KESTABILAN MODEL SATU MANGSA DUA PEMANGSA DENGAN FUNGSI RESPON TIPE HOLLING III DAN PEMANENAN
STABILITY OF ONE PREY TWO PREDATOR MODEL WITH HOLLING TYPE III FUNCTIONAL RESPONSE AND HARVESTING
Didiharyono, Syamsuddin Toaha, Jeffry Kusuma Bagian Matematika Terapan, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin
Alamat Koresponden: Didiharyono Program Pascasarjana Fakultas Matematika dan Ilmu Pegetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar, 90245 Hp: 082188150380 Email:
[email protected]
Abstrak Dalam tulisan ini, dibahas kestabilan model satu mangsa dua pemangsa dengan fungsi respon tipe Holling III dan terjadi pemanenan pada populasi kedua pemangsa. Penelitian ini betujuan, untuk mengetahui solusi model mangsa-pemangsa yang mengikuti tipe Holling III dengan menambahkan usaha pemanenan pada populasi kedua pemangsa dan untuk mengetahui keuntungan maksimum dari usaha pemanenan yang optimal pada populasi kedua pemangsa. Kestabilan titik ekuilibrium dilakukan dengan metode pelinearan dan penentuan kestabilan dengan memperhatikan nilai eigen yang diperoleh dari matriks Jacobi yang dievaluasi pada titik ekuilibrium dan menggunakan uji kestabilan Hurwitz dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik. Hasil penelitian menunjukkan bahwa diperoleh titik interior ( , , ) yang stabil asimptotik menurut uji kestabilan Hurwitz dan diperoleh keuntungan maksimal dari usaha ekploitasi atau pemanenan populasi kedua pemangsa. Populasi mangsa pemangsa dapat tetap lestari (bertahan hidup) meskipun dieksploitasi dengan usaha pemanenan dan juga memberikan keuntungan maksimal yaitu sebesar π = 259,3999 dimana didapatkan keuntungan maksimal terjadi pada puncak permukaan fungsi keuntungan. Kata kunci: Model mangsa pemangsa, pemanenan, titik ekuilibrium, kestabilan dan keuntungan maksimal.
Abstract In this paper, we discussed stability of one prey two predator with Holling type III and will harvesting at second predator population. The research aimed is, to investigate solution the predator prey model with Holling type III functional response with addition effort harvesting two predator populations and to investigate maximum profit from optimal harvesting at two predator populations. Stability of equilibrium point use linearization method and determine the stability by notice the eigenvalues of Jacoby matrix evaluation of equilibrium point and can also be determined using Hurwitz stability test by observing the coefficients of the characteristic equation. The result shows that the obtained an interior point ( , , ) which asymptotic stable according to Hurwitz stability test and find maximum profit of exploitation effort or harvest prey population and two predator populations. Predator-prey population is always exist in their life, although exploitation with efforts harvesting and given maximum profit is π = 259,3999 where to find maximum profit on critical points of surface profit function. Key word: Predator prey model, harvesting, equilibrium point, stability and maximum profit.
PENDAHULUAN Model matematika merupakan bagian dari matematika terapan, yang digunakan untuk menjelaskan fenomena alam yang terjadi, serta dapat digunakan untuk memprediksi perilaku sistem untuk jangka waktu tertentu. Pemodelan matematika pada bidang ekologi sangat menarik untuk dikaji mengingat banyak sekali faktor-faktor yang mempengaruhi pertumbuhan dan kehidupan populasi mahluk hidup serta keseimbangan mahluk hidup. Proses dinamika kehidupan makhluk hidup (organisme) dapat dimodelkan secara matematis dengan menggunakan persamaan differensial yang melibatkan waktu yang kontinu atau waktu yang diskrit. Salah satu model matematika yang digunakan dalam menjelaskan fenomena alam tersebut adalah model populasi mangsa-pemangsa. Hubungan antara spesies pemangsa dan spesies yang dimangsanya sangatlah erat, pemangsa tidak akan dapat hidup jika tidak ada mangsa. Selain itu, pemangsa juga berperan sebagai pengontrol populasi mangsa. Interaksi antar spesies yang terjadi dalam suatu ekosistem dapat menyebabkan keadaan populasi suatu spesies berubah. Interaksi tersebut dapat memberikan dampak positif, negatif atau bahkan tidak berpengaruh terhadap spesiesspesies yang berinteraksi. Salah satu penyebab kepunahan populasi adalah tingkat pemangsaan terhadap populasi mangsa yang sangat tinggi dan rendahnya tingkat pertumbuhan mangsa atau rendahnya populasi awal dari populasi mangsa. Banyak peneliti yang mengembangkan model Lotka-Volterra dengan menambahkan beberapa asumsi. Srinivasu dkk., (2001) mengkaji model Lotka-Voltera dengan mengontrol system pemamenan dari model tersebut dan Kar (2003) mengkaji model Lotka-Voltera dengan menambahkan pengaruh waktu tunda pada pemanenan yang selektif.
Kemudian
Zhang dkk., (2011) mengkaji model Lotka Voltera dengan fungsi respon tipe Holling III pada interaksi antara mangsa-pemangsa dengan usaha pemanenan konstan pada populasi mangsa. Agarwal dkk., (2012) dan Jiang (2013) mengembangkan model tersebut dengan menambahkan usaha pemanenan konstan pada populasi mangsa pemangsa. Model tersebut tetap dikembangan oleh Liu dkk., (2012) dan Wang dkk., (2012) yang konsen mengkaji usaha pemanenan populasi mangsa dengan menyertakan mangsa pelarian (refuge). Selanjutnya, pada penelitian Zhao dkk., (2013) melihat efek atau pengaruh mangsa pelarian (refuge) terhadap keadaan awal populasi mangsa Oleh karena itu, penulis menganalisis model Lotka-Voltera dengan fungsi respon tipe Holling III pada populasi satu mangsa dan populasi dua pemangsa dengan asumsinya bahwa populasi kedua pemangsa merupakan populasi yang sangat bermanfaat bagi kehidupan manusia, sehingga terjadi pemanenan. Penelitian ini betujuan, untuk mengetahui solusi model
mangsa-pemangsa yang mengikuti tipe Holling III dengan menambahkan usaha pemanenan pada populasi kedua pemangsa dan untuk mengetahui keuntungan maksimum dari usaha pemanenan yang optimal pada populasi kedua pemangsa.
BAHAN DAN METODE Secara umum kerangka penelitian ini dimulai dengan konstruksi model, tahapan penyelesaian yang mencakup penentuan titik ekuilibrium, melinearisasi model, analisis kestabilan titik ekuilibrium, kemudian melakukan simulasi numerik. Adapun variabel penelitian adalah menganalisis kestabilan model satu mangsa dua pemangsa dengan fungsi respon tipe Holling III dan terjadi pemanenan pada populasi kedua pemangsa. Software komputasi yang digunakan pada penelitian ini adalah dengan menggunakan Maple.
HASIL Model populasi satu mangsa dan dua pemangsa dengan fungsi respon yang mengikuti tipe Holling III diberikan pada persamaan (1) berikut
dx rx 2 x2 x2 Px m1 y m z 2 dt K a1 x2 a2 x 2 dy x2 m1 y Qy c1 yz dt a1 x 2
(1)
dz x2 m2 z Sz c2 yz dt a2 x 2 dimana Q b1 E2 dan S b2 E3 . Dari model (1) diperoleh lima titik ekuilibrium yaitu
TE1 ( x, y, z) ,
TE2 ( x, y, z) ,
TE3 ( x, y, z) ,
TE4 ( x, y, z) ,
m x 2 Sa2 Sx52 m1 x52 Qa1 Qx52 x5 , 2 5 , 2 c ( a x ) c1 (a1 x52 ) 2 2 5
dimana,
+ (−
+
−
persamaan +
) ) −
Titik
+ (−
−
)
x5 merupakan + + (−
TE5 ( x, y, z)
dan
akar-akar
dari
− −
+ +
. merupakan suatu titik yang terjadi pada oktan pertama (titik interior) jika
x5 0 , a1 x52 0 dan a2 x52 0 yaitu keadaan dimana ketiga komponen titik tersebut bernilai positif. Oleh karena itu, analisis kestabilan hanya dilakukan pada titik metode linearisasi dan uji kestabilan Hurwitz, diperoleh titik
. Dari
( , , ) stabil asimptotik.
Simulasi numerik dilakukan dengan menggunakan nilai parameter dari penelitian lain yang relevan dengan penelitian ini, yaitu K = 1000, r = 1,5, a1 = 0,3, a2 = 0,2, b1 = 0,2, b2 = 0,4, c1 = 0,05, c2 = 0,03, m1 = 1,4, m2 = 1,6, serta pemanenan optimal E2 = 1 dan E3 = 0, sehingga diperoleh titik (956,5085255; 39,99998834; 3,999990819) dan juga memberikan keuntungan maksimal yaitu sebesar maks 259.3999 . Dengan menggunakan metode linearisasi diperoleh persamaan karakteristik ( ) = Dari persamaan karakteristik diperoleh ,
,
> 0, dan
−
= 2,1516,
+ 4,0695
+ 5,2721 + 2,1516.
= 5,2721,
= 4,0695. Karena
> 0 maka menurut uji kestabilan Hurwitz, titik
stabil
asimptotik. Gambar 1, 2, dan 3 pada lampiran memperlihatkan perilaku kurva solusi masingmasing populasi terhadap waktu (tahun) di sekitar titik ekuilibrium dengan nilai awal (0) = 950,
(0) = 36, dan
(0) = 3.
PEMBAHASAN Penelitian menunjukkan bahwa model satu mangsa dua pemangsa dengan fungsi respon tipe Holling III memiliki lima titik ekuilibrium yang salah satunya merupakan titik interior yang stabil asimptotik berdasarkan uji kestabilan Hurwitz dan pemanenan pada populasi kedua pemangsa memberikan keuntungan yang maksimal. Model populasi satu mangsa dan dua pemangsa dengan fungsi respon yang mengikuti tipe Holling III diberikan pada Persamaan (2) berikut:
dx x2 x2 x rx 1- - m1 y m z 2 dt a1 x 2 a2 x 2 K dy x2 m1 y - b1 y - c1 yz dt a1 x2
(2)
dz x2 m2 z - b2 z - c2 yz dt a2 x 2 Suatu asumsi bahwa kedua populasi pemangsa yang ditinjau merupakan populasi yang sangat bermanfaat bagi kehidupan manusia, maka kedua populasi tersebut selanjutnya dieksploitasi dengan pemanenan pada masing-masing ukuran populasi. Dengan pertimbangan tersebut model Persamaan (2) dikembangkan menjadi,
dx x x2 x2 rx 1 m1 y m z 2 dt a1 x2 a2 x2 K dy x2 m1 y b1 y c1 yz E2 y dt a1 x 2
(3)
dz x2 m2 z 2 2 b2 z c2 yz E3 z dt a2 x Keterangan x, y, z
: Ukuran populasi mangsa, pemangsa pertama dan pemangsa kedua
r
: Laju pertumbuhan intrinsik
E2, E3
: Usaha Pemanenan pada populasi pemangsa pertama dan pemangsa kedua
m1 dan m2 : Laju kelahiran pemangsa pertama dan pemangsa kedua a1 dan a2
: Konstanta kejenuhan pemangsa pertama dan pemangsa kedua
b1 dan b2
: Laju kematian pemangsa pertama dan pemangsa kedua
c1
: Mengukur laju konsumsi pemangsa pertama oleh pemangsa kedua
c2
:Mengukur konversi pemangsa pertama yang dikonsumsi pemangsa kedua ke dalam laju reproduksi pemangsa kedua Titik ekuilibrium
= 0, dan
( , , ) model (1) diperoleh dengan menyelesaikan
= 0,
= 0, dengan melinearisasi model (4) dengan menggunakan matriks Jacobi f1 x f A 2 x f3 x
f1 y f 2 y f 3 y
f1 z f 2 z f 3 z
Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran 3 x 3, maka dapat digunakan persamaan det( A I ) 0
yang biasa disebut persamaan kateristik dari A, yaitu
f ( ) 3 a2 2 a1 a0 . Menurut kriteria kestabilan Routh-Hurwitz titik T5 stabil asimptotik jika dan hanya jika a0 0, a2 0, dan a2 a1 a0 0, (Jeffries, 1989). Karena pada posisi titik keseimbangan TE5 (x, y, z) pada Persamaan (4.3) terjadi usaha pemanenan yang dikenakan pada populasi mangsa dengan asumsi bahwa b1 E2 0 dan b2 E3 0 , serta dengan memisalkan Q b1 E2 dan S b2 E3 , maka TE5 menjadi
m x 2 S (a2 x52 )(b1 E2 ) m1 x42 Q (a1 x52 )(b2 E3 ) TE5* x5 , 2 5 , . 2 2 c b ( a x ) c b ( a x ) 2 1 2 5 1 2 1 5 Titik keseimbangan TE5* ( x* , y* , z* ) yang stabil asimptotik dihubungkan dengan persoalan penerimaan total (TR), biaya total (TC) dan keuntungan maksimal ( ). Untuk
keperluan analisis unit harga untuk stok populasi y dan populasi z dinyatakan sebagai p2 dan
p3 . Biaya total diasumsikan proporsional hasil tangkapan dengan usaha pemanenan E2 dan E3 dengan koefisien c22 dan c33 . Menurut Toaha (2013) fungsi penerimaan total (TR) dinyatakan sebagai berikut
TR TR( y ) TR( z )
(4)
p2 E2 y* p3 E3 z*
Selanjutnya, substitusi nilai y * dan z* ke dalam Persamaan (4) sehingga diperoleh, ( p m x 2 p2 Sb1 ) E2 p2 S 2 ( p3 m1 x52 p3Qb2 ) E3 p3Q 2 TR 2 2 5 E2 E3 . c2 b1 c1b2 c2 b1 (a2 x52 ) c1b2 (a1 x52 )
(5)
Fungsi biaya total (TC) dinyatakan sebagai,
TC c22 E2 c33 E3
(6)
Selanjutnya, fungsi keuntungan didefinisikan sebagai penerimaan total dikurangi biaya total yaitu
TR TC
(7)
Dengan mensubstitusikan nilai TR pada Persamaan (5) dan nilai TC pada Persamaan (6) sehingga akan diperoleh,
p m x 2
2 2 5
p2 Sb1 c22 c2 b1 (a2 x52 ) E2 c2 b1 (a2 x52 )
2 2 p2 S 2 p3 m1 x5 p3 Qb2 c33 c1b2 (a1 x5 ) E3 E2 c2 b1 c1b2 ( a1 x52 )
p3 Q 2 E3 c1b2
Karena titik ekuilibrium TE5* ( x* , y* , z* ) bergantung pada usaha pemanenan yang dilakukan maka fungsi keuntungan bergantung kepada usaha pemanenan. Untuk menentukan nilai usaha pemanenan yang memberikan keuntungan maksimal, maka perlu ditentukan titik kritis usaha pemanenan. Berdasarkan Persamaan (8) maka diperoleh turunan pertama yaitu p2 m2 x52 p2 Sb1 c22 c2 b1 (a2 x52 ) 2 p2 S E2 E2 c2 b1 c2 b1 (a2 x52 ) 2 1 5
2 5
(9)
p m x p3Qb2 c33 c1b2 (a1 x ) 2 p3 Q 3 E3 E3 c1b2 ( a1 x52 ) c1b2
Titik kritis dari persamaan (4.8) diperoleh dengan mengambil persamaan (9) yang sama dengan nol. Dengan demikian diperoleh titik kritis ( E2* , E3* ) yaitu: a. Dari
( p2 m1 x52 p2 Sb1 c22 c2 b1 ( a2 x52 )) , diperoleh E2 0 E 2 2 p2 S ( a2 x52 )
( p3 m1 x52 p3Qb2 c33 c1b2 (a1 x52 )) b. Dari 0 , diperoleh E3 2 p3Q(a1 x52 ) E3 Nilai-nilai usaha pemanenan E2 dan E3 memberikan titik keseimbangan
TE5* ( x* , y* , z* ) tetap berada pada keadaan yang stabil asimptotik serta memberikan keuntungan maksimal dari hasil eksploitasi ketiga populasi tersebut. Fungsi keuntungan dari ketiga populasi tersebut yang bergantung pada E2 dan E3 dimana keuntungan maksimal terjadi pada puncak dari permukaan fungsi keuntungan.
KESIMPULAN DAN SARAN Model satu mangsa dua pemangsa dengan fungsi respon tipe Holling III dan pemanenan pada populasi kedua pemangsa menunjukkan bahwa diperoleh titik interior ( , , ) yang stabil asimptotik menurut uji kestabilan Hurwitz dan diperoleh keuntungan maksimal dari usaha ekploitasi atau pemanenan populasi kedua pemangsa. Populasi mangsa pemangsa dapat tetap lestari (bertahan hidup) meskipun dieksploitasi dengan usaha pemanenan dan juga memberikan keuntungan maksimal yaitu sebesar maks 259.3999 dimana didapatkan keuntungan maksimal terjadi pada puncak (titik kritis) dari permukaan fungsi keuntungan. Untuk penelitian selanjutnya, dapat menambahkan berbagai pertimbangan asumsi lainnya misalkan dengan asumsi menambahkan pengaruh waktu tunda dan usaha pemanenan untuk melihat perubahan dinamika populasi organisme.
DAFTAR PUSTAKA Agarwal, M. and R. Pathak. (2012). Persistence and optimal harvesting of prey-predator model with Holling Type III functional response. International Journal of Engineering, Science and Technology Vol. 4, No. 3 : 78-96 Jeffries, C. (1989). Mathematical modeling in ecology. Boston: Birkhauser. Jiang, Q. and J. Wang. (2013). Qualitative analysis of a harvested predator-prey system with Holling type III functional response. Advances in difference equations a Springer Open Journal: 249-258 Kar, T.K., 2003. Selective Harvesting in a Prey Predator Fishery With Time Delay. Mathematical And Computer Modelling. 38:449-458. Liu, X. and Y. Xing. (2012). Qualitative Analysis for a Predator Prey System with Holling Type III Functional Response and Prey Refuge. Hindawi Publishing Corporation Discrete Dynamics in Nature and Society Volume 2012, Article ID 678957. Srinivasu, P.D., Ismail, S., and Naidu, C.R. (2001). Global dynamics and controllability of a harvested prey-predator system. Journal Biological System, 9(1): 67-79 Toaha, Syamsuddin. (2013). Pemodelan Matematika Dalam Dinamika Populasi. Makassar: Dua Satu Press. Wang, J. and Liqin Pan. (2012). Qualitative analysis of a harvested predator-prey system with Holling-type III functional response incorporating a prey refuge. Advances in difference equations Springer Open Journal: 96-112 Zhang, X., Xu, R., dan Gan, Q. (2011). Periodic Solution in a Delayed Predator Prey Model with Holling Type III Functional Response and Harvesting Term. World Journal of Modelling and Simulation. Vol. 7 No. 1: 70-80 Zhao, J., Zhao, M. and Yu, H. (2013). Effect of Prey Refuge on the Spatiotemporal Dynamics of a Modified Leslie-Gower Predator-Prey System with Holling Type III Schemes. Journal entropy, 15: 2431-2447
LAMPIRAN
Gambar 1 Perilaku kurva solusi populasi mangsa (x)
Gambar 2 Perilaku kurva solusi populasi pemangsa kedua (y)
Gambar 3 Perilaku kurva solusi populasi pemangsa pertama (z)
