 40 000

a)– 8

b)– 3 , 7

c)– 2 , 5 , 9

d)– 1 , 6

e)– 4 , 10

8. Két kártyára olyan számokat írtunk, amelyek szorzata 72. Az egyik kártya hátulja piros, a másiké kék. A kártyákat számmal lefelé tettük le, így nem lehet tudni, melyiken milyen szám áll. Határozd meg a műveletek eredményét, ha csak annyit tudunk, hogy · = 72 a) ( · 3) · = 216 d) · ( : 2) = 36

b) · ( · 2) = 144 e) ( · 4) · ( : 4) = 72

c) ( f) (

: 3) · = 24 · 2) · ( · 5) = 720

9. Helyezd el úgy a · és az : műveleti jeleket, hogy a megadott eredményeket kapd! 54 : (6 · 3) = 3 6 · (54 · 3) = 972 3 · (54 : 6) = 27

6 · (54 : 3) = 108 (54 : 6) : 3 = 3 54 : 6 : 3 = 3

54 : (6 : 3) = 27 (54 : 3) · 6 = 108

19–22. óra: Műveletek sorrendje Tk.: 44–48. oldal, 1–17. feladat Ebben a fejezetben a fő újdonság az, hogy a négy alapművelet vegyesen fordul elő a feladatokban. Érdemes – sőt a későbbi algebratanulás szempontjából nagyon fontos – itt megállni, összegyűjteni és rendszerezni azokat a tulajdonságokat, amelyeket az alapműveletekről eddig megismertek. Az összeadás és a kivonás nagyon szoros rokoni kapcsolatban van. A szorzás és az osztás is nagyon szoros rokonok. Testvérműveleteknek is nevezhetjük őket. Ezekkel a műveletpárokkal találkoznak a gyerekek inverz, vagyis fordított műveletként például a műveletvégzés ellenőrzésekor, vagy nyitott mondatok lebontogatásakor. Később látni fogják azt 53


is, hogy minden kivonás felírható összeadásként az egész számok körében, és hasonlóan, minden osztás felírható szorzásként a racionális számkörben. Igyekeztünk az anyagot úgy felépíteni, hogy rávilágítsunk a mély analógiákra összeadás és szorzás, valamint kivonás és osztás között. Emlékeztetőül összegyűjtöttük mindazt, amit a műveletek analógiájáról meg akarunk tanítani. Az egymás mellett álló mondatok, a vastagon szedett szavak kivételével, szóról szóra megegyeznek. A szorzás ismételt összeadás. Az osztás ismételt kivonás. Csupa összeadást és kivonást tartalmazó mű- Csupa szorzást és osztást tartalmazó műveletveletsorban a műveletek sorrendje felcserélhe- sorban a műveletek sorrendje felcserélhető, ha tő, ha a számot a hozzá tartozó műveleti jellel a számot a hozzá tartozó műveleti jellel együtt együtt mozgatjuk. mozgatjuk. Csupa összeadást és kivonást tartalmazó mű- Csupa szorzást és osztást tartalmazó műveletjel van, akkor a veletsorokban, ha a zárójel előtt + jel van, sorokban, ha a zárójel előtt zárójel elhagyható, akkor a zárójel elhagyható, ha a zárójel előtt – jel van, akkor a záró- ha a zárójel előtt : jel van, akkor a zárójel csak jel csak úgy hagyható el, hogy a benne szerep- úgy hagyható el, hogy a benne szereplő művelő műveletek ellenkezőjükre változnak: összea- letek ellenkezőjükre változnak: szorzásból oszdásból kivonás lesz és fordítva. tás lesz és fordítva. Az előzőek azt is jelentik, hogy amikor csak összeadás és kivonás, vagy csak szorzás és osztás szerepelnek együtt, akkor könnyű a műveletsort átalakítani. Ha azonban a két család, az összeadás-kivonás és a szorzás-osztás keveredik egy műveletsorban, akkor nagyon óvatosnak kell lennünk. Ilyenkor hiába mozgatjuk a műveleti jelet a számmal együtt, nem cserélgethetjük szabadon a szereplőket. Fektessünk nagy súlyt a műveletvégzés sorrendjének begyakoroltatására! A gyerekek szavakban is fogalmazzák meg, és számpéldákon is tudják alkalmazni, hogy: – a szorzás és osztás erősebben kötnek, mint az összeadás és kivonás, – ha van zárójel, akkor először az abban kijelölt műveleteket kell elvégezni! A zárójelfelbontás szabályai is lényegesen különböznek, amikor a szorzás-osztás keveredik az összeadás-kivonással. Ezeket az eseteket vettük sorra ebben a fejezetben, ezúttal is képekkel magyarázva a matematikai szabályokat. Nagyon fontos! 1. Beszéljük meg a gyerekekkel a kép és a műveletsor kapcsolatát! 2. Írjuk fel ugyanazt a műveletsort zárójeles és felbontott alakban is, [Pl. 100 · (11 + 93) = 100 · 11 + 100 · 93], és kérjük a gyerekeket, hogy mondjanak hozzá történetet! Jó képességű osztályban ezeket az észrevételeket általánosan betűkkel is megfogalmazhatjuk. Nagyon fontos azonban, hogy ezt ne siettessük, ne erőltessük! Felhívhatjuk a gyerekek figyelmét az összeg szorzása és a szorzat szorzása közötti különbségre: 2 · (3 · 8) = 2 · 3 · 8 2 · (3 + 8) = 2 · 3 + 2 · 8 stb. Javasolt eszközök: számkártyák, műveletkártyák az alapműveletekkel, zárójelkártyák

·

54

Természetes számok Feladatok 1. Számítsd ki! a) 3 + 4 · 7 + 5 · 6 · 2 + 4 · 3 − 40 = 63 c) 65 − 48 : 2 − 34 + 72 · 2 = 151 e) 8 · 7 : 2 + (28 − 5) · (11 − 1) = 258

b) 8 · 7 : 2 + 28 − 5 · 11 − 1 = 0 d) (3 + 4) · 7 − 2 + 5 · 6 · (2 + 4 · 3) − 40 = 427 f) (65 − 48) · 2 − 34 + 72 · 2 = 144

2. Számítsd ki! Írd egymás mellé az egyenlőket! b) 123 · 5 − 12 · 5 = 555 123 · 5 − 12 = 603 123 − 12 · 5 = 63 (123 − 12) · 5 = 555

a) 11 · (12 + 8) = 220 11 · 12 + 8 = 140 11 · 12 + 11 · 8 = 220 12 + 11 · 8 = 100 11 · (12 + 8) = 11 · 12 + 11 · 8

c) 56 : 7 + 21 : 7 = 11 56 + 21 : 7 = 59 (56 + 21) : 7 = 11 56 : 7 + 21 = 29

(123 − 12) · 5 = 123 · 5 − 12 · 5

(56 + 21) : 7 = 56 : 7 + 21 : 7

3. Melyik több, és mennyivel? Például: (21 + 5) · 6 vagy 21 + 5 · 6 Erre a kérdésre így válaszolhatsz: (21 + 5) · 6 21 · 5 21 + 5 · 6 a) (19 + 7) · 3 c) (17 + 15) · 2

19 · 3 + 7 · 3 17 + 15 · 2

= 17

>

b) (15 + 11) · 4 d) (19 + 6) · 5

> 15 · 4 + 11 >19 · 4 + 6 · 6

11 · 3 13

4. Melyik több, és mennyivel? Ha ügyes vagy, a műveletek elvégzése nélkül válaszolsz. a) (223 + 18) · 5 c) (223 + 18) · 5

> 223 + 18 · 5

223 · 4

=

223 · 5 + 18 · 5

b) (223 + 18) · 5 d) 223 · 4 + 18 · 5

> < 18

223 · 2 + 18

223 · 5 + 18 · 4 (223 + 18) · 6

5. Az 5. a és az 5. b osztály kirándul. Az 5. a-ban 23 gyerek a szállásért összesen 57 500 Ft-ot fizet. Az 5. b-sek fejenként 40 forinttal olcsóbb szállást választanak, amiért összesen 68 880 Ftot fizetnek. Tegyél fel kérdéseket! Válaszold is meg! Mennyibe kerül a szállás az 5. a-s és 5. b-s gyerekeknek? Az 5. a-soknak 57 500 : 23 = 2500 Ft-ba, az 5. b-seknek 2500 − 40 = 2460 Ft-ba. Hány gyerek jár az 5. b-be? 68 880 : 2460 = 28 gyerek.

6. A hétvégi bevásárláskor 5875 Ft-ot kellett fizetnünk. Volt 2 db 500 Ft-os és 4 db 200 Ft-os vásárlási utalványunk. Mennyi készpénzt kellett a pénztárosnak adnunk? 4075 Ft-ot 7. Az osztályfőnök a kiváló tanulók év végi jutalmazására 25 000 Ft-ot költhetett. 12 tanulót akart könyvvel megjutalmazni. Ezekből a könyvekből választott. A kitűnő tanulók (három ilyen volt) Az elvarázsolt királykisasszony című könyvet kapták. Hogyan választhatott az osztályfőnök a többi könyvből? A három kitűnő tanulóra 3 · 2400 = 7200 Ft-ot költött a tanár. A többi kilenc gyerekre 25 000 − 7200 = = 17 800 Ft maradt. Ez éppen elég 6 db 2100 Ft-os, 1 db 1800 Ft-os, 2 db 1700 Ft-os könyvre. A lehetséges megoldások táblázatosan felsorolva:

2100 Ft 5 db 4 db 4 db .. .

1800 Ft 4 db 5 db 3 db

1700 Ft 0 db 0 db 2 db

marad 100 Ft marad 400 Ft marad 500 Ft

55

Természetes számok 8. 12 méter függönyanyagért 14 400 Ft-ot fizettünk. Sötétítőfüggönyt varrtunk belőle, de rosszul terveztünk, és egy ablakra nem maradt anyagunk. Még kellett vennünk 4 métert. Mennyit fizettünk összesen? Válaszd ki a helyes megoldási tervet! Oldd is meg! a) 14 400 : 12 · (12 + 4) c) 14 400 + 14 400 : 12 e) 14 400 : 12 · 4

b) 14 400 : 12 · 16 d) 14 400 + 14 400 : 3 f) 14 400 : 16 · 12

1 méter függönyanyag 14 400 Ft : 12 = 1200 Ft-ba kerül, 4 m anyag 1200 Ft · 4 = 4800 Ft. A 4 m éppen a 12 m harmadrésze, ezért az ára így is számolható: 14 400 : 3 = 4800. Összesen 12 m + 4 m = 16 m anyagot vettünk. Ezek alapján a helyes megoldási tervek: 12 + 4 méter anyag ára: 14 400 : 12 · (12 + 4) = 19 200 [Ft]. Az eredeti ár és plusz a 4 m anyag ára 14 400 + 14 400 : 12 · 4 = 19 200 [Ft]. Az eredeti anyag meg még az utólag vásárolt harmadrész ára: 14 400 + 14 400 : 3 = 19 200 [Ft]. A teljes 16 m anyag ára: 14 400 : 12 · 16 = 19 200 [Ft].

9. Készíts olyan feladatokat, amelyeknek ezek lehetnének a megoldási tervei! a) (385 + 119) · 227 114 408 b) 385 + 119 · 227 27 398 a) Az ajándékboltba mütyürök érkeztek, dobozokba csomagolva. Mindegyik dobozba 227 db mütyür fér, 385 doboz piros és 119 doboz kék mütyürt rendeltek. Összesen hány mügyürkét kell a szállítóknak hozniuk? b) A boltban az előző rendelésből még volt 385 matrica. Rendeltek még 119 csomaggal. Mindegyik csomag 227 matricát tartalmaz. Hány matrica lesz a boltban, amikor a rendelés megérkezik?

10. Készíts olyan szöveges feladatokat, amelyeknek ezek a nyitott mondatok lehetnének a megoldási tervei! a) 4 + · 2 = 22 =9 b) (4 + ) · 2 = 20 =9 a) A vendéglőben 22 ember tartózkodott. 4 asztalnál csak 1 ember ült, a többi asztal mellett párosával ültek az emberek. Hány asztal mellett ültek ketten a vendéglőben? b) A páros jégtáncversenyen 20-an indultak. Közülük 4 párosnak legalább az egyik tagja elmúlt 20 éves. Hány olyan páros indult a versenyen, amelynek mindkét tagja legfeljebb 20 esztendős?

11. Melyik az a szám, amelyik 50-nel kisebb mint 280 fele? A: 230 B: 95 C: 90 D: 200 12. Melyik az a legnagyobb háromjegyű szám, amelynek a fele páratlan szám? A: 900 B: 997 C: 998 D: 996 13. Melyik az a szám, amelynek háromszorosához 60-at hozzáadva 90-nél nagyobb, de 100-nál kisebb páros számot kapunk? A: 11 B: 10 C: 12 D: 9 14. Melyik az a legkisebb szám, amelyiknek a kétszereséhez 11-et hozzáadva 100-nál nagyobb páros számot kapunk? A: 48 B: 37 C: 51 D: nincs ilyen szám Mert bármely szám kétszerese páros szám, ehhez 11-et hozzáadva páratlan számot kapunk.

56

Természetes számok 15. Igaz, vagy nem igaz? Zárójellel tedd igazzá! a) (32 − 4) · 2 − 56 = 0

b) (625 − 600) : 5 − 5 = 0

c) [(8 + 12) : 4 − 5] · 20 = 0

d) 121 · 3 − 3 − 360 = 0 igaz

e) 640 − 8 · 16 · 5 + 54 : 27 − 2 = 0 igaz

f) 13 · (25 : 5 − 5) · 20 = 0

g) 49 + 7 · 2 − 126 : 2 = 0 igaz

h) (14 : 2 · 5 − 35) · 2 = 0

16. Írd le nyitott mondattal! Számítsd ki! a) Egy szám háromszorosából elveszünk 24-et, így 60-at kapunk. Melyik ez a szám? 3 · a − 24 = 60

3 · a = 84

a = 28

b) Melyik az a szám, amelyből 24-et elvéve a különbség 3-szorosa 60? (b − 24) · 3 = 60

b − 24 = 20

b = 44

c) Egy szám fele 3-nál 12-vel nagyobb. Melyik ez a szám?

c : 2 − 3 = 12

c : 2 = 15

c = 30

d) Gondoltam egy számot. Megszoroztam 3-mal, elosztottam 10-zel, így 2-vel többet kaptam, mint 70. Mire gondoltam?

d · 3 : 10 = 72

d · 3 = 720

d = 240

e) Egy számnak a hatszorosa 26-tal több a négyszeresénél. Melyik ez a szám?

e · 6 − e · 4 = 26

e · 2 = 26

e = 13

Ez a legutóbbi feladat nehéz lehet némelyik gyereknek, ők nyugodtan kihagyhatják.

17. A műveletsorokban valaki kiradírozta a zárójeleket, ezért majdnem mindegyiknek rossz az eredménye. Másold a füzetedbe ezeket, és írd vissza a zárójeleket – ahol szükséges – úgy, hogy igazak legyenek az egyenlőségek! a) c) e) g) i)

(5 + 6) · 3 : 11 + 7 = 10 27 + 18 : 9 + 36 · 2 = 101 (27 + 18) : (9 + 36) · 2 = 2 [(27 + 18) : 9 + 36] · 2 = 82 39 − 27 : 3 : 3 + 1 = 37

b) d) f) h)

(27 + 18) : 9 + 36 · 2 = 77 5 + 6 · 3 : (11 + 7) = 6 (27 + 18 : 9 + 36) · 2 = 130 (39 − 27) : 3 : (3 + 1) = 1

Tudáspróba Tk.: 48. oldal 1. Írd le számjegyekkel! a) ötvenötezer-öt 55 005 c) százegymillió-egyezer-ötven 101 001 050 e) ötmillió-ötszázháromezer-kilencszáz 5 503 900

b) ötezer-ötven 5050 d) ötszázötvenezer-ötszáz 550 500 f) tízmillió-ötvenegyezer-tíz 10 051 010

a) ötvenötezer-öt 55 005 c) százegymillió-egyezer-ötven e) ötmillió-ötszázháromezer-kilencszáz

b) ötezer-ötven 5050 d) ötszázötvenezer-ötszáz f) tízmillió-ötvenegyezer-tíz 57

Természetes számok 2. Írd le betűkkel! a) 820 nyolcszázhúsz b) 3505 háromezer-ötszázöt c) 24 315 001 huszonnégymillió-háromszáztizenötezer-egy 3. Írd le egyetlen számmal! a) 2 tízezres + 38 százas + 5 egyes = 23 805 b) 3 ezres + 28 százas + 12 tízes = 5920 c) 19 ezres + 32 tízes + 293 egyes = 19 613 4. Milyen szám kerüljön a keretekbe úgy, hogy az egyenlőség igaz legyen? a) 40 százas + 16 tízes + 28 egyes = 4188 b) 53 százas + 81 tízes + 95 egyes = 6205 5. Másold a füzetedbe a számegyenest, és jelöld be rajta az adott számokat! a) 150 000, 30 000, 340 000, 100 000 30 000

100 000

150 000

340 000

0 20 000

b) 0, 30, 7, 45 0

7

30

45

20

65

c) Sorold fel, melyik számokat jelöltük meg ∗-gal a számegyenesen! 44

53

59

65

71

6. Kerekítsd a megadott számok mindegyikét tízes, százas, majd ezres pontossággal! a) 589 b) 5346 c) 12 008 040 tízes pontossággal 589 5 346 12 008 040

százas pontossággal

590 5 350 12 008 040

ezres pontossággal

600 5 300 120 008 000

1 000 5 000 12 008 000

7. Milyen természetes számok teszik igazzá a nyitott mondatokat? Ábrázold számegyenesen is!

a < 80

a< 17

b

− 60 = 100

b = 160

c

· 2 + 20 = 30

c=5

a) 63 + b) c)

8. Végezd el a műveleteket! Ellenőrizd! 5 947 86 416 265 · 328 + 17 096 − 7 987 2 120 23 043

58

78 429

5 30 795 86 920

a

0

16

150 0

48 01 · 207 960 20 33 60 7 993 80 7

b

160

c

5

5438 : 7 = 776 53 48 6

15 312 : 72 = 212 91 192 48

Természetes számok 9. Legyen igaz az egyenlőség! Számítsd ki a hiányzó tényezőket!

a = 100 c = 10 e = 20 000

10. Számítsd ki! a) 23 + 7 · 4 − 10 : 2 = 23 + 28 − 5 = 46 11. Bencének 23-mal több autóskártyája van, mint Ákosnak. Kettőjüknek összesen 103 kártyájuk van. Hány kártyája van Ákosnak?

b : 1000 = 530 d : 20 = 60 f · 400 = 240 000

b = 530 000 d = 1200 f = 600

b) 2 · (32 + 8 · 4) : 2 = 2 · 64 : 2 = 64 Á 23

51 · a = 5100 8300 : c = 830 40 · 500 = e

103

Á = (103 − 23) : 2 = 40 B = 40 + 23 = 63

B

Ákosnak 40 kártyája van.

12. Magdi néni az 5. b osztály 23 tanulójának összesen 5520 Ft-ért vett színházjegyet. Ugyanerre az előadásra az 5. a osztályból 28-an jelentkeztek. Minden jegy ára azonos volt. Mennyibe került az 5. a-sok színházlátogatása? Egy jegy ára 5520 : 23 = 240 Ft. 28 jegy ára 240 · 28 = 6720 Ft. Az 5. a-sok színházlátogatása 6720 Ft-ba került.

59

Alakzatok

Alakzatok 1–2. 3. 4. 5–6. 7–8. 9. 10–11. 12.

óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra:

Geometria A tér alakzatai, a testek geometriai jellemzői Testek hálója Mértani testek szemléltetése Térelemek kölcsönös helyzete A szög fogalma A sík alakzatai Tudáspróba

Mire építünk? A természetes számok halmazában alkalmazzuk a tanult műveleteket. Tudatosítjuk az alsó tagozatban megszerzett geometriai ismereteket. • Egyszerű alakzatok felismerése, megnevezése: kocka, téglatest, henger, gömb, négyzet, téglalap, sokszög, kör. • Alakzatok jellemzése geometriai tulajdonságaik alapján: lapok, csúcsok, élek száma, oldalak, átlók száma, merőlegesség, párhuzamosság. • Vonalak kölcsönös viszonyának felismerése: párhuzamos, illetve metsző (ezen belül merőleges). • Egybevágó, hasonló és tükörképalakzatok előállítása sablonok másolásával, négyzetháló segítségével. • A derékszög, az egyenesszög negyedik évfolyamon is használt fogalmak. A derékszögű vonalzók, a körülöttünk levő tárgyak (füzetlapok, szekrények, kocka, illetve téglatest alakú tárgyak stb.) számtalan példával szolgálnak a merőlegességre. Ezt használták a tanulók a derékszögű koordináta-rendszernél, és környezetismeretben az égtájak szerinti tájékozódásnál is. Meddig jutunk el? Az Alakzatok című témakörben az alsó tagozatos geometriai ismereteket rendszerezzük, újabb tapasztalatok gyűjtését, megfigyelések végzését, modellek készítését javasoljuk, a tanulók figyelmét a geometriai fogalmak meghatározására, tartalmára irányítjuk. • Csoportosítjuk, illetve kiválasztjuk az alakzatokat geometriai tulajdonságaik szerint. • Létező tárgyakból származtatjuk a mértani testeket. • Testeket vizsgálunk, határoló lapjaikat, élvázukat állítjuk össze. • Testek hálóját készítjük el. • Mértani testeket ábrázolunk (axonometrikus kép készítése négyzethálón), a testek három nézettel történő szemléltetésére és alaprajz készítésére mutatunk példát. • A tárgyak, a mértani testek absztrakcióiként használjuk a geometriai alapfogalmakat (tér, felület, sík, vonal, egyenes, pont). Megemlítjük a félsíkot, a félegyenest, a szakaszt. • Megfogalmazzuk a konvex testek, a konvex és konkáv síkbeli alakzatok egy-egy tulajdonságát. 60

Alakzatok

• Merőleges és párhuzamos szakaszokat, téglalapot ábrázolunk derékszögű vonalzó segítségével. • Megismerjük a szögek geometriai fogalmát, a származtatását, fajtáit. • Az egyszerű sokszögekkel foglalkozunk. • Alkalmazzuk a szögek fajtáival kapcsolatos ismereteinket a sokszögeknél és a gyakorlati élet példáin. • Kitekintünk: – az Euler-féle poliédertétel egyszerűbb eseteire, – az egyenletek, az osztópárok, a kombinatorika témakörébe összetett szöveges feladatok megoldása során, – az egyes szögfajták felismerésére a testeken. Mi lesz a folytatás az 5–6. évfolyamon? • ponthalmazok megadása síkban, térben, • mennyiségek megadása, a mérőszám és a mértékegység fogalma, • mértékegységek átváltása egész számok és törtek körében, • a szögmérés egységei, • szögmérés szögmérővel, • téglatest térfogatának meghatározása, űrmértékek használata, • kerület, terület, felszín, térfogat egységeinek megadása és számítások, • kerület, terület, felszín, térfogat kiszámítása racionális mérőszámmal megadott mennyiségek esetén, • szöveges feladatok a kerület, terület, térfogat kiszámítására Szükséges és ajánlott eszközök A tanulók eszközei négyzethálós és sima füzetlapok, ceruza (HB-s vagy 2B-s) és hegyező, színes ceruzák, 2 vonalzó, az egyik derékszögű háromszög alakú, négyzethálós, háromszöghálós, hajtogatólapok (pontrácsok és vonalhálók: : : készletből), olló és ragasztószalag, műszaki karton a modellek készítéséhez és a melléklet alakzatainak felragasztásához, mmpapír

Tantermi eszközök sima és négyzethálós tábla, táblai vonalzók, táblai körző, térmértani modellek: hasábok, gúlák, hengerek, gömb, szabályos testek, egyedi lépcsős és csonkolt testek, azonos méretű téglatestek csoportmunkához, síkmértani modellezőkészlet vagy a melléklet alapján kartonból kivágott sokszöglapok, síkbeli alakzatok, testhálók táblai méretben, műszaki karton, hurkapálca (síklapok forgatásához), olló, ragasztó, testek élvázának demonstrálására alkalmas eszközök (például hurkapálca, szívószál, Babylon játék), mágnestábla, színesrúd-készletek

61

Alakzatok 1–2. óra: Geometria Tk.: 50–55. oldal, 1–8. feladat Javasolt eszközök: 20–25 hétköznapi tárgy, színesrúd-készlet, síkgeometriai modellezőkészlet, ragasztószalag, pálcák és golyók élvázhoz, hurkapálcák, síklapok, négyzethálós és háromszöghálós lap, olló, térmértani modellek, gyurma Az órák célja: tárgyak vizsgálata során felületek és vonalak megfigyelése. A tárgyaknak megfelelő mértani testek felismerését csoportosítási feladatokban gyakoroljuk. A tanulók különböztessék meg, illetve csoportosítsák az alakzatokat geometriai jellemzőik alapján (test, görbe felület, síklap, görbe vonal, egyenes vonal). Nem követelmény a mértani testek megnevezése (például gömb, henger, téglatest, hasáb, kúp, gúla, tórusz), de az elnevezések említése segíthet a tapasztalatok rendszerezésében a későbbi években. Beszéljük meg, hogy a valóság alakzatai testek! Végtelen felületek és vonalak elképzelésével a sík és az egyenes fogalmát készíthetjük elő. Testek létrehozása az ismert színes rudakból, testek felületének összeállítása lapokból, testek élvázának összeállítása és forgástestek elképzelése hurkapálcára ragasztott lapok megpörgetésével. A görbe felülettel határolt testek megformázhatók, a forgástestek is létrehozhatók gyurmából, agyagból. Memóriajáték: – 20–25 tárgyat két percig (gyakorlott csoportban 1 percig) figyelhetnek a tanulók, ezután letakarjuk a tárgyakat. A gyerekek feladata minél több tárgy megnevezése írásban. – Mágnestáblán elhelyezett képeken figyelhetik meg a tanulók a 20–25 tárgyat, ezután kell felsorolniuk azokat. – A tanulók mondanak egy-egy tárgyat, s az elhangzottak alapján kell írásban felsorolni azokat. Mi a közös tulajdonság? – A tanár 6–8 testet (alakzatot) kiválaszt. A tanulóknak olyan tulajdonságot kell mondaniuk, amely mindegyikre érvényes. Eleinte nem csak geometriai tulajdonságokról lehet szó. – Egy tanuló készíti össze a közös tulajdonságú tárgyakat. – Adott tulajdonsággal rendelkező tárgyak kiválasztása. Testek felületének összeállítása síklapokból: a) A síkgeometriai modellezőkészlet műanyag lapjait a 64. oldal táblázata alapján borítékokba rakjuk. Az egyes borítékokban levő összes lap felhasználásával, az oldalakat ragasztószalaggal rögzítve egy-egy test felülete készülhet el. (Érdemes a lapokat a belülre kerülő oldaluknál összeragasztani, mert úgy nem feszül a ragasztószalag). b) A 63. oldal ábrái alapján is elkészíthetők a síklapok. A táblázat oszlopai a lapok fajtáját mutatják a következő lap sorszámai szerint, a sorokban az egyes lapokból szükséges mennyiséget jelöljük. Például a második (a B jelű) sor egy hatszög alapú gúla leírását tartalmazza (6 db 7-es sorszámú, egyenlő szárú háromszögre és 1 db 16-os sorszámú hatszögre van szükség). A borítékokat érdemes elővenni a 4. órán, a testek hálójának vizsgálatakor is.

62

Alakzatok

2. 1.

5. 4.

9.

3.

6. 10.

8. 7. 11.

14.

13.

12.

18.

17. 16. 15.

63

Alakzatok

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V X Y Z

1. 4 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

2. – – – – – – – – – 1 – – – – – – 2 – – – – – – – –

3. – – – – 4 – – 2 5 – – – – – – – – 2 2 8 8 1 4 – 1

4. – – – – – – – – – – – – – – – – 2 – – – – – – – –

5. – – – – – – – – – 3 – – – – – – – – – – – 1 – – –

6. – – – – – – – – – – – – – – – – – 2 – – – 2 – – –

7. – 6 2 8 – – 2 – – – – – – – – – – – – – – – – 4 3

8. – – 2 – – – – – – – – – – – 1 6 – – – – – – – – –

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. – – – – – – – – – – – – – – – – – 1 – – – – 1 – – – – – – – – – – – – – – – 1 – 1 – – – – – – – – – – – 6 – – – – 2 – – 1 – 2 – – – – – – – 3 – – – – – – – – – – – – – – – 1 – – – – – – – – – – – – – 5 – – – – – 2 – – – 2 4 – – – – – – – – 2 – 2 – – 2 – – – – – – 8 – – – – – 2 – – – 3 2 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 4 2 – – – – – – – – – – – – – – – – – 6 – – – – 1 – – – – – – 3 – – – – – – 1 – – 1 – 4 – – – – – 1 – – – 3 – – – – 1 – –

A: tetraéder B: hatszög alapú gúla C: háromszög alapú hasáb D: nyolcszög alapú gúla E: négyszög alapú gúla F: hatszög alapú hasáb G: háromszög alapú hasáb H: háromszög alapú hasáb I: ötszög alapú gúla J: háromszög alapú gúla K: ötszög alapú hasáb L: négyszög alapú ferde hasáb M: deltoid alapú hasáb N: nyolcszög alapú hasáb O: trapéz alapú hasáb P: kocka R: a Q test kicsinyítve

Kocka és tetraéder: A tankönyv 58–59. oldalának a 8. és 10. feladataiban leírt útmutatás alapján olyan kockát és tetraédert készíthetünk, amely akárhányszor összeállítható, majd síkba kiteríthető. A megadott „szabásminták” nem testhálók. A tankönyv 50. oldalának matematikatörténeti részében található internetes feladatra a válasz: Eukleidésznek tulajdonítják ezt a mondást: „A geometriához nem vezet királyi út.” Járj utána, hogy a hagyomány szerint kinek és milyen kérdésére adta ezt a választ! A legenda szerint I. Ptolemaiosz király megkérdezte Eukleidésztől, a híres görög matematikustól, hogyan lehetne a geometriát könnyebben megtanulni. „A geometriához nem vezet királyi út!” – válaszolta a tudós.

Feladatok 1. A képen látható, természetben előforduló alakzatok közül a) melyek tekinthetők testnek, felületnek, vonalnak; b) melyeket határolják síklapok, melyeket görbe felületek; c) melyek képzelhetők el síklap forgatásával?

Mindegyik alakzat test, a csoportosítást az elhanyagolható méretek szerint végezhetjük. Például: test a paprika, a narancs, a kristályok, felület a falevél, a tojás héja, vonal a fenyőág, a kötözőzsineg

64

Alakzatok 2. Csoportosítsd a tárgyakat! A: {síklapok} B: {görbe felületek}

C: {síklap és görbe felület határolja}

A: {kerékpárút-jelzőtábla, egyenes vonalzó, derékszögű vonalzó} B : {tojáshéj, pohár fala, cilinder karimája, oldala, szalag} C : {pohár, cilinder} 3. Nevezz meg a tanteremben található alakzatok közül b) felületeket; lásd az e) és f) részben d) konvex testeket; radír, ceruza f) görbe felületeket! lámpabura, virágcserép

a) testeket; iskolatáska, szekrény c) vonalakat; függönysín, villanydrót e) sík felületeket; ablaküveg, ajtó

4. Írj két-két példát a háztartásban használt eszközök, szerszámok közül a) testre; kalapács, fazék c) vonalra; cérnaszál, fűrész éle e) egyenes vonalra; szívószál, szög szára

b) felületre; merőkanál, fűrészlap d) sík felületre; törlőkendő, asztallap f) konvex alakzatra! kalapácsfej, dobozos tej

k

h at

g ö rb e felü l

á r o lj á k

ete

k

hat

2, 4, 7

1, 3, 8

5, 6, 9

á r o lj á

síklap

o

5. Csoportosítsd a testeket aszerint, hogy határoló felületeik csak síklapok, csak görbe felületek vagy síklapok és görbe felületek is!

k

65

Alakzatok 6. a) Csoportosítsd a testeket a következő szempontok szerint! 1.

2.

6.

3.

7.

4.

8.

9.

5.

10.

A

A: síklapok határolják 2; 4; 6; 8; 10. B: nem csak síklapok határolják 1; 3; 5; 7; 9. C: konvex testek 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 10. A rajzok sorszámával válaszolj! b) Szemléltesd halmazábrán az A, B , C csoportba tartozó testeket! c) Milyen közös tulajdonság alapján kerülhet egy csoportba az 1., 3., 5. és 7. sorszámú test?

B 1

8

4

3

10

5

2

9

7

6

C

Síklap és görbe felület is határolja.

d) Milyen tulajdonság alapján kerülhet egy csoportba a 2., 4., 6., 10. sorszámú test? Konvex és csak síklapok határolják.

7. Készíts „zászlókat”, azaz ragaszd rá egy-egy hurkapálcára az a)–k) lapokat! Figyelj arra, hogy az ábrázolt testek közül jöjjön létre valamelyik a zászló megpörgetésekor! a)

c)

b)

d)

A

B

C

D

f) e)

g)

h)

E

F

G

K

i) j)

k)

H

I

J

Melyik lap megforgatásával jöhet létre az adott test? Írd le az összetartozó párok betűjelét!

A–b; B –h ; C –c; D –i vagy D –g ; E –g ; F –a ; G –f ; H –j vagy H –f ; I –e ; J –d ; K –k

Ellenőrzésképpen elkészíthetjük a lapokat, és megforgatjuk a megfelelő tengelyek körül.

66

Alakzatok 8. Rajzold le, milyen lap forgatásával képzelhetünk el ilyen testeket!

3. óra: A tér alakzatai, a testek geometriai jellemzői Tk.: 56–59. oldal, 1–10. feladat Javasolt eszközök: mértani testek (például hasábok, félhenger, kúp, gúla, gömbszelet, gömbcikk, csonka gúla, egyedi testek: : : ) Az óra célja: az előző órán létrehozott felületek, élvázak megfigyelése után síklapokkal határolt testek lapjainak, éleinek, csúcsainak felismerése. A szakasz és a pont fogalmát a „kézzel fogható” él és csúcs megfeleltetéseként vezetjük be a szokásos jelölésekkel együtt. A kitekintésben szereplő testekkel csak érdeklődőbb csoportban foglalkozzunk. A 9. feladat alapján észrevehető összefüggést (l + c = é + 2) néhány tanuló szívesen használja ellenőrzésre. Megvizsgálhatjuk az összefüggés érvényességét például két kocka esetén, melyeket egy-egy élüknél összeragasztunk. Barkochba: a) A tanár gondol az egyik testre az asztalon levők közül. A tanulók kérdéseket tehetnek fel a test geometriai tulajdonságairól, melyekre a tanár igen, nem, is válaszokat adhat. Így kell kiválasztaniuk a gondolt tárgyat. b) Egy elképzelt test kitalálása a cél. Az a tanuló gondol valamelyik testre, és válaszol a többiek kérdéseire, aki az előző feladványt megfejtette. Válogatós játék: Egy tálcára készítünk 10–12-féle (gyakorlott csoportban 18–20-féle) testet. → „Maradjon a tálcán az a test (testek), amelyet síklapok határolnak!” – felszólítás után az első tanuló félreteszi a gömböt, hengert stb. Padtársa az ellenőr, ha hibát vesz észre, kijavítja. → „Háromszöglapja is van a testnek.” A harmadik tanuló elteszi a tálcáról a téglatesteket: : : Őt is ellenőrzi valaki. → „Hat csúcsa van.” → „Konvex.” Végül egy ötszög alapú gúla marad a tálcán.

67

Alakzatok Feladatok 1. Hány éle, hány csúcsa, hány lapja van a testnek? a) 9 él, 6 csúcs, 5 lap

b) 15 él, 10 csúcs, 7 lap

c) 12 él, 7 csúcs, 7 lap

2. Melyik alakzatnak melyik geometriai elnevezés felel meg? tető felület ablakkeret lap ajtó él a ház sarka vonal csatorna csúcs homlokzat tetőgerinc

A következő feladatokhoz (3–6.) az 1. mellékletben találsz sablonokat. Megfelelő számú lapot vágj ki, ragasztószalaggal rögzítsd egymáshoz a lapokat! Igyekezz minél pontosabban, tisztábban, szebben modellezni a testeket! 3. Építsd meg az a), b), c), d) testet ilyen lapokból! Melyik lapból hányat használtál?

a) 2 db A, 4 db B ,

68

b) 2 db A, 4 db C ,

c) 2 db D , 6 db A,

d) 2 db D , 6 db C

Alakzatok 4. Az a), b), c), d) testeket a megadott alakzatokból építettük. Építsd meg a testeket! Számold meg a testek lapjait, csúcsait, éleit!

a)

b)

Test

a) b) c) d)

Felhasznált lapok

B , 1 db E 6 db E 6 db C 6 db E , 2 db D 4 db

c)

d)

A csúcsok száma

Az élek száma

5

8

8

12

8

12

12

18

5. Építs testeket síklapokból! Számold meg a testek lapjait! a) Használd fel mind a hat lapot! b) Használd fel mind az öt lapot!

4 db

2 db

a) Négyzet alapú hasáb, azaz négyzetes oszlop.

1 db

2 db

2 db

b) Téglalap alapú gúla.

6. Építs testeket a megadott lapokból! a) Legalább kétfajta lapot használj, tetszőleges számút! Kétféle ötszög alapú hasábot építhetünk, a hasáb lehet két egység vagy négy egység magas.

b) Egyféle lapot használhatsz, de abból bármilyen sokat. Dodekaéder készülhet 12 darab ötszögből. 7. Milyen testre gondoltunk? Építsd meg! Rajzold le a határoló lapjait! Keress többféle megoldást! a) 6 lapja, 8 csúcsa, 12 éle van, és csak síklapok határolják. téglatest, csonka gúla, paralelepipedon b) 8 lapja van, és csak síklapok határolják. hatszög alapú hasáb, hétszög alapú gúla, hatszög alapú csonka gúla

69

Alakzatok 8. Kockát a szomszédos lapok összeragasztása nélkül is készíthetünk. A test szétnyitható, síkba kiteríthető, majd újra összeállítható. Így gyűrődés nélkül hordhatod a füzetedben. Rajzold le milliméterpapírra az ábrát! A négyzetek oldala 2 cm vagy 3 cm lehet. Vágd ki a „szabásmintát”, majd a vastag vonal mentén vágd be a lapot! A vékony vonalak mentén hajtsd meg a papírt! A kockát „fonással” állíthatjuk össze az alábbi sorrendben: • a 2-es jelű négyzetet az 1-esre hajtjuk, 9 12 • a 4-est a 3-asra, 8 7 • a 6-ost a 5-ösre, 3 6 • a 8-ast a 7-esre, 2 1 • a 10-est a 9-esre, 4 5 10 11 • a 12-est a 11-esre, • végül a fület a 2-es alá hajtjuk.

12

4

2

9. Legalább hány lapja van egy síklapok által határolt testnek? Számláld meg a következő testek lapjait, csúcsait, éleit! Foglald táblázatba az adatokat a füzetedben! Keress összefüggést a lapok, a csúcsok és az élek száma között! l + c = é + 2

Lapok száma Csúcsok száma Élek száma

6 8 12

Lapok száma Csúcsok száma Élek száma

6

4

5

8

4

5

12

6

8

8

6

5

9

6

8

6

9

12

12

9

16

2

70

6

10. Szabályos háromszögekből álló gúla is készíthető ragasztás nélkül. Rajzold le háromszögrácsos papírra az ábrát (az 1. mellékletlapon találsz hozzá sablont), a háromszögek oldala lehet például 2 cm! Vágd ki a „szabásmintát” a vastag vonal mentén, majd a vékony vonalak mentén hajtsd meg a lapot! A gúla az alábbi sorrendben állítható össze „fonással”: 5 6 3 4 • a 2-es jelű háromszöget az 1-esre hajtjuk, 2 • a 4-est a 3-asra, • az 5-öst az 1-es melletti ∗ jelűre, * • a 6-ost az 5-ösre, 1 • végül a nyíllal jelölt fület a 2-es alá befűzzük. Megjegyzés: az 5-ös jelű háromszög nélkül is hajtogatható a tetraéder.

Alakzatok 4. óra: Testek hálója Tk.: 59–63. oldal, 1–12. feladat Javasolt eszközök: demonstrációs méretű testhálók, lapok a testhálók kivágásához, modellezőkészlet lapjai, borítékok, olló, ragasztószalag, az 1–2. óránál leírt sokszögek, téglatest, négyzetes oszlop és kocka különböző hálói Az óra célja: síklapokkal határolt testek és hálójuk párosítása, egyszerűbb hálókból testek összeállítása, téglatest hálójának lerajzolása. A tankönyv 60. oldalán található internetes feladatra a válasz: Keresd meg a bevezetőben idézett Janis Pannonius-vers (A geometriai idomokról) folytatását! Melyik testről ír? Janus Pannonius (1434–1472) A geometriai idomokról Pont az, melynek már részét felfogni se tudnád,∗ megnyújtod, s karcsú egyenes fut bármely irányban. Sík felület születik, ha meg is duplázza futását: széltében terjed, nem nyílik meg soha mélye. Két-két sík a szilárd testet jellemzi, kiadja hosszúságát és szélességét, meg a mélyét. Kockának, köbnek hívják s négyzetlapú testnek, bárhogy esik, mindig jól látni a részeit ennek; hat síkot foglal be magába, a szöglete épp nyolc. Kurcz Ágnes fordítása ∗

Pontosabban: Pont az, amiből nem tudsz egy részt elvenni

De corporibus mathematicis Punctum sit, cuius non possis sumere partem, Extento gracilis decurrat linea puncto. Inde superficiem geminato linea tractu Efficiat, nullo pateat quae lata profundo. Bina superficies solidi vim corporis edat, Quod longo, et lato dimensum constat et alto, Tessera, seu cubus, seu quadrantale vocatum; Quod promtum semper quovis consistere iactu, Sena superficies, octonus et angulus ambit.

71

Alakzatok Feladatok 1. Melyik testnek melyik a hálója? A:

a)

B:

C:

b)

c)

A–b), B–c), C–a)

2. Építs téglatestet 6 egyforma kockából, rajzold le a határoló lapjait! Hány különböző téglatest építhető? Kétféle téglatest készülhet. 4 db

2 db

vagy 2 db

2 db 2 db

Van-e a különböző téglatestek között olyan, amelyet a) két különböző négyzet; Nincs. b) két különböző téglalap; Az első téglatest ilyen. c) három különböző téglalap határol? A második téglatest ilyen. 3. 12 db 1 cm élű kockából háromféle téglatest építhető. Rajzold le négyzethálós lapra a téglatestek egy-egy hálóját!

72

Alakzatok 4. Rajzold le egy négyzet alapú gúla hálóját! A testet egy négyzet és négy háromszög határolja.

5. Melyik éllel kell összeragasztani a megjelölt szakaszt a kocka összeállításakor?

6.

a) Rajzold le a négyzetes oszlop (1) további két hálóját! Például: b) Az ábrán látható három sokszög közül melyiknek a legnagyobb a kerülete?

(1) K = 30 egység, (2) K = 22 egység, (3) K = 18 egység, tehát az (1)gyel jelölt sokszögnek legnagyobb a kerülete.

7. Rajzold le a füzetedbe a téglatest hálóját a hiányzó lapokkal kiegészítve! A hálókon színezd azonos színűre az egymással szembe kerülő lapokat! a)

b)

c)

73

Alakzatok Például:

a)

b)

c)

8. a) Melyik testhálót tudod egy vonallal megrajzolni úgy, hogy közben nem emeled fel a ceruzát, és minden vonalon pontosan egyszer haladsz át? b) Vágd ki négyzethálós lapból a test hálóját, és állítsd össze a testet! I.

II.

a)

III.

b)

c)

9. Válaszd ki az ábrán látható sokszögek közül azokat, amelyek egy kocka hálói lehetnek! Ezeket rajzold le a füzetedbe, és a hálókon színezd azonos színűre az egymással szembe kerülő lapokat! a) c) b) d)

e)

f)

j)

k)

c)

74

g)

l)

g)

h)

i)

m)

i)

l)

Alakzatok 10. Az alábbi alakzatok közül melyikből NEM lehet négyzet alapú gúlát (piramis) hajtogatni? (A lapokat nem lehet elvágni, csak hajtogatni!)

A

A

B

C

D jelű alakzat nem lehet négyzet alapú gúla hálója.

D

(Országos kompetenciamérés, 2007) 11. Melyik hálóból tudsz ilyen ajándékdobozkát hajtogatni? (A lapokat nem lehet elvágni, csak hajtogatni!)

A

B

C

D

Mivel a háromszög alapú hasáb magassága nem olvasható le a térbeli ábráról, „ilyen” dobozka lesz az A és a C jelű hálóból, illetve más méretű „ilyen” dobozka hálója a B jelű alakzat. Nem hajtogatható háromszög alapú hasáb a D jelű alakzatból.

12. Melyik három hálózatból tudnál ugyanolyan mintázatú kockát összeállítani?

A

Az

B

C

D

A, a B és a C lehet ugyanolyan mintázatú.

75

Alakzatok 5–6. óra: Mértani testek szemléltetése Tk.: 63–68. oldal, 1–10. feladat Javasolt eszközök: négyzethálós tábla, négyzethálós füzetlap Az órák célja: megadott méretű téglatestek szemléltetése négyzethálós lapon úgy, hogy két lapjuk téglalapnak látszódjon. Egyszerű testek látványrajzán a valódi méretek és a rövidülő szakaszok megfigyelése. A testek három nézettel történő megadása. Még egy tanórát használhatunk gyakorlásra az első négy óra anyagából például csoportmunkában, vagy kitekintésre nehezebb feladatokra. Az 1. példában megkérdezhetjük, hogy lehet-e a B test oldallapja négyzet (nem), vagy az alaplapja (igen). A C test egyik lapja sem lehet négyzet. A nem látható élek (határvonalak a hengernél) megváltoztatásával kapott ábrákat érdemes kiszínezni a füzetben. A látványrajzok készítésekor törekedjenek a tanulók „szép” ábrák rajzolására (vonalvastagság, tiszta munka, pontosság, megfelelő ceruza). Csoportfeladatok például: – barkochba (az egyik csoport tagjai kérdeznek, a másik tagjai válaszolnak sorban egymás után); – test építése lapokból, megadott szempontok szerint; – alakzatok csoportosítása geometriai tulajdonságok szerint; – olyan tulajdonság keresése, amely a kikészített alakzatok közül pontosan négyre: : : igaz; – megépített test látványrajzának elkészítése. A 7. feladatnak megfelelő alakzatokat állítsuk össze!

Feladatok 1. a) Készítsd el a látványrajzát egy olyan téglatestnek, amelynek van 3, illetve 4 egységnyi oldala! A test 3 és 4 egység oldalú téglalap, lapjait valódi méretükkel ábrázolhatjuk, a harmadik fajta él hossza tetszőleges lehet.

b) Készítsd el egy kocka látványrajzát úgy, hogy leolvasható legyen, hogy a kocka éle 3 egység! A kocka 3 egység oldalú négyzetlapjai közül kettőt valódi méretben ábrázolhatunk, a harmadik él ennél rövidebbnek látszik.

76

Alakzatok 2. Rajzold le a testeket úgy, hogy megváltozzon a térbeli hatás! 2. 3.

4.

1.

7.

6. 5.

8.

3. Építs téglatestet két egybevágó kockából, és szemléltesd négyzethálós lapon a testet! A test négyzetes oszlop.

vagy

77

Alakzatok 4. Melyik test három nézetét szemlélteti az a), b), c) ábra? a)

b)

c)

A

B

C

a)–C , b)–A, c)–B

5. a) Rajzold le a téglatest három nézetét! b) Rajzold le a „ház” három nézetét! 4 cm

5 cm

4 cm

6. a) Hány darab egybevágó kockából készülhet ilyen méretű tömör téglatest? 12 (kisebb kockák esetén 96, 324, : : : is lehet). b) Milyen téglatest épülhet még ugyanennyi kocka felhasználásával? Készítsd el a különböző testek alaprajzát, az alaprajzon jelöld az egymás felett lévő kockák számát! A téglatestek élei 1; 1; 12 1; 2; 6 1; 3; 4

2; 2; 3 egységnyiek. Az utóbbi a megadott téglatesttel egybevágó.

A téglatestek alaprajzai a magasságok jelölésével:

78

Alakzatok 12

6 6

4 4 4

3 3 vagy 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

c) Rajzold le a különböző testeket négyzethálós lapra!

7. Az asztalra tettünk néhány egyenlő méretű kockát. oldalról pedig ezt: Ha ezeket elölről nézzük, ezt látjuk: a) Legkevesebb hány kocka lehet az asztalon? Készíts alaprajzot! legkevesebb 6 kocka, pl.:

0 1 0 0

2 0 0 0

0 0 2 0

b) Legfeljebb hány kockából áll az építmény?

0 0 0 1

legfeljebb 20 kockából, pl.:

1 1 1 1

2 1 2 1

2 1 2 1

1 1 1 1

8. Melyik két-két ábra lehet ugyanannak a testnek az elölnézete és a felülnézete? Add meg az összetartozó ábrák betűjelét! a)

b)

c)

d)

A

B

C

D

Az egyik test felülnézete b), elölnézete

C . A másik test felülnézete c), elölnézete A.

79

Alakzatok 9. Az ábrán egy őskohó vázlatos rajza látható. Melyik rajz ábrázolhatja a kohó felülnézeti képét? A

B

C

D

(Országos kompetenciamérés, 2010)

A kohó felülnézete az A jelű rajz.

10. Egy kocka élei közül néhányat színes pálcikákból raktunk ki. A kocka három nézetén is jelöltük a megfelelő színeket. Melyik kockához melyik elöl-, felül-, illetve oldalnézeti kép tartozik, ha a három nézet ebben a sorrendben szerepel az a), b) és c) ábrán? Amelyik kockának hiányzik a három nézete, azt rajzold meg a füzetedben! a)

b)

A

B

C

D

c)

A → c), C → a), D → b) A B jelű kocka három nézete:

7–8. óra: Térelemek kölcsönös helyzete Tk.: 68–75. oldal, 1–13. feladat Javasolt eszközök: téglatest minden tanulónál, írólap, hurkapálcák, téglatest élvázas modellje, vízmérték, függőón, derékszögű vonalzó, egyenes vonalzó Az órák célja: a téglatest szemközti és szomszédos lapjainak vizsgálatából kiindulva síkok, párhuzamos síkok és metsző síkok elképzelése. Megfogalmazzuk, hogy két sík kölcsönös helyzete kétféle lehet aszerint, hogy van-e közös pontjuk.

80

Alakzatok

Kereshetünk más testeken is párhuzamos és metsző lappárokat, a lapokra illesztett nagyobb kartonokkal ellenőrizhetjük a lapsíkok párhuzamosságát (például oktaéder, lépcsős test). Megbeszélhetjük, hogy lehet-e két szomszédos lap síkja párhuzamos, hogy milyen térrészeket határol két metsző, illetve két párhuzamos sík, hogy milyen térrészeket határolnak egy téglatest lapjait tartalmazó síkok (ez utóbbit csak nagyon jó csoportban). Ezen az órán egy lépéssel közelebb kerülhetünk a végtelen sok (darabszám), végtelen távol (távolság), végtelen nagy (terület) kifejezések megértéséhez, például annak eldöntésével, hogy egy szakasz, egy egyenes, egy síklap és egy sík közül melyiknek van végtelen sok pontja, végtelen távoli pontja. Téglatest éleinek vizsgálatából kiindulva egyenesek, párhuzamos, metsző és kitérő egyenesek elképzelése. Eljutunk a háromféle kölcsönös helyzet meghatározásához. A szakaszpárok és a szakaszokat tartalmazó egyenesek kölcsönös helyzetét azonosnak tekintjük. A feladatokban hangsúlyozzuk, hogy a merőleges és a metsző egyenespárok egyike sem részhalmaza a másiknak (1. b) feladat). Fontos az egyenes és a szakasz megkülönböztetése a szemléltetéskor (7. feladat). Szakasz, illetve téglalap nyújtásával elképzeljük a félegyenest és a félsíkot. Szóba kerülhet a félegyenes származtatása egyenesből, illetve félsík származtatása síkból. Az 1. feladat kapcsán hívjuk fel a figyelmet arra, hogy síkbeli merőleges félegyeneseknek, szakaszoknak nem feltétlenül van közös pontjuk, de az alakzatokat tartalmazó egyenesek biztosan metszik egymást, nem kitérők! Ehhez kapcsolódik a következő fejezet 1. feladata a 79. oldalon. Az órák célja az új fogalmak bevezetése mellett a derékszögű vonalzó használata merőleges és párhuzamos egyenesek szemléltetésekor, valamint a „csúsztatás” gyakorlása párhuzamos vonalak rajzolásakor. Bár nem euklideszi eszközökkel készítjük az ábrákat (amit hangsúlyozunk a feladatok szövegében a „Rajzolj” kezdetű utasításokkal), ekkor is szerkesztünk. Ezért törekedjünk a pontos ábrák rajzolására, és beszéljük meg, hogy a munkánk csak közelítőleg lesz pontos, például a vonalvastagságok miatt. Érdemes kipróbálni a függőleges és a vízszintes irányok kijelölését. A meghatározásoknak utánanézhetnek a tanulók természetismeret- vagy földrajzkönyvekben. Kiegészítő feladatok: Állíts merőlegest a csúcsokon át a szemközti oldalakra! A szakaszok meredekségét megfigyelve rajzolhatunk. Folytasd az ábra rajzolását úgy, hogy a derékszögű háromszög új befogója mindvégig ugyanakkora legyen, mint a kezdő háromszög befogói!

81

Alakzatok Feladatok 1. a) Csoportosítsd a téglatesteket a következő szempontok szerint! A: a kékkel jelölt két élre síklap fektethető 1; 3; 6; 7; 8 B: a kékkel jelölt két él párhuzamos 3; 6; 8 C: a kékkel jelölt két él kitérő 2; 4; 5 D: az 1., 2., 4., 5., 7. téglatest

b) Milyen tulajdonság alapján kerülhettek egy csoportba a D -beli téglatestek? A téglatestek kékkel jelölt élei merőlegesek egymásra.

c) Válaszd ki egy téglatest egyik élét! Hány olyan éle van a téglatestnek, amely párhuzamos a megjelölt éllel? Három másik éllel és önmagával is párhuzamos. d) Válaszd ki egy téglatest egyik élét! A téglatestnek hány éle kitérő ehhez képest? Négy. e) Válaszd ki a téglatest egyik élét! Hány él metszi a kiválasztott élt? Négy. 2. a) Hol látsz párhuzamos vonalakat a környezetedben? Sorolj fel példákat! Például: könyvek gerince a polcon, vasúti sínek, vasúti talpfák. b) Milyen helyzetű vonalakat látsz a kottán? A hangjegyvonalak párhuzamosak, a kottaszárak is párhuzamosak egymással. A hangjegyvonalak és a kottaszárak merőlegesek egymásra.

c) Rajzold le, hogy milyen fajta útkereszteződéseket ismersz! Mikor célszerű az alkalmazásuk? Merőleges kereszteződés esetén legrövidebb a kereszteződésben megtett út, egyformán láthatók be a keresztutak, egyformán kihasználható területek alakíthatók ki az utak mentén.

3. A kerék küllőit megbetűztük. Keresd meg, hogy melyik küllő lesz merőleges a) a pirosra; b) a zöldre; c) a sárgára! Az egymásra merőleges sugarak azonos színűek. Például:

Az első és utolsó ábra 90◦ -os forgatással egymásba vihető, ezért nem tekintjük különbözőnek.

82

Alakzatok 4. Hajts ketté egy lapot! Ezután a keletkezett hajtásél két részét hajtsd egymásra! Nyisd szét a lapot! Rajzold le, milyen a két hajtásvonal helyzete! Merőlegesek a hajtásvonalak.

5. A lapot kettéhajtjuk, majd újabb két alkalommal hajtjuk meg úgy, hogy a hajtásél két része fedésbe kerül. Milyen a hajtásélek kölcsönös helyzete?

Az 1. merőleges a 2. és 3. vonalra, a 2. és 3. hajtásél párhuzamos.

6. a) Mely egyenesek párhuzamosak egymással?

b) Mely szakaszok párhuzamosak? e

g

k

h

d

f

j g

c l

a

i

g j, i l, h k

b

a d, b e, c f

7. a) Mely egyenesek merőlegesek egymásra?

b) Mely szakaszok merőlegesek egymásra?

e

f

e

f d b c a

h

a g

d

c

b

a ⊥ c, a ⊥ d , b ⊥ e , c ⊥ f , d ⊥ f

a ⊥ b, a ⊥ f , b ⊥ c, b ⊥ h , c ⊥ f , d e ⊥ g, f ⊥ h

⊥ e,

83

Alakzatok 8. Mely egyenesek merőlegesek egymásra, melyek párhuzamosak? a) b)

a b

g ⊥ k, h ⊥ j , h ⊥ l, h i, i ⊥ j , i ⊥ l, j l

c

d

g e

f

a ⊥ c, a ⊥ e , b ⊥ f , c e , d ⊥ g

9. Másold le az ábrát a füzetedbe! Rajzolj A ponton átmenő, h -ra merőleges egyenest; és B ponton átmenő, g -re merőleges egyenest! a) b)

10. Rajzolj a füzetedbe! Az a egyenes legyen h -val párhuzamos, legyen rajta a P pont!

A b egyenes legyen párhuzamos g -vel, és legyen rajta a Q pont!

Készíthetjük az ábrát a vonalzó párhuzamos „csúsztatásával”. Merőleges segédegyenest is rajzolhatunk.

