MATEMATIKA 5. Megoldások
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet
A kiadvány megfelel az 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet: 2. sz. melléklet: Kerettanterv az általános iskolák 5–8. évfolyama számára 2.2.03. előírásainak. Tananyagfejlesztő: Gedeon Veronika, Korom Pál József, Számadó László, Tóthné Szalontay Anna, dr. Wintsche Gergely Alkotószerkesztő: dr. Wintsche Gergely Vezetőszerkesztő: Tóthné Szalontay Anna Tudományos szakmai lektor: Rózsahegyiné dr. Vásárhelyi Éva Pedagógiai lektor: Beck Zsuzsanna Nyelvi lektor: Szőnyi László Gyula Olvasószerkesztő: Füleki Lászlóné, Mikes Vivien Fedél: Slezák Ilona terve alapján készítette Kováts Borbála Látvány- és tipográ iai terv: Gados László, Orosz Adél IIlusztráció: Létai Márton Szakábra: Szalóki Dezső, Szalókiné Tóth Annamária Fotók: Wikimedia Commons: 3., 12., 21., 35. (4 db), 62., 76., 118. Flickr: a hátsó borító képe (CreativeTools.se), 18. (Daniel Ziegener), 49. (Soil Science), 60. (Peter Roberts), 78. (Daniel Stockman), 78. (Joi Ito), 78., 107., 123. (Edwin Torres), 126. Pixabay: 56., 84., 99., 104., 106., 114., 116., 120., 121., 126., 132., 135. MorgueFile: címlapkép, 59., 60., 79., 93., 95., 106 (3 db), 128. PublicDomainPictures: 78. Magyarország képekben: 119. (Haller). A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. ISBN 978-963-682-752-6 © Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet A kiadásért felel: dr. Kaposi József, főigazgató Raktári szám: FI-503010501 Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Gra ikai szerkesztő: Kováts Borbála Nyomdai előkészítés: Gados László Terjedelem: 22,66 (A/5 ív), tömeg: 446 gramm 1. kiadás, 2014 A kísérleti tankönyv az Új Széchenyi Terv Társadalmi Megújulás Operatív Program 3.1.2-B/13-2013-0001 számú, „A Nemzeti alaptantervhez illeszkedő tankönyv, taneszköz és Nemzeti Közoktatási Portál fejlesztése” című projektje keretében készült. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társ inanszírozásával valósult meg.
TARTALOM I. Az egész számok
5 11. Tizedes törtek osztása természetes
számmal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
12. Közönséges törtek tizedes tört alakja . .
59
13. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
III. Mértékegységek
63
1. A hosszúság mérése . . . . . . . . . . . . . .
64
2. Testek tömegének mérése . . . . . . . . . .
66
3. Az idő mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4. Összefoglalása . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
IV. Bevezetés a geometriába
71
1. Tárgyak csoportosítása . . . . . . . . . . .
72
2. Test, felület, vonal, pont . . . . . . . . . . .
74
3. Testek építése . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
4. Testek szemléltetése . . . . . . . . . . . . .
78
5. Testek geometriai jellemzői . . . . . . . .
80
6. Párhuzamos egyenesek, merőleges egyenesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
7. Téglalap, négyzet . . . . . . . . . . . . . . .
83
35 8. Párhuzamos és merőleges síkok . . . . .
85
9. Kitérő egyenesek . . . . . . . . . . . . . . .
86
10. Téglatest, kocka . . . . . . . . . . . . . . . .
87
11. Síkidomok, sokszögek . . . . . . . . . . . .
89
12. A kör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
13. A gömb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
14. A szakasz felezőmerőlegese . . . . . . . .
96
15. Szerkesztések . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
1. A számjegyek hármas csoportosítása, és a számok kiejtése . . . . . . . . . . . . .
6
2. A természetes számok helyesírása . . . .
8
3. A helyiértékes írás . . . . . . . . . . . . . .
9
4. A természetes számok kialakulása, a római számok . . . . . . . . . . . . . . . .
11
5. A számok helye a számegyenesen . . . .
12
6. Összeadás, írásbeli összeadás . . . . . . .
14
7. Kivonás, írásbeli kivonás . . . . . . . . . .
16
8. Szorzás fejben . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
9. Műveletek tulajdonságai . . . . . . . . . .
19
10. Írásbeli szorzás . . . . . . . . . . . . . . . .
21
11. Írásbeli osztás . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
12. Az osztás tulajdonságai . . . . . . . . . . .
24
13. Osztó, többszörös, számrendszerek . . .
26
14. Becslés, kerekítés . . . . . . . . . . . . . .
28
15. Negatív számok, abszolút érték . . . . . .
30
16. Műveletek előjeles mennyiségekkel . . .
32
17. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
II. Törtek, tizedes törtek 1. Tört, törtek ábrázolása számegyenesen . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2. Törtek bővítése, egyszerűsítése, összehasonlítása . . . . . . . . . . . . . . .
38
3. Egyenlő nevezőjű törtek összeadása és kivonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4. Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
16. A szög . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
5. Tört szorzása természetes számmal . . .
44
17. Téglalap, négyzet kerülete . . . . . . . . .
102
6. Tört osztása természetes számmal . . . .
46
18. A terület mérése . . . . . . . . . . . . . . .
104
7. Vegyes számok . . . . . . . . . . . . . . . .
49
19. Téglalap, négyzet területe . . . . . . . . .
106
8. Tizedes törtek . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
20. Téglatest, kocka felszíne . . . . . . . . . .
108
9. Tizedes törtek összeadása és kivonása . .
53
21. A térfogat mérése . . . . . . . . . . . . . .
110
22. Téglatest, kocka térfogata . . . . . . . . .
111
23. Gyakorlati feladatok . . . . . . . . . . . . .
113
10. Tizedes törtek szorzása természetes számmal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
TARTALOM 24. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . .
V. Helymeghatározás, sorozatok
115
VI. Arányosság, egyenletek 1. Arányosságok, változó mennyiségek . . .
143 144
119 2. Arányos következtetések . . . . . . . . . . .
146
3. Nyitott mondatok, egyenletek . . . . . . .
147
4. Próbálgatások, következtetések . . . . . .
148
5. Egyenletmegoldás gyakorlása . . . . . . .
149
6. Szöveges feladatok . . . . . . . . . . . . . . .
151
7. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
1. Helymeghatározás szerepe környezetünkben . . . . . . . . . . . . . . .
120
2. Helymeghatározás matematikaórán . . .
122
3. Tájékozódás a számegyenesen . . . . . .
123
4. A derékszögű koordináta-rendszer . . .
125
5. Pontok ábrázolása . . . . . . . . . . . . . .
127
6. További koordináta-rendszerek . . . . .
130
7. Matematikai játékok . . . . . . . . . . . . .
132
8. Keressünk összefüggéseket . . . . . . . .
134
1. Játékok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
9. Sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
2. Adatgyűjtés, az adatok ábrázolása . . . . .
157
10. Nevezetes, érdekes sorozatok . . . . . . .
138
3. Átlag és tulajdonságai . . . . . . . . . . . . .
158
11. Táblázatok, gra ikonok . . . . . . . . . . .
140
4. Lehetetlen, lehetséges, biztos . . . . . . . .
160
12. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
5. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
Ͱ
VII. Adatgyűjtés, statisztika
155
Az ötödikesek a nyár végi osztálykirándulásról tartottak hazafelé. Űrhajójuk éppen a Mars közelében haladt el, amikor Attila – akit maguk között Okoskának neveztek – megszólalt. – Jé, a távolságmérő pont 96 000 000-n áll! – Mire Zsombi odanézett, a kijelző már 95 995 012-re ugrott. – Azt mutatja, hogy hány kilométerre vagyunk a Földtől. – Akkor már alig van hátra valami! – sóhajtott Panni szomorkásan. A csillagok bámulását ugyan unta egy kissé, de azt tudta, hogy a kirándulás után föciből kevesebbet kell majd tanulnia. – Észrevettétek, hogy minden műszerünk hármasával csoportosítva írja ki a számjegyeket? Várjatok, megállítom! Most éppen 95 014 324-et mutat. – Ezzel Attila kimerevítette a számot a kijelzőn. – Az utolsó hármas csoport kiolvasása egyszerűen háromszázhuszonnégy. Jobbról a második hármas csoport (014) az ezresek számát adja, és tizennégyezernek olvassuk. Az eleje (95) a milliók számát méri, kiolvasva kilencvenötmillió. Amikor megállítottam a számlálót, éppen kilencvenötmillió-tizennégyezer-háromszázhuszonnégy kilométerre voltunk otthonról! – Elég – hörögte Gazsi elborult tekintettel –, ezt mindenki tudja. Ha nem hagyod abba, megjárod. – Eközben Panni, orrát a kukucskáló ablakhoz nyomva arra nézett, amerre a Földet sejtette.
1.
A SZÁMJEGYEK HÁRMAS CSOPORTOSÍTÁSA, ÉS A SZÁMOK KIEJTÉSE
Feladatok 1 Csoportosítsd, és olvasd ki hangosan a következő számokat! a) 56702; b) 406211; c) 101011100; d) 22022020; e) 123456789. Megoldás: a) ötvenhatezer-hétszázkettő; b) négyszázhatezer-kétszáztizenegy; c) százegymillió-tizenegyezer-száz; d) huszonkétmillió-huszonkétezer-húsz; e) százhuszonhárommillió-négyszázötvenhatezer-hétszáznyolcvankilenc. 2 Kati nyakláncát a következő kétjegyű számok díszítették ebben a sorrendben: 10, 20, 30, 40. Mit mondott Peti, amikor hármas csoportosítású számként olvasta ki Kati nyakláncát? Írd le a füzetedbe, Kati milyen más sorrendben fűzheti fel a számokat! Hány esetet találtál? Ejtsd ki a számokat hármas csoportosítással! Megoldás: 10 203 040, tízmillió-kétszázháromezer-negyven. Összesen 24 sorrend létezik: 10 203 040, 10 204 030, 10 302 040, 10 304 020, 10 402 030, 10 403 020, 20 103 040, 20 104 030, 20 301 040, 20 304 010, 20 401 030, 20 403 010, 30 102 040, 30 104 020, 30 201 040, 30 204 010, 30 401 020, 30 402 010, 40 102 030, 40 103 020, 40 201 030, 40 203 010, 40 301 020, 40 302 010. 3
Ejtsd ki hármas csoportosítású számként a szüleid telefonszámát vagy a sajátodat!
Megoldás: Például egy budapesti szám esetén 235-7200-ből 2 307 200, kétmillió-háromszázötvenhétezer-kettőszáz vagy 36 1 235 7200-ből 3 612 357 200, hárommilliárd-hatszáztizenkétmillió-háromszázötvenhétezerkettőszáz. 4 Zoltán papírlapokra írta a következő számjegyeket: 0 1 1 2 3 3 5 6. Olvasd ki a számjegyekből kirakható legnagyobb és legkisebb nyolcjegyű számot, ha minden papírt csak egyszer lehet felhasználni! Megoldás: Legnagyobb szám előállításának szabálya: A nagyobb helyiértéktől indulva, a választható számjegyek közül mindig a legnagyobb: 65 332 110. Legkisebb szám előállításának szabálya: A legnagyobb helyiértékre a legkisebb nullától különböző szám, majd a csökkenő helyiértékekre a választhatók számjegyek közül mindig a legkisebb: 10 123 356.
Ͳ
A SZÁMJEGYEK HÁRMAS CSOPORTOSÍTÁSA, ÉS A SZÁMOK KIEJTÉSE
1.
5 A számok kiolvasásánál jobbról a negyedik csoportot milliárdnak nevezzük. Mondd ki a következő számokat a milliárd alkalmazásával! a) 3 456 123 000; c) 123 123 123 123; b) 19 000 000 000; d) 26 513 032 millió. Megoldás: a) b) c) d)
hárommilliárd- négyszázötvenhatmillió-százhuszonháromezer; tizenkilencmilliárd; száztizenhárommilliárd- száztizenhárommillió- száztizenháromezer- száztizenhárom; huszonhatezer-ötszáztizenhárommilliárd-harminckétmillió vagy huszonhatbillió-ötszáztizenhárommilliárd-harminckétmillió.
6 Tomi „lusta” SMS-t írt beteg barátjának. A lusta jelző azt jelenti, hogy a szövegben előforduló számnevek helyett számjegyeket írt. Íme, az üzenet: „Van 1 5letem. A 66ós segítségeden sok minden múl6. De csak 2 7 múlva mondom el.” Tomi a levelet úgy titkosította, hogy a számok helyett csillagot írt, és a számokból képzett hétjegyű számot később küldte el. Mondd ki a számot! Megoldás: 1 566 627, egymillió-ötszázhatvanhatezer-hatszázhuszonhét. 7 Mondd ki azt a hétjegyű számot, amelynek első négy számjegye növekedő sorrendben álló páros szám, az utolsó három számjegye pedig a középsőre szimmetrikus! (Az ilyen tulajdonságú számokat, amelyek visszafelé olvasva is ugyanazt adják, palindrom számoknak nevezzük. Ilyen például a 121 vagy a 2002 is.) Keress palindrom szavakat: görög, apa, … ! Megoldás: 2 468 642, kétmillió-négyszázhatvannyolcezer-hatszáznegyvenkettő.
ͳ
2.
A TERMÉSZETES SZÁMOK HELYESÍRÁSA
Feladatok 1 Írd le betűkkel a következő számokat! a) 46; b) 367; c) 1789; d) 5678; e) 23 456; f) 103 206. Megoldás: a) negyvenhat; b) háromszázhatvanhét; c) ezerhétszáznyolcvankilenc; d) ötezer-hatszázhetvennyolc; e) huszonháromezer-négyszázötvenhat; f) százháromezer-kétszázhat. 2 Gábor és Éva vitatkozik, hogy az alábbi számokat melyikük írta helyesen. Segíts nekik eldönteni! (Lehet, hogy mind a ketten helyesen vagy helytelenül írták le a számot.) Gábor írása
Éva írása
kétszázharmincnégy
kettőszázharmincnégy
1205
egyezerkétszázöt
ezerkétszázöt
2567
kétezer ötszázhatvanhét
kétezer-ötszázhatvanhét
huszonhatezer-hetesszázkilenc
huszonhatezerhétszázkilenc
234
26709
Megoldás: 234 – mind a két írásmód helyes. 1205 – mind a két írásmód helyes. 2567 – Éva írta helyesen. 26 709 – Gábor írása helyes. 3 Kati húga a következő számokat írta le, sajnos eléggé összevissza. Csoportosítsd hármasával a számjegyeket a füzetedben, és írd melléjük szöveggel a számokat! 23 45 45 3; 45678920; 5000 34 3; 12 34. Megoldás: 2 345 453, kétmillió-háromszáznegyvenötezer-négyszázötvenhárom; 45 678 920, negyvenötmillió- hatszázhetvennyolcezer-kilencszázhúsz; 5 000 343, ötmillió-háromszáznegyvenhárom; 1234, ezerkétszázharmincnégy. 4 Írd le a következő számokat a füzetedbe úgy, hogy a számjegyeik hármasával legyenek csoportosítva! Állítsd a számokat növekvő sorrendbe! Kétmillió-négyszáznyolcvanezer; kétmillió-négyszáznyolcezer; kétmillió-negyvennyolcezer; kétmilliónegyvennyolcezer-kettő; kétmillió-négyezer-nyolcszáz. Megoldás: 2 480 000; 2 408 000; 2 048 000; 2 048 002; 2 004 800. Nagyság szerint növekvő sorrendben: 2 004 800 < 2 048 000 < 2 048 002 < 2 408 000 < 2 480 000.
ʹ
A HELYIÉRTÉKES ÍRÁS
3.
Feladatok 1 Készíts a füzetedbe helyiérték-táblázatot tízezerig! a) A megfelelő helyiérték alá írd be a számjegyek alaki értékeit! 20 123, 345. b) A megfelelő helyiérték alá írd be a számjegyek valódi értékeit! 3567, 2000, 12 009. Megoldás: a) Tízezresek
Ezresek
Százasok
Tízesek
Egyesek
2
0
1
2
3
3
4
5
Ezresek
Százasok
Tízesek
Egyesek
3000
500
60
7
2000
0
0
0
2000
0
0
9
b) Tízezresek
10000
2 Egy ötjegyű számnak csak három számjegyét ismerjük. Döntsd el, hogy mi lehet a szám, ha a következőket tudjuk róla! A tízes helyén álló számjegy egyenlő az egyes és a százas helyiértéken álló számok alaki értékének összegével. Az ezresek helyén álló szám alaki értéke a tízezres helyiértéken álló szám alaki értékének kétszerese. Megoldás: Tízes: 4 + 1 = 5. Ezres: 2 ∙ 3 = 6. A szám 36 451. 3 Az alábbiak közül melyek azok a háromjegyű számok, amelyeknél a tízes helyiértéken álló számjegy alaki értéke 5? 253; 435; 551; 355; 525; 546; 357; 555. Hány ilyen háromjegyű szám van? Megoldás: 5 darab ilyen szám van a felsoroltak között. Ezek a 253, 551, 355, 357, és a 555. Az összes ilyen tulajdonságú háromjegyű számok száma 90, mert a százasok helyére 9 féle számjegy kerülhet, az egyesek helyére pedig 10. 4 A Bojj bolygón is tízes számrendszert használnak, de fordított sorrendben írják a helyiértékeket, pont úgy mint a régi egyiptomiak. Mit jelent náluk a 2341 szám? Hogy írnád le a háromezer-ötvenkettőt a Bojj bolygón? Megoldás: Egyezernégyszázharminckettő, azaz 1432. 2503.
͵
3. 5
A HELYIÉRTÉKES ÍRÁS
Éva, Sándor és Edit testvérek. Zsebpénzüket a következő címlettáblázattal tartják nyilván. ezresek
Éva Sándor
1
Edit
2
ötszázasok
kétszázasok
százasok
ötvenesek
húszasok
tízesek
5
2
1
1
0
3
1
3
2
5
1
0
1
2
1
1
2
Számold ki, hogy mennyi pénze van a gyerekeknek! Melyikük a leggazdagabb? Megoldás: Számoljuk ki a címletekből adódó összegeket és adjuk össze! Éva: 5 ∙ 500 + 2 ∙ 200 + 1 ∙ 100 + 1 ∙ 50 + 3 ∙ 10 = 2500 + 400 + 100 + 50 + 30 = 3080 forint. Sándor: 1 ∙ 1000 + 1 ∙ 200 + 3 ∙ 100 + 2 ∙ 50 + 5 ∙ 20 + 1 ∙ 10 = 1000 + 200 + 300 + 100 + 100 + 10 = 1710 forint. Edit: 2 ∙ 1000 + 2 ∙ 500 + 1 ∙ 100 + 2 ∙ 50 + 1 ∙ 20 + 1 ∙ 10 = 2000 + 1000 + 100 + 100 + 20 + 10 = 3230 forint.
ͭͬ
A TERMÉSZETES SZÁMOK KIALAKULÁSA, A RÓMAI SZÁMOK
4.
Feladatok 1
a) Írd le arabusul a 785-öt! b) Barátunk Hamilkar megadta a telefonszámát: . Írd át általunk használható telefonszámra!
Megoldás: . b) +36 2167881244.
a) 2
A római számokat írd át az általunk használt helyiértékes számrend szerint!
XIV; DCCCVIII;
LXVI; CMXXV;
XLVIII; MI;
CCLXXIII; MDLV;
CDXXXIX; MXLVI;
DCLXXVII; MMCCXXII.
Megoldás: 14; 66; 48; 273; 439; 677; 808; 925; 1001; 1555; 1156; 2222. 3 Írd le az általunk használt helyiértékes írásmód szerint a következő római számokkal megadott évszámokat! DCCCXXXIX; CMXI; MCXI; MCMXLV; MCMXCIX; MMI. Megoldás: 839; 911; 1945; 1999; 2001. 4
Írd le a következő számokat római számokkal!
249; 1067;
357; 1234;
497; 1403;
578; 1556;
841; 1631;
945; 1945.
Megoldás: CCXLIX; CCCLVII; CDXCVII; DLXXVIII; DCCCXLI; CMXLV; MLXVII; MCCXXXIV; MCDIII; MDLVI; MDCXXXI; MCMXLV. 5
Megrepedt a kőtábla. Találd ki és írd le a füzetedbe, hogy mi lehetett a hiányzó részre írva!
Megoldás: LIII vagy IIII;
XXXX;;
IV vagy LV;
XI;;
LIIII;
LXXXX;;
CCCC;
XC;;
gy LX. IX vagy
ͭͭ
5.
A SZÁMOK HELYE A SZÁMEGYENESEN
Feladatok 1 Olvasd le a vonalzóról, hol kezdődik és végződik a toll és a radír! Mondd meg milyen hosszúak! Megoldás: A ceruza hegye körülbelül 1 cm-nél, a ceruza vége 18,5 cm-nél van, így a ceruza hossza körülbelül 18,5 – 1 = 17,5 cm. A radír két vége megközelítően 14 cm-nél és 20 cm-nél található. A radír hossza így kb. 20 – 14 = 6 cm. 2 Mérd meg a vonalzód segítségével, hogy milyen hosszúak következő tárgyak! a) tollad; b) kulcsod; c) mutatóujjad; d) tolltartód. Megoldás: Egyéni megoldások születnek. 3 Olvasd le a számegyenesről, hogy melyik uralkodó mettől meddig uralkodott! (Interneten ellenőrizd, hogy jól olvastad-e le a számokat!) III. László Imre II. András 1200
IV. Béla
1250
IV. László V. István III. András 1300
Megoldás: Imre 1196–1204, III. László 1204–1205, II. András 1205–1235, IV. Béla 1235–1270, V. István 1270–1272, IV. László 1272–1290, III. András 1290–1301. 4 Rajzolj a füzetedbe az előző példa egyeneséhez hasonlót! Ábrázold a felsorolt Árpád-házi királyok uralkodását! Könyves Kálmán (1095–1116), II. István (1116–1131), II. Béla (1131–1141), II. Géza (1141– 1162), III. István (1162–1172), III. Béla (1172–1196), Imre 1196–1204. Megoldás:
ͭͮ
A SZÁMOK HELYE A SZÁMEGYENESEN 5
5.
Hány kilométert autózik Szo i?
a) Bánd és Bakonygyepes között? b) Somlóvásárhely és Hosszúpereszteg között? c) Körmend és Somlóvásárhely között? d) Veszprém és Vasvár között? Megoldás: a) 20 km; b) 30 km; c) 20 + 21 + 30 = 71 km; d) 13 + 20 + 15 + 30 + 21 = 99 km. 6 Az autókban lévő sebességmérő műszerek számlapjai görbített számegyenesek. Olvasd le a műszerekről, hogy éppen hány kilométer per órával megy a gépkocsi! a) b) c) d)
Megoldás: a) Kb. 35 km/h; b) 205 km/h; c) 125 km/h; d) 50 km/h.
ͭͯ
6.
ÖSSZEADÁS, ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS
Feladatok 1 Válaszd ki a „számfelhőből” az alábbi összeadások eredményeit! a) 35 678 + 456 789; b) 114 935 + 99 012; c) 602 245 + 556 219; d) 2 235 013 + 740 558. Megoldás: a) 492 467; b) 213 947; c) 1 158 464; d) 2 975 571. 2
A repülőút-táblázat alapján, számold ki, hogy hány kilométeresek a következő utazások! Budapest
Budapest
Madrid
Párizs
Róma
1976 km
1246 km
811 km
1054 km
1365 km
Madrid
1976 km
Párizs
1246 km
1054 km
Róma
811 km
1365 km
1106 km 1106 km
a) Róma – Párizs – Madrid; b) Róma – Madrid – Budapest – Párizs; c) Budapest – Madrid – Párizs – Róma – Budapest. Megoldás: a) 1106 + 1054 = 2160 km; b) 1365 + 1976 + 1246 = 4587 km; c) 1976 + 1054 + 1106 + 811 = 4947 km. 3 Csehország, Magyarország, Lengyelország és Szlovákia nem hivatalos elnevezése a „visegrádi négyek” . Mennyi a négy ország összterülete és összlakossága? (Kerekítve adtuk meg a 2012-es adatokat.) Megoldás: Összterület: 543 513 km2. Összlakosság: 64 431 000 fő.
terület (km2)
lakosság (fő)
Csehország
78 866
10 510 000
Magyarország
93 036
9 984 000
Lengyelország
322 575
38 540 000
Szlovákia
49 036
5 397 000
ország
4 Gazsi a hét 4 napján fut. A GPS-e szerint hétfőn ezernyolcszázhetvenhárom métert, kedden ezernyolcszázhatvan métert, szerdán ezernyolcszázhatvanhét métert és pénteken ezernyolcszáznegyven métert futott. Mennyit teljesített a héten összesen? Hogyan érdemes csoportosítanod az összeadandókat? Megoldás: 1873 + 1860 + 1867 + 1840 = (1873 + 1867) + (1840 + 1860) = 3740 + 3700 = 7440 méter.
ͭͰ
ÖSSZEADÁS, ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS 5
6.
a) Mennyi pénz volt Zsó i apukájának a bankkártyáján, ha a felét ki izette a havi villanyszámlára és 24 857 Ft-ja maradt? b) Zsó i anyukája 24 267 Ft-ért vett nyolc könyvet és 147 893 Ft-ja maradt. Mennyi pénze volt eredetileg? c) A lakberendező 29 990 Ft-ért kerti asztalt, 28 490 Ft-ért két hozzá illő széket, és 188 990 Ft-ért egy ülőgarnitúrát adott el. Mennyi pénzt kapott összesen?
Megoldás: a) 2 ⋅ 24 857 = 49 714 Ft; b) 24 267 + 147 893 = 172 160 Ft; c) 29 990 + 28 490 + 188 990=247 470 Ft.
ͭͱ
7.
KIVONÁS, ÍRÁSBELI KIVONÁS
Feladatok 1 „A kőtömbökből és földhalmokból álló stonehenge-i építményt Kr. e. 2500 körül kezdték építeni és Kr. e. 2100 körül fejezték be. Sokan vallási, illetve csillagászati építménynek tartják, amelyet az ősi kelták emeltek a mai Anglia területén. 1610-ben Galileo Galilei felfedezte, hogy a Jupiter körül négy nagy hold kering, és ez megerősítette abban a hitében, hogy nem a Föld a világegyetem középpontja.” a) Körülbelül hány évig építették Stonehenge-t? b) Hány évvel később élt Galilei, mint Stonehenge építői? c) Hány nagy holdja van a Jupiternek? d) Nézz utána a Naprendszer bolygóinak! Megoldás: a) b) c) d)
Körülbelül 2500 – 2100 = 400 évig építették. Körülbelül 1600 + 2500 = 4100 évvel később élt Galilei. A Jupiternek 4 nagy holdja van (jelenleg 67 Jupiter körüli holdat tartanak számon). Merkúr, Vénusz, Föld, Mars Jupiter, Szaturnusz, Uránusz, Neptunusz.
2 a) b) c) d) e) f)
Számold ki a füzetedben! Mennyit kell 4678-hez hozzáadni, hogy 13 263 legyen? Mennyit kell elvenni 89 654-ből, hogy 54 987 legyen? Mennyit kell 8345-höz hozzáadni, hogy 47 528 legyen? Mennyit kell elvenni 45 994-ből, hogy 38 243 legyen? Mennyit kell 6341-hez hozzáadni, hogy 25 262 legyen? Mennyit kell elvenni 49 654-ből, hogy 23 965 legyen?
Megoldás: a) b) c) d) e) f)
13 263 – 4678 = 8585; 89 654 – 54 987 = 34 667; 47 528 – 8345 = 39 183; 45 994 – 38 243 = 7751; 25 262 – 6341 = 18 921; 49 654 – 23 965 = 25 689.
3 Gábor 11 éves, édesapja 40 éves. Hány évvel idősebb Gábor édesapja a iánál? 15 év múlva mennyivel lesz idősebb az édesapa Gábornál? Hány évesek lesznek akkor? Megoldás: Gábor édesapja 40 – 11 = 29 évvel idősebb a iánál. 15 év múlva is megmarad a 29 év különbség. Gábor 11 + 15 = 26 éves, édesapja 40 + 15 = 55 éves lesz.
ͭͲ
KIVONÁS, ÍRÁSBELI KIVONÁS
7.
4 András és Gábor társasjátékot játszottak. Andrásnak kezdetben 10 000 petákja (játékpénze) volt. András 2345 petákot költött játékpiramisok építésére, aztán 3216 petákért léphetett csak tovább. Mennyi petákja maradt neki? Megoldás: 10 000 – 2345 – 3216 = 4439 petákja maradt. 5 a) b) c)
Amikor a társasjátékban Gábornak 6543 petákja volt, akkor Andrásnak 238 petákkal kevesebb volt. Mennyi pénze volt Andrásnak? Gábor 2100 petákot veszített, amelyet András nyert meg. Mennyi pénze lett most a iúknak külön-külön? Mennyivel több petákja lett Andrásnak, mint Gábornak?
Megoldás: a) 6543 – 238 = 6305 petákja volt; b) 4443 petákja lett Gábornak, és 8405 petákja lett Andrásnak; c) 3962 peták a két összeg különbsége, ami természetesen 4200 – 238. 6 József különböző játékokat akart vásárolni Attilának legfeljebb 4000 Ft-ért. A lehető legtöbb ajándékot akarta megvásárolni. Mennyi pénze maradt? labda síp cukor csengő villamos
185 Ft 275 Ft 367 Ft 563 Ft 632 Ft
üveggolyó tűzoltóautó puska plüssmaci
681 Ft 1320 Ft 1429 Ft 1678 Ft
Megoldás: Kezdjük a legolcsóbb játékok megvásárlásával: a labda, a síp, a cukor, a csengő, a villamos és az üveggolyó együtt 185 + 275 + 367 + 563 + 632 + 681 = 2703 Ft-ba kerül. A tűzoltóautó már nem vehető meg velük, mivel ekkor már csak 4000 – 2703 = 1297 Ft-ja marad. Van azonban másik lehetőség is. Bármelyik játék kicserélhető a puskára vagy a tűzoltóautóra, mert ha csak a legolcsóbb labdát hagyja el, és helyette a puskát választja, akkor is csak 3947 Ft-ot költ, és 53 Ft-ja marad. Ez összesen 12 lehetőség. A plüss macit akkor veheti meg, ha az üveggolyó, csengő vagy a villamos közül tesz vissza egyet, ez még 3 lehetőség, összesen 15. Ezek mind megoldásai a feladatnak.
ͭͳ
8.
SZORZÁS FEJBEN
Feladatok 1
a) A szorzótábla szorzatai (az egyjegyű számok szorzatai) közül gyűjtsd össze azokat, amelyek eredményében a tízesek helyén 5 áll! b) Akad-e olyan szorzat, amelynek az egyik tényezője kétjegyű és eredményében a tízesek helyén 5 áll?
Megoldás: a) 6 ∙ 9 = 54; 7 ∙ 8 = 56. b) 10 ∙ 5 = 50; 2 ∙ 25 = 50; 3 ∙ 17 = 51; 2 ∙ 26 = 52; 4 ∙ 13 = 52; 2 ∙ 27 = 54; 18 ∙ 3 = 54; 5 ∙ 11 = 55; 2 ∙ 28 = 56; 4 ∙ 14 = 56; 19 ∙ 3 = 57; 2 ∙ 29 = 58. 2
A szorzás elvégzése nélkül állapítsd meg, hogy egyenlők-e? a) (37⋅517)⋅65 és (517⋅65)⋅37; b) (13⋅101)⋅17 és (17⋅13)⋅102; c) (21⋅87)⋅49 és (87⋅49)⋅21.
Megoldás: a) Igen, mert azonosak a tényezők. b) Nem, mert pontosan egy tényező tér el. c) Igen, mert azonosak a tényezők. 3
a) Öt természetes szám szorzata 21. Hány azonos tényező van köztük? b) Hét természetes szám szorzata 0. A legnagyobb közülük 1200, mekkora a legkisebb?
Megoldás: a) 3 ∙ 7 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1; három azonos tényező található. b) A legkisebb a 0, mert az egyik tényező 0 kell, hogy legyen. 4
a) Melyik számra gondolt Éva, ha tízzel szorozva 20 000-et kapott? b) Melyik számra gondolt Tamás, ha százzal szorozva 345 000-t kapott? c) Melyik számra gondolt Jóska, ha ezerrel szorozva 10 000-t kapott?
Megoldás: a) 2000-re, mert 2000 ∙ 10 = 20 000; b) 3450-re, mert 3450 ∙ 100 = 345 000; c) 10-re, mert 10 ∙ 1000 = 10 000.
ͭʹ
MŰVELETEK TULAJDONSÁGAI
9.
