TUGAS AKHIR
ANALISIS KESTABILAN MODEL MANGSA-PEMANGSA DENGAN MANGSA YANG TERINFEKSI DI LINGKUNGAN TERCEMAR
( S TA B I L I T Y A N A LY S I S O F A P R E D AT O R - P R E Y M O D E L WITH INFECTED PREY IN POLLUTED ENVIRONMENT) OLEH: NOVERIA CHARINA PUTRI 1207100047
AB ST R AK
Pencemaran lingkungan memberi efek negatif bagi kelangsungan hidup makhluk hidup. Pencemaran lingkungan terutama yang mengandung racun, memiliki pengaruh besar terhadap pemangsaan (predasi). Mangsa (prey) yang terinfeksi racun mengancam kelangsungan hidup populasi pemangsa (predator). Penyakit menular pada populasi hewan menjadi permasalahan yang mempengaruhi predasi. Penyebaran penyakit SIS terjadi bila infeksi tidak menyebabkan kekebalan, sehingga infectives menjadi rentan lagi setelah pemulihan penyakit. Dalam Tugas Akhir ini dibahas bilangan reproduksi dasar, analisis stabilitas dari titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik, serta kaitannya dengan bilangan reproduksi dasar dan simulasi perilaku sistem yang dipengaruhi infeksi dan racun. Diasumsikan bahwa interaksi epidemiologi adalah tipe SIS dan populasi prey maupun predator keduanya dipengaruhi oleh racun yang ada di lingkungan. Kata kunci : predator, prey, SIS, penyakit, racun, analisis kestabilan
PENDAHULUAN
L ATAR B E L AKANG Perubahan dalam lingkungan yang disebabkan oleh polusi (racun & pencemar)
PENDAHULUAN
kelangsungan hidup jangka panjang spesies, gaya hidup manusia dan keanekaragaman hayati dari habitat
TINJAUAN PUSTAKA
Terutama pemangsaan (Predasi)
METODOLOGI
Prey terinfeksi racun
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
mengancam kelangsungan hidup populasi predator Penyakit menular pada populasi hewan menjadi permasalahan yang mempengaruhi predasi analisis kestabilan dan simulasi model predator-prey dengan prey yang terinfeksi di lingkungan tercemar
R U MU SAN MASAL AH
dianalisa model epidemik tipe SIS yang mempunyai bentuk: PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI
dengan: : populasi prey
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
: : : :
fraksi yang menular populasi predator konsentrasi racun di lingkungan pada waktu konsentrasi racun dalam organisme pada waktu
PENDAHULUAN
K Q r
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
k h
: : : : : : : : :
daya dukung lingkungan terhadap prey laju masukan eksogen racun ke dalam lingkungan laju pertumbuhan populasi prey per kapita tanpa adanya predator parameter positif, masing-masing laju di mana prey dan populasi predator kehilangan biomassa mereka karena racun laju memangsa koefisien prey yang lebih rentan terinfeksi terhadap predasi koefisien prey yang terinfeksi racun efisiensi pakan dalam mengubah predasi menjadi predator baru laju kumulatif kehilangan racun dari lingkungan yang diakibatkan oleh proses seperti transformasi biologis, hidrolisis kimia, volatilisasi degradasi mikroba dan degradasi fotosintesis dan juga proses penyerapan
: laju kematian predator per kapita PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
: koefisien laju kelahiran populasi prey : gerakan prey yang terinfeksi keluar dari kelas menular karena proses pemulihan : jumlah rata-rata kontak binatang per unit waktu : konstanta positif yang menunjukkan laju penyerapan racun lingkungan per satuan massa organisme : konstanta positif yang menunjukkan laju penyerapan racun dalam makanan per satuan massa organisme : konstanta positif yang menunjukkan konsentrasi racun dalam sumber daya : konstanta positif yang menunjukkan laju rata-rata asupan makanan per satuan massa organisme : masing-masing konstanta positif yang menunjukkan organisme bersih konsumsi dan laju pembersihan dari racun
PERMASALAHAN PENDAHULUAN
1.
TINJAUAN PUSTAKA
2. METODOLOGI
Bagaimana menentukan bilangan reproduksi dasar, analisis stabilitas dari titik kesetimbangan bebas penyakit (disease free equilibrium) dan titik kesetimbangan endemik (endemic equilibrium), serta kaitannya dengan bilangan reproduksi dasar. Bagaimana menginterpretasikan model matematika predator-prey beserta simulasinya.
