MATEMATIKA 5. MUNKAFÜZET Megoldások

MATEMATIKA 5. MUNKAFÜZET Megoldások

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

A tankönyv megfelel az 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet: 2. sz. melléklet: Kerettanterv az általános iskolák 5–8. évfolyama számára 2.2.03. előírásainak. Tananyagfejlesztők: Számadó László, Gedeon Veronika, Korom Pál József, Tóthné Szalontay Anna, dr. Wintsche Gergely

Alkotószerkesztő: dr. Wintsche Gergely

Vezetőszerkesztő: Tóthné Szalontay Anna

Tudományos szakmai lektor: Rózsahegyiné dr. Vásárhelyi Éva Pedagógiai lektor: Beck Zsuzsanna

Fedélterv: Slezák Ilona

Látvány- és tipográfiai terv: Orosz Adél Illusztráció: Létai Márton

Szakábra: Szalóki Dezső, Szalókiné Tóth Annamária

Fotók: Wikimedia Commons; Flickr; Pixabay; MorgueFile

A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. ISBN 978-963-682-753-3

© Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet A kiadásért felel: dr. Kaposi József, főigazgató Raktári szám: FI-503010502

Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála Nyomdai előkészítés: Kardos Gábor Terjedelem: 16,48 A/5 ív, tömeg: 327 gramm 1. kiadás, 2014

A kísérleti tankönyv az Új Széchenyi Terv Társadalmi Megújulás Operatív Program 3.1.2-B/13-2013-0001 számú, „A Nemzeti alaptantervhez illeszkedő tankönyv, taneszköz és Nemzeti Közoktatási Portál fejlesztése”című projektje keretében készült. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg.

Nyomtatta és kötötte az Alföldi Nyomda Zrt., Debrecen Felelős vezető: György Géza vezérigazgató A nyomdai megrendelés törzsszáma: 0000.49.01

Tartalomjegyzék I. Az egész számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6



1. A számjegyek hármas csoportosítása és a számok kiejtése . . . . . . . . . . . 6 2. A természetes számok helyesírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3. A helyiértékes írás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4. A természetes számok kialakulása, a római számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5. A számegyenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6. Összeadás, írásbeli összeadás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 7. Kivonás, írásbeli kivonás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 8. Szorzás fejben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 9. Műveletek tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 10. Írásbeli szorzás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 11. Írásbeli osztás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 12. Az osztás tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 13. Osztó, többszörös, számrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 14. Becslés, kerekítés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 15. Negatív számok, abszolút érték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 16. Műveletek előjeles mennyiségekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 17. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

II. Törtek, tizedes törtek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32



1. Tört, törtek ábrázolása számegyenessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2. Tört bővítése, egyszerűsítése, összhasonlítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3. Egyenlő nevezőjű törtek összeadása és kivonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4. Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5. Tört szorzása természetes számmal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6. Tört osztása természetes számmal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7. Vegyes számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8. Tizedes törtek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 9. Tizedes törtek összeadása és kivonása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 10. Tizedes törtek szorzása természetes számmal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 11. Tizedes törtek osztása természetes számmal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 12. Közönséges törtek tizedes tört alakja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 13. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3

Tartalomjegyzék III. Mértékegységek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49



1. A hosszúság mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2. Testek tömegének mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3. Az idő mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

IV. Bevezetés a geometriába . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56



1. Tárgyak csoportosítása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2. Test, felület, vonal, pont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3. Testek építése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4. Testek szemléltetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5. Testek geometriai jellemzői . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6. Párhuzamos egyenesek, merőleges egyenesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7. Téglalap, négyzet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8. Párhuzamos és merőleges síkok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 9. Kitérő egyenesek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 10. Téglatest, kocka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 11. Síkidomok, sokszögek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 12. A kör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 13. A gömb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 14. Szakaszfelező merőleges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 15. Szerkesztések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 16. A szög . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 17. Téglalap, négyzet kerülete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 18. A terület mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 19. Téglalap, négyzet területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 20. Téglatest, kocka felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 21. A térfogat mérése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 22. Téglatest, kocka térfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 23. Gyakorlati feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 24. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4

Tartalomjegyzék V. Helymeghatározás, sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96



1. Helymeghatározás szerepe környezetünkben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2. Helymeghatározás matematikaórán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3. Számok ábrázolása számegyenesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4. A derékszögű koordináta-rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5. Pontok ábrázolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6. Számegyenesek egyéb elrendezései . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7. Összefüggések keresése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8. Szabályjátékok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9. Számsorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 10. Nevezetes, érdekes sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 11. Táblázatok, grafikonok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 12. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

VI. Arányosság, egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

1. Arányosságok, változó mennyiségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2. Arányos következtetések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3. Nyitott mondatok, egyenletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4. Próbálgatások, következtetések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5. Gyakoroljuk az egyenletmegoldást! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6. Szöveges feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

VII. Adatgyűjtés, statisztika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

1. Játék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2. Adatgyűjtés, az adatok ábrázolása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3. Átlag és tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4. Lehetetlen, lehetséges, biztos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5. Összefoglalás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5

I. Az egész számok 1. A számjegyek hármas csoportosítása és a számok kiejtése 1 Írd le számokkal!

2 8

huszonnyolcmillió-hatszázötezer-kilencszáztíz

6 0 5

8 0

nyolcvanmillió-hatszázhatvankilencezer-ötszáz kétmillió-negyvenkettő

9 1 0

6 6 9

5 0 0

2 0 0 0

0 4 2

2 1 1 6

1 2 6

1 5 2 0

egymillió-ötszázhúszezer-háromszázhetvenhét

kétmillió-egyszáztizenhatezer-egyszázhuszonhat

3 7 7

2 A következő szavak közül írd valamelyiket a pontozott helyekre: ezer, millió, milliárd (1 000 000 000), billió (1 000 000 000 000)! Az üres helyekre vízszintes vonalat húzz! 345 103 401

háromszáznegyvenöt

millió

tizenkét

millió

12 000 027

4 023 456 120

milliárd

négy

34 000 000 003

huszonhárom

harmincnégy

107 670 100 000 százhét

432 400 310 000 112

négyszázharminckét

99 900 000 009 000 kilencvenkilenc

huszonhét millió

négyszázötvenhat

hatszázhetven

billió

ezer

kilencszáz

százhúsz

száz

négyszáz milliárd háromszáztíz

billió

–

–

millió

milliárd

–

négyszázegy

három

milliárd

milliárd

ezer

egyszázhárom

millió

–

ezer száztizenkettő

kilenc

ezer

–

3 Bontsd fel a számokat függőleges vonalakkal hármas csoportokra! Írd a számok hármas csoportjait a megfelelő oszlopokba! Az üres helyekre húzz vízszintes vonalat! a szám

7345232

434543000

10000000000

20304050607080 5300000

6

billió

milliárd

millió

ezer

–

–

434

543

000

–

5

300

000

–

–

20 –

–

10

304

7

000

050

345

000

607

232

000

080

1. A számjegyek hármas csoportosítása és a számok kiejtése

Páros munka 4 Végezz páros munkát a padtársaddal! Mind a ketten írjatok le két nyolcjegyű természe­­tes számot, majd felváltva olvassátok fel egymásnak! A felolvasott számot a másik leírja a füzetébe. A feladat végén egyeztessétek a számokat!

5 A táblán látható elmosódott számjegyek helyére írd be a megadott számokat! Az így kapott számokat bontsd hármas csoportokra és olvasd fel őket hangosan! a) A beírandó szám az 5.

d) A beírandó szám a 100.

3 0 5

2 2 3 3

0 2 3

2 8 0 3 0 8 0

b) A beírandó szám a 80. c) A beírandó szám a 23.

2 5

2 1 0

0 3 0

1 0 0

2. A természetes számok helyesírása 1 a) A háromszáztízmillió-kétszázezer-négyszázkilencvennyolcat írd le hármas csoportosítású helyiértékes számmal! 310 200 498

b) Cseréld fel a hármas csoportokat úgy, hogy a lehető legkisebb számot kapd! Írd le betűkel az így kapott számot! kétszázmillió-háromszáztízezer-négyszázkilencvennyolc

c) Cseréld fel a hármas csoportokat úgy, hogy a lehető legnagyobb számot kapd! Írd le betűkkel az így kapott számot! négyszázkilencvennyolcmillió-háromszáztízezer-kétszáz

2 Kösd össze a számokban szereplő hármas csoportokat! Ötvenhatmillió-kilencszáztizenháromezerötszázötvenöt; ötvenhatmillió-ötszázötvenötezernégyszázötvenkettő;

765 456 234

ötvenhatmillió-hétszázötvenhétezernégyszázharminckettő. Tetraéderek, (piramisok, gúlák)

432

123

négyszázötvenhatmillió-négyszázharminckétezer-kilencszáznyolcvanhét; Milyen alakzatok bontakoznak ki?

465

555

657

218 123

56

913

452

987

757

7

2. A természetes számok helyesírása 3 Ha csekken adunk fel pénzt, akkor az ellenőrzés miatt a feladott összeget számmal és betűvel is ki kell írni. Töltsd ki az alábbi csekkeket, ha

1945;

25 615;

kétszázhúszezer-hétszázharmincöt;

negyvenhatezer-nyolcszázhatvan

forintot szeretnénk feladni! Az üresen maradt helyeket egy vízszintes vonallal át szokták húzni.

2 5 6 1 5

1 9 4 5

ezerkilencszáznegyvenöt

huszonötezer-hatszáztizenöt

2 2 0 7 3 5

4 6 8 6 0

negyvenhatezer-nyolcszázhatvan

kétszázhúszezer-hétszázharmincöt

4 A következőkben számírással adunk meg három magasságot és egy mélységet. Találd ki, hogy az egyes értékek mely dologhoz tartoznak, és írd mellé betűvel! a) 8848 méter;

b) 11 034 méter;

c) 823 méter;

d) 116 méter.

A Hyperion nevű örökzöld mamutfenyő az USA-ban száztizenhat

A Földön található legmagasabb hegycsúcs, a Csomolungma nyolcezer-nyolcszáznegyvennyolc A Burdzs Kalifa nevű épület Dubajban nyolcszázhuszonhárom

A Mariana-árok, a tenger legmélyebb pontja tizenegyezer-harmincnégy

5 Írd a számjegyek alá, hogy hányszor fordulnak elő a szövegben! „Az afrikai Nílus hossza hatezer-hatszázkilencvenöt kilométer. Az egyik fő mellékfolyója az ezerháromszázötven kilométer hosszú Kék-Nílus, melynek forrása az ezernyolcszázharminc méter magasságban fekvő Tana-tó. A másik fő mellékfolyója, a Fehér-Nílus hossza háromezer-hétszáz kilométer, vízgyűjtő területe egymillió-nyolcszázezer négyzetkilométer.” 0

9

8

1

3

2

0

3

3

4

0

5

2

6

2

7

1

8

2

9

1

3. A HELYIÉRTÉKES ÍRÁS 1

Írd be a megadott számok számjegyeit a helyiérték-táblázatba!

a szám

millió

százezres

tízezres

ezres

százas

tízes

egyes

1 001 345

1

0

0

1

3

4

5

4 301 234

4

3

234 567 45 578

2

3

4

4

5

1

0

5

5

2

6

7

3

7

8

4

2 Panni a következőket árulta el egy számról: A legnagyobb helyiértékű helyen a 6-os számjegy áll. Az egyik számjegy valódi értéke a 30. Az egyik számjegy pontosan annyiszor szerepel a számban, amennyi az alaki értéke. Találd ki, hogy melyik négyjegyű számra gondolt Panni! 6333

3 Ezekből az ötjegyű számokból egy számítógépes vírus kitörölte a nullákat. A maradék számok alapján találd ki, melyek lehettek az eredeti számok! A legkisebb és legnagyobb számokat írd le betűvel is! a legkisebb szám

a legnagyobb szám

9321 90 321, kilencvenezer-háromszázhuszonegy 93 210, kilencvenháromezer-kétszáztíz 244 20 044, húszezer-negyvennégy

24 400, húszonnégyezer-négyszáz

15 10 005, tízezer-öt

15 000, tizenötezer

4 Hangya király hadseregének egy rajában 10 hangya van. Egy század tíz rajból áll. Egy ezred 10 századra oszlik. a) Hány század van az ábrán? 10

b) Hány hangya van egy században és egy ezredben? Egy században 100, egy ezredben 1000 hangya van.

c) Hangya király helyiértékes írásmóddal tartja nyilván

ka­to­nái­nak számát. Jobbról balra tartja nyilván a rajok,

a századok és az ezredek számát.

Hány katonát rejt a nyilvántartás szerint:

346 3460, azaz háromezer-négyszázhatvan

23

230, azaz kétszázharminc

205 2050, azaz kétezer-ötven

d) Írd le hangya-helyiértékes módon a 3410 hangya­

ka­to­ná­ból álló sereget!

ezred 3

század 4

raj 1

9

4. A TERMÉSZETES SZÁMOK KIALAKULÁSA, A RÓMAI SZÁMOK 1 Írd át a könyveken látható római számokat arab számokká!

2

2011

1971

1826

1774

1469

1349

Írd az épületek timpanonjai alá a dátumokat római számokkal! MC MX XX IV

MDCCC XX XIV

MDCCC LX VI I

MC MLVI

MDCCC XC I

MDCC XC VII

3

1427 1662 1440 Állítsd növekvő sorba a következő számokat: MCDXXVII; 1349; MDCLXII; 1247; MCDXL!

4

Mikor született az SMS írója? „Mi Már Itt Vagyunk. Várunk. Xantus Ilona.” MMIV.V.XI. = 2004.05.11.

<

1247

<

1349

<

MCDXXVII

<

MCDXL

MDCLXII

5 Milyen betű kerülhet a kérdéses helyekre? A betű megtalálása után a kapott római számot add meg ma használt arab számként! (Csak egy megoldás van.) VII I ; MMM C D; LXXX V III; CC X C; MMM C M.

6

8

 

3400

 

88  

290

 

3900

A következő római számoknál több megoldás is lehet. Adj meg legalább két lehetőséget!

V II; X II;  M M D; M C D;  C V II; C X II;  DC C C; DC X C;  MM D ; MM C . 7



12

10





2500

1400





107

112





800

690





2500

2100

5. A SZÁMEGYENES 1 Jelöld az időszalagon, az alábbi események körülbelüli helyét! B

A

1800

C

1900

D

év 2000

A: 1863 – Felavatták Londonban a világ első földalatti vasútját. B: 1903 – A Wright fivérek többször repültek az általuk megalkotott első repülőgéppel. C: 1947 – Először lépte át repülőgép a hangsebességet. D: 1969 – Holdra lépett az első ember.

2 a) Olvasd le, és írd a képek mellé, hogy

a hőmérők hány Celsius-fok hőmérsékletet



mutatnak!

b) Jelöld be pirossal a hőmérőkön, hogy mekkora hőmérsékletet mutatnának, ha 8 °C-kal nőne a hő­mér­sék­let!

c) Jelöld be zölddel a hőmérőkön, hogy

mekkora hőmérsékletet mutatnának, ha

 

7 °C-kal csökkenne a hőmérséklet!

23

  

 

47

  

82

3 A számegyenes néha „számgörbe”. Jelöld be a következő dátumok körülbelüli helyét a számszalagon! A: Születési éved. B: Melyik évben leszel 20 éves? C: Melyik évben kezdted az ötödik osztályt? D: Melyik évben kezdted el az általános iskolát? E: Melyik évben kezded majd a 7. osztályt? A D 2000

2010

C E

B 4 Egészítsd ki a számegyenesek beosztásának feliratait, majd rajzold be mindegyikre a 30, 35, 50, 80, 90, 100, 110, 120 értékek körülbelüli helyét! a)

0

20

40

60

80

100 120 140 160 180 200

20

35

50

65

80

95

40

50

60

70

80

b) c) 30

110 125 90

100 110 120

év

11

5. A számegyenes 5 A mérőműszer beosztása 0-tól 5-ig tart. A méréshatár mutatja meg, hogy az 5-höz mekkora érték tartozik a valóságban. A 100-as méréshatár esetén a nagy beosztások 20-at jelentenek, a kis beosztások pedig 2-t. a) Rajzold be a mutatót, ha a műszer 8-at, 46-ot és 70-et mutat 100-as méréshatár esetén!

 

 

b) Olvasd le, hogy mennyit mutatnak a műszerek 100-as méréshatár esetén!



 

30

 

80

c) Mennyit jelent a nagy beosztás és a kis beosztás 500-as méréshatár esetén? nagy beosztás: 100

50

kis beosztás: 10

6. ÖSSZEADÁS, ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS 1 Végezd el fejben a következő összeadásokat! Csoportosíts!

a) 47 + 30 + 23 = 100 d) 15 + 11 + 45 = 71

b) 27 + 105 + 58 = 190



e) 26 + 21 + 23 = 70

2 Karcsi írt egy dalt, majd felvette videóra. Miután az interneten megosztotta a videót, az első ­hónapban 4678, a következő hónapban 34 563, a harmadik hónapban pedig 185 679 tetsziket ­(like-ot) kapott. Hány tetsziket kapott a három hónap alatt összesen?

12



c) 19 + 38 + 21 + 22 = 100

f) 42 + 15 + 28 + 25 = 110

4 6 7 3 4 5 6 + 1 8 5 6 7 2 2 4 9 2

8 3 9 0

6. ÖSSZEADÁS, ÍRÁSBELI ÖSSZEADÁS 3

Magyarország legmagasabb hegycsúcsa, a Kékestető 1014 méter magas. A tengerszinthez képest

milyen magasan van a tetejére épített 180 méteres tévétorony csúcsa? 1194 m-en 4 Számítsd ki fejben, hogy mikor ért véget a megadott királyok uralkodása! Corvin Mátyás magyar király IV. Béla magyar király

Könyves Kálmán magyar király VIII. Henrik angol király XIV. Lajos francia király

Uralkodásának kezdete

Hány évig uralkodott

Uralkodásának vége

1235

35 év

1270

1458

32 év

1095

21 év

1509

1116

38 év

1643

I. Ferenc József

1490

1547

72 év

1848

1715

68 év

1916

5 A különböző színű láncokból néhányat összefűztünk. Az ábrán láthatod, hogy egy-egy lánc hány szemből áll. Hány szemből állnak az összefűzött láncok, ha: a) a sárga + a piros; b) a piros + a zöld; c) minden lánc össze van fűzve? a)

b)

3 4 8 3 7 + 1 7 7 9 7 5 2 6 3 4

c)

5 2 2 4 7 + 1 7 7 9 7 7 0 0 4 4

6 Állítsd az összegeket növekvő sorrendbe! a) 56 534 + 486 743; c) 72 124 + 98 765 + 374 567; a)

5 6 5 3 4 + 4 8 6 7 4 3 5 4 3 2 7 7

b)

3 1 5 6 7 8 + 2 3 4 5 6 7 5 5 0 2 4 5

a < c < d < b

3 1 5 + 2 1 2

4 7 2 1 6

8 7 2 1 0

3 9 4 2 0

7 7 7 7 8

b) 315 678 + 234 567; d) 123 476 + 201 345 + 121 234 + 102 345. c)

7 9 + 3 7 5 4

2 8 4 5

1 7 5 4

2 6 6 5

4 5 7 6

d)

1 2 1 + 1 5

2 0 2 0 4

3 1 1 2 8

4 3 2 3 4

7 4 3 4 0

6 5 4 5 0

13

6. Összeadás, írásbeli összeadás 7 Az egyik tagból valamennyit vegyél el, a másikhoz ugyanannyit adj hozzá, hogy az összeadás egyszerűbb legyen! + 1 3

− 1 3

5 8 0 0 4 0 0 6 2 0 0

− 1 5

2 0 0

+ 2

+ 1 5

5 5 7 7 5 7

2 0 0

− 2

5 2 0 7 2 0

8 Az összevonások részeredményét ábrázold a számegyenesen! Pirossal jelöld a számolás végeredményét!

A = 100 − 20 + 50

B = 60 + 60 − 40 C = 120 − 40 + 50 D = 110 + 50 − 120 E = 40 + 70 − 110 Rendezd növekvő sorrendbe az eredményeket!

0

<

40

<

80

<

9 Vízcseppek potyogtak a papírra. Írd be, mik lehettek az elmosódott számok!

1

7

6

7

7 3

3 1

1

10 A pénzszállító autó egy üzletlánc három boltjából gyűjti össze a napi bevételt, 2  345  675, 45  343  020 és 16 230 340 forintot. Mennyi volt az aznapi teljes bevétel?

63 919 035 forint

14

5 6 0 2

7

9

130

1

9

5

= 6

130

1

4

2 5

2 3 4 4 5 3 4 + 1 6 2 3 6 3 9 1

5 3 0 9

6 0 3 0

7 2 4 3

5 0 0 5

7. Kivonás, írásbeli kivonás 1 A császárfa gyorsan növő fafajta. Feri két éve 5 császárfát ültetett a kertben, és évente lemérte a fák magasságát. Számold ki, hogy a második évben hány millimétert nőttek a fák! növekedés

1. fa

2. év után

2. fa

3. fa

4. fa

5. fa

4113 mm 5437 mm 4645 mm 5243 mm 4530 mm

1. év után

2315 mm 2346 mm 2387 mm 2938 mm 2019 mm

2. évben ennyit nőtt  1798 mm  3091 mm 2258 mm  2305 mm  2511 mm

2 Számítsd ki, hogy az alábbi nevezetes emberek hány évig éltek! Nagy Konstantin császár

Lucius Annaeus Seneca Theodosius császár

Attila hun király

Születésük éve

Haláluk éve

Hány évig éltek?

4

65

61

272

337

347

395

406

Petőfi Sándor

48

453

1823

Molnár Ferenc

65

47

1849

1878

26

1952

74

3 1235 méterrel a Himalája csúcsa felett elrepül egy repülőgép. Számold ki, hogy milyen magasan volt a következő csúcsoktól, amikor éppen elrepült felettük!

a csúcs néve

Csomolungma Lhoce

Makalu

Cso-oju

Manaszlu

a csúcs magassága (méter)

a repülőgép távolsága a csúcstól

8516

1569

8850

8462

8201

8163

a csúcs néve

a csúcs magassága (méter)

a repülőgép távolsága a csúcstól

Csomo Lönzo

7804

2281

1235

Sisapangma

1623

Csamlang

1884

1922

Baruntse  

8027

2058

7319  

7162

2766  

2923

15

7. Kivonás, írásbeli kivonás 4 Vízcseppek cseppentek a papírra, és néhány számjegy elmosódott. Találd ki, mik voltak a számjegyek!

5

8

1

6

3 6 3

5

1

1

7

5

3

9

5

5 a) Mekkora a kivonandó, ha a kisebbítendő 3267, a különb

2

a)

ség pedig 1971? 1296

b) Mekkora a különbség, ha a kivonandó 3457 és a kisebbí-

b)

tendő 6213? 2756 c) Mekkora lesz a különbség, ha a kisebbítendőt és a

7

1 7 6

7

4

3 2 6 7

− 1 2 9 6

1 9 7 1 6 2 1 3

− 3 4 5 7 2 7 5 6

kivonandót egyaránt 10-zel növeltük? Ugyanannyi.

d) Mekkora lesz a különbség, ha a kisebbítendőt 10-zel

növeltük és a kivonandót 20-szal csökkentettük? -10

6 A kisebbítendőt és a kivonandót ugyanannyival növelheted vagy csökkentheted, a különbség nem változik. Változtasd úgy a tagokat, hogy a kivonandó kerek szám legyen, és végezd el a kivonást! + 2

+2

4 7 4 7 6 0 0 4 1 4 7

− 2 1

6 9 2 4 7 0 0 6 2 2 4

7 Mennyivel térnek el egymástól a római számokkal leírt különbségek, ha a lyett X-et írunk?

a) XX I − X I ;

b) DCCL I − I ;

21 − 11 = 10

751 − 1 = 750

c) MMDC I X − M I X;

− 2 1

-tel jelölt helyekre I he-

d) MC I I I   − DX I I

XX X − X X ; DCCL X − X ; MMDC X X − M X X; MC X X X   − DX X X

30 − 20 = 10

16

760 − 10 = 750

2609 − 1009 = 1600

2620 − 1020 = 1600

1103 − 512 = 591

1130 − 530 = 600

7. Kivonás, írásbeli kivonás 8 Panni, mielőtt kivont volna egymásból két négyjegyű számot, a következőkön tűnődött: a) Mennyivel változna a különbség, ha a kisebbítendő tízesek helyén álló számjegyét 1-gyel növelném? 1000 − 1000 = 0

1010 − 1000 = 10-zel nőne.

1000 − 1000 = 0

1200 − (1000 + 200) = 0 Nem változik.

1000 − 1000 = 0

1000 − (1000 − 300) = 300-zal nőne.

1000 − 1000 = 0

(1000 + 100 − 20 + 3) − 1000 = 83-mal nő.

b) Mennyivel változna a különbség, ha a kisebbítendő százasok helyén álló számjegyét 2-vel növelném, a kivonandóhoz pedig hozzáadnék 200-at? c) Mennyivel változna a különbség, ha a kivonandó százasok helyén álló számjegyét 3-mal csökkenteném? d) Mennyivel változna a különbség, ha a kisebbítendő százasok helyén álló számjegyét 1-gyel növelném, a tízesek helyén álló számjegyét 2-vel csökkenteném és az egyesek helyén álló számjegyét 3-mal növelném? Segíts Panninak megválaszolni a kérdéseit!

8. SZORZÁS FEJBEN 1 Számold meg minél egyszerűbben (szorzással)! 4

8 8

9

Hány fiók látható a képen?

Hány kis négyzet látható a csempén?

36

64

2 Szorozd meg a következő számokat 10-zel, 100-zal és 1000-rel! 10 ⋅ 

100 ⋅ 

1000 ⋅ 

5

13

90

120

500

1300

9000

12 000

50

5000

130

13 000

6

900

90 000

1200

120 000

5

Hány kocka csoki látható a csokiszeleten? 30

144

1440

14 400

144 000

571

5710

57 100

571 000

3 a) Van-e olyan szám, amelyet ha megszorozzuk önmagával, akkor önmagát kapjuk? 0 és 1. b) Adott két különböző szám. Ugyanazzal a számmal megszorozva a két szorzat egyenlő lesz. Melyik számmal szoroztuk meg őket? 0-val.

17

8. SZORZÁS FEJBEN 4 Határozd meg szorzással és összeadással, hogy a képen megjelölt házaknak hány ablaka van! 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

a ház sorszáma

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

ablakszám 2 · 5 +1 2 + 4 ∙ 4 + 2 2 + 3 ∙ 4 + 1 3 · 4 + 3 2 + 3 · 5 3 · 4 + 2 + 3 + 1 2 + 5 ∙ 3 + 1 3 · 5 +1 3 · 3 +1+2

5 Írj olyan számokat a vonalakra, hogy fennálljon az egyenlőség!

a) (12 · 234) · 65 = 12 · (234 ·

c) 37 · (542 · 122) = (

e) ( 517

542

65

); b) (347 · 25) · 23 = (23 ·

· 122) · 37; d) (238 ·

589

· 67) · 234 = (67 · 517) · 234; f) (65 · 239) ·

347

) · 25;

) · 34 = (589 · 34) · 238;

498

= (239 · 498) · 65.

9. Műveletek tulajdonságai 1 Húzd alá minden sorban az egyenlő kifejezéseket! A megoldást számolással ellenőrizd! (5 + 8) · 3 = 39

5 + 8 · 3 = 29

5 · 3 + 8 · 3 = 39

5 · 3 + 8 = 23

7 · 4 − 3 = 25

7 · 4 − 3 · 4 = 16

(8 + 6) · 2 = 28

(8 + 6) : 2 = 7

(9 + 6) : 3 = 5

9 : 3 + 6 : 3 = 5

9 : 3 + 6 = 9

(10 − 6) : 2 = 2

10 : 2 − 6 : 2 = 2

10 − 6 : 2 = 7

5 · 4 + 7 · 4 = 48

5 + 7 · 4 = 33

(7 − 3) · 4 = 16

8 : 2 + 6 : 2 = 7

18

7 − 3 · 4 = − 5

(8 − 6) : 2 = 1

(5 + 7) · 4 = 48

9 : 3 − 6 : 3 = 1

10 : 2 + 6 : 2 = 8

(5 − 7) · 4 = − 8

9. Műveletek tulajdonságai 2 Kati, Jolán és Sári karácsonyi ajándékokat készített. Kati 6 csomagot, Jolán 5 csomagot, Sári pedig 4 csomagot készített. Minden csomagba 10 üveggyöngyöt, 3 gyertyát és 5 sógyurmafigurát tettek. Számold ki kétféleképpen, hogy hány üveggyöngyre, hány gyertyára és hány sógyurmafigurára volt szükségük! Kati

Jolán Sára

összesen

csomagok száma gyöngyök száma 6

60

4

40

5

15

gyertyák száma

figurák száma

összesen

15

25

90

18

50

12

150

45

30

20

108 72

75

270

3

Zsolt 6 csokor virágot készíttetett. Egy csokorba 6 tulipánt és 7 szegfűt tetetett. Számold ki kétféle-

4

Ha díszcsomagban veszünk bögrét, akkor a 800 Ft-os bögréhez 200 Ft-ért adnak egy poharat is. Szá-

képpen, hány szál virágot vett! 6 · (6 + 7) = 78

6 · 6 + 6 ·  7  = 78

mold ki kétféleképpen, hogy mennyibe kerül hat díszcsomag bögrével! 6 · (800 + 200) = 6000 6 · 800 + 6 · 200 = 6000 5 5 barát kirándulni megy. A szállás fejenként 8500, az utazás 2500 forintba kerül. Számold ki kétféle-

képpen, hogy összesen mennyibe kerül a kirándulás! 5 · (8500 + 2500) = 55 000 5 · 8500 + 5 · 2500 = 55 000 6 6 ülőke 24 000 Ft-ba kerül teljes áron, de kiderült, hogy összesen 6000 Ft kedvezmény jár rájuk. Számold ki kétféleképpen, hogy mennyibe kerül egy ülőke ténylegesen! Ha 6 ülőke kerül 24 000 Ft-ba, akkor kétféleképpen számolhatunk. 1.) (24 000 – 6000) : 6 = 3000 ; 2.) 24 000 : 6 – 6000 : 6 = 4000 – 1000 = 3000 Mindkét esetben azt kaptuk, hogy egy ülőke 3000 Ft-ba kerül.