84

Alakzatok 11. Rajzold le négyzethálós lapra a megadott szakaszokat!

a) Rajzolj a megadott szakasszal párhuzamos szakaszokat! b) Rajzolj a megadott szakaszra merőleges szakaszokat! A megadott szakaszoktól eltérő hosszúságú szakaszokat is rajzoljunk! Érdemes rácspontok segítségével is megoldani a feladatot, például c esetben:

12. Házatok előtt fut egy egyenes földút. Erre merőlegesen, egyenes vonalban halad a gidres-gödrös aszfaltút. A földúttól távolabb az aszfaltutat merőlegesen keresztezi egy betonút. A betonútra merőlegesen köves út épült. a) Készíts vázlatrajzot a szöveg alapján! Lásd például az ábrán.

b) Hazajutsz-e a betonúton járva? A betonút nem juttat haza, mert párhuzamos a házhoz vezető földúttal.

c) A köves út hazavisz-e? A kavicsos út helyzetétől függően juthatunk haza vagy sem. 13. Rajzolj az A, B és ben dolgozz!) a)

C

B

pontokon át a szemközti oldallal párhuzamos egyeneseket! (A füzeted-

C

A

A B

C

B

b)

A

C

C

B

A

„Csúsztatással” húzhatjuk meg az adott szakaszokkal párhuzamos egyeneseket. Figyeljük meg a keletkezett négy-négy háromszöget! Például: • ABC és A CB fedésbe hozható egymással (egybevágók), • A BC kétszeresre nagyított képe az A B C , • ABC és A CB középpontos tükörképei egymásnak, • ABC és AC B tengelyes tükörképei egymásnak, mivel AC = BC a) és b) esetben is. Oldjuk meg a feladatot nem derékszögű és nem egyenlő szárú háromszög esetén is!

85

Alakzatok 9. óra: A szög fogalma Tk.: 76–80. oldal, 1–9. feladat Javasolt eszközök: minden tanulónál legyen két szívószál, gombostű vagy rajzszög, körző, vonalzó, valamint egy színes és egy fehér írólap is. Demonstrációs eszközök: hurkapálcika, lehetőleg színes fejű gombostű, parafa tábla, illetve hungarocelltábla vagy írásvetítő. Táblai körző és vonalzó, iránytű, földrajzi térkép vagy turistatérkép. Az első órán kérdezzük meg a tanulókat, hogy vajon mire használható még a teodolit! A lehetséges válaszok többek között: hegyek, tornyok magasságának, megközelíthetetlen tárgyak látószögének maghatározására, sík terepen, tengeren tárgyak beazonosítására. Beszéljünk egyéb ilyen fontos eszközről: az iránytűről vagy a tájolóról is! Az iránytűvel órán is meghatározhatjuk például, hogy melyik égtáj felé nyílik az osztály ablaka, adhatunk ilyen jellegű házi feladatokat is. A kidolgozott példa egy térképről leolvasható útiterv. Készíttessünk velük is hasonlót! Például becsüljék meg, hogy egy gyalogtúrán körülbelül hány km utat tudnának megtenni naponta! A 9. feladat megoldásához használjanak a tanulók óramodellt. Mószertani javaslatok: Mindenki vágjon ki egy fehér és egy színes, 5 cm sugarú körlapot, melyeket egy sugaruknál bevágnak. E mentén egymásba fűzve tetszőleges nagyságú szöget állíthatunk elő. Kirakhatunk szöget két szívószál és egy gombostű segítségével is. Mi is bemutathatjuk ezt írásvetítőre helyezve, vagy annk hiányában két hurkapálcikával, azokat parafába szúrva. (Erre a célra megfelel egy méretes hugarocelltábla is.) A jeleket és a görög betűket a használat során tanulják meg a gyerekek. Eleinte lehet a szögeket a körívbe írt számokkal is jelölni. Számítógép, projektor, interaktív tábla és a digitális tananyagot tartalmazó CD használata ajánlott.

Feladatok 1. Csoportosítsd a szakaszpárokat és félegyenespárokat! B: egy közös pontjuk van 2; 4; 6; 7; 8 A: nincs közös pontjuk 1; 3; 5; 9; 10 C: párhuzamosak 3; 5; 10 D: metszők 2; 4; 6; 7; 8 (ld. B) E: merőlegesek 1; 4; 8 1. 2. 3. 4. 5.

6.

86

7.

8.

9.

10.

Alakzatok 2. Válaszd ki a szögek közül a) a hegyesszögeket; 5

b) a tompaszögeket; 4

c) a homorú szögeket! 1; 3

3. Keress az ábécé egyjegyű nagybetűi között olyanokat, amelyekben hegyes-, derék-, tompa- vagy homorú szögeket találsz!

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ A betűk „belső tartományában” lévő szögeket vizsgáljuk.

1, 2, 3 hegyesszögek 1, 2, 3, 4 derékszögek 4, 5 tompaszögek

1, 3 hegyesszögek 2 derékszög

1, 2 derékszög

1 derékszög

1 hegyesszög

1, 2, 3 derékszögek

1, 2, 3, 4 derékszögek

1, 3 hegyesszögek 2 homorú szög

1, 2 hegyesszögek

1, 3 hegyesszögek 1 hegyesszög 1, 2 hegyesszögek 2, 4 tompaszögek 2, 3 tompaszög

4. Sorolj fel a környezetedből olyan térbeli alakzatokat (olyan tárgyakat), amelyeknek vannak homorú szöget bezáró élei! Lépcső, énekkari dobogó, ajtókilincs, templomtorony, fából készült tulipán, a királyi korona, buzogány (középkori harci eszköz), kakastaréj stb.

87

Alakzatok 5. Határozd meg, hogy az ábrán megjelölt szögek nagysága mekkora része a derékszögnek! a)

b)

a) 1= fél derékszög, 2 = = 3 = 4 = 5

b) 1= két és fél derékszög, = 2 3 = = 4 = 5

két és fél derékszög, három derékszög, egy derékszög, fél derékszög

egy derékszög, egy derékszög, másfél derékszög, három derékszög

6. Hány derékszög alkot a) 3 egyenesszöget; 6 derékszög c) fél egyenesszöget; 1 derékszög

b) 2 teljesszöget; 8 derékszög d) fél teljesszöget? 2 derékszög

7. a) Milyen fajta szög lehet egy tompaszög és egy hegyesszög különbsége? Egy tompaszög és egy hegyesszög különbsége lehet – tompaszög,

– derékszög,

– hegyesszög.

b) Milyen lesz az összegük? Egy tompaszög és egy hegyesszög összege lehet – egyenesszög,

88

– tompaszög,

– homorú szög.

Alakzatok

8. Egy konkáv ötszögben legfeljebb hány konkáv szög lehet? És egy konkáv hatszögben? Egy konkáv ötszögben

– lehet 2 konkáv szög,

– lehet 1 konkáv szög,

és ez a maximum, mert az ötszög szögeinek összege 3 · 180◦ = 540◦ . Ha 3 konkáv szöge lenne, az több lenne, mint 540◦ . Egy konkáv hatszögben legfeljebb 3 konkáv szög lehet:

9. Hányszor zár be derékszöget az óra nagymutatója a kismutatóval délután 1 órától este 11-ig? Állítható óramodellen figyeljük meg a mutatók fedésbe kerülését és merőleges állását! Első megoldás: az óramodellen megfigyelt mutatóállások lejegyzésével. Délután 1 órától este 11 óráig 10 óra telik el. Bármely egymás utáni két egész óra között a nagymutató kétszer zár be derékszöget a kismutatóval. A mutatók 3 órakor (illetve 15 órakor) és 9 órakor (illetve 21 órakor) bekövetkező merőleges állása két-két egész óraközhöz is hozzátartozik. Ezért a megadott időtartam alatt 10 · 2 − 2 = 18 alkalommal zárnak be derékszöget a mutatók délután 1 és este 11 óra között. A mutatók merőleges állása a vizsgált időszakban:

1 és 2 között,

2 és 3 között,

3 és 4 között,

4 és 5 között,

5 és 6 között,

6 és 7 között,

7 és 8 között,

8 és 9 között,

9 és 10 között,

10 és 11 között

89

Alakzatok

Második megoldás: délután 1 óra és este 11 óra között 10 alkalommal körözi le a nagymutató a kismutatót. A lekörözések között 9 időintervallum jön létre. Két lekörözés között a nagymutató kétszer zár be derékszöget a kismutatóval. Az 1 óra és az első lekörözés közötti, illetve a 10. lekörözés és 11 óra közötti rövid időszakban nincs a mutatóknak merőleges állása. Tehát a 9 intervallum alatt 9 · 2 = 18 alkalommal zárnak be derékszöget a mutatók. A két mutató állása a lekörözések időpontjában: Harmadik megoldás: törtek alkalmazásával a második megoldás gondolatmenetét követve. Délután 1 órától este 11 óráig 10 óra telik el. 12 óra alatt 12-szer megy körbe a nagymutató, míg a kismutató 1-szer, ezért 12 óra alatt a nagymutató 11-szer hagyja el a kismutatót. 12 óra alatt 11-szer ⇒ 1 óra alatt (11 : 12)-szer ⇒ 10 óra alatt (11 : 12) · 10 ≈ 9-szer. Minden lehagyás közben kétszer zárnak be derékszöget a mutatók, az első előtt és az utolsó után nem merőleges a két mutató. Tehát 9 · 2 = 18 alkalommal zárnak be derékszöget a mutatók.

10–11. óra: A sík alakzatai Tk.: 80–85. oldal, 1–10. feladat Javasolt eszközök: síkbeli alakzatok mágnestáblán, sokszögek mágnestáblán, téglalapok, síkgeometriai modellezőkészlet lapjai Az órák célja: konvex és konkáv síkbeli alakzatok megkülönböztetése, (egyszerű) sokszögek oldalainak, átlóinak, csúcsainak felismerése. Összefoglaljuk a háromszögekről, négyszögekről (ezen belül a téglalapról, négyzetről) eddig gyűjtött tapasztalatokat. Az órán sok lehetőség adódik a logikai kifejezések használatára. Például: bármely pont, nem konvex, van olyan pont, minden négyzet téglalap: : : A és B , A vagy B , A és nem B tulajdonságok megfogalmazása. Halmazábrák készítését igénylő feladatok megoldására is sor kerül, például: négyszögek, téglalapok, négyzetek halmazának szemléltetése. Foglalkozhatunk most is barkochba, válogatós játék, „Mi a közös tulajdonság?” feladatokkal. A 9. feladat a párhuzamosság és merőlegesség ismétlésén túl a pontosan egy, legfeljebb egy kifejezésekre irányítja a figyelmet.

Feladatok 1. Csoportosítsd az itt látható síkbeli alakzatokat a megadott szempontok szerint! A: Csak egyenes vonalak határolják. b), c), d), h) B: Csak görbe vonalak határolják. f), g), i) C: Nem konvex. a), c), e), g), i)

90

Alakzatok

2. a) Válaszd ki a síkbeli alakzatok közül a sokszögeket! Sokszög:

B, C , F, G

C

A

b) Az ábrán látható konvex sokszögeknek összesen hány átlója van? Konvex sokszög: C , F , G . Az átlók száma: 5 + 2 + 0.

B D

Összesen 7 átló.

E

F

G

3. Keress Magyarország nyári égboltján olyan csillagképeket, amelyek sokszögek! 23., 26., 38., 39., 46.

A csillagok és a csillagképek nevei: 1. Sarkcsillag (Polaris) 2. Kisgöncöl (Kis Medve) (Ursa Minor) 3. Cefeusz (Cepheus) 4. Kassziopeia (Cassiopeia) 8. Perzeusz (Perseus) 20. Szextáns (Sextans) 21. Északi Vízikígyó (Hydra) 22. Serleg (Crater) 23. Holló (Corvus) 24. Szűz (Virgo) 25. Oroszlán (Leo) 27. Bereniké Haja (Coma Berenices) 29. Ökörhajcsár (Bootes) 31. Kígyó (Serpens) 33. Sárkány (Draco) 35. Hiúz (Lynx) 37. Kentaur (Centaurus) 39. Farkas (Lupus) 41. Kígyótartó (Ophiuchus) 43. Pegasus (Pegasus) 45. Bak (Capricornus) 47. Delfin (Delphinus) 49. Lant (Lyra)

26. 28. 30. 32. 34. 36. 38. 40. 42. 44. 46. 48. 63.

Kis Oroszlán (Leo Minor) Vadászebek (Canes Venatici) Északi Korona (Corona Borealis) Herkules (Hercules) Nagygöncöl (Nagy Medve) (Ursa Maior) Rák (Cancer) Mérleg (Libra) Skorpió (Scorpius) Nyilas (Sagittarius) Sas (Aquila) Csikó (Equuleus) Hattyú (Cygnus) Déli Korona (Corona Australis)

91

Alakzatok 4. Rajzolj a füzetedbe konvex b) ötszöget; A konvex ötszöget az egyik átlója 1 há-

a) négyszöget; A konvex négyszöget az egyik átlója 2 háromszögre bontja. (Konkáv négyszög esetén csak az egyik átlóra értelmezhető a kérdés.)

romszögre és 1 négyszögre bontja.

c) hatszöget; A konvex hatszöget az egyik át-

d) nyolcszöget! A konvex nyolcszöget az egyik át-

lója 1 háromszögre és 1 ötszögre vagy 2 négyszögre bontja.

lója 1 háromszögre és 1 hétszögre vagy 1 négyszögre és 1 hatszögre vagy 2 ötszögre bontja.

Húzd meg a rajzolt síkidom egyik átlóját! Milyen sokszögekre bontja ez az átló az eredeti alakzatot? 5. Egy négyszögről tudjuk, hogy a szemközti oldalai egyenlő hosszúak. Biztosak lehetünk-e abban, hogy a négyszög egy téglalap? Nem biztos, hogy téglalap, lehet nem derékszögű paralelogramma is. 6. Egy négyszögről tudjuk, hogy a szomszédos oldalai merőlegesek egymásra. Téglalap-e az ilyen négyszög? Ha a négyszög szomszédos oldalai merőlegesek, akkor szemközti oldalai párhuzamosak, vagyis a négyszög téglalap síkbeli négyszögek esetén.

7. a) Egy négyszög oldalai egyenlők. Négyzet-e ez a négyszög? Nem biztos, hogy négyzet, lehet nem derékszögű rombusz is.

b) Egy téglalapról tudjuk, hogy két szomszédos oldala egyenlő. Igaz-e, hogy ez a téglalap egy négyzet? Biztosan négyzet, mert derékszögei vannak, és minden oldala egyenlő. 8. Hány átlója van egy háromszögnek, konvex négyszögnek, ötszögnek, hatszögnek, tízszögnek? Készíts táblázatot, keress összefüggést az oldalak és az átlók száma között!

92

a sokszög oldalainak száma

3

4

5

6

10

a sokszög átlóinak száma

0

2

5

9

35

n

n · (n − 3) : 2

Alakzatok 9. Az ábrán látható sokszögek közül írd le azoknak a betűjelét, amelyeknek A: van párhuzamos oldalpárja, c, d , e ,

g, j , k

B: van merőleges oldalpárja, a , b , d , e ,

f , h, j

C: pontosan egy párhuzamos oldalpárja van, g D: legfeljebb egy merőleges oldalpárja van! a , c, f , g , h , i , j , k

10. Csoportban oldjátok meg a feladatot! Készíts egyenlő hosszú pálcikákból (vagy gyufaszálakból, vagy szívószálakból) sokszögeket úgy, hogy azok egy-egy oldala egy-egy pálcika legyen, és teljesüljenek az alábbi feltételek is: 6 pálcikából olyat, hogy

5 pálcikából olyat, hogy

4 pálcikából olyat, hogy

a) ne legyen homorú szöge!

d) ne legyen homorú szöge!

g) ne legyen homorú szöge!

b) egyetlen homorú szöge legyen!

e) egyetlen homorú szöge legyen!

h) egyetlen homorú szöge legyen! Ha egy négyszög négy oldala egyenlő hosszú, akkor az rombusz, amelyek között nincsen homorú szögű.

c) két homorú szöge legyen!

f) két homorú szöge legyen!

i) két homorú szöge legyen! Négyszögnek nem lehet két homorú szöge.

Minden esetben nevezd meg a sokszögek többi szögét is!

93

Alakzatok 12. óra: Tudáspróba Tk.: 86. oldal 1. Határozd meg az a) és b) jelű test lapjainak, csúcsainak és éleinek számát! b) 6 lap, 6 csúcs, 10 él a) 6 lap, 8 csúcs, 12 él

2. Vegyél fel a füzetedben három pontot az ábrának megfelelően, jelöld a pontokat A, B , C -vel! Minden feladat megoldásához külön ábrát készíts!

B

A C

a) Rajzold meg fekete színnel az kaszt!

AB

sza-

c) Rajzolj úgy egy D pontot, hogy az ABCD alakzat konkáv négyszög legyen!

94

b) Zölddel ábrázold az A kezdőpontú, ponton átmenő félegyenest!

C

d) Rajzolj olyan négyszöget, amelynek az A, B és C pontok a csúcsai (nem feltétlenül ebben a sorrendben), az AB szakasz pedig az átlója!

Alakzatok 3. a) Rajzolj négyzethálós lapra olyan téglalapokat, amelyeknek két szomszédos csúcsa ugyanaz az A és B pont! A téglalapok AB oldallal szomszédos oldalai kétszer olyan hosszúak, mint az AB szakasz ábráról leolvasható hossza.

A

A

B

B b) Nevezd meg, milyen sokszöget alkotnak a megrajzolt téglalapok! téglalap Megjegyzés: A csoporttól függően a 3. feladat b) kérdését kihagyhatjuk, vagy a válasz indoklását is kérhetjük.

4. Sorold fel, milyen fajtájú szögeket látsz az ábrán!

1.

2. 3.

1.: tompaszög, 2.: derékszög, 3. és 4.: homorú szög, 5.: hegyesszög, 6.: egyenesszög

4. 5.

6.

95

Egész számok

Egész számok 1–3. 4–5. 6. 7. 8–9. 10–12. 13–14.

óra: óra: óra: óra: óra: óra: óra:

Negatív számok Negatív számok: A számok abszolút értéke Egész számok összeadása és kivonása: Összeadás Egész számok összeadása és kivonása: Kivonás Egész számok összeadása és kivonása: A zárójel nélküli írásmód Egész számok szorzása és osztása természetes számmal Nyitott mondatok

Mire építünk? Negatív egészekkel már találkoztak a tanulók az alsó tagozatban is: hőmérséklet mérésekor, adósságcédulák használatakor és számegyenesen való lépegetéskor. Ismerik és tudják a műveleti jeleket, a műveletek sorrendjét és a relációs jeleket. Meddig jutunk el? • A természetes számok ellentettjeként értelmezzük a negatív egészeket. • Átismételjük és elmélyítjük az egész számok ábrázolását a számegyenesen. • Bevezetjük a számok abszolút értékének fogalmát. • Kiterjesztjük az összeadás és a kivonás műveletét az egész számok körére, és természetes számmal szorzunk és osztunk egész számokat. • Alkalmazzuk a természetes számoknál megtanult műveleti tulajdonságokat, és a műveletek sorrendjéről tanultakat. • Nyitott mondatokat és egyszerű szöveges feladatokat is megoldunk, ezek megoldását összekapcsoljuk a számegyenesen való tájékozódással.

1–3. óra: Negatív számok Tk.: 88–89. oldal, 90–91. oldal, 1–13. feladat A bevezető képekkel a már tapasztalt „emlékeiket” idézhetjük fel: • a nyári, illetve a téli képen a pozitív és negatív hőmérséklet, • a hegy magassága pozitív, míg a tenger mély árkai negatív számokkal írhatók le (például a Mont Blanc 4807 m magas, míg a csendes-óceáni Mariana-árok −11 034 m mély). Érdemes elemezni a számlakivonatot: mit jelent a pozitív, és mit jelent a negatív pénzösszeg. Vetessük észre a gyerekkel, hogy a gazdasági matematikában a számok írásmódja eltér a Természetes számok című témakörben tanultaktól: a hármas egységeket pontok választják el egymástól. Hasznos ismétlés a természetes számok kiolvasásának gyakoroltatása is. A gyerekek által jól ismert matematikai mennyiségeket megtanuljuk leírni az algebra nyelvén: bevezetve az ellentétes mennyiség fogalmát. Ne sajnáljuk az időt arra, hogy a gyerekek a gyakorlati élet példáit megtanulják leírni a matematika nyelvén (jó előkészítés a szöveges egyenletek 96

Egész számok

megértéséhez). A számok nagyság szerinti összehasonlítását kezdetben célszerű a számegyenes segítségével végezni, és így egyre jobban rögzül a gyerekekben, hogy balról jobbra növekednek a számok akkor is, ha azok negatívak. Próbáljanak a tanulók önállóan halmazábrát készíteni, ha megadjuk az alaphalmazokat a címkéikkel, és néhány számot. Hangsúlyozzuk, hogy a természetes számok és a negatív egész számok halmazának nincs közös eleme, bármilyen számokat is adunk meg, ezért a két halmazt éles vonal választja el egymástól! Követeljük meg az elnevezések pontos használatát! Ezt óra eleji „bemelegítő kérdésekkel” ellenőrizhetjük: • Melyik a legkisebb természetes szám? (0) • Melyik a legkisebb negatív egész szám? (nincs) • Melyik a legnagyobb természetes szám? (nincs) • Melyik a legnagyobb negatív egész szám? (−1) • Mondj szomszédos negatív egészet és természetes számot! (−1 és 0) • Mondj szomszédos negatív egész és pozitív egész számot! (nincs)

4–5. óra: Negatív számok: A számok abszolút értéke Tk.: 89. oldal, 91–93. oldal, 14–24. feladat A számok abszolút értékének fogalma látszólag nem nehéz. Ennek ellenére az óra eleji bemelegítő kérdéseknél kiderül, hogy az abszolút érték fogalma mégsem olyan egyszerű. • Melyik számra gondoltam, ha az abszolút értéke 2? (−2; 2) • Melyik számra gondoltam, ha az abszolút értéke −2? (nincs ilyen szám) • Mennyi a −3 abszolút értéke? (3) • Mennyi a 3 abszolút értékének az ellentettje? (−3) • Milyen messze van a számegyenesen a (−3) abszolút értéke a 3 abszolút értékétől? (0) Ezeket s ehhez hasonlóakat „bemelegítéskor” lehet frontálisan kérdezni vagy kopogtatósan játszani.

Feladatok 1. Ábrázold számegyenesen a megadott számokat, és karikázd be közülük a legkisebbet kékkel, a legnagyobbat pedig pirossal! a) (−5), 4, 0, (−3), 2, 7, 3 −5 −4 −3 −2 −1

0

1

2

3

4

5

6

7

A legkisebb a −5, a legnagyobb a 7.

97

Egész számok b) 10, (−8), 6, 4, (−6), 2, (−2) Célszerű a számegyenesen kettesével felvenni az egységeket. −8 −6 −4 −2

0

2

4

6

8


10

c) (−25), 15, 0, 30, (−10), (−15), 20, (−5) Célszerű a számegyenesen ötösével felvenni az egységeket. −25 −20 −15 −10 −5

0

5

10

15

20

25

30


2. A búvárkodás az 1930-as évektől kezdett elterjedni kedvtelési céllal Franciaország mediterrán partjainál. Készíts egy számegyenest, és jelöld rajta az egyes búvárok merülési mélységét a nevük kezdőbetűjével! Olvasd ki, hogy milyen szót kaptál! Éva 7 m; Elemér 16 m; Laci 12 m; Zoli 5 m; Karcsi 8 m; Übü 4 m; Lilla 3 m; Sanyi 6 m, és a kezdő Tibi a víz szintjén az úszást gyakorolja. E

L

−18 −16 −14 A kapott szó: ELKÉSZÜLT

K

−12

−10

É

−8

S

Z

−6

Ü

L

−4

3. A felírt számok közül melyek a) a negatív számok; −10, −8, −6, −4. b) a természetes számok halmazába tartozók; 0, 2, 4, 6, 8. c) a saját ellentettjükkel együtt felsoroltak?

−2

−10 −8

d) a legkisebb? −10.

−6

0

6

2

8

0

2

−4

a 4 és a −4, a 6 és a −6, a 8 és a −8 és a 0.

A felírt számok közül melyik

T

4

e) a legnagyobb? 8.

4. Válaszd ki a megadott számok közül azokat, amelyek Célszerű először számegyenest készíteni. −7 −12

−8

11

−3 −4

0

2

5

78

11

a) kisebbek (−3)-nál; −12, −8, −7, −4 b) nagyobbak (−7)-nél; −4, −3, 0, 2, 5, 7, 8, 11 c) nagyobbak (−7)-nél, de kisebbek (−3)-nál! −4 5. Ábrázold a számokat egy számegyenesen, és keress közöttük olyanokat, amelyek a) egymástól 4 egységre; A megfelelő számpárok:

7

0

0

2

(−12 −8); (−8 −4); (−7 −3); (−4 0); (7 11:)

b) a 0-tól egyenlő távolságra; Ezek a számok egymás ellentettjei: a −8, 8 és a −7, 7.

7

8

5

−7 −3

5

8

11

2

−12 −4

−7 −3

−8

−12 −4

−8

c) a 2-től egyenlő távolságra Öt egységre van a 2-től a −3 és a 7. Hat egységre van a 2-től a −4 és a 8. Kilenc egységre van a 2-től a −7 és a 11.

vannak a számegyenesen! Nem kell elvárnunk, hogy ezt a feladatot a kevésbé jó matematikus gyerekek is megoldják, ezért célszerű együtt kitűzni egy könnyebb feladattal, például a 3-sal, melynél a számegyenes felhasználható a feladat megoldásához.

98

Egész számok 6. Zoli egy számegyenesen felrajzolta családtagjai születési adatait. Kiindulási pontnak azt vette, amikor ő született:

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

30

35

a) Hány évesek voltak Zoli szülei, amikor Zoli született? Zoli édesapja 30, édesanyja 25 éves volt. b) Mennyivel fiatalabb Zoli édesanyja a férjénél? 5 évvel. c) A kisfiú öccse vagy bátyja Zolinak? Mennyi köztük a korkülönbség? A kisfiú idősebb Zolinál, hiszen korábban született, ezért bátyja. 5 év.

d) A kislány nővére vagy húga Zolinak? Mennyi köztük a korkülönbség? A kislány később született, ezért húga. 5 év.

e) Ebben az évben Zoli 10 éves. Írd le, hogy most ki hány éves a családjában! Édesanya 35, édesapa 40, báty 15, Zoli 10, húg 5 éves.

7. Készíts számegyenest, és rajzold rá, hogy hozzád képest ki mikor született a családban! Kiindulási pontnak vedd azt az időpontot, amikor te születtél! A megadott számegyenesedet add át a padtársadnak, aki mondjon el minél több információt ennek alapján a családodról! 8. Rajzolj egy számegyenest, és jelöld be rajta azokat az egész számokat, amelyek a) (−5)-nél nagyobbak! b) (−5)-nél nagyobbak, de 2-nél kisebbek! −5

−5

0

c) 2-nél kisebbek!

0 2

d) (−3)-nál nem kisebbek, de 3-nál kisebbek! −3

0 2

0

3

Ügyeljünk, hogy a gyerekek a nyílt, illetve zárt félegyenest vagy szakaszt helyesen ábrázolják a számegyenesen (természetesen a szakszavak használatára nincs szükség, csak a fogalom pontos értésére)! Kevésbé jó matematikusoktól elfogadhatjuk, ha csak az egészeket keresik meg a számegyenesen. (Ilyen a következő feladat.) 9. Rajzolj egy számegyenest, és jelöld be rajta a (−3)-at! Melyek azok az egész számok, amelyek (−3)-tól a) 2 egységre vannak; −1 és −5 b) nem több, mint 2 egységre vannak; −5, −4, −3, −2, −1 c) nem kevesebb, mint 3, de 5-nél nem több egységre vannak? −8, −7, −6, 0, 1, 2 10. Milyen egész számok írhatók a a)

= (−2)

: −2

c)

> (−3)

: −2; −1; 0;

helyébe? b)

:::

d)

< (−2) = (−3)

: −3-tól „lefelé” minden egész : −3; −2; −1;

::: 99

Egész számok e) (−8) < < (−5)

g) (−8) 5 i) (−4) 5

5 (−5) < 2

f) (−8) 5

< (−5) h) (−6) < < (−4)

: −7; −6 : −8; −7; −6; −5

: −8; −7; −6 : −5

: −4; −3; −2; −1; 0; 1

Ha a feladatokat önállóan oldják meg a gyerekek, az ellenőrzés előtt lehet kérdezgetni őket: • Volt-e azonos megoldású feladat? (nem) • Voltak-e olyan feladatok, melyek megoldásszáma azonos? (igen a)–h), b)–c)) • Az összes megoldás közül melyik a legkisebb egész, ami szerepelt? (nincs) 11. A bolygók felszínének átlaghőmérséklete: Vénusz 470 ◦ C Merkúr 179 ◦ C Föld 22 ◦ C Mars (−63) ◦ C ◦ Jupiter (−143) C Szaturnusz (−145) ◦ C Uránusz (−170) ◦ C Neptunusz (−231) ◦ C A felszíni átlaghőmérséklet növekedésének sorrendjében írd le a bolygók nevét! Célszerű számegyenest készíteni. Beszéljük meg a praktikus egységválasztást (50) a számegyenesen! Szaturnusz Uránusz Jupiter Neptunusz Mars −250 −200 −150 −100 −50

Föld 0

Merkúr 50

100

150

Vénusz

200

250

300

350

400

450

Szerinted melyik bolygón lehetne élni, és melyiken nem az átlaghőmérsékletek ismerete alapján? A Marson, a Földön és a Vénuszon lehetne az átlaghőmérsékletek alapján élni, bár ezek az átlaghőmérsékleti értékek elrejtik a nagy hőingadozásokat.

12. Ábrázold számegyenesen pirossal a megadott számokat, és kékkel az ellentettjüket! a) 5 b) (−3) c) (−4) d) 0 e) 4

f) (−6)

Vegyük észre, hogy a 4 és a (−4) egy ellentettpár, tehát azonos távolságra vannak a 0-tól a számegyenesen, azaz az abszolút értékük azonos! A 0 az egyetlen szám, melynek az ellentettje is önmaga.

13. Határozd meg azokat az egész számokat, amelyek a) ellentettje nagyobb 2-nél; (x < −2) c) ellentettje 0 és 5 között van; (−5 < x< 0)

b) ellentettje legfeljebb 4; (x = −4) d) ellentettje (−6) és (−3) között van! (3 < x< 6)

Célszerű először fölrajzoltatni egy számegyenest, hogy azon keressék a megfelelő számokat a tanulók. Ez egy nehéz feladat, nem kell mindenkitől elvárni a megoldását. 14. Mivel egyenlő? a) | + 6| 6 f) | − 8| 8

b) |0| 0 g) | − 3| 3

c) |2003| 2003 h) −| − 3| −3

d) | − 3| 3 i) −|3| −3

e) | − 50| 50 j) −|50| −50

15. Válogasd ki a számok közül a legkisebbet, a legnagyobbat, a legkisebb abszolút értékűt, illetve a legnagyobb abszolút értékűt! 100

Egész számok a) (−8), 6, 4, (−4), 0, 7, (−5) c) (−120), 20, 36, (−48), 55, 128, (−72) A legkisebb

a legnagyobb

b) (−14), 2, 14, 5, (−5), 9, (−6)

a legkisebb abszolút értékű

a legnagyobb abszolút értékű −8

a)

−8

7

0

b)

−14

14

2

c)

−120

128

20

−14 és 14 128

16. Keresd meg a számegyenesen azokat az egész számokat, amelyek abszolút értéke a) 3;

b) 3-nál kisebb; −3

0

−3

3

0

c) 3-nál nagyobb!

3

−3

0

3

17. Melyik az az egész szám, amelynek abszolút értéke a) 2; −2 és 2 b) 5; −5 és 5 c) 0; 0 d) −3; Nincs ilyen szám. e) kisebb 2-nél; A −2 és 2 közötti számok, az egészek közül: −1, 0, 1. f) nagyobb 3-nál! x < −3 vagy x > 3 18. Melyek azok az egész számok, amelyek abszolút értéke a) kisebb 4-nél; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3 b) nem nagyobb 4-nél; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4 c) legfeljebb 2; −2; −1; 0; 1; 2 d) legalább 5; : : : ; −6; −5; 5; 6; : : : e) nagyobb 2-nél, de kisebb 5-nél? −4; −3; 3; 4 19. Mely egész számok teszik igazzá a nyitott mondatokat? Ábrázold a megoldásokat számegyenesen! a) |a | = 2 −2 és 2. b) |b | < 2 −2 < b< 2, egészek −1, 0, 1. c) |c | = 3

c 5 −3 vagy c = 3.

d) |d | = 0 0

e) |e | = | − 3| −3, 3 f) | f | = −| − 4| Nincs ilyen szám. g) |g | < 7 −7 < g< 7, egészek körében: −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. h) 2 < |h | < 5 −5 < h< −2 vagy 2 < h< 5, egészek: −4, −3, 3, 4. 20. Oldd meg a nyitott mondatokat az egész számok halmazán, és megoldásodat ábrázold számegyenesen! a) |a | = 1 −1; 1

b) |b| = 5 −5; 5

e) 1 5 |e | < 5 −4; −3; −2; −1; 1; 2; 3; 4

c) |c | = 3 −3; 3

d) |d | = −2 Nincs ilyen szám.

f) −2 < |f| < 3 −1; 0; 1; 2

21. Padtársaddal együtt készítsetek egy hőmérőt, és jelöljétek rajta a napok kezdőbetűivel a reggelenként mért hőmérsékletet! Melyik napon volt reggel a leghidegebb? a) Hétfőn reggel a hőmérő higanyszála 3 egységre állt a nulla alatt. −3 b) Kedden azon a számon állt a hőmérő higanyszála, melynek ha az ellentettjén állt volna, akkor is ugyanezt látjuk. 0 101

Egész számok c) Szerdán (−5) ◦ C-on állt a hőmérő higanyszála. −5 d) Csütörtökön reggel és délután az iskolából hazatértünkkor a higanyszál egyenlő távolságra volt a nullától, és napközben a hőmérséklet 8 ◦ C-ot emelkedett. −4 e) Pénteken az előző reggeli hőmérséklet fölött mértünk 2 ◦ C-kal. −2 A leghidegebb reggel szerdán volt. 6 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 K

P H Cs Sz

22. Döntsd el, hogy a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis! Indokold meg a válaszodat! a) Egy pozitív és egy negatív szám közül mindig a pozitív a nagyobb. Igaz, mert a számegyenesen a pozitív szám mindig a 0 jobb, a negatív szám pedig a 0 bal oldalán helyezkedik el.

b) Van olyan szám, amelynek ellentettje és abszolút értéke megegyezik. Igaz, ilyenek a 0 és a negatív számok, mert ezek ellentettje nagyobb vagy egyenlő nullával – ami éppen megegyezik ezen számok abszolút értékével.

c) Két pozitív szám közül a nagyobbnak az abszolút értéke is nagyobb. Igaz, mert távolabb van a 0-tól a számegyenesen.

d) Két negatív szám közül a nagyobbnak az abszolút értéke is nagyobb. Hamis, mert a nagyobb negatív számok vannak közelebb a 0-hoz a számegyenesen, ezért az abszolút értékük kisebb.

e) Egy pozitív és egy negatív szám közül mindig a nagyobb abszolút értékű a nagyobb. Hamis, például a −100 és az 1 esetében: −100 < 1, holott | − 100| = 100 > |1| = 1.

f) Pontosan egy olyan szám van, amely megegyezik önmaga ellentettjével. Igaz, a 0. g) Pontosan egy olyan szám van, amely 2 egységre van a számegyenesen a saját abszolút értékétől. Igaz, csak a (−1) van két egységre a számegyenesen a saját abszolút értékétől. 23. Peti leírt egy papírra hat különböző egész számot. Mindegyik kisebb, mint +4, és mindegyiknek az ellentettje is ott van a papíron. Melyek ezek a számok? −3; −2; −1; 1; 2; 3 24. Keresd meg az 1 5 |x + 1| 5 5 nyitott mondat megoldását a) az egész számok körében; Ha egy szám abszolút értéke 1 és 5 között van, akkor a szám is 1 és 5 között van, vagy −5 és −1 között.

Ezért 1 < x +1< 5 vagy −5 < x +1< −1. Innen 0 < x< 4 vagy −6 < x< −2. Egész megoldások: 1; 2; 3; −5; −4; −3.

b) a számegyenesen! Számegyenesen szemléltetve a megoldást: −6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

Egészek körében próbálgatással meg szokták kapni a gyerekek a helyes eredményt (vagy annak egy részét): 0, 1, 2, 3, 4, −6, −5, −4, −3, −2. 102

Egész számok 6. óra: Egész számok összeadása és kivonása: Összeadás Tk.: 93–95. oldal, 97–98. oldal 1–5. feladat Javasolt eszközök: készpénz és adósságcédulák, mágnestábla, hőmérőmodell, számítógépes program. A készpénzt és az adósságcédulát már az alsó tagozatból ismerik a gyerekek. Tudják, hogy 1 készpénz + 1 adósság = 0. Ezért célszerű az összeadás és kivonás tanításakor is ezt a modellt használni. Fontos előnye ennek a modellnek, hogy az összeadás az egy kupacba rakást, míg a kivonás az elvételt jelenti. Természetesen a hőmérő- vagy a kisautómodell is használható – mindenesetre a megértés fázisában csak az egyikkel célszerű dolgozni. Érdemes a számegyenesen való szemléltetéskor is ugyanazokat a színeket használni, mint a pénzmodellnél: piros – pozitív irány, kék – negatív irány. Az összeadás kommutatív (felcserélhető) és asszociatív (csoportosítható) tulajdonságait a tanulók „fedezzék fel”, fogalmazzák meg. Az óra elején bemelegítésként érdemes láncszámolást végezni. Például: 1. Induljunk a 123 számjegyeinek szorzatával! (2 · 3 = 6) 2. Vegyük az ellentettjét! (−6) 3. Vegyük az ennél 2-vel nagyobb egész számot! (−4) 4. Képezzük az abszolút értékét! (4) 5. Szorozzuk 12-vel! (48) 6. Cseréljük fel a számjegyeit! (84) 7. Osszuk el 14-gyel! (6) 8. Vegyük a szám harmadát! (2) 9. Szorozzuk önmagával! (4) 10. Írjuk le a kapott szám ellentettjét! (−4)

7. óra: Egész számok összeadása és kivonása: Kivonás Tk.: 95–96. oldal, 98–99. oldal, 6–13. feladat Javasolt eszközök: készpénz és adósságcédulák, mágnestábla, hőmérőmodell, számítógépes program

103

Egész számok

A kivonás tanításához sok idő és türelem kell. A gyerekek a készpénzzel és az adósságcédulával adjanak össze és vonjanak ki egymásból kis abszolút értékű számokat! Vegyék észre, hogy kivonáskor nőhet a különbség (ez a természetes számok halmazán nem fordulhatott elő) – ezért nehéz a negatív számok kivonásának fogalma! Ne törekedjünk szabály megfogalmazására és főleg megtanítására – az a fontos, hogy megértsék a gyerekek a kiegészítéssel a kivonás műveletét. Nem kell nagy számokkal végeztetni a műveleteket, a számolási rutinjukat majd a jövő tanévben alakítjuk ki, most azonban ne sajnáljuk az időt a modellen való egyéni munkától. Kezdetben rajzoljuk le a füzetbe a modellen kirakottakat, és írjuk is le az algebra nyelvén (azaz számokkal)! Célszerű mágneses pénzzel, illetve adósságcédulákkal a táblán is dolgoztatni a gyerekeket. Élvezni szokták a kiegészítéses módszert. Ne erőltessük a zárójel nélküli írásmód használatát! A gyerekek a pozitív számok előjelét jelző + jelet előbb-utóbb maguktól is elhagyják.

8–9. óra: Egész számok összeadása és kivonása: A zárójel nélküli írásmód Tk.: 96–97.oldal, 98. oldal 8–9. és 99–100. oldal, 14–27. feladat Feladatmegoldó órákon lehetőség nyílik a gyerekekkel való differenciált foglalkozásra.

Feladatok 1. Írd le a matematika nyelvén a feladatokat, és számold ki, hogy kinek mennyi vagyona lesz! (Használj készpénz- és adósságcédulákat!) a) Aladár vagyona +5, és kap +6 készpénzt az édesapjától. (+5) + (+6) = +11 b) Balázs vagyona +4, és kap +12 készpénzt. (+4) + (+12) = +16 c) Cili vagyona −8, és kap +4 készpénzt. (−8) + (+4) = (−4) d) Dénes vagyona −6, és kap +9 készpénzt. (−6) + (+9) = +3 e) Emese vagyona +10, és szerez 5 adósságcédulát. (+10) + (−5) = +5 f) Feri vagyona −7, és szerez 3 adósságcédulát. (−7) + (−3) = (−10) 2. Írd le a matematika nyelvén a feladatokat, és számold ki, hogy mennyi a) Most fagypont felett 8 ◦ C van, és az idő melegszik 4 ◦ C-ot. b) Most fagypont felett 10 ◦ C van, és az idő melegszik 3 ◦ C-ot. c) Most fagypont felett 6 ◦ C van, és az idő hűl 4 ◦ C-ot. d) Most fagypont felett 10 ◦ C van, és az idő hűl 12 ◦ C-ot. e) Most fagypont alatt 1 ◦ C van, és az idő melegszik 5 ◦ C-ot. f) Most fagypont alatt 4 ◦ C van, és az idő melegszik 8 ◦ C-ot. g) Most fagypont alatt 3 ◦ C van, és az idő hűl 2 ◦ C-ot. h) Most fagypont alatt 2 ◦ C van, és az idő hűl 6 ◦ C-ot. 104

lesz a hőmérséklet! (+8) + (+4) = +12 (+10) + (+3) = +13 (+6) + (−4) = +2 (+10) + (−12) = (−2) (−1) + (+5) = +4 (−4) + (+8) = +4 (−3) + (−2) = (−5) (−2) + (−6) = (−8)

Egész számok 3. A téli szünetben Bálint egy héten át megmérte a déli és az esti hőmérsékletet, mérési eredményeit láthatod a táblázatban: Délben Este a) b) c) d) e)

Hétfő

Kedd

Szerda

Csütörtök

Péntek

Szombat

Vasárnap

+6 −5

0 −7

+3 −2

+7 −1

−2 −3

+2

+1 −5

−4

Melyik volt a legmelegebb este? csütörtök Melyik volt a leghidegebb este? kedd Mennyit hűlt le szerdán a hőmérséklet? 5 ◦ C-ot Mennyit emelkedett szerda estétől csütörtök délig a hőmérséklet? 9 ◦ C-ot Bálint elfelejtette szombaton délben beírni a mért hőmérsékletet, de arra emlékezett, hogy a szombati és a vasárnapi hőingadozás egyenlő volt. Melyik szám hiányzik a táblázatból? +2

4. Írj szöveget a füzetedbe az öszeadásokhoz! a) +3 + (+5) + (−2) b) (−8) + (−3)

c) +2 + (−3) + 8

Olvastassuk fel a gyerekek szöveges megfogalmazásait, és az osztály ellenőrizze azok helyességét! 5. Végezd el az összeadást! a) (+5) + (+7) = +12 (+3) + (−7) = −4 (−4) + (+5) = +1 (−4) + (−2) = −6

b) (+9) + (−3) = +6 (+7) + (+2) = +9 (−3) + 0 = −3 (−3) + (−4) = −7

c) (−6) + (−4) = −10 (−7) + (+4) = −3 (−9) + (−2) = −11 (−5) + (+5) = 0

6. Végezd el a műveleteket, és mindegyik részfeladatból a legelsőt szemléltesd számegyenesen is! a) (+2) + (+4) = +6 b) (+2) − (+4) = (−2) c) (−2) + (+4) = +2 (−6) − (−2) = (−4) 0 − (−5) = +5 (−8) + (−1) = (−9) (−12) − 0 = (−12) (−7) + (+7) = 0 (−13) + (+3) = (−10) 7. Végezd el az összeadásokat! a) (+12) + (−8) = +4 (+12) + | − 8| = +20 (−12) + (−8) = (−20) | + 12| + (−8) = +4

b) | − 13| + (−13) = 0 (−9) + (−21) = (−30) | − 9| + | − 21| = +30 (+42) + (−21) = +21

c) +23 + (−18) = +5 +23 + | − 18| = 41 −23 + (−18) = (−41) | − 23| + (−18) = +5

8. + 6 + ? = Melyik számot kell hozzáadni a (+6)-hoz, hogy eredményül a) (+12)-t kapjunk; 6 b) 0-t kapjunk; (−6) c) (−3)-at kapjunk; (−9) d) (+14)-et kapjunk; 8 e) (−9) ellentettjét kapjuk; 3, mert a (−9) ellentettje a 9 f) a legnagyobb kétjegyű számot kapjuk; 93, mert 99-et kell kapni g) a legnagyobb negatív egész számot kapjuk; −7, mert a legnagyobb negatív egész szám a −1 h) a legkisebb természetes számot kapjuk? −6, mert a legkisebb természetes szám a 0 105

Egész számok

9. (−3) + ? = Melyik számot kell hozzáadni a (−3)-hoz, hogy eredményül b) (+3)-at kapjunk; 6 c) (−4)-et kapjunk; −1 a) 0-t kapjunk; 3 d) (+12)-t kapjunk; 15 e) (−5) abszolút értékét kapjuk; 8, mert 5-öt kell kapni f) önmagát kapjuk; 0 g) a legkisebb kétjegyű számot kapjuk; 13, mert 10-et kell kapni h) a legkisebb pozitív kétjegyű szám felét kapjuk? 8, mert 5-öt kell kapni Mindkét feladat második fele nehéz kérdéseket tartalmaz. Önálló gyakorlófeladatként kitűzve ezeket csak a jobb képességű tanulóktól várjuk el. Esetleg a megbeszélés kapcsán fel lehet írni a feladatot rejtő nyitott mondatot is: +6 + = adott értékkel, illetve (−3) + = adott értékkel. 10. Írd le a matematika nyelvén a feladatokat, és számold ki, hogy kinek mennyi vagyona lesz! (Használj készpénz- és adósságcédulákat!) (+8) − (+6) = 2 a) Alajos vagyona (+8), és elköltött (+6) -ot. b) Bea vagyona (+4), és elköltött (+6) -ot. (+4) − (+6) = (−2) c) Csaba vagyona (−3), és elköltött (+6) -ot. (−3) − (+6) = (−9) d) Dóra vagyona (−5), és édesapja elvett tőle 3 adósságcédulát. (−5) − (−3) = (−2) e) Elemér vagyona (−7), és édesanyja átvállalt tőle 5 adósságcédulát. (−7) − (−5) = (−2) 11. Írd le a matematika nyelvén a feladatokat, és a) Most fagypont felett 10 ◦ C van, b) Most fagypont felett 10 ◦ C van, c) Most fagypont felett 8 ◦ C van, d) Most fagypont alatt 3 ◦ C van, e) Most fagypont alatt 4 ◦ C van,

számold ki, hogy mennyi volt a hőmérséklet! és 4 ◦ C-ot melegedett. 10 + 4 = 14 és 12 ◦ C-ot melegedett. 10 + 12 = 22 és 4 ◦ C-ot hűlt. 8 + (−4) = 4 ◦ és 5 C-ot melegedett. (−3) + 5 = 2 és 2 ◦ C-ot hűlt. (−4) − (+2) = (−6)

12. Írj szöveget a füzetedbe az alábbi kivonások közül kettőhöz, és cseréld ki a füzeted a padtársaddal, majd ő válassza ki a megfelelő műveletsort, és végezze is el azt! a) (+12) − (+3) b) (+12) + (−3) c) (−12) + (+3) d) (−12) − (−3) Egy-két szöveget olvassanak fel hangosan is gyerekek. 13. Végezd el az alábbi kivonásokat! (Használj készpénz- és adósságcédulákat!) a) (+8) − (+5) = 3 b) (−12) − (−3) = −9 c) (+6) − (−4) = 10 (+6) − (−3) = 9 (−12) − (+1) = (−13) (−4) − (+6) = (−10) (+7) − (+9) = (−2) (−4) − (−3) = (−1) (−9) − (−2) = (−7) 14. (−3)−? =

Melyik számot kell a (−3)-ból kivonni, hogy a különbség

A feladatot leíró nyitott mondat: (−3)−? = adott érték

a) (−1) legyen; (−2) b) 0 legyen; (−3), vigyázzunk, mert a tanulók jelentős része +3-at fog írni, pedig ha kirakjuk a 3 adósságcédulát, azokat kell elvenni, hogy ne maradjon semmi.

c) 1 legyen; (−4) 106

Egész számok d) 4 ellentettje legyen; 1, mert (-4)-et kell kapni. e) (−3) abszolút értéke legyen; (−6), mert 3-at kell kapni. f) (+5) ellentettje legyen? 2, mert (−5)-öt kell kapni. 15. ? − (+2) =

Melyik számból kell kivonni a (+2)-t, hogy a különbség

A feladat nyitott mondata: ? − (+2) = adott érték

a) (+2) legyen; 4 e) 8 legyen; 10

b) (−4) legyen; −2 c) 0 legyen; 2 d) | − 7| legyen; 9 f) | + 6|-nak az ellentettje legyen? −4, mert (−6)-ot kell kapni.

16. A Mars hőmérséklete igen szélsőséges: −100 ◦ C és +20 ◦ C között ingadozik. Mekkora a hőmérséklet legnagyobb növekedése, illetve a hőmérséklet legnagyobb csökkenése ezen a bolygón? A hőmérséklet legnagyobb növekedése 120 ◦ C, legnagyobb csökkenése −120 ◦ C, amikor +20 ◦ C-ról esik −100 ◦ C-ra a hőmérséklet.

17. A Naphoz legközelebbi bolygó a Merkúr. Hőmérséklete a Nap felőli oldalán +430 ◦ C, míg az ellentétes oldalon ennél 615 ◦ C-kal hidegebb van. Hány ◦ C van a Merkúr „éjszakai oldalán”? Az „éjszakai oldalon” a hőmérséklet 430 − 615 = (−185) ◦ C.

18. Végezd el a kijelölt műveleteket! a) (+8) + (+12) − (+7) = 13 c) (+8) − (+12) − (−7) = 3 e) −| − 4| − | − 8| = (−12)

b) (−8) + (−12) + (−7) = (−27) d) | − 4| − | − 8| = (−4) f) |(−4) − (−8)| = 4

19. Végezd el a kijelölt műveleteket! a) +17 + (+5) − (+7) = 15 c) (−4) + | − 8| − (−3) = 7 e) | − 23| − | − 12| = 11

b) (−12) − (−3) + (+8) = (−1) d) | − 23 − (−12)| = 11 f) (−8) + (−9) − (+9) − (+12) = (−38)

20. Két tengeralattjáró egy adott pillanatban pontosan egymás fölött helyezkedik el. Egyikük a hajónaplójába ezt jegyezte fel: „pontosan (−54) méter mélyen vagyunk, és tőlünk 25 m-rel mélyebben egy másik tengeralattjárót észleltünk”. Melyik műveletsor határozza meg a másik hajó mélységét, és mennyi az? A: (−54) + 25 B: (−25) − (−54) C: (−54) − (−25) D: (−25) + (−54) A helyes válasz a D, a másik tengeralattjáró (−79) m mélyen van.

21. Gondoltam egy számot, hozzáadtam (+6)-ot, elvettem belőle (−3)-at, kivontam belőle (−7)-et, elvettem belőle (+5)-öt, és az eredmény (+1) lett. Melyik számra gondoltam? Visszafelé okoskodunk. Ha a fenti műveleteket nem végeztük volna el, akkor: (+1) + (+5) + (−7) + (−3) − (+6) = (−10) értékünk lenne. Feltétlenül ellenőrizzük a megoldás helyességét!

22. Egy kétjegyű számból kivontam egy háromjegyű számot, és eredményül (−1)-et kaptam. Melyik két számot vontam ki egymásból? A 99 − 100 = −1 különbség szerepel a feladatban.

107

Egész számok 23. Egy kétjegyű számból kivontam egy háromjegyű számot, és eredményül (−2)-t kaptam. Melyik két számot vontam ki egymásból? A 98 − 100 = (−2) és a 99 − 101 = (−2) különbségek tesznek eleget a feladat szövegének.

A feladatot érdeklődőbb csoportban lehet tovább kérdezni. Ha a különbség −3, −4, : : : , akkor olyan számpárokat kell keresni a számegyenesen, ahol a háromjegyű szám 3-mal, 4-gyel: : : követi a kétjegyűt, ezért a megoldások száma 3, 4: : : számpár lesz. (A számpároknak határt szab a kétjegyűség!) 24. Egy család folyószámla-egyenlegének havi pénzforgalma: Nyitó egyenleg 2008. 01. 26-án: Készpénzfelvétel bankautomatából:

245 000 Ft −118 500 Ft

Munkabér-átutalás 2008. 02. 02.: Hiteltörlesztés 2008. 02. 25.:

185 900 Ft −97 600 Ft

a) Mennyi pénz maradt a számlán, ha a nyitó egyenlegből azonnal felvették a havi szükséges készpénzmennyiséget, és egyéb tranzakció nem történt? A: 125 500 B: 127 500 C: 126 500 D: 128 500 E: egyik sem A C a helyes válasz: 245 000 − 118 500 = 126 500 Ft

b) Mekkora a család záró egyenlege 2008. 02. 26-án? A: 204 800 B: 241 800 C: 194 800

D: 214 800

E: egyik sem

A D a helyes válasz, a számlán szereplő számok összege a záró egyenleg.

25. Gondoltam egy számra, az ellentettjét vettem, hozzáadtam 12-t, elvettem belőle (−3)-at, s így éppen a legkisebb pozitív kétjegyű számot kaptam. Melyik volt az eredeti szám? Visszafelé érdemes okoskodni: a kapott szám a 10, ezt a (−3) elvétele után kaptuk, így az előző szám a 7 volt. (−5)-höz kell 12-t adni, hogy az eredmény 7 legyen, s mi ennek a számnak az ellentettjéből, azaz az 5-ből indultunk ki. Érdemes ellenőrizni a megoldást: 5 → −5 → −5 + 12 = 7 → 7 − (−3) = 10, amely a legkisebb kétjegyű szám.

26. Két egész szám összege 1. Ha a nagyobból kivonjuk a kisebbet, akkor 11-et kapunk. Melyik ez a két szám? A keresett számok: 6 és −5, mert az összegük 1, így csak egy pozitív és egy negatív szám jöhet szóba, hisz a különbségük viszont 11, azaz az origótól összesen 11 egység távolságra vannak a keresett számok, és közülük a pozitív szám abszolút értéke éppen eggyel nagyobb a negatívnál.

27. Egy kocka minden csúcsára (−1)-et írunk. Minden élére az él két végpontjában álló szám összege kerül. Minden lapjára pedig a lapokat határoló éleken álló számok összege kerül. Mennyi a lapokon lévő számok összege? Minden élre (−2) kerül. Egy-egy lapot 4 él határol, ezért minden lapra (−8)-at írunk. A kockának 6 lapja van, ezért (−8) · 6 = −48, amit a gyerekek összeadással számolhatnak ki.

108

Egész számok 10–12. óra: Egész számok szorzása és osztása természetes számmal Tk.: 101–103. oldal, 1–13. feladat Nem szokott nehézséget jelenteni ennek a témának a feldolgozása. Itt gyakoroltathatjuk a többjegyű számmal való szorzást és osztást is, valamint a műveletek sorrendjéről tanultakat. Egész számokat egészekkel szorozni és osztani majd csak hatodik évfolyamon fogunk, így ha a gyerekek felvetik például a (−2) · (−3) szorzat kiszámolási módját, ne nagyon térjünk ki rá, hiszen ehhez a permanencia elvére van szükség, mert a szorzás definíciója nem alkalmazható: a (−2)-t nem lehet (−3)-szor összeadandóként venni. A szorzat és a hányados változásaival csak a matematika iránt fogékonyabb csoportokkal érdemes foglalkozni. A fejezet végén lévő Tudáspróbát vagy tanórán írassuk meg, vagy ha otthoni munkára adjuk fel, akkor hangsúlyozzuk, hogy 45 perc alatt kellene megoldani. Bemelegítésként két fejszámolási javaslatot írtunk le: Példa az összeadás utáni láncszámolásra. 1. Indulunk a legkisebb négyjegyű természetes számmal. (1000) 2. Vesszük a század részét. (10) 3. Adjunk hozzá (−12)-t! (−2) 4. Hozzáadunk (−3)-at. (−5) 5. Vesszük az abszolút értékének a kétszeresét. (5 · 2 = 10) 6. Hozzáadunk 42-t. (52) 7. Elosztjuk 26-tal. (2) 8. Adjunk hozzá (−6)-ot! (−4) 9. Leírjuk a kapott szám ellentettjét. (4) Példa az összeadás és a kivonás utáni láncszámolásra. 1. Indulunk a legnagyobb kétjegyű természetes számmal! (99) 2. Vegyük a 9-ed részét! (11) 3. Adjunk hozzá (−6)-ot! (5) 4. Vonjunk ki belőle 8-at! (-3) 5. Vegyünk el belőle (−5)-öt! (2) 6. Szorozzuk meg 32-vel! (64) 7. Vegyük a nyolcad részének az ellentettjét! (−8) 8. Adjunk hozzá 4-et! (−4) 9. Vegyünk el belőle 3-at! (−7) 10. Adjunk hozzá 7-et, és írjuk le a számot! (0)

109

Egész számok Feladatok 1. Írd fel szorzat alakban, és számold is ki! a) (−2) + (−2) + (−2) + (−2) = (−2) · 4 = −8 b) (−1) + (−1) + (−1) + (−1) + (−1) = (−1) · 5 = −5 c) (−7) + (−7) + (−7) = (−7) · 3 = −21 d) (−3) + (−3) + (−3) = (−3) · 3 = −9 2. Ügyes kerekítéssel becsüld meg a feladatok eredményét, majd végezd el a kijelölt műveleteket! a) (−8) · 2 = −16 b) (−13) · 24 = −312 c) (−273) · 102 = −27 846 (−12) · 5 = −60 (−26) · 12 = −312 (−314) · 53 = −16 642 (−23) · 4 = −92 (−39) · 8 = −312 (−57) · 49 = −2793 A 2. feldatban figyeljünk a tényezők változására! 3. Ügyes kerekítéssel becsüld meg a feladatok eredményét, majd végezd el a kijelölt műveleteket! a) (−12) : 4 = −3 b) (−408) : 12 = −34 c) (−391) : 23 = −17 (−36) : 9 = −4 (−204) : 12 = −17 (−2553) : 111 = −23 (−48) : 8 = −6 (−204) : 6 = −34 (−5628) : 402 = −14 4. Ügyes kerekítéssel becsüld meg a feladatok eredményét, majd végezd el a kijelölt műveleteket! a) (−16) · 3 = −48 b) (−24) · 6 = −144 c) (−238) · 7 = −1666 (−16) · 0 = 0 (−24) : 6 = −4 (−238) : 7 = −34 (−16) : 4 = −4 (−24) : 12 = −2 (−238) : 14 = −17 5. ? · 6 = A: 4

Melyik egész számot szoroztam meg 6-tal, ha a szorzat −24? C: −4

B: 6

D: 12

E: egyik sem

A C a helyes válasz: (−4) · 6 = −24.