BATASAN MASALAH ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
Model penyebaran penyakit yang dipakai adalah model tipe SIS Populasi prey maupun populasi predator keduanya dipengaruhi oleh racun lingkungan
TUJUAN PENELITIAN PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI
Menganalisis kestabilan dari titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik serta kaitannya dengan bilangan reproduksi dasar dari model sistem predator-prey dengan prey yang terinfeksi di lingkungan tercemar. 2. Menginterpretasikan hasil analisis pengaruh penyebaran penyakit pada model sistem predator-prey dengan software Matlab.
1.
MANFAAT PENELITIAN ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
Memberikan informasi mengenai analisis kestabilan model sistem predator-prey dengan prey yang terinfeksi di lingkungan tercemar Memberi informasi bahwa penyelesaian bentuk kestabilan yang diberikan dapat direalisasikan untuk menjaga keseimbangan ekositem
SISTEMATIKA PENULISAN
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
Sistematika penulisan dalam Tugas Akhir ini adalah : BAB I – PENDAHULUAN Pada bab ini berisi tentang gambaran umum dalam penulisan Tugas Akhir yang meliputi latar belakang, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, dan sistematika penulisan. BAB II – TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini menjelaskan secara umum mengenai hasil penelitian terdahulu yang relevan dengan Tugas Akhir dan semua teori yang mendasari penulisan Tugas Akhir. BAB III – METODE PENELITIAN Pada bab ini menjelaskan tentang metode penelitian yang digunakan dalam penulisan Tugas Akhir dan urutan pelaksanaan kegiatan yang ditempuh untuk menyelesaikan Tugas Akhir. BAB IV – ANALISIS DAN PEMBAHASAN Pada bab ini dibahas analisis stabilitas dari model dengan titik setimbang bebas penyakit dan endemik serta kaitannya dengan basic reproduction number . BAB V – KESIMPULAN DAN SARAN Pada bab ini berisi tentang kesimpulan dari pembahasan Tugas Akhir dan saran untuk pengembangan selanjutnya.
TI N JAUAN PUSTAKA
T INJAUAN HASIL P E NE L IT I T E R D AHU L U
Model predator-prey [5] dengan dan masing-masing merupakan ukuran populasi prey dan predator adalah PENDAHULUAN (2.1) TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
Model ini adalah modifikasi model predator-prey Lotka-Volterra dengan pertumbuhan kepadatan logistik tergantung pada prey. Perkembangan selanjutnya ada model interaksi predator-prey yang dipengaruhi penyebaran penyakit menular tipe SIS pada prey sebagai berikut:
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
TUGAS AKHIR SEBELUMNYA (Angkasa, 2005) menganalisis penyebaran penyakit pada interaksi predator-prey dengan dua laju kontak yang berbeda, insiden aksi massa (konstan) dan insiden standart . Interaksi predator-prey dimodelkan menggunakan model Lotka Volterra dan penyebaran penyakit menular dimodelkan dengan menggunakan model epidemik tipe SI dan SIS, dengan pertumbuhan eksponensial, dengan asumsi penyakit hanya terjadi pada populasi prey. BILANGAN REPRODUKSI DASAR Untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit diperlukan suatu parameter tertentu. Parameter yang biasa digunakan adalah Bilangan Reproduksi Dasar (Basic Reproduction Number). Dengan menerapkan matematika bilangan reproduksi dasar dapat diperoleh dengan menentukan nilai eigen (nilai karakteristik) dari matriks Jacobian yang dihitung pada titik kesetimbangan bebas penyakit. Pada model yang kompleks, suatu model mungkin mempunyai lebih dari satu bilangan reproduksi dasar. Untuk kasus seperti ini, bilangan reproduksi dasar didefinisikan sebagai nilai terbesar dari beberapa bilangan reproduksi dasar.
TITIK SETIMBANG DAN KESTABILANNYA
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
Kestabilan suatu titik setimbang juga dapat diperiksa dari akar – akar karakteristik (nilai eigen ) dengan menyelesaikan dengan A adalah matrik dari sistem linearisasi persamaan differential yang berukuran 5x5, menghasilkan polynomial dengan derajat tertinggi sama dengan ukuran matrik yaitu polynomial derajat 5 yang mempunyai bentuk umum Sifat stabilitas titik setimbang berdasarkan tanda bagian real dibagi menjadi 3 yaitu : Stabil Titik Setimbang dikatakan stabil jika dan hanya jika akar karakteristik (nilai eigen ) adalah real dan negatif atau mempunyai bagian real tak positif. Stabil Asimtotis Titik Setimbang dikatakan stabil asimtotis jika dan hanya jika akar karakteristik (nilai eigen ) adalah real dan negatif atau mempunyai bagian real negatif. Tidak stabil Titik Setimbang dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika akar karakteristik (nilai eigen ) adalah real dan positif atau mempunyai paling sedikit satu niai eigen dengan bagian real positif.