10. Írásbeli szorzás

1 Hány kilométert tett meg az autó, ha

a) a Budapest–Amszterdam (Hollandia) távolságot (1398 km) 9-szer tette meg? b) a Budapest–Madrid (Spanyolország) távolságot (2526 km) 7-szer tette meg?

c) a Budapest–Athén (Görögország) távolságot (1486 km) 8-szor tette meg? d) a Budapest–Rabat (Marokkó) távolságot (3362 km) 6-szor tette meg?

a)

b) c)

1 3 9 8 · 9 1 2 5 8 2 2 5 2 6 · 7 1 7 6 8 2

d)

3 3 6 2 · 6 2 0 1 7 2

1 4 8 6 · 8 1 1 8 8 8

2 Húzd alá a helyes eredményt! (A füzetben számolj!) a) 374 · 63 = 22462 22552 24562 23562 b) 207 · 27 = 5479 5589 5659 5499 c) 850 · 52 = 45600 43200 44200 42600 d) 371 · 11 = 4261 5391 5161 4081

19

10. ÍRÁSBeli SZORZÁS 3 Egy kiskereskedő a nagyban, csomagban vásárolt termékeit szétbontva, egyesével forgalmazza tovább. Számítsd ki, hogy a csomagokat kibontva az egyes termékekből hány darab lesz!

4-es joghurtból 459 darab van.

A joghurtok száma? 4 5 9 · 4 1 8 3 6

5-ös zsemlecsomagból 327 darab van. A zsemlék száma?

8 tekercses kéztörlőből 392 darab van. A tekercsek száma? 3 9 2 · 8 3 1 3 6

7-es törülközőcsomagból 267 darab van.

A kréták száma?

A törülközők száma?

4 9 7 · 6 2 9 8 2

9-es fogkrémpakkból 185 darab van.

2 6 7 · 7 1 8 6 9

3-as konzervcsomagból 6-os pingponglabda705 darab van. cso­magból 769 darab van.

A fogkrémek száma?

3 2 7 · 5 1 6 3 5

6-os kréta­­­csomagból 497 darab van.

A konzervek száma?

1 8 5 · 9 1 6 6 5

A pingponglabdák száma?

7 0 5 · 3 2 1 1 5

7 6 9 · 6 4 6 1 4

4 Állítsd növekvő sorrendbe a szorzatokat! A = 3456 · 62; B = 2369 · 92; C = 7452 · 29; D = 5423 · 39.

D = 211 497

<

<

A = 214 272

5 Pótold a hiányzó számjegyeket!

7 4

20

2

2

4 9 6 0

<

C = 216 108

6

5

B = 217 948

5 6

11. Írásbeli osztás 1 Bertának 243 matematika példát kell megoldani a nyári szünetben. Hány napig tanul Berta, ha napon-

ta 9 feladattal végez? Mennyi feladat marad az utolsó napra? 2 4 3 : 9 = 2 7 napig Berta 27 napig tanul. Minden napra, így az utolsó napra is 9 feladat jut.

2 A Balaton körüli legrövidebb kerékpárút körülbelül 206 km hosszú. Hány kilométert kell kerékpározni naponta, ha a teljes távot lehetőleg egyenletesen akarjuk a) 3; b) 4; c) 5 napra elosztani úgy, hogy az utolsó napi táv legyen a leghosszabb? Hány kilométer utat tennénk meg naponta az egyes esetekben? a) b) c)

2 0 6 : 3 = 68 2 2 0 6 : 4 = 51 2 2 0 6 : 5 = 41 1

2 · 68 + 70 3 · 51 + 53 4 · 41 + 42

3 500 lap van a fénymásolóban. Hány példányt lehet fénymásolni a 26 oldalas kiadványból, ha a) egyoldalas fénymásolatokat; b) kétoldalas fénymásolatokat készítünk? Mennyi lap marad az adagolóban az egyes esetekben? a) 5 0 0 : 26 = 1 9 6 b) 500 : 13 = 38 6

6 lap marad, 19-et lehet nyomtatni

6 lap marad, 38-at lehet nyomtatni

4 A 689 km-es utat 13 óra alatt tette meg egy autó. Hány kilométert tett meg óránként? 689 : 13 = 53 km-t

5 Egy áruházban 8 darabos és 5 darabos csomagolásban is lehet mosogatószert kapni. A 8 darabos 2080 Ft-ba, az 5 darabos 1360 Ft-ba kerül. Melyik a gazdaságosabb?

5 0 0 : 2 6 = 1 9 2 4 0 6 5 0 0 : 1 3 = 3 8 1 1 0 6 6 8 9 : 1 3 = 5 3 3 9 0

2 0 8 0 : 8 = 2 6 0 Ft; 1360 : 5 = 272 Ft, tehát a 8 darabos csomagolás a gazdaságosabb.

6 Egy iskola olyan biciklitúrát szervezett, ahol a teljes táv 180 km. A gyerekeket kezdő, haladó és profi csoportba sorolták. A kezdők 6 nap, a haladók 4, a profik 3 nap alatt értek célba. Számítsd ki, napi hány kilométert tekert egy kezdő, egy haladó és egy profi! 1 8 0 : 6 = 3 0 0 0 0

1 8 0 : 4 = 4 5 2 0 0

1 8 0 : 3 = 6 0 0 0 0

21

12. Az OSZTÁS TULAJDONSÁGAI 1 Emese elvégezte a következő osztásokat, és szorzással ellenőrizte is azokat. Mindegyiket elrontotta valahol. Keresd meg, hol a hiba!

1

2 A következő osztásokat írd be a megfelelő téglalapba!

Nulla a hányados és nem nulla a maradék. 1 : 67; 45 : 65; 16 : 43;

0 : 2; 45 : 65; 67 : 1; Nem nulla a hányados 1 : 67; 0 : 1; 23 : 2; és nulla a maradék. 0 : 23; 24 : 1; 48 : 16; 67 : 1; 24 : 1; 48 : 16; 16 : 43; 0 : 234; 43 : 16

Nem nulla a hányados Nulla a hányados és nem nulla a maradék. és nulla a maradék. 43 : 16; 23 : 2;

0 : 2; 0 : 1; 0 : 23; 0 : 234;

A hányados egyenlő az osztóval.

3 a) Karikázd be azoknak az osztásoknak a betűjelét, amelyeknek nulla a maradéka! b) A jelölés nélküli feladatoknál úgy növeld az osztandót, hogy a maradék 0 legyen!

A) 341 : 11   B) 23 : 1035   C) 408 : 12   D) 2457 : 27   E) 32 : 1184   F) 493 : 17 3 4 1 : 1 1 = 3 1 1 1 0

22

4 0 8 : 1 2 = 3 4 8 2 4 5 7 : 2 7 = 9 1 0 2 7 0

4 9 3 : 1 7 = 2 9 1 5 3 0

12. Az OSZTÁS TULAJDONSÁGAI 4 A hangyahadseregeket ezredekre, az ezredeket századokra és a századokat rajokra osztják. A vezérkarban tanakodnak, hogy hány rajra, hány századra és hány ezredre bonthatók a hadseregek. Segíts szegény hangyaírnoknak kitölteni a táblázatot! hadsereg Északi

létszám (katona)

ezred

század

56 000

56

560

Déli

Nyugati

42 000 45 000

Keleti

92 000

5 a) Mi a hiányzó tényező?

23 ·  37

 · 17 = 14 467

b) Mennyivel kell szorozni a 23-at, hogy 2047-et kapjunk? c) Hányszorosa az 1482 a 26-nak?

42 45 92

raj

420

4200

450

4500

920

5600 9200

1 4 4 6 7 : 2 3 = 6 2 9 6 6 2 0 4 7 : 2 3 = 8 9 2 0 7 0 2 0 7 6 2 9 : 1 7 = 3 7 0 1 4 8 2 : 2 6 = 5 7 1 1 7 0 1 8 2 0

6 Az 50 méteres medencében az úszósávokat kötél választja el, amelyet 40 cm-enként egy-egy bója tart

a felszínen. Hány bója tartja a kötelet? Hány bója tartja a 33 méteres medencében a kötelet? 5 0 m = 5 0 0 d m = 5 0 0 0 c m

5 0 0 0 : 4 0 = 1 2 5 1 0 0 2 0 0 0 Ha a valóságnak megfelelően a kötél két vége a falhoz van rögzítve, akkor 125 – 1 = 124 bója van az 50 méteres medencében.

3 3 0 0 : 4 0 = 8 2 1 0 0 2 0 Ha a valóságnak megfelelően a kötél két vége a falhoz van rögzítve, akkor 82 vagy 82 – 1 = 81 bója van a 33 méteres medencében.

13. OSZTÓ, TÖBBSZÖRÖS, SZÁMRENDSZEREK 1 a) Karikázd be a 24 osztóit! 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 b) Karikázd be a 25 osztóit! 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 c) Karikázd be a 3 többszöröseit! 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 d) Karikázd be az 1 többszöröseit! 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25

23

13. Osztó, többszörös, számrendszerek 2 a) A 0-nak hány többszöröse van? 1

b) Mely számok az 5 azon többszörösei, amelyek 30-nál kisebbek? 5, 10, 15, 20, 25

c) Melyek a 30 páros osztói? 2, 6

d) Igaz, hogy két természetes szám szorzata a két szám többszöröse? Igaz e) Igaz, hogy egy szorzatban a tényezők osztói a szorzatnak? Igaz

3 Az osztókat zölddel, a többszörösöket pirossal színezd ki, ha az osztás maradéka 0!



1066 : 26 1066 : 8

309 : 13 1700 : 34

4 Váltsd át kettes számrendszerből 10-esbe a következő számokat, és húzd alá, ha a második szám osztója az elsőnek! 5 Folytasd a sorozatot 10 0002-ig!

756 : 12 91 : 7

a) 110012; 1012   b) 11002; 1102   c) 100102; 112 25,

5

12,

6

  

18,

3

12, 102, 112, 1002, 1012, 110, 111, 1000, 1001, 1010,

1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10 000, 10 001, 10 010

14. Becslés, kerekítés 1 Mit gondolsz, mekkorák a következő értékek?

A közutak hossza Magyarországon: 31 630 km. A Duna magyarországi hossza: 420 km.

A Balaton felülete: 590 km2. A vasútvonalak hossza 2009-ben: 7390 km. (A kilométerre kerekített értékek a következő oldal 5. feladatában megtalálhatók.)

2 A táblázatban erdélyi városok lélekszáma található a 2011-es népszámlálás szerint. Kerekítsd az adatokat tízesekre, százasokra és ezresekre! városnév

lélekszám

tízesekre kerekítés

százasokra kerekítés

ezresekre kerekítés

Temesvár

319 279

319 280

319 300

319 000

324 580

324 600

Arad

Nagyvárad

Nagyszeben Kolozsvár

24

159 074 196 367 147 245 324 576

159 070 196 370 147 250

159 100

196 400 147 200

159 000 196 000 147 000 325 000

14. Becslés, kerekítés 3 Jelöld be a számegyenesen, hogy melyik az a legkisebb, illetve legnagyobb szám, amelyet kerekítve a megadott számot kapjuk! tízesekre kerekítve

2995

24 995

96 995

999 995

százasokra kerekítve

3004

3000

25 004

25 000

97 000

97 004

1 000 004

1 000 000

2950

3049

3000

24 950

96 950

999 950

ezresekre kerekítve

2500

25 049

24 500

1 000 049

999 500

25 000

97 000

97 049

1 000 000

96 500

4 Egy bevásárlás részösszegei láthatók a számlán. a) Számítsd ki a végösszeget! b) Kerekítsd tízesre az összegeket, és add össze a kerekítést! c) Kerekítsd százasra az összegeket, és add össze őket! pontos ár 4612

5435 6765

Összeg:

+

987

3734

21 533

tízesre kerekített ár

3499

3000

25 499

25 000

97 499

97 000

1 000 499

1 000 000

százasra kerekített ár

4610

4600

5440

5400

6770

6800

990

1000

3730

3700

21 540

21 500

Írj néhány mondatot arról, hogy véleményed szerint mennyire pontosak a kerekített árakból kapott összegek!

5 A Magyarországgal kapcsolatos adatokat kerekítsd tízesekre, százasokra, ezresekre! adat

a közutak hossza Magyarországon

31 628 km

a Balaton felülete

594 km2

a Duna magyarországi szakaszának hossza a vasútvonalak hossza 2009-ben

417 km

7390 km

tízesekre kerekítés 31 630

420

590

7390

százasokra kerekítés 31 600

400

600

7400

ezresekre kerekítés 32 000 0

1000

7000

25

14. Becslés, kerekítés 6 Magyarország épületeinek magasságát kerekítsd tízesekre, százasokra, ezresekre! Szentesi tévétorony

Paksi atomerőmű Szent Adalbert főszékesegyház Országház

Egri minaret 

adat

tízesekre kerekítés

135 méter

140

235 méter

100 méter 95 méter

40 méter

240

százasokra kerekítés ezresekre kerekítés

200

0

100

0

100

100 100

100

40

0

0 0

0

15. Negatív számok, abszolút érték Páros munka 1 Játssz kötélhúzást a padtársaddal! Egyikőtöké a piros, másikótoké a kék szín lesz. Állítsatok egy bábut a középső, 0-s mezőre, és dobjatok két különböző színű kockával! Ha az egyik kockán a dobott szám 1, 2 vagy 3, akkor balra, ha 4, 5 vagy 6, akkor jobbra kell lépnie a dobónak annyit, amennyit a másik kocka mutat. Az nyer, akinek a színére először jut el a bábu. Felváltva dobjatok!

2 Ábrázold számegyenesen a következő összeadásokat! A végeredményt piros pöttyel jelöld!

a) (+10) + (−5) + (−2) + (−4) + (+3) + (+8) + (+2) + (−11)

b) (−1) + (−2) + (−3) + (−4) + (+17) + (−10) + (+12) + (−11)

c) (+5) + (−5) + (−2) + (+2) + (+3) + (−3) + (+10) + (−10)

d) Az a)–c) feladatok végeredményeit írd növekvő sorrendbe! < 0 < −2

26

1

15. Negatív számok, abszolút érték 3 A vízerőmű működése a gát mögötti vízszinttől függ. A vízszint elmozdulását az üzemi vízszinthez képest mérik, ez a 0 szint. Ha a vízszint süllyed, akkor negatív az elmozdulás, ha emelkedik, akkor pozitív. a) Az aszály miatt −19 centiméteren áll a víz. Hol áll akkor a vízszint, amikor leengednek még 102 cm-t? b) Mekkora lesz a vízszint a −23 cm-hez képest, amikor 323 cm-t emelkedik a vízszint? c) Mekkora lesz a vízszint a −5 cm-hez képest az 57 centiméteres süllyedés után?

a) b)

− 1 9 − 1 0 2 = − 1 2 1

c)

− 2 3 + 3 2 3 = 3 0 0 − 5 − 5 7 = − 6 2

4 Az árverésen a legkülönbözőbb dolgokat kínálják eladásra, a beérkező licitek közül pedig a legmagasabbat ajánló vásárolhatja meg a kívánt tárgyat. Ezt nevezik leütési árnak. Minden dolognak van egy kezdeti, kikiáltási ára, innen indul a licit. Ha a leütési ár magasabb, mint a kikiáltási ár, akkor nyereségre tesznek szert. Ha egy áru nem kelt el, akkor csökkentik a kikiáltási árát, míg meg nem veszik. Ilyenkor veszteség keletkezik. Egy nap a táblázatban szereplő régiségeket adták el. Döntsd el, hogy nyereséges vagy veszteséges volt-e az árverés! az áru

régi kép

kikiáltási ár

20 000 Ft 25 900 Ft

eladási ár

különbség

A nyereség vagy veszteség:

5 900 Ft Ny

régi játék

régi könyv

− 3 460 Ft

− 2 950 Ft

10 000 Ft

régi rigli

15 000 Ft

6540 Ft V

6000 Ft

12 050 Ft

11 345 Ft

V

Ny

5 345 Ft

5 A kemence hőmérséklete a kikapcsolás után lehűl. Kezdetben 280 °C volt a hőmérséklete. Töltsd ki a táblázatot! a hőmérséklet változása (°C)

a hőmérséklet (°C)

1 óra múlva

2. órában

157

101

123 °C-kal 56 °C-kal csökkent csökkent

3. órában

38 °C-kal csökkent 63

4. órában

29 °C-kal csökkent 34

5. órában

11 °C-kal csökkent 23

6. órában

5 °C-kal csökkent 18

7. órában

1 °C-kal csökkent 17

6 A bentlakásos varázslóiskolában a házak között pontozási verseny zajlik, ahol a házhoz tartozó diákok jó- és rossztetteit a tanárok pontszámokkal „jutalmazzák”. A pontszámokat kéthavonta írják fel: Jajdekár

Varjúláb

Ugribugri

Lúdondél

szept.–okt.

nov.–dec.

jan.–febr.

márc.–ápr.

máj.–jún.

Összesen

234

189

−453

−123

−200

−353

457

−234

−236

−234 124

−567

Melyik ház nyeri a versenyt? Varjúláb

−125 267

678

+102

−521

−234

−456

510

−1230

−256 146

−1589

27

16. Műveletek előjeles mennyiségekkel 1 Számítsd ki! a) (−1) − (− (−3)) = −4;

b) −(−(−3))−(−1) = −2;

c) (−5) − (2 − (−3 + 4)) = −6;

d) ((−1) + (−3))−(−5) = 1.

2 Ábrázold számegyenesen a következő összegeket és különbségeket! A végeredményt piros pöttyel jelöld! a) (−3) − (+5) b) (−7) − (−9) c) (+5) − (−5) 3 A Beng Banknál sok háztartás vezet folyószámlát. A folyószámlán lévő aktuális összeget egyenlegnek nevezik. A bank hitelt is szokott adni, így az ott lévő pénzünk, azaz az egyenleg negatív is lehet. Mennyivel változott a folyószámla egyenlege az egyes pénzügyi műveleteknél? Döntsd el, hogy kiadás vagy befizetés történt-e! A táblázat a pénzmozgás utáni összegeket mutatja. egyenleg

a változás összege befizetés/kiadás

65 234 Ft

56 786 Ft

156 786 Ft

0

K

B

0

−8448

100 000

45 678 Ft

23 456 Ft

K

K

−111 108

−22 222

4 A toronyház egyik liftje különleges, „relatív lift”-nek nevezik. A liftek nyomógombjain általában azt adják meg, hogy melyik szintre szeretne jutni az illető. A relatív liften azt lehet megadni, hogy az aktuális szinthez képest, mennyivel menjen fel (+) vagy le (−). (Például, ha a 3. szintről a mélygarázs −5. szintjére szeretnénk jutni, akkor a −8-at kell beütni.) a) Melyik számmal juthatunk a −10. szintről a 25. emeletre? +35 b) Melyik számmal juthatunk a −1. szintről a −9. szintre? −8

c) Melyik számmal juthatunk a 37. szintről a földszintre? −37

d) Melyik számmal juthatunk a 48. emeletről a 19. emeletre? −29

e) Melyik számmal juthatunk a 17. emeletről a −8. szintre? −25

5 Egy matematikaversenyen 25 feleletválasztós kérdés van. A pontozás úgy történik, hogy 3 pont jár a helyes válaszért, 0 pont jár, ha nem jelölt meg semmit sem a beküldő, és −2 pont jár rossz válasz esetén. a) Mennyi a maximálisan elérhető pontszám? 25 · 3 = 75

b) Mennyi pontja lesz annak, aki 10 helyes és 15 rossz választ adott? 10 · 3 + 15 · (−2) = 0

c) Eszter 20 helyes választ adott, és azokra a kérdésekre, amelyekben nem volt biztos, inkább nem válaszolt. Bori úgy gondolta, jobb, ha tippel, így a 20 helyes válasz mellé 2 helyes és 3 rossz választ jelölt be.

Melyiküknek lett több pontja? Eszternek 20 · 3 + 5 · 0 = 60, Borinak 20 · 3 + 2 · 3 + 3 · (−2) = 60, tehát ugyanannyi pontot szereztek.

28

17. Összefoglalás 1 A dinoszauruszok 230 millió évvel ezelőtt jelentek meg a Földön. Az

őslénykutatók szerint ezek a hüllők változatos állatcsoportot alkottak, és sok millió éven át uralták és népesítették be a szárazföldet, vizeket és a levegőt. A legmagasabb és legnehezebb közülük, amelynek sikerült a hiánytalan csontvázát megtalálni, a Giraffatitan, 12 méter magas, és körülbelül 30–60 tonna között lehetett. A legkisebb növényevők a nagyjából 60 centiméter hosszúságú Microceratus, Micropachycephalosaurus és Wannanosaurus voltak. 65 millió évvel ezelőtt valószínűleg egy Földnek ütköző, 12–15 kilométer átmérőjű kisbolygó okozott katasztrófát, és a dinoszauruszok kipusztultak. A becsapódás pillanatában a kéntartalmú kőzetek azonnal felrobbantak, a belőlük kipárolgó gáz pedig kénes felhőt hozott létre a magasban. A gázok és a légköri vízgőz keveredése miatt néhány napig savas eső hullhatott a Földre – derült ki egy modellkísérletből. A korabeli fajok nagy része a katasztrófa következtében kihalt, amit a tudomány a kréta időszakot lezáró eseménynek nevez. Ezután új földtörténeti kor kezdődött. A Földet uraló dinoszauruszok kipusztultak, a maguk után hagyott élőhelyeken pedig fejlődésnek indulhattak az emlősfajok.

a) Mi okozhatta a dinoszauruszok kipusztulását? Valószínűleg egy Földnek ütköző kisbolygó (óriás meteorit), illetve a bekövetkező robbanás és a keletkező gáz. b) Írd le egy dinoszaurusz faj nevét! (Van kedvenced?) Pl.: Tyrannosaurus rex c) Rajzolj egy nagy és egy kis dinoszauruszt!

d) Mekkora a különbség a legnagyobb és a legkisebb dinó magassága között? 12 m – 60 cm = 11 m 40 cm

e) Hány éven át uralták a földi életet a dinoszauruszok? 230 − 65 = 165 millió évig

2 Egy faluban minden házban ugyanannyi tyúkot tartanak tartanak, mint ahány ház van a faluban. Tudjuk, hogy a tyúkok száma 200 és 300 között van. Hány ház van a faluban? Próbálgassunk: 10 · 10 = 100 kevés, 12 · 12 = 144 kevés, 14 · 14 = 196 kevés, de már majdnem jó. 15 · 15 = 225 jó, 16 · 16 = 256 jó, 17 · 17 = 289 jó, 18 · 18 = 324 sok. Tehát a házak száma 15, 16 vagy 17.

3 Az Alfa mobiltársaság Béta tarifája szerint 1 perc beszélgetés 22 Ft és 1 db SMS 30 Ft. A Gamma tarifa szerint 1 perc beszélgetés 18 Ft és 1 db SMS 22 Ft, de van 1200 Ft havi előfizetési díj. Ha Gerzson 150 percet beszél havonta és 40 db SMS-t küld, akkor melyik előfizetés előnyösebb neki? A Béta Béta: 1 5 0 · 2 2 + 4 0 · 3 0 = 4 5 0 0

Gamma: 1 5 0 · 1 8 + 4 0 · 2 2 − 1 2 0 0 = 4 7 8 0

29

17. Összefoglalás Játék

Mathdoku Írd be az 1, 2, 3, 4 számokat a 4×4-es táblázatba úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban egy szám csak egyszer szerepelhet, valamint a vastagabb vonallal határolt tartományokban a megadott műveleteknek is igaznak kell lenniük! Például a 3−" azt jelenti, hogy az abban " a részben álló két szám különbsége 3. Nem csak 4×4-es, hanem 5×5-ös, ..., 9×9-es táblázatot is szoktak készíteni, ezekbe természetesen 1-től 5-ig, ..., 1-től 9-ig kell beírni a számokat. Segítségül egy kitöltött táblát megadtunk, a többit töltsd ki te! A Mathdoku játékot megtalálod az interneten is. 2 5 1 4 3 3 4

3

1

2

4

1

4

2

3

3

3

2

2

1

4

3

1 4

1

2

3

5

1

2

3

4

4

5

1

2

1

4

3

2

1

3

2

3

4

1

4

2

2

1

4

3

4 3

2 5

1

1

4

2

3

2

1

4

3

5

3

4

1

4

2

3

5

4

5

5

2

5

2

1

1 5

4 A Duna TV munkatársai tízrészes, egyenként 50 perces sorozatot terveznek az ország tájairól. Ehhez 3 csoport egyenként 30 órányi felvételt forgatott. a) Hány percnyi anyag lesz a tévében? 500 perc

b) Hány percnyi anyagot nem fognak felhasználni? 4900 perc 5 0 ·  1 0 = 5 0 0

9 0 ·  6 0 = 5 4 0 0

3 0 ·  3 = 9 0

−

5 4 0 0 5 0 0 4 9 0 0

5 1993-ban 3973 m volt a mogyoródi versenypálya hossza, és 77 kört kellett a versenyautóknak teljesíteniük. Később átépítették a pályát, így elnyerte a mai, 4381 m-es hosszát. 2014-ben 70 kört kell teljesíteniük a versenyzőknek.

Milyen távot kellett 1993-ban, illetve 2014-ben teljesíteniük a versenyzőknek? 1993-ban 305 921 m-t, 2014-ben pedig 306 670 m-t. Melyik verseny volt hosszabb és mennyivel? A 2014-es verseny volt hosszabb 749 m-rel. 3 2 7 + 2 3 0

30

9 8 7 5

7 1 8 9

3 · 7 7 1 1 1 2 1

4 3 8 1 · 7 0 3 0 6 6 7 0

3 0 6 6 7 0 − 3 0 5 9 2 1 7 4 9

17. Összefoglalás Tesztkérdések

Karikázd be a helyes választ! 1. Melyik ez a szám: 45 234 010? A: négymillió-kétszázharmincnégyezer-tíz; B: negyvenötmilliókétszázharmincnégyezer-tíz; C: négymilliókétszázharmincnégyezer-egyszáz.

9. Melyik igaz? A: Az 5 705 123 esetén az ezresek helyén az 5 áll; B: Az 5 705 123 esetén a százezresek helyén az 5 áll; C: A  z 5  705  123 esetén a tízezresek helyén az 5 áll.

3. Mennyi (−23 365) + (−34 214)? A: 57 579; B: −57 579; C: −10 849.

11. Mennyi a 6541 : 23 maradéka? A: 9; B: 11; C: 7.

2. A MCMXIV római szám A: 1914-et; B: 1904-et; C: 1916-ot jelent.

4. Mennyi (−6234) − (−8765)? A: −2531; B: 2531; C: −14 999. 5. Mennyi 45 234 · 100? A: 4 523 400; B: 452 340; C: 45 234 000. 6. Mennyi 675 · 17? A: 11 470; B: 11 485; C: 11 475.

7. Melyik a 28 és 49 közös osztója? A: 5; B: 2; C: 7.

8. Mennyi (−642) · 21? A: −13 382; B: −13 482; C: −13 582.

10. Mennyi a 6541 : 23 hányadosa? A: 274; B: 284; C: 283.

12. Tízes számrendszerben mennyi a 101012? A: 13; B: 21; C: 19.

13. Melyik a 49  999 százasokra kerekített értéke? A: 49 000; B: 49 900; C: 50 000. 14. Mennyi (−13) − (−5)? A: −18; B: −8; C: 8.

15. A 0 abszolút értéke 0. (12 : 6) : 2 = 12 : (6 : 2) A: Mindkét állítás igaz. B: Csak az első állítás igaz. C: Csak a második állítás igaz.

31

II. Törtek, tizedes törtek

1. Tört, törtek ábrázolása számegyenesen

1 Töltsd ki a táblázatot!

a) leírva és kiejtve b)

tört alak

tört alak

leírva és kiejtve

nyolc tizenharmad

kilenc huszad

hét ötöd

nyolc harmad

százhárom kilencvenötöd

5 7

3 5

1 15

12 61

100 157

8 13

öt heted

9 20

három ötöd

2 Színezd ki a téglalapok adott részeit! a)



3 ; 24

b)

11 ; 24

7 5

c)

8 3

egy tizenötöd

12 ; 24

tizenkettő hatvanegyed

15 ; 24

d)

103 95

e)

száz százötvenheted

17 ; 24

f)

21 . 24

3 A téglalapok hányad része van kiszínezve?

5 11 12 b) c) 24 24 24 4 A körök hányad része van kiszínezve? a)

2    5 5 Ábrázold számegyenesen 0-tól 2-ig a) piros ceruzával a kettedeket, b) zöld ceruzával a harmadokat, c) kék ceruzával a negyedeket!



5 7

  

6 24

d)

3 4

6 Ábrázold a számegyenesen a következő törteket! 2 3 5 8 6 a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; ab 8 8 8 8 8 16 11 12 17 20 01 f) ; g) ; h) ; i) ; j) . 8 8 8 8 8 8

32



  

cd

e)

6 24



f)

7   10

e

fg

hi

j

12 24

2. Tört bővítése, egyszerűsítése, összehasonlítása 1 Karikázd be zölddel az egynél kisebb, pirossal az egynél nagyobb, kékkel pedig az eggyel egyenlő törteket! 9 12

15 16

9 8

5 7

7 7

15 7

2 Pótold a hiányzó számokat!

a)

c)

3 6 12 24 36 – = = = = = ; 4 8 16 32 48 54

b)

7 21 42 63 77 101 = = = = = ; – 11 33 66 99 121

3 Egyszerűsítsd a törteket! 3 1 = 12 4

4 2 = 6 3

;

;

  

  

8 4 ; = 6 3

  

10 2 ; = 35 7

  

4 Írd a két tört közé a <, vagy a > jelet!

a)

3 5

e)

7 8

< <

2 ; 5

3 ; 4

< 59 ; 17 3 f) ; < 20 4 b)

4 9

15 15

d)

89 100

72 71

35 36

25 25

32 35

11 . 10

2 8 6 14 10 22 = = = = = ; 5 20 15 35 25 55

8 16 32 40 64 72 = = = = = . 9 18 36 45 72 81

15 3 ; = 20 4

  

18 3 ; = 24 4

   c)

5 13

g)

1 2

32 4 ; = 24 3

  

15 3 ; = 25 5

  

< 125 ; < 52 ;

9 3 ; = 15 5

16 2 . = 24 3

d)

100 101

h)

4 15

; < 100 99 < 14 .

5 Milyen pozitív egész számokat írhatunk a * helyébe, hogy teljesüljenek az egyenlőtlenségek? a)

* 9 4 4 7* 5 7 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  b) > 4, 3, 2, 1  c) ≥ 1, 2, 3, 4, 5 < 11 11 * 5 8 8* 6

e) 3 < * < 9 4, 5, 6, 7, 8  5 5 5

f)

9 9 9 < < 3, 4, 5, 6, 7 8 * 2

6 Írd a törteket a megfelelő helyre! 5 8 4 3 23 0 , , 8, , − , − 6, , 0, . 1 3 3 5 10 5

g) −

d)

7 7 ≥ 1, 2, 3, 4, 5, 6 * 6

9 * 2 3, 4, 5, 6, 7, 8 <− <− 11 11 11

1-nél nagyobb

8 4 23 3 3 10

1-nél kisebb

0 5 egész szám 0

−6

−

3 5

33

3. Egyenlő nevezőjű törtek összeadása és kivonása 1 Végezd el a műveleteket!

a) d) g)

7 4 3 − = 9 9 9

;

26 7 8 41 = ; + + 60 60 60 60

b) e)

7 16 9 ; − = 25 25 25

h)

4 8 12 + = 15 15 15

19 7 12 − = 60 60 60

;

c)

;

f)

9 21 30 = ; + 33 33 33

19 11 8 ; − = 21 21 21

15 8 7 − = 60 60 60

i) 2 +

;

3 2 27 = . − 13 13 13

2 Pirossal és kékkel színezd az összeadandók számlálójának megfelelő számú részt! Add össze a két törtet! a) b) c) d)







9 7 16 + = 24 24 24

6 11 17 + = 24 24 24

6 7 13 + = 15 15 15









4 9 13 + = 15 15 15

e) f) g) h)



7 4 11 + = 30 30 30



16 11 27 + = 30 30 30

21 9 30 + = 36 36 36

3 A színes forgón egyforma nagyságú színes részek vannak. 1 a) A forgónak hányad része egy szelet? 11 4 b) A forgónak hányad része a sárga? 11 5 c) A forgónak hányad része a lila? 11 2 d) A forgónak hányad része a piros? 11 e) A forgónak hányad része a piros vagy sárga?

14 17 31 + = 36 36 36

6 11

4 Az ábrán látható karikában az egyforma nagyságú részeket három különböző színnel festette az ékszerész. 1 a) Ha a karika 1 egész, akkor hányad része ennek egy szelet? 16 12 b) A karikának hányad része piros vagy sárga? 16 12 c) A karikának hányad része piros vagy zöld? 16 8 d) A karikának hányad része sárga vagy zöld? 16

34

4. Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása 1 Végezd el a következő műveleteket! Ha lehet egyszerűsíts! 3 3 9 a) − + =− ; 12 5 20 d)

b)

[ ]

9 3 29 5 = ; − = 24 6 24 8

9  5  27 9 17 27 34 61 10 37 + = = − − + = ; e) −−  = 42 42 14  21  42 32 48 96 96 96

2 a) Mennyit kell

  b) Mennyit kell

16 74 -höz adni, hogy az összeg legyen? 25 75

c) ; f )

62 31 35 3 = ; + = 36 18 36 4 21

−

15 20

74 48 26 − = 75 75 75

25 3 -ből elvenni, hogy a különbség legyen? 12 4

9

=

84 27 57 19 − = = . 60 60 60 20

25 9 16 4 − = = 12 12 12 3

3 Az aranyásók tartaléka egy üveg aranypor. Csákányra költötték az

1 részét, élelmiszert vettek az üveg 9

1 1 részéért. A születésnapi bulira az üveg por -ét költötték el. Mennyi aranyporral lehet újra 8 4 1 1 1 37 + + = feltöltetni a készletet? Annyival, amennyit elköltöttek, vagyis az üveg részével. 9 8 4 72

aranypor

4 Egyik nap az apa a kert

3 2 részét ásta fel, a fia a részét. A kert hányad részét kell felásniuk másnap? 7 9

27 14 41 63 41 22 + = = − részt ástak fel, másnapra maradt a kert része. 63 63 63 63 63 63

5 Három testvérnek három tökéletesen egyforma kertje van. A testvérek különböző arányban művelik a kertjeiket. A kert egyik része gyümölcsös, másik része konyhakert, a maradék pedig virágos terület. gyümölcsös

konyhakert virágos

1. kert

2. kert

3. kert

Összesen

2 5

3 5

1 2

90 60

1 3

15 11 4 = − 15 15 15

1 4

20 17 3 − = 20 20 20

1 5

10 7 3 − = 10 10 10

47 60 43 60

a) Határozd meg, hogy az egyes kertek hányad része virágos! b) Határozd meg, hogy a három kertben összesen hányad rész a gyümölcsös, a konyhakert, illetve a virágos!

1 1 1 20 15 12 47 + + = + + = 3 4 5 60 60 60 60 2 3 1 90 k.: + + = 5 5 2 60 gy.: v.:

3 3 16 9 18 43 4 + + = + + = 15 20 10 60 60 60 60

35

4. Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása 6 A két mérőhengerben lévő vizet összeöntve hányadrészét töltik meg a harmadik hengernek? A vízszintet jelöld be hozzávetőlegesen a harmadik hengeren!





1 6





+



3 4

=   





1 2

+

22 24



2 5

=   

5 4 9 + = 10 10 10

1 órán, a másodikat 7 Az óragyertya pontosan 1 órán keresztül ég. Három óragyertyából az elsőt 3 1 1   órán, a harmadikat pedig órán keresztül égettük már korábban. Legfeljebb hány órán át tudunk 4 2 még gyertyát égetni?

3 −

=

36

23 12

36 1 1 1 4 3 6 − − = − − − = 12 12 12 3 4 2 12

5. Tört szorzása természetes számmal 1 Színezd be a téglalapokat az eredménynek megfelelő részen!

a)

 b)

3 ⋅5 24

 c)

 d)

1 ⋅5 6

2 ⋅6 30



2 8 ⋅4 = ; 11 11

d) 7 ⋅

9 63 9 = = ; 28 28 4

b) e)



 f)

7 ⋅3 30

2 Végezd el a szorzásokat! Ha lehet, egyszerűsíts! a)

 e)

30 6 3 = ; ⋅ 10 = 25 5 25

5 ⋅7 36 c) 18 ⋅

12 240 48 ; ⋅ 20 = = 35 35 7

f)

2 ⋅4 9

5 90 15 = ; = 42 42 7

45 2070 = 90. ⋅ 46 = 23 23

3 Melyik tört nagyobb? Írd ki a két tört közé a megfelelő relációjelet! (<, =, >)

a)

3 ⋅ 14 11

d)

14 ⋅6 21

=

>

>

6 9 ⋅ 7 ; b) ⋅4 11   15

<

21 5 ⋅ 4 ; e) ⋅7 22   30

2 5 ⋅ 17 ; c) ⋅5 15   26

5 11 ⋅ 4 ; f) ⋅7 15   25

>

<

3 ⋅ 4 ; 13

7 ⋅ 11 . 24

6. Tört osztása természetes számmal 1 Váltsd át a következő mennyiségeket!

a) e)

3 kg = 150 dkg; 2

17 km = 680 m; 25

b)

f)

2 dkg = 4 g; 5

12 óra = 24 perc; 30

2 Végezd el az osztásokat! Ha lehet, egyszerűsíts!

a) d)

4 4 2 :2 = = 11 22 11 9 9 :7 = 2 14



b)



e)

c) g)

25 25 5 = : 10 = 3 30 6

12 12 :5 = 7 35

7 m = 70 cm; 10

d)

7 kg = 350 g; 20

h)



c)



f)

13 13 dm = cm; 100 10 9 m = 45 dm. 2

42 42 7 = :6 = 5 30 5

23 23 1 = : 46 = 138 6 3

37

6. Tört osztása természetes számmal 3 Váltsd át a következő mennyiségeket!

a) d) g)

5 100 1 dkg = dkg = kg; 2 40 40

b)

200 200 20 cm = dm = dm; 3 30 3

e)

8000 8 8000 g= kg = kg; 17000 17 17

h)

14 14 7 g= dkg = dkg; 5 50 25

25 25 1 cm = m= m; 6 600 24

c)

3000 120 120 2 3000 3 m= km = km; f) perc = óra = óra; 660 11 7 11 7000 7 45 45 9 dm = m = m; 2 20 4

i)

150 5 150 perc = óra = óra. 420 14 7

7 részét egyenlő mértékben osztotta el három fia között. 12 7 7 :3= Mekkora részt kaptak a gyermekek? 36 12

4 a) Az öreg Tóbiás király birodalmának

b) Anya reggel kibontott egy liter tejet és egy decilitert a kávéjába töltött. A maradékot egyenlően akarja széttölteni öt csemetéje poharába. Mennyi tej jut egy-egy gyereknek? 10 dl − 1 dl = 9 dl; 9 dl jut egy gyereknek. 5

c) 54 kg kétszersültet osztottak szét egyenlően 5 táborhelyre. Az első táborhelyen három expedíció vert sátrat. Mindegyikhez 9 felfedező tartozott. Hány kilogramm kétszersültet kap egy-egy kutató? 54 54 2 Egy táborba kg kétszersültet vittek. Az első táborban 3 ⋅ 9 = 27 kutató volt, tehát : 27 = kg 5 5 5 kétszersültet kap egy-egy kutató.

7. Vegyes számok

1 Írd át a közönséges törteket vegyes számmá! 7 1 = 3 ; 2 2 16 1 = 5 ; d) 3 3

a)





2 Írd át közönséges törtté! 1 16 ; a) 5 = 3 3



5 d) 1 = 11 ; 6 6



7 1 = 2 3 3 16 1 e) = 3 5 5 b)

;

;



3 31 b) 7 = ; 4 4



6 e) 4 = 34 ; 7 7



3 Karikázd be az egyenlőket azonos színekkel! 9 28 12 8 2 2 1 24 12 36 6

7 3 = 1 ; 4 4 16 2 f) = 2 . 7 7 c)



2 17 c) 3 = ; 5 5 5 f) 9 = 77 . 8 8 2

3 8



1

22 16

19 8

7

7

19

7

19

19

19

3

3

8

3

8

8

8

38

7. vegyes számok 4 Add össze a vegyes számokat!

5 2 23 8 23 16 39 13 + = + = = ;  b) 3 + 2 = 6 3 6 3 6 6 6 2

4 3 24 13 37 ; a) 4 + 2 = + = 5 5 5 5 5

4 7 24 37 48 37 85 17 + = + = = ; c) 4 + 3 = 5 10 5 10 10 10 10 2

 d) 3

5 Szorozd össze a vegyes számokat az egész számokkal!

2 3 4

2

1 6

4

2 5

6

4 15

8

1 3

6

4 5

3

10

8 15

12

6 Végezd el a műveleteket!

 42 28  5 70 350 175  2 a)  2 + 1  ⋅ 5 =  +  ⋅5 = ⋅5 = = 9 18 18 9  18 18   6

13 4 58 14 58 42 100 20 +2 = + = + = = . 15 5 15 5 15 15 15 3 5

1 2

10

1 5

5 6

17

12 15

21

5 15

 66 94  4  160  2 b)  4 + 6  ⋅ 3 =  +  ⋅ 3 = ⋅ 3 = 32 15 15   15 15   5

 63 170   34 43  1  233 1165 7   5  5 77 1617 539 c) 21 ⋅  2 + 3  = 21 ⋅ d) 5 ⋅  2 + 7  = 5 ⋅  + = 5⋅ = = = = ⋅ + 21    12  12  24 24  24 24  12 12 4  6  12 12   8

8. Tizedes törtek 1 Írd be a táblázatba a következő tizedes törteket!

0,305    23,067    106,230    34,57    4571,5    1000,001 ezer

1000

száz 100

1 4

1

5

0

tíz

10 2

0

3

7

0

egy 1

,

0

,

6

,

3

4

1

0

,

,

,

,

tized

század

ezred

3

0

5

1 10 0

2

5

5

0

1 100 6

3

7 0

1 1000 7

0 1

39

8. tizedes törtek 2 Ejtsd ki és írd le a táblázatban megadott tizedes törteket! ezer

1000

2

száz

tíz

egy

1

3

100

10

1

6

3

13,7 = tizenhárom egész hét tized

1

1 10

,

,

7

0

tized

5

,

ezred

1 100

7

,

9

század

1 1000

5

6

2

6

167,55 = százhatvanhét egész ötvenöt század

2309,626 = kettőezer-háromszázkilenc egész hatszázhuszonhat ezred

 ) Árpád és barátai üveggolyót ejtettek le 1 méter magasságból, és kézi stopperórával mérték az esés 3 a idejét. A mért időket a táblázat tartalmazza. az időmérő

mért idő (másodperc)

Józsi

0,57

Árpád

0,68

Marcsi

0,52

Karcsi

0,74

Ábrázold számegyenesen a mért időadatokat! Miért térnek el a mért értékek? Mert a gyerekeknek különböző a reakcióideje. 0,57 0,52

0,74 0,68

 ) A két méter magasról leesett tárgy körülbelül 0,64 másodpercig esik. Árpádék elvégezték a kísérb letet ebből a magasságból leejtett golyókkal is. az időmérő

mért érték (másodperc)

Józsi

0,83

Árpád

Marcsi Karcsi

0,52 0,89 0,94

Ábrázold számegyenesen a mért időadatokat! Az egyikük nem vette komolyan a mérést. Melyikük lehetett az? 0,89 0,52 0,83 Árpád. A mért idő nem lehetett kevesebb, mint az eltelt idő.

40

0,94

8. tizedes törtek 4 Párosítsd a számmal és a betűvel leírt számokat! 0,34

nulla egész harmincnégy ezred

nulla egész háromszáznégy ezred

0,304

nulla egész háromszáznégy tízezred

0,034 0,340

nulla egész harmincnégy század

0,0304 nulla egész háromszáznegyven ezred

9. Tizedes törtek összeadása és kivonása 1 Mérd fel egymás után a számegyenesre a következő tizedes törteket! +2,8 −1,4 3,5 1,6 −3,1

3,6

A tizedes törtek összevonásával ellenőrizd, hogy jól dolgoztál-e!

2 A következő alakzatok néhány vonalának hosszát ismerjük (kék). Határozd meg a piros szakaszok hosszúságát! ?

2,26 cm

a)

?

b) ?

4,15 cm

a)

1,69 cm 1,48 cm

4, 1 5 − 2, 2 6 1,8 9

  

b)

1, 6 9 + 1, 4 8 3, 1 7

3 Számítsd ki a vonalak hosszát!

a) a)

3, 1 6 + 2, 5 5, 6 6

3,16 cm



  

c)

b)

1,005 kg kenyér  0,245 kg uborka

d)

6,05 cm

2, 4 6, 0 5 + 3, 2 − 5, 6 5, 6 0, 4 5

1 1 1 4

  

2,2 cm

6,7 cm

d)

2, 2 + 2, 9 5, 1

c)

3, 2, + 2, 7,

6, 7 − 5, 1 1, 6

2,14 cm

2,5 cm

3, 2, + 2, 7,

3,2 cm

2,4 cm

b)

4 Milyen nehéz volt Panni bevásárlószatyra, ha a felsorolt árukat vásárolta meg?

0,123 kg szalámi 1,011 kg tej

c)

2,9 cm

?

6 4 4 4

0, 1, 1, + 0, 2,



1 0 0 2 3

2 0 1 4 8

c)

3 5 1 5 4 kg volt.

1 6 1 4 5 8 0

41

9. Tizedes törtek összeadása és kivonása 5 Pisti egyetemre járó testvére egy robotépítő csapat tagja. Az egyik robotversenyen az a cél, hogy a robot minél rövidebb idő alatt találjon ki önállóan egy labirintusból. Az egyik gyakorlásnál a következő részidőket mérte Pisti. Indulás:

0,00 másodperc

A szakasz teljesítési ideje:

2. szakasz

9,23 másodperc

9,23−5,67 = 3,56

1. szakasz 3. szakasz 4. szakasz

5,67 másodperc 15,19 másodperc

5,67−0,00 = 5,67 másodperc 15,19 − 9,23 = 5,96

138,26 másodperc 138,26 − 15,19 = 123,07

Befejező szakasz: 156,19 másodperc 156,19 − 138,26 = 17,93

a) Számold ki, hogy az egyes szakaszokat mennyi idő alatt teljesítette a robot! b) Melyik szakaszban volt a robotnak több tájékozódási problémája? A robotnak a 4. szakaszban volt a legtöbb problémája. 9, 2 3 − 5, 6 7 3, 5 6

1 5, 1 9 − 9, 2 3 5, 9 6

1 3 8, 2 6 − 1 5, 1 9 1 2 3, 0 7

1 5 6, 1 9 − 1 3 8, 2 6 1 7, 9 3

6 Karikázd be pirossal a három tizedesjegy, kékkel a két tizedesjegy, zölddel az egy tizedesjegy pontossággal megadott számokat! 2,8 −1,44 3,500 2,623 −4,132 0,00 −12,7 −1,20 3,020 5,120 −0,1111 2,6 0,080 −2,411 4,056 1,45 −3,120 123,6

7 Három értékes jegyre kerekítéssel tedd szemléletesebbé a következő adatokat! Magyarország nyugati szomszédjának, Ausztriának a te­rülete 83 870  km², népessége 8 501 502 fő. Fővárosának, Bécsnek a népessége 1  905  080 fő. Ausztria legmagasabb pontja, a Grossglockner 3 797 méter.

Magyarország nyugati szomszédjának, Ausztriának a te­rülete 83 900 km2 , népessége 8 502 000 fő. Fő-

városának, Bécsnek a népessége 1 905 000 fő. Ausztria legmagasabb pontja, a Grossglockner 3 800 méter.

10. Tizedes törtek szorzása természetes számMal 1 Végezd el a műveleteket!

a) 34,23 · 10 = 342,3 ;

d) 3,6 · 100 = 360 ;

42





b) 0,0023 · 10 = 0,023 ;

e) 6,7567 · 100 = 675,67 ;





c) 0,056 · 100 = 5,6 ;

f) 0,067 · 1000 = 67 .

10. Tizedes törtek szorzása természetes számMal 2 Végezd el a műveleteket!

a) 458 : 10 = 45,8;

d) 0,505 : 100 = 0,00505;

3 Váltsd át a mennyiségeket! a)



b) 58,12 : 10 = 5,812;

e) 389,4 : 1000 = 0,3894; deciliter

centiliter

milliliter

2,36

23,6

236

2360

12,34

0,0307

123,4

0,307

3,07

1234 30,7

0,00225

0,0225

0,225

tonna

kilogramm

dekagramm

gramm

0,0056789

5,6789

567,89

5678,9

0,3567

b)

0,001234

3,567

1,234

35,67

123,4

2,25

356,7 1234

34,6

34 600

346 000

3 460 000

0,00005678

0,05678

5,678

56,78

0,002001

2,001

200,1

4 Minden vonal hosszát megadtuk. 4,37 cm

c)

f) 39,564 : 1000 = 0,039564.

liter

1,234

a)

c) 6,9 : 100 = 0,069;

1,25 cm

2001

2,34 cm Milyen hosszú a törött vonal?

9 . 4,37 = 39,33

b)

4 . 2,34 + 4 . 1,25 = 14,36 d)

6 . 4, 37 + 12 . 1,25 = 41,22

17 . 4,37 = 74,29

43

10. Tizedes törtek szorzása természetes számmal 5 Végezd el a szorzásokat! a) 3,6 · 6; a) 3 , 6  ·  6 b) 1,7 · 8; 2 1, 6 c) 6,3 · 12; d) 0,27 · 32; b) 1 , 7  ·  8 e) 67,6 · 23; 1 3, 6 f) 0,45 · 16.

c) 6 , 3  ·  1 2 + 1 2, 6 7 5, 6

f) 0 , 4 5  ·  1 6 + 2 7 0 7, 2 0

d) 0 , 2 7  ·  3 2 e) 0, 8 1 1 + 0, 5 4 + 8, 6 4 1

6 3 2 5

7, 5 0 5

6  ·  2 3 2 2 8 4, 8

6 A Kerek Vállalat kerekeket gyárt gyerekeknek, ezért hívják a vállalatot Kereknek. A cégnél 1 igazgató, 10 osztályvezető, 100 adminisztrátor és 1000 munkás dolgozik. A védőruhát akciósan szerzik be. Összesen hány ezer forintot költött a vállalat védőruházatra? 3490,56 + 136,95 + 8195 + 14 020,82 = 25 843,33 ezer Ft-ot Munkaruha Fejvédő

Egységár (ezer forint)

1 igazgató (ezer forint)

3,456

—

10 osztályvezető (ezer forint)

100 adminisztrátor (ezer forint)

1000 munkás (ezer forint)

Összes kiadás (ezer forint)

—

—

136,95

34,56

Kabát

12,45

12,45

124,5

Cipő

12,62

12,62

126,2

Pufajka

7,45

—

—

—

3456

745

7450

1262

12 620

3 490,56 8195

14 020,82

11. Tizedes törtek osztása természetes számmal 1 Végezd el az osztásokat!

a) 3,6 : 3 = 1,2 ;

d) 0,0099 : 9 = 0,0011 ; a) b)

44

3 , 6 : 3 = 1 , 2

0 , 2 : 9 = 0 , 0 2 2 0 2 0

b) 0,2 : 9 = 0,02 ;

e) 184,96 : 8 = 23,12 ; c)

c) 0,042 : 7 = 0,006 ;

f) 68,046 : 6 = 11,341 .

0 , 0 4 2 : 7 = 0 , 0 0 6 0 0 0 4 4 2 0

11. Tizedes törtek osztása természetes számmal 2 A Békéscsaba és Gyula közötti 16,7 km-es távon rendeznek váltófutó versenyt. Hány km jut egy-egy futóra, ha az iskola csapata a) 5 fő; b) 8 fő; c) 10 fő; d) 12 fő? 3,34 km



1 6, 7 : 5 = 3, 3 4 1 7 2 0 0

2,0875 km



1,67 km

1 6, 7 : 8 = 2, 0 8 7 5 0 7 7 0 6 0 4 0 0



1,3916 km

1 6, 7 : 1 2 = 1, 3 9 1 6 4 7 1 1 0 2 0 8 0 8 0

3 Anya epret szedett a „Szedd magad!” akcióban, és három egyenlő részre akarja osztani, amit leszedett. Az egyik részből lekvár lesz, a másik részt lefagyasztja, a harmadik részt pedig frissen megeszik. 8,7 kg-ot sikerült leszednie 2 óra alatt. Egy kg eper ára 480 Ft volt. Mennyi eperből fog anya lekvárt főzni? A: 4,35 kg



B: 960 Ft értékű eperből

C: 2,9 kg



D: 5,8 kg

12. Közönséges törtek tizedes tört alakja 1 Karikázd be azokat a törteket, amelyeknek a tizedes tört alakja véges!

a)

11 5 7 6 28 23 43 13 12 11 2 5 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) ; l) . 2 4 8 5 25 10 20 30 15 6 3 9

2 Mi a szakasza a tizedes törteknek?

a)

e)

11 4   b) = 1, 2 ; = 0,12 ; 9 33 a szakasz: 12 a szakasz: 2

 c)

25 = 0,25 ; 99 a szakasz: 25

 d)

13 = 1,4; 9 a szakasz: 4

32 191 27 1141 1  g)  h) = 3, 2516 ;   f) = 0,245 ; = 1,267 ; = 0,01. 9900 900 90 a szakasz: 1 a szakasz: 16 110 a szakasz: 45 a szakasz: 7

1 1 : 9 = 1 , 2 2 0 2

1 3 : 9 = 1 , 4 4 0 4

4 : 3 3 = 0 , 1 2 4 0 7 0 4

2 5 : 9 9 = 0 , 2 5 2 5 0 5 2 0 2 5

3 2 1 9 1 : 9 9 0 0 = 3 , 2 5 1 6 2 4 9 1 0 5 1 1 0 0 1 6 0 0 0 6 1 0 0 0 1 6 0 0

45

12. Közönséges törtek tizedes tört alakja 3 Alakítsd át a tizedes törteket közönséges törtekké! 1 16 8 25 5 = a) 0,1 = ;  b) 2,5 = ;  c) 1,6 = = 10 10 5 10 2 e) 0,4 =

4 2 = 10 5

;

 f) 0,5 =

5 1 = ; 10 2

 g) 0,125 =

;

125 1 = ; 1000 8

 d) 8,5 =

 h) 2,225 =

85 17 = ; 2 10

2225 89 = . 1000 40

13. Összefoglalás 1 Öregapó tizenhat egyenlő részre osztotta földjét. A legidősebb fiú hét részt kapott, a középső fiú ötöt, a legkisebb pedig hármat. A föld hányad részét kapták meg a fiúk? A föld hányad részét hagyta meg magának? 7

+

5

+

3

+

15

-od részét kapták meg a fiúk. 16 16 16 16 15 1 1− = -od részét hagyta meg magának. 16 16 2 Egy házaspárnak két gyermeke van. 1 1 5 A gyerekek életkora -e, illetve -e, az anyáé pedig -a az apa életkorának. Mennyi idősek a 15 10 6 családtagok, ha mindenkinek az életkora egész szám, és a gyerekek még nem járnak iskolába?

Az apa életkora osztható 15-tel, 10-zel és 6-tal is. A legkisebb szóba jövő szám a 30, ekkor a gyerekek 2 és 3 évesek, anya pedig 25, ami megoldása a feladatnak. A következő lehetséges érték a 60, ekkor a gyerekek 4 és 6 évesek, anya pedig 50, ami elvileg lehet megoldás. Ha az apa 90 éves lenne, akkor iskoláskorúak lennének a gyerekek, tehát nem lehet a megoldása a feladatnak. 3 Dédinek most volt a 84. szülinapja. Azt mesélte, hogy eddigiélete első negyede telt el éppen, amikor férjhez ment, és élete harmada után született meg a nagymama. Két évvel később született a nagyi testvére, Imre. a) Hány éves korában ment férjhez a dédi? 84 : 4 = 21 éves korában

b) Hány éves korában szülte a nagymamát? 84 : 3 = 28 éves korában

c) Hány éves most Imre? 84 – (28 + 2) = 54 éves

46

13. Összefoglalás 4 Az öreg Xantus király rajongott a könyvekért. 12 000 kötetes könyvtára volt. El is nevezte Irodalom-háznak. Később egyenlően megosztva Lali és Bendegúz fiára hagyta gyűjteményét, amelyet rövidítve Lirodalomnak és Birodalomnak hívtak. Lali másfélszeresére növelte saját könyveinek számát, és még szerzett 1200 kötetet. Bendegúz előbb vásárolt 2400 könyvet, majd ezt növelte nyolchatodszorosára. A lirodalmi vagy a birodalmi könyvtárban lett több könyv? Lali: 6 0 0 0 · 1, 5 = 9 0 0 0 9 0 0 0 + 1 2 0 0 = 1 0 2 0 0 Bendegúz: 6 0 0 0 + 2 4 0 0 = 8 4 0 0 8 4 0 0 ·

8 6

= 1 1 2 0 0

Tehát a birodalmi könyvtárban lett több könyv.

5 A szomszédban házat építenek. 3,8 méter mély gödröt ástak, majd a gödör alján 8 méteres vasoszlopokat vertek be a földbe, 2,6 méter mélyre. Milyen magasan van a föld felett a vasoszlopok teteje? 3, 6 + 2, 6 6, 4

8 − 6, 4 = 1, 6 m

Az oszlopok alja –3,8 – 2,6 méter mélyen van, a teteje ennél 8 méterrel magasabban, tehát 8 – 3,8 – 2,6 = 1,6 m magasan a föld felett.

6 a) Milyen magas a 11 szintes ház, ha egy szint magassága a födémmel együtt 2,87 méter? 11 . 2,87 = 31,57 m

b) Milyen hosszú az ábrán látható kerítés, ha két oszlop távolsága 2,34 méter? 28 . 2,34 = 65,52 m

c) A hinta 3,43 másodperc alatt lendül az egyik szélső helyzetből a másikba. Mennyi ideig tart 59 lendülés? 3,43 . 59 = 202,37 másodperc, azaz kb. 3 perc és 22 másodperc.

d) Egy gyereklépés 0,56 méter. Hány kilométer 3456 lépés? 0,56 . 3456 = 1935,36 m = 1,93536 km ≈ 1,9 km

e) A varrógépen egy öltés 0,17 cm. Milyen hosszú 125 öltés? 0,17 . 125 = 21,25 cm

47

13. Összefoglalás 7 a) A szürke óriáskenguru 12 ugrása 126 méter. Körülbelül mekkora egy ugrása? Kb. 10-11 m

b) Az erdei béka 3 szökkenése 4,2 méter. Körülbelül mekkora egy szökkenése? Kb. 1,4 m

c) A szöcske 2 szökellése 4,2 méter. Körülbelül mekkora egy szökellése? Kb. 2,1 m

d) A bolha körülbelül 2-3 mm nagyságú, és saját testhosszának 200-szorosát képes ugrani. Mekkora egy ugrása? 400-600 mm, kb. 50 cm

Tesztkérdések 8 Ha

. 1 3 = 0, 1 , akkor = A: 3;  B: 0,3;  C: 0,3;  D: 3,3 0,3 9 9

. . 1 10 = 1,1 = 0, 1 , akkor A: 1;  B: 0,9;  C: 1,1;  D: 1,2 9 9 10 Ha egy közönséges tört nevezője négy, akkor

9 Ha

A: a tizedes tört alakja biztosan egész szám. B: a tizedesvessző után biztosan 25 áll.

C: a tizedesvessző után biztosan 75 áll.

D: a tizedesvessző után lehet, hogy 5 áll.