6. ? : 8 =

Melyik egész számot osztottam el 8-cal, ha a hányados

A feladat nyitott mondata:

: 8 = adott szám

a) −16; (−128)

b) −1; (−8)

c) 0; 0

d) (−4)-nél nagyobb; −32-nél nagyobb egész számokat e) (−2)-nél kisebb;

x< −16

f) −2 és −4 között van? −32 és −16 közötti egész számokat 7. Milyen kérdéseket rejtenek az alábbi egyenletek? Oldd meg azokat az egész számok halmazán! a) a · 3 = −6 a = −2 b) b : 4 = −7 b = −28 c) c · 12 = 0 c = 0 d) d : 7 = 0 d = 0 e) (e + 3) · 5 = −10 e = −5 f) f + 3 · 5 = −10 f = −25 g) |g | · 2 = +8 g1 = −4 és g2 = 4 h) |h | : 4 = −2 Nincs ilyen szám. i) i · 4 + 2 = −6 i = −2 j) j : 5 + 3 = 0 j = −15 k) k · 0 + 4 = 4 k tetszőleges szám l) l : 0 − 8 = −3 Nincs ilyen l . 110

Egész számok

A 7. feldatban kérjük a megfogalmazásokat a gyerekektől. 8. Számold ki! a) (−2) · 5 + 12 = 2

b) (−3) · 0 + (+6) : (+2) = 3

c) 15 + (−12) : 3 = 11

9. Jelöld számegyenesen az egyes feladatoknak megfelelő számokat! A feladat a műveleti sorrend gyakoroltatását szolgálja, akárcsak a 8–11. feladatok.

A (−8) · 2 + (+15)

B (+9) · 0 · (+3)

C (−9) + (+15) − (−3)

A = −16 + 15 = −1

B =0

C =9

D (−5) · 4 : (+2)

E (+12) − (−3) · (+4)

F (−1) + (−3) · (+3)

D = −10

E = (+12) − (−12) = 24 C

F = −1 − 9 = −10 E

D=F −12 −10

AB −1 0 1

9 10

10. Rendezd növekvő sorrendbe az adott számokat!

A = (−4) · 4 + (−3) = −16 + (−3) = −19 C = 32 + (−12) · 5 − (−28) = 32 + (−60) + 28 = 0 A< C< D< B

11. Rendezd csökkenő sorrendbe az adott számokat! A = 5 + (−12) : 6 + (−14) : 2 = 5 − 2 + (−7) = −4

C = (−2 − 2) · 3 = (−4) · 3 = −12 D> A> B> C

12. Oldd meg a nyitott mondatokat!

a +4=7 a =3 c) (c + 3) · 6 = −18 c = −6 e) |e | + 4 = 7 e1 = −3 és e2 = 3

a)

20

24

B = (−121) : 11 + 13 · 2 = −11 + 26 = 15 D = 14 + (−14) : 7 + (−5) = 14 − 2 − 5 = 7 B = (−2) + (−2) · 3 = (−2) + (−6) = −8

D = (−24) : 6 + (100 − 4) : 8 = −4 + 96 : 8 = −4 + 12 = 8 b + 4 · 3 = 7 b = −5 d) d + (−24) : 3 = 4 d = 12 f) |f + 4 · 3| = 7 f1 = −19 és f2 = −5 b)

13. Írd fel a sorozatok első hat elemét! A sorozatok elemei közül karikázd be a legnagyobb abszolút értékű tagot! a) A sorozat első eleme (−2), és minden további elem az előző kétszerese. (−2); (−4); (−8); (−16); (−32); (−64)

b) A sorozat első eleme (−3), és minden további elem az előző kétszeresénél eggyel kisebb szám. (−3); (−7); (−15); (−31); (−63); (−127) c) A sorozat elemeit úgy képeztük, hogy a megelőző elemnek vettük a háromszorosát. A sorozat harmadik eleme a (−27). (−3); (−9); (−27); (−81); (−243); (−729)

111

Egész számok 13–14. óra: Nyitott mondatok Tk.: 92–93. oldal, 19., 20., 24., 103. oldal, 7., 12. feladat A nyitott mondatokat az ötödik évfolyamon még csak logikai úton, lebontogatással kell megoldaniuk a gyerekeknek. Hatodik évfolyamon szerepel majd az egyenletek megoldása mérlegelvvel. Engedjük a gyerekeket próbálgatni, győződjenek meg ellenőrzéssel a megtalált eredmény helyességéről! Ne ijedjenek meg, ha egy-egy nyitott mondatot egyetlen szám se tesz igazzá, vagy bizonyos nyitott mondatokat több szám is igazzá tesz.

Tudáspróba Tk.: 104. oldal 1. Jelöld meg az adott számok helyét a számegyenesen! a=3 b = 3 ellentettje c = −4 d = | − 4| e = −| − 5| f = −7 ellentettje g = −2 abszolút értékénél 3-mal nagyobb

e

c

b

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

a

d

g

3

4

5

f

6

7

2. Számítsd ki a következő összegeket és különbségeket! a) (−8) + (−12) = −20 b) (+10) − (−6) = 16 c) (−14) − (+3) = −17 d) 21 + (−8) = 13 e) (−17) + (+24) + (−43) = −36 f) 128 + (−43) − 228 = −143 3. Rendezd növekvő sorrendbe az adott számokat! A = (−2) · 3 + (−18) = −6 + (−18) = −24 C = 44 + (−13) · 5 = 44 + (−65) = −21

D< A< C< B

B = (−72) : 12 − 9 = −6 − 9 = −15 D = (−38) + (5 − 3) · 4 = −38 + 2 · 4 = −30

4. Oldd meg a nyitott mondatokat az egész számok halmazán! a) a − 2 = −2 a = 0 b) 12 · 3 + b = 30 36 + b = 30, innen b = −6. c) (−8) · 4 − c = 8 −32 − c = 8, innen c = −40. d) (d − 4) · (−3) = 24 d − 4 = −8, innen d = −4. e) e + (−25) : 5 = −6 e + (−5) = −6, innen e = −1. f) | f | + 3 = 8 |f | = 5, innen f1 = −5 és f2 = 5 5. Döntsd el, hogy melyik állítás igaz, és melyik hamis! Válaszodat indokold! a) Minden szám nagyobb az ellentettjénél. Hamis. A negatív számok kisebbek a saját, pozitív ellentettjüknél.

112

Egész számok b) Az összeg nő, ha valamelyik összeadandóhoz hozzáadunk egy egész számot. Hamis. Ha negatív számot adunk az egyik összeadandóhoz, csökkenni fog az összeg és nem nőni.

c) Egy hányados akkor 0, ha az osztó 0. Hamis. Az osztó soha nem lehet 0. d) Van olyan egész szám, amelynek háromszorosa 0. Igaz, a 0 keresett szám. 6. A népszerű Zrínyi Ilona matematikaversenyen 25 kérdésre kell válaszolniuk az ötödikeseknek. A pontozás a következő: Pontszám = 25 + 4 · H − R . H a helyes válaszok, R a rossz válaszok száma, és a meg nem oldott feladatokért 0 pont jár. Öt barátnő indult a versenyen. Mennyi lett a legeredményesebb és a legkevésbé sikeres versenyző pontszámának a különbsége, ha • Anna 18 feladatot helyesen megoldott, és 5-öt elrontott; A = 25 + 4 · 18 − 5 = 92 • Bea 19 feladatot helyesen megoldott, és 6-ot elrontott; B = 25 + 4 · 19 − 6 = 95 • Csilla 16 feladatot helyesen megoldott, nem válaszolt 7 feladatra, a többit elrontotta; C = = 25 + 4 · 16 − 2 = 87

• Dia 3-at rontott, és 20-at jól megoldott; D = 25 + 4 · 20 − 3 = 102 • Eszti minden kérdésre válaszolt, és a helyes megfejtéseinek száma 17-tel több, mint a hibásaké? Eszti 21-et jól megoldott és 4-et rontott. E = 25 + 4 · 21 − 4 = 105 A: 12 B: 14 C: 15 D: 18 E: egyik sem A különbség: 105 − 87 = 18, D a helyes válasz.

113

Helymeghatározás

Helymeghatározás 1–2. óra: 3–4. óra: 5–6. óra:

Helymeghatározás, derékszögű koordináta-rendszer: Helymeghatározás a mindennapi környezetünkben Helymeghatározás, derékszögű koordináta-rendszer: Tájékozódás a síkon: a derékszögű koordináta-rendszer Gyakorlás

Mire építünk? • A tanulók tapasztalatai a helymeghatározásról. • A számegyenes ismerete.

Alapkövetelmény A tanulók • be tudják rajzolni a koordináta-rendszerbe a megadott pontokat, illetve adott pont koordinátáit helyesen olvassák le (a rendezett számpár fogalma). • tudják az elnevezéseket (első, második jelzőszám; síknegyedek elnevezései). Hogyan folytatjuk? • Függvények grafikonjainak elkészítése. • Térbeli koordináta-rendszer.

1–2. óra: Helymeghatározás, derékszögű koordináta-rendszer: Helymeghatározás a mindennapi környezetünkben Tk.: 105–106. oldal, a 108. oldalon az 1–3. feladat Javasolt eszközök: földgömb, autóstérképek, sakktáblák, színház-, mozi-, hangversenyjegyek, borítékok A pontos helymeghatározás szükségességét a gyerekek már megtapasztalták. Először ők mondjanak a mindennapi életből erre példákat, majd célszerű a tankönyv bevezető képanyagát gondosan tanulmányoznunk. Például: Megkaphatja-e a levelet a címzett, ha akár egyetlen információ is kimarad a megcímzett borítékon? A hangversenyjegynél melyik információ nélkülözhetetlen, és melyiket lehet elhagyni? Mindkét példára a gyerekeknek is kell hasonlót tervezniük a 2. és 3. feladatban (rendkívül hiányos megoldások szoktak születni, érdemes lesz újra a precíz adatok kiválasztására felhívni a tanulók figyelmét). Az osztályteremben való tájékozódásra érdemes időt szentelni, jól előkészíti a koordináta-rendszer fogalmát. Bevezetve az oszlop-sor helymeghatározást, jót lehet játszani (ne sajnáljuk az időt): 114

Helymeghatározás

– álljanak fel azok, akiknek a jelzőszámát felírtam a táblára; – álljanak fel azok, akiknek mindkét jelzőszáma azonos (hol ülnek ők?); – álljanak fel azok a tanulók, akiknek a ruháján van piros szín, és mindenki írja le a jelzőszámukat: : : Csak a játék után tűzzük ki önálló mukára a tanköny 1. feladatát! Feltétlenül vigyünk az osztályba: • autóstérképet: lehetőleg ugyanabból a kiadásból többet, így a gyerekek csoportokban egymást kérdezhetik: „Keresd meg X helységet! Melyik a legnagyobb település az 5 E2-ben?” stb. • sakktáblát: valószínűleg lesz olyan tanuló az osztályban, aki tud sakkozni, és ő fogja mondani a sakktáblán való tájékozódáshoz alkalmas utasítást. • földgömböt: a gyerekek már valószínűleg földrajzóráról ismerik, itt inkább csak szintetizálásra szolgál. A boríték megcímzését pármunkának javasoljuk, és a megcímzett borítékokat cseréljék ki a párok, és keressék meg a hiányzó adatokat.

3–4. óra: Helymeghatározás, derékszögű koordináta-rendszer: Tájékozódás a síkon: a derékszögű koordináta-rendszer Tk.: 107–108. oldal, a 108–109. oldalon a 4–10. feladat Javasolt eszközök: négyzethálós tábla vagy írásvetítő és színes korongok, számítógépes programok Bevezetjük a derékszögű koordináta-rendszert, megbeszéljük az elnevezéseket, és utalhatunk arra, hogy nem csak így lehet a síkon tájékozódni – ezt a gyerekek maguktól is szokták mondani. A pontok koordinátáit TILOS felcserélni, ezt legjobban a torpedójátékkal lehet tudatosítani a gyerekekben.

5–6. óra: Gyakorlás Tk.: 110. oldal, 11–18. feladat Javasolt eszközök: négyzethálós tábla vagy írásvetítő és színes korongok, számítógépes programok. Az alakzatok ábrázolása a koordináta-rendszerben jó lehetőséget ad a geometriai alakzatok ismétlésére (a háromszög, négyzet, konkáv alakzat fogalma), valamint a koordinátákkal való műveletek ürügyén gyakoroltatni lehet az egész számok összeadását, kivonását és szorzását is. Több feladat is a geometriai transzformációk előkészítését szolgálja.

115

Helymeghatározás Feladatok 1. Tájékozódjatok az osztálytermetekben! Számozzátok meg az oszlopokat és a sorokat! Így minden ülőhelyhez egy rendezett számpár tartozik: (2. oszlop; 3. szék) vagy röviden (2; 3). a) Írd le, hol ülsz! b) Mely helyeken hiányoznak ma az osztályotokból? c) Ki ül a (2; 3) helyen? d) Írd le a szemüveges tanulók jelzőszámait! e) Írd le a 4. sorban ülő fiúk jelzőszámait! f) Írd le a 3. oszlopban ülő lányok jelzőszámait! 2. Címezz meg egy borítékot valamelyik rokonodnak, barátodnak! 3. Tervezz egy 3 előadásból álló hangversenybérletet! Érdemes a megbeszélés során egy-egy tanuló megoldását felolvastatni az osztályban, és a gyerekek keressék meg az esetleges hiányzó információkat! Ellenőrizzük, hogy mind a 3 előadás időpontjára utaltak-e a gyerekek! 4. Ábrázold a következő pontokat derékszögű koordináta-rendszerben! a) b)

A(4; 3) A(5; 2)

B (−2; 5) B (3; −2)

C (−3; −4) C (5; 0)

D (0; −3) D (−3; −4)

Mondassuk el a gyerekekkel, hogy az általuk ábrázolt pont melyik síknegyedbe esik! Például – az A pont az első síknegyedben van, – a D pont az x tengelyre esik az a) feladatban.

y

5. a) Írd le a koordináta-rendszerben látható pontok jelzőszámait!

A(−5; 1), B (−4; 2), C (−3; −1), D (2; −1), E (−4; −3), F (−2; −3), G (1; −3), H (3; −3), I (3; 0).

b) Vegyél el a pontok első jelzőszámából 2-t, a második jelzőszámot ne változtasd meg! Írd le az új pontok jelzőszámait! Rajzold le az új ábrát pirossal!

A (−7; 1), B (−6; 2), C (−5; −1), D (0; −1), E (−6; −3), F (−4; −3), G (−1; −3), H (+1; −3), I (1; 0).

B A

4 3 2 1

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1 C −2 F −3 E −4

I 1 2 3 4

D

G

x

H

c) Ne változtasd meg az eredeti pontok első jelzőszámait, viszont a második jelzőszámoknak vedd az ellentettjét! Írd le az új pontok jelzőszámait! Rajzold le kékkel az új ábrát! A tengelyes tükrözést előkészítő feladat.

A (−5; −1), B (−4; −2), C (−3; 1), D (2; 1), E (−4; 3), F (−2; 3), G (1; 3), H (3; 3), I (3; 0).

Hasznos feladat az egész számokkal való műveletek gyakorlására és az eltolás előkészítésére. 116

Helymeghatározás y 6. Az 5. a osztály osztálykiránduláson elment egy kalandpark3 P L ba, ahol a gyerekek egy koordináta-rendszeren elkészített 2 térképet kaptak a pénztárnál az egyes létesítmények helyéQ ről. 1 x Jelmagyarázat: B 0 −2 −1 1 2 3 4 B : bejárat; B (0; 0) −1 H L: lengés kötélen, mint Tarzan; L(4; 3) K −2 R: rönkmászás; R(4; −3) R −3 H : hídon való átkelés; H (−1; −1) P és Q között kötélen kell átsiklani karabineres biztosítással; P (2; 3) és Q (3; 2) K : kilátó K (3; −2) a) Írd le az egyes helyek koordinátáit! b) Padtársadnak koordinátákkal add meg azt a 3 helyet, ahová legszívesebben mennél, és ő fejtse meg, hogy mik ezek! c) Tervezz még 3, számodra érdekes kalandparki állomást a térképre, és társad jelölje be azokat a te elmondásod alapján a saját térképére! 7. Jelölj ki a koordináta-rendszerben 5 pontot a) az x tengelyen, Az x tengelyen levő pontok második jelzőszáma 0. b) az y tengely negatív felén! Az

y tengely negatív felén levő pontok első jelzőszáma 0, a második jelzőszáma negatív.

Mi a közös jellemzője a kijelölt pontok koordinátáinak? 8. Rajzold le a koordináta-rendszerbe az alábbi pontokat! A(−2; 3), B (4; 2), C (0; 3), D (−1; −1), E (−1; 4), F (5; 0), G (−3; −3), H (2; 4), I (3; −3), J (0; 0) a) Válaszd ki közülük a II. síknegyedbe esőket (pirossal rajzolj)! A és E b) Válaszd ki közülük a III. síknegyedbe esőket (kékkel rajzolj)! D és G c) Válaszd ki azokat a pontokat, amelyek egyik síknegyedbe sem esnek (zölddel rajzolj)!

C ; F és J

9. Rajzold le az összes olyan pontot, amelynek első jelzőszáma a −3, 0, 3 számok valamelyike, második jelzőszáma pedig a −5 vagy az 5! A 9. feladatot érdeklődőbb osztályban érdemes „általánosítani” is, azaz megbeszélni, hogy ha az első jelzőszám már 4, 5: : : szám lehet, és a második jelzőszám még mindig −5 vagy 5, akkor hogyan változik a megoldások száma (n ·2). Mennyi lesz a pontok száma, ha a második jelzőszám is többféle lehet? (n · k ) – persze n és k konkrét szám legyen! A pontok: (−3; −5), (0; −5), (3; −5), (−3; 5), (0; 5), (3; 5)

117

Helymeghatározás 10. Rajzold le az összes olyan pontot, amelyekre teljesül, hogy a) első jelzőszáma 3, második jelzőszámának abszolút értéke 4;

y 5

Ha a második jelzőszám abszolút értéke 4, akkor a második jelzőszám −4 vagy 4. Két pont a megoldás: A(3; −4) és B (3; 4).

D

3

−3 −2

0

E

B

2

b) első jelzőszámának ellentettje a 3, második jelzőszámának abszolút értéke 2; Az első jelzőszám ellentettje a 3, így az első jelzőszám −3, míg a második −2 vagy 2. Ismét két pont a megoldás C (−3; −2) és D (−3; 2).

C

x

3

−2 −3

c) első jelzőszámának az abszolút értéke 0, második jelzőszámának abszolút értéke 5! Két pontot kapunk:

2

−5

E (0; 5) és F (0; −5).

A

F

11. Ábrázold derékszögű koordináta-rendszerben az A(−5; 2), B (−5; −3), C (4; −3) és D (4; 2) pontokat, és kösd össze őket a megadott sorrendben! Milyen négyszöget kaptál?

B

y D

C

3 2 1

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1 −2 A −3 C −4

A

1 2 3 4 5 6

D

x

B

A tengelyes tükrözést előkészítő feladat. A megrajzolt négyszög egy téglalap.

a) Vedd a csúcsok első jelzőszámának az ellentettjét, a második jelzőszámot ne változtasd! Ábrázold a pontokat, és rajzold meg pirossal az új négyszöget!

A (5; 2), B (5; −3), C (−4; −3), D (−4; 2). Az y tengelyre áttükröztük a téglalapot.

b) Most az eredeti pontok második jelzőszámának az ellentettjét vedd, és az elsőket ne változtasd! Ábrázold a pontokat, és rajzold meg kékkel az új négyszöget!

12.

A (−5; −2), B (−5; 3), C (4; 3), D (4; −2). Az x tengelyre áttükröztük az eredeti téglalapot. y Derékszögű koordináta-rendszerben keresd meg a D ponB tot úgy, hogy az A(4; 2), B (−3; 2) és C (−3; −3) pontokkal együtt egy téglalap csúcspontjai legyenek! Csak egy téglalapot kapunk.

D (4; −3).

2 1

−4 −3 −2 −1 0 −1 −2 −3

C

118

A

1 2 3 4 5

D

x

Helymeghatározás 13. Rajzold le a füzetedbe az alábbi pontokat, és kösd is össze őket! (A G -t is kösd össze A-val!) A(−4; 2) B (−2; −1) C (2; −1) D (4; 2) E (3; 2) F (0; 6) és G (−3; 2) Milyen alakzatot kaptál? Az ábrán egy vitorláshajó van. a) A pontok első jelzőszámához adj (−3)-at, a második jelzőszámot ne változtasd! Mi történik az eredeti ábrával? Rajzolj!

A(−7; 2), B (−5; −1), C (−1; −1), D (1; 2), E (0; 2), F (−3; 6), G (−6; 2) Az x tengely mentén 3-mal nega-

tív irányba való eltolás.

F A G

F

A G A G B

y 9 8 7 F 6 E 5 4 3 E 2 C1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 B C−1 B −2 −3

D D E D x

1 2 3 4 5

C

b) Ismét az eredeti pontokhoz térj vissza! Az első jelzőszámból vegyél el 3-at, a másodikhoz adj hozzá 3-at! Mi történik az eredeti ábrával? Adj olyan utasítást, amelyik az (a ) rajzot a (b ) helyzetbe viszi!

A(−7; 5), B (−5; 2), C (−1; 2), D (1; 5), E (0; 5), F (−3; 9), G (−6; 5) Az x tengely mentén 3-mal negatív, az y tengely mentén 3-mal pozitív irányba való eltolás.

Az a) pontban leírt ábra minden pontjának második jelzőszámához kell hozzáadni 3-at.

c) Készíts te is egy hasonló „kedves” ábrát! Írd le a pontok koordinátáit egy papírra, és add oda a padszomszédodnak! Készítsétek el egymás ábráit! Jó lehetőség a műveletek gyakorlására, és ismét észrevehetik a gyerek, hogy a (−3) hozzáadása és a 3 elvétele azonos. Írásvetítőn érdemes szemléltetni a feladatot: 2 egybevágó kis hajót készítünk, és azokat egymásra tesszük. Az a) feladatnál és a b) feladatnál is megmutatjuk az eltolást – jó előkészítő feladat az egybevágósági transzformációkhoz. Számítógépes programmal is remekül szemléltethető a feladat megoldása.

y

14. Az ábrán látható síkbeli alakzatok közül írd le a) a konkáv alakzat csúcspontjainak jelzőszámait;

A(−1; 1), B (3; 2), C (2; 2), D (2; 4).

b) a vízszintes oldallal rendelkező alakzatok csúcspontjainak jelzőszámait! Az a)-beli konkáv négyszög és a derékszögű háromszög rendelkezik vízszintes oldallal. Az utóbbi csúcspontjai: E (4; 1), F (5; 2), G (4; 2).

15. Rajzolj olyan pontokat, amelyek második jelzőszáma a) az első jelzőszámnál eggyel nagyobb (pirossal rajzolj); b) az első jelzőszám kétszerese (kékkel rajzolj)! Milyen érdekességet fedezel fel a pirossal, illetve a kékkel rajzolt pontokról?

A

5 4 3 2 1

−4 −3 −2 −1 0 −1 −2 −3 −4 −5

D C G F B E 1 2 3 4 5

x

A lineáris függvényt előkészítő feladat. A tanulók 5–6 megfelelő pont felrajzolása után észre szokták venni, hogy mindkét esetben a megrajzolt pontok egy-egy egyenesen helyezkednek el. 119

Helymeghatározás

16. Rajzolj olyan pontokat, amelyek jelzőszámainak abszolút értéke megegyezik! Milyen alakzatot határoznak meg ezek a pontok? Legalább 8 pontot rajzoltassunk meg a gyerekekkel, mert csak így vehetik észre, hogy a keresett pontok egy „x ” betűt alkotnak! 17. Rajzolj olyan pontokat, amelyek második jelzőszáma nagyobb, mint az első! Milyen alakzatot határoznak meg ezek a pontok? Az y > x összefüggésnek végtelen sok pont tesz eleget. Minél több pontot vesznek fel a tanulók, annál inkább van esélyük arra, hogy észrevegyék, hogy egy félsík pontjait keressük. 18. Rajzolj a derékszögű koordináta-rendszerbe 6 olyan pontot, amelynek két jelzőszámát összeadva Nehéz feladat, melynek végtelen sok megoldása van.

a) páros számot kapsz, Például: A(0; 0), B (−2; 6), C (1; 5), D (7; 3) b) hárommal osztható számot kapsz! Például: A(3; 0), B (6; 3), C (1; 2), D (7; 5)

120

Mennyiségek

Mennyiségek 1–3. 4–5. 6. 7–8. 9–10. 11–12. 13–15. 16–17. 18–19. 20.


A mennyiségek fogalma A szög mérése Sokszög szögeinek mérése Sokszögek kerülete, a hosszúság mérése Sokszögek területe, a terület mérése A téglalap kerülete és területe A téglatest felszíne Testek térfogata: A térfogat mérése; Az űrtartalom mértékegységei Testek térfogata: A téglatest térfogata Tudáspróba

Mire építünk? Az Alakzatok című témakörben szereplő geometriai fogalmak ismeretére építünk, és a természetes számok halmazában alkalmazzuk a tanult műveleteket. Mértékegységek átváltásával egész mérőszámokat kapunk. • Távolság mérése (becslés, mérés, távolságok kijelölése különböző nagyságrendek esetén). • Tömeg mérése. • Idő mérése (nem tízes alapú rendszer). • Űrtartalom mérése folyadékkal, mérőedény használata. • A mértékegység és a mérőszám viszonya. • Átváltás a megismert mennyiségek különböző mértékegységei között. • Kerekítés. • Mennyiségek sorba rendezése összehasonlítás alapján, átváltással a hosszúságmérés körében. • Négyzet és téglalap kerületének, területének kiszámítása konkrét adatokkal. • Sokszög kerületének, test felszínének mérése megfelelő egységekkel lefedve. Meddig jutunk el? Általánosságban is foglalkozunk a mennyiségekkel, összehasonlításukkal, mérésükkel, a velük végezhető műveletekkel. • Használjuk a mennyiségek alapmértékegységeinek többszörösére, törtrészére vonatkozó előtagokat! • A szög mérésével és mértékegységeivel foglalkozunk. • Sokszögek szögeit mérjük szögmérővel, adott nagyságú szöget rajzolunk szögmérővel és vonalzóval. • Sokszögek kerületét számítjuk ki, meghatározzuk a téglalap kerületére vonatkozó képletet. • Téglalap területét határozzuk meg a mérések általánosítása után. • Testek hálóját készítjük el. • Téglatest felszínét számítjuk ki, felírjuk a képletet. 121

Mennyiségek

• A terület mértékegységei közötti átváltást gyakoroljuk. • Téglatest térfogatát számítjuk ki. • A térfogat és az űrtartalom mértékegységeit hasonlítjuk össze. Mi lesz a folytatás a 6. évfolyamon? • Háromszög szerkesztése (euklideszi szerkesztés három oldalból). • Szakaszmásolás, szögmásolás. • Szakaszfelező merőleges szerkesztése, szögfelező szerkesztése. • Nevezetes szögek szerkesztése. • Háromszög szerkesztése az oldalak és a szögek ismeretében. • A külső szög fogalma. • Sokszögek belső, illetve külső szögeinek összege. • Nevezetes szögpárok. • Tengelyesen szimmetrikus négyszögek területének kiszámítása (például téglalapba foglalással). • Derékszögű háromszögek területének meghatározása (például téglalapba foglalással). • Egyenlő szárú háromszögek területének meghatározása (például téglalapba foglalással). • Szöveges feladatok a kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítására. • Mértékegységek átváltása a tizedes törtek körében. Szükséges és ajánlott eszközök A tanulók eszközei négyzethálós és sima füzetlapok ceruza (HB-s vagy 2B-s) és hegyező, színes ceruzák 2 vonalzó, négyzethálós, háromszöghálós, hajtogatólapok (pontrácsok és vonalhálók: : : készletből) olló és ragasztószalag, körző, mérőszalag műszaki karton a modellek készítéséhez és a melléklet alakzatainak felragasztásához, mmpapír

Tantermi eszközök sima és négyzethálós tábla, táblai vonalzók, táblai körző térmértani modellek: hasábok, lépcsős testek, azonos méretű téglatestek csoportmunkához, síkmértani modellezőkészlet vagy a melléklet alapján kartonból kivágott sokszöglapok, mérőszalag, kétkarú mérleg, óra, hőmérő, testhálók táblai méretben, 1 m2 és 1 dm2 területű négyzetlapok, műszaki karton, olló, mágnestábla, színesrúd-készletek

1–3. óra: A mennyiségek fogalma Tk.: 111–118. oldal, 1–14. feladat Javasolt eszközök: mérőeszközök a hosszúság, idő, tömeg, hőmérséklet méréséhez (például mérőszalag, vonalzó, óra, mérleg, hőmérő); különböző hosszúságú tárgyak, különböző tömegű tárgyak, kétkarú mérleg

122

Mennyiségek

Az órák célja: a mennyiségekről, mérésről eddig szerzett tapasztalatok ismétlése, rendszerezése (hosszúság, tömeg, idő); mérés összehasonlítással; különböző egységek választása a méréshez; a mérőszám meghatározása különböző egységek esetén. Megfelelő mérőeszköz választása a méréshez (pontosság, kerekítés, egységes mértékrendszer); az alapegység többszöröseit, törtrészét jelző előtagok használata tízes számrendszeren alapuló mértékegységek esetén, ezerszerestől ezredig. Azonos egységben megadott mennyiségekkel műveleteket végzünk, átváltásokat végzünk a hosszúság-, a tömeg- és az időmérés egységei között. Végezzünk minél több mérést a tanulók által javasolt egységekkel!

Feladatok 1. Csoportosítsd az azonos fajta mennyiségeket, majd a csoportokon belül rendezd csökkenő sorrendbe őket! 1 hónap, 1 mm, 1 dl, 1 hét, 1 cl, 1 év, 1 dm, 1 hl, 1 perc, 1 ml, 1 m, 1 km 1 év > 1 hónap > 1 hét > 1 perc

1 hl > 1 dl > 1 cl > 1 ml

1 km > 1m> 1 dm > 1 mm

2. Válogasd szét a felsorolt mennyiségeket aszerint, hogy az egy csoportba tartozókkal azonos fajta dolgokat lehessen mérni! A csoportokon belül rendezd növekvő sorrendbe őket! 1 km, 1 l, 1 t, 1 cm, 1 dkg, 1 ml, 1 kg, 1 dm, 1 g, 1 dl 1 cm < 1 dm < 1 km

1g< 1 dkg < 1 kg < 1t

1 ml < 1 dl < 1l

3. Melyik nagyobb, mennyivel? a) 1 nap vagy egy heti tanítási idő az osztályodban (1 órának tekintjük a tanítási órát és a szünetet együttesen). Például ha 4 napon van öt, 1 napon hat tanítási óra, akkor a heti tanítási idő 2 órával több egy napnál.

b) 3 m vagy lakásotokban a belső magasság (belső magasság: a padló és a mennyezet távolsága). 4. Határozd meg a hiányzó mérőszámokat és egységeket! a) 7 kg = 700 dkg = 7000 g b) 19 t = 19 000 kg = 190 q c) 6300 dkg = 63 000 g = 63 kg

d) 17 000 g = 1700 dkg = 17 kg

e) 240 g = 24 dkg = 240 000 mg

f) 3 t 48 kg = 3048 kg = 304 800 dkg

5. Készíts táblázatot! Írd bele a hiányzó mérőszámokat és egységeket a megadott példák szerint! a)

mennyiség 64 kg

b)

4 kg 150 dkg

c) d) e) h)

t

kg 6

dkg 4 4 1

g

0

0

5

0

mérőszám egység 6400 dkg 550

dkg

Milyen mértékegységben mérve lesz 2500 g mérőszáma 250? Milyen mértékegységben mérve lesz 6 kg 2 dkg mérőszáma 6020? 32 t hány kg? f) 907 dkg hány g? g) 102 kg hány dkg? 8 t 135 kg hány kg? i) 7 dkg 80 g hány g? j) 12 t 37 kg hány kg? 123

Mennyiségek

c)

mennyiség 2500 g

d)

6 kg 2 dkg

e)

32 t

f)

907 dkg

g)

102 kg

h)

8 t 135 kg

i)

7 dkg 80 g

j)

12 t 37 kg

t

kg

3

2

8

0

0

dkg

g

2

5

0

0

6

0

2

0

0 9

0

7

0

0

1

0

2

1

3

5

mérőszám egység 250 dkg 6020

g

32 000

kg

9070

g

10 200

dkg

8135

kg

15

dkg

12 037

kg

0

7 8 1

2

0

3

7

0

6. a) Hogyan határoznád meg a könyved egy lapjának tömegét? Becslés: a könyv tömegét osztjuk a lapok számával (1 lap = 2 oldal).

b) Határozd meg a könyved 1 lapjának vastagságát! Becslés: a könyv vastagságát elosztjuk a lapok számával.

7. Írj példákat az alábbi összefüggésekre! Az E és e ugyanolyan mennyiségek különböző egységeit jelöli, de feladatrészenként mást-mást jelent. Például: 1 E = 7 e jelentheti azt, hogy 1 hét = = 7 nap. b) 1 E = 60 e c) 1 E = 24 e a) 1 E = 10 e d) 1 E = 100 e e) 1 E = 12 e f) 1 E = 2 e g) 1 E = 1000 e h) 1 E = 3600 e i) 1 E = 1440 e Például: a) d) g)

E : m, e : dm E : m, e : cm E : km, e : m vagy E : m3 , e : dm3

b) e) h)

E : óra, e : perc E : tucat, e : db E : óra, e : mp

c) f) i)

E : nap, e : óra E : pár, e : db E : nap, e : perc

8. „A mértékek, melyekkel a mennyiség megméretik, vétettek az emberi tagoktól, tudniillik az ujjtól, tenyértől és könyöktől. Az ujj 4 árpaszemni, úgyhogy az árpaszem legküsebb mérték legyen, a tenyér 4 ujjni, a láb 4 tenyérni, a könyök a botkójától fogva a leghosszabb ujj végéig féllábni.” (Apáczai Csere János: Magyar Encyclopaedia, 1653) a) Rendezd növekvő sorrendbe a mennyiségeket, számold ki a váltószámokat!

1 árpaszem < 1 ujj = 4 árpaszem < 1 tenyér = 4 ujj < 1 könyök = 2 tenyér < 1 láb = 2 könyök

b) Add meg a hiányzó mérőszámokat, illetve mértékegységeket! 3 tenyér = 48 árpaszem 11 láb = 44 tenyér 7 könyök = 56 ujj 368 ujj = 23 láb 9. Számítsd ki a műveletek eredményét! a) 5 kg + 19 kg = 24 kg d) 2 dkg + 8 g = 28 g g) 23 dkg · 7 = 161 dkg 124

b) 82 dl + 28 dl = 110 dl e) 1 kg + 20 g = 1020 g h) 117 m : 13 m = 9

c) 102 perc − 15 perc = 87 perc f) 12 l + 8 dl = 128 dl i) 32 l − 8 l · 3 = 8 l

Mennyiségek 10. Végezd el a műveleteket! b) 29 cl + 1 l = 129 cl d) 2 kg + 24 dkg − 50 g · 2 = 214 dkg f) (3 kg + 20 dkg) : 800 g = 4

a) 37 dm + 6 m = 97 dm c) (23 dl + 2 l) · 3 = 129 dl e) 60 kg : 60 dkg = 100

11. A régi mértékek közül az arasz 20 cm hosszúságot jelölt, a hüvelyk ma körülbelül 25 mm-nek, a láb 32 cm-nek felel meg. 1 hüvelyk ≈ 25 mm

1 arasz ≈ 20 cm

1 láb ≈ 32 cm

a) Számítsd ki, melyik a nagyobb távolság és mennyivel! 15 láb vagy 19 hüvelyk 15 láb ≈ 480 cm = 4 800 mm hossz, amely 4325 mm-rel nagyobb, mint a 19 hüvelyk ≈ 475 mm.

b) Számítsd ki, hány hüvelyk 5 láb meg 5 arasz! 5 láb + 5 arasz ≈ 160 cm + 100 cm = 260 cm ≈ 2600 mm = 104 hüvelyk.

12. Mérd meg vonalzóval a tízforintos átmérőjét! A szakasz hosszát mm pontossággal add meg! Mérés szerint az átmérő körülbelül 25 mm. A tízforintos átmérője pontosan 248 mm.

13. A bolti mérlegen dekagramm pontossággal mérhet az eladó. Egy darab sajt tömege a mérleg kijelzője szerint 15 dkg. Hány grammot mutatna egy érzékenyebb mérleg, ha azon mérné a sajtot az eladó? 145 g 5 a sajt tömege < 155 g, mert 45 g 5 15 dkg < 155 g.

14. Egy szoba magassága deciméter pontossággal mérve 29 dm. Hány centiméter lehet a magasság? Legalább hány centiméterrel alacsonyabb 3 méternél? A magasság legalább 285 cm. A szoba legalább 5 cm-rel alacsonyabb 3 méternél.

4–5. óra: A szög mérése Tk.: 118–122. oldal, 1–11. feladat Szükséges eszközök: minden tanulónál legyen szívószál, gombostű vagy rajzszög, körző, vonalzó, szögmérő, olló, színes kartonpapír, a korábban elkészített két körlapból álló „szögmérő” Demonstrációs eszközök: több hurkapálcika, lehetőleg színes fejű gombostű vagy rajzszög, parafa tábla, illetve hungarocelltábla vagy írásvetítő; táblai körző, vonalzó és szögmérő; demonstrációs méretű számlapos óra forgatható mutatókkal; különböző színű kartonpapírból kivágott körcikkek Módszertani javaslatok: a néhány szóban összefoglalt matematikatörténeti érdekesség minden tanuló számára hasznos olvasmány. Szerencsés esetben történelemórán hallottak már Mezopotámiáról. Egy-egy ilyen kis „kitérő” segíthet a tantárgyak által mesterségesen épített falak át-

125

Mennyiségek

törésében. A gyerekeket további kutatómunkára is biztathatjuk, hiszen a csillagászat fejlődése bővelkedik érdekes mérőeszközökben. Tanulmányi kiránduláson is találkozhatnak régi távcsövekkel, szögmérő eszközökkel. Például az egri Eszterházy Károly Főiskola csillagvizsgálójában gazdag gyűjteményt rendeztek be ezekből. Fontos az is, hogy megismerjük a szög dinamikus előállítási módját, ugyanis ha egy-egy statikus helyzetet vizsgálunk, nem jöhet létre a szög nagyságának – későbbiekben szükséges – folytonos változása (szemléletfejlesztés). Demonstrációs eszközünkkel (két hurkapálcika) bemutathatjuk forgatással ezt a folytonos változást. Hangsúlyozzuk, hogy teljesen mindegy, melyik szárat rögzítjük, melyiket forgatjuk. A mérés egy választott mértékegységgel történő összehasonlítás. Demonstrációs eszközzel mutassuk meg, hogyan használjuk helyesen a szögmérőt! Közös gondolkodással jussunk el a homorú szög nagyságának szögmérőnk segítségével történő meghatározásához. A homorú szög nagyságának mérésére természetesen több lehetőségünk van. Például megmérhetjük azt is, hogy az illető szög hány fokkal tér el az egyenesszögtől. Így a mérendő szög konvex, és ezt az értéket adjuk hozzá a 180◦ -hoz. A tanulóknak készségszinten kell használniuk a szögmérőt, mert a következő tanévben megtanulják a szögmásolást, szögszerkesztést, ezért ritkábban használnak szögmérőt. Ezt követően nagyon sok mérést végeztessünk el a tanulókkal! Nem baj, ha olyan szögre akadnak, amelynek nagysága nem mérhető egész fokokkal. Éppen ez a probléma teszi szükségessé a kisebb szögmértékegység bevezetését. Használjuk az egységtörtkészletünket is! Azok segítségével rakjunk ki különböző szögeket, és azokat mérjük meg! Az egységtörteknek megfelelő szögek ismeretében – szükség esetén több lépéses törtrészszámítással – meghatározzuk a kirakott szögek nagyságát. Ez a számolás alkalmas arra is, hogy mérésünket ellenőrizzük. Adjunk olyan házi feladatot, hogy egy otthon kiválasztott, sokszöglapokkal meghatározott tárgy határoló lapjainak szögét is mérjék meg! (Lehetőleg ne kockát vagy téglatestet válasszanak!) Számítógép, projektor, interaktív tábla és a digitális tananyagokat tartalmazó CD használata ajánlott.

Feladatok 1. Mérd meg szögmérővel a szögeket!

120◦

40◦

240◦

2. Szögmérő segítségével rajzolj A szög nagysága: a) 45◦ -osnál nagyobb hegyesszöget! 45◦ -nál nagyobb és 90◦ -nál kisebb. b) 120◦ -osnál kisebb tompaszöget! 90◦ -nál nagyobb és 120◦ -nál kisebb. c) 270◦ -osnál nagyobb homorú szöget! 270◦ -nál nagyobb és 360◦ -nál kisebb. d) 150◦ -osnál nagyobb tompaszöget! 150◦ -nál nagyobb és 180◦ -nál kisebb.

126

90◦

Mennyiségek

b) Mérd meg a háromszög szögeit! Hány fokot kaptál a szögek összegére?

3. a) Mérd meg a megjelölt szögeket! Hány fok a két szög összege?

= 140◦, = 40◦

= = = 60◦

A szögek összege 180◦ .

4. Állapítsd meg, hogy az egyes órákon hány fokos szöget zárnak be a mutatók egymással! Mindkét szöget add meg! a)

b)

c)

90◦ vagy 270◦ ,

120◦ vagy 240◦ ,

mindkettő 180◦ ,

d)

210◦ vagy 150◦ ,

e)

300◦ vagy 60◦ ,

5. Rajzolj vonalzóval és szögmérővel olyan derékszögű háromszöget, amelynek egymásra merőleges oldalai 8 cm és 5 cm hosszúak! Mérd meg a háromszög hegyesszögeit! A háromszög hegyesszögei:

f)

= 32◦, = 58◦ .

330◦ vagy 30◦ .

6. Rajzolj olyan négyszöget, amelynek pontosan két derékszöge van! Mérd meg a másik két szögét! Például:

Végtelen sokféle négyszög rajzolható. A másik két szög közül az egyik hegyesszög, a másik tompaszög, összegük 180◦ .

7. a) Rajzolj vonalzóval olyan négyszögeket, amelyeknek egyenlők a szögei! Hányfélét találtál? Milyenek ezek a szögek? Kétfélét: téglalapot és négyzetet. Ezek minden szöge derékszög (90◦ ).

127

Mennyiségek b) Rajzolj vonalzóval olyan négyszögeket, amelyeknek két-két szöge egyenlő! (De mind a négy nem egyenlő.) Hányfélét találtál? Kétféle négyszöget lehet rajzolni. Egyiknél a szemben levő oldalak egyenlők, másiknál mind a négy oldal egyenlő.

c) Rajzolj vonalzóval olyan négyszögeket, amelyeknek csak két egyenlő szögük van! Hányfélét találtál?

Végtelen sokféle négyszöget rajzolhatunk.

8. Igazak-e az alábbi állítások? Válaszaidat indokold! a) Egy háromszögnek nem lehet két derékszöge. Igaz b) Van olyan négyszög, amelynek két homorú szöge van. Nem igaz. Ez nem lehetséges. (Itt csak a tapasztalatokra lehet hivatkozni.)

c) Két tompaszög különbsége nem lehet tompaszög. Igaz, mert ha két olyan szöget, amelyik 90◦ és 180◦ tartományban mozog, egymásból kivonunk, csakis 0◦ és 90◦ tartományba eső szöget kaphatunk.

d) Két homorú szög különbsége nem lehet egyenesszög. Igaz, mert két olyan szöget, amelyik a 180◦ és 360◦ tartományban mozog, egymásból kivonunk, csakis 0◦ és 180◦ közötti szöget kaphatunk.

e) Van olyan négyszög, amelynek pontosan két derékszöge van. Igaz, pl.: f) Két hegyesszög összege mindig tompaszög. Hamis, pl.: 45◦ + 17◦ = 62◦ ; ami szintén hegyesszög. 9.

Egy négyszög három csúcspontjának koordinátái: A(−2; 1), B (−4; 9), C (0; 10). Add meg a negyedik pont koordinátáit úgy, hogy az ABCD négyszög téglalap legyen! Mérd meg az egyik átló oldalakkal bezárt két szögét! Mit tapasztalsz, mennyi a két szög összege?

D (2; 2) = 28◦, = 62◦, összegük 90◦.

10. Hányszor zár be 60◦ -os szöget az óra nagymutatója a kismutatóval hétfő délelőtt 10 órától másnap este 8 óráig, és hányszor zár be 72◦ -os szöget ugyanennyi idő alatt? Javasoljuk, hogy az Alakzatok témakör 80. oldal 9. feladatának megoldása előzze meg ennek a feladatnak a tárgyalását. 128

Mennyiségek Állítható modellen figyeljük meg a mutatók 60◦ -os és 72◦ -os állását, illetve fedésbe kerülését! Délután 10 órától másnap este 8 óráig 34 óra telik el. 12 óra alatt 12-szer megy körbe a nagymutató, míg a kismutató 1-szer, ezért 12 óra alatt a nagymutató 11-szer hagyja el a kismutatót. Első nap délelőtt 10 óra és este 10 óra között 11 alkalommal fedi egymást a két mutató, este 10 órától másnap délelőtt 10 óráig újabb 11 alkalommal, majd a délelőtt 10 óra és este 8 óra közötti 10 órában 9 alkalommal kerül fedésbe a két mutató. A megadott időszakban 31 alkalommal körözi le a nagymutató a kismutatót. A lekörözések között 30 időintervallum jön létre. Két lekörözés között a nagymutató kétszer zár be 60◦ -os szöget, és kétszer zár be 72◦ -os szöget a kismutatóval. A 10 óra és az első lekörözés közötti időszakban további két 60◦ -os, illetve 72◦ -os mutatóállás van. A 31. lekörözés és 20 óra közötti időszakban még egy-egy megfelelő mutatóállás jön létre mindkét szög esetén. Tehát a 30 intervallum alatt, valamint az azt megelőző, illetve azt követő időszakban 30 · 2 + 3 = 63 alkalommal zárnak be 60◦ -os szöget, és 63 alkalommal zárnak be 72◦ -os szöget a mutatók. A két mutató állása a lekörözések időpontjában a színes ábrán látható: A mutatók 60◦ -os állása:

A mutatók 72◦ -os állása:

129

Mennyiségek

11. Egy szög nagyságának négyszereséhez hozzáadunk 16◦ -ot. Így olyan szöget kapunk, amelynek nagysága 72◦ és 108◦ között van. Mekkora lehet az eredeti szög? 72◦ < 4 · + 16◦ < 108◦ ◦ 56 < 4· < 92◦ ◦ 14 < < 23◦

A keresett szög nagysága a 14◦ és a 23◦ közötti tartományban lehet.

6. óra: Sokszög szögeinek mérése Tk.: 122–123. oldal, 1–10. feladatok

Feladatok 1. Becsüld meg az alábbi sokszögek szögeinek nagyságát, majd szögmérővel ellenőrizd becslésedet! Írd le azt is, hogy mennyit tévedtél! a)

b) b

c) b

g

g

d

b a

d

= 80◦ , = 83◦, = 72◦, = 125◦

a

g

e

a

= 88◦, = 121◦, = 109◦, = 79◦, " = 143◦

2. Mekkora az a két szög, amelyet a két szaggatott vonal a függőlegessel bezár? Mekkora az a szögtartomány, amelyet a madárijesztő „belát”?

A függőlegessel kb. 28◦ –28◦ -ot zár be a szaggatott vonal. A madárijesztő 56◦ -os tartományt „lát be”.

3. Hány szöget látsz az ábrán? 18 szöget látunk: a metsző egyenesek 4-4 szöget alkotnak, a háromszög csúcsánál két szög keletkezett.

a) Mérd meg az ábrán keletkezett különböző szögek nagyságát!

= 60◦ , = 118◦, = 58◦, = 62◦, " = 122◦

b) Mekkora a legnagyobb és a legkisebb szög különbsége? 122◦ − 58◦ = 64◦

130

d

= 50◦, = 39◦, = 251◦, = 20◦

Mennyiségek 4. Fejezd ki szögpercben! a) 1◦ fele 30 c) 1◦ ötöde 12

b) 1◦ harmada 20 d) 2◦ negyede 30

e) 3◦ kilencede 20

5. A műveletek eredményét szögpercben add meg! a) 1◦ + 20 80 d) 3◦ − 60 120

b) 2◦ + 15 135 e) 4◦ − 90 270

c) 5◦ + 45 345 f) 2◦ − 120 0

6. Végezd el a kijelölt műveleteket, majd rajzold le vonalzó és szögmérő segítségével a végeredményként kapott szögeket! a) 5◦ 16 + 20◦ 44 = 316 + 1244 = 1560 = 26◦ vagy 5◦ 16 + 20◦ 44 = 25◦ + 1◦ = 26◦ b) 18◦ 30 − 7◦ 90 = 18◦ 30 − 8◦ 30 = 10◦ c) 10◦ 60 − 660 = 660 − 660 = 0 a)

b)

c)

7. Nézz utána, hogy az állatok közül melyiknek a látószöge nagyobb 180◦ -nál! Használd az internetet! Ajánlott weblap: http://www.haziallat.hu/allati-trendi/olvasnivalo/a-tiz-leghihetetlenebb-szem-az-allatok-vilagaban/3645/ és http://www.vadallatok.hu/krokodil eletrajz.html

8. Vegyél fel egy 42◦ -os szöget, és a szögtartományban jelölj ki egy pontot! A kijelölt pontból mindkét szögszárra rajzolj egy-egy merőleges félegyenest! Mekkora szöget zárnak be ezek a félegyenesek? A félegyenesek szöge = 138◦ .

9. A megadott pontokat ábrázold a koordinátarendszerben, kösd össze őket, majd mérd meg a kapott sokszög szögeit! A(−3; −3), B (1; 1), C (5; −2), D (7; 6), E (−1; 9), F (−7; 5) Sorold fel, milyen fajta szögei vannak ennek a sokszögnek!

= 72◦, = 96◦

= 265◦ ,

= 66◦,

= 97◦ ,

Hegyesszög az és a ; tompaszög a homorú szög a és az " .

"

= 124◦ ,

és az ;

131

Mennyiségek

10. Az óra számlapját tükörből nézzük. Ezt látjuk: a)

b)

c)

d)

Hány óra van a valóságban? Minden esetben add meg a mutatók által bezárt szögeket! 7 óra = 150◦ = 210◦

5 óra

= 210◦ = 150◦

fél tizenkettő = 165◦ = 195◦

fél egy = 195◦ = 165◦

7–8. óra: Sokszögek kerülete, a hosszúság mérése Tk.: 124–128. oldal, 1–15. feladat Javasolt eszközök: zsineg a méréshez, mérőszalag (1 m-es, 5 m-es), vonalzó méréshez, derékszögű vonalzó szerkesztéshez, négyzethálós és háromszöghálós lapok, zsineg téglatest alakú csomag átkötéséhez Az órák célja: hosszúságok becslése, mérése mm, cm, dm, m, km egységekkel. Sokszögek kerületét méréssel, majd számolással határozzuk meg különböző rácsegységek és méter alapú egységek esetén. A sokszögek kerületének kiszámítására alkalmazott eljárás ismeretében speciális esetként adódik a téglalapok kerületének meghatározása méréssel, számítással. A kerületet az oldalak hosszának összegeként határozzuk meg (nem kell képletet tanulni), ismét hangsúlyozzuk, hogy a négyzet is téglalap. Hányat lépünk? a) A sokszög határát egyszer bejárva hány egységet lépünk le, fel, jobbra, balra? Számítsuk ki az útvonal hosszát! ↑ 4, ↓ 4, → 5, ← 5 b) Rajzoljunk olyan útvonalat a rácsvonalak mentén, ahol 6 lépést kell tenni jobbra és 6 lépést lefelé! Eredményeink azt mutatják, hogy a rácssokszögek oldalai áthelyezhetők az alakzattal egyenlő kerületű téglalap oldalaivá. Láncszámolás: – Az óra elején fejben számolnak a tanulók. (Kérhetjük, hogy állva gondolkozzanak, s aki nem tudja folytatni, az üljön le. Így jól látszik, hogy milyen kérdés okoz problémát több diáknak is.) Például 100 centiméterről indulunk; ez hány deciméter (10 dm); vedd a negyedét (2 és fél dm); add meg milliméterben (250 mm): : : az utolsó eredményt írják le a még versenyben levő tanulók 8–10 hasonló kérdés után! – Az állva maradók közül a csoportban szokásos jutalmat kapják azok, akik a helyes végeredményt írták le a füzetükbe. 132

Mennyiségek

– Végül megkérdezhetjük, hogy sorban mit kellett kiszámolni. Lehet, hogy az is jól emlékszik a részfeladatokra, aki közben leült, mert rosszul számolt. Becslés után végezzünk mérést minél több esetben (például: a tanulópad lapjának, a matematikakönyv borítójának, a sportpályának a kerülete, a 128. oldal 15. feladatbelihez hasonló csomagok kötözése).

Feladatok 1. A három csoport melyikébe tartoznak az a)–f) pontokban megadott dolgok? A: 1 méternél kisebb a) kartávolságod

B: közelítőleg 1 méter

C

C: 1 méternél nagyobb

b) 4 éves gyerek magassága

B

A 4 éves gyerekek átlagmagassága 101–102 cm.

c) egy lépésed hossza

A

d) az iskolai pad magassága

A

Egy átlagos testmagasságú felnőtt lépéshossza kb. 75 cm.

e) bakancsba való fűző hossza

C

f) személygépkocsi magassága

C

2. Mérd meg a vonalak hosszát! A méréshez használhatsz például fonalat és vonalzót! a) A szakasz hossza ≈ 37 mm.

b) A vonal hossza ≈ 55 mm.

c) A törött vonal hossza ≈ 48 mm.

d) A határvonal hossza ≈ 105 mm.

3. Melyik piros szakasz hosszabb? Ellenőrizd a válaszodat méréssel! a)

b)

c)

A két megjelölt szakasz mindhárom esetben egyenlő (optikai csalódások).

4. Mérd meg a sokszögek oldalait, és számítsd ki a kerületüket! a)

b)

c)

A háromszög kerülete ≈ 86 mm.

A négyszög kerülete ≈ 88 mm.

A négyszög kerülete ≈ 86 mm.

133

Mennyiségek

A, B , C , D , E , F és a G jelű sokszög kerületét! a) A hosszúságegység legyen b) A hosszúságegység legyen a !

5. Számítsd ki az

c

c) A hosszúságegység legyen

a

!

b

!

!

c

b

B

A E

C

D

G

F A

B

C

D

E

F

G

a)

20

12

16

12

12

18

12

b)

10

6

8

6

6

9

6

4

4

6

4

6< kerület < 7 6c + 2a

c)

b

5< kerület < 6 5c + 1a

4

A, B , C , D és az E jelű sokszög kerületét! a) A hosszúságegység legyen a ! b) A hosszúságegység legyen

6. Számítsd ki az

c

c) A hosszúságegység legyen

a

c

b

A

C

B

134

!

