Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 5 No.2 Desember 2011: 19 - 30
Analisis Kestabilan Global Model Epidemik SIRS menggunakan Fungsi Lyapunov Yuni Yulida1, Faisal2, Muhammad Ahsar K.3 1,2,3
Program Studi Matematika FMIPA Unlam Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km. 35,8 Kampus Unlam Banjarbaru Email:
[email protected]
ABSTRAK Pada tulisan ini disajikan model epidemik SIRS. Selanjutnya, dari model tersebut diselidiki eksistensi titik ekuilibrium, dan kestabilan global titik ekuilibrium menggunakan fungsi Lyapunov. Kata kunci: Model Epidemik SIRS, titik ekuilibrium, kestabilan global, fungsi Lyapunov
ABSTRACT This paper considers SIRS epidemic model. From the model we study existence equilibrium states and global stability of equilibrium states using Lyapunov functions. Key words: SIRS epidemic model, equilibrium state, global stability, Lyapunov functions.
1. PENDAHULUAN Model penyebaran penyakit pertama kali dikemukakan oleh Kermack & Mckendrick pada tahun 1927, yaitu model epidemik SIR (Susceptible-InfectedRecovered). Model ini disusun secara deterministik untuk menggambarkan sifat penyebaran penyakit yang berbentuk Sistem Persamaan Diferensial nonlinier. Model ini terus diperbaiki oleh ilmuwan-ilmuwan sesudahnya, diantaranya oleh H. E. Soper (1929), dan Hetchote (1976). Selanjutnya, model-model lain seperti SIRS, SIS, SI dan lainnya dikembangkan oleh ilmuwan sesudahnya. Model SIRS adalah model penyebaran penyakit yang dikembangkan dari model SIR Kermack & Mckendrick. Model SIRS terjadi karena individu yang telah sembuh dari sakit akan mengalami kekebalan, tetapi hanya sementara, selanjutnya kekebalan akan menurun dan pada akhirnya hilang. Kemudian pada saat kekebalan menghilang maka individu tersebut masuk dalam populasi rentan (Susceptible). Salah satu masalah klasik yang sering dihadapi dalam epidemiologi matematika adalah menganalisis kestabilan global titik ekuilibrium. Kestabilan itu sendiri ada yang bersifat lokal dan bersifat global. Kestabilan lokal mudah ditentukan dengan pendekatan linier. Sedangkan sifat global cukup sulit ditentukan. Pada tulisan ini, model epidemik SIRS diselidiki eksistensi titik ekuilibrium. Selanjutnya, akan menggunakan fungsi Liapunov untuk menganalisis kestabilan global model tersebut.
19
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 5 No.2 Desember 2011: 19 - 30
2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1
Sistem Persamaan Diferensial, Titik Ekuilibrium dan Kestabilannya Diberikan sistem persamaan diferensial sebagai berikut: ๐โฒ = ๐(๐) (2.1.1) dengan ๐ = ๐ฅ1 , ๐ฅ2 , โฆ , ๐ฅ๐ ๐ โ ๐ธ โ โ๐ , ๐ = ๐1 , ๐2 , โฆ , ๐๐ ๐ dan kondisi awal ๐ฅ ๐ก0 = ๐ฅ0 = ๐ฅ10 , ๐ฅ20 , โฆ , ๐ฅ๐0 โ ๐ธ. Notasi ๐ฅ ๐ก = ๐ฅ(๐ฅ0 , ๐ก) menyatakan solusi Sistem (2.1.1) yang melalui ๐ฅ0 . Selanjutnya, diberikan definisi titik ekuilibrium Sistem (1) sebagai berikut. Definisi 1 [11] Titik ๐ โ โ๐ disebut titik ekuilibrium Sistem (2.1.1) jika ๐ ๐ = 0. Diberikan sistem persamaan diferensial linier homogen sebagai berikut: ๐โฒ = ๐ด๐ (2.1.2) dengan ๐ = ๐ฅ1 , ๐ฅ2 , โฆ , ๐ฅ๐ ๐ โ ๐ธ โ โ๐ dan ๐ด matriks ukuran ๐ ร ๐. Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinier ๐โฒ = ๐(๐) (2.1.3) ๐ ๐ ๐ ๐ dengan ๐ โ ๐ธ โ โ , ๐ = ๐1 , ๐2 , โฆ , ๐๐ dan ๐ โถ ๐ธ โ โ โ โ fungsi kontinu pada ๐ธ. Sistem (2.1.3) disebut sistem persamaan diferensial nonlinear jika terdapat fungsi ๐๐ pada Sistem (2.1.3) yang nonlinear dan tidak dapat dinyatakan dalam bentuk Sistem (2.1.2). Definisi 2 [13] Titik ekuilibrium ๐ โ โ๐ pada Sistem (2.1.3) dikatakan: a) Stabil jika untuk setiap ๏ฅ ๏พ 0 terdapat ๏ค ๏พ 0 sedemikian sehingga untuk setiap solusi Sistem (3) x(t) yang memenuhi x (t0 ) ๏ญ xห ๏ผ ๏ค maka berakibat x (t ) ๏ญ xห ๏ผ ๏ฅ untuk setiap t ๏ณ t0 . b) Stabil asimtotik jika titik ekuilibrium ๐ โ โ๐ stabil dan terdapat bilangan ๏ค 0 ๏พ 0 sehingga untuk setiap solusi Sistem (2.1.3) x(t) yang memenuhi x (t0 ) ๏ญ xห ๏ผ ๏ค 0 maka berakibat lim x (t ) ๏ฝ xห . t ๏ฎ๏ฅ
c) Tidak stabil jika titik ekuilibrium ๐ โ โ๐ tidak memenuhi (a). Selanjutnya diberikan definisi kestabilan global titik ekuilibrium pada Sistem (2.1.3). Definisi 3 [3] Titik ekuilibrium ๐ โ โ๐ pada Sistem Persamaan Diferensial Nonlinier (2.1.3) dikatakan stabil asimtotik global jika untuk sebarang nilai awal x (t0 ) yang diberikan, setiap solusi Sistem tersebut yaitu x(t) dengan t ๏ฎ ๏ฅ menuju titik ekuilibrium xห .
