ANALISIS KESTABILAN MODEL RANTAI MAKANAN TIGA SPESIES DENGAN MANIFOLD PUSAT
Oleh: Novi Oktaria Ekawati G54101025
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006
1
ABSTRAK NOVI OKTARIA EKAWATI. Analisis Kestabilan Model Rantai Makanan Tiga Spesies dengan Manifold Pusat . Dibimbing oleh PAIAN SIANTURI dan ALI KUSNANTO . Interaksi antar spesies yang terjadi dalam suatu ekosistem dapat menyebabkan keadaan populasi suatu spesies berubah. Interaksi tersebut dapat memberikan dampak positif, negatif, atau bahkan tidak berpengaruh terhadap spesies -spesies yang berinteraksi. Untuk mengetahui keadaan populasi suatu spesies dalam ekosistem dilaku kan analisis kestabilan dan pengamatan terhadap perilaku dinamika populasinya. Dari proses pemangsaan yang dibahas dalam tulisan ini diperoleh suatu model matematika sederhana yang merupakan sistem persamaan diferensial tak linear melibatkan tiga komponen spesies pada suatu rantai makanan. Model tersebut terdiri dari tiga populasi spesies pada tiga level yang berbeda, yaitu spesies x pada level pertama, spesies y pada level kedua, dan spesies z pada level paling atas. Analisis kestabilan dilakukan dengan menentukan titik tetapnya terlebih dahulu sebagai kondisi keseimbangan dari sistemnya, kemudian dengan menggunakan Teorema Manifold Pusat akan dianalisis dinamika di sekitar keseimbangan dari suatu sistem tak linear. Untuk kestabilan T1 diperoleh manifold tak stabil 1-dimensi yang bersinggungan dengan subruang tak stabil pada sumbu x, kemudian terdapat manifold stabil 2-dimensi yang invarian bersinggungan dengan subruang stabil pada bidang-yz. Sedangkan untuk kestabilan T2 diperoleh manifold pusat 2-dimensi yang invarian bersinggungan dengan subruang pusat pada bidang-xy. Orbit kestabilan populasi untuk ketiga spesies digambarkan dengan menggunakan penyelesaian secara numerik sehingga dapat diamati perubahan dinamika populasinya terhadap perilaku parameter yang berbeda, yaitu pada kasus ag = bf , ag > bf , dan ag < bf . Dengan demikian dapat diprediksikan kondisi yang dapat menyebabkan peningkatan atau penurunan pertumbuhan populasi pada suatu spesies.
2
ANALISIS KESTABILAN MODEL RANTAI MAKANAN TIGA SPESIES DENGAN MANIFOLD PUSAT
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh: Novi Oktaria Ekawati G54101025
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006
3
Judul Nama NRP
: Analisis Kestabilan Model Rantai Makanan Tiga Spesies dengan Manifold Pusat : Novi Oktaria Ekawati : G54101025
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Paian Sianturi NIP 131924899
Drs. Ali Kusnanto, M.Si NIP 131913135
Mengetahui : Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS NIP 131473999
Tanggal Lulus :
4
“Kupersembahkan karya kecil ini untuk kedua orangtuaku, adikadikku, dan semua orang yang kusayangi...” ”Tidak ada pelaut ulung yang dilahirkan dari samudera yang tenang, tapi ia akan dilahirkan dari samudera yang penuh terpaan badai, gelombang, dan topan”. ( D Farhan Aulawi )
RIWAYAT HIDUP
5
Penulis dilahirkan di Sleman pada tanggal 18 Oktober 1984 sebagai anak pertama dari tiga bersaudara dengan ayah HM Sujasman dan ibu Hj. Siti Marfu’ah. Penulis menyelesaikan pendidikan dasar di SD Perwira Bakti 1 Bekasi pada tahun 1995. Pendidikan menengah tingkat pertama dilalui di SMP Negeri 1 Bekasi pada tahun 1998. Kemudian penulis melanjutkan pendidikan di SMU Negeri 1 Bekasi dengan jurusan IPA hingga tahun 2001. Pada tahun 2001, penulis diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) sebagai mahasiswi di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan sebagai pengurus departemen Humaniora Himpunan Profesi Gumatika periode 200 2/2003.
PRAKATA
6
Alhamdulillahirabbil’aalamin. Teruntai rasa syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Penulisan skripsi ini merupakan syarat bagi kelulusan sebagai Sarjana Sains pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Skripsi ini berjudul Analisis Kestabilan Model Rantai Makanan Tiga Spesies dengan Manifold Pusat. Penulis mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak yang telah membantu terselesaikannya karya ilmiah ini, diantaranya Bapak Dr. Paian Sianturi dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si selaku pembimbing yang telah banyak memberikan masukan dan pengarahan kepada penulis . Penulis juga berterima kasih kepada Ibu Dra. Annis Diniati, M.Si selaku penguji. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Dwichandra Eka Prasetya; Mba Yessie Widya Sari, M.Si; Kak Cecep, S.Si; dan Mba Yoanita, S.Si; atas diskusi-diskusi berharga yang berkaitan dengan karya ilmiah ini, serta seluruh dosen dan staf di lingkungan Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Ungkapan terima kasih yang terdalam dihaturkan kepada Papa dan Mama atas segala do’a, kasih sayang, dan keikhlasannya yang tiada pamrih, adik-adikku Naning dan Zella atas segala keceriaan dan canda tawanya, serta kepada Asih Irianto atas segala do’a, nasihat, dorongan semangat, dan kasih sayangnya kepada penulis. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada Eka, Mona, dan Gresi yang telah menjadi sahabat terbaikku di saat suka maupun duka. Terima kasih kepada seluruh rekan–rekan Matematika 38 (khususnya Eva, Nanik, Reni, Saidah, Nia, Hawa, Feidy, Niken) untuk semua bantuan dan kebersamaan selama menjalani hari-hari “berat” penyelesaian tugas akhir. Terima kasih kepada Is dad, Rodih, dan Ike yang telah bersedia membantu sebagai pembahas pada seminar tugas akhir penulis. Terima kasih juga untuk semua kakak-kakak kelas angkatan 35, 36, 37 dan adik-adik kelas angkatan 39, 40, dan 41 atas kebersamaannya selama ini. Tidak lupa ucapan terima kasih disampaikan kepada Keluarga Besar Madela (Kak Yana, Iecka, Qqonk, Tyas dan adik–adikku: Lusi, Mita, Lisa, Yanah, Viny, Rini, Ade, dan Rinceu) atas canda tawa dan semangat yang diberikan kepada penulis. Semoga karya ilmiah ini dapat berm anfaat bagi kita semua.
Bogor, Februari 2006
Novi Oktaria Ekawati
DAFTAR ISI
7
Halaman DAFTAR GAMBAR .............................................................................................................................
vi
DAFTAR LAMPIRAN.........................................................................................................................
vi
PENDAHULUAN Latar Belakang................................................................................................................................ Tujuan...............................................................................................................................................
1 1
LANDASAN TEORI .............................................................................................................................
1
PEMBAHASAN Model................................................................................................................................................ Titik Tetap ....................................................................................................................................... Analisis Kestabilan Titik Tetap.................................................................................................... Kestabilan Titik Tetap T 1 ...................................................................................................... Kestabilan Titik Tetap T 2 ...................................................................................................... Kasus ag = bf .......................................................................................................................... Kasus ag > bf .......................................................................................................................... Kasus ag < bf ..........................................................................................................................
4 6 6 6 8 8 10 11
SIMPULAN.............................................................................................................................................
14
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................................
15
LAMPIRAN ............................................................................................................................................
16
DAFTAR GAMBAR Halaman
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Arah aliran manifold........................................................................................................................ Skema model mangsa-pemangsa pada rantai makanan tiga spesies ....................................... Kurva solusi untuk manifold tak stabil......................................................................................... Kurva solusi untuk manifold stabil ............................................................................................... Orbit kestabilan pada bidang-xy untuk kasus ag = bf................................................................ Orbit kestabilan pada bidang-xz untuk kasus ag = bf................................................................ Orbit kestabilan pada bidang-yz untuk kasus ag = bf................................................................ Dinamika populasi tiga spesies untuk kasus ag = bf ................................................................. Orbit kestabilan pada bidang-xy untuk kasus ag > bf................................................................ Orbit kestabilan pada bidang-xz untuk kasus ag > bf................................................................ Orbit kestabilan pada bidang-yz untuk kasus ag > bf................................................................ Dinamika populasi tiga spesies untuk kasus ag > bf ................................................................. Orbit kestabilan pada bidang-xy untuk kasus ag < bf................................................................ Orbit kestabilan pada bidang-xz untuk kasus ag < bf................................................................ Orbit kestabilan pada bidang-yz untuk kasus ag < bf................................................................ Dinamika populasi tiga spesies untuk kasus ag < bf .................................................................
3 5 7 8 9 9 9 10 10 10 10 11 11 12 12 13
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 2 3 4
Program untuk menganalisis kestabilan titik tetap ................................................................... Program untuk memperoleh kurva solusi untuk menggambarkan manifold........................ Program untuk memperoleh grafik orbit populasi .................................................................... Program untuk memperoleh grafik dinamika populasi ............................................................