D

A

B

C

D

E

a)

6

18

12

18

12

b)

3

9

6

9

6

c)

2

6

4

6

4

E

Mennyiségek 7. Készíts táblázatot! Írd bele a hiányzó mérőszámokat és egységeket! km Mennyiség 35 dm a) c) e) g) h) i) 8. a) b) c) d) e) f) g)

m

dm cm mm 3

5

0

mérőszám egység 350 cm

Hány cm az 510 mm? 51 cm b) Hány cm a 29 m? 2900 cm Hány cm az 5 m 51 dm? 1010 cm d) Hány dm a 2 m 8 dm? 28 dm Hány cm a 11 m 79 cm? 1179 cm f) Hány dm a 4 m 91 dm? 131 dm Milyen mértékegységben mérve lesz az 1392 m mérőszáma 13 920? dm-ben Milyen mértékegységben mérve lesz a 780 mm mérőszáma 78? cm-ben Milyen mértékegységben mérve lesz a 205 dm mérőszáma 20 500? mm-ben A 9 dm-t add meg cm és mm egységben! 9 dm = 90 cm = 900 mm A 12 m-t írd át dm, cm és mm egységbe! 12 m = 120 dm = 1200 cm = 12 000 mm A 7 km-t váltsd át m-be, illetve cm-be! 7 km = 7000 m = 700 000 cm Az 1800 m-t írd át mm-be! 1800 m = 1 800 000 mm A 2700 cm hány m, illetve hány mm? 2700 cm = 27 m = 27 000 mm Írd fel, hány cm, illetve hány mm a 4 m 5 cm! 4 m 5 cm = 405 cm = 4050 mm Hány m, illetve hány cm az 1 km 25 m? 1 km 25 m = 1025 m = 102 500 cm

h) Írd fel, hány dm, illetve hány mm a 42 m 16 dm! 42 m 16 dm = 436 dm = 43 600 mm 9. Mekkora a háromszög kerülete, ha oldalainak hossza a) 5 cm, 12 cm és 13 cm; K = 30 cm b) 8 dm, 27 dm és 17 dm; K = 52 dm c) 23 cm; K = 69 dm d) 108 cm, 18 cm és 180 mm; K = 144 cm e) 9 dm, 41 cm és 1 m; K = 231 cm f) 2 m, 2 m 3 dm és 2 m 3 cm? K = 633 cm 10. Számítsd ki a sokszögek kerületét! a) A háromszög oldalai 3 cm, 4 cm, 5 cm. 12 cm b) A háromszög oldalai 6 cm, 7 cm, 8 cm. 21 cm c) A háromszög oldalai 12 cm, 31 cm, 32 cm. 75 cm d) A négyszög oldalai 4 dm, 5 dm, 6 dm, 7 dm. 22 dm e) A háromszög oldalai 1 dm, 13 cm, 80 mm. 31 cm f) A hatszög minden oldala 23 mm. 138 mm g) Az ötszög oldalai 19 cm hosszúak. 95 cm h) A négyszög oldalai 21 cm, 3 dm, 46 cm, 8 cm. 105 cm 11. Mekkora a 28 cm kerületű háromszög ismeretlen oldala, ha a) egyik oldala 7 cm, a másik oldala 1 dm hosszú; 11 cm b) két oldala 8 cm hosszú? 12 cm 12. Hány cm annak a sokszögnek egy-egy oldala, amelynek kerülete 3 dm, és minden oldala egyenlő hosszú, ha a sokszög a) háromszög; 10 cm b) hatszög; 5 cm c) hétszög? Körülbelül 43 mm (300 mm : 7 ≈ 4287 mm). 135

Mennyiségek 13. Hat darab 2 cm hosszú oldalú négyzetből sokszögeket készítünk. A négyzetek teljes oldalukkal csatlakoznak egymáshoz. Rajzolj le tíz sokszöget! (Használj négyzetrácsos lapot!) Számítsd ki a sokszögek kerületét! Például: K = 24 cm

K = 20 cm K = 24 cm, például: K = 28 cm, például:

14. A col egy hosszúságegység (németül Zoll – hüvelyk, angolul inch), 10 col = 254 mm. a) Hány mm a számítógép-monitor, illetve a televízió-képernyő átlójának hossza, ha 15 col, illetve 20 col ez a hosszúság? 15 col = 381 mm, illetve 20 col = 508 mm. b) Hány cm a kerékpár abroncsának átmérője, ha 26-os a mérete colban? 26 col ≈ 66 cm 15. Hány centiméter hosszú szalaggal lehet átkötni a csomagokat az ábra szerint? A masnira számítsunk 20 centimétert!

A kockához 3 · 5 · 4 + 20 = 80 cm hosszú szalag kell. A téglatesthez 2 · 2 · (2 + 3) + 2 · (2 + 6) + 20 = 56 cm hosszú szalag kell.

9–10. óra: Sokszögek területe, a terület mérése Tk.: 128–133. oldal, 1–13. feladat Javasolt eszközök: Síkbeli alakzatok, sokszöglapok (kartonból, síkgeometriai modellezőkészletből), négyzetlapok a terület méréséhez, 1 m2 -es, 1 dm2 -es, 1 cm2 -es lapok (az utóbbiból minden tanulónál legyen ≈ 50 db), négyzethálós és háromszöghálós lapok, milliméterpapír, vonalzó a méréshez, derékszögű vonalzó a szerkesztéshez 136

Mennyiségek

Az órák célja: felületek összehasonlítása, lefedése egyenlő területű alakzatokkal, négyzetekkel; területmérés cm2 , dm2 , m2 egységekkel. Gyakoroljuk az átváltást a terület négyzetméteren alapuló egységei között, tapasztalatokat gyűjtünk a mm2 , : : : , m2 nagyságrendű felületekről (kiránduláson körbejárhatunk km2 -ben mérhető területet is).

Feladatok 1. Hasonlítsd össze az alakzatokat területük nagysága szerint! Írd fel növekvő sorrendben a területüket az alakzatok betűjelét használva! a)

A

B

A (10 e), B (11 e), C

(9 e),

C

D

D (12 e), sorrend: C –A–B –D

b)

B C

A A (16 e), B (19 e), C

(19 e),

D

D (21 e), sorrend: A–B , C –D

2. A négyzethálós füzet egy négyzete a területegység. Hány egység az alábbi sokszögek területe?

A

C

B

A: 28 e, B : 6 e, C : 12 e 3. Határozd meg, hány egység az területe.

A

A, B , C

B

sokszög területe! A területegység egy kis háromszög

C

A: 24 e, B : 24 e, C : 24 e

137

Mennyiségek 4. a) Hány cm2 a sokszögek területe? Az eredményt add meg mm2 -ben is!

A

B

C

D

a sokszög területe cm2 -ben

3

6

8

11

a sokszög területe mm2 -ben

300

600

800

1100

b) Melyik sokszög területe 1 cm2 ?

B, C , E, F, G

5. Rajzold le milliméterpapírra a tenyeredet összezárt ujjakkal! Becsüld meg a területét cm2 egységben! 6. Hány írólapból lehet kirakni egy 1 m oldalú négyzetet? Körülbelül 35 írólap kell (az írólap oldalainak hossza körülbelül 205 mm és 148 mm).

7. Hány cm2 a matematikafüzeted egy lapja? A eredményt kerekítsd dm2 -re is! Egy „kisalakú” füzet egy oldala körülbelül 3 dm2 területű, a „nagyalakú” 6 dm2 .

8. A: Hány m2 ? a) 700 dm2 = 7 m2 d) 17 300 dm2 = 173 m2 g) 40 000 dm2 = 400 m2

b) 3200 dm2 = 32 m2 e) 118 000 dm2 = 1180 m2 h) 550 500 dm2 = 5505 m2

c) 7600 dm2 = 76 m2 f) 9000 dm2 = 90 m2

B: Hány cm2 ? a) 200 mm2 = 2 cm2 c) 1 500 000 mm2 = 15 000 cm2

b) 2000 mm2 = 20 cm2 d) 87 100 mm2 = 871 cm2

C: Hány dm2 ?

138

a) 1000 cm2 = 10 dm2

b) 9300 cm2 = 93 dm2

c) 87 900 cm2 = 879 dm2

d) 135 000 cm2 = 1350 dm2

e) 8 m2 = 800 dm2

f) 14 m2 = 1400 dm2

g) 320 m2 = 32 000 dm2

h) 3205 m2 = 320 500 dm2

Mennyiségek D: Hány m2 ? a) 450 000 cm2 = 45 m2 d) 50 000 cm2 = 5 m2 g) 6 a = 600 m2 9. Melyik terület a) 7 m2 b) 4 m2 c) 72 cm2 d) 18 dm2 e) 7600 mm2 f) 123 dm2

b) 3 780 000 cm2 = 378 m2 e) 2 km2 = 2 000 000 m2 h) 72 ha = 720 000 m2

c) 910 000 cm2 = 91 m2 f) 3 ha = 30 000 m2

nagyobb? Mennyivel? vagy 700 dm2 7 m2 = 700 dm2 , a különbség 0 2 2 2 2 vagy 4000 cm 4 m = 40 000 cm > 4000 cm , a különbség 36 000 cm2 vagy 7 dm2 72 cm2 < 7 dm2 = 700 cm2 , a különbség 628 cm2 vagy 1800 cm2 18 dm2 = 1800 cm2 , a különbség 0 2 2 2 2 vagy 780 cm 7600 mm = 76 cm < 780 cm , a különbség 704 cm2 vagy 123 000 mm2 123 dm2 = 12 300 cm2 > 1230 cm2 = 123 000 mm2 , a különbség 11 070 cm2

10. Írd fel egyfajta területegységgel! a) 7 dm2 23 cm2 = 723 cm2 c) 47 cm2 8 mm2 = 4708 cm2

b) 9 cm2 71 mm2 = 971 cm2 d) 30 m2 30 dm2 = 3030 cm2

11. A fürdőkádat három oldalról fal veszi körül, így csak az előlapját kell csempézni. Elég-e fél doboz csempe, ha egy dobozban 1 m2 befedéséhez szükséges 100 db csempe van?

135 cm

2

54 db csempe kell az 54 dm felület befedéséhez.

40 cm

Nem elég a fél doboz.

12. Rajzolj négyzethálós lapra olyan sokszöget, amelynek minden csúcsa rácspont, és a területe a) 2 egység! b) 6 egység! c) 8 egység! d) 10 egység!

e) 12 egység!

f) 18 egység!

Az egység egy rácsnégyzet területe. 139

Mennyiségek

13. 1 öl körülbelül 190 cm hosszúságú egység. Ma már ritkán használják. A négyszögöl viszont napjainkban is ismert területegység. Mekkora az 1 négyszögöl terület? 1 négyszögöl körülbelül 36 100 cm2 terület, kerekítve 4 m2 .

11–12. óra: A téglalap kerülete és területe Tk.: 133–139. oldal, 1–28. feladat Javasolt eszközök: az előző órán is használt 1 m2 -es, 1 dm2 -es, 1 cm2 -es lapok, milliméterpapír, vonalzó a méréshez, derékszögű vonalzó a rajzoláshoz Az órák célja: a téglalap területét egységnégyzetekkel lefedve határozzuk meg. Ezután egész mérőszámú oldalakból következtetünk a téglalapot lefedő egységnégyzetek számára. Szöveges feladatokban a terület és egy oldal ismeretében következtetünk a másik oldal hosszára. Több téglalapból álló alakzatok területét számítjuk ki. Mérés alapján számítsuk ki a tanterem alapterületét, egy füzet borítólapjának területét, egy lepedő vagy hálózsák területét stb.!

Feladatok 1. Mérd meg a téglalap oldalait! Számítsd ki a téglalap kerületét! a)

T = a · b = (15 · 20) mm

2

b) =

T = a · b = (35 · 20) mm2 =

= 300 mm2 = 3 cm2

c)

T = a · a = (20 · 20) mm2 =

= 700 mm2 = 7 cm2

d)

T = a · b = (30 · 25) mm2 =

= 400 mm2 = 4 cm2

= 750 mm2

2. Rajzold le azokat a téglalapokat, amelyeknek oldalai cm-ben mérve egészek, és kerületük 16 cm! A téglalapok oldalai: 1 cm és 7 cm, 2 cm és 6 cm, 3 cm és 5 cm, 4 cm és 4 cm.

3. Számítsd ki a téglalap kerületét, ha oldalai a) 2 m és 3 m hosszúak; K = (a + b ) · 2 = (2 + 3) · 2 = 10, a téglalap kerülete 10 m. b) 3 cm és 26 cm hosszúak; K = (a + b ) · 2 = (3 + 26) · 2 = 58, a téglalap kerülete 58 cm. c) 17 dm és 72 dm hosszúak; K = (a + b ) · 2 = (17 + 72) · 2 = 178, a téglalap kerülete 178 dm. d) 207 mm és 1357 mm hosszúak; K = (a + b )·2 = (207+1357)·2 = 3128, a téglalap kerülete 3128 mm. e) 19 cm hosszúak; K = a · 4 = 19 · 4 = 76, a négyzet kerülete 76 cm. f) 805 mm hosszúak! K = a · 4 = 805 · 4 = 3220, a négyzet kerülete 3220 mm.

140

Mennyiségek 4. Számítsd ki a négyzet kerületét, ha oldalainak hossza a) 62 dm; K = 248 dm c) 6 m 3 dm; K = 252 dm

b) 45 mm; K = 180 mm d) 1 dm 8 mm! K = 432 mm

5. Számítsd ki a téglalap kerületét, ha szomszédos oldalai

K = (a + b) · 2 képletet, illetve a c) feladatrészben a K = a · 4 összefüggést. a) 3 dm és 2 m; K = 46 dm b) 1 cm és 34 mm; K = 88 mm c) 92 cm és 92 cm; K = 368 cm d) 32 mm és 3 cm; K = 124 mm e) 29 cm és 101 mm; K = 782 mm f) 7 dm és 178 mm; K = 1756 mm g) 2 m 5 dm és 32 dm; K = 114 dm h) 2 m 3 dm és 2 m 2 dm; K = 90 dm i) együtt 873 cm hosszúak! K = 1746 cm Számítsd ki, mekkora a négyzet oldala, ha a kerülete a = K : 4 összefüggés alapján számolhatunk. a) 12 cm; a = 3 cm b) 72 mm; a = 18 mm c) 256 cm; a = 64 cm d) 80 cm; a = 20 cm e) 92 mm; a = 23 mm f) 628 dm! a = 157 dm Alkalmazhatjuk a

6.

7. Számítsd ki a téglalap egyik oldalának hosszát, ha kerülete 60 dm, és másik oldalának hossza a) 21 dm; 9 dm b) 15 dm; 15 dm c) 1 m; 2 m d) 185 cm! 115 cm 8. Egy téglalap két szomszédos oldala 25 cm és 35 cm. Mekkora annak a négyzetnek az oldala, amelynek kerülete egyenlő a téglalap kerületével? A téglalap és a négyzet kerülete 120 cm. A négyzet oldala 30 cm. A négyzet oldalának hossza a téglalap oldalhosszainak átlaga.

9. Egy téglalap alakú kert oldalai 30 m, illetve 8 és fél méter hosszúak. Milyen széles a kapu, ha a kert bekerítéséhez – kihagyva a kapu helyét – 736 dm kerítés kellett? Beállhat-e a kapun át bármilyen személyautó a kertbe? A téglalap kerülete 770 dm. A kapu szélessége 34 dm. Egy személyautó, sőt még egy teherautó is beállhat a kapun át.

10. Hány cm2 a téglalapok területe?

A

1 cm2

B C

D A: 5 cm2

B : 3 cm2

C : 8 cm2

E D : 16 cm2

E : 4 cm2

141

Mennyiségek 11. Határozd meg, melyik tárgynak mekkora terület felelhet meg! A tárgy neve falitábla focipálya postabélyeg tanterem mennyezete képeslap füzet (A4-es méretű) 12. Hány mm2 az A, B , C , D , E téglalap területe? a) A méreteket olvasd le az ábráról!

25 mm

A

27 mm

38 mm

11 mm

18 mm

25 mm

C

B 34 mm

A: 950 mm2 B : 297 mm2 C : 450 mm2 D : 378 mm2 E : 1326 mm2

A tárgy területe 6 m2 6 dm2 2 cm2 40 m2 fél ha 56 cm2

9 mm

E D 39 mm

42 mm

D

15 mm

C

10 mm

B

20 mm

A

25 mm

11 mm

b) A szükséges adatokat mérd meg!

E

20 mm

20 mm

D : 200 mm2

E : 300 mm2

20 mm 25 mm

A: 220 mm2

B : 625 mm2

15 mm

C : 300 mm2

13. Számítsd ki a téglalap területét, ha oldalai a) 2 m és 3 m hosszúak! T = a · b = 2 · 3 = 6, a téglalap területe 6 m2 . b) 3 cm és 26 cm hosszúak! T = a · b = 3 · 26 = 78, a téglalap területe 78 cm2 . c) 17 dm és 72 dm hosszúak! T = a · b = 17 · 72 = 1224, a téglalap területe 1224 dm2 . d) 207 mm és 1357 mm hosszúak! T = a · b = 207 · 1357 = 280 899, a téglalap területe 280 899 mm2 . e) 19 cm hosszúak! T = a · a = 19 · 19 = 361, a négyzet területe 361 cm2 . f) 805 mm hosszúak! T = a · a = 805 · 805 = 648 025, a négyzet területe 648 025 mm2 . 14. Számítsd ki a négyzet területét, ha oldalainak hossza T = a · a összefüggés alapján számolhatunk. a) 6 dm; a = 36 dm2 b) 39 m; a = 1521 m2 c) 45 mm; a = 2025 mm2 d) 273 m; a = 74 529 m2 e) 3 m 8 dm; a = 1444 dm2 f) 1 dm 8 mm! a = 11 664 dm2

142

Mennyiségek 15. Számítsd ki a téglalap területét, ha szomszédos oldalainak hossza

T = a · b összefüggés alapján számolhatunk, a d) és az l) feladatban T = a · a . a) 9 cm és 4 cm; T = 36 cm2 b) 7 m és 12 m; T = 84 m2 c) 2 m és 11 m; T = 22 m2 d) 76 cm és 76 cm; T = 5776 cm2 e) 32 mm és 3 cm; T = 960 mm2 f) 32 dm és 6 m; T = 1920 dm2 g) 7 m és 56 dm; T = 3920 dm2 h) 15 cm és 15 dm; T = 2250 cm2 i) 89 mm és 12 cm; T = 10 680 mm2 j) 2 m 3 dm és 1 m 2 dm; T = 276 dm2 k) 3 m 27 cm és 5 m 2 dm; T = 170 040 cm2 l) 7 m 3 dm 4 cm! T = 538 756 cm2

A

16. Számítsd ki a négyzet oldalának hosszát, ha területe a) 4 cm2 ; 2 cm b) 49 dm2 ; 7 dm d) 9 cm2 ; 3 cm e) 144 mm2 ; 12 mm g) 400 m2 ; 20 m h) 6400 cm2 ; 80 cm j) 1024 cm2 ! 32 cm

c) 16 m2 ; 4 m f) 81 dm2 ; 2 dm i) 225 mm2 ; 15 mm

A terület kiszámításával ellenőrizzük a megoldást! 17. Számítsd ki a négyzet területét, ha kerülete A négyzet oldala a kerület negyede. Területe az oldalhossz négyzete.

a) d) g) j)

48 cm; 2144 cm2 108 dm; 729 dm2 32 m 8 cm; 643 204 cm2 7 m 6 cm! 3 115 225 mm2

b) 64 mm; 256 mm2 e) 1068 m; 71 289 m2 h) 2 m; 25 dm2

c) 224 m; 3136 m2 f) 1 m 2 dm; 9 dm2 i) 3 dm; 5625 mm2

18. Két út merőlegesen keresztezi egymást. Az egyik út 8 m széles, a másik 12 m. Milyen alakú és mekkora területű útkereszteződés jön így létre? Téglalap alakú rész jön létre, területe 96 m2 .

19. Mekkora annak a négyzetnek a területe, amelynek kerülete egyenlő a 14 cm és 6 cm oldalú téglalap kerületével? Melyik négyszög területe nagyobb? A négyzet oldalhossza a 14 cm és a 6 cm átlaga, azaz 10 cm. A négyzet területe 100 cm2

> a téglalap területe 84 cm2 .

20. Számítsd ki, mekkora a téglalap egyik oldala, ha területe 105 cm2 , és másik oldalának hossza a) 3 cm; a = 35 cm b) 15 cm; a = 7 cm c) 105 cm; a = 1 cm d) 21 cm; a = 5 cm e) 1 m 5 cm; a = 1 cm f) 3 dm! a = 35 cm 21. Számítsd ki, mekkora a téglalap ismeretlen oldala, ha a) T = 56 cm2 a = 8 cm; b = 7 cm b) T = 64 cm2 c) T = 252 dm2 a = 36 dm; b = 7 dm d) T = 4301 m2 e) T = 380 cm2 a = 2 dm; b = 19 cm f) T = 1 dm2

a = b; b = 8 cm b = 17 m; b = 253 m a = 25 mm! b = 400 mm

143

Mennyiségek 22. Számítsd ki a hiányzó adatokat! Határozd meg az épületek alapterületét! a) b) 5m 4m 2m 4m

garázs 7m 8m

8m

ház 12 m

116 cm2

104 cm2

23. Számítsd ki a hiányzó adatokat! Határozd meg az alakzat területét! a) b) 45 dm

a a

35 dm

40 dm

30 m

40 m

30 m 15 m 50 m

20 dm 1675 dm2

1150 m2

24. 20 darab 1 m hosszú, 80 cm magas kerítéselemmel téglalap alakú kertet szeretnék bekeríteni. Mekkorák a legnagyobb területű kertnek az oldalai? Készíts táblázatot! egyik oldal

másik oldal

terület

1 elem

9 elem

9 m2

2 elem

8 elem

16 m2

3 elem

7 elem

21 m2

4 elem

6 elem

24 m2

5 elem

5 elem

25 m2

a legnagyobb területű kert.

25. a) Rajzolj egy téglalapot, oldalai 7 cm és 35 mm hosszúak legyenek! Mekkora a területe?

T = 2450 mm2

b) Rajzolj 16 cm2 területű téglalapot, amelynek oldalai centiméterben mérve egész számok! A téglalap oldalai 1 cm és 16 cm, 2 cm és 8 cm vagy pedig 4 cm hosszúak lehetnek.

c) Rajzolj 4 cm oldalú négyzetet! Határozd meg a területét! T = 16 cm2 d) Rajzolj 24 cm2 területű téglalapot, amelynek oldalai centiméterben mérve egész számok! A téglalap oldalai 1 cm és 24 cm, 2 cm és 12 cm, 3 cm és 8 cm vagy 4 cm és 6 cm lehetnek.

144

Mennyiségek 26. a) Mekkora az

ABCD téglalap kerülete és területe?

ABEF téglalap területe T = 24 m . Az EFDC téglalap területe 20 m2 és CD = 4 m, ezért CE = = 5 m és BC = 11 m. Az ABCD téglalap kerülete K = (4 + 11) · 2 = 30 m, területe T = 44 m2 . Az

b) Mekkora az

F

A

D

2

ABCD téglalap kerülete?

ABEF téglalapban BE = 6 cm, ezért AB = 14 cm. AB = EF = 14 cm miatt az EFDC téglalap hiányzó oldalának hossza EC = 2 cm. Az ABCD téglalap kerülete K = (14+8)·2 = 44 cm, területe T = 112 cm2.

20 m2

4m

B

6m

C

E F

A

D

Az

84 cm2

B

6 cm

28 cm2

E

C

27. Rakj ki téglalapokat legfeljebb 12 darab 1 cm oldalú négyzetet felhasználva! a) Hányféle téglalap készíthető? 19-féle téglalap készülhet. b) Hány esetben használtál fel pontosan 12 db négyzetet? Három eset van: az oldalak 1 és 12, 2 és 6, illetve 3 és 4 cm hosszúak.

c) Mekkora az egyes 12 cm2 területű téglalapok kerülete? Ha az oldalak hossza 1 és 12 cm, akkor a kerület 26 cm, 2 és 6 cm-es oldalak esetén a kerület 16 cm, a 3 és 4 cm hosszú oldalú téglalap kerülete pedig 14 cm.

28. a) Egy téglalap kerülete 34 cm, két szomszédos oldala közül az egyik 5 cm-rel hosszabb a másiknál. Mekkorák a téglalap oldalai?

a = (34 − 2 · 5) : 4 = 6 és b = 6 + 5 = 11. A téglalap oldalai 6 cm és 11 cm hosszúak.

b) Egy téglalap kerülete 2170 cm. Egyik oldala négyszerese a másiknak. Mekkorák a téglalap szomszédos oldalai?

a = 2170 : 10 = 217 és b = 217 · 4 = 868. A téglalap oldalai 217 cm és 868 cm hosszúak.

13–15. óra: A téglatest felszíne Tk.: 139–143. oldal, 1–17. feladat Javasolt eszközök: különböző téglatestek (dobozok), kockák, téglatest testhálók, négyzethálós lap, milliméterpapír, modellezőkészlet téglalapjai, gyufaskatulya szétvágva (a hálózat készítéséhez), olló, ragasztószalag Az órák célja: síklapokkal határolt test felszínét a határoló lapok területének összegeként értelmezzük (analógia: a sokszög kerülete a határoló oldalak hosszának összege). A téglatest felszínének kiszámításakor téglalapok területét határozzuk meg, megfigyeljük az egybevágó téglalapok területegyenlőségét (nem kell képletet tanulni). Kiemeljük a feladatmegoldás során, hogy a kocka és a négyzetes oszlop is téglatest. Gyakorlás közben alkalmazzuk a mérésről, a hosszúság- és területegységekről tanultakat, a téglalap kerületének és területének kiszámítását. 145

Mennyiségek Feladatok 1. Téglatestek hálóit látod az ábrán. a) Mely lapok lesznek a téglatest szemközti párhuzamos lapjai? Add meg a betűjelüket! Párhuzamos lapok: I. és II.

A–E , B –D , C –F ; III. és IV. A–C , B –E , D –F , V. A–F , B –D , C –E .

b) Az ábrán egy kis négyzet oldala 1 cm-nek felel meg. Határozd meg a hálók területét! A szemközti párhuzamos lapok egyenlő területű téglalapok. A hálók területe: I. 148 cm2 , II. 28 cm2 , III. 82 cm2 , IV. 54 cm2 , V. 80 cm2 .

2. Számítsd ki, hány cm2 kartonlapból készíthetnéd el egy 4 cm élű kocka hálóját! 3. Számítsd ki a felül nyitott, téglatest alakú doboz felszínét! Rajzold le a hálóját! Testháló például:

A = 96 cm2

2 cm 5 cm

3 cm

A = 47 cm2

3 cm 5 cm 2 cm

4. Egy téglatest alakú, felül nyitott doboz három különböző élének hossza 3 cm, 5 cm és 6 cm. Hány cm2 papír kell az elkészítéséhez? Rajzold le a hálózatát úgy, hogy 1 cm-nek a füzetedben egy kis négyzet oldala feleljen meg!

146

Mennyiségek a) A doboz alja a legnagyobb területű lap legyen! 96 cm2 papír kell. b) A doboz alja a legkisebb területű lap legyen! 111 cm2 papír kell.

5. Négy darab 1 cm élű kockából kétféle téglatestet építhetsz. Építsd meg a kétféle testet! a) Rajzold le a testek egy-egy hálóját!

b) Számítsd ki mindkét test felszínét!

A = 18 cm2 és A = 16 cm2

6. Nyolc darab 1 cm élű kockából háromféle téglatestet építhetsz. Építsd meg mindhárom testet! a) Rajzold le a testek egy-egy hálóját!

b) Számítsd ki mindhárom test felszínét!

A = 24 cm2

A = 34 cm2

A = 28 cm2 147

Mennyiségek 7. Számítsd ki a kocka felszínét, ha éleinek hossza a) 7 cm; A = 294 cm2 d) 2 dm 6 cm; A = 4056 cm2

b) 8 mm; A = 384 mm2 c) 13 dm; e) 4 dm 5 mm! A = 820 125 mm2

A = 1014 dm2

8. Számítsd ki a kocka éleinek hosszát, ha felszíne a) 24 cm2 ; a = 2 cm d) 294 m2 ; a = 7 m

b) 54 mm2 ; a = 3 mm e) 2646 cm2 ! a = 21 cm

9. Számítsd ki a téglatest felszínét, ha éleinek hossza

c) 150 dm2 ;

a = 5 dm

A = (a · b + a · c + b · c) · 2 összefüggés alapján

számolunk.

a) 2 cm, 3 cm és 7 cm; A = 82 cm2 c) 1 dm, 3 dm és 4 dm; A = 38 dm2 e) 25 cm, 4 cm és 8 cm; A = 664 cm2

b) 4 mm, 10 mm és 8 mm; A = 304 mm2 d) 2 m, 5 m és 11 m; A = 174 m2 f) 1 dm, 2 dm és 3 dm! A = 22 dm2

10. Számítsd ki a téglatest felszínét, ha éleinek hossza

A = (a · b + a · c + b · c) · 2 összefüggés alapján

számolunk.

a) c) e) g)

3 3 3 8

cm, 8 cm és 17 cm; A = 422 cm2 mm, 21 mm és 15 mm; A = 846 mm2 dm, 12 cm és 80 mm; A = 1392 cm2 cm, 8 cm és 6 cm; A = 320 cm2

b) d) f) h)

3 dm, 12 dm és 80 cm; A = 312 dm2 11 dm, 11 cm és 11 cm; A = 726 cm2 2 m, 12 dm és 40 cm; A = 736 dm2 2 dm, 8 cm és 8 cm! A = 768 cm2

11. Egy üvegből készült váza felülről nyitott, kocka alakú, és élei 16 cm hosszúak. a) Készíts vázlatot a testről! Jelöld b) Rajzold le a test hálóját úgy, az ábrán a méreteit! hogy 8 cm-nek 1 cm feleljen meg a rajzon!

c) Számítsd ki a felül nyitott kocka felszínét!

A = 1280 cm2

12. Hány cm2 üveglap kell az akvárium elkészítéséhez, ha alapja 56 cm és 24 cm oldalú téglalap, magassága 32 cm? A fedőlapja mind a négy oldalon 1 cm-rel hosszabb, mint az alaplapja. 6464 cm2 + 1508 cm2 = 7972 cm2 üveg kell.

13. Mekkora a téglatest ismeretlen éle, ha felszíne és a másik két éle ismert? a) a = 2 cm, b = 6 cm, A = 520 cm2 c = 31 cm b) a = 21 cm, b = 12 cm, A = 1164 cm2 c = 10 cm 148

Mennyiségek 14. Az ábrán egy lecsapott sarkú kocka látható. Az alábbi ábrákon látható testhálók közül melyik NEM lehet a fenti ábrán látható kockáé? A C jelű alakzat nem lehet a lecsapott sarkú kocka hálója. A

B

C

D

(Országos kompetenciamérés, 2010) 15. Egy úszómedence hosszabbik oldala mentén 15 db, rövidebb oldala mentén 7 db, 40 cm oldalú négyzet alakú betonlapból készült a burkolat. a) Körülbelül hány m2 területű fóliával fedhető le a medence vízfelülete? A medence oldalai 60 dm és 28 dm, a víztükör területe 1680 dm2 ≈ 17 m2 . A lefedéshez 17 m2 fólia kell.

b) A 120 cm mély medencét belül 40 cm oldalú lapokkal burkolták. Hány m2 csempét építettek be? Az alap területe 1680 dm2 , a két-két oldalfal területe 336 dm2 , illetve 720 dm2 . A medence belső felülete 3792 dm2 ≈ 38 m2 . Ellenőrzés: a medencét 15 · 3 · 2 + 7 · 3 · 2 + 15 · 7 = 237 darab 40 cm oldalú négyzettel lehet burkolni, a lap területe 16 dm2 , a felület 23 716 dm2 = 3792 dm2 .

16. Egy 6 cm élű kocka minden csúcsát levágjuk egy-egy olyan síkkal, amely a csúcsból kiinduló éleket a csúcstól 2 cm-re metszi. Hány lapja, éle, csúcsa van az így kapott testnek? 14 lapja, 36 éle, 24 csúcsa van. (Kalmár László matematikaverseny, 5. évfolyam, 1988) 17. Ha a süteményt a szokásos módon párhuzamos vágásokkal felszeletelik, lesznek belső darabok (oldalai vágottak), és lesznek szélső darabok (van olyan oldaluk, amelyik nem vágott). Hány darab „szélső sütemény” lesz, ha a „belső sütemények” száma pontosan a) 4; 14 vagy 12 b) 5; 16 c) 3; 12 d) 6; 18 vagy 14 e) 8? 22 vagy 16 Lehet-e egyenlő a szélső és a belső darabok száma? Igen, 3 · 10 = 30 vagy 4 · 6 = 24 belső sütemény esetén. Bizonyítható, hogy más lehetőség nincs.

149

Mennyiségek 16–17. óra: Testek térfogata: A térfogat mérése; Az űrtartalom mértékegységei Tk.: 144–147. oldal, a 148–149. o. 1–5. és 12. feladata Javasolt eszközök: különböző alakú edények, üres dobozok, tömör téglatestek (oldalhosszuk cm-ben kis egész szám), víz, rizsszemek vagy száraz homok, kockacukor, 1 cm3 -es kockák, 1 dm3 kocka (vízzel megtölthető) 1 m3 kocka (élváz és 1 m2 -es alaplap), 1 l-es, 1 dl-es, 1 cl-es, 1 ml-es hengeres mérőedény Az órák célja: edények űrtartalmát hasonlítjuk össze (önthető anyaggal töltjük meg), tömör testek térfogatát hasonlítjuk össze (egyforma kockákból rakunk ki ugyanolyan alakzatot). A térfogat méteren alapuló egységeit, az űrtartalom literen alapuló egységeit és a különböző egységek közötti átváltást ismerik meg a tanulók sok becslést és mérést végezve. Ismételjük át a mérésről tanultakat (hosszúság-, területmérés)! A sok gyakorlati feladat megoldása során javulhatnak a térfogat becslésekor adott válaszok. Érdekes lehet a különböző anyagokhoz kötődő sokféle űrmérték, a cinkotai nagyiccéhez fűződő történet. (Az utóbbi története a Mátyás király-mesék között A cinkotai kántor címen megtalálható.)

18–19. óra: Testek térfogata: A téglatest térfogata Tk.: 147–148. oldal, a 149–150. oldal, 6–11. és 13–17. feladat Javasolt eszközök: 1 dm3 -es kocka, 1 cm3 -es kockák Az órák célja: téglatest térfogatának meghatározása egységkockákkal kitöltve, illetve a kitöltést elképzelve összemérhető élhosszak esetén. Szöveges feladatok megoldása során a téglatest hálójáról, felszínéről tanultakat is alkalmazzuk.

Feladatok 1. Mindhárom test 1 cm3 térfogatú kockákból épült fel. Hány cm3 a testek térfogata? a) b) c)

150

Mennyiségek

a)

V = 24 cm3 A = 60 cm2

b)

V = 26 cm3 A = 54 cm2

c)

V = 18 cm3 A = 54 cm2

ha az alaprajz: 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2

2. Egybevágó kockákból téglatestet rakunk ki. Az alapja már elkészült az ábra szerint. Milyen magasra kell építeni, hogy összesen a) 24, 2 réteg c) 240, 20 réteg

b) 72, 6 réteg d) 12 kockából álljon? 1 réteg

3. A képen látható testek 5 cm élű kockákból állnak. B

A

C

a) Hasonlítsd össze a három test térfogatát! A három test térfogata egyenlő 4 db 5 cm élű kocka térfogatával, 500 cm3 -rel.

b) Ha a kockák csak teljes oldallapjukkal csatlakozhatnak egymáshoz, összerakható-e négy kockából olyan test, amelynek térfogata vagy felszíne eltér az A, B, C test térfogatától vagy felszínétől?

A:

1 2 1

B:

2 1 1

C:

1 2 1

D:

2 2

E:

4

F:

1 3

Az összerakható test térfogata csak 500 cm3 lehet, a képen látható testek felszíne 18 db 5 cm oldalú négyzet, területösszege 450 cm2 . Ettől eltér a 2 2 alaprajzú test 400 cm2 -es felszíne.

4. Rajzold le a tenyered körvonalát egy papírra! Becsüld meg, hogy hány cm2 lehet a területe! A becslés után rajzold le a tenyered ugyanígy négyzethálós papírra, majd add meg, hogy kb. mekkora a keresett terület! (1 cm2 = 4 db rácsnégyzet) Végezd el a becslést-mérést a talpaddal is! A megoldást a tanulók által becsült és mért adatok adják.

5. a) Becsüld meg, hogy az 1 literes ásványvizes üvegből hány poharat tudsz megtölteni! A becslés után végezd el a mérést! A saját poharadat használd! b) A reggeli kakaó elkészítésekor 1 literes fazékban melegítjük a tejet, majd merőkanállal szedjük át a bögrénkbe. Becsüld meg, hány teli merőkanállal tölthető meg a saját bögréd! A becslés után végezd el a mérést! A megoldást a tanulók által becsült és mért adatok adják.

6. Becsüld meg méter pontossággal az osztálytermetek adatait! Hány m3 levegő lehet benne? Például egy terem oldalai 6 m, 13 m, magassága 4 m. 312 m3 levegő lehet ebben a teremben.

151

Mennyiségek 7. Mérd meg egy téglatest alakú teásdoboz egy csúcsba futó éleinek hosszát! Hány cm3 a doboz térfogata? Például a doboz élei: 52 mm, 60 mm, 140 mm, térfogata: 436 800 mm3 ≈ 437 cm3 = 437 ml.

8. Nézz utána, hogy régen milyen mértékegységeket használtak a hosszúság, a terület, illetve a térfogat meghatározására! Például: Hosszmértékek 1 magyar mérföld 1 bécsi mérföld = 4000 bécsi öl 1 bécsi öl = 6 bécsi láb 1 bécsi láb = 12 bécsi hüvelyk

83536 m

758592 m

1896 48 m

0316 08 m

2634 cm

1 bécsi hüvelyk

0777 m

1 bécsi rőf Területmértékek 1 katasztrális hold = 1600 négyszögöl 1 magyar hold = 1200 négyszögöl

05760 ha = 5760 m2

04320 ha = 4320 m2

36 m2

1 négyszögöl Térfogatmértékek 1 bécsi köböl = 216 köbláb = 1728 köbhüvelyk 1 bécsi akó = 40 bécsi pint 1 bécsi pint 1 magyar akó = 64 magyar icce 1 magyar icce

6821 m3

56588 liter

14147 liter

542976 liter

08484 liter

(Forrás: http://www.kisbiro.hu/modules.php?name=Info&file=mertekek) További javaslat: http://mek.oszk.hu/00000/00056/html/184.htm

9. a) Számítsd ki a 7 cm élű kocka térfogatát! V = 343 cm3 b) Számítsd ki a 35 mm élű kocka térfogatát! V = 42875 mm3 10. Számítsd ki a téglatest térfogatát, ha egy csúcsba futó éleinek hossza a) 4 cm, 6 cm és 7 cm; V = 168 cm3 b) 2 cm, 2 cm és 7 cm; V = 28 cm3 c) 12 mm, 41 mm és 7 mm; V = 3444 mm3 d) 3 dm, 22 cm és fél dm! V = 3300 cm3 11. a) Az ötödikesek kiszámították egy olyan téglatest térfogatát, amelynek élei 2 m, 6 m és 7 m hosszúak. Az alábbiak közül milyen eredményt kaphattak? 84m3 , 8400 dm3 , 84 000 cm3 , 840 m3 , 8400 cm3 , 84 000 dm3 84 m3 = 84 000 dm3

152

Mennyiségek b) Az alábbiak közül melyik lehet az 5 dm, 8 dm és 9 dm élhosszúságú téglatest térfogata? 36 dm3 , 36 m3 , 3600 cm3 , 360 dm3 , 360 000 cm3 , 36 000 cm3 , 3 m3 6 dm3 , 3 600 000 mm3 , 3 m3 60 dm3 , 360 000 mm3 360 dm3 = 360 000 cm3

12. Pótold a hiányzó mérőszámokat! A) a) 352 l 3520 dl b)

12 hl

c)

28 dm3

d)

9 m3

1200 l 28 000 cm3

35 200 cl

352 000 ml

–

12 000 dl

1 200 000 ml

–

28 000 000 mm3

9000 dm3

90 hl

7 300 cl

73 000 ml

730 dl

b)

40 000 cl

4000 dl

400 l

d)

11 000 l

37 000 ml 11 000 000 cm3

28 000 ml

9000 l

B) a)

c) 37 000 000 mm3

28 l

–

73 l

73 000 000 mm3 400 dm3

4 hl

37 dm3

37 l

–

11 m3

110 hl

–

13. Pótold a hiányzó mértékegységeket! a) b)

70 dm3 171 hl

c) 1 735 000 dm3 d)

291 l

70 000 cm3 70 000 ml 70 000 000 mm3 17 100 000 ml

17 100 l

17 100 dm3 17 100 000 cm3

1735 m3 291 dm3

2910 dl

29 100 cl

291 000 ml

291 000 cm3

14. Az ábrákon egy kocka és egy négyzetes oszlop hálója látható. Határozd meg az egy csúcsba futó élek hosszát, és határozd meg a testek térfogatát! a) b)

a) A kocka élei 1 cm hosszúak. Térfogata 1 cm3 . b) A négyzetes oszlop élei 2 cm = 20 mm, 2 cm = 20 mm, fél cm = 5 mm hosszúak. Térfogata 2000 mm3 = 2 cm3 . Mindkét test téglatest és négyzetes oszlop is egyben.

15. Egy téglatest alakú tanterem hosszúsága 12 m, szélessége 8 m, magassága 4 m. Hány tanuló tartózkodhat itt a tanárával, ha fejenként 3 m3 levegőre van szükségük? A terem térfogata 384 m3 . Rövid ideig 127 tanuló és egy tanár tartózkodhat a teremben.

153

Mennyiségek 16. Egy szemétgyűjtő tartály űrtartalma 200 l, hetente kétszer ürítik. Egy év alatt körülbelül hány m3 hulladékot kell elszállítani, ha a tartály mindig tele van, amikor kiürítik? Hetente 400 l, évente (52 hét) 20 800 l ≈ 21 000 dm3 = 21 m3 szemetet kell elszállítani.

17. Hány liter vízzel tölthető színültig az úszómedence, ha a mélysége mindenütt 150 cm? A medence méretei az alaprajzon láthatók.

V

= (50 · 20 · 15) dm3 + (250 · 100 · 15) dm3 = 390 000 dm3 = 390 000 l

390 000 l vízzel lehet feltölteni a medencét. Ez 390 m3 víz, amely egy család több mint egyévi vízfogyasztása.

20. óra: Tudáspróba Tk.: 151. oldal 1. Sorold fel, milyen fajtájú szögeket látsz az ábrán! Mérés után állapítsd meg, hogy az ábrán lévő szögek közül melyek nagyobbak, és melyek kisebbek a megadott szögnél! Számítsd ki az eltéréseket! 1.

3.

2.

4.

a szög fajtája

154

5.

a szög nagysága

hegyesszög

76

1.

tompaszög

118◦

2.

hegyesszög

40◦

3.

hegyesszög

76◦

4.

tompaszög

150◦

5.

derékszög

90◦

6.

homorú szög

262◦

6.

összehasonlítás

-val

eltérés

◦

-nál nagyobb -nál kisebb -val egyenlő -nál nagyobb -nál nagyobb -nál nagyobb

42◦ 36◦ 0◦ 74◦ 14◦ 186◦

a

Mennyiségek 2. Rajzolj 110◦ -os szögnél a) nagyobb tompaszöget!

b) kisebb tompaszöget!

◦

◦

Bármely 90◦ -nál nagyobb, de 110◦ -nál kisebb szög megoldás.

Bármely 110 -nál nagyobb, de 180 -nál kisebb szög megoldás. Például:

3. a) Írd le az egyenlőségeket a füzetedbe! Pótold a hiányzó mérőszámokat és mértékegységeket! A:

297 m

B:

34 km

C:

4 dm 7 mm

= 29 700 cm

D:

23 500 m2

= 2 350 000 dm2

= 340 000 dm

E:

7 m2 8 dm2

= 70 800 cm2

= 407 mm

F:

410 000 mm2 = 41 dm2

b) Határozd meg a hiányzó mérőszámokat és mértékegységeket! A: B: C:

54 dm3

54 l 1700 cm3 8 dl + 15 dl

1 700 000 mm3 23 dl

54 000 cm3

5400 cl

1700 ml

170 cl 2300 ml

230 cl

2300 cm3

4. Egy téglalap hosszúsága 11 cm, szélessége 7 cm. Számítsd ki a téglalap kerületét! Mekkora annak a négyzetnek a területe, amelynek kerülete ugyanakkora, mint a téglalap kerülete?

K = (11 cm + 7 cm) · 2 = 36 cm. A négyzet kerülete: 36 cm. A négyzet oldala: 9 cm. A négyzet területe T = 9 · 9 cm2 = 81 cm2

A téglalap kerülete:

5. Egy felül nyitott akvárium téglatest alakú, hossza 60 cm, szélessége 35 cm, magassága 250 mm. Hány cm2 üveg kell az alaplap és az oldalfalak elkészítéséhez? Az alaphoz 60 · 35 cm2 = 2100 cm2 üveg, az oldalakhoz (60 · 25 + 35 · 25) · 2 cm2 = 4750 cm2 üveg kell. Összesen 6850 cm2 üveg szükséges az akvárium elkészítéséhez.

6. Hány liter vizet önthetünk az egyes akváriumokba? Melyiknek nagyobb a térfogata? a) b)

4 dm

3 dm

5 dm

4 dm 5 dm

5 dm

V = a · b · c = (5 · 5 · 3) dm

= 75 dm = 75 l. V = a · b · c = (5 · 4 · 4) dm3 = 80 dm3 = 80 l. Legfeljebb 75 liter víz fér az akváriumba. Legfeljebb 80 liter víz fér az akváriumba. A b) akvárium térfogata 5 literrel nagyobb az a) térfogatánál. 3

3

155

Törtek

Törtek 1–2. 3–4. 5. 6–7. 8. 9–10. 11–14. 15–16. 17–18. 19–20.


21–22. óra:

A törtszám fogalma és írása Kisebb vagy nagyobb 1 egésznél? Pontosan 1 egész? Törtek helye a számegyenesen, negatív törtek A törtek sokféle arca Törtek összehasonlítása Törtek egyszerűsítése és bővítése Törtek összeadása és kivonása Törtek szorzása természetes számmal Törtek osztása természetes számmal Összeg és különbség szorzása és osztása természetes számmal, műveletek sorrendje Mi a valószínűbb?

Mire építünk? Az első négy évfolyamon a gyerekek ismerkedtek már a tört kétféle értelmezésével. Meghatározták (vágással, öntögetéssel, hajtogatásokkal, színezéssel stb.) testek, mennyiségek, síkidomok, szakaszok törtrészeit. Egyszerűbb esetben eszközzel vagy anélkül eldöntötték két törtről, hogy egyenlők-e, meghatározták törtek helyét a számegyenesen. Ebben a tanévben a természetes számok tárgyalásakor megmutattuk, hogy a részekre osztás és a bennfoglalás ugyanarra az eredményre vezet, ha a bennfoglaló osztás maradéka nulla, ezért a továbbiakban nem teszünk különbséget a kettő között. Az eredményt hányadosnak, más szóval törtnek neveztük. De eddig nem adtunk értelmet például a 7 : 9 hányadosnak, mert nem volt olyan egész szám, amelynek a 9-szerese 7. Meddig jutunk el? 7 -et egyrészt mint 1 egésznek a 7 kilenced részét, 9 másrészt mint 7 egésznek az 1 kilencedét állítjuk elő). Elmélyítjük a törtszám fogalmát. Amikor törtet mondunk, mindig a számlálóval-nevezővel felírt alakra gondolunk. Azokat a törteket, amelyekben a számláló többszöröse a nevezőnek, egész számoknak nevezzük. Először csak a 7 pozitív törtet értelmezzük. Ezt a fokozatosságot azért célszerű betartani, mert például hét da9 7 rab kilencedet jelent, de − nem jelent (−7) darab kilencedet. A negatív törtszámokat a pozitív 9 törtszámok ellentettjeként vezetjük be. 39 Nem célszerű megkülönböztetni egymástól a hányados- és a törtalakot. Például = 39 : 7, de 7 arra a kérdésre, hogy 39 dolgot 7 gyerek között hogyan tudunk szétosztani, vagy azt mondjuk, hogy ez nem lehetséges, vagy azt, hogy mindenki legfeljebb 5-öt kaphat (ha a 39 olyan valami, ami tovább már nem osztható), de ha mindenki a legtöbbet kapja is, marad még 4. A maradékos osztás az egész számokra definiált fogalom, csak összeadásra és szorzásra van szükség. A törtfogalom elmélyítésekor az egészből a törtrészre való következtetés megelőzi a törtrészből

Többféleképpen értelmezzük a törteket (a

156

Törtek

az egészre való következtetést. A törtrészről nagyon sokszor idézőjelben kellene beszélni, hiszen például valaminek a 4=3-a igazából nem része. Ezt a gyerekekkel is beszéljük meg! Különbséget kell tenni az 1=5 szám és valaminek az 1 ötöde között, ugyanúgy, ahogy például a 2 és valaminek a kétszerese között is különbséget teszünk. A színes rudak jól használhatóak a tört kétféle értelmezésének szemléltetésére, az egész törtrészének meghatározására és törtrészből az egész meghatározására is. Az egyszerűsítést és bővítést ezen feladatok megoldása közben is előkészítjük. Innen jutunk el olyan számegyenesekhez, amelyekről különböző törtrészeket, illetve azok egyenlőségét tudják leolvasni a gyerekek. Az egyszerűsítésnél, bővítésnél, majd a műveletek végzésénél óvatosan bánjunk a szabályok megfogalmazásával! Az a fontos, hogy a gyerekek lássák egy-egy konkrét esetben, mit kell csinálniuk, később pedig ezt saját szavaikkal igyekezzenek megfogalmazni. Egyenlő nevezőjű és könnyen azonos nevezőjű törtekké alakítható törteket hasonlítunk össze, adunk össze, vonunk ki egymásból. Törteket szorzunk pozitív egész számmal, ami valójában nem új művelet, hanem a csupa egyenlő tagból álló összeg rövidítése, és ebből kiindulva a gyerekek maguk is rájönnek arra, hogy törtet egész számmal szorozni már tudnak. Mivel a negatív számmal és a törttel való szorzás így nem értelmezhető, ezért ezekre a műveletekre a következő évben majd új definíciót adunk. Azt azonban már most megmutatjuk, hogy ezekkel a számokkal még nem tudunk szorozni. Az osztás pozitív egésszel a hiányzó szorzótényező keresését jelenti. Szöveges feladatokat oldunk meg a tanult műveletek felhasználásával. A táblázatok, grafikonok értelmezése ebben a fejezetben folytatódik. A valószínűségi játékok során szót ejtünk a lehetetlen és a biztos esemény fogalmáról. Relatív gyakoriságot számolunk. Egyszerű, szemléletes feladatok esetében az események valószínűségét is meghatározzuk. Minimumkövetelmény Ismerjék és értsék a gyerekek a tört fogalmát, a tört kétféle értelmezését! A szemlélet alapján legyenek képesek különböző (egyjegyű) nevezőjű törtek összehasonlítására, összeadására és kivonására! Tudjanak törteket természetes számmal szorozni és osztani! Mi lesz a folytatás az 5. évfolyamon? A tizedes törtek értelmezésének és a velük végzett műveletek tárgyalásának alapját képezik a törtekről tanult ismeretek, műveletek.

1–2. óra: A törtszám fogalma és írása Tk.: 153–157. oldal, 1–13. feladat Javasolt eszközök: szalag, egy kancsó víz, poharak, alma, lufik, írólapok, színesrúd-készlet, térkép Az órák célja: konkrét tárgyak, mennyiségek egyenlő részekre osztása, törtrészek felismerése. Annak feltérképezése, hogy megtörtént-e az első négy évben a változatos tapasztalatszerzés, a fogalom kialakításához szükséges tevékenység. Ha nem, akkor azt mindenképpen pótolni kell! Bevezetjük az elnevezéseket.

157

Törtek Feladatok 1. Írólapokat hajtogattunk. Mekkora részüket színeztük kékkel, pirossal, zölddel? Tudsz-e más megoldást? Ha igen, hajtogasd meg írólapból, vagy rajzold le a füzetedbe! a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

A lapok felét kékkel, negyedüket pirossal, hatodukat sárgával, nyolcadukat zölddel színeztük.

A gyerekek feladata a rajzon látható hajtogatásoktól különböző módon meghajtogatni írólapok felét, negyedét, nyolcadát. 2. Mindegyik rajz egy egészet jelent. Melyiknek nem a negyedrésze színes? a)

b)

c)

g)

h)

i)

d)

j)

e)

f)

k)

l)

A bekarikázottaknak nem a negyede színes. A d) és f) rajzon 4 részre osztottuk a rajzot, de azok nem egyenlők. Az i) rajz fele színes, a h) és a k) rajznak a 3 nyolcada.

3. Mekkora része színes a rajzoknak? Melyiket nem tudod meghatározni a mostani tudásoddal? a)

b)

1 3

f)

c)

1 5

g)

1 9

d)

1 7

h)

1 6

e)

i)

1 8

1 5

mostani tudásunkkal nem tudjuk meghatározni

j)

1 8

3 8

4. Hibakereső Mindegyik feladatban az első rajz 1 egészet ér. Kelekótya Katának a nyilakra írt műveletek szerint kellett kiszíneznie a rajzokat, a rajzok alá pedig a színezett területek nagyságát kellett írnia. Adjátok meg a betűjelét a jól megoldott feladatoknak! Javítsátok ki a hibákat!

158

Törtek a)

b)

3 4

c)

d)

5. Néhány különleges zászlót rajzoltunk le. Az első háromnak mekkora része sárga, a negyediknek mekkora része fekete?

1 1 1 1 5 4 2 2 Készítsetek ehhez hasonló zászlós feladatokat! Az interneten megtaláljátok a nemzeti zászlókat. Az egységtörtek többszöröseit kell vennünk: a buddhista zászló 6 harmincad része sárga, de az is látható, hogy ötszínű a zászló, és az egyes színek éppen az 1 ötödét teszik ki. A golfzászló fele sárga. A győzelmi zászló fele fekete. Még sok kérdést fel lehet tenni. Például: Mindig tudjuk-e úgy színezni a győzelmi zászlóhoz hasonló zászlókat, hogy a felük fekete legyen?

6. Mekkora része színes a rajzoknak? a)

b)

g)

3 1 = 9 3

d)

2 5

2 3

f)

c)

3 7

3 5

h)

4 2 = 6 3

e)

3 4

i)

5 8

j)

5 8

4 2 1 = = 8 4 2

7. A rajzon látható parkolóóra piros része a hátralévő időt jelzi. a) Mekkora része van még hátra a parkolási időnek? 6 3 = része 10 5

b) Hány perc van még hátra a parkolási időből? 18 perc

c) Hány óra van még hátra a parkolási időből?

0

1 óra 2

18 3 = óra 60 10

159

Törtek 8. Olvass a képről! a) Színes rudakkal szőnyegezünk. Legyen a lila rúd 1! 1 2 1 3 1 6 = , 3 fehér = , 6 fehér = 1, 6 6 3 6 2 6 1 2 3 1 2 1 rózsaszín , 2 rózsaszín , 3 rózsaszín = 1, 1 kék , 2 kék = 1? 3 3 3 2 2

Mennyit ér ekkor 1 fehér , 2 fehér

b) Színes rudakkal szőnyegezünk. Legyen a bordó rúd 1! Mennyit ér ekkor 1 8

4 1 7 8 = , 7 fehér , 8 fehér = 1, 8 2 8 8 1 2 1 3 4 1 2 1 rózsaszín , 2 rózsaszín = , 3 rózsaszín , 4 rózsaszín = 1, 1 piros , 2 piros = 1? 4 4 2 4 4 2 2

1 fehér , 4 fehér

c) A színesrúd-készletből tornyot építünk. Melyik rudat választottuk 1-nek, ha A) B) C) D) E) F) G)

a a a a a a a

világoskék 1 harmadot ér; sötétkék citromsárga felet ér; narancssárga bordó felet ér; barna rózsaszín 2 harmadot ér; világoskék lila 2 harmadot ér; sötétkék bordó 8 kilencedet ér; sötétkék zöld 3 negyedet ér? barna

Barkochbázhatunk is a rudakkal. A tanár vagy egy gyerek elrejt egy rudat, és a csoportnak ki kell találnia, melyik az elrejtett rúd. A feladatban szereplő kérdésekhez hasonlókat tehetnek fel a gyerekek, például: „Ha zöld rúd az 1 egész, akkor az elrejtett rúd kisebb 2-nél?” 9. A Föld vízkészletéről láthatsz adatokat és két diagramot. Tanulmányozd ezeket! táblázat kördiagram négyzetes diagram 1 97% sós víz Jég: 50 1 Édesvíz: 100 97 Sós víz: 100 2% jég 1% édesvíz 100 Összesen: 100 a) Miért használunk diagramokat? Például azért, mert segítségükkel könnyebben átláthatjuk a mennyiségek arányát.

b) Miért kell nagyon vigyázni a folyók, források vizeinek tisztaságára? Mert Földünkön vészesen fogy az édesvízkészlet.

Gyűjtsetek adatokat hazánk édesvízkészletéről!

160

Törtek 10. Oldd meg a feladatokat! Melyik feladatnak nincs megoldása? a) Pankának 12, Jucinak 18 sor málnát kell leszednie. Panka a rá kirótt munka felénél tart, Juci a 2 harmadánál. Kinek van több sor hátra? Mindkettőjüknek 6-6 sor van hátra. b) Hatnapos kerékpártúrán összesen 180 km-t szeretnénk megtenni. Az első három napon megtettük az út 3 ötödét. Mennyit kell átlagosan kerekeznünk az elkövetkező 3 napon ahhoz, hogy a tervezett 180 km-es utat megtegyük? 24 km-t kell megtenniük. c) 33 tojáson ült a kotlós. A tojások hetedéből nem kelt ki kiscsibe. Hány kiscsibe bújt ki a tojásokból? A feladatnak nincs megoldása, mert a 33-nak nem osztója a 7. 11. Melyik négyzetnek van ugyanakkora része beszínezve, mint a körnek?

A

B

C

D -nek

D

12. Fel lehet-e vágni 3 vágással egy tortát 8 egyenlő részre? Igen. Így: 13. A mérleg egyik serpenyőjében egy szappantömb van, a másik serpenyőben pe3 3 dig ugyanolyan tömb része és még kg-ot kitevő súlyok. A mérleg így 4 4 egyensúlyban van. Hány kilogramm a szappantömb? 3 kg, mert 3 kg szappan negyede 3 negyed kg.

3–4. óra: Kisebb vagy nagyobb 1 egésznél? Pontosan 1 egész? Tk.: 157–161. oldal, 1–15. feladat Az órák célja: a törtrész meghatározásának, a törtek írásának, olvasásának gyakorlása, illetve az 1-nél kisebb, 1-gyel egyenlő és 1-nél nagyobb törtek formai jegyeinek vizsgálata. Amíg ezeket nem sajátították el a gyerekek, nincs értelme a továbbhaladásnak. A törtszámok halmazának részhalmaza az egész számok halmaza. Ennek megértését és elmélyítését szolgálják: a vegyes tört alakok leolvastatása rajzokról, vegyes törtek felírása közönséges tört alakban is. Az egész számszomszédok keresése jól előkészíti a törtek számegyenesen való ábrázolását. Az egész számok bővített alakjainak közös tulajdonságát is megfogalmazzuk: a számlálónak osztója a nevező. Az 1-nél nagyobb törteket mondassuk ki összeg alakban is! 5 3 2 2 Pédául: = + = 1 + . A feladatok előkészítik az egyenlő nevezőjű törtek összevonását is. 3 3 3 3

161

Törtek Feladatok 1. Mackó mindennap feljegyezte, mennyi méz maradt a mézescsuporban. Melyik napon tévedett? Az 5. napon.

1 3

3 5

1 10

)

6 10

3 4

1

2. A teljes rajz minden feladatban 1 egészet jelent. a) A teljes rajz mekkora része van beszínezve? b) A teljes rajz mekkora része nincs beszínezve? A)

B)

C)

a) A rajz beszínezett része b) A rajz beszínezetlen része A teljes rajz

D)

E)

F)

G)

A)

B)

C)

D)

E)

F)

G)

4 1 = 8 2 4 1 = 8 2 8 =1 8

3 5

1 2

2 1 = 6 3

1 4

9 25

1 8

2 5

1 2

4 2 = 6 3

3 4

16 25

7 8

5 =1 5

2 =1 2

6 3 = =1 6 3

4 =1 4

25 =1 25

8 =1 8

3. Az első ábra területe 1 egész. A nyilakra írt műveletek szerint színeztük ki az ábrát. Mekkora az így kapott piros színű területek nagysága? a) 1

·5

:4

5 4

1 4

b) 1

:3

· 10

:2 2 1 = 6 3

1 6

10 6

4. Rajzolj négy téglalapot 3 cm-es és 4 cm-es oldalakkal! 1 3 7 a) Színezd az első részét kékkel, a második részét zölddel, a harmadik részét pirossal 12 4 7 4 és a negyedik részét sárgával! 3 162

Törtek

A)

B)

C)

D)

b) Hány cm2 a színezett téglalapok területe? A)

t = 1 cm2

t = 9 cm2

B)

t = 12 cm2

C)

D)

t = 16 cm2

5. A Mackó sajtokból 8 fér el egy dobozban. Több dobozunk van, de új dobozba csak akkor teszünk sajtot, ha az előző már megtelt. Ennyi sajt Így tölti meg a dobozokat

8

9

10

8 =1 8

9 1 =1+ 8 8

10 2 =1+ 8 8

Írd le többféleképpen, mekkora részét tölti ki a dobozoknak 11, 12, 13, 16, 17, 24, 25 sajt! Ennyi sajt

11 1+

Így tölti meg a dobozokat

3 8

12 1+

1 2

13 1+

5 8

16

17

2

2+

1 8

24 3

25 3+

1 8

6. Egy ilyen dobozban 6 db tojás fér el. Hány tojás van a dobozokban, ha 1 1 2 a) 1 + , 8 b) 2 + , 15 c) 2 , 16 3 2 3 dobozt töltenek meg a tojások?

d)

9 , 18 (3 doboz) 3

e)

10 20 3

7. Olvass a képről! a) Színes rudakkal szőnyegezünk. Legyen a világoskék rúd 1! 1 3

2 3

3 4 = 1, 4 fehér , 5 fehér 3 3 5 6 2 4 6 , 6 fehér = 2, 1 rózsaszín , 2 rózsaszín , 3 rózsaszín = 2, 1 lila 2? 3 3 3 3 3

Mennyit ér ekkor 1 fehér , 2 fehér , 3 fehér

b) Színes rudakkal szőnyegezünk. Legyen a piros rúd 1! 1 3 4 , 3 fehér , 4 fehér = 1, 6 fehér 4 4 4 6 7 8 1 2 , 7 fehér , 8 fehér = 2, 1 rózsaszín , 2 rózsaszín = 1, 4 4 4 2 2 3 4 3 rózsaszín , 4 rózsaszín = 2, 1 bordó 2? 2 2

Mennyit ér ekkor 1 fehér

c) A színesrúd-készlet elemeiből tornyot építünk. Melyik rudat választottuk 1-nek, ha

163

Törtek A) B) C) D) E) F) G)

a világoskék másfelet ér; rózsaszínűt a citromsárga 2 és felet ér; rózsaszínűt a bordó 8 ötödöt ér; citromsárgát a sötétkék 4 és felet ér; rózsaszínűt a lila 1 egész 1 harmadot ér; nincs ilyen rúd a bordó 8 hetedet ér; szürkét a barna 8 harmadot ér? lilát

Ha az iskolában van színesrúd-készlet, akkor célszerű azt használva megoldani a feladatot. Barkochbázhatunk is a rudakkal. A tanár vagy egy gyerek elrejti azt a rudat, amelyet 1-nek választott. A csoportnak kell kitalálnia, melyik az. A feladatban szereplő kérdésekhez hasonlókat tehetnek fel a gyerekek, például: „A sárga rúd kisebb 1/2-nél?” 8. Másold a füzetbe a halmazábrát! Helyezd el az ábrába a következő tört alakú számokat! 5 1 3 19 56 19 , , , , , 3 4 4 56 19 19 1 1 102 100 2012 , , , , 20 100 1 100 2012

tört alakú számok 19 1-nél kisebbek 1-nél nagyobbak 19 1 3 19 100 102 56 5 1 19 3 4 4 56 100 2012 1 1 2012 20 100

Itt érdemes megfogalmazni a megfigyelt törvényszerűségeket: • a tört értéke 1, ha a számláló egyenlő a nevezőjével; • a tört értéke 2, ha a számlálója kétszerese a nevezőjének; • a tört értéke 3, ha a számlálója háromszorosa a nevezőjének stb. 9. Írj a helyére olyan egész számokat, amelyek igazzá teszik az egyenlőséget és az egyenlőtlenségeket! Az összes megoldást keresd meg! a)

6

=1

b)

6

> 1

: 7, 8, 9: : : Végtelen sok szám teszi igazzá.

=6 Egy szám teszi igazzá.

c) 0 < < 1 6 : 1, 2, 3, 4, 5 Öt szám teszi igazzá.

Hány megoldása van a)-nak, b)-nek, c)-nek? Itt is hívjuk fel a figyelmet ara, hogy a nevező nem lehet nulla! 10. Írj a helyére olyan egész számokat, amelyek igazzá teszik az egyenlőséget és az egyenlőtlenségeket! Az összes megoldást keresd meg! a)

6

=1

=6 Egy szám teszi igazzá.

b)

6

> 1

: 7, 8, 9: : : Végtelen sok szám teszi igazzá.

Hány megoldása van a)-nak, b)-nek, c)-nek?

164

6 c) 0 < < 1 : 1, 2, 3, 4, 5 Öt szám teszi igazzá.

Törtek

A 10. feladatnál is hívjuk fel a figyelmet arra, hogy a nevező nem lehet nulla! 11. a) Válaszd ki a törtek közül az egészeket! 6 14 9 8 28 12 18 30 = 3, = 7, = 3, = 2, = 7, = 2, = 3, =5 2 2 3 4 4 6 6 6

b) Írd fel összeg alakban a megmaradt törteket! 5 , 2

6 , 2

14 7 , , 2 3

9 19 7 , , , 3 3 4

8 22 , , 4 4

28 7 , , 4 6

12 , 6

18 , 6

30 6

1 7 1 19 1 7 3 22 2 1 7 1 5 =2+ , =2+ , =6+ , =1+ , =5+ =5+ , =1+ 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 2 6 6

1 7 6 1 12. Add meg a törtek egész szomszédait! Például: 3 <= + = 3 + < 4 2 2 2 2 3 4 9 11 13 19 21 0 << 1, 1 << 2, 1 << 2, 2 < < 3, 2 < < 3, 3 < < 4, 2 < < 3 5 3 5 4 6 6 9 13. A beszínezett rész egy egész. Mennyit ér a rajz be nem színezett része? Mennyit ér a teljes rajz? a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

nem beszínezett rész

1 3

3

2

3

3

3

5 3

teljes rajz

4 3

4

3

4

4

4

8 3

14. A színezett rész az 1 egész. Mennyit ér a rajz be nem színezett része? a)

1

b)

7 5

c)

1

15. Melyik több: háromnak a fele vagy kettőnek a háromnegyede? Egyenlők, másfél mind a kettő.

5. óra: Törtek helye a számegyenesen, negatív törtek Tk.: 161–163. oldal, 1–9. feladat Az óra célja: törtek helyének megadása különböző beosztású számegyeneseken. Az ellentett fogalmának átismétlése. A negatív törtek bevezetése a pozitív törtek ellentettjeként. A számkör bővítése. A törtrésznek megfelelő mennyiség kiszámítása.

165

Törtek Feladatok 1. A 162. oldal 2. példájában lévő számegyeneseken válassz ki egyenlő értékű törteket! Írj le közülük néhányat! 2. Melyik számokat jelöltük meg ezen a számegyenesen? a) A megjelölt hét szám egy sorozat első hét eleme. Folytasd a sorozatot! Írd fel további három elemét! 0

1 7

3 7

6 7

1

10 7

15 21 7 7 220 az összeg. b) Összegezd a sorozat felírt tíz elemét! 7

3. Melyik akvárium lehet ezek közül 3 7 a) részéig, b) részéig, 5 8

A)–c)

c)

2 részéig, 3

B)–a)

4. Hány liter víz van a tartályban, ha 1 1 a) 20, b) 8, c) 2 5 1 3 e) 15, f) 2, g) 8 20 részéig töltik meg?

:::

28 7

d)

36 45 55 , , 7 7 7

5 részéig megtöltve vízzel? 10

C)–d)

D)–b)

7 1 28, d) 5, 10 8 12 12 liter víz van a tartályban. 40

5. Mekkora részéig telik meg a tartály, ha 3 15 30 = = , 4 20 40 4 16 2 c) 16 liter = , = 5 10 40

a) 30 liter

b) 4 liter

4 2 1 = = , 10 40 20

d) 45 liter vizet öntünk bele? Tele lesz, sőt 5 liter ki is folyik.

6. Melyik számokat jelöltük meg a számegyenesen? Mennyi a pontokkal megjelölt számok összege? a) −2 0 Nulla a számok összege. 8 b) a számok összege. 5

1

−2 7 5 − − 4 4

2

−4 −4 19 − 5

166

−

1 0 1 4 4

1 5 4

7 2 4

0 −

12 5

−

1 0 1 5 5

7 5

13 5

19 5

Törtek

7. Egy 24 cm magas gyertya egyenletesen égve 4 óra alatt ég le tövig. Hány perc múlva lesz a gyertya meggyújtása után a gyertyacsonk 16 cm? Ahhoz, hogy 16 cm legyen a gyertyacsonk, 8 cm-nek kell leégnie. 80 perc alatt ég le 8 cm a gyertyából.

8. Add meg a színes pontok koordinátáit!

A

1 3 − ; , 2 4 D − 34 ; 14 , 1 G −4; 0 , J 32 ; − 34 ,

B

1 3 3 1 − ; , C − ; , 8 2 4 4 E 0; 41 , F − 12 ; 0 ,

A

B C E

D F

K

G

H (−1; −1), I (0; −1), K

1 ;0 2

J

I

H

9. Ábrázold a számegyenesen azokat a számokat, amelyeknek az ellentettjüktől való távolságuk 2 1 a) 1; b) ; c) 1 ! 0 0 5 3 1 101 2 1 2 −

2

−

2

5 5

−

3

3

6–7. óra: A törtek sokféle arca Tk.: 164–166. oldal, 1–15. feladat Az óra célja: a tört kétféle értelmezésének összevetése: a tört mint egységtört többszöröse; a tört mint valamilyen mennyiség valamekkora része. Ezen az órán a második értelmezésre helyezzük a hangsúlyt. Sok feladat megoldása válik egyszerűbbé, ha ennek a tudásnak a birtokában oldjuk meg a feladatokat. 3 A 2. feladat éppen erre jó példa: a 3 méter negyede m. Nincs szükség arra, hogy centiméterre 4 átváltsuk a 3 métert, mint ahogy azt sok gyerek teszi, vagy következtet 1 méter negyedéből 3 méter negyedére. Mindkét értelmezés elvezet a tört mint osztás, illetve a hányados fogalmához. Ezt a gondolatot érlelgetjük hosszú időn keresztül, ennek első szakaszában vagyunk még csak. Ugyanerről majd a tizedes törtek tört alakban való felírásakor is szó esik még. Hívjuk fel a gyerekek figyelmét arra is, ha a maradékos osztásnál nem nulla a maradék, akkor az osztás eredménye egy vegyes tört: 13 : 7 = 1 + 6 ! 7 6

Feladatok 1. a) A különböző rendezvényekre szóló belépőjegyekről a jegykezelő letépi az ellenőrző szelvényt. Miért? Ezzel biztosítják azt, hogy ugyanazzal a jeggyel több ember ne mehessen be ugyanarra az előadásra.

167

Törtek b) A képen látható jegynek körülbelül mekkora része az ellenőrző szelvény? Az ellenőrző szelvény körülbelül az eredeti jegy 1 ötöde.

c) Egy 5 fős család jegyeiről letépett szelvények körülbelül mekkora részét teszik ki az eredeti jegyeknek?

1 jegy ötszöröse pontosan 1 egész jegyet tesz ki. 5

A gyerekek megoldásai közül válasszuk ki azokat, amelyek a tört kétféle értelmezését mutatják! A tört kétféle értelmezésére a mindennapi életből vett egyik legszemléletesebb példa a belépőjegyek kezelése. Van olyan jegykezelő, aki egyenként tépi le a jegyekről az ellenőrző szelvényt, 1 1 1 1 1 ez az egységtörtek ismételt összeadásának felel meg. Öt jegy esetén: + + + + = 1. Van 5 5 5 5 5 olyan jegykezelő is, aki az összes jegyet összefogja, és egyszerre tépi le az összes jegy ellenőrző szelvényét. 1 Ez felel meg az egységtörtek szorzásának: · 5 = 1. 5 Tudjátok-e, hogyan lehet online vagy SMS-ben jegyet vásárolni? Ha nem, nézzetek utána! Az online jegyvásárlás szinte minden színházban elérhető, ilyen esetben a néző egy elektronikus utalványt kap, amelyet be kell váltani az előadás előtt a pénztárban. A bankkártyával fizetett belépők a színház információs pultjánál vehetők át. Az online jegyvásárlás másik változata, mikor otthon kinyomtatható a jegy. SMS útján történő jegyvásárlásnál a telefon egyenlegét terhelik meg a jegy árával és a kezelési költséggel.

2. Ki a magasabb? Bence az 1 méteres mérőszalag 3 negyedéig ér, Bendegúz a 3 méteres mérőszalag negyedéig. Ugyanolyan magasak mindketten:

3 m magasak. 4

3. Nyuszi Fülesnek és Micimackónak is sütött születésnapi tortát. Mackónak egyet,

Fülesnek három ugyanolyat.

3 része fogyott el. Ezek mindegyikének a negyede fogyott el. 4 Kinek a születésnapján fogyott el több torta? Ennek a

Egy egész tortának a 3 negyede egyenlő 3 torta 1 negyedével. Ugyanannyi fogyott el mindkét születésnapon: 3 torta. 4

4. Piroska és Marci testvérek. Piroska karácsonyi ajándékokra zsebpénzének Marcinak négyszer annyi pénze volt, és annak ajándékokra? Ugyanannyit költöttek mindketten. 168

4 részét költötte el. 5

1 részéből vett ajándékot. Ki költött többet az 5

Törtek 5. Melyik nagyobb? Tippeljetek! Nézzetek utána! 2 1 a) A Kékestető magasságának -a vagy a Gellért-hegy magasságának -a? 3 3 Kékestető: 1014 m, az

2 2 1 -a 338 m; Gellért-hegy: 235 m, a -a kb. 157 m. A Kékestető -a nagyobb. 3 3 3

b) A Balaton területének

1 3 -e vagy a Velencei-tó területének -e? 4 4

A Balaton területe: 594 km2 , Balaton

1 -e nagyobb. 4

1 3 -e kb. 149 km2 , a Velencei-tó területe: 26 km2 , a -e kb. 20 km2 . A 4 4

c) Egy átlagos tyúktojás átlagos tömegének Egy hazai tyúktojás átlagosan 60 g, 1 -e a nagyobb. 10 6 6. Melyik nagyobb? cm 3

9 1 -e vagy egy átlagos strucctojás tömegének -e? 10 10

1 9 -e 54 g, a strucctojás átlagos tömege 1300 g, ennek -e 130 g. 10 10

A strucctojás

a) Ennek a szakasznak

ennek a szakasznak 1 2 1 b) vagy ? 3 3 3

2 < 3

az a

6 cm 3

1 része, vagy 3

2 6 része? 2 cm = cm 3 3

1 1 rész. Ez az egyen3 3 lőség csak akkor áll fenn, ha az egység az 1. A 7. feladat ennek a párja. E feladat megoldása során hívjuk fel a gyerekek figyelmét arra, hogy

7. Melyik nagyobb?

a) Ennek az

1 3 része vagy ennek a része? 4 4

b)

1 3 1 vagy ? 4 4 4

c)

7 :2= ; 2

3 < 4

Egyenlő a két terület.

8. A gyerekek igazságosan osztoztak a kürtőskalácsokon. 3 Mindenkinek kalács jutott. 5 Hány gyerek hány kalácson osztozott?

3 kalácson osztozkodhatott 5 gyerek, vagy 6 kalácson 10 gyerek: : :

9. Tedd igazzá az egyenlőségeket! a) 6 :

= 2;

=3

b) 3 :

3 = ; 8

=8

=7

169

Törtek

d)

3

=

= 12 : 3

1 9

3 3

9 1

4

12

36

10. Egy négyzet kerülete 10 cm, egy szabályos háromszögé 9 cm, egy szabályos hatszögé 16 cm. Melyik oldala a leghosszabb? A négyzet oldala a szabályos hatszögé

10 cm 5 9 cm = cm, a szabályos háromszögé = 3 cm, 4 2 3

16 cm 8 = cm. A szabályos háromszög oldala a leghosszabb. 6 3

11. Egy tégla tömege 7 kg. Hány kg a tömege annak a téglának, amelynek minden éle fele a nagy tégla megfelelő élének, és ugyanolyan anyagból készült? Nyolcadakkora lesz a térfogata a kisebb téglának, ezért a tömege is nyolcadannyi lesz:

7 kg. 8

12. Hogyan lehet 7 ugyanakkora kenyeret igazságosan elosztani 12 éhes vándor között úgy, hogy egyik kenyeret se kelljen 12 vagy 12-nél több részre vágni? Három kenyeret 4 egyenlő részre vágunk, négy kenyeret 3 egyenlő részre. Mindenkinek adunk egy ilyet, egy olyat. 1 1 3 4 7 Így + = + = rész jut mindenkinek. 4 3 12 12 12

13. Jancsitól megkérdezték, hány testvére van. Jancsi így válaszolt: Pontosan annyi nővérem van, mint fivérem. De nővéreim mindegyikének feleannyi leánytestvére van, mint fiútestvére. Hány gyereke van Jancsi szüleinek, és ebből mennyi a fiú, és mennyi a lány? Hét gyereke van Jancsi szüleinek, 4 fiú és 3 leány. Csak ebben az esetben teljesülnek a feltételek.

14. Melyik nagyobb:

2221 3332 vagy ? 2223 3334

A második a nagyobb, mert közelebb van az 1-hez.

15. Zoli ezt mesélte a futóversenyről: „Amikor beértem a célegyenesbe, nem volt mellettem senki. De a versenyzők harmada már célba ért, a fele viszont még mögöttem volt”. Hányan versenyezhettek? Hatan versenyeztek.

8. óra: Törtek összehasonlítása Tk.: 167–170. oldal, 1–14. feladat Az óra célja: törtek összehasonlítása többféleképpen. Ugyanazzal a számmal hasonlítjuk össze. Egyenlő számlálójú és nevezőjű törteket állítunk nagyságrendbe. Átismételjük a negatív egészekről tanultakat, majd negatív törteket hasonlítunk össze. Eközben előkészítjük a bővítést és az egyszerűsítést.

170

Törtek Feladatok 1. Állítsd növekvő sorrendbe az alábbi egységtörteket! (Egységtörteknek az 1 számlálójú törteket nevezzük.) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 < < <<< , , , , a) , 15 12 9 8 5 2 5 12 8 15 2 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) < < < << , , , , , 20 17 13 6 4 3 20 6 17 3 4 13 2. Tom Sawyer ügyes csellel rávette barátait arra, hogy fessék le helyette a kerítést. 2 3 1 Ben a részét, Billy a részét, Johnny az részét festette le. Tomot ezért almával, egy pa9 8 4 pírsárkánnyal és egy döglött patkánnyal ajándékozták meg társai. (Olvastad-e már Mark Twain Tom Sawyer kalandjai című könyvét?) Ki festett a legtöbbet? Billy festette a legtöbbet.

2 9

2 1 3 = < < 8 4 8

Van, aki konkrét számból indul ki. Például felteszi, hogy 72 lécből áll a kerítés. Akad olyan gyerek is, aki bővítéssel oldja meg a feladatot. 3. Melyik nagyobb? Tedd ki a megfelelő jelet! Segít a tankönyv 172. oldalán lévő ábra. (A füzetedben dolgozz!) 1 <1 1 <2 1 <2 a) vagy b) vagy c) vagy 3 2 3 3 2 3 2 >2 9 >2 3 <7 e) vagy f) vagy vagy d) 11 10 5 7 10 3 4. Melyik nagyobb? Tedd ki a megfelelő jelet! 5 1001 >999 >5 a) vagy b) vagy 100 101 1000 1000

c)

10 <11 vagy 11 12

d) −

10 > 11 vagy − 11 12

5. Melyik nagyobb? a)

d)

< (−1) vagy (+1)

1 > 2 − vagy − 3 3

1 − 3

b)

e)

< 1 vagy +

3

7 < 4 − vagy − 3 3

6. Melyik a nagyobb? (Segít a számegyenes.) 1 > 1 3 < 3 a) − vagy − b) − vagy − 4 2 5 10 −1

d) −

0

1

7 > 7 vagy − 1000 10

−1

e) −

3 < 3 vagy − 28 56

>

c) (−1) vagy (−2)

f)

c) −

1 3+ 4

f) −

>7

vagy

4

5 <5 vagy − 3 6 −1

0

0

201 < 1001 vagy − 200 1000

171

Törtek 7. Melyik pörgettyűn áll meg nagyobb eséllyel piros részen a mutató? A)

B)

C)

2 2 1 -dal kisebb 1-nél -del kisebb 1-nél -dal kisebb 1-nél 6 11 6 2 1 2 2 < < = Szemmel látható, hogy az A pörgettyűn a legnagyobb a fehér rész területe. 11 6 12 6 Ennek a piros részén áll meg a legkisebb eséllyel a mutató. A másik kettőt egyenlő számlálójú tört alakban megadva már könnyen megállapítható, hogy a B jelűn kisebb a fehér rész, mint a C jelűn. A

B jelűn áll meg nagyobb eséllyel a mutató.

8. A mi falunk a folyóparton épült. A gyakori árvíz miatt magas kőgát védi a folyó felől. Az utóbbi négy évben a hajóállomásnál mérték a víz magasságát. 7 9 12 2008-ban a gát részéig ért a folyó vízszintje. 2009-ben a gát részéig, 2010-ben a 10 10 13 7 részéig, 2011-ben a részéig ért a folyó vízszintje. 11 a) Melyik évben volt a legmagasabb a vízállás? 2010-ben b) Melyik évben volt a legkisebb a víz betörésének veszélye? 2011-ben Jelöljük pirossal, hogy a gátnak mekkora részéig ért a víz az egyes években!

7 10 A gát magassága

9 10

12 13

7 11

2008-ban; 2009-ben; 2010-ben; 2011-ben

Hasonlítsuk össze az egyenlő számlálójú, illetve az egyenlő nevezőjű törteket! 7 7 9 rész < rész < rész 11 10 10 1-hez viszonyítsuk azokat, amelyeknek sem a számlálójuk, sem a nevezőjük nem egyenlő! 9 12 rész < rész, mert messzebb van az 1-től. 10 13

9. Kinek az autója fogyaszt többet? Mindegyikről tudjuk, hogy 10 km-en mennyit fogyaszt. 7 3 13 Gondos úr autója litert, Szél úré litert, Kockás úré litert. 5 2 10 Szél úr autója fogyasztja a legtöbbet, mert

10. Írd növekvő sorrendbe a számokat! 12 10

3 15 = 2 10

1 3 2 3 1 5 2 1 11 7 5 , , , , , , , , , , 12 4 3 3 4 6 4 3 12 12 12

1 1 5 2 6 7 2 3 5 11 3 < << < < < <<< < = fél = 4 3 12 4 12 12 3 4 6 12 3

Érdemes számegyenesen is ábrázolni a törteket. 172

7 14 13 = > >. 5 10 10

Törtek 11. Döntsd el, melyik állítás igaz, melyik hamis! Csak pozitív törtekre gondolj! a) Ha két egyenlő nevezőjű tört számlálója megegyezik, akkor a két tört értéke is megegyezik. igaz

b) c) d) e)

Két tört értéke csak akkor lehet egyenlő, ha a számlálójuk és a nevezőjük is egyenlő. hamis Egyenlő számlálójú törtek közül az a kisebb, amelyiknek a nevezője nagyobb. igaz Egyenlő nevezőjű törtek közül az a nagyobb, amelyiknek a számlálója kisebb. hamis Ha két törtnek a számlálója is, a nevezője is különböző, akkor a törtek értéke is különböző. hamis

12. A Központi Statisztikai Hivatal (KSH) adatai szerint 2006-ban a vállalkozók

33 -e, az alkalma50

4 9 1 15 -e, a nyugdíjasok része, a tanulók -e, a munkanélküliek -e használta rendsze25 25 10 4 resen az internetet. Három állítást írtunk az adatokról, egyik közülük hamis. Melyik az? a) A legnagyobb arányban a tanulók használták az internetet. b) Az alkalmazottak a vállalkozókhoz képest kisebb mértékben használták az internetet. c) A nyugdíjasok aránylag nagyobb része használta az internetet, mint a munkanélkülieké.

zottak

A c) hamis állítás, a többi igaz.

13. Hány méter a kifejlett cápa, ha hossza 3 m és még a hossza felének a fele? 14. A 100 méteres síkfutás iskolai döntőjében az 5., 6., 7. és 8. osztályokból egy-egy gyerek 3 indult. A következőket tudjuk: a hatodikos fiú a pálya részénél tart, a nyolcadikos fiúnak 4 1 4 a távolság -ánál több van még hátra. András részét tette meg a távnak. A legfiatalabb fiú 3 5 10 méterre van a céltól. Négy méter. Ki fut az élen? Ki fut leghátul? A legfiatalabb fut az élen. A nyolcadikos fiú fut leghátul. Azt célszerű nézni, hogy kit hány méter választ el a céltól: a legfiatalabbat 10 m, a 6. osztályost 25 m, a 7. 1 osztályost 20 m, a 8.-ost több mint 33 m. 3

9–10. óra: Törtek egyszerűsítése és bővítése Tk.: 170–174. oldal, 1–15. feladat Az órák célja: a törtek összehasonlítása bővítéssel, illetve egyszerűsítéssel. A bővítés és egyszerűsítés törvényszerűségeinek kimondása és rögzítése. A törtek összeadásának előkészítése. Az egymás alá elhelyezett, azonos egységű számegyenesek (színes rudak) nagyon jól alkalmazhatók a bővített és egyszerűsített alakok megadásakor. A bővítés, illetve egyszerűsítés eljárásának igazolását többféleképpen megtehetjük: a) feleakkora, harmadakkora: : : részekből, kétszer annyi, háromszor annyi: : : rész kell ugyanannak a mennyiségnek, számnak a kirakásához. Ez megfordítva is igaz: kétszer, háromszor: : : akkora részekből feleannyi, harmadannyi: : : kell ugyanannak a mennyiségnek, számnak a kirakásához; 173

Törtek

3 b) addig a gondolatig, hogy ha 3-mal bővítjük a törtet, tulajdonképpen -dal = 1-gyel szorzunk, 3 nagyon kevés gyerek jut el (nem baj, ne erőltessük); c) a hányados változásaival való magyarázat feltételezi, hogy a gyerekek fejében a tört fogalma már összekapcsolódott a hányados (osztás) fogalmával, hiszen csak így lehet azt megérteni, hogy ha az osztót és az osztandót ugyanazzal a nullától különböző számmal szorozzuk vagy osztjuk, a hányados (tört) értéke nem változik. A szabály bemagoltatásával nagy kárt teszünk, mert minden összekeveredik később az olyan gyerekek fejében a tört osztásakor és szorzásakor, akik a maguk járta úton nem jutnak el a szabály helyességének belátásáig.

Feladatok 1. Írj a sorok végére írt törtekkel egyenlő törteket! Segít a rajz! 1 4 1 2

0

1 3

1 2

2 3

3 4 1 2 =? 2 3 =? 1 4 =? 2 5 =? 3 6 =? 1 7 =? 6 8 =? 3 9 =? 8 10 = ?

1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10

1 2 3 4 = = = ::: 2 4 6 8 2 4 6 8 ::: = = = 5 10 15 20 9 12 6 3 = = = ::: 8 4 12 16

2 4 6 8 ::: = = = 3 6 9 12 3 6 9 12 ::: = = = 6 12 18 24 6 2 3 1 = = = ::: 9 3 18 6

1 2 3 4 ::: = = = 4 8 12 16 1 2 3 4 ::: = = = 7 14 21 28 4 12 24 8 = = = ::: 10 5 15 30

2. A zenében is nagy szerepe van a törtek bővítésének. Az egész kotta jele:

, a fél kottáé: ,

a negyed kottáé: , a nyolcad kottáé: , a tizenhatod kottáé: . A fél kotta az egész kotta fele, mert feleannyi ideig tart. A negyed az egész kotta negyede, mert negyedannyi ideig tart, és így tovább. A ritmusértékekkel ugyanúgy lehet számolni, mint a törtszámokkal. 1 1 2 Például: = , ugyanez számokkal: = + 4 8 16 Igazak-e az alábbi egyenlőségek? El tudod-e tapsolni a ritmusokat? a) 174

=

4 Hamis, mert 2 . 4

b)

=

8 Hamis, mert 2 . 8

Törtek

c)

2 1 2 2 + + . 4 4 8 16 4 1 1 1 2 2 1 Igaz, mert + + + = + + . 16 8 4 8 8 8 4

=

Hamis, mert 1 +

d)

=

3. Frédi mindenből ugyanannyit szeretett volna venni, mint amennyit Béni. Bénit ez bosszantotta, ezért Frédi minden mennyiséget másképpen írt le, mint Béni. Béninek gyenge pontja volt a matematika, ezért nem vette észre a turpisságot, Frédi pedig csak a vásárlás után jött rá, hogy egy számot elhibázott. Keresd meg, hol hibázott Frédi! Frédi a kenyér tömegének a mérőszámát írta le rosszul. Helyesen: 2

1 5 55 = = . 2 2 22

4. Add meg a törtek bővített és egyszerűsített alakjait! Kétféleképpen gondolkozz! Például: a)

3 6 9 3 3·4 12 12 = = vagy = = = 5 5·4 20 5 10 15 20

3 = ; 4 12

=9

b)

5 20 = ; 6

c)

= 24

12 3 = ; 16

=4

d)

= 12

d)

8 = ; 16 2

=1

5. Add meg a hiányzó számlálókat! 1 = ; 2 6 5 e) = ; 6 12 14 i) = ; 16 8

a)

=3 = 10 =7

1 = ; 3 9 6 f) = ; 10 5 24 j) = ; 10 5

b)

3 = ; 4 16 6 g) = ; 12 4 c)

=3 =3

=2

4 = ; 5 15 10 h) = ; 15 3

= 12 =2

= 12

6. Rajzolj egy 15 cm hosszú szakaszt! 1 1 3 2 4 1 5 a) Jelöld rajta az -át, -ét, -ét, -át, -ét, -ét, -ét! 3 2 15 3 5 5 15 3 1 = 15 5

1 5 = 15 3

2 5

1 2

2 3

4 5 1 2 4 5 2 6 4 12 1 b) Olvasd le, hány tizenötöd részből áll rész, rész, rész! = , = , = 3 15 5 15 5 15 3 5 5 1 7 3 5 7 c) Sorolj fel olyan törteket, amelyeket nem lehet tizenötödökkel kifejezni! , , , , stb. 2 8 10 4 6

Általánosan is megfogalmazhatjuk: az olyan törteket nem lehet tizenötödökkel kifejezni, melyek legegyszerűbb alakjának a nevezője nem osztója a 15-nek. Itt ismét szó eshet arról, hogy a nulla nem lehet a tört nevezője, és nem osztója a 15-nek. 7. Bővítsd a törteket tizedekké! Mit vettél észre?

1 3 7 11 2 7 , , , , , 2 5 2 5 3 4

1 5 3 6 7 35 11 22 2 7 = , = , = , = . A és a nem írható fel 10 nevezőjű törtként. 2 10 5 10 2 10 5 10 3 4

175

Törtek 1 1 5 1 2 7 11 4 3 8. a) Bővítsd a törteket tizenkettedekké! , , , , , , , , 2 3 6 4 3 6 6 3 4 1 6 1 4 5 10 1 3 2 8 7 14 11 22 4 16 3 9 = , = , = , = , = , = , = , = , = 2 12 3 12 6 12 4 12 3 12 6 12 6 12 3 12 4 12

b) Keresd meg a helyüket a számegyenesen! 0

1 4

1 3

1 2

2 3

3 4

1

5 6

7 6

4 3

11 6

9. Keresd meg a törtek legegyszerűbb alakját! Találsz-e köztük olyat, amelyik nem egyszerűsíthető? 4 1 10 1 14 7 14 2 8 1 7 1 a) = , = , = , = , = , = 8 2 20 2 16 8 21 3 24 3 28 4 13 50 5 30 3 120 3 75 3 26 b) = 2, , = , = , = , = 13 21 30 3 40 4 200 5 100 4 10. Add meg a hiányzó számokat úgy, hogy az egyenlőség igaz legyen! 72 36 18 9 3 72 36 18 9 3 24 12 6 a) = = = = = = = = = = = = = = 48 16 8 4 48 16 8 4 24 12 6 2 60 4 60 12 4 b) = = = = 75 15 75 15 5 11. a) Számítsd ki, hány dm! Például:

1 5 m= m = 5 dm 2 10

3 m 2

5 m 2

1 m 5

4 m 5

7 m 5

15 dm

25 dm

2 dm

8 dm

14 dm

b) Számítsd ki, hány méter! Például: 12 dm = 4 dm

16 dm

35 dm

42 dm

55 dm

4 2 m= m 10 5

16 8 m= m 10 5

35 7 m= m 10 2

42 21 m= m 10 5

55 11 m= m 10 2

12. a) Számítsd ki, hány perc! Például:

1 15 óra = óra = 15 perc 4 60

1 óra 2

2 óra 3

1 óra 5

4 óra 5

30 perc

40 perc

12 perc

48 perc

b) Számítsd ki, hány óra! Például: 8 perc =

176

12 6 m= m 10 5

8 2 óra = óra 60 15

20 perc

6 perc

24 perc

3 perc

1 óra 3

1 óra 10

2 óra 5

1 óra 20

2

Törtek

c) Számítsd ki, hány óra! Például:

16 2 nap = nap = 16 óra 3 24

3 nap 4

5 nap 6

1 nap 12

11 nap 12

7 nap 6

23 nap 2

18 óra

20 óra

2 óra

22 óra

28 óra

276 óra

36 óra

40 óra

d) Számítsd ki, hány nap! Például: 8 óra = 3 óra

4 óra

1 8 nap = nap 24 3

6 óra

10 óra

1 4 1 6 1 10 5 36 3 40 5 3 nap = nap nap = nap nap = nap nap = nap nap = nap nap = nap 24 8 24 6 24 4 24 12 24 2 24 3

13. Add meg a hiányzó számlálókat és nevezőket! Hány megoldást kaphatunk az egyes esetekben? a) a)

b)

c)

2

=

8

b)

10

=

28

c)

12

=

4

1 2 4 8 16 16 8 4 2 1

·

= 16

1 2 4 5 7 8 10 14 20 28 35 40 56 70 140 280 280 140 70 56 40 35 28 20 14 10 8 7 5 4 2 1

·

= 280

1 2 3 4 6 8 12 16 24 48 48 24 16 12 8 6 4 3 2 1

·

= 48

a) Öt számpár, Az a) feladatban a minimum ximum 28.

b) 16 számpár,

c) 10 számpár teszi igazzá.

1 1 , a maximum 8 egész. A b) feladatban a minimum , a ma2 10

1 , a maximum 4. Az osztó és többszörös, illetve az egyszerűsítés 12 és a bővítés segítségével oldható meg a feladat. Átlagos képességű osztályban is ajánljuk az a) feladat megoldását. A c) feladatban a minimum

14. Hány olyan, tovább már nem egyszerűsíthető tört van, amelynek a nevezője 100? Minden tört ilyen, amelyre igaz, hogy a számlálójának és a 100-nak az 1-en kívül nincs más közös osztója. Végtelen sok ilyen tört van.

15. Tizenketten vándoroltak az úton, férfiak, asszonyok és gyerekek. A 12 ember 12 kenyeret vitt. Minden férfi 2 kenyeret, minden asszony fél kenyeret, minden gyerek negyed kenyeret. Hány férfi, hány asszony és hány gyerek vándorolt az úton? 5 férfi, 1 asszony, 6 gyerek vándorolt az úton.

177

Törtek 11–14. óra: Törtek összeadása és kivonása Tk.: 174–179. oldal, 1–18. feladat Az órák célja: az egyenlő és különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása. Bővítés és egyszerűsítés segítségével különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása. A különböző nevezőjű törtek összeadásakor és kivonásakor hasznos betartani a fokozatokat: – az egyik tört nevezője többszöröse a másik nevezőnek, – egyik sem többszöröse a másiknak, de könnyen kitalálható a legkisebb közös többszörös (például a két nevező relatív prím), a szorzatuk biztosan jó, – nehezebb a két nevező legkisebb közös többszörösét megtalálni. A gyerekek a két nevező szorzatát szokták közös nevezőként megadni. Általában ez elég jó módszer (kicsi nevezők esetén), de olykor nagyon nagy nevezőkhöz jutunk így. Ha kéttagú összeget jól adnak össze már, érdemes áttérni a három-, egyszerűbb esetekben négytagú összegekre. Ügyes csoportosításokat kerestethetünk a gyerekekkel. A negatív törtek összevonását csak akkor kezdjük el, ha az a pozitív törtekkel már nem okoz gondot. A negatív törtek kivonása csak az egészekkel való műveletvégzés ismétlése után következhet. Gyengébb képességű osztályokban el is hagyható. A tanult műveleteket alkalmazzuk szöveges feladatok megoldásában, szabályjátékokban, sorozatokban, területek meghatározásában. Előkészítjük a tört természetes számmal való szorzását és osztását. A törtekkel való műveleteket a legkisebb közös többszörös és a legnagyobb közös osztó tanítása után a 6. osztályban fogjuk elmélyíteni.

Feladatok 1. a) Mekkora része színes a négyzetnek? 96 24 76 19 4 24 = = = = B : 1 − 100 A: 1 − 100 100 25 100 25

b) Mekkora része nem kék a négyzetnek? 28 24 72 18 19 A: 1 − 100 B : 1− = = = 100 25 100 25

c) Mekkora része piros vagy sárga a négyzetnek?

A

B

20 10 36 56 14 32 42 21 A: 100 B : 100 + = = = = = 100 100 25 100 10 50

2. Végezd el a műveleteket! a)

4 2 6 + = =2 3 3 3

7 3 5 15 + + = 8 8 8 8 5 11 g) 2 + = 3 3 d)

178

b)

7 3 10 5 + = = 8 8 8 4

c)

8 2 10 5 + = = 4 4 4 2

4 6 10 7 13 + + =4 f) 3 + = 5 5 5 2 2 4 6 8 10 12 40 5 h) + + + + +2= +2=7 7 7 7 7 7 7 7 e)

Törtek 3. Számítsd ki a hiányzó számlálókat! a)

7 3 + =1 10 10

b)

5 13 + =2 9 9

c)

7 11 4 + = 5 5 5

d)

7 3 8 + = 3+ 4 4 4

4. Milyen műveleti jel hiányzik az egyes feladatokban? a)

3 8 5 = + 2 2 2

d)

5 7 12 12

< 1

3 < 8

b)

7 2 =1 + 9 9

c)

3 5 8 8

e)

8 5 = −1 3 3

f)

0 2 2 = + 5 5 5

5. Egy régi kínai tangram 7 eleméből vagy kövéből az ábrán látható négyzetet és még sok érdekes figurát lehet kirakni. Például ez a vitorláshajó-figura is ezekből építhető meg. a) Írólapból hajtogasd meg a tangram elemeit, színezd meg a „köveket”, és vágd ki! Rakd ki a kék figurát! Az internet táblajátékos oldalain játszhatsz a kínai tangrammal. b) Legyen az összes kőből felépíthető négyzet területe 1! A) Az ábrák alá a színesen hagyott kövek területeinek összegét írtuk. Melyik a „kakukktojás”? Add meg a betűjelét! Válaszodat indokold meg! A

B

C

D

1 3 5 1 1 helyesen 4 2 8 16 8 B) Bence is készített egy feladványt. Így szól: „Olyan köveket hagyj meg, melyek területe7 inek összege !” Kata ezt a megoldást készítette. Melyik a „kakukktojás”? Válaszodat 16 indokold meg! A

B

C

D

a színes lapok területeinek összege

1 2

c) Ti is készítsetek ezekhez hasonló feladványokat párotoknak! 179

Törtek 6. Végezd el az összeadásokat! a)

1 1 3 + = 2 4 4

b)

1 3 5 + = 2 4 4

c)

1 1 4 2 + = = 2 6 6 3

d)

1 5 8 4 + = = 2 6 6 3

e)

5 1 7 + = 6 3 6

f)

3 5 14 7 + = = 2 6 6 3

g)

1 3 5 + = 4 8 8

h)

3 5 7 + = 4 12 6

i)

5 7 17 + = 6 12 12

j)

3 7 16 + = 5 15 15

b)

3 1 5 − = 4 8 8

c)

3 1 8 2 − = = 4 12 12 3

d)

7 3 1 − = 16 8 16

7. Végezd el a kivonásokat! 2 1 3 1 − = = 3 6 6 2 7 7 14 7 e) − = = 2 6 6 3

a)

8. Végezd el az összeadásokat és a kivonásokat! a)

1 1 5 + = 2 3 6

b)

1 2 7 + = 2 3 6

c)

1 1 7 + = 3 4 12

d)

2 3 17 + = 3 4 12

e)

3 4 23 + = 2 5 10

f)

1 1 1 − = 5 6 30

g)

7 3 23 − = 4 5 20

h)

8 1 9 − = 7 2 14

i)

7 3 1 − = 9 4 36

j)

8 1 7 − = 9 2 18

9. „Többet ésszel, mint erővel!” Keress egyszerű megoldásokat a műveletek elvégzésekor! 2 1 1 4 4 1 5 6 4 1 2 4 9 a) + + + = 2 b) + + + = 2 c) + + + =1 3 5 3 5 9 7 9 7 6 3 20 5 10 5 7 9 7 2 10 15 2 50 4 2 10 8 1 d) + + − = 4 e) − − + =0 f) + − − =− 3 2 3 2 3 20 3 4 10 10 5 50 10 5 10. Keress olyan sorozatokat, amelyeknek ez az első három elemük! Írd fel a sorozatok további három elemét! 1 5 7 9 11 1 1 1 3 5 7 1 1 2 7 11 16 a) , 1, , , , b) − , − , , , , c) , , , , , 3 3 3 3 3 2 6 6 6 6 6 6 3 3 6 6 6 a) Egy számtani sorozat lehet, a különbség

2 . 3

b) Egy számtani sorozat lehet, ahol a különbség

1 . 3

1 -dal nő. 6 Természetesen a gyerekek más szabályok szerint is folytathatják a sorozatokat. c) Egy olyan növekvő sorozat lehet, ahol a tagok különbsége

11. Válogatás a Társadalomkutatási Intézet (TÁRKI) kutatási eredményeiből: a) Az intézet a szülők véleményét kérte gyermekeik internethasználatáról. Három lehetőség kö3 zül választottak: „túl sokat”, „éppen megfelelő ideig”, „túl keveset”. A szülők -a szerint 20 1 a gyermeke túl sokat internetezik, az része szerint túl keveset. 10 180

Törtek A szülők mekkora része nyilatkozott úgy, hogy éppen megfelelő ideig internetezik a gyermeke?

30 3 = része 40 4

b) A válaszoknak megfelelő diagramot készítettünk. Milyen szín jelöli a diagramon a „túl sokat” választ adók arányát? sárga Milyen szín jelöli a diagramon az „éppen megfelelő ideig” választ adók arányát? piros c) Kérdezzétek meg a szüleiteket, mi a véleményük a ti internetezési szokásaitokról! Összesítsétek szüleitek válaszait! Vessétek össze a kapott adatokat az országos mérés eredményével! 12. a) Egy ember átlagosan az egy nap alatt fogyasztott vízmennyiség

1 -át mosásra, tisztításra, 3

1 -át ivásra, főzésre, a többit tisztálkodásra és WC-öblítésre használja. A teljes napi vízfo30 gyasztásnak mekkora része ez? 19 2 része, ez körülbelül -a a napi vízfogyasztásnak. 30 3

b) A csoportoddal gyűjtsetek legalább öt víztakarékossági tanácsot! 13. Melyik két edény tartalmát öntsük össze, hogy éppen a) másfél liter,

b)

1 liter, 2

c)

7 liter, 10

d) 12 dl vizet kapjunk?

1 liter

A

a)

A + B, A + G,

B

C

b)

D

D + F,

c)

E + F,

E

F

G

d) Két edénnyel nem lehet megoldani.

14. A számpiramis két szomszédos mezőjében szereplő számok összege adja a felettük lévő mezőbe kerülő számot. A B C 11 9 a) Melyik piramis legfelső mező1 8 8 jébe kerül a legnagyobb szám? 5 5 3 3 6 3 Becsülj! A füzetedben számolj! Az A jelű piramis legfelső mezőjébe kerül a legnagyobb szám.

4 1 4

8

8 1 8

1 2

1 8

1 2

A

b) Melyik piramis legfelső mezőjébe kerül a legnagyobb szám? Becsülj! A füzetedben számolj! 8 9 2 3

1 4

1 8

15 10 7 9

4 5

1 2

C

19 8 11 8

1 7 10

8 1 4

25 10 1

2 9

8

B

17 9

A B jelű piramis legfelső mezőjébe kerül a legnagyobb szám.

8

3 10

3 4

1 5 8

3 8

181

Törtek

A

c) Milyen számok kerülnek az üres mezőkbe?

4

1 10

24 10 3 2

B 10 17 10

9 10

5 8 10

2

1 2

C

5 6

5 6

5 5

3

1 3

2 1

2 3

3 10

9 10

1

1 5 2 2 5

9 10 1

1 2

15. Láncszámolás – A legelső műveletsor eredményét a -val jelöltük. Ezzel az értékkel számolj tovább, vagyis az első eredményt helyettesítsd be a második feladatba az a betű helyére! A második feladat eredményét b-vel jelöltük, ezt a harmadik műveletsorba kell behelyettesíteni, és így tovább. Próbáld meg fejben végigszámolni a láncot, és meghatározni, hogy az utolsó betű milyen számot jelent! 1 1 1 2 1 16 1 3 21 5 = , a = + + , a = 1, b=a− , b= , c=b+1 , c= , d=c− , d = 5 10 10 2 2 3 6 5 2 10 45 e=d− , e = ? e = 0, 90 16. a) Olvasd le a helikopter betűvel jelölt pontjainak a koordinátáit!

A

5 3 , ; 4 2

B (0 1), C

1 − ;0 , 2

D

1 1 − , 2

E

3 ;0 , 2

F (4; 1)

3 b) Adj mindegyik pont első jelzőszámához -et! 2 Az új első jelzőszámok rendre ezek lesznek:

11 3 1 1 , , 1, 2 , 3, 5 4 2 2 2

c) Rajzold le a füzetedbe, hová kerül a helikopter! Add meg az új jelzőszámokat! y A B

0

C1

F

3E

2

4

5

x

D 1

d) Hány egység a helikopter területe, ha ez az 1 egység? 62 egység. 17.

1 1 1 1 1 1 1 1 4609 1 2 3 4 5 6 7 8 15 551 + + + + + + + = és + + + + + + + = 2 3 4 5 6 7 8 9 2520 2 3 4 5 6 7 8 9 2520 Tudnád valahogy „ellenőrizni” az eredményeket? Mindkét eredmény helyes. Sok apró „trükköt” vetnek be a gyerekek a megoldás során. 1 1 3+2 5 1 1 5+4 9 1 1 7 + 6 13 Például: + = = , + = = , + = = stb. 2 3 2 · 3 6 4 5 4 · 5 20 6 7 6 · 7 42

182

Törtek

Ha „csak” bővítjük a törteket, ezt kapjuk: 630 504 420 360 315 280 4609 1260 840 + + + + + + + = 2520 2520 2520 2520 2520 2520 2520 2520 2520 A második összegben elegendő csak a számlálók többszörösét venni így: 1260 + 2 · 840 + 3 · 630 + 4 · 504 + 5 · 420 + 6 · 360 + 7 · 315 + 8 · 280 = = 1260 + 1680 + 1890 + 2016 + 2100 + 2160 + 2205 + 2240 = 15 551 15 551 lesz. Az összeg: 2520 De az igazán szép megoldás az, ha összeadjuk az egyenlőségek megfelelő oldalait. Ekkor a bal oldali 20 160 összegre 8-at kapunk, a jobb oldalira pedig = 8-at, tehát lehet, hogy tényleg nem követtek el hibát 2520 a számolásban.

18. Milyen számok kerülhetnek a nevezőbe?

1

+

1

+

1

=1

3 3 3

4 4 2

6 3 2

15–16. óra: Törtek szorzása természetes számmal Tk.: 180–183. oldal, 1–11. feladat Javasolt eszközök: óra, színesrúd-készlet Az órák célja: a tört természetes számmal való szorzásának értelmezése többféleképpen: • azonos tagokból álló összegként; • egységtörtek többszöröseként; • a tört változásai alapján. 3 3 3 3 3 Most még fontos a tényezők sorrendje, ami az első értelmezésből adódik: + + + ⇒ a -et 2 2 2 2 2 3 4-szer vesszük összeadandóul. Röviden így írjuk: · 4. Ha a tényezőket felcseréljük, a törttel való 2 szorzáshoz jutunk, amelyet csak a 6. évfolyamon fogunk értelmezni. Amikor az első értelmezés szerint már jól begyakoroltuk a szorzást, áttérhetünk a másik értelmezésre. Rámutatunk arra, hogy már tudnak természetes számmal szorozni, mert a tört változásai során beláttuk, hogy a tört értéke akkor lesz kétszer, háromszor akkora, ha a számláló kétszer, háromszor akkora lesz, vagy ha a nevező felére, harmadrészére csökken. Úgy is szorozhatunk tehát 3-mal, hogy a nevezőt 5 5·3 5 5 osztjuk 3-mal. Például: · 3 = = = . 6 6 6:3 2 A negatív törtek szorzását az ellentettjük szorzására is visszavezethetjük. Előtte célszerű átismételni a negatív egészek szorzását természetes számmal.

Feladatok 1.

Mekkora részét teszi meg a teljes körnek a kismutató 1 12 5 c) 5 óra alatt; 12

a) 1 óra alatt;

2 1 = 12 6 10 5 d) 10 óra alatt? = 12 6

b) 2 óra alatt;

183

Törtek 2. a) Ha ez a rúd az 1, akkor ebből a rúdból hányat toljunk egymás mellé, hogy az így kapott hosszabb rúd pontosan kirakható legyen ilyen rudakkal? Legkevesebb hány kék rudat kell egymás mellé tolni? 2, 4, 6: : : Legkevesebb 2 rudat kell összetolni.

b) Most ez a rúd az 1, és ilyen rudakat tolunk egymás mellé. Hány piros rudat toljunk egymás mellé, hogy az így kapott hosszabb rúd pontosan kirakható legyen kék rudakkal? Legkevesebb hány piros rudat kell egymás mellé tolni? 3, 6, 9: : : Legkevesebb 3 rudat kell összetolni.

c) Most ez a rúd az 1, és ilyen rudakat tolunk egymás mellé. Hány rózsaszín rudat toljunk egymás mellé, hogy az így kapott hosszabb rúd pontosan kirakható legyen sárga rudakkal? Legkevesebb hány rózsaszín rudat kell egymás mellé tolni? 5, 10, 15: : : Legkevesebb 5 rudat kell összetolni.

A feladattal a tört pozitív egész számmal való szorzását vezethetjük be. Színes rudakat rakhatunk ki a feltételeknek megfelelően, és szorzásokat olvashatunk le azokról. Például: a) b) c) 3 6 ·2 = =3 2 2

4 12 ·3 = =4 3 3

2 10 ·5= =2 5 5

3. Írd fel az összegeket szorzat alakban! Számítsd ki az eredményeket! 2 2 2 4 1 1 Írd fel a törtet más alakban is! Például: + = · 2 = = 1 + = 1 3 3 3 3 3 3 5 5 5 10 5 2 2 2 2 6 = b) + + = · 3 = a) + = · 2 = 6 6 6 6 3 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 30 1 1 1 1 3 c) + + + + = · 5 = = 6 d) − + − + − = − ·3=− 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

e)

5 5 5 5 − + − + − + − 2 2 2 2

5 15 = − ·3=− 2 2

4. Milyen szorzásokhoz készítettünk rajzot? a) 1 ⇒ ⇒

b)

1 5

1

184

⇒

3-szor

⇒

⇒ 1

5 4

4-szer

5

·3=

⇒

3 5

20 5 ·4= =5 4 4

Törtek 5. Végezd el a szorzásokat! 21 7 a) · 3 = b) 8 8 5 5 e) ·3 = f) 12 4

9 9 ·5= 10 2 7 56 ·8= = 28 2 2

6. Melyik a „kakukktojás”? 2 ·3 2:9·3 9 Mindegyik

2 , kivéve a 3

7 11 11 ·3=7 d) ·4= 3 8 2 2 22 g) · 11 = 3 3 c)

3 ·2 9

2 9:3

2·9:3

2 · 9 : 3 -at, az utóbbi 6-ot ér.

7. A bibliai Noé bárkájának hossza 300 sing, szélessége 50 sing, magassága 30 sing volt. 3 1 sing = m 4 Add meg ezeket a méreteket méterben! Hossza 225 m, szélessége 37

1 1 m, magassága 22 méter. 2 2

8. Gergő biciklikerekének kerülete Nem, csak 97

15 méter. Megtesz-e 52 fordulattal 100 métert? 8

1 m-t. 2

9. Egy négyzet alakú telek oldala 25 1 2

3 m. Milyen hosszú kerítéssel lehet bekeríteni, ha 2 és fél 4

10. Hány m2 üveg kell a rajzon látható akváriumnak az elkészítéséhez, ha nincs teteje? 5 Hány liter víz fér bele, ha az akvárium részét tölti ki 6 víz?

1m

métert kihagynak kapunak? 100 m

6 m2 üveg kell. Az akvárium térfogata 1 m3 . 5 1 A benne levő víz m3 , ami 833 liter. 6 3

2m

1 2

m

Az utóbbi három feladat űrmérték-, kerület- és térfogatszámítás törtszámokkal. Mindenképpen fontosnak tartjuk a megoldásukat. A gyerekek egy része átváltással igyekszik kikerülni a törtekkel való műveletvégzést. Célszerű megoldani a feladatot így is és úgy is. 11. Keress olyan számot, amelyet az a) a tört kétszeresét, 3

1 számlálójához és nevezőjéhez is hozzáadva 3 b) a tört háromszorosát kapjuk! Nincs ilyen szám.

185

Törtek 17–18. óra: Törtek osztása természetes számmal Tk.: 183–186. oldal, 1–14. feladat Az órák célja: a törttel való osztás értelmezése többféleképpen: – részekre osztásként, – a tört változásai alapján. Először részekre való osztásnak fogjuk fel: így aztán ha a számláló többszöröse az osztónak, világos a gyerekek számára, hogy az osztás elvégezhető. Pl.: 4 ötöd : 2 = 2 ötöd. Ha a tört változásait vizsgáljuk, azt tapasztaljuk, ha a számlálót felére, harmadára, negyedére: : : változtatjuk, a tört értéke is ugyanúgy változik (sok tapasztalatuk van már evvel kapcsolatban). Megvizsgáljuk azt is, ha a nevezőt változtatjuk 2-szeresére, 3-szorosára: : : , a tört értéke ugyanúgy változik, mint az imént, amikor a számlálót változtattuk. Mindig akadnak olyan gyerekek, akik azt a problémát, hogy a számláló nem osztható az osztóval, bővítéssel oldják meg. 7 7·4 7 Például: : 4 = :4= A hiányzó szorzótényező keresésével is a hányadoshoz ju3 3·4 12 7 tunk: mit szorozzunk meg 4-gyel, hogy -ot kapjunk? Nyitott 3 7 mondattal leírva: · 4 = . 3

Feladatok 1. Olvassatok a rajzról! A lila rúd legyen az 1! Mennyit ér akkor a) a fehér rúd;

1 6

b) öt fehér rúd;

c) a rózsaszín rúd fele;

1 6

e) a kék rúd kétszerese; 1 h) a piros rúd fele;

1 3

d) a kék rúd;

5 6

1 2

f) a kék rúd fele;

1 4

i) a piros rúd negyede;

g) a piros rúd; 1 6

2 3

j) a kék rúd öt harmada?

5 6

A gyerekek is feltehetnek egymásnak hasonló kérdéseket. 2. Hogyan készül az aranysárga palacsinta? Hozzávalók 12 darabhoz: 1 1 kg liszt, l tej, 3 tojás, 1 teáskanál sütőpor, 1 csipet só, kevés cukor. 4 2 A tejet összekeverjük a felütött tojásokkal, a sütőporral, a sóval és a cukorral. A lisztet 3-4 kanalanként elkeverjük a tejjel. A végén csomómentesen összekeverjük (használhatunk turmixgépet). Serpenyőben olajat forrósítunk, majd vékony réteg masszát öntünk bele. A palacsinta mindkét oldalát aranysárgára sütjük. a) Mennyit vennél lisztből, tejből és tojásból A) 4, B) 24, C) 36, D) 48 darab palacsinta elkészítéséhez?

