Keywords: D-dimention, asymptotic iteration method, Schrodinger equation, modified Pöschl-Teller potential, trigonometric Scarf II potential

Penyelesaian Persamaan Schrodinger Lima Dimensi Untuk Potensial PoschlTeller Termodifikasi dan Potensial Scarf II Trigonometrik Mengggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM) Rijal Danialhaq, Suparmi, dan Cari Program Studi Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret Jl. Ir. Sutami 36 A Surakarta 57126 [email protected]

ABSTRACT Solution of the five-dimensional Schrodinger equation of combined Poschl-Teller potential and Scarf II trigonometric potential using Asymptotic Iteration Method (AIM). The combination of the two potentials is substituted into five-dimensional Schrodinger equation is non relativistic, then the separation of variables into radial part,  1 ,  2 ,  3 , and  4 . This separated equation is solved by reducing the two-order differential equations of the hypergeometric type, to further resolved using the asymptotic iteration method. By asymptotic iteration method, the constants  are then substituted into the energy equation. The energy spectrum is solved numerically using the Matlab software. Keywords: D-dimention, asymptotic iteration method, Schrodinger equation, modified Pöschl-Teller potential, trigonometric Scarf II potential.

ABSTRAK Penyelesaian persamaan Schrodinger lima dimensi kombinasi potensial Poschl-Teller termodifikasi dan potensial Scarf II trigonometrik menggunakan Asymptotic Iteration Method (AIM). Kombinasi dari kedua potensial disubtitusikan ke dalam persamaan Schrodinger lima dimensi non relativistik, kemudian dilakukan pemisahan variabel menjadi potensial bagian radial,  1 ,  2 ,  3 , dan  4 . Persamaan yang telah dipisahkan ini diselesaikan dengan mereduksi menjadi persamaan differensial orde dua tipe hipergeometri, untuk selanjutnya diselesaikan menggunakan metode iterasi asimtot. Dengan metode iterasi asimtot, diperoleh konstanta  kemudian disubtitusikan ke dalam persamaan energi. Spektrum energi diselesaikan secara numerik menggunakan sofware Matlab. Kata kunci: D-dimensi, metode iterasi asimtot, persamaan Schrodinger, potensial PöschlTeller termodifikasi, potensial Scarf II trigonometrik.

PENDAHULUAN Mekanika kuantum adalah suatu teori untuk mendeskripsikan perilaku partikelpartikel kecil seperti elektron, proton, neutron, inti atom, atom, dan molekul [1]. Perbedaan yang menjadi mendasar yaitu teori mekanika kuantum tidak memiliki konsep umum tentang prinsip-prinsip dasar yang bisa diajarkan. Sehingga setiap fisikawan menelaah mekanika kuantum secara berbeda. Seperti yang diungkapkan oleh Fisikawan Richard Feymann bahwa tak seorang pun memahami mekanika kuantum[2]. Persamaan Schrodinger adalah salah satu dasar untuk menjelaskan kejadian fisis dalam memahami mekanika kuantum. Persamaan Schrodinger adalah persamaan gelombang yang merepresentatifkan suatu elektron atau partikel. Persamaan

1

Schrodinger dapat diterapkan dalam dimensi tinggi atau komponen ruang yang lebih dari tiga dimensi[3]. Penelitian ini mencari penyelesaian untuk persamaan Schrodinger lima dimensi dengan kombinasi potensial Poschl-Teller termodifikasi dan potensial Scarf II menggunakan metode AIM. Asymptotic Iteration Method (AIM) merupakan metode penyelesaian untuk persamaan differensial orde dua dengan iterasi memperhatikan efek asimtot[4] Kombinasi potensial Poschl-Teller termodifikasi dan potensial non-sentral Scarf II trigonometri digunakan untuk menjelaskan getaran spektrum dari suatu atom atau molekul dan menjelaskan gaya interaksi sistem atomik dan molekul[5]. Potensial Poschl-Teller termodifikasi digunakan pada bagian radial, yaitu: 2 2    k k  1    1   (1)   V PT   2 2   2 m  sinh   r  cosh   r   Dimana k,  ,  adalah konstanta kedalaman potensial dan menunjukkan bagaimana jangkauan potensial terhadap sistem partikel[6]. potensial non-sentral Scarf II trigonometri pada bagian sudut dengan variabel  1 , 2 , 3 , 4   1    2 2 b  a   cos     b  a a  1 2     2 2  2m  sin   sin       2