I. PENDAHULUAN I.1 Latar Belakang
16 17 18 20
9
Pada umumnya, dalam kehidupan nyata terdapat interaksi antar spesies dalam suatu ekosistem, sehingga keadaan populasi suatu spesies akan berbeda tanpa hadirnya spesies spesies lain yang berinteraksi. Interaksi antar spesies tersebut dapat memberikan dampak positif, negatif, atau bahkan tidak berpengaruh bagi spesies-spesies yang berinteraksi. Model interaksi pemangsaan atau model mangsapemangsa sederhana yang telah banyak dikenal adalah model Lotka-Volterra . Salah satu contoh interaksi antar spesies yang dapat memberikan pengaruh terhadap spesies-spesiesnya adalah model rantai makanan. Tulisan ini akan membahas tentang proses pemangsaan dalam suatu rantai makanan tiga spesies dengan mengambil ekosistem sederhana. Rantai makanan merupakan kelompok organisme yang disusun menurut urutan tertentu untuk memperlihatkan bagaimana organisme mendapatkan makanan dan energi dari organisme sebelumnya, kemudian organisme tersebut dimakan sebagai sumber energi bagi organisme sesudahnya. Dalam suatu rantai makanan biasanya terdapat tiga atau empat organisme. Organisme pertama adalah tumbuhan yang memperoleh makanan dari senyawa-senyawa anorganik. Organisme kedua adalah organisme pemakan tumbuhan, atau disebut juga herbivora. Sedangkan organisme ketiga adalah organisme pemakan herbivora, atau disebut juga karnivora. Kemudian organisme keempat adalah karnivora pemakan karnivora lain yang lebih kecil. Salah satu contoh rantai makanan adalah: rumput –insekta–burung-ular. Dari proses pemangsaan yang dibahas dalam tulisan ini, akan ditinjau suatu model matematika sederhana yang melibatkan tiga komponen pada suatu rantai makanan. Model
mangsa-pemangsa yang dibahas adalah model interaksi pemangsaan antar tiga spesies dalam suatu rantai makanan. Model tersebut terdiri dari tiga level spesies, yaitu spesies x pada level pertama berperan sebagai mangsa bagi spesies y pada level berikutnya, spesies y ini bertindak sebagai pemangsa terhadap spesies x namun juga berperan sebagai mangsa bagi spesies z, sedangkan spesies z pada level paling atas bertindak sebagai pemangsa terhadap spesies y. Pembahasan mengenai penentuan kestabilan titik tetap diperoleh dengan melihat nilai eigen dan vektor eigennya. Penelitianpenelitian sebelumnya mengenai analisis kestabilan pada model mangsa-pemangsa menggunakan kriteria Routh-Hurwitz, yaitu menganalisis terlebih dahulu nilai-nilai parameter agar sistemnya stabil. Namun analisis kestabilan populasi tiga spesies pada model rantai makanan ini dilakukan dengan menggunakan Teorema Manifold Pusat . Teorema Manifold Pusat ini merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menganalisis dinamika disekitar keseimbangan dari suatu sistem tak linear. Sedangkan untuk menggambarkan orbit kestabilan dan perubahan dinamika populasi dilakukan dengan menggunakan software Mathematica dengan program tambahan yang dapat didownload dari www.wolfram.com yaitu program DynPac. I.2 Tujuan Dalam tulisan ini akan dianalisis kestabilan populasi tiga spesies dari model rantai makanan serta menggambarkan orbit kestabilan dan perubahan dinamika populasi untuk perilaku parameter yang berbeda.
II. LANDASAN TEORI Model matematika yang diperoleh dari proses pemangsaan pada suatu rantai makanan
berupa sistem persamaan diferensial orde pertama [Chauvet, 2002]. Sebelum membahas
10
mengenai masalah model matematikanya, terlebih dahulu akan dibahas teori dasar sistem persamaan diferensial dan masalah kestabilannya. Misalkan diberikan suatu sistem persamaan diferensial orde pertama: dx = x& = m( x, y ), dt dy = y& = n(x , y ), (1) dt Jika fungsi m dan n kontinu bernilai real dari x dan y, dengan laju perubahan x dan y dinyatakan dengan fungsi dari x dan y sendiri serta tidak berubah terhadap waktu, maka sistem persamaan (1) dapat dinyatakan sebagai sistem persamaan diferensial mandiri. Sedangkan jika sistem tersebut berubah terhadap waktu maka disebut dengan sistem dinamik. Selanjutnya akan dibahas kestabilan disekitar titik tetap dari suatu sistem dinamik. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial (SPD) berikut dx = x& = m( x ), x ∈ R n . (2) dt Suatu titik x = a yang memenuhi m a = 0 disebut titik keseimbangan atau titik tetap dari sistem (2) [Tu, 1994]. Misalkan x* adalah titik tetap dari sistem dinamik (2), dan x(t) merupakan solusi dari sistem tersebut dengan nilai awal x(0)=x0 dengan x0 ≠ x*. Maka titik x* dikatakan sebagai titik tetap stabil jika untuk setiap e > 0, terdapat r > 0 sehingga apabila titik awal di x0 memenuhi | x0 - x* | < r, maka solusi x(t) memenuhi | x(t) - x* | < e, untuk setiap t > 0. Sedangkan ti tik x* dikatakan sebagai titik tetap tak stabil jika untuk setiap e > 0, terdapat r > 0 sehingga apabila titik awal di x0 memenuhi | x0 - x* | < r, maka solusi x(t) memenuhi | x(t) - x* | = e, untuk setiap t > 0 [Verhulst, 1990]. Sistem persamaan diferensial tak linear sulit dicari solusinya. Untuk itu dilakukan pelinearan unt uk melihat perilaku solusi di sekitar titik tetapnya. Pelinearan pada sistem persamaan diferensial (2) dengan menggunakan perluasan deret Taylor dari m x pada titik-titik tetapnya, diperoleh
()
()
x& = Ax + ϕ (x ) ,
dengan A = Dm( x )
x = x*
(3)
∂m1 ∂m1 L ∂x n ∂x1 = M O M ∂mn L ∂mn ∂x ∂x n x = x * 1
(4)
dan fungsi ϕ ( x ) memenuhi lim ϕ (x ) = 0 . x →0 Selanjutnya Ax pada persamaan (3) disebut pelinearan sistem tak linear dalam bentuk x& ≡ Ax . (5) Untuk menganalisis kestabilan di sekitar titik tetap dilakukan pengamatan terhadap nilai eigen dan vektor eigen. Oleh karena itu, untuk selanjutnya akan dibahas mengenai penentuan nilai eigen. Misalkan diberikan suatu matriks koefisien A berukuran n x n. Skalar ? disebut sebagai suatu nilai eigen atau nilai karakteristik (characteristic value) dari matriks A jika terdapat suatu vektor tak nol x, sehingga Ax = λx . (6) Vektor x disebut vektor eige n dari matriks A. Matriks A disebut juga sebagai matriks Jacobi yang didefinisikan pada persamaan (4). Untuk memperoleh nilai eigen λ dari matriks A, maka persamaan (6) dapat ditulis sebagai (7) A − λI x = 0, dengan I matriks identitas. Persamaan (7) mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika p λ = det A − λI = A − λI = 0 . (8) Persamaan diatas disebut persamaan karakteristik dari matriks A. Secara umum kestabilan suatu titik tetap didasarkan pada kriteria berikut: 1) Stabil, jika a. Re λi < 0 untuk setiap i.
( )
(
)
(
)
( )
( )
b. Terdapat Re λi = 0 untuk sebarang i
( )
dan Re λ j < 0 untuk setiap
i ≠ j.
2) Tak stabil, jika terdapat paling sedikit satu i dimana Re λi > 0 [Grimshaw, 1990].