11 Töltsd ki a táblázatot! 1 1 5 2

10

48

8

3 7

2 5

5

7

10 7 5

5

47 5 7

3 4

7 3

19 2

6

19 12

4 5

7 5 3 5 3

24 3 5

4 5

3 10

2

38

2

19

33

19

2 5

5

2

1 19

2

0 2 3

3

0

8

3

27 24

5

24

5 1 5

19 5

1 24 5

19 5

III. Mértékegységek 1. A hosszúság mérése 1 Add meg kilométerben!

a) 7000 m = 7 km;

b) 3700 m = 3,7 km; c) 900 m = 0,9 km;

d) 20 000 dm = 2 km;

e) 84 000 dm = 8,4 km; f) 9000 dm = 0,9 km;

g) 600 000 cm = 6 km;

h) 9 000 000 mm = 9 km; 2 Add meg méterben!

a) 6000 mm = 6 m;

b) 3800 cm = 38 m;

c) 510 dm = 51 m;

d) 73,9 dm = 7,39 m;

e) 7 km = 7000 m;

h) 0,8 km = 800 m;

3

42 000 m = 42 km;

80 000 m = 80 km;

970 m = 0,97 km;

80 m = 0,08 km;

56 520 m = 56,52 km; 21 000 dm = 2,1 km;

64 310 dm = 6,431 km; 8300 dm = 0,83 km;

7 900 000 cm = 79 km;

82 200 000 mm = 82,2 km; 6200 mm = 6,2 m;

17 000 cm = 170 m;

10 és fél dm = 1,05 m;

cm

1

cm

20 900 m = 20,9 km; 500 000 dm = 50 km;

612 000 dm = 61,2 km; 900 dm = 0,09 km;

60 000 cm = 0,6 km;

20 000 mm = 0,02 km. 2950 mm = 2,95 m;

640 cm = 6,4 m;

1020 dm = 102 m;

1,21 dm = 0,121 m;

3021,1 dm = 302,11 m;

0,72 km = 720 m;

0,003 km = 3 m.

130 km = 130 000 m;

10

8 és fél km = 8500 m;

Milyen hosszú az a szalag, amelyből 1,15 m-t és 3,7 dm-t levágva 320 cm-es darab marad?

Milyen mértékegységet szeretnél használni? Deciméter Az adott hosszúságok ebben a mértékegységben: 1,15 m = 11,5 dm;

3,7 dm = 3,7 dm;

Vagyis a szalag hossza: 11,5 + 3,7 + 32 = 47,2 dm.

320 cm = 32 dm.

4 Egy kiránduláson az első óra alatt 5,2 km-t tettek meg a résztvevők, a második órában 4800 m-t, a harmadikban az első két óra alatt megtett út hosszának a felét. Milyen hosszú volt a háromórás kirándulás? Milyen mértékegységet szeretnél használni? Kilométert. Az adott hosszúságok ebben a mértékegységben: 5,2 km = 5,2 km;

4800 m = 4,8 km;

A harmadik órában: (5,2 + 4,8) : 2 = 10 : 2 = 5 km. Összesen: 5,2 + 4,8 + 5 = 15 km.

49

1. A hosszúság mérése 5 Add meg centiméterben!

a) 300 mm = 30 cm;

b) 65 mm = 6,5 cm;

c) 82 dm = 820 cm;

d) 7000 m = 700 000 cm;

e) 300,2 m = 30 020 cm;

f) 210 km = 21 000 000 cm;

540 mm = 54 cm;

80 000 mm = 8000 cm;

342 mm = 34,2 cm;

8,9 dm = 89 cm;

50,3 dm = 503 cm;

220,03 m = 22 003 cm;

1,008 m = 100,8 cm;

190 m = 19 000 cm;

319 km = 31 900 000 cm;

a) 70 cm = 700 mm;

670 cm = 6700 mm;

2000 cm = 20 000 mm;

0,9 dm = 90 mm;

10,3 dm = 1030 mm;

5,42 cm = 54,2 mm;

c) 12 dm = 1200 mm;

d) 50 m = 50 000 mm;

e) 3,2 m = 3200 mm;

f) 10 km = 10 000 000 mm;

g) 2,5 km = 2 500 000 mm; 7

1,004 cm = 10,04 mm;

15 m = 15 000 mm;

102 m = 102 000 mm;

92,04 m = 92 040 mm;

18 km = 18 000 000 mm;

24,1 km = 24 100 000 mm;

Pótold 1 kilométerre!

a) 22 m + 978 m; 650 m + 350 m;

b) 3390 dm + 6610 dm; 2454 dm + 7546 dm;

c) 80 000 cm + 20 000 cm; 32 250 cm + 67 750 cm;

cm

1430 km = 143 000 000 cm;

702,12 km = 70 212 000 cm.

b) 7,6 cm = 76 mm;

1

3002 m = 300 200 cm;

74,3 km = 7 430 000 cm;

Add meg milliméterben!

cm

2001 mm = 200,1 cm;

g) 7,5 km = 750 000 cm;

6

10

3,004 m = 3004 mm;

140 km = 140 000 000 mm;

600,82 km = 600 820 000 mm. 172 m + 828 m;

d) 765 m + 3 dm + 2347 dm; 263 m + 7 cm + 73 693 cm;

307 dm + 9693 dm;

2900 cm + 97 100 cm;

3240 dm + 6 cm + 67 594 cm.

2. Testek tömegének mérése 1

Becsüld meg a matematikafelszerelésed tömegét! Méréssel állapítsd meg, hogy mennyit tévedtél!

Becslés: 1,1 kg. A mérés eredménye: A könyv 466 g, a munkafüzet 327 g, de a tollak, ceruzák, vonalzók tömege változó módon alakítja e két szám összegét. Tévedés: A becslés és a mérés különbsége.

2 Tippeld meg, hányszorosára nőtt a tömeged a születésed óta! Kérdezd meg a szüleidtől, hogy hány grammal születtél, és mérd meg magad az otthoni mérlegen, így ellenőrizd a becslésedet! Tipp: 10-szeresére.

 Születési tömegem: 3500 g.

 Jelenlegi tömegem: például 39 kg.

Ennyiszeresére nőttem: 39 kg / 3500 g = 39 000 g / 3500 g ≈ 11,14.

50

2. Testek tömegének mérése 3 Bori receptfüzetében a következőket olvashatjuk: Csokis-diós keksz: Egy tálban 24 kg vajat habosra verünk, beleteszünk 36 dkg kristálycukrot és 1 csomag vaníliás cukrot, majd tovább verjük, amíg összeolvad, ezután hozzáadunk két tojást. Egy másik tálban összekeverünk 42 dkg lisztet, 1 teáskanál sót és egy zacskó sütőport. Ezután folyamatosan adagolva belekeverjük az első tálba. Végül belekeverünk 30 g étcsokoládét és 24 dkg durvára vágott diót. Sütőpapíron, 180 fokon, kb. 10 perc alatt kisütjük, még folyósan vesszük ki a sütőből. A receptet sajnos Bori hibásan másolta le. Keresd meg a két hibás mértékegységet, és javítsd ki!

24 kg vaj helyett 24 dkg vaj; 30 g étcsokoládé helyett 30 dkg étcsokoládé.

Mekkora tömegű sütemény készül a recept alapján, ha egy átlagos tojás 65 grammos, egy csomag vaníliás cukor 10 grammos (a só és a sütőpor elhanyagolható)? vaj: 24 dkg; cukor: 36 dkg; vaníliás cukor: 1 dkg; tojás: 6,5 + 6,5 = 13 dkg; liszt: 42 dkg;

étcsokoládé: 30 dkg; dió: 24 dkg; összesen: 24 + 36 + 1 + 13 + 42 + 30 + 24 = 170 dkg = 1,7 kg.

4 Egy emelődaru teherbírása 4 tonna. a) Fel tud-e emelni egyszerre 3 db 150 kg-os és 4 db 400 kg-os betontömböt? Igen. b) Legfeljebb hány darabot tud egyszerre felemelni a kisebb méretű tömbből? 26-ot. 5 Ha egy tégla tömege 1 kg meg fél tégla, akkor két tégla hány kilogramm?     

3 · 1 5 0 = 4 5 0

4 5 0 + 1 6 0 0 4 · 4 0 0 = 1 6 0 0 2 0 5 0

4 0 0 0 : 1 5 0 = 2 6 1 0 0 0 1 0 0

Ha egy tégla tömege egy féltégla meg 1 kg, akkor fél tégla tömege 1 kg. Két tégla 4 kilogramm.

   

6 Egy lázcsillapító tabletta tömege 0,5 g. Egy dobozban 20 tabletta van, egy kartonban 50 doboz, és egy raklapon 1500 karton fér el. Hány tonna gyógyszert szállít az a kamion, amelynek a csomagtartójába 12 raklapnyi áru fér? Egy dobozban lévő tabletták tömege: 20 ⋅ 0,5 = 10 g Egy kartonban lévő tabletták tömege: 50 ⋅ 10 = 500 g = 0,5 kg Egy raklapon lévő tabletták tömege: 1500 ⋅ 0,5 kg = 750 kg = 0,75 t 12 raklapon lévő tabletták tömege: 12 ⋅ 0,75 = 9 t

7 Egy meggybefőtt tömege 680 g. Mennyi ebből a ­meggy tömege, ha az 20 grammal több, mint az üvegé? Ha az üveg tömege 20 g-mal kevesebb lenne, akkor a befőtt tömege 660 g lenne, és a meggy és az üveg tömege ugyanannyi lenne, tehát az üveg és a meggy tömege egyaránt 330 g; vagyis 330 g a meggy tömege.

51

2. Testek tömegének mérése 8 Töltsd ki a pontozott részeket!

54 dkg = 540 g = 0,54 kg = 0,00054 t;

600 000 g = 60 000 dkg = 600 kg;

0,67 kg = 67 dkg = 670 g = 0,00067 t;

0,05 t = 0,5 q = 50 kg = 5000 dkg = 50 000 g.

9 A táblázat soraiban azonos tömeget szeretnénk beírni az első sorban lévő mértékegységgel kifejezve. Töltsd ki a hiányzó részeket! g

dkg

kg

560

56

0,56

0,0056

0,00056

2 300 000

230 000

2300

23

2,3

9870

987

9,87

2000 3 20 000

500 000 2000

200 3

2000

50 000 200

q

2 300

2 3

20

0,2

500

5

0,0987

2

0,02

3. Az idő mérése 1 Mennyi az idő? Hogyan válaszolnál a feltett kérdésre, ha ezt mutatja az óra?

1:10 5:55     Egy óra múlt Hat óra lesz 10 perccel. 5 perc múlva. 2 Kösd össze az azonos időpontokat mutató órákat!

52

8:10   Tíz perccel múlt nyolc.

4:15   Negyed öt.

t

2 3000

0,02 0,5

0,00987 0,002

3. Az idő mérése 3 Rajzold be a mutatókat!

3:15 16:40 19:28 23:50 0:30 4

Szombaton Marci két osztálytársával moziba ment. A délelőtt

10 órai előadásra vettek jegyet. A jegyek megvásárlása után látták

a plakáton, hogy a film 96 perces lesz. A film előtt 10 perc reklám és

ajánló szokott lenni. A film végén Marci édesapja kocsival hazaviszi

a fiúkat. Mikorra hívja Marci az édesapját a mozihoz? Fogalmazd

meg Marci rövid üzenetét! 10 perc + 96 perc = 1 óra 46 perc. 10 óra

után 1 óra 46 perccel 11 óra 46 perc van.

Apa! A moziból kb. ¾ 12-kor jövünk ki, akkorra gyere oda! Marci 5 Bár nem számolunk vele mértékegységként, egy évben 4 évszakot különítünk el, amelyek 3–3 hónapból állnak. Attilának olyan órája van, amelynek számlapjára fel vannak festve az évszakok. A képen Attila órájának számlapját láthatjuk. a) Hány percnyi az az időtartam, amikor mindkét mutató téli hónapra mutat? 3 ⋅ 15 = 45 perc

5

b) Hány órakor mondható el, hogy a nap része 12 5 10 még hátravan? = 12 24 tehát 10 órával éjfél előtt, azaz 14 órakor, vagyis délután kettőkor.

6 Anya farsangi fánkot süt. 1,5 perc alatt sül ki 4 darab a serpenyőben, és az éhes fiai mindig megesznek belőle egyet. Mennyi idő után mondhatja, hogy van 12 fánk a tálban? Ha másfél perc alatt 3 fánk marad a tányéron, akkor ahhoz, hogy 12 fánk legyen, 4-szer kell kisütnie 4 fánkot. 4-szer 1,5 perc az 6 perc, tehát 6 perc után lesz 12 fánk.

53

3. Az idő mérése 7 A család advent alatt minden nap meggyújtja 10 percre a gyertyákat, amik eredetileg 25 cm hosszúak, és egy perc alatt 1 mm-rel lesznek rövidebbek. Az első héten egy gyertya ég, a másodikon kettő, a harmadikon három. Milyen hosszú a negyedik hét első napján, a negyedik gyertya meggyújtásakor az első gyertya? Az első gyertya addigra 21 napon keresztül napi 10 percet ég, ezalatt napi 1 cm-rel rövidül. Összesen 21 cm-rel lesz rövidebb, azaz 4 cm hosszú lesz. (Ezzel már csak 4 napot bír ki, tehát az utolsó 3 napra új gyertyát kell venni.) 8 Hány perc az egy óra

a)

2 része? 24 perc; 5

9 Hány óra?

a) 0,4 nap = 9,6 óra; e) 0,5 hét = 84 óra;

  b)

3 része? 45 perc; 4

 

b) 75 perc = 1,25 óra; f) 390 perc = 6,5 óra;

c)

5 része? 100 perc; 3

c) 3600 s = 1 óra;

g) 3 nap = 72 óra;

10 Add meg az órán látható időpontok közti különbséget! Lehet például 10 óra 24 perc − 7 óra 42 perc = 2 óra 42 perc. Kaphatsz más eredményt is délelőtt 10:24-től másnap reggel 7:42-ig.

 d)

11 része? 55 perc. 12

d) 2,5 nap = 60 óra;

h) 24 perc = 0,4 óra.

11 Végezd el a következő műveleteket! a) 3 óra 44 perc 22 másodperc b) 6 óra 37 perc 13 másodperc c) 18 óra 45 perc + 11 óra 23 perc 56 másodperc + 1 óra 52 perc 7 másodperc − 9 óra 30 perc 4 másodperc

15 óra 8 perc 18 másodperc 

8 óra 29 perc 20 másodperc 

9 óra 14 perc 56 másodperc 

4. Összefoglalás 1 Írd be a hiányzó számokat! a) 80 mm = 8 cm;

d) 1500 mm = 15 dm;

g) 82 mm = 8,2 cm;

j) 770 mm = 0,77 m;

2 Írd be a hiányzó számokat! a) 56 dkg = 560 g; d) 430 g = 43 dkg;

g) 78 dkg = 0,78 kg; j) 870 g = 0,87 kg;

54

b) 3 m = 30 dm;

e) 900 dm = 90 m;

h) 51 dm = 5,1 m;

k) 400 mm = 40 cm;

c) 9 km = 900 000 cm;

f) 30 000 cm = 0,3 km;

i) 480 m = 0,48 km;

l) 63 km = 63 000 m.

b) 2 kg = 200 dkg; c) 3 t = 3000 kg; e) 5000 dkg = 50 kg; f) 300 kg = 3 q;

h) 45 kg = 0,45 q; i) 450 kg = 0,45 t; k) 5400 dkg = 0,054 t; l) 600 kg = 0,6 t.

4. Összefoglalás 3 Írd be a hiányzó számokat!

a) 56 nap = 1344 h; d) 11 perc = 660 s;

b) 2 hét = 336 h;

c) 3 h = 180 perc;

e) 2 óra = 7200 s;

f) 30 perc = 0,5 h.

4 Egy 1375 m hosszú alagúton halad át a 125 m hosszú vasúti szerelvény. Hány percig tart a teljes szerelvény áthaladása, ha másodpercenként 25 métert tesz meg? Válasz: (1375 + 125) : 25 = 1500 : 25 = 60 s = 1 percig tart.

5 Mennyi időt töltöttél az iskolában, ha 7:48-kor érkeztél és 13:12-kor indultál haza? Az iskolában töltött idő: 5 órát és 24 percet.

6 Berta 1,2 km-re, barátnője, Jázmin 1,5 km-re lakik az iskolától. Jázmin 980 méterre lakik a barátnőjétől. Egyik nap Jázmin elment iskolába, majd hazament, aztán meglátogatta barátnőjét és hazasétált. Egy másik nap Berta az iskolából hazakísérte a barátnőjét, kicsit beszélgettek, aztán ő is hazament. Melyik alkalommal és hány méterrel ment többet Berta?

7:48-tól 8-ig 12 perc telt el, 8:00-tól 13:00-ig 5 óra, 13:00-tól 13:12-ig 12 perc, összesen 5 óra 24 perc.

Egyik nap: 1200 + 1200 = 2400

Másik nap: 1200 + 1500 + 980 = 3680

Válasz: A második alkalommal, 1280 méterrel.

7 Csongi hetente egyszer elmegy úszni. A medence hossza 33 méter. Minden alkalommal legalább 15, de legfeljebb 20 medencehosszt úszik. Hány kilométert úszik Csongi egy év alatt? Legkevesebb: 25,74 km; Legtöbb: 34,32 km

8 Egy lift ajtaján a következő szöveg látható: 4 személy (max. 400 kg) részére. A liftre várakozó Antal 124 kilogrammos. Megérkezik Béla és két barátja. Hármójuk közül Béla a legnehezebb, ő 92 kilogrammos. Beszállhatnak mind a négyen a liftbe?

Igen, mert 124 + 92 + 92 + 92 = 400.

9 Hány darab konzervet tartalmazhat az az élelmiszercsomag, amelybe csak 25 dkg-os és 375 g-os dobozokat raktunk, összesen 2 kg tömegben? (Mindegyikből van legalább egy darab a csomagban.) A 25 dkg-osból 5 és a 375 g-osból 2 db, vagy a 25 dkg-osból 2, a 375 g-osból 4 db konzervet tartalmazhat a csomag.

5 2 ⋅ 1 5 ⋅ 3 3 = 2 5 7 4 0

5 2 ⋅ 2 0 ⋅ 3 3 = 3 4 3 2 0

375 g-os konzerv (db)

2000 g-ból marad

250 g-os konzerv (db)

2

1250

5

1

3

4 5

1625

nem egész szám

875

nem egész szám

125

nem egész szám

500

2

55

IV. Bevezetés a geometriába 1. Tárgyak csoportosítása 1  Lerajzoltunk néhány nyomtatott nagybetűt.

APEOCDFRTL Z G

Találj ki legalább két olyan tulajdonságot, ami alapján két-két csoportba tudod sorolni ezeket a betűket! Írd le röviden, hogy mi alapján végzed a csoportosítást, aztán sorold fel a kialakított csoportok tagjait! Először ez alapján csoportosítok: magánhangzó, mássalhangzó

Ez alapján az egyik csoport: A, E, O; a másik csoport: P, C, D, F, R, T, L, Z, G.

Ezután a másik tulajdonság, ami alapján elvégzem a csoportosítást: van benne görbe vonal, nincs benne

görbe vonal.

Ez alapján az egyik csoport: P, O, C, D, R, G; a másik csoport: A, E, F, T, L, Z.

2  Figyeld meg a leírt szavakat! Rendezd őket két csoportba, két különböző színű aláhúzással!



rét iskola fal nap

fontos barack lap tanuló

Mi alapján csoportosítottál? Egy szótagú szavak és több szótagú szavak.

3  Figyeld meg a hónapok nevét! A szavak végződése alapján Pongrác két hatos csoportba, Szervác egy négyes és egy nyolcas csoportba, Bonifác egy hármas és egy kilences csoportba rendezte a hónapokat. Melyik tanuló mit figyelhetett? Végezd el te is a háromféle csoportosítást! egyik csoport: másik

csoport:

Pongrác ezt figyelhette:

„r” végűek: január, február, szeptember, október, november, december „s” végűek: március, április, május, június, július, augusztus

Szervác ezt figyelhette:

„ber” végződésű: szeptember, október, november, december

nem „ber” végződésű: január, február, március, április, május, június, július, augusztus

Bonifác ezt figyelhette:

„ember” végződésű: szeptember, november, december

nem „ember” végződésű: január, február, március, április, május, június, július, augusztus, október

Járj utána, hogy melyik hónaphoz kötődik a feladat három szereplője! Kik ők? Fagyosszentek, május hónap.

4  Hazánk térképéről olvastuk le a következő neveket: Bükk, Balaton, Duna, Mátra, Tisza, Börzsöny, ­Velencei-tó, Hernád, Sajó, Bakony, Mecsek. Rendezd két csoportba a felsorolt földrajzi neveket! I. Balaton, Duna, Tisza, Velencei-tó, Hernád, Sajó II. Bükk, Mátra, Börzsöny, Bakony, Mecsek Rendezd három csoportba! I. Balaton, Velencei-tó

II. Duna, Tisza, Hernád, Sajó

III. Bükk, Mátra, Börzsöny, Bakony, Mecsek

Írd le, hogy mi alapján alakítottad ki a csoportokat! Először: Víz és nem víz.

Másodszor: Tavak, folyóvizek és hegységek.

56

1. Tárgyak csoportosítása 5  Sorolj fel olyan tárgyakat, amelyeket csak síklapok határolnak!

Rubik-kocka, cipős doboz, könyv, lépcső, aktatáska, tábla, szivacs, szekrény stb.

6  Sorolj fel olyan tárgyakat, amelyeknek egyetlen határoló lapja sem síkidom! Labda, földgömb, táska, ruha stb.

2. Test, felület, vonal, pont 1  Kösd össze, hogy melyik mit szemléltet!        

test

felület

vonal

pont

2  Rajzolj csak egy vonallal − a ceruzád felemelése nélkül − szép ábrát!

3  Melyek azok az írott nagybetűk, amelyeket egy vonallal lerajzolhatunk? 4  Rajzolj egy egyenest, és jelölj rajta három különböző pontot! Hány szakasz és hány félegyenes látható így az ábrádon? Szakaszok száma: 2

 Félegyenesek száma: 2

5  Vonalaik alapján csoportosítsd a nyomtatott nagy mássalhangzókat! Csak egyenes vonalakból áll: F, H, K, L, M, N, T, V, W, X, Y, Z

 

Csak görbe vonalakból áll: C, S

Egyenes és görbe vonalakat egyaránt tartalmaz: B, D, G, J, P, Q, R

6  Az A, B és C különböző pontok egy egyenesre illeszkednek. AB = 3 cm, BC = 3 cm. Rajzolj! Mekkora az AC szakasz hossza? 6 cm

57

2. Test, felület, vonal, pont 7  A P, Q és R különböző pontok egy egyenesre illeszkednek. PR = 10 cm, PQ = 5 cm. Rajzolj! Mekkora lehet a QR szakasz hossza? 5 vagy 15 cm Minden lehetőségre gondoltál?

8  Az A, B, C és D egy egyenesre illeszkedő négy különböző pont. Tudjuk, hogy AB = 2 cm, és AB = BC. Azt is tudjuk, hogy C a BD szakaszt pontosan két azonos hosszúságú szakaszra vágja. Milyen hosszú az AD szakasz? Az AD szakasz hossza: 6 cm

9  Rajzolj két vonalat, amely a Duna és a Tisza hazánk területére eső darabját szemlélteti! 10  Rajzolj egy vonalat, amely a Balaton határvonalát szemlélteti!

3. Testek építése 1  Építs különböző testeket három egyforma dobókockából! Ügyelj arra, hogy az összeillesztésnél a két lap fedje egymást! Hány különböző alakú testet tudtál építeni? Rajzold le az élvázukat! Segítségként a négyzethálóra lerajzoltuk egy kocka élvázát.

2  Hányféle testet tudsz összeilleszteni három azonos méretű gyufásdobozból? Ügyelj arra, hogy összeillesztésnél két lap fedje egymást! Rajzold le az élvázukat! Segítségként a négyzethálóra rajzoltuk egy doboz élvázát.

58

3. Testek építése 3  Az ábrán egy test élvázát látod. A csúcsokat a szokásos módon nagybetűkkel jelöltük. A következő felsorolásban húzd alá pirossal azokat a betűcsoportokat, amelyek élei a testnek, keretezd be zölddel, amelyek lapjai a testnek!

F D E

AC EF BDF BCFE

 CD

DEF



ACE

C A

BF ABC DB ACFD

B

4  Milyen nyomtatott nagybetűt tudsz készíteni két dominó összeragasztásával? Rajzold le az így kapott testeket!

5  Sorold fel azokat a nyomtatott nagybetűket, amelyeket három dominó összeragasztásával kaphatsz! F, H, K, N, Z, Y

6  Melyik szabásmintából nem lehetne testet összeragasztani? (Az ábrákon nem jelöltük a ragasztófüleket. Ha valóban el szeretnéd készíteni a testet, akkor azokat hozzá kell tervezned, vagy ragasztószalagot kell használnod az összeállításkor.) a)

b)

c)

d)

Nem lehet egy test szabásmintája: d)

7  Rajzolj egy olyan testet, amelynek van két különböző méretű négyzetlapja! Jelöld a csúcsait nagybetűkkel! A két négyzetlap: ABCD és EFGH

8  Hurkapálcából egy jó ragasztó segítségével változatos alakú testek élvázát készítheted el. Tervezz és rajzolj a füzetedbe testeket két 6 cm-es, két 8 cm-es és két 10 cm-es hurkapálcadarab felhasználásával! Egynek már elkészítettük az ábráját!

59

3. Testek építése 9  Azonos méretű kockákból építkezünk úgy, hogy teljes lap vagy teljes él mentén a kockák összeragaszthatók. Ezeket az építményeket elölről és oldalról mutatja az ábra. Legalább és legfeljebb hány kockából építhetők fel ezek az alakzatok?

a) Legalább 4 darab, legfeljebb 6 darab.

  b)

Legalább 4 darab, legfeljebb 8 darab.

  c)

Legalább 3 darab, legfeljebb 5 darab.

4. Testek szemléltetése 1  Változtasd meg az ábrát színezéssel!

2  Rajzold meg az első képen látható testet két változatban, a látható és a nem látható élek megváltoztatásával!

3  Színezd ki két, három, négy színnel! Figyelj arra, hogy szép, érdekes képeket kapj!

60

4. Testek szemléltetése 4  Huszonhét azonos méretű kiskockából egy nagy kockát raktunk ki. Ezt látod az ábrán. a) A felső sor középső kiskockáját elvettük. Módosítsd az első ábrát! b) A jobb oldali lap középső kiskockáját elvettük! Módosítsd a második ábrát! c) Minden lap középső kiskockája hiányzik! Módosítsd a harmadik ábrát!

a)

b)

c)

5  Rajzold le a huszonhét kiskockából épített nagy kockát úgy, hogy az egyik sarka hiányzik! Az előző feladat ábrája segít a rajz elkészítésében.

6  Képzeld el, hogy egy kocka alakú doboz felső lapja egy könnyen nyújtható gumilap. Ezt a lapot a közepén egy kicsit benyomjuk a ceruzánk hegyével. Rajzold le az így kapott testet!

7  A tankönyvben láthattad a Penrose-háromszöget. Tervezz ennek mintájára egy Penrose-négyszöget! 8  A képen látható testet egy négyzetlap és négy háromszög határolja. Rajzold meg a nem látható éleket!

61

4. Testek szemléltetése 9  Fejezd be az ábrát úgy, hogy három darab kockát lássunk rajta! Ragasztás nélkül hány dobókockából tudnád felépíteni az alakzatot? A dobókockák száma: 4 darab. Rajzolj olyan ábrát, ahol az építmény minden kockáját látjuk!

5. Testek geometriai jellemzői 1  A következő szakaszok egy-egy test élét szemléltetik. Mérd meg, és add meg a hosszukat a megadott mértékegységben! P

B A

c Q

AB = 2,9 cm;



c = 26 mm;

PQ = 0,48 dm.

2  Az ábrán látható testnek 12 csúcsa van. Ezek közül kiválasztottunk néhányat, és kettőt-kettőt színes szakasszal összekötöttünk. Csoportosítsd ezeket a szakaszokat!

Élek:

KJ, IH, BC, FL, DJ Lapátlók: AH, CH

Testátlók: EH, FH 3  Döntsd el, hogy igazak-e a következő állítások!

a) Van olyan síklapokkal határolt test, amelyiknek nincs lapátlója.

b) Van olyan síklapokkal határolt test, amelyiknek nincs testátlója.

c) Vagy lapátlója, vagy testátlója mindegyik síklapokkal határolt testnek van. d) Ha egy síklapokkal határolt testnek van testátlója, akkor van lapátlója is.

62

I c I c H c H c

5. Testek geometriai jellemzői

c a

b

a = 2 cm, c = 1 cm

4  Az ábrákon egy-egy testet látunk különböző nézőpontból. Mindkét ábrán bejelöltük az a, b és c éleket. Mérd meg azoknak az éleknek a hosszát, amelyeket szerintedcaz ábra valódi c hosszban mutathat! Eredményeidet írd a megfelelőb ábra alá! b a

a

5  A képen látható testet milyen síkidomokból raknád össze? Rajzold le ezeket! Tervezz úgy, hogy csak háromféle síkidomot kelljen rajzolnod!

c b

a

c = 1 cm

6  Színezd ki az 5-ször 5-ös kocka hálózatát fekete-fehérre úgy, hogy összeillesztés után a kocka lapjai sakktáblaszerű színezésűek legyenek! A sarkokban mindenütt fekete szín legyen! Ezt a nagy kockát 125 darab kiskockából megépíthetjük. Egy kiskocka minden lapja fehér vagy fekete. a) Legkevesebb hány fekete kockára lesz szükségünk? 50

b) Legfeljebb hány fekete kockánk lehet? 77

c) Ha belül is ragaszkodunk a sakktáblaszerű illeszkedéshez, akkor melyik színű kiskockából mennyire lesz szükségünk? Fekete kockák száma: 63 darab.

Fehér kockák száma: 62 darab.

7  A körülötted lévő tárgyakat csoportosítsd a következő szempont szerint!

Csak síklapok határolják: Rubik-kocka, cipős doboz, könyv, lépcső, aktatáska, tábla, szivacs, szekrény…

Nincs síklapja: labda, földgömb, ruha, szemüveg, autó…

Nem csak síklap határolja: ceruza, tolltartó, műanyag flakon, kupak…

8  Vágjunk szét egy kockát két szomszédos lapjának felezővonala mentén, az ábrán látható módon! Hány csúcsa, éle, lapja van a keletkezett testeknek? A kisebb test csúcsainak száma: 6 db,

éleinek száma: 9 db,

lapjainak száma: 5 db.

éleinek száma: 15 db,

lapjainak száma: 7 db.

A nagyobb test csúcsainak száma: 10 db,

63

6. Párhuzamos egyenesek, merőleges egyenesek 1  A képen látható három egyenes közül az összes lehetséges módon válassz kettőt! Mindegyik esetben döntsd el, hogy a két egyenes párhuzamos-e! Vonalzóval ellenőrizd az állításaidat! a

b

a ∥ c a ∦ b, c ∦ b

c

2  A képen látható három egyenes közül válassz kettőt az összes lehetséges módon! Mindegyik esetben döntsd el, hogy a két egyenes merőleges-e! Vonalzóval ellenőrizd az állításaidat! b

a ⟘ b, b ⟘ c, a⟘c 3  Állíts merőlegest az ábrán látható e egyenesre a vonalzóid segítségével a megadott pontokon át!

4  Rajzolj a vonalzóid segítségével az ábrán látható e egyenessel párhuzamos egyeneseket a megadott pontokon át!

5  Egy vonalas füzetlap darabját látod. Egészítsd ki úgy, hogy négyzethálós legyen!

64

a

c

6. Párhuzamos egyenesek, merőleges egyenesek 6  A Komárom felett tartózkodó repülő délnek, a Nagyatád fölötti pedig északnak tart. Ha tartják az irányt, akkor mindkét repülő át fog repülni a Balaton fölött? Igen, mindkét repülő át fog repülni a Balaton fölött.

7  A képen látható két piros vonal közül melyiket tartod egyenesnek? Vonalzóval ellenőrizd az állításodat! Mindkét piros vonal egyenes.

8  Egy írólapot félbe hajtunk, majd ismét félbe, és ismét csak félbe. Minden hajtásvonal párhuzamos lett egymással. Hány párhuzamos hajtásvonal keletkezett így? Rajzold le! Az egyszerre keletkezett vonalakat színezd azonos színnel és sorszámozd! Az így keletkezett párhuzamos hajtásvonalak száma: 7

9  Az ábrán egy vízszintes síkra rajzolt két merőleges egyenest szemléltetünk. Jelöld a merőlegességet! Rajzolj egy harmadik egyenest, amely mindkét meg­adottra merőleges!

7. Téglalap, négyzet 1  Rajzolj két olyan egyenest, amelyek párhuzamosak az a egyenessel! Rajzolj egy olyat is, amelyik merőleges az a egyenesre!

Nevezd el az új egyeneseket, és csoportosítsd őket párosával! Merőleges párok: a és d, b és d, c és d

Párhuzamos párok: a és b, a és c, b és c

65

7. Téglalap, négyzet 2  Igazak-e a következő állítások?

a) Nincs olyan téglalap, amelyik négyzet. b) Nincs olyan négyzet, amelyik téglalap.

c) Egy téglalap kettévágható két négyzetre.

d) Két négyzetet összeilleszthetünk egy téglalappá.

e) Van olyan téglalap, amelyik kettévágható két négyzetre.

f) Két azonos méretű téglalapból összeilleszthetünk egy négyzetet. g) Egy négyzet szétvágható négy azonos méretű téglalapra.

h) Egy négyzet szétvágható négy különböző méretű téglalapra.

3  A térképvázlaton a Balaton környékét láthatjuk. Bejelöltük rajta Tapolcát és Veszprémet. Rajzolj a Balatonra két olyan hajót, amelyek a két várossal együtt egy téglalap csúcsaiban helyezkednek el!

H c H c H c H c I c H c I c I c

4  A következő mondatokban a kihagyott helyre a négyzet szót beírva igaz állítást kapsz. Van, ahol a téglalap szót beírva is igaz lesz az állítás! Töltsd ki a hiányzó részeket úgy, hogy mindegyik igaz állítás legyen, és a lehető legtöbb helyre a téglalap szót írd! A

téglalap

négy oldalú sokszög. A

átlóval rendelkező sokszög. A

átlója egyenlő hosszúságú. A

téglalap

négyzet

fekvő oldalai egyenlő hosszúak. A A

négyzet

téglalap

szemközti oldalai párhuzamosak. A

két átlója merőleges egymásra. A

téglalap

négy oldala azonos hosszúságú. A

Hány helyre írtad a téglalap és hány helyre a négyzet szót? A téglalap szót

8

négy csúcsú sokszög. A

téglalap

5  Egészítsd ki az egyszínű rajzokat úgy, hogy téglalapok legyenek!

Melyik ábrát tudnád úgy befejezni, hogy négyzet legyen? A kéket.

66

téglalap

téglalap

két

két

szemben

szomszédos oldalai merőlegesek egymásra.

helyre, a négyzet szót 2 ­helyre írtam.

Melyik ábrát tudnád többféleképpen is befejezni? A kéket.

téglalap

két átlója felezi egymást.

7. Téglalap, négyzet 6  A térképvázlaton az u egyenes egy autóutat, az F pont egy fa helyét mutatja a mezőn. A T pontban egy teherautó tartózkodik. Az út melletti kék folt egy tavat szemléltet.

Rajzold be annak az A-val jelölt autónak a helyét az úton, amelyhez egy H-val jelölt hajót úgy tudsz rajzolni a tavon, hogy az ATFH téglalap legyen! Színezd be az útnak azt a darabját, ahol a fenti feltételeknek megfelelően tartózkodhat az autó!

H lehetséges helye

u

A lehetséges helye

7  a) Hány négyzetet határoznak meg az ábra vízszintes és függőleges vonalai?

A négyzetek száma: 9 + 4 + 1 = 14

b) Hány téglalapot határoznak meg az ábra vízszintes és függőleges vonalai?

A téglalapok száma: 14 + 12 + 6 + 4 = 36

8  Hány négyzetet határoznak meg az ábrán látható pontok?

A négyzetek száma: 9 + 4 + 1 + 4 + 2 = 20 9  Hány darab gyufaszálat kell elvenni, hogy 3 darab négyzetet láthassunk? Az elvett gyufaszálak száma: 3

(Lehet több is, de kevesebb nem.)

10  Vegyél el 4 darab gyufaszálat úgy, hogy 4 darab négyzet maradjon! Más megoldás is lehetséges.

67

7. Téglalap, négyzet 11  Rakj ki a 8 darab 1 cm oldalhosszúságú, a 2 darab 2 cm oldalhosszúságú és az 1 darab 3 cm oldal hosszúságú négyzetlapból egy nagy négyzetet! Megoldásodat rajzold a négyzethálóra!

12  Az ábrán látható alakzatot 16 gyufaszálból raktuk ki. Két gyufaszál áthelyezésével alakíts ki két négyzetet!

8. Párhuzamos és merőleges síkok 1  Az ábrán látható test hat négyzetből készült. A csúcsai segítségével adj meg olyan síkokat, amelyek merőlegesek egymásra!

Merőleges síkok: Bármely két szomszédos lap megfelelő: ABCD és ABFE, ABCD és BCGF, ABCD és CDHG, ABCD és DAEH, EFGH és ABFE, EFGH és BCGF, EFGH és CDHG, EFGH és DAEH, ABFE és DAEH, ABFE és BCGF, CDHG és DAEH, CDHG és BCGF. Néhány további lehetőség: ABGH és EFCD, BCHE és ADGF, BDHF és ACGE, ABCD és BDHF, … 2  Szeletelt kenyeret vásároltunk. Megszámoltuk, 18 szelet volt a zacskóban. Hány darab párhuzamos sík mentén történt a szeletelés? A párhuzamos síkok száma: 17

68

H

G F

E

C

D A

B

8. Párhuzamos és merőleges síkok 3  Marci 8. születésnapjára egy 8 szeletes, kör alakú tortát kapott. Hány vágással darabolták ezt fel a cukrászdában, ha minden vágás áthaladt a kör közepén és minden darab azonos méretű lett? A vágások száma: 4

Lesznek-e merőleges síkok a vágás során? Igen

Rajzold le a felszeletelt torta tetejét!

4  Marci a 10. születésnapjára már egy 10 szeletes, kör alakú tortát kapott. Hány vágással darabolták ezt fel a cukrászdában, ha most is minden vágás áthaladt a kör közepén és minden darab azonos méretű lett? A vágások száma: 5

Lesznek-e ezen a tortán merőleges síkok a vágás során? Nem Rajzold le ennek a felszeletelt tortának is a tetejét!

5  A főtt tojást szeletelő szerkezet nyolc párhuzamos sík mentén vágta fel a tojást. A tojás sárgáján csak három sík haladt át. Hány fehér és hány sárgáját tartalmazó rész keletkezett? A fehér részek száma: 9, a csak fehér részek száma 5 A sárga részek száma: 4

6  A burgonyát sütés előtt hosszúkás csíkokra kell vágnunk. Ezt megkönnyíti a szeletelő gép, amelyben 5 párhuzamos kés, és még 5 párhuzamos, az előzőekre merőleges kés helyezkedik el. Az egyik burgonyát 4 párhuzamos kés és 3 ezekre merőleges kés vágta szét. Hány részre esett szét a burgonya? Szemléltesd egy síkbeli rajzzal a válaszodat! A részek száma: 20

69

8. Párhuzamos és merőleges síkok 7  Egy 64 cm hosszú pálcát 8 cm hosszúságú darabokra kell felvágni. A fűrészeléshez egyszerre több darabot is befoghatunk a satuba. Legkevesebb hány vágással tudnád megoldani a darabolást? A vágások száma: 3

Rövid indoklás: Félbevágjuk a pálcát, a két 32 cm hosszú darabot egyszerre vágjuk el, harmadszorra

pedig a négy darab 16 cm hosszú darabot ismét egyszerre vágjuk félbe. 8  P, Q és R különböző síkok. Fejezd be a következő mondatokat!

a) Ha P sík párhuzamos a Q síkkal, és Q sík párhuzamos R síkkal, akkor P sík párhuzamos R síkkal.

b) Ha P sík merőleges a Q síkra, és Q sík merőleges R síkra, akkor P és Q lehet párhuzamos és metsző is.

9. Kitérő egyenesek 1  Röviden írj le egy olyan utasítást, hogy az alapján a két karunk egyenese a) párhuzamos; b) merőlegesen metsző; c) kitérő legyen! a) jobb kar a fej fölé, bal kar leengedve b) karok keresztezése a törzs előtt

c) jobb kar előre, bal kar felfelé nyújtva

2  Hány kitérő élt találsz a gyufásdoboz egyik lapjának lapátlójához?

A megfelelő élek száma: 6

Szemléltesd rajzzal a válaszodat!

3  Hány kitérő lapátlót találsz a gyufásdoboz egyik lapjának lapátlójához? A megfelelő lapátlók száma: 5

Szemléltesd rajzzal a válaszodat!

70

9. Kitérő egyenesek 4  Sorold fel a kitérő éleket az ábrán látható test AB és EF éleihez! Az AB élhez képest kitérő élek: ED, FC

Az EF élhez képest kitérő élek: AD, BC

F

E

B

A

5  Sorold fel a kitérő éleket az ábrán látható test AB éléhez és AC testátlójához! Az AB élhez képest kitérő élek: FD, FC, ED, EC

Az AC testátlóhoz képest kitérő élek: FD, EB, FB, ED

C

D

F

C D

B

A

E

6  Az ábra egy a és b metsző egyenespárt mutat. Rajzold le kétszer az ábrát úgy, hogy az a és b kitérő egyenesek legyenek! Először legyen a b egyenes a hozzánk közelebb lévő, aztán legyen a b a tőlünk távolabb haladó egyenes!

7  Az ábrán látható testnek hány kitérő élpárja van?

F D

Kitérő élpárok: AB és CF, AB és EF, AB és DF, BC és AD, BC és ED,

E

BC és FD, AC és BE, AC és DE, AC és FE

Vagyis a kitérő élpárok száma: 9 8  Igaz vagy hamis?

C

A B

I c H b) Két metsző egyeneshez nincs olyan harmadik egyenes, amely mindkettővel kitérő. c H c) Két párhuzamos egyeneshez nincs olyan harmadik egyenes, amely mindkettővel kitérő. c I d) Két kitérő egyeneshez van olyan harmadik egyenes, amely legalább az egyikkel párhuzamos. c I e) Két metsző egyeneshez nincs olyan harmadik egyenes, amely mindkettővel párhuzamos. c I f) Két párhuzamos egyeneshez van olyan harmadik egyenes, amely mindkettővel párhuzamos. c H g) Két kitérő egyeneshez nincs olyan harmadik egyenes, amely mindkettővel kitérő. c I h) Két metsző egyeneshez van olyan harmadik egyenes, amely legalább az egyikkel párhuzamos. c H i) Két párhuzamos egyeneshez van olyan harmadik egyenes, amely csak az egyikkel párhuzamos. c a) Két kitérő egyeneshez van olyan harmadik egyenes, amely mindkettővel metsző.

71

9. Kitérő egyenesek 9  Papírból olyan dobókockát készítettünk, amelynek minden lapján négy pötty látható. Az első lap jobb felső pöttyén átszúrtunk a lapra merőlegesen egy hosszú tűt. A felső lap bal szélén lévő pöttynél is ezt tettük, ahogyan ez az ábrán is látható. Melyik pöttynél kell az oldallapot merőlegesen átszúrni, hogy a tűk a dobókocka belsejében ne ütközzenek egymásnak? A jobb oldali lap alsó, hátsó pöttyénél.

10. Téglatest, kocka 1  Rajzolj hálózatot egy dobókockáról! Jelöld a pöttyöket is! 2  Melyik nem lehet egy kocka hálózata?

 Igazak-e a következő állítások?

a) Nincs olyan téglatest, amelyik kocka.

b) Nincs olyan kocka, amelyik téglatest. c) Minden kocka négyzetes oszlop.

d) Ha egy téglatestnek nincs négyzet alakú lapja, akkor nem lehet kocka. e) Ha egy téglatestnek két lapja négyzet, akkor az biztosan kocka. f) Ha egy testnek 4 lapja négyzet, akkor az biztosan kocka.

g) Ha egy test hálózatán látunk hat négyzetet, akkor az biztosan kocka. h) A kockának négy testátlója van. 4  Rajzold le egy felülről nyitott, kocka alakú doboz hálózatát!

72

H c H c I c I c H c H c H c I c

10. Téglatest, kocka 5  Egy felülről nyitott téglatest alakú doboz különböző éleinek hossza: 1 cm, 2 cm, 3 cm.

Rajzold le a doboz lehetséges hálózatát!

6  Építs téglatestet 12 darab azonos méretű kiskockából! Hány különböző alakú tömör téglatest képzelhető el, ha egy téglatesthez felhasználod mind a 12 kiskockát? A téglatestek száma: 4 darab (1 ⋅ 1 ⋅ 12, 1 ⋅ 2 ⋅ 6, 1 ⋅ 3 ⋅ 4, 2 ⋅ 2 ⋅ 3)

7  Egy kockát három azonos méretű téglatestre vágtunk szét.

Rajzold le az így kapott egyik téglatest hálózatát! 8  Néhány téglatest alakú doboz van az asztalon. Xénia szerint: A lapjaik és az éleik száma összesen 196. Yvette szerint: A lapjaik és a csúcsaik száma összesen 156. Zénó szerint: Az éleik és a csúcsaik száma összesen 220. Kinek lehet igaza?

Hány doboz van az asztalon?

Javítsd a tévedéseket! Zénónak

lehet igaza. Ekkor

11

doboz van az asztalon.

Indoklás: A másik kettő nem osztható a megfelelő összeggel. A hibás adatok helyesen: Xénia 198, Yvette 154

Hány dobozról van szó? 11-ről

9  Színezd azonos színnel a kocka hálózatán egymáshoz csúcsban kapcsolódó lapátlókat! Hány színt használtál a kivitelezéshez?

A felhasznált színek száma: 2

73

10. Téglatest, kocka 10  Egy téglatest alakú szoba egyik sarkában egy pók, egy vele szomszédos sarokban pedig egy légy pihen. A pók el szeretné fogni a legyet, de megállapodnak, hogy csak a lapátlókon haladhatnak. Van-e esélye a póknak, hogy elkapja a legyet? Válasz: Nincs esélye.

Indoklás: Mindig csak szomszédos, vagy lapátlóval összeköthető csúcsokba érkezhetnek.

11. Síkidomok, sokszögek 1  Csoportosítsd az ábrán látható síkidomokat!

1



Nem sokszögek: 2, 7



Konkáv síkidomok: 2, 8, 10



Konkáv sokszögek: 8, 10

b) Konvex síkidomok: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9 c) Konvex sokszögek: 1, 3, 4, 5, 6, 9

4

2

a) Sokszögek: 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10

3

5

6 9

7

8

2  Három sokszögnek 12 oldala van. Hány csúcsú sokszögekről lehet szó?

3  Rajzolj négyszöget, melynek a) minden oldala egyenlő, de nem négyzet;

b) van merőleges oldalpárja, de nem téglalap;

c) van párhuzamos oldalpárja, de nem téglalap; d) minden oldala különböző hosszúságú;

e) szemben lévő oldalai párhuzamosak, de nem téglalap; f) átlói merőlegesek, de nem négyzet;

g) átlói felezik egymást, de nem négyzet;

h) minden szomszédos oldala merőleges egymásra!

74

10

11. Síkidomok, sokszögek 4  a) Hány különböző háromszög rajzolható az ábrába, ha csúcsai illeszkednek az adott pontokra? 9

b) Hány esetben kaptál szabályos háromszöget? 3

c) Kaptál-e olyan egyenlő szárú háromszöget, amelyik nem szabályos? Igen

5  Rajzolj az ábrába!

a) Egyenlő szárú háromszöget, amelyik nem szabályos: ABC b) Szabályos háromszöget: ACE c) Négyzetet: nem lehet d) Téglalapot: ABDE

E

D

F

C

A

B

6  Vágd szét a háromszöget három egyenessel a lehető legtöbb részre! Hány sokszöget kaptál? 7

Rajzold be az ábrába a vágás vonalait!

7  Egy óra számlapján kösd össze a szomszédos páros számokat! Így egy hatszöget kapsz. Rajzold be a hatszög leghosszabb átlóit is! Az így kapott szakaszokra írd rá a végpontjaikban lévő számok összegét! Melyik nagyobb? Az oldalakra írt számok összege vagy az átlókra írt számok összege? Mennyivel? Az oldalakra írt számok összege: 84

A hosszú átlókra írt számok összege: 42

Az

oldalakra

írt számok összege nagyobb 42-vel.

Figyeld meg a kapott eredményt! Látsz-e valami érdekességet? Az oldalakra írt számok összege kétszerese az átlókra írt számok összegének. Írj hat tetszőleges számot az óra számlapján a páros számok helyére! Így is számold végig az előzőeket! Az oldalakra írt számok összege: 42 A hosszú átlókra írt számok összege: 21 Az oldalakra írt számok összege nagyobb 21-gyel. Megmaradt az előző észrevételed? Igen, az oldalakra írt számok összegének kiszámításakor minden csúcsba írt számot kétszer számolunk, az átlókra írt számok összegének kiszámításakor pedig csak egyszer.

8  Barnabás csak háromszögeket és négyszögeket rajzolt a füzetébe. Ezeknek a sokszögeknek összesen 10 átlója és 50 csúcsa van. Melyik sokszögből mennyit rajzolt? Négyszögek száma: 5

Háromszögek száma: 10

Indoklás: A háromszögeknek nincs átlója, a négyszögeknek két átlója van, ezért a 10 átló 5 négyszögre elegendő. Mivel a csúcsokból 50 − 5 ⋅ 4 = 30 maradt a háromszögekre, ebből következik, hogy Barnabás 10 háromszöget rajzolt.

75

11. Síkidomok, sokszögek 9  Az ábrán egy sokszöget látsz. Mely pontok vannak a sokszög belsejében?

D C

A sokszög belsejében van: B, D

B A

12. A kör 1  Rajzolj a K pont köré egy 2 cm sugarú kört! a) Színezd zöldre azokat a pontokat, melyekre igaz, hogy KP < 2 cm! b) Színezd pirosra azokat a pontokat, melyekre igaz, hogy KP = 2 cm! c) Színezd kékre azokat a pontokat, melyekre igaz, hogy KP > 2 cm! 2  Színezd ki a rajzon látható 1,5 cm sugarú körlap azon pontjait, amelyeknek a kör középpontjától mért távolsága 1 cm-nél a) nagyobb; b) nem kisebb; c) kisebb; d) nem nagyobb!

3  Színezd a sík azon P pontjait, melyekre igaz az, hogy a) PA < 15 mm és PB < 15 mm; b) PA ≤ 15 mm és PB ≥ 15 mm;



A



A

B

A

B

A

c) PA ≥ 15 mm és PB ≥ 15 mm;

76

B

d) PA ≥ 15 mm és PB = 15 mm!

B

12. A kör 4  Színezd ki azokat a P pontokat, melyekre a) 8 mm ≤ KP ≤ 16 mm;



b) 8 mm < KP < 16 mm;

c) 8 mm ≤ KP < 16 mm;



d) 8 mm < KP ≤ 16 mm;

e) KP = 16 mm vagy KP = 25 mm;



f) KP ≤ 8 mm vagy 16 mm ≤ KP!

(A szükséges adatokat méréssel határozd meg!) 5  a) Rajzold meg a P-n átmenő sugarat!

b) Rajzold meg   a P-n átmenő átmérőt!

c) Rajzolj P-n átmenő húrokat!













d) Rajzolj olyan körcikket, amelynek P a határvonalán van!

e) Rajzolj olyan körszeletet, amelynek P a belsejében van!

77

12. A kör 6  Egy téglalap alakú udvar oldalai 25 m és 30 m hosszúak. A K és az L pontban elhelyeztünk egy-egy locsolófejet, melyek 10 méteres környezetükben képesek öntözni. A mellékelt négyzethálón a szomszédos párhuzamos egyenesek távolságát vedd 5 méternek! Rajzolj és színezz! a) Az udvar melyik része marad száraz? A sarkoknak az a része, amelyik egyik körnek sem belső pontja. b) Az udvar melyik része kapja a legtöbb vizet? A két kör közös része, ami az udvar közepénél van. c) Az udvar melyik részére tehetjük még a locsolófejet, ha nem szeretnénk, hogy a szomszéd területre is hulljon víz? K és L pontokra illeszkedő rácsvonalak által meghatározott téglalapra.

7  Egy négyzet alakú bekerített füves kert oldala 35 m hosszú. A kert két szomszédos csúcsában kikötöttek egy-egy kecskét, mindkettőt 20 m hosszú kötélen. Készíts rajzot, amely mutatja, hogy a kert mely részét legelheti egy, illetve mely részét legelheti két kecske! A rajzodon 1 mm a valóságban 1 métert jelentsen!

8  Jelöld a négyzetlapon azokat a pontokat, amelyek a) az egyik csúcstól 3 cm-nél kisebb távolságra vannak; b) az egyik csúcstól 3 cm-nél nagyobb távolságra vannak; c) az egyik csúcstól 3 cm-nél nem nagyobb, egy szomszédos csúcstól pedig 3 cm-nél nagyobb távolságra vannak!

Tesztkérdések

9   Egy kör alakú asztalnál ülsz. Ha a jobb kezed felé haladva megszámolod asztaltársaidat, akkor öt főt számolsz, és ha a bal kezed felé haladva számolod meg őket, akkor is öt főt kapsz. Hányan ülnek összesen az asztalnál? A: 5    B: 6    C: 9    D: 10    E: 11

10  Egy körlapot három szelő mentén szétvágtunk. Hány részt nem kaphattunk így? A: 7    B: 6    C: 5    D: 4    E: 3

11  Hány körcikkre vágja a kört négy átmérő?

A: 4    B: 5    C: 8    D: 9    E: 16

78

13. A gömb 1  A labdák gömb alakúak. A sportrendezvényeken azt is szabályozzák, hogy milyen méretű labda használható az adott játékban. Nézz utána a szakirodalomban vagy a világhálón! A pingponglabda sugara: 2 cm. A kézilabda sugara: 9,5 cm.





A futball-labda sugara: 11 cm. A kosárlabda sugara: 12 cm.

A teniszlabda sugara: 3,2 cm.

2  A mellékelt síkbeli ábrákkal gömböket szerettünk volna szemléltetni. Az ábrák jelöléseit és adatait használva add meg a zölddel beszínezett részeket! Használd a rövid matematikai jelöléseket!



a)

PA > 4 és PB < 3

c)



PA ≤ 4 és PB ≤ 3



b)

PA < 4 és PB ≥ 3

d)

PA < 4 és PB < 3

3  A paradicsomok majdnem gömb alakúak. Vásárláskor tapasztalhatjuk, hogy a termést nem csak a minősége, hanem a mérete alapján is besorolják. A méretkategóriákat egy 1-től 10-ig terjedő egész számmal jelölik. A besorolásra vonatkozóan ezt a táblázatot találtuk: Első sor: méretkategória, második sor: átmérő (d) milliméterben 1

d ≤ 20

2

3

4

5

6

7

8

9

20 < d ≤ 25 25 < d ≤ 30 30 < d ≤ 35 35 < d ≤ 40 40 < d ≤ 47 47 < d ≤ 57 57 < d ≤ 67 67 < d ≤ 82

10

82 < d

János gazda kiváló minőségű paradicsomot termelt. Sugarai 18 mm és 32 mm közöttiek. Milyen méretkategóriákba tudja szétosztani ezeket a paradicsomokat? A legkisebb paradicsomok átmérője: 36 mm. Méretkategóriák: 5, 6, 7, 8.

A legnagyobb paradicsomok átmérője: 64 mm.

79

13. A gömb 4  Egy dinnyét 18 cm sugarú gömbként képzelhetünk el. A nem ehető héja mindenütt 2 cm vastag. Legyen K pont a dinnye közepe! a) Mit mondhatsz az MK távolságról, ha az M egy tetszőleges dinnyemag helyét jelenti?

MK < 18 cm b) Hogyan adnád meg a dinnye ehető részét matematikai jelekkel? MK ≤ 18 cm vagy MK < 18 cm c) Hogyan jellemeznéd matematikailag a nem ehető részt? 18 cm ≤ MK ≤ 20 cm

14. Szakaszfelező merőleges 1  Az ábrán tíz pontot látsz. Véleményed szerint melyek vannak rajta az AB szakasz felezőmerőlegesén? Méréssel győződj meg válaszaid helyességéről! Ezek a megfelelő pontok: C, H, E

A méréseim eredménye: AC = BC = 2 cm; AH = HB = 2,7 cm; AE = EB = 2,1 cm.

2  Vágj ki papírból egy körlapot! Hajtogatással alakítsd ki egyik húrjának a felezőmerőlegesét! Milyen síkidomokra osztja a kört a hajtásvonal? Mi lesz ez a hajtásvonal a kör szempontjából? A keletkezett síkidomok: két félkör. A hajtásvonal neve: átmérő.

3  A térképet vizsgálva válaszolj a következő kérdésre!

Lehet-e a Dunán olyan hajó, amelyik Kalocsától ugyanolyan messze van, mint Szekszárdtól? Igen.

Hogyan keresnéd meg a hajó helyét? A felezőmerőleges megszerkesztésével.

Hány megfelelő helyet tudsz elképzelni? Egyet.

80

14. Szakaszfelező merőleges 4  Mérés nélkül, csak hajtogatással alakítsd ki azt az egyenest az írólapodon, amelyik mentén levághatunk belőle egy négyzetet! Rajzolj, és röviden fogalmazd meg a tennivalókat!

Az egyik sarkot a szögfelező mentén hajtjuk be. A keletkezett derékszögű háromszög egy négyzet fele.

5  Rajzolj a térképvázlatra egy olyan AB szakaszt, amelynek felezőmerőlegese sokszor metszi a Tisza vonalát!

Az ábrámon a metszéspontok száma: 6.

6  Keress olyan településeket a földrajzatlaszod Magyarország térképén, amelyek olyan szakaszokat hoznak létre, amelyek felezőmerőlegese áthalad Budapest területén! Szolnok

és

Pécs

és

Dunaújváros

és

Siófok

Cegléd

Keszthely

7  Méréssel ellenőrizd a következő állítás helyességét! Orosháza Miskolc és Nyíregyháza felezőmerőlegesén található. Az állítás: igaz.

A mérésem eredménye: a két távolság azonosnak tekinthető.

15. Szerkesztések 1  Szerkeszd meg az e egyenesre merőleges egyeneseket az A és a B ponton át!

81

15. Szerkesztések 2  Szerkeszd meg az ABCD négyzet AB oldalának felezőmerőlegesét és az AC átlójának a felezőmerőlegesét!

       

3  Hiányzik az ABCD téglalap negyedik csúcsa. Keresd meg csak a körző segítségével!

4  Szerkessz háromszöget, ha a) a = b = 4 cm, c = 3 cm; b) a = 6 cm, b = 5 cm, c = 3 cm;

c) a = 5 cm, b = c = 2 cm!

Nincs ilyen háromszög. 5  Egy bekerített háromszög alakú telekre nem tudunk bejutni. Megmértük az oldalainak a hosszát: 28 m, 32 m és 40 m. Milyen messze van a leghosszabb oldaltól a szemközti csúcs? Szerkessz és mérj!

82

15. Szerkesztések 6  Szerkesztéssel úgy oszd három részre a szakaszt, hogy az egyik rész háromszorosa, a másik rész pedig négyszerese legyen a legrövidebb résznek!

7  Egy téglalap oldalainak hossza megegyezik az ábrán látható szakaszok hosszával. Szerkeszd meg a téglalapot! Adatok: 

a b

16. A szög 1  Szögmásolással dönts! Melyik nagyobb?

2  Add meg fokban az egyenesszög felét: 90° ;

 harmadát: 60° ;

3  Add meg fokban a teljesszög 2 harmadát: 240° ;

 negyedét: 45° ;

 3 negyedét: 270° ;

Milyen szögek ezek? Homorú szögek.

 ötödét: 36° ;

 4 ötödét: 288° ;

 hatodát: 30° !

 5 hatodát: 300° !

4  Mekkora a 32° 41’ pótszöge és kiegészítő szöge? Pótszöge: 57°19’.

Kiegészítő szöge: 147°19’ .

83

16. A szög 5  Add össze: 45° 55’ + 24° 47’ + 18° 13’! 45 + 24 + 18 = 87 55 + 47 + 13 = 115 Válasz: 88° 55’

4 5 + 2 4 + 1 8 = 8 7 5 5 + 4 7 + 1 3 = 1 1 5

6  Mérd meg az ábrán látható sokszögek szögeit! a)

α: 110° β: 95°









b)





γ: 120°

 





δ: 125°





ε: 90°

α: 95°



β: 145° γ: 115°









δ: 80°

ε: 135°

: 150°

7  Keress az ábrán nevezetes szögpárokat! A szögek leírására használd a nagybetűket! D

C

K

E

F

A

B

Egyállású szögek: CAB és CKF, DBA és DKE, DCA és EKA stb. Csúcsszögek: CKF és EKA, DKE és BKF, DKC és AKB stb.

Váltószögek: ADB és CBD, DCK és KAB

Pótszögek: EDK és KDC, DCK és KCF, FKB és KBA

8  Hány fokos az ACB∢?

Az ACB szög: 24° + 108° = 132°.