Feladatok 1 A karácsonyi ünnepségre az osztály tagjai fejenként 200 forintot hoztak. Az osztályba 15 iú és 13 lány jár. a) Összesen hány forintot hoztak a lányok? b) Összesen hány forintot hoztak a iúk? c) Összesen mennyi pénzből gazdálkodhattak a szervezők? d) Hogyan lehetne másképp kiszámolni, hogy mennyi pénz gyült össze? Megoldás: a) b) c) d)
13 ∙ 200 = 2600 Ft-ot hoztak a lányok. 15 ∙ 200 = 3000 Ft-ot hoztak a iúk. 2600 + 3000 = 5600 Ft. 13 + 15 = 28-an járnak az osztályba, tehát 28 ∙ 200 = 5600 Ft.
2 a) b) c)
Egy nyelvkönyv 3000 forint, a hozzá tartozó munkafüzet pedig 1300 Ft. A csoport 8 tagú. Mennyi pénzt gyűjt össze a tanár az összes tankönyv és munkafüzet megvásárlására? Mennyibe kerülnek a tankönyvek összesen? Mennyibe kerülnek a munkafüzetek összesen?
Megoldás: a) Egy nyelvkönyv és munkafüzet együtt 3000 + 1300 = 4300 Ft-ba került, az összes 4300 ∙ 8 = 34 400 Ft. b) 3000 ∙ 8 = 24 000 Ft-ba kerültek. c) 1300 ∙ 8 = 10 400 Ft-ba kerültek. 3 Osztálykiránduláson tíz gyerek vásárolt üdítőt, amit a tanár izetett ki egyszerre. A számla 3500 Ft volt. A tíz üveg visszaváltásakor összesen 300 Ft-ot kaptak vissza. Mennyibe került egy üdítő az üveget nem számolva? Mennyi pénz járt vissza egy üvegért? Végül mennyit izetett egy tanuló? Megoldás: Egy üveg üdítő így 3500 : 10 = 350 Ft-ba került. Egy üvegért 300 : 10 = 30 Ft járt. A 10 üveg összesen 3500 – 300 = 3200 Ft-ba került, így egy tanuló végül 3200 : 10 = 320 Ft-ot izetett.
ͭ͵
9.
MŰVELETEK TULAJDONSÁGAI
4 Péter hetente 1200 Ft-ot, Pál hetente 1000 Ft-ot kap zsebpénzként. Elhatározzák, hogy a tizedét minden héten félreteszik. 12 hét múlva mennyi félretett pénze lesz Péternek? 12 hét múlva mennyi félretett pénze lesz Pálnak? 12 hét múlva mennyivel több pénze lesz félretéve Péternek mint Pálnak? Megoldás: Egy héten Péter 1200 : 10 = 120 Ft-ot tesz félre, így 12 hét alatt 12 ∙ 120 = 1440 Ft-ot. Egy héten Pál 1000 : 10 = 100 Ft-ot tesz félre, 12 hét alatt pedig 12 ∙ 100 = 1200 Ft-ot. 1440 – 1200 = 240 Ft-tal több pénzt tett félre Péter. 5 A tízes rajzlapcsomag 200 Ft-ba kerül. Andi papája 4 csomagot, mamája pedig 7 csomagot vásárolt. a) Hány darab rajzlapot kapott Andi? b) Mennyibe került egy darab rajzlap, és mennyibe kerültek összesen? Megoldás: a) Andi papája 4 ∙ 10 = 40 rajzlapot, mamája 7 ∙ 10 = 70 rajzlapot vásárolt, így 40 + 70 = 110 rajzlapot kapott. b) Egy rajzlap 200 : 10 = 20 Ft-ba került. Összesen 110 ∙ 20 = 2200 Ft-ba kerültek a rajzlapok.
ͮͬ
ÍRÁSBELI SZORZÁS
10.
Feladatok 1 Az autókereskedő 258 azonos típusú autót szeretne felújítani. Minden autóhoz 5 új gumit, 3 díszített visszapillantó tükröt és 7 darab reklámmatricát szereltet fel. Hány gumit, visszapillantó tükröt és reklámmatricát kell vásárolnia? Megoldás: 258 ∙ 5 = 1290 új gumit, 258 ∙ 3 = 774 visszapillantó tükröt, 258 ∙ 7 = 1856 reklámmatricát kell vásárolnia. 2 A könyvtárban 34 könyvespolc van, és minden polcon 67 könyv található. Mennyi könyv van a könyvtárban? Megoldás: 34 ∙ 67 = 2278 könyv van a könyvtárban. 3 Egy raklapon 48 doboz és minden dobozban 64 tankönyv van. Hány tankönyv található a raktárban, ha 4 raklapnyit és még 6 doboznyit szállítottak a nyomdából? Megoldás: Egy raklapon 48 ∙ 64 = 3072 tankönyv van, négy raklapon 4 ∙ 3072 = 12 288 tankönyv. 6 dobozban 6 ∙ 64 = 384 tankönyv található. Az összes tankönyv száma 12 288 + 384 = 12 672. 4 Egy ültetvényen minden sorba 349 virágot ültetnek, 14 sorba tulipánt és 13 sorba rózsát. Hány virág nyílik majd az ültetvényen? Megoldás: 14 ∙ 349 = 4886 tulipán, 13 ∙ 349 = 4537 rózsa, összesen 4886 + 4537 = 9423 szál virág nyílik. 5 Számítsd ki a szorzásokat írásban a füzetedben! a) 428 ⋅ 473; b) 359 ⋅ 371; c) 1024 ⋅ 25; d) 12 ⋅ 123. Megoldás: a) b) c) d) 6
428 ∙ 473 = 202 444; 359 ∙ 371 = 133 189; 1024 ∙ 25 = 25 600; 12 ∙ 123 = 1476. Mennyi az első 10 természetes szám szorzata?
Megoldás: 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 10 = 3 628 800
ͮͭ
11.
ÍRÁSBELI OSZTÁS
Feladatok 1 Egy építőjáték-dobozban 1512 játékelem volt. Tamás, Gábor, András és Zoli a veszekedés elkerüléséért elhatározták, hogy négy egyenlő részre osztják el az elemeket. Hány építőelemet kap egy-egy gyerek? Megoldás: 1512 : 4 = 378 játékelemet kapott minden gyerek. 2
a) Három testvér 840 tyúkot örökölt. El tudják osztani őket egyenlően egymás között? b) Meg tudnák-e tenni az osztozkodást ugyanilyen igazságosan, ha két unokatestvérüket is bevonnák az osztozkodásba? c) El lehet-e osztani az állatokat, ha még a két másod-unokatestvérnek is juttatnának egy-egy egyenlő részt?
Megoldás: a) Igen. Egy rész 840 : 3 = 280. b) 5 gyerek esetén 840 : 5 = 168 tyúkot kap egy gyerek. c) 7 gyerek között is szétoszthatók a tyúkok, mert 840 : 7 = 120 tyúk jut mindenkinek. 3 A füzetedben párosítsd az osztások és a maradékok betűjelét! a) 568 : 23; b) 2346 : 19; c) 791 : 17; d) 2166 : 25; e) 4914 : 21; f) 33333 : 14; g) 832 : 11; h) 6453 : 23. A) 0; B) 1; C) 7; D) 9; E) 13; F) 15; G) 16. Megoldás: a) c) e) g)
A hányados 24, a maradék 16 (G). A hányados 46, a maradék 9 (D). A hányados 234, a maradék 0 (A). A hányados 75, a maradék 7 (C).
b) d) f) h)
A hányados 123, a maradék 9 (D). A hányados 86, a maradék 16 (G). A hányados 2380, a maradék 13 (E). A hányados 280, a maradék 13 (E).
4 Végezd el a következő osztásokat, majd válaszolj a kérdésekre! a) 6 : 7; 12 : 23; 14 : 25; 35 : 56; 26 : 49. Mekkora a hányados és mekkora a maradék, ha az osztandó kisebb, mint az osztó? b) 34 : 34; 2 : 2; 13 : 13; 16 : 16; 123 : 123. Mekkora a hányados és mekkora a maradék, ha az osztandó egyenlő az osztóval? Megoldás: a) 6 : 7 = 0; 12 : 23 = 0; 14 : 25 = 0; 6 12 14 A hányados 0, a maradék pedig az osztandó.
35 : 56 = 0; 35
26 : 49 = 0. 26
b) 34 : 34 = 1; 2 : 2 = 1; 0 0 A hányados 1, a maradék 0.
16 : 16 = 1; 0
123 : 123 = 1. 0
ͮͮ
13 : 13 = 1; 0
ÍRÁSBELI OSZTÁS 5 Varázslóországban nem forint a pénzegység, hanem a talmi. A varázslótanonc bevásárolt, de sajnos a bűbájszámlán elmosódtak a számok. Így Csiri bá, a gondnok nem fogja ki izetni a számlát. Segíts neki kiszámolni a hiányzó számokat!
darabszám
termék neve
egységár
varangysóhaj
23 talmi/üveg
966 talmi
lódarázsszőr
67 talmi/tasak
3551 talmi
kacajpor
talmi/kapszula
47
5875 talmi
álompótló
talmi/darab
241
8917 talmi
mágiarakás
talmi/rakás
72
1224 talmi
macskabajusz 31 talmi/szál
Megoldás:
11. összár
1023 talmi
A varangysóhaj egységára 966 : 23 = 42 db üveg; A lódarázsszőr egységára 3551 : 67 = 53 tasak; Kacajpor 5875 : 47 = 125 talmi/kapszula; Álompótló 8917 : 241 = 37 talmi/darab; Mágiarakás 1224 : 72 = 17 talmi/rakás; Macskabajusz 1023 : 31 = 33 talmi/szál. 6
a) A tankolás befejezésénél az ábrán látható értékeket mutatja a benzinkút. Mennyibe kerül 1 liter üzemanyag? b) Ha a következő autós 35 litert tankol ugyanebből az üzemanyagfajtából, mennyit izet majd? Megoldás: a) 17 010 : 42 = 405 Ft/liter az üzemanyag egységára. b) 405 ∙ 35 = 14 175 Ft-ot izet majd.
7 Egy parkot körülvevő 2400 méteres sétányon 16 méterenként villanyoszlopokat állítottak, a tisztaság megőrzése érdekében pedig 150 méterenként szemetes kukákat raktak ki. Hány villanyoszlopra és hány kukára volt szükség? Megoldás: 2400 : 16 = 150 villanyoszlop, és 2400 : 150 = 16 szemetes kuka övezi a parkot.
ͮͯ
12.
AZ OSZTÁS TULAJDONSÁGAI
Feladatok 1 A füzetedbe dolgozz! A mintának megfelelően kétféleképpen csoportosítsd zárójelekkel a megadott osztásokat! Minden esetben számítsd ki a végeredményt!
A) 2592 : 27 : 3; B) 1232 : 28 : 2; C) 3375 : 75 : 5; D) 3600 : 24 : 6. Megoldás: A) (2592 : 27) : 3 = 96 : 3 = 32, 2592 : (27 : 3) = 2592 : 9 = 288. B) (1232 : 28) : 2 = 44 : 2 = 22, 1232 : (28 : 2) = 1232 : 14 = 88. C) (3375 : 75) : 5 = 45 : 5 = 9, 3375 : (75 : 5) = 3375 : 15 = 225. D) (3600 : 24) : 6 = 150 : 6 = 25, 3600 : (24 : 6) = 3600 : 4 = 900. 2 Az iskolai farsang büféjében árusított üdítő mind elfogyott, és 38 400 Ft bevétel keletkezett. Egy kartonban 24 üdítő volt, és egy üdítőt 200 Ft-ért árusítottak. Hány karton üdítőt adtak el? Megoldás: 38 400 : 200 = 192 darab, azaz 192 : 24 = 8 karton üdítőt adtak el. 3
Végezd el fejben a következő osztásokat! Melyik a helyes eredmény? I.
a) 37 000 : 10
II.
III.
37
3 700
370
6 700
670
67
134 500
13 450
1 345
d) 23 450 000 : 100
23 450
234 500
2 345 000
e) 34 500 000 : 1000
345 000
34 500
3 450
2 300
23 000
230 000
b) 67 000 : 100 c) 1 345 000 : 10
f)
23 000 000 : 10000
Megoldás: a) II.; b) II.; c) I.; d) II.; e) II.; f) I. 4 Oszd el a 8192-t kettővel, majd a hányadost ismét kettővel, és így tovább, amíg csak egész számot kapsz! Megoldás: 8192 : 2 = 4096, 4096 : 2 = 2048, 2048 : 2 = 1024, 1024 : 2 = 512, 512 : 2 = 256, 256 : 2 = 128, 128 : 2 = 64, 64 : 2 = 32, 32 : 2 = 16, 16 : 2 = 8, 8 : 2 = 4, 4 : 2 = 2, 2 : 2 = 1.
ͮͰ
AZ OSZTÁS TULAJDONSÁGAI
12.
5 Erdélyi osztálykiránduláshoz 210 000 Ft támogatást kapott egy 24 fős osztály. Mekkora összeget kell behoznia minden diáknak az eredetileg tervezett 16 500 Ft helyett? Megoldás: 210 000 : 24 = 8750 Ft támogatás jut egy főre. 16 500 – 8750 = 7750 Ft-ot kell behozni fejenként. 6 A horgászbot 270 cm hosszú szakaszára egyenlő közönként 16 gyűrűt szeretnének rögzíteni. Milyen távolság legyen a gyűrűk között? (Vigyázz! A gyűrűk száma nem ugyanannyi, mint a közöttük lévő részek száma.) Megoldás: 16 gyűrű között 15 köz található. 270 : 15 = 18 cm távolság lesz a gyűrűk között.
ͮͱ
13.
OSZTÓ, TÖBBSZÖRÖS, SZÁMRENDSZEREK
Feladatok 1
a) b) c) d) e) f)
Melyik az a szám, amelyik minden számnak osztója? Igaz-e, hogy minden természetes szám osztója önmagának? Igaz-e, hogy az 1-nek minden természetes szám többszöröse? Igaz-e, hogy a 0 minden természetes számnak többszöröse? Igaz-e, hogy minden természetes szám többszöröse önmagának? Igaz-e, hogy a kettőnek csak két osztója van?
Megoldás: a) b) c) d) e) f)
A természetes számok közül az 1 osztója minden számnak. Nem, a 0 a kivétel. A nulla kivételével igaz, mert pont 1-szer van meg önmagában. Igen. Igen, mert a ∙ 0 = 0. Igen, mert 1-gyel szorozva önmagát adja. Igen (a természetes számok körében), a 2 és az 1.
2 Gyűjtsd össze a 8, a 10, a 18 és a 19 osztóit! Melyik számnak lett a legtöbb osztója? Keress olyan számot, amelynek pont 5 osztója van! Megoldás: A 8 osztói: 1, 2, 4, 8. A 10 osztói: 1, 2, 5, 10. A 18 osztói: 1, 2, 3, 6, 9, 18. A 19 osztói: 1, 19. A 16-nak pont öt osztója van. (p4-nek pont öt osztója van, ha p páros.) 3
Írj le öt darab 5 többszöröst!
Megoldás: Néhány 5 többszörös: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …. 4 A balkéz ujjai megfelelhetnek a kettes számrendszer helyiértékeinek. A kinyújtott hüvelykujj az egyeseket, a mutatóujj a ketteseket, a középsőujj a négyeseket, a gyűrűsujj a nyolcasokat, a kisujj a tízenhatosokat jelenti. Melyik tízes számrendszerbeli számokat mutatja Tamás a kezével? a) b) c)
Megoldás: a) 1 + 8 + 16 = 25;
ͮͲ
b) 2 + 4 = 6;
c) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31.
OSZTÓ, TÖBBSZÖRÖS, SZÁMRENDSZEREK 5
13.
Írd át kettes számrendszerbe az 5-öt, 10-et, 15-öt, 20-at, 25-öt, 30-at! Próbáld kézzel megmutatni!
Megoldás: tizenhat
nyolc
5
négy
kettő
egy
1
0
1
10
1
0
1
0
15
1
1
1
1
20
1
0
1
0
0
25
1
1
0
0
1
30
1
1
1
1
0
ͮͳ
14.
BECSLÉS, KEREKÍTÉS
Feladatok 1 Becsüld meg a következő hosszúságokat! a) a tanterem magassága; e) otthonod és az iskola közötti távolság; b) a legmagasabb tanuló magassága; f) az udvar hossza; c) a pad hossza; g) az iskola épületének magassága; d) a tollad (ceruzád) hosszúsága; h) az iskola előtti fa magassága. Amennyiben lehetőséged van rá, mérd meg, vagy szerezd meg a tényleges távolságokat is! Megoldás: Egyéni becslések és adatok. 2 Hány példány található a következő állatokból Magyarországon? A számok kerekített értékeit megtalálod a táblázatban. 1.
2.
3.
4.
Szarvasok száma Mu lonok száma 2013 decemberében a Hazánkban élő túzokok egyedszáma szarvasmarhák száma százasokra kerekítve. százasokra kerekítve. százasokra kerekítve. ezresekre kerekítve. 1500
772 000
96 500
12 300
Megoldás: A kerekítés miatt pontos érték helyett, csak egy tartomány adható meg. 1. túzok: 1450–1549; 2. szarvasmarhák: 771 500–772 499; 3. szarvasok: 96 450–96 549; 4. mu lonok: 12 250–12349. 3 A diákok magassága: 132 cm, 151 cm, 145 cm, 133 cm, 137 cm, 148 cm, 145 cm, 144 cm. Kerekítsd tízesekre a magasságokat! Mennyivel tér el az összeg a kerekített értékek összegétől? Megoldás: A tízesekre kerekített értékek: 130 cm, 150, cm, 150 cm, 130 cm, 140 cm, 150 cm, 150 cm, 140 cm. Az eredeti értékek összege: 1135. A kerekített értékek összege: 1140. A kerekítés következtében az összeg öttel nőtt.
ͮʹ
BECSLÉS, KEREKÍTÉS 4
14.
a) Sorold fel azokat a számokat, amelyeknek a tízesekre kerekített értéke pont 2000! b) Sorold fel azokat a számokat, amelyeknek a százasokra kerekített értéke 2000, és az utolsó számjegyük 1-es! c) Sorold fel az összes olyan 23-ra végződő számot, amelynek az ezresekre kerekített értéke 25 000!
Megoldás: a) 1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004. b) 1951, 1961, 1971, 1981, 1991, 2001, 2011, 2021, 2031, 2041. c) 24 523, 24 623, 24 723, 24 823, 24 923, 25 023, 25 123, 25 223, 25 323, 25 423. 5 A magyar egyforintost és kétforintost kivonták a forgalomból, a legkisebb izetési eszköz az ötforintos. Így gyakorlatilag minden izetés nullára vagy ötösre kerekítve történik. A szabály szerint: ha az összeg 1-re, 2-re, 8-ra vagy 9-re végződik, akkor 0-ra kerekítünk; ha 3-ra, 4-re, 6-ra vagy 7-re, akkor 5-re kerekítünk. (Pl. 234 Ft helyett 235 Ft-ot izetünk, 451 Ft helyett pedig 450 Ft-ot.) a) Nyertünk vagy veszítettünk a kerekítéssel, ha aznap a következő összegeket kellett izetnünk? 341 Ft, 245 Ft, 272 Ft, 510 Ft, 508 Ft és 194 Ft b) Gábor úgy okoskodott, hogy a 126 Ft-os csokin spórol 1 forintot. Tehát, ha egyszerre 10 darabot vesz, akkor 10 forintot spórol. Igaza volt? c) 27 forintos csokoládéból hány darabot kell vennünk egyesével, hogy „ingyen” kapjunk egyet? Megoldás: a) eredeti kerekített
341
245
272
510
508
194
340
245
270
510
510
195
1 nyereség 0 2 nyereség 0 2 veszteség 1 veszteség Pont annyit izettünk, mint kellett. b) Nem. Ha egyszerre veszi meg a 10 csokit, akkor 1260 forintot izet, pont annyit, amennyi 10 csoki ára. A nyeréshez egyesével vagy párosával kell megvennie a csokikat. c) 27 forintos csokiért 25 forintot izetünk, így 2 forint a nyereség. 14 csoki esetén 28 forint a nyereség. 6 Pisti észrevette, hogy ha néhány számot tízesekre kerekítünk, akkor úgy viselkednek, mintha ezresekre kerekítenénk. Ilyen például a 12 997 szám. A kerekített értéke 13 000. Hány ilyen számot talált még Pisti? Megoldás: Végtelen sok megoldás létezik. Az 1000-re kerekíthető számok: 995, 996, 997, 998, 999, 1000, 1001, 1002, 1003, 1004. Ugyanígy viselkednek a 2000-re, 3000-re stb. kerekíthető számok is.
ͮ͵
15.
NEGATÍV SZÁMOK, ABSZOLÚT ÉRTÉK
Feladatok 1 A füzetedben számegyenesen ábrázold Romulus és Remus közötti kötélhúzós játék következő menetét! Ki nyerte a játékot? (+2) + (–3) + (+4) + (–6) + (+2) + (+1) + (–5) + (–4) + (+2) + (–3) + (+5) + (–2) + (–1) + (+6). Megoldás: A számok összeadásával –2-t kapunk, így Romulus nyer. 2 Számold ki a következő összegeket a füzetedben! a) (647) + (–523); b) (–567) + (+438); c) (0953) + (–543); d) (–345) + (+234); e) (–456) + (–321); f) (+895) + (–789). Megoldás: a) 124; b) –129; c) 410; d) –111; e) –777; f) 106. 3 Állapítsd meg a következő kifejezések eredményét! Írd le a füzetedbe! a) |100|; b) |–200|; c) |0|; d) |–11|; f) |5 – 2|; g) |–4 + (–5)|; h) |20 – 50 + 10|; i) |3 – 5 – 6 – 7|.
e) |(–2)|;
Megoldás: a) 100; b) 200; c) 0; d) 11; e) 2; f) |5 – 2| = |3| = 3; g) |–4 + (–5)| = |–9| = 9; h) |20 – 50 + 10| = |–20| = 20; i) |3 – 5 – 6 – 7| = |–15| = 15. 4 Végezd el a számításokat a füzetedben! a) 21 ⋅ (–42) + 33 ⋅ |23|; b) 21 ⋅ |–13| – 12 ⋅ |24|; c) 34 ⋅ |–23| + 33 ⋅ |54 – (–23)|. Megoldás: a) –882 + 759 = –123; b) 21 ∙ 13 – 12 ∙ 24 = 273 – 288 = –15; c) 34 ∙ 23 + 33 ∙ |54 + 23| = 782 + 2541 = 3323. 5 A banknál folyószámlán tartjuk a pénzünket. A folyószámlán lévő aktuális összeget egyenlegnek nevezik. A bank hitelt is szokott adni, így az egyenleg negatív is lehet. Hétfő Nyitó összeg: 132 052 Ft 1. 26 048 Ft kiadás 2. 9998 Ft kiadás 3. 11 200 Ft bevétel 4. 61 972 Ft kiadás
Kedd
Nyitó összeg: 45 234 Ft 1. 15 478 Ft kiadás 2. 34 042 Ft kiadás 3. 23 521 Ft bevétel 4. 9 976 Ft kiadás
Mennyi a nap végére a záró egyenleg? Megoldás: Hétfő: 132 052 – 26 048 – 9998 + 11 200 – 61 972 = 45 234 a záró egyenleg. Kedd: 45 234 – 15 478 – 34 042 + 23 521 – 9976 = 9259 a záró egyenleg.
ͯͬ
NEGATÍV SZÁMOK, ABSZOLÚT ÉRTÉK
15.
6 A toronyház egyik liftje különleges, úgy nevezik „relatív lift”. A liftek nyomógombjain általában azt adják meg, hogy melyik szintre szeretne jutni az illető. A relatív liften azt lehet megadni, hogy az aktuális szinthez képest, mennyivel menjen fel- (+) vagy lefelé (–). (Pl. a 3. szintről a mélygarázs –5. szintjére szeretnénk jutni, akkor a –8-at kell beütni.) a) Hova jutunk a –10. szintről a +32 megadásával? b) Hova jutunk a –1. szintről a –7 megadásával? c) Hova jutunk a –6. szintről a +24 megadásával? d) Hova jutunk a 48. emeletről a –31 megadásával? e) Hova jutunk a 17. emeletről a –26 megadásával? Megoldás: a) b) c) d) e)
–10 + (+32) = 22. emeletre; –1 + (–7) = –8. szintre; –6 + (+24) = 18. emeletre; 48 + (–31) = 17. emeletre; 17 + (–26) = –9. szintre jutunk.
7 a) b) c) d) e) f)
Igazak vagy hamisak az alábbi állítások? Minden pozitív szám nagyobb bármelyik negatív számnál. Minden negatív szám kisebb a nullánál. A nulla nagyobb, mint bármely pozitív szám. A nulla nagyobb bármely negatív számnál. Egy pozitív és egy negatív szám közül a negatív biztosan kisebb. 3 < –4. g) –5 < –3. h) –20 > –10.
Megoldás: a) b) c) d) e) f) g) h)
Igaz. Igaz. Hamis, a 0 minden pozitív számnál kisebb. Igaz. Igaz. Hamis. Igaz. Hamis.
ͯͭ
16.
MŰVELETEK ELŐJELES MENNYISÉGEKKEL
Feladatok 1 Végül is mennyi? a) (+647) – (+523); d) (+345) + (–234);
b) (+567) – (+438); e) (+456) + (–321);
c) (+953) – (+543); f) (+895) + (–789).
Megoldás: a) 647 – 523 = 124; c) 953 – 543 = 410; e) 456 – 321 = 135;
b) 567 – 438 = 129; d) 345 – 234 = 111; f) 895 – 789 = 106.
2 Számítsd ki! a) (–(+(–(+4)))); d) (–(–(–(–2))));
b) (–(–(–(+6)))); e) (–(–(–(0)))).
c) (–(+(–(–4))));
Megoldás: a) b) c) d) e)
(–(+(–(+4)))) = (–(+(–4))) = (–(–4)) = (+4) = 4; (–(–(–(+6)))) = (–(–(–6))) = (–(+6)) = (–6) = –6; (–(+(–(–4)))) = (–(+(+4))) = (–(+4)) = (–4) = –4; (–(–(–(–2)))) = (–(–(+2))) = (–(–2)) = (+2) = 2; (–(–(–(0)))) = (–(–(0))) = (–(0)) = (0) = 0.
3 Végezd el a műveleteket! a) (+2341) – (+3496) – (2312); c) (–953) – (–1543) + (–4567);
b) (–567) – (+4386) – (–7830); d) (+3459) + (–1234) – (+3057).
Megoldás: a) b) c) d)
2341 – 3496 – 2312 = –3467; –567 – 4386 + 7830 = 2877; –953 + 1543 – 4567 = –3977; 3459 – 1234 – 3057 = –832.
4 A vízerőmű működése a gát mögötti vízszinttől függ. A vízszint elmozdulását az üzemi vízszinthez képest mérik (0). Ha süllyed, akkor negatív az elmozdulás, ha emelkedik, akkor pozitív. a) Kezdetben –25 cm-en állt a víz. Mennyit változott a vízszint amikor –102 cm-t ért el? b) A –21 cm-hez képest 223 cm lett a vízszint magassága. Mennyit változott a vízszint? c) A –29 cm-hez képest 134 cm lett a vízszint magassága. Mennyit változott a vízszint? d) A –56 cm-hez képest –5 cm lett a vízszint magassága. Mennyit változott a vízszint? Megoldás: A vízszintváltozást úgy számolhatjuk ki, hogy a vízszint későbbi értékéből kivonjuk a korábbi értékét. a) (–102) – (–25) = –102 + 25 = –77 cm; b) 223 – (–21) = 223 + 21 = 244 cm; c) 134 – (–29) = 134 + 29 = 163; d) (–5) – (–56) = –5 + 56 = 51 cm.
ͯͮ
ÖSSZEFOGLALÁS
17.
Feladatok 1 Melyik ez a szám: kétmillió-háromszázegyezer-hatvanöt? A) 20 301 065 B) 2 301 065 C) 2 301 165
7 A) B) C)
Mennyi 3456⋅1000? 3 456 000 3 45 600 3 4 560
Megoldás: A) 3 456 000.
Megoldás: B). 2 Melyik igaz? A) A 2 345 876 esetén az ezresek helyén a 4 áll. B) A 2 345 876 esetén a százezresek helyén a 3 áll. C) A 2 345 876 esetén a tízezresek helyén a 3 áll. Megoldás: B). 3 A) B) C)
A CMXXV római szám 955-öt, 925-öt, 1125-öt jelent?
8 A) B) C)
Mennyi 345⋅23? 7935 7934 7945
Megoldás: A) 7935. 9 Melyik igaz, melyik hamis? A) A 3 és a –3 abszolút értéke megegyezik. B) A –3 kisebb, mint a 3. C) A –(–3) = –3. D) Az 5 – 3 = 3 – 5. Megoldás:
Megoldás: B) 925.
A) Igaz. B) Igaz. C) Hamis, mert –(–3) = 3. D) Hamis, mert 5 – 3 = 2, viszont 3 – 5 = –2.
4 A) B) C)
10 Mennyi a szorzat eredménye? (–831) ⋅ 13 A) –10 813 B) –10 803 C) –10 823
Mi a nyíl szerepe a számegyenesen? Semmi, csak jól mutat. Megmutatja a pozitív irányt. Az abszolút értéket adja meg.
Megoldás: B) Megmutatja a pozitív irányt.
Megoldás: B) –10 803.
5 A) B) C)
11 Mennyi a 4567 : 42 hányadosa? A) 107 B) 109 C) 108
Mennyi 345 345 + 567 987? 914 002 913 332 914 432
Megoldás: B) 913 332.
Megoldás: C) 108.
6 A) B) C)
12 Mennyi a 4567 : 42 maradéka? A) 29 B) 31 C) 35
Mennyi 345 345 – 567 987? –913 332 222 642 –222 642
Megoldás: C) –222 642.
Megoldás: B) 31.
ͯͯ
17.
ÖSSZEFOGLALÁS
13 Tízes számrendszerben mennyi a 10012? A) 9 B) 7 C) 5
15 Melyik az 56 501 ezresekre kerekített értéke? A) 56 000 B) 56 500 C) 57 000
Megoldás: A) 8 + 1 = 9.
Megoldás: C) 57 000.
14 Melyik a 72 és 45 közös osztója? A) 2 B) 5 C) 9
16 Mennyi (–6) – (–9)? A) 3 B) –15 C) –3
Megoldás: C) (8 ∙ 9; 5 ∙ 9) = 9.
Megoldás: A) (–6) + 9 = 3.
ͯͰ
Egy nappal később az 5.a űrhajója jóval közelebb került a Földhöz, de az utasok ebből nem sokat vettek észre. – Mi az az izé, ami már órák óta ‒270,1-en áll? – kérdezte Gazsi. – Máris észrevetted? Nagyon ügyes vagy! A külső hőmérsékletet mutatja, de nem órák óta, hanem három hete ‒270 °C-ot mutat. – szólalt meg Gerzson. – Ez az űr hőmérséklete. Lehetne akár 3,05 K is, ha nem Celsius-, hanem Kelvin-fokban mérnénk a kinti hőmérsékletet. Nagyjából ennyit melegít rajta a háttérsugárzás – tódította Okoska, aki most sem bírt csöndben maradni. – Az abszolút 0 fok körülbelül ‒273,15 °C. – Ez lenne az a hőmérséklet, ahol te is csöndben tudnál maradni? – vágta rá Berta szemrehányó tekintettel, hiszen mindannyian igyeltek Gerzson előadásán, amit még az út elején tartott az űr hőmérsékletéről. Szeme sarkából látta, hogy Gazsi is nagyon bólogat. – És a másik bigyó, amin a mutató a 3/4 jel fölött áll? – Az az áramforrások töltöttségét jelzi. Ne aggódjatok, ez is bőven elég, több, mint amire szükségünk van! 24 napja vagyunk úton, és már csak 6 nap van hátra. Épp a negyede a kirándulásnak. – Hűha! – sóhajtott Panni. – Akkor már csak 5 esti buli lesz?
1.
TÖRT, TÖRTEK ÁBRÁZOLÁSA SZÁMEGYENESEN
Feladatok 1 Írd le a következő törteket számokkal! a) három tizenegyed; b) két ötöd; e) kilenc heted; f) három negyed;
c) négy heted; g) egy tized;
d) öt hatod; h) három tizenötöd.
Megoldás: a)
3 2 4 5 9 3 1 3 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) . 11 5 7 6 7 4 10 15
2
Írd le a következő törteket betűkkel! 4 25 12 1 7 23 3 ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) . a) ; b) 17 26 235 100 4 56 7 Megoldás: a) három heted; b) négy tizenheted; c) huszonöt huszonhatod; d) tizenkettő kétszázharmincötöd; e) egy század; f) hét negyed; g) huszonhárom ötvenhatod. 3 a) c) e)
Melyik az a tört, amelyiknek a számlálója 10, nevezője 17? számlálója 4, nevezője 5? számlálója 23, nevezője 34?
b) számlálója 7, nevezője 8? d) számlálója 8, nevezője 9? f) számlálója 101, nevezője 103?