( )
Oleh karena sistem persamaan diferensial tak linear sulit dicari solusinya, sehingga dilakukan pelinearan untuk melihat perilaku solusi di sekitar titik tetapnya dengan menggambarkan bidang fasenya. Misalkan bentuk umum dari medan arah bidang fase adalah x&1 = m1 ( x1 , x 2 ), (9) x& 2 = m 2 ( x1 , x 2 ),
11
dengan m1 dan m 2 adalah fungsi yang diberikan. Sistem ini dapat dituliskan kembali secara ringkas dalam notasi vektor (10) x& = m x ,
()
dengan x = ( x1 , x 2 )dan m (x ) = (m1 ( x), m 2 (x )) , x mewakili suatu titik pada bidang fase, dan x& merupakan vektor kecepatan pada titik tersebut. Dari aliran sepanjang medan arah, jejak-jejak titik fase mengikuti suatu solusi x(t) dan sesuai dengan lintasan yang melingkar melalui bidang fase. Selanjutnya, keseluruhan bidang dipenuhi dengan lintasanlintasan pada saat tiap titik memenuhi kondisi awal [Strogatz, 1994]. Untuk sistem tak linear dengan dimensi tinggi, tidak lagi mudah untuk menggambarkan diagram fase dari sistemnya. Berikut akan dijelaskan mengenai aliran bidang fase pada sistem dengan dimensi tinggi. Misalkan diberikan persamaan diferensial x& = m( x) . Sistem yang telah dilinearkan
x& = Ax untuk x(0) = x0 mempunyai solusi
x (t , x 0 ) = e x 0 . Jadi e At mendefinisikan At
suatu arah aliran φt di Rn yang disebabkan oleh medan arah Ax di Rn. Himpunan dari semua solusi untuk x& = Ax terletak pada subruang linear yang direntang oleh vektor eigen:
{
(i) subruang stabil E s ≡ span v1 , v 2 , K, v n (ii) subruang takstabil Eu ≡ span u 1 , u 2 , K , u n
} (iii) subruang pusat E ≡ span {w , w
}
{
c
1
2
n
}
, K, w dengan E , E , E secara berurutan adalah subruang yang direntang oleh vektor eigen stabil sebanyak ns yang bersesuaian dengan nilai eigen sebanyak ns yang bernilai negatif pada bagian realnya; vektor eigen sebanyak n u yang bersesuaian dengan nilai eigen sebanyak nu yang bernilai positif pada bagian realnya; dan vektor eigen sebanyak nc yang bersesuaian dengan nilai eigen sebanyak nc yang bernilai nol pada bagian realnya. Dengan demikian, n s + nu + n c = n [Tu, 1994]. Salah satu metode yang dapat digunakan dalam analisis kestabilan suatu populasi adalah metode Manifold Pusat. Secara umum metode ini memisahkan perilaku asimtot yang rumit dengan menempatkan suatu manifold yang invarian terhadap garis singgung pada subruang yang direntang oleh ruang eigen dari nilai eigen yang bersesuaian. Untuk menjelaskan masalah manifold ini, perhatikan dua teorema berikut: s
u
c
Teorema Manifold Stabil Misalkan E merupakan himpunan bagian terbuka dari R n, dan f ∈ C 1 ( E ) yaitu fungsi f kontinu pada ruang yang terdiferens ialkan pertama, kemudian misalkan φt merupakan aliran dari sistem taklinear. Misalkan bahwa f(0) = 0 dan Df(0) mempunyai k nilai eigen yang bagian realnya bernilai negatif dan n-k nilai eigen yang bagian realnya bernilai positif. Maka terdapat suatu manifold S kdimensi yang terdiferensialkan dan bersinggungan dengan subruang stabil E s dari sistem linear pada 0, sehingga untuk
()
setiap t ≥ 0 , φ t S ⊂ S x0 ∈ S ,
dan untuk setiap
lim φ (x ) = 0 ; t →∞ t 0 dan terdapat suatu manifold U (n-k)-dimensi yang terdiferensialkan dan bersinggungan dengan subruang tak stabil E u dari sistem linear pada 0, sehingga untuk setiap t ≤ 0 , φ t (U ) ⊂ U dan untuk setiap x 0 ∈ U ,
lim φ (x ) = 0 . t → −∞ t 0 [Perko, 1991]
Teorema Manifold Pusat Misalkan f ∈ C r(E) dengan E merupakan himpunan bagian terbuka dari R n yang memuat r ≥1. Misalkan f(0) = 0 dan Df(0) mempunyai k nilai eigen yang bagian realnya bernilai negatif, j nilai eigen yang bagian realnya bernilai positif, dan m=n-k-j nilai eigen yang bagian realnya bernilai nol. Maka terdapat suatu manifold pusat Wc(0) m-dimensi dari C r yang bersinggungan dengan subruang pusat Ec dari sistemnya di 0 yang invarian pada aliran solusi φt . [Perko, 1991] Berikut ini merupakan ilustrasi dari manifold beserta arah alirannya yang diproyeksikan dalan suatu ruang dimensi tiga, terdiri dari ilustrasi manifold stabil, manifold tak stabil, dan manifold pusat.
12
E
Es W
s
Ec W
c
Wu Gambar 1. Arah aliran manifold [Guckenheimer/Holmes, 1983] Untuk melihat arah aliran dari suatu kurva solusi yang dapat mengilustrasikan suatu manifold, dapat digunakan suatu teorema dasar kalkulus yaitu sebagai berikut: Teorema Kemonotonan Andaikan m kontinu pada selang L dan dapat terdiferensialkan pada setiap titik dalam dari L. (i). Jika m’(x)>0 untuk semua titik di dalam x dari L , maka m naik pada L. (ii). Jika m’(x)<0 untuk sem ua titik di dalam x dari L, maka m turun pada L [Purcell, 1995]. Pada bidang koordinat akan diperlihatkan bahwa setiap bidang pada koordinat adalah invarian terhadap persamaan diferensialnya. Secara umum, suatu permukaan S adalah invarian terhadap suatu sistem persamaan diferensial jika setiap solusi yang ada pada S tidak keluar dari S. Sifat -sifat dari invarian bidang koordinat sesuai dengan pemikiran secara biologis, karena jika beberapa spesies punah maka tidak akan muncul kembali. Pada beberapa buku, permukaan invarian S sering diberikan sebagai level himpunan dari suatu fungsi G x, y, z , yang dinyatakan dengan suatu integral pertama dari sistem persamaan diferensialnya. Teorema 1 Andaikan S merupakan suatu permukaan tertutup yang rata tanpa batas di R3 dan dx = m(x , y , z ), dt dy = n(x , y , z ), dt
(
)
= h( x, y , z ), (11) dt dengan m, n, dan h terdiferensialkan. Misalkan bahwa n adalah suatu vektor normal terhadap permukaan S pada x, y, z , dan dz
u
(
(
)
)
untuk setiap x, y , z ∈ S diperoleh bahwa
dx dy dz , , = 0. dt dt dt Maka S merupakan invarian terhadap sistem persamaan (11) [Chauvet, 2002]. Analisis kestabilan di sekitar titik tetap dari sistem persamaan diferensial pada model didasarkan pada nilai eigen dan vektor eigen. Nilai eigen yang dihasilkan dari matriks Jacobi J x ∗ , y ∗ , z ∗ memberikan informasi tentang dinamika disekitar keseimbangan dari sistemnya. Jika semua nilai eigen yang diperoleh bernilai negatif pada bagian realnya maka x ∗ , y ∗ , z ∗ bersifat stabil asimtot. Sedangkan jika setiap nilai eigen yang diperoleh bernilai positif pada bagian realnya ∗ ∗ ∗ maka bersifat tak stabil x ,y ,z asimtot . Teorema Manifold Pusat merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menganalisis dinamika di sekitar titik tetap dari suatu sistem tak linear seperti pada kasus yang akan dibahas selanjutnya. Teorema Manifold Pusat menyatakan bahwa ada kaitan bila terjadi keseimbangan pada x ∗ , y ∗ , z ∗ maka terdapat himpunan invarian yang memuat x ∗ , y ∗ , z ∗ , yaitu manifold stabil , manifold tak stabil, dan manifold pusat . Dimensi dari himpunan tersebut merupakan jumlah nilai eigen pada matriks jacobi ∗ ∗ ∗ J x ,y ,z yang dapat bernilai negatif, positif, maupun bernilai nol pada bagian realnya. Selain itu, setiap manifold yang bersinggungan dengan bidang real direntang oleh vektor eigen yang bersesuaian dengan manifold. Pada manifold stabil semua trayektori membentang kearah titik tetap, sedangkan pada manifold tak stabil semua trayektori membentang menjauhi titik tetap [Chauvet, 2002]. n⋅
(
)
(
)
(
)
(
(
(
)
)
)
13
III. PEMBAHASAN III.1 Model Model mangsa-pemangsa yang dibahas adalah modifikasi dari model Lotka-Volterra pada suatu rantai makanan yang terdiri dari tiga spesies, yaitu mangsa x pada level paling bawah dimangsa oleh pemangsa y diatasnya pada level kedua dan spesies y dimangsa oleh pemangsa z pada level paling atas. Contoh rantai makanan sederhana yang dibahas dalam tulisan ini adalah: tumbuhan-tikus-ular. Model mangsa-pemangsa klasik yang telah banyak dikenal adalah model Lotka-Volterra untuk dua spesies, yaitu dx (12) = ax − bxy, dt dy = −cy + dxy . (13) dt Sedangkan model rantai makanan tiga spesies yang akan dibahas dalam tulisan ini merupakan modifikasi dari model LotkaVolterra diatas yang telah banyak dikenal. Untuk memperoleh model matematika dari rantai makanan tiga spesies ini, dilakukan modifikasi model diatas dengan menambah satu persamaan untuk populasi spesies ketiga dan mengkonstruksi beberapa asumsi. Pada suatu rantai makanan setiap spesies merupakan mangsa bagi spesies lain pada level diatasnya, dan minimum rantai makanan terdiri dari tiga spesies. Secara skematik, diagram formulasi model rantai makanan tiga spesies dapat dilihat pada gambar 2. Misalkan x menyatakan banyaknya spesies sebagai mangsa di level pertama pada waktu t, y menyatakan banyaknya spesies sebagai pemangsa di level kedua pada waktu t, dan z menyatakan banyaknya spesies juga sebagai pemangsa di level paling atas pada waktu t. d
a
x
b
y
e
c
z f
g
Gambar 2. Skema model mangsa-pemangsa pada rantai makanan tiga spesies
Berdasarkan gambar 2, perubahan laju populasi spesies x dipengaruhi oleh tingkat reproduksi yaitu laju pertumbuhan alami spesies tersebut. Kemudian terjadi proses pemangsaan terhadap spesies x oleh spesies y, sehingga efek yang ditimbulkan dari pemangsaan tersebut akan mempengaruhi laju populasi spesies x. Perubahan laju populasi spesies y dipengaruhi oleh laju kematian alami yang terjadi tanpa kehadiran spesies x sebagai mangsanya. Laju pemangsaan spesies y terhadap spesies x juga bergantung pada kontak atau bertemunya antara mangsa dan pemangsa. Kemudian terjadi proses pemangsaan terhadap spesies y oleh spesies z pada level paling atas, sehingga efek yang ditimbulkan dari pemangsaan tersebut juga akan mempengaruhi laju populasi spesies y. Sedangkan perubahan laju populasi spesies z dipengaruhi oleh laju kematian alami yang terjadi tanpa kehadiran spesies y sebagai mangsanya. Kemudian kontak atau peluang bertemunya spesies y dengan spesies z akan mempengaruhi laju pemangsaannya. Pada skema model di atas digunakan model influence, garis putus-putus pada parameter d mengilustrasikan bahwa paramet er d yaitu laju penyebaran spesies y sebagai pemangsa bagi spesies x dipengaruhi oleh x dan y, karena parameter d dapat menunjang efisiensi pemangsaan dari spesies y terhadap spesies x. Model skema di atas mengilustrasikan bahwa dari spesies yang dimangsa pada level sebelumnya kemudian timbul efek yang dapat mempengaruhi pertumbuhan spesies pemangsa meningkat, misalnya mengakibatkan kesehatan bagi pemangsa sehingga berdampak positif bagi kelangsungan hidupnya. Konstruksi model matematika untuk rantai makanan tiga spesies ini menggunakan asumsi: (i) Laju pertumbuhan dari populasi mangsa sebanding dengan laju pertumbuhan alamiah. (ii) Laju pemangsaan proporsional dengan laju perjumpaan antara pemangsa dengan mangsa. (iii) Efisiensi pemangsaan tidak tergantung umur mangsa dan umur pemangsa. (iv) Kontak antara mangsa dan pemangsa berlangsung secara acak. Setiap individu mangsa memiliki peluang yang sama untuk dimangsa.
14
Dengan demikian model mangsapemangsa untuk rantai makanan tiga spesies dalam kasus ini dapat dimodelkan seperti pada model yang disusun oleh Chauvet, 2002 sebagai berikut: dx (14) = ax − bxy, dt dy = −cy + dxy − eyz , (15) dt dz = − fz + gyz , (16) dt dengan a , b, c , d , e, f , g > 0 , 3 {( x, y, z) | x ≥ 0, y ≥ 0 , z ≥ 0} ⊂ R , x(t) : jumlah populasi spesies x pada level pertama, y(t) : jumlah populasi spesies y pada level kedua, z(t) : jumlah populasi spesies z pada level ketiga, a : laju pertumbuhan alami spesies x tanpa kehadiran spesies y, b : efek pemangsaan terhadap spesies x oleh spesies y, c : laju kematian alami spesies y tanpa kehadiran spesies x, d : laju penyebaran spesies y, e : efek pemangsaan terhadap spesies y oleh spesies z, f : laju kematian alami spesies z, g : laju penyebaran spesies z. Selanjutnya akan diturunkan titik tetap untuk model (14), (15), dan (16) yang kemudian akan dibahas analisis kestabilan di sekitar titik tetap tersebut serta dinamika populasinya. Titik tetap yang telah diperoleh akan dilanjutkan dengan proses pelinearan, sehingga dari nilai eigen yang dihasilkan dapat dilakukan analisis kestabilan dengan menggunakan Teorema Manifold Pusat. Sedangkan untuk menggambarkan orbit kestabilan dan dinamika populasi yang terjadi pada model digunakan bantuan software Mathematica.
III.2 Titik Tetap Analisis sistem persamaan diferensial sering digunakan untuk menentukan solusi yang tidak berubah terhadap waktu, yaitu untuk tiap dx / dt = 0 , dy / dt = 0 , dan dz / dt = 0 . ∗ ∗ ∗ Titik tetap dari sistem x ,y ,z persamaan (14), (15), dan (16) dapat diperoleh
(
)
dengan menentukan
dx
=0,
dt
dy
= 0 , dan
dt
dz
= 0 , sehingga menurut persamaan tersebut dt diperoleh: (17) x (a − by ) = 0 ,
y (− c + dx − ez) = 0 ,
(
(18)
)
(19) z − f + gy = 0 . Dari persamaan (17), (18), dan (19) diperoleh titik tetap sebagai berikut: T1 = (0,0, 0)
c a T2 = , ,0 d b f c T3 = 0, ,− . g e Untuk titik tetap T3, terlihat bahwa z bernilai negatif. Hal ini tidak bersesuaian dengan asumsi bahwa jumlah populasi pemangsa z pada level paling atas bernilai positif, sedangkan dalam kehidupan nyata populasi seperti ini tidak ditemukan. Sehingga titik tetap yang akan dibahas ada dua, yaitu T1 dan T 2. III.3 Analisis Kestabilan Titik Tetap Untuk melihat perilaku solusi di sekitar titik tetap, maka akan dilakukan pelinearan pada persamaan model yang merupakan persamaan diferensial tak linear. Misalkan sistem persamaan (14), (15), dan (16) dituliskan sebagai berikut: (20) f ( x , y , z) = ax − bxy (21) g ( x, y, z) = −cy + dxy − eyz (22) h ( x, y, z ) = − fz + gyz. Dengan melakukan pelinearan pada sistem persamaan di atas, maka diperoleh matriks Jacobi:
∂f ∂x ∂g J= ∂x ∂h ∂x
a 11 = a 21 ∂z a ∂h 31 ∂z
∂f
∂f
∂y ∂g
∂z ∂g
∂y ∂h ∂y
a
a (23) 23 a 33 a
12
a 22
a 32
13
− bx 0 a − by J = dy − c + dx − ez − ey . (24) 0 gz − f + gy Selanjutnya untuk menganalisis kestabilan pada masing-masing titik tetap akan
15
digunakan Teorema Manifold Pusat. Analisis ini dapat juga dilakukan dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz , yaitu menentukan nilai parameter berdasarkan kriteria yang ada agar sistemnya stabil. Namun untuk sistem pada kasus ini dari kriteria Routh-Hurwitz menghasilkan parameter yang tidak bersesuaian dengan asumsi awal, sehingga sistemnya dapat dikatakan cenderung tidak stabil. Untuk itu analisis ini akan dibahas dengan menggunakan metode Manifold. Kestabilan Titik Tetap T1 Pelinearan sistem persamaan diferensial pada titik tetap T1 = (0,0,0 ) akan menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut: 0 a 0 J1 = 0 − c 0 0 0 − f Untuk memperoleh nilai digunakan persamaan karakteristik: det (J1 – ?1I) = 0 a − λ1 0 0
− c − λ1 0
0 0
eigen,
0 =0 − f − λ1
(a − λ1 )(−c − λ1 )(− f − λ1 ) = 0 sehingga diperoleh nilai eigen matriks J1 yaitu λ11 = a , λ12 = −c , dan λ13 = − f . Karena a , c, f > 0 , maka λ11 > 0 , λ12 < 0 , dan λ 13 < 0 . Agar titik tetap T1 bersifat stabil, maka ketiga nilai eigennya harus bernilai negatif. Karena terdapat nilai eigen yang bagian realnya bernilai positif yaitu a, dapat disimpulkan bahwa T 1 bukan titik tetap yang bersifat stabil asimtot. Menurut Teorema Manifold P usat, nilai eigen positif ini memiliki manifold tak stabil 1-dimensi yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut dan menyinggung vektor (1,0 ,0 ) pada titik tetap
(0,0,0) .
Kemudian terdapat manifold stabil 2-dimensi yang bersifat invarian bersesuaian dengan dua nilai eigen yang bernilai negatif, yaitu permukaan invarian yang melalui 0 ,0,0 . Setiap solusi bergerak menuju titik
(
tetap
) (0 ,0,0 )
dan menyinggung bidang yang
(
)
(
)
direntang vektor eigen 0,1,0 dan 0,0,1 . Dari hasil analisis T eorema Manifold Pusat, kestabilan pada kondisi keseimbangan dapat diperoleh, yaitu manifold tak stabil 1-dimensi pada sumbu x dan manifold stabil 2-dimensi pada bidang-yz. Untuk menunjukkan manifold yang telah diperoleh,
maka diperlukan ilustrasi kurva solusi dari sistemnya sehingga dapat dilihat bentuk solusi dan arah alirannya. Untuk memperoleh kurva solusi pada sumbu x yang dapat menggambarkan manifold tak stabil, maka akan dimisalkan spesies y yaitu pemangsa pada level kedua bernilai nol ( y = 0) , sehingga sistem persamaan mangsapemangsa menjadi sebagai berikut : dx = ax dt dy =0 dt dz = − fz . dt Trayektori pada bidang-xz dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan diferensial terpisahkan berikut: dz dz dx − fz . = = ax dx dt dt Dengan mengintegralkan kedua ruas, yaitu ruas paling kiri dan ruas paling kanan diperoleh dz dx =∫ ∫ − fz ax
ln z
−
e
−
1 f
1
ln x a +k
=e
1 f
−f =k Sehingga diperoleh solusi : − f /a z = Kx
z
1
xa
dengan K = k − f Dengan mengambil contoh nilai parameter a = 0.8, f = 0.8, dan nilai K yang bervariasi, maka diperoleh kurva solusi yang dapat menggambarkan manifold tak stabil. z
40 40 35 30 25 20 15
.
10
5
T1
0.5
1
1.5
2
x
Gambar 3. Kurva solusi untuk manifold tak stabil
16
Berdasarkan gambar 3 dapat dilihat bahwa kurva di atas mempunyai arah aliran menjauhi titik tetap T1 menuju sumbu x dari arah sumbu z. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kurva tersebut bersifat tak stabil. Untuk memperoleh kurva solusi pada bidang-yz yang dapat menggambarkan manifold stabil, maka akan dimisalkan spesies x yaitu mangsa pada level paling bawah bernilai nol ( x = 0) , sehingga sistem persamaan mangsa-pemangsa menjadi sebagai berikut: dx =0 dt
dy dt
= −cy − eyz
dz
= − fz + gyz dt Trayektori pada bidang-yz dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan diferensial terpisahkan berikut: dz dz dy z(− f + gy ) = = y (− c − ez ) dy dt dt Dengan mengintegralkan kedua ruas, yaitu ruas paling kiri dan ruas paling kanan diperoleh (− c − ez ) (− f + gy ) dz = ∫ dy ∫ z y
− c ln z − ez = − f ln y + gy + K dengan K merupakan kostanta pengintegral. Dari proses pengintegralan diatas diperoleh solusi yang merupakan fungsi implisit. Kemudian dengan mengambil contoh nilai parameter c = 0.8, e = 0.8, f = 0.8, g = 0.8 dan nilai K yang bervariasi, maka diperoleh kurva solusi yang dapat menggambarkan manifold stabil. z z 5 4
Kestabilan Titik Tetap T 2 Pelinearan sistem persamaan diferensial c a pada titik tetap T2 = , ,0 akan d b menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut: bc 0 0 − d da ae . J2 = 0 − b b ga 0 −f + 0 b Untuk memperoleh nilai eigen, digunakan persamaan karakteristik: det ( J2 – ?2 I) = 0 − λ2 da b
2 1
T1
y 2
4
6
8
10
12
14
Gambar 4. Kurva solusi untuk manifold stabil Berdasarkan gambar 4 dapat dilihat bahwa kurva di atas mempunyai arah aliran mendekati titik tetap T1 dari arah sumbu y.
−
bc
− λ2 0
ag b
λ2 − 3
0
d
0
−
ae b ga
=0
− f + − λ2 b
ag b
− f λ 2 + acλ 2 − ac 2
− f
=0
diperoleh nilai eigen untuk matriks J 2 adalah ag − bf . λ 21 = −i ac , λ 22 = i ac , λ 23 = b Pada saat terjadi keseimbangan diperoleh nilai eigen c / d , a / b, 0 ,
( ) (ag − bf ) / b dan dua bilangan imajiner yaitu ±
ac i. Untuk ag = bf , dari matriks Jacobi akan diperoleh ketiga nilai eigen bernilai nol pada bagian realnya. Dengan demikian menurut Teorema Manifold Pusat, terdapat manifold pusat 3-dimensi yang bersesuaian dengan ketiga nilai eigen tersebut. Sedangkan untuk ag ≠ bf , menurut Teorema Manifold Pusat dapat disimpulkan bahwa nilai eigen ag − bf / b bersesuaian dengan kurva invarian 1-dim ensi yang menyinggung vektor eigennya pada titik tetap (c / d , a / b, 0) .
(
3
.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa kurva tersebut bersifat stabil.
)
Kurva ini stabil jika ag − bf < 0 dan tak stabil jika ag − bf > 0 . Bersesuaian dengan nilai eigen yang bagian realnya bernilai nol, terdapat manifold p usat 2-dimensi yang bersifat invarian melalui (c / d , a / b, 0 ) dan menyinggung subruang real 2-dimensi yaitu bidang-xy.
17
Perilaku parameter yang berbeda pada titik tetap T2 ini memberikan pengaruh bagi kestabilan populasi untuk ketiga spesies yang berinteraksi. Sehingga berikutnya akan dibahas perilaku solusi disekitar titik tetapnya yang dikelompokkan menjadi tiga kasus yang berbeda. Untuk melihat perilaku solusinya kemudian akan diperlihatkan dengan menggambarkan grafik orbit kestabilan dari ketiga spesies tersebut. Dalam hal ini parameter yang diambil untuk dibahas adalah a, g, b, dan f dengan menggunakan penyelesaian secara numerik. Penentuan nilai parameternya dipilih sedemikian sehingga untuk nilai parameter g yang berubah-ubah telah dapat memperlihatkan tiga kelompok kasus yang berbeda. Berikut akan diberikan tabel nilai parameter yang digunakan untuk ketiga kasus: Tabel 1. nilai-nilai parameter yang digunakan a
b
c
d
e
f
g
Kasus ag = bf
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
Kasus ag > bf
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
0.9
Kasus ag < bf
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
0.7
Pemetaan trayektori dengan menggunakan penyelesaian secara numerik menunjukkan bahwa sistemnya memuat suatu permukaan −f /a
invarian, yaitu permukaan z = Kx . Untuk menunjukkan bahwa permukaan tersebut merupakan invarian terhadap sistemnya, maka diperlukan suatu proposisi berikut: Proposisi 1 Misalkan Suatu permukaan ag = bf . didefinisikan oleh z = Kx − f / a merupakan invarian terhadap sistem persamaan (14), (15), dan (16). Bukti : n=
( Kf / a )x −(1+ f / a ) ,0,1
normal terhadap − Kx − f
n.
dx dy dz , , dt dt dt
/a
+ z = 0.
selalu
x
f − −1 a
a
,0,1 ⋅ ax −bxy,−cy + dxy− eyz,− fz + gyz
= (ax − bxy ) K
= g −
bf
Kx
f
−
x
f −1 a
a
− f /a
a
− fz + gyz
y=0
Jadi, permukaan z = Kx − f / a adalah invarian terhadap sistemnya. Selanjutnya karena permukaan
z = Kx − f / a merupakan invarian, sehingga secara implisit akan diselesaikan persamaan diferensial pada setiap permukaan. Untuk K tetap dan z = Kx − f / a , sistem persamaan (14), (15), dan (16) menjadi sebagai berikut: dx = ax − bxy dt
dy
= −cy + dxy − eyKx
−
f a
dt Kemudian dengan menyelesaikan persamaan diferensial terpisahkan, sehingga diperoleh
dy
Kasus ag = bf
Vektor
f
= K
=
dy
dx
=
(
y − c + dx − eKx
−f /a
dx dt dt x (a − by ) Dengan mengintegralkan kedua ruas, yaitu ruas paling kiri dan ruas paling kanan diperoleh
∫
(a − by) y
(− c + dx − eKx
− f /a
dy = ∫
)
)dx
x
a ln y − by = −c ln x + dx +
eaK
−f/a
x +C f Selanjutnya dari penyelesaian diatas, diperoleh solusi berupa fungsi implisit sebagai berikut: eaK − f / a a ln y − by + c ln x − dx − x =C f Dengan menggunakan nilai parameter seperti pada tabel 1, diperoleh grafik solusi dan grafik dinamika populasi untuk kasus nilai parameter ag = bf sebagai berikut:
18
y
ilustrasi diatas dapat disimpulkan bahwa untuk kasus nilai parameter ag = bf, interaksi pemangsaan antar ketiga spesies menghasilkan siklus rantai makanan yang terus akan berlangsung secara seimbang sehingga tidak ada spesies yang akan punah. Berikut akan diperlihatkan grafik perubahan dinamika populasi untuk ketiga spesies pada kasus ag = bf.
3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 x 1
2
3
4 x,y,z 5
Gambar 5. Orbit kestabilan pada bidang-xy
4
z 2
3 2
1.5
z(t) x(t) y(t) t
1
1 10
20
30
40
0.5 x 1
2
3
4
Gambar 8. Dinamika populasi tiga spesies dengan nilai awal x[ 0] = 0 .5 , y[0 ] = 1 , z[0 ] = 2
Gambar 6. Orbit kestabilan pada bidang-xz z 2
1.5
1
0.5
y 0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Gambar 7. Orbit kestabilan pada bidang-yz Pada gambar di atas terlihat bahwa orbit kestabilan 2-dimensi pada kasus ag = bf ini merupakan solusi periodik yang terus menerus berosilasi dan cenderung tertutup. Hal ini menunjukkan bahwa pertumbuhan populasi pada ketiga spesies tersebut saling proporsional, artinya tidak ada populasi suatu spesies yang pertumbuhannya meningkat tajam maupun populasi yang pertumbuhannya menurun drastis. Berdasarkan perilaku parameter yang diamati, pada kasus ini laju pertumbuhan alami spesies x sebanding dengan efek pemangsaan terhadap spesies x oleh spesies y. Hal ini akan memberikan pengaruh positif bagi pertumbuhan populasi spesies z pada level paling atas, yaitu keseimbangan populasi spesies y sebagai sumber makanan dapat menunjang pertumbuhan populasi spesies z . Maka
Pada gambar di atas dengan menggunakan nilai awal x[ 0] = 0 .5 , y[0 ] = 1 , dan z[0 ] = 2 , terlihat bahwa secara biologis ketiga spesies dapat bertahan hidup dan mempunyai jumlah populasi yang berubahubah secara periodik sepanjang waktu pada periode yang sama. Pada grafik tersebut terlihat pula posisi relatif dari titik stasioner ketiga spesies, yaitu puncak tertinggi menyatakan populasi spesies x pada level pertama, kemudian berikutnya diikuti oleh populasi spesies y pada level kedua, dan puncak yang paling rendah menyatakan populasi spesies z pada level paling atas. Hal tersebut disebabkan oleh saling bergantungnya spesies pada level berikutnya terhadap jumlah populasi spesies pada level sebelumnya sebagai sumber makanannya. Misalnya kelangsungan hidup spesies y dipengaruhi oleh jumlah populasi spesies x sebagai mangsanya, begitu pula yang terjadi pada kelangsungan hidup spesies z dipengaruhi oleh jumlah populasi spesies y sebagai mangsanya. Kasus ag > bf Dengan menggunakan nilai parameter seperti diperlihatkan pada tabel 1, diperoleh grafik solusi dan grafik dinamika populasi untuk kasus nilai parameter ag > bf sebagai berikut:
19
d
y
dt 5
F (x (t ), y (t ), z (t )) > 0.
Bukti: d F (x (t ), y (t ), z(t )) dt = ∇F (x (t ), y (t ), z(t )) ⋅ x ' (t ), y ' (t ), z ' (t )
4 3 2
P
1
Q x 2
4
6
8
10
12
Gambar 9. Orbit kestabilan pada bidang-xy z
=
f
f
zx a
−1
a
bf = g − a
f
(ax − bxy ) + x a (−
fz + gyz )
a yzx > 0 f
Proposisi diatas menunjukkan bahwa semua trayektori berawal di R3+ dan bergerak
12
()
10 8
Q 6 4 2
P x 2
4
6
8
10
12
Gambar 10. Orbit kestabilan p ada bidang-xz z
G (x, y, z ) = by − a ln y + dx − c ln x + aez / f .
12 10 8 6
Q
4 2
ke atas permukaan z = Kx − f / a , yaitu z t mendekati + ∞ ketika t → ∞ . Namun proposisi tersebut tidak cukup dapat menyimpulkan hal diatas, sehingga diperlukan juga suatu proposisi yang dapat menunjukkan bahwa orbitnya bergerak ke atas dari permukaan pada bidang-xy, yaitu sebagai berikut: Proposisi 3 Misalkan ag > bf dan
P y 1
2
3
4
5
Gambar 11. Orbit kestabilan pada bidang-yz Pada gambar di atas dengan menggunakan nilai awal x[ 0] = 0 .5 , y[0 ] = 1 , dan z[0] = 2 , terlihat bahwa orbit kestabilan populasi ketiga spesies berawal dari titik P (x0 , y0 , z0 ) dengan arah ke atas menuju titik Q, sehingga membentuk spiral tak stabil. Untuk menunjukkan bahwa solusinya bergerak ke atas melintasi permukaan
z = Kx − f / a dari nilai terbesar K sampai nilai terendah untuk K diperlukan suatu proposisi berikut: Proposisi 2 Misalkan ag > bf dan F (x , y , z ) = zx f / a .
( ( ) ( ) ( ))
Kemudian untuk tiap solusi x t , y t , z t dari persamaan (14), (15), dan (16) di R3+ diperoleh
Kemudian untuk tiap solusi (x (t ), y (t ), z (t )) dari persamaan (14), (15), dan (16) di R 3+ diperoleh d G (x (t ), y (t ), z (t )) > 0. dt Bukti: d G (x (t ), y (t ), z(t )) dt = ∇G x t , y t , z t ⋅ x' t , y' t , z ' t
( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) = (d − c / x )(ax − bxy ) + (b − a / y ) (− cy + dxy − eyz) + (ae / f )(− fz + gyz) ag
= eyz
f
−b > 0
Sedangkan untuk grafik dinamika populasinya cenderung bersifat divergen. Hal ini menunjukan bahwa terdapat spesies yang populasinya cenderung meningkat, yaitu spesies x dan spesies z seperti terlihat pada grafik dinamika populasinya. Berikut akan diperlihatkan grafik perubahan dinamika populasi untuk ketiga spesies pada kasus ag > bf.
20
x,y,z 50
z
z(t) x(t)
40
P
2 1.5
30 1
20 0.5
10
y(t) x
t 20
40
60
1
80
2
3
4
5
Gambar 12. Dinamika populasi tiga spesies dengan nilai awal x[ 0] = 0 .5 , y[0 ] = 1 , z[0 ] = 2
Gambar 1 4. Orbit kestabilan pada bidang-xz
Pada gambar di atas terlihat dari hasil pengamatan perilaku parameter b dan f, bahwa spesies z dapat terus bertahan selama populasi spesies x masih ada, sehingga dapat disimpulkan tidak ada spesies yang akan punah selama populasi spesies x masih bertahan. Hal ini menyatakan secara tidak langsung bahwa populasi dari spesies x dan z cenderung menuju + ∞ , walaupun tidak secara m onoton, saat populasi spesies y melalui fluktuasi yang cukup besar. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa spesies y berperan sebagai penyalur makanan atau perantara antara spesies x dan z dalam siklus rantai makanan tersebut.
1.5
Kasus ag < bf Dengan menggunakan nilai parameter seperti diperlihatkan pada tabel 1, diperoleh grafik solusi dan grafik dinamika populasi untuk kasus nilai parameter ag < bf sebagai berikut: y 3.5
P
1
0.5
y 0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Gambar 15. Orbit kestabilan pada bidang-yz Pada gambar di atas dengan menggunakan nilai awal x[ 0] = 0 .5 , y[0 ] = 1 , dan z[0 ] = 2 , terlihat bahwa orbit kestabilan populasi ketiga spesies berawal dari titik P (x0 , y 0 , z0 ) dengan arah masuk menuju arah osilasi pada bidang-xy, kemudian terusmenerus berosilasi pada batas titik tertentu. Seperti terlihat pada gambar bahwa orbit tersebut berbentuk spiral dengan arah turun menuju bidang-xy dan cenderung ke arah solusi periodik, sehingga dapat dikatakan bahwa orbit kestabilannya merupakan spiral stabil. Untuk menunjukkan bahwa solusinya bergerak ke bawah melintasi permukaan
z = Kx − f / a dari nilai terbesar K sampai nilai terendah untuk K diperlukan suatu proposisi berikut: Proposisi 4
3 2.5 2 1.5 1
z 2
(
)
Misalkan ag < bf dan F x, y , z = zx f / a .
P
0.5 x 1
2
3
4
Gambar 13. Orbit kestabilan pada bidang-xy
Kemudian untuk tiap solusi (x (t ), y (t ), z (t )) dari persamaan (14), (15), dan (16) di R 3+ diperoleh d F (x (t ), y (t ), z (t )) < 0. dt
21
Bukti : d F (x (t ), y (t ), z (t )) dt = ∇F x t , y t , z t ⋅ x' t , y' t , z ' t
( ( ) ( ) ( ))
=
f
zx
f −1 a
a
() () () f
(ax − bxy ) + x a (−
fz + gyz )
bf = g − yzx a < 0 a f
Proposisi diatas menunjukkan bahwa solusi bergerak turun melintasi permukaan dari fungsi F, yaitu K = zx f / a . Namun, bagaimanapun juga proposisi tersebut tidak cukup dapat menyimpulkan bahwa semua solusi akan mendekati bidang z = 0 , karena permukaan z = Kx − f / a cenderung menuju ke arah gabungan dari bidang koordinat z = 0 dan x = 0 ketika K → 0 . Proposisi 5 Misalkan ag < bf dan
G (x, y, z ) = by − a ln y + dx − c ln x + aez / f .
Kemudian untuk tiap solusi (x (t ), y (t ), z (t )) dari persamaan (14), (15), dan (16) di R3+ diperoleh d G (x (t ), y (t ), z (t )) < 0. dt Bukti: d G (x (t ), y (t ), z (t )) dt = ∇G x t , y t , z t ⋅ x' t , y' t , z' t
( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) = (d − c / x )(ax − bxy ) + (b − a / y ) (− cy + dxy − eyz) + (ae / f )(− fz + gyz) ag
= eyz
f
−b < 0
Proposisi diatas menyatakan secara tidak langsung bahwa solusinya bergerak kebawah pada tingkat permukaan dari G bersamaan dengan bertambahnya waktu. Pada khususnya, solusi berawal dari titik awal (x0 , y 0 , z0 ) pada saat t0 kemudian tidak dapat lagi bergerak ke suatu daerah di R3+ dimana G (x , y , z ) ≥ G (x 0 , y 0 , z 0 ) . Lebih lanjut, karena bidang-xy adalah invarian, solusi akan tertahan pada daerah yang berbatas di bawah oleh bidang-xy dan di atas oleh permukaan by − a ln y + dx − c ln x + aez / f = G x , y , z
(
0
0
0
)
untuk semua t > t 0 . Dengan demikian, kedua proposisi diatas dapat menunjukkan bahwa untuk ag < bf , semua trayektori bermula di R3+ dan cenderung menuju bidang z = 0 . Karena pada kasus ini nilai parameter ag < bf dapat membawa pengaruh yang bersifat negatif bagi kelangsungan hidup spesies z, sehingga untuk nilai z tertentu yaitu pada saat z mendekati nol orbit kestabilannya akan membentuk suatu osilasi pada bidang-xy. Hal ini menunjukan bahwa pada dinamika populasinya untuk jangka waktu yang panjang terdapat populasi suatu spesies yang akan mengalami kepunahan, yaitu spesies z. Pada saat jumlah populasi spesies z mendekati nol atau mendekati kepunahan, maka akan terjedi siklus pemangsaan yang seimbang antara spesies x dan spesies y. Berikut akan diperlihatkan grafik perubahan dinamika populasi untuk ketiga spesies pada kasus ag < bf. x,y,z 5 4 3 2
y(t)
1
x(t) t 20
40
60
80
z(t) Gambar 16. Dinamika populasi tiga spesies dengan nilai awal x[ 0] = 0 .5 , y[0 ] = 1 , z[0 ] = 2 Pada gambar di atas terlihat bahwa pada awal periode ketiga spesies saling berosilasi hingga pada periode waktu tertentu yaitu pada saat t = 20 spesies z berfluktuasi turun hingga mendekati titik nol, sedangkan spesies x dan y terus berosilasi secara periodik. Secara biologis, hal tersebut menyatakan secara tidak langsung bahwa populasi spesies z sebagai pemangsa pada level paling atas akan cenderung mendekati kepunahan, saat spesies x dan y cenderung memperlihatkan perilaku periodik dari sistem mangsa-pemangsa pada saat ketidakhadiran dari spesies z. Berdasarkan perilaku parameter yang diamati yaitu untuk b dan f, bahwa pada kasus ketiga ini efek pemangsaan terhadap spesies x oleh spesies y dan laju kematian alami spesies z lebih besar dibandingkan dengan laju efisiensi dan penyebaran spesies z. Maka dapat disimpulkan
22
bahwa ilustrasi diatas menyebabkan semakin menurunnya kelangsungan hidup populasi spesies z hingga dapat mengakibatkan kepunahan. Dari ketiga kasus yang telah dibahas diatas, dengan mengambil contoh nilai parameter yang berbeda dapat diketahui bagaimana pengaruhnya dan perubahan yang terjadi terhadap kelangsungan hidup ketiga spesies tersebut. Untuk kasus yang pertama yaitu ag = bf menghasilka n siklus rantai makanan yang seimbang antar ketiga spesies tersebut sehingga tidak terdapat kemungkinan salah satu spesiesnya akan punah. Sedangkan untuk
kasus kedua yaitu ag > bf , dapat dikatakan bahwa meningkatnya populasi spesies x membawa pengaruh yang penting bagi kelangsungan hidup spesies-spesies pada level diatasnya untuk menunjang siklus rantai makanan antara ketiganya agar tetap berlangsung. Kemudian untuk kasus yang terakhir yaitu ag < bf , pengaruh dari nilai param eter tersebut membawa dampak bagi kelangsungan hidup spesies z sehingga pada jangka waktu tertentu spesies z akan mengalami kepunahan.
23
IV. SIMPULAN Rantai makanan merupakan salah satu contoh interaksi pemangsaan antar spesies dalam suatu ekosistem yang dapat memberikan dampak negatif bagi spesies spesies yang berinteraksi. Hal tersebut dapat memberikan pengaruh bagi kestabilan populasinya. Analisis kestabilan populasi pada rantai makanan tiga spesies dilakukan dengan menggunakan Teorema Manifold Pusat dengan terlebih dahulu menentukan titik tetapnya sebagai kondisi keseimbangan dari sistemnya. Dari hasil analisis dengan menggunakan penyelesaian secara numerik kemudian diperoleh grafik untuk mengetahui orbit kestabilan serta perubahan dinamika populasi terhadap perilaku parameter yang berbeda. Secara keseluruhan kelangsungan hidup spesies z sebagai pemangsa pada level paling atas bergantung pada parameter a, b, f, dan g. Jika ag < bf maka spesies z akan mati,
sedangkan jika ag ≥ bf maka spesies z akan dapat mempertahankan hidupnya. Seiring dengan waktu semakin besar nilai parameter a dan g secara eksplisit akan menguntungkan bagi spesies z, sebaliknya semakin besar nilai parameter b dan f akan dapat mengh ambat spesies z. Sedangkan parameter secara langsung berhubungan dengan spesies y adalah c, d, e dan sama sekali tidak mempengaruhi ketika spesies z akan punah atau tetap bertahan. Akibatnya, dapat dikatakan bahwa spesies y hanya bertindak sebagai penyalur atau perantara antara spesies x dan z. Dengan demikian, dari hasil analisis grafik yang diperoleh melalui metode numerik dapat diprediksikan kondisi yang dapat menyebabkan peningkatan dan penurunan pertumbuhan populasi pada suatu spesies.
V. DAFTAR PUSTAKA Chauvet E, Paullet JE, Previte JP, Walls Z. 2002. A Lotka -Volterra Three-spesies Food Chain. Mathematics Magazine, vol.75 No.4. http://vortex.bd.psu.edu/~jpp/mathmag24 3-255.pdf Godman A. 1991. Kamus Sains Bergambar. PT Gramedia, Jakarta. Grimshaw R. 1990. Nonlinear Ordinary Differential Equations . Blackwell Scientific Publications, Oxford. Guckenheimer J, Holmes P. 1983. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Applied Mathematical Sciences , vol. 42. Springer-Verlag, New York. Howard A, Rorres C. 1994. Elementary Linear Algebra Applications Version , 7th edition. John Wiley & Sons. Inc, United States of America.
Leon, Steven J. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Erlangga, Jakarta. Perko L. 1991. Differential Equations and Dynamical Systems. Texts in Applied Mathematics , vol. 7. Springer-Verlag, NewYork. Purcell EJ . 1995. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid 1 Edisi ke-5. Erlangga, Jakart a. Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos with Applications to Physic, Biology, Chemistry, and Engineering. Addison Wesley Publishing Company, Canada. Tu PNV. 1994. Dynamical System, An Introduction with Application in Economics and Biology. Springer-Verlag. Heidelberg, Germany. Verhulst F. 1990. Nonlinear Differential Equation and Dynamical Systems. Springer-Verlag. Heidelberg, Germany.
24
LAMPIRAN
25
Lampiran 1. Program untuk menganalisis kestabilan titik tetap pada model dengan bantuan software Mathematica Program ini menggunakan paket didownload dari www.wolfram.com
Mathematica
yaitu DynPac
yang
dapat
sysid Mathematica 5. , DynPac 10.57 , 8 / 30 / 2005 intreset;plotreset; setstate[{x,y,z}];setparm[{a,b,c,d,e,f,g}]; slopevec={a*x-b*x*y,-c*y+d*x*y-e*y*z,-f*z+g*y*z}; eqstates=findpolyeq
:8 <: >: > : > : > 0, 0, 0 ,
c a f c , , 0 , 0, , d b g e
eq1=eqstates[[1]] {0,0,0} eq2=eqstates[[2]]
c a , ,0 d b
eq3=eqstates[[3]]
0,
f c ,g e
parmval={1,1,1,1,1,1,0.8} {1,1,1,1,1,1,0.8} eq1=eqstateval[eq1] {0,0,0} eigsys[eq1] {{-1,-1,1},{{0,0,1},{0,1,0},{1,0,0}}} classify2D[eq1] Abbreviations used in classify2D. L = linear, NL = nonlinear, R2 = repeated root. Z1 = one zero root, Z2 = two zero roots. This message printed once. stable (L), indeterminate (NL) - center eq2=eqstateval[eq2] {1,1,0} eigsys[eq2] {{0. +1. ,0. -1. ,-0.2},{{0.707107 +0. ,0. -0.707107 ,0. +0. },{0.707107 +0. ,0. +0.707107 ,0. +0. },{0.686544,0.137309,0.714006}}} classify2D[eq2] unstable - saddle eq3=eqstateval[eq3] {0,1.25,-1} eigsys[eq3] {{-1.,1.,-0.25},{{0.,0.780869,0.624695},{0.,0.780869,0.624695},{0.666831,0.222277,0.711287}}} classify2D[eq3] strictly stable - spiral
26
Lampiran 2. Program untuk memperoleh kurva solusi untuk menggambarkan manifold dengan bantuan software Mathematica a. Gambar kurva solusi untuk y = 0 a=0.8;f=0.8;k=1; gmbr1=Plot[k x^-(f/a),{x,0,2},PlotRange->{0,40}] a=0.8;f=0.8;k=2; gmbr2=Plot[k x^-(f/a),{x,0,2},PlotRange->{0,40}] a=0.8;f=0.8;k=4; gmbr3=Plot[k x^-(f/a),{x,0,2},PlotRange->{0,40}] a=0.8;f=0.8;k=6; gmbr4=Plot[k x^-(f/a),{x,0,2},PlotRange->{0,40}] a=0.8;f=0.8;k=9; gmbr5=Plot[k x^-(f/a),{x,0,2},PlotRange->{0,40}] a=0.8;f=0.8;k=13; gmbr6=Plot[k x^-(f/a),{x,0,2},PlotRange->{0,40}] a=0.8;f=0.8;k=18; gmbr7=Plot[k x^-(f/a),{x,0,2},PlotRange->{0,40}] a=0.8;f=0.8;k=25; gmbr8=Plot[k x^-(f/a),{x,0,2},PlotRange->{0,40}] a=0.8;f=0.8;k=34; gmbr9=Plot[k x^-(f/a),{x,0,2},PlotRange->{0,40}] a=0.8;f=0.8;k=45; gmbr10=Plot[k x^-(f/a),{x,0,2},PlotRange->{0,40}] hasil2=Show[{gmbr1,gmbr2,gmbr3,gmbr4,gmbr5,gmbr6,gmbr7,gmbr8,gmbr9 ,gmbr10},Axes->True] b. Gambar kurva solusi untuk x = 0 <
True]
27
Lampiran 3 . Program untuk memperoleh grafik orbit populasi pada model dengan bantuan software Mathematica a. Gambar orbit populasi untuk kasus ag = fb pers111={ x'[t] 0.8*x[t]-0.8*x[t]*y[t], y'[t] -0.8*y[t]+0.8*x[t]*y[t]-0.8*y[t]*z[t], z'[t] -0.8*z[t]+0.8*y[t]*z[t], x[0] 0.5, y[0] 1, z[0] 2}
8@ D @ D @ D @ D @ D D D D @ D@ D @ D@ @ D@ @ D@ @ D@ D @ D@ D< x¢ t Š 0.8 x t - 0.8 x t y t , y¢ t Š - 0.8 y t + 0.8 x t y t - 0.8 y t z t , z¢ t Š - 0.8 z t + 0.8 y t z t , x 0 Š 0.5, y 0 Š 1, z 0 Š 2
tmax=300;deltaT=0.001; sol111=NDSolve[pers111,{x[t],y[t],z[t]},{t,250,tmax,deltaT}]
{{x[t]→InterpolatingFunction[{{0.001,300.}},<>][t],y[t]→Interpol atingFunction[{{0.001,300.}},<>][t],z[t]→InterpolatingFunction[{{ 0.001,300.}},<>][t]}} ParametricPlot[{x[t],y[t]}/.sol111,{t,0,tmax}, AxesLabel->{"x","y"}] ParametricPlot[{x[t],z[t]}/.sol111,{t,0,tmax}, AxesLabel->{"x","z"}] ParametricPlot[{y[t],z[t]}/.sol111,{t,0,tmax}, AxesLabel->{"y","z"}] persParPlot1={x[t],y[t],z[t]}/.sol111[[1]] {InterpolatingFunction[{{0.001,300.}},<>][t],InterpolatingFunction [{{0.001,300.}},<>][t],InterpolatingFunction[{{0.001,300.}},<>][t] } ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]}/.sol111[[1]],{t,250,tmax},PlotRa nge→All,AxesLabel->{"x","y","z"}] b. Gambar orbit populasi untuk kasus ag > fb pers111={ x'[t] 0.8*x[t]-0.8*x[t]*y[t], y'[t] -0.8*y[t]+0.8*x[t]*y[t]-0.8*y[t]*z[t], z'[t] -0.8*z[t]+0.9*y[t]*z[t], x[0] 0.5, y[0] 1, z[0] 2} ¢ x t Š 0.8x t - 0.8x t y t ,
8@ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D@ D@ D@ D@ D@ D@ D< ¢
y t Š - 0.8 y t + 0.8 x t y t - 0.8 y t z t , z¢ t Š - 0.8 z t + 0.9 y t z t , x 0 Š 0.5, y 0 Š 1, z 0 Š 2
tmax=40;deltaT=0.001; sol111=NDSolve[pers111,{x[t],y[t],z[t]},{t,0,tmax,deltaT}]
{{x[t]→InterpolatingFunction[{{0.,40.}},<>][t],y[t]→Interpolatin gFunction[{{0.,40.}},<>][t],z[t]→InterpolatingFunction[{{0.,40.}} ,<>][t]}}
28
ParametricPlot[{x[t],y[t]}/.sol111,{t,0,tmax}, AxesLabel->{"x","y"}] ParametricPlot[{x[t],z[t]}/.sol111,{t,0,tmax}, AxesLabel->{"x","z"}] ParametricPlot[{y[t],z[t]}/.sol111,{t,0,tmax}, AxesLabel->{"y","z"}] persParPlot1={x[t],y[t],z[t]}/.sol111[[1]] {InterpolatingFunction[{{0.,40.}},<>][t],InterpolatingFunction[{{0 .,40.}},<>][t],InterpolatingFunction[{{0.,40.}},<>][t]} ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]}/.sol111[[1]],{t,0,tmax},PlotRang e→{{0,3},{0,3},{0,2}},AxesLabel->{"x","y","z"}] c. Gambar orbit populasi untuk kasus ag < fb pers111={ x'[t] 0.8*x[t]-0.8*x[t]*y[t], y'[t] -0.8*y[t]+0.8*x[t]*y[t]-0.8*y[t]*z[t], z'[t] -0.8*z[t]+0.7*y[t]*z[t], x[0] 0.5, y[0] 1, z[0] 2} ¢ x t Š 0.8 x t - 0.8x t y t ,
8@ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D@ D@ D@ D@ D@ D@ D< ¢
y t Š - 0.8y t + 0.8 x t y t - 0.8 y t z t , z¢ t Š - 0.8z t + 0.7 y t z t , x 0 Š 0.5, y 0 Š 1, z 0 Š 2
tmax=80;deltaT=0.001; sol111=NDSolve[pers111,{x[t],y[t],z[t]},{t,0,tmax,deltaT}]
{{x[t]→InterpolatingFunction[{{0.,80.}},<>][t],y[t]→Interpolatin gFunction[{{0.,80.}},<>][t],z[t]→InterpolatingFunction[{{0.,80.}} ,<>][t]}} ParametricPlot[{x[t],y[t]}/.sol111,{t,0,tmax}, AxesLabel->{"x","y"}] ParametricPlot[{x[t],z[t]}/.sol111,{t,0,tmax},PlotRange→{{0,5}, All},AxesLabel->{"x","z"}] ParametricPlot[{y[t],z[t]}/.sol111,{t,0,tmax},PlotRange→{{0,4}, All},AxesLabel->{"y","z"}] persParPlot1={x[t],y[t],z[t]}/.sol111[[1]] {InterpolatingFunction[{{0.,80.}},<>][t],InterpolatingFunction[{{0 .,80.}},<>][t],InterpolatingFunction[{{0.,80.}},<>][t]} ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]}/.sol111[[1]],{t,0,tmax},PlotRang e→{{0,3},{0,3},{0,2}},AxesLabel->{"x","y","z"}]
29
Lampiran 4 . Program untuk memperoleh grafik dinamika populasi dengan bantuan software Mathematica a. Gambar dinamika populasi untuk kasus ag = bf per1=x'[t] 0.8*x[t]-0.8*x[t]*y[t] per2=y'[t] -0.8*y[t]+0.8*x[t]*y[t]-0.8*y[t]*z[t] per3=z'[t] -0.8*z[t]+0.8*y[t]*z[t] sol1=NDSolve[{per1,per2,per3,x[0]==0.5,y[0]==1,z[0]==2}, {x[t],y[t],z[t]},{t,0,40}];
@ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D D@ D @ D@ D@ D@ D@
x¢ t Š 0.8 x t - 0.8 x t y t
y¢ t Š - 0.8 y t + 0.8 x t y t - 0.8 y t z t
z¢ t Š - 0.8z t + 0.8y t z t
{x1,y1,z1}={x[t],y[t],z[t]}/.Flatten[sol1]; data1=Table[{t,x1},{t,0,40}]; graf1=ListPlot[data1,PlotStyle->{RGBColor[0,0,0],Thickness[0.01]}, AxesLabel->{"t","x"},AxesOrigin->{0,0}, PlotRange->{0,5},PlotJoined->True] data1=Table[{t,y1},{t,0,40}]; graf2=ListPlot[data1,PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.01]}, AxesLabel->{"t","y"},AxesOrigin->{0,0}, PlotRange->{0,5},PlotJoined->True] data1=Table[{t,z1},{t,0,40}]; graf3=ListPlot[data1,PlotStyle->{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01]}, AxesLabel->{"t","z"},AxesOrigin->{0,0}, PlotRange->{0,5},PlotJoined->True] Show[graf1,graf2,graf3,PlotRange->{0,5}, AxesLabel->{"t","x,y,z"},AxesOrigin->{0,0}, DisplayFunction->$DisplayFunction] b. Gambar dinamika populasi untuk kasus ag > bf per1=x'[t] 0.8*x[t]-0.8*x[t]*y[t] per2=y'[t] -0.8*y[t]+0.8*x[t]*y[t]-0.8*y[t]*z[t] per3=z'[t] -0.8*z[t]+0.9*y[t]*z[t] sol1=NDSolve[{per1,per2,per3,x[0]==0.5,y[0]==1,z[0]==2}, {x[t],y[t],z[t]},{t,0,80}]; x¢ t Š 0.8 x t - 0.8x t y t y¢ t Š - 0.8 y t + 0.8 x t y t - 0.8y t z t z¢ t Š - 0.8 z t + 0.9 y t z t {x1,y1,z1}={x[t],y[t],z[t]}/.Flatten[sol1]; data1=Table[{t,x1},{t,0,80}]; graf1=ListPlot[data1,PlotStyle->{RGBColor[0,0,0],Thickness[0.01]}, AxesLabel->{"t","x"},AxesOrigin->{0,0}, PlotRange->{0,50},PlotJoined->True] data1=Table[{t,y1},{t,0,80}]; graf2=ListPlot[data1,PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.01]}, AxesLabel->{"t","y"},AxesOrigin->{0,0}, PlotRange->{0,50},PlotJoined->True] data1=Table[{t,z1},{t,0,80}]; graf3=ListPlot[data1,PlotStyle->{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01]}, AxesLabel->{"t","z"},AxesOrigin->{0,0}, PlotRange->{0,50},PlotJoined->True]
@ D @ D @ D @ D @ D@ @ D@ @ D @ D@ D@ D @ D D D @ D
30
Show[graf1,graf2,graf3,PlotRange->{0,50}, AxesLabel->{"t","x,y,z"},AxesOrigin->{0,0}, DisplayFunction->$DisplayFunction] c. Gambar dinamika populasi untuk kasus ag < bf per1=x'[t] 0.8*x[t]-0.8*x[t]*y[t] per2=y'[t] -0.8*y[t]+0.8*x[t]*y[t]-0.8*y[t]*z[t] per3=z'[t] -0.8*z[t]+0.7*y[t]*z[t] sol1=NDSolve[{per1,per2,per3,x[0]==0.5,y[0]==1,z[0]==2}, {x[t],y[t],z[t]},{t,0,80}]; x¢ t Š 0.8 x t - 0.8x t y t y¢ t Š - 0.8y t + 0.8x t y t - 0.8 y t z t z¢ t Š - 0.8 z t + 0.7 y t z t {x1,y1,z1}={x[t],y[t],z[t]}/.Flatten[sol1]; data1=Table[{t,x1},{t,0,80}]; graf1=ListPlot[data1,PlotStyle->{RGBColor[0,0,0],Thickness[0.01]}, AxesLabel->{"t","x"},AxesOrigin->{0,0}, PlotRange->{0,5},PlotJoined->True] data1=Table[{t,y1},{t,0,80}]; graf2=ListPlot[data1,PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.01]}, AxesLabel->{"t","y"},AxesOrigin->{0,0}, PlotRange->{0,5},PlotJoined->True] data1=Table[{t,z1},{t,0,80}]; graf3=ListPlot[data1,PlotStyle->{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01]}, AxesLabel->{"t","z"},AxesOrigin->{0,0}, PlotRange->{0,5},PlotJoined->True] Show[graf1,graf2,graf3,PlotRange->{0,5}, AxesLabel->{"t","x,y,z"},AxesOrigin->{0,0}, DisplayFunction->$DisplayFunction]
@ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D @ D@ D@ D@ D