17. Téglalap, négyzet kerülete 1  Add meg az a oldalhosszúságú négyzet kerületét, ha a) a = 2,1 cm; b) a = 32 mm; c) a = 0,025 m; k = 8,4 cm

a) c)

84



2 , 1 ⋅ 4 = 8 , 4 0 , 0 2 5 ⋅ 4 0 , 1 0 0

k = 128 mm b)

d)



k = 0,1 m

3 2 ⋅ 4 = 1 2 8

0 , 3 ⋅ 4 1 , 2



d) a = 0,3 dm!

k = 1 ,2 dm

17. Téglalap, négyzet kerülete 2  Add meg az a és a b oldalhosszúságú téglalap kerületét, ha a) a = 6 cm, b = 15 cm; b) a = 0,12 m, b = 54 cm; k = 42 cm

k = 132 cm



3  Mekkora a négyzet oldalának hossza, ha a) k = 102 dm; b) k = 40,12 m; a = 25,5 dm



a = 10,03 m





c) k = 108 cm; a = 27 cm

c) a = 0,43 dm, b = 11 cm! k = 30,6 cm



d) k = 700 mm? a = 175 mm

4  Számítsd ki a téglalap hiányzó oldalának hosszát, ha a) b = 23 cm, k = 98 cm; b) b = 234 mm, k = 1 m! a = 98 : 2 − 23 = 49 − 23 = 26 cm

a = 1000 : 2 − 234 = 500 − 234 = 266 mm

5  Egy négyzet minden oldalának hosszát megnöveljük. A növelés vagy 21 cm-rel, vagy 9 cm-rel történik úgy, hogy téglalapot kapjunk. Mennyivel lesz nagyobb a téglalap kerülete a négyzet kerületénél? A növekedések: 21 cm, 9 cm, 21 cm, 9 cm

 Vagyis: 30 + 30 = 60 cm

6   Rajzolj a négyzethálóra különböző téglalapokat úgy, hogy a téglalapok oldalai a rácsvonalakra essenek! A kis négyzet oldalait vedd egységnek, és minden téglalap kerülete 12 egység legyen! Hány téglalapot tudtál rajzolni? A különböző téglalapok száma: 3.

85

17. Téglalap, négyzet kerülete 7  A születésnapi torta teteje egy 18 cm-szer 30 cm-es téglalap lett. Ennek a téglalapnak a határvonalát egy fehér krémcsíkkal szeretnénk díszíteni. 4 cm-rel beljebb újabb ilyen téglalapokat rajzolunk díszítésként, ahogyan ezt az ábra is mutatja. Milyen hosszú lesz összesen ez a díszítő csík? A megrajzolt téglalapok száma: 3.



A további téglalapok kerülete: 64 cm és 32 cm.

Az első téglalap kerülete: 96 cm.

A díszítő csík hossza: 96 + 64 + 32 = 192 cm.

( 1 8 + 3 0) ⋅ 2 = 4 8 ⋅ 2 = 9 6 ( 1 0 + 2 2) ⋅ 2 + (2 + 1 4) ⋅ 2 = 3 2 ⋅ 2 + 1 6 ⋅ 2 = 6 4 + 3 2 = 9 6

18. A terület mérése 1  Add meg négyzetmilliméterben!

b) 24 dm2 = 240 000 mm2;

c) 1,4 m2 = 1 400 000 mm2;

h) 0,009 m2 = 9000 mm2;

i) 0,013 dm2 = 130 mm2.

a) 180 mm2 = 1,8 cm2;

b) 23 dm2 = 2300 cm2;

c) 0,25 m2 = 2500 cm2;

g) 2,8 m2 = 28 000 cm2;

h) 0,0005 km2 = 5 000 000 cm2;

a) 18 cm2 = 1800 mm2;

d) 0,08 m2 = 80 000 mm2; g) 0,07 m2 = 70 000 mm2;

e) 31 cm2 = 3100 mm2;

2  Add meg négyzetcentiméterben! d) 0,004 km2 = 40 000 000 cm2;

e) 9000 mm2 = 90 cm2;

3  Add meg négyzetdeciméterben! a) 66 000 mm2 = 6,6 dm2;

b) 480 cm2 = 4,8 dm2;

g) 2,7 m2 = 270 dm2;

h) 0,0064 m2 = 0,64 dm2

f) 56 dm2 = 560 000 mm2;

f) 65 dm2 = 6500 cm2;

i) 0,04 km2 = 400 000 000 cm2.

c) 65 m2 = 6500 dm2;

e) 8700 mm2 = 0,87 dm2;

f) 7700 cm2 = 77 dm2;

a) 180 000 mm2 = 0,18 m2;

b) 110 cm2 = 0,011 m2;

c) 5400 dm2 = 54 m2;

g) 530 dm2 = 5,3 m2;

h) 0,007 km2 = 7000 m2

d) 0,008 m2 = 0,8 dm2;

4  Add meg négyzetméterben! d) 0,04 km2 = 40 000 m2;

86

e) 50 000 mm2 = 0,05 m2;

i) 0,103 m2 = 10,3 dm2.

f) 23 800 cm2 = 2,38 m2;

i) 1,012 km2 = 1 012 000 m2.

18. A terület mérése 5  Az ábrán látható O betűt 4 darab 4 cm hosszú 1  cm széles csíkból állítottuk össze. Mekkora a lefedett terület?

4 ⋅ 1 = 4 cm2 4 ⋅ 4 = 1 6 cm2

6  A négyzetek hányadrésze színezett? 4 1 a) = 8 2 2 1 b) = 8 4 1 c) 8

a)

b)

c)

7  Melyik színezett síkidom területe a nagyobb?

Az AQD és a DPC háromszögek egyformák. Mindkettőből ugyanazt

a kis fehér háromszöget vesszük el, vagyis az így megmaradt négyszög és háromszög területe egyenlő.

19. Téglalap, négyzet területe 1  Megadtuk a téglalap oldalainak hosszát. Számítsd ki a téglalap területét! a) 27 cm és 35 cm; b) 78 dm és 89 dm; c) 30 mm és 21 dm; d) 12 dm és 120 mm. a) +

2 7 ⋅ 3 5 8 1 1 3 5 9 4 5

a) t = 945 cm2



b) 7 8 ⋅ 8 9 6 2 4 + 7 0 2 6 9 4 2

b) t = 6942 dm2

c) 0 , 3 ⋅ 2 1 6 + 3 6 , 3

c) t = 6,3 dm2



d) 1 2 ⋅ 1 , 2 + 2 4 1 4 , 4

d) t = 14,4 dm2

2  Mekkora a téglalap ismeretlen oldalának hossza? b) a = 17 mm, t = 918 mm2; a) a = 18 dm, t = 396 dm2; 2 d) a = 36 cm, t = 18 dm2. c) a = 75 mm, t = 12 cm ; a) 3 9 6 : 1 8 = 2 2 3 6 0

a) b = 22 dm



b) 9 1 8 : 1 7 = 5 4 c) 1 2 0 0 : 7 5 = 1 6 6 8 4 5 0 0 0 d) 1 8 0 0 : 3 6 = 5 0 0 0

b) b = 54 mm

c) b = 16 mm



d) b = 50 cm

87

19. Téglalap, négyzet területe 3  Mekkora a négyzet területe, ha a) k = 820 mm; a)

b) k = 124 cm? b)

8 2 0 : 4 = 2 0 5

2 0 5 ⋅ 2 0 5 = 4 2 0 2 5 a) t = 42 025 mm2

3 1 ⋅ 3 1 = 9 6 1

b) t = 961 cm2



4  Mekkora a négyzet kerülete, ha a) t = 64 dm2; a)

1 2 4 : 4 = 3 1

b) t = 81 cm2? b)

6 4 = 8 ⋅ 8

8 ⋅ 4 = 3 2

8 1 = 9 ⋅ 9

9 ⋅ 4 = 3 6

a) k = 32 dm

b) k = 36 cm



5  Becsüld meg az ábrán látható téglalapok területét! Ezután mérd meg az oldalak hosszát, és számolj!

Becslés: 8 cm2

Becslés: 6 cm2

Terület: 8,5 cm2

Terület: 6 cm2

Egyik oldal: 2,5 cm

Másik oldal: 3,4 cm

Egyik oldal: 4 cm

Másik oldal: 1,5 cm

Becslés: 9 cm2

Egyik oldal: 2,8 cm

Másik oldal: 2,8 cm

Terület: 7,84 cm2

Becslés: 10 cm2

Egyik oldal: 5 cm

Másik oldal: 1,8 cm



Terület: 9 cm2

6  Egy előszoba burkolásához pontosan 35 darab 30 cm oldalhosszúságú négyzetlapot használtak fel. a) Hány m2 az előszoba területe? 35 ⋅ 30 ⋅ 30 = 31 500 cm2 = 3,15 m2

b) Mekkora lehet az előszoba szélessége és hosszúsága, ha a négyzetlapokat nem kellett darabolni? 5 ⋅ 7 = 35, tehát 5 ⋅ 30 = 150 (cm) és 7 ⋅ 30 = 210 (cm)

7  Két négyzet alakú földterületet szeretnénk összehasonlítani. Az egyiknek az oldalhossza 85 m, a másiké 70 m. Hány hektárral nagyobb az első, mint a második? 70 ⋅ 70 = 4 900 m2 = 0,49 ha;

85 ⋅ 85 = 7225 m2 = 0,7225 ha

0,7225 − 0,49 = 0,2325 hektárral nagyobb a második földterület.

88

19. Téglalap, négyzet területe 8  Képzeld el, hogy egy 4 dm2 területű négyzetlapot az oldalaival párhuzamos egyenesekkel 1 mm2 területű négyzetekre vágtuk. Milyen hosszú ez a vágásvonal?   9  Egy négyzet alakú füves telken elkezdtük levágni a füvet. A kerítése mentén belül egy 6 méteres sávval már mindenütt készen vagyunk. Még 900 m2 van hátra a munkából. Mekkora területen vágtuk már le a füvet?

A négyzet oldalának hossza 2 dm. Egy vágásvonal hossza 2 dm, mindkét irányban 199 vágást ejtünk. 2 ⋅ (1 9 9 + 1 9 9) = 2 ⋅ 3 9 8 = 7 9 6 dm A belső, ugyancsak négyzet alakú terület oldala 30 m hosszú. A terület, amelyen már levágtuk a füvet: 6 ⋅ 6 ⋅ 4 + 6 ⋅ 3 0 ⋅ 4 = = 1 4 4 + 7 2 0 = 8 6 4 m2

10  Válaszolj a kérdésekre a képen látható alaprajz segítségével! Ami az ábrán 1 cm, az a valóságban 1 m. a) Mekkora a szoba területe? 3,2 ⋅ 5,7 = 18,24 m2

b) A félszoba és az előszoba közül melyik és mennyivel nagyobb?

Félszoba

Szoba Konyha

2 ⋅ 3,8 = 7,6 m2; 1,3 ⋅ 3,8 = 4,94 m2; 7,6 − 4,94 = 2,66 m2-rel

nagyobb a félszoba.

c) Adj meg két olyan helyiséget, amelyek együtt nagyobbak,

Fürdőszoba

Előszoba Bejárat

mint a lakás fele! A szoba és a félszoba.

20. Téglatest, kocka felszíne 1  Mekkora a téglatest felszíne?

a) a = 41 cm, b = 21 cm, c = 10 cm; c) a = 2 m, b = 220 mm, c = 2 cm;

b) a = 17 dm, b = 25 dm, c = 4 dm; d) a = 26 cm, b = 8 dm, c = 0,1 m.

a) 2 ⋅ (4 1 ⋅ 2 1 + 4 1 ⋅ 1 0 + 2 1 ⋅ 1 0) = = 2 ⋅ (8 6 1 + 4 1 0 + 2 1 0) = 2 ⋅ 1 4 8 1 = 2 9 6 2 A b), c), d) mellékszámítások hasonlóan

a) A = 2962 cm2

 b) A = 1186 dm2

 c) A = 9688 cm2

 d) A = 6280 cm2

89

20. Téglatest, kocka felszíne 2  Mekkora a kocka felszíne? a) a = 11 cm; a)

b) a = 52 dm;

1 1 ⋅ 1 1 ⋅ 6 = 1 2 1 ⋅ 6 = 7 2 6

b)

5 2 ⋅ 5 2 ⋅ 6 = 2 7 0 4 ⋅ 6 = 2 2 4

a) A = 726 cm2

b) A = 16 224 dm2



3  Milyen hosszú lehet a kocka éle? a) A = 216 m2; a)

b) A = 864 cm2. b)

2 1 6 : 6 = 3 6

8 6 4 : 6 = 1 4 4 1 4 4 = 1 2 ∙ 1 2

3 6 = 6 ∙ 6

a) a = 6 m

b) a = 12 cm

4  Az ábrán látható kocka alakú csomagot két irányból szalaggal átkötötték. A szalag összesen 210 cm hosszú, amiből 34 cm-t a masnira használtak fel. Mekkora felszínű a csomag? 2 1 0 − 3 4 = 1 7 6 1 7 6 : 8 = 2 2 A kocka éle 22 cm. 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 6 = 2 9 0 4

A = 2904 cm2

5  Tervezd meg a hálózatát egy 4 cm széles, 6 cm hosszú és 3 cm magas téglatestnek! a) Mekkora területű részt foglal el a papíron? 108 cm2

b) Milyen méretű rajzlapra fér rá ez a hálózat? Az ábra lehet pl. 12 cm-szer 14 cm-es, ami ráfér egy A5 méretű írólapra.

6  64 darab egyforma kiskockából egy tömör, nagy kockát építettünk. Vegyél el ebből a nagy kockából egy kiskockát úgy, hogy a felszíne a) ne változzon; b) növekedjen; c) csökkenjen!

a) Válasz: a sarkából;



b) Válasz: nem a sarkából;

c) Válasz: nem lehet.

7  Egy kockát egyik oldallapjával párhuzamosan felvágtuk téglatestekre. Az így kapott téglatestek felszínösszege a kocka felszínének a duplája lett. Hány téglatestre vágtuk a kockát? A téglatestek száma: 4

90

21. A TÉRFOGAT MÉRÉSE 1  Írd köbmilliméterben!

b) 12 cm3 = 12 000 mm3;

a) 5 cm3 = 5000 mm3;

c) 0,75 cm3 = 750 mm3;

d) 5,4 cm3 = 5400 mm3;

e) 3 dm3 = 3 000 000 mm3;

f) 0,1 dm3 = 100 000 mm3.

a) 30 000 mm3 = 30 cm3;

b) 3 dm3 = 3000 cm3;

c) 3,25 dm3 = 3250 cm3;

b) 3 500 000 cm3 = 3,5 m3;

c) 65 000 dm3 = 65 m3.

2  Írd köbcentiméterben! d) 0,5 m3 = 500 000 cm3;

e) 14 000 mm3 = 14 cm3;

3  Írd köbméterben!

a) 9 000 000 cm3 = 9 m3;

f) 2 m3 = 2 000 000 cm3.

4  Add meg literben és deciliterben is a következő térfogatokat! a) 12 300 cm3 = 12,3 l = 123 dl;

b) 2 190 000 mm3 = 2,19 l = 21,9 dl.

5  Állapítsd meg becsléssel, majd mérd meg egy levesestányér űrtartalmát! Becslés: 7 dl

 Mérés: 5 dl

Eltérés: 2 dl

6  Írj példákat arra, hogy mit adnál meg milliliter, deciliter, liter, illetve hektoliter pontossággal!

Milliliterrel: a folyadékok mennyisége kémiai kísérleteknél, folyékony orvosság, körömlakk Deciliterrel: pohár űrtartalma, kimért italok

Literrel: fazék űrtartalma, napi folyadékszükséglet Hektoliterrel: hordó űrtartalma, vízfogyasztás

7  Egy 8 literes kannát szeretnénk megtölteni vízzel. Először beleöntöttünk másfél litert, majd 6 dl-t, ez­

után 650 ml-t. Mennyit kell még hozzáöntenünk, hogy tele legyen az edény? 5,25 litert

8 − 1,5 − 0,6 − 0,65 = 5,25

8  Egy 6 literes üveg tele volt málnaszörppel. Megtöltöttünk belőle 5 darab 7 deciliteres és 3 darab fél literes üveget. Hány deciliter van még az eredeti üvegben? 10 deciliter

60 − 5 · 7 − 3 · 5 = 60 − 35 − 15 = 10

9  Egy csöpögő vízcsapból 5 másodpercenként leesik egy vízcsepp. Megfigyeltük, hogy az 1 deciliteres edényt 500 csöpp tölt meg. Egy nap alatt mennyi víz csöpög ki a vízcsapból? 3,456 liter

Egy nap 24 ∙ 60 ∙ 60 = 86 400 másodperből áll. Ha 5 másodpercenként csöppen le egy csepp víz, akkor egy

nap alatt 86 400 : 5 = 17 280 csepp esik le. Ha 1 dl 500 csepp, akkor 1 liter 5000 csepp. A 17 280 csepp 17 280 : 5000 = 3,456 liter, tehát körülbelül 3 és fél liter víz csöpög el.

91

22. Téglatest, kocka térfogata 1  Számítsd ki az adott élű kocka térfogatát! A térfogatot add meg három különböző mértékegységben! 1 1 3 a) Ha a = m, akkor V = m = 0,125 m3 = 125 dm3 =  125 000 cm3. 2 8 b) Ha a =

3 27 27 000 27 dm, akkor V = dm3 = cm3 = m3 . 4 64 64 64 000

2  Mekkora a téglatest térfogata?

a) Ha a = 2,2 m; b = 1,8 m; c = 0,4 m, akkor V = 1,584 m3.

2,2 ⋅ 1,8 = 3,96

3,96 ⋅ 0,4 = 1,584

b) Ha a = 320 mm; b = 12 dm; c = 1,2 cm, akkor V = 4608 cm3. 32 ⋅ 120 = 3840

3840 ⋅ 1,2 = 4608

2 ⋅ 3,5 = 7

7 ⋅ 8 = 56

c) Ha a = 20 mm; b = 3,5 cm; c = 0,8 dm, akkor V = 56 cm3 . 3  Határozd meg a kocka térfogatát, ha

a) egyik lapjának területe 121 m2, V = 1331 m3;

121 = 11 ∙ 11,

121 ⋅ 11 = 1331

400 = 20 ∙ 20,

400 ⋅ 20 = 8000

b) egyik lapjának területe 400 mm2, V = 8 cm3.

8000 mm3 = 8 cm3

c) térfogatának mérőszáma egyenlő a felszínének a mérőszámával! V = 216 m3. A = V, azaz 6 ∙ a ∙ a = a ∙ a ∙ a, vagyis a = 6 m és V = 216 m³.

4  A tejet egy 49 cm2 alapterületű négyzetes oszlop alakú dobozban árusítják.

a) Hány deciliter tej van a dobozban, ha már csak 24 cm magasan áll benne a tej? 1,176 dl 0,49 ⋅ 0,24 = 0,1176 dm3 = 0,1176 l = 1,176 dl.

b) Milyen magasan áll benne a tej, ha 4 deciliter van benne? 8,2 cm 0,4 : 0,49 ≈ 0,82 dm = 8,2 cm.

5  Mennyi időre van szükség egy 14 méter széles, 30 méter hosszú és 2 méter mély medence feltöltéséhez, ha percenként 120 liter víz folyik bele a csapból? 116 óra 40 perc. 14 ⋅ 30 ⋅ 2 = 840 m3 = 840 000 dm3 = 840 000 l;

840 000 : 120 = 7000 perc = 116 óra 40 perc.

92

23. Gyakorlati feladatok 1  Azonos méretű dobókockából készítettünk egy piramist. Lerajzoltuk felülnézetben és oldalnézetben is. Hány dobókockát használtunk az építéséhez? 7 ⋅ 7 + 6 ⋅ 6 + 5 ⋅ 5 + 4 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 = = 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 140 db

Oldalnézet

Felülnézet

2  Egy medence szélessége 12 méter, a hossza 50 méter, a víz mélysége mindenütt 2 m. Egy 72 dm³ és egy 78 dm³ térfogatú férfi egyszerre ugrik fejest a medencébe. Mennyivel emelkedik a vízszint magassága, ha mindketten a víz alatt úsznak? Hány liter vizet kellett volna a medencébe engednünk, hogy ugyanezt az emelkedést érjük el?

Emelkedés: 0,25 mm. 72 + 78 = 150 dm3 = 150 l

A beengedett víz mennyisége: 150 l.

3  A Balaton vízfelülete középvízállás esetén 593 km², az átlagos vízmélysége pedig 3 m. Ez azt jelenti, hogy annyi víz van benne, amennyivel egy 593 km²-es vízfelületű, 3 m mély, téglatest alakú medencét meg lehetne tölteni. Hány hektoliter víz van a Balatonban? 593 000 000 ⋅ 3 = 1 779 000 000 m3 = 1 779 000 000 000 l = 17 790 000 000 hl

A Balaton vízmennyisége: 17 790 000 000 hl. (17 milliárd 790 millió hektoliter)

4  Egy 6-szor 4 méteres 260 cm magas szobát két azonos méretű szobára vágunk ketté a rövidebb oldalával párhuzamosan. A válaszfalhoz 10 cm-es vastagságú téglákat használunk. A fal mindkét oldalát 0,5 cm vastagságú vakolattal látjuk el. Hány köbméterrel csökken a két szoba együttes térfogata az eredeti szobához képest? 4 ⋅ 2,6 ⋅ (0,1 + 0,005 + 0,005) = 10,4 ⋅ 0,11 =1,144 A csökkenés: 1,144 m3-rel csökkent.

5  Egy 60 km hosszú autópályán a burkolat szélessége 22 m. (Most nem számoljuk a csomópontokat és a pihenőhelyeket.) Felújításnál egyenletesen egy 8 cm vastag aszfaltréteggel borították ezt a szakaszt. a) Mekkora felületet újítottak fel? b) Mennyi aszfalt kellett ehhez? a) A felújított felület: 0,022 ⋅ 60 = 1,32 km2

b) A felhasznált aszfalt térfogata: 1 320 000 ⋅ 0,08 = 105 600 m3

93

24. Összefoglalás 1  a) Rajzolj téglalapokat a körökbe úgy, hogy minden csúcsa a megadott 8 pont egyikére essen! Hány különböző alakú téglalapot tudtál rajzolni? 2-t.

b) Rajzolj háromszögeket a körökbe úgy, hogy minden csúcsa a megadott 8 pont egyikére essen! Hány különböző alakú háromszöget tudtál rajzolni? 5-öt.

c) Rajzolj négyszögeket a körökbe úgy, hogy minden csúcsa a megadott 8 pont egyikére essen! Hány különböző alakú négyszöget tudtál rajzolni? 8-at.

2  Írd az ábra mellé a hiányzó elnevezéseket!

csúcs testátló él lapátló

94

24. Összefoglalás 3  Felezd el az ábrán látható szakaszt! A felét másold át az üres helyre, majd a másolatot is felezd el!

4  Felezd el az ábrán látható szöget! A felét másold át az üres helyre, majd a másolatot is felezd el!

5  Egy egyenlő szárú háromszög alapja 6 cm, a szárai pedig 4 cm hosszúak. Szerkeszd meg a háromszöget! Szer­keszd meg az alap felezőmerőlegesét is! Mérd meg, hogy milyen messze van az alaptól a szárak metszéspontja! A mérésem eredménye: 2,6 cm.

6  Egy iskola tornatermének küzdőtere 28 méterszer 46 méteres. A teremben egy szabványos méretű kézilabdapályát rajzoltak fel. A rajzoláshoz fehér festéket használtak. A pálya szélén a fehér csíkok 4 cm szélesek. A pálya 40 méterszer 20 méteres. a) Mekkora a tornaterem alapterülete? b) Hány m² nem tartozik a kézilabdapályához? c) Hány m² felületet foglalnak el a fehér csíkok? a) A tornaterem alapterülete: 28 ⋅ 46 = 1288 m2

b) A küzdőtéren kívüli rész területe: 488 m2 20 ⋅ 40 = 800; 1288 − 800 = 488

2 ⋅ 4000 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2000 ⋅ 4 − 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 32 000 + 16 000 − 64 = 47 936 cm² c) A küzdőtér szélét jelző csíkok összterülete: 47 936 cm2 ≈ 480 dm2.

7  Egy fiók belső méretei a következők: szélessége 38 cm, magassága 12 cm, a hossza pedig 45 cm. Hány darab 125 cm³ térfogatú kockát tudnánk belerakni a fiókba? A kockák száma: 126.

38 cm ⇾ 7 db 12 cm ⇾ 2 db 45 cm ⇾ 9 db 7 ⋅ 2 ⋅ 9 = 126

95

V. Helymeghatározás, sorozatok 1. Helymeghatározás szerepe környezetünkben 1  Az ábrán egy háromszintes iskola ablakai láthatók. Panni osztályának tanterme a második szinten balról a harmadik, negyedik és ötödik ablak mögött van. Röviden 23, 24, 25. Színezd ki a tanterem ablakait! A nagytanári ablakai: 11, 12, 13 és 14. Jelöld ezeket egy másik színnel! A harmadik szinten melyik sorszámú ablakból ereszthetünk le madzagon egy tárgyat úgy, hogy Panni és a tanárok is észrevegyék? Rajzold be a madzag egy lehetséges állapotát az ábrába! A megfelelő ablakok sorszáma: 33, 34.

2  A gyerekek bújócskáznak a kertben. A hunyó Máté, aki bekötött szemmel áll a fa előtt. Ha bekötött szemmel kellene megkeresnie a többieket, milyen mondatokkal segítenél neki? Például: fordulj balra és menj ütközésig! Mondjátok el! Fordulj balra, és menj, amíg a talicskába nem ütközöl, alatta lapul egy gyerek. Ha továbbmész a homokozóig és megkerülöd, ott lesz egy másik gyerek. Balra fordulj és menj a ház faláig, ott találod a harmadikat. Balra fordulva menj a kerítésig, megint balra a sarokig, és balra tartva megtalálod a negyedik játékost is.

3  Aladár és Aletta amőbáznak. Aladár tette le az utolsó -et, amit az ábrán vastagabban jelöltünk. Leírtuk a játék további menetét. A lépések leírását mindig az előző lépéshez képest ­fogalmaztuk meg. Rajzold le az ábrára a játék további alakulását!

×

Aletta kettővel lejjebb és eggyel balra tette a következő

-t.

Aladár ez alá tette az

×-et.

Aletta innen kettővel balra és kettővel följebb tette a Aladár pontosan eggyel balra tette az Aletta innen néggyel jobbra tette a

×-et. -t.

Aladár néggyel balra és kettővel feljebb az

-t.

×-et.

Mit lépjen Aletta? Egészítsd ki a mondatot, és húzd alá a megfelelő szavakat!

Aletta öttel jobbra / balra és kettővel lejjebb / feljebb tegye a -t. Ki nyerte a játékot? Aletta.

Minden lépés szükséges-e annak eldöntéséhez, hogy ki a győztes?

96

Igen.

1. Helymeghatározás szerepe környezetünkben 4 Egy 9 emeletes irodaház minden emeletén 12 ablak látható. A földszinten nincsenek irodák. Minden ablak mögött egy iroda található. Az irodák számozása balról jobbra, 1-től 12-ig két számjeggyel történik, de elé írják az emelet sorszámát is. A bejelölt iroda sorszáma tehát azért 207, mert a második emeleten a hetedik. a) Hány iroda található az épület képen látható részén?

b) András irodáján csak egyféle számjegy látható. Ez alapján jelöld be az iroda ablakát, és add meg a sorszámát!

c) A 210-es irodának négy szomszédja van: 209, 211, 110, 310. Melyek azok az irodák, amelyeknek ilyen értelemben csak két szomszédja van? d) Hány olyan iroda van, amelynek pontosan három szomszédja van? a) Irodák száma: 9 ⋅ 12 = 108.

b) András irodájának száma: 111.

c) Csak két szomszédja van: 101, 112, 901, 912.

d) Pontosan három szomszédja 10 + 7 + 10 + 7 = 34 darab irodának van.

5 Egy Balaton-parti ötemeletes szálloda minden ablaka a vízre néz. Bár a földszinten nincsenek szobák, de az épület minden szobájának egy ablaka van. Panni a 105-ös szoba, vagyis az első emelet ötödik ablakából, Matyi pedig az 510-es szoba, vagyis az ötödik emelet tizedik ablakából nézi a Balatont. A partról nézve Panni az épület bal oldalától az ötödik, Matyi pedig a jobb oldalától az ötödik ablakban látható. Hány szoba van a szállodában? A válasz előtt a megoldáshoz készítsd el a szálloda rajzát! A szobák száma: 5 ⋅ 14 = 70.

97

2. Helymeghatározás matematikaórán 1 A tankönyvben is látható Pók­te­lep térképén be­je­ löltünk két keresz­te­ző­dést. a) Hogyan jutnál el A-ból B-be, ha köz­ben a II. ke­rü­ leten át kell menned? (2;1), (3;1), (4;1), (5;1), (6;1), (6;2), (6;3) b) Csak sugárutakat használva juss el (1; 3)-ból (3; 1)-be! (1;3), (1;2), (1;1), (0;0), (3;1)

2 A következő állítások az előző fel­adat térképére vonatkoznak. Döntsd el, hogy melyik igaz, melyik hamis! a) Bármely útkereszteződésből bár­me­lyik másik út­ke­ c reszteződésbe el lehet jutni csak sugárutakon. b) Bármely útkereszteződésből bármelyik másik útke­ c reszteződésbe el lehet jutni csak körutakon. c) Mivel a Pók presszó a (6; 3) útkereszteződésben ta­ c lálható, ezért a III. kerületben van. I

H I

3 A következő kérdések a tankönyv 2. példájában szereplő táblázat adataira vonatkoznak.

a) Melyik két település távolsága 104 folyamkilométer? Nincs ilyen. (Szatmárcseke–Tuzsér távolsága is 103 fkm.) b) A teljes túrát nyolc naposra terveztük, és az első napon Szatmárcsekéig jutottunk. Véleményed szerint ez megfelelő sebesség? Az első napon megtett táv 24 fkm, a teljes táv 200 fkm, aminek az egy napra jutó része 200 : 8 = 25, tehát ez megfelelő sebesség. Budapestről három autós indul 4 Pécs­re, Győrbe, Szegedre. Nézd a tér­ kép­ váz­ latot! 100 km megtétele után mondhatja-e va­lamelyikük, hogy túl van a táv felén? Az, aki Győrbe megy.

3. Számok ábrázolása számegyenesen 1  Ábrázold számegyenesen, hogy a következő híres emberek mettől meddig éltek! Petőfi Sándor (1823–1849); Arany János (1817–1882); Széchenyi István (1791–1860).

98

3. Számok ábrázolása számegyenesen 2  Dani iskolájában reggel 8-kor kezdődik a tanítás. Az órák 45, a szünetek 15 percesek. Jelöld a számegyenesen a) az ötödik órát; b) a harmadik szünetet; c) az első három órát a közte lévő szünetekkel együtt! 3  A következő számegyeneseken jelöld be a 0 helyét!

4  Olvasd le a számegyenesről a megjelölt intervallumokat, és írd le matematikai jelekkel! 4

5

6

7

8

9 10

0

1

2

3

4

5

6

4 ≤ x ≤ 10 0 < x < 6

7 6 5 4 3 2 1 0

5 4 3 2 1 0

1

− 7 ≤ x < 1

1

− 4 < x ≤ 1

2

5 Add meg matematikai jelekkel azt az intervallumot, amelyekben a felsorolt egész számok vannak! Add meg többféleképpen is! a) 1, 2, 3, 4, 5: 0 ≤ x ≤ 6; 1 ≤ x ≤ 5;

c) 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10: 3 < x < 11; 4 ≤ x ≤ 10;

b) −7, −6, −5: − 8 < x < − 4; − 7 ≤ x ≤ − 5; d) 12: 11 < x < 13; x = 12.

4. A derékszögű koordináta-rendszer 1 Csigabi az origóból indulva csigavonalakat rajzolt. Hogyan juthat el legegyszerűbben az origóból a csigavonal közepére, ha csak jobbra–balra, illetve föl–le közlekedhet? Húzd alá a megfe­ lelő szavakat, és egészítsd ki a mondatokat!

y a b

a) Csigabi menjen jobbra–balra kettőt, és föl–le hármat. b) Csigabi menjen jobbra–balra kettőt, és föl–le kettőt.

c) Csigabi menjen jobbra–balra hármat, és föl–le négyet.

d) Csigabi menjen jobbra–balra kettőt, és föl–le kettőt.

x d c

2 Az előző feladat ábráján az a) csigavonalat meghatározó fontos pontokat sorban így jegyezhetjük le: (0; 0) (0; 5) (4; 5) (4; 1) (1; 1) (1; 4) (3; 4) (3; 2) (2; 2) (2; 3). Jegyezd le a további csigavonalakat is ilyen módon! b) (0;0), (−3;0), (−3;3), (−1;3), (−1;1), (−2;1), (−2;2)

c) (0;0), (–5;0), (–5,–6), (–1;–6), (–1;–1), (–4;–1), (–4;–5), (–2,–5), (–2;–2), (–3;–2), (–3;–4) d) (0;0), (0;−4), (5;−4), (5;–1), (1;–1), (1;–3), (4;–3), (4;–2), (2;–2)

99

4. A derékszögű koordináta-rendszer 3  Add meg az ábrán látható, betűvel jelölt pontokhoz tartozó számpárokat!

y

A ( 1 ; 5 ),

B ( − 2,5 ; − 1 ),

C ( − 5 ; 0 ),

A



C



D ( − 3 ; − 5 ),



B F

E ( 4 ; − 4 ),

F ( 5 ; − 2 ).

E D

4  Rajzolj a koordináta-rendszerbe néhány szakaszból egy ábrát! Jelöld a fontos rácspontokat! Add meg a hozzájuk tartozó számpá­ rokat! A ( 1 ; 3 ), B ( 5 ; 1 ),

C ( 2 ; − 4 ),

D ( − 3 ; − 4 ), E ( − 5 ; − 1 ), F ( − 1 ; 3 ).

5. Pontok ábrázolása 1 Egy kislány megtervezte keresztnevének első betűjét a koordi­ náta-rendszerben, majd sorban leírta a pontokat. a) Írd be a hiányzó koordinátákat!

M (− 2; 4), N (−2; − 1), P (1; − 1), Q (1; 0), R (− 1;0), S (− 1;4)

b) Mi lehet a kislány neve? Liza vagy Lea, de bármilyen L betűvel kezdődő női név jó megoldás lehet.

c) Tervezd meg Tamás ábráját, és írd le az általad tervezett T betűhöz tartozó pontok koordinátáit! A pontok és a koordinátáik: T (3; 4) A(6;4), B(6;3), C(5;3), D(5,–1), E(4;–1), F(4;3), G(3;3)

100

x

5. Pontok ábrázolása 2  Döntsd el az alábbi pontokról, hogy melyik síknegyedben vannak! A (2; 17), B (−30; 2), C (−7; −5), D (2; −99), E (6; 10), F (−10; 6), G (3; −3), H (4; −12), I (−15; −16), J (−8; −3), K (7; −2), L (28; 53). I. síknegyed: A, E, L II. síknegyed: B, F III. síknegyed: C, I, J IV. síknegyed: D, G, H, K

3  Ábrázold a következő pontokat pirossal! Mi a közös bennük? Hol helyezkednek el? P (−6; 6), Q (4; −4), R (0; 0), S (−1; 1), T (3; −3), V (−2; 2). A koordináták egymás ellentettjei. A pontok egy origóra illesz­ kedő egyenesen helyezkednek el.

4  Ábrázold a következő pontokat kékkel! Mi a közös bennük? Hol helyezkednek el? V (2; 3), W (2; −4), X (2; 4), Y (2; −1), Z (2; 0).

A pontok első koordinátája minden esetben 2. A pontok egy y tengellyel párhuzamos egyenesen helyezkednek el.

5 Színezd a) kékre azokat a pontokat, amelyeknek az első jelzőszáma 3! b) pirosra azokat a pontokat, amelyeknek az első jelzőszáma −3! c) zöldre azokat a pontokat, amelyeknek a második jelzőszáma 3! d) sárgára azokat a pontokat, amelyeknek a második jelzőszáma −3! e) lilára azokat a pontokat, amelyeknek az első jelzőszáma megegyezik a második jelzőszámával!

101

5. Pontok ábrázolása 6 Az ábrán látható alakzatokat jegyezd le koordi­ náták segítségével! A csillag határvonalán bejelölt rácspontok koordi­ nátái: (7;–1), (9;0), (10;–1), (11;0), (13;–1), (12;1), (13;2), (12;3), (13;5), (11;4), (10;5), (9;4), (7;5), (8;3), (7;2), (8;1)

y

A szív határvonalán bejelölt rácspontok koordi­ nátái: (4;–3), (7;0), (7;1), (6;2), (5;2), (4;1), (3;2), (2;2), (1;1), (1;0)

x

6. Számegyenesek egyéb elrendezései 1  A mellékelt térképvázlat két piros útvonalát tekintsd tengelynek! Add meg ezekhez viszonyítva a bejelölt pontok koordinátáit szöveggel és számpárokkal is! Szöveggel: 4-gyel jobbra és 3-mal feljebb. Koordinátákkal: (4;3)

Szöveggel: 3-mal balra és 2-vel feljebb. Koordinátákkal: (–3;2)

Szöveggel: 3-mal jobbra és 4-gyel lejjebb. Koordinátákkal: (3;–4)

2  Add meg az ábrán látható teremben lógó fényforrás helyét három koordinátával! x koordináta: 5

y koordináta: 4 z koordináta: 3

3 Megadunk néhány pontot három koordinátával. Az első két szám jelentése megegyezik azzal, amit a derékszögű koordiná­ ta-rendszernél tanultunk. A harmadik szám azt jelenti, hogy milyen színnel jelöljük a koordináta-rendszerben a pontot. 1: piros, 2: zöld, 3: kék, 4: sárga. Ha ezektől eltérő a harmadik szám, akkor feketével kell rajzol­ ni. A (2; 1; 1), B (−1; 2; 4), C (2; −3; 5), D (−1; −1; 2). Rajzold be a megfelelő színnel a pontokat a koordináta-rend­ szerbe!

102

z

y 1 1 0

1

x

6. Számegyenesek egyéb elrendezései 4 Az ábrán az S és az L pontok két egységre vannak egymástól. Ez a két pont egy új koordináta-rendszert fog alkotni a számunk­ ra. Egy Z pont helyét úgy állapítjuk meg, hogy megadjuk az SZ, illetve az LZ szakaszok hosszát. Ez a két szám, ebben a sorrend­ ben adja a két koordinátát. Ha mindkét szám pozitív, akkor az SL egyenes fölött, ha mindkét szám negatív, akkor az SL egyenes alatt van a pont. Segítségként mindkét adott pont körül megrajzoltuk az 1, 2, 3, 4 és 5 egység sugarú köröket. Jelöld az ábrán a következő pontokat: A (3; 2), B (−3; −2), C (2; 3), D (1; 2) E (0; 2), F (−4; −4).

5 A 4. feladatban leírtak alapján add meg az ábrán bejelölt pon­ tok koordinátáit! A(4; 5), B(3; 5), C(4; 3), D(−3; –4), E(–5; –4)

6 A 4. feladatban leírt koordináta-rendszer hátránya, hogy nem minden számpárhoz tartozik pont a síkon. Adj meg néhány ilyen rossz számpárt! (0,5; 0,5), (4; –3), (3; –4), (1; 4)

7 A 4. feladatban leírtak alapján járj el! Vedd fel az S és az L pon­ tokat! a) Rajzolj zölddel olyan Z pontokat, amelyek két koordinátája egyenlő! b) Mit alkot az összes ilyen Z pont? Egy egyenest.

c) Véleményed szerint milyen szám lehet ebben a feladatban

a Z  ko­­ordinátája? 1-nél nagyobb vagy –1-nél kisebb.

7. MATEMATIKAI JÁTÉKOK 1 A tankönyv 2. feladatának mintájára készítsetek hasonló játékot a következő felbontások alapján: a) 111 111 = 3 · 37 037; b) 111 111 = 91 · 1221 Írd le röviden az általad adott utasításokat! a) Gondolj egy nem nulla számjegyre, és annak háromszorosával szorozd meg a 37 037-et!; b) Gondolj egy nem nulla számjegyre, és annak 91-szeresével szorozd meg a 1221-et!

103

7. MATEMATIKAI JÁTÉKOK 2  Írjátok be az ábrán látható tíz körbe 1-től 10-ig az egész számokat úgy, hogy a három kis háromszög kerületén lévő hat-hat szám összege mindig 28 legyen!

Megjegyzés: A kitöltés során érdemes arra gondolni, hogy van olyan hely, amely mindhárom kis háromszög kerületéhez tartozik, és vannak olyan helyek, amelyek két kis háromszög kerületéhez tartoznak. A gyorsabban gondolkodó gyerekeknek feladható a feladat úgy, hogy a 28-at cseréljük a 29, 30, …, 38 számok valamelyikére.

Az összeg: 29.

Az összeg: 38.

3  Az ábrán látható 19 körbe írd be 1-től 19-ig az egész számokat úgy, hogy a hat kis háromszög minden oldalán a három szám összege a) 22;  b) 23 legyen!

4  A 10 kis körbe írd be 1-től 10-ig az egész számokat úgy, hogy bármely szomszédos számpár összege egyenlő legyen a velük átellenes számpár ös�­ szegével! 5  A tankönyv 4. feladata alapján oldd meg a kérdést kilenc négyzetlapon nyolc bábuval, négy fehérrel és négy feketével! Jelöljük a sötét és a világos bábukat rendre S-sel és V-vel! 1. SSSSVOVVV 9. SOVSVSVSV 17. VSVSVOVSS

104

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

SSSOVSVVV SSOSVSVVV SSVSOSVVV SSVSVSOVV SSVSVSVOV SSVSVOVSV SSVOVSVSV

10. OSVSVSVSV 11. VSOSVSOSV 12. VSVSOSVSV 13. VSVSVSOSV 14. VSVSVSVSO 15. VSVSVSVOS 16. VSVOVSVSS

18. VOVSVSVSS 19. VVOSVSVSS 20. VVVSOSVSS 21. VVVSVSOSS 22. VVVSVOSSS 23. VVVOVSSSS 24. VVVVOSSSS

8. KERESSÜNK ÖSSZEFÜGGÉSEKET! 1  Figyeld meg az ábrákat! Keress összefüggést, és folytasd a mintát!

a) A megkezdett szabály szerint színezd a virágokat!   b) Hogyan színeznéd ki a tizenkilencedik virágot? 2  Folytasd az ábrasorozatot! 3  Rajzold be a mutatókat a negyedik óra számlapjára!

Fogalmazd meg a szabályt a mutatók helyzetével és az idő múlásával is! Mindig 1 óra 20 perccel mutat többet az óra.

Mely egész órák lesznek benne az ábrasorozatban, ha még összesen 14 számlapot látnánk? 8:00, 12:00, 4:00.

4 Hogyan folytatnád a dobókockák sorozatát? balra: 6, jobbra: 2, fent: 4 balra: 6, jobbra: 4, fent 5 (mint az első) 5 Az ábrán látható F betűt mindig elforgattuk 90 fokkal, és minden harmadik ábrát pirosra festünk. Rajzold le a 12., a 20. és az 1234. ábrát!

 A 12. ábra:       A 20. ábra:        Az 1234. ábra.

6  Zsóka nagyon furcsa „összeadást” mutat nekünk: 7 + 2 = 59; 9 + 6 = 315; 11 + 9 = 220;

100 + 1 = 99 101

Keresd az összefüggéseket! Add meg, mennyi lehet! A két szám különbsége után írjuk a számok összegét.

10 + 8 = 218;

18 + 9 = 927;

10 + 9 = 119.

105

9. sorozatok 1  Megadtuk egy-egy sorozat harmadik, negyedik, ötödik hatodik és hetedik tagját. Keress egy szabályt, és add meg a sorozat első, második, nyolcadik, kilencedik és tizedik tagját! 1 1 1 a) −7, −2, 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38; b) , , , 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64; 8 4 2 c) 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0, 1, 0. d) 47, 36, 25, 14, 3, −8, −19, −30, −41, −52.

2  A következő sorozatban csak háromjegyű számok szerepelnek. Minden szám három különböző szám­ jegyből áll, de mindegyiknél csak az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből választunk. Hogyan lehetne folytatni a megkezdett sorozatot? 135, 354, 542, 421, 213, 135, 354, 542, 421, 213, 135;

3  Vizsgáld meg a következő szorzatokat! Mit gondolsz? Az érdekességét is megtartva végtelen sok szá­ mot határozhattunk meg ilyen módon? a)

b)



c)

2 · 9999 = 19998 3 · 9999 = 29997 4 · 9999 = 39996 5 · 9999 = 49995

8 ilyen szorzatot határozhatunk meg. 4 · 4 34 · 34 334 · 334 3334 · 3334 33334 · 33334

= 16 = 1156 = 111556 = 11115556 = 1111155556

1 · 1 11 · 11 111 · 111 1111 · 1111 11111 · 11111

=1 = 121 = 12321 = 1234321 = 123454321

Végtelen sok számot határozhatunk meg.

9 ilyen szorzatot adhatunk meg.

4 Egy ábrasorozat első négy tagját lerajzoltuk. Innen kezdve ez a négy forma ismétlődik ebben a sor­ rendben, de a színek csak hármasával ismétlődnek, piros, zöld, sárga sorrendben. a) Rajzold le a tizenegyedik ábrát!   

b) Rajzold le a huszadik ábrát!

c) Add meg azokat a sorszámokat, amelyeken valamilyen színű

106

látható! 3., 7., 11., 15., 19., ...

9. Számsorozatok 5 A logikai készletben háromszögek, négyzetek és körök vannak. Mindegyik formának van nagy és kicsi változata. Az eddigi alakzatok mindegyike szerepel a készletben lyukas és nem lyukas változatban is. Továbbá minden eddigi lehet piros, zöld, sárga vagy kék színű. Egy-egy elemből több is a rendelkezésünkre áll. Ezeket a formákat sorozatba rendezzük a következő szabályok betartásával: Minden második helyre nagyot teszünk. Minden harmadik helyre négyzet kerül. Minden negyedik helyen zöld van. Minden ötödik síkidom lyukas. 120 síkidomot tettünk egymás mellé. a) Add meg azokat a sorszámokat, amelyeken biztosan négyzet szerepel! Sorszámok: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30,…, 114, 117, 120.

b) Add meg azokat a sorszámokat, amelyeken biztosan nagy és lyukas síkidom szerepel! Sorszámok: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120.

c) Add meg azokat a sorszámokat, amelyeken biztosan zöld négyzet van! Sorszámok: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120.

d) Milyen síkidom lehet a 120. helyen? Válasz: Nagy, zöld, lyukas négyzet.

10. érdekes sorozatok 1  Kockákból az ábrán látható lépcsős formákat építünk, egyre nagyobbakat.

Add meg a kockák darabszámából álló sorozat első 15 tagját! 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225.

2 A következő négyzeteket sakktáblaszerűen színeztük.

a) Add meg a világos mezők darabszámából álló sorozat első nyolc tagját! 1, 2, 5, 8, 13, 18, 25, 32, 41. b) Add meg a sötét mezők darabszámából álló sorozat első nyolc tagját! 0, 2, 4, 8, 12, 18, 24, 32, 40.

107

10. érdekes sorozatok 3  Hány elem kell a piramisok megépítéséhez?

Add meg a sorozat első hat tagját! A sorozat tagjai: 1, 5, 14, 30, 55, 91.

4 Zsolt látta, hogy hogyan készültek a háromszögszámok és a négyzetszámok kupakok segítségével. (Te is nézd át a tankönyv 10. leckéjét!) Szeretett volna valami újat alkotni, ezért kitalálta a téglalapszámokat. a) Adj meg további hat számot Zsolt sorozatából! 2; 6; 12; 20; 30, 42, 56, 72, 90, 110. b) Milyen kapcsolatot találsz Xénia és Zsolt sorozata között?

Zsolt sorozatának minden eleme kétszer annyi kupakból épült, mint Xéniáé.

c) Zsolt szerint összeadással az ő és Xénia sorozatából is előállítható Zelma sorozata a második tagtól kezdve. Mely tagokat kell összeilleszteni?

Rajzolj, és színezéssel indokolj! X.1., X.2.+Zs.1., X.3.+Zs.2., X.4.+Zs.3., X.5.+Zs.4., X.6.+Zs.5. (X.-Xénia, Zs.-Zsolt)

d) Ezután Xénia nagy felfedezést jelentett be. Szerinte csak az ő sorozatának a felhasználásával is előállítható Zelma sorozata. Segítségként háromféle kupakot használt Zelma ábráinak felépítéséhez. Ezek alapján fo­ galmazd meg Xénia felfedezését! Xénia felfedezése: Zsolt sorozatának elemeit össze tudja építeni a saját sorozatának két ugyanolyan eleméből,

és az eggyel nagyobb sorszámú tetőt teszi rá.

5  Egy levéllánc indítója 5 embernek küldte el a levelét, melyben arra kérte őket, hogy továbbítsák a levelét további öt ismerősüknek. Hány ember kapja meg ezt a levelet másodkézből, harmadkézből, negyedkézből, ha azt feltételezzük, hogy mindig új emberek lesznek a címzettek? Az indítótól, vagyis „elsőkézből” 5 ember kapta meg a levelet: 5 Másodkézből: 25

Harmadkézből: 125 Negyedkézből: 625

108

11. Táblázatok, grafikonok 1  A megadott grafikonon egy 30 fős osztály témazáró dolgozatának eredménye látható. Melyek igazak, melyek hamisak az alábbi állítások közül? a) A legtöbben négyes dolgozatot írtak.

H

c) Az osztály fele hármasnál jobbat írt.

H

b) A legkevesebben egyes dolgozatot írtak.

db 10

I

d) Mindenki megírta a dolgozatot.

5

I

1

2

3 4 érdemjegy

5

2  Egy iskolában felmérést készítettek arról, hogy ki hány percet tölt naponta a számítógép előtt. A megkérdezett diákok a következő válaszokat adták: 30, 50, 70, 90, 200, 150, 170, 300, 250, 150, 10, 160, 190, 20, 70, 80, 70, 220, 30, 90. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! időtartam

diákok száma

1 óránál kevesebb 5

1–2 óra

2–3 óra

6

4

3 óránál több 5

3  A táblázat 10 olimpiáról készült éremtáblázatunkat mutatja. Ezek alapján válaszolj a kérdésekre! év

helyszín

1968 Mexikóváros 1972 München 1976 Montreal 1980 Moszkva

arany

ezüst

bronz

6

13

16

10 4

15

11

12

7

8

6

1996 Atlanta

7

2004 Athén

2008 Peking

13

10

11

2000 Sydney

5

12

7

1988 Szöul

1992 Barcelona

10

8

3

6

6

4

10

6

3

6

3

2

a) Melyik évben szereztük a legtöbb érmet? 1972-ben. b) Anna szerint akkor sikeres az olimpia, ha aranyéremből van a legtöbb, Béla akkor örül, ha 15 éremnél többet szerzünk, Cili a 20-nál több érmet tartja jó olimpiának. Hány olyan olimpia volt, amely után mindhárman elégedettek lehettek volna? Anna szerint sikeres olimpia: 1988, 2000, 2004; Cili szerint sikeres olimpia: 1968–1996;

Béla szerint sikeres olimpia: 1968–2004; vagyis: 1988.

109

11. Táblázatok, grafikonok 4  Hat gyermek egy-egy háromgombócos fagyit vásárolt. A választék: vanília, tutti-frutti, karamell, rumosdió, kávé (a pisztácia már elfogyott). A rendelésnél sorban ezek hangzottak el: vanília, tutti-frutti, karamell, karamell, rumosdió, kávé, vanília, karamell, tutti-frutti, karamell, rumosdió, vanília, karamell, tutti-frutti, vanília, karamell, tutti-frutti, vanília. a) Készíts táblázatot a rendelt fagylaltokról!

fagyi neve: rendelések száma

vanília

tutti-frutti

5

4

karamell

rumosdió

6

2

kávé 1

b) Rakd sorba a fagylaltokat a népszerűségük alapján! Használd a táblázatod adatait! Első hely: karamell,

második hely: vanília,

negyedik hely: rumosdió,

ötödik hely: kávé.

harmadik hely: tutti-frutti,

c) A sorban hol helyezkedne el véleményed szerint a pisztácia?

pisztácia    vanília    tutti-frutti    karamell    rumosdió    kávé

12. összefoglalás 1  Két lány címe a következő:

Idei Évi, 3211 Barnafalva, Medve utca 1. Aloe Vera, 4220 Szőkeliget, Ciklon utca 2. Évi levelet írt Verának. Hogyan kell megcímeznie a borítékot?

Idei Évi Barnafalva Medve utca 1. 3211

Aloe Vera Szőkeliget Ciklon utca 2. 4220

2  Add meg a bejelölt intervallumokon lévő egész számokat! a)

2

8

 b)

2

a) egész számok: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; c) egész számok: 0, 1, 2;

110



4

 c)

0

3

 d)

b) egész számok: −1, 0, 1, 2, 3, 4; d) egész számok: 0.

1

1

12. összefoglalás 3  Add meg a koordináta-rendszerben megadott rajz rácspontjainak a koordinátáit!

y F

A (−1;− 1), B (1; 0), C (3;0), D (3 ;5),

D

H

E (2; 3), F (1;6), G (0;3), H (−1;5)

G E A

  B

C

x

4 Szerettünk volna a koordináta-rendszerben egy ABCD négyzetet megadni. Két csúcsot már berajzoltunk.

a) Hogyan fejeznéd be a rajzolást? Hány négyzetet tudsz elképzelni? Használj különböző színeket! b) Add meg a négy csúcs koordinátáit!

Egyik lehetőség: A (0;−1), B (3;0), C (2;3), D (−1;2)

Másik lehetőség: A (0;−1), B (3;0), C (4 ;−3), D (1;−4) 5 Keress egy szabályt, és folytasd a sorozatokat 3-3 számmal!

a) 1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000;

b) 1, 2, 3, 4, 5 , 6 , 7 ; 2 3 4 5 6 7 8

c) 1,2; 2,3; 3,4; 4,5; 5,6; 6,7; 7,8;

d) 1, −2, 3, −4, 5, − 6, 7.

6  Hogyan folytatnád az ábrasorozatot? a)

b) 7 Az osztályban szőke és barna hajú gyerekek vannak, akiknek kék vagy barna szeme van. Összesen huszonégyen járnak ide. kék szemű barna szemű összesen A gyerekek harmada szőke. szőke hajú 6 2 8 A szőkék háromnegyede kék szemű. barna hajú 6 10 16 Az osztályban ugyanannyi kék szemű gyerek van, mint barna. Töltsd ki a összesen 12 12 24 táblázatot!

111

VI. Arányosság, egyenletek 1. Arányosságok, változó mennyiségek 1 A paprikát az egyik üzletben darabra lehet vásárolni, az egységára 95 Ft. Mennyibe kerül 2, 5, 8, 22 darab paprika? Válaszaidat írd a táblázatba! 1 db

2 db

95 Ft

5 db

190 Ft

8db

475 Ft

2 Egy 60 lapos kártyapakli összes lapját téglalap alakba rendezzük.

760 Ft

22db

2090 Ft

Hányféle téglalap jöhet így létre?

A téglalapok száma: 12 db (60·1, 30·2, 20·3, 15·4, 12·5, 10·6, 6·10, 5·12, 4·15, 3·20, 2·30, 1·60).

3 Veronika születésnapjára egy 28 szeletes torta készült. A tortát egyenlően osztja szét. Hány szelet jut egy embernek, ha a) 28-an b) 14-en c) 7-en esznek a tortából, esznek a tortából, esznek a tortából?

Színezd be az egy emberre jutó szeleteket!



4 Egy matematikaverseny feladatlapján minden évben 25 tesztkérdés található. Ezt a versenyt 1991-ben rendezték meg először. Alapos Lajos 2015-ben azt tervezte, hogy na­ gyon alaposan felkészül, ezért az eddigi ös�­ szes feladatlapot megoldja. Hány feladat vár Lajosra?

1991-ben: 1. verseny … 2014-ben: 24. verseny 24·24 = 576 576 feladat vár rá.

5 Budapesten 2014-ben a felnőttek 9500 Ft-ért vásárolhattak bérletet, amel�­ lyel korlátlanul utazhattak egy hónapig. Hány forintba került egy utazása annak a felnőttnek, aki összesen a) 25;

b) 38;

alkalommal utazott ebben a hónapban? a) 380 Ft-ba került.

c) 125 Ft-ba került.

c) 76;

d) 125.

b) 250 Ft-ba került. 

d) 76 Ft-ba került.

6 A 32 fős osztályban csoportmunkát szervezünk. Hány csoport lesz, ha egy csoport létszáma a) 2;

b) 4;

a) A csoportok száma: 16;

c) A csoportok száma: 4;

112

c) 8;

d) 16 fő?

b) A csoportok száma: 8; d) A csoportok száma: 2.

2. Arányos következtetések 1 Egy egyszerű, de nagyon szórakoztató játékhoz a képen látható dobótestek tartoznak, kettő a pirosból és egy a kékből. A játékgyárban 325 darab piros dobókocka és 220 darab kék dobótest (dodekaéder) van. a) Hány darab játék összeállításához elegendő ez a mennyiség? b) Már elkészült 42 csomag játék. Ezekben melyik testből mennyi van? a) Az összeállítható játékok száma: 162 darab.

b) Az elkészült csomagokban piros dobókockákból 84 darab, kék dobótestből pedig 42 darab van.

2 Az iskolai büfében 130 Ft-ért sonkás, 110 Ft-ért sajtos szendvicset lehet kapni. Az egyik szünetben a gyerekek összesen 1690 Ft-ot fizettek a sonkás szendvicsekért és 1210 Ft-ot a sajtosakért. A következő szünetben 15 darab sonkást és 9 darab sajtosat vásároltak. Mennyit fizettek ebben a szünetben összesen? A sonkás szendvics ára: 130 Ft.

A második szünetben a sonkásokért fizettek: 1950 Ft.

A sajtos szendvics ára: 110 Ft.

A második szünetben a sajtosakért fizettek: 990 Ft.

Ez összesen: 2940 Ft.

3 Az étterem előrendelés esetén 790 Ft-ért ad egy ebédet. a) Mennyit fizet egy vendég, ha 4, illetve ha 15 napra rendel ebédet? b) Valaki április 24-én, csütörtökön eltervezte, hogy május 5-től 7 9 0 ⋅ 4 = 3 1 6 0 a hónap minden munkanapján ebben az étteremben fog ebédelni. 7 9 0 ⋅ 1 5 = 1 1 8 5 0 7 9 0 ⋅ 2 0 = 1 5 8 0 0 Mennyit fog fizetni? a) 4 nap esetén az ára: 3160 Ft; 15 nap esetén az ára: 11 850 Ft. b) Ha április 24-e csütörtök, akkor május 5-e: hétfő. Ezeken a napokon ebédel az étteremben: 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 28, 29, 30. Ez összesen: 20 nap. Vagyis összesen 15 800 Ft-ot fog fizetni az ebédekért. 4 A rovaroknak 3 pár, a pókoknak 4 pár, a rákoknak 5 pár lábuk van. a) Hány lába van összesen 3 rovarnak, 4 póknak és 5 ráknak? b) Egy képen rovarok, pókok és rákok láthatók. Mindegyikből van leg­ alább egy a képen, és összesen 46 lábat látunk. Melyikből mennyi le­ het a képen? a) A három rovar lábainak száma: 18. A 4 pók lábainak száma: 32. Az 5 rák lábainak száma: 50. Ez összesen: 18 + 32 + 50 = 100.

b)

Rákok száma 2

1

Pókok száma 1

3

Rovarok száma 3 2

A megoldás menete: Mivel mind a háromféle állatból van legalább 1, az ő lábaik száma összesen 6 + 8 + 10 = 24. A fennmaradó 22 láb felírható 10 + 2∙6 vagy 8 + 8 + 6 alakban (másképp ezekkel a számokkal nem), ezért vagy még egy rák és még két rovar, vagy még két pók és még egy rovar van a képen.

113

2. Arányos következtetések 5 Egy cipőfűző hossza 80 cm. a) Hány deciméter cipőfűző van egy pár cipőben? 16 dm b) Hány méter cipőfűző van 35 ilyen pár cipőben? 56 m

c) Hány pár ilyen cipőbe elegendő 1 kilométer cipőfűző? 625 pár cipőbe

6 Egy dobozban 150 darab kockacukor van. Lea minden reggel 3 cukorral issza a teáját. a) Hány darab cukor van a dobozban a 14. nap reggelén a teázás után? b) Hány nap alatt fogy el a cukor? c) Hány nappal tartana tovább az egy doboz cukor, ha Lea csak két cukorral inná a teát? a) A cukrok száma: 150 − 3 · 14 = 150 − 42 = 108 db b) 50 nap alatt elfogy a cukor.

c) Ekkor 25 nappal tovább tartana.