Megoldás: 10 7 4 8 23 101 a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . 17 8 5 9 34 103 4 Minden ábra 1 egész lap. Hányad része a színezett rész az egésznek? a) sárga, kék; b) sárga, szürke, piros; c) kék, sárga. a)
b)
Megoldás: sárga 12 kék 18 = , = ; a) összes 30 összes 30 b)
sárga 1 piros 4 szürke 8 = , = , = ; összes 13 összes 13 összes 13
c)
sárga 25 kék 24 = , = . összes 49 összes 49
ͯͲ
c)
TÖRT, TÖRTEK ÁBRÁZOLÁSA SZÁMEGYENESEN 5
1.
Melyik az a tört, amelyiknek
4 4 nevezője, a nevezője pedig megegyezik a nevezőjével? 9 9 4 4 b) a számlálója 1-gyel kisebb, mint a számlálója, a nevezője pedig a nevezőjénél 2-vel nagyobb? 9 9 4 4 c) a számlálója megegyezik a számlálójával, a nevezője 8-cal nagyobb, mint a nevezője? 9 9
a) a számlálója 1-gyel nagyobb, mint a
Megoldás: a) 6
10 3 4 ; b) ; c) . 9 11 17 Mekkora része színezett az alakzatoknak?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) .
Megoldás: 1 3 1 1 1 1 1 1 ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) . a) ; b) 5 12 4 8 8 4 4 8
ͯͳ
2.
TÖRTEK BŐVÍTÉSE, EGYSZERŰSÍTÉSE, ÖSSZEHASONLÍTÁSA
Feladatok 1 a) Bővítsd 3-mal a következő törteket! 2 5 15 2 5 ; ; ; - ; - ; 3 4 9 7 8 b) Bővítsd a törteket úgy, hogy 100 legyen a nevezőjük! 2 5 15 2 5 ; ; ; ; ; 5 4 25 10 20 c) Bővítsd a törteket úgy, hogy 60 legyen a számlálójuk! 2 5 15 4 12 ; ; ; ; - ; 3 4 9 7 13
6 - . 5 -
6 . 50
6 - . 5
Megoldás: 6 15 45 6 15 18 ; ; ; – ; – ; – . 9 12 27 21 24 15 b) A 100 és a nevező hányadosával megszorozzuk a számlálót. 40 125 60 20 25 12 ; ; ; – ; – ; – . 100 100 100 100 100 100 c) A 60 és a számláló hányadosával megszorozzuk a nevezőt. 60 60 60 60 60 60 ; ; ; – ; – ; – . 90 48 36 105 65 50 a)
2 Egyszerűsítsd a következő törteket! 10 15 18 2 ; ; ; ; 24 24 24 24 9 6 12 3 ; ; ; ; 6 4 8 12
12 ; 24 15 ; 10
-
36 . 24 8 - . 6
-
Megoldás: A számlálót és a nevezőt ugyanazzal a számmal osztjuk. 1 5 5 3 1 ; ; ; – ; – ; 12 12 8 4 2 1 3 3 3 3 ; ; ; – ; – ; 4 2 2 2 2
ͯʹ
3 – . 2 4 – . 3
TÖRTEK BŐVÍTÉSE, EGYSZERŰSÍTÉSE, ÖSSZEHASONLÍTÁSA Melyik tört a nagyobb? 5 1 3 3 vagy ; d) vagy ; a) 12 12 12 12 3 4 3 2 vagy ; e) vagy ; b) 4 5 4 3 3 7 3 1 vagy ; f) vagy ; c) 8 12 4 2
2.
3
5 5 vagy ; 7 8 5 3 h) - vagy - ; 8 5 5 7 i) vagy ; 12 18 g)
9 9 vagy - ; 5 4 4 3 k) vagy ; 9 7 7 5 l) vagy . 9 6 j) -
Megoldás: Azonos (pozitív) nevezőjű törtek közül az a nagyobb, amelyiknek a számlálója nagyobb. Ahol nem azonosak a nevezők, ott bővítéssel közös nevezőre hozzuk a két törtet. 5 8 9 3 4 3 1 a) ; b) < , tehát a a nagyobb; c) > , tehát az a nagyobb; 12 12 12 4 8 8 2 d) –
1 3 1 16 15 4 > – , tehát a – a nagyobb; e) > , tehát a a nagyobb; 12 12 12 20 20 5
f)
7 9 3 < , tehát a a nagyobb; 12 12 4
g)
5 5 25 24 3 > ; h) – < – , tehát a – a nagyobb; 7 8 40 40 5
i)
15 14 5 > , tehát az a nagyobb; 36 36 12
j) – l)
9 9 28 27 4 > – ; k) > , tehát a a nagyobb; 5 4 63 63 9
42 45 5 < , tehát az a nagyobb. 54 54 6
4 Rendezd csökkenő sorrendbe a következő törteket! 2 1 5 7 1 ; ; ; ; ! 3 4 6 12 2 Megoldás: Közös nevezőre hozzuk a törteket, majd a számlálóik alapján sorba rendezzük őket. 6 8 3 10 7 ; ; ; ; . 12 12 12 12 12 A rendezés után
5 2 7 1 1 > > > > . 6 3 12 2 4
ͯ͵
2.
TÖRTEK BŐVÍTÉSE, EGYSZERŰSÍTÉSE, ÖSSZEHASONLÍTÁSA
5 a) b) c) d) e)
Vettünk egy új asztalterítőt. A terítő hányad része sárga? A terítő hányad része piros? A terítő hányad része lila? A terítő hányad része zöld? A terítő hányad része sárga vagy zöld? f) A terítő hányad része nem lila? Állítsd növekvő sorrendbe az így kapott törteket! Megoldás: sárga 48 12 a) = = ; összes 196 49
b)
piros 75 = ; összes 196
c)
lila 25 = ; összes 196
d)
zöld 48 12 = = ; összes 196 49
e)
sárga vagy zöld 96 24 = = ; összes 196 49
f)
nem lila 171 = . összes 196
A növekvő sorrend: c) < a) = d) < b) < e) < f). 6 A 90 perces focimeccsen eltelt a második félidő harmada. a) Hány perc telt el a mérkőzésből? b) Hány perc van hátra? Megoldás: 1 a) Eltelt az első félidő 45 perce és a második félidő harmada, ami 45 ∙ = 15 perc. 45 + 15 = 60 perc telt el. 3 b) 90 – 60 = 30 perc van hátra.
Ͱͬ
EGYENLŐ NEVEZŐJŰ TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA
3.
Feladatok 1
Végezd el a következő műveleteket! 6 9 5 6 15 13 8 6 17 11 2 3 ; c) ; d) ; e) . a) + ; b) + + - ; f) 20 20 14 14 28 28 5 5 25 25 7 7 Megoldás: 5 a) ; 7
b)
15 3 = ; 20 4
c)
11 ; 14
d)
2 1 = ; 28 14
e)
2 ; 5
f)
6 . 25
2 Rajzolj egy számegyenest a füzetedbe, és ábrázold a felsorolt számokat! 3 4 7 2 8 5 21 13 . + ; - ; - ; 2 2 6 6 5 5 11 11 Megoldás: 7 5 3 8 ; ; ; . 2 6 5 11
3
a) Válassz ki minden színből 1-et, és állítsd nagyság szerinti sorrendbe a törteket! b) Válassz két egyszínű törtet! Add össze őket! c) Válassz két egyszínű törtet, minden színből egy-egy párt és vond ki a nagyobbikból a kisebbet!
Megoldás: a) Sok megoldás lehetséges. 2 5 7 b) Pl. narancs + = . 3 3 3 5 2 3 c) Pl. narancs – = = 1. 3 3 3 4
2 3 15 7 1 7 11 12 23 25 1 4
János beszolgáltatta a tizedet a várúrnak és egy másik tizedet a templomnak.
lakodalma. A termés hányad része maradt meg a családnak?
4 5 1 4 14 5 7 3 2 12 3 7
5 12 3 12 3 4 12 3 9 25 2 5
5 3 1 5 12 4 4 25 8 7 10 25
3 -et elvitt a lánya 10
Megoldás: 1 1 3 5 5 5 1 Kiadás: + + = . A termés 1 – = = része marad. 10 10 10 10 10 10 2
Ͱͭ
4.
KÜLÖNBÖZŐ NEVEZŐJŰ TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA
Feladatok 1
Végezd el a következő műveleteket! 11 3 3 b) 3 + ; c) a) 2 + ; + 2; 20 14 7 Megoldás: 17 a) ; 7
b)
71 ; 20
Számold ki! 3 3 1 2 b) + ; a) + ; 8 4 6 3
d)
15 -1; 12
e) 2 -
6 ; 10
f)
56 - 2. 25
f)
6 . 25
c)
31 ; 14
d)
3 1 = ; 12 4
e)
14 7 = ; 10 5
c)
1 6 ; + 3 15
d)
7 11 ; 4 16
e)
11 23 129 13 ; f) . 5 25 30 6
c)
11 ; 15
d)
17 ; 16
e)
32 ; 25
d)
7 4 21 23 53 37 ; e) ; f) . + 10 15 12 18 9 6
d)
29 ; 30
c)
4 6 4 ; - + 3 5 15
d)
11 11 11 . 4 16 8
c)
6 2 = ; 15 5
d)
11 . 16
2
Megoldás: 5 a) ; 6
b)
9 ; 8
Végezd el a következő műveleteket! 3 3 3 2 3 4 b) + ; c) a) + ; - ; 5 4 6 5 2 3
f)
64 32 = . 30 15
3
Megoldás: 17 a) ; 6
b)
27 ; 20
c)
3 1 = ; 30 10
Végezd el a következő műveleteket! 3 2 3 1 4 1 b) a) + + ; + - ; 10 5 2 6 3 3
e)
17 ; 36
f) –
5 . 18
4
Megoldás: 11 ; a) 6
b) –
8 4 =– ; 10 5
5 Népdalországban a hivatalos izetőeszköz a pénz. Egy pénz 16 000 Ft-nak felel meg. A bevásárló énekli: „Én elmentem a vásárba félpénzzel. Tyúkot vettem a vásárban negyedpénzzel. Csirkét vettem a vásárban nyolcadpénzzel. Récét vettem a vásárban tizenhatodpénzzel. Ludat vettem a vásárban tizenhatodpénzzel. Kárikittyom, édes tyúkom, elfogyott a félpénzem.” Számold ki, hogy mennyi forinttal ment a vásárba, hány forintba került egy csirke, egy réce, egy lúd! Vajon valóban elfogyott-e az összes pénze a bevásárlónak? Megoldás: A félpénz = 8000 Ft. A tyúk ára = negyedpénz = 4000 Ft. A csirke ára = nyolcadpénz=2000 Ft. A réce ára = tizenhatodpénz = 1000 Ft. A lúd ára = tizenhatodpénz = 1000 Ft. Az elköltött összeg 4000 + 2000 + 1000 + 1000 = 8000 Ft, így elfogyott a félpénze, vagyis a 8000 forintja.
Ͱͮ
KÜLÖNBÖZŐ NEVEZŐJŰ TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA 6
4.
Újlakiék lakásfelújításba fogtak.
a) A festők három teli vödör festékkel kezdték a munkát. Végül az egyik vödörben
2 , a második vödörben 3
2 4 , a harmadik vödörben részig maradt festék. Mennyi festék maradt összesen? 5 15 b) A 10 méter hosszú folyosó lefedésére maradék padlószőnyeget szántak. Az egyik szoba lefedéséből 49 33 157 méter, a második szoba lefedéséből méter, a harmadik szoba lefedéséből méter maradt. 12 15 60 Le lehet-e fedni velük a folyosót? c)
26 5 méter hosszú szőnyegből levágtak métert. Mekkora hosszúságú szőnyeg maradt? 7 3
Megoldás: 2 2 4 20 4 = = . a) + + 3 5 15 15 3 b) A maradékok összege: 100 = 10 méter. 10 c)
49 33 157 245 + 132 + 157 534 89 + + = = = méter, ami kisebb, mint 12 15 60 60 60 10
26 5 78 35 43 – = – = m. 7 3 21 21 21
Ͱͯ
5.
TÖRT SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL
Feladatok 1
Végezd el a szorzásokat! Ha lehet, akkor egyszerűsíts! 4 10 5 7 b) c) 2 $ ; d) 4 $ ; a) $ 4 ; $ 6; 15 3 6 9 g) 7 $
8 ; 5
h) 8 $
Megoldás: 28 ; a) 9 g)
56 ; 5
2
5 ; 6
i) 10 $
6 ; 5
j) 9 $
e)
6 $ 7; 14
f)
8 $ 3; 15
4 ; 3
k)
5 $ 17 ; 36
l)
5 $ 16 . 56
b)
24 8 = ; 15 5
c)
20 ; 3
d)
20 10 = ; 6 3
e)
42 = 3; 14
f)
24 8 = ; 15 5
h)
40 20 = ; 6 3
i)
60 = 12; 5
j)
36 = 12; 3
k)
85 ; 36
l)
80 10 = . 56 7
3 liter tejet iszik meg. Hány liter tejet iszik meg 4 b) 4, c) 5, d) 7, e) 10, f) 28
Kati naponta
a) 3, nap alatt? Megoldás: 3 9 a) 3 ∙ = ; 4 4
b) 4 ∙
3 = 3; 4
c) 5 ∙
3 15 3 21 3 15 = ; d) 7 ∙ = ; e) 10 ∙ = ; 4 4 4 4 4 2
Szorozd meg a törteket az ugyanolyan színű természetes számmal c pl:
3
2 3 23 4
2 3
5
12 5 12 3
7
3
22 5 1 6 11 8 11
8 9 14 5 1 4 3 8
15 7 3 4
1 5 12 3
4
6
11 3
21 2
Megoldás: Narancssárga: 5 ∙ Barna: 3 ∙ Kék: 4 ∙
2 10 8 40 12 = ; 5 ∙ = ; 5 ∙ = 12. 3 3 9 9 5
2 14 42 11 = 2; 3 ∙ = ; 3 ∙ = 11. 3 5 5 3
22 88 23 12 48 = ; 4 ∙ = 23; 4 ∙ = . 5 5 4 3 3
Okker: 7 ∙
15 1 7 3 21 = 15; 7 ∙ = ; 7 ∙ = . 7 6 6 8 8
Piros: 11 ∙
1 11 3 33 12 132 = ; 11 ∙ = ; 11 ∙ = = 44. 5 5 4 4 3 3
ͰͰ
f) 28 ∙
2 $ 3 = m! 3
3 = 21. 4
TÖRT SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL
5.
5 kilométerre van az iskola. Hány kilométert tesz meg jövet-menet 8 a) naponta, b) egy hét alatt, ha egy héten öt nap zajlik tanítás, c) négy hét alatt? 4
Istvánék lakásától
Megoldás: a) István 2 ∙
5 10 5 = = km-t tesz meg naponta; 8 8 4
5 25 = km-t tesz meg hetente; 4 4 25 = 25 km-t tesz meg 4 hét alatt. c) 4 ∙ 4 b) 5 ∙
3 5 A kiscica 1 nap alatt a macskaeledel részét eszi meg. Mennyi 80 macskaeledelt eszik meg a) 5 nap, b) 10 nap, c) 15 nap, d) 20 nap alatt? e) Megközelítőleg hány napra elég egy zacskó macskaeledel? Megoldás: 3 15 3 3 30 3 3 45 9 3 60 3 = = ; b) 10 ∙ = = ; c) 15 ∙ = = ; d) 20 ∙ = = részét eszi meg 80 80 16 80 80 8 80 80 16 80 80 4 3 78 a macskaeledelnek. e) 26 nap alatt 26 ∙ = részét eszi meg a macskaeledelnek, tehát 26 napig elég és 80 80 2 egy kicsi rész még marad. 80 A kiscica a) 5 ∙
(
)
Ͱͱ
6.
TÖRT OSZTÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL
Feladatok 1
Végezd el a következő osztásokat! Ha lehet, egyszerűsíts! 10 12 2 7 b) c) d) :3 ; a) : 4 ; :5 ; :4; 3 5 3 9 5 2 6 7 h) i) j) g) :7 ; :5 ; :5 ; :5 ; 12 3 15 9 Megoldás: 7 7 10 : 5 2 12 : 4 3 2 2 = ; b) = ; c) = ; d) = ; a) 9 ∙ 4 36 3 3 5 5 3∙3 9 g)
7:7 1 = ; 9 9
h)
7 :2; 5 9 k) : 2 ; 7
3 :4; 10 8 l) :4. 9
e)
f)
e)
7 7 3 3 = ; f) = ; 5 ∙ 2 10 10 ∙ 4 40
5:5 1 2 2 6 6 2 9 9 8 2 = ; i) = ; j) = = ; k) = ; l) = . 12 12 3 ∙ 5 15 15 ∙ 5 75 25 7 ∙ 2 14 9∙4 9
6 10 részét olvasta el 3 óra alatt. István ugyanennek a könyvnek részét 5 óra alatt 25 27 olvasta el. Melyik iú olvasott gyorsabban?
2
Laci egy könyv
Megoldás: 6 2 10 2 :3= részét olvasta el. István :5= részét olvasta el. Számlálók 25 25 27 27 egyenlősége esetén a kisebb nevezőjű tört a nagyobb, tehát Laci olvasott gyorsabban. Laci 1 óra alatt a könyv
3
Számítsd ki!
a) 9 doboz joghurt tömege doboz joghurt tömege? b) 12 nap alatt a telek
18 kilogramm. Hány kilogramm 1 doboz joghurt tömege? Hány kilogramm 4 5
30 részét művelték meg Zoliék. Hányad részét művelték meg 1 nap alatt? 49
7 kilogramm kenyeret ettek meg. Mennyi kenyeret evett meg 1 ember 4 nap alatt? 2 Mennyi kenyeret evett meg 1 ember 1 nap alatt?
c) 10-en 4 nap alatt
Megoldás: 18 2 2 8 : 9 = kg tömegű egy doboz joghurt. 4 doboz joghurt 4 ∙ = kg. a) 5 5 5 5 30 30 5 b) : 12 = = részét művelték meg a teleknek. 49 49 ∙ 12 98 7 7 7 7 c) : 10 = kilogramm kenyeret ettek 4 nap alatt. :4= kilogramm kenyeret evett meg 1 ember 2 20 20 80 1 nap alatt.
ͰͲ
TÖRT OSZTÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL
6.
4
Az irodalmi versenyen az Arany-csapat is indult. 100-nál kevesebb pontot értek el, de a megszerez12 hető pontok részével így is elsők lettek. A csapatban 5 gyerek volt, akik fejenként ugyanannyi ponttal 13 járultak hozzá a sikerhez. Hány pontot lehetett szerezni a versenyen? Megoldás: A pontok száma 13-nak és 5-nek is többszöröse kell legyen, ezért 13 ∙ 5 = 65 pontot lehetett megszerezni a versenyen. 60 pontot szereztek meg, és 1 gyerek 12 pontot szerzett meg. A 130 már nem jó megoldás, mert nem kisebb, mint 100. 5
Melyiknek nincs párja?
1 ×5 7
3- 9 2 12
35 70
15 :3 7
Megoldás: 1 5 ⋅ 5 = párja 7 7
.
3 9 3 3 6 3 3 – = – = – = párja 2 12 2 4 4 4 4
35 1 = párja 70 2
15 5 : 3 = párja 7 7
-nak és
.
.
.
-nak nincs párja.
Ͱͳ
6. 6
TÖRT OSZTÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL
A képen látható moák közül kettő, aztán a harmada elrepül. Hány madár marad?
Megoldás: 11 moa látszik a képen. 2 moa elrepülése után 11 – 2 = 9 moa maradt. 9 ∙ maradt.
Ͱʹ
1 = 3 moa repült még el. 6 moa 3
VEGYES SZÁMOK
7.
Feladatok 1
Alakítsd át a törteket vegyes számokká! 9 10 5 5 b) ; c) ; d) ; a) ; 2 3 3 2 21 13 17 17 ; h) ; i) ; j) ; g) 5 6 7 5
5 ; 4 9 k) ; 8
7 ; 4 20 l) . 9
e)
f)
Megoldás: 1 1 1 2 1 3 2 1 1 3 1 2 a) 2 ; b) 4 ; c) 3 ; d) 1 ; e) 1 ; f) 1 ; g) 3 ; h) 4 ; i) 2 ; j) 2 ; k) 1 ; l) 2 . 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9 2
Írd át közönséges törtté! 1 1 1 b) 5 ; c) 1 ; a) 2 ; 2 3 2 3 5 2 h) 4 ; i) 5 ; g) 2 ; 5 6 5 Megoldás: 5 11 a) ; b) ; 2 2
4 c) ; 3
5 d) ; 3
e)
2 d) 1 ; 3 2 j) 1 ; 7 23 ; 4
f)
37 ; 4
3 ; 4 5 k) 3 ; 8
1 ; 4 4 l) 5 . 9
e) 5
g)
12 ; 5
h)
23 ; 5
f) 9
i)
35 ; 6
9 j) ; 7
k)
29 ; 8
l)
49 . 9
3
Rajzolj egy számegyenest a füzetedbe és ábrázold az összeget a számegyenesen! 1 1 2 3 2 1 1 2 5 2 1 2 ; d) 1 + 2 ; e) 1 + 1 ; f) a) 1 + 2 ; b) 1 + 2 ; c) 3 + 2 +3 . 4 2 5 10 5 2 2 3 6 3 3 3 Megoldás: 4 8 12 5 5 5 10 15 3 17 23 34 23 57 7 a) + = = 4; b) + = + = = 3 ; c) + = + = =5 ; 3 3 3 4 2 4 4 4 4 5 10 10 10 10 10 7 5 14 25 39 9 3 5 9 10 19 1 5 11 5 22 27 3 1 d) + = + = = 3 ; e) + = + = = 3 ; f) + = + = =4 =4 . 5 2 10 10 10 10 2 3 6 6 6 6 6 3 6 6 6 6 2
4
Végezd el a következő műveleteket, és az eredményeket állítsd csökkenő sorrendbe! 2 2 1 11 2 1 3 2 7 1 5 1 ; 2 +1 ; 5 -2 ; 4-1 ; 2+1 ; 3 5 -1 ; +1 - ; 3 3 6 12 3 3 4 3 15 5 6 3
6
2 8 . -1 3 12
Megoldás: 35 4 35 8 27 3 1 8 5 13 1 – = – = =4 =4 ; + = =4 ; 6 3 6 6 6 6 2 3 3 3 3 1 23 2 23 25 1 17 7 10 1 + = + = =2 ; – = =3 ; 6 12 12 12 12 12 3 3 3 3 16 7 9 1 6 5 11 2 – = =2 ; + = =3 ; 4 4 4 4 3 3 3 3 52 1 52 3 49 4 20 20 80 20 60 – = – = =3 ; – = – = = 5. 15 5 15 15 15 15 3 12 12 12 12 1 1 2 1 4 1 1 A csökkenő sorrend: 5 > 4 > 4 > 3 > 3 > 3 > 2 > 2 . 2 3 3 3 15 4 12
Ͱ͵
7.
VEGYES SZÁMOK
1 liter. 5 a) Hány liter egy hatos pakk? b) Egy fóliában 12 hatos pakk van. Hány liter üdítőt tartalmaz egy fólia? c) Hány liter üdítőt vásárolt a vendéglős, ha 4 fóliányi üdítőt vásárolt?
5
Egy kisdobozos almalé
Megoldás: 1 6 1 a) 6 ∙ = = 1 liter üdítőt tartalmaz egy hatos pakk. 5 5 5 6 72 2 = 14 liter üdítő van egy fóliában. b) 12 ∙ = 5 5 5 72 288 3 = = 57 liter üdítőt vásárolt a vendéglős. c) 4 ∙ 5 5 5 3 4 Melyik természetes számmal szorozhatjuk meg a 2 -t, hogy 10 -nél kisebb számot kapjunk? Meg5 5 találtad az összeset?
6
Megoldás: 3 13 4 54 Az egyik szám 2 = , a másik szám 10 = . 5 5 5 5 13 54 13 13 54 13 26 54 13 39 54 13 52 54 Szorzatok: 0 ∙ =0< ;1∙ = < ;2∙ = < ;3∙ = < ;4∙ = < . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 A természetes számok: 0, 1, 2, 3, 4. 4 cm széles, és 5 7 1 2 darab van a polcon. A kalandregény 4 cm széles, és 8 darab van a polcon. A gyermekregény 3 centi7 7 méter széles, és 5 darab található a polcon. Milyen széles a polc, ha több könyv már nem fér rá? 7
Egy könyvesboltban az egyik polcon háromféle könyvet tartanak. A mesekönyv 2
Megoldás: 18 30 22 90 240 110 440 6 +8∙ +5∙ = + + = = 62 cm. 5∙ 7 7 7 7 7 7 7 7
ͱͬ
TIZEDES TÖRTEK
8.
Feladatok 1 a) c) e) g)
Írd le a füzetedbe betűvel a következő számokat! kétszáztizenhárom egész három tized; b) nulla egész hat század; 49 egész 76 század; d) 103 egész 103 ezred; hatvanhét egész kilenc század; f) huszonnyolc egész harminckilenc ezred; nulla egész kétszáz ezred; h) nulla egész nyolcezer tízezred.
Megoldás: a) 213,3;
b) 0,06;
c) 49,76;
d) 103,103;
e) 67,09;
f) 28,039;
g) 0,200;
h) 0,8000.
2 Írd le betűvel a következő tizedes törteket! a) 1,45; b) 24,012; c) 73,6; d) 803,06; e) 70,006; f) 65,450; g) 47,3500. Megoldás: a) Egy egész negyvenöt század; b) huszonnégy egész tizenkét ezred; c) hetvenhárom egész hat tized; d) nyolcszázhárom egész hat század; e) hetven egész hat ezred; f) hatvanöt egész négyszázötven ezred; g) negyvenhét egész háromezer-ötszáz tízezred. 3 Olvasd le, és írd le a lázmérők által mutatott testhőmérsékleteket! a) b) c) d) e)
f)
Megoldás: a) 36,5: harminchat egész öt tized. b) 37,8: harminchét egész nyolc tized. c) 38,2: harmincnyolc egész két tized. d) 37: harminchét egész. e) 40,8: negyven egész nyolc tized. f) 39,7: harminckilenc egész hét tized. 4
Olvasd le a számegyenesről a megjelölt tömegek értékeit!
Megoldás: Balról jobbra haladva: 34 dkg = 0,34 kg; 50 dkg = 0,50 kg; 67 dkg = 0,67 kg; 81 dkg = 0,81 kg; 84 dkg = 0,84 kg; 90 dkg = 0,90 kg; 99 dkg = 0,99 kg.
ͱͭ
8. 5
TIZEDES TÖRTEK
Írd le tizedes tört alakban, méterben a következő hosszmennyiségeket!
Árpád magassága:
1 méter 3 deciméter 5 centiméter.
Árpád szobájának hossza:
4 méter 2 dm 6 centiméter.
Árpád szobájának szélessége:
3 méter 4 dm 1 centiméter.
Árpád horgászbotjának hossza:
3 méter 2 dm 6 centiméter.
Megoldás: Árpád magassága: 1,35 méter; Árpád szobájának hossza: 4,26 méter; Árpád szobájának szélessége: 3,41 méter; Árpád horgászbotjának hossza: 3,26 méter. 6 Árpi délutánonként lövészetre jár. Az ábrán az egyik lövészete utáni lőlapja látható. A körvonalak a kör közepétől 0,5 cm, 1 cm, 1,5 cm, 2 cm és 2,5 cm-re vannak. A lövedékek átmérője 0,5 cm. Olvasd le, hogy milyen messzire csapódtak be a lövedékek a lőlap közepétől! Megoldás: Középről kifelé haladva: 0 cm; 0,5 cm; 0,75 cm; 1 cm; 1,25 cm; 1,5 cm; 1,75 cm; 2 cm; 2,25 cm; 2,5 cm.
ͱͮ
TIZEDES TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA
9.
Feladatok 1 Végezd el a következő műveleteket! a) 3,6 + 12,7; b) 13,5 – 5,05; e) 5,56 – 2,5; f) 6,34 – 2,42;
c) 3,25 + 4,17; g) 6,43 + 23,5;
d) 50,07 – 10,40; h) 5,34 – 2,34.
Megoldás: a) 16,3;
b) 8,45;
c) 7,42;
d) 39,67;
2 Végezd el a következő műveleteket! a) 12,23 + 5,56; b) 3,457 + 5,987; e) 0,345 – 0,562; f) 56,346 + 2,213;
e) 3,06;
f) 3,92;
c) 54,9 – 39,34; g) 4,301 – 2,732;
g) 29,93;
h) 3.
d) 0,432 + 0,078; h) 5,432 – 6,3.
Megoldás: a) 17,79;
b) 9,444;
c) 15,56;
d) 0,51;
e) –0,217;
f) 58,559;
g) 1,569;
h) –0,868.
3 Rendezd növekvő sorrendbe a következő tizedes törteket! 2,4 2,41 –2,4 –2,41 2,39 –2,39 Megoldás: Növekvő sorrend: –2,41 < –2,4 < –2,39 < 2,39 < 2,4 < 2,41. 4 a) c) e)
Melyik a nagyobb? 2,23 + 3 vagy 2,25 + 3; 2,23 – 3 vagy 2,25 – 3; 2,23 – 3 vagy 3 – 2,25;
b) 2,23 – 1 vagy d) 4,55 – 1 vagy f) 6,28 + 1,56 vagy
2,25 – 1; 2,55 + 1; 3,26 + 4,59.
Megoldás: a) 5,23 < 5,25; c) –0,77 < –0,75; e) –0,77 < 0,75;
b) 1,23 < 1,25; d) 3,55 = 3,55; f) 7,84 < 7,85.
5 Sárit megkérte anyukája, hogy a tejberizshez mérjen ki 8 deciliter tejet. Sári elhatározta, hogy próbára teszi szerencséjét, és egy mérték nélküli pohárba nyolcszor töltötte ki szemmértékre az 1 decilitert. Sári öccse minden pohár tejet megmért, és úgy öntötte a többi tejhez. A mért értékek: 0,97 dl, 1,06 dl, 1,07 dl, 0,83 dl, 1,07 dl, 1,11 dl, 1,17 dl, 1,35 dl. Mennyi tejet mért így Sári? Megoldás: 0,97 + 1,06 + 1,07 + 0,83 + 1,07 + 1,11 + 1,17 + 1,35 = 8,63 dl tejet mért Sári.
ͱͯ
9.
TIZEDES TÖRTEK ÖSSZEADÁSA ÉS KIVONÁSA
6 Árpád a piacon almát vásárolt. Az eladó almákat rakott a mérlegre. A mérleg 0,893 kilogrammot mutatott. Ekkor az eladó rátett még egy almát a mérlegre, és a mérleg nyelve 1,037 kilogrammnál állt meg. Árpád megörült, mert ki tudta számolni az utolsó alma tömegét. Hogyan? Megoldás: 1,037 – 0,893 = 0,144 kg az utolsó alma tömege. 7 Lakásfelújítás miatt Tamásék a falak hosszát és magasságát is megmérték. a) Az egyik szoba hosszúságát a fal közepén álló szekrény miatt így mérték meg. A szekrény előtti falhossz 2,34 méter. A szekrény hossza 0,80 méter. A szekrény utáni falhossz 1,45 méter. Milyen hosszúságú a fal? b) A 4,15 méter hosszú falhoz két 1,47 méter széles szekrényt akarnak beállítani. A falhoz férhet-e még egy 1,2 méter széles asztal? c) A festők 3,56 méteres falmagassághoz állították 1,83 méter magas létrájukat. Elérhetik-e a festők a mennyezetet? Megoldás: a) 2,34 + 0,8 + 1,45 = 4,59 méter hosszú a fal. b) 4,15 – 2 ∙ 1,47 = 1,21 méterhez még hozzáilleszthető az 1,2 méter hosszú asztal. c) 3,56 – 1,83 = 1,73 méter hiányzik a mennyezetig. Egy kinyújtott kezű magas festő elérheti a mennyezetet. 8 Kerekítsd századokra a következő tizedes törteket! a) 4,023; b) 5,006; c) 4,101; d) 3,7856;
e) 10,997;
f) 15,6.
e) 11,00;
f) 15,60.
e) 9,919;
f) 7,95.
e) 9,92;
f) 7,95.
Megoldás: a) 4,02;
b) 5,01;
c) 4,10;
d) 3,79;
9 Kerekítsd századokra a következő tizedes törteket! a) 5,345; b) 123,56; c) 56,00; d) 56,346; Megoldás: a) 5,35;
b) 123,56;
c) 56,00;
d) 56,35;
10 Kerekítsd három értékes jegyre a következő számokat! a) 125,345; b) 23,5678; c) 6,34567; d) 0,73491; e) 0,012349; f) 0,0076992. Megoldás: a) 125;
ͱͰ
b) 23,6;
c) 6,35;
d) 0,735;
e) 0,0123;
f) 0,00770.
TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL
10.