20
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 5 No.2 Desember 2011: 19 - 30
2.2 Himpunan Invariant dan Fungsi Liapunov Berikut diberikan Definisi 4 tentang pengertian himpunan invariant dan Definisi 5 tentang pengertian fungsi Lyapunov. Definisi 4 [12] Diberikan Sistem Persamaan Diferensial Nonlinier (2.1.3) dengan ๐ธ โ โ๐ dan M ๏ E. Himpunan M disebut himpunan invariant terhadap Sistem Persamaan Diferensial Nonlinier (2.1.3), jika x (t0 ) ๏ฝ x0 ๏ M maka x ( x0 , t ) ๏ M untuk setiap ๐ก โ โ. Fungsi Lyapunov dari suatu sistem persamaan diferensial tidak tunggal, asalkan fungsi tersebut memenuhi tiga pernyataan yang diberikan oleh definisi fungsi Liapunov berikut ini. Definisi 5 [10] Diberikan fungsi ๐: ๐ธ โ โ๐ โ โ dan xห ๏ E titik ekuilibrium Sistem Persamaan Diferensial Nonlinier (2.1.3). Fungsi V disebut fungsi Liapunov jika memenuhi ketiga pernyataan berikut: a) Fungsi V kontinu dan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu pada E atau V ๏ C ๏ข( E ) . b) Fungsi V(x)>0 untuk x ๏ E dengan x ๏น xห , dan V ( xห ) ๏ฝ 0 dengan x ๏ฝ xห (dengan titik ekuilibrium ๐ merupakan titik minimum global). c) Fungsi V ( x ) ๏ฃ 0 untuk setiap x ๏ E .
1.
Berikut diberikan beberapa fungsi Liapunov Fungsi Liapunov Logaritma diperkenalkan oleh Goh untuk Sistem LoktaVolterra ๐ ๐ฅ๐ ๐ฟ ๐ฅ1 , ๐ฅ2 , โฆ , ๐ฅ๐ = ๐๐ ๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐ โ โ ๐ฅ๐ โ ๐๐ โ ๐ฅ๐ ๐=1
2.
Fungsi Liapunov kuadratik bersama (common quadratic Liapunov functions) ๐ ๐๐ ๐ ๐ฅ1 , ๐ฅ2 , โฆ , ๐ฅ๐ = ๐ฅ โ ๐ฅ๐ โ 2 2 ๐ ๐=1
3.
Fungsi Liapunov kuadratik kompositt (composite quadratic function) ๐
๐ ๐ฅ1 , ๐ฅ2 , โฆ , ๐ฅ๐ = 2
๐ ๐=1
๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐ โ
2
.
Berikut diberikan teorema yang akan digunakan untuk menganalisis sifat kestabilan global titik ekuilibrium Sistem Persamaan Diferensial Nonlinier (3). [8] Teorema 6 [2] Diberikan Sistem Persamaan Diferensial Nonlinier (2.1.3) dengan ๐ธ โ โ๐ . Jika terdapat fungsi Lyapunov V , dengan (i) Ek ๏ฝ ๏ป x ๏ E V ( x ) ๏ฃ k ๏ฝ untuk suatu k ๏พ 0 , merupakan himpunan terbatas, (ii) V ( x ) ๏ฃ 0 untuk setiap x ๏ Ek ,dan 21
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 5 No.2 Desember 2011: 19 - 30
๏ป
๏ฝ
(iii) terdapat M himpunan invariant terbesar dalam H ๏ฝ x ๏ Ek V ( x ) ๏ฝ 0 , maka setiap solusi x (t ) menuju ke M untuk t ๏ฎ ๏ฅ . Akibat 7 [2] Diberikan Sistem Persamaan Diferensial Nonlinier (2.1.3) dengan ๐ธ โ โ๐ . Jika terdapat fungsi Lyapunov V, dengan (i) Ek ๏ฝ ๏ป x ๏ E V ( x ) ๏ฃ k ๏ฝ untuk suatu k ๏พ 0 , merupakan himpunan terbatas, (ii) V ( x ) ๏ฃ 0 untuk setiap x ๏ Ek ,dan
๏ป
๏ฝ
(iii) H ๏ฝ x ๏ Ek V ( x ) ๏ฝ 0 tidak memuat solusi kecuali titik ekuilibrium xห ๏ฝ 0
ห stabil asimtotik lokal. Selanjutnya jika E k merupakan E, maka titik maka x ekuilibrium tersebut stabil asimtotik global. 2.3 Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks Teorema 8 [9] Diberikan A matriks simetris real berukuran ๐x๐ 1. Matriks A semidefinit positif jika dan hanya jika nilai eigen ๐๐ โฅ 0 untuk ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐. 2. Matriks A definit positif jika dan hanya jika nilai eigen ๐๐ > 0 untuk ๐ = 1, 2, 3, โฆ , ๐. Definisi 9 [1] Diberikan himpunan ๐พ โ โ๐ , ๐พ โ โ
, K disebut himpunan konveks dalam โ๐ jika berlaku untuk setiap ๐, ๐ โ ๐พ, ๐๐ + 1 โ ๐ ๐ โ ๐พ dengan ๐ โ 0,1 . Definisi 10 [5] Diberikan fungsi ๐: ๐พ โ โ๐ โ โ , ๐พ โ โ
, dan ๐ โ ๐ถ 2 (๐พ). Matriks ๐2๐ ๐2๐ ๐2๐ (๐ ) (๐ ) โฆ (๐) ๐๐ฅ1 ๐๐ฅ2 ๐๐ฅ12 ๐๐ฅ1 ๐๐ฅ๐ ๐2๐ ๐2๐ ๐2๐ (๐) โฆ (๐) ๐ป ๐ = ๐๐ฅ2 ๐๐ฅ1 (๐) ๐๐ฅ22 ๐๐ฅ2 ๐๐ฅ๐ โฎ โฎ 2 2 โฑ ๐2๐ ๐ ๐ ๐ ๐ (๐) (๐) โฆ (๐) ๐๐ฅ๐ ๐๐ฅ1 ๐๐ฅ๐ ๐๐ฅ2 ๐๐ฅ๐2 disebut matriks Hessian di titik ๐. Teorema 11 [1] Diberikan fungsi ๐: ๐พ โ โ๐ โ โ , ๐พ โ โ
, K himpunan konveks dan ๐ โ ๐ถ 2 (๐พ). Fungsi f konveks pada K jika dan hanya jika matriks Hessian ๐ป ๐ semidefinit positif untuk setiap ๐ โ ๐พ. SElanjutnya, Jika matriks Hessian ๐ป ๐ definit positif untuk setiap ๐ โ ๐พ maka f fungsi konveks tegas
22
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 5 No.2 Desember 2011: 19 - 30
Teorema 12 [1] Diberikan fungsi ๐: ๐พ โ โ๐ โ โ , ๐ โ ๐ถ 2 (๐พ). Jika ๐ท๐ ๐ = 0 dan ๐ป ๐ definit positif maka ๐ titik minimum lokal. Teorema 13 [1] Diberikan fungsi ๐: ๐พ โ โ๐ โ โ , ๐พ โ โ
, K himpunan konveks. Jika f fungsi konveks tegas pada K maka titik minimum lokal ๐ dari f sekaligus merupakan titik minimum global dan tunggal. 3. METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Adapun prosedur pada penelitian ini adalah mempelajari materi yang berhubungan dengan model epidemik SIR dan SIRS, Sistem Persamaan Diferensial Linear dan nonlinear serta kestabilan global titik ekuilibrium, membuat asumsi-asumsi, mendefinisikan parameter yang digunakan pada model. Setelah itu, membuat diagram transfer model berdasarkan asumsi-asumsi. Dari diagram transfer tersebut terbentuk model epidemik SIRS. Selanjutnya menentukan titik-titik ekuilibrium model tersebut serta menganalisa sifat kestabilan global titik-titik ekuilibrium model dengan menggunakan fungsi Lyaponuv. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Pembentuan Model SIRS Pada model SIRS ini diasumsikan populasi dibagi menjadi 3 (tiga) , yaitu a. Populasi yang rentan terhadap penyakit (virus) b. Populasi yang sakit (terinfeksi virus). c. Populasi yang sembuh dari sakit dan memiliki kekebalan. Selanjutnya, didefinisikan variabel-variabel pada model SIRS, yaitu S(t)=S menyatakan jumlah individu yang rentan terhadap penyakit (virus) dalam populasi pada saat t (waktu) I(t)=I menyatakan jumlah individu yang sakit (terinfeksi virus) dalam populasi pada saat t. R(t)=R menyatakan jumlah individu yang sembuh dan memiliki kekebalan pada saat t. Parameter-parameter yang digunakan dalam model SIRS adalah Menyatakan banyaknya individu baru yang masuk ke populasi rentan ฮ terhadap penyakit (virus) akibat adanya kelahiran dan imigrasi Menyatakan laju kematian alami per kapita ๐ Menyatakan laju kematian karena penyakit (secara medis) ๐ผ Menyatakan laju kesembuhan (laju pada saat individu yang sakit ๐ (terinfeksi) menjadi individu rentan) Menyatakan laju penularan penyakit. ๐ฝ Menyatakan laju penurunan kekebalan terhadap penyakit. ๐พ Semua parameter diasumsikan bernilai positif. Adapun asumsi-asumsi yang digunakan selain yang telah disebutkan di atas adalah 1. Populasi terbuka (terdapat kelahiran, imigrasi dan kematian). 2. Individu yang sakit (terinfeksi virus) dapat mengalami kematian.
23
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 5 No.2 Desember 2011: 19 - 30
3. Individu yang telah sembuh dari sakit memiliki kekebalan yang bersifat sementara. 4. Pada individu yang telah sembuh, jika kekebalan (terhadap penyakit) menghilang maka individu tersebut masuk dalam populasi rentan. 5. Populasi bersifat homogen (kemungkinan tertular penyakit diasumsikan sama setiap individu). 6. Individu rentan akan tertular penyakit jika melakukan kontak dengan individu yang sakit. Berikut diagram transfer model SIRS
Gambar 1. Diagram transfer model SIRS Berdasarkan diagram transfer di atas diperoleh model SIRS sebagai berikut ๐๐ = ฮ โ ๐ฝ๐๐ผ โ ๐๐ + ๐พ๐
(4.1.1a) ๐๐ก ๐๐ผ
๐๐ก ๐๐
= ๐ฝ๐๐ผ โ ๐ + ๐ผ + ๐ ๐ผ
(4.1.1b)
= ๐๐ผ โ ๐ + ๐พ ๐
. (4.1.1c) Jumlah individu dalam populasi dinyatakan N(t)=N, dengan ๐ = ๐ + ๐ผ + ๐
. Akibatnya, ๐๐ ๐๐ ๐๐ผ ๐๐
= ๐๐ก + ๐๐ก + ๐๐ก = ฮ โ ๐๐ โ ๐ผ๐ผ (4.1.2) ๐๐ก Jadi jumlah populasi bervariasi bergantung terhadap waktu. Kemudian dari Persamaan (4.1.2), Jika populasi terbebas dari penyakit ๐๐ maka ๐๐ก + ๐๐ = ฮ. (4.1.3) ๐๐ก
ฮ
Penyelesaian Persamaan (4.1.3) adalah ๐ ๐ก = ๐ + ๐ถ๐ โ๐๐ก ,
jika disubtitusi syarat awal N (0) ๏ฝ N 0 maka diperoleh solusi khusus ๏ N(t) = N0 e ๏ญ ๏ญ t + (1 - e ๏ญ ๏ญt ).
๏ญ
ฮ
Jika t membesar maka diperoleh lim๐กโโ ๐(๐ก) = ๐ . Jadi dapat dijelaskan jumlah populasi manusia dalam jangka waktu yang panjang menuju kapasitas batas yaitu ฮ . Selanjutnya dalam penelitian ini diasumsikan bahwa jumlah populasi manusia ๐
N๏ฃ
๏
๏ญ
, untuk setiap t ๏ณ 0 . Jadi solusi untuk model (4.1.1) didefinisikan dalam
daerah ฮ =
ฮ
๐, ๐ผ, ๐
๐โ3+: ๐ โฅ 0; ๐ผ โฅ 0; ๐
โฅ 0; ๐ + ๐ผ + ๐
โค ๐ .
4.2 Titik ekuilibrium Model SIRS Titik ekuilibrium pada model SIRS ini terdiri dari titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik. Titik ekuilibrium bebas penyakit artinya populasi terbebas
24
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 5 No.2 Desember 2011: 19 - 30
dari penyakit. Sedangkan titik ekuilibrium endemik berarti dalam populasi terjadi wabah penyakit. Pertama akan ditentukan titik ekuilibrium bebas penyakit, misalkan titik tersebut disimbolkan ๐1 = (๐ 0 , ๐ผ 0 , ๐
0 ). Karena populasi terbebas dari penyakit maka ๐ผ 0 = 0. Berdasarkan Definisi 1, titik ekuilibrium bebas penyakit ini harus memenuhi ฮ โ ๐ฝ๐ 0 ๐ผ 0 โ ๐๐ 0 + ๐พ๐
0 = 0 (4.1.4a) 0 0 0 ๐ฝ๐ ๐ผ โ ๐ + ๐ผ + ๐ ๐ผ = 0 (4.1.4b) 0 0 ๐๐ผ โ ๐ + ๐พ ๐
= 0 (4.1.4c) Dengan mensubstitusi ๐ผ 0 = 0 ke Persamaan (4.1.4a), (4.1.4b) dan (4.1.4c) ฮ diperoleh ๐ 0 = dan ๐
0 = 0. Jadi diperoleh titik ekuilbrium bebas penyakit ๐
ฮ
๐1 = (๐ , 0, 0). Sebelum menentukan titik ekuilibrium endemik pada model, diberikan basic reproduction number yaitu ๐
0 yang didefinisikan sebagai jumlah individu dalam populasi yang terinfeksi baru yang diproduksi dari satu individu terinfeksi pada saat semua individu rentan. Laju satu individu terinfeksi menularkan ke individu baru (rentan) adalah ๐ฝ๐. Jika ke semua individu rentan maka ๐ = ๐ 0 = ฮ 1 , dan karena rentang waktu hidup manusia yang sakit (terinfeksi) adalah ๐ +๐ผ+๐ , ๐ berarti ๐
0 =
๐ฝ ๐0
๐ +๐ผ+๐
=๐
๐ฝฮ ๐ +๐ผ+๐
.
(4.1.5)
Selanjutnya ditentukan titik ekuilibrium endemik, misal disimbolkan ๐2 = (๐ โ , ๐ผ โ , ๐
โ ). Karena dalam populasi terdapat wabah penyakit berarti ๐ผ โ โ 0. Titik ekuilibrium endemik ini harus memenuhi ฮ โ ๐ฝ๐ โ ๐ผ โ โ ๐๐ โ + ๐พ๐
โ = 0 (4.1.6a) โ โ โ ๐ฝ๐ ๐ผ โ ๐ + ๐ผ + ๐ ๐ผ = 0 (4.1.6b) ๐๐ผ โ โ ๐ + ๐พ ๐
โ = 0 (4.1.6c) Dari Persamaan (4.1.6b) diperoleh hubungan ๐ฝ๐ โ โ (๐ + ๐ผ + ๐) ๐ผ โ = 0. Karena ๐ผ โ โ 0 maka ๐ฝ๐ โ โ ๐ + ๐ผ + ๐ = 0
๐โ =
๐ +๐ผ+๐ ๐ฝ
๐0
ฮ
= ๐๐
= ๐
0
0
(4.1.7)
Substitusi Persamaan (4.1.7) ke Persamaan (4.1.6a) diperoleh ฮ ฮ โ ๐ + ๐ผ + ๐ ๐ผ โ โ + ๐พ๐
โ = 0
(4.1.8a)
Selanjutnya dari Persamaan (4.1.6c) diperoleh ๐ ๐ผโ ๐ + ๐พ ๐
โ = ๐๐ผ โ ๐
โ = ๐ +๐พ
(4.1.8b)
๐
0
Substitusi Persamaan (4.1.8a) dan Persamaan (4.1.8b) ke Persamaan (4.1.7) diperoleh ฮ ๐พ๐๐ผ โ ฮ โ ๐ + ๐ผ + ๐ ๐ผโ โ + =0 ๐
0 ๐+๐พ 1 ๐พ๐ ฮ 1โ โ๐ผ โ ๐ + ๐ผ + ๐ โ =0 ๐
0 ๐+๐พ ฮ ๐ + ๐ผ + ๐ ๐ + ๐พ โ ๐พ๐ ๐
0 โ 1 โ ๐ผ โ =0 ๐
0 ๐+๐พ ๐ผโ =
๐ +๐ผ+๐ ๐ +๐พ ๐
0 โ1 ๐ฝ ๐๐ + ๐ +๐พ ๐ +๐ผ
, ๐
0 > 1.
(4.1.9)
25
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 5 No.2 Desember 2011: 19 - 30
Substitusi Persamaan (4.1.9) ke Persamaan (4.1.8a) ๐ ๐ +๐ผ+๐ ๐
โ1 ๐
โ = ๐ฝ ๐๐ + ๐ +๐พ ๐0+๐ผ , ๐
0 > 1
(4.1.10)
Jadi diperoleh titik ekuilibrium endemik ๐ +๐ผ+๐ ๐ +๐ผ+๐ ๐ +๐พ ๐
0 โ1 ๐2 = ๐ โ , ๐ผ โ , ๐
โ = , , ๐ฝ ๐ฝ ๐๐ + ๐ +๐พ ๐ +๐ผ asalkan ๐
0 > 1.
๐ ๐ +๐ผ+๐ ๐
0 โ1 ๐ฝ ๐๐ + ๐ +๐พ ๐ +๐ผ
,
4.3 Kestabilan Titik Ekuilibrium pada Model SIRS Pada bagian ini untuk mengetahui kestabilan global titik ekuilibrium pada model akan dibangun fungsi Lyapunov. Fungsi Lyapunov dibangun dari kombinasi fungsi kuadratik komposit, kuadratik bersama, fungsi logaritma dan fungsi linier. Teorema 14 Titik ekuilibrium bebas penyakit T1 dari model SIRS (4.1.1) stabil asimtotik global pada ฮ jika ๐
0 โค 1. Bukti Didefinisikan ๐: ฮ โ โ3 โ โ , dengan fungsi 1 ๐ผ +2๐ ๐ผ +2๐ ๐ ๐, ๐ผ, ๐
= 2 [ ๐ โ ๐ 0 + ๐ผ + ๐
]2 + ๐ฝ ๐ผ + 2๐ ๐
2 . (4.1.11) Berdasarkan Definisi 5, fungsi W adalah fungsi Liapunov karena memenuhi 1. Fungsi (4.1.11) terdiri dari fungsi kuadratik dan fungsi linier, jelas bahwa fungsi tersebut adalah fungsi yang kontinu pada ฮ. Kemudian turunan parsial pertama juga kontinu. 2. Untuk sebarang ๐ = ๐, ๐ผ, ๐
๐ ฮ dengan ๐ โ ๐1 maka 1 ๐ ๐ = 2 ๐ โ ๐ 0 2 > 0, selanjutnya jika ๐ = ๐1 maka ๐ ๐ = 0. 3. Turunan fungsi ๐ ๐, ๐ผ, ๐
terhadap t adalah ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ผ ๐๐ ๐๐
๐ = ๐๐ ๐๐ก + ๐๐ผ ๐๐ก + ๐๐
๐๐ก =
๐ โ ๐0 + ๐ผ + ๐
๐๐ ๐๐ก
+
๐ โ ๐0 + ๐ผ + ๐
+
๐ผ +2๐ ๐ฝ
๐ โ ๐0 + ๐ผ + ๐
+ =
๐โ๐
0
+ ๐ผ + ๐
ฮ โ ๐ ๐ + ๐ผ + ๐
โ ๐ผ๐ผ + ๐+๐ผ+๐ ๐ผ +
๐ผ +2๐ ๐
๐๐ผ
+
๐๐ก ๐ผ +2๐
๐ผ +2๐ ๐ฝ
๐
๐
๐๐
๐๐ก
๐ฝ๐๐ผ โ
๐
๐๐ผ โ ๐ + ๐พ ๐
.
Karena ฮ = ๐๐ 0 maka diperoleh ๐ = ๐ โ ๐ 0 + ๐ผ + ๐
๐๐ 0 โ ๐ ๐ + ๐ผ + ๐
โ ๐ผ๐ผ ๐ผ +2๐ ๐ผ+2๐ + ๐ฝ ๐ฝ๐๐ผ โ ๐ + ๐ผ + ๐ ๐ผ + ๐ ๐๐
๐ผ โ ๐ + ๐พ ๐
2 . =
๐ โ ๐ 0 + ๐ผ + ๐
โ๐ ๐ โ ๐ 0 โ ๐๐ 0 โ ๐ + ๐ผ ๐ผ โ ๐๐
๐ผ +2๐ + ๐ผ + 2๐ ๐๐ผ โ ๐ฝ ๐ + ๐ผ + ๐ ๐ผ + ๐ผ + 2๐ ๐
๐ผ โ ๐ผ+2๐ ๐
= โ๐ ๐ โ ๐ 0 + ๐
๐ + ๐พ ๐
2 . 2
โ ๐ + ๐ผ ๐ผ2 โ
โ ๐ผ + 2๐
๐ผ + 2๐ ๐
๐ + ๐พ ๐
2
๐+๐ผ+๐ โ ๐0 ๐ผ ๐ฝ 26
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 5 No.2 Desember 2011: 19 - 30
= โ๐ ๐ โ ๐ 0 + ๐
2
โ ๐ + ๐ผ ๐ผ2 โ
๐ผ + 2๐ ๐
๐ + ๐พ ๐
2
๐+๐ผ+๐ 1 โ ๐
0 ๐ผ ๐ฝ jelas bahwa ๐ โค 0 asalkan ๐
0 โค 1. Jadi terbukti bahwa ๐ ๐, ๐ผ, ๐
fungsi Liapunov. Telah diketahui bahwa ๐ ๐, ๐ผ, ๐
merupakan fungsi Liapunov dan ๐ โค 0 asalkan ๐
0 โค 1. Selanjutnya akan ditentukan himpunan yang memenuhi sifat ๐ ๐ = 0. Ini terjadi jika dan hanya jika ๐ = ๐1 = (๐ 0 , 0, 0) โ ฮ. Berdasarkan Teorema 6 himpunan invariant terbesar dalam H= ๐ = ๐, ๐ผ, ๐
๐ ฮ โถ ๐ ๐ = 0 adalah ๐ = ๐1 dengan ๐1 merupakan titik ekuilibrium bebas penyakit. Karena himpunan ๐ป1 tidak memuat solusi lain maka setiap solusi pada ฮ menuju ๐1 untuk t ๏ฎ ๏ฅ . Selanjutnya berdasarkan Prinsip Invariant Lasalle yaitu Akibat 7, titik ekuilibrium ๐1 stabil asimtotik global pada ฮ. โก โ ๐ผ + 2๐
Teorema 15 Titik ekuilibrium endemik T2 dari model SIRS (4.1.1) stabil asimtotik global pada interior ฮ jika ๐
0 > 1. Bukti Didefinisikan ๐ฟ: ๐, ๐ผ, ๐
โ ฮ: ๐, ๐ผ, ๐
> 0 โ โ, dengan fungsi 1 ๐ผ + 2๐ ๐ผ ๐ฟ = [ ๐ โ ๐ โ + ๐ผ โ ๐ผ โ + (๐
โ ๐
โ )]2 + ๐ผ โ ๐ผ โ โ ๐ผ โ ๐๐ โ 2 ๐ฝ ๐ผ ๐ผ + 2๐ + (๐
โ ๐
โ )2 2๐ Berdasarkan Definisi 5, fungsi L adalah fungsi Lyapunov karena memenuhi 1. Fungsi 1 ๐ผ+2๐ ๐ผ ๐ฟ = 2 [ ๐ โ ๐ โ + ๐ผ โ ๐ผ โ + (๐
โ ๐
โ )]2 + ๐ฝ ๐ผ โ ๐ผ โ โ ๐ผ โ ๐๐ ๐ผ โ + ๐ผ+2๐ 2๐
(๐
โ ๐
โ )2
terdiri dari fungsi kuadratik, fungsi linier dan fungsi logaritma, jelas bahwa fungsi tersebut adalah fungsi yang kontinu pada interior ฮ. Kemudian turunan parsial pertama juga kontinu pada interior ฮ . 2. Titik ekuilibrium ๐2 minimum global dan tunggal. Berdasarkan Definisi 9, jelas bahwa ฮ himpunan konveks. Kemudian diperoleh turunan parsial kedua dari fungsi ๐ฟ adalah ๐2๐ฟ
๐๐ 2 ๐2๐ฟ
= 1,
๐2๐ฟ
๐๐ผ 2 ๐2๐ฟ
=1+
๐ผ+2๐ ๐ฝ ๐2๐ฟ
๐ผโ
,
๐2๐ฟ
๐ผ2 ๐๐
2 ๐2๐ฟ
=1+
๐ผ +2๐
๐2๐ฟ
๐
, ๐2๐ฟ
= 1, ๐๐๐๐
= 1, ๐๐ผ๐๐ = 1, ๐๐ผ๐๐
= 1, ๐๐
๐๐ = 1, ๐๐
๐๐ผ = 1 ๐๐๐๐ผ merupakan fungsi yang kontinu pada ฮ. Berdasarkan Definisi 10, diperoleh matriks Hessian di titik ekuilibrium ๐2 yaitu 1 1 1 ๐ผ+2๐ 1 1 + ๐ฝ ๐ผโ 1 ๐ป ๐2 = . ๐ผ +2๐ 1 1 1+ ๐ matriks Hessian ๐ป ๐2 definit positif karena
27
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 5 No.2 Desember 2011: 19 - 30
๐2๐ฟ ๐๐ 2
= 1 > 0,
๐๐๐ก ๐ป ๐2 =
๐2๐ฟ
๐2๐ฟ
๐๐ 2
๐๐ผ 2 2
๐ผ +2๐ ๐ฝ๐ ๐ผ โ
โ
๐2๐ฟ
2
๐๐๐๐ผ
=
๐ผ +2๐ ๐ฝ ๐ผโ
> 0 dan
> 0.
Berdasarkan Teorema 11, fungsi L merupakan fungsi konveks tegas. Selanjutnya jelas bahwa ๐ฟ = 0 pada saat ๐, ๐ผ, ๐
= ๐ โ , ๐ผ โ , ๐
โ = ๐2 . Berdasarkan Teorema 2.7.9 titik ekuilibrium ๐2 merupakan titik minimum lokal. Kemudian berdasarkan Teorema 13, titik minimum lokal ๐2 dari fungsi L sekaligus merupakan titik minimum global pada ฮ dan tunggal 3. Turunan fungsi ๐ฟ ๐, ๐ผ, ๐
terhadap t adalah ๐๐ฟ ๐๐ ๐๐ฟ ๐๐ผ ๐๐ฟ ๐๐
๐ฟ= + + ๐๐ ๐๐ก ๐๐ผ ๐๐ก ๐๐
๐๐ก ๐ ๐+๐ผ+๐
๐ผ + 2๐ ๐๐ผ ๐ผ โ ๐๐ผ = ๐ โ ๐ โ + ๐ผ โ ๐ผโ + ๐
โ ๐
โ + โ ๐๐ก ๐ฝ ๐๐ก ๐ผ ๐๐ก ๐ผ + 2๐ ๐๐
+ ๐
โ ๐
โ ๐ ๐๐ก โ โ โ = ๐โ๐ + ๐ผโ๐ผ + ๐
โ๐
ฮ โ ๐ ๐ + ๐ผ + ๐
โ ๐ผ๐ผ ๐ผ + 2๐ ๐ผ โ ๐ผ โ + ๐ฝ๐๐ผ โ ๐ + ๐ผ + ๐ ๐ผ ๐ฝ ๐ผ ๐ผ + 2๐ + ๐
โ ๐
โ ๐๐ผ โ ๐ + ๐พ ๐
๐ Berdasarkan Persamaan (4.1.6) diperoleh ฮ = ๐(๐ โ + ๐ผ โ + ๐
โ ) + ๐ผ๐ผ โ , ๐ฝ๐ โ = ๐ + ๐ผ + ๐ dan ๐๐ผ โ โ ๐ + ๐พ ๐
โ = 0, dan kemudian disubstitusi ke ๐ฟ, diperoleh ๐ฟ=
=
๐ โ ๐ โ + ๐ผ โ ๐ผ โ + ๐
โ ๐
โ โ๐ ๐ โ ๐ โ + ๐ผ โ ๐ผ โ + ๐
โ ๐
โ ๐ผ + 2๐ ๐ผ โ ๐ผ โ โ โ ๐ผ(๐ผ โ ๐ผ ) + ๐ฝ๐๐ผ โ ๐ฝ๐ โ ๐ผ ๐ฝ ๐ผ ๐ผ + 2๐ + ๐
โ ๐
โ ๐๐ผ โ ๐ + ๐พ ๐
๐ ๐ โ ๐ โ + ๐ผ โ ๐ผโ + ๐
โ ๐
โ
โ๐ ๐ โ ๐ โ + ๐
โ ๐
โ
โ (๐ผ
+ ๐)(๐ผ โ ๐ผ โ ) + ๐ผ + 2๐ ๐ผ โ ๐ผ โ ๐ โ ๐ โ ๐ผ + 2๐ + ๐
โ ๐
โ ๐(๐ผ โ ๐ผ โ ) โ ๐ + ๐พ ๐
โ ๐
โ ๐ =
๐ โ ๐ โ + ๐ผ โ ๐ผโ + ๐
โ ๐
โ
โ๐ ๐ โ ๐ โ + ๐
โ ๐
โ
โ (๐ผ
+ ๐)(๐ผ โ ๐ผ โ ) + ๐ผ + 2๐ ๐ผ โ ๐ผ โ ๐ โ ๐ โ ๐ผ + 2๐ ๐ + ๐พ + ๐ผ + 2๐ ๐
โ ๐
โ ๐ผ โ ๐ผ โ โ ๐
โ ๐
โ 2 ๐ ๐ผ + 2๐ ๐ + ๐พ 2 = โ๐ ๐ โ ๐ โ + ๐
โ ๐
โ โ ๐ผ + ๐ ๐ผ โ ๐ผโ 2 โ ๐
โ ๐
โ 2 , ๐ Nilai ๐ฟ โค 0, dengan syarat ๐
0 > 1 (syarat eksistensi titik ekuilibrium endemik) Jadi terbukti bahwa ๐ฟ ๐, ๐ผ, ๐
fungsi Lyapunov. Telah diketahui bahwa ๐ฟ ๐, ๐ผ, ๐
merupakan fungsi Lyapunov dan ๐ฟ โค 0. Selanjutnya akan ditentukan himpunan yang memenuhi sifat ๐ฟ ๐ = 0. Ini
28
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 5 No.2 Desember 2011: 19 - 30
terjadi jika dan hanya jika ๐ = ๐ โ , ๐ผ = ๐ผ โ dan ๐
= ๐
โ yaitu ๐ = ๐2 = ๐ โ , ๐ผ โ , ๐
โ โ ฮ. Berdasarkan Teorema 2.6.3 himpunan invariant terbesar dalam ๐ป = ๐ = ๐, ๐ผ, ๐
๐ ฮ โถ ๐ ๐ = 0 adalah ๐ = ๐2 dengan ๐2 merupakan titik ekuilibrium endemik. Karena himpunan ๐ป tidak memuat solusi lain maka setiap solusi pada interior ฮ menuju ๐2 untuk t ๏ฎ ๏ฅ . Selanjutnya berdasarkan Prinsip Invariant Lasalle yaitu Akibat 2.6.4, titik ekuilibrium ๐2 stabil asimtotik global pada interior ฮ yaitu ๐, ๐ผ, ๐
โ ฮ: ๐, ๐ผ, ๐
> 0 . โก 7. KESIMPULAN Pada model SIRS, dengan mendefinisikan ๐: ฮ โ โ3 โ โ , fungsi 1 Lyapunov yang digunakan adalah ๐ ๐, ๐ผ, ๐
= [ ๐ โ ๐ 0 + ๐ผ + ๐
]2 + ๐ผ+2๐ ๐ฝ
๐ผ+
๐ผ+2๐ 2๐
2
๐
2
dapat disimpulkan, titik ekuilibrium bebas penyakit T1
stabil asimtotik global pada ๐ค jika ๐
0 โค 1, artinya dalam waktu yang cukup panjang populasi pada suatu daerah akan terbebas dari penyakit asalkan jumlah individu dalam populasi yang terinfeksi baru yang diproduksi dari satu individu terinfeksi pada saat semua individu rentan kurang dari atau sama dengan satu (๐
0 โค 1). Selanjutnya, dengan mendefinisikan ๐ฟ: ๐, ๐ผ, ๐
โ ฮ: ๐, ๐ผ, ๐
> 0 1 โ โ, fungsi Lyapunov yang digunakan ๐ฟ = 2 [ ๐ โ ๐ โ + ๐ผ โ ๐ผ โ + (๐
โ ๐
โ )]2 +
๐ผ +2๐ ๐ฝ
๐ผ
๐ผ โ ๐ผ โ โ ๐ผ โ ๐๐ ๐ผ โ +
๐ผ +2๐ 2๐
(๐
โ ๐
โ )2 , dapat disimpulkan, titik
ekuilibrium endemik T2 stabil asimtotik global pada interior ฮ asalkan ๐
0 > 1, artinya dalam waktu yang cukup panjang populasi dalam suatu daerah akan terjadi wabah penyakit jika jumlah individu dalam populasi yang terinfeksi baru yang diproduksi dari satu individu terinfeksi pada saat semua individu rentan lebih dari satu (๐
0 > 1). 7. DAFTAR PUSTAKA [1] Bazaraa, M.S., Sherali, H.D., and Shetty, C.M., 1993, Nonlinear Programming Theory and Algorithms, John Wiley & Sons. Inc, New York [2] Becerra, M. Victor, 2008. La Salleโs Invariant Set Theory, http://www.personal.rdg.ac.uk/~shs99vmb/notes/anc/lecture3 .pdf [3] Boyd, Stephen, 2008, Basic Lyapunov Theory, Stanford University, http://www.stanford.edu/class/ee363/lyap .pdf [4] Brauer, F. and Chavez, C.C., 2001, Mathematical Models in Population Biology and Epidemology, Springer, New York. [5] Chong, K.P. and Stainslow, H. Z., 1996, An introduction to optimization, John Wiley & Sons. Inc, New York. [6] Korobeinikov, A. and Maini, P, K., 2004, A Lyapunov Function and Global Properties For SIR and SEIR Epidemiological Models With Nonlinear Incidence, Mathemetical Bioscience and engineering , Vol. 1 Number 1 pp. 57-60. [7] Korobeinikov A., 2006, Lyapunov Function and Global Stability For SIR and SIRS Epidemiological Models With Nonlinear Tranmission. Bulletin of Mathematical Biology , 30 pp.615โ626, DOI 10.1007/s11538-005-9037-9
29
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 5 No.2 Desember 2011: 19 - 30
[8] Leonโs, C.V.D., 2009, Constructions of Lyapunov Functions for Classics SIS, SIR and SIRS Epidemic Model With Variable Population Size, MatRed Foro, Vol. 26, www.red-mat.unam.mx/foro/volumenes/Vol026. [9] Leon, J. S., 1998, Aljabar Linear Dan Aplikasinya , Edisi kelima, Alih bahasa oleh Bondan, A., Erlangga, Jakarta. [10] Luenberger, D, G., 1979, Introduction to dynamical system theory, models, and applications, John Wiley & Sons, Inc, Canada. [11] Perko, L., 1991, Differential Equations and Dynamical Systems, SpringerVerlag, New York. [12] Verhulst, F., 1990, Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin. [13] Wiggins, S., 1990, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer-Verlag, New York.
30