3. Nyitott mondatok, egyenletek

1 A következő nyitott mondatok mindegyikéhez ugyanaz az alaphalmaz tartozik. Olvasd el mindegyiket, és add meg ezt a közös alaphalmazt! Add meg az igazsághalmazokat is! Az alaphalmaz: az év hónapjai.

a) A ... hónapok a nyári hónapok. b) A ... hónapok 30 naposak. c) Az év utolsó hónapja ... .

d) Az év negyedik hónapja ... .

a) I = { június, július, augusztus }

b) I = { április, június, szeptember, november } c) I = { december } d) I = { április }

2 Legyen az alaphalmaz az 5000-nél kisebb négyjegyű számok halmaza. Add meg a nyitott mondatok igazsághalmazát! a) A számok csupa egyforma számjegyből állnak. b) A számok pontosan három ötös számjegyet tartalmaznak. c) A számok pontosan egy nullát és három négyest tartalmaznak. d) A számok kisebbek, mint 1001. e) A számok nagyobbak, mint 9997. a) I = { 1111, 2222, 3333, 4444 } b) I = { 1555, 2555, 3555, 4555 } c) I = { 4044, 4404, 4440 }

d) I = { 1000 }

e) I = { Ø }

114

3. Nyitott mondatok, egyenletek 3 Milyen számjegyek kerülhetnek a síkidomok helyére a következő egyenletekben? b) + ○ = 4; c) + ⌂ + ○ = 28; d) + ⌂ + ○ = 4. a) + ○ = 16; a)

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

4

5

6

7

8

9

–

–

–

–

–

–

–

b)

c)

⌂

–

–

3

2

1

0

–

–

–

–

–

–

1

0

0

0

4

3

2

0

–

4 0

⌂

d)

–

1

–

2

2

0 3

1

–

3

–

0

1

1

0

3

2

4

0

1

–

–

–

1 2

1

7

9

–

9

8

7

–

–

–

–

7

–

2

2

0

2

1

0

8

–

1 3

8

1

9

–

2 2

0

–

3

3

1

0

0

1

4 0

0

4 A következő nyitott mondatok alaphalmaza az egész számok halmaza. Add meg a nyitott mondatok összes megoldását, azaz add meg az igazsághalmazukat! a) Az autóknak ... kereke van.

a) I = { 4 }

c)

c) I = { 5 }

b) A budapesti telefonszámok ... jegyűek. ...

darab páratlan számjegy van.

d) A ... számjegyek párosak.

e) A ... számok húsznál kisebbek, de tizen­ kilencnél nagyobbak.

b) I = { 7 }

d) I = { 0, 2, 4, 6, 8 } e) I = { Ø }

4. Próbálgatások, következtetések 1 Add meg az egyenletek megoldását próbálgatással! a) 7 · x + 17 = 73; b) 13 · x − 6 = 59; c) 71 · x + 14 = 582; x = 8;



x = 5;



x = 8;

a) x = 5 ; 7 ⋅ 5 + 1 7 = 5 2 , kevés x = 7 ; 7 ⋅ 7 + 1 7 = 6 6 , kevés x = 8 ; 7 ⋅ 8 + 1 7 = 7 3 , jó

A c) és d) feladatot is hasonlóan lehet megoldani.



d) 32 · x − 50 = 590. x = 20.

b) x = 8 ; 1 3 ⋅ 8 − 6 = 9 8 , sok x = 7 ; 1 3 ⋅ 7 − 6 = 8 5 , sok x = 5 ; 1 3 ⋅ 5 − 6 = 3 9 , jó

115

4. próbálgatások, Következtetések 2 Keresd meg az egyenletek megoldásait próbálgatással! b) b · b − 1 = 35; c) c · (c + 1) = 30; a) a · a + 1 = 26;

d) d · (d − 1) = 56.

a értéke lehet: 5 vagy −5; b értéke lehet: 6 vagy −6; c értéke lehet: 5 vagy −6; d értéke lehet: 8 vagy –7. 3 Oldd meg következtetéssel az egyenleteket! b) x : 2 = 210; a) 3 · x = 630; x = 210;



6 3 0 : 3 = 2 1 0 2 1 0 ⋅ 2 = 4 2 0 7 1 + 7 1 = 1 4 2

x = 420;



c) x − 71 = 71; d) 13 + x = 0. x = 142;



x = −13.

4 Melyik számra gondoltunk, ha a harmadához 667-et kell adni, hogy 1000 legyen? A

A

333 -hoz kell 667-et adni, hogy 1000 legyen.

999 -nek a harmada a 333.

Vagyis a gondolt szám: 999.

1 0 0 0 − 6 6 7 = 3 3 3 3 3 3 ⋅ 3 = 9 9 9

5 Melyik számra gondoltunk, ha 22-vel kell csökkentenünk, hogy az így kapott szám harmada 130 legyen?

A 390 harmada a 130. A 412-t kell 22-vel csökken­ teni, hogy 390

legyen. Vagyis a gondolt szám: 412.

1 3 0 ⋅ 3 = 3 9 0 3 9 0 + 2 2 = 4 1 0

6 Oldd meg az egyenleteket lebontogatással! Szemléltesd rajzzal a következtetéseidet! b) (x − 19) · 2 + 48 = 100; a) 8 · (x + 11) + 14 = 214; c) (x : 4 + 47) · 2 − 8 = 104; d) (x : 7 − 2) · 7 + 2 = 51. a)

b)

c)

d)

116

5. Gyakoroljuk az egyenletmegoldást! 1 Add meg az egyenletek megoldását „ránézésre”! b) x + 34 = 110; c) 14 · x = 140; a) x − 18 = 70;

x = 88;



x = 76;

x = 10;





d) 21 · x = 420. x = 20.

2 A következő egyenletekhez adj meg úgy egy-egy alaphalmazt, hogy ne legyen megoldásuk! b) x + 100 = 98; c) 2 · x = 39; d) 5 · x = 35. a) x − 13 = 55;

a) Az alaphalmaz: a negatív számok halmaza. b) Az alaphalmaz: a pozitív számok halmaza. c) Az alaphalmaz: az egész számok halmaza.

d) Az alaphalmaz: a kétjegyű egész számok halmaza.

3 Legyenek az alaphalmazban a 0-ra végződő pozitív számok! Van-e megoldása a következő egyenletek­ nek? Ha van, akkor add meg a megoldást! a) 5 · x + 11 = 1961; b) 4 · x − 14 = 1986; c) 3 · x − 24 = 5554; d) 7 · x + 34 = 4445.

a) van – nincs: x = 390

b) van – nincs: x = 500

1 lehet, és az nem egész szám. 3 1 d) van – nincs: nincs, mert x csak 4411 · lehet, ami nem egész szám. 7

c) van – nincs: nincs, mert x csak 5578 · 4 Oldd meg az egyenleteket! a) x − 0,5 = 3,5; b) x + 1,2 = 23,2;

x = 4;



x = 22;



c) 5 · x = 16; x = 3,2;

d) 3 · x = 2. 2 x= . 3

5 Oldd meg a következő egyenletet! (x + 2) · (x + 1) · (x − 1) · (x − 2) = 0 Az x lehetséges értékei: −2, −1, 1, 2

6 Add meg az egyenletek megoldását! a) [5 · (x − 8) + 2] · 7 − 45 = 564; b) [9 · (x − 2) + 7] · 3 − 56 = 451 a) Ennyiből kell elvenni 45-öt, hogy 564 maradjon: 609. 5 6 4 + 4 5 = 6 0 9 Vagyis [5 · (x − 8) + 2] · 7 = 609. 6 0 9 : 7 = 8 7 Ennyit kell megszorozni 7-tel, hogy 609 legyen. 8 5 : 5 = 1 7 Vagyis 5 · (x − 8) + 2 = 87. Ennyihez kellett 2-t adni, hogy 87 legyen. Vagyis 5 · (x − 8) = 85. Ennyit kellett 5-tel megszorozni, hogy 85 legyen. Vagyis x − 8 = 17. Az egyenlet megoldása: x = 25 b) A következtetéseid lépéseit írd a füzetedbe! Az egyenlet megoldása: x = 20

117

6. Szöveges feladatok 1 Egy csomagoló üzemben 300 liter gyümölcslevet töltenek dobozokba. Ezen a napon 1,5 literes és 2 dl‑es dobozokat töltöttek meg. Összességében mind a két fajta dobozba ugyanannyi liter gyümölcslé került. Hány dobozt töltöttek meg összesen? Az 1,5 literes dobozokba került mennyiség: 150 liter. A 2 dl-es dobozokba került mennyiség: 150 liter.

Az 1,5 literes dobozok száma: 100 db. A 2 dl-es dobozok száma: 750 db.

A dobozok száma összesen: 850 db.

2 A mozi pénztárában záráskor összesen 308 000 Ft volt papírpénzben. A pénztáros megállapította, hogy mindegyik pénzből (500, 1000, 2000, 5000, 10 000, 20 000) pontosan ugyanannyi darab van. Hány húszezres volt a kasszában? A húszezresek száma legyen: x

A szöveg alapján felírható egyenlet: (20 000 + 10 000 + 5000 + 2000 + 1000 + 500) ⋅ x = 308 000 Az egyenlet megoldása: x = 8

Vagyis 8 darab húszezres volt a kasszában.

3 A pénztárcámban 500 Ft-os és 2000 Ft-os bankjegyek vannak. A 31  500 Ft-ot úgy fizettem ki, hogy kétszer annyi kétezrest adtam a pénztárosnak, mint ötszázast. Hány darab ötszázassal fizettem? Az ötszázasok száma legyen: x db.

Ekkor a kétezresek száma: 2 ⋅ x db.

A szöveg alapján az egyenlet: 500x + 2000 ⋅ 2x = 31 500

Az egyenlet megoldása: x = 7

Vagyis az ötszázasok száma: 7 db.

4 Egy kéttagú összeg második tagja az első tag kétszeresénél 26-tal kisebb. Az összeg értéke 1000. Mekkora az első tag? Legyen az első tag: x

 Ekkor a második tag: 2x − 26.

A szöveg alapján az egyenlet: x + 2x − 26 = 1000 Az egyenlet megoldása: x = 342 Vagyis az első tag: 342

5 Egy kéttagú összeg első tagja a második harmadánál 74-gyel nagyobb. Az összeg értéke 126. Mekko­ ra a második tag? Legyen a második tag: x

Ekkor az első tag: x : 3 + 74

A szöveg alapján az egyenlet: x + x : 3 + 74 = 126 Az egyenlet megoldása: x = 39

Vagyis a második tag: 39

118

6. Szöveges feladatok 6 Egy termelőnél 18 kg cseresznye volt a piacon. Eddig 12-en vásároltak fél kg‑ot, és néhányan 1,5 kg-ot. Még van 6 kg eladatlan cseresznyéje. Hányan vásároltak 1,5 kg-ot? Az 1,5 kg-ot vásárlók száma legyen: x fő.

Ekkor a megvásárolt cseresznye mennyisége: 12 ⋅ 0,5 + x ⋅ 1,5 A szöveg alapján az egyenlet: 12 ⋅ 0,5 + x ⋅ 1,5 = 18 − 6 Az egyenlet megoldása: x = 4

Vagyis 4 fő vásárolt 1,5 kg cseresznyét.

7. Összefoglalás 1 Írj egyenleteket a kérdésekhez! Oldd meg az egyenletedet, és válaszolj a kérdésre! a) Mennyit kell −18-ból elvenni, hogy az eredmény 22 legyen? b) Mennyit kell 29-hez adni, hogy az összeg −11 legyen? c) Melyik számot kell 12-vel megszorozni, hogy a szorzat 6 legyen? d) Melyik számot kell 9-cel megszorozni, hogy a szorzat 6 legyen? a) Az egyenlet: −18 − x = 22 Válasz: −40-et kell elvenni

b) Az egyenlet: 29 + x = −11

Válasz: −40-et kell hozzáadni c) Az egyenlet: x ⋅ 12 = 6

Válasz: 0,5-et

d) Az egyenlet: x ⋅ 9 = 6 2 Válasz: -ot 3

 Az egyenlet megoldása: x = −40

 Az egyenlet megoldása: x = −40

 Az egyenlet megoldása: x =

 Az egyenlet megoldása: x =

2 3

1 = 0,5 2

2 Gondolj egy számot! Adj hozzá 2-t! Szorozd meg 9-cel! Oszd el 3-mal! Vonj ki belőle 12-t! Oszd el 3-mal! Most mennyi az eredmény? Az eredmény ismeretében könnyen megmondható a gondolt szám. Elemezd a gondolatsort, és add meg a kitalálás receptjét! Legyen a gondolt szám az x. Az utasítások után kapott értékek így alakulnak: Adj hozzá 2-t! x + 2

Szorozd meg 9-cel! 9 ⋅ (x + 2), amit így is írhatunk: 9x + 18

Oszd el 3-mal! 3x + 6

Vonj ki belőle 12-t! 3x − 6 Oszd el 3-mal! x − 2

Ez a gondolt számnál 2-vel kisebb.

Vagyis a kitalálás receptje: A kapott eredményhez hozzáadunk kettőt, ez volt az eredetileg gondolt szám.

119

7. Összefoglalás 3 Oldd meg az egyenleteket! a) 2 · x + 0,5 = 4,5; b) 3 · x + 1,2 = 5,1; x = 2;



c) 4 · x = 100;

x = 1,3;



3 , 9 : 3 = 1 , 3 1 0 0 : 4 = 2 5 1 0 0 0 : 8 = 1 2 5

x = 25;



d) 8 · x = 1000. x = 125.

4 100 darab tojást kellene 10-es és 15-ös dobozokban elhelyezni. Nem szeretnénk, hogy kimaradjon tojás, és azt sem szeretnénk, hogy a dobo­ zokban üres helyek legyenek. Hányféle megoldást találsz a csomagolásra? A 15-ös dobozok száma nem lehet több, mint 6 db.

Ehhez a 10-es dobozok száma: 1 db.

Ha csökkentem a 15-ös dobozok számát, akkor a következő eseteket kell megvizsgálnom: 15-ös dobozok száma: 5, 4, 3, 2, 1;

A következő eseteket kaptam: 6 ⋅ 15 + 1 ⋅ 10;

10-es dobozok száma: –, 4, –, 7, –.

4 ⋅ 15 + 4 ⋅ 10;

2 ⋅ 15 + 7 ⋅ 10.

5 A pékségben sajtos, burgonyás és medvehagymás aprópogácsát lehet kapni. Mivel azonos az áruk, ezért László vegyesen, véletlenszerűen vásárolt ezekből 42 darabot. Otthon egy tálcára rakta, és ekkor látta, hogy sajtosból vásárolta a legkevesebbet. Burgonyásból 2-vel több van, mint sajtosból. A medve­ hagymások száma pedig pontosan a burgonyásoknak a kétszeresével egyenlő. Melyik fajtából hány dara­ bot vásárolt? A sajtosok száma legyen x. Ekkor a burgonyások száma: x + 2.

 A medvehagymások száma: 2 ⋅ (x + 2).

A szöveg alapján az egyenlet: x + x + 2 + 2 ⋅ (x + 2) = 42

Az egyenlet megoldása: x = 9

Vagyis a sajtosok száma: 9, a burgonyások száma: 11,

a medvehagymások száma: 22.

6 A legenda szerint Diophantosz sírfelirata hirdette, hány évig élt e földön. Számold ki te is! „Vén Diophantoszt rejti e kő. Bár ő maga szunnyad, megtanította a sírt, mondja el élte sorát. Évei egyhatodát tölté ki a gyönge gyerekkor, még feleannyi lefolyt, s álla szakálla kinőtt. Éveinek száma legyen x. Az egyenlet: Egyheted eltelt még, és nászágy várta a férfit, x x x x + + +5+ + 4 = x elmúlt újra öt év, és fia megszületett. 6 12 7 2 Ez feleannyi napig láthatta a fényt idefenn, mint atyja, mivel neki így szabta az isteni sors. A megoldás: Őt gyászolva a sír felé hajlott agg Diophantosz, x = 84 négy évvel később ő is elérte a célt. Tehát Diophantosz 84 évig élt. Mondd, hány esztendőt élt hát meg gyászban, örömben, S itta az édes fényt, míg hona lett ez a sír?”

120

VII. ADATGYŰJTÉS, STATISZTIKA 1. játék

Játék

Számbontogató Játszd a padtársaddal! Az egyikőtök kezdi a játékot. Dobj két kockával! Jelöld be a táblázatban a dobott számok összegét, vagy két olyan számot, amelyek összege megegyezik a dobott számok összegével. Ha például a dobott szám 1 és 4, akkor bejelölheted a táblázatban az ötöst vagy a négyest és az egyest vagy a kettest és a hármast, mert 5=1+4=2+3. Amelyik szá­ mot a táblázatban egyszer bejelölted, azt még egyszer nem jelölheted be abban a játékban! A játék addig tart, amíg be tudsz jelölni számokat. A be nem jelölt számok összege lesz a (rossz)pontod, ezt írd fel magadnak! Példa egy játékra: 1. dobás: a 2 és a 6, bejelölöm a 8-ast (mert 2 + 6 = 8 = 1 + 7 = 3 + 5 = 4 + 4, a 4 + 4-et nem lehet bejelölni, mert csak 1 darab 4-es van); 2. dobás: 1, 6, bejelölöm az 1-est és a 6-ost (1 + 6 = 7 = 2 + 5 = 3 + 4); 3. dobás: 1, 6, bejelölöm a 7-est (1 + 6 = 7 = 2 + 5 = 3 + 4); 4. dobás: 2, 2, bejelölöm a 4-est (4 = 1 + 3); 5. dobás: 1, 3, (1 + 3 = 4) NINCS MIT BEJELÖLNI, mert az 1 és a 4 már be van jelölve, és a 2-est nem lehet kétszer bejelölni. Maradt a 2 + 3 + 5 + 9 = 19 (rossz)pont (ezt írd fel). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ez egy peches játék volt. Most a társad jön. Az veszít, aki előbb ér el összesen 30 pontot. (A játék angol elnevezése „Shut the Box”) Játsszátok többször! Neved:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ellenfeled: marad: marad: marad: marad: marad:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

marad: marad: marad: marad: marad:

121

2. Adatgyűjtés, az adatok ábrázolása 1 A 2012. évi londoni olimpián a nyolc legjobb dobó 6-6 dobásáról láthatsz táb­ lázatot. Mindenkinek a legjobb dobása számít. Ha valaki hibázott (kilépett, hálóba dobott stb.), akkor a dobása helyén X szerepel. Aki a legnagyobbat dobta, az nyert. Keresd meg a táblázatból minden dobó legnagyobb dobását! Állapítsd meg a helyezéseket!

1. táblázat Név

Ország

Koji Murofushi

JPN

Szymon Ziółkowski

POL

Nicola Vizzoni

ITA

Olekszij Sokirskij

UKR

Primož Kozmus

SVN

Lukáš Melich

CZE

Kirill Ikonnikov

RUS

Pars Krisztián

HUN

1

X

75,69

75,75 76,51

Dobás sorszáma

2

3

78,16

78,71

74,95

76,30

75,84

75,41

78,25

X

4

78,09

76,88

76,07 X

76,73

75,67

77,17

76,28

79,14

78,33

80,59

79,70

77,86

78,97

X

77,81

X

X

74,60 X

Milyen mértékegységben mérhették ezeket a távolságokat? méter

5

77,12

6

Helyezés

X

8

76,47

77,10

75,86

75,79 X

3

7

76,99

18,90

4

X

X

6

77,46

79,36

5

78,59

79,28

2

78,88

1

Ki lett a három érmes? Pars Krisztián, Primož Kozmus, Koji Murofusi Melyik ország sportlói az érmesek? Magyarország, Szlovénia, Japán Melyik sportról van szó a feladatban? kalapácsvetés

Csoportosítsd a döntős versenyzők dobásait! 2. táblázat

Dobások száma

76 méter alatt 10

76 és 77 77 és 78 78 és 79 79 és 80 méter között méter között méter között méter között 8

6

Készíts oszlopdiagramot a 2. táblázat adatai alapján!

122

8

4

80 méter felett 1

2. Adatgyűjtés, az adatok ábrázolása 2 Az 5. b két tanulója négy egymás utáni szünetben megszámolta, hogy hány piros, hány ezüst színű és hány egyéb színű autó haladt el az iskola előtt. A gyűjtött adato­ kat leolvashatod a grafikonról. a) Hány piros autót láttak a négy  szünet alatt? 8

b) Milyen színű autóból volt a legtöbb? ezüst (8 piros, 10 ezüst, 9 egyéb)

db 8 6 piros 4 ezüst

c) A ti iskolátoknál kellene-e, és ha igen, akkor hogyan kel­ lene módosítani az adatgyűjtést, hogy értelmes adatokat kapjatok? Végezzé­ tek el a kísérletet!

egyéb

2

1

2

3

4

3 Az 5. a osztályból három fiú focizik, két másik sakkozik és négy gyerek tagja a lánykórusnak. Az 5. b osztályból két fiú jár focizni, senki sem sakkozik, és ketten tagjai a kórusnak. Az 5. c osztályból egy fiú focizik, egy másik sakkozik, és hatan tagjai a kórusnak. Összesítsd a megfelelő adatokat! Ábrázold egy oszlop­ diagramon, hogy a három osztályból hányan fociznak, sakkoznak, illetve énekelnek!

3. Átlag és tulajdonságai 1 Számold ki fejben a következő számok átlagát!

a) −5; 5: 0;

c) −1 000 000; 1 000 000: 0;

2 Számold ki a következő számok átlagát! a) −5; 2; 3: 0; 1 1 1 13 c) ; ; ; 2 3 4 36 +

0 , 2 0 , 0 2 2 , 2 2 , 0 2 4 , 4 4





4 , 4 4 : 4 = 1 , 1 1 ;

0 − 5 + 2 + 3 = 0; = 3 3





b) −8; 8: 0;

d) 2; 0; 2; −4: 0; 1 3 d) 0,2; 0,02; 2,2; 2,02: 1,11; b) −8; 3; 6:

1 − 8 + 3 + 6 = ; 3 3 6 4 3 1 1 1 + + + + 2 3 4 12 12 12

3

=

3

=

13 12

3

=

13 ; 36

123

3. Átlag és tulajdonságai 3 Válaszd ki azt a tantárgyat, amelyből a legtöbb osztályzatot kaptad! Add össze az ebben az évben kapott jegyeidet! Oszd el a jegyek összegét a jegyek darabszámával! Kerekítsd a kapott átlagot századra, tizedre, egészre és tízesekre! Melyik kerekítésnek van értelme? tantárgyból a jegyeim:

Összeg:

Kerekítések:

4 A történelemkönyved vagy egyéb forrás alapján számold ki, hogy hány évig uralkodtak a következő Árpád-házi királyok! Átlagosan hány évig uralkod­ tak ezek a királyok? Összeg: 63

Átlag: 12,6

Szent István

Átlag: Ettől

1000

Aba Sámuel

1041

I. Béla

1060

Orseolo Péter

I. András

Eddig

uralkodott

1038

1046

1038

1044

Ennyi évig uralkodott

1041 és 1044–46

1060 1063

Csoportmunka Alkossatok két-három fős csoportokat, és hajtogassatok egy papírrepülőt! Adjatok nevet a csapatotoknak! Rendezzetek versenyt! Röptessétek háromszor a repülőt, és jegyez­ zétek fel, hogy az egyes alkalmakkor körülbelül milyen távol ért földet! Használhattok mérőszalagot, mérőrudat. Jelöljétek meg az adatok között a leghosszabb repülést, és számítsátok ki a három röptetés átlagos távolságát is! Vessétek össze eredményeiteket a többi csapat eredményeivel! Legyen a győztes csapat az, amelyiknek a repülője a) a legmesszebb repült:

b) átlagosan a legmesszebb repült:

Biztos, hogy ugyanaz a győztes az a) és a b) esetben?

124

1. röptetés 2. röptetés 3. röptetés Összeg Átlag

38 3

5

14 3

4. lehetetlen, Lehetséges, biztos 1 Döntsd el, hogy az alábbi táblázatban melyik lehetséges, melyik biztos és melyik lehetetlen esemény! Van 13 gyerek az osztályban, akik mind különböző hónapban születtek.

Van két gyerek az osztályban, akik az évnek ugyanazon a napján születtek. Megindul az erdő a vár felé.

Egy kockával 9-esnél kisebbet dobok.

Van 13 gyerek az osztályban, akik mind ugyanabban a hónapban születtek. Két boszorkány ideröppen egy seprűn.

Egy 20 forintos érmével fejet vagy írást dobok.

lehetetlen +

lehetséges

biztos

+

+

+

+

+

+

+

+

2 Sajnos Olga néni a diós linzert egy kicsit megégette. A tányéron 30 linzer van, de ebből 8 megbarnult. 4 8 a) A tányéron lévő linzerek hányad része égett? = 30 15 b) Hányat kell elvenni a tálról, hogy biztosan legyen köztük jó süti? 9

c) Hányat kell elvenni a tálról, hogy biztosan legyen köztük jó és égett is? 23 22 11 = = 2,75 d) Hányszor annyi jó linzer van a tálon mint rossz? 8 4 e) Jó vagy égett linzerre van nagyobb esélyed, ha csak egyet vehetsz el? Jó linzerre.

3 Nóri kivett az előző feladatban szereplő sütik közül kettőt. Válogasd ki azokat az állításokat, amelyek ugyanazt jelentik! Sorold be ezeket aszerint, hogy lehetetlen, lehetséges vagy biztos! Mindkét süti jó. = Egyik süti sem égett. Mindkét süti égett. = Egyik süti sem jó. Van köztük jó süti. = Legalább egy jó lesz köztük. Mindkét süti jó.

Mindkét süti égett.

lehetetlen

Legalább egy égett lesz köztük. Egyik süti sem jó.

Van köztük jó süti.

Lesz köztük egy almás pite. Egyik süti sem égett.

Legalább egy jó lesz köztük.

Vagy jó vagy égett lesz az egyik. Egy jó és egy égett lesz köztük.

lehetséges + +

biztos

+ +

+ + + + + +

125

5. Összefoglalás Kutatómunka Nézzetek utána, ki mondta, miért mondta, mikor mondta és milyen nyelven? „A kocka el van vetve.” (Alea iacta est., ejtsd: Aléa jakta eszt.)

Az ókori leírások alapján Julius Caesar mondta Kr. e. 49-ben, amikor sere­ gével átlépte a Rubicon folyót. Latinul beszéltek.

„Jöttem! Láttam! Győztem!” (Veni! Vidi! Vici! ejtsd: véni, vídi, vícsi.)

A történetírók szerint mindössze ebből a három szóból állt Julius Caesar jelentése, amit a szenátusnak küldött a zelai csatában Kr. e. 47-ben aratott győzelméről.

1 Gyűjtsetek adatokat gyerekkönyvekről! Töltsétek ki a következő táblázat öt sorát! szerző(k)

cím

Átlagosan hány oldalas ez az öt könyv? Egyéni eredmények

126

oldalszám

5. Összefoglalás 2 Gazsi összegyűjtötte, hogy az osztálytársai közül a kirán­ duláson hányan kértek extra, normál, illetve vegetáriánus menüt. Az  adatok összesítésekor azt vette észre, hogy a 30 fős osztály harmada kért normál menüt, és nyolccal többen kértek extra menüt, mint vegetáriánust. Ábrázold az adatokat oszlopdiagramon! 10 normál, 14 extra, 6 vegetáriánus menüt kértek.

3 A Nap 2014. június 21-én 4 h 45 perckor kelt és 20 h 46 perckor nyugszik le. 2014. december 21-én 7 h 27 perckor kelt fel és 15 h 56 perc­ kor nyugszik le.

a) Mennyi ideig van világos ezeken a napokon? 2014. június 21-én 16 óra 1 perc, 2014. december 21-én pedig 8 óra 29 perc hosszan van világos. b) Mennyi ennek a két időtartamnak az átlaga? 12 óra 15 perc. c) Ez a két nap miről nevezetes? Ez a nyári és a téli napforduló.

Március 20-án a napkelte és a napnyugta időpontja 5 h 46 perc és 17 h 57 perc volt. Szeptember 23-án a napkelte és a napnyugta időpontja 6 h 30 perc és 18 h 41 perc volt. d) Átlagosan mennyi a felsorolt négy napon a világosban töltött idő? 12 óra 13 perc.

127

5. Összefoglalás 4 Minden állítás után írd be, hogy igaz (I) vagy hamis (H)!

a) Négy egész szám között mindig van két olyan, amelyek különbsége osztható 3-mal.

I

b) Négy egész szám között mindig van két olyan, amelyek különbsége osztható 4-gyel.

H

d) Öt egész szám között mindig van két olyan, amelyek különbsége osztható 5-tel.

H

f) Ha az {1, 2, 3, 4, 5} számok közül véletlenszerűen választok egyet, akkor ez többszöröse lesz az egynek.

I

c) Öt egész szám között mindig van két olyan, amelyek különbsége osztható 4-gyel. e) Ha az {1, 2, 3, 4, 5} számok közül véletlenszerűen választok egyet, akkor ez biztosan osztja az 5-öt.

I

H

g) A páros számjegyek közül kiválasztok kettőt. Lehetséges, hogy az összegük páratlan.

H

i) A páratlan számjegyek közül kiválasztok kettőt. Lehetséges, hogy az összegük páratlan.

H

k) Ha az {1, 2, 3, 4, 5} számok közül véletlenszerűen választok egyet, akkor kétötöd az esélye annak, hogy ez a szám osztja az 5-öt.

I

h) A páros számjegyek közül kiválasztok kettőt. Lehetséges, hogy az összegük páros. j) A számjegyek közül kiválasztok kettőt. Lehetséges, hogy az összegük páratlan.

Kutatómunka Nézzetek utána, mit jelentenek az alábbi szólások, közmondások! Találjatok ki olyan történetet, ami megmagyarázza jelentésüket! A sok játék, a sok bál, bezzeg nem sokban áll.

Jól tudja keverni a kártyát.

A gond nem játék.

Megfordult a kocka.

Ha az okos nem érti a játékot, nézi.

Aki mer, az nyer.

Más bőrére játszik.

Egyszer hopp, máskor kopp.

128

I I