ANALISIS KESTABILAN MODEL DUA PEMANGSA DAN SATU MANGSA DENGAN PENERAPAN RACUN

Jurnal SCIENCETECH Vol 2 No 1April2016

ANALISIS KESTABILAN MODEL DUA PEMANGSA DAN SATU MANGSA DENGAN PENERAPAN RACUN Irham Taufiq Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sarjanawiyata Tamansiswa ABSTRACT

This research discussed prey and predator model showing the interaction between one prey and two predators by using poison. The interaction between prey and predator used response function of Holling type II. The growth of prey and predator used logistic function. From the model, it was found five equilibrium points. The local stability of each equilibrium point was analyzed. To make it easier in interpreting the dynamic between prey and two predators and the effect of giving poison, the numeric simulation was done by showing the change of parameter of the level of death due to poison and the efficiency of changing the prey consumption towards the birth of the first and second predators. Keywords: prey-predator model, poison, numeric simulation, equilibrium point

PENDAHULUAN Sejumlah racun dapat mengkontaminasi suatu ekosistem. Salah satu contohnya adalah penggunaan racun secara instan dan teratur pada bidang pertanian. Racun dapat membunuh hama dengan cepat namun hasil pertanian tersebut membahayakan kesehatan bagi hewan-hewan bahkan manusia. Hubungan antara mangsa dan pemangsa dapat dimodelkan secara matematis menjadi model mangsa-pemangsa. Menurut (Edwards, C. H., dan Penney, D. E., 2008) model mangsa pemangsa yang paling sederhana adalah model Lotka-Volterra. Model Lotka-Volterra hanya melibatkan satu pemangsa dan satu mangsa saja sedangkan pada beberapa ekosistem terdapat predasi yang melibatkan dua pemangsa dengan mangsa yang sama. Contoh predasi semacam ini adalah wereng batang padi coklat (Nilaparvata lugens Stal.) yang dimangsa oleh pemangsa alaminya, seperti kumbang Menochilus sexmaculatus dan kepik mirid (Cyrtorhinus lividipennis). Model LotkaVolterra dapat dikembangkan untuk memodelkan interaksi antara dua pemangsa dan satu mangsa. Salah satunya adalah (Alebraheem, J dan Abu-Hasan, Y., 2012) telah menurunkan model dua pemangsa dan satu mangsa dengan asumsi pertumbuhan mangsa

dan pemangsa mengikuti pertumbuhan logistik dimana terjadi kompetisi antara kedua predator tersebut. Di lain pihak, (Kar,T.K., Ghorai. A., and Jana, S.W., 2012) juga telah menurunkan model mangsa pemangsa dengan penerapan racun/pestisida. Oleh karena itu, pada penelitian ini Penulis tertarik untuk mengkaji model mangsa pemangsa yang melibatkan dua pemangsa yang saling berkompetisi dan satu mangsa dengan asumsi pertumbuhan mangsa dan pemangsa mengikuti pertumbuhan logistik dengan penerapan racun. HASIL DAN PEMBAHASAN Pembentukan Model Berikut akan dibahas mengenai pembentukan model mangsa pemangsa dengan dua pemangsa dan satu mangsa. Jumlah individu pada populasi mangsa pada saat waktu x(t )

t dinotasikan dengan , jumlah individu pada populasi pemangsa pertama pada saat y (t )

waktu t dinotasikan dengan , jumlah individu pada populasi pemangsa kedua pada z (t )

saat waktu t dinotasikan dengan . Kemudian diasumsikan bahwa populasi pemangsa dan populasi mangsa bersifat tertutup, artinya tidak ada pemangsa dan mangsa yang melakukan migrasi. 100

Jurnal SCIENCETECH Vol 2 No 1 April 2016

Model mangsa pemangsa yang dikaji terdiri dari dua pemangsa dan satu mangsa. Terjadi interaksi antara mangsa dan pemangsa. Antara pemangsa yang satu dengan yang lainnya saling berkompetisi artinya terjadi persaingan antara kedua pemangsa untuk mendapatkan mangsa tersebut. Pertumbuhan mangsa dan pemangsa mengikuti pertumbuhan logistik. Selanjutnya, diasumsikan bahwa apabila tidak ada interaksi antara pemangsa dan mangsa, maka per-tumbuhan mangsa mengikuti model logistik yaitu dengan adanya keterbatasan daya dukung lingkungan sebesar k dan tingkat pertumbuhan intrinsik r akibatnya rx 1  x / k 

mangsa akan bertambah dengan laju . Pemangsaan pemangsa pada kelas mangsa menggunakan respon Holling tipe II yaitu  g ( x)  x / 1  h x  . Ketika terdapat interaksi antara g1 ( x ),

pemangsa pertama dan mangsa sebesar pertumbuhan mangsa akan berkurang sebesar g1 ( x ) y

yang merupakan laju perkalian antara fungsi respon Holling tipe II dengan populasi  g1 ( x)  x / 1  h1 x 

pemangsa, dimana dengan  adalah tingkat pencarian dan penangkapan

h1 mangsa oleh pemangsa pertama dan adalah tingkat penanganan dan pencernaan pemangsa g  xy / 1  h1 x  1 ( x) y pertama, . Ketika terdapat interaksi antara g 2 ( x ),

pemangsa kedua dan mangsa sebesar pertumbuhan mangsa akan berkurang sebesar g 2 ( x) z

yang merupakan laju perkalian antara fungsi respon Holling tipe II dengan pemangsa  g ( x)  x / 1  h  x 



2 2 z, diperoleh dengan adalah tingkat pencarian dan penangkapan

h

mangsa oleh pemangsa kedua dan 2 adalah tingkat penanganan dan pencernaan pemangsa g  xz / 1  h2  x  2 ( x) z kedua, sehingga . Adanya kematian alami pada populasi mangsa dengan laju m mengakibatkan populasi mx mangsa akan berkurang sebesar .

Banyaknya kematian x diakibatkan oleh  x racun , yaitu yang merupakan perkalian antara laju kematian akibat racun dengan kepadatan populasi mangsa x. 101

Dengan demikian, laju perubahan jumlah mangsa terhadap waktu dapat dinyatakan sebagai dx xy  xz  x  rx 1     dt  k  1  h1 x 1  h2  x  mx   x

(1) Kemudian, apabila tidak ada mangsa maka terjadi penurunan populasi pemangsa pertama dengan tingkat kematian alami sebesar u tetapi apabila terdapat mangsa maka terjadi interaksi antara mangsa dan pemangsa pertama, pertumbuhan pemangsa mengikuti model logistik yaitu dengan adanya keterbatasan daya dukung lingkungan sebesar ky k y  a1 x

dengan sebanding dengan tidak tersedianya sejumlah mangsa dan tingkat R

1 pertumbuhan respon numerik sehingga pemangsa akan bertambah dengan laju

R1 y 1  y / k y 

 R1  xe1 / 1  h1 x 

dengan

dengan

e1

menyatakan pengubahan konsumsi mangsa ke dalam kelahiran pemangsa pertama. Selain itu, Terjadi interaksi antara pemangsa yang satu dengan lainnya. Tingkat kompetisi dari pemangsa pertama pada c1 pemangsa kedua sebesar . Akibatnya, populasi pemangsa pertama akan berkurang c1 yz

kematian y y diakibatkan oleh racun , yaitu yang merupakan perkalian antara laju kematian akibat racun dengan kepadatan populasi pemangsa pertama y. Dengan demikian, laju perubahan jumlah pemangsa pertama terhadap waktu dapat dinyatakan sebagai sebesar

.

