ANALISIS KESTABILAN MODEL INTERAKSI PEMANGSA DAN MANGSA PADA DUA HABITAT YANG BERBEDA
ADE NELVIA
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012
ii
ABSTRAK ADE NELVIA. Analisis Kestabilan Model Interaksi Pemangsa dan Mangsa pada Dua Habitat yang Berbeda. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan ENDAR H. NUGRAHANI. Karya ilmiah ini bertujuan untuk menganalisis dinamika solusi model pemangsa dan mangsa pada dua habitat yang berbeda yang dimodelkan oleh Owen et al. (2011). Penyederhanaan dalam model dilakukan dengan tidak adanya migrasi dari habitat pertama ke habitat kedua. Simulasi dilakukan untuk melihat pengaruh parameter terhadap kestabilan sistem. Kestabilan titik tetap dipengaruhi oleh tingkat pertumbuhan mangsa pada habitat pertama ( ), tingkat pertumbuhan mangsa pada habitat kedua ( ), kemampuan bermigrasi mangsa pada habitat pertama ( ), dan kemampuan bermigrasi mangsa pada habitat kedua ( ). Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama dan mangsa pada habitat kedua serta pemangsa akan stabil ke suatu nilai saat dan . Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama dan pemangsa berosilasi pada suatu range nilai serta mangsa pada habitat kedua mengalami kepunahan saat dan . Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama dan mangsa pada habitat kedua serta pemangsa akan stabil ke suatu nilai saat dan . Kata kunci: analisis kestabilan, interaksi mangsa-pemangsa, migrasi.
iii
ABSTRACT ADE NELVIA. The Stability Analysis of Predator and Prey Interaction Model in Two Different Habitats. Supervised by ALI KUSNANTO and ENDAR H. NUGRAHANI. This paper aims to analyze the solution of predator and prey interaction model in two different habitats based on the model by Owen et al. (2011). Simplification of the model is given by the absence of migration from the first into the second habitat. The simulations are conducted to see the parameters’ influence on the stability of the system. The stability of the fixed point is influenced by the growth rate of prey in the first habitat ( ), the growth rate of prey in the second habitat ( ), the migration ability of prey in the first habitat ( ), and the migration ability of prey in the second habitat ( ). The dynamics of prey population in the first habitat and the second habitat as well as the predator will be stabil, if and . Both the prey population in the first habitat and the predator will oscillate as well as the prey in the second habitat becomes extinct, if and . Moreover, the dynamics of prey population in the first habitat and the second habitat as well as the predator will be stabil, if and . Keywords: stability analysis, predator-prey interaction, migration.
iv
ANALISIS KESTABILAN MODEL INTERAKSI PEMANGSA DAN MANGSA PADA DUA HABITAT YANG BERBEDA
ADE NELVIA
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012
v
Judul Skripsi : Analisis Kestabilan Model Interaksi Pemangsa dan Mangsa pada Dua Habitat yang Berbeda Nama
: Ade Nelvia
NIM
: G54080031
Disetujui
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS.
Drs. Ali Kusnanto, M.Si.
NIP. 19631228 198903 2 001
NIP. 19650820 199003 1 001 Diketahui
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus:
vi
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Analisis Kestabilan Model Interaksi Pemangsa dan Mangsa pada Dua Habitat yang Berbeda. Terima kasih penulis ucapkan kepada Drs. Ali Kusnanto, M. Si selaku dosen pembimbing pertama dan Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS selaku dosen pembimbing kedua atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Dr. Paian Sianturi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Di samping itu, penulis menyampaikan ungkapan terima kasih kepada Ir. Afdhal (Alm) dan Nur Asma Deli, MT serta Olivita Priyono yang telah memberi motivasi dalam penyusunan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada orang tua dan keluarga atas segala doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan, dan kasih sayangnya. Penulis juga ingin mengucapkan terima kasih kepada dosen-dosen, para pegawai, dan teman-teman di Institut Pertanian Bogor, khususnya di Departemen Matematika, serta teman-teman di kosan Wisma Ayu. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Desember 2012
Ade Nelvia
vii
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Pekanbaru pada tanggal 1 November 1989 sebagai anak ke enam dari pasangan bapak Syafril (Alm) dan ibu Rosmayati. Penulis merupakan anak bungsu dari enam bersaudara. Penulis lulus dari SMA Negeri 1 Kecamatan Guguak tahun 2008 dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II program S1 pada semester ganjil tahun akademik 2010/2011. Penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan. Penulis pernah memegang amanah sebagai Staf Departemen Internal Badan Eksekutif Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor (Kabinet Totalitas Kebangkitan), Sekretaris Divisi Dana Usaha dan Sponsorship dalam Kompetisi Sains SMA SeIndonesia Pesta Sains Nasional 2010 Institut Pertanian Bogor, panitia dalam acara G-Faculty Orientation for Scientist (G-Force) 46 tahun 2010, dan panitia dalam acara Lokakarya Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam 2010. Penulis pernah memegang amanah sebagai Ketua Pengurus Bimbingan Belajar Real Education Centre (REC) tahun 2012, Bendahara Bimbingan REC tahun 2011, dan menjadi pengajar pada Bimbingan Belajar REC tahun 2010.
viii
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL ............................................................................................................................ ix DAFTAR GAMBAR ....................................................................................................................... ix DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................................................... ix I PENDAHULUAN ......................................................................................................................... 1 1.1 Latar Belakang ....................................................................................................................... 1 1.2 Tujuan Penulisan .................................................................................................................... 1 1.3 Sistematika Penulisan ............................................................................................................. 1 II LANDASAN TEORI ................................................................................................................... 2 2.1 Sistem Persamaan Differensial ............................................................................................... 2 2.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap .............................................................................................. 3 III PEMBAHASAN .......................................................................................................................... 5 3.1 Model Interaksi Pemangsa dan Mangsa pada Dua Habitat yang Berbeda ........................... 5 3.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap .............................................................................................. 6 3.3 Simulasi Model....................................................................................................................... 9 IV KESIMPULAN ......................................................................................................................... 13 DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................................................... 14 LAMPIRAN .................................................................................................................................... 15
ix
DAFTAR TABEL Halaman 1
Kestabilan titik tetap .............................................................................................................
9
2
Nilai eigen dan kestabilan titik tetap saat
dan
...........................................
9
3
Nilai eigen dan kestabilan titik tetap saat
dan
........................................... 10
4
Nilai eigen dan kestabilan titik tetap saat
dan
........................................... 11
DAFTAR GAMBAR Halaman 1
Bidang fase............................................................................................................................
4
2
Skema model interaksi dua mangsa yang hidup pada dua habitat yang berbeda ..................
5
3
Bidang solusi
,
4
Bidang solusi
terhadap saat
dan
.......................................................... 10
5
Bidang solusi
terhadap saat
dan
......................................................... 11
6
Bidang solusi
terhadap saat
7
Bidang solusi
,
,
,
terhadap saat
terhadap saat
dan
dan
............................................... 10
........................................................... 11 dan
............................................... 12
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1
Penentuan Titik Tetap Model Interaksi ................................................................................. 16
2
Penentuan Nilai Eigen dari Persamaan (3.1) ......................................................................... 20
3
Penentuan Nilai Eigen pada Titik Tetap
........................................................................... 21
4
Penentuan Nilai Eigen pada Titik Tetap
........................................................................... 23
5
Syntax untuk Gambar 3 ......................................................................................................... 25
6
Syntax untuk Gambar 4 ......................................................................................................... 26
7
Syntax untuk Gambar 5 ......................................................................................................... 27
8
Syntax untuk Gambar 6 ......................................................................................................... 28
9
Syntax untuk Gambar 7 ......................................................................................................... 29
1
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Makhluk hidup tidak dapat hidup sendiri. Semua makhluk hidup selalu bergantung kepada makhluk hidup yang lain. Tiap individu akan selalu berhubungan dengan individu lain yang sejenis atau lain jenis, baik individu dalam satu populasi maupun individu-individu dari populasi lain. Adanya makhluk hidup lain akan menyebabkan terjadinya kompetisi. Kompetisi merupakan interaksi persaingan di antara makhluk hidup yang berada di dalam suatu ekosistem. Salah satu interaksi tersebut adalah predasi, yaitu hubungan mangsa (prey) dan pemangsa (predator). Hubungan ini sangat berkaitan karena pemangsa (predator) tidak dapat bertahan hidup tanpa adanya mangsa (prey). Ini dikarenakan tidak adanya sumber makanan yang akan dikonversi menjadi individuindividu baru yang memperkecil terjadinya kepunahan. Sebaliknya, pemangsa (predator) berfungsi sebagai pengontrol populasi mangsa. Hubungan antar mangsa dan pemangsa dapat dijelaskan dengan model matematika yang mengandung fungsi interaksi. Fungsi interaksi yang dibentuk akan sangat berguna pada beberapa kasus. Kasus yang dimaksud adalah untuk mendapatkan bentuk umum fungsi, fungsi dasar, dan selanjutnya membentuk fungsi spesifik. Hal ini dapat dijadikan tuntunan untuk menentukan fungsi interaksi. Model sistem mangsa dan pemangsa yang ada saat ini akan menjadi dasar pada model Owen (Owen et al. 2010). Bhatt et al. (2008) mengembangkan penelitian berdasarkan hasil penelitian Skalski dan Gillian (2001) untuk menentukan efek keterlibatan predator dalam perpindahannya pada dua mangsa yang berbeda habitat. Mereka menemukan sistem dimana predator dapat berpindah ke jumlah mangsa yang lebih banyak tanpa terlibat satu sama lain. Beberapa sistem tersebut ada yang memiliki beberapa titik bifurkasi. Pada umumnya terdapat dua atau lebih spesies yang saling berinteraksi, sehingga keadaaan suatu spesies dipengaruhi oleh
keadaan spesies lain yang berinteraksi dengannya. Penelitian Owen et al. (2011) menerapkan sistem dari dua mangsa yang hidup di dua habitat berbeda dan satu spesies predator yang mungkin berpindah ke yang paling banyak mangsanya dengan memperhitungkan pemanenan pada kedua spesies mangsa. Dalam karya ilmiah ini, model Owen (Owen et al. 2011) disederhanakan karena keadaan ini tidak terjadi di kondisi nyata. Penyederhanaan dilakukan dengan tidak terjadinya pemanenan pada kedua habitat mangsa tersebut. Selain itu, mangsa pada habitat pertama tidak dapat berpindah ke wilayah mangsa pada habitat kedua, tetapi mangsa pada habitat kedua dapat berpindah ke wilayah mangsa pada habitat pertama. Ini dikarenakan bahwa terkadang tidak semua wilayah mangsa dapat dimasuki oleh mangsa lain. 1.2 Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk menganalisis dinamika solusi model pemangsa dan mangsa yang hidup pada dua habitat yang berbeda dengan menentukan titik tetap dan kestabilan masing-masing titik tetap. Di samping itu, simulasi juga dilakukan untuk melihat pengaruh parameter terhadap kestabilan sistem. 1.3 Sistematika Penulisan Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang, tujuan, dan sistematika penulisan karya ilmiah. Bab kedua merupakan landasan teori yang berisi aspek teoritis penulisan karya ilmiah. Bab ketiga berupa pembahasan yang berisi pemodelan dan analisis kestabilan serta simulasi pada model interaksi satu pemangsa dan mangsa pada dua habitat yang berbeda. Bab keempat berisi kesimpulan dari karya ilmiah.
2
II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Differensial ̇
Suatu sistem persamaan diferensial orde 1 dinyatakan sebagai berikut ( ) ̇
( ),
(2.1)
dengan ( ) dan ( ) adalah fungsi dari waktu . Bila ( ) adalah suatu matriks berukuran dengan koefisien konstan dan ( ) dinyatakan sebagai vektor konstan , maka akan diperoleh bentuk sistem persamaan diferensial linear sebagai berikut ( ) ̇
.
(2.2)
(Farlow 1994) Titik Tetap Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial sebagai berikut: ( ) ̇
.
Pelinieran Misalkan: ( ( ̇
), ).
) adalah titik tetap dari Andaikan ( ) persamaan di atas, maka ( dan ( ) . Misalkan dan maka diperoleh: ̇ ( ( ̇
) )
( (
̇ ̇
̇ ̇
(
( (
̇
)
).
Dalam bentuk matriks: ̇ ( ) ̇
(
(
)( )
(
Matriks
).
) disebut matriks
) . Karena Jacobi pada titik tetap ( ( ) maka dapat diabaikan sehingga didapat persamaan liniear: ̇ ( ) ̇
(
) ( ).
(2.4)
(Strogatz 1994) Nilai Eigen dan Vektor Eigen Misalkan matriks berukuran , maka suatu vektor taknol di disebut vektor eigen dari jika untuk suatu skalar berlaku: .
̇
̇
)
(2.3)
Titik disebut titik tetap jika memenuhi ( ) . Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik keseimbangan. (Tu 1994)
̇
(
)
)
)
(2.5)
Vektor disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen . Untuk mencari nilai eigen dari matriks yang berukuran , maka persamaan (2.5) dapat ditulis sebagai berikut: (
)
,
(2.6)
dengan adalah matriks identitas. Persamaan (2.6) mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika: (
)
|
|
.
(2.7)
3
Persamaan (2.7) disebut karakteristik dari matriks .
persamaan (Anton 1995)
Misalkan diberikan matriks sebagai berikut: (
berukuran
).
Persamaan karakteristik diperoleh dengan menyelesaikan (
)
,
dengan adalah matriks identitas. Maka persamaan karakteristiknya menjadi (
)
,
atau . Misalkan ( ) ( )
, (2.8)
Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari matriks sebagai berikut: √
.
2.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap Diberikan sistem persamaan diferensial sembarang ̇
( )
.
(2.9)
Analisis kestabilan titik tetap dilakukan melalui matriks Jacobi, yaitu matriks . Penentuan kestabilan titik tetap diperoleh dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu dengan yang diperoleh dari ( ) Secara umum, kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku sebagai berikut : 1. Stabil, jika Setiap nilai eigen real bernilai negatif ( ) untuk semua , Setiap bagian real dari nilai eigen kompleks bernilai lebih kecil atau sama
dengan nol ( ( ) ) untuk semua . 2. Tak stabil, jika Setiap nilai eigen real bernilai positif ( ) untuk semua , Setiap bagian real dari nilai eigen kompleks bernilai lebih besar atau sama dengan nol ( ( ) ) untuk semua . 3. Sadel, jika perkalian dari kedua nilai eigen real sembarang adalah negatif ( ) untuk suatu dan sembarang. Titik tetap sadel ini bersifat tak stabil. (Tu 1994) Berdasarkan persamaan (2.8) terhadap matriks Jacobi ada tiga kasus untuk nilai : Kasus . Jika kedua nilai eigen real berbeda tanda maka titik tetap bersifat “sadel”. Kasus . . - Jika dan kedua nilai eigen real bernilai positif maka titik tetap bersifat “simpul tak stabil”. - Jika dan kedua nilai eigen real bernilai negatif maka titik tetap bersifat “simpul stabil”. . - Jika dan kedua nilai eigen imajiner ( ) maka titik tetap bersifat “spiral tak stabil”. - Jika dan kedua nilai eigen imajiner ( ) maka titik tetap bersifat “spiral stabil”. - Jika dan kedua nilai eigen imajiner murni ( ) maka titik tetap bersifat “center”. . - Parabola adalah garis batas antara simpul dan spiral. Star nodes dan degenerate terletak pada parabola ini. Jika kedua nilai eigen bernilai sama maka titik tetap bersifat “simpul sejati”. Kasus . Jika salah satu nilai eigen bernilai nol maka titik asal bersifat “titik tetap tak terisolasi”. (Strogatz 1994)
4
Dalam menganalisis kestabilan titik tetap yang dijelaskan sebelumnya dapat dilihat pada
Simpul Stabil
Simpul Terisolasi
Simpul Tak Stabil
Spiral Stabil
bidang fase yang terbentuk seperti pada Gambar 1.
Sadel
Simpul Sejati
Spiral Tak Stabil
Center
Gambar 1 Bidang fase.
Pada Gambar 1 terlihat berbagai macam bidang fase yang terdiri dari simpul stabil, simpul tak stabil, sadel, spiral tak stabil, simpul terisolasi, spiral stabil, simpul sejati,
dan center. Bidang fase ini sangat membantu dalam menentukan kestabilan titik tetap secara visualisasi.
5
III PEMBAHASAN 3.1 Model Interaksi Pemangsa dan Mangsa pada Dua Habitat yang Berbeda Dalam karya ilmiah ini, akan dibahas analisis kestabilan model interaksi pada
(
)
(
)
pemangsa dan mangsa yang hidup pada dua habitat yang berbeda. Sistem model interaksi tersebut diberikan dalam persamaan sebagai berikut:
[
dengan banyaknya populasi mangsa (prey) pada waktu dalam habitat ke- ; banyaknya pemangsa (predator) pada waktu , tingkat pertumbuhan intrinsik mangsa (prey) pada habitat ke- dengan tidak adanya pemangsa (predator); kemampuan migrasi untuk keluar dari habitat ke- ; tingkat respons pemangsa (predator) terhadap mangsa (prey) pada habitat ke- ; tingkat konversi dari mangsa (prey) pada habitat ke pemangsa (predator); peluang keberhasilan transisi/perpindahan dari habitat ke habitat ; ; ; tingkat kematian per kapita dari pemangsa (predator); Model interaksi pada pemangsa dan mangsa yang hidup pada dua habitat yang berbeda ini menggunakan asumsi yaitu mangsa pada habitat pertama tidak dapat berpindah ke wilayah mangsa pada habitat kedua. Tetapi, mangsa pada habitat kedua dapat berpindah ke wilayah mangsa pada
]
habitat pertama. Interaksi tersebut terlihat pada Gambar 2.
Gambar 2
(
)
dapat
Skema model interaksi dua mangsa yang hidup pada dua habitat yang berbeda.
Pada Gambar 2 terlihat bahwa adalah mangsa pada habitat pertama dan adalah mangsa pada habitat kedua. Mangsa pada habitat pertama memiliki kemampuan migrasi untuk keluar dari habitatnya ( ) , tetapi diasumsikan mangsa pada habitat pertama tidak dapat berpindah ke wilayah mangsa pada habitat kedua dan memilih untuk ke wilayah lainnya. Mangsa pada habitat kedua memiliki kemampuan migrasi untuk keluar dari habitatnya ( ) dan diasumsikan mangsa pada habitat kedua hanya dapat berpindah ke wilayah mangsa pada habitat pertama. Berikut ini akan dicari titik tetap dari sistem persamaan ( ) dengan menjadikan:
Sehingga diperoleh:
6
(
) (
)
[
Dari persamaan (
]
(
)
) diperoleh tiga titik tetap:
(
)
( ) (̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅ ) dengan ( (
)
(
)
)
,
, √
, ̅(
̅̅̅ ̅̅̅
̅ ( (
) )
)
̅ ̅
,
̅
, √
̅
.
(bukti dapat dilihat pada Lampiran 1)
Pada titik tetap terlihat bahwa mangsa pada habitat kedua mengalami kepunahan, sedangkan mangsa pada habitat pertama dan pemangsa bergantung pada nilai parameter yang diberikan. Pada titik tetap dan , mangsa pada habitat pertama dan mangsa
(
)
(
)
[
pada habitat kedua serta pemangsa bergantung juga pada nilai parameter. 3.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap Misalkan persamaan ( sebagai berikut:
]
) dituliskan
(
)
7
Melakukan pelinearan pada persamaan , , akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
)
(
dengan (
) (
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
)
(
)
(
(
((
)
)
) )
Matriks Jacobi dilakukan untuk menganalisis kestabilan titik tetap pada titik tetap , , dan . Analisis Kestabilan di Titik Tetap Dalam memperoleh kestabilan sistem pada titik tetap
(
) maka matriks
Jacobi pada titik tetap
). (
)
(
)
Nilai eigen akan diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik ( ) , sehingga akan diperoleh nilai eigen untuk matriks yaitu:
√ √ (Bukti lihat Lampiran 2)
Analisis Kestabilan di Titik Tetap Dalam memperoleh kestabilan sistem pada ) , dilakukan dengan titik tetap ( menyubstitusikan nilai parameter yang telah ditentukan pada ketiga kasus yaitu , , , , , sehingga didapat solusi numerik. Titik tetap untuk kasus pertama dihitung pada kondisi dan dengan , , , , maka matriks Jacobi yang diperoleh adalah
(
adalah
(
Titik tetap untuk kasus pertama, yaitu pada saat kondisi dan dengan semua nilai parameter bernilai positif menghasilkan nilai eigen , dan adalah imajiner murni sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh kestabilan titik tetap bersifat tak stabil. Kasus kedua, pada saat kondisi dan dengan semua nilai parameter bernilai positif menghasilkan nilai eigen , dan adalah imajiner murni sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh kestabilan titik tetap bersifat stabil. Kasus ketiga, pada saat kondisi dan dengan semua nilai parameter bernilai positif menghasilkan nilai eigen , , dan sehingga dari nilai-nilai eigen yang diperoleh kestabilan titik tetap bersifat sadel.
)
Nilai eigen diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik ( ) . Nilai eigen untuk matriks diperoleh dengan bantuan software Maple 13 yaitu dan kompleks dengan bagian real bernilai negatif ( ) , serta ( ). Nilai-nilai eigen yang diperoleh menentukan kestabilan titik tetap pada kondisi dan yang bersifat spiral stabil. Kasus kedua dihitung pada kondisi dan dengan , , , , maka matriks Jacobi yang diperoleh adalah
8
(
)
Nilai eigen diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik ( ) . Nilai eigen untuk matriks diperoleh dengan bantuan software Maple dan kompleks dengan bagian 13 yaitu ( real bernilai positif ) , serta ( ) . Nilai-nilai eigen yang diperoleh menentukan kestabilan titik tetap pada kondisi dan yang bersifat spiral tak stabil. Kasus ketiga dihitung pada kondisi dan dengan , , , , maka matriks Jacobi yang diperoleh adalah
(
).
Nilai eigen diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik ( ) . Nilai eigen untuk matriks diperoleh dengan bantuan software Maple 13 yaitu dan kompleks dengan bagian real bernilai negatif ( ) , serta ( ) . Nilai-nilai eigen yang diperoleh menentukan kestabilan titik tetap pada kondisi dan yang bersifat spiral stabil. (Bukti lihat Lampiran 3) Analisis Kestabilan di Titik Tetap Dalam memperoleh kestabilan sistem pada titik tetap (̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅ ) , dilakukan dengan menyubstitusikan nilai parameter yang telah ditentukan pada ketiga kasus yaitu , , , , , sehingga didapat solusi numerik. Titik tetap untuk kasus pertama dihitung pada kondisi dan dengan , , , , maka matriks Jacobi yang diperoleh adalah
(
).
Nilai eigen diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik ( ) . Nilai eigen untuk matriks diperoleh dengan bantuan software Maple 13 yaitu dan kompleks dengan bagian real bernilai negatif ( ) , serta ( ) . Nilai-nilai eigen yang diperoleh menentukan kestabilan titik tetap pada kondisi dan yang bersifat spiral stabil. Kasus kedua dihitung pada kondisi dan dengan , , , , maka matriks Jacobi yang diperoleh adalah
(
).
Nilai eigen diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik ( ) . Nilai eigen untuk matriks diperoleh dengan bantuan software Maple 13 yaitu dan kompleks dengan bagian real bernilai negatif ( ) , serta ( ). Nilai-nilai eigen yang diperoleh menentukan kestabilan titik tetap pada kondisi dan yang bersifat spiral stabil. Kasus ketiga dihitung pada kondisi dan dengan , , , , maka matriks Jacobi yang diperoleh adalah
(
).
Nilai eigen diperoleh dengan menyelesaikan persamaan karakteristik ( ) . Nilai eigen untuk matriks diperoleh dengan bantuan software Maple 13 yaitu dan kompleks dengan bagian real bernilai negatif ( ) , serta
9
( ). Nilai-nilai eigen yang diperoleh menentukan kestabilan titik tetap pada kondisi dan yang bersifat spiral stabil.
Rangkuman dari ketiga analisis kestabilan titik tetap dapat dilihat pada Tabel 1.
(Bukti lihat Lampiran 4)
Tabel 1 Kestabilan titik tetap Titik Tetap
Kasus
T3
dan
Tak stabil
Spiral stabil
Spiral stabil
dan
Stabil
Spiral tak stabil
Spiral stabil
dan
Sadel
Spiral stabil
Spiral stabil
Pada Tabel 1 terlihat jenis-jenis kestabilan titik tetap. Jenis kestabilan ketiga titik tetap tersebut dilihat berdasarkan pada tiga kasus. Hasil yang diperoleh dari kestabilan titik tetap pada tabel berupa sadel, tak stabil, spiral stabil, dan spiral tak stabil. 3.3 Simulasi Model Pada bagian simulasi ini akan diperlihatkan kurva bidang solusi yang menunjukkan hubungan banyaknya populasi mangsa pada habitat pertama, mangsa pada
( ( (
habitat kedua, dan pemangsa terhadap waktu ( , , terhadap ). Kondisi 1 ( dan ) Nilai parameter yang digunakan dalam kondisi ini adalah , , , , , , , , , dengan nilai awal ( ) , ( ) , dan ( ) Titik tetap dan nilai eigen dalam numerik serta kestabilannya diperoleh dari nilai parameter yang digunakan yang dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2 Nilai eigen dan kestabilan titik tetap saat Titik Tetap ) ) )
Tabel 2 memperlihatkan jenis kestabilan ketiga titik tetap saat dan yaitu titik tetap bersifat tak stabil, titik tetap bersifat spiral stabil, dan titik tetap juga bersifat spiral stabil. Tabel tersebut juga memperlihatkan nilai eigen dari masingmasing titik tetap.
dan Kestabilan Tak stabil Spiral stabil Spiral stabil
Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama, mangsa pada habitat kedua, serta pemangsa terhadap waktu pada saat kondisi dan terlihat pada Gambar 3.
10
Pada gambar ini dapat dijelaskan, ketika jumlah pemangsa ( ) meningkat maka jumlah mangsa pada habitat pertama ( ) maupun mangsa pada habitat kedua ( ) menurun. Sebaliknya, ketika jumlah pemangsa ( ) menurun maka jumlah mangsa pada habitat pertama ( ) dan mangsa pada habitat kedua ( ) meningkat.
Gambar 3 Bidang solusi , saat dan
,
terhadap .
Pada Gambar 3 terlihat bahwa mangsa pada habitat pertama ( ), dan mangsa pada habitat kedua ( ), serta pemangsa ( ) akan stabil ke suatu nilai saat waktu ( ) menuju tak hingga untuk kondisi dan .
( ( (
Kondisi 2 ( dan ) Nilai parameter yang digunakan dalam kondisi ini adalah , , , , , , , , , dengan nilai awal ( ) , ( ) , dan ( ) Titik tetap dan nilai eigen dalam numerik serta kestabilannya diperoleh dari nilai parameter yang digunakan yang dapat dilihat pada Tabel 3.
Tabel 3 Nilai eigen dan kestabilan titik tetap saat Titik Tetap ) )
dan Kestabilan Stabil Spiral tak stabil
)
Spiral stabil
Tabel 3 memperlihatkan jenis kestabilan ketiga titik tetap saat dan yaitu titik tetap bersifat stabil, titik tetap bersifat spiral tak stabil, dan titik tetap bersifat spiral stabil. Tabel tersebut juga memperlihatkan nilai eigen dari masingmasing titik tetap. Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama, mangsa pada habitat kedua, serta pemangsa terhadap waktu pada saat kondisi dan terlihat pada Gambar 4, Gambar 5, dan Gambar 6. Gambar 4
Bidang solusi dan
terhadap .
saat
11
Pada Gambar 4, Gambar 5, dan Gambar 6 terlihat bahwa mangsa pada habitat pertama ( ) dan pemangsa ( ) berosilasi pada suatu range nilai saat waktu ( ) menuju tak hingga, sedangkan mangsa pada habitat kedua ( ) mengalami kepunahan (menuju nol) untuk kondisi dan .
Gambar 5
Bidang solusi dan
terhadap .
saat
Gambar 6
Bidang solusi dan
terhadap .
saat
( ( (
Kondisi 3 ( dan ) Nilai parameter yang digunakan dalam kondisi ini adalah , , , , , , , , , dengan nilai awal ( ) , ( ) , dan ( ) Titik tetap dan nilai eigen dalam numerik serta kestabilannya diperoleh dari nilai parameter yang digunakan yang dapat dilihat pada Tabel 4. Tabel 4 memperlihatkan jenis kestabilan ketiga titik tetap saat kondisi dan yaitu titik tetap bersifat sadel, titik tetap bersifat spiral stabil, dan titik tetap juga bersifat spiral stabil. Tabel tersebut juga memperlihatkan nilai eigen dari masing-masing titik tetap.
Tabel 4 Nilai eigen dan kestabilan titik tetap saat Titik Tetap ) ) )
Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama, mangsa pada habitat kedua, serta
dan Kestabilan Sadel Spiral stabil Spiral stabil
pemangsa terhadap waktu pada saat kondisi dan terlihat pada Gambar 7.
12
mangsa pada habitat kedua ( ) menurun. Sebaliknya, ketika jumlah pemangsa ( ) menurun maka jumlah mangsa pada habitat pertama ( ) dan mangsa pada habitat kedua ( ) meningkat. Populasi pemangsa yang meningkat menyebabkan populasi mangsa pada habitat pertama atau mangsa pada habitat kedua akan mengalami penurunan pada ketiga kondisi. Sebaliknya, populasi pemangsa yang menurun menyebabkan populasi mangsa pada habitat pertama atau mangsa pada habitat kedua akan mengalami kenaikan. Gambar 7
Bidang solusi , saat dan
,
terhadap .
Pada Gambar 7 terlihat bahwa mangsa pada habitat pertama ( ), dan mangsa pada habitat kedua ( ), serta pemangsa ( ) akan stabil ke suatu nilai saat waktu ( ) menuju tak hingga untuk kondisi dan . Pada gambar ini dapat dijelaskan, ketika jumlah pemangsa ( ) meningkat maka jumlah mangsa pada habitat pertama ( ) maupun
Kondisi 4 ( dan ) Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama dan mangsa pada habitat kedua serta pemangsa tidak terjadi saat tingkat pertumbuhan intrinsik mangsa lebih kecil dari kemampuan migrasi untuk keluar dari habitatnya karena kondisi ini tidak realistis.
13
IV KESIMPULAN Hasil analisis model interaksi pada pemangsa dan mangsa yang hidup pada dua habitat yang berbeda diperoleh tiga titik tetap. Analisis terhadap model interaksi dilakukan dengan simulasi. Simulasi dipilih untuk menunjukkan dinamika populasi mangsa pada habitat pertama, mangsa pada habitat kedua, dan pemangsa. Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama dan mangsa pada habitat kedua serta pemangsa yang terjadi akan stabil ke suatu nilai saat tingkat pertumbuhan intrinsik mangsa pada habitat pertama dengan tidak adanya pemangsa lebih besar dari kemampuan migrasi untuk keluar dari habitat pertama ( ) dan tingkat pertumbuhan intrinsik mangsa pada habitat kedua dengan tidak adanya pemangsa lebih besar dari kemampuan migrasi untuk keluar dari habitat kedua ( ). Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama dan pemangsa berosilasi pada suatu range nilai, sedangkan mangsa pada habitat kedua mengalami kepunahan saat tingkat pertumbuhan intrinsik mangsa pada habitat pertama dengan tidak adanya pemangsa lebih besar dari kemampuan migrasi untuk keluar dari habitat pertama ( ) dan tingkat pertumbuhan intrinsik mangsa pada habitat
kedua dengan tidak adanya pemangsa lebih kecil dari kemampuan migrasi untuk keluar dari habitat kedua ( ). Dinamika populasi mangsa pada habitat pertama dan mangsa pada habitat kedua serta pemangsa yang terjadi akan stabil ke suatu nilai saat tingkat pertumbuhan intrinsik mangsa pada habitat pertama dengan tidak adanya pemangsa lebih kecil dari kemampuan migrasi untuk keluar dari habitat pertama ( ) dan tingkat pertumbuhan intrinsik mangsa pada habitat kedua dengan tidak adanya pemangsa lebih besar dari kemampuan migrasi untuk keluar dari habitat kedua ( ). Secara umum, populasi pemangsa yang meningkat menyebabkan populasi mangsa pada habitat pertama atau mangsa pada habitat kedua akan mengalami penurunan. Sebaliknya, populasi pemangsa yang menurun menyebabkan populasi mangsa pada habitat pertama atau mangsa pada habitat kedua akan mengalami kenaikan.
14
DAFTAR PUSTAKA Anton H. 1995. Aljabar Linier Elementer. Ed ke-5. Terjemahan Pantur Silaban dan I Nyoman Susila. Jakarta: Erlangga. Bhatt BS, Khan Q & Jaju R. 2008. Switching of predation on prey species in the presence of predator interference. Int J of Pure and Appl Math. 45(4): 587-598. Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equations and Their Applications. New York: McGraw-Hill. Owen D, Jaju R & Bhatt BS. 2010. Switching of predation on prey species in the presence of predator interference-II. Int J of Pure and Appl Math. 61(3): 281-295. Owen D, Jaju R & Bhatt BS. 2011. On the effect of switching, predation and
harvesting on systems consisting of one predator and two prey species which live in different habitats. Int J of Pure and Appl. Math, 3(3): 12-21. Skalski GT & Gillian JF. 2001. Functional responses with predator interference: viable alternative to the holling type II model. Ecology. 82(2001): 3082-3092. Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Canada: Addison-Wesley Publishing Company. Tu PNV. 1994. Dynamical System, An Introduction with Applications in Economics and Biology. Germany: Springer-Verlag.
15
LAMPIRAN
16
Lampiran 1 Penentuan Titik Tetap Model Interaksi Sistem model interaksi pada pemangsa dan dua mangsa yang hidup pada habitat yang berbeda pada persamaan (
):
(
)
( )
(
)
( )
*
+
Untuk menentukan titik tetap dari persamaan (
( )
) maka persamaan tersebut dibuat sama dengan
nol yaitu,
sehingga diperoleh tiga titik tetap.
Dari persamaan ( ) akan diperoleh nilai
dan
(
) )
*(
+
atau (
)
(
)
(
)(
)
(
) (
( )
ke dalam persamaan ( ), maka akan diperoleh
dengan menyubstitusikan
(
)
( (
) ) (
Substitusi nilai
)
)
(
*
sebagai berikut:
)
dan
(
)
ke dalam persamaan ( )
+
17
[
] (
(
)
)
(
(
) (
)
)
Sehingga dari perhitungan di atas diperoleh titik tetap (
Substitusi
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
(
)
(
)
(
(
)
(
)
( (
(
)
(
)
) (
)
( (
)
( )
(
)
)
(
)
(
(
).
(
)
)
( )
)
(
(
)
(
)
(
) )
)
)
(
) (
(
)
)
(
) (
)
(
) (
(
(
)
)
)
)
)
(
(
))
(
(
)
ke dalam persamaan ( )
)
(
(
(
)
)
)(
)
(
)
(
)
[(
)
(
) ]
(
)
(
)
√
atau
√
̅
(
Substitusi (
)
dan ) √
ke persamaan ( )
18
*
+
*
(
(
)
(
)
)
(
*
(
(
*
*
*
*
*
(
) )
(
(
) )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
*
(
*
(
)+
)
) )
(
(
(
+
)
(
)
(
(
)
[ [
( (
)
) ) )
)
(
)
) (
((
(
))
))
+
+
+
) +
)
(
)
+
(
)
(
) ]
) (
)
(
]
) )
(
(
)
(
(
Sehingga dari perhitungan di atas diperoleh titik tetap
(
) )
(
) dengan
)
,
, )
.
√
Substitusi ̅̅̅
+
)
) )
)
)
+
(
)
(
) )
) ( )
)
(
(
)
)
)
(
(
)(
)(
) )
) (
) )
(
(
(
)(
)
(
(
)
+
)
)
( (
) ) (
)(
(
)
) )
(
)
) (
(
(
( (
)
)
) (
(
(
(
(
)
( ( (
)
(
)
(
(
)
(
)
)
(
) )
)
(
)+
(
*
(
( (
) (
(
(
)
(
(
(
*
̅
(
)
)
(
)
(
√
(
(
( (
)
dan )
√
ke persamaan ( )
19
*
+
*
(
(
)
(
)
)
(
*
(
(
*
*
*
*
*
(
) )
(
(
) )
(
)
(
)
(
*
(
*
( (
)+
)
)
) )
(
(
(
)
(
+
)
)
)
̅(
̅̅̅
̅
)
)
)
√
))
))
+
+
(
(
̅ )
) )
]
) )
̅ ̅
̅( ̅
,
) (
(
) ̅
̅
(̅̅̅ ̅̅̅ ) dengan
Sehingga dari perhitungan di atas diperoleh titik tetap
)
)
((
(
̅
)
)
(
+ )
̅(
(
+
)
+
) ] ̅
̅
(
̅̅̅
(
)
) ̅(
̅̅̅
)
(
) )
) ( )
) +
(
(
)
)(
)(
(
(
)
(
)
)
̅
)
)
) ) (
)
) (
) )
(
(
(
)(
)
(
)
)
+
)
(
)
( )
(
(
( (
)(
)
(
)
) )
(
(
)
) (
(
)
(
)
)
(
(
[ [ ̅̅̅
( (
(
(
(
(
)
(
(
( (
(
)
)
(
)
)
)
(
) )
)
(
)+
(
*
̅
( (
)
( (
) (
(
(
)
(
(
(
*
̅̅̅
(
)
)
(
)
(
√
(
(
)
̅ ̅
, ̅
+
20
Lampiran 2 Penentuan Nilai Eigen dari Persamaan ( Misalkan persamaan (
)
) dituliskan sebagai berikut: (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
*
+
Dengan melakukan pelinearan didapat matriks Jacobi sebagai berikut:
)
(
(
)
( (
((
(
)
(
)
(
)
(
)
)
)
)
((
(
)
Matriks Jacobi pada titik tetap
)
(
(
)
)
)
) sebagai berikut:
(
) (
)
(
)
Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik ) sehingga diperoleh
|
( (
(
)((
((
( ( (
) )
)
) ) )
)
) ((
)
)) )
(
) )
( (
)
(
Jadi nilai eigennya adalah sebagai berikut: √ √
)))
))
)( )
( (
)( (
)(
) (
(
)
)
(
) )
((
(
)((
(( (( (
( (
)
)(
|
)
)
) ) )
( (
) )
(
21
Lampiran 3 Penentuan Nilai Eigen pada Titik Tetap ). Titik tetap ( Kondisi dan Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi ini, dilakukan dengan menyubstitusikan nilai parameter untuk simulasi (untuk memudahkan) yaitu , , , , , , , , , , maka akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: (
)
Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik ) sehingga diperoleh
(
|
|
Dengan bantuan software Maple 13 diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
Kondisi dan Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi ini, dilakukan dengan menyubstitusikan nilai parameter untuk simulasi (untuk memudahkan) yaitu , , , , , , , , , , maka akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: (
)
Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik ) sehingga diperoleh
|
(
|
Dengan bantuan software Maple 13 diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
Kondisi dan Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi ini, dilakukan dengan menyubstitusikan nilai parameter untuk simulasi (untuk memudahkan) yaitu , ,
22
, , , , , maka akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
,
(
,
,
)
Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik ( ) sehingga diperoleh
|
|
Dengan bantuan software Maple 13 diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
23
Lampiran 4 Penentuan Nilai Eigen pada Titik Tetap Titik tetap (̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅ ). Kondisi dan Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi ini, dilakukan dengan menyubstitusikan nilai parameter untuk simulasi (untuk memudahkan) yaitu , , , , , , , , , , maka akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: (
)
Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik ) sehingga diperoleh
(
|
|
Dengan bantuan software Maple 13 diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
Kondisi dan Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi ini, dilakukan dengan menyubstitusikan nilai parameter untuk simulasi (untuk memudahkan) yaitu , , , , , , , , , , maka akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: (
)
Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik ) sehingga diperoleh
|
(
|
Dengan bantuan software Maple 13 diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
Kondisi dan Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi ini, dilakukan dengan menyubstitusikan nilai parameter untuk simulasi (untuk memudahkan) yaitu , ,
24
, , , , , maka akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
,
(
,
,
)
Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik ( ) sehingga diperoleh
|
|
Dengan bantuan software Maple 13 diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
25
Lampiran 5 Syntax untuk Gambar 3
> >
26
Lampiran 6 Syntax untuk Gambar 4
> >
27
Lampiran 7 Syntax untuk Gambar 5
> >
28
Lampiran 8 Syntax untuk Gambar 6
> >
29
Lampiran 8 Syntax untuk Gambar 7
> >