Feladatok 1 a) e) i)
Végezd el a következő műveleteket! 3,6 ⋅ 10; b) 0,36 ⋅ 10; 675,67 ⋅ 100; f) 67,567 ⋅ 100; 1,2345 ⋅ 1000; j) 45,672 ⋅ 1000;
c) 0,036 ⋅ 10; g) 6,7567 ⋅ 100; k) 15,25 ⋅ 1000;
d) 0,0036 ⋅ 10; h) 0,67567 ⋅ 100; l) 0,0045 ⋅ 1000.
c) 0,36; g) 675,67; k) 15 250;
d) 0,036; h) 67,567; l) 4,5.
c) 5,9 : 10; g) 4,02 : 100; k) 1,025 : 1000;
d) 0,123 : 10; h) 0,023 : 100; l) 0,045 : 1000.
c) 0,59; g) 0,0402; k) 0,001025;
d) 0,0123; h) 0,00023; l) 0,000045.
Megoldás: a) 36; e) 67 567; i) 1234,5; 2 a) e) i)
b) 3,6; f) 6756,7; j) 45 672;
Végezd el a következő műveleteket! 567 : 10; b) 34,57 : 10; 435,2 : 100; f) 26,42 : 100; 1234,5 : 1000; j) 45,19 : 1000;
Megoldás: a) 56,7; e) 4,352; i) 1,2345;
b) 3,457; f) 0,2642; j) 0,04519;
3 a) Váltsd át centiméterbe a következő mennyiségeket! 0,123 m; 2,37 dm; 14,5 m; 123 mm; b) Váltsd át deciméterbe a következő mennyiségeket! 3,56 m; 12,372 m; 0,51 cm; 763 mm; c) Váltsd át centiméterbe a következő mennyiségeket! 0,34 m; 9,07 m; 14,59 dm; 1123 mm;
2,34 dm;
9854 mm.
102,34 mm;
985 cm.
23,72 dm;
5674 mm.
23,4 cm; 1,0234 dm; 237,2 cm;
985,4 cm. 98,5 dm. 567,4 cm.
Megoldás: a) 12,3 cm; b) 35,6 dm; c) 34 cm;
23,7 cm; 123,72; 907 cm;
1450 cm; 0,051 dm; 145,9 cm;
4 Végezd el a következő szorzásokat! a) 8,7 ⋅ 5; b) 0,37 ⋅ 9; e) 12,3 ⋅ 72; f) 0,27 ⋅ 21;
12,3 cm; 7,63 dm; 112,3 cm; c) 0,057 ⋅ 6; g) 6,75 ⋅ 13;
d) 0,0047 ⋅ 51; h) 0,67 ⋅ 35.
c) 0,342; g) 87,75;
d) 0,2397; h) 23,45.
Megoldás: a) 43,5; e) 885,6;
b) 3,33; f) 5,67;
ͱͱ
10.
TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL
5
Recept szerint 1 adag almás süti tésztájához a következő összetevők szükségesek: 1 0,1 deciliter tej (egy kevés), csomag sütőpor, 4 dkg liszt, 1 dkg porcukor, csipet só. 4 a) Mennyi hozzávalóra van szükség 8 adag tészta elkészítéséhez? b) Mennyi hozzávalóra van szükség 12 adag tészta elkészítéséhez? c) Mennyi hozzávalóra van szükség 7 adag tészta elkészítéséhez? d) Minden mennyiséget tudtál értelmezni?
Megoldás: 1 8 a) Tej: 8 ∙ 0,1 = 0,8 deciliter. Sütőpor: 8 ∙ = = 2 csomag. Liszt: 8 ∙ 4 = 32 dkg. Porcukor: 8 ∙ 1 = 8 dkg. Só: 4 4 nyolc csipet. 1 12 b) Tej: 12 ∙ 0,1 = 1,2 deciliter. Sütőpor: 12 ∙ = = 3 csomag. Liszt: 12 ∙ 4 = 48 dkg. Porcukor: 12 ∙ 1 = 12 dkg. 4 4 Só: tizenkettő csipet. 1 7 c) Tej: 7 ∙ 0,1 = 0,7 deciliter. Sütőpor: 7 ∙ = csomag. Liszt: 7 ∙ 4 = 28 dkg. Porcukor: 7 ∙ 1 = 7 dkg. Só: hét 4 4 csipet. d) A csipetnek mint mértékegységnek nincs számszorosa, azaz a 8 csipet mennyisége kérdéses lehet. Gyakorlatilag az ételadag mennyiségével nem arányosan nő a hozzávalók mennyisége. 6
Milyen hosszúak a következő vonalak, ha egy kék szakasz hossza 0,34 dm? b)
a)
c)
Megoldás: a) 8 ∙ 0,34 = 2,72 dm; b) 10 ∙ 0,34 = 3,4 dm; c) 12 ∙ 0,34 = 4,08 dm. 7
Mekkora a vonalhossz, ha a kék szakasz hossza 0,167 m? b)
a)
c)
Megoldás: a) 5 ∙ 0,167 = 0,835 m; b) 3 ∙ 0,167 = 0,501 m; c) 4 ∙ 0,167 = 0,668 m. 8
Egy papírlap vastagsága 0,025 cm. Milyen vastag az 1250 oldalas Biblia?
Megoldás: 1250 oldal az 625 lap, azaz 625 ∙ 0,025 = 15,625 ≈ 16 cm vastag a Biblia.
ͱͲ
TIZEDES TÖRTEK SZORZÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL
10.
9 A teniszt egy 26 ⋅ 9 yard méretű (páros esetén 26 ⋅ 12 yard) pályán játsszák. Mekkora a pálya méterben, ha 1 yard = 91,44 cm? Megoldás: A pálya: 26 ∙ 9 = (26 ∙ 91,44) ∙ (9 ∙ 91,44) = 2377,44 ∙ 822,96 cm. Párosok pályája: 26 ∙ 12 = (26 ∙ 91,44) ∙ (12 ∙ 91,44) = 2377,44 ∙ 1097,28 cm.
ͱͳ
11.
TIZEDES TÖRTEK OSZTÁSA TERMÉSZETES SZÁMMAL
Feladatok 1 Végezd el a következő osztásokat! a) 3,6 : 3; b) 0,72 : 9; e) 184,96 : 8; f) 68,046 : 6;
c) 0,042 : 7; g) 5,6175 : 5;
d) 0,0099 : 9; h) 0,67567 : 100.
c) 0,006; g) 1,1235;
d) 0,0011; h) 0,0067567.
c) 0,451 : 11; g) 5,6175 : 5;
d) 9,45 : 45; h) 0,67567 : 100.
c) 0,041; g) 1,1235;
d) 0,21; h) 0,0067567.
Megoldás: a) 1,2; e) 23,12;
b) 0,08; f) 11,341;
2 Végezd el a következő osztásokat! a) 103,68 : 32; b) 0,85 : 17; e) 141,22 : 23; f) 76,8 : 32; Megoldás: a) 3,24; e) 6,14;
b) 0,05; f) 2,4;
3 Végezd el a következő osztásokat úgy, hogy az osztót 10-zé, 100-zá stb. bővíted! (Például: A 3 : 2 esetében az osztót és az osztandót megszorozzuk 5-tel: 15 : 10-et kapunk. A tizedesveszszőt eggyel balra mozgatva megkapjuk az 1,5-et.) a) 5 : 2; b) 12 : 5; c) 0,45 : 5; d) 0,7 : 2; e) 4 : 25; f) 1 : 4; g) 0,37 : 50; h) 17 : 20. Megoldás: a) b) c) d) e) f) g) h)
5 : 2 = 25 : 10 = 2,5; 12 : 5 = 24 : 10 = 2,4; 0,45 : 5 = 0,9 : 10 = 0,09; 0,7 : 2 = 3,5 : 10 = 0,35; 4 : 25 = 16 : 100 = 0,16; 1 : 4 = 25 : 100 = 0,25; 0,37 : 50 = 0,74 : 100 = 0,0074; 17 : 20 = 85 : 100 = 0,85.
ͱʹ
KÖZÖNSÉGES TÖRTEK TIZEDES TÖRT ALAKJA
12.
Feladatok 1
Írd fel a törteket tizedes tört alakban! 1 1 1 1 b) ; c) ; d) ; a) ; 4 8 16 2
e)
1 ; 32
f)
3 ; 15
g)
33 ; 55
h) 3
3 . 40
Megoldás: a) 0,5;
b) 0,25;
c) 0,125;
d) 0,0625; e) 0,03125;
Írd fel a törteket tizedes tört alakban! 2 8 20 1 b) ; c) ; d) ; a) ; 9 9 9 9
f) 0,2;
g) 0,6;
h) 3,075.
2
Megoldás: ∙ ∙ ∙ a) 0,1 ; b) 0,2; c) 0,8 ; ∙ ∙ ∙ ∙ g) 0,428571; h) 0,571428.
∙ d) 2,2;
e)
2 ; 3
f)
∙ e) 0,6 ;
2 ; 7
g)
3 ; 7
h)
4 . 7
∙ ∙ f) 0,285714;
3 Alakítsd át a tizedes törteket közönséges törtté! Ahol lehet, egyszerűsíts! a) 0,2; b) 0,5; c) 0,8; d) 0,25; e) 0,35; f) 0,45; g) 0,75; h) 1,2; i) 1,25; j) 4,5. Megoldás: 2 1 5 1 = ; b) = ; a) 10 5 10 2 45 9 75 3 = ; g) = ; f) 100 20 100 4
8 = 10 12 h) = 10 c)
4 ; 5 6 ; 5
25 = 100 125 i) = 100 d)
1 ; 4 5 ; 4
35 7 = ; 100 20 45 9 j) = . 10 2 e)
4 1 a) Mi lesz tizedes tört alakjában a tizedesvessző utáni 12. számjegy? 49 1 tizedes tört alakjában a tizedesvessző utáni 10. számjegy? b) Mi lesz 81 Megoldás: 1 = 0,0204081632653…, a 12. tizedesjegy az 5. a) 49 1 = 0,012345679012345…, a 10. tizedesjegy a 0. b) 81 5 Folytasd a 0,101101110 szám tizedes jegyeit úgy, hogy a kapott szám a) végtelen szakaszos tizedes tört legyen; b) végtelen legyen, de ne legyen benne szakasz! Megoldás: ∙ ∙ ∙∙ a) Sok lehetőség van: Pl. 0,101101110, vagy 0,101101110 stb.; b) 0,101101110111101111101111110… írjunk mindig eggyel több 1-est a következő nulla mögé.
ͱ͵
13.
ÖSSZEFOGLALÁS
Feladatok 1 Az itt látható csempék a) hányad része piros; b) hányad része sárga? Megoldás: Az ábrákat balról jobbra tekintve: 6 1 13 3 1 = , , = része piros. a) Az ábrák 18 3 25 12 4 12 2 12 9 3 = , , = része piros. b) Az ábrák 18 3 25 12 4 2
Bővítsd a törteket 2-vel, 10-zel, 7-tel! 3 91 1 b) ; c) ; a) ; 10 7 2
d)
1 ; 140
Megoldás: 1 2 10 7 3 6 30 21 a) = = = ; b) = = = ; 2 4 20 14 10 20 100 70 1 2 10 7 5 10 50 35 = = = ; e) = = = . d) 140 280 1400 980 34 68 340 238 Egyszerüsítsd a törteket! 972 2014 1024 ; b) ; c) ; a) 45 19 32
e)
5 . 34
c)
91 182 910 637 = = = ; 7 14 70 49
e)
214 . 215
3
d)
2014 ; 106
Megoldás: a) 32;
b)
108 ; 5
c) 106;
d) 19;
e)
214 . 215
4
Végezd el a műveleteket! 3 3 3 9 11 12 12 11 10 1 ; d) ; e) . a) - ; c) + + ; b) 45 9 19 57 12 13 13 12 32 2 Megoldás: 10 16 26 13 a) + = = ; 32 32 32 16 11 12 143 144 287 + = + = ; d) 12 13 156 156 156 Végezd el a műveleteket! 19 3 11 a) $ 225 ; c) $ 361 ; $ 1024 ; b) 45 19 32
3 15 12 4 – =– =– ; 45 45 45 15 12 11 144 143 1 e) – = – = . 13 12 156 156 156
b)
5
d)
11 $ 168 ; 12
e)
19 $ 11 . 121
Megoldás: 11 264 4275 1083 1848 209 19 a) = 352; b) = 95; c) = 57; d) = 154; e) = . 32 45 19 12 121 11
Ͳͬ
c)
3 9 0 – = = 0; 19 57 57
ÖSSZEFOGLALÁS Végezd el a műveleteket! 45 1024 168 1024 c) a) :5 ; :11 ; d) : 24 ; :32 ; b) 19 11 7 11
13.
6
e)
43 : 23 . 13
Megoldás: Vagy a számlálót osztjuk, vagy a nevezőt szorozzuk az osztóval. a)
32 9 1024 7 43 ; b) ; c) ; d) = 1; e) . 11 19 121 7 299
7 Egy híd alatt haladó út mellett az itt látható KRESZ tábla van kirakva. Mit jelent a tábla? Átmehet-e a híd alatt a kamion, ha a platója 1,6 méter magasan van és 2,35 méter magas kisgépeket szállít? Megoldás: 1,6 + 2,35 = 3,95 méter > 3,8 méter. Nem fér át a híd alatt. 8 Anya telefonjának a memóriája 8 GB (gigabyte). Ebből a telefon működéséhez szükséges program 1,13 GB-ot foglal, a letöltött programok 3,18 GB-ot, a zenék pedig 1,89 GB-ot. Hány GB szabad hely van anya telefonjának a memóriájában? Megoldás: A maradék memória 8 GB – 1,13 GB – 3,18 GB – 1,89 GB = 1,8 GB. 9 Keress az irodalomkönyvedben egy olyan részt, ahol 5 szövegsor követi egymást! Mérd meg a vonalzóddal, hány milliméter magas ez az 5 sor! Milyen távol van két egymás utáni sor alja? Ismételd meg a mérést, és a számítást 10 egymás utáni sorral! Megoldás: Egyéni megoldások. 10
Angol font (GBP)
Euro (EUR)
Svájci Frank (CHF)
Amerikai dollár (USD)
371,83
303,58
248,79
221,17
Egy kisvállalkozó forinttal akar izetni az interneten, és a bank pénzváltási oldalán a táblázatban látható értékeket találta. Egyéb költség nincs. Hány forintba kerül, ha a) 100 euró értékben vásárol; b) 120 angol fontért vásárol; c) 210 amerikai dollárért vásárol; d) 49 svájci frankért vásárol? Megoldás: a) 100 ∙ 303,58 = 30 358 Ft-ba; b) 120 ∙ 371,83 = 44 619,6 Ft-ba; c) 210 ∙ 221,17 = 46 445,7 Ft-ba; d) 49 ∙ 248,79 = 12 190,71 Ft-ba. A ki izetésnél persze igyelembe veszik az 5 forintra kerekítés szabályát.
Ͳͭ
13.
ÖSSZEFOGLALÁS
11 Apa a nyaraláshoz forintot vált át a 10. feladatban látható árfolyamon. Egyéb költség nincs. Mennyi a) angol fontot; b) eurót; c) svájci frankot; d) amerikai dollárt; kapna 60 000 Ft-ért? Megoldás: 60 000 a) = 161,36… GBP-ot; 371,83 60 000 b) = 197,64… EUR-t; 303,58 60 000 c) = 241,167… CHF-ot; 248,79 60 000 d) = 271,2845… USD-t kapna 60 000 Ft-ért. 221,17 12 Anyuék lakáshitele még 12 000 svájci frank. Mekkora összeg ez forintban? Ha 7 évvel ezelőtt csak 140,23 forint volt 1 svájci frank, akkor 12 000 svájci frank hány forintot ért 7 éve? Megoldás: Jelen idejű érték: 12 000 ∙ 248,79 = 2 985 480 Ft; 7 évvel ezelőtti érték: 12 000 ∙ 140,23 = 1 682 760 Ft. 13
Alakítsd át tizedes törtté a törteket! 32 121 124 43 a) ; b) ; c) ; d) ; 1024 1331 8 26
Megoldás: ∙∙ ∙ ∙ a) 0,03125; b) 0,09; c) 15,5; d) 1,6538461; e) 28,6.
Ͳͮ
e)
2145 . 75
– Emlékszel, amikor még a Jupiternél jártunk? – fordult Gerzson Bertához. – Akkor voltunk legtávolabb otthonról. Úgy körülbelül ötször messzebb a Naptól, mint a Földön. – Vagyis öt csillagászati egységre – kotyogott közbe Okoska. – Mondhattam volna én is, de nem akartam hasonlítani rád. A másik nem zavartatta magát: – Tudjátok, egy csillagászati egység az a körülbelüli Nap–Föld távolság, és a Jupiter ötször van messzebb a Földnél. Hm, várjatok, megnézem a hajó wikikompján. – Önelégült mosoly terült el az arcán. – Jól mondtam! A Jupiter körülbelül 780 000 000 kilométerre van a Naptól, a Föld pedig kb. 150 000 000 kilométerre, az annyi mint … 5,2-szeres távolság. – Tudod ugyanezt fénypercekben is? – kérdezte huncut mosollyal Berta, de Okoska nem vette a lapot. – Hát persze. A fény 300 000 kilométert tesz meg 1 másodperc alatt, úgyhogy, … ha jól számolom, 780 000 000 = 2600 másodperc, vagyis 43,33 perc kell a fénynek, amíg elér a Naptól a Jupiterig. 300 000 Mire Okoska felnézett a képernyőről, Gerzson és Berta már odébbálltak, és ez elég volt ahhoz, hogy fényévekre érezzék magukat.
1.
A HOSSZÚSÁG MÉRÉSE
Feladatok 1 Párosával beszéljétek meg, és gyűjtsetek olyan távolságokat, amiket kilométer, méter, centiméter, milliméter pontossággal adnátok meg! Megoldás: Néhány példa: kilométerben a repülőút hosszát, az autó által megtett út hosszát mérjük. Méterben adjuk meg egy épület magasságát, úszómedence hosszát, lőtávolságot, alagutak hosszát. Centiméter pontossággal az emberek magasságát, ruha hosszát, pizza méretét, folyó vízállását mérjük. Milliméter pontosságot a leesett csapadék mérésénél, építészeti tervezéseknél, nagy pontosságot igénylő tervezéseknél használunk. Természetesen minden, a gyerekek által gyűjtött, említett helyes példa jó lehet. Ezek ellenőrzése, megbeszélése tanári feladat. 2 Először becsüld meg, majd mérd meg a matematikakönyved szélességét, magasságát és vastagságát milliméter pontossággal! Hány millimétert tévedtél az egyes becsléseknél? Megoldás: Szélessége: 205 mm, magassága: 275 mm, vastagsága: 10 mm. Kivonással mindenki megkaphatja ezekhez képest a becslései eltérését. 3 Az iskolaudvar szélességéről megállapították, hogy 25 m-nél nagyobb, de 26 m-nél kisebb. Írjuk le ezt a megállapítást matematikai jelekkel! Ha ez a szélesség közelebb van a 25 m-hez, akkor ezt hogyan jegyezhetjük le rövid jelöléssel? Megoldás: Legyen az iskolaudvar szélessége x.
(
)
1 a helyes matematikai jelölések. (Ez utóbbi 2 esetben mondhatjuk, hogy az udvar szélessége kb. 25 méter.)
Ekkor 25 < x < 26, illetve 25 < x < 25,5 vagy 25 és fél vagy 25
4 Péter pohara majdnem 2 dm magas, Pál pohara milliméter pontossággal 210 mm. Mennyivel lehet Pál pohara magasabb, mint Péteré? Megoldás: 2 dm = 200 mm, ezért Pál pohara biztosan legalább 210 – 200 = 10 milliméterrel magasabb Péter poharánál.
ͲͰ
A HOSSZÚSÁG MÉRÉSE
1.
5 Gyűjtsd össze, hogy a futók milyen távokat futnak az atlétikaversenyeken! Melyik mértékegységet használjuk ezek megadásakor? Megoldás: Ezen távok megadásánál a méter mértékegységet használjuk. A szabadtéri síkfutás versenyszámok a következők: • Rövidtáv: 100 m, 200 m, 400 m; • Középtáv: 800 m, 1500 m; • Hosszútáv: 5000 m, 10 000 m, maratoni táv, ami 42 195 m (kerekítve 42,2 km); • Váltófutás: 4 × 100 m, 4 × 400 m. Gátfutó számok még a 110 m (nőknél 100 m), a 400 m és a 3000 méteres akadályfutás. 6 Keressetek olyan távolságokat, amelyek a) nem hosszabbak, mint 3 láb; b) 1 hüvelyknél hosszabbak, de 1 lépésnél nem! Megoldás: A tankönyvi szemléltető ábra alapján, vagy más forrásból utána járhatunk, hogy 1 hüvelyk = 2,54 cm, 1 láb ≈ 0,3 m, 1 lépés ≈ 76 cm. Természetesen a testrészekkel kifejezett mértékegységek nagyon sok esetben csak közelítő értékek. a) 3 láb körülbelül 100 cm, ennél kisebb távolságok: fejméret, cipőméret, újszülött hossza, széklábak távolsága, palacsinta átmérője stb. b) Vagyis 2,54 cm-nél hosszabb, de kb. 76 cm-nél nem hosszabb távolságokat kell megadni. Ilyen távolságok: ceruza, tolltartó, füzet, hajpánt, karkötő, útlevél, igazolvány, távirányító stb. 7 Az iskolai focicsapatban Zsolt 26 m-re tudja elrúgni a labdát, Gedeon 29 m-re, Viktória pedig 27 m-re. Az Angliából áttelepült Jack azt mondja, hogy ő 30 yardra tudja elrúgni a labdát. Sorba állítottuk a gyerekeket a szerint, hogy ki milyen messze tudja rúgni a labdát. Melyik a helyes sorrend? (1 yard körülbelül 91,5 cm) a) Zsolt < Viktória < Gedeon < Jack; b) Jack > Gedeon > Viktória < Zsolt; c) Zsolt < Viktória < Jack < Gedeon; d) Viktória < Zsolt < Gedeon < Jack. Megoldás: Jack rúgásának hossza: 30 yard = 30 ⋅ 91,5 cm = 2745 cm = 27,45. Ezek alapján Zsolt rúgja a legkisebbet, utána jön Viktória, Jack, végül Gedeon rúgja legmesszebbre a labdát. A helyes válasz a c).
Ͳͱ
2.
TESTEK TÖMEGÉNEK MÉRÉSE
Feladatok 1 Járj utána, hogy a következő hétköznapi helyzetekben melyik mértékegységet használjuk a tömeg mérésére: a) poggyász, repülőgépre való
c) ékszer;
felszálláskor; b) egy híd teherbírása;
d) egy gombóc fagyi!
Megoldás: a) b) c) d)
kilogramm; tonna; gramm; dekagramm.
2 Válaszd ki az alábbi mondatok közül azokat, amelyek helyesek, elhangozhattak egy beszélgetés során! Amelyik szerinted lehetetlen, azt javítsd ki, fogalmazd át úgy, hogy hihető legyen! a) Örömmel tudatjuk, hogy 3530 g-mal és 53 cm-rel megszületett kislányunk, Anna. b) 23 dkg lett a felvágott. Maradhat? Nem, hazavinném. c) A daru maximális teherbírása 1 kg. d) Megmértem magam a mérlegen, 43 dkg vagyok. e) Vettem 2 kg faanyagot a kerti szerszámoskamra megépítéséhez, de nem tudom hazavinni, mert nem bírom el. Megoldás: a) Helyes. b) A tömeg helyes. Sok más országban a húsáruk tömegét grammban adják meg. Viccként elhangozhat! A gyakoribb válaszok: „Igen, maradhat.”, illetve „Nem, inkább pontosan kérem.” c) A daru maximális teherbírása 1 tonna. d) Megmértem magam a mérlegen, 43 kg vagyok. e) Vettem 2 mázsa (200 kg) faanyagot a kerti szerszámoskamra megépítéséhez, de nem tudom hazavinni, mert nem bírom el. 3 Szeleburdiék egy ház ötödik emeletén laknak. A hétvégi nagybevásárlásról hazaérkezve a lift előtt tanakodnak, mert annak ajtaján a következő szöveg olvasható: Maximum 300 kg (4 fő) szállítására alkalmas. Tudjuk, hogy a gyerekek 25 kg és 36 kg, az anyuka 60 kg, az apuka 75 kg tömegű. A csomagjaik tömegét nem ismerik. Mit tanácsolsz nekik? Beszállhatnak-e egyszerre az összes csomagjukkal a liftbe? Megoldás: A családtagok együttes tömege 25 + 36 + 60 + 75 = 196 kg. A csomagjaik együttes tömege nem valószínű, hogy meghaladja a fennmaradó 104 kilogrammot, hiszen ez azt jelentené, hogy egyenként 26 kg tömegű csomagot cipelnek. Azt tanácsoljuk nekik, hogy nyugodtan szálljanak be egyszerre a liftbe.
ͲͲ
AZ IDŐ MÉRÉSE
3.
Feladatok 1 Az ábra segítségével válaszolj a kérdésekre! Nyitva tartás Hétfő–Péntek 8:00 – 19:30 Szombat 9:00 – 15:30 Vasárnap Zárva Ebédszünet 12:00 – 12:30 a) Összesen mennyi ideig van nyitva a bolt egy héten? n még a vásárlásra? b) Este hét óra után hét perccel léptünk be a boltba. Hány percünk van c) A boltban két eladó dolgozik. Úgy osztották be a napokat, hogy az egyik hétfőn, szerdán és pénteken van a boltban, a másik kedden, csütörtökön és szombaton. Hetenként cserélnek, hogy igazságos legyen a beosztás. Hány órát dolgozik a két eladó hetente? d) Zénó szerdán 12:26-kor zárva találja a boltot. Zénó nem nézi meg a nyitva tartásról szóló táblát, ezért távozni akar. Te mit tanácsolnál neki? Megoldás: a) Ha a nyitva tartási időből levonjuk a fél óra ebédszünetet, akkor hétköznap 11, szombaton pedig 6 óra hosszan van nyitva a bolt. Ez összesen 5 ∙ 11 + 6 = 61 óra nyitva tartási idő hetente. b) A bolt még 23 percig nyitva van, ennyi időnk maradt a vásárlásra. c) Az az eladó, aki hétfőn, szerdán és pénteken van a boltban, heti 3∙11=33 órát dolgozik, a másik, aki kedden, csütörtökön és szombaton megy be, 2 ∙ 11 + 6 = 28 órát dolgozik a héten. d) Zénónak érdemes lenne 4 percet várakoznia, mert akkor nyit ki a bolt az ebédszünet után. 2 a) c) e) g)
Milyen időmértékegységben adnád meg a választ a következő kérdésekre? Mennyi idős vagy? b) Mi a 100 méteres síkfutás világrekordja? Ne haragudj, hogy késtem. Mennyit vártál rám? d) Mennyi egy tíz éves gyerek napi alvásigénye? Meddig bírod ki a víz alatt egy levegővétellel? f) Mennyi idő alatt olvastad el a könyvet? Mennyi idő alatt gyorsul az autód 100 km/h-ra? h) Mennyi idő telik el két telihold közt?
Megoldás: a) b) c) d) e) f) g) h)
11 éves. 9,63 másodperc. 10 percet. 9 óra. 17 másodpercig. 1 hét alatt. 13 másodperc alatt. 29 nap.
Ͳͳ
3.
AZ IDŐ MÉRÉSE
3 Váltsd át a következő mondatokban szereplő időtartamot olyan mértékegységre, ami jobban illik a szövegkörnyezetbe! a) A tűzoltóság 300 másodpercen belül a helyszínre ért. b) Ez a kisbaba 35 napos. c) Fáradt vagyok, mert éjjel csak 300 percet aludtam. d) Ha lágytojást szeretnél készíteni, akkor a tojást 180 másodpercre kell a forrásban lévő vízbe tenned. Megoldás: a) b) c) d)
A tűzoltóság 5 percen belül a helyszínre ért. Ez a kisbaba 5 hetes. Fáradt vagyok, mert éjjel csak 5 órát aludtam. Ha lágytojást szeretnél készíteni, akkor a tojást 3 percre kell a forrásban lévő vízbe tenned.
Ͳʹ
ÖSSZEFOGLALÁSA
4.
Feladatok 1 Erős Pista otthon súlyzózik. Súlyzójának rúdja 3 kg. 40 dekagrammos, 75 dekagrammos, 1250 grammos és 230 dekagrammos fémtárcsái vannak. Mindegyikből kétkét darab. a) Mekkora a legnagyobb súly, amivel dolgozhat, ha a rúd mindkét végére három tárcsa fér rá? b) Melyik tárcsákat szerelje fel a rúdra, ha 7 kilogrammal szeretne edzeni? c) Mekkora az eltérés a legkönnyebb és a legnehezebb összeállítás között? Megoldás: Váltsunk át mindent kilogrammra: 40 dkg = 0,4 kg, 75 dkg = 0,75 kg, 1250 g = 1,25 kg, 230 dkg = 2,3 kg. a) A négyféle súly közül a három nehezebbet kell feltennie a súlyzójára. Így legfeljebb 3 + 2∙(2,3 + 1,25 + 0,75) = 11,6 kg súllyal dolgozhat. b) A rúd 3 kg tömegű, ezért a tárcsákat úgy kell választani, hogy összesen 4 kilogrammot nyomjanak. Mivel 2 ∙ (1,25 + 0,75) = 4, ezért a 0,75 kg és az 1,25 kg tömegű tárcsákat kell felszerelni a rúdra. c) A legnehezebb összeállítást már tudjuk, hogy 11,6 kg. A legkönnyebb összeállítás pedig az lesz, ha a rúdra nem tesz tárcsákat. Ez 3 kg. A két összeállítás tömegének eltérése: 11,6 – 3 = 8,6 kg. 2 Bendegúz „vágja a centit”, azaz úgy várja a nyári vakációt, hogy minden nap levág a mérőszalagjából egy 1 centiméteres darabot. Úgy kezdte a vágást, hogy pont az utolsó tanítási napra fogyjon el a szalag. Milyen hosszú volt a szalag, ha már 4 hete és 6 napja vágja a centiket, és még 3 hét, 2 nap, és további 18 cm hátra van? Megoldás: A feladat szövege alapján 1 nap = 1 cm, a megadott időtartamok és hosszúságok összege: 4 ∙ 7 + 6 + 3 ∙ 7 + 2 + 18 = 75. Vagyis 75 cm hosszú volt a szalag. 3 A mozdony 50 tonna terhet bír elhúzni. Hány darab vagonnal indítható el az ábrán látható mozdony? A vagonoknak nem tudjuk megváltoztatni a sorrendjét.
Megoldás: A vagonok összteherbírása tonnában számolva 34 + 4,5 + 3,5 + 7 = 49 tonna, ezért a mozdony négy vagonnal is elindítható.
Ͳ͵
4. 4
ÖSSZEFOGLALÁSA
Hogyan lehet egy 3 és egy 5 perces homokórával pontosan 4 percet mérni?
Megoldás: Ha egyszerre indítjuk el a két homokórát, akkor a 3 perces lejártakor az 5 percesből még 2 percnyi van hátra. Ekkor fordítsuk meg a 3 perceset, amelyben az 5 perces lejártakor 1 perc marad. Az 5 perces megfordításakor ez az 1 perc eltelik, s onnantól, hogy a 3 perces másodszorra is kiürült, az 5 perces homokóra lejártáig pontosan 4 perc telik el. 3 perc
5 perc
3 perc
4 perc
5 perc
5 A néptáncegyüttes szabója pántlikának való szalagot vesz a lányok hajába. A 20 lány közül 14 egy cop ba, 6 két cop ba fonja a haját, egy cop ba 120 cm hosszú szalag kell. A boltban csak méterre kerekítve lehet vásárolni. Mennyi szalagot vegyen a szabó? Megoldás: A pántlikákhoz (14 + 6 ∙ 2) ∙ 120 = 26 ∙ 120 = 3120 cm = 31,2 m szalag szükséges, ezek elkészítéséhez a boltban a szabó 32 m szalagot kell kérjen.
ͳͬ
„Az Europe szinte tökéletes gömbnek látszott, miközben leereszkedtünk. A legjobban az tetszett, hogy amikor korcsolyáztunk, akkorákat tudtam ugrani, amekkorát otthon soha.” – írta Gazsi a számítógépébe, aztán a mentés gombra bökött, eltüntette a képernyőről a billentyűzetet, és fejére tette a holosisakot, hogy ismét átvágja magát a gonosz Zog csillagközi lottáján. A játék elején körpályán kellett várakoznia a Hold körül, majd adott jelre egyenes vonalban minél nagyobb sebességre gyorsítania. Aztán már csak az ügyességén múlt, hogyan tudja lerázni a hipertérből előbukkanó Zog- lottát. Gömb alakban fogták körül az ellenséges hajók. Gyorsan a déli pólus felé kanyarodott, és amikor követni kezdték, hirtelen észak felé fordult. Hiperűrsebességre kapcsolt és a Zog-armada belegabalyodott a mögötte keletkező miniatűr fekete lyuk peremébe. A megmaradt pár hajót már könnyűszerrel hagyta maga mögött. Elégedetten állította meg a szeme előtt lebegő holoképet. 90 000 984 pontja lett és ezzel sikerült rekordot döntenie a kilencedik szinten. Nekigyürkőzött volna a tizediknek is – amin már kétszer elbukott –, de Attila megpróbálta félretolni. – Bocs, muszáj használnom a nagy wikikompot. Nem emlékszem, milyen sorrendben jártunk a Jupiter holdjain. Gazsit azonban nem volt könnyű kimozdítani a helyéből, ha játékról volt szó. Kicsit elmélázott, aztán sorolta. – Kívülről befelé haladtunk, úgyhogy Kallisztó, Ganümédész, Európe, Ió volt a sorrend. És hagyjál játszani, ez az én harminc percem. – Azzal a második szintre lépett az Attila elleni, és a tizedik szintre a zogok elleni harcban.