V ST

(2)

Dimana a dan b adalah konstanta potensial Scarf II trigonometri. METODOLOGI PENELITIAN Alat dan Bahan Penelitian Penelitian ini menggunakan seperangkat laptop AMD A4-3305M dan sofware Matlab R2008b. Bahan yang diteliti merupakan persamaan Schrodinger lima dimensi untuk kombinasi potensial Poschl-Teller termodifikasi dan potensial Scarf II trigonometri, dengan penyelesaiannya menggunakan Asymptotic Iteration Methods (AIM). Asymptotic Iteration Methods y n " x    0 ( x) y n '( x)  s0 ( x) y n ( x) Dari persamaan (3) didapatkan nilai menggunakan persamaan (4) dan (5) [7].

 0

0

(3) dan

s0

kemudian dilakukan iterasi

 k   k 1 ' ( x )  s k 1 ( x )   0 ( x )  k 1 ( x ) s k  s k 1 ' ( x )  s 0 ( x ) 

k 1

(x)

(4) (5)

dimana k = 1, 2, 3, . . . Kemudian mencari nilai eigen menggunakan persamaan 

k

 s k ( x )  k 1 ( x )  s k 1 ( x )  k ( x )  0

(6)

dimana k = 1, 2, 3, . . .

2

y x   C 2

 exp    

   ( x ' ) dx '    x

(7)

dengan sk (x)



 k (x)

s k 1 ( x )

 k 1 ( x )

  (x)

Berdasarkan Falaye (2012), Persamaan (7) menggunakan Persamaan dibawah ini : y n  x     1  C 2  N  2 

n

n

2 F1

(8) diselesaikan dengan

dapat

 n , p  n ,  , bx

N 2



(9)

dengan (10)



F 1  n , p  n ,  , bx

2

N 2

bx

 n   p  n n    n n0 n





N 2



n

(11)

n!

Penulisan Persamaan Kombinasi Lima Dimensi Potensial Poschl-Teller Termodifikasi plus Potensial Non-sentral Scarf II Trigonometri Pada tahapan ini dilakukan penulisan persamaan kombinasi antara potensial Poschl-Teller dengan potensial non-sentral Scarf II trigonometri yang diperoleh dari studi literatur yaitu persamaan Laplacian dalam koordinat D-dimensi 

2 D

1



D 1

r

  r r 

1  2  r  sin



D 1

 j 1



1 D 2

D 2

  1  2 r  r

 D 1   D 1

1 sin

2



  sin  

j 1

D2

sin

2



 D 1

j 2

... sin

   D 1

 D 1

2

 1   j 1 sin  

 j



j

  sin  

j 1



 j

   



j

     

(12)

Sehingga kombinasi kedua potensial tersebut dalam lima dimensi adalah sebagai berikut: V r ,  1 ,  2 ,  3 , 

4

  V PT

V ST ( 1 )

 r

2

sin

2



2

sin

2

 3 sin

2



V ST ( 2 )

 r

4

2

sin

2

 3 sin

2



V ST ( 3 )

 4

r

2

sin

2



 4

V ST ( 4 ) r

2

(13)

Persamaan Energi Radial Persamaan Schrodinger yang diperoleh dari hasil pemisahan variabel bagian radial ituliskan sebagai berikut: 1 r

2

  4  R  2 mr R 2 mr R V PT ( r )  E  R  0 r  2 2 r  r    2

2

(14)

Agar dapat digunakan untuk dimasukkan ke dalam persamaan AIM, maka dapat dipakai permisalan R 

U r

cosh

2

(15)

2

 r  

w

(16)

3

2

sinh 1 r

 r   



2

(17) 

2

2

sinh

w 1

 r 



2

w 1

(18)

Sehingga diperoleh: d U w  2

w 1  w 

dw

2

  k  k  1     1   1 mE  1  dU  w       w       U  w   0 2  dw 4w 2  1  w  4 1  w   2    2 1  w   4 1  w 

(19)

Selanjutnya ditransformasikan ke dalam persamaan diferensial orde dua tipe AIM dimana sebelumnya harus direduksi menjadi persamaan tipe hipergeometri melalui pemisalan fungsi gelombang:   U  w   w 1  w  p  w  (20) dari pemisalah tersebut didapatkan persamaan differensial orde dua tipe hipergeometrik:  1   2      2   2   1 w 2  p "  w 1  w   

  mE       2  2 p '    w 1  w     



2

  p  0   

(21)