K R IT E R IA K E STAB IL AN R O U T H – HU R W IT Z
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
Kriteria kestabilan Routh – Hurwitz adalah suatu metode untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar karakteristik secara langsung. Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan orde ke-n sebagai berikut :
Kemudian susun koefisien persamaan karakteristik menjadi : Tabel 2.1 Tabel Routh – Hurwitz Dengan
METODOLOGI
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
Untuk sistem tak linear harus dilinearkan sehingga didapatkan bentuk sistem linear. Persamaan hasil linearisasi disekitar dapat ditulis dalam bentuk:
KESTABILAN GLOBAL
PENDAHULUAN
Kestabilan global dari titik kesetimbangan dapat ditentukan dengan kriteria negatif Bendixon-Dulac. Mempertimbangkan:
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI
dengan dan setidaknya dalam Teorema 2.1 (Kriteria Bendixon) Jika pada suatu daerah
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
,
tidak identik dengan nol dan tidak
berubah tanda, maka persamaan (2.6) tidak memiliki orbit tertutup di D. Generalisasi dari kriteria Bendixon karena Dulac adalah sebagai berikut:
Teorema 2.2 Misal
adalah
pada daerah
. Jika
tidak identik dengan nol dan tidak berubah tanda di D, kemudian (2.6) tidak memiliki orbit tertutup di D.
METODOLOGI
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
ME T O D O L O GI
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
DAERAH FEASIBLE Model mempunyai daerah penyelesaian (daerah feasible) sebagai berikut : dengan: TITIK SETIMBANG MODEL Titik Setimbang adalah titik yang invariant terhadap waktu, dimana laju perubahan adalah nol. Dengan demikian titik-titik setimbang dari persamaan (4.1) sampai (4.5) diperoleh dari sehingga diperoleh titik-titik kesetimbangan: Titik setimbang bebas penyakit , dan Titik setimbang endemik
dan
KE STAB I L AN L O KAL T I T I K SE T I MB ANG B E B AS P E NYAK I T a. Titik setimbang
matriks jacobiannya adalah
Nilai eigen diperoleh dari:
Didapat nilai eigen:
stabil jika jika jika
dengan
,yaitu:
L ANJ U TAN … b. Titik setimbang
matriks jacobiannya adalah
Nilai eigen diperoleh dari:
Didapat nilai eigen:
jika dengan
stabil jika , jika
, yaitu:
L ANJ U TAN … c. Titik setimbang adalah
matriks jacobiannya
Nilai eigen diperoleh dari:
, dengan:
,
,
,
L ANJ U TAN … Didapat nilai eigen:
Dua akar yang lainnya diberikan oleh persamaan yang dapat ditulis menjadi maka koefisien dari polynomial orde 2 adalah:
Titik setimbang bebas penyakit
stabil jika
yaitu: jika
dengan
jika yang berarti
jika
dan
KE STAB I L AN L O KAL T I T I K SE T I MB ANG E ND E MI K a. Titik setimbang
matriks jacobiannya adalah
Nilai eigen diperoleh dari:
, dengan: ,
,
,
L ANJ U TAN … Didapat nilai eigen:
Titik setimbang endemik
stabil jika
yaitu:
L ANJ U TAN … b. Titik setimbang adalah
matriks jacobiannya
nilai eigen diperoleh dari
, dengan:
L ANJ U TAN … Didapat nilai eigen:
, Dua akar yang lainnya diberikan oleh persamaan dapat ditulis menjadi orde 2 adalah:
yang maka koefisien dari polynomial
Titik setimbang endemik yaitu:
stabil
jika jika
yang berarti
jika
dan
jika
B IL ANGAN R E P R O D U KSI D ASAR
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
Bilangan reproduksi dasar diperoleh dengan menentukan nilai eigen dari matriks Jacobian pada titik kesetimbangan bebas penyakit. Berdasar perhitungan sebelumnya, didapat tiga bilangan reproduksi dasar yaitu dan . Bilangan reproduksi dasar didefinisikan sebagai nilai terbesar . Diperoleh:
METODOLOGI
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
Karena
maka didefinisikan:
KE STAB IL AN GL O B AL T IT IK SE T IMB ANG B E B AS P E NYAKIT
Dipilih : PENDAHULUAN
jelas
jika
dan
TINJAUAN PUSTAKA
Akan dibuktikan
stabil asimtotik global pada bidang H-P .