186

Törtek

db

12 1 4 1 2 3

liszt (kg) tej (l) tojás (db)

4 1 12 1 6 1

24 1 2

36 3 4 3 2 9

1 6

48 1 2 12

b) Mondd el a párodnak emlékezetből az aranysárga palacsinta elkészítésének lépéseit! A párod eközben nézheti a könyvet, javítja a hibáidat. Ha hibátlanul elmondtad, akkor cseréljetek szerepet a pároddal! 3. Az

5 : 3 osztást így lehet ábrázolni: 2

1 ⇒ 1 1 1 1 1 ⇒ 1 ⇒ 2 2 2 2 2 2

5 2

5 5 :3= 2 6

⇒

1 1 1 1 1 6 6 6 6 6

5 6 Olvasd le a rajzról a hányadosokat! a)

1 1 :4= 2 8

1=

b)

8 8

3 3 :2= 4 8

1=

c)

8 8

1 1 :3= 5 15

1=

d)

2 2 : 3= 5 15

15 15

1=

e)

15 15

2 2 1 5 5 :4= = f) : 2 = 3 12 6 6 12

1=

12 12

1=

12 12

4. Végezd el az osztásokat! a)

3 1 :3= 2 2

b)

8 2 :4= 9 9

12 4 :3= 5 5

c)

d)

20 2 : 10 = 3 3

e)

50 2 : 25 = 9 9

5. Válassz ügyesen egységet az osztások lerajzolásához! Például:

M˝uvelettel:

2 fele ⇒ 3

⇒

1 a)

3 fele 4

⇒

⇒

2 1 :2= 3 3

2 2 fele 3 3 3 b) felének a harmada 4

c)

3 hatoda 4

187

Törtek

⇒

a)

⇒

3 4

1

e)

f)

4 3

4 nyolcada 3

4 2 :2= 3 3

fele

⇒

4 3

fele

⇒

⇒

4 3

1

3 3 1 :6= = 4 24 8

⇒

4 3

⇒

⇒

1

f)

4 3

⇒

felének a harmada

4 felének a negyede 3

⇒

4 3

1 3 :2:3= 4 8

hatoda

⇒

1

e)

3 4

3 4

⇒

⇒

⇒

fele

3 4

d)

3 4

4 fele 3

fele

⇒

1

3 3 :2= 4 8

⇒

3 4

⇒

⇒

1 c)

3 4

⇒

b)

d)

⇒

4 3

4 2 1 :2:4= = 3 12 6

felének a negyede

4 4 1 :8= = 3 24 6

nyolcada

Sok gyerek számára egyáltalán nem nyilvánvaló, hogy egy szám felének a harmada a szám hatodával egyenlő, sőt az sem, hogy ez a szám harmadának a felével egyenlő. Ezeknek az összefüggéseknek egy újabb megtapasztalását is jelentheti ez a feladat. 6. Végezd el az osztásokat! a)

7 7 :4= 3 12

b)

8 8 :7= 9 63

7. Melyik a „kakukktojás”? 8 :2 8:5:2 5

188

c)

8:2 5

3 1 :6= 8 16 8 :5 2

d)

30 1 : 12 = 15 6 8 5:2

e)

7 1 : 14 = 21 42

8:2:5

Törtek

Mindegyik

4 , kivéve a 5

8 5:2

, mert ez

8. Egy négyzet alakú szoba kerülete 13

16 -öt ér. 5

3 m. Mekkorák az oldalai? 5

68 17 m:4= m a szoba oldala. 5 5

Hány méter szegélylécet kell vásárolni a parkettázáshoz, ha az ajtó 80 cm, és oda küszöb kerül? 68 4 64 − = (m) szegélyléc kell. 5 5 5

9. Mackó szörnyű gyomorkorgásra ébredt. Nagy éhségében elnyalogatta a kamrájában sorakozó öt teli csupor méz tizedét. Így összesen fél liter mézet reggelizett. Mennyi méz volt egy teli csuporban? 1 1 1 1 10 l méz, egy csupor tizede l : 5 = l méz, egy teli csupor l · 10 = l méz, azaz 2 2 10 10 10 1 liter méz van egy teli csuporban. Öt csupor tizede

10. Egy sorozatnak felírtuk a 4., 5. és 6. elemét. Folytasd a sorozatot mindkét irányban 3-3 elemmel! Azt is írd le, milyen szabály szerint folytattad a sorozatokat! 1 1 2 4 8 16 32 64 128 a) ; ; ; ; ; ; ; ; 6 3 3 3 3 3 3 3 3 4 8 16 32 64 128 1 1 2 b) − ; − ; − ; − ; − ; − − ; − ; − 6 3 3 3 3 3 3 3 3 11. Keress szabályt! Pótold a hiányzó számokat! 21 3

−14

1

−2

1 5 1 35

6 5

3 10

3 2

6 35

3 70

3 14

− −

−

−

1 3

1 21

12. A gyerekek ugyanazzal a törttel végeztek műveleteket. Közülük kik kapták ugyanazt az eredményt? Mara: A tört számlálóját megszoroztam 5-tel, a nevezőt változatlanul leírtam. Kati: A törtet megszoroztam 5-tel. Dezső: A törtet elosztottam 5-tel. Erzsi: A tört számlálóját elosztottam 5-tel, a nevezőjét nem változtattam meg. Gábor: A tört számlálóját és nevezőjét is elosztottam 5-tel. Tamás: A tört számlálóját és nevezőjét is megszoroztam 5-tel. Vera: A törtet bővítettem 5-tel. Sára: A törtet egyszerűsítettem 5-tel. Mara és Kati a tört 5-szörösét kapták. Dezső és Erzsi a tört ötödét kapták. Gábor és Sára a tört egyszerűsített alakját, Tamás és Vera a bővített alakját kapták.

189

Törtek

13. Határozd meg a törtkifejezés értékét, ha az azonos betűk azonos, a különböző betűk különböző számjegyeket jelentenek! C·S·O·D·Á·L·A·T·O·S B·A·L·A·T·O·N A törtkifejezés értéke nulla. Összesen tíz különböző betű szerepel a számlálóban és a nevezőben. Egyik betű nullát jelent mindenképpen, hiszen tíz különböző számjegy van. A nevezőben nem szerepelhet nulla, így csak a számlálóban lévő egyik betű lehet az. A szorzat egyik tényezője nulla, így a számláló is az, emiatt a tört értéke is nulla.

14. Egy doboz vitaminos pezsgőtabletta 70 g, ha 15 tabletta van a dobozban. Ha csak 10 van benne, akkor 50 g. Hány gramm 1 pezsgőtabletta? (15 tabletta + doboz) − (10 tabletta + doboz) = 5 tabletta tömege tömege tömege ⇓ ⇓ ⇓ 70 gramm − 50 gramm = 20 gramm 1 tabletta tömege = 20 gramm : 5 = 4 gramm. Egy tabletta 4 gramm, a doboz 10 gramm.

19–20. óra: Összeg és különbség szorzása és osztása természetes számmal, műveletek sorrendje Tk.: 186–188. oldal, 1–8. feladat Az órák célja: az összeg és különbség szorzásáról és osztásáról tanultak felelevenítése és alkalmazása arra az esetre is, ha a tagok törtek. A vegyes törtet kétféleképpen szorozhatjuk, oszthatjuk természetes számmal. Ha az egész rész osztható az osztóval, akkor célszerű tagonként osztani. 7 7 7 Például: 36 : 6 = 36 : 6 + : 6 = 6 . 8 8 48 Sok példát hozunk újra arra, hogy ha a törtet szorozzuk a nevezőjével, akkor a szorzat a tört 5 5 számlálója lesz. Például: 4 · 9 = 4 + · 9 = 36 + 5 = 41. 9 9 A műveletek sorrendjét átismételjük, és alkalmazzuk szöveges feladatok megoldásakor.

Feladatok 1. Végezd el a műveleteket kétféleképpen!

a)

d)

3 1 8 ·2 = + 5 5 5

b)

4 5 41 1 + ·2 = = 4+ e) 5 4 10 10

5 g) 1 · 6 = 11 6 190

1 3 25 ·5= + 4 8 8

1 3 1+ ·3=3 5 5

1 2 1 h) 3 · 2 = 6 + = 6 + 4 4 2

c)

1 3 13 ·2= + 3 4 6

3 f) 2 · 4 = 13 4

Törtek 2. Melyik nagyobb? Mennyivel? 3 1 >3 1 − a) · 3 vagy − · 3 4 4 4 4 3

c)

-del

2

4 5 < · 6 vagy − 3 2 1 12 +

a)

6 9 + :3=1 5 5

2+

4 5 ·6− 3 2

d)

4

3 3 − ·4 2 4

-del

5 5 = 3−1 · 2 vagy 3 · 2 − 1 · 2 6 6

-del

2

3. Végezd el az osztásokat!

3 3 > b) · 4 − vagy 2 4 1

b)

3 5 1 − :2= 2 6 3

c)

4 1 1 1 3+ :3=1 d) 8 : 4 = 2 4 12 5 5

3 5 14 m m, a másik m? K = 3 6 2 b) Mekkora annak a téglalapnak a kerülete, amelyiknek minden oldala az a) feladatban szereplő

4. a) Mekkora a téglalap kerülete, ha egyik oldala

téglalap oldalainak a fele? Feleakkora lesz a kerülete:

7 m. 3

5. Egy hatszemélyes étkészletből a mély-, lapos- és kistányérokat ugyanabba a dobozba csoma1 3 3 goltuk. Egy mélytányér kg, egy lapostányér kg, egy kistányér kg. 2 8 10 Mennyit nyom a csomag a mérlegen, ha a doboz üresen 1 kg?

A csomag tömege

1 1 3 3 + + (kg). ·6+1= 8 2 8 10 20

6. Egy zenei CD-n a következő hosszúságú (perc : másodperc) zeneszámok vannak: 1. zeneszám 5 : 30 2. zeneszám 4 : 45 3. zeneszám 6 : 15 Mennyi ideig tart ennek a CD-nek az átmásolása két üres lemezre? A) 31 perc

B) 32 perc

C) 32

1 perc 2

D) 33 perc

E) Az előzőek közül egyik sem.

A teljes felvétel ideje 16 és fél perc. Ha kétszer másoljuk át, akkor 33 percig tart a másolás.

7. Mekkora az

A, B , C

háromszögek és a figurák területe, ha a piros háromszög területe 1?

tA = 49 , tB = 91 , tC = 361

t = 2 92

t = 2 21 36

t = 1 95 191

Törtek

8. Milyen műveleti jeleket kell írni a számok közé, hogy igaz legyen az egyenlőség? (Zárójeleket is használhatsz.) 2 1 2 1 16 2 1 a) c) b) + − 5 = −4 − + 5= + · 5=5 3 3 3 3 3 3 3

21–22. óra: Mi a valószínűbb? Tk.: 189–191. oldal, 1–6. feladat Az órák célja: a valószínűség fogalmának kialakítása. A valószínűségi kísérletek statisztikai elemzését végezzük ezen az évfolyamon. Bevezetjük az események relatív gyakoriságának fogalmát. Jó alkalom nyílik a tört mint arány értelmezésére. A gyerekek közül néhányan ezen az órán használni szokták a törtrészek százalék alakját. A kísérleteinkben relatív gyakoriságot számolunk, és minden alkalommal megfigyeljük, hogy ezek milyen szám körül ingadoznak. Ezt az értéket az esemény bekövetkezési valószínűségének nevezzük. A tankönyvben kimondjuk, amit a gyerekeknek tudniuk kell: szabályos dobókockával bármelyik számot 1 hatod valószínűséggel dobjuk; a biztos esemény valószínűsége 1, a lehetetlen eseményé 0. A példákban szereplő kísérleteket is végezzük el a gyerekekkel, a kísérletek elvégzése előtt tippeljenek, érveljenek! Elegendő kísérlet után érdemes csak elemezni a játékot.

Feladatok 1. Balázs 15-ször dobott fel egy kockát. Ezt jegyezte fel: Te is dobj fel egy kockát 35-ször, és jegyezd fel, mit dobtál! a) Írd fel törttel, hogy a dobások mekkora része A) 1-es; B) 6-os; C) páros; D) páratlan! b) Készíts az adatokról oszlopdiagramot! c) A 6-ost vagy az 1-est dobjuk nagyobb eséllyel? Egyenlő a valószínűségük, hiszen a kocka bármelyik lapjára egyenlő valószínűséggel esik.

Érdemes összesíteni az osztály adatait, grafikont készíteni és összevetni a b) feladatban készített diagramokkal. 2. A cukorkatartóban kék és piros csokitojások vannak, a piros mogyorós, a kék marcipános. Kata és Bálint is a mogyorósat szereti, ezért a veszekedést elkerülendő, becsukott szemmel vesznek belőle. Melyik tartóból húznának nagyobb eséllyel mogyorós csokitojást az A, B , C és D esetben? Írd fel törttel is a valószínűségeket!

A

192

B

Törtek 2 A = 36 = 12 < 5

B = 36 = 12 = 24 = 12

C

D

2 1 C = 52 < = 4 4

2 D = 31 < 5

3. Készítsétek el a játéktáblát kartonpapírból! 1. 2. 3. 4. Minden játékosnak szüksége lesz egy bábura. i f i f i f i f Játékszabály: Ketten játsszátok! Felváltva dobjatok egy érmét minden útelágazásnál! Aki fejet dob, jobbra megy, aki i f i f i f írást, balra. A START-tal jelölt pontból indulj! Mielőtt elindulsz, válassz, hogy milyen alakú kapuhoz i f i f szeretnél elérni (rajzold be a táblázatodba)! Ha olyanba jutsz, akkor írj egy pontot a táblázatodba a rajzok alá! i f Másoljátok le a füzetetekbe a következő táblázatot! Minden játékos írja be a saját táblázatába, hogy hánySTART szor jutott az egyes kapukba! A játszmák sorszáma 1 2 és így tovább

Milyen alakú kapuhoz szeretnék elérni?

Ehhez a kapuhoz jutottam. (Írd a kapuba a számát is!)

5.

Ha eltaláltad, ide írj egy pontot!

Összesítsétek az osztály adatait! Készítsetek grafikont az egyes kapuba érések gyakoriságáról! 4. Az előző feladatban játszott játékhoz kapcsolódnak a kérdések. Számítsd ki a valószínűségét az alábbi eseményeknek! Összesen 16 különböző útvonalon juthatunk a kapukba. 1 a) 1. Ebbe a kapuba valószínűséggel juthatunk el. 16 4 1 b) 4. Ebbe a kapuba = valószínűséggel juthatunk el. 16 4 6 3 3. c) Ebbe a kapuba = valószínűséggel juthatunk el. 16 8 1 1 d) Ilyen alakú kapuba 2 · = valószínűséggel juthatunk el. 16 8 1 1 e) Ilyen alakú kapuba 2 · = valószínűséggel juthatunk el. 4 2 6 3 f) Ilyen alakú kapuba = valószínűséggel juthatunk el. 16 8

193

Törtek Összesen ennyiféleképpen juthatunk el ebbe a kapuba:

5. A táblázatból kiolvasható, hogy a mi iskolánk 5. évfolyamán hány tanulónak van mobiltelefonja. Az 5. a osztály adatait grafikusan is ábrázoltuk. Ábrázold grafikusan a füzetedben az 5. b és az 5. c adatait is! Osztály

Létszám

5. a 5. b 5. c

26 28 30

Mobiltelefonok száma 20 16 20

db/f˝o 32 28 24 20 16 12 8 4

az osztály létszáma mobilok száma 5. a

5. b

5. c

6. Egy társasjátékban egyszerre két ugyanolyan szabályos dobókockával dobnak a játékosok. Mindenki annyit léphet előre a pályán bábujával, amennyi a két kockán álló szám összege. Kati 5 lépésnyire, Béla 7 lépésnyire van a céltól. CÉL

Kinek nagyobb az esélye arra, hogy a következő lépésben belép a célba? Bélának van nagyobb esélye, mert a két kockán dobott számok összege hatféleképpen lehet 7, és négyféleképpen lehet 5.

194

Törtek Tudáspróba Tk.: 191. oldal 1. Mely számok helyét jelöltük a számegyenesen?

a

b

4 =− 5

a

1 =− 5

c

b

d

3 = 5

c

0 7 = 5

d

1

2. Írj a helyére olyan természetes számokat, amelyek igazzá teszik a nyitott mondatokat! a) =1 b) > 1 c) < 1 4 4 4 Az összes megoldást keresd meg! Hány megoldást találtál az a), b), c) esetekben? a) = 4 b) : 5, 6, 7: : : c) : 0, 1, 2, 3

Egy szám teszi igazzá. Végtelen sok szám teszi igazzá. Négy szám teszi igazzá.

3. Melyik nagyobb? Tedd ki a megfelelő jelet! (< ,> , =) a)

11 12

5

< 4

b)

7 6

7

> 11

c)

6 7

11

<7

d) −

7

7 6

− < 11

4. Milyen számokat jelölnek a betűk?

6 12 b = 30 = d = = 5 a 15 c 45 e =4=2 12 b) Egyszerűsíts! = 30 15 f g

a) Bővíts!

a = 10 e=6

5. Hasonlítsd össze a törteket bővítéssel! 17 9 9 18 17 a) > = < 4 8 8 8 4 4 27 4 28 27 c) 2 > 2 = > 5 10 10 5 10

b = 18

c = 25

f

g =5

= 10

17 5 12 d) 7 b)

11

d = 54

17 51 = 5 15 12 36 = 7 21

<3 5

> 3

11 55 < = 3 15 5 35 > = 3 21

6. Végezd el a műveleteket! 1 1 3 + = 2 4 4 5 5 d) · 4 = 8 2 a)

1 6 69 b) 2 + = 4 5 20 12 4 e) :3= 7 7

7 5 9 3 − = = 3 6 6 2 3 3 f) : 2 = 4 8

c)

1 1 részét könyvespolcának legfelső sorába tette, részét a középső sorba. 3 4 A legalsó sorba 25 könyv jutott. a) Hány könyve van Péternek?

7. Péter könyveinek

60 könyve van. Ha

5 1 12 rész 25 könyvnek felel meg, akkor rész 5-nek, rész 60-nak. 12 12 12

195

Törtek

b) Könyveinek mekkora részét tette a legalsó polcra? 8. a) Hány óra 2 nap

5 részét. 12

5 része? 40 óra. 6 2 7

b) 2 nap mekkora része a hétnek? -e. 9. A táblázatban azt olvashatod, hogy iskolánk 5. évfolyamán hány gyereknek van testvére. A táblázat segítségével folytasd a diagramok elkészítését az 5. b és az 5. c adataival! f˝o

Létszám 24 26 20

Osztály létszám 41 0

ennyi gyereknek van testvére 5. a 5. b 5. c

10. Ez a három pörgettyűnk van. A E

F

G

H

B

C 1

2 3

3 4 2 b) Mekkora eséllyel pörgetünk a B-vel páratlan számot? 3 1 2 c) Mekkora eséllyel pörgetünk a C-vel sárgát? = 3 6

a) Mekkora eséllyel pörgetünk az A-val mássalhangzót?

196

5. a 5. b 5. c

Ennyi gyereknek van testvére 12 18 10

Ponthalmazok

Ponthalmazok 1. 2. 3–4. 5–6. 7–9. 10.

óra: óra: óra: óra: óra: óra:

Ponthalmazok távolsága Pontok, ponthalmazok távolsága A kör és a gömb Távolsággal megadott ponthalmazok Szerkesztések Összefoglalás, gyakorlás

Mire építünk? A tanult műveleteket alkalmazzuk a természetes számok halmazán. Ponthalmazokra alkalmazzuk a halmaz és elemei, a két halmaz közös elemei fogalmakat, halmazokat szemléltetünk. Az alsó tagozatban gyűjtött tapasztalatokra építünk. Meddig jutunk el? A Ponthalmazok című témakörben megismerjük a legfeljebb – nem nagyobb – nem több – maximum; a kisebb, a legalább – nem kisebb – nem kevesebb – minimum; a nagyobb fogalmak pontos használatát. Hangsúlyozzuk az és, illetve a vagy kötőszavak matematikai jelentését. • Meghatározzuk két ponthalmaz távolságát. Megadjuk két pont, pont és egyenes, pont és sík, két egyenes, egyenes és sík távolságát. • Távolsággal jellemezhető ponthalmazokat vizsgálunk, például: körvonal, körlap, gömbfelület, gömbtest, párhuzamos egyenespár. • Szerkesztési feladatban vázlatot készítünk, összefüggéseket keresünk, leírjuk a szerkesztés lépéseit, megvizsgáljuk a lehetséges megoldások számát, ellenőrizzük a szerkesztésünket. • Szerkesztési feladatokat oldunk meg, például szakaszmásolás, körök rajzolása, derékszögű háromszög szerkesztése, téglalap szerkesztése vonalzó használatával. • Több feltételnek megfelelő és nevezetes ponthalmazokkal ismerkedünk. • Kitekintünk: síkra merőleges egyenes megfigyelése. Ebben a geometriai fejezetben az Alakzatok című részben megszokott megfigyelések, megkülönböztetések, csoportosítások és elnevezések megismerése mellett néhány meghatározás és megállapítás pontos megfogalmazását is elvárjuk a tanulóktól. Sárga mezőben szerepelnek a definíciók, elnevezések, és a definíció (megállapodás) vagy a szemlélet (tapasztalat) alapján belátott tételek (megállapítások), valamint eljárások is. Mi lesz a folytatás a 6. évfolyamon? • Háromszögek csoportosítása. • Szögmásolás. • Háromszögek, négyszögek belső szögeinek összege. • Szakasz felező merőlegese, szögfelező tulajdonságai és szerkesztése a tengelyes szimmetria alapján.

197

Ponthalmazok

• Nevezetes szögek szerkesztése. • Háromszögek szerkesztése oldalak és szögek ismeretében. • Háromszögek területének kiszámítása téglalapba foglalással. Szükséges és ajánlott eszközök A tanulók eszközei

A tanárok eszközei sima és négyzethálós tábla, mágnestábla, táblai körzők, vonalzók, zsineg, méterrúd vagy mérőszalag, írásvetítő, színes fóliák, számítógép, projektor, interaktív tábla és a digitális tananyagot tartalmazó CD használata ajánlott

négyzethálós és sima füzetlapok, ceruza, színesek, hegyező, 2 vonalzó, körző, mérőszalag, szívószálak, térkép a tankönyv végén, bojthoz fonal, karton

1. óra: Ponthalmazok távolsága Tk.: 193–197. oldal, 1–10. feladat Javasolt eszközök: körző, vonalzó, mérőszalag, Magyarország térképe (a tankönyv végén), mérőkörző Az óra célja: a Természetes számok című témakörben megismert halmazokkal kapcsolatos elnevezések, jelölések alkalmazása (elem, elemek száma, közös elemek, részhalmaz). Megerősítjük azt a tapasztalatot, hogy két pont között a legrövidebb út az egyenes, ezt használjuk a távolság meghatározására. Távolságmérés = szakasz hosszának mérése – ezt alkalmazzuk gyakorlati feladatokban mérőszalaggal, rúddal, vonalzóval. Megismerkedünk a körző használatával adott hosszúságú szakasz adott félegyenesre történő szerkesztésekor, másolásakor. Bemutathatjuk két fémhegyű körzővel – egy térképen – adott útvonal hosszának a becslését, illetve a földmérésre régebben használt eszközt. Tapasztalhatják a tanulók, hogy egy törött vonal vagy görbe vonal végpontjainak távolsága kisebb, mint a vonal hossza.

Feladatok 1. Vonalzóval mérd meg az ábrán, hány mm hosszú a felsorolt pontok távolsága! AB , AD , DE , BC , CE , AE

AB = 25 mm, AD = 30 mm, DE = 25 mm, BC = 24 mm, CE = 47 mm, AE = 17 mm B A C

E D 198

Ponthalmazok 2. Mérd meg vonalzóval az ábrán megjelölt távolságokat! Hány méter hosszúak ezek a távolságok, ha az ábrán mért 1 cm a valóságban 10 mnek felel meg?

A távolságok: ház és torony = 40 m, ház és tó = 25 m, ház és karám = 35 m.

3. a) „Tudós Katica” a borítékon jelölt A csúcsból a D csúcsban várakozó „barátnőjéhez” igyekszik. Csak a berajzolt „utakon” haladhat. Melyiket válassza, hogy a legkevesebbet kelljen „gyalogolnia”? Az AD utat kell választani. D b) Körző és vonalzó segítségével mérd meg a felsorolt utak hosszát, és állítsd azokat növekvő sorrendbe! A→B →C →D A→C →D C E A→D A→E →D A → D út hossza: 38 mm, A → E → D út hossza: 4 cm = 40 mm, A → C → D út hossza: 56 mm, B A A → B → C → D út hossza: 7 cm = 70 mm. 4. Hány szakaszt látsz az ábrán? Mérd meg a megjelölt pontok távolságát! Állítsd nagyság szerint sorba a szakaszokat! Az ábrán hat szakasz látható.

C

CD = DB = AD < AC < AB < BC .

D

A

B

5. Rajzold le az ábrát a füzetedbe! A háromszög csúcsaiban megjelölt pontok jelzik Anna, Bella és Csilla lakhelyét. Otthonról indulva hol találkozzanak, ha egyikük sem akar többet gyalogolni semelyik társánál? Keresd meg ezt a pontot az ábrán! A keresett pont a BC szakasz D felezőpontja, mert a D pont az ABD C téglalap átlóinak metszéspontja.

199

Ponthalmazok 6. Az ábra egy kétágú létrát szemléltet. Az ábra lerajzolása után körző és vonalzó segítségével mérd meg mm egységben a kért hosszúságokat! Az ábrán mért 5 mm hosszúság a valóságban 20 cm-nek felel meg. a) Milyen távolságra nyitható ki a létra két alsó vége? b) Milyen hosszú a kifeszítő kötél? c) Milyen hosszúak a létra ágai? d) Milyen magas a létra? e) Milyen távol van egymástól egy-egy lépcsőfok? a)

b)

c)

d)

e)

Mért (mm)

32

16

45

42

12

Valóság (cm)

128

64

180

168

48

7. Keresd meg Magyarország térképén az országhatár két legtávolabbi pontját! Mekkora a távolságuk? (A könyv mellékletében egy 1 : 2 000 000 léptékű térképet találsz. Ez a lépték azt jelenti, hogy ami a térképen 1 cm, az a valóságban 20 km távolság.) A térképen mért távolság ≈ 259 mm, a valóságban ≈ 518 km.

8. Az egyik ponthalmaz pontjait pirosra színeztük, a másik ponthalmaz elemeit kékkel jelöltük. Határozd meg a két ponthalmaz távolságát! a) ≈ 7 mm b) 9 mm c) 1 cm d) 5 mm

9. Másold le a táblázatot a füzetedbe! Mérd meg Magyarország térképén a távolságokat, majd írd be azokat a táblázatba! (A könyv mellékletében egy 1 : 2 000 000 léptékű térképet találsz. Ez a lépték azt jelenti, hogy ami a térképen 1 cm, az a valóságban 20 km távolság.) Földrajzi helyek távolsága Dunaföldvár–Szolnok Körmend–Marcali Szentes–Debrecen Szombathely–Balaton Budapest–Balaton

A térképen mérve 50 mm

A valóságban 100 km

40 km

80 km

70 km

140 km

35 km

70 km

43 km

86 km

10. Másold le a táblázatot a füzetedbe! Mérd meg Magyarország térképén a távolságokat, majd írd be azokat a táblázatba! Földrajzi helyek távolsága Dunaföldvár–Szolnok Miskolc – északi országhatár Pécs–Duna Szeged–Tisza 200

A térképen mérve 50 mm

A valóságban 100 km

20 km

40 km

16 km

32 km

0 km

0 km

Ponthalmazok 2. óra: Pontok, ponthalmazok távolsága Tk.: 198–201. oldal, 1–12. feladat Az óra célja: konkrét méréseket végezve meghatározzuk a pont és egyenes távolságát. Átismételjük egy adott pontból adott egyenesre állított merőleges rajzolását. Síkbeli egyenesek távolságát határozzuk meg. Kitérő egyenesek, illetve pont és sík távolságára is definíciót írunk fel. Az ábrák sejtetik a mérési módszert. Síkra merőleges egyenessel kapcsolatos tapasztalatainkat összegzi a kitekintés.

Feladatok 1.

P e

Az ábra lerajzolása után húzd be a távolságméréshez szükséges szakaszokat, majd mérd meg a P , R és T pontok távolságát az e egyenestől!

R

A pontokból merőlegest állítunk az egyenesre, majd a kapott metszéspontot és az adott pontot összekötő szakasz hosszát megmérjük.

d (P e ) = 2 cm; d (R e ) = 1 cm, d (T e ) = 0 cm

T

L

2. Az ábrán f -fel jelölt folyó két partján állatok legelnek. Egy birka (B ), egy ló (L) és egy szamár (S ). A füzetedbe kimásolt ábrán rajzold be mindhárom állatnak a folyótól való távolságát mutató szakaszt, és mérd meg azok hosszát! Melyik állat van a legközelebb a folyóhoz?

S

f

d (S f ) = 1 cm; d (L f ) = 2 cm, d (B f ) = 3 cm A szamár van legközelebb a folyóhoz.

B

Katókát kiküldi édesanyja málnát szedni. A málnabokrok a kert végében sorakoznak. Válaszd ki, melyik málnabokor van a legközelebb a ház kijáratához! Hány métert kell Katónak gyalogolnia a legtávolabbi, és hány métert a legközelebbi bokorig? Az ábrán 1 cm a valóságban 2 m. A keresett távolságokat vonalzóval mérd meg! Mérd meg azt is, hogy a málnabokor egyenese milyen távol van a Katókát jelölő K ponttól!

3.

K

Mért távolság Valódi távolság

K

Legközelebbi

Legtávolabbi

és málnasor

40 mm

45 mm

40 mm

8m

9m

8m

201

Ponthalmazok 4. Mérd meg vonalzóval az A, B , C , D és E pont távolságát az O kezdőpontú félegyenestől! Az ábrára illessz másolópapírt! Az A pont és az f félegyenes távolsága 2 cm, a B , C , D pont és az f félegyenes távolsága 1 cm, az E pont és az f félegyenes távolsága 25 mm.

5. Rajzold be a derékszögű koordináta-rendszerbe az A(−3; 12) pontot! Vizsgáld meg az A pont és az x tengely pontjainak távolságát! a) Hány rácsegységre van az A pont az alábbi pontoktól? 13 < AL < 14; AM = 15;

AN = 13; AP = 13; AQ = 15; AR = 20 rácsegység.

L(−9; 0), M (−12; 0), N (−8; 0), P (2; 0), Q (6; 0), R(13; 0) b) Az x tengelynek melyik pontja van az A-hoz legközelebb? K (−3; 0) a legközelebbi pont, AK = 12 rácsegység.

c) Hány rácsegység az Az

A pont és az x tengely távolsága?

A pont és az x tengely távolsága egyenlő A és K

távolságával, azaz 12 rácsegységgel.

6. Rajzolj a derékszögű koordináta-rendszerbe olyan pontokat, amelyek x tengelytől 5 egység távolságra vannak! Add meg közülük nyolcnak a jelzőszámait! A pontok második jelzőszámának abszolút értéke 5. Például: (0; 5), (1; 5), (0; −5), (−1; 5), (−3; −5), (−3; 5), (−7; 5), (−7; −5).

3

4

7. Az első ábrán bemutatott módon mérd meg a P , a Q és az R pontok távolságát a sokszögek oldalaitól! A méréseket másolópapír segítségével végezd el!

2

R

1

P

0

P

202

Ponthalmazok

R

R

2. ábra

1. ábra

P

Q

P

3. ábra

4. ábra

P pont

P pont

R pont

P pont

R pont

P pont

R pont

Q pont

(mm)

(mm)

(mm)

(mm)

(mm)

(mm)

(mm)

(mm)

20

0

15

11

27

5

29

17

25

30

15

5

30

5

23

30

10

12

1

20

12

30

11

24

12

–

–

40

15

42

17

18

–

–

–

–

–

24

30

15

Ahol az oldalra bocsájtott merőleges szakasz talppontja nem az oldal belső pontjára esik, ott az adott pont és az oldal közelebbi végpontja adja a távolságot. 8. Mérd meg otthon mérőszalaggal a) a párhuzamos ruhaszárító kötelek távolságát; b) két, egymás alatti szomszédos könyvespolc távolságát; c) a televízió-képernyő vagy a számítógép-monitor két párhuzamos oldalának távolságát! A megoldásokat a tanulók által mért adatok adják.

9. Az ábrán egyeneseket ábrázoltunk. Mérd meg másolópapír és vonalzó segítségével a távolságukat! a)

b)

11 mm a távolság.

c)

0 a távolság.

d)

1 cm a távolság.

0 a távolság.

203

Ponthalmazok 10. Rajzold be a derékszögű koordináta-rendszerbe az A(−1; −2), B (7; −2), C (0; 5), D (3; 5) pontokat! Határozd meg, hány rácsegység a következő két-két egyenes távolsága! a) AB egyenes és x tengely 2 rácsegység b) AB és CD egyenes 7 rácsegység c) BC és AD egyenes 0 a távolság (metsző egyenesek) d) AC és BD egyenes 0 a távolság (metsző egyenesek) 11. Magyarországon a normál nyomtávú vasúti pályákon két sínszál távolsága 1435 mm. Ugyanekkora a villamos, a HÉV és a metró nyomtávja is. Nézz utána, hogy milyen távolságra lehet egymástól két sínszál a keskeny nyomtávú vasutak esetén! A két sínszál távolsága lehet 1000 mm (ilyen például a kisvasút a Tátrában), 700 mm (ilyen például a kisvasút a Mátrában). Az internetes kérdésre például a wikipedia.hu honlapon a Nyomtávolság címszó alatt kaphatunk választ.

12. Mekkora a téglatest csúcsain átmenő kitérő egyenesek távolsága az alábbi esetekben? a)

b)

c)

3–4. óra: A kör és a gömb Tk.: 202–205. oldal, 1–4. feladat Javasolt eszközök: körző (táblai és tanulói), kötél és rúd vagy szög (nagyobb sugarú kör rajzolásához), gömb alakú testek, bojthoz karton, fonal Az órák célja: egy ponttól adott távolságra levő véges sok pont felrajzolása, a körvonal elképzelése, a kör megszerkesztése körzővel, majd a körvonal és a körlap definíciójának kimondása. A sugár, a húr (átmérő is) elnevezések helyes használata. Kiemelt fejlesztési feladat a körző használatának a gyakorlása, tanulása. Gyakoroljuk a körző használatát (először a középpontot jelöljük ki, vigyázzunk, hogy ne mozduljon el a körző hegye, ne csússzon szét a szára)! Kiemelt fejlesztési feladat a körző használatának gyakorlása, tanulása. Megfigyeljük a gömbfelület és a gömbtest pontjainak a középponttól mért távolságát. A gömböt síkban körrel szemléltetjük. „Gömb” készítése egy ponttól adott távolságra levő pontok szemléltetésére: kartonból kivágunk két egybevágó körgyűrűt, melyeknek belső sugara lehet 10–12 mm, külső sugara lehet 30 mm. Fonallal sűrűn betekerjük az összefogott két körgyűrűt. Elvágjuk a külső kör mentén a szálakat, majd a két kartonlap között vezetett szállal szorosan összekötjük a bojt szálait. Eltávolítjuk a kartonlapokat. A „Lénárt-gömbben” is megfigyelhetjük a sugarakat, húrokat, átmérőket a behelyezett pálcák segítségével. 204

Ponthalmazok Feladatok 1. Másold le az ábrákat! Folytasd körzővel a minták rajzolását! Tetszés szerint színezd ki az ábráidat! b) a)

2. Csak körzőt használva készítsd el az ábrát a füzetedbe, és tetszés szerint színezd ki!

Az 1–2. feladat a körzőhasználat és színezés gyakorlása. 3. Derékszögű koordináta-rendszerben ábrázolj olyan pontokat, amelyek az origótól 4 rácsegységnyire vannak! Hány lesz közülük rácspont? Add meg ezek koordinátáit! A pontok egy origó középpontú, 4 egység sugarú körön vannak. Ezek közül rácspont a (4; 0), (0; 4), (−4; 0), (0; −4) pont.

4. A képen egy régi szökőkút maradványait látod. a) Ismersz-e kör alaprajzú építményeket? Például: – várak sarokbástyája (Sopron, Sümeg, Nagykereki, Nagyvázsony, Buda, Somoskő: : : ), – csillagvizsgáló (Balatonfűzfő, Piszkés-tető: : : ), – részecskegyorsító.

b) Gyűjts képeket kör vagy gömb alakú tárgyakról! Például: kör alakú közlekedési táblák, dartstábla, íjászok céltáblája stb.; gömb: görögdinnye, gömb alakú lámpabura, földgömb stb.

205

Ponthalmazok 5–6. óra: Távolsággal megadott ponthalmazok Tk.: 205–210. oldal, 1–18. feladat Javasolt eszközök: vonalzó, körző, színes ceruzák, körlapok és sávok áttetsző fóliából különböző sugarakkal vagy írásvetítő + fólia a megoldások számának a vizsgálatához. Az órák célja: a kör külső és belső pontjainak a középponttól mért távolságát vizsgáljuk, a körvonal külső és belső tartományra osztja a síkot megállapodásunk szerint. Az egész számkörben és a számegyenesen már megismert kisebb-nagyobb, nem nagyobb, nem kisebb, legfeljebb-legalább, maximum-minimum, kisebb vagy egyenlő, nagyobb vagy egyenlő kifejezéseket alkalmazzuk síkbeli ponthalmazok távolsággal való jellemzésére. Megadott tulajdonságú ponthalmazokat szemléltetünk egy feltételt tartalmazó feladatokban. Többfeltételes feladatokkal és térbeli ponthalmazok megadásával csak haladó csoportban érdemes foglalkozni. Az órák célja haladó csoportban: az eddig tanultak alkalmazása összetett feladatokban, ami ismétlés és gyakorlás is egyben. A megoldást általában két ponthalmaz közös része jelenti. Feladatok térképpel Magyarország mellékelt térképe alapján: • Mely településeket jelöli a térkép a Kaposvár–Baja vonaltól 40 km-re? (Zalaegerszeg, Hévíz, Fonyód, Tamási, Kalocsa, Kiskunhalas, Villány) • Az előbbi települések közül melyik van Ajkától és Mindszenttől egyforma távolságra? (Villány) • Ez a helység ugyanolyan messze van Celldömölktől, mint Nagykanizsától, sőt a Celldömölk– Nagykanizsa távolság is ugyanakkora. (Tab)

Feladatok 1. Egy téglalap alakú terület oldalai 20 m és 40 m hosszúak. A terület közepén levő karóhoz 8 méteres kötéllel kikötnek egy birkát. Hol legelheti le a füvet? Készíts ábrát, 4 m-nek 1 cm feleljen meg!

206

Ponthalmazok 2. Rajzold le a füzetedbe azt a területet, ahol a kincs rejtőzhet! A sombokrot S ponttal jelöld!

3. Egy 10 méter hosszú és 8 méter széles téglalap alakú parkban, a park közepén leszúrt locsolóval öntözik a füvet. Maximális víznyomásnál a leszúrás helyétől 2 méter távolságra érhet el a víz. a) A füzetedbe rajzolt felülnézeti ábrán színezd be zölddel azt a területet, amelyet a locsoló akkor áraszt el vízzel, ha a csőben lévő nyomás maximális vagy annál kisebb! (1 m távolság a füzetben 1 cm legyen!) b) A füzetedbe rajzolt felülnézeti ábrán színezd be sárgával a parknak azt a részét, amely ennél a locsolásnál nem kap vizet! 4. Rajzolj a füzetedbe egy pontot, jelöld K -val! a) Rajzolj kék színnel olyan pontokat, amelyek K -tól 3 cm-re vannak! A pontok a

K

középpontú, 3 cm sugarú körön vannak.

b) Pirossal jelöld a A pontok a

K

K -tól 2 cm-re levő pontokat!

középpontú, 2 cm sugarú körön vannak.

c) Zölddel színezd a

K

középpontú, 35 mm sugarú kör külső tartományát!

A sík pontjait kapjuk, kivéve a

K középpontú, 35 mm sugarú körlap pontjait.

5. Melyik megállapítás illik az ábrázolt ponthalmazokra? (Vastag színes vonal jelzi, ha A: a körvonal pontjai is hozzátartoznak a halmazhoz.) A halmaz pontjainak K ponttól mért távolsága a) nagyobb 1 cm-nél; B b) kisebb vagy egyenlő, mint 1 cm; A c) 1 cm-nél nem nagyobb; A d) minimum 1 cm;

B: K

B

1 cm

e) 1 cm-nél nem kisebb.

B

207

Ponthalmazok 6. Térkép segítségével keresd meg azokat a városokat, amelyek 40 km-nél közelebb vannak a lakóhelyedhez! (A könyv mellékletében egy 1 : 2 000 000 léptékű térképet találsz. Ez a lépték azt jelenti, hogy ami a térképen 1 cm, az a valóságban 20 km távolság.) A lakóhely körül kijelölt 40 km (a térképen 2 cm) sugarú körön belül keressük a városokat, ha a térkép 1 : 2 000 000 léptékű.

7. A következő feladatokhoz készíts külön ábrákat! Rajzolj egy pontot! Ezután rajzold meg azokat a pontokat, amelyeknek ettől mért távolsága a) 15 mm; b) nagyobb, mint 3 cm; c) kisebb, mint 3 cm;

d) nem nagyobb, mint 15 mm; e) nagyobb, mint 15 mm, és nem nagyobb, mint 30 mm.

8. Milyen színű mezőben van a céltáblán az a találat, amely a középponttól a) legfeljebb 17 cm-re, de 10 cm-nél távolabbra került; kék b) több, mint 5 cm-re, és 10 cm-nél nem messzebbre található; zöld c) maximum 5 cm távol van? lila 9. Milyen messze van a céltábla közepétől az a találat, amely a) a 10 pontos mezőbe került; Jelölje P a találat helyét, PK 5 25 cm 17 cm <

K

a céltábla középpontját!

b) a két belső mező egyikébe került?

PK 5 10 cm

10 50 80 100

10 cm 20 cm 34 cm 50 cm

10. Marcsi szülei egy 6 méter oldalhosszú, négyzet alakú kertbe ültetik a veteményt. A kert locsolásához vásárolnak egy olyan, kör alakban locsoló eszközt, amely a leszúrás helyétől minden irányban 3 méter távolságra tud öntözni. Készíts felülnézeti ábrát a feladathoz! (1 m a rajzon 1 cm legyen!) a) Hová kell leszúrni a locsolófejet, hogy a veteményeskert lehető legnagyobb területe kapjon vizet? A locsolófejet a kert közepén kell leszúrni. 208

Ponthalmazok

b) Színezd ki a kertnek azt a részét, amely maximális víznyomás esetén sem kap vizet! Az ábrán sárgával jelöltük.

c) Maximális víznyomás mellett hány méter hatósugarú locsolófej tudná a kert egész területét megöntözni, ha az eszközt a kert közepén szúrják le? A locsoló hatósugara ekkor legalább 4 m és 30 cm.

Ez a hatósugár a négyzet átlójának a felénél kicsivel nagyobb. A tanulók ezt az adatot méréssel állapíthatják meg.

11. Ha a gömbtestet formázó hegyezett ceruzák 10 cm hosszúak, akkor a) milyen hosszú lehet a piros ceruza, A piros ceruza hosszabb, mint 10 cm. b) milyen hosszú lehet a kék ceruza? A kék ceruza rövidebb, mint 10 cm. Fogalmazd meg, milyen tulajdonságúak egy gömbtest belső pontjai, ha a gömb sugara 10 cm! A 10 cm sugarú gömbtest pontjai a gömb középpontjától legföljebb 10 cm távolságra vannak.

Jellemezd a középponttól mért távolsággal egy 10 cm sugarú gömbtest külső pontjait! A 10 cm sugarú gömbtest külső pontjai a gömb középpontjától 10 cm-nél nagyobb távolságra vannak.

12. Az ábrán látható „keljfeljancsi” feje és teste gömb alakú. A testét alkotó gömb sugara 6 cm, fejének sugara ennek a fele. A játékot egy olyan téglatest alakú dobozba csomagolják, amelybe álló helyzetben éppen belefér. Mekkorák az oldalai egy ilyen doboznak? 12 cm×12 cm×18 cm méretű négyzetes oszlop alakú dobozba éppen belefér a „keljfeljancsi”.

13. Egy egyenes kerékpárút két oldalára a padkától 3 méterre fákat ültetnek. Készíts rajzot, ahol 2 m-nek 1 cm felel meg! Az út szélessége 2 m, a fákat 5 méterenként ültetik. A fák helye nem egyértelmű, a párhuzamos egyenesek mentén eltolódhatnak.

209

Ponthalmazok 14. A térképen bejelölték azt a sávot, ahol 1999. augusztus 11-én megfigyelhető volt a teljes napfogyatkozás. Hogyan jellemeznéd távolsággal a sávba eső városokat? Ezek a városok a Siófok–Makó egyenestől legfeljebb 55 km-re vannak.

15. Keress a Nyíregyháza–Kecskemét egyeneshez 50 km-nél közelebb lévő városokat a mellékletben található térkép segítségével! Például: Kaposvár, Dunaújváros, Debrecen, Szolnok, Baja, Pécs.

16. Melyik megállapítás illik az ábrázolt ponthalmazokra? A halmaz pontjainak az a egyenestől mért távolsága a) nagyobb 14 mm-nél; B b) kevesebb, mint 14 mm; A c) nagyobb vagy egyenlő, mint 14 mm. B

A:

B:

Az ábra alapján további kérdéseket tehetünk fel a tanulóknak. 17. Rajzolj vonalzóval egy 3 cm hosszú szakaszt! a) Rajzold fel azokat a pontokat a síkban, amelyek a szakasztól 2 cm-re vannak! Az ábrán pirossal jelölt görbe.

b) Jelöld sárgával a szakaszhoz 1 cm-nél közelebb levő pontokat a síkban! c) A szakasztól legalább 3 cmre levő pontokat színezd kékre! 18. A sportpályán a középső téglalap alakú területet veszik körbe a „futókörök”. Rajzold le, milyen alakú az a futópálya, amelynek minden pontja ugyanolyan távolságra van a téglalaptól! Írd fel az ilyen tulajdonságú téglalapok csúcspontjainak koordinátáit!

210

Ponthalmazok 7–9. óra: Szerkesztések Tk.: 211–214. oldal, 1–12. feladat Javasolt eszközök: szerkesztőeszközök Az órák célja: A négyzet, a téglalap és a derékszögű háromszög rajzolása/szerkesztése derékszögű vonalzó és körző használatával. Megismerkedünk a szerkesztés alapvető lépéseivel. A szerkesztést a szükséges összefüggéseket felismerve végezzük el. Az adatok alapján a lehetséges megoldások számát is vizsgáljuk. Külön érdekesség a négyzet és derékszögű háromszög rajzolása rácson. Ez előkészíti a merőlegesség fogalmát a koordináta-rendszerben. A szerkesztések elvégzése során fejlesztjük a tanulók esztétikai érzékét. Felhívjuk a figyelmüket a pontos munkavégzésre, a szabálykövetésre. Néhány példán bemutatjuk a diszkusszió szükségességét is.

Feladatok 1. Rajzolj derékszögű vonalzó és körző segítségével 6 cm oldalú négyzetet! Számítsd ki a négyzet kerületét és területét! K = 24 cm, T = 36 cm2 . 2. Rajzolj derékszögű vonalzóval és körzővel olyan téglalapot, amelynek oldalai az ábrán láthatókkal egyenlők. 3. Rajzolj derékszögű vonalzó és körző segítségével olyan téglalapot, amelynek szomszédos oldalai a) 3 cm és 2 cm; K = 10 cm, T = 6 cm2 . b) 1 cm és 6 cm! K = 14 cm, T = 6 cm2 . Számítsd ki mindkettő kerületét és területét! Melyiknek nagyobb a területe? És a kerülete? Területük egyenlő, a kerülete a b)-nek nagyobb.

4. Rajzolj derékszögű vonalzó és körző segítségével olyan négyzetet, amelynek az átlója 5 cm hosszú! Mérd meg a négyzet oldalait, számítsd ki a kerületét és a területét! A négyzet oldala körülbelül 35 mm.

K = 140 mm = 14 cm.

A négyzet átdarabolható egy 50 mm és 25 mm oldalú téglalappá,

5.

T = 1250 mm2 .

Egy négyzet alakú kert két szomszédos sarkában, egymástól 6 méterre áll egy-egy fenyőfa, közepén pedig egy szökőkút. Rajzold meg a négyzetet derékszögű vonalzóval, és jelöld meg a szökőkút helyét! A valóságban 1 méter távolság a papíron 1 cm legyen! Milyen távol van a szökőkút a fenyőfáktól? 211

Ponthalmazok A szökőkút és a fenyőfák távolsága:

FS = GS ≈ 4 m 30 cm.

6. Rajzolj derékszögű vonalzó és körző segítségével olyan háromszöget, amelynek két 4 cm hosszú oldala merőleges egymásra! A megrajzolt háromszög segítségével készítsd el az ábrán látható papírhajót, és tetszés szerint színezd ki!

7. Rajzolj derékszögű vonalzó és körző segítségével olyan háromszöget, amelynek 7 cm, illetve 35 mm hosszú oldala merőleges egymásra!

8.

Adott a négyzetrácson két rácspont. Rajzolj olyan egyenest, amely az adott pontokat összekötő egyenesre merőleges!

Végtelen sok ilyen egyenes rajzolható.

Mutassuk meg, hogyan segít a négyzetrács a merőleges megrajzolásában! 9. Rajzolj a négyzetrácson négyzetet, ha a) az ábrán a négyzet két szomszédos csúcsát adtuk meg;

b) az ábrán a négyzet átlóját adtuk meg!

Mutassuk meg, hogyan segít a négyzetrács a merőleges megrajzolásában! 212

Ponthalmazok 10. a) Szerkessz 12 cm kerületű négyzetet! Számítsd ki a területét! A négyzet oldala 3 cm, T = 9 cm2 . b) Szerkessz 16 cm2 területű négyzetet! Számítsd ki a kerületét! A négyzet oldala 4 cm, K = 16 cm. 11. a) Szerkessz 12 cm kerületű téglalapot, oldalainak mérőszáma egész szám legyen! A téglalap oldalai: 1 cm és 5 cm, 2 cm és 4 cm, 3 cm és 3 cm.

b) Szerkessz 12 cm2 területű téglalapot, oldalainak mérőszáma egész szám legyen! A téglalap oldalai: 1 cm és 12 cm, 2 cm és 6 cm, 3 cm és 4 cm.

12. Szerkessz olyan 14 cm kerületű téglalapot, amelynek szomszédos oldalai közt 1 cm a különbség! Számítsd ki a területét! a = 3 cm; b = 4 cm; T = 12 cm2

10. óra: Tudáspróba Tk.: 215. oldal 1. a) Mérd meg a P pont távolságát a téglalap hosszabb oldalától! A felsorolt szakaszok hossza közül melyikkel egyenlő az általad mért távolság? A

b szakasz hossza egyenlő a keresett távolsággal.

b) Mérd meg a P pont távolságát a téglalap A csúcsától! A felsorolt szakaszok hossza közül melyikkel egyenlő az általad mért távolság? Az a szakasz hossza egyenlő a keresett távolsággal.

2. Mari néni téglalap alakú tyúkudvarában van kikötve a házőrző kutya. Készítsd el a rajz mértani ábráját, a téglalap méretei a lapodon 9 cm és 6 cm, a kutya kötelének hossza 2 cm legyen! A kutya a téglalap átlója mentén, az egyik csúcstól 5 cm-re van kikötve. Színezd ki azt a területet, ahol a tyúkok a kutyától háborítatlanul csipegethetnek!

3. Magyarország térképén keress olyan települést, amely körülbelül egyenlő távolságra van Debrecentől és Miskolctól! Használd a tankönyv mellékletében lévő térképet! Például: Szajol, Tiszacsege, Tiszavasvári

213

Ponthalmazok 4. Írd le szöveggel, milyen közös tulajdonsága van a beszínezett alakzatok pontjainak! a) b) c) d)

a) b) c) d)

A

K

ponttól legalább 15 mm-re levő pontok alkotják az alakzatot.

K ponttól legfeljebb 5 mm-re vagy attól 15 mm-nél távolabb vannak. A körgyűrű pontjai a K ponttól legalább 5 mm-re és legfeljebb 15 mm-re vannak. A K ponttól legfeljebb 15 mm-re és több, mint 10 mm-re levő pontok alkotják a halmazt. Az alakzat pontjai a

5. Rajzolj vonalzóval egy egyenest! a) Rajzold fel azokat a pontokat, amelyek az egyenestől nem nagyobb mint 25 mm-re vannak!

b) Rajzold fel az egyenestől nem kisebb mint 2 cm-re, de nem nagyobb mint 4 cm-re lévő pontokat!

6. Derékszögű vonalzó és körző használatával rajzolj olyan téglalapot, amelynek oldalai a és b hosszúságúak! Írd le a rajzolás lépéseit!

a b

Két megoldás lehetséges: 1. Ha az

a és a b szakasz a háromszög befogói:

a

a b

214

2. Ha az

a szakasz befogó és a b szakasz átfogó: b

A 2. eset fordítva (b befogó, a átfogó) nem állhat fenn, mert a derékszögű háromszög átfogója nem lehet kisebb egyik befogónál sem.

Tizedes törtek

Tizedes törtek 1–3. 4. 5. 6–7. 8–11. 12–13. 14–15. 16–17. 18. 19–20.


Tizedes törtek értelmezése Tizedes törtek ábrázolása a számegyenesen Tizedes törtek egyszerűsítése, bővítése, összehasonlítása Tizedes törtek kerekítése Tizedes törtek összeadása, kivonása Tizedes törtek szorzása, osztása 10-zel, 100-zal, 1000-rel: : : Tizedes törtek szorzása természetes számmal Tizedes törtek osztása pozitív egész számmal Az átlag kiszámítása Tört alakban írt szám tizedes tört alakja

Mire építünk? Napjainkban gyakrabban találkoznak a gyerekek a törtek tizedes tört alakban való leírásával, mint akár néhány évvel ezelőtt. Sokszor tapasztalhatjuk, hogy már a törtek tanulásakor is tizedes tört alakkal dolgozik a gyerekek egy része. Voltak és vannak országok, ahol a tizedes törtekkel előbb foglalkoznak az iskolában, mint a törtekkel. A tapasztalatok azonban azt igazolják, hogy a fogalmak megértése, az eljárások elsajátítása eredményesebb, ha a törtek témakörének tárgyalása megelőzi a tizedes törtekét. Az eddig tanultakból elsősorban a következőkre kell támaszkodnunk e fejezet tanításakor: • a tízes alapú helyiérték-táblázat biztos ismerete, • a decimális mértékrendszer ismerete, • kellő jártasság a törtek bővítésében és egyszerűsítésében, • szorzás, osztás többjegyű számmal. Meddig jutunk el? • Kibővítjük a helyiérték-táblázatot 1-nél kisebb helyi értékekre, értelmezzük a tizedes törteket. • A tizedes törtek írása, olvasása helyiérték-táblázat segítségével és anélkül. • A tizedes törtek helye a számegyenesen. • Tört felírása tizedes tört alakban, véges tizedes tört felírása tört alakban. • A tizedes törtek egyszerűsítése, bővítése, kerekítése. • Az összes műveletet, amelyet a törtekkel megtanultunk elvégezni, azok tizedes tört alakjával is megtanuljuk (összeadás, kivonás, szorzás és osztás természetes számmal). • Az egész számok körében tanult műveleti tulajdonságokat alkalmazzuk a tört- és tizedes tört alakú számokkal végzett műveletek során. • Szöveges feladatok megoldása során alkalmazzuk a tanultakat. • Egyszerű egyenleteket és egyenlőtlenségeket oldunk meg. Minimumkövetelmény • A tizedes törtek írása, olvasása (legfeljebb milliomod nagyságrendig), ábrázolása számegyenesen, nagyság szerinti összehasonlítása, bővítése, egyszerűsítése, kerekítése.

215

Tizedes törtek

• Tizedes törtek szorzása, osztása 10 hatványaival. • Tört felírása tizedes tört alakban egyszerű esetben, véges tizedes tört felírása tört alakban. • Tizedes törtek összeadása, kivonása, szorzása természetes számmal és osztása pozitív egésszel. A műveletek helyes sorrendben való elvégzése összetett számfeladatokban. Mi lesz a folytatás 6. osztályban? Az 5. évfolyamon tanultak elmélyítése, a negatív egésszel való szorzás és osztás értelmezése. Új műveletek bevezetése: szorzás és osztás tizedes törttel, ezek felhasználásával feladatok megoldása (arányosságok, százalékszámítás, statisztika, geometriai számítások).

1–3. óra: Tizedes törtek értelmezése Tk.: 216–222. oldal, 1–21. feladat Javasolt eszközök: milliméterpapír, 1 m2 -es lap, 1 dm3 -es kocka Az órák célja: annak megmutatása, hogy a tizedestört-írásmód egyrészt egyszerűsítő jelölés az olyan törtekre, melyek nevezője 10, 100, 1000 stb., másrészt a decimális (tízes számrendszerben való) írásmód kiterjesztése az egynél kisebb helyi értékekre. A 3,158 egyrészt a tört rövidebb írásmódja, másrészt 3 egyes, 1 tized, 5 század és 8 ezred összegének rövid leírása. Fontos, hogy a gyerekek mindkettőt lássák, mert hol ennek, hol annak a szemléletnek veszik majd hasznát. A tízes alapú helyiérték-táblázatból indulunk ki, de hamarosan megjelennek a mennyiségek. A tizedestört-írásmódnak és a decimális mértékeknek a kapcsolata mindkettőnek a tanítása szempontjából előnyös. Amennyire csak lehet, tudatosítsuk a gyerekekben a mértékegység és a mérőszám közötti kapcsolatot a mennyiségekben: amíg az egyik tízszeresére, a másik tizedére változik, vagyis az egyik változását ellentétesen követi a másiké.

Feladatok 1. Add meg a törteket 10, 100, 1000 nevezőjű törtek összegeként! 27 20 7 35 30 7 5 3 5 a) = b) = + =2+ + = + 10 10 10 10 100 100 100 10 100 70 810 800 10 7 10 c) = d) = + =8+ 100 100 10 100 100 100 906 900 82 80 6 6 2 8 2 e) = f) = + =9+ + = + 100 100 100 100 1000 1000 1000 100 1000 104 230 100 200 4 1 4 30 2 3 g) = h) = + = + + = + 1000 1000 10 1000 1000 1000 10 100 1000 1000 800 9004 9000 8 4 4 i) = j) = + =9+ 1000 1000 10 1000 1000 1000

216

Tizedes törtek 2. Add meg a számok hiányzó alakjait! Tört Helyi értékes összeg alakban Helyiérték-táblázatban Tizedes tört A szám kiolvasva alakban alakban 1 1 10 1 1 hét egész 3 73 1·7+ ·3 10 100 7 három tized 10 10 7 3 1 1 nulla egész 10 1 4 1 004 10 100 ·4 négy század 100 100 három egész tizenkét század

5 100

10 · 4 + 1 · 0 +

36 100

10 · 9 + 1 · 3 +

négy egész öt század

4

kilencvenhárom egész harminchat század

93

10

1 1 1·3+ ·1+ ·2 10 100

12 3 100

1 3

10 1 1 ·0+ ·5 10 100 4

1

10

1

9

3

1 1 ·3+ ·6 10 100

0

1 10 1 1 10 0 1 10

1 100 2 1 100 5 1 100

3

6

3 12

4 05

9336

3. Add meg tört és tizedes tört alakban a helyiérték-táblázatban megadott számokat! 1 1 1 A szám tört A szám tizedes 1000 100 10 1 alakban tört alakban 10 100 1000 3 5 0 0 3 5 5 003 1000

4. a) b) c) d)

0

0

1

7

17 1000

8

3

0

2

8

3

6

8

2

5

36

9

0

0

7

0

2

900

3

0

1

3

0

2

5

1

4

3

2

5

0

2

Hány Hány Hány Hány

0017

302 1000

8 302

825 1000

36 825

702 1000

900 702

3013

25 1000

3013 025

1432

502 1000

1432 502

egészet ér 100 tized, 1000 század, 10 000 ezred? 10, 10, 10 tizedet ér 1 tízes, 1 egész, 10 század, 100 ezred? 100, 10, 1, 1 századot ér 1 tízes, 1 egész, 10 ezred? 1000, 100, 100 ezredet ér 1 egész, 1 tízes, 1 tized, 1 század? 1000, 10 000, 100, 10

Helyiérték-táblázatba beírva vagy tört alakban felírva oldjuk meg. 217

Tizedes törtek 5. Írd fel tizedes tört alakban a törteket, és olvasd ki őket! a)

b)

c)

2 , 10

30 , 10

32 , 10

400 , 10

430 , 10

432 , 10

1500 10

02

3

32

40

43

43 2

150

4 , 100

50 , 100

600 , 100

54 , 100

650 , 100

654 , 100

1200 100

0 04

0 50 = 0 5

6

0 54

6 50 = 6 5

6 54

12

3 , 1000

40 , 1000

500 , 1000

6000 , 1000

6540 , 1000

15 000 1000

0 003

0 040 = 0 04

0 500 = 0 5

6

6 540 = 6 54

15

6. Olvasd ki a tizedes törteket, majd írd a számokat tört alakba! a) 03; 3 , 10

b) 11; 11 , 10

c) 215; 215 43 = , 10 2

004;

0005;

034;

0345

4 2 = , 100 50

5 1 = , 1000 200

34 17 = , 100 50

345 69 = 1000 200

102;

1003;

112;

1023;

1123

102 51 = , 100 50

1003 , 1000

112 28 = , 100 25

1023 , 1000

1123 1000

2104;

21006;

2154;

2104 526 = , 100 25

21 006 10 503 2154 1077 = , = , 1000 500 100 50

21046;

21546

21 506 10 753 21 546 10 773 = , = 1000 500 1000 500

7. Olvasd ki a számokat, majd írd le azokat tizedes tört alakban! a) 4 egész 2 tized = 4 2

b) 8 egész 48 század = 8 48

c) 413 ezred = 0 413

d) 10 egész 24 ezred = 10 024

8. A londoni olimpiák magyar versenyzőinek nagyszerű eredményeiből válogattunk. Add meg az olimpikonok eredményeit tizedes tört alakban! a) A 2012-es olimpián Pars Krisztián kalapácsvető a 80 egész 59 század méteres dobásával olimpiai bajnok lett. 80 59 m b) Az 1948-as olimpián Gyarmati Olga az 5 egész 70 század méteres ugrásával a távolugrás olimpiai bajnoka lett. 5 70 m c) Az 1908-as olimpián Somodi István az 1 méter 88 század méteres ugrásával magasugrásban olimpiai ezüstérmes lett. 1 88 m Nézz utána, hogy a 2012-es olimpián mennyi volt az olimpiai csúcs a női távolugrásban és a férfi-magasugrásban! Brittney Reese (amerikai) távolugrásban olimpiai bajnoknő 7 12 méterrel. Ivan Uhov (orosz) olimpiai bajnok magasugrásban 2 38 méterrel.

9. Olvasd ki a számokat, majd írd le azokat tizedes tört alakban! a) harminc egész harmincnégy század 34 34 c) százkét egész kétszáznégy ezred 102 204

218

b) nyolc egész négy ezred 8 004 d) ezernégy egész kilenc század 1004 09

Tizedes törtek 10. Mennyit ér a négyes számjegy az egyes számokban? 405 egyest 104 egyest 10 400 százast 104 tizedet 154004 egyest és ezredet 40072 tízest 11. Add meg a szakaszok hosszának mérőszámát tört és tizedes tört alakban! a) 3 cm =

3 10

dm = 0 3 dm

b) 5 cm =

c) 11 cm =

11 10

dm = 1 1 dm

d) 1 mm =

1 10

cm =

1 100

dm = 0 1 cm = 0 01 dm

e) 3 mm =

3 10

cm =

3 100

dm = 0 3 cm = 0 03 dm

f) 15 mm =

15 10

cm =

15 100

5 10

dm = 0 5 dm

dm = 1 5 cm = 0 15 dm

12. Rajzold le a szakaszokat! a) 35 cm c) 78 cm d) 134 cm

b) 48 cm

13. Számítsd ki a milliméterpapírra rajzolt színes téglalapok területét! Add meg a téglalapok területét mm2 -ben, cm2 -ben és dm2 -ben is! A nem egész mérőszámokat tizedes tört alakban írd le!

A

tA = 0 01 dm2 = 1 cm2 = 100 mm2 tB = 0 05 dm2 = 5 cm2 = 500 mm2 tC = 0 1 dm2 = 10 cm2 = 1000 mm2 tD = 0 09 dm2 = 9 cm2 = 900 mm2 tE = 0 15 dm2 = 15 cm2 = 1500 mm2 tF = 0 045 dm2 = 4 5 cm2 = 450 mm2

B C

D E

F 1 cm

219

Tizedes törtek 14. Add meg a milliméterpapírra rajzolt piros alakzatok területének mérőszámát tizedes tört alakban! Például: 15 15 mm2 = cm2 = 015 cm2 100 a)

72 cm2 = 72 mm2 = 0 72 cm2 = 0 0072 dm2 100

b)

105 cm2 = 105 mm2 = 1 05 cm2 = 0 0105 dm2 100

c)

150 cm2 = 150 mm2 = 1 5 cm2 = 0 015 dm2 100

d)

235 cm2 = 235 mm2 = 2 35 cm2 = 0 0235 dm2 100

15. Téglalapok területét adtuk meg. Rajzolj mindegyikre egy-egy példát milliméterpapíron! a) 025 cm2 b) 625 cm2 c) 05 dm2

d) 025 dm2

16. Az ábráról leolvasható, hogy a kék kocka 10 zöld rétegből rakható ki, 1 zöld réteg 10 sárga rúdból, 1 sárga rúd 10 piros kockából. Mekkora részét adják ki az építmények a kék kockának? Tört és tizedes tört alakban is adjátok meg a választ!

220

Tizedes törtek

1 = 0 01 100

a)

c)

3 = 0 03 100

b)

2 = 0 002 1000

4 = 0 004 1000

d)

23 = 0 023 1000

e)

A szétszedhető 1 dm3 -es kockán vizsgáljuk meg közösen a tized-, század-, ezredviszonyokat úgy, hogy az 1 dm3 -t tekintjük 1-nek! Érdemes a méterrudat is elővenni, és azon is vizsgálódni. 17. Így neveztük el ezeket a téglatesteket:

01 dm3 réteg

1 dm3 nagykocka

001 dm3 rúd

0001 dm3 kiskocka

Írd le tizedes törttel, hány dm3 ! a) 3 nagykocka, 1 réteg 3 1 dm3 c) 12 rúd 0 12 dm3 e) 35 kiskocka 0 035 dm3

b) 4 réteg, 5 rúd 0 45 dm3 d) 15 nagykocka, 3 réteg, 5 kiskocka 15 305 dm3 f) 35 rúd 0 35 dm3

18. A „tökéletes pénztárgépet” már ismeritek. A fiókjait bővítjük 1-nél kisebb helyi értékű fiókokkal. (Ha valamelyik fiókban 10 azonos címletű összegyűlik, a gép nagyobbra váltja, és kiírja az új tartalmat.) Ezres Százas Tízes

egyes

18 4

tized század ezred

Átváltás

Végeredmény

3

18 · 10 = 180

1803

38

38 30 8 = + = 38 10 10 10

78

Mit ír ki a gép, ha a fiókokba ennyit írtunk be? 45 tized, 4 5 560 század, 5 6

34 század, 0 34 420 ezred, 0 42

52 ezred, 0 052 9300 tized, 930

930 tized, 93 5600 század 56

19. A párizsi Eiffel-toronyhoz érkeztek magyar látogatók 2011-ben. A belépők árát ehhez hasonló táblázatból lehetett kiolvasni. életkor Felnőtt 12–24 éves korig 4–11 éves korig szint Lifttel a második emeletig 8,10 C 6,5 C 4,00 C Lift + csúcs 13,10 C 11,50 C 9,00 C Lépcsőn a második emeletig 4,50 C 3,50 C 3,00 C Fontos tudni! 1 euro = 100 eurócent. 221

Tizedes törtek a) Laci édesanyja lifttel ment a csúcsig. Melyik kép mutatja helyesen, hogy mennyibe került a belépőjegye? C) A) B)

b) Melyik szintre és hogyan mehetett fel a 18 éves Laci, ha 3 euró 50 cent volt a jegyének ára? A) lifttel a 2. emeletre B) lifttel a csúcsig C) lépcsőn a 2. emeletig c) Kati a 2. emeletig mehetett lifttel. Milyen korú lehetett, ha 10 eurót adott a pénztárosnak, és 55 eurót kapott vissza? A) felnőtt B) 12–24 éves C) 4–11 éves Mely országok bankjai állíthatnak elő euróérméket? Van-e különbség a különböző országokban előállított, ugyanolyan címletű fémpénzérmék között? Euróérméket az eurózóna tagállamai, továbbá Monaco, San Marino és a Vatikán bocsátanak ki; euróövezeti szinten minden pénzérmékkel kapcsolatos kérdést az Európai Bizottság koordinál. 2013-ban euróbankjegyek kibocsátására az EKB (Európai Központi Bank) és a 15 eurózónabeli állam volt jogosult. A különböző országokban előállított, ugyanolyan címletű fémpénzek között különbség van: a fejoldal kialakítása országonként eltérő.

20. Írd tizedes tört alakba! a) 5 tized és 7 század és 3 egész 3 57 c) 84 egész és 42 tízezred és 36 ezred 84 0402 e) 8 egész és 312 század 11 12 g) 8 egész és 532 század 13 32

b) d) f) h)

5 század és 48 ezred 0 098 4 egész és 24 tized 6 4 13 egész és 402 tized 53 2 41 egész és 628 század 47 28

21. Mekkora része sárga a négyzet alakú színes ablakoknak? Írd le tizedes törttel! Egy kicsi négyzet a színes ablak 0 01-a.

A színes „szirom” 10 kicsi négyzet, ami az ablak 0 1-e. Négy ilyen szirom az ablak 0 4-e.

222

A piros és kék részek területe egyenlő, együtt az ablak 0 8 részét teszik ki. A sárga részre az ablak 0 2-e jut.

Tizedes törtek 4. óra: Tizedes törtek ábrázolása a számegyenesen Tk.: 223–225. oldal, 1–10. feladat Az óra célja: tizedes törtek leolvasása, illetve helyük meghatározása különböző beosztású skálákon. Tizedes törtek nagyság szerinti összehasonlítása. Tizedes tört koordinátájú pontok ábrázolása a derékszögű koordináta-rendszerben.

Feladatok 1. a) 2012-ben a török Sultan Kösen volt a világ legmagasabb embere. A Science Daily tudósításában az áll, hogy orvosainak köszönhetően megállt a növésben. A képen orvosaival látjuk. Becsüljétek meg, hány méter magas Sultan! Az interneten keressétek meg a róla szóló híradásokat, majd számítsátok ki, hogy a becslésetek hány cm-rel tér el a valóságtól! Sultan Kösen 2 51 m volt 2012-ben. b) A Guinness-rekordok könyve szerint Robert Pershing Wadlow a valaha élt legmagasabb ember. A következő ábrán összehasonlítottuk az átlagos magásságú emberekkel. m 2

1

11 éves fiú

átlagos férfi Robert 11 évesen

Robert 22 évesen

Olvasd le a rajzról, ki hány méter magas! A) a fiú 1 5 m B) az átlagos férfi 1 8 m C) Robert 11 éves korában 2 m D) Robert 22 éves korában 2 7 m c) Mit gondolsz, elérhette-e felugrás nélkül a 305 m magasan lévő kosárgyűrűt Robert 22 éves korában? Igen, hiszen a karja hosszabb, mint 1 m. Az interneten keresgélve többet is megtudhatsz Wadlow életéről. 2. Olvasd le a képekről, hány centiméter hosszúak a csavarok! a) 1 5 m

b) 1 9 m

c) 2 5 m

d) 1 2 m

223

Tizedes törtek 3. a) A 7-ről indulj, és 08-esével lépj, amíg a 11-et el nem éred! Írd le számjegyekkel azokat a számokat, amelyekre ráléptél! 7 7; 7 8; 8 6; 9 4; 10 2; 11

8

9

10

11

b) A 243-ról indulj, és 0003-esével lépj, amíg a 2481-et el nem éred! Írd le számjegyekkel azokat a számokat, amelyekre ráléptél! 2 43 2 44 2 45 2 46 2 47 2 48 2 43; 2 433; 2 436; 2 439; 2 442; 2 445; 2 448; 2 451; 2 454; 2 457; 2 460; 2 463; 2 466; 2 469; 2 472; 2 475; 2 478; 2 481

4. Mely számok helyét jelölik az egyes nyilak?

A=67

B =74

C =82

D =96

E = 10 2

F = 11 1

a) 7

b) 0 0

01 0 10 A = 0 04

8 02 0 20

03

9

10

11

04

05

06

07

08

09

0 30 0 40 B = 0 27

0 50

0 60

0 70 = 0 65

0 80

0 90

C

1 1 D = 0 98

5. a) A táblázatban abszolút minimumhőmérsékleteket adtunk meg. Abszolút minimumhőmérséklet: az a legalacsonyabb hőmérséklet, amely egy adott időszakon belül előfordult. Megfigyelőállomás Debrecen Kecskemét Szeged

Minimumhőmérséklet ◦ C −30 0 ◦ C −33 0 ◦ C −29 3 ◦ C

Mosonmagyaróvár

−27 0 ◦ C

Miskolc Siófok Pécs Kékestető

−30 0 −29 1 −32 2 −35 0

◦

C C ◦ C ◦ C ◦

Magyarországi megfigyelőállomás →

A táblázatból kiválasztottunk négy-négy adatot. Melyik számsor mutatja növekvő sorrendben a négy kiválasztott hőmérsékletet? A) −35 ◦ C; −300 ◦ C; −293 ◦ C; −291 ◦ C B) −291 ◦ C; −292 ◦ C; −293 ◦ C; −300 ◦ C C) −330 ◦ C; −322 ◦ C; −300 ◦ C; −270 ◦ C Az A)-ban és a C)-ben növekvő, a B)-ben csökkenő sorrendben követik egymást az adatok.

224

Tizedes törtek b) Ábrázoljátok az abszolút minimumhőmérsékleteket számegyenesen! Ügyesen válasszatok egységet! −35

−34

−33

−32

−31

−30

−29

−28

−27

Ezeket és ezekhez hasonló kérdéseket tehetünk fel a gyerekeknek, majd páros munkában folytathatják a kérdések megfogalmazását és azok megválaszolását. Melyik városban mérték a legmagasabb hőmérsékletet? Mosonmagyaróváron Hol mérték a legalacsonyabb hőmérsékletet? Kékestetőn Hol volt 2◦ C-kal magasabb a hőmérséklet, mint Kékestetőn? Kecskeméten 6. Az ábrán látható rácsnak a felhasználásával titkos üzenetet lehet küldeni egymásnak. Például: (0; 1) (0; 08) (08; 02) (02; 02): Ez a kód ezt jelenti:

Ü

y

R

?

,

1 Ü

Ű

V

Z

ZS

.

R

S

SZ

T

TY

U

G

E

a) Mi a kódja a következő szavaknak? GYULA !

(1; 0 2) (1; 0 8) (0 8; 0 4) (0; 0)

CSILLAG (0 8; 0) (0; 0 4) (0 8; 0 4) (0 8; 0 4) (0; 0) (0 8; 0 2)

Ú

ELEFÁNT N

NY

O

Ó

Ö

Ő

P

I

Í

J

K

L

LY

M

DZS

E

É

F

G

GY

H

(0 2; 0 2) (0 8; 0 4) (0 2; 0 2) (0 6; 0 2) (0 2; 0) (0; 0 6) (0 6; 0 8)

HŰHA! (1 2; 0 2) (0 2; 1) (1 2; 0 2) (0; 0) (1 2; 1)

B D DZ C CS 0 A Á x 0 1 b) Fordítsd le az üzenetet! (12; 04) (04; 06) (0; 06) (1; 0) (1; 0) (0; 0) (06; 1) (06; 08) (02; 12) (12; 02) (04; 06) (1; 02) (0; 04) (02; 0) (12; 1) MONDD AZT, HOGY IÁ!

7. Ábrázold a −1; 0; −14; −07; 03; 21; 065; −095; 2 számokat számegyenesen! −1 4

−0 95−0 7

03

−2 −1 a) Kékkel jelöld az ellentettjüket! −2 1 −2

−0 65

−1

0 65

21

1

0 −0 3

2

0 7 0 95 0

1

14

2 225

Tizedes törtek b) Zölddel jelöld az abszolút értéküket! 03

0 65 0 7

0

0 95

14

1

21 2

8. Melyik az a szám, amelyik 14-del nagyobb az ellentettjénél? 0 7

9. Melyik szám áll a számegyenesen a −35-től és 05-től ugyanolyan távolságra? −1 5 10. A zsebszámológépek digitális számkijelzője olyan pici pálcikákból álló számjegyeket ír ki, mint ezek itt: A kijelzőn leírtuk azt a szót, hogy Sió, így: Hogyan lesz belőle 0,015? Ha kitaláltad, te is készíts hasonló rejtvényt! Ha megfordítjuk a gépet, ezt olvashatjuk:

, ami 0 015-nek is olvasható.

Játék A „Számok fejtetőn” játékot játszhatjuk a gyerekekkel ezen az órán. A játék leírása: A játék azon az érdekességen alapul, hogy a zsebszámológép kijelzőjén megjelenő számok, a 9 kivételével, fejtetőre állítva betűknek olvashatók. A játékban a játékvezető számokat mond, és a gyerekeknek az azoknak megfelelő szavakat kell kimondaniuk vagy leírniuk. A játék menete: Először megbeszéljük a gyerekekkel, hogy melyik számjegyet milyen betűnek látjuk a kijelzőn. a kijelzőn látható számjegyek fejtetőre állítva ilyen betűnek olvashatjuk

O – B L g S h E Z I Próbaként megnézünk egy-két példát. Ha minden gyereknek van gépe, akkor egyszerű a dolgunk, ha nincs, akkor kártyákra felírjuk a kijelzőn látható számjegyeket, és azok megfordításával bizonyosodunk meg arról, hogy valóban a gyerekek által mondott szót kapjuk-e vagy sem. A gépet a gyerekek a játék során csak ellenőrzésre használhatják. Például: 51-ből IS lesz, ha megfordítjuk a gépet. Kártyákkal: A csapatoknak olyan szavakat kell kitalálniuk, amelyekben van ékezetes betű, ezért fejtetőre állítva azok tizedes törtekként is kiolvashatók. Megállapodunk abban, hogy az 1-nél kisebb számoknál nem írjuk ki az egyesek helyén álló nullát. Például: A 00770 fejtetőre állítva az OLLÓ szónak felel meg. Kártyákkal: Többféleképpen játszhatjuk a játékot: • ha az egész osztállyal játszunk, akkor a játékvezető lassan kimondja a számot. Az a játékos, aki először kimondja a megoldást, annyi pontot kap, ahány betűből áll a szó. • csapatjáték esetén minden csapat eldöntheti, hogy hány jegyű számot kér abban a fordulóban. Ha a megállapodás szerinti idő alatt (pl. 10 másodperc) nem találja ki a soron következő csapat, akkor egy másik csapat „rabolhat”, azaz az idő lejárta után rögtön bemondhatja a megfelelő szót. Az a csapat nyer, amelyik a legtöbb pontot gyűjti például öt forduló után. 226

Tizedes törtek 5. óra: Tizedes törtek egyszerűsítése, bővítése, összehasonlítása Tk.: 226–229. oldal, 1–11. feladat Az óra célja: tizedes törtek egyszerűsítése és bővítése. Bővített alakban megadott mérőszámok értelmezése. A mindennapi életben gyakran találkoznak a gyerekek ilyen számokkal (például, ha egy beépítésre kerülő vasgerendára az van írva, hogy 15,000 m, ez azt jelenti, hogy ezredméterig vállalnak felelősséget érte.) Keressenek a gyerekek is ilyen típusú adatokat (például hidak, lift terhelhetősége stb.)! Játék „Igaz legyen!” Csoportban és frontálisan is játszhatjuk a gyerekekkel ezt a játékot. Nagyon jól elmélyíti a helyi érték fogalmát, a tizedes törtek összehasonlítását, valamint a biztos és lehetetlen esemény fogalmát. Előkészületek: a játékhoz szükség van erre a tíz számkártyára: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A gyerekeknek minden fordulóban el kell készíteniük a füzetükbe ezt a rajzot:

>

A játék menete: A játékvezető húz egy számkártyát, és megmutatja a játékosoknak. Mindenkinek be kell írnia ezt a számot a számjegyek helyét kijelölő sárga négyzetek valamelyikébe! A játékvezető a már kihúzott kártyát nem teszi vissza a többi közé. A maradék kártyákat megkeveri, és ismét húz egy számkártyát, és a játékosoknak ezt is be kell írniuk a számjegyek helyét kijelölő sárga négyzetek valamelyikébe. Ilyen módon húzza ki a játékvezető a két szám nyolc számjegyét. Az a játékos nyer, akinél az így kapott két szám igazzá teszi az adott egyenlőtlenséget.

Feladatok 1. Melyik nagyobb? a)

4 >39 vagy 10 100

b)

15 >21 vagy 10 100

c)

2. Egyszerűsítsd a tizedes törteket, ha lehet! a) 350; 3500 3 5 c) 1304; 13040 13 04

40 >99 vagy 10 100

d)

60 <900 vagy 100 1000

b) 010; 0100 0 1 d) 610; 0040 6 1; 0 04

3. Bővítsd századokká, ezredekké a tizedes törteket! a) 05 = 0 50 = 0 500 b) 83 = 8 30 = 8 300 c) 102 = 10 20 = 10 200 d) 5134 = 513 40 = 513 400 e) 65432 = 6543 20 = 6543 200 4. Válaszd ki, hogy a két szám közül melyik a nagyobb!

<

>

a) 42 vagy 420

b) 969 vagy 7000

c) 5100 vagy 501

d) 7100 vagy 91

e) 10101 vagy 1001

f) 09 vagy 0090

=

<

>

>

227

Tizedes törtek 5. Válaszd ki, hogy a két szám közül melyik a nagyobb!

>

>

>

a) 315 vagy 3105

b) 501203 vagy 50120

c) 01 vagy 001

d) 1756 vagy 17650

e) 0020 vagy 0200

f) 012 vagy 0012

<

<

>

6. Három ugyanolyan pontosságú mennyiség szerepel minden feladatban. El kell döntened, hogy milyen pontosságúak! Írd le a helyes válasz betűjelét! a) Valószínűleg a legrégebbi megmaradt kutyafajtánk a komondor és a kuvasz. A magyar vizsla ősei is a vándorló magyar törzsekkel kerültek hazánkba. Ezeket a nagytermetű, erős és bátor kutyákat a honfoglaló magyarok vadászatra és terelésre, a komondort őrzésre is használták. A fotókon piros szakasszal jelöltük a kutyák marmagasságát, és mellé írtuk a hosszát. kuvasz

komondor

0 74 m

A) deciméter pontosságú

magyar vizsla

0 57 m

0 70 m

B) centiméter pontosságú

C) milliméter pontosságú

b) A sport edzetté tesz bennünket és nagyon szomjassá. Megadtuk, hogy három sportágban mennyi a szervezet folyadékvesztesége. 10 000 m-es futás: 15 liter A) deciliter pontosságú

maratoni futás (42195 km): 40 liter B) centiliter pontosságú

7. A KRESZ-táblák azt mutatják, hogy az adott útszakaszon mennyi egy jármű megengedett legnagyobb szélessége, magassága, illetve tömege (rakományával együtt). A fenti korlátozások közül melyiknek nem felel meg egy 68 tonna össztömegű, 1870 m széles, 276 m magas furgon? Add meg a helyes válasz betűjelét! A) Szélesség B) Magasság C) Tömeg 8. Írd le csökkenő sorrendbe a számokat! 2201 2201 221 2211

223

2204

22 2 > 22 11 > 22 1 > 22 04 > 22 01 > 22 005 > 2 201 22 3 >

228

evezés (2 km): 08 liter C) milliliter pontosságú

D) Minden feltételnek megfelel. 22005

22200 = 22 2

Tizedes törtek 9. A következő számokban néhány számjegyet letakartunk. Csak a látható számjegyek alapján válaszolj! A füzetedbe dolgozz!

A B C D E F G

7 0 , 8 2 , 8 ,

A> B C> D C a legnagyobb G a legnagyobb A a legkisebb F =C D =C

7 0 1 2 9

8 5 4, 7 9 , 9 9, 3 3 9 9 9, 9

Biztos

Lehet

Lehetetlen +

+ + + + + +

10. A Föld legmelegebb és leghidegebb vidékein mérték ezeket a hőmérsékleteket: a) Állítsd növekvő sorrendbe a hőmérsékleti adatokat!

Líbia: Észak-Amerika: Szibéria: −89 2 ◦ C < −55 0 ◦ C < −52 3 ◦ C < +55 0 ◦ C < +56 7 ◦ C < +57 8 ◦ C Kuvait: b) Mekkora a legmagasabb és a legalacsonyabb hőmérsékleti ér- Kína: ték között a különbség? 147 ◦ C Svédország: c) Melyik két hőmérsékleti érték abszolút értéke egyenlő?

+578 +567 −892 +550 −523 −550

◦

C C ◦ C ◦ C ◦ C ◦ C ◦

| + 55 ◦ C| = | − 55 ◦ C|

Keressetek az interneten hazai vonatkozású időjárási rekordokat! 11. Öten sakkoztak. Mindenki mindenkivel egyszer játszott. Minden játszma után a győztes 1 pontot, a vesztes 0 pontot kapott, döntetlen esetén mindketten 05 pontot kaptak. A játszmák után a versenyzők pontszámait csökkenő sorrendbe állítottuk. Minden játékos legyőzte a sorrendben közvetlenül előtte állót. Lehetett-e döntetlen a mérkőzések között? Minden sakkozó négy másikkal játszott, egy-egy játszma azonban kettőt érint, ezért a mérkőzések, illetve a felosztásra került pontok száma: 5 · 4 : 2 = 10. A feltételek miatt ebből 4 pont rendre így kerül felosztásra a helyezettek között: 0, 1, 1, 1, 1. Ahhoz, hogy a 4. helyezést elérő játékosnak több pontja legyen, mint az 5. helyet elérő játékosnak, legalább 0 5 ponttal kell többet elérnie. Emiatt a többiek pontjai a következők: 3; 2 5; 2; 1 5; 1. Ezek összege éppen 10 pont. Más feltételeknek megfelelő pontállás nem lehetséges, ezért 1 döntetlen mérkőzés volt, és több nem is lehetett.

6–7. óra: Tizedes törtek kerekítése Tk.: 229–232. oldal, 1–7. feladat Az órák célja: A természetes számok kerekítésére vonatkozó szabályok felelevenítése. A kerekítés szabályainak kiterjesztése tizedes törtekre.

229

Tizedes törtek Feladatok 1. Ezen a rajzon a fa körülbelül 61 m. Körülbelül milyen magasak az állatok és gondozójuk? Kerekítsd méterre a magasságukat!

6m 5m 4m 3m 2m 1m

A közelítő magasságok: a zsiráf 4 7 m , az elefánt 3 m, a gondozójuk 1 8 m. A méterre kerekített értékek: a zsiráf 5 m, az elefánt 3 m, a gondozójuk 2 m. A fa 6 m.

2. a) Milyen számokra mutatnak a nyilak? b) Add meg a számok nagyobbik egész szomszédját! 6, 7, 8, 9 c) Kerekítsd a betűvel jelölt számokat egészre! 5, 6, 8, 9

a =54

5

b=62

6

c=78

7

d =86

8

9

3. a) Milyen számokra mutatnak a nyilak? b) Add meg a betűvel jelölt számok nagyobbik tized szomszédját! 2 4; 2 5; 2 6; 2 7 c) Kerekítsd a betűvel jelölt számokat tizedre! 2 3; 2 5; 2 5; 2 7

e = 2 32

23

f

= 2 45

24

25

g = 2 54

h = 2 66

26

27

4. Fogalmazd meg a századokra való kerekítés szabályát! Írd le a füzetedbe! 0 01 0 014

0 02

0 01

0 02

0 025

0 03

0 036 0 04

0 03

0 04

a számok

a számok századokra kerekített értéke

Századokra így kerekítünk: – Ha a számnak nincs századnál kisebb helyi értékű (0-tól különböző) számjegye, akkor a szám kerekített értéke önmaga, például 0 11 ≈ 0 11. – Ha a számnak van századnál kisebb helyi értékű (0-tól különböző) jegye, akkor a tizedes törtet a hozzá közelebbi század szomszédjára kerekítjük, például 0 022 ≈ 0 02 vagy 0 027 ≈ 0 03. – Ha mindkét század szomszédjától ugyanolyan távolságra van, akkor a nagyobbik szomszédjára kerekítjük, például 0 015 ≈ 0 02.

230

Tizedes törtek 5. a) Milyen számokra mutatnak a nyilak?

a = 0 002

0

0 01

b = 0 027

0 02

0 03

c = 0 051

0 04

0 05

d = 0 07

0 06

0 07

e = 0 097

0 08

b) Kerekítsétek a betűvel jelölt számokat századra és tizedre!

a ≈ 0; 0

b ≈ 0 03; 0

c ≈ 0 05; 0 1

d ≈ 0 07; 0 1

0 09

f

= 0 113

01

e ≈ 0 10; 0 1

f

≈ 0 11; 0 1

6. A Föld hídjai közül sorolunk fel néhányat. A híd neve Bosporus Hossza (km)

Sydney Harbour

Second Hoogly

1074 ≈ 1 0503 ≈ 1 0457 ≈ 0

Humber 141 ≈ 1

Quebeck Railway

0549 ≈ 1

Amizade

Erzsébet híd

029 ≈ 0

0280 ≈ 0

a) A felsoroltak közül melyik a leghosszabb? Humber b) Melyik a legrövidebb? Erzsébet híd c) Add meg a hosszúságokat kilométerre kerekítve! Változik-e így a nagyság szerinti sorrendjük? Igen, így nem lesz sem leghosszabb, sem legrövidebb. 7. A táblázat a vásárló számára legkedvezőbb valutaárfolyamokat mutatja 2012. augusztus 19-én. A táblázatból kiolvashatjuk például, hogy 1 amerikai dollárt (ennek a napnak egy időszakában) 228440 Ft-ért lehetett vásárolni egy adott bankban. a) Milyen pontosságúak a táblázatban szereplő Valuta Árfolyam számok? ezred USD amerikai dollár 228.440 b) Hány forintot kellett fizetni 1 orosz rubeAUD ausztrál dollár 241.170 lért? 7 403 DKK dán korona 38.290 c) Melyik valuta egyesekre kerekített értéke EUR euró 282.580 38 Ft? dán korona CAD kanadai dollár 233.910 d) Melyik valuta tízesekre kerekített értéke RUB orosz rubel 7.403 240 Ft? ausztrál dollár, kanadai dollár, svájci CHF svájci frank 236.190 frank SEK svéd korona

34.440

e) Melyik valuta százasokra kerekített értéke 200 Ft? amerikai dollár, ausztrál dollár, kanadai dollár, svájci frank

f) Becsüld meg, hogy 1000 Ft-ért körülbelül mennyit vásárolhattunk volna az egyes valutákból ebben az időszakban! 4 amerikai dollárt, 4 ausztrál dollárt, 26 dán koronát, 3 eurót, 4 kanadai dollárt, 4 svájci frankot és 29 svéd koronát

Mit jelentenek az árfolyamok mellett látható lefelé mutató zöld, illetve felfelé mutató piros nyilak? A lefelé mutató zöld nyíl azt mutatja, hogy esett az adott valuta árfolyama, azaz kevesebb forintért tudunk ugyanannyi valutát venni. A piros nyíl esetében pedig nőtt az árfolyama az adott valutának, azaz több forintért tudunk ugyanannyi valutát venni, mint korábban.

231

Tizedes törtek 8–11. óra: Tizedes törtek összeadása, kivonása Tk.: 233–237. oldal, 1–19. feladat Az órák célja: annak tudatosítása, hogy az egész számoknál tanult eljárások a tizedes törtek esetére is alkalmazhatók. Állapodjunk meg abban, hogy a műveletekben a tizedes tört adatokat pontos értékeknek tekintjük, ezért 0-kat írhatunk a tizedesjegyek végére. Az összeadásban és a kivonásban mindig zavart szokott okozni, ha a tagok nem azonos számú tizedesjegyet tartalmaznak. Kezdetben meg is kívánhatjuk, hogy 0-val (vagy nullákkal) pótolják a gyerekek a hiányzó jegyeket úgy, hogy a tagok utolsó jegyei egymás alá kerüljenek. Javasolt eszköz: 1 dm3 -es kocka vagy Dienes-készlet. Játék „Ki kerül legközelebb a tízhez?” Csoportban és frontálisan is játszhatjuk a gyerekekkel ezt a játékot. A játék nagyon jól segíti a becslést és fejben való számolást, valamint a biztos és lehetetlen esemény fogalmát. Előkészületek: a játékhoz egy dobókockára vagy tíz számkártyára van szükség. A gyerekeknek minden fordulóban el kell készíteniük a füzetükbe a rajzok valamelyikét, attól függően, hogy összeggel vagy különbséggel szeretnének játszani. a) + b) − A játék menete: A játékvezető dob egy számot a kockával, vagy húz egy számkártyát, és megmondja vagy megmutatja azt a játékosoknak. Mindenkinek be kell írnia ezt a számot a számjegyek helyét kijelölő sárga négyzetek valamelyikébe. Ismét dob egy számot. A játékosoknak ezt is be kell írniuk a számjegyek helyét kijelölő sárga négyzetek valamelyikébe. Ilyen módon dobja meg a játékvezető a két szám négy számjegyét. Az a játékos nyer, akinél az így kapott szám legjobban megközelíti a 10-et. Ha a játékot számkártyákkal játsszuk, akkor a kihúzott számkártyákat nem tesszük vissza a kártyacsomagba! 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Feladatok 1. Végezd el szóban a műveleteket! a) 122 + 148 = 27 c) 834 − 13 = 7 04 e) 13024 − 1002 = 3 004

b) 127 − 102 = 2 5 d) 3282 + 201 = 348 3 f) 6035 + 4035 = 100 7

2. Számolj a) 3-tól 0,8-esével 7-ig; 3; 3 8; 4 6; 5 4; 6 2; 7 b) 2-től 1,2-esével 8-ig! 2; 3 2; 4 4; 5 6; 6 8; 8 c) 4-től 075-osával számolva hány lépéssel éred el a 85-et? 4; 4 75; 5 5; 6 25; 7; 7 75; 8 5 Hat lépéssel lehet elérni a 8 5-et.

232

Tizedes törtek 3. Számolj visszafelé a) 5-től 05-esével 0-ig; 5; 4 5; 4; 3 5; 3; 2 5; 2; 1 5; 1; 0 5; 0 b) 2-től 07-esével, amíg el nem hagyod a −3-at; 2; 1 3; 0 6; −0 1; −0 8; −1 5; −2 2; −2 9; −3 6 c) 0,25-tól 0,25-ával! Hány lépéssel éred el a −3-at? Tizenhárom lépéssel lehet elérni a −3-at. 0 25; 0; −0 5; −0 75; −1; −1 25; −1 5; −1 75; −2; 2 25; −2 5; −2 75; −3

4. Ezeket a számokat adjuk meg: 02; 108; 4855; 1531; 4903; 99001 . Állapítsd meg, mennyi hiányzik az adott számokhoz, hogy elérjük a) a legközelebbi nagyobb egész számot; b) a legközelebbi nagyobb tízest; c) a legközelebbi nagyobb százast! a szám a) b) c)

0,2 0,8 9,8 99,8

1,08 0,92 8,92 98,92

4,855 0,145 5,145 95,145

15,31 0,69 4,69 94,69

49,03 0,97 0,97 50,97

99,001 0,999 0,999 0,999

5. Becsüld meg az eredményt egészekre kerekítve, majd végezd el írásban a műveleteket! a) b) c) d) e) f) g) h)

58 + 26 139 + 73 116 + 219 1245 + 397 28 − 16 245 − 39 228 − 179 1052 − 677

kerekítettt érték

pontos érték

9

84

21

21 2

34

33 5

165

164 2

1

11

21

20 6

5

49

37

37 5

6. Becsüld meg az eredményt egészekre kerekítve, majd végezd el írásban az összeadást! a) 228 + 104 + 076 = 4 08 b) 43205 + 3 + 42 = 50 405 c) 111 + 111 + 111 = 123 21 d) 99 + 099 + 0099 = 10 989 7. Becsüld meg az eredményt tizedekre kerekítve, majd végezd el írásban a kivonást! a) 5775 − 3741 = 20 34 b) 9990 − 998 = 89 92 c) 34 − 019 = 3 21 d) 12 − 036 = 11 64 e) 3684 − 12 = 24 84 f) 49625 − 79 = 41 725 g) 101 − 0375 = 9 725 h) 604 − 3482 = 2 558 8. Végezd el az összeadásokat és a kivonásokat! Végezz becslést tizedekre kerekítve! a) 3013 b) 104 0 c) 41,00 d) 932 14001 3041 326 − 628 + 12347 + 63 00 + 0654 30,4 29,361

10,381

44,914

233

Tizedes törtek e)

141 0 − 042

f)

13,68

53,0 − 125

g)

413 0 − 2941

40,5

h)

11,89

41132 0 − 29041 382,279

A 8. feladat megjelölt részeiben kívánjuk meg a bővített alakok használatát! 9. Ennek a ponyvás nyerges kamionnak a teljes hossza 16500 m.

?m

13,660 m

16,500 m a) Milyen pontossággal adtuk meg a nyerges kamion hosszát? A) méteres B) deciméteres C) centiméteres D) milliméteres b) Hány méter a vezetőfülke hossza? 16 500 m − 13 660 m = 2 840 m = 2 84 m c) Teherszállító hajóval eljuthat-e ez a kamion A) Oroszországba, ha a hajó maximum 206 m hosszú kamionokat tud szállítani? Igen. B) Belgiumba, ha a hajó maximum 164 m hosszú kamionokat tud szállítani? Nem. 10. a) Kati néni ki akarja cserélni az izzólámpát. Milyen magas a létra? 2 02 m

b) A templom javításakor a kőművesmesterek állványt állítottak a rövidebb toronyhoz. Milyen magas az állvány? 51 9 m 60 8 − 23 7 + 14 8 = 51 9 m

2 02 m

234

148 m

608 m

382 m

237 m

18 m

?

Tizedes törtek 11. Írj a bűvös négyzetekbe számokat a betűk helyére úgy, hogy az a) négyzetben minden sorban, minden oszlopban és a két átlóban a számok összege megegyezzen, a b) részben ez az összeg 15 legyen!

a)

384 37

B

3 74

D

3 76

A

b)

38

378 3C82 386 3E72

02

G

09

04

07

05

03

06

01

08

H

I

K

J

12. Egy ejtőernyős 4 másodpercig szabadeséssel esett a föld felé. Az első másodpercben 49 mt zuhant. Majd minden további másodpercben 98 m-rel többet, mint az előző másodpercben. Ekkor kinyílt az ejtőernyője. Hány métert zuhant szabadeséssel az ejtőernyős 4 másodperc alatt? 4 9 + (4 9 + 9 8)+ (4 9 + 9 8 + 9 8) + (4 9 + 9 8 + 9 8 + 9 8) = 78 4

78 4 m-t zuhan az ejtőernyős.

13. Számkártyákból kiraktuk a 3 6 1 4 számot, majd összekevertük a kártyákat, és a 1 4 számot raktuk ki. Mennyivel változott a valódi értéke a) a 3 -as, 30 − 0 03 = 29 07-dal csökkent. c) az 1 -es, 10 − 0 1 = 9 9-del nőtt. kártyának?

6

3

b) a 6 -os, 6 − 0 6 = 5 4-del csökkent. d) a 4 -es 4 − 0 04 = 3 96-dal nőtt.

14. Döntsd el, melyik művelet eredménye több, és mennyivel! Fejben számolj!

> > 642 + 531 vagy 642 − 531 Az első, 2 · 385 6-del = 771 2-del.

a) 444 + 333 vagy 444 − 333 Az első, 2 · 333 3-del = 666 6-del. b)

Ez a feladat a szorzást is előkészíti. 15. Melyik több? Indokoljátok meg a döntéseiteket! a) 312 + 458 − 38 vagy 312 + (458 − 38) =

<

b) 5603 − (4622 + 5378) vagy 5603 − 4622 + 5378 A második, 107 56-dal. c) 1012 − 502 − 47 vagy (1012 − 502) − 47 =

<

d) 8325 − 6075 − 135 vagy 8325 − (6075 − 135) A második, 27-tel. 16. A kártyákon álló számok közül melyek teszik igazzá az egyenleteket, egyenlőtlenségeket? Zsebszámológéppel ellenőrizzétek döntéseiteket! 01 08 11

2

55

a) 5 + < 74 : 0 1; 0 8; 1 1; 2 b) 328 − > 0 : 0 1; 0 8; 1 1; 2 c) 307 + = 425 − 008 =11 d) −35 + = 05 : A megadott számok közül egyik sem teszi igazzá.

235

Tizedes törtek

17. Pótold a hiányzó számjegyeket! a) b) 1 3 8 3 5 3 8 5 4 4 3 0 6 − 9 6 3 1 2 4 5 0 2 2 8 9 1 + 1 1 1 9 1

c) −

7 2 3 7 2 3 1 1 9

6 92 53

1 5 3 8 3 4

18. Színes hátú számkártyákból raktunk ki tizedes törteket. Először ilyen sorrendben tettük le a kártyákat: . Majd felcseréltük a kártyák sorrendjét, és ezt a számot raktuk ki: . A csere után a sárga kártya valódi értéke 81-gyel csökkent, a kék kártya valódi értéke 27-del csökkent, a piros kártyáé 99-del nőtt. a) Találd ki, milyen számot raktunk ki! Az eredeti szám 93 1. A felcserélt 19 3. b) Mennyit érnek ezek a számok? 39 1 és 91 3 19. Mennyivel egyenlő a

B − A? 127 A = − 16

5 10 − =− 12 6 Egy beosztás

1 -et ér. 12

A = − 122 = − 61 , B = 125 .

025 025 =

B = 125 1 3 = 4 12

12–13. óra: Tizedes törtek szorzása, osztása 10-zel, 100-zal, 1000-rel. . . Tk.: 237–242. oldal, 1–14. feladat Az órák célja: a 10 hatványaival való szorzás és osztás kiterjesztése tizedes törtekre. Célszerű a szorzást és osztást párhuzamosan tanítani. (Az 1000-rel való szorzásra és osztásra inkább ne térjünk ki az első órán!) Használjunk most is helyiérték-táblázatot! Mozgassuk el a számhoz képest jobbra, illetve balra egy-két hellyel, a gyerekek megfigyelhetik így, hogy 10-szer, 100-szor nagyobb, illetve tizedakkora, századakkora számot kapunk az eredetileg beírt számhoz képest. Megfigyeléseinket a szám tört alakban való szorzásával és osztásával is megerősíthetjük. Javasolt eszközök: Helyiérték-táblázat fólián, mozgatható számcsíkkal vagy ugyanennek a célnak megfelelő bármilyen digitális animáció.

Feladatok 1. Végezd el a műveleteket! A füzetedben dolgozz! a) 231 · 10 = 2310 1024 · 100 = 102 400 2021 · 1000 = 2 021 000

236

b) 8310 : 10 = 831 83 000 : 100 = 830 8 931 000 : 1000 = 8931

c) 251 · 10 = 25 1 0502 · 100 = 50 2 1361 · 1000 = 13 610

Tizedes törtek 2. Végezd el a műveleteket! A füzetedben dolgozz! a) 18 · 10 = 18 004 · 10 = 0 4 0005 · 10 = 0 05 7012 · 10 = 70 12

b) 171 : 10 = 1 71 71 : 10 = 0 71 02 : 10 = 0 02 712 : 10 = 0 712

c) 65 · 100 = 650 d) 3 : 100 = 0 03 004 · 100 = 4 1362 : 100 = 1 362 00051 · 100 = 0 51 742 : 100 = 0 742 000004 · 100 = 0 004 06 : 100 = 0 006

3. Melyik egyenlőség igaz? Add meg a betűjelét! a) A) 18 · 1000 = 1800 B) 014 · 1000 = 14 C) 1308 · 1000 = 13 080

b) A) 73 456 : 1000 = 73456 B) 5010 : 1000 = 501 C) 401 : 1000 = 4010

4. A tizedet Magyarországon Szent István királyunk vezette be. A tizedet a kezdeti időszakban a jobbágyok terméséből vették el. Az idő múltával a földesurak vállalták el a tized behajtását. A tized begyűjtésére általában egy helyet is kiválasztottak a földesurak, amit dézsmahelynek neveztek akkoriban. A tizedet a decimátor szedte be. A tized szónak megfelelője a dézsma, amely a latin decima (tized) szóból alakult ki. a) Hogy nevezték azt a helyet, ahol a tizedet begyűjtötték? dézsmahely b) Mit jelent a dézsma szó? tized c) Hogyan nevezték azt a személyt, aki a dézsmát begyűjtötte? decimátor d) Ha te ebben a korban jobbágy lettél volna, mennyi dézsmát szedtek volna be tőled, amennyiben A) 20 ludad, B) 230 liter borod, C) 9 mázsa búzád lett volna? A) 2 ludat,

B) 23 liter bort,

C) 0 9 mázsa búzát

5. A nagy számokat gyakran írják tizedes tört alakban. Például: 102 millió = 10 200 000. Írd le természetes számmal a tizedes törttel megadott nagy számokat! a) A 2012-es Londoni Olimpiai és Paralimpiai Játékokon összesen 203 ország 147 ezer olimpikonja és paralimpikonja vett részt. 14 700 000 b) Hazánk lakossága a népszámlálás adatai szerint 2010 augusztusában 9999 millió fő volt. 9 999 000

6. Melyik több? Írd fel jelekkel!

> > (528 + 304) · 100 vagy 528 + 304

a) (528 + 304) · 10 vagy 528 + 304 b)

c) 528 + 304 · 100 vagy 528 + 304 =

< > 1375 + 025 : 10 vagy 1375 + 0025

d) (1375 + 025) : 10 vagy 1375 + 025 e)

f) (1375 + 025) : 10 vagy 1375 + 0025 =

237

Tizedes törtek 7. Készíts táblázatot, és írd bele a hiányzó mérőszámokat és mértékegységeket! (1 hm = 1 hektométer = 100 m; 1 dkm = 1 dekaméter = 10 m) Mit választottunk egységnek, ha a mennyiségek mérőszáma a sor végén olvasható tizedes tört? Hosszúság 1000 m 100 m 1 hm 1 km

1m

01 m 1 dm

0

3

8

5

8

5

10 m 1 dkm

34 cm 850 dm

0

0

850 dm 38 cm 4500 cm 580 000 cm

5

8

mérőszám 0,34

egység

0

0,0850

km

0

8,50

dkm

4

m

3

8

0,038

dkm

4

5

0

0

0,045

km

0

0

0

0

5,8

km

5

0

9

5,09

m

5

0

8

50,8

cm

8

1

5

408,15

dm

509 cm 508 mm 40 815 mm

001 m 0001 m 1 cm 1 mm

0

4

8. Készíts táblázatot, és írd bele a hiányzó mérőszámokat és mértékegységeket! (1 t = 1 tonna; 1 q = 1 mázsa = 100 kg; 1 hg = 1 hektogramm; 1 dkg = 1 dekagramm) Tömeg

1000 kg 100 kg 10 kg 1q 1t

41 kg 3 dkg 5 t 67 kg

5

343 kg

01 kg 001 kg 0001 kg 1 hg 1 dkg 1g

1 kg

0

41,03 kg

3

4

1

0

6

7

5 067 t

3

4

3

0 343 t

dkg

0

1

4

6 kg 450 g

6

4

5

0

684 dkg 2 g

6

8

4

2

14

4 t 500 kg

4

5

0

0 14 kg

3800 m = 49 m 36 mm = 4 m 936 mm = 3 km 8000 dm = 3 m 800 dm = 83 m = 3800 mm = 40 m 936 cm = 4 dm 936 mm =

km m m km km km m m m

6 45 kg 684 2

4,5

0

9. A helyes válaszok betűjelét összeolvasva egy értelmes szót kapsz. Mi ez?

238

tizedes törttel

E D Z E T T S É G

D 49,036 m E 3,8 km É 49,36 m G 1,336 m T 0,083 km Z 4,936 m S 3,8 m

dkg t

Tizedes törtek 10. A bambusznád palántája mindennap 01 m-t nő. Hány méterrel lesz magasabb 10, 20, 30 nap múlva? 1 m-rel, 2 m-rel, 3 m-rel lesz magasabb. Készítettek-e valaha bambusznádból nyílvesszőt, papírt, kerékpárvázat? Mindhármat készítettek. 11. A hazai cseppkőbarlangokban 100 év alatt kb. 06 mm-t nőnek a cseppkövek. Mennyit nő egy ilyen cseppkő 2000 év alatt? Add meg a helyes válasz betűjelét! A) kb. 12 m B) kb. 12 dm C) kb. 12 cm Tudod-e, miért nem szabad kézzel hozzáérni a cseppkövekhez? A kézről rákerülő szennyeződés megállítja a növekedési folyamatot.

12. A sebesebb folyók minden évben kb. 025 mm-t köszörülnek le a saját medrükből. Mennyit koptat le egy ilyen folyó a medréből a) egy évszázad alatt; 2 5 cm b) egy évezred alatt; 25 cm c) 1 millió év alatt? 250 m = 0 25 km 13. Rajzoltunk egy számegyenest, és azon megjelöltünk néhány számot. Mely számok helyét jelölik a piros pontok az egyes esetekben?

B

a)

B C D E F G G

C D

A = 100 a) −140 −110 −90 −10 10 70 180

E

b)

0

A = 10

b) −14 −11 −9 −1 1 7 18

F

c)

G

A=1

c) −1 4 −1 1 −0 9 −0 1 01 07 18

d) −0 14 −0 11 −0 09 −0 01 0 01 0 07 0 18

d)

H

A

A = 01 e) −0 014 −0 011 −0 009 −0 001 0 001 0 007 0 018

e)

72 t = 7200 kg 5 g 5 mg = 5,005 g 05 dm2 = 50 cm2 07 dm3 = 0,0007 m3

b) e) h) k)

718 kg = 7180 g 95 mg = 0,0095 g 344 dm2 = 0,344 m2 004 l = 40 ml

f)

A = 0001

f) −0 0014 −0 0011 −0 0009 −0 0001 0 0001 0 0007 0 0018

14. Adjátok meg a hiányzó mérőszámokat! a) d) g) j)

A = 001

c) f) i) l)

2537 kg = 2537 g 12 kg 52 g = 12,052 kg 35 m3 = 3500 dm3 85 cl = 0,085 l

14–15. óra: Tizedes törtek szorzása természetes számmal Tk.: 243–245. oldal, 1–13. feladatok Az órák célja: a tizedes tört szorzásának értelmezését a már eddig megismert és megértett műveletekre vezetjük vissza. • Visszavezetjük az új műveletet az ismételt összeadásra. A szorzatot felírjuk összeg alakban és elvégezzük az összeadást. Könnyen belátják a gyerekek, hogy ez a módszer nagy szorzó esetén nem célszerű eljárás. 239

Tizedes törtek

• Visszavezetjük az új műveletet a természetes számok természetes számmal való szorzására. Felhasználjuk a szorzat változásairól, valamint a 10 hatványaival való szorzásról és osztásról tanult ismereteket, eljárásokat. Ha a szorzandót tizedére, századára, ezredére: : : változtatjuk és a szorzót nem változtatjuk, akkor a szorzat is tizedére, századára, ezredére: : : változik. • A tört természetes számmal való szorzására vezetjük vissza az új műveletet. A tizedes törtet tört alakban felírva végezzük el a szorzást. A számláló és a szorzó szorzatát a megfelelő 10hatvánnyal osztjuk el. Itt is felhasználjuk az előző órákon tanultakat. Nagyon hasznos mind a három utat bemutatni, ne sajnáljuk rá az időt! Remek alkalom nyílik a műveletfogalmak érlelésére, elmélyítésére. Az írásbeli szorzás algoritmusának lejegyzésére több példát is mutatunk. A részletszorzatban a valódi érték lejegyzése a nehezebben haladóknak biztonságosabb, kisebb a hibázás lehetősége. A hibák megelőzése érdekében a szorzás elvégzése előtt mindig becsültessük meg a szorzat nagyságrendjét! Állapítsák meg a gyerekek, hogy a szorzat egész része hány jegyből fog állni, majd pontozzuk ki a számjegyek helyét, és írjunk mögé tizedesvesszőt!

Feladatok 1. Több szorzatot írtunk fel. Milyen kapcsolatban vannak a szorzatok a 48 · 72 = 3456-tal? Figyeld a tényezők változását! Ennek alapján válaszolj! Például: 24 · 72 = 1728, a szorzat egyik tényezőjét felére csökkentettük, a szorzat értéke is a felére csökkent. b) 12 · 72 negyede c) 48 · 72 tizede a) 24 · 36 negyede d) 048 · 72 százada e) 0048 · 72 ezrede 2. Számítsd ki fejben! a) 04 · 2 = 0 8 d) 08 · 2 = 1 6

3. Számítsd ki fejben! a) 009 · 6 = 0 54 d) 009 · 9 = 0 81

b) 05 · 3 = 1 5 e) 06 · 9 = 5 4

c) 07 · 4 = 2 8 f) 07 · 19 = 13 3

b) 005 · 8 = 0 4 e) 004 · 8 = 0 32

c) 008 · 7 = 0 56 f) 005 · 6 = 0 3

4. Adottak a 03; 25; 008; 096 számok. Határozd meg a) a kétszeresüket; 0 6; 5; 0 16; 1 92 c) a hússzorosukat; 6; 50; 1 6; 19 2 e) a százszorosukat; 30; 250; 8; 96

b) a tízszeresüket; 3; 25; 0 8; 9 6 d) a háromszorosukat; 0 9; 7 5; 0 24; 2 88 f) a háromszázszorosukat! 90; 750; 24; 288

5. Fejben végezd el a következő szorzásokat! a) 25 · 4 100 25 · 4 10 025 · 4 1 025 · 40 10 b) 125 · 8 1000 c) 625 · 16 10 000 240

125 · 8 10

0125 · 8 1

625 · 16 1000

0025 · 40 1

125 · 80 1000

625 · 16 100

125 · 8 100

0625 · 16 10

00625 · 16 1

Tizedes törtek 6. Végezd el fejben a következő szorzásokat! a) 347 · (025 · 4) = 347 b) (125 · 8) · 90 = 900

c) 046 · (125 · 80) = 460

7. Végezd el írásban a szorzásokat! Zsebszámológéppel ellenőrizd! Nagyságrendet becsültessünk! Becslés: 4 · 5 = 20

4 · 40 = 160

a) 413 · 5 = 20 65

b) 363 · 42 = 152 46

Becslés: 10 · 25 = 250

100 · 30 = 3000

d) 134 · 25 = 335

e) 1024 · 32 = 3276 8

30 · 20 = 600

c) 325 · 20 = 650 10 · 150 = 1500

f) 108 · 150 = 1620

8. A 32 kamion rakományát egyetlen áruszállító hajóval el lehet szállítani. a) Hány tonna a hajó rakománya, ha egy-egy kamion 375 tonna árut szállít? 37 8 t· 32 = 1209 6 t b) Melyik szállítási mód szennyezi kisebb mértékben a környezetet? Az áruszállító hajó. 9. Egy telefontársaság árajánlatából láthattok részleteket. Aktuális áraink: Nincs kapcsolási díj! A belföldi és a mobilhálózatba irányuló hívások forint/percben kifejezett forgalmi díjait az alábbi táblázat tartalmazza: Helyi és belföldi vonalas hívások díja egységesen a nap 24 órájában (Ft/perc)

6,25

A belföldi mobilhálózatba kezdeményezett hívások díja egységesen a nap 24 órájában (Ft/perc)

29,50

Számítsátok ki, hogy mennyi a beszélgetés díja, ha belföldi számot hívtok, és a) 10 percig beszéltek vonalas telefonon; 62 5 Ft b) 20 percig beszéltek mobilon; 590 Ft c) 22 percig beszéltek vonalas telefonon; 137 5 Ft d) 54 percig beszéltek mobilon! 1593 Ft Mit jelent az, hogy a telefontársaság kapcsolási díjat számol fel? Olvasd el a Magyar Telekom Általános szerződési feltételeit! Keressék meg a gyerekek a Magyar Telekom vagy bármely más telefontársaság Általános szerződési feltételeit az interneten! Értelmezzük közösen a szöveget!

10. Milyen magas volt Góliát, ha hossza 6 könyök és 1 arasz? Tudjuk, hogy 1 arasz 02 m és 1 könyök 05 m. 3 2 m magas volt Góliát.

11. „Zsófi egy öt láb hosszú, sima bőrű és okos szemű, szép alaszkai fóka: : : ” a) Milyen magasra tudta felemelni Zsófi a cirkuszban a pálcát? 2 04 m b) Milyen hosszú volt Zsófi, ha 1 láb 0305 m? (1 „láb” az angol király lábfejének hossza.) 1 525 m ≈ 1 5 m

(Többet is megtudhatsz Zsófiról H. Lofting Doktor Dolittle cirkusza című könyvéből.) 12. Milyen hosszú az 36 m?

M

betűt alkotó szakaszok együttes hossza, ha a kör sugara

A rajzon levő szakaszok együttes hossza a kör sugarának négyszerese, azaz 14 4 m.

241

Tizedes törtek

13. Péter számkitalálós trükkel szórakoztatja társait. Ezt mondja Péter: Gondolj egy számot! Adj hozzá 3-at! Vedd az eredmény kétszeresét! Vonj ki belőle 6-ot! Vond ki belőle a gondolt számot! A gondolt számot kaptad. Igaz? 5 Próbáld ki te is! Tegyél a gondolt szám helyére 4-et, majd 3-at, azután -et, végül 15-et! 2 A gondolt számot kaptad? Mi lehet Péter trükkjének a titka? Betűvel felírva:

g = a gondolt szám

(g + 3) · 2 − 6 − g = g · 2 + 6 − 6 − g = g

A gyerekek többsége tervszerű próbálgatással szokta megoldani ezt a feladatot.

16–17. óra: Tizedes törtek osztása pozitív egész számmal Tk.: 245–250. oldal, 1–14. feladat Az órák célja: a tizedes tört osztásának értelmezését visszavezetjük a már eddig megismert és megértett műveletekre. • Visszavezetjük az új műveletet a tört természetes számmal való osztására. A tizedes törtet tört alakban felírva is elvégezhetjük az osztást. A számláló és az osztó hányadosát elosztjuk a nevezőben szereplő 10-hatvánnyal. • Felhasználjuk a hányados változásairól, valamint a 10 hatványaival való szorzásról és osztásról tanult ismereteket, eljárásokat. Visszavezetjük az új műveletet a természetes számok természetes számmal való osztására. Ha az osztót tízszeresére, százszorosára, ezerszeresére: : : változtatjuk, akkor az osztandót is tízszeresére, százszorosára, ezerszeresére: : : kell változtatni ahhoz, hogy a hányados ne változzon! • A természetes számmal való osztás során tanult eljárást követjük. Az egész maradékot bővítjük tizedekre, a maradék tizedeket bővítjük századokra: : : stb. Nagyon hasznos mind a három utat bemutatni, ne sajnáljuk rá az időt! Remek alkalom nyílik a műveletfogalmak érlelésére, elmélyítésére. A gyerekek a tizedes tört osztásának elvégzésének módjával kapcsolatos sejtéseiket a tört osztásával tudják igazolni vagy cáfolni. Az írásbeli osztás algoritmusának lejegyzésére több példát is mutatunk a tankönyvi példákban. Az algoritmus elvégzése során ne kívánjuk meg mindenkitől a visszaszorzás és kivonás fejben való elvégzését! Egyrészt ez a fejszámolásban nem gyakorlott gyerekek képességeit meghaladó feladat. Másrészt az esetleges hibák is könnyebben megállapíthatóak, ha a visszaszorzás és a kivonás részeredményeit is leírják a gyerekek. Így könnyebb a tanár számára is diagnosztizálni, hogy az eljárás melyik részletét nem értették meg a gyerekek. A hibák megelőzése érdekében az osztás elvégzése előtt mindig becsültessük meg a hányados nagyságrendjét! Állapítsák meg a gyerekek, hogy a hányados egész része hány jegyből fog állni, majd pontozzuk ki a számjegyek helyét, és írjunk mögé tizedesvesszőt! Például: 6306 : 12 Becslés: 630 : 10 = 63 6306 : 12 = : : , tízes nagyságrendű a hányados Ha 1-nél kisebb lesz a hányados, akkor az első értékes jegy nagyságrendjét becsüljék meg a gyerekek! 242

Tizedes törtek 123 : 25 Becslés: 1 : 20 = 005 123 : 25 = 00: : : század a hányados első értékes jegye Az ellenőrzést visszaszorzással is és zsebszámológéppel is végezzék el a gyerekek! Gyakran előfordul, hogy a visszaszorzás hibás. Zsebszámológéppel gyorsabban megkereshetik a hibás lépést az osztás algoritmusában. • A szöveges feladatok megoldási terveinek felírásakor szorgalmazzuk a zárójelek helyes használatát! • Ismét előkerül, hogy a 0-val való osztást nem értelmezzük. • A szám alaki, helyi és valódi értékének fogalmát célszerű átismételni és használni a téma feldolgozása során.

Feladatok 1. Számítsd ki fejben! Zsebszámológéppel ellenőrizd! a) 450 : 9 = 45 45 : 9 = 5 450 : 90 = 5

b) 847 : 7 = 12 1 847 : 70 = 12 1 847 : 7 = 1 21

c) 612 : 6 = 1 02 612 : 60 = 0 102 612 : 60 = 1 02

d) 21 : 3 = 0 7 021 : 3 = 0 07 021 : 30 = 0 007

2. Végezd el az osztásokat! „Többet ésszel, mint erővel!” a) 750 : 5 = 150 75 : 5 = 15 75 : 5 = 1 5

b) 973 : 7 = 13 9 973 : 7 = 1 39 0973 : 7 = 0 139

c) 114 : 6 = 1 9 114 : 6 = 0 19 0114 : 6 = 0 019

d) 36 : 8 = 4 5 36 : 8 = 0 45 036 : 8 = 0 045

3. Ugyanazt a számot adtuk meg sokféle alakban. Melyik a kakukktojás? Válaszodat indokold! A) 639 : 3 639 C) :3 10

B) 639 : 30 D) 63 + 09 : 3

E) 63 : 3 + 09 : 3

A D) a „kakukktojás”. A művelet helyesen (63 + 0 9) : 3 lenne.

4. Végezd el az osztásokat! Becsülj! Ellenőrizz! a) 168 : 6 = 2 8 b) 42 : 7 = 0 6 c) 081 : 9 = 0 09

d) 0042 : 6 = 0 007

5. Becsüld meg a hányadost! A megfelelő helyre írd be a hiányzó tizedesvesszőt! A füzetedben dolgozz! Zsebszámológéppel ellenőrizz! a) 336 : 12 = 0 2,8 0 0 = 2 8 c) 3366 : 102 = 0 3 3,0 0 = 33 e) 6762 : 14 = 0 4 8,3 0 = 48 3

b) 2666 : 31 = 0,8 6 0 0 = 0 86 d) 192 : 120 = 0,1 6 0 0 = 0 16 f) 6913 : 31 = 0,2 2 3 0 = 0 223

6. Két tizedesjegyig végezd el az osztást, majd ellenőrizd! Az osztás elvégzése előtt végezz becslést! Két tizedesjegyig számolva: a) 638 : 25 = 25 52 d) 99 : 18 = 0 55

b) 725 : 125 = 0 58 e) 1088 : 35 ≈ 3 10

c) 84 : 42 = 0 2 f) 609 : 84 ≈ 0 72

243

Tizedes törtek 7. Egy áruszállító hajó 6144 tonnányi rakományát 24 kamion szállítja tovább a szárazföldi raktárba. Hány tonna lesz egy kamion rakománya, ha minden kamion ugyanakkora tömegű árut szállít tovább? 614 4 t : 24 = 25 6 t. Egy kamion 25 6 t rakományt szállít tovább. 8. Egy pótkocsis nyerges kamionnak a teljes hossza 18750 m. A két pótkocsi hossza megegyezik.

Hány méteres egy-egy pótkocsi? a) Adjátok meg a helyes megoldási tervek betűjelét!

A) 18750 m − 2480 m − 1550 m : 2 B) (18750 m − 2480 m − 1550 m) : 2 C) {(18750 m − 2480 m) − 1550 m} : 2 D) {18750 m − (2480 m + 1550 m)} : 2 b) Számítsátok ki a pótkocsi hosszát! Az eredményt centiméter pontossággal adjátok meg! Egy pótkocsi hossza 7 36 m.

9. A maratoni futóversenyeken a versenyzőknek 42 195 m-t kell futniuk. Ekkora távolságot csak megfelelő mennyiségű edzés után szabad vállalni. Sokan szeretnek futni, de rövidebb távon. Éppen ezért rendeznek félmaratoni versenyeket is 3 fős csapatok részére, ahol minden csapattag, egymást váltva, azonos távot teljesít. Sok fiatal és az idősebb korosztály is indul ezeken a versenyeken. a) Hány méter a félmaraton hossza? 42 195 m : 2 = 21 097 5 m b) Hány métert kell egy-egy csapattagnak teljesítenie a félmaratoni távból? 21 097 5 m : 3 = = 7032 5 m-t kell egy-egy versenyzőnek lefutnia.

Milyen történelmi eseményhez fűződik a maratoni futás? A maraton név Pheidippidész görög katona legendájához kapcsolódik. Amikor i. e. 490-ben az athéni seregek a marathóni csatában vereséget mértek a túlerőben lévő perzsa seregre, akkor a perzsa hajóhad Athén ellen indult, hogy még a győztes hadsereg visszaérkezése előtt elfoglalja a védtelen várost. Pheidippidész ekkor futva tette meg a mintegy 150 mérföldnyi távolságot Marathón és Spárta között, hogy a spártaiakat segítségül hívja. Pheidippidész vagy más néven Philipidész, aki egyébként hivatásos futó volt, másnapra oda is ért Spártába. A spártaiak természetesen megígérték a segítséget, de nem vonultak csatába addig, amíg a holdtölte be nem állt. Ekkor Pheidippidész visszafutott Marathónba, hogy hírét vigye a spártaiak üzenetének. A spártaiak csak hat nap múlva jelentek meg, amikor a csata már eldőlt. A dicsőséges athéni férfiak megnyerték az összecsapást a perzsa hadsereggel szemben. (Forrás: www.wikipedia.hu)

10. A falfesték a dobozával együtt 78 kg. A festék ötször nehezebb, mint a doboza. Hány kg a festék, és mennyi a doboz? A doboz és a festék tömege összesen 6 doboznyi, ebből a festék 6 5 kg. A doboza 1 3 kg.

244

Tizedes törtek 11. Számítsd ki a következő kifejezések értékét! Melyek egyenlők? a) (025 + 375) · 4 = 16 d) 025 + 375 : 4 = 1 1875

b) (025 + 375) : 4 = 1 e) 025 · 4 + 375 · 4 = 16

c) 025 + 375 · 4 = 15 25 f) 025 : 4 + 375 : 4 = 1

Az a) és a c), valamint a b) és a d) kifejezések azonosan egyenlők.

12. Keress egyenlő kifejezéseket! Add meg az egyenlők betűjelét! a) A) (110 : 4) + 7

110 4+7

D) 110 : 4 + 110 : 7

B) 110 : (4 + 7)

C)

B) 04 + (35 : 5)

C) 04 + 35 : 5

B) és C) egyenlők.

b) A) (04 + 35) : 5

D) 04 : 5 + 35 : 5

A) és D), valamint B) és D) egyenlők.

13. Melyik művelet eredményét nem ábrázoltuk a számegyenesen? A D) művelet eredményét.

A

−05 : 2 −2

B

−48 : 6

−1

14. Egy kiállítóteremben három 156 m széles és 124 m magas képet helyeztek el az egyik falon. Az ábra alapján számítsd ki a és b hosszát!

a = (4 − 1 24) : 2 = 2 76 : 2 = 1 38 (m) b = (7 28 − 1 56 · 3) : 4 = 2 6 : 4 = 0 65 (m)

C

−025 · 8

D

0

(−02 + 17) : 5 = 0 3

1

a 4m

b

2

a b

a

a b

a

b a

7,28 m

18. óra: Az átlag kiszámítása Tk.: 250–252. oldal, 1–9. feladat Javasolt eszközök: a tanulók jegyzőkönyvei, melyben az éjszakai alvásidejüket jegyezték fel 1 héten át Az óra célja: megmutatni, hogy az átlagon azt a számot értjük, amelyet egy összegben a tagok helyére írva az összeg nem változik meg. A gyerekek mondjanak példákat a mindennapi életből olyan esetekre, ahol az átlaggal (számtani középpel) jellemezhető valamilyen folyamat, változás (átlagsebesség, átlagkereset, középhőmérséklet stb.)! A könyv adataiból, a gyerekek által mért adatok felhasználásával számítsunk átlagot, számítsuk ki a legnagyobb, illetve a legkisebb eltérést az átlagtól! Beszéljük meg, hogyan jelölik a mérések hibáit! (Például: ±02 mm, ±1 stb.)

245

Tizedes törtek Feladatok 1. Huszonhárom gyerek időre oldott meg feladatokat. A munka befejezése után számba vették a hibásan megoldott feladatok számát. Sorban leírták, hogy ki hány feladatot rontott el, így: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6. Számítsd ki, hogy átlagosan hány rosszul megoldott feladat jut egy-egy tanulóra! Mielőtt kiszámítanád, próbáld megbecsülni! (0 · 7 + 1 · 4 + 2 · 3 + 3 · 2 + 4 · 2 + 5 · 2 + 6 · 2) : 23 = 46 : 23 = 2. Egy tanulóra átlagosan 2 rosszul megoldott feladat jut.

2. Egy magyar családban három óriásbébi is született. Már az első kislány is 4600 grammal, 59 cm-rel jött világra. 2000-ben egy 6400 grammos és 67 cm hosszú kisfiú, 2003-ban pedig egy 6200 grammos és 58 centiméteres kislány ejtette ámulatba szüleit és a világrajöttüket segítő szakembereket. a) Számítsd ki a három baba születési hosszának és tömegének az átlagát! Centiméterben, illetve gramm pontossággal add meg az eredményt! Születési hosszúságuk átlaga: (59 + 67 + 58) cm : 3 = 184 cm : 3 = 61 cm. Születési tömegük átlaga: (4600 + 6400 + 6200) g : 3 = 17 200 g : 3 = 5733 g.

b) Újszülöttekre vonatkozó orvosi adatokat adtunk meg. Az érett újszülött jellemzői: testtömeg: 2500 g-nál nagyobb, átlag: 3000–3500 g testhossz: 46 cm-nél nagyobb, átlag: 48–52 cm (fiúk: 51–52 cm, lányok: 48–50 cm) Mennyivel haladta meg az „óriásbébik” születési tömege az érett újszülött testtömegének felső határát? Kilogrammban add meg az eredményt! Az első kislány tömege 1 1 kilogrammal, a kisfiúé 2 9 kilogrammal, a fiatalabb kislányé 2 7 kilogrammal.

c) Hasonlítsd össze a saját születési adataidat is az orvosi adatokkal! 3. A grafikonról leolvashatod, hogyan változik az alvásigény az életkor növekedésével. 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

alvásigény órában

1 1 – 4 2

1 –2 2

2–3

3–5

5–9

9–14 14–18 18–30 30–50 50–70 70–85

kor években

a) Hány óra alvásra van szüksége egy korodbeli gyereknek? Alszol-e ennyit? 9 5 órára 246

Tizedes törtek b) Számítsátok ki az osztályotokban az alvásigényetek átlagát! Hasonlítsátok össze a grafikon megfelelő adatával! c) Körülbelül hányszor több időt tölt alvással egy újszülött, mint a 85 éves dédnagypapája? Kb. 3-szor annyi időt.

d) A 16 éves Zoli egy szobában alszik öccsével, a 8 éves Lacival. Zoli este általában 10 órakor kapcsolja le a televízióját. A fiúkat 6 órakor kelti édesanyjuk. Elegendő időt alszanak-e? A grafikon adatai szerint egyikük sem alszik elegendő ideig. Zoli 1 órával, Laci 2 órával kevesebbet alszik az átlaghoz képest.

4. Marosi Ádám bronzérmet nyert a 2012-es londoni olimpia öttusaversenyében. A különböző sportágakban elért pontjait olvashatjátok a piktogramok alatt: vívás

úszás

lovaglás

kombinált futás-lövészet

880 pont 1336 pont 1200 pont 2400 pont Átlagosan hány pontot ért el olimpikonunk sportáganként? Marosi Ádám 1167 2 pontot ért el átlagosan az egyes sportágakban. Indoklás: (880 + 1336 + 1200 + 2420) : 5 = 5836 : 5 = 1167 2 (pont)

5. Számítsátok ki a matematika és a testnevelés osztályzataitok átlagát! Melyik jobb? Mennyivel? 6. Az osztályba 32 tanuló jár. Átlagmagasságuk 165 cm. Mennyi lesz a tanulók átlagmagassága, ha közülük két tanuló – az egyik 169 cm, a másik 170 cm magas – másik iskolába megy el? (165 · 32 − 169 − 170) : 30 = 4941 : 30 = 164 7 (cm) ≈ 165 (cm) az átlag.

7. Lehet-e egy 30 fős osztályban írt dolgozatok átlaga 415? Nem, mert 30 · 4 15 = 124 5 nem egész szám.

8. Két szám átlaga 075. Melyik lehet az egyik szám, és melyik lehet a másik, ha az egyik a 2 másiknak része? 3 Az elhagyott szám a 4. (1 + 2 + 3 + : : : + 10) −

17 · 9 = 55 − 51 = 4 3

9. Nagyapa 80. születésnapját ünnepelte az egész család: apa, anya és a gyerekek. Az ünnepi ebéden részt vevők átlagéletkora 34 év volt. Amikor a nagyapa a 8 éves unokájával sétálni ment, az otthon maradók átlagéletkora 29 év lett. Hány unokája van a nagyapának? Három unokája van a nagypapának. Ha a nagyapa és az unoka életkorának összege 2 · 34 = 68 (év) lenne, akkor az otthon maradók életkora nem változna. De 20 évvel több kettőjük életkorának az összege, és emiatt az otthon maradók átlagos életkora 5 évvel csökkent. Ez csak úgy lehetséges, ha négyen maradtak otthon: a papa, a mama és két gyerek.

247

Tizedes törtek 19–20. óra: Tört alakban írt szám tizedes tört alakja Tk.: 252–255. oldal, 1–8. feladat Az órák célja: a számtani közép kiszámításakor felmerülő probléma feldolgozása, vagyis, hogy a tagok összegének és számának a hányadosa nem minden esetben ad egész számot vagy véges tizedes törtet. A végtelen tizedes törtek feldolgozásakor jussunk el addig, hogy a gyerekek belássák: két egész szám hányadosa • vagy egész szám, • vagy véges tizedes tört, • vagy végtelen, de szakaszos tizedes tört! A maradékok ugyanis csak kisebbek lehetnek az osztónál, így azok között vagy felbukkan a nulla (ekkor a hányados véges tizedes tört), vagy a nullától eltérő maradékok ismétlődnek. A 2 3 6 természetes számok tárgyalásakor már beszéltünk a főnixszámokról, és a ; ; : : : hánya7 7 7 dosnak végtelen tizedes tört alakban felírt ismétlődő szakaszai kapcsán ismét szó eshet róluk. A szöveges feladatok megoldása során vizsgáljuk meg, hogy meddig érdemes az osztást folytatni! Beszéljük meg a gyerekekkel, hogy a feladat megoldása előtt célszerű megállapítani, milyen pontossággal elegendő megadni az eredményt! A feladatok megoldása során újra előkerül a becslés és kerekítés fontossága.

Feladatok 1. Írd tizedes tört alakba ezeket a törteket bővítéssel és osztással is! 1 1 1 a) = 0 5 b) = 0 05 c) = 0 02 2 20 50 1 1 1 d) = 0 125 e) = 0 025 f) = 0 0625 8 40 16 2. Rajzold le a halmazábrákat a füzetedbe, és írd be a törteket a megfelelő részeikbe! 5 A 7 7 2 83 20 9 40 50

B

1 7 40 9

5 25 = =25 2 10 3 6 = = 0 06 50 100 9 225 = 0 225 = 1000 40

8 7 3

7 30

A: Van olyan bővített alakja, amelynek a nevezője 10, 100 vagy 1000. B: Nincs olyan bővített alakja, amelynek a nevezője 10, 100 vagy 1000. 7 35 = = 0 35 100 20 7 875 = = 0 875 8 1000 40 = 4 4˙ 9

Az osztás elvégzésével ellenőrizd a megoldásod!

248

1 ˙ = 0 14285 7˙ 7 8 ˙ = 1 14285 7˙ 7 7 3 = 3 23˙ 30

Tizedes törtek 3. Írd le a törteket tizedes tört alakban! Két tizedesjegyig számolj! Mely esetben tudod biztosan megmondani a tizedes tört többi jegyét? Sejtéseidet zsebszámológéppel ellenőrizd! A d) és e) esetek kivételével minden esetben meg lehet jósolni.

a)

1 ≈ 0 33 3

b)

1 ≈ 0 16 6

c)

1 ≈ 0 08 12

d)

1 ≈ 0 07 13

e)

1 ≈ 0 07 14

f)

1 ≈ 0 06 15

4. Add meg ugyanazt az időt többféle alakban a 2. példában szereplő számegyenesről leolvasva vagy számítással! a) 6 perc = c)

6 1 óra = óra = 0 1 óra 60 10

12 2 óra = óra = 0 2 óra 60 10 1 d) 1 óra 15 perc = 1 + óra = 1 25 óra 4 48 8 f) 6 óra 48 perc = 6 + óra = 6 + = 6 8 óra 60 10

b) 12 perc =

3 óra = 0 75 óra 4

e) másfél óra = 1 5 óra 5. Végezd el az átváltásokat! a) 11 óra = 66 perc

b) 25 óra = 150 perc

c) 325 óra = 195 perc

6. a) Add meg a mennyiségek mérőszámát tizedes tört alakban! a) 12 óra = c) 6 óra =

12 nap = 0 5 nap 24 1 6 nap = nap = 0 25 nap 24 4

b) 36 óra =

36 nap = 1 5 nap 24

d) 60 óra =

5 60 nap = nap = 2 5 nap 24 2

7. Keress olyan településeket a könyv végén található térképen, amelyek Fonyódtól körülbelül 25 cm-re vannak! Mekkora ez a távolság a valóságban? Körülbelül ekkora távolságra van például Nagykanizsa, Veszprém, Zalaegerszeg.

8. A táblázatban összegyűjtöttük, hogy mennyi az egyes bolygók tengely körüli forgási ideje: a) Melyik bolygó tesz meg egy fordulatot a legrövidebb idő alatt? Melyik a leghosszabb idő alatt? A Jupiter a legrövidebb idő alatt, a Vénusz a leghosszabb idő alatt.

b) Számítsd ki, hány perc alatt tesz meg egy fordulatot a Jupiter a tengelye körül! 594 perc alatt.

Merkúr

58,6 nap

Vénusz

243

Föld Mars Jupiter

23,93 óra 24,6 óra 9,9 óra

Szaturnusz Uránusz Neptunusz

10,5 óra 17,2 óra 17,9 óra

nap

Játék Ketten játsszatok! Rajzoljatok le egy ilyen beosztású számegyenest! Döntsétek el, ki kezdjen! Két dobókockával egy-egy számot dobjatok! Az egyik legyen a tört számlálója, a másik a tört nevezője! A soron következő játékos dobja fel a két kockát, és döntse el, melyik legyen a számláló, illetve a nevező! A számegyenesen jelölje meg a tört helyét így: 249

Tizedes törtek A másik játékos a számegyenes alatt jelölje a dobott számait! Aki egész számot kap, az egy körből kimarad. Az nyer, aki három egymást követő körben olyan törtet „készít”, amelyik nem esik a másik játékos két dobott száma közé. Egy tört egy játék során csak egyszer szerepelhet.

kezdő játékos:

1 = 1 : 3 = 0 3˙ 3

0

1

másik játékos:

3 = 3 : 4 = 0 75 4

Tudáspróba Tk.: 256. oldal 1. Írd le tizedes törttel! a) három egész tizenöt század 3 15

b) hatszázöt egész harmincöt ezred 605 035

2. Írd le betűvel! a) 14045 egyezernégyszáznégy egész öt tized

b) 00604 nulla egész hatszáznégy tízezred

3. a) Add meg a következő számok tized szomszédait! 07 ; 105 ; 1208

Kerekítsd egészre a 07 -et, tizedre az 105 -ot, századra az 1208 -et! 06< 07 < 08 Egészre kerekítve: 07 ≈ 1 10< 105 < 11 Tizedre kerekítve: 105 ≈ 1 1 12< 1208 < 13 Századra kerekítve: 1208 ≈ 1 21 b) Add meg a következő számok század szomszédait! 049 ; 1437 ; 1659

Kerekítsd egészre a 049 -ot, tizedre az 1437 -et, századra az 1659 -et! 0 48 < 049 < 0 50 Egészre kerekítve: 049 ≈ 0 1437 < 1 44 Tizedre kerekítve: 1437 ≈ 1 4 1 43 < 1 65 < 1659 < 1 66 Századra kerekítve: 1659 ≈ 1 66

4. Milyen számok állnak a betűk helyén?

a

a

−2 = −17

b

b=

−1 −07

c = 03

c

d

0 = 1 35

d

1

5. Írd növekvő sorrendbe a számokat! Tedd ki a megfelelő jeleket! 43 043 4300 0403 00435 −4 3 < −0 43 < 0 0435 < 0 403 < 0 43 < 4 3 = 4 300

2

−43

−043

6. a) Írd tizedes tört alakba a törteket! 4 15 =08 =15 5 10 b) Írd tört alakba a tizedes törteket! 54 = 250

54 27 = 10 5

21 = 5 25 4

084 =

21 84 = 100 25

17 = 0 17 100 307 =

7 =35 2 307 100

Tizedes törtek 7. Végezd el a kijelölt műveleteket! a) 7 + 1235 + 0605 = 19 955

b) 1123 − 48 = 6 43

e) 1235 · 19 = 234 65

f) 7 : 25 = 0 28

c) 1235 − 0625 = 11 725

d) 0625 · 10 = 6 25

g) 123 : 100 = 0 123

8. Végezd el a mértékváltásokat! a) 45 km = 4500 m

d) 425 dm2 = 4 25 m2

h) (72 − 364) : 4 = 0 89 b) 85 l = 0 085 hl

e) 04 óra = 24 perc

c) 064 kg = 64 dkg

f) 084 dm3 = 840 cm3

9. A fiúk vagy a lányok dolgozatának lett jobb az átlaga? A következő eredmények születtek. Fiúk: 5, 4, 4, 2, 3, 2, 5, 1, 4, 5, 5 40 : 11 = 3 6˙ 3˙ Lányok: 4, 3, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3 32 : 9 = 3 5˙ A fiúké lett jobb átlagú.

10. Édesanya 7 liter málnaszörpöt főzött. Hat darab 07 literes és két darab 125 literes üveg lett tele. A többi még aznap este elfogyott. Hány dl szörpöt ittak meg aznap este? Készíts megoldási tervet! Ellenőrizd a megoldásodat! 7 − (6 · 0 7 + 2 · 1 25) = 7 − (4 2 + 2 5) = 7 − 6 7 = 0 3 (l) = 3 (dl) Ellenőrzés: 4 2 + 2 5 + 0 3 (l) = 7 0 (l) 3 dl málnaszörpöt ittak meg.

251

253

Folyamatos


Ajánlás: • Javasoljuk a taneszközcsomaghoz tartozó, itt felsorolt kiadványok használatát: tanári kézikönyv a tankönyvhöz, feladatgyűjtemény és a hozzá tartozó tanári kézikönyv, felmérőfüzetek, digitális tananyag. • Minden fejezethez javasolunk projektfeladatot. Például: – a számírás története – műveletek római számokkal más alapú számrendszerben – régi mértékegységek használata az emberiség történetében – modellkészítés a tanult testekből: szobabelső, játszótér: : : – a negatív számok kialakulásának története – helymeghatározás a régi és az új térképeken – helymeghatározás tengeren – csak körzővel készíthető motívumok szerkesztése – az egységtörtek használata az egyiptomiaknál – kutatás különböző állatok látószögéről – a tizedes törtek alkalmazása mérési feladatokban, a pontosság fogalma

8

6


Négy felmérő dolgozat

12 + 20 + 10 = 42

22 + 14 + 22 + 20 = 78

II Számtan, algebra


Folyamatos

Témakör feldolgozására javasolt óraszám


Témakör

Heti 4 óra esetén, 36 tanítási hétre összesen 144 óra áll rendelkezésre. A tanmenetben beosztott órák száma 134. A fennmaradó órákat a tanulócsoport igényének megfelelően gyakorlásra és tehetséggondozásra, illetve projektfeladatok elvégzésére lehet fordítani.

5. évfolyam

TANMENETJAVASLAT

254

22 óra

TERMÉSZETES SZÁMOK A számok alakja a tízes számrendszerben

5.

6–7.

8–9.

10.

11–13.

A számok csoportosítása, halmazok

Számok ábrázolása számegyenesen

Kerekítés, becslés

Összeadás és kivonás

Összeg és különbség változásai

1–4.

Óra

Téma, tananyag

Tanári, tanulói taneszközök

Számolás, számlálás fej- Korongok, játékpénz, befizetési csekk, szílesztése. nes helyiérték-kártyák, helyiérték-táblázat.

Kompetenciák: készségek, képességek fejlesztése

Kutatómunka: A számírás története, vagy más alapú számrendszerek.

Projektfeladatok, kutatómunka, játékok

Zárójeles és zárójel nélküli feladatok megoldása frontálisan. Keressük a legegyszerűbb kiszámolási módokat.

Együtt változó mennyiségek megfigyelése, nagyságrendi viszonyok megértése.

Számkártyák, színes lapok, korongok. Papírból készített öntapadós vagy mágneses zárójelek. Digitális tananyag.

Számkártyák, színes lapok, dobókockák. Digitális tananyag.

Közelítő értékek haszná- Demonstrációs méretű lata a mindennapi életszámegyenesek, öntapadós színes céduben. lák. Digitális tananyag.

Alapműveletek ismétlé- Műveletek sorrendje ⇔ se, feladatok megoldása. szabálykövetés.

Feladatlapok kitöltése pármunkában.

Kutatómunka: Hol szükséges a kerekített értékek használata? (Pl: fizetőeszközök, mérési eredmények).

Halmazszemlélet kialakí- Mágnestábla vagy digitá- Poszterkészítés a mintása. lis tábla. dennapokban használt Halmazábra üres halma- halmazokról. zokkal. A számok és az egyenes Számfogalom fejleszté- Milliméter beosztású pontjai közötti megfelel- se: nagysági viszonyok egyenes vonalzó, detetés értelmezése, megfigyelése. monstrációs méretű szászámok helyének keremegyenesek, sése a számegyenesen öntapadós színes cédupármunkában. lák.

A helyi érték, alaki érték gyakorlása csoportmunkában számkártyákkal. Helyiérték-táblázatok kitöltése. Venn-diagram megismerése frontálisan.

Tevékenységformák, módszertani javaslatok

(Y)

A tér alakzatai, a testek geometriai jellemzői

Geometria

ALAKZATOK

Műveletek sorrendje

25.

12 + 2 óra 23–24.

19–22.

18.

16–17.

Osztás

Szorzat és hányados változásai

14–15.

Óra

Szorzás

Téma, tananyag

Ismerkedés a testekkel, frontális vagy csoportos játékokkal.

Papírból készített öntapadós vagy mágneses zárójelek, művelet- és számkártyák. Digitális tananyag.

Kétféle derékszögű vonalzó Olló, ragasztószalag. Síkgeometriai modellezőkészlet. A mindennapi élet tárTérbeli testek modelljei, gyainak modellezése, Polydron geometriai épíazok geometriai tulajtőjáték. donságainak megismeré- Digitális tananyag se.

Szövegértés fejlesztése, szöveges feladatokkal. Az ellenőrzés fontossága. Szabálykövetés fejlesztése. Önálló megoldási módszerek kitalálása.

Színes korongok, számkártyák.

Részekre osztás és benn- Játékpénzek a helyiértéfoglalás tartalmi jegyei- keknek megfelelő pénnek megértése. zekkel.

Ismerkedés a síkidomok- Analizálóképesség, kézügyesség, esztétikai kal csoportmunkában. Modellek készítése, ma- érzék fejlesztése. nipuláció.

Különféle feladatok megoldása frontálisan, párban, csoportunkában. Keressük a legegyszerűbb megoldási módokat.


Szorzó, szorzandó szere- Helyiérték-táblázat mozpének megértése, a fel- gatható számcsíkkal. cserélhetőség fogalma. Számkártyák – digitális tananyag.


Szorzatok és hányadosok A logikus gondolkodás vizsgálata frontálisan. fejlesztése.

Alapműveletek ismétlése, feladatok megoldása párban.

Alapműveletek ismétlése, feladatok megoldása párban.


Az elkészített modellek bemutatása, kiállítása.

Az elkészített modellek bemutatása, kiállítása.


(Y)

255

256

35–36.

34.

Összefoglalás

I. felmérő

32–33.

A sík alakzatai

29–30.

Térelemek kölcsönös helyzete

31.

27–28.

Mértani testek szemléltetése

A szög fogalma

26.

Óra

Testek hálója

Téma, tananyag

Kompetenciák: készségek, képességek fejlesztése Térbeli testek modelljei, Testek zsinóros hálói. Négyzethálós, háromszöghálós lapok, színes lapok.



Szögfajták megfigyelése síkbeli és térbeli alakzatokon: az analizálóképesség fejlesztése.

A térbeli testek és a térelemek kapcsolatának megfigyelésével a térszemlélet fejlesztése.

Síkbeli alakzatok mágnestáblán Síkgeometriai modellezőkészlet.

Hurkapálcikák vagy szívószálak, gombostűk. Színes kivágott körcikkek. Digitális tananyag.

Téglatest minden tanulónál, hurkapálcák, téglatest élvázas modellje, vízmérték, függőón Digitális tananyag.

A Tudáspróba megírása. Ellenőrzés, önellenőrzés Szerkesztőeszközök, tanTanári útmutató alapján képességének fejlesztése. könyv. az asztaltársak egymásét javítják.

Síkidomok rendszerezése A halmazszemlélet fejkülönböző tulajdonságaik lesztése. alapján. Csoportmunka: adott síkidomok halmazokba rendezése.

Különböző szögfajták elkészítése pálcikákkal, illetve körcikkekkel.

A párhuzamosság és a merőlegesség megfigyelése a valóság tárgyain pármunkában.

Adott térbeli modellek A perspektivikus és a ge- Térbeli testek modelljei, Perspektivikus ábrázolás lerajzolása síkban, négy- ometriai (axonometrikus) egységkockák. a képzőművészetben. zethálón. ábrázolás megismerése. Négyzethálós lapok, Kutatás az interneten. négyzethálós tábla.

Hálók készítése pármun- A sík és a tér kapcsolata, kában, feladatlapok kitöl- síkba kiteríthető testek tulajdonságainak megistése. merése.


(Y)

40–41.

42.

43.

44–45.

Egész számok összeadása és kivonása: Összeadás

Egész számok összeadása és kivonása: Kivonás

Egész számok összeadása és kivonása: A zárójel nélküli írásmód

37–39.

14 óra

Óra

Negatív számok: A számok abszolút értéke

EGÉSZ SZÁMOK Negatív számok

Téma, tananyag


Feladatlapok kitöltése önállóan és párban.

Különböző kivonások elvégzése, modellezése színes cédulákkal, pármunkában.

Különböző összeadások elvégzése, modellezése színes cédulákkal pármunkában.

Hőmérő, demonstrációs méretű számegyenesek, öntapadós vagy mágneses színes cédulák. Színes, öntapadós számkártyák, számegyenesek.


Minden tanulónál készpénz- és adósságcédulák. Tanári eszközök: mágneses cédulák és mágnestábla, vagy számítógép, projektor és digitális tábla. Analizáló gondolkodás Minden tanulónál fejlesztése. készpénz- és adósságA kivonandó és a kücédulák. lönbség nagysági viszo- Tanári eszközök: mágnenyának megfigyelése. ses cédulák és mágnestábla, vagy számítógép, projektor és digitális tábla. Az összevonás megisme- Feladatgyűjtemény, rése, szintetizálás. feladatlapok.

A megfigyelőképesség fejlesztése.

Tapasztalatgyűjtés a ne- Negatív értékek a mingatív számokról frontáli- dennapi életben. Az san. absztrakciós képesség kialakítása. A számok elhelyezése Analógiák, szimmetriák halmazokban: játék, szí- felfedeztetése. nes számkártyákkal csoportokban.


Kutatás az interneten, majd előadás: a negatív szám kialakulásának története.


(Y)

257

258

6+2 óra

HELYMEGHATÁROZÁS Helymeghatározás, derékszögű koordinátarendszer: Helymeghatározás a mindennapi környezetünkben

Helymeghatározás, derékszögű koordinátarendszer: Tájékozódás a síkon: a derékszögű koordináta-rendszer Gyakorlás

49–50.

Nyitott mondatok

Kincskereső játékok koordinátákkal megadott pontok és azokat összekötő szakaszok segítségével párban.

Helymeghatározás négyzetrácson: páros torpedó játék. Feladatlapok kitöltése, ellenőrzés páros munkában.

55–56.


Szociális kompetencia fejlesztése. Az ellenőrzés, önellenőrzés szükségessége.

Szövegértés fejlesztése.

Négyzethálós lapok a torpedó játékhoz. Feladatgyűjtemény, feladatlapok.

Négyzethálós tábla vagy számítógép, projektor és digitális tábla. Digitális tananyag.

Földgömb, térképek, csillagászati térképek. Mozi-, színház-, hangversenyjegyek. Sakk készlet.

A művelet és inverz mű- Feladatgyűjtemény, velet kapcsolatának tuda- feladatlapok. Tankönyvi Tudáspróba. tos felhasználása.

A számolási készség fej- Feladatgyűjtemény, lesztése. feladatlapok. A szorzandó (osztandó) Digitális tananyag és a szorzat (hányados) nagysági viszonyának megfigyelése.


A tanulók helyének meg- Pontosságra nevelés. határozása a tanteremA megfigyelőképesség ben: fejlesztése. frontális játék. Helymeghatározás térképeken, sakktáblán.

A tanult műveletek összefoglalása egyszerű nyitott mondatokon keresztül frontálisan.

Önellenőrzésre is alkalmas feladatlapok kitöltése önállóan, javítása párban.


53–54.

51–52.

46–48.

Óra

Egész számok szorzása és osztása természetes számmal

Téma, tananyag

Poszterkészítés: különböző alakzatok megrajzolása és kiszínezése koordinátarendszerben.


(Y)

65–66.

67–68.

Sokszögek kerülete, a hosszúság mérése

Sokszögek terülte, a terület mérése

62–63.

A szög mérése

64.

20 óra 59–61.

MENNYISÉGEK A mennyiségek fogalma

Sokszög szögeinek mérése

57–58.

Óra

II. felmérő

Téma, tananyag

Mérőszalag, egyenes vonalzó, tömegmérési eszközök.


Előadás párban: régi hosszúságmértékegységek, illetve más országok hosszúságmértékegységei.

Az idő és a szög mérésének kapcsolata: kutatás az interneten.


Területmérés rácson A területfogalom kialakí- Vonalzó, mérőszalag, Előadás párban: földmécsoportmunkában. tása, fejlesztése. négyzethálós lapok, mil- rés más területegységekA mérési adatok lejegyliméterpapír, kel. zése. 1 m2 és 1 dm2 területű Sokszögek területének négyzetlapok. megadása átdarabolással.

Az absztrakciós képesség fejlesztése. Pontos munka igényének alakítása.

Az azonos mértékrendszer fogalmának megismerése.


Hurkapálcika, rajzszög, színes lapból kivágott körcikkek, szögmérő. Óra, sokszöglapok. Feladatlapok kitöltendő táblázattal. A kiosztott tárgyak, illet- A valóság tárgyait hatá- Síkmértani modellezőve sokszöglapok szögei- roló síklapok felfedezése, készlet vagy a melléklet nek mérése csoportmun- szögeinek becslése, mé- alapján kartonból kivákában. rése. gott sokszöglapok. A mérési adatok lejegyzése. Hosszúságmérés rácson, A mérés pontossága, kö- Vonalzó, mérőszalag, a hosszúságmérés külön- zelítő értékek használata. négyzethálós, háromböző egységeivel. A mértékegység megvá- szöghálós lapok. lasztásának lehetősége.

Pálcikákból elkészített szögek mérése csoportokban, a mérési adatok lejegyzése, feladatlapok kitöltése.

Mérések végzése csoportban (hosszúság, tömeg). Számolás különböző egységekben megadott mennyiségekkel.


(Y)

259

260

71–73.

74–75.

76–77.

A téglatest felszíne

Testek térfogata: A térfogat mérése; Az űrtartalom mértékegységei

Testek térfogata: A téglatest térfogata

78.

69–70.

A téglalap kerülete és területe

Összefoglalás

Óra

Téma, tananyag

Területegységnek használható, különböző méretű, színes négyzetlapok. Milliméterpapír. Színes, mágneses négyzetlapok, mágnestábla.



Számolási készség fejlesztése. Szövegértés a valóságközeli feladatok megoldása kapcsán.

A térfogatfogalom kialakítása, fejlesztése. Becslési készség fejlesztése.

Egységkockák, különböző méretű téglatestek. Téglatestekből összeállított testek.

Egységkockák, térmérKutatás az interneten: tani modellek: hasábok, Masat–1 magyar műhold. lépcsős testek, színesrúdkészletek.

A terület és a feszín kap- Testhálók táblai méret- Poszterkészítés: a téglacsolatának megismerése: ben is, 1 m2 és 1 dm2 test különböző hálói. szintézis. területű négyzetlapok, műszaki karton, olló, ragasztó. Zsinórós testhálók.

Becslési készség fejlesztése. Az elfogadható hibahatárok megismerése.


A Tudáspróba feladatai- Ellenőrzés, önellenőrzés, Tankönyv nak megoldása önállóan, képességének fejlesztése. ellenőrzés a tanári útmutató alapján párban.

Különböző téglatest alakú dobozok hálójának elkészítése, a felszínük becslése, majd a mérési adatok alapján, annak kiszámítása csoportmunkában. Testek kirakása egységkockákból, térfogatuk, felszínük összehasonlítása. Különböző alakú és méretű edények űrtartalmának becslése, mérése. Különböző méretű téglatestek térfogatának kiszámítása, a mért adatok alapján csoportmunkában. Szöveges feladatok megoldása önállóan.

Mérések a tanteremben: füzetlap, asztallap, szekrényoldal területe, előtte becslés.


(Y)

Óra


Törtek összehasonlítása

A törtek sokféle arca

86.

84–85.

A tört értéke, a bennfoglalás és a részekre osztás kapcsolatának bemutatása különféle modelleken frontálisan. Feladatlapok kitöltése önállóan, ellenőrzés párban.

22+2 óra 79–80. Különböző tárgyak, mennyiségek részekre osztása frontálisan. Kisebb vagy na81–82. Egység előállítása törtrégyobb 1 egésznél? szekből írólappal, színesPontosan 1 egész? rúddal, sajtokkal. 1-nél kisebb, illetve nagyobb értékek kirakása modellekkel csoportmunkában. Törtek helye a szá83. Páros munka: sokféle pozitív és negatív törtszám megyenesen, negatív törtek helyének megkeresése a számegyenesen, illetve a számegyenes egy adott pontjához tartozó szám megadása.

TÖRTEK A törtszám fogalma és írása

Téma, tananyag

A törtszámfogalom elmélyítése.

A tört mint osztás és a tört mint hányados matematikai tartalmának felfedezése.


A törtszám kialakulásának története: kutatás az interneten. 1 doboz háromszög ala- Poszter: 1-nél kisebb, kú sajt, színesrúdkészlet, 1-gyel egyenlő, illetve Két különböző színű do- 1-nél nagyobb törtek bebókocka. mutatása színes modellekkel.

1 kancsó víz, poharak, alma, szalag, írólapok.


Feladatlapok.

Egyenlő részekből álló csokoládék, színes papírcsíkok.

A számegyenes pontjai Demonstrációs méretű és a számok közötti meg- számegyenesek, feleltetés megértése öntapadós színes cédulák, számkártyák. Digitális tananyag.

Számfogalom kiterjesztése, a folytonosság érzékeltetése. Törtek nagysági viszonyainak megértése.


(Y)

261

Óra

87–88.

89–92.

93–94.

95–96.

97–98.

Téma, tananyag

Törtek egyszerűsítése és bővítése

262

Törtek összeadása és kivonása

Törtek szorzása természetes számmal

Törtek osztása természetes számmal

Összeg és különbség szorzása és osztása természetes számmal, műveletek sorrendje

Írólapok, körlapok. Kitöltendő feladatlapok, feladatgyűjtemény. Óra, színesrúdkészlet.

Kitöltendő feladatlapok, feladatgyűjtemény. Digitális tananyag.

A számolási készség fej- Írólapok, körlapok. lesztése. Kitöltendő feladatlapok, A nagysági viszonyok feladatgyűjtemény. megtapasztalása. Az önellenőrzés fejlesztése.

A számolási készség fejlesztése. A nagysági viszonyok megtapasztalása. Az önellenőrzés fejlesztése.


Öntapadós, színes szám- Poszter készítése: egyenkártyák. lő értékű törtek bemutaAzonos egységű száme- tása. gyenessereg.


A számolási készség fej- Írólapok, körlapok. lesztése. Kitöltendő feladatlapok, A nagysági viszonyok feladatgyűjtemény. megtapasztalása. Az önellenőrzés fejlesztése.

Egy számnak sokféle alakja van: az analizáló, szintetizáló gondolkodás fejlesztése.


Zárójeles és zárójel nél- A szabálykövető magaküli feladatok megoldása tartás fejlesztése. páros munkaformában.

A osztandó és a hányados értékének bemutatása körmodellen, frontális munkaformában. Gyakorlófeladatok megoldása párban, majd önállóan.

A szorzandó és a szorzat értékének bemutatása körmodellen, frontális munkaformában. Gyakorlófeladatok megoldása párban, majd önállóan.

Az összeadás szemléltetése kör- és téglalapmodellen frontálisan. Gyakorlófeladatok megoldása párban, majd önállóan.

Egyenlő értékű törtek kirakása számkártyákkal, csoportmunkában. A számok bejelölése azonos egységű számegyenesseregen.


(Y)

109–111. Szerkesztések elvégzése sima és négyzethálós lapon.

A szerkesztőeszközök biztos használata. Pontos, esztétikus munka igényének kialakítása.

A valóságban használt távolságfogalom alkalmazása a térelemek között. Absztrakciós készség fejlesztése.

Szerkesztések

Pontok és egyenesek távolságának bemutatása élvázas téglatesten. Két pont, pont és egyenes, valamint két egyenes távolságát mérjük különböző ábrákon csoportmunkában. Körző használatának elsajátítása. Esztétikai érzék fejlesztése. A távolság fogalmának elmélyítése.

104.

Dobókocka, pénzérme. Kitöltendő táblázatok.



Körző, kötél, vagy spár- Poszterkészítés: csak ga. körzővel rajzolt színes Gömb alakú testek. alakzatok. Karton és fonal. Körző, színes ceruzák. Feladatgyűjtemény. Átlátszó gömb, nyitott forgáshenger a térbeli analógiák szemléltetésére. Derékszögű vonalzók, egyenes vonalzó, körző.

Élvázas téglatest. A tankönyv végén található Magyarországtérkép. Körző, milliméter-beosztású egyenes vonalzó.

A mérési adatok értéke- Vonalzó, körző, mérőPáros munkában megmérjük a valóság tárgyai- lése, a távolságok egyér- szalag. nak távolságát. telmű megadása.

105–106. A sík pontjainak jellemzése egy adott ponttól mért távolsággal frontálisan. Távolsággal mega- 107–108. Távolsággal jellemzett dott ponthalmazok pontok színezése önállóan vagy páros munkában.

A kör és a gömb

Pontok, ponthalmazok távolsága

103.

101–102. 10 óra


III. felmérő PONTHALMAZOK Ponthalmazok távolsága


99–100. Valószínűségi kísérleValószínűségi szemlélet tek elvégzése párban, az kialakítása. adatok lejegyzése.

Óra

Mi a valószínűbb?

Téma, tananyag

(Y)

263

264

117.

Tizedes törtek egyszerűsítése, bővítése, összehasonlítása

A tizedes törtek helyének megjelölésével a számegyenesen ábrázolt pontok egyre sűrűbbek. Tapasztalatszerzés páros munkában. „Igaz legyen” játék tanári irányítással, frontális formában.


A szám valódi és alaki értékének kapcsolata.


Feladatlap, feladatgyűjte- Gyűjtőmunka: kerekímény. tett értékek használata a Számegyenesek önapa- mindennapi életben. dós színes lapokkal. Digitális tananyag.

Számkártyák a kézikönyvben szereplő „Igaz legyen” játékhoz.

Kitekintés a folytonosság Demonstrációs méretű felé, az induktív gondol- számegyenesek, kodás fejlesztése. öntapadós színes cédulák.

118–119. Egyéni feladatmegoldás: A becslési képesség fejmennyiségek mérésekor lesztése. szükséges kerekítések. A kerekítés határainak bejelölése számegyenesen.

116.

Tizedes törtek kerekítése


A Tudáspróba feladatai- Önellenőrzés fejlesztése. nak megoldása.


113–115. Egész számok tized- és A tört fogalmának elmé- Helyiérték-táblázat. századrészének bemuta- lyítése, a mérés pontostása különböző modelságának növelése. lekkel frontálisan. Helyiérték-táblázatok kitöltése csoportmunkában.

20+2 óra

112.

Óra

Tizedes törtek ábrázolása a számegyenesen

TIZEDES TÖRTEK Tizedes törtek értelmezése

Összefoglalás

Téma, tananyag

(Y)

Tizedes törtek szorzása természetes számmal

Tizedes törtek szorzása, osztása 10-zel,100-zal, 1000-rel

Tizedes törtek összeadása, kivonása

Téma, tananyag


126–127. Összehasonlítás frontális munkaformában: 1. Tört alakú szám szorzása, 2. Egész szám írásbeli szorzása, 3. Tizedes tört szorzása. Feladatmegoldás párban.

120–123. Az egész számok összeadásánál és kivonásánál tanult helyi érték szerinti írásmód bemutatása frontálisan. Szöveges feladatok megoldása csoportmunkával. Ellenőrzés közösen. 124–125. A szorzat, illetve a hányados változásának bemutatása a helyiértéktáblázatban, frontálisan. Mennyiségek átváltása, táblázatok kitöltése páros, majd önálló munkával.

Óra

Rétegekre és egységkockákra bontható 1 dm élű kocka. Feladatgyűjtemény, feladatlapok.


A szorzandó és a szorzat Feladatgyűjtemény, értékének vizsgálata. feladatlapok, kitöltendő Nagyságrendi becslések táblázatok. megismerése.

Analógiák felfedezése az Helyiérték-táblázat mozegész számoknál tanul- gatható számcsíkkal. takkal. Azonos értékű mennyiségek esetén a mérőszám és a mértékegység közötti összefüggés tudatosítása.

Együttműködés képességének fejlesztése. Szövegértelmezés – a probléma leírása matematikai jelekkel.



(Y)

265

266

Óra



2013. augusztus

Készítette: Széplaki Györgyné

133–134.

IV. felmérő

Grafikonok, táblázatok.

131–132. Véges, illetve végtelen Egy szám sokféle alakja, Feladatgyűjtemény, tizedes törtek bemutatása az azonos érték tudatosí- feladatlapok. frontálisan. tása. Tapasztalatgyűjtés a tizedes törtek különböző fajtáiról.

Az átlag matematikai tartalmának megértése.

Becslési képesség fejFeladatgyűjtemény, lesztése. feladatlapok, kitöltendő Mindennapi életből vett táblázatok. szöveges problémák átírása a matematika nyelvére. Ellenőrzés, önellenőrzés, a becsléssel való összevetés.


Tört alakban írt szám tizedes tört alakja

Tizedes törtek osz- 128–129. Összehasonlítás frontális munkaformában: tása pozitív egész 1. Tört alakú szám osztászámmal sa, 2. Egész szám írásbeli osztása, 3. Tizedes tört osztása. Szöveges feladatok megoldása párban, majd önállóan. Az átlag kiszámí130. Mért, gyűjtött, illetve tása adott grafikonról leolvasott adatok átlagának kiszámítása. Az egyes adatok átlagtól való eltérésének megfigyelése.

Téma, tananyag

Gyűjtőmunka: az átlag használata, szerepe a mindennapi életben.


(Y)

Tartalom

Tartalom ELŐSZÓ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : KERETTANTERV : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

3 5

TERMÉSZETES SZÁMOK : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1–4. óra: A számok alakja a tízes számrendszerben : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5. óra: A számok csoportosítása, halmazok : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6–7. óra: Számok ábrázolása számegyenesen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8–9. óra: Kerekítés, becslés : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10. óra: Összeadás és kivonás : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11–13. óra: Összeg és különbség változásai : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14–15. óra: Szorzás : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16–17. óra: Osztás : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18. óra: Szorzat és hányados változásai : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19–22. óra: Műveletek sorrendje : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tudáspróba : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

15 16 22 25 29 32 37 42 45 50 53 57

ALAKZATOK : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1–2. óra: Geometria : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3. óra: A tér alakzatai, a testek geometriai jellemzői : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4. óra: Testek hálója : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5–6. óra: Mértani testek szemléltetése : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7–8. óra: Térelemek kölcsönös helyzete : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9. óra: A szög fogalma : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10–11. óra: A sík alakzatai : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12. óra: Tudáspróba : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

60 62 67 71 76 80 86 90 94

EGÉSZ SZÁMOK : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1–3. óra: Negatív számok : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4–5. óra: Negatív számok: A számok abszolút értéke : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6. óra: Egész számok összeadása és kivonása: Összeadás : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7. óra: Egész számok összeadása és kivonása: Kivonás : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8–9. óra: Egész számok összeadása és kivonása: A zárójel nélküli írásmód : : : : : : : : : : : : : : : 10–12. óra: Egész számok szorzása és osztása természetes számmal : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13–14. óra: Nyitott mondatok : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tudáspróba : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

96 96 97 103 103 104 109 112 112

HELYMEGHATÁROZÁS : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1–2. óra: Helymeghatározás, derékszögű koordináta-rendszer: Helymeghatározás a mindennapi környezetünkben : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

114 114 267

Tartalom 3–4. óra: Helymeghatározás, derékszögű koordináta-rendszer: Tájékozódás a síkon: a derékszögű koordináta-rendszer : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5–6. óra: Gyakorlás : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

115 115

MENNYISÉGEK : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1–3. óra: A mennyiségek fogalma : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4–5. óra: A szög mérése : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6. óra: Sokszög szögeinek mérése : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7–8. óra: Sokszögek kerülete, a hosszúság mérése : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9–10. óra: Sokszögek területe, a terület mérése : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11–12. óra: A téglalap kerülete és területe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 13–15. óra: A téglatest felszíne : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16–17. óra: Testek térfogata: A térfogat mérése; Az űrtartalom mértékegységei : : : : : : : : : : : 18–19. óra: Testek térfogata: A téglatest térfogata : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20. óra: Tudáspróba : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

121 122 125 130 132 136 140 145 150 150 154

TÖRTEK : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1–2. óra: A törtszám fogalma és írása : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3–4. óra: Kisebb vagy nagyobb 1 egésznél? Pontosan 1 egész? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5. óra: Törtek helye a számegyenesen, negatív törtek : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6–7. óra: A törtek sokféle arca : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8. óra: Törtek összehasonlítása : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9–10. óra: Törtek egyszerűsítése és bővítése : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11–14. óra: Törtek összeadása és kivonása : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15–16. óra: Törtek szorzása természetes számmal : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 17–18. óra: Törtek osztása természetes számmal : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19–20. óra: Összeg és különbség szorzása és osztása természetes számmal, műveletek sorrendje : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21–22. óra: Mi a valószínűbb? : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tudáspróba : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

156 157 161 165 167 170 173 178 183 186

PONTHALMAZOK : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1. óra: Ponthalmazok távolsága : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2. óra: Pontok, ponthalmazok távolsága : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3–4. óra: A kör és a gömb : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5–6. óra: Távolsággal megadott ponthalmazok : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7–9. óra: Szerkesztések : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 10. óra: Tudáspróba : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

197 198 201 204 206 211 213

190 192 195

TIZEDES TÖRTEK : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 215 1–3. óra: Tizedes törtek értelmezése : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 216 4. óra: Tizedes törtek ábrázolása a számegyenesen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 223 268

Tartalom 5. óra: Tizedes törtek egyszerűsítése, bővítése, összehasonlítása : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6–7. óra: Tizedes törtek kerekítése : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8–11. óra: Tizedes törtek összeadása, kivonása : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12–13. óra: Tizedes törtek szorzása, osztása 10-zel, 100-zal, 1000-rel: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 14–15. óra: Tizedes törtek szorzása természetes számmal : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16–17. óra: Tizedes törtek osztása pozitív egész számmal : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18. óra: Az átlag kiszámítása : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 19–20. óra: Tört alakban írt szám tizedes tört alakja : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Tudáspróba : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

227 229 232 236 239 242 245 248 250

TANMENETJAVASLAT : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

253

Tartalom Jegyzetek

Tartalom

KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 5. tanításához

Recommend Documents