KESTABILAN DAN BIFURKASI MODEL EPIDEMIK SEIR DENGAN LAJU KESEMBUHAN TIPE JENUH. Oleh: Khoiril Hidayati ( )

KESTABILAN DAN BIFURKASI MODEL EPIDEMIK SEIR DENGAN LAJU KESEMBUHAN TIPE JENUH Oleh: Khoiril Hidayati (1209 100 070) Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2013

Pendahuluan Metode Penelitian Tinjauan Pustaka Analisa dan Pembahasan Simulasi dan Kesimpulan Daftar Pustaka

Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Manfaat

Latar Belakang Jumlah Pesakitan tdk terkendali PENYAKIT ENDEMIK

Jumlah Kematian meningkat tajam

Karantina, Pencegahan, Pengebalan, dll

Keresahan masyarakat

Penyakit SEIR

Treatmen dg tipe Jenuh

Imun permanen Khoiril Hidayati (1209 100 070)



Rumusan Masalah

1.

2.

Bagaimana menentukan potensi penularan penyakit pada populasi rentan (R0) pada model epidemik dengan memperhatikan laju kesembuhan yang bersifat jenuh?

Bagaimana kestabilan titik setimbang dan bifurkasi dari model epidemik dengan kesembuhan tipe jenuh?

Khoiril Hidayati (1209 100 070)



Batasan Masalah

1.

Model diasumsikan tipe SEIR dengan kesembuhan tipe jenuh, yaitu sistem imun yang terbentuk pada individu infectious (I) bersifat permanen.

2.

Individu masuk dalam populasi melalui kelahiran atau imigrasi dengan laju konstan yang masuk dalam kelas susceptible (S) dan keluar karena kematian atau menjadi individu infectious.




Tujuan

1. 2.

Mengetahui laju kesembuhan yang bersifat jenuh terhadap jumlah populasi rentan yang terinfeksi oleh infectious (R0)

Mengetahui kestabilan bifurkasi dari model epidemik SEIR sehingga mengetahui terjadinya penyebaran penyakit menular




Manfaat

1. 2. 3.

Adanya pengetahuan bagi peneliti mengenai analisa penyebaran penyakit tipe SEIR dengan laju kesembuhan tipe jenuh

Sebagai rujukan bagi penelitian yang sejenis

Sebagai bahan pertimbangan bagi pihak terkait dalam menangani penyebaran penyakit menular tipe SEIR dengan laju kesembuhan tipe jenuh



Metode Penelitian Mengkaji Model Epidemik Mencari Titik Kesetimbangan dan Bilangan Reproduksi Dasar Menganalisa Stabilitas Titik Kesetimbangan Menganalisa Terjadinya Bifurkasi Simulasi dan Kesimpulan Khoiril Hidayati (1209 100 070)


Model Epidemik SEIR dengan Kesembuhan Tipe Jenuh Bilangan Reproduksi Dasar Titik Kesetimbangan Stabilitas Lokal Analisa Bifurkasi

Model Epidemik SEIR dengan Kesembuhan Tipe Jenuh




Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar adalah bilangan yang menunjukkan jumlah individu rentan yang dapat menderita penyakit disebabkan oleh satu individu infeksi. Kondisi yang akan timbul adalah satu diantara tiga kemungkinan berikut (Giesecke, 1994): a. Jika , maka penyakit akan menghilang dalam populasi b. Jika ,maka penyakit akan menetap(endemis) dalam populasi c. Jika , maka penyakit akan meningkat menjadi wabah dalam populasi.




Next General Matrics Adalah dengan membentuk sistem menjadi persamaan




Next General Matrics




Titik Kesetimbangan




Stabilitas Lokal




Stabilitas Lokal




Kestabilan Routh-Hurwitz

Kemudian akan disusun koefisien persamaan karakteristik sehingga menjadi sebuah tabel Routh-Hurwitz.




Kestabilan Routh-Hurwitz Kemudian disusun membentuk tabel berikut:

Dengan menggunakan akar karakteristik (nilai eigen), sistem dikatakan stabil atau mempunyai tanda bagian real nilai eigen negatif jika dan hanya jika elemen-elemen pada kolom pertama Tabel 2.1 memiliki tanda yang sama .




Teori Manifold Pusat Center manifold theory adalah teori yang digunakan untuk memutuskan stabilitas lokal dari titik kesetimbangan non-hyperbolic (matriks linearisasi yang mempunyai paling sedikit 1 nilai eigen yang bagian realnya 0) dan juga meneliti keberadaan bifurkasi disekitar titik kesetimbangan bebas penyakit, dengan melihat kondisi pada parameter yang menyebabkan bifurkasi maju atau mundur terjadi Sistem dibentuk dalam persamaan




Teori Manifold Pusat











Epidemik SEIR tanpa Treatmen Tipe Jenuh

Model Epidemik SEIR tanpa Treatmen

Diperoleh sistem dinamik model:




Titik Kesetimbangan Titik kesetimbangan dari sistem ini didapat dari

Titik kesetimbangan bebas penyakit terjadi ketika Sehingga didapatkan titik kesetimbangan bebas penyakitnya adalah




Titik Kesetimbangan Titik kesetimbangan endemik terjadi ketika Sehingga diperoleh

dengan




Kestabilan titik kesetimbangan bebas penyakit Kestabilannya didapatkan dari determinan matriks Jacobiannya, diperoleh:




Kestabilan titik kesetimbangan endemik Kestabilannya didapatkan dari determinan matriks Jacobiannya, diperoleh:




Dengan menggunakan metode Routh-Hurwitz diperoleh:

dengan



Epidemik SEIR dengan Treatmen Tipe Jenuh

Model Epidemik SEIR dengan Treatmen tipe Jenuh

Diperoleh sistem dinamik model:




Bilangan Reproduksi Dasar




Titik Kesetimbangan Titik kesetimbangan bebas penyakit pada model ini adalah

Sedangkan titik kesetimbangan endemik terjadi ketika pada sistem

dengan Khoiril Hidayati (1209 100 070)



Titik Kesetimbangan




Analisa Kestabilan Lokal Titik Setimbang dan Bifurkasi



























Simulasi Kesimpulan

Simulasi



Simulasi Kesimpulan

Simulasi



Simulasi Kesimpulan

Kesimpulan



Daftar Pustaka

Daftar Pustaka [1] Xueyong Zhou dan Jingan Cui (2011). “Analysis of stability and bifurkasi for an SEIR epidemik model with satured recovery rate”. Common Nonlinear Sci Numer Simulat. Elsevier. [2] Priyandoko, Bagus. (2009). “Analisis kualitatif dan bifurkasi pada Model Epidemik Tipe SEIR dengan Transmisi Vertikal”. Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika. [3] Greenhalgh D. Some results for a SEIR epidemic model with density dependence in he death rate. IMA J Math Appl Med Biol 1992;9:67. [4] Zhang J, Ma Z. Global dynamics of an SEIR epidemic model with saturating contact rate. Math Biosci 2003;185:15–32. [5] Cui JA, Mu XX, Wan H. Saturation recovery leads to multiple endemic equilibria and backward bifurcation. J Theor Biol 2008;254:273-85. [6] Djasuli, M. (2009). “Eksistensi Bifurkasi Mundur pada Model Penyebaran Penyakit Makroparasitis”. Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Tugas Akhir S2 Jurusan Matematika. [7] Van den Driessche P, Watmough J. Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission. Math Biosci. 2002;180:129-48. [8] Guckenheimer J, Holmes P. Nonlinear oscillations. Dynamical systems and bifurcations of vector fields, Berlin: Springer; 1983. Khoiril Hidayati (1209 100 070)



KESTABILAN DAN BIFURKASI MODEL EPIDEMIK SEIR DENGAN LAJU KESEMBUHAN TIPE JENUH. Oleh: Khoiril Hidayati ( )

Recommend Documents