ANALISIS STABILITAS PADA MODEL EPIDEMIK MULTI GRUP DENGAN LAJU PENULARAN TAK LINEAR Nama NRP Jurusan Dosen Pembimbing
: Diny Tri Winarni : 1207100048 : Matematika FMIPA – ITS : Drs. M. Setijo Winarko, M.Si Drs. Suhud Wahyudi,M.Si
Abstrak Dalam suatu ekosistem yang terdiri dari populasi heterogen yang dapat dibagi menjadi grup homogen, penyebaran sebuah penyakit dapat terjadi secara silang diantara grup tersebut. Dengan menggunakan pendekatan dari teori graph, sistem dapat digambarkan sebagai sebuah jaringan dimana setiap simpul menunjukkan sebuah grup homogen dan sebuah busur (𝑗, 𝑖) ada jika dan hanya jika penyakit dapat menular dari grup 𝑖 ke grup 𝑗. Jika suatu bilangan reproduksi dasar 𝑅0 ≤ 1 penyakit akan hilang dan terdapat titik kesetimbangan bebas penyakit 𝑃0 yang stabil asimtotik lokal dan stabil asimtotik global, sedangkan jika 𝑅0 > 1 penyakit akan menjadi endemik dan terdapat titik kesetimbangan endemik 𝑃∗ yang stabil asimtotik global. Untuk menganalisis stabilitas lokal digunakan kriteria Routh-Hurwitz, sedangkan untuk menganalisis stabilitas global didapatkan melalui konstruksi fungsi Liapunov dengan menerapkan graph berarah. Kata kunci: Analisis Stabilitas, Fungsi Lyapunov, Penularan Taklinear, Jaringan I PENDAHULUAN Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan dari satu atau beberapa fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial sering digunakan untuk membangun model matematika yang dapat membantu mempermudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Masalah tersebut dapat dibuat suatu model matematis dengan menggunakan asumsi tertentu, setelah itu dicari solusinya. Sistem berpasangan dari persamaan diferensial taklinear pada jaringan telah digunakan untuk memodelkan berbagai hal antara lain untuk menyelidiki sistem berpasangan dari osilator tak linear, penyebaran penyakit menular pada populasi heterogen, serta untuk menganalisis stabilitas dari sistem berpasangan pada model ekosistem kompleks [4].
ekologi atau sebuah lintasan, dan dapat juga berupa grup – grup homogen dalam populasi heterogen untuk sebuah penyakit menular. Sedangkan interaksi antara simpul-simpul yang ada dapat berupa koneksi fisika diantara osilator, penyebaran diantara grup-grup kecil pada lintasan, dan infeksi silang diantara grup homogen di dalam suatu populasi heterogen [4]. Untuk menjelaskan dinamika penyebaran dari suatu penyakit menular pada populasi makhluk hidup yang heterogen dapat digunakan sebuah model multi grup. Keheterogenan dalam suatu populasi dapat disebabkan oleh banyak faktor. Sekelompok individu dapat dibagi menjadi beberapa grup homogen berdasarkan perbedaan pola keterkaitan pada suatu hal, seperti pembagian populasi berdasarkan usia pada penyebaran penyakit gondok dan cacar air, serta pembagian grup berdasarkan pola hubungan seksual untuk penyakit yang menular secara seksual seperti HIV/AIDS [4].
Telah banyak penelitian tentang analisis stabilitas suatu model penularan penyakit menular, namun kebanyakan dari penelitian tersebut mengabaikan keheterogenan dari suatu populasi [5,6]. Dalam kehidupan sehari – hari laju penularan penyakit dapat berbeda antara sekelompok individu satu dan lainnya. Maka diperlukan sebuah konsep jaringan pada analisis penyebaran suatu penyakit menular. Deskripsi matematika dari sebuah jaringan adalah sebuah graph berarah yang terdiri dari beberapa simpul dan dihubungkan oleh busur berarah. Busur berarah mengindikasikan koneksi antar simpul. Dalam sistem model, sebuah simpul dapat berupa sebuah osilator, sebuah komunitas besar
Dalam Tugas Akhir ini dianalisis stabilitas lokal dan stabilitas global dari model epidemik multi grup dengan laju penularan taklinear. Dalam menganalisis stabilitas lokal digunakan kriteria Routh-Hurwitz, sedangkan stabilitas global didapatkan melalui konstruksi fungsi Liapunov dengan menerapkan teori graph. Setelah itu dikembangkan sebuah studi kasus analisis stabilitas pada model epidemik dua grup dengan laju penularan taklinear. 1
[4]. Pohon berakar dan graph ditunjukkan oleh Gambar 2.1.