METODOLOGI
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
Sehingga untuk semua , oleh karena itu, dengan kriteria Bendixon-Dulax, maka sistem tidak mempunyai orbit periodik. Ini membuktikan stabil asimtotik global pada bidang H-P.
SIMU L ASI
PENDAHULUAN
Parameter yang digunakan: , , , , Dengan nilai awal:
,
, ,
, ,
, .
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
Perilaku sistem yang dipengaruhi infeksi dan racun
,
,
L ANJ U TAN …
Laju Pertumbuhan Susceptible Prey Pada awal laju pertumbuhannya, susceptible prey mengalami penurunan karena peningkatan laju kehilangan biomassa, yang mengakibatkan prey menjadi terinfeksi dan rentan terhadap predasi. Kemudian susceptible prey mengalami kenaikan laju pertumbuhan akibat peningkatan laju kematian predator yang disebabkan oleh kehilangan biomassa karena racun.
Laju Pertumbuhan Infected Prey Pada awal laju pertumbuhannya, terjadi kontak antara infected prey dengan susceptible prey. Laju pertumbuhan infected prey menurun akibat dari peningkatan laju memangsa predator pada susceptible prey yang tidak diimbangi dengan peningkatan laju kelahiran populasi prey.
Laju Pertumbuhan Predator Pada awal laju pertumbuhan predator, terjadi peningkatan laju memangsa infected prey. Kemudian predator kehilangan biomassa karena terinfeksi racun dari prey yang dimangsanya dan mengalami peningkatan laju kematian.
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
L ANJ U TAN …
Untuk U* =9 PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
Untuk U*=1 PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
PENUTUP
KESIMPULAN: PENDAHULUAN
a. Diperoleh titik setimbang bebas penyakit:
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI
ANALISIS DAN PEMBAHASAN PENUTUP
b. Diperoleh titik setimbang endemik:
L A N J U TA N …
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
c. Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal : Jika dan maka titik kesetimbangan bebas penyakit stabil. Jika dan maka titik kesetimbangan bebas penyakit stabil. Jika , dan maka titik kesetimbangan stabil. d. Pengaruh titik kesetimbangan pada kestabilan lokal endemik: Jika : dan maka titik setimbang endemik Jika :
stabil.
PENUTUP ,
maka titik kesetimbangan endemik
,
stabil.
L A N J U TA N …
PENDAHULUAN
e. Diperoleh bilangan reproduksi dasar:
TINJAUAN PUSTAKA
METODOLOGI
Jika maka akan terjadi penularan penyakit pada seluruh populasi prey yang rentan (susceptible). Jika maka tidak terjadi endemik.
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
SARAN PENUTUP
Pada penelitian ini tidak dibahas mengenai persistensi oleh karena itu penulis menyarankan agar pada penelitian selanjutnya menyertakan permasalahan persistensi.
D AFTAR
PU S TAKA
Angkasa, dan Winarko. 2005. Masalah Penyebaran Penyakit Menular pada Model Predator-Prey. Skripsi ITS. Anonim. Pebruari 2000. Interaksi Antar Komponen. URL:http://kambing.ui.ac.id/bebas/v12/sponsor/Sponsorpendamping/Praweda/Biologi/0028%20Bio%201-6c.htm (diakses tanggal 15 Pebruari 2011). Finizio, N. dan Landas, G. 1988. Ordinary Differential Equations with Modern Applications. California: Wadsworth Publishing Company. Kristianto, D.A. 2009. Analisis Model Perkembangan Virus HCV Type 4A pada Penyebaran Penyakit Hepatitis C. Tugas Akhir Jurusan Matematika ITS. Surabaya. Sinha. S, Misra. O.P, Dhar J. 2010. Modelling a Predator-Prey System with Infected Prey in Polluted Environment. Applied Mathematical Modelling 34(2010) 1861-1872. Wiggins, S, (1990), Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Splinger-Verlag, New York
TERIMA KASIH