 dy y  uy  R1 y 1   ky dt 

Banyaknya



   c1 yz   y 

(2) Selanjutnya, apabila tidak ada mangsa maka terjadi penurunan populasi pemangsa kedua dengan tingkat kematian alami sebesar w tetapi apabila terdapat mangsa maka terjadi interaksi antara mangsa dan pemangsa kedua, pertumbuhan pemangsa mengikuti model logistik yaitu dengan adanya keterbatasan daya k a x

dukung lingkungan sebesar kz dengan z 2 sebanding dengan tidak tersedianya sejumlah mangsa dan tingkat pertumbuhan respon numerik

R2

sehingga

bertambah dengan laju

pemangsa

R2 z 1  z / k z 

dengan

akan

Jurnal SCIENCETECH Vol 2 No 1April2016  R2  xe2 / 1  h2  x 

e

2 dan menyatakan peungubahan konsumsi mangsa ke dalam kelahiran pemangsa kedua. Selain itu, Terjadi interaksi antara pemangsa yang satu dengan lainnya. Tingkat kompetisi dari pemangsa kedua pada pemangsa pertama

sebesar

 dz z    wz  R2 z 1   dt k z    c2 yz   z

(3) Berdasarkan Persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh model dua pemangsa dan satu mangsa dengan penerapan racun yang berupa sistem persamaan diferensial non linier. dx  xy  xz  x  rx 1     dt  k  1  h1 x 1  h2  x  mx   x  dy y  uy  R1 y 1   ky dt 

   c1 yz   y 

 dz z   wz  R2 z 1  dt k z 

   c2 yz   z 

dengan

 

syarat

x y z  ,y  ,z , k a1k a2 k

ka1 ka2  e1  ,  , e1 , r r a1

e2 

e2 rh1 u w  ,u  ,w  , h1 , a2 r r a1

h2 

rh2 a2 kc1 a1kc2  , c1  , c2 , a2 r r m   ,  , r r

m 

didefinisikan (6) Kemudian persamaan-persamaan pada Persamaan (6) disubstitusikan ke Persamaan (5). Kemudian dengan menghapus bar pada semua parameter dan menyederhanakannya maka Persamaan (5) menjadi Persamaan (5) menjadi dx  xy  xz  x 1  x    dt 1  h1 x 1  h2  x  m    x

dy e  xy e  y2  1  1  c1 yz dt 1  h1 x 1  h1 x  u    y

dz e  xz e  z2  2  2  c2 yz dt 1  h2  x 1  h2  x  w    z

(7) L, M i ; i  1, 2

dengan fungsi kontinu smooth pada (4) awal

3 

 R2  xe2 / 1  h2  x 

 x, y, z  

 R1  xe1 / 1  h1 x  ,

k y  a1 x,

di untuk adalah terbatas. Bukti: Persamaan pertama dari Sistem (7) adalah

k z  a2 x

dan disubstitusikan ke Persamaan (4),   maka Persamaan (4)

menjadi:

dx xy  xz  x  rx 1     dt  k  1  h1 x 1  h2  x  m    x

 xe2 z  xe2 z 2 dz    w   z dt 1  h2  x 1  h2  x  a2 x

t0

dx  xy  xz  x 1  x    dt 1  h1 x 1  h2  x  m    x

(8)

 xy / 1  h1 x  ,  xz / 1  h2  x  ,  x, mx  0

karena

maka (8) menjadi

dy  xe1 y  xe1 y 2    u    y dt 1  h1 x 1  h1 x  a1 x

solusi

x

Akibatnya

1 1  be  t

dx  x 1  x  dt

,

.

dx  x 1  x  dt

Selanjutnya, jika

(5)



: x  0, y  0, z  0

. Teorema 1. Solusi dari Sistem (7) yang berada

3

,

3

adalah fungsi

x(0)  x0 ,

y (0)  y0 , dan z (0)  z0 .

 

 t rt ,x

c2

. Akibatnya, populasi pemangsa c2 yz kedua akan berkurang sebesar . Banyaknya kematian z diakibatkan oleh racun  z , yaitu yang merupakan perkalian antara laju kematian akibat racun dengan kepadatan populasi pemangsa kedua z.. Dengan demikian, laju perubahan jumlah pemangsa kedua terhadap waktu dapat dinyatakan sebagai

Jika

Sistem (7) dapat ditulis dalam bentuk tak berdimensi untuk mereduksi banyaknya parameter. Hal ini mengakibatkan analisis matematikanya tidak rumit. Selanjutnya

, maka memiliki

.

x  1, t  0

. 102

Jurnal SCIENCETECH Vol 2 No 1 April 2016

Selain itu, solusi y dan z juga terbatas. Karena keterbatasannya mengikuti keterbatasan x. Titik Ekuilibrium Model dan Kestabilannya Jika

dx 0 dt

(9)

atau y z   m     0 1  h1 x 1  h2  x dy 0 dt

Kemudian, jika

(10)

, maka

y0

(11)

atau e1 x e y  1  u     0 1  h1 x 1  h1 x

Kemudian, jika

dz 0 dt

(12)

, maka (13)

atau e2  x e z  2  w     0 1  h2  x 1  h2  x

(14) Berdasarkan uraian di atas, dari Persamaan (9), (11) dan (13) diperoleh titik ekuilibrium yaitu TE1   0, 0, 0 

. Kemudian dari Persamaan (10), (11) dan (13) diperoleh titik ekuilibrium TE2  1  m   , 0, 0  . Selanjutnya, dari Persamaan (10), (12) dan (13) diperoleh titik ekuilibrium

TE1   0,0,0 

bersifat stabil asimtotik lokal.

e1 1  m      u    1  h1 1  m     ,

e2  1  m      w    1  h2  1  m    

  m  1,

dipenuhi

TE2  1  m   , 0, 0 

lokal.

maka titik ekuilibrium bersifat stabil asimtotik

2

Selanjutnya, dari Persamaan (10), (11), dan (14) diperoleh titik ekuilibrium  e  xˆ   w   1  h2  xˆ   ˆ, 2 e2 

TE3

dipenuhi maka titik ekuilibrium  e  x   u   1  h1 x   ,0  x, 1  

 

e1

bersifat stabil

 f11 f33  f13 f31   0

maka

titik

Jika

A  0, B  0, C  0

titik ekuilibrium asimtotik lokal.

Dengan

  w   ( w   )h2   1      4h2   e  e2    2  + 2h2 

h22 

AB  C  0

TE5   x , y , z 

h11  1  2 x 

 ( w   )h2    1     e2   x 2h2 

dan

dan f22<0, ekuilibrium

bersifat stabil

asimtotik lokal.

 

dengan

, dan

h33  0,

 e  xˆ   w   1  h2  xˆ   TE4   xˆ, 0, 2  e2   

 u  (u   )h1  1      4h1  e  e1    1  + 2h1

dan

  h11  h22   0,  h11h22  h12 h21   0

Jika

  f11  f33   0,

 (u   )h1   1     e1   x 2h1

103

Kestabilan titik-titik ekuilibrium diselidiki dari hasil linierisasi di sekitar titik ekuilibriumnya dan disajikan pada teorama berikut.   m 1 Teorema 2. 1. Jika , maka titik

Jika dipenuhi

dengan

,

dan

asimtotik lokal.

 e  x   u   1  h1 x   TE3   x , 1 ,0 e1  

2

TE5   x, y , z 

 e  e1    u  e1 (   m)   e1  1  x 1 h1 x    z   e1   c1    1  h2  x 

Jika

z0

TE4   x 0, 

(14) diperoleh titik ekuilibrium dengan  e2   e2    w  e2 (   m)   e2   x 1  h2  x   y   e2   c2    1  h1 x 

, maka

x0 1 x 

Selanjutnya, dari Persamaan (10), (12), dan

maka

bersifat stabil

e1 x   u   1  h1 x  e1 1  h1 x 

2

 (m   )

2  e1 x   u   1  h1 x   e1 x   (u   ) 1  h1 x 1  h1 x

,

Jurnal SCIENCETECH Vol 2 No 1April2016

h12   h21  

x , 1  h1 x

e1 x   u   1  h1 x 

1  h1 x 

2

 h1  e1 x   u   1  h1 x  

1  h1 x 

f11  1 2 xˆ 

2

,

e2  xˆ   w   1  h2  xˆ  e2 1  h2  xˆ 

f13   h33 

2

2

 (m   )

 xˆ 1  h2  xˆ

2e2  z e2  x   1  h2  x 1  h2  x

 e  x   u   1  h1 x   c2  1   (w   ) e1  

f 31 

e2  xˆ   w   1  h2  xˆ 

1  h2  xˆ 

2



 h2  e2  xˆ   w   1  h2  xˆ  

1  h2  xˆ  f33 

2

m  0,1; u 0,55;  w 0, 65; c1 0, 08; c2 0, 05;

2

,

2  e2  xˆ   w   1  h2  xˆ   e2  xˆ  1  h2  xˆ 1  h2  xˆ  (w   )

f 22 

Dan diambil nilai awalnya sebagai berikut.

,

 g13 g31  g32 g23  g12 g21 ,

 g12 g 23 g31  g13 g32 g 21  g11 g 22 g33

dengan

  y 1  h1 x    2 h1 xy    1 2 x   g11  2   1  h1 x      z 1  h2  x    2 h2 xz      ( m   ), 2     1  h x   2   2e2  z e2  x    c2 y  ( w   ) g33 1  h2  x 1  h2  x



1  h1 x 

2

1  h2  x 

2 Parameter 1 merupakan parameter yang sangat penting karena termuat dalam fungsi respon dan respon numerik yang membentuk komponen utama dari model mangsa pemangsa. Permainan respon fungsi merupakan peranan penting dalam interaksi diantara mangsa dan

  0,95

2e  y e1 x  1  (u   ), 1  h1 x 1  h1 x c1 y , g 32  c2 z , g 23  

yang berbeda, hal ini dapat ditunjukkan secara numerik eksistensi dan kepunahan dari salah satu pemangsa pada solusi non periodik (siklus kehidupan tidak akan berhenti).

Ada beberapa simulasi numerik yang berbeda yang dilakukan, yaitu

,

1. Jika parameter parameter lain seperti yang telah ditetapkan. Diperoleh titik ekuilibrikum TE1.

 g 22

2

parameter

e dan e

e1 2 h1 y 2

e2  z 1  h2  x   e2  2 h2 zx

nilai

2 pemangsa. Ukuran parameter 1 menyatakan efisiensi pengubahan konsumsi mangsa terhadap kelahiran pemangsa pertama dan kedua.

 x  x   , g13  , g12  1  h1 x 1  h2  x 2

pada

e dan e

C  g13 g31 g 22  g32 g 23 g11  g12 g 21 g33

 e1 y 1  h1 x   e1 2 h1 xy

bergantung

e1 dan e2

A   g11  g22  g33  , B  g22 g33  g11 g22  g11 g33

 g31

 h2 0, 004;  0,5;

Dengan

 e  xˆ   w   1  h2  xˆ   e1 xˆ  c1  2  1  h1 xˆ e2   

1  h1 x 

 1, 41;  1,5;    e1 0,8;  e2 0, 79;  h1 0,005;

x (0)  0,5;  y (0) 0, 2; z (0) 0, 2

 (u   )

g 21 

Simulasi Numerik Simulasi model dilakukan dengan menggunakan Software Maple. Simulasi ini bertujuan untuk melengkapi hasil-hasil yang diperoleh secara analisis pada bab sebelumnya. Pada bagian ini dilakukan simulasi titik ekuilibrium untuk mengetahui perilaku dinamik penyelesaian Sistem (7) dalam jangka waktu yang lama di sekitar titik ekuilibrium tersebut. Dalam simulasi model mangsa pemangsa dengan dua pemangsa dan satu mangsa di lingkungan beracun ini digunakan wereng batang padi coklat sebagai mangsa, sedangkan Menochilus sexmaculatus sebagai pemangsa pertama dan kepik mirid sebagai pemangsa kedua. Simulasi model matematika mangsa pemangsa ini pada Sistem (7) menggunakan nilai parameter berdasarkan (Alebraheem, J dan Abu-Hasan, Y., 2012) dan (Kar,T.K., Ghorai. A., and Jana, S.W., 2012). Adapun nilai-nilai parameter yang digunakan adalah

e2  2 h2 z 2

1  h2  x 

2

,

104

Jurnal SCIENCETECH Vol 2 No 1 April 2016

Gambar 1. Potret Fase Sistem (7) untuk

  0, 4 2. Jika parameter dan parameter lain seperti yang telah ditetapkan. Diperoleh titik ekuilibrium TE2.

Gambar 2. Potret Fase Sistem (7) untuk

e2

3. Nilai

ditetapkan 0,79, sedangkan nilai

diubah-ubah untuk menunjukkan dampak dari efisiensi pengubahan mangsa terhadap kelahiran pemangsa pada keeksistensian dan kepunahan dari salah satu pemangsa. Diperoleh titik ekuilibrium TE3.

Gambar 3. Potret Fase Sistem (7) untuk  e1 0.45  dan e2 0.79

e2

e1

ditetapkan 0,8, sedangkan nilai

diubah-ubah untuk menunjukkan adanya kecocokan hasil pada keeksistensian dan kepunahan dari pemangsa bergantung pada keefesiensian dari konversi tersebut. 105

5. Nilai

e1

ditetapkan 0,8, sedangkan nilai

e2  0.79

diubah-ubah untuk menunjukkan adanya kecocokan hasil pada keeksistensian dan kepunahan dari pemangsa bergantung pada keefesiensian dari konversi tersebut.

  0, 4

e2

4. Nilai

Gambar 4. Potret Fase Sistem (7) untuk e1  0.8 dan e2  0.45

  0,95

Gambar 5. Potret Fase Sistem (7) untuk

e1  0.8 dan e2  0.79

KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa dalam penelitian ini diberikan model mangsa pemangsa dengan dua pemangsa dan satu mangsa dengan penerapan racun, dengan respon pemangsaannya menggunakan fungsi respon Holling tipe II dan laju pertumbuhan mangsa dan pemangsa memenuhi fungsi logistik. Sistem (9) memiliki lima titik ekuilibrium. Kestabilan titik ekuilibrium Sistem (9) dianalisis hanya kestabilan lokal. Pada simulasi ini, ketiga populasi akan tetap bertahan hidup ketika nilai dari tingkat efisiensi pengubahan konsumsi mangsa terhadap kelahiran pemangsa pertama dan kedua saling berdekatan. Adanya racun juga mempengaruhi penurunan ketiga populasi tersebut. DAFTAR PUSTAKA Alebraheem, J dan Abu-Hasan, Y., 2012,“Persistence of predators in a two predators-one prey model with non periodic solution,” Applied Mathematical Sciences,Vol. 6, 2012, No. 19, 943 – 956. Edwards, C. H., dan Penney, D. E., 2008, “Elementary Differential quations (Sixth Edition),” Pearson Education, Inc, New York. Kar,T.K., Ghorai. A., and Jana, S.W., 2012, “ Dynamics of Pest and its Predator Model with Disease in the Pest and Optimal Use of Pesticide”, Fever Epidemic Through the use, American Journal of Theoretical Biology 310: 187-198.