II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Penyakit Menular Penyakit menular adalah penyakit yang disebabkan oleh kuman yang menjangkiti tubuh manusia. Kuman dapat berupa virus, bakteri, atau jamur. Penyakit menular disebut juga wabah. Wabah dalam lingkup yang lebih luas disebut epidemik, yaitu wabah yang terjadi secara lebih cepat daripada yang diperkirakan. Penyakit yang umumnya terjadi pada laju yang konstan namun cukup tinggi pada suatu populasi disebut sebagai endemik. Suatu infeksi penyakit dikatakan sebagai endemik bila setiap orang yang terinfeksi penyakit tersebut menularkannya kepada orang lain. Bila infeksi tersebut tidak lenyap dan jumlah orang yang terinfeksi bertambah, suatu infeksi dikatakan berada dalam keadaan endemik.
unicyclic
Gambar 2.1. (A) pohon berakar. (B) graph unicyclic Diberikan digraph berbobot 𝒢 dengan 𝑛 simpul, misal bobot matriks 𝐴 = (𝑎𝑖,𝑗 )𝑛 ×𝑛 dimana 𝑎𝑖,𝑗 merupakan bobot dari busur (𝑗, 𝑖) jika ada, dan 0 untuk yang lainnya. Graph berarah 𝒢 dikatakan terhubung kuat jika untuk sebarang pasang simpul, terdapat sebuah lintasan berarah yang menghubungkan dari satu ke lainnya. Graph terhubung berbobot (𝒢, 𝐴) terhubung kuat jika dan hanya jika bobot matriks A tak tereduksi. Matriks Laplacian dari (𝒢, 𝐴) didefinisikan sebagai berikut [1]:
2.2 Dasar Teori Graph Graph berarah atau digraph (directed graph) 𝒢(𝑉, 𝐸) berisikan dua himpunan, yaitu himpunan berhingga tak kosong 𝑉(𝒢) = {1,2, … , 𝑛} dari obyek-obyek yang disebut simpul dan himpunan berhingga (mungkin kosong) 𝐸(𝒢) yang elemennya disebut busur (𝑖, 𝑗), sedemikian hingga setiap elemen (𝑖, 𝑗) dalam 𝐸(𝒢) merupakan pasangan berurutan dari simpul 𝑉(𝒢). Sebuah subgraph 𝐻 dari 𝒢, dikatakan membentang jika 𝐻 dan 𝒢 memiliki himpunan simpul yang sama. Digraph 𝒢 dikatakan berbobot jika setiap busur (𝑗, 𝑖) dikaitkan dengan suatu bilangan real positif (𝑎𝑖𝑗 ), dimana bilangan yang dikaitkan tersebut disebut bobot. Bobot 𝑤(𝐻) dari sebuah subgraph 𝐻 adalah jumlahan bobot dari semua busur di 𝐻 [2].
𝑎1𝑘
−𝑎12
…
−𝑎1𝑛
…
−𝑎2𝑛
𝑘≠1
𝐿=
−𝑎21
𝑎2𝑘 𝑘≠2
⋮ −𝑎𝑛1
⋮ −𝑎𝑛2
⋮
⋱ …
𝑎𝑛𝑘 𝑘≠𝑛
dengan 𝑐𝑖 adalah kofaktor dari elemen diagonal ke- 𝑖 dari 𝐿 dan memenuhi Definisi 2.1. Definisi 2.1 Diasumsikan 𝑛 ≥ 2, dan 𝑐𝑖 =
𝑤(𝒯) , 𝒯𝜖𝕋𝑖
𝑖 = 1,2, … 𝑛
(2.1)
dengan 𝕋i adalah himpunan semua pohon pembentang 𝒯 dari (𝒢, 𝐴) yang berakar pada simpul 𝑖, dan 𝑤(𝒯) adalah bobot dari 𝒯. Jika (𝒢, 𝐴) terhubung kuat, maka 𝑐𝑖 ≥ 0.
Lintasan adalah suatu barisan berhingga (tak kosong) yang suku-sukunya bergantian simpul dan busur dimana semua simpