Matematika je často představována školním dětem, jako určitý „bubák“, který děti nejednou postraší, když
neumí vypočítat slovní úlohy nebo písemné dělení
….apod. Proto je na nás, abychom tyto „předsudky“
odbourali a naučili děti
matematiku milovat nebo aspoň ji mít rád. Jaké místo zaujímá matematika ve vyučovacím procesu, co je jejím úkolem a cílem ve vztahu k žákům?
5.
MATEMATIKA A JEJÍ VÝUKA NA ZŠ
5.1.
Charakteristika matematiky
Matematika spolu s výukou českého jazyka tvoří hlavní osu vzdělávacího působení na základní škole. Matematické vzdělávání je postaveno na rozvíjení vlastních zkušeností žáka a vychází z přirozené touhy dětí předškolního věku počítat, kreslit a pracovat se stavebnicí. Žáci se matematiku učí řešením úloh a činnostmi (někdy zdánlivě nematematickými), které mohou mít ráz hry. Bez těchto aktivit není matematika v tomto věku pro děti sdělitelná. Skutečnost, že děti v tomto věku jsou schopné rychle a přesně reprodukovat, nesmí být důvodem k výuce na tomto principu. Matematika je předmět, který by měl být chápán jako odraz reálných vztahů v hmotném světě. Cílem je vybavit žáky dovedností nahlížet na svět, ve kterém žijí, z hlediska kvantity, rozvoje abstraktního myšlení a logických operací, umět využívat získaných dovedností v praxi. Úkolem matematiky je rozvíjet přirozenou představu dětí o kvantitativních charakteristikách jejich okolí, o reálné představě významu čísla, číselných relacích, měřitelnosti základních fyzikálních veličin, přirozenou orientaci v prostoru , rozlišování rovinných a prostorových geometrických tvarů. Dále má vybavit žáky znalostí základních matematických symbolů, propojit jazyk matematiky s realitou, naučit základním početním úkonům a jednoduchým matematickým algoritmům. Matematika má naučit „matematizovat“ reálné situace, metody odhadů možných výsledků, porovnávat odhad s praktickou zkušeností. Učí žáky zapisovat řešení matematických úloh s důrazem na přesnost, úplnost, přehlednost, stručnost a dodržování 1
matematické symboliky. Naučit ovládat a využívat jednoduché pomůcky, které usnadňují složitější matematické úkony (počítadla, tabulky, kalkulátory), pomůcky k rýsování (pravítko, trojúhelník, kružítko) a dbát na úpravu patří též
k úkolům
matematiky. Matematické vzdělání sleduje i cíle směřující k rozvoji osobnosti. Rozvíjí v potřebné míře pozornost a soustředění se na řešení úlohy, stejně jako mnoho intelektuálních problémů, které před děti postupem času jistě postaví praxe. Základní matematické znalosti a dovednosti jsou nezbytné pro práci ve většině oborů lidské činnosti. Při řešení matematických úloh se rozvíjí také vytrvalost, pracovitost, kritičnost a odpovědnost. V tomto vyučovacím předmětu je nutné u dětí oceňovat originalitu řešení a vlastní tvorbu úloh, což rozvíjí jejich představivost, tvořivost a schopnost modelování úloh. V souvislosti s tím rozvíjíme i vyjadřovací schopnosti a argumentaci žáka. Matematika – už vzhledem k výše formulovaným cílům – se nemůže uzavřít pouze do svých vyučovacích hodin. Učitelé matematiky by si měli uvědomit, že zapamatování si všech potřebných informací není vždy účelné a žádoucí, že důležitější je schopnost umět tyto informace vyhledávat. Proto musí mít dostatek odvahy a nápadů k tomu, aby nabídli matematické služby i jiným předmětům a naopak využili těchto předmětů k cílevědomému plnění úkolů matematického vzdělávání. Diferencovaným a příkladným přístupem k žákům mohou učitelé dosáhnout toho, že se matematice i ostatním předmětům budou rádi učit.
5.2.
Logické operace v matematice
Matematické vědomosti se od 1. ročníku budují v souladu s matematickou teorií a důraz se klade na rozvíjení logického myšlení žáků. To se rozvíjí učením, děje se tak hlavně při vyučování, kde se děti učí uvažovat určitým způsobem pod vedením učitele. Jedním z hlavních úkolů dnešního matematického vyučování je tedy právě rozvíjení logického myšlení žáků. Výuka matematiky se zaměřuje na chápání souvislostí a vztahů mezi objekty, to znamená, že rozvíjí logiku. V matematice sledujeme rozvoj logiky již na počátku školní docházky, např. při objevování vztahů mezi znaky, např. číslicemi, a jejich obsahem. 2
V menší míře se výuka zaměřuje i na schopnost používat při řešení problémů určitá pravidla, to znamená, že se ve škole rozvíjí strategie uvažování. Strategie uvažování, tj.určitý přístup k řešení problémů, lze zároveň posuzovat jako strategie učení, neboť při řešení problémů se dítě něčemu novému naučí. Strategie řešení problémů můžeme stručně charakterizovat jako hledání způsobu, „jak bych příklad řešil“ apod. Děti předškolního věku řeší úkoly pokusem a omylem, kdy bez jakéhokoliv pochopení podstaty problému hledají přijatelné řešení. Zkouší prostě, co je napadne, a čekají, že se nakonec přijatelný výsledek objeví. Školní děti si oproti tomuto postupu osvojují více různých druhů strategií a dovedou je i vhodným způsobem použít. Logickým odvozením, usuzováním na správné řešení na základě předchozí zkušenosti (tj. dedukce) dítě dovede aplikovat určité řešení na problém, který má obdobný základní princip, jako již známá situace. Toho lze v matematice využít např. při řešení typově stejných slovních úloh. Ve školní práci si dítě rozvíjí určitý kognitivní styl, určitý způsob uvažování. Jisté rozdíly můžeme sledovat u dvou základních typů myšlení – konvergentní a divergentní. Konvergentní myšlení hledá jednu správnou odpověď na daný problém. Většina školních úkolů vyžaduje a tudíž i posiluje právě tento styl myšlení. Převaha tohoto způsobu myšlení ve škole může alespoň částečně vysvětlit, proč mají školní děti tendenci používat tento způsob uvažování i jinde. Naopak divergentní myšlení znamená hledání více, resp. neomezeného počtu možných správných či přijatelných řešení problému. Tento přístup je tvořivý, hledá různé i nestandardní a nové varianty. Mnohé děti mají k takovému způsobu uvažování sklony, a proto bychom je měli hodnotit pozitivně a i ostatní děti vést k tomuto způsobu řešení problémů. Matematika ve škole se může pojmout různými způsoby metody práce a obsahu. V jakém rozsahu a co budeme žáky učit nám stanovují určité dokumenty, které je nutno respektovat. Mezi těmito programy máme svobodnou volbu a záleží pouze na nás, který si vybereme a budeme preferovat.