1.
TÁRGYAK CSOPORTOSÍTÁSA
Feladatok 1 Csoportosítsd a következő tárgyakat: tányér, kés, pohár, kanál, csésze, villa! Milyen szempont alapján alakítottad ki a csoportokat? Megoldás: Néhány példa a csoportosításra: – evőeszköz: kés, kanál, villa – nem evőeszköz: tányér, pohár, csésze. – folyadék tartására alkalmas: kanál, tányér, pohár, csésze – nem alkalmas: kés, villa. – „r” betűre végződő: tányér, pohár – nem „r” betűre végződő: kés, kanál, csésze, villa. 2 Gondolj a következő járművekre: motorkerékpár, hajó, személygépkocsi, kerékpár, autóbusz, roller, csónak, teherautó! a) Rendezd őket két csoportba! b) Rendezd őket három csoportba! Milyen tulajdonság alapján alakítottad ki a csoportokat? Megoldás: (Természetesen más megoldások is elképzelhetőek.) a) Vízi járművek: hajó, csónak. Szárazföldi járművek: motorkerékpár, személygépkocsi, kerékpár, autóbusz, roller, teherautó. b) Kerék nélküli járművek: hajó, csónak. Kétkerekű járművek: motorkerékpár, kerékpár, roller. Négykerekű járművek: személygépkocsi, autóbusz, teherautó. 3 Felsorolunk néhány tárgyat: labda, dobókocka, írólap, üveggolyó, radír, emeletes ház, buszjegy, Hold, nápolyiszelet, lepedő, kártyalap, narancs, könyv. Csoportosítsd őket a következő szempontok alapján: térbeliek, szögletesek, laposak, gömbölyűek! Egy tárgy több helyen is szerepelhet. Megoldás: Térbeliek: labda, dobókocka, üveggolyó, radír, emeletes ház, Hold, nápolyi szelet, narancs, könyv. Szögletesek: dobókocka, írólap, radír, emeletes ház, buszjegy, nápolyi szelet, lepedő, kártyalap. Laposak: írólap, buszjegy, lepedő, kártyalap. Gömbölyűek: labda, üveggolyó, Hold, narancs. Megjegyzés: Érdemes megbeszélni, hogy az írólap, a buszjegy, a lepedő, a kártyalap is tekinthető térbelinek, hiszen van vastagságuk, de ezek olyan vékonyak, hogy emiatt elfogadható, ha csak a laposaknál szerepeltetjük őket.
ͳͮ
TÁRGYAK CSOPORTOSÍTÁSA
1.
4 Európa térképéről a következő városokat választottuk: Budapest, Róma, Miskolc, Lisszabon, Varsó, Pozsony, Krakkó, Hamburg. Hogyan csoportosítanád ezeket a városokat? Nézd meg a térképen, hol vannak ezek a városok! Megoldás: Lehetséges csoportosítások: Magyarországi városok: Budapest, Miskolc. Nem magyarországi városok: Róma, Lisszabon, Varsó, Pozsony, Krakkó, Hamburg. Vagy: Fővárosok: Budapest, Róma, Lisszabon, Varsó, Pozsony. Nem fővárosok: Miskolc, Krakkó, Hamburg.
5 Két csoportot alakítottunk ki. Rajzold le a füzetedbe ezeket a tárgyakat! Egyik csoport: gyufás doboz, dobókocka, kockacukor. Másik csoport: gyűrű, műanyag kupak, fazék. Milyen geometria tulajdonság alapján végezhettük ezt a csoportosítást? Megoldás: Az első csoportban szögletes, a másodikban nem szögletes tárgyak vannak.
ͳͯ
2.
TEST, FELÜLET, VONAL, PONT
Feladatok 1 Mit szemléltethetünk a következő tárgyakkal: testet, felületet, vonalat, pontot? Ceruza, a füzet egyik lapja, egy babszem, egy porszem, az alma héja, a papírlapra rajzolt írott L betű. Megoldás: • • • • • •
ceruza: testet, a füzet egyik lapja: felületet, egy babszem: testet, egy porszem: pontot, az alma héja: felületet, a papírlapra rajzolt írott L betű: vonalat.
2 a) b) c)
Rajzolj egy virágot a füzetedbe! Rajzod csak görbe vonalakból álljon. Rajzod csak egyenes vonalakból álljon. Rajzod tartalmazzon egyenes és görbe vonalakat egyaránt.
Megoldás: b)
a)
c)
3 Rajzolj öt pontot úgy, hogy a) egy egyenesen legyenek; b) semelyik három ne legyen egy egyenesen! Megoldás: b)
a)
4
Sorolj fel olyan testeket, amelyeknek síklapjai és görbe lapjai is vannak!
Megoldás: Ilyen például a bögre, az óra, a sajt, a tortaszelet, a serpenyő, a lábos stb.
ͳͰ
TEST, FELÜLET, VONAL, PONT
2.
5 Rajzoltunk a síkra három pontot: PQ = 7 cm, QR = 4 cm. Vitassátok meg, hogy mekkora lehet a PR szakasz hossza! Megoldás:
1. ábra
2. ábra
A PR távolság legfeljebb 7 + 4 = 11 cm (1. ábra) és legalább 7 – 4 = 3 cm (2. ábra). A két érték között PR szakasz hossza bármekkora lehet. 6
Az ábrán lemérheted, hogy AB = 2 cm, BC = 3 cm, CD = 4 cm. A
B
C
D
Rakd hosszuk szerinti növekedő sorrendbe a következő szakaszokat: AC, AB, CD, AD, BD, BC! Megoldás: AC = 5 cm, AB = 2 cm, CD = 4 cm, AD = 9 cm, BD = 7 cm, BC = 3 cm. A helyes sorrend: AB < BC < CD < AC < BD < AD.
ͳͱ
3.
TESTEK ÉPÍTÉSE
Feladatok 1 Készíts különböző testeket két egyforma gyufásdobozból! Két lap fedje egymást az összeillesztésnél. Hány különböző testet tudtál készíteni? Megoldás: Háromféle különböző test építhető össze két gyufásdobozból.
2 Rajzold le a füzetedbe a fényképen látható doboz élvázát, és nevezd el a csúcsokat! a) Sorold fel a test éleit! Használd a két nagybetűs megadási módot! b) Sorold fel a test lapjait! Sorolj fel négy nagybetűt egy lap megadásakor! Megoldás:
a) AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, DH. b) ABCD, EFGH, ADHE, BCGF, ABFE, CDHG. 3 Képzeld el azt a testet, amelyet az ábrán látható ötszögből és háromszögből készítenél! Rajzold le a test élvázát, ha egy darab ötszöget és öt darab háromszöget használnál fel! Megoldás:
ͳͲ
TESTEK ÉPÍTÉSE
3.
4 Milyen test élvázát tudnád elkészíteni (összeragasztani) 12 darab gyufaszálból? Gondolkodj több megoldáson is! Megoldás: Két lehetőséget mutatunk:
5
E
Sorold fel az ábrán látható test éleit!
D
Megoldás: A képen látható test élei: AB, BC, CD, DA, AE, DE, BF, CF, EF. 6
F
A
C B
a) El tudsz képzelni olyan testet, amelyet négy síklap határol? b) El tudsz képzelni olyan testet, amelyet három síklap határol?
Megoldás: a) Igen, például:
b) Ilyen test nem létezik. Egy lapnak minimum háromszögnek kell lenni, és ha ennek éleire még egy-egy lap csatlakozik, akkor minimum 4 lap keletkezik.
ͳͳ
4.
TESTEK SZEMLÉLTETÉSE
Feladatok 1 A képen látható testet másold le a füzetedbe, és illessz rá egy másik testet! A rajzod legyen olyan hatású, mintha egy házikót ábrázoltál volna. Tervezz ilyen módon többféle háztetőt! Rajzold be a nem látható éleket is! Megoldás: Néhány lehetőség:
2
Egy testnek 6 csúcsa van, és csak síklapok határolják. Rajzolj ilyet, ha tudsz, akkor többfélét is!
Megoldás:
3
Egy testnek 9 éle van, és csak síklapok határolják. Rajzolj ilyet, ha tudsz, akkor többfélét is!
Megoldás:
4
Sok más test is lehetséges.
Sok más test is lehetséges.
Egy testnek 10 lapja van, és csak síklapok határolják. Rajzolj ilyet, ha tudsz, akkor többfélét is!
Megoldás:
ͳʹ
Sok más test is lehetséges.
TESTEK SZEMLÉLTETÉSE
4.
5 Rajzolj két különböző testet, amelyeknek van két egyforma oldallapjuk! Az egyforma lapok mentén illeszd össze őket! Ábrázold a kapott testet! Megoldás:
Sok más test is lehetséges.
ͳ͵
5.
TESTEK GEOMETRIAI JELLEMZŐI
Feladatok 1
Adj meg néhány élt, lapátlót és testátlót a képen látható testről!
I
J
Megoldás:
H
F
• élek: AB, BC, CD, DE, EA, FG, GH, HI, IJ, JF, AF, BG, CH, DI, EJ. • lapátlók: AC, AD, BD, BE, CE, FH, FI, GI, GJ, HJ, AG, BH, CI, DJ, EF, AJ, BF, CG, DH, EI. • testátlók: AH, AI, BI, BJ, CF, CJ, DF, DG, EG, EH.
G
D
E
C
A B
2 A következő állítások síklapokkal határolt testekre vonatkoznak. Döntsd el, hogy igazak-e ezek az állítások! a) Van lapátlója. b) Van testátlója. c) Lehet, hogy lapátlója és testátlója sincs. d) Ha nincs lapátlója, akkor testátlója sem lehet. e) Ha van lapátlója, akkor testátlója is van. 1. ábra
Megoldás: a) b) c) d) e)
Hamis. Az 1. ábrán látható testnek nincsen lapátlója. Hamis. Az 1. ábrán látható testnek nincsen testátlója. Igaz, például az 1. ábrán látható testre. Hamis. Például a 2. ábrán látható testnek nincs lapátlója, de van testátlója. Hamis. Például a 3. ábrán látható testnek van lapátlója, de nincs testátlója.
3 Rajzolj olyan testet, amelynek a) van lapátlója, de nincs testátlója; c) nincs lapátlója, és nincs testátlója sem;
3. ábra
b) nincs lapátlója, de van testátlója; d) van lapátlója, és van testátlója is!
Megoldás: a)
b)
c)
d)
ʹͬ
2. ábra
TESTEK GEOMETRIAI JELLEMZŐI 4
5.
Mérd meg egy doboz éleinek, lapátlóinak hosszát! A kapott értékeket jegyezd le a füzetedbe!
Megoldás: Kérdezzük meg, ki milyen adatokat mért? Fel is írhatják a gyerekek a táblára. Érdemes a kapott adatokat összehasonlítani, megvizsgálni. A lapátló hosszabb lesz, mint az adott lap élei. 5 Vágj szét egy kockát (például egy kockára vágott radírt) egyik éle és egyik lapjának felezővonala mentén, az ábrán látható módon! Hány csúcsa, éle, lapja van a keletkezett testeknek? Megoldás: Két test keletkezett, az egyiknek van háromszög lapja, a másikat továbbra is négyszögek határolják. Az élek, lapok és csúcsok számát a következő táblázat tartalmazza. a kisebb test
a nagyobb test
csúcs
6
8
él
9
12
lap
5
6
6 Rajzolj a füzetedbe egy kockahálót, és minden lapját oszd fel 3 ⋅ 3 kisebb négyzetre! Színezd a 3-szor 3-as kocka hálózatát fekete-fehérre úgy, hogy összeillesztés után a kocka lapjai sakktáblaszerű színezésűek legyenek! A sarkokban mindenütt fekete szín legyen! (Egy kiskocka teljesen fehér vagy teljesen fekete.) Ezt a nagy kockát 27 darab kiskockából megépíthetnéd. a) Legkevesebb hány fekete kockára lenne szükséged? b) Legfeljebb hány fekete kockád lehet? c) Ha belül is ragaszkodsz a sakktáblaszerű illeszkedéshez, akkor a különféle színű kiskockából hány darabra lesz szükséged? Megoldás: A helyes színezés: (ábra) a) A kocka sarkai feketék, ez 8 kiskockát jelent, a lapok közepén is van 1-1 fekete kiskocka, összesen 6 darab. Mivel a kocka közepén lévő kiskocka nem látszódik, ezért az lehet fehér is. Tehát legkevesebb 8 + 6 = 14 fekete kockára lenne szükségünk. b) A fehér kockákból minden él mentén egy darab van, azaz összesen 12 darab. A kockák száma összesen 27. Tehát legfeljebb 27 – 12 = 15 fekete kockánk lehet. Másik megoldás: Az a) feladatban felsorolt 14 kockán kívül legfeljebb a nagykocka középső kiskockája lehet még fekete, azaz legfeljebb 14 + 1 = 15 fekete kockánk lehet. c) A sakktáblaszerű illeszkedés esetén a kocka közepén lévő kiskocka fehér színű, így 13 darab fehér és 14 darab fekete kiskockára lesz szükségünk.
ʹͭ
6.
PÁRHUZAMOS EGYENESEK, MERŐLEGES EGYENESEK
Feladatok 1 a) b) c)
Rajzolj olyan nyomtatott nagybetűket, amelyben vannak párhuzamos szakaszok, de nincsenek merőlegesek; vannak merőleges szakaszok, de nincsenek párhuzamosak; párhuzamos és merőleges szakaszok is vannak!
Megoldás: a) M, N, W, Z; b) L, T; c) E, F, H. 2 Rajzolj egy egyenest, és két különböző pontjában állíts merőlegest! Milyen helyzetű lesz az így rajzolt két egyenes? Megoldás: A két egyenes párhuzamos lesz.
3 Rajzolj egy egyenest! Képzeld el az összes pontot, amely ettől az egyenestől 2 cm-re található! Mit alkotnak ezek a pontok? Megoldás: Ezek a pontok mind a két irányban egy-egy, az egyenestől 2 cm-re elhelyezkedő párhuzamos egyenest alkotnak.
ʹͮ
TÉGLALAP, NÉGYZET
7.
Feladatok 1 Keress párhuzamos és merőleges egyenespárokat az ábrán! A leírásnál használd a matematikai jelöléseket!
e
Megoldás:
b
Párhuzamos egyenespárok: e
a
g
f
Igazak-e a következő állítások? Minden négyzet téglalap. Van olyan téglalap, amelyik négyzet. Ha egy négyszög négyzet, akkor téglalap is. Ha egy négyszög téglalap, akkor négyzet is.
Megoldás: a) b) c) d)
Igaz. Igaz (az a téglalap négyzet, amelynek egyenlő hosszúságú oldalai vannak). Igaz. Hamis (nem minden téglalap oldalai azonos hosszúságúak).
3 Döntsd el, hogy az ábrán látható síkidomok közül melyik négyzet, melyik téglalap! Használd a vonalzódat!
1
2
3
5 4
6
Megoldás: Négyzetek: 1, 3, 6. Téglalapok: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 4 A négyzetrácson látható A, B és C pontokhoz melyiket válasszuk negyediknek, hogy egy téglalapot kapjunk? Megoldás: A kilenc pont közül a középsőt választva kapunk téglalapot.
ʹͯ
7. 5
TÉGLALAP, NÉGYZET
Keress az ábrán olyan pontnégyeseket, amelyek téglalapot határoznak meg! G
D E
C F
A
H
B
Megoldás: ABCD, ABFE, EFCD, AHGD, HBCG. Megjegyzés: A felsorolásban csak azokat a téglalapokat adtuk meg, amelyeknek minden csúcsa az ábrán megnevezett pont volt. Ha az EF és GH egyenesek metszéspontját elnevezzük például P pontnak, akkor természetesen még négy téglalapot felsorolhatunk: AHPE, HBFP, EPGD, PFCG. 6 A Százholdas Pagonyban Róbert Gida háza, Méhecskék fája, Nyuszi háza, valamint Bagoly háza egy téglalap négy csúcsában helyezkedik el. Méhecskék fájától délre haladva eljutunk Bagoly házához. Róbert Gida háza Nyuszi házától van a legtávolabb és Méhecskék fájához van a legközelebb. Rajzolj egy lehetséges térképvázlatot! Megoldás: A négy ház közül Róbert Gida (RG) és Nyuszi (NY) háza a téglalap szemközti csúcsaiban van, mivel az átló a leghosszabb szakasz. A Méhecskék fája (MF) és Bagoly (B) háza is szemközti csúcsok, és azt is tudjuk, hogy ÉD irányúak, valamint Róbert Gida és a Méhecskék fája a téglalap rövidebb oldalán találhatók. Lehetséges térképvázlatok:
ʹͰ
PÁRHUZAMOS ÉS MERŐLEGES SÍKOK
8.
Feladatok 1
A tanteremnek hány párhuzamos lappárja van?
Megoldás: Téglatest alakú tanteremben három párhuzamos lappárt igyelhetünk meg. Az egyik a padló és a mennyezet, a második pár a jobb és baloldali fal, a harmadik pár pedig az első és a hátsó fal. 2
A tanteremnek hány merőleges lappárja van?
Megoldás: A tanterem minden oldallapjának merőleges lappárja a vele közös éllel rendelkező lapok, például a padlónak és a mennyezetnek a négy oldalfal merőleges lappárja. Összesen 12 merőleges lappárja van. 3
Az otthonod és az iskola között hol láttál párhuzamos síkokat?
Megoldás: Néhány példa: házfalak, polcok a boltban, busz ablakai, üléstámlái, járda és úttest, lépcsőfokok teteje, lépcsőfokok oldala, kapu és házfal. Természetesen lehetnek eltérések egyes esetekben, illetve más példák is tökéletesek lehetnek. 4
Keress a lakásotokban merőleges síkokat!
Megoldás: Néhány példa: padló és az oldalfalak, asztallap és oldallapja, széktámla és ülőrész, tükör és polc, szekrényajtó és polc, szekrényajtó és padló. Természetesen előfordulhatnak eltérések egyes esetekben, illetve más példák is tökéletesek lehetnek.
ʹͱ
9.
KITÉRŐ EGYENESEK
Feladatok 1
Keress a környezetedben különböző helyzetű egyenespárokat!
Megoldás: Példa párhuzamos egyenespárra: sínpár, zebracsíkok széle, kerítéslécek széle, lépcső élei, széklábak. Példa metsző egyenesekre: útkereszteződés, a terem egy sarokban összefutó élei, háztető. Példa kitérő egyenesekre: felüljáró, aluljáró. 2
Hány kitérő élt találsz a képen látható test AB éléhez?
E
Megoldás: Kettőt: DE, CE.
D A
3 A képen látható test egyik testátlója az AG egyenes. Add meg az ezzel kitérő éleket! Megoldás: Az AG egyenessel kitérő élek: BC, BF, EF, EH, DH, CD.
ʹͲ
C B
H E D A
G F C B
TÉGLATEST, KOCKA
10.
Feladatok 1
Hány lapátlója van egy téglatestnek? Nevezd el a csúcsokat, és sorold fel a lapátlókat!
Megoldás: Minden téglatestnek laponként kettő, azaz összesen 12 lapátlója van. A tankönyv 99. oldalán látható betűzött téglatest jelöléseit használva a lapátlók: AC, BD, AF, BE, AH, DE, DG, CH, BG, CF, EG, FH. 2
Hány egyenest határoz meg a téglatest 8 csúcsa?
Megoldás: Egy olyan egyenes, amely a téglatest két csúcsán keresztülhalad az él, vagy lapátló, vagy testátló lehet. Tudjuk, hogy a téglatestnek 12 éle, 12 lapátlója és 4 testátlója van, ezért a 8 csúcs által meghatározott egyenesek száma 28. 3 a) b) c) d) e)
Igazak-e a következő állítások? Van olyan téglatest, amelyik kocka. Minden kocka téglatest. Ha egy téglatestnek van három négyzetlapja, akkor az kocka. Ha egy téglatestnek van két négyzetlapja, akkor az kocka. Egy téglatestnek nem lehet pontosan négy lapja négyzet.
Megoldás: a) b) c) d) e)
Igaz (az, amelyiknek minden éle egyenlő hosszúságú). Igaz. Igaz. Hamis (lehet négyzetes oszlop). Igaz (akkor már mindegyik lapja négyzet).
4 Színezd ki egy téglatest csúcsait úgy, hogy minden élnek különböző színű legyen a két vége! Törekedj arra, hogy kevés színt használj! Hány színnel sikerült megoldanod a színezést? Megoldás: A színezéshez két szín használata is elegendő.
5
Hány különböző alakú tömör téglatest építhető 6 darab egyforma kockából?
Megoldás: Kétféle téglatest építhető.
ʹͳ
10. 6
TÉGLATEST, KOCKA
Rajzold le annak a téglatestnek a hálózatát, amely két 2 cm-es élű kockára vágható szét!
Megoldás:
7 Az asztalon lévő téglatest alakú dobozoknak összeszámoltuk az éleit és a csúcsait. Ezek száma összesen 120. Hány doboz van az asztalon? Megoldás: Egy téglatestnek 8 csúcsa és 12 éle van, azaz összesen 20 csúcsa és éle van. Mivel a 120 a 20-nak a hatszorosa, ezért hat doboz van az asztalon.
ʹʹ
SÍKIDOMOK, SOKSZÖGEK
11.
Feladatok 1
Rajzolj konvex négyszöget, ötszöget, hatszöget!
Megoldás: Például:
2
Rajzolj konkáv négyszöget, ötszöget, hatszöget!
Megoldás: Például:
3
Melyik az a sokszög, amelynek nincs konvex és konkáv változata?
Megoldás: Ez a sokszög a háromszög, mert az csak konvex lehet. 4
Melyik az a sokszög, amelynek nincs átlója?
Megoldás: Ez a sokszög a háromszög. 5 Rajzolj olyan négyszögeket, amelyeknek pontosan két egyenlő hosszú oldala van, és azok a) szomszédosak; b) szemköztiek! Megoldás: a) Például:
6
b) Például:
Rajzolj olyan négyszögeket, amelyeknek pontosan két szomszédos oldala merőleges egymásra!
Megoldás:
ʹ͵
11. 7
SÍKIDOMOK, SOKSZÖGEK
Rajzolj olyan sokszögeket, amelyeknek csak két szomszédos oldala merőleges egymásra!
Megoldás:
8
Rajzolj olyan négyszöget, amelynek két szemközti oldala merőleges egymásra!
Megoldás:
9
A konvex nyolcszög egy csúcsából megrajzoltunk két átlót. Milyen sokszögeket kaphattunk így?
Megoldás: Kaphattunk háromszöget, négyszöget, ötszöget vagy hatszöget:
Hétszöget már nem kaphatunk, mert ahhoz csak egy átlót lenne szabad megrajzolni.
͵ͬ
A KÖR
12.
Feladatok 1 Rajzolj a füzetedbe egy K középpontú 2 cm sugarú kört! Hol helyezkednek el a körlapon azok a pontok, amelyeknek a K ponttól mért távolsága 12 mm-nél a) nagyobb; b) kisebb; c) nem nagyobb; d) nem kisebb? Megoldás: Mindegyik részfeladat megoldásához ugyanaz az ábra használható alapnak, csak a színezése más: két koncentrikus kör, a nagyobbik sugara 2 cm, a kisebbé 12 mm. a) Az ábrán a két körvonal közötti terület színezett a külső körvonallal, a belső körvonal nem.
b) Az ábrán a belső kör színezett, a körvonala nem.
c) A ábrán a belső kör színezett, a körvonala is.
d) Az ábrán a két körvonal közötti terület színezett, a külső és a belső körvonalat is beleértve.
͵ͭ
12.
A KÖR
2 A gyerekek biciklitúrára mentek Cegléd környékére. A térképvázlaton az Alföld egy részletét láthatod. A vázlat alapján válaszolj a kérdésekre! Melyek azok a települések, amelyek Szolnokhoz közelebb vannak, mint Ceglédhez Kisköre? Találsz-e olyan várost, amelyik Szolnoktól ugyanolyan messze van, mint Ceglédtől Kisköre? Melyek azok a települések, amelyek Szolnoktól távolabb vannak, mint Ceglédtől Kisköre? Megoldás: A kérdésekre a válasz leolvasható a következő ábráról:
Szolnokhoz Tiszafüreden kívül mindegyik település közelebb van, mint Ceglédhez Kisköre. Nincs olyan város a térképen, amely Szolnoktól ugyanolyan távol van, mint Ceglédtől Kisköre. Tiszafüred az a település, amely távolabb van Szolnoktól, mint Ceglédtől Kisköre. (A valóságban ez a távolság csak két kilométerrel nagyobb, mint a kör 66 km-es sugara.)
͵ͮ
A KÖR 3
Add meg a zöld pontokat szöveggel és matematikai jelekkel is!
Megoldás: Szöveggel: a zöld pontok a kör középpontjától nincsenek távolabb, mint 14 mm. Matematikai jelekkel: Legyen egy tetszőleges zöld pont: Z. Ekkor KZ < 14 mm. 4
12. K
14 mm
Add meg a zöld pontokat matematikai jelekkel!
12 mm K 8 mm
1. ábra
K
2. ábra
K
3. ábra
K
4. ábra
Megoldás: Legyen egy tetszőleges zöld pont: Z. 1. ábra: 8 mm < KZ < 12 mm; 2. ábra: 8 mm ≤ KZ < 12 mm; 3. ábra: 8 mm < KZ ≤ 12 mm; 4. ábra: 8 mm ≤ KZ ≤ 12 mm. 5 Vegyél fel egy K pontot a füzetedben, és színezd azokat a pontokat, amelyek K-tól mért távolsága nagyobb, mint 8 mm, de nem nagyobb, mint 15 mm! Megoldás:
6 Vegyél fel egy K pontot a füzetedben, és színezd azokat a pontokat, amelyek K-tól mért távolsága kisebb, mint 2 cm, de nem kisebb, mint 14 mm! Megoldás:
͵ͯ
13.
A GÖMB
Feladatok 1 Két gömb középpontja 6 cm-re van egymástól. Az egyik gömb átmérője 4 cm. Mit mondhatunk a másik gömb átmérőjéről, ha a két a) gömbnek nincs közös pontja; b) gömb érinti egymást; c) gömbnek vannak közös pontjai? Mindhárom esethez készíts egy-egy szemléltető ábrát a füzetedben! Megoldás: Gondoljunk a feladat gömbjeire úgy, mint gömbfelületre. a) A másik gömb átmérője kisebb, mint 4 cm, vagy nagyobb, mint 8 cm.
b) A másik gömb átmérője 4 cm vagy 8 cm.
c) A másik gömb átmérője nagyobb, mint 4 cm, de kisebb, mint 8 cm.
Megjegyzés: A megoldásokat úgy is érdemes végiggondolni, hogy a gömb gömbtestet jelent: a) A másik gömb átmérője kisebb, mint 4 cm. b) A másik gömb átmérője 4 cm vagy 8 cm. c) A másik gömb átmérője nagyobb, mint 4 cm.
͵Ͱ
A GÖMB
13.
2 Képzelj el egy 3 cm és egy 5 cm átmérőjű gömböt! Milyen messze lehet a két gömb középpontja egymástól, ha a) nincs közös pontjuk; b) érintik egymást? Megoldás: Gondoljunk a feladat gömbjeire úgy, mint gömbfelületre! a) A két gömb középpontja legalább 4 cm, vagy legfeljebb 1 cm távolságra van egymástól. b) A két gömb középpontja 4 cm vagy 1 cm távolságra van egymástól. Megjegyzés: A megoldásokat úgy is érdemes végiggondolni, hogy a gömb gömbtestet jelent: a) A két gömb középpontja legalább 4 cm távolságra van egymástól. b) A két gömb középpontja 4 cm vagy 1 cm távolságra van egymástól. 3 Írd le szavakkal, hogy mit adnak a P pontok! Az O egy rögzített pont! a) OP = 12 mm; b) OP ≤ 4 cm; c) OP < 2,2 cm; d) 1 cm ≤ OP ≤ 2 cm. Megoldás: a) b) c) d)
Egy O középpontú 12 mm sugarú gömbfelületet. Egy O középpontú 4 cm sugarú gömbtestet. Egy olyan O középpontú 2,2 cm sugarú gömbtestet, amihez nem tartozik hozzá a gömbfelület. Egy O középpontú 1 cm és 2 cm sugarú „gömbhéj”.
4 Add meg matematikai jelekkel azon P pontok összességét, amelyekről a következő állításokat fogalmazhattuk meg! a) Egy adott K ponttól 3 cm-re találhatóak. b) Egy adott K ponttól vett távolságuk nem nagyobb, mint 14 mm. c) Egy adott K ponttól 2 cm-nél távolabb, de 4 cm-nél közelebb vannak. d) Egy adott K ponttól 2 cm-re vagy 4 cm-re vannak. Megoldás: a) b) c) d)
PK = 3 cm. PK ≤ 14 mm. 2 cm < PK < 4 cm. PK = 2 cm vagy PK = 4 cm.
5 Egy mandarint 3 cm sugarú gömbbel szemléltethetünk. Ha lehámozzuk a héját, akkor már csak 5 cm átmérőjű gömböt kapunk. A mandarin közepét nevezzük el K pontnak! a) Add meg matematikai jelöléssel a mandarin azon M pontjait, amelyeket a hámozás után kapunk! b) Add meg matematikai jelöléssel a mandarin azon H pontjait, amelyek a mandarin héját alkotják! Megoldás: a) KM ≤ 2,5 cm. b) 2,5 cm < KH ≤ 3 cm.
͵ͱ
14.
A SZAKASZ FELEZŐMERŐLEGESE
Feladatok 1 Rajzolj vázlatot, ha az F fa és a B bokor között az ösvényen sétáló Piroska minden pillanatban ugyanolyan messze volt a fától, mint a bokortól! Megoldás:
Piroska a p-vel jelölt ösvényen sétálhatott. 2
Rajzolj egy vázlatot, ha tudod, hogy az O oszlop és a H ház között felezőmerőlegesként halad egy út!
Megoldás:
Az ábrán az u egyenes jelöli az utat. 3 Egy papírlapon jelölj ki három pontot, amelyek nincsenek egy egyenesen! Minden lehetséges módon hajtsd össze a papírlapot úgy, hogy két-két pont fedésbe kerüljön! Milyen egyeneseket kaptál? Megoldás: Három felezőmerőlegest kapunk a hajtogatással. A három hajtásvonalnak van közös pontja.
4 Rajzoltunk egy egyenest és egy rá nem illeszkedő pontot egy papírlapra. Ez a pont egy olyan szakasznak az egyik végpontja, amelynek a papíron lévő egyenes a felezőmerőlegese. Hogyan keresnéd meg a szakasz hiányzó végpontját? Megoldás: A papírlapot össze kell hajtani az egyenes mentén, így a meglévő pont a szakasz másik végpontja fölé kerül.
͵Ͳ
SZERKESZTÉSEK
15.
Feladatok 1
Rajzolj a füzetedbe egy tetszőleges szakaszt, majd szerkeszd meg a felezőmerőlegesét!
Megoldás: Legyen AB a tetszőleges szakasz. A szerkesztésnél segít a tankönyvi ábrasorozat (109. oldal): Szakasz felezése.
F A
B
A
B
A
B
2 Rajzolj egy téglalapot! Szerkeszd meg a következő egyeneseket! a) Az egyik átló felezőmerőlegese. b) A hosszabb oldal felezőmerőlegese. Megoldás:
A keresett egyenes az e. A keresett egyenes az f. 3
Szerkeszd meg a füzetedben az ábrákat!
Megoldás: A szerkesztés lépéseit alkalmazva készülhetnek a másolatok.
͵ͳ
15.
SZERKESZTÉSEK
4 Az ábrán A-val és B-vel egy-egy fa helyét jelöltük, az e pedig egy ösvény. Az ösvény mellett elástak egy kincses ládát. A láda mindkét fától ugyanolyan messze található. Keresd meg a helyét szerkesztéssel! Megoldás: Az AB szakasz f felezőmerőlegese és az ösvény metszéspontja mutatja a kincs helyét.
5 Rajzolj egy kört, és rajzolj bele három tetszőleges húrt. Szerkeszd meg a húrok felezőmerőlegesét! Mit tapasztalsz? Megoldás:
A húrok felezőmerőlegesei a kör középpontján haladnak át. 6
Szerkesztéssel vágj egy adott szakaszt négy egyenlő részre!
Megoldás: A szakaszfelezés egymás utáni elvégzése a megoldás kulcsa.
͵ʹ
SZERKESZTÉSEK 7 Szerkessz háromszöget, ha a) a = b = c = 4 cm; b) a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm;
15.
c) a = 5 cm, b = 3 cm, c = 2 cm!
Megoldás: a)
b)
c) Ilyen háromszög nemlétezik.
͵͵
16.
A SZÖG
Feladatok 1 Rajzolj hegyes-, derék-, tompa-, egyenes-, homorú- és teljesszögeket, minden típusból maximum három különböző nagyságút! Hány szöget rajzolhatsz összesen? (A füzetedben dolgozz!) Megoldás: Típusonként legalább egy szöget rajzolunk. Ez minimum 6 darab szög. Hegyes-, tompa- és homorúszögből többféle nagyságút is rajzolhatunk, de maximum 3-3 darabot. Tehát legfeljebb 12 szög van a füzetben. 2
Rajzolj olyan négyszöget, melynek a) egy derékszöge; b) egy homorúszöge van!
Megoldás: b)
a)
3
Milyen szög lehet két hegyesszög összege? Rajzzal indokolj!
Megoldás:
Az összeg lehet hegyesszög 4
, derékszög
Milyen lehet az a két szög amelynek az összege egyenesszög?
Megoldás: A két szög lehet hegyesszög és tompaszög, vagy két derékszög. 5
Két szög különbsége derékszög. Milyen lehet a két szög?
Megoldás: A két szög lehet: ● egyenesszög és derékszög; ● tompaszög és hegyesszög; ● homorúszög és egyenesszög; ● homorúszög és tompaszög; ● teljesszög és homorúszög.
ͭͬͬ
és tompaszög
.
A SZÖG 6 a) b) c)
16.
Rajzolj két hegyesszöget! Másold át a szögeket! Szerkeszd meg a nagyobbnak a felét! Szerkeszd meg az összegüket! Szerkeszd meg a különbségüket!
Megoldás: Szögmásolás, szögfelezés mozzanatainak gyakorlása. 7
Szögmérővel mérd meg a nagyságukat! Mérés előtt becsüld meg a nagyságukat! Mennyit tévedtél?
δ α
β
γ
Megoldás: Érdemes megbeszélni a diákokkal a becslés és mérés tapasztalatait. α = 35°, β = 90°, γ = 118°, δ = 300°. 8
Szögmérő segítségével rajzolj 15o-os, 120o-os, 240o-os szöget!
Megoldás:
9
Ha α = 78o 12’, β = 53o 48’, akkor mennyi az α + β, α + 2β, α – β, 2α – β?
Megoldás: α + β = (78 + 53)o + (12 + 48)’ = 131o 60’ = 132o. α + 2β = (78 + 53 + 53)o + (12 + 48 + 48)’ = 184o 108’ = 185o 48’. α – β = 77o 72’ – 53o 48’ = (77 – 53)o + (72 – 48)’ = 24o 24’. 2α – β = 156o 24’ – 53o 48’ = 155o 84’ – 53o 48’ = (155 – 53)o + (84 – 48)’ = 102o 36’.
ͭͬͭ
17.
TÉGLALAP, NÉGYZET KERÜLETE
Feladatok 1 Hány centiméter az a oldalhosszúságú négyzet kerülete, ha a) a = 23 cm; b) a = 11,5 m; c) a = 3,4 dm;
d) a = 32 mm?
Megoldás: Számolás előtt érdemes centiméterbe váltani az oldal hosszát. a) k = 4 ⋅ 23 = 92 (cm). b) k = 4 ⋅ 1150 = 4600 (cm). c) k = 4 ⋅ 34 = 136 (cm). d) k = 4 ⋅ 3,2 = 12,8 (cm). 2 Mekkora a téglalap kerülete, ha egyik oldala a, másik oldala b hosszúságú? a) a = 16 cm, b = 45 cm; b) a = 0,72 m, b = 81 cm; c) a = 0,9 dm, b = 13 mm. Megoldás: Számolás előtt váltsuk át azonos mértékegységre a két oldal hosszát. a) k = 2 ⋅ (16 + 45) = 2 ⋅ 61 = 122 (cm). b) k = 2 ⋅ (72 + 81) = 2 ⋅ 153 = 306 (cm). c) k = 2 ⋅ (9 + 1,3) = 2 ⋅ 10,3 = 20,6 (cm). 3 Számítsd ki a négyzet oldalának hosszúságát, ha a) k = 32,2 dm; b) k = 36,96 m; c) k = 342 mm;
d) k = 558 m!
Megoldás: a) k : 4 = 32,2 : 4 = 8,05 (dm). b) k : 4 = 36,96 : 4 = 9,24 (m).
c) k : 4 = 342 : 4 = 85,5 (mm). d) k : 4 = 558 : 4 = 139,5 (m).
4 Számítsd ki a téglalap egyik oldalának hosszúságát, ha másik oldala b hosszúságú, a kerülete pedig k! a) b = 11 cm, k = 52 cm; b) b = 2,7 mm, k = 16 cm. Megoldás: a) = (k – 2b) : 2 = (52 – 22) : 2 = 30 : 2 = 15 (cm). b) = (k – 2b) : 2 = (16 – 5,4) : 2 = 10,6 : 2 = 5,3 (cm). 5 Igaz-e? a) Ha a téglalap rövidebb oldalainak hosszát duplázzuk, a hosszabb oldalainak a hosszát pedig felezzük, akkor a kerülete nem változik. b) Ha a négyzet kerülete a felére csökken, akkor az oldalak hossza is a felére csökken. Megoldás: a) Hamis, mert például ha egy téglalap oldalai 1 cm és 10 cm hosszúak, akkor: 2 ⋅ (1 + 10) = 22 ≠ 14 = 2 ⋅ (2 + 5). b) Igaz.
ͭͬͮ
TÉGLALAP, NÉGYZET KERÜLETE
17.
6 Ádám és Éva rajzolt egy-egy négyzetet. Éva négyzetének oldala 2 cm-rel hosszabb volt, mint Ádámé. Mennyivel nagyobb Éva négyzetének kerülete, mint Ádámé? Megoldás:
7 Évi megnyerte az iskolai szavalóversenyt. Ezért egy szép könyvet kapott, amit becsomagoltunk, de még körül is akarjuk kötni az ábrán látható módon. Ha a masnira 60 cm szalag kell, akkor mennyi szalagot vegyünk összesen? Megoldás: A szalag hossza: 4 ⋅ 2 + 2 ⋅ 16 + 2 ⋅ 24 + 60 = 8 + 32 + 48 + 60 = 148 (cm).
2 cm
Éva négyzete oldalanként 2 centiméterrel hosszabb Ádáménál, tehát a kerülete 4 ⋅ 2 = 8 centiméterrel hosszabb.
16 c
m
m
24 c
ͭͬͯ
18.
A TERÜLET MÉRÉSE
Feladatok 1 Add meg négyzetmilliméterben! a) 8 cm2; b) 13 dm2; 2 e) 22 cm ; f) 34 dm2;
c) 0,3 m2; g) 0,04 m2;
d) 0,04 m2; h) 0,005 m2.
c) 300 000 mm2; g) 40 000 mm2;
d) 40 000 mm2; h) 5000 mm2.
c) 0,75 m2; g) 1,8 m2;
d) 0,082 km2; h) 0,002km2.
c) 7500 cm2; g) 18 000 cm2;
d) 820 000 000 cm2; h) 20 000 000 cm2.
c) 15 m2; g) 1,6 m2;
d) 0,006 m2; h) 0,0036 m2.
c) 1500 dm2; g) 160 dm2;
d) 0,6 dm2; h) 0,36 dm2.
c) 7500 dm2; g) 840 dm2;
d) 0,6 km2; h) 0,09 km2.
c) 75 m2; g) 8,4 m2;
d) 600 000 m2; h) 90 000 m2.
Megoldás: a) 800 mm2; e) 2200 mm2;
b) 130 000 mm2; f) 340 000 mm2;
2 Add meg négyzetcentiméterben! a) 310 mm2; b) 6 dm2; 2 e) 7000mm ; f) 19 dm2; Megoldás: a) 3,1 cm2; e) 70 cm2;
b) 600 cm2; f) 1900 cm2;
3 Add meg négyzetdeciméterben! a) 54000 mm2; b) 560 cm2; e) 5300mm2; f) 1300cm2; Megoldás: a) 5,4 dm2; e) 0,53 dm2;
b) 5,6 dm2; f) 13 dm2;
4 Add meg négyzetméterben! a) 70000 mm2; b) 910 cm2; e) 350000 mm2; f) 11300 cm2; Megoldás: a) 0,07 m2; e) 0,35 m2;
b) 0,091 m2; f) 1,13 m2;
5 Egy 360 hektáros föld 1,2 km2-es részén kukoricát, a felén búzát termelnek, a többi részen pedig burgonyát. Hány hektáron ültettek burgonyát? Szemléltesd rajz segítségével a feladat szövegét! Megoldás: A burgonya ültetésére 360 – 120 – (360 : 2) = 360 – 120 – 180 = 60 hektárnyi terület marad. Szemléltetés:
ͭͬͰ
A TERÜLET MÉRÉSE
18.
6 Magyarország tájegységeinek adatait kutatva a következő szöveget találtuk az Alföldről: A Duna középső szakaszának legnagyobb medencéje, és hazánk legnagyobb tájegysége. Területe 50 000 km2. Ezzel Magyarország területének több, mint a felét elfoglalja. Északon az Északi-középhegység, keleten és délen az országhatár, nyugaton a Dunántúli-középhegység határolja. Az Alföld kiemelkedő pontjai: a Kő-hegy (228 m), a Szár-hegy (227 m), a Ólom-hegy (172 m), a Hoportyó (183 m). Legmélyebb pontja Gyálarétnél 75,5 m. A szöveg alapos tanulmányozása után válaszolj a kérdésekre! a) Hány hektár az Alföld területe? b) Rakd növekedő sorrendbe az Alföld kiemelkedő pontjait! c) Mennyivel magasabb a Kő-hegy a felsorolt magaslatok legalacsonyabbjánál? d) Mekkora a szintkülönbség Gyálarét és a Kő-hegy között? e) Lehet-e nagyobb az Alföldnél az Északi-középhegység és a Dunántúli-középhegység együttes területe? Megoldás: a) b) c) d) e)
Az Alföld területe: 5 000 000 hektár. A helyes sorrend: Ólom-hegy (172 m), Hoportyó (183 m), Szár-hegy (227 m), Kő-hegy (228 m). A legalacsonyabb magaslat az Ólom-hegy. A Kő-hegy 228-172=56 méterrel magasabb az Ólom-hegynél. 228 – 75,5 = 152,5 méter. Mivel az Alföld az ország területének több, mint a felét elfoglalja, ezért lehetetlen, hogy más tájegységek együttes területe nagyobb legyen nála.
ͭͬͱ
19.
TÉGLALAP, NÉGYZET TERÜLETE
Feladatok 1 Számítsd ki a téglalap területét, ha oldalainak hossza: a) 82 cm és 31 cm; b) 210 mm és 871 mm; c) 20 cm és 11 dm; d) 0,012 km és 120 dm! Megoldás: a) b) c) d)
t = 2542 cm2. t = 182 910 mm2. t = 22 dm2. t = 144 m2.
2 Számítsd ki a téglalap ismeretlen oldalának hosszát! a) a = 13 cm, t = 312 cm2; b) a = 28 mm, t = 868 mm2; 2 c) a = 15 cm, t = 3 dm ; d) a = 44 mm, t = 11 cm2. Megoldás: a) b) c) d)
24 cm. 31 mm. 20 cm. 25 mm.
3 Mekkora a négyzet területe, ha a) k = 356 cm;
b) k = 4000 mm?
Megoldás: t = (356 : 4)2 = 892 = 7921 (cm2). t = (4000 : 4)2 = 10002 = 1 000 000 (mm2). 4 a) b) c)
Egy téglalap kerülete 18 cm. Megmondható-e, hogy mekkora területű? Elképzelhető, hogy 20 cm2 a területe? Elképzelhető, hogy csak 8 cm2 a területe?
Megoldás: a) Nem tudjuk megmondani. Lehet például 8 cm2 és 14 cm2 is. b) Elképzelhető, ha az oldalai 4 és 5 cm hosszúak. c) Elképzelhető, ha az oldalai 1 és 8 cm hosszúak.
ͭͬͲ
TÉGLALAP, NÉGYZET TERÜLETE
19.
5 Egy 22 méter széles, 35 méter hosszú téglalap alakú telekre egy 9 méter széles, 12 méter hosszú házat építenek. a) Mekkora részt foglal el a ház a telekből? b) Mekkora lesz a ház körüli udvar? Megoldás: a) 108 négyzetmétert foglal el. b) 22 ⋅ 35 – 108 = 662 (m2). 6 Egy 6 m széles, 9,5 m hosszú tanterem alapterületének harmadát elfoglalják az asztalok, székek, szekrények. Mekkora a tanterem szabad részének területe? Megoldás: A tanterem szabad része: 6 ⋅ 9,5 : 3 ⋅ 2 = 38 (m2). 7 Egy golyóstoll csomagolásán a következő szöveg található: „Hazánkban 1966 óta sikeresen gyártott modell, íráshossza 8000 méter.” a) Hányszor másolhatjuk le a feltüntetett ábrát ezzel a tollal? b) Hány km2 területű a legnagyobb négyzet, amit rajzolhatnánk ezzel a golyóstollal? c) Nézz utána, hogy kinek a találmánya a golyóstoll! Megoldás: a) A sokszög minden oldala 1 cm hosszú, ezért a kerülete 20 cm = 0,2 m. 8000 : 0,2 = 40 000, vagyis ennyiszer másolhatjuk le az ábrát. b) 8000 m = 8 km, 8 : 4 = 2. Vagyis 2 km oldalhosszúságú a legnagyobb négyzet, amit rajzolhatunk, ennek területe pedig 4 km2. c) Bíró László József.
ͭͬͳ
20.
TÉGLATEST, KOCKA FELSZÍNE
Feladatok 1 Mekkora a téglatest felszíne? a) a = 34 mm, b = 19 mm, c = 6 mm; c) a = 0,5 m, b = 2,1 dm, c = 32 cm;
b) a = 45 cm, b = 20 cm, c = 14 cm; d) a = 160 mm, b = 8 cm, c = 0,11 m.
Megoldás: a) b) c) d)
1928 mm2. 3620 cm2. 6644 cm2. 784 cm2.
2 Mekkora a kocka felszíne? a) a = 24 mm; b) a = 35 cm. Megoldás: a) 3456 mm2. b) 7350 cm2. 3 Milyen hosszú lehet a kocka éle? a) A = 600 cm2; b) A = 384 dm2. Megoldás: a) Egy lap területe 600 : 6 = 100 cm2, ez úgy lehet, ha a kocka éle 10 cm hosszú. b) Egy lap területe 384 : 6 = 64 dm2, ez úgy lehet, ha a kocka éle 8 dm hosszú. 4 Képzelj el egy 9000 km élű kockát. Hasonlítsd össze felszínének nagyságát a Föld felületének nagyságával! (A Föld felülete 510 millió km2.) Megoldás: A kocka felszíne 9000 · 9000 · 6 = 486 000 000 km2, ez 510 – 486 = 24 millió négyzetkilométerrel kevesebb, mint a Föld felülete. 5 Vegyük a Hold felszínét 37 500 000 km2-nek (ennél valójában egy kicsit nagyobb). Mekkora kockának lenne ugyanekkora a felszíne? Megoldás: A kocka egy lapjának területe 37 500 000 : 6 = 6 250 000 = 2500 · 2500. Tehát egy 2500 km élű kockának lenne ugyanekkora a felszíne. 6
Mekkora a felszíne a kockának, ha az éleinek az összege 312 cm?
Megoldás: A kockának 12 éle van, ezért egy élének a hossza 312 : 12 = 26 cm. A felszíne 4056 cm2.
ͭͬʹ
TÉGLATEST, KOCKA FELSZÍNE
20.
7 Dobókockáink oldallapjai 1 cm2 területűek. Mekkora felszínű téglatest rakható ki 15 darab dobókockából? Megoldás: Kétféle téglatestet rakhatunk ki a kockákból. a) 1, 1 és 15 cm élű, a felszíne 62 cm2. b) 1, 3 és 5 cm élű, a felszíne 46 cm2.
ͭͬ͵
21.
A TÉRFOGAT MÉRÉSE
Feladatok 1 Fejezd ki három különböző mértékegységgel az edények térfogatát, ha ismerjük az űrtartalmukat: a) fél literes szörpös üveg; b) 2 deciliteres pohár; c) másfél hektoliteres hordó! Megoldás: a) 0,5 dm³ = 500 cm³ = 500 000 mm³. b) 0,2 dm³ = 200 cm³ = 200 000 mm³. c) 150 dm³ = 150 000 cm³ = 0,15 m³. 2
a) Add meg literben: 13 hl; 440 dl; 37 500 cl; 900 ml! b) Add meg deciliterben: 23 l; 0,5 hl; 800 cl; 56 000 ml!
Megoldás: a) 13 hl = 1300 l; 440 dl = 44 l; 37 500 cl = 375 l; 900 ml = 0,9 l. b) 23 l = 230 dl; 0,5 hl = 500 dl; 800 cl = 80 dl; 56 000 ml = 560 dl. 3 Mennyit kell hozzáadni, hogy 12 dm3 legyen? a) 23 cm3; b) 12 000 mm3; c) 210 cm3;
d) 2000 mm3.
Megoldás: a) b) c) d)
12 000 – 23 = 11 977 (cm3). 12 000 000 – 12 000 = 11 988 000 (mm3). 12 – 0,21 = 11,79 (dm3). 12 000 – 2 = 11 998 (cm3).
4 Egy étterem konyháján két 3 literes étolajat bontottak ki. Az egyikből elhasználtak fél litert, a másikból pedig 14 decilitert. Hány deciliter étolaj maradt összesen? Megoldás: 30 + 30 – 5 – 14 = 41 deciliter étolaj maradt a konyhán.
ͭͭͬ
TÉGLATEST, KOCKA TÉRFOGATA
22.
Feladatok 1 Számítsd ki a téglatest térfogatát! a) a = 19 cm, b = 12 cm, c = 38 cm; c) a = 6 m, b = 32 dm, c = 750 mm;
b) a = 30 mm, b = 16 mm, c = 28 mm; d) a = 700 cm, b = 60 dm, c = 16 m.
Megoldás: a) b) c) d)
8664 cm3. 13 440 mm3. 14 400 dm3. 672 m3.
2 Határozd meg a téglatest hiányzó élhosszát! a) V = 320 cm3, b = 5 cm, c = 8 cm; b) V = 360 cm3, b = 8 cm, c = 75 mm; 3 c) V = 1 092 000 cm ; b = 7 m, c = 13 dm; d) V = 2400 dm3, b = 80 cm, c = 1,2 m. Megoldás: a) b) c) d)
8 cm. 6 cm. 1,2 dm. 25 dm.
3 Állapítsd meg a kocka térfogatát! a) a = 12 dm; b) a = 34 cm;
c) a = 220 mm;
d) a = 13 m.
Megoldás: a) b) c) d)
1728 dm3. 39 304 cm3. 10 648 000 mm3 = 10 648 cm3. 2197 m3.
4 Mekkora az élhossza a kockának? Póbálj ki néhány számot! a) V = 125 mm3; b) V = 64 cm3; c) V = 1000 dm3;
d) V = 1331 m3.
Megoldás: a) b) c) d)
5 mm. 4 cm. 10 dm. 11 m.
5 Egy kocka alakú láda tetejét pontosan letakarja egy 81 dm2 nagyságú terítő. Mekkora a láda térfogata? Megoldás: A terítő oldala, azaz a láda éle 9 dm hosszú, a térfogata 729 dm3.
ͭͭͭ
22.
TÉGLATEST, KOCKA TÉRFOGATA
6 Egy desszertes doboz a 308 cm2 területű lapjával érintkezik az asztallal. Az ezzel párhuzamos lap 3 cm-re van az asztallaptól. Mekkora a doboz térfogata? Megoldás: 3 ⋅ 308 = 924 cm3 térfogatú a doboz. 7 Egy téglatest alakú szobában 105 m3 levegő fér el. Határozd meg a terem adatait, ha az élek méterben mérve egész számok! Megoldás: 105 = 3 ⋅ 5 ⋅ 7, itt az egyet nem számolhatjuk tényezőnek, mivel 1 méter magas vagy széles vagy hosszú terem nem létezik, tehát a teremnek 3 m, 5 m és 7 m hosszú élei vannak. (Az adatok alapján az is sejthető, hogy a terem magassága 3 m.) 8 Téglatest alakú dobozban narancslét vásároltunk. A doboz két élének a hossza: 8 cm, 8 cm. Milyen magas lehet a doboz, ha a felirata szerint 1 liter narancslé van benne? Megoldás: 1 l = 1 dm3 = 1000 cm3. 1000 : 8 : 8 = 15,625 cm. A doboz körülbelül 16 cm magas lehet.
ͭͭͮ
GYAKORLATI FELADATOK
23.
Feladatok 1 Daniék vásároltak egy 20 méter széles és 25 méter hosszú hétvégi telket. Szeretnék körbekeríteni. A kerítésoszlopokat ötméterenként kell elhelyezni. Hány darab oszlopra lesz szükségük? Megoldás: A 25 méteres oldalra 6-6 oszlop kell, a 20 méteres oldalra 3-3, tehát összesen 18 oszlop szükséges. 2 Az előző feladatban szereplő telekre elhelyeznek egy 64 m²-es faházat. Mekkora rész marad beépítetlenül? Megoldás: 20 ⋅ 25 – 64 = 436 m2. 3 Öt darab dobókockából egy négyzetes oszlopot építünk. Hány darab pötty lehet minimum és maximum a felületén? Megoldás: Mivel a dobókockák szemközti lapjain lévő pöttyök összege mindig 7, ezért az oszlop alja és teteje változtathat a pöttyök összegén. Az öt kocka oldalán körben 5 · 14 = 70 pötty van. Összesen a tornyon minimum 1+1+70 = 72, maximum 6 + 6 + 70 = 82 pötty lehet. (Ellenőrizhetjük, hogy minden közbülső értéket is elő tudunk állítani.) 4 Egy medence szélessége 12 méter, a hossza 50 méter, a víz mélysége mindenütt 2 m. Hány hektoliter vízzel töltötték meg? Megoldás: 1200 m3 = 12 hl vízzel töltötték meg. 5 A kedvenc könyvedet olvasás előtt szeretnéd becsomagolni. Tervezd meg, hogy mekkora papírra lenne szükséged! A könyv 2 cm vastag, a borítója pedig 16 cm-szer 23 cm-es. Megoldás: Ha mindenhol 2 cm-t számolunk a visszahajtásra, akkor (2 + 16 + 2 + 16 + 2) ⋅ (2 + 23 + 2) = 38 ⋅ 27, azaz 1026 cm2 nagyságú papírra lesz szükségünk.
ͭͭͯ
23.
GYAKORLATI FELADATOK
6 Egy mélygarázs építésénél 15 méter mélyen elszállították a földet egy 40 méter széles és 60 méter hosszú területről. A szállítást olyan teherautókkal végezték, amelyekre 6 m³ földet lehetett rakni. Hány fordulóval tudták elszállítani ezt a mennyiséget? Megoldás: Az elszállítandó földmennyiség 36 000 m3, amit 36 000 : 6 = 6000 fordulóval tudnak elszállítani.
ͭͭͰ
ÖSSZEFOGLALÁS
24.
1. Hogyan kapunk félegyenest, szakaszt, félsíkot? Megoldás: Az egyenest egy pontja két félegyenesre vágja. Az egyenest két különböző pontja két félegyenesre és egy szakaszra vágja. A síkot egy egyenes két félsíkra vágja. 2. Hogyan különbözteted meg egymástól a test élét és az átlóját? Megoldás: A test lapjainak metszésvonalát nevezzük élnek. Az élek végeit szomszédos csúcsoknak nevezzük. Ha két csúcs nem szomszédos, akkor az összekötő szakaszuk lapátló vagy testátló lesz. 3. Ha az a egyenes párhuzamos a b egyenessel, és a b egyenes párhuzamos a c egyenessel, akkor mit mondhatsz az a és a c egyenes viszonyáról? Megoldás: Azok is párhuzamosak. 4. Ha az e egyenes merőleges az f egyenesre, és az f egyenes merőleges a g egyenesre, akkor mit mondhatsz az e és a g egyenes viszonyáról? Megoldás: Párhuzamosak. 5. Ha két egyenesnek nincs közös pontja, akkor azok biztosan párhuzamosak egymással? Megoldás: Nem. Lehetnek kitérőek is. 6. Sorold fel a téglalap legfontosabb tulajdonságait! Megoldás: Két-két szemközti oldala párhuzamos és egyenlő hosszúságú. Minden szöge derékszög. Az átlói egyenlő hosszúak és felezve metszik egymást. 7. Hány közös pontja lehet két különböző síknak? Megoldás: Lehet, hogy egy egyenesben metszik egymást: ekkor végtelen sok közös pont van. Lehet, hogy párhuzamosak: ekkor nincs közös pont. 8. Ha a téglatest éleit összeadjuk és eredményül 160 cm-t kapunk, akkor mennyi az egy csúcsba befutó három él hosszának az összege? Megoldás: 40 cm.
c
a+b+c=?
b a
ͭͭͱ
24.
ÖSSZEFOGLALÁS
9. Hány centiméter hosszú egy oldala a 2015 cm kerületű szabályos háromszögnek? Megoldás:
2015 cm, azaz kb. 671,7 cm. 3
10. Hány centiméter hosszú egy oldala a 2016 cm kerületű négyzetnek? Megoldás: 504 cm. 11. Magyarázd el, mi a különbség a szelő és a húr között! Megoldás: Húr: A körvonal két különböző pontját összekötő szakasz. Szelő: A körvonal két különböző pontjára illeszkedő egyenes. 12. Magyarázd el a különbséget a körszelet és a körcikk között! Megoldás: Körszelet: Egy körív és egy húr határolja. Körcikk: Egy körív és két sugár határolja. 13. Milyen ABC háromszöget kapunk, ha az AB szakasz felezőmerőlegeséről választunk egy C pontot? Megoldás: Egyenlő szárút. 14. Az a oldalú négyzet, valamint a b és c oldalú téglalap kerülete egyenlő. Mi lehet a nagyságrendi sorrend a három oldal hossza között? Megoldás: Lehet, hogy b < a < c, vagy lehet, hogy c < a < b. 15. A 8 cm élű kocka vagy a 7 cm, 8 cm, 9 cm élű téglatest térfogata a nagyobb? 8
8
8
7 8
9
Megoldás: A kocka térfogata 512 cm3, a téglatesté 504 cm3. A kocka térfogata nagyobb. 16. Egy téglatest egyik lapátlója 10 cm. Milyen hosszú a vele párhuzamos lapátló? Megoldás: Az is 10 cm hosszú.
ͭͭͲ
ÖSSZEFOGLALÁS
24.
Feladatok A következő feladatokra adott válaszok közül csak egy helyes! Melyik az? 1 Egy test lapjainak a száma nem lehet A: 5; B: 4;
C: 3.
Helyes válasz: C. 2 Ha AB szakasz hossza 14 mm, és BC szakasz hossza 1,1 cm, akkor BC szakasz hossza nem lehet A: 15,1 mm; B: 3 mm; C: 25 mm. Helyes válasz: A. 3 Három hegyesszög összege A: lehet teljes szög; B: lehet 270°;
C: lehet 180°.
Helyes válasz: C. 4 Ha α = 76°44’12”, akkor a 2· α A: homorú szög; B: 152° 24’ 24”;
C: nem egyenesszög.
Helyes válasz: C. 5 Egy konvex sokszögben berajzoltuk az egyik csúcsból húzható összes átlót. Ezek száma 12. Hány csúcsa van a sokszögnek? A: 12; B: 14; C: 15. Helyes válasz: C. 6 Egy legelőn elkerítettek egy (konvex) tízszög alakú területet. Az egyik csúcsból az összes átló mentén is karámokat hoztak létre, és az így kialakított területek mindegyikében pontosan egy ló legel. Ekkor a lovak száma: A: 10; B: 8; C: 7. Helyes válasz: B. 7 Egy ház homlokzatára reklámszöveget festettek. A szövegben szerepel egy 120 cm magas és 80 cm széles nyomtatott nagy L betű. A betű mindkét szára egy-egy 22 cm széles téglalapból áll. Mekkora felületet foglal el ez a betű a falon? A: 39,16 dm²; B: 44 dm²; C: 4884 cm². Helyes válasz: A.
ͭͭͳ
24.
ÖSSZEFOGLALÁS
8 Egy 18 cm-szer 28 cm-es könyvben az utolsó oldalra a 220-as oldalszám kerülne. Hány m²-es szobát lehetne lefedni a könyv lapjaival? A: 55 440; B: 5,544; C: 11,088. Helyes válasz: B. 9 Egy gyufaszál 4 cm magas négyzetes oszlopnak tekinthető. Az oldallapjai 2 mm szélesek. Egy dobozban a felirat szerint 43 gyufaszál található. Mekkora a térfogata a dobozban található gyufaszálaknak? A: 6,88 mm³; B: 6880 cm³; C: közel 7 cm³. Helyes válasz: C. 10 Kartonpapírból elkészítettük egy felülről nyitott, téglatest alakú doboz hálózatát. A téglatest éleinek hossza: 2 cm, 3 cm, 6 cm. Mennyi nem lehet a hálózat területe? A: 54 cm²; B: 66 cm²; C: 72 cm². Helyes válasz: C. 11 Egy kocka éleinek hossza egész centiméter. A felszíne lehet A: 75 cm²; B: 128 cm²; C: 150 cm². Helyes válasz: C.
ͭͭʹ
– Hol vagyunk? – dörzsölgette a szemét álmosan Zsombi –, mert kicsit hosszúra nyúlt az előző esti csapatjáték. – Nem tudom, kérdezd le a wikikompon! – mormogta fogai között Okoska, aki szintén csak félig nyitotta ki a szemét. Zsombi álmosan kecmergett ki az ágynak nevezett alvóhevederekből, és rátenyerelt a kezelőpanelre. – Hol vagyunk? – ismételte meg a kérdést, de most már a wikikomp érzékelőjéhez. – Az űrben. De a kérdésből arra következtetek – hangzott a számítógép kimért válasza –, hogy azt szeretnéd tudni, milyen messze vagyunk a Földtől? T-71:12:40, azaz 71 óra 12 perc és 40 másodperc van hátra a landolásig. – Ajaj! 71 óra… Már csak három nap – mormogta, és az esti kakaó által rajzolt szomorkás bajusz hűen tükrözte a gondolatait. – Honnan tudod ilyen pontosan? – Hasonló az eljárás, mint a földi navigációs rendszereknél, csak képzeld el nagyobb méretekben. A Gaia űrszonda sokmillió csillag pontos helyét mérte meg, ezeket az adatokat ismerem. A Föld és a Hold körül is keringenek olyan műholdak, amelyek pozíciója nagyon pontosan ismert. Ha tudjuk a távolságukat és az irányaik által bezárt szögeket, akkor ezekből az adatokból kiszámítható a mi helyünk a világűrben. Nekem már csak annyi a dolgom, hogy a hajtóművek segítségével az előre meghatározott pályán tartsam a hajót, ehhez mérések sorozatát hajtom végre, és... – Három nap – suttogta Zsombi félálomban, miközben lekapcsolta a wikikompot és elindult a mosdó felé, hiszen aludni ráér majd otthon is.
1.
A HELYMEGHATÁROZÁS SZEREPE KÖRNYEZETÜNKBEN
Feladatok 1 Az ábra egy játékbolt polcait mutatja. Arra a kérdésre, hogy „Hol van a maci?”, sokféleképpen válaszolhatunk. Például: – A cicától eggyel balra. – A pingvintől balra hárommal, és eggyel feljebb. A kérdés akkor pontosabb, ha azt is megkérdezzük, hogy melyik állathoz képest érdekel a maci helye. Például: – Hol van a maci az oroszlánhoz képest? – Kettővel fölötte és kettővel balra. Tegyetek fel az ábra alapján ilyen kérdéseket, majd válaszoljátok meg! Megoldás: Néhány lehetőség: Hol van az oroszlán a zsirá hoz képest? A zsiráf alatt. Hol van az egér az elefánthoz képest? Az elefánttól eggyel balra. A gyerekek példái után érdemes megbeszélni, hogy a feladatnak kevesebb megoldása van, ha van egy kiindulási, viszonyítási pont (az egyik kisállat), mintha csak a „Hol van…?” típusú kérdésre válaszolnánk. 2 Valaki gondoljon egy tárgyra a teremből, a többiek pedig próbálják meg kitalálni a helyét olyan kérdésekkel, amiben az „alatt”, „fölött”, „jobbra”, „balra” szavak szerepelnek. Például: A táblától jobbra helyezkedik el? Szemmagasság alatt van? Megoldás: Ennél a feladatnál is nagyon hasznos a tapasztalatok megbeszélése. 3 A sakktáblán a bábuk helyének meghatározásához az oszlopokat A-H betűkkel, a sorokat 1-8 számokkal jelölik. A bástya a C6-os mezőn áll. a) Olvasd le a többi bábu helyét! b) Hol van a ló a királyhoz képest? c) Hol van a bástya a lóhoz képest? Megoldás: a) A ló az A7-es mezőn, a király pedig az F2-es mezőn áll. b) A ló a királyhoz képest öttel balra és öttel hátrébb van. c) A bástya a lóhoz képest kettővel jobbra és eggyel előrébb van.
ͭͮͬ
A HELYMEGHATÁROZÁS SZEREPE KÖRNYEZETÜNKBEN
1.
4 Bendegúz és Baltazár az ábrán jelölt házakban laknak. Megbeszélték, hogy találkoznak a mozi előtt. Írd le a térkép alapján, hogy hogyan kell eljutniuk a mozihoz! Megoldás: Bendegúz a házból kilépve jobbra induljon el, és menjen egyenesen, egészen a második házig, azután forduljon jobbra, és haladjon egyenesen, a mozi az ötödik háznál lesz a sarkon. Baltazár a házból kilépve jobbra induljon el, a második kereszteződésnél forduljon balra, és az utca jobb oldalán, a negyedik ház sarkánál lesz a mozi. 5 Egy tanteremben öt sorban ülnek a gyerekek és hat oszlopban. Az osztályfőnök úgy döntött, hogy a következő ülésrendnél kisorsolja a helyeket. A 15-ös szám kihúzása például azt jelenti, hogy az 1. sor (balról) 5. helyére kell ülnie a diáknak. a) Csaba és Csongor szeretnének egymás közelében ülni. Csaba kihúzta a 43-as helyet. Sorold fel, mely szám sorsolásának örülne Csongor! b) Hol ül Csabához képest Cili, aki 26-ost húzott? c) Sorold fel, milyen számokat nem szeretne húzni Cinna, aki szemüveges, és nem lát jól a hátsó sorból! d) Milyen cetlit húzhatott az, aki azt mondja: „Én ülök az osztály közepén”? Megoldás: Csongor a következő számoknak örülne: 32, 33, 34, 42, 44, 52, 53, 54. Cili Csabához képest három hellyel jobbra és két sorral előrébb ül. Cinna nem szeretné a következő számokat húzni: 51, 52, 53, 54, 55, 56. Nincs pontosan meghatározható ilyen szám. A leginkább a 33, vagy a 34 gazdája mondhat ilyet.
ͭͮͭ
2.
HELYMEGHATÁROZÁS MATEMATIKAÓRÁN
Feladatok
Az első jelzőszám a sugárút, a második pedig a körút jele. A három kereszteződést érintő utak: (2; 3), (2; 2), (3; 2), (4; 2), (5; 2). (2; 3), (3; 3), (3; 2), (4; 2), (5; 2). (2; 3), (3; 3), (4; 3), (4; 2), (5; 2). (2; 3), (3; 3), (4; 3), (5; 3), (5; 2). 2 a) b) c)
8. sugárút 2. sugárút
IV. kerület
7. sugárút
t
2. k örú t
Megoldás:
1. sugárút
3. k örú t
1 Az 1. példában láttunk két lehetséges útvonalat a (2; 3) kereszteződés és az (5; 2) kereszteződés között. Adjunk meg továbbiakat, ahol szintén csak három kereszteződésen haladunk át!
örú 1. k
I. kerület
3. sugárút P III. kerület 6. sugárút
II. kerület
4. sugárút
5. sugárút Nézd az 1. példa ábráját! Add meg a 2. körút kereszteződéseit! Add meg a 3. sugárút kereszteződéseit! Fogalmazz meg egy észrevételt az előző két rész válaszait látva!
Megoldás: a) A 2. körút kereszteződései: (1; 2), (2; 2), (3; 2), (4;2), (5; 2), (6; 2), (7; 2), (8; 2). b) A 3. sugárút kereszteződései: (3; 1), (3; 2), (3; 3). c) Az a) rész megoldásaiban a második szám mindig 2, a b) rész megoldásaiban az első szám mindig 3. 3 A lecke folyamkilométereket tartalmazó táblázata alapján válaszolj! a) Mennyit haladtunk, ha Szatmárcsekétől eljutottunk Tuzsérig? b) Melyik táv a nagyobb és mennyivel: Tiszabecs–Tivadar vagy Tuzsér–Tokaj? Megoldás: a) A településekhez tartozó folyamkilométer értékeket ki kell vonni egymásból. A távolság a Tiszán mérve: 720 – 617 = 103 folyamkilométer. b) Tiszabecs és Tivadar települések távolsága 744 – 705 = 39 folyamkilométer, míg Tuzsér és Tokaj távolsága 617 – 544 = 73 folyamkilométer. Tehát a második táv 73 – 39 = 34 folyamkilométerrel nagyobb. 4 A Budapest–Miskolc távolságot 180 kilométernek vehetjük. Autóval utazva táblák tájékoztatnak a számunkra fontos adatokról. Az egyik táblán ezt látjuk: Mezőkövesd 68 km, Miskolc 125 km. a) Hány kilométerre vagyunk Budapesttől? b) Mekkora a távolság Mezőkövesd és Miskolc között? Megoldás: a) Mivel a 180 km hosszú útból még 125 km van hátra, ezért Budapesttől 180 – 125 = 55 kilométerre vagyunk. b) Amikor Mezőkövesdre érünk, 68 kilométert teszünk meg, ezért a Miskolcig hátralévő útból már csak 125 – 68 = 57 km van hátra. Tehát a két város közti távolság 57 kilométer.
ͭͮͮ
TÁJÉKOZÓDÁS A SZÁMEGYENESEN
3.
Feladatok 1 Az állatok estére eltévedtek a számegyenesen. Segíts nekik hazatalálni! Rajzold meg azt a számközt, ami a tartózkodási helyüket a lakóhelyükkel összeköti! Henrik a 2-es számnál lakik, Benő a nullánál, Nyuszti pedig –5-nél.
B -20
-15
–5 -4
-10
Ny H
Ny
0
5
H
B 10
Megoldás: a) b) c) 2 Egyik nap Benő meghívta barátait, és mindenki leírta, sőt le is rajzolta egy papírra, hogy az elmúlt napokban milyen helyeken jártak, de összekeveredtek a papírok. Párosítsd össze az x-ekre vonatkozó megállapításokat és a számegyeneseket! a) x ≤ 4; b) 1 < x ≤ 5; c) –6 ≤ x; d) –8 ≤ x < –2; e) 1 > x. A) B)
C)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
D)
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2
E)
0
1
2
3
4
5
-2 -1 0
1
2
3
4
-2 -1 0
1
2
3
4
6
Megoldás: A párosítások: a–D, b–E, c–A, d–B, e–C. 3 Egyik következő alkalommal Henriknél gyűltek össze, és úgy gondolták, hogy az útjaikat csak matematikai jelekkel írják le. Készítsd el a hozzájuk tartozó számegyeneseket! a) x ≤ 2; b) 3 < x ≤ 8; c) x > –4; d) –3 ≤ x < –1; e) 6 > x. Megoldás: a) b) c) d) e)
ͭͮͯ
3.
TÁJÉKOZÓDÁS A SZÁMEGYENESEN
4 Harmadszor Nyuszti volt a vendéglátó, és a változatosság kedvéért mindenki számegyenesen ábrázolta az aznapi útját. Írd le ezeket matematikai jelekkel! a) b)
-2 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
-2 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
e)
-2 -1 0
c) d) 1
2
-2 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
-2 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
Megoldás: a) b) c) d) e)
x ≤ 3. –2 < x ≤ 6. 5 < x. –2 ≤ x < 7. x < 1.
5 Rajzold le a füzetedben számegyenesen! a) x < 2; b) x ≥ 3; c) x ≠ 0;
d) x ≮ 3;
e) x ≥ 2.
Megoldás: a) b) c) d) e)
6 Délidőben az állatok kedvenc helyükön napoznak. Írd le a kép alapján matematikai jelekkel, hogy Hangya Henrik, Béka Benő és Nyúl Nyuszti éppen most melyik intervallumban tartózkodik!
Megoldás: Hangya Henrik tartózkodási helye: 6 ≤ x ≤ 9. Béka Benő tartózkodási helye: –7 ≤ x ≤ –4. Nyúl Nyuszti tartózkodási helye: 0 ≤ x ≤ 3.
ͭͮͰ
A DERÉKSZÖGŰ KOORDINÁTA‐RENDSZER
4.
Feladatok 1 Egy rendezett számpárról tudjuk, hogy az első tagja néggyel osztható egyjegyű pozitív szám, a második tagja pedig –3 vagy 5. a) Írd le az összes ilyen számpárt! Pl. (8; –3). b) Ábrázold a számpárok által meghatározott pontokat a koordináta-rendszerben! Megoldás: a) (4; –3), (8; –3), (4; 5), (8, 5). b)
2 Írd le rendezett számpárral az alábbi pontok helyét! Indulj mindig a (0; 0) pontból! A pont: Menj jobbra 3-at, majd felfele 6-ot! B pont: Menj balra 3-at, majd felfele 6-ot! C pont: Menj jobbra 3-at, majd lefele 6-ot! D pont: Menj balra 3-at, majd lefele 6-ot! Megoldás: A(3; 6), B(–3; 6), C(3; –6), D(3; –6). 3 Készítsd el az összes lehetséges rendezett párt, ha az első helyre 1-et vagy 2-t, a második helyre pedig 3-at, 4-et vagy 5-öt írhatsz! Ábrázold a számpárok által meghatározott pontokat a koordináta-rendszerben! Megoldás: (1; 3), (1, 4), (1; 5), (2, 3), (2; 4), (2, 5).
ͭͮͱ
4.
A DERÉKSZÖGŰ KOORDINÁTA‐RENDSZER
4 Rácspontnak hívjuk azokat a pontokat, amelyeket két egész számból álló rendezett számpárral adunk meg. Ábrázold koordináta-rendszerben a következőkben meghatározott pontok közül a rácspontokat! (4; 5);
4 c ; 5 m; 3
(–4; 2);
(–3; 10);
(1; 18);
1 c 4; - m ; 2
c
10 ; 5 m; 11
4 c ; 5 m; 2
(4; 5);
(4; 0).
Megoldás:
5 Sorold fel az ábrán látható pontok közül a rácspontok betűjelét! Add meg a hozzájuk tartozó számpárokat is!
y B
C
Megoldás: A rácspontok: A(5; 4), C(–5; 2).
A
1
E
0
x
1
F D
ͭͮͲ
PONTOK ÁBRÁZOLÁSAI
5.
Feladatok 1 Ábrázold a derékszögű koordináta-rendszerben a következő pontokat: A(0; 10); B(3; 6); C(1; 6); D(4; 2), E(2; 2); F(5; –2); G(1; –2); H(1; –4); I(0; –4)! a) Kösd össze a pontokat ebben a sorrendben! b) Tükrözd az összes pontot az y tengelyre! Milyen alakzatot kaptál? Színezd ki! c) Írd le a tükörképpontok koordinátáit! Megoldás: a)
b)
c) A tükörképpontok koordinátái: A’(0; 10), B’(–3; 6), C’(–1; 6), D’(–4; 2), E’(–2; 2), F’(–5; –2), G’(–1; –2), H’(–1; –4), I’(0; –4).
ͭͮͳ
5.
PONTOK ÁBRÁZOLÁSA
2 Ábrázold a következő pontokat! Mi a közös bennük? Hol helyezkednek el? P(4; 4); Q(–5; –5); R(0; 0); S(2; 2); T(6; 6); V(–2; –2). Megoldás:
Az ábrázolt pontokban az a közös, hogy az első koordinátájuk egyenlő a második koordinátájukkal. Mind egy olyan egyenesen helyezkednek el, amely áthalad az origón. 3 Ábrázold a következő pontokat! Mi a közös bennük? Hol helyezkednek el? V(2; 4); W(6; 4); X(4; 4); Y(–5; 4); Z(0; 4). Megoldás:
Az a közös a pontokban, hogy a második koordinátájuk 4. Egy vízszintes egyenesen helyezkednek el, ami az y tengelyen négynél halad át.
ͭͮʹ
PONTOK ÁBRÁZOLÁSAI 4
5.
Az ábrán látható alakzatokat jegyezd le koordináták segítségével! y
1 0
1
x
Megoldás: A nyíl alakzat pontjainak koordinátái: (0; 3), (–2; 1), (–2, 2), (–5; 2), (–5; 4), (–2, 4), (–2; 5). Az X alakzat pontjainak koordinátái: (1; 1), (2; 1), (1; 3), (2; 4), (3, 3), (4; 4), (5; 3), (4, 2), (5; 1), (4; 0), (3; 1), (2; 0). Az S alakzat pontjainak koordinátái: (0; 0), (1; 0), (1; –2), (–2; –2), (–2; –1), (–3, –1), (–3; –2), (–4; –2), (–4; 0), (–1; 0), (–1; –1), (0; –1). 5 Tervezz a koordináta-rendszerben téglalapot, négyzetet, egyenlő szárú háromszöget úgy, hogy minden csúcsuk rácspont legyen! Írd le a csúcsok koordinátáit! Megoldás: Például: Téglalap: (–4; 1), (–2; 1), (–2, –2), (–4; –2) Négyzet: (6; 4), (7; 4), (7, 5), (7; 4) Egyenlőszárú háromszög: a) (4; –1), (5; –2), (6, 0) b) (–1; 4), (–1; 0), (5, 2)
ͭͮ͵
6.
TOVÁBBI KOORDINÁTA‐RENDSZEREK
Feladatok 1 Ákos nagyon szereti a szép ásványokat, már van is egy kisebb gyűjteménye. Ezeket kis dobozokban tárolja. A dobozok három sorban helyezkednek el, és minden sorban 7 doboz található. A könnyebb tájékozódás miatt az ásványokat úgy koordinátázta, hogy mindegyik kapott két számot. Az első megadja, hogy hányadik sorban, a második pedig megadja, hogy abban a sorban hányadik dobozban van. Vázlatosan rajzold le a füzetedbe a dobozokat, és jelöld sárgával az a), b), c), d) kérdésnek megfelelő dobozokat! 3. sor 2. sor 1. sor
a) A piros dobozban pirit található. Add meg a pirit koordinátáit! b) A zöld dobozban kalcit van. Add meg a kalcit koordinátáit! c) A kalkopiritről csak azt tudjuk, hogy mindkét koordinátája páros szám. Maximum hány dobozt kell megnéznünk, hogy biztosan megtaláljuk? Vázlatosan rajzold le a füzetedbe a dobozokat, és jelöld kékkel a megfelelőket! d) A galenit két koordinátája egyenlő. Megoldás: a) A pirit koordinátái: (1, 4). b) A kalcit koordinátái: (2, 6). c) Három doboznak mindkét koordinátája páros, de a harmadikban volt a kalcit. Még két doboz jön szóba:
d) Három dobozban lehet:
ͭͯͬ
TOVÁBBI KOORDINÁTA‐RENDSZEREK
6.
2 Egy áruház vázlatrajzát mutatja az ábra. A főbejárattól Anitának az A, Botondnak a B, Cilinek a C pontba kellene eljutni. Tekintsd a főbejáratot origónak! a) Add meg ferdeszögű koordináta-rendszer segítségével a célpontokat! b) Dömötörnek a D(0; 3) pontba kellene eljutni. Hol van ez a pont? Hogyan irányítanád őt a főbejárattól? Megoldás: a) A célpontok: A(7; 2), B(–1; 8), C(12; 5). b) A pont helye:
Egy lehetséges irányítás: „Menj egyenesen, kicsit tovább a jobbra nyíló folyosónál, és állj meg ott!” 3 Képzelj el egy 27 kiskockából álló Rubik-kockát a térbeli koordináta-rendszerben. Az origótól legtávolabbi csúcs legyen a (3; 3; 3) koordinátákkal adva. a) Add meg a kocka csúcsainak koordinátáit! b) Milyen háromszög véleményed szerint az (1; 1; 0), (1; 0; 1) és (0; 1; 1) koordinátákkal megadott háromszög? Állításodat próbáld indoklással alátámasztani! Megoldás: a) A kocka csúcsainak koordinátái: (0; 0; 0), (3; 0; 0), (0; 3; 0), (0; 0; 3), (3; 3; 0), (3; 0; 3), (0; 3; 3), (3; 3; 3). b) A három pont egy szabályos háromszöget határoz meg, mivel ha páronként megvizsgáljuk őket, egyegy egység oldalú négyzet átellenes csúcsaiban helyezkednek el, tehát ugyanakkora távolságra vannak egymástól. 4 Képzelj el egy 64 kiskockából álló Rubik-kockát a térbeli koordináta-rendszerben! Az origótól legtávolabbi csúcs legyen a (4; 4; 4) koordinátákkal adva! a) Add meg a kocka lapközéppontjainak koordinátáit! b) Add meg a kocka középpontjának koordinátáit! Megoldás: a) A lapközéppontok koordinátái: (2; 2; 0), (2; 0; 2), (0; 2; 2), (2; 2; 4), (2; 4; 2), (4; 2; 2). b) A kocka középpontjának koordinátái: (2; 2; 2).
ͭͯͭ
7.
MATEMATIKAI JÁTÉKOK
Feladatok 1 A téglalapot az ábrán látható módon 16 darab háromszögre vágtuk. A Írd be ezekbe a kis háromszögekbe 1-től 16-ig az összes egész számot úgy, hogy az ACF, BDG, CEH, CHF, DIG, EJH háromszögekbe írt 4-4 szám összege mindegyikben ugyanannyi legyen! F
B
C
D
E
G
H
I
J
Megoldás:
2 Kérjük meg a társunkat, hogy gondoljon a kedvenc (nem nulla) számjegyére! Ennek a számjegynek a kilencszeresével szorozza meg a 12 345 679-et! Ellenőrizzétek, hogy minden gondolt számjegy esetén meglesz-e a várt hatás! De mi lehet a magyarázat? Megoldás: A 12 345 679 számot minden esetben kilenccel, és a választott (nem nulla) számjeggyel szorozzuk. Mivel 9 ⋅ 12 345 679 = 111 111 111, ezért ennek a tízjegyű számnak a pozitív számjegyszeresei mindig csupa egyforma számjegyet fognak tartalmazni úgy. 3 Az asztalon 10 kocka csoki van. Két testvér osztozkodik rajta. Mindenki egy vagy két kocka csokit vehet el egyszerre. Mindketten szeretnék az utolsó csokit megkaparintani. Mi a jó taktika? Megoldás: Az utolsó csokit az veheti el, aki olyan helyzetbe kerül, hogy már csak két csoki van előtte az asztalon. Ezt a helyzetet az tudja létrehozni, aki öt szem csokit hagy az asztalon, mert ha a testvére egyet vesz el, ő kettőt és fordítva. Öt szem csokit az hagyhat az asztalon, aki nyolc szem csokit is az asztalon hagy, ugyanilyen megfontolásból: bármit vesz a testvére, ő ötre „kerekíti”. Nyolc csokit pedig az hagyhat az asztalon, aki kezd, és rögtön két csokit elvesz. Tehát a jó taktika a kezdés. Aki kezd (és nem ront), azé lesz az utolsó darab csoki. 4 Egymás melletti hét négyzetlapon hat bábu áll, három fehér és három fekete. Kétféle lépés lehetséges: I. Áttehetünk egy bábut a szomszédos mezőre, ha az üres. II. Átugorhatunk egy mellette lévő bábut, ha a következő mező üres. Ilyen lépésekkel cseréld meg a fehér és fekete bábukat, de minden bábunak csak a célja felé szabad haladnia, visszafelé nem! Megoldás: A megoldás lépéseinek szemléltetésére szolgáló ábrasorozat. A lépések: 1.
ͭͯͮ
MATEMATIKAI JÁTÉKOK 2.
9.
3.
10.
4.
11.
5.
12.
6.
13.
7.
14.
8.
15.
7.
5 A 16 kis körbe írd be 1-től 16-ig az egész számokat úgy, hogy a sugarakon és a körvonalakon lévő 4-4 szám összege 34 legyen! Megoldás:
ͭͯͯ
8.
KERESSÜNK ÖSSZEFÜGGÉSEKET!
Feladatok 1
Az 1. példa ötletét felhasználva készíts egy feladványt magyarországi településekkel!
Megoldás: Egy lehetséges feladvány: Ózd, Eger, Dabas, Sopron stb. 2 Írj egy lehetséges folytatást a megkezdett felsoroláshoz: András, Ákos, Botond, Cecília, Csongor, Daniella stb.! Lehetne-e a tagja a felsorolásnak a Molnár, Gergely, Kovács, Eger, Ferenc? Érvelj az igen és a nem mellett is! Ha igen, akkor hányadikak lehetnének a felsorolásban? Megoldás: Egy lehetséges folytatás: Elemér, Éva, Ferenc, Gedeon. A megadott szavak nem lehetnek tagjai a felsorolásnak, ha csak keresztnevekkel lehet folytatni, valamint a Gergely és Ferenc neveket kizárjuk. A megadott szavak tagjai lehetnek a felsorolásnak, ha az a szabály, hogy az ábécé következő betűjével kezdődik a soron következő szó. Ebben az esetben Molnár a 17., Gergely a 9., Kovács a 15., Eger a 6. és Ferenc a 8. tag lenne a sorozatban. 3
Folytasd a dominósorozatot három elemmel! A megadottakból választhatsz!
Megoldás:
4 Sorban egymás mellé tettük a pénzérméket, a számokkal felfelé: 5, 10, 20, 50, 100. Ugyanígy folytatjuk a pénzérmék egymás mellé helyezését. Ezután minden harmadik pénzérmét megfordíthatunk. a) Mi lesz látható a 48. pénzérmén? b) És a x100. pénzérmén? Megoldás: a) Mivel öt pénzérme ismétlődik, ezért a 46. érme ötös, a 47. érme tízes és a 48. érme húszas lesz. Ennek hátlapján a magyar nőszirom van. b) Az előzőekben leírt módon gondolkodva megkapjuk, hogy a 100. pénzérme százas, és biztosan számmal felfelé van az asztalon, a hátlapján Magyarország címere látható.
ͭͯͰ
KERESSÜNK ÖSSZEFÜGGÉSEKET!
8.
5 Megadtunk néhány pontot a koordinátáikkal. A megadott sorrendben kösd össze őket, majd a meg igyelésedet alkalmazva adj meg még további három pontot! (0; 0), (1; 1), (1; 0), (3; 2), (3; 0), (6; 3), … Megoldás: Készítsünk ábrát a szöveg szerint!
A további három pont: (6;0), (10,4), (10;0). 6 Hogyan tovább? 121, 232, 343, 454, 565, 676, 787, 898, … Megoldás: Egy lehetséges folytatás: Leírjuk sorban a pozitív egész számokat duplán, úgy hogy közéjük mindig a náluk eggyel nagyobb számot írjuk be. 9109, 101110, 111211, 121312, … . Egy másik lehetséges folytatás: Olyan háromjegyű számokat írunk, amelynek a két szélső jegye 1-től 9-ig sorban a számjegyek, majd kezdődik újra. A középső jegy pedig ugyanígy, de 2-vel kezdve. 919, 121, 232, 343, 454, … . Megjegyzés: Fontos megbeszélni, hogy azokban az esetekben, amikor a kérés alapján nem egyértelmű a folytatás, akkor az ötletességünk és fantáziánk alapján több jó megoldást is megfogalmazhatunk.
ͭͯͱ
9.
SOROZATOK
Feladatok 1 A számegyenesen látható állatok a berajzolt helyről az adott irányba indulnak, és mindig ugyanakkorát ugranak. Melyik számhoz érnek az első, a második, az ötödik és a tízedik ugrásukkal?
a) -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
b) -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
c) -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
d) -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
e) -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
Megoldás: első ugrás
második ugrás
ötödik ugrás
tízedik ugrás
a)
5+1⋅3=8
5 + 2 ⋅ 3 = 11
5 + 5 ⋅ 3 = 20
5 + 10 ⋅ 3 = 32
b)
–3 + 1 ⋅ (–1) = –4
–3 + 2 ⋅ (–1) = –5
–3 + 5 ⋅ (–1) = –8
–3 + 10 ⋅ (–1) = –13
c)
3 + 1 ⋅ 1,5 = 4,5
3 + 2 ⋅ 1,5 = 6
3 + 5 ⋅ 1,5 = 10,5
3 + 10 ⋅ 1,5 = 18
d)
2 + 1 ⋅ (–2) = 0
2 + 2 ⋅ (–2) = –2
2 + 5 ⋅ (–2) = –8
2 + 10 ⋅ (–2) = –18
e)
3,5 + 1 ⋅ 2,5 = 6
3,5 + 2 ⋅ 2,5 = 8,5
3,5 + 5 ⋅ 2,5 = 16
3,5 + 10 ⋅ 2,5 = 28,5
ͭͯͲ
SOROZATOK 2 a) b) c)
9.
Keress egy-egy szabályt, és folytasd a sorozatokat 3-3 számmal! 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, … . d) 5, 3, 1, –1, … . 0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, … . e) 1, 2, 11, 3, 111, 4, 1111, 5, … . 1, 2, 4, 8, 16, … .
Megoldás: a) 29, 37, 46. Szabály: mindig eggyel többet adunk hozzá az előző számhoz. b) –4, 5, –5. Szabály: a természetes számok sorozatában minden pozitív szám után leírjuk az ellentettjét is. c) 32, 64, 128. Szabály: kettővel szorozzuk az előző számot. d) –3, –5, –7. Szabály: kettőt kivonunk az előző számból. e) 11 111, 6, 111 111. Szabály: növekvő sorrendben leírjuk a pozitív egész számokat, majd az 1-nél nagyobbak után annyi darab 1-esből álló számot írunk, amennyi a szám értéke. 3 Az előző feladat b) és e) részében szereplő sorozatoknak add meg a 15. és a 16. tagját, anélkül hogy a közbeesőket felsorolnád! Használd az általad kitalált szabályokat! Megoldás: b) –7 és 8. e) 11 111 111 és 9. 4 Pisti szeretne indulni a maratoni-futóversenyen. Úgy edz, hogy minden héten egy körrel többet fut a Margitszigeten, ami a maratoni távnak pontosan az egynyolcada. a) Hány hét múlva mondhatja el, hogy már lefutott egy maratoni távot? b) Hány hét múlva mondhatja el, hogy az aznapi edzésen lefutott egy maratoni távot? Megoldás: a) Négy hét múlva mondhatja el, hogy már lefutott egy maratoni távot, mert aznap futja le a 8. kört. b) A nyolcadik héten mondhatja. 5 Julcsi 3 naponta hajat mos és 5 naponta rendet rak a szobájában. Ma kedd van, és mindkettőt elvégezte. Legközelebb a hét melyik napján fog egybeesni ez a két tevékenysége? Megoldás: Julcsi 15 nap múlva fogja újra a hajmosást és a rendrakást egy napon végezni, ami szerdára esik. 6 Egy ötfős családban valaki kint hagyott az asztalon egy nagy szelet süteményt. Aznap mindenki, mikor arra járt, megette a sütemény felét. Hányadrészét ette meg az utolsóként érkezett? Megoldás: Az első arra járó a felét ette meg, a második a negyedét, a harmadik a nyolcadát, a negyedik a tizenhatodát. Az ötödik megette a harminckettedét (és a sütemény harminckettede ekkor még megmaradt).
ͭͯͳ
10.
NEVEZETES, ÉRDEKES SOROZATOK
Feladatok 1
Képzeljük el, hogy a Rubik-kockákat kiskockákból rakjuk össze.
Hány darab kiskockát használunk az egyes nagy kockák építéséhez? Adjuk meg az így kapott sorozat első nyolc tagját! A sorozat első tagja legyen az 1. Megoldás: A sorozat első nyolc tagja: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512. 2 Írd le a 1. példában szereplő Xénia sorozatának első tíz tagját! Aztán minden szomszédos pár alá írd le az összegüket is! Mit veszel észre? Milyen sorozatot kapsz így? Megoldás: Xénia sorozata: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55. Az összegek: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Például: csupa páratlan négyzetszámot kapunk Ezek éppen Yvette számai.. 3 Xénia és Yvette sorozata is 1-gyel kezdődik. Keress még olyan számot, amely mindkét sorozatban szerepel! Megoldás: Ilyen szám például a 36. Megjegyzés: Elképzelhető, hogy a gyerekek nem találnak továbbiakat, de érdekességként leellenőriztethető velük, hogy például az 1225 is megfelelő szám. (Ez a szám a 35. Yvette sorozatában, és a 49. Xénia sorozatában.) 4
Add meg Xénia, Yvette és Zelma sorozatában is a legkisebb háromjegyű számot!
Megoldás: A legkisebb háromjegyű szám Xénia sorozatában a 105, Yvette sorozatában a 100, Zelma sorozatában pedig a 117.
ͭͯʹ
NEVEZETES, ÉRDEKES SOROZATOK 5
10.
A leckében szereplő három lány közül kinek a sorozatában szerepelhet a 121?
Megoldás: Yvette sorozatában szerepel. Megjegyzés: Ezzel a feladat kérdésére válaszoltunk, de érdemes megvizsgáltatni a gyerekekkel, hogy a többiekében szerepel-e. (A válasz: nem.) 6 Nevezz meg legalább egyet a leckében szereplő három lány közül, akinek a sorozatában biztosan nem szerepel a 2016! Megoldás: Yvette sorozatában biztosan nem szerepel. Ez ellenőrizhető a leggyorsabban, hiszen 44 ⋅ 44 még kevés, a 45 ⋅ 45 már sok. Megjegyzés: Xénia sorozatában viszont szerepel, Zelmáéban pedig szintén nem.
ͭͯ͵
11.
TÁBLÁZATOK, GRAFIKONOK
Feladatok 1 A leckében szereplő menetrend szerint hány HÉV indul ezen a napon 14:00 és 18:00 között ebből a megállóból? Megoldás:
10 + 10 + 9 + 8 + 1 = 38. Vagyis 38 HÉV indul ebből a megállóból 14:00 és 18:00 között. (Beleszámoltuk a pontosan 14:00-kor és 18:00-kor indulókat is.) 2 Valaki 12:00 és 21:30 között érkezik ebbe a megállóba, de nem tudja a pontos időt. Mit gondolhat, hány percen belül fog érkezni a HÉV? Megoldás: Legrosszabb esetben 20 percen belül jön a HÉV. 3
Hány napon nem várható csapadék a 15 napos előrejelzés ábrája alapján?
Megoldás: Négy olyan nap van az előrejelzésen, amelyiken nem várható csapadék. 4
Hány olyan napot jósolnak, amikor a napi legmagasabb hőmérséklet 20 fok fölötti?
Megoldás: Nyolc ilyen napot jósoltak. (A 20-as előrejelzés még nem 20 fölötti!) 5
Hány olyan nap várható, amikor a napi legalacsonyabb hőmérséklet is meghaladja a 10 fokot?
Megoldás: Két ilyen nap várható. 6
Melyik napon lehet a legnagyobb a hőmérsékleti eltérés?
Megoldás: Rögtön az első szombaton, 24 – 6 = 18 fok. Ez a legnagyobb hőingadozás.
ͭͰͬ
ÖSSZEFOGLALÁS
12.
Feladatok 1 A felsoroltak közül melyik adat szokott szerepelni egy színházjegyen? a) a napi hőmérséklet; b) a néző neve; c) az előadás dátuma. A helyes válasz: c). 2 A postai levelek címzésénél fontos szerepe van a helymeghatározásnak. Ennek segítségével kézbesítik a megfelelő helyre a levelet. Milyen szám nem szerepel a címzésben? a) irányítószám; b) évszám; c) házszám. A helyes válasz: b). 3 Az elektronikus levelek is csak akkor érkeznek meg a címzetthez, ha pontosan írjuk a címet. A címben melyik jelnek kell feltétlenül szerepelnie? a) %; b) @; c) &. A helyes válasz: b). 4 A számegyenes melyik számát határozza meg a következő mondat: A négyestől 2 egységre, a kilencestől 3 egységre található. a) 6; b) 9; c) az előzőektől eltérőt. A helyes válasz: a). 5 Hány számot határoz meg a számegyenesen a következő mondat? Az egyestől 2 egységre van. a) 1; b) 2; c) 3. A helyes válasz: b). 6 A számegyenesen bejelöltük a –1,5 és a 6,5 közötti intervallumot (számközt). Hány darab egész szám van ebben az intervallumban? a) 8; b) 7; c) 6. A helyes válasz: a). 7 Hány számegyenest szoktunk berajzolni síkban egy derékszögű koordináta-rendszerbe? a) 3; b) 2; c) 1. A helyes válasz: b). 8 Hány olyan pont van a derékszögű koordináta-rendszerben, amelynek első jelzőszáma 2? a) 1; b) 2; c) végtelen sok. A helyes válasz: c).