Dengan nilai parameter : 1

 

1



4

2

1

 

k k  1    2 



4

1

1 4

   1  

2

(22)

1 4

(23) Persamaan (21) dibandingkan dengan dengan persamaan (3) sehingga diperoleh nilai: 2 0 

1   2   1 w   2    2 

       s0    w 1  w   2

dengan 

(24)

w 1  w 



mE 2

E 

2 m

2

2

   

(25)

maka persamaan energi:

 1   2 

   1  

1 4



1 2

1 k k  1    2   nr   4 2 

2

1

(26)

Persamaan Sudut Bagian Persamaan Schrodinger yang diperoleh dari hasil pemisahan variabel bagian adalah:   P1   2   1 2

  2m     V ST ( 1 )   1  P1  0 2     

1

(27)

4

dimana P1 merupakan fungsi gelombang, bagian  1 .

 1 dan  1

merupakan parameter subtitusi

cos   1  2 u

(28)

sin   2 u 1  u 

(29) dari pemisalah tersebut didapatkan persamaan differensial orde dua tipe hipergeometrik:  1   2      2   2   1 u 2  q "  u 1  u   

  2        1  q ' q  0  u 1  u   





(30)

Dengan nilai parameter :  

1



4

 

1

1

a

 b

2

 a  b 

2



1 4

1

a

(31)

1

 b  a  b  2

4

2

4

2

1   2   1 u   2    2 

(32) Persamaan (30) dibandingkan dengan dengan persamaan (3) sehingga diperoleh nilai: 0 

s0 

dengan 

u 1  u 



 



2

 1

(33)



u 1  u 

  1 maka

 1 1     2 

a

(34)

konstanta

1

diperoleh:

 b  a  b  2

1

1



4

a

 b

2

2

1  a  b   nr   4 2 

2

1

(35) Persamaan Sudut Bagian Persamaan Schrodinger yang diperoleh dari hasil pemisahan variabel bagian  1 adalah: 1



sin  2   2

  P2  sin  2   2 

  2m 1  V ( 2 )   2  2   2 ST sin  2   

dimana P1 merupakan fungsi gelombang, bagian  1 . P2 

 1 dan  1

  P2  0  

(36)

merupakan parameter subtitusi

Y2

(37)

sin  2

Kemudian Persamaan (4.53) dideferensialkan menjadi  P2 

2

 Y 2 '  sin  2





1 2



1 2

Y 2 cos 

2

 sin  2 



3 2

(38)

5

dari pemisalah tersebut didapatkan persamaan differensial orde dua tipe hipergeometrik:   1 1 Y 2 ' '  cot 2 4  

2

2 

 a a  1

2

b

sin

2

 

 1   2      2   2   1 u 2 

q "



1   2b a   cos  2  sin

  

u (1  u )

q '

  

2

2

 

 

2

 2 

 2  

1 sin

2

2

   Y  0  2  

  2  4 

(39)

1

u (1  u )

q  0

(40) Persamaan (39) dibandingkan dengan dengan persamaan (3) sehingga diperoleh nilai: 

 0  2  2   1    2  

s 0    



2

1



4

1   2

(41) (42)

 2

Dengan nilai parameter : 1

 

 

4

2

1

1



4

dengan 

1



 b

a  b 

2

2

1 4

 2

 a  b  1

maka konstanta

 1   4  2

1

a

(43)

 a  b  1

2

 

2 

a

(44) 2

diperoleh:

 b   a  b  1  2

1

a

2

 b   a  b  1  n r  2

1  2

2

(45)

Persamaan Sudut Bagian 

1 sin

2

P3 

 3  3

  sin  

2

3

 P3   2 m 2  V ( 3 )   3  2   2 ST  3    sin  3

  P3  0  

Y3

(46) (47)

sin  3

Jika Persamaan (4.82) dideferensialkan menjadi  P3



 3

Y3  3

 sin

3



1

 Y 3 cos  3  sin  3



 2

(48)

Kemudian Persamaan (4.82) dan (4.83) disubtitusikan ke Persamaan (2.44)  Y3 2

 3

2

 1   2 2 b  a   cos  2 2   b  a a  1    3 1 2 2 2  sin  3 sin  3 sin  3  

   Y  0  3  

(49)

6

 1   2      2   2   1 u 2 

q "

  

u (1  u )

 

q '

2

 

2

 2    3  1



u (1  u )

q  0

(50) Persamaan (50) dibandingkan dengan dengan persamaan (3) sehingga diperoleh nilai: 