3
5.3.
Osnovy na 1. stupni základní školy
V současné době lze matematiku na prvním stupni vyučovat podle trojích osnov:
osnovy základní školy
osnovy obecné školy
osnovy národní školy
V podstatě však platí, že učivo matematiky pro 1. ročník je ve všech výše zmíněných osnovách zhruba stejné. Proto můžeme mluvit o výuce matematiky v 1. ročníku základní školy, i když toto spojení není zcela přesné. Matematické učivo v prvním ročníku je rozděleno do tří tematických částí 1. numerace 2. početní operace 3. geometrie V numeraci žáci poznávají přirozená čísla do dvaceti, jejich zápis a vytvářejí si základ pro ovládání dalších číselných oborů. V této části se žáci učí:
vytvářet soubory s daným počtem prvků
počítat předměty v daném souboru
číselnou řadu
čtení a psaní čísel
orientaci na číselné ose
vztahy menší, větší, rovno
porovnávání čísel
Početní operace tvoří nejrozsáhlejší část učiva. Žáci se učí dobře sčítat a odčítat do dvaceti. Těchto výroků by pak měli využívat při řešení slovních úloh. Řešení úloh je prostředkem k rozvíjení matematické činnosti žáků, k zavádění pojmů a odvozování postupů. Úlohy jsou spjaty s prostředím žáků, jsou jim blízké a měly by být pro ně zajímavé a přitažlivé (např. tematikou, metodou řešení, pozoruhodností výsledků apod.). 4
Podobně jako v realitě uvádíme příležitostně i úlohy s nadbytečnými či chybějícími údaji a výsledek pozorujeme podle jejich reálného významu. Samozřejmě jde o údaje zcela jasné, jednoznačné a pro první ročník základní školy úplně jednoduché. Již v prvním ročníku vedeme děti k tomu, aby samy slovní úlohu na daný typ řešení vytvořily. Geometrie je zcela opřena o zkušenost dětí a vede nejen k získání užitečných technických dovedností, ale především k rozvíjení orientace v prostoru, geometrické představivosti a dokonce k estetickému cítění. Geometrická složka vzdělání prostupuje hravou formou celý vzdělávací proces prvního stupně. Geometrické vztahy pozná žák při kreslení, cvičení atd. Geometrie by měla být zajímavou a zábavnou činností pro všechny žáky. Stávající učební osnovy nahradí školní vzdělávací programy, které budou sestaveny na základě Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání. Tato výuka by měla být zahájená v 1. a 6. ročníku od školního roku 2007- 2008, proto jsem se rozhodla
do své diplomové práce zařadit aktuální verzi
vzdělávací oblasti
Matematika a její aplikace z Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání.
5.4.
Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání
Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání (dále jen RVP ZV) je veřejný dokument přístupný na internetových stránkách Ministerstva školství a tělovýchovy České republiky (www.msmt.cz). Poslední verze tohoto programu byla schválena ministryní školství, mládeže a tělovýchovy JUDr. Petrou Buzkovou 23.8.2004. Tvorbou RVP ZV se zabýval nejen výzkumný ústav pedagogický, ale také učitelé a ředitelé pilotních škol (školy, na kterých se RVP ZV zkoušel uvádět do praxe). Také jsou zde zakomponovány poznatky účastníků veřejné diskuse, která probíhá v médiích k třetí verzi RVP ZV.
5
5.4.1. Vzdělávací oblasti RVP ZV Vzdělávací obsah Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání je rozdělen do devíti vzdělávacích oblastí, které jsou tvořeny jedním nebo více obsahově blízkými vzdělávacími obory: 1. Jazyk a jazyková komunikace (Český jazyk a literatura, Cizí jazyk) 2. Matematika a její aplikace 3. Informační a komunikační technologie 4. Člověk a jeho svět (Prvouka, Přírodověda, Vlastivěda) 5. Člověk a společnost (Dějepis, Výchova k občanství) 6. Člověk a příroda (Fyzika, Chemie, Přírodopis, Zeměpis) 7.
Umění a kultura (Hudební výchova, Výtvarná výchova)
8. Člověk a zdraví (Výchova ke zdraví, Tělesná výchova) 9. Člověk a svět práce Vzdělávací obsah vzdělávacích oborů je tvořen očekávanými výstupy a učivem. Očekávané výstupy mají činnostní povahu, jsou prakticky zaměřené. RVP ZV stanovuje očekávané výstupy pro 1. stupeň na konci 3. ročníku (1. období) jako nezávazné a na konci 5. ročníku (2. období) jako závazné. Učivo je v RVP ZV chápáno jako prostředek k osvojení činnostně zaměřených výstupů, které se postupně propojují.
5.4.2. Matematika a její aplikace „Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace je v základním vzdělávání založena především na aktivních činnostech, které jsou typické pro práci s matematickými objekty a pro užití matematiky v reálných situacích. Poskytuje vědomosti a dovednosti potřebné v praktickém životě a umožňuje tak získávat matematickou gramotnost.“([21] , str. 21 ).
6
5.4.2.1. Cílové zaměření vzdělávací oblasti Oblast přispívá k utváření a rozvíjení klíčových kompetencí tím, že vede žáka k:
využívání matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech, jako jsou odhady, měření a porovnávání velikostí a vzdáleností, problémy orientace
rozvíjení paměti žáků prostřednictvím numerických výpočtů a osvojováním si matematických vzorců a algoritmů
rozvíjení kombinatorického a logického myšlení prostřednictvím řešení matematických problémů
rozvíjení abstraktního a exaktního myšlení osvojováním si a využíváním základních
matematických
pojmů
a
vztahů,
k poznávání
jejich
charakteristických vlastností a na základě těchto vlastností k zařazování pojmů
vytváření zásoby matematických nástrojů (početních operací, algoritmů, metod řešení úloh) a k smysluplnému využívání osvojeného matematického aparátu
vnímání složitosti skutečného světa, k rozvíjení zkušenosti matematizací reálných situací, k vyhodnocování matematického modelu a hranic jeho použití, k poznání, že realita je složitější než její matematický model
provádění rozboru problému a plánu řešení, odhadování výsledků, volbě správného postupu k vyřešení problému a vyhodnocování správnosti výsledku
přesnému a stručnému vyjadřování prostřednictvím užívání matematického jazyka včetně symboliky, prováděním rozborů a zápisů při řešení úloh, zdokonalování grafického projevu
rozvíjení spolupráce při řešení problémových a aplikovaných úloh vyjadřujících situace z běžného života, k využití získaného řešení v praxi, k poznávání možností matematiky a skutečnosti, že k výsledku lze dospět různými způsoby
rozvíjení důvěry ve vlastní schopnosti, rozvíjení možností při řešení úloh, soustavné sebekontroly při každém kroku postupu řešení, rozvíjení systematičnosti, vytrvalosti a přesnosti, vede k vytváření dovednosti
7
vyslovovat hypotézy na základě zkušenosti nebo pokusu a k jejich ověřování nebo vyvracení pomocí protipříkladů
5.4.2.2. Vzdělávací obsah vzdělávacího oboru Vzdělávací obor Matematika a její aplikace je rozdělen do čtyř tematických okruhů: 1. Číslo a početní operace (1. stupeň) 2. Číslo a proměnná (2. stupeň) 3. Závislosti, vztahy a práce 4. Geometrie v rovině a v prostoru Ve své práci se zaměřím na učivo a kompetence 1. stupně základní školy v 1.období, to znamená od prvního do třetího ročníku.
5.4.2.2.1. Číslo a početní operace Očekávané výstupy Žák:
„používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků
čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 1000, užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti
užívá lineární uspořádání, zobrazí číslo na číselné ose
provádí zpaměti jednoduché početní operace s přirozenými čísly
řeší a tvoří úlohy, ve kterých aplikuje a modeluje osvojené početní operace
Učivo: - obor přirozených čísel - zápis čísla v desítkové soustavě, číselná osa - vlastnosti početních operací s přirozenými čísly - písemné algoritmy početních operací“ ([21], str. 22)
8
5.4.2.2.2. Závislosti, vztahy a práce s daty Očekávané výstupy Žák:
„orientuje se v čase, provádí jednoduché převody jednotek času
popisuje jednoduché závislosti z praktického života
doplňuje tabulky, schémata, posloupnost čísel
Učivo: - závislosti a jejich vlastnosti - diagramy, grafy, tabulky, jízdní řády“ ([21],str. 23)
5.4.2.2.3. Geometrie v rovině a v prostoru Očekávané výstupy Žák:
„rozezná, pojmenuje, vymodeluje a popíše základní rovinné útvary a jednoduchá tělesa, nachází v realitě jejich prezentaci
porovnává velikosti útvarů, měří a odhaduje délku úsečky
rozezná a modeluje jednoduché souměrné útvary v rovině
Učivo: - základní útvary v rovině – lomená čára, přímka, polopřímka, úsečka, čtverec, kružnice, obdélník, trojúhelník, kruh, čtyřúhelník, mnohoúhelník - základní útvary v prostoru – kvádr, krychle, jehlan, koule, kužel, válec - délka úsečky, jednotky délky, jejich převody - obvod a obsah čtverce - vzájemná poloha dvou přímek v rovině - osově souměrné útvary“ ([21],str. 23)
5.4.3. Principy Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání Základní vzdělávání je založeno na poznávání, na respektování a rozvíjení individuálních potřeb, možností a zájmů žáka. Vzdělávání svým činnostním a praktickým charakterem motivuje žáky k dalšímu učení, vede je k učební aktivitě a 9
k poznání, že je možné hledat, objevovat, tvořit a nalézat vhodný způsob řešení problémů. Základní vzdělávání na 1. stupni umožňuje svým pojetím přechod žáků z předškolního vzdělávání a rodinné péče do povinného, pravidelného a systematického vzdělávání. Na základě srovnání kompetencí RVP PV a RVP ZV zjišťujeme, že principy Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání v oblasti Matematika a její aplikace navazují na principy Rámcového vzdělávacího programu pro předškolní vzdělávání v oblasti Dítě a jeho psychika.
6.
ZAVÁDĚNÍ ZÁKLADNÍCH MATEMATICKÝCH POJMŮ A OPERACÍ V 1. ROČNÍKU ZŠ
Hlavním cílem vyučování matematice je utváření a upevňování matematických představ, matematických dovedností a matematického jazyka. Správné osvojení matematických pojmů je pro pozdější zvládnutí matematiky stejně důležité jako slovní zásoba pro řeč. Jsou-li správně zafixovány, je možné je zpaměti vyvolávat a dále s nimi pracovat. Pokud dojde k mechanickému zvládnutí na základě mnohonásobného opakování, nelze se o ně opírat při dalším osvojování náročnějšího učiva. Při osvojování základních pojmů je třeba používat názorný materiál do té doby, dokud dítě bezpečně nechápe podstatu pojmu. Rychlý přechod k numerickému počítání především formou drilu vede k nepochopení a dětem učivo matematiky činí problémy. Číselné představy- utvářejí se nejprve do 5, později do 10, 20, 100, 1000 a dále v oboru přirozených čísel, zlomků, desetinných čísel Základní matematické operace- dítě se učí rozumět matematickým operacím s pomocí názorného materiálu, přičemž počítání do 10 je základem úspěchu Slovní úlohy – ve své podstatě znamenají matematizaci běžných denních situací. Geometrie- předpokládá grafomotorické dovednosti, pravolevou a prostorovou orientaci a prostorovou představivost
10
6.1.
Zavádění přirozených čísel
Chceme-li, aby dítě, které začalo chodit do školy, vstoupilo snadno do počtářského světa, nebudeme začínat hned početními výkony, začneme přípravnými cvičeními. Tomuto období se říká „období předpočtářské“, snažíme se zbystřit sluch, zrak i mysl dítěte, cvičit pozornost a vzbuzovat obrazotvornost a fantazii. Vytváření pojmu přirozeného čísla úzce souvisí s vysokým stupněm abstrakce. Dítě při vnímání preferuje kvantitu, tzn. že si všímá počtu prvků, nikoliv jejich viditelných vlastností. Například: Jeden motýl, jeden delfín
obr. 1
Tři kostky, tři figurky
obr.2
Při vyvozování pojmu přirozené číslo jsem teoreticky vycházela z Drábka [6], který zavádí přirozené číslo třemi způsoby : 1. kardinální číslo 2. ordinální číslo 3. prvek Peanovy množiny
11
Jednou z možností vytvoření pojmu přirozeného čísla je zavedení přirozených čísel jako kardinálních čísel konečných množin. „Třída, do které patří množina A z neprázdného systému množin M a všechny množiny s množinou A ekvivalentní, se nazývá kardinální číslo množiny A. Kardinální číslo množiny A značíme │A│.“ ([ 6 ], str. 131). Místo pojmu kardinální číslo množiny se někdy též říká mohutnost množiny. Jednoduše můžeme zapsat : │A│ = {X Є M : X ~A}. Připomeňme, že dvě množiny jsou ekvivalentní právě tehdy, jestliže existuje prosté zobrazení jedné množiny na druhou množinu.
K určení kardinálního čísla │A│ je potřeba znát jednu množinu, která do této třídy patří. Jedná se o tzv. reprezentanta dané třídy. „Množinu A i kteroukoli množinu X, pro níž platí X ~ A, nazveme reprezentantem třídy │A│.“ ([ 6], str. 131)
obr. 3
X~A
12
Je vhodné zvolit rozmanité množiny, aby si žáci uvědomili pouze podstatné vlastnosti všech množin patřících do dané třídy (tj. množina má stejně prvků jako reprezentant dané třídy) a abstrahovali od nepodstatných vlastností jako jsou specifické vlastnosti prvků uvažovaných množin – tvar, barva, velikost, materiál, apod. Někdy však může nastat problém v tom, že větší počet prvků není žák schopen určit pouhým pohledem. Počítá si po jedné, tento způsob určování počtu prvků není důsledně kardinální. „Pouhým pohledem žák dokáže určit množinu jednoprvkovou, dvouprvkovou, maximálně tříprvkovou). Ve snaze umožnit stanovení počtu prvků kardinálním způsobem i u početnějších množin vznikly tzv. číselné obrazce, kde vhodná konfigurace a standardizace bodů umožňuje jediným pohledem určit počet prvků například na hrací kostce, na kartách, na dominu apod.“ ([5], str. 57) Počítáním po jedné prvky v množině uspořádáváme. Tímto způsobem vlastně přirozené číslo zavádíme jako ordinální číslo konečné dobře uspořádané množiny. „Třída, do které patří dobře uspořádaná množina [A] = (A, ) z neprázdného systému ℘ dobře uspořádaných množin a všechny dobře uspořádané množiny ze systému ℘, které jsou s dobře uspořádanou množinou [A] podobné, se nazývá ordinální číslo dobře uspořádané množiny [A]. Ordinální číslo dobře uspořádané množiny [A] budeme značit ord [A].“ ([ 6], str. 134) Blažková [2] dodává, že ordinální číslo dané konečné množiny prakticky určujeme tak, že množinu dobře uspořádáme a zobrazíme ji do uspořádané množiny číslovek, tj. do množiny slov naučené číselné řady – jedna, dvě, tři, čtyři, pět,….. Každý prvek dané množiny označíme číslovkou. Číslovka použitá naposledy určuje přirozené číslo, které udává počet prvků v dané konečné dobře uspořádané množině, tedy určuje ordinální číslo.
13
Jedna Dva Tři Čtyři Pět Šest Sedm
obr.4 Stejně jako v mateřské škole můžeme v 1. ročníku v počáteční fázi výuky matematiky využívat pro zapamatování číselné řady různá říkadla, písničky a básničky. Například: „Jedna tečka, druhá tečka – Vítek čeká na dědečka, třetí, čtvrtá, pátá – leť beruško zlatá.“ ([14], str. 24) „Jedna, dvě, Zajda s Hajdou jde. Jedna, dva, tři, jsou to bratři. Jedna, dva, tři, čtyři, kampak si to míří. Jedna, dva, tři, čtyři, pět, zajíci jdou na oběd.“ ([15], str.1) Jedna, dvě, tři, čtyři,pět, cos to Janku, cos to jed. Brambory pečený, byly málo maštěný. „Jedna, dva, tři, čtyři. Brok za námi míří. Zahrajem si na dvorku, pozvem také Barborku.“ ([16],str.9)
14
Další možností zavádění přirozených čísel je prostřednictvím prvků Peanovy množiny. „Množina P se nazývá Peanova, má-li tyto vlastnosti: I. Ke každému prvku x Є P existuje právě jeden prvek x´Є P. Prvek x´ se nazývá následovník prvku x. II. Množina P obsahuje prvek e, který není následovníkem žádného prvku množiny P. III. Každé dva různé prvky množiny P mají různé následovníky. IV. (Princip matematické indukce) Jestliže pro nějakou množinu M platí:
obsahuje prvek e.
obsahuje-li prvek x Є P, obsahuje i jeho následovníka x´ Є P, pak také platí, že množina M obsahuje všechny prvky množiny P.“ ([6], str. 138).
V praxi vlastnost I spočívá v přidání vždy jednoho prvku k již stávající skupině prvků, jejichž počet byl již uveden či probrán. (viz obr.5). Nejprve vytvoříme představu čísla 1. Například: jedno je sluníčko, jeden je měsíček, jedna je hlava, jeden je nos. K jednomu prvku přidáme další jeden – vytvoříme číslo 2. Další čísla vytváříme podobně. Můžeme použít opět básničky, pohádky říkadla. Například: Kreslíme a říkáme si básničku: „Jedna slepička si povídala, že by ráda zrníčka zobala.
Dvě slepičky povídaly, že už zrníčka zobaly.
1a1 Tři slepičky povídaly, že si na poli zrníčka nahrabaly.
15
2a1 Čtyři slepičky povídaly, že jim děti zrníčka nasypaly.
3a1 Pět slepiček povídalo, že každé dítě dobře počítalo.“ ([14], str.14 )
4a1 obr.5
Vlastnost II ve školské matematice na 1. stupni základní školy předurčuje do role prvku e číslo 1.
6.2.
Počítání po jedné
Počítáním po jedné prvky vlastně uspořádáváme. Dítě ovládá řadu čísel nejdříve od jedné do pěti, později až do deseti vzestupně i sestupně. Dítě nesmí číselnou řadu používat bezobsažně, bez významu! Za každou vyslovenou číslovkou si musí představit počet prvků, který vyjadřuje. Proto musí postupovat následovně:
nesmí vynechat žádný prvek
(princip korenspondence)
nesmí žádný prvek počítat dvakrát
zná následnost čísel i to číslo, které předchází, v pořadí číslovek nesmí žádnou vynechat, zaměnit ani opakovaně jmenovat (princip stálého pořadí)
16
musí vědět, že při počítání řady prvků poslední jmenované číslo představuje celkový počet prvků
nesmí konkrétní předměty počítat od nuly
nesmí názvy čísel vázat na konkrétní předměty
6.3.
(princip abstrakce)
Uspořádání
Cílem činnosti je, aby děti intuitivně pochopily, že množina přirozených čísel je uspořádaná a že je možné o každých dvou prvcích rozhodnout, který je před kterým. Při vytváření této představy můžeme na počátku využít různých pohádek, např. O kohoutkovi a slepičce, O veliké řepě. Pravidlo, že někdo je na určitém místě, za nebo mezi někým, přenášíme do představ o číselné řadě. Děti tak mohou získat přestavu o vzájemné poloze jednotlivých čísel v číselné řadě, jak jdou za sebou.
6.4.
Význam čísla
Čísla se vyskytují v běžném životě v různých významech. Například:
číslo jako označení množství, například 2 mandarinky, 3 židličky,…
číslo jako nositel pořadí, uspořádání se vyskytuje například u data narození, u čísla sedadla v kině, zpřesňují adresu (udávají číslo domu, směrovací číslo města)
číslo jako veličina označující množství, např. 5 kg jablek,10ml vody,….
číslo jako operátor – příkaz změny (uber 5 jablíček, přidej 2 lízátka,….)
číslo jako kód – například PIN a PUK kódy jako zabezpečovací zařízení
Dítě by mělo poznat, že s čísly v různých významech nelze zacházet stejně. S číslem pořadí se nemůže pracovat jako s číslem udávajícím počet prvků, například čísla pořadí nelze sčítat. Pojem čísla udávajícího počet prvků se vytváří různými činnostmi: a) Dítě si všímá věcí, které se ho bezprostředně týkají. číslo 1 – jedna brada, jeden nos, jedna hlava, jedna maminka, jedno slunce,… číslo 2 - dvě ruce, dvě nohy, dvě oči, dvě uši, dvě kola na koloběžce, kolu,….. 17
číslo 3 – počet kol na tříkolce, číslo 4 – počet kol na automobilu, nohy kočičky,…. číslo 5 – pět prstů,….. b) Dítě využívá pohádek, říkanek, ve kterých hraje roli počet osob nebo předmětů, například : Tři oříšky pro Popelku, Sněhurka a sedm trpaslíků, Pohádka o dvanácti měsíčkách, Tři zlaté vlasy děda vševěda, Měla babka čtyři jabka, atd. c) Dítě zjišťuje, že změnou tvaru se nemění počet prvků. Dítě pracuje například se třemi špejlemi velikosti zápalky.
3
Pokouší se sestavit nějaký obrázek stůl
střecha
obr.6
Konfigurace neboli prostorové uspořádání, seskupení špejlí se mění, jejich počet však zůstává stejný.
6.5.
Číslo a číslice
Nejdříve je nutné odlišit od sebe význam těchto slov. Číslo je abstraktní pojem, který má více významů. (viz. kapitola 6.4. Význam čísla) Číslice je znak pro zápis čísla.. Pracujeme s desítkovou poziční soustavou, používáme celkem deset znaků – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Prostřednictvím nich můžeme zapsat jakékoliv přirozené číslo.
6.6.
Porovnávání čísel
Při porovnávání přirozených čísel se opíráme nejčastěji o definici nerovnosti mezi kardinálními čísly, kterou uvádí Drábek [ 6 ] takto: „Je-li │A│ ≠ │B│ a množina A je ekvivalentní s vlastní podmnožinou B* množiny B, pak říkáme, že │A│ je menší než │B│, a píšeme │A│<│B│. Můžeme též říci, že │B│ je větší než │A│.“ Mluvíme o nerovnosti mezi kardinálními čísly.“ ([ 6], str. 131) 18
Při porovnávání kardinálních čísel dochází k prostému zobrazení množiny A do množiny B. │A│= 3 │B│= 5
│A│<│B│, to znamená
3<5 B*
B
A
obr.7 Prostřednictvím vytváření dvojic by děti měly nejdříve pochopit vztahy „více“, „méně“, „stejně“.
obr.8 Jednomu vodníkovi přiřadíme vždy jednoho kapra. Děti zjistí, že všichni vodníci utvořili dvojice se všemi kapry, to znamená, že vodníků je stejně jako kaprů. Porovnávání provádíme nejprve na konkrétních předmětech, potom na obrázcích, později pracujeme s grafickým znázorněním. 19
Porovnávání množin probíhá na základě prostého zobrazení.
Zobrazení množiny A do množiny B značí, že množina A má méně prvků než množina B.
(Některé prvky množiny B neutvořily uspořádanou dvojici s prvky množiny A tak, aby relace byla zobrazením prostým.)
.
obr.9
Eskymáků je méně, nebo více než domečků iglú?
obr.10 Jednomu eskymákovi přiřadíme vždy jeden iglú. Děti zjistí, že eskymáci a iglú dvojice nevytvoří. Na otázku odpoví, že eskymáků je méně.
20
Zobrazení z množiny A na množinu B vystihuje situaci, kdy množina A má více prvků než množina B
(Některé prvky množiny A nevytvořily uspořádané dvojice s prvky množiny B tak, aby relace byla prostým zobrazením.)
obr.11 Eskymáků je méně, nebo více než domečků iglú?
obr.12 Děti opět přiřazují vždy jednomu eskymákovi jeden domeček, zjišťují , že nevytvořily dvojice a jeden eskymák zůstal sám. Jejich odpověď je, že eskymáků je více než domečků.
21
Zobrazení množiny A na množinu B. Říkáme, že množina A má stejně prvků jako množina B
(Každý prvek množiny A je v relaci zobrazení ve dvojici právě s jedním prvkem množiny B.)
obr.13 Eskymáků je více, méně nebo stejně než domečků iglú?
obr.14 Děti při vytváření dvojic v této možné variantě zjistí, že každý jeden eskymák má svůj jeden domeček. Jejich odpověď zní, že eskymáků je stejně jako domečků iglú. Uvedená zobrazení jsou všechna zobrazení prostá. Prostá zobrazení jsou i zobrazení k nim inverzní, to znamená, že zobrazení množiny A do B je inverzní k zobrazení z množiny B na A. Toto zjištění usnadňuje žákům práci s porovnáváním v tom, že využijí obě navzájem inverzní zobrazení z jediného znázornění. Přesvědčí se 22
o tom, že pokud má množina A prvků méně než množina B, pak má množina B více prvků než množina A. Pokud děti mají tuto fázi porovnávání zvládnutou, pracujeme s dalším typem cvičení, kdy sami dokreslují nebo skládají. Například: Namaluj více banánů, než je ananasů.
obr.15 Poskládej na lavici stejně šišek, kolik vidíš veverek.
obr.16 Nakresli méně koláčů, než je kuchařů.
obr.17
Jakmile děti pochopí princip utváření dvojic a význam větší, menší, rovno, dostáváme se do další fáze v porovnávání. Děti přiřazují k souborům číslo (daný počet) 23
a seznamují se znakem pro vyjádření nerovnosti nebo rovnosti v matematice. Přiměřené vysvětlení a znázornění jednotlivých znaků pro nerovnost podává učebnice ALTER ([18], str.13).
1 je méně než 3
2 rovná se 2
3 je více než 1
obr.18
Myší je více, než sýru.
obr.19
4 čtyři
>
3
je více než
tři
24
děti čtou:
Veverek je méně, než šišek.
obr.20
2 dvě
< je méně než
děti čtou:
3 tři
Opiček je stejně jako banánů.
obr.21
3
=
3
tři
se rovná
tři
děti čtou:
25
Při porovnávání platí:
5 > 3 a také 3 < 5 a to proto, že
zobrazení inverzní jsou také zobrazeními prostými. Znaky rovnosti a nerovnosti vkládáme pouze mezi čísla. Mezi graficky znázorněné objekty (geometrické tvary, obrázky zvířat, předmětů,….) je zapisování znaků nerovnosti nebo rovnosti chybné! Např.
= obr.22
>
obr.23
<
obr.24 26
6.7.
Operace s přirozenými čísly
Početní operace tvoří nejrozsáhlejší část učiva. Žáci v prvním ročníku se učí dobře sčítat a odčítat a těchto výkonů užívat při řešení slovních úloh. V 1. ročníku se jedná především o tyto operace:
sčítání přirozených čísel
odčítání přirozených čísel
„Z teoretického pohledu se jedná o příklady binárních algebraických operací definovaných v množině všech přirozených čísel. Binární algebraická operace v množině M je zobrazení z kartézského součinu M x M do množiny M.“ ([ 2 ], str.14) Například : [3, 2] → 5 3+2=5
6.7.1. Sčítání přirozených čísel Při sčítání přirozených čísel vycházíme z definice o sčítání čísel kardinálních, kterou uvádí Blažková ([2], str.15) následovně: „Jsou-li dána dvě kardinální čísla a, b a máme-li určit kardinální číslo a + b, pak musíme najít dvě vhodné množiny A,B takové, že platí: A = a, B = b, A ∩ B = 0. Poté a + b = A + B = A ∪ B. Sčítání kardinálních čísel je neomezeně definovaná, komutativní, asociativní binární algebraická operace s neutrálním prvkem ( 0 = 0).“ Na
počátku
výuky provádíme
jednoduché
činnosti s konkrétními
předměty,
např. kaštany, šiškami, kamínky, kostkami…, dramatizaci, kreslení atd. děti určují, „kolik je to dohromady.“ Například : Janička nasbírala 2 kaštany a Alenka nasbírala 3 kaštany. Kolik mají kaštanů dohromady?
obr.25 Dítě určí počet kaštanů buď počítáním po jedné – „jeden kaštan,druhý, třetí, čtvrtý, pátý“, nebo pouhým pohledem. Na činnosti s pomůskami navazuje grafické znázornění situace. Při vyvozování sčítání dvou přirozených čísel se uplatňují dva 27
stupně abstrakce. První spočívá v tom, že žák při manipulační činnostech pozná, že tato skutečnost je obecnější, tj.dva kaštany a tři kaštany je pět kaštanů, stejně jako dva míče a tři míče je pět míčů – tj. součet nezáleží na konkrétních předmětech sčítání. Druhý stupeň abstrakce sčítání je určení součtu přirozených čísel 2 + 3 = 5. Děti se naučí situaci znázornit graficky: obr.26 Jako další fáze je při sčítání zapsání situace pomocí čísel a znaků určených pro sčítání. Seznamují se se znakem: Zápis:
+
plus
=
rovná se
2+3=5
Při vyvozování sčítání nejdříve volíme takové příklady, ve kterých sčítáme prvky stejného druhu, aby i součet byl stejného druhu, například 1 balónek a 2 balónky jsou dohromady balónky 3. Později volíme prvky tak, aby název jejich součtu byl jakýmsi „nadřazeným výrazem“, například 2 trička a 1 sukně jsou 3 kusy oblečení. Komutativnost sčítání
vyvozujeme s dětmi v konkrétní činnosti a z grafického
záznamu:
2+3=5
3+2=5 obr.27 2+3=3+2=5
28
Asociativnost sčítání se užívá v souvislosti s užíváním závorek a používá se při vyvozování sčítání ve druhé desítce. Je vhodné grafické znázornění, např. pomocí mřížky.
obr.28 12 + 5 = ( 10 + 2 ) + 5 = 10 + ( 2 + 5 ) = 10 + 7 = 17
6.7.2. Odčítání přirozených čísel Operace odčítání se vyvozuje odděleně od operace sčítání, na vzájemné souvislosti obou operací se poukáže až po jejich samotném vyvození. „Rozdíl přirozených čísel a,b definujeme jako přirozené číslo x, pro které platí: a = b + x. Číslo x pak zapisujeme x = a – b. Rozdíl přirozených čísel a, b existuje právě tehdy, když a
>
b. Odčítání přirozených čísel není neomezeně
definovaná operace.“ ([2], str. 20) Vyvozování odčítání se děje ve skupině konkrétních předmětů prostřednictvím ubírání, zmenšování, oddělování, apod. Při vyvozování jednotlivých spojů operace odčítání vycházíme z činností s pomůskami a z grafického znázornění dané situace. Například: Janička nasbírala 5 kaštanů. Dva kaštany dala Alence. Kolik kaštanů zůstalo Janičce? Děti skládají pět kaštanů na lavici:
obr. 29 2 kaštany oddělají, řeknou kolik jim zůstalo
29
Grafický záznam:
obr.30
Poslední fáze při vyvozování odčítání je zápis dané situace pomocí čísel a symbolů pro odčítání. Děti se seznamují se symbolem -
mínus
5–2=3
6.7.3. Řešení slovních úloh V 1. ročníku se většinou řeší jednoduché slovní úlohy, při kterých využíváme sčítání nebo odčítání přirozených čísel v oboru do dvaceti. Více méně se jedná o nácvik matematizace a pochopení grafického znázorňování slovní úlohy než o její vlastní vyřešení. V prvním kroku mají děti za úkol situaci zadanou ve slovní úloze znázornit na vhodném modelu (např. na koberci manipulují s konkrétními předměty), v druhém kroku danou situaci znázorňují nákresem na tabuli, ve třetím kroku zapisují příslušný příklad.
6.8.
Geometrické představy
Geometrie v prvním ročníku je zcela opřena o zkušenost dětí , vede především k rozvíjení orientace v prostoru, geometrické představivosti a estetického cítění. Děti jsou vedeny k pochopení pojmů jako je – vpravo, vlevo, pod, nad, před, za, hned před, hned za. Dále by žák měl umět rozeznávat geometrické útvary, a to jak rovinné obrazce, tak i tělesa : koule Prostor válce Kulaté
Špičaté
Rovina
Rovina
kruh
trojúhelníky
30
kvádry Prostor krychle Hranaté obdélníky Rovina čtverce
6.8.1. Geometrické rovinné útvary Již v předškolním věku děti začínají diferencovat mezi rovinnými a prostorovými útvary. Předškoláci se seznamují s názvy rovinných útvarů. Používají aktivně pojmy kruh, trojúhelník, čtverec, obdélník.
čtverec
kruh obdélník trojúhelník
obr.31
Vhodnou pomůckou pro poznávání základních rovinných geometrických útvarů jsou tvary vystřižené z papíru nebo fólie. Vytvářením různých obrázků z daných tvarů dochází k upevňování dovednosti správně obrazce poznávat a pojmenovávat. Například: Slož ze 2, (3, 4, ….) čtverců, trojúhelníků nový obrazec, čtou geometrické tvary jak jdou za sebou v řadách, skládají geo. tvary podle diktátu, rozlišují větší čtverec – menší čtverec, nalepují na proužek papíru geometrické tvary podle předlohy nebo pokračují v řadě….. Skládání geometrických tvarů podle pravidelnosti: pokračuj v řadě 31
obr.32 Skládání obrázků z geometrických tvarů:
obr.33 Při zavádění pojmenování rovinných obrazců je nutné vyvarovat se chyb. Například není správné představovat kruh pomocí kresby na tabuli, protože namalována je zde kružnice. Je nutné vyplnit plochu kruhu.
6.8.2. Geometrické prostorové útvary Děti v prvním ročníku poznávají názvy jednotlivých těles. Setkávají se s nimi nejprve při hře se stavebnicí, kdy stejně vypadající kostky přiřazují k jednotlivým tělesům. Děti pojmenovávají: krychli, kvádr, válec, kouli.
obr.34
32
Všímají si rozdílů mezi jednotlivými prostorovými útvary a používají při jejich popisu pojmy jako tenký-tlustý, vysoký- nízký, krátký-dlouhý, úzký- široký, hranatý- kulatý atd. Názvy jednotlivých těles se upevňují zejména při hře se stavebnicí, kdy děti vytváří stavby podle své fantazie, nebo podle daného námětu, předlohy, nákresu. Například: Stavby z krychlí
obr.35 Stavby z krychlí, kvádrů, válců:
obr.36 33
Poznávají počet krychlí ve stavbě
obr.37
6.8.3. Prostorová orientace Další důležitou činností je orientace dítěte v prostoru, to znamená chápání vztahů nahoře, dole, před, za, pod, vedle, mezi, vlevo, vpravo, uprostřed. Pravo-levá orientace by se měla dětem představovat na skutečné postavě, protože u postavy nakreslené se některé děti dokáží vžít do předložené postavičky a nesprávně strany určí. Děti se učí kreslit ve čtverečkovaném papíru, kreslí podle šipek ve čvercové síti, kreslí podle vzorů. Například: Kreslení podle vzorů
obr.38
34
6.8.4. Osová souměrnost Do geometrických představ patří také činnosti založené na osové souměrnosti. Při překládání a skládání papíru, děti zjišťují, že některé tvary se dají přeložit na polovinu a tyto poloviny jsou stejné. Patří sem obdélník, čtverec, kruh. Osovou souměrnost můžeme využít i například při výrobě přáníček atd. Například: Skládání geometrických tvarů
obr.39
Využití osové souměrnosti při výrobě přání
přeložená strana
obr.40
35
6.8.5. Propedeutika měření Děti v 1. ročníku podobně jako děti v mateřské škole se setkávají s měřením v rámci přípravných manipulačních činností. Pro zjišťování určité délky používají různé provázky, tkaničky, které k sobě přikládají a zjišťují jejich vzájemnou délku. Tuto délku porovnávají mezi sebou. Další činností pro zjišťování délky je práce s měřidlem, které je rozděleno na dílky (jeden díl = 1 cm). Děti nepoužívají jednotku 1cm, ale určují pouze počet dílků. Například: Změř délku sešitu a notýsku provázkem, potom změř kolik dílků má provázek sešitu a notýsku. Porovnej tyto délky. a) nejprve děti pracují s provázky, po přiložení zjišťují, který je delší, kratší b) provázky změří pomocí měřidla s dílky a délku mohou zapsat a porovnat V této kapitole uvádím způsoby a postupy, kterými se mohou zavádět přirozená čísla, operace sčítání a odčítání, vytváření základních geometrických představ v první třídě, s nimiž v plném rozsahu souhlasím a ztotožňují se i mé zkušenosti z praxe. Jak jsem již několikrát uvedla, učím děti v první třídě a přístup k nim musí být velmi odpovědný, citlivý a trpělivý. Výuka matematice je pro děti poměrně náročná, aspoň v počáteční fázi, kdy se musí děti zkoncentrovat k činnosti, zorientovat se ve všem co je pro ně nové. Ve svých hodinách dávám přednost co nejvíce názoru a činnostem, ve kterých jsou zapojeny všechny děti, tak i každý samostatně. Využívám některých prvků činnostního učení, vedu žáky k tomu, aby při výuce zapojili co nejvíce smyslů, projevovali své názory, hledali, tvořili, objevovali a nalézali různá řešení. Tento způsob výuky mi umožňuje sledovat úroveň celé třídy, ale i vývoj jednotlivých žáků. Protože učím na vesnické škole, kde počet dětí ve třídě (10- 15) plně vyhovuje mým představám o moderním vyučování, je možno ve výuce uplatňovat individuální přístup k žákům nadprůměrným i pomalejším. Během vyučování dochází k diferenciaci. Při každém vyvozování nového učiva uplatňuji princip postupu od konkrétního k abstraktnímu. Děti pracují s pomůckami (přírodniny, obrázky, kolečka, tužky, pastelky, karty s čísly, penízky) v lavici i na koberci, který je k dispozici v zadní části třídy, hrají různé matematické hry, např. Na veverky, Na zahradníka, kdy děti skládají
36
do určeného počtu, podle číslice na kartě, přidávají, odebírají, samostatně vymýšlí jednoduché slovní úlohy. Když tuto fázi mají osvojenu přecházíme ke grafickému záznamu, kdy využíváme pracovní sešity. Jak jsem už zmínila, každé dítě má jiné schopnosti a předpoklady pro vytvoření matematických představ. Někteří žáci potřebují delší dobu pro používání názoru, proto jim tuto možnost ponechávám až do okamžiku, kdy jsou schopni počítat samostatně. Naopak dětem tzv.šikovným je nutné připravit úkoly pro ně přiměřené, náročnější. Při zavádění geometrických tvarů
vycházíme z představ, které děti získaly
v mateřské škole, používám sady geo. tvarů, stavebnice, hledáme geometrické tvary ve třídě, ve škole, na ulici kolem sebe, vyhledávají na obrázcích, ve skládankách. Základní geometrické tělesa se učí poznávat a pojmenovat při hrách se stavebnicí a přiřazování k modelům těchto těles. Ve své práci se snažím co nejvíce respektovat každého žáka jako osobnost, která má své předpoklady a schopnosti, a ty se snažím rozvíjet, a také co nejvíce používat individuální přístup k žákovi. Cílem mé práce je, aby žáci v mé třídě se cítili příjemně, bez pocitu strachu co nového je čeká, ale naopak, aby se těšili. V 1. ročníku by měla výuka být co nejvíce přizpůsobena věkovým zvláštnostem těchto dětí, aby neztratily zájem a chuť učit se, protože jak všichni víme, většinou se děti do 1. třídy těší. Vyučování by mělo být ve velké míře kreativní, měly by se střídat různé způsoby práce, abychom zaujali jejich pozornost a neustálou aktivitu. V mé praxi se mi osvědčilo používat při procvičování a opakování osvojeného učiva nejrůznější hry, obrázkové doplňovačky , barevné počítání atd. Některé náměty pro zábavné opakování uvádím v sedmé kapitole.
37