ͭͰͭ
12.
ÖSSZEFOGLALÁS
9 Hány olyan pont van a derékszögű koordináta-rendszerben, amelynek mindkét jelzőszáma 2? a) 1; b) 2; c) végtelen sok. A helyes válasz: a). 10 A Sorozatok című lecke ezzel a sorozattal kezdődött: 2014, 1007, 1008, 504, 252, 126, 63, 64, … . A számok alapján melyik az a mondat, amelyik nem erről a sorozatról szól? a) Egy páros szám után a szám fele következik. b) Egy páros szám előtt a nála 1-gyel nagyobb szám áll. c) Egy páratlan számot a nála 1-gyel nagyobb szám követ. A helyes válasz: b). 11 Melyik szám áll a háromjegyű páros számok sorozatában a negyedik helyen? a) 108; b) 106; c) az előzőek egyike sem. A helyes válasz: b). 12 Egy sorozat minden tagja annyi ötös számjegyet tartalmaz, ahányadik tagja a sorozatnak. Minden tag csak ötös számjegyből áll. Hányadik tagja a sorozatnak az a szám, amelyben a számjegyek összege 100? a) 100; b) 25; c) 20. A helyes válasz: c).
ͭͰͮ
Gerzson és Gazsi a kilátóteraszon álltak, és az óráról órára nagyobbnak látszódó Földet nézték. – A Féreglyuk Expresszel kellett volna jönnünk, nem ezzel az ósdi ionmotoros vacakkal, – horkant fel Gerzson. – Mi lettünk volna az elsők a suliból, akik a FérExszel utaznak. – Ez igaz, de így csak 260 euró volt az út fejenként, a FérExszel pedig 740 lett volna. – Az pont a háromszorosa, – szúrta közbe Panni, aki valahogy a hátuk mögé sündörgött. – Majdnem eltaláltad – vigyorgott kajánul Gerzson –, de 260 ⋅ 3 az 780, és nem 740. – Jól van na. Majdnem a háromszorosa. Kerekítve igazam van – toppantott Panni. – Az út viszont hét napig tart haza, míg a FérExszel csak négy óra lenne. Az viszont… egy nap az 6-szor 4 óra, azaz 42-szer hosszabb ideig jövünk, mint a FérExszel – folytatta Gazsi mosolyogva. – Az apró betűt is elolvastad a reklámjukban? – kérdezte Gerzson. – A FérEx csak Hold körüli pályára szállít, ahonnan hagyományosan lehet a Földre utazni, ami gyakorlatilag plusz egy nap. – Az még mindig csak 4 + 24 = 28 óra. Egy hét az 7 ⋅ 24 = 168 óra, ami pont hatszor annyi idő. – Azaz majdnem háromszor annyi pénzért, hatod annyi idő alatt értünk volna haza – foglalta össze Panni, és elégedetten állt meg a két iú között.
1.
ARÁNYOSSÁGOK, VÁLTOZÓ MENNYISÉGEK
Feladatok 1 Ha egy tojás ára 40 Ft, akkor mennyibe kerül a a) hatos, b) tízes, c) tizenötös doboz tojás? Megoldás: a) 240 Ft;
b) 400 Ft;
c) 600 Ft.
2 Egy felnőtt embernek naponta 2–2,5 liter folyadék bevitelére van szüksége. Ezt a vízigényt nem csak közvetlenül ivással, hanem táplálékkal (pl. leves, egyéb folyadéktartalmú étel) is bevihetjük a szervezetbe. Mennyi folyadékra van szüksége egy embernek egy hét, egy hónap, egy év során? Megoldás: Egy hét: 14–17,5 liter. 31 napos hónap: 62–77,5 liter. 30 napos hónap: 60–75 liter. 29 napos hónap: 58–72,5 liter. 28 napos hónap: 56–70 liter. (Azaz egy hónapban körülbelül 56–75 liter.) Szökőévben: 732–915 liter. Nem szökőévben: 730–912,5 liter. (Azaz egy évben kb. 730–915 liter.) 3 Tóni 1,2 km-re lakik az iskolától. Minden tanítási napon ezt a távot megteszi reggel is, és délután is. Mekkora távot gyalogolt Tóni a tanév a) 16, b) 28, c) 100 tanítási napján? (Most az egyéb gyaloglásait nem számoljuk.) Megoldás: a) 16 ⋅ 2 ⋅ 1,2 = 38,4 (km). b) 28 ⋅ 2 ⋅ 1,2 = 67,2 (km). c) 100 ⋅ 2 ⋅ 1,2 = 240 (km). 4 Lóri Budapesten él. Iskolába, edzésre menet rendszeresen használja a tömegközlekedési eszközöket, ezért havonta bérletet vásárol. Egy diákbérlet ára 3450 Ft. Hány forintba kerül egy utazása, ha összesen a) 23, b) 25, c) 46, d) 115 alkalommal utazott ebben a hónapban? Megoldás: a) 150 Ft;
ͭͰͰ
b) 138 Ft;
c) 75 Ft;
d) 30 Ft.
ARÁNYOSSÁGOK, VÁLTOZÓ MENNYISÉGEK
1.
5 Csupa egyforma papírpénz van egy pénztárcában, összesen 20 000 Ft értékben. Hány darab bankjegy lehet benne összesen? Megoldás: 500 Ft-osokból 1 000 Ft-osokból 2 000 Ft-osokból 5 000 Ft-osokból 10 000 Ft-osokból 20 000 Ft-osból
40 db; 20 db; 10 db; 4 db; 2 db; 1 db.
6 Ede meghallgatta kedvenc együttesének legújabb 6 perces számát. Másnap megmutatta Tóninak és Eszternek, így hárman közösen hallgatták meg ezt a dalt. Így mennyi ideig tartott a zenehallgatás? Megoldás: Természetesen ennek a számnak a meghallgatása akkor is 6 percig tartott.
ͭͰͱ
2.
ARÁNYOS KÖVETKEZTETÉSEK
Feladatok 1 Egy sakk-készlet 32 igurája között 2 király, 4 bástya és 16 gyalog van. a) Hány igura van 16 készletben? b) Hány királyt, bástyát, gyalogot tartalmaz 16 készlet? Megoldás: a) 512 db. b) Király: 32 db, bástya: 64 b, gyalog: 256 db. 2 Gombóc Artúr a következőt mondta: „A kedvenc desszertemet kicsi és nagy csomagolásban lehet vásárolni. Vettem 4 csomaggal a kicsiből, és 32 barátomnak tudtam adni belőle. Mindenki egyet evett. Egy következő alkalommal a nagy csomagolásúból vettem, de csak 3 csomaggal. Hány barátomat kínálhatom meg most?” Megtudtuk, hogy a nagy csomagban 15 darab desszert van. Segíts Artúrnak a kérdés megválaszolásában! Megoldás: 45 barátját kínálhatja meg a 3 nagy csomagból. 3 Az élelmiszerbolt egyik raktárában 126 db 2 dl-es tejfölt tárolnak. A másik raktárában ugyanannyi deciliter tejföl található, de itt 4,5 dl-es csomagolásban. Hány darab van a második raktárban? Megoldás: (126 ⋅ 2) : 4,5 = 56. Vagyis 56 darab van a másik raktárban. 4 „Aranyos” következtetés: Ha III. Béla 25 év alatt 150 rendeletet hozott, akkor 13 év alatt 130 rendeletet hányadik László adott ki? Móricka azonnal észrevette, hogy a 150 a 3 ⋅ 25-nek a kétszerese. Ezért olyan sorszámot kezdett el keresni, amelyiket 13-mal szorozva és duplázva megkapja a 130-at. Ezt gyorsan megtalálta! Mivel 5 ⋅ 13 duplája 130, ezért a válasza: V. László. Mit szólsz ehhez a következtetéshez? Megoldás: Ez helytelen következtetés. A királyok nevében a sorszámoknak nincs ilyen jelentése.
ͭͰͲ
NYITOTT MONDATOK, EGYENLETEK
3.
Feladatok 1 Az A = {hétfő; kedd; szerda; csütörtök; péntek} alaphalmaz mely elemei adják a következő nyitott mondat igazsághalmazát? Ezen a héten …-n van matematikaóránk. Megoldás: Igazsághalmaz: {A megfelelő napokat felsoroljuk}. 2 a) b) c) d) e)
Legyen az alaphalmaz a háromjegyű számok halmaza! Add meg a nyitott mondatok igazsághalmazát! A … számok csupa egyforma számjegyből állnak. A … számok pontosan két nullát tartalmaznak. A … számok pontosan egy nullát és két kilencest tartalmaznak. A … számok kisebbek, mint 105. A … számok nagyobbak, mint 999.
Megoldás: a) b) c) d) e)
{111; 222; 333; 444, 555; 666; 777; 888; 999}. {100; 200; 300; 400, 500; 600; 700; 800; 900}. {990; 909}. {100;101; 102; 103; 104}. {}.
3 Írj egy-egy olyan nyitott mondatot, amelynek az igazsághalmaza a) I = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; b) I = {7; 77; 777}; c) I = {0}! Megoldás: a) A … számokat lehet dobókockával dobni. b) A … pozitív egész számok 1000-nél kisebbek, és csak 7-es számjegyet tartalmaznak. c) A … számnak nincs előjele. 4 Ha egy 24 szeletes tortának több mint a kétharmada elfogyott, akkor a tálcán még … szelet torta lehet. Add meg a fenti nyitott mondat igazsághalmazát! Megoldás: {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.
ͭͰͳ
4.
PRÓBÁLGATÁSOK, KÖVETKEZTETÉSEK
Feladatok 1 Használd a próbálgatás módszerét! a) a ⋅ a = 289; b) b ⋅ b = 841;
c) c ⋅ c = 12 321;
d) d ⋅ d = 1 234 321.
c) 111;
d) 1111.
Megoldás: a) 17;
b) 29;
2 Használd a próbálgatás módszerét! a) a ⋅ a ⋅ a = 64; b) b ⋅ b ⋅ b = 1331. Megoldás: a) 4;
b) 11.
3 Következtess! a) x – 123 = 200;
b) x + 25 = 120;
c) 42 – x = 12;
d) 33 + x = 99.
b) x = 95;
c) x = 30;
d) x = 66.
Megoldás: a) x = 323; 4
Egy szám kétszereséhez 4-et kell adni, hogy 100 legyen. Melyik ez a szám?
Megoldás: A keresett szám: 48. 5
Egy számot 3-mal kell csökkenteni, hogy a 4-szerese 100 legyen. Melyik ez a szám?
Megoldás: A keresett szám: 28. 6
Egy szám feléhez 40-et kell adni, hogy 100 legyen. Melyik ez a szám?
Megoldás: A keresett szám: 120. 7
Egy számot 2-vel kell növelni, hogy a harmada 100 legyen. Melyik ez a szám?
Megoldás: A keresett szám: 298. 8 Lebontogatással oldd meg az egyenleteket! a) (5 ⋅ x + 2) : 7 + 4 = 10; b) (x + 42) ⋅ 2 – 4 = 116; c) (5 ⋅ x + 8) ⋅ 5 – 2 = 48; d) (x + 1) ⋅ 10 + 9 = 20. Megoldás: a) x = 8;
ͭͰʹ
b) x = 18;
c) x = 0,4;
d) x = 0,1.
AZ EGYENLETMEGOLDÁS GYAKORLÁSA
5.
Feladatok 1 Add meg az egyenletek megoldását! Dönts, hogy a próbálgatást vagy a következtetéseket alkalmazod! a) 6 ⋅ x + 38 = 80; b) 7 ⋅ x – 102 = 234; c) 14 ⋅ x + 124 = 126; d) 21 ⋅ x – 136 = –122. Megoldás: a) x = 7;
1 c) x = ; 7
b) x = 48;
2 d) x = . 3
2 Foglald táblázatba találgatásaidhoz az egyenlet bal és jobb oldalának értékét! Így próbáld megtalálni a megoldást! a) 2 ⋅ x – 8 = x + 6; b) 3 ⋅ x – 13 = x + 107; c) x + 22 = 26 – x; d) 2 ⋅ x – 136 = –32 – 2 ⋅ x. Megoldás: a)
x
1
2
5
9
10
12
13
14
bal
–6
–4
–2
10
12
16
18
20
jobb
7
8
11
15
16
18
19
20
b) x = 60;
c) x = 2;
Vagyis x = 14.
d) x = 26.
3 Van-e megoldása a következő egyenleteknek, ha a páros számokat választjuk alaphalmaznak? a) 3 ⋅ x – 24 = 1111; b) 3 ⋅ x – 24 = 112; c) 3 ⋅ x – 24 = 426. Megoldás: a) Nincs, mert a bal oldal páros lesz. b) Nincs, mert az x nem is egész szám. (Az x = c) x = 150.
136 -ot kapjuk, ami nem egész szám.) 3
4 Van-e megoldása a következő egyenleteknek, ha a páratlan számokat választjuk alaphalmaznak? a) 5 ⋅ x – 9999 = 2015; b) 5 ⋅ x –1 234 567 = 2 468 642; c) 5 ⋅ x – 31 = 89. Megoldás: a) Nincs. A bal oldal nem osztható 5-tel, a jobb oldal pedig osztható 5-tel. 3 703 209 -öt kapjuk, ami nem egész szám.) b) Nincs, mert az x nem is egész szám. (Az x = 5 c) Nincs megoldása a páratlan számok halmazán. 5 Add meg az összes megoldását a következő egyenleteknek, ha az x és az y is pozitív egész szám! a) 2 ⋅ x + 4 ⋅ y = 10; b) 2 ⋅ x + 3 ⋅ y = 5. Megoldás: a) x = 1, y = 2; vagy x = 3, y = 1. b) x = 1, y = 1.
ͭͰ͵
5.
AZ EGYENLETMEGOLDÁS GYAKORLÁSA
6 Add meg az egyenletek megoldását! a) [2 · (x – 3) + 5] · 8 – 19 = 421; b) [2 · (x – 3) + 5] · 8 – 19 = 821. Megoldás: a) x = 28;
b) x = 53.
7 Az alaphalmaz legyen a pozitív egész számok halmaza. Add meg az egyenletek megoldását! a) x ⋅ (x + 1) ⋅ (x + 2) = 6; b) x ⋅ (x + 1) ⋅ (x + 2) = 60; c) x ⋅ (x + 1) ⋅ (x + 2) = 0. Megoldás: a) x = 1;
b) x = 3;
c) Nincs ilyen pozitív szám.
8 Az alaphalmaz legyen a pozitív egész számok halmaza. Add meg az egyenletek megoldását! a) x ⋅ (x – 1) ⋅ (x – 2) = 6; b) x · (x – 1) ⋅ (x – 2) = 60; c) x · (x – 1) ⋅ (x – 2) = 0. Megoldás: a) x = 3;
ͭͱͬ
b) x = 5;
c) x = 1, x = 2.
SZÖVEGES FELADATOK
6.
Feladatok 1 Zsiga bácsi a kertjében lévő orgonabokrokról levágott virágokat hetesével összekötve árusította a piacon. Összesen 14 csokrot készített, de 5 szál kimaradt a csokrokból. Hány orgonát vágott le összesen? Megoldás: A 14 csokorban: 14 ⋅ 7 = 98 szál. Vagyis összesen 103 szálat vágott le. 2 Az előző feladattal kapcsolatban azt is tudjuk, hogy minden csokorban 5 lila és 2 fehér orgona volt. Hány fehér orgonát vághatott le összesen? Megoldás: A 14 csokorban: 14 ⋅ 2 = 28 fehér virág volt. A kimaradt 5 színét nem ismerjük, ezért 28, 29, 30, 31, 32 vagy 33 fehéret vághatott le. 3 A bevásárlókosárba tömegre ugyanannyi barackot és almát tettünk. A kosár 56 dkg tömegű üresen. Mennyi barack és mennyi alma van a kosárban, ha a teli kosár 6 kg-os? Megoldás: (600 – 56) : 2 = 272. Vagyis 272 dkg alma és ugyanennyi barack van a kosárban. 4 Tegnap elköltöttem a pénztárcámban lévő pénz felét, és még vettem egy meggyes rétest 200 Ft-ért. Ma pontosan a maradék pénzem felét költöttem. Most összesen 500 Ft van a pénztárcámban. Mennyi pénzem volt a tegnapi vásárlásaim előtt? Megoldás: Ma reggel 1000 Ft-om volt. Tegnap a rétes vásárlása előtt 1200 Ft volt nálam. Vagyis a vásárlásaim előtt 2400 Ft-om volt. 5 Az 5250 Ft-ot egyenlő számú 50 Ft-os és 100 Ft-os pénzérmékkel izettük ki. Összesen hány darab érme kellett ehhez? Megoldás: 5250 : (50 + 100) = 35. 35 db 50-es, és 35 db 100-as kellett, vagyis összesen 70 érme. 6 Botondnak van egy kis félretett pénze. Elkezd takarékoskodni, így megkétszerezi ezt az összeget. Ekkor elkölt 400 Ft-ot. Összehúzza a nadrágszíjat, és ismét sikerül megkétszerezni az előző költés után maradt összeget. Ekkor elkölt belőle 1000 Ft-ot, és még marad 3000 Ft-ja. Mennyi pénze volt eredetileg? Megoldás: Gondolkodjunk visszafelé! Eredetileg 1200 Ft-ja volt.
ͭͱͭ
6.
SZÖVEGES FELADATOK
7 Egy téglalap egyik oldala 11 cm-rel hosszabb, mint a másik. A kerülete 54 cm. Mekkora a területe?
a
Megoldás: A téglalap oldalai 8 cm és 19 cm. A területe 152 cm2. 8 Egy téglalap területe 72 cm². Tudjuk, hogy az egyik oldala 1 cm-rel rövidebb, mint a másik. Mekkora a téglalap kerülete? Megoldás:
a
A téglalap oldalai 8 cm és 9 cm. A kerülete 34 cm. 9 Egy háromgyermekes családban az apa, az anya és a három gyermek életkorának összege 76 év. Mennyi lesz az éveik összege 2 év múlva? Megoldás: Mindenki 2 évvel idősebb lesz, ezért 86. 10 Egy háromgyermekes családban az apa, az anya és a három gyermek éveinek összege 71. Két esztendővel ezelőtt a családtagok éveinek összege 62 volt. Hogyan lehetséges ez? Megoldás: Az egyik gyermek egy évvel ezelőtt született.
ͭͱͮ
ÖSSZEFOGLALÁS
7.
Feladatok 1 a) b) c) d)
A következő kérdéseket írd át egyenlet alakúra, aztán add meg a megoldást! Mennyiből kell –12-t elvenni, hogy a különbség 8 legyen? Mennyihez kell 23-at adni, hogy az összeg –1 legyen? Melyik számot kell 3-mal megszorozni, hogy a szorzat egy híján 1000 legyen? Melyik számot kell 7-tel megszorozni, hogy a szorzat eggyel több legyen 55-nél?
Megoldás: a) x – (–12) = 8. x = –4. b) x + 23 = –1. x = –24. c) 3x + 1 = 1000. x = 333. d) 7x – 1 = 55. x = 8. 2 Add meg a következő egyenletek megoldását! a) 3 ⋅ (x – 1) + 2 ⋅ (x + 3) = 6; b) 5 ⋅ (x + 4) – 3 ⋅ (x + 3) = 23. Megoldás: a) Alkalmazzuk a próbálgatás módszerét! A bal oldal x = 0 esetén csak 3, x = 1 esetén pedig 8. A 0,9, a 0,8, … kipróbálásával eljutunk a megoldáshoz. x = 0,6. b) x = 6. 3 Add meg a következő egyenletek megoldását! a) 5 ⋅ (x – 7) = 9 ⋅ (x – 11); b) 7 ⋅ (x + 4) = 6 ⋅ (x + 5). Megoldás: a) x = 16;
b) x = 2.
4 Egy kosárban almák, barackok és körték vannak, összesen 68 db. A barackok száma kétszerese az almák számának. A körtékből pedig kettővel több van a kosárban, mint alma és barack összesen. Melyik gyümölcsből mennyi van a kosárban? Megoldás: Írjuk a szöveget egyenlet alakban: a + 2 ⋅ a + 3 ⋅ a + 2 = 68! Vagyis 11 db alma, 22 db barack, 35 db körte van a kosárban.
ͭͱͯ
7.
ÖSSZEFOGLALÁS
5 Egy tanya udvarán libák és malacok vannak. Matyi szerint összesen 24 feje és 92 lába van ezeknek az állatoknak. Melyik állatból mennyi lehet az udvaron? Megoldás: Készítsünk táblázatot! Annyi oszlopot töltsünk ki, amennyi szükséges ahhoz, hogy eljussunk a megoldáshoz! malacok
24
23
22
libák
0
1
2
lábak
96
94
92
Vagyis 22 malac és 2 liba volt az udvaron.
ͭͱͰ
Leszálláshoz készülődtek. Az osztály kialvatlanul és izgatottan toporgott az ablakoknál. Együtt hallgatták a wikikomp tájékoztatóját. – Kedves utasok! Hamarosan megérkezünk a célhoz. Kérem, foglalják el ülőhelyeiket a landolás idejére! Pozicionálom a leszállást segítő egységeket, hogy minél zavartalanabb legyen útjuk utolsó szakasza. Köszönöm, hogy társaságunkat választották az utazáshoz, remélem, máskor is találkozunk még. Ekkor szólalt meg Okoska. – Ne aggódjatok, azt olvastam a tájékoztató füzetben, hogy tavaly körülbelül 1 000 000 landolás volt a Liszt Ferenc 4-es terminálon, és 999 998 teljesen sikeres volt! – Mi történt a másik kettővel? – kérdezte Zsombi aggódva. – Arról nem írtak semmit, de ez csak 2 : 1 000 000-hoz, azaz 1 : 500 000-hez az esély arra, hogy valami apró probléma lesz. – Mi lesz, ha nem sikerül a pozicionálás? – aggódott tovább a másik. – Akkor szinte bárhol földet érhetünk, ami nem lenne túl kellemes. A Föld felszíne nagyjából 510 millió km2, 360 és ebből 360 millió km2-t borít víz. Ez azt jelenti, hogy ... . 0,7 az esély arra, hogy a leszállás után a 510 tengerben kötünk ki. Miközben Attila szóval tartotta osztálytársait, mindegyikük bekötötte magát, és baj nélkül landoltak. Gondolatban már a hatodikos kirándulást tervezték.
1.
ͭͱͲ
JÁTÉKOK
ADATGYŰJTÉS, AZ ADATOK ÁBRÁZOLÁSA
2.
Feladatok 1 Gyűjtsétek össze, hogy ebben a tanévben ki hány könyvet olvasott! Készítsetek táblázatot az adatokból! Válaszd ki öt barátodat, és ábrázold oszlopdiagramon a táblázatbeli értékeket! Megoldás: Egyéni táblázatok, egyéni eredmények. 2 Gyűjtsétek össze, hogy kinek hány édestestvére van! Készítsetek táblázatot az adatokból! Rajzoljatok oszlopdiagramot is az adatok alapján! Megoldás: Egyéni táblázatok, egyéni eredmények. 3 Hányan járnak az iskolátok egyes osztályaiba? Nézzetek utána! Gyűjtsétek össze az adatokat! Hol keresnétek ezeket? Megoldás: Egyéni táblázatok, egyéni eredmények. Sok iskola a saját weblapján közli ezeket az adatokat, de érdemes lehet az iskolatitkárnál vagy az osztályfőnöknél is érdeklődni. 4 Egy állatkert néhány lakójának egyedszámát mutatja a diagram. Állapítsd meg, hogy melyik oszlop melyik állathoz tartozik, hány van belőlük az állatkertben! Fele annyi víziló van, mint zebra. Több a csimpánz, mint az orángután. Ugyanannyi elefánt van, mint víziló. Megoldás:
6 5 4 3 2 1 0
Az oszlopok balról jobbra: elefánt vagy víziló, zebra, csimpánz, elefánt vagy víziló, orángután. 2 részük iú. 5 A lányok harmada barna hajú, 2 fekete, a többi szőke. A iúk negyede szőke, fele barna, 1 vörös, a többi fekete. Készíts a füzetedbe oszlopdiagramot, amin ábrázolod, hogy az osztály tanulói között hány szőke, barna, fekete, illetve vörös gyerek van! 5
Összesen 30 gyerek jár az osztályba.
Megoldás: Lásd az ábrát! 6 Mérjétek le, hogy kinek hány cm hosszú a haja! Rendezzétek az adatokat táblázatba! Készítsetek gra ikont az adatok alapján! Megoldás: Egyéni táblázatok, egyéni eredmények.
ͭͱͳ
3.
ÁTLAG ÉS TULAJDONSÁGAI
Feladatok 1 Add meg az átlagát a következő számoknak a) 2, 8; b) 1, 9; c) –1, 11; d) –12, 22; e) 2,5, 9,5! Megoldás: a) 5;
b) 5;
c) 5;
d) 5;
e) 6.
2 Két szám átlaga 5. Mennyi lehet az egyik szám, ha a másik a) 2; b) 9; c) 7; d) –8; e) 1,3? Megoldás: a) 8;
b) 1;
c) 3;
d) 18;
3 Adj meg 2 egész számot, ha átlaguk a) 10; b) 7; c) 4,5; d) –2;
e) 8,7. e)
4 ! 3
Megoldás: Az a), b), c), d) esetben sok megoldás létezik, például a) 0, 20; b) 0, 14; c) 4, 5; d) –4, 0; e) Nincs ilyen számpár! 4 Adj meg 3 egész számot, ha átlaguk a) 10; b) 7; c) 4,5; d) –2;
e)
4 ! 3
Megoldás:
5 a) b) c)
Májusi eső aranyat ér. Mely napon (napokon) esett a legkevesebb eső? Hány mm eső esett május első hetében összesen? Ha összesen ugyanannyi (mint a gra ikonon látható), de minden nap egyforma mennyiségű eső esett volna, akkor naponta mennyi eső esett volna? Ábrázold gra ikonon ezt az értéket! d) Hány mm eső esett naponta átlagosan? Megoldás: a) Május 7-én 0 mm eső esett. b) 21 mm; c) 3 mm;
d) 3 mm.
ͭͱʹ
eső (mm)
Az a), b), d), e) esetben sok megoldás létezik, például a) 0, 10, 20; b) 6, 7, 8; c) Nincs ilyen számhármas! d) –4, –2, 0; e) 0, 1, 3. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. május
ÁTLAG ÉS TULAJDONSÁGAI 6
3.
Át lehet-e sétálni egy folyón, ha annak átlagos mélysége 70 cm?
Megoldás: Nem tudhatjuk. Ettől még lehet olyan része a folyónak, ahol 5 méter mély, de az is lehet, hogy szinte mindenütt körülbelül 70 cm mély.
ͭͱ͵
4.
LEHETETLEN, LEHETSÉGES, BIZTOS
Feladatok 1 Sajnos Olga néni kicsit megégette az almás pite alját a tepsi szélénél, de ez nem látszik. A tányéron evésre vár 12 almás pite, amik közül 3 égett aljú. a) A tányéron lévő piték hányad része égett? b) Hányat kell elvenni a tálról, hogy biztosan legyen köztük jó? c) Hányat kell elvenni a tálról, hogy biztosan legyen köztük jó és égett is? d) Jó vagy égett pitére van nagyobb esély, ha csak egyet vehetek el? Megoldás: 3 1 a) = ; 12 4 b) 4; c) 10; 3 1 d) > , tehát jó pitére van nagyobb esély. 4 4 2 Az 5. b-be 8 szőke, 12 barna és 5 fekete hajú gyerek jár. a) Legfeljebb hány gyereket választhatok ki, hogy ne legyen köztük szőke? b) Hány gyereket kell kiválasztani a hétvégi sportversenyre, hogy biztos legyen köztük szőke? c) Hány gyereket kell kiválasztani a hétvégi sportversenyre, hogy biztos legyen köztük barna? d) Ha csak egy gyereket választunk, akkor az legnagyobb eséllyel milyen hajszínű lesz? e) Hány gyereket kell kiválasztani, hogy biztos köztük legyen a fekete hajú ábrándos tekintetű Panni? Gyűjtsétek össze, hogy az osztályotokba hány szőke, barna, fekete, vörös hajú gyerek jár, és válaszoljátok meg az első négy kérdést a ti adataitok alapján is! Megoldás: a) b) c) d) e)
17; 18; 14; barna; 25.
ͭͲͬ
ÖSSZEFOGLALÁS
5.
Feladatok 1 Készítettünk egy egyszerű titkosírást. Minden betűt az ötödik rákövetkezővel helyettesítettünk, az alábbi betűsorban: AÁBCDEÉFGHIÍJKLMNOÓÖŐPQRSTUÚÜŰVWXYZ Amikor a végére értünk, akkor újra az elején folytattuk. Például A helyett E-t írtunk, M helyett Ő-t, V helyett A-t. A PUSZI szó kódolva UWŰDM. Pontot, vesszőt, egyéb írásjelet nem használtunk. Kódoltunk egy szövegrészt, és a következő eredményt kaptuk: ŰDIÜIÖIŐVYDIÍKJMEVEÖŰDMAÍFIP Vajon mi lehetett az eredeti szöveg? Küldj pár szavas üzenetet padtársadnak titkosítva! Megoldás: SZERELEMTÜZEÉGFIATALSZIVÉBEN 2 A gyerekek sorsolással akarják eldönteni, hogy melyik két tanuló marad bent az iskolában rendet rakni. Matyi: Mindenki dobjon egyet a kockával! Akik a legkisebbet dobták, újra dobnak, amíg ketten maradnak. Panni: Dobjunk célba! Aki eltalálja a célt, az nem dob tovább. A két utolsónak maradó fog rendet rakni. Gazsi: Készítsünk annyi cetlit, ahányan vagyunk, de kettőre rajzoljunk fekete foltot! Összehajtogatjuk, és mindenki húz egy cetlit. Akik a fekete foltot húzzák, bent maradnak rendet rakni. Melyikük javaslata ad egyenlő esélyt a gyerekeknek? Megoldás: Gazsi javaslata igazságos. 3 Ha kinyitod a matematikakönyvedet, akkor mi az esélye, hogy jobb oldalon páratlan szám lesz? Próbáld ki! Mi az esélye, hogy 3 többszöröse lesz? Próbálgasd! Megoldás: A jobb oldalon mindig páratlan oldalszám áll, tehát ennek esélye 1. Annak esélye, hogy 3-mal osztható 1 lesz, körülbelül . 3 4 Össze tudod párosítani a gra ikonokat az adatokkal? a) Feldobtunk egy érmét hússzor, és lejegyeztük, hány fej és hány írás volt. b) Az osztályban az első 20 gyerek között ilyen a lányok és a iúk megoszlása.
10
10
Megoldás:
5
5
Pusztán ezen adatok alapján ez nem eldönthető. Mindegyik gra ikon tartozhat akár az a), akár a b) kísérlethez.
0
0
ͭͲͭ
5.
ÖSSZEFOGLALÁS
Tesztfeladatok 1
Az 5. b-ben 10 lány kislabda-hajítását mérik.
m 25 20 15 10 5 0
V. A. W. G. Sz. P. Sz. L. G. V.
K. P.
Z. A.
A. B. C. D. H. L.
Aki 18 méter fölött dobott, az 5-öst kapott. Hányan kaptak ötöst? A: 6;
B: 5;
C: 4;
D: 3.
2 Az alább kiterített négy kocka egyikével dobtak 120-at Kengyel tanárnő matekóráján. A dobott számok darabszámát a táblázat tartalmazza. Szerinted melyik kockát használhatták a legnagyobb eséllyel? dobott szám
1
2
3
4
darab
63
16
15
26
A: 1 2
B: 3
5
4
3
6
C:
1 2
4
1
3
2
D: 3
1 2
1
4
1
1
4
4
1
2
3 Bütyök félévi jegyeihez képest év végére 2 tárgyból egy-egy jegyet javított, testnevelésből viszont két jegyet rontott. A többi jegye nem változott. Mennyivel változott év végére az átlaga a félévi átlagához képest? A: Romlott;
4
B: Nem változott;
C: Nőtt;
D: Ezekből az információkból nem lehet megállapítani.
Melyik nem lehet négy egész szám átlaga?
A: 5,5;
B: –2;
C: 3,25;
D: 5,2.
5 Ha ennek a kérdésnek a válaszai közül véletlenszerűen választasz egyet, akkor az milyen eséllyel lesz jó? (Még mielőtt elolvasnád, és megoldanád a feladatokat.) A:
1 ; 2
B:
3 ; 4
Tesztfeladatok megoldása: 1. D; 2. C; 3. B; 4. D; 5. C.
ͭͲͮ
C:
1 ; 4
D: 1.