 0  2  2   1    2  

s 0    

1   2

(51)

  3  1 Dengan nilai parameter :  

1



4

 

1

3

1

a

 b

2

2

1



4

dengan 

2

a

2

a

 b

konstanta

1

 a  b  2 

4

(53)

1

2

2

1

 a  b  2 

 b  a  b  2 

   3  1 maka  1 1   2 

(52)

4

(54)

diperoleh: 1



4

1

a

2

 b

2

 a  b  2 

1 4

 nr

1   2 

2

(55)

Persamaan Sudut Bagian 

1 sin

3

 4  4

sin  P4

3

 3  P4   2 m  V ST ( 4 )     P4  0 2 2     4    sin  4 

4

(56)

Y4

P4 

 4

  sin  

3

4

(57)

 Y 4 '  sin  4 



3 2

3



2

Y 4 cos  4  sin  4 



5 2

(58)

  1    2 b  a   cos  2   3 3 b  a a  1  2  2   3 Y 4 ' '  cot  4      Y4  0 2 2 2 2  4 sin   sin   sin  4    

(59)

Persamaan (59) dibandingkan dengan dengan persamaan (3) sehingga diperoleh nilai: 

 0  2  2   1    2  

s 0    



2



1

1   2

(60) (61)

 

2

Dengan nilai parameter :  

 

1



1

4

2

1

1

4



2

a

a

 b

2

 a  b  3  1

 b  a  b  3  1

(62)

2

(63) 7

dengan 



1

 

maka konstanta  diperoleh:

2  1      2  2 1

a

 b  a  b  3  1  2

1

a

2

 b  a  b  3  1  nr 2

1   2

2

(64)

HASIL Tabel 1. Spektrum energi partikel persamaan Schrodinger lima dimensi untuk kombinasi Potensial Poschl-Teller Termodifikasi plus Potensial Non-sentral Scarf II Trigonometri

nr 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

n1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

n2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0

n3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0

n4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2

E(ev) 107.3748439 129.0997659 152.8246879 107.3748439 107.9325702 108.7909715 107.3748439 104.3985317 100.1480934 107.3748439 103.8342177 99.03577679 107.3748439 103.6172156 98.5908059

KESIMPULAN Dengan metode iterasi asimtot, persamaan spektrum energi non relativistik pada bilangan kuantum bagian radial dan sudut dapat diperoleh, dimana keduanya saling berkaitan antar bilangan kuantum. Spektrum energi diselesaikan pula secara numerik menggunakan sofware Matlab, dimana kenaikan bilangan kuantum radial dan bilangan kuantum pada menyebabkan kenaikan spektrum energi, sedangkan kenaikan bilangan kuantum pada menyebabkan penurunan spektrum energi. REFERENSI [1] Brotosiswojo, B.S. (2005). Fisika Kuantum. Jakarta: Universitas Terbuka [2] Suparmi . (2011). Mekanika Kuantum II. Surakarta: Jurusan Fisika FMIPA UNS [3] Dong, Shi Hai. (2011). Wave equations in higher dimentions. New York: Springer. Istiqomah, E.L. (2007). Penerapan mekanika kuantum supersimetrik dalam masalah radial dan persamaan Dirac derajat pertama. Skripsi, FMIPA UGM 8

[4] Rostami, A., & Motavali, H. (2008). Asymtot Iteration Method: a powerfull approach for analysis of inhomogeneous dielectric slab waveguides. Progress in Electromagnetic Research B, 4, 171-182 [5] Suparmi,Cari, Yuliani,H & Yuniati,D.(2013). Analisis Spektrum Energi dan Fungsi Gelombang potensial Non-sentral Poschl-Teller termodifikasi plus potensial Scarf Trigonometri Menggunaan Persamaan Hipergeometri. Jurnal Fisika Indonesia NO: 51,17 [6] Suparmi,Cari, Yuliani,H & Yuniati,D.(2013). Analisis Spektrum Energi dan Fungsi Gelombang potensial Non-sentral Poschl-Teller termodifikasi plus potensial Scarf Trigonometri Menggunaan Persamaan Hipergeometri. Jurnal Fisika Indonesia NO: 51,17 [7] Falaye, B.J, Hamzavi, M & Ikhdair, S.M. (2012). Approximate bound state solutions of the deformed Woods-Saxon potential using asymptotic iteration method. arXiv:1207.1218v1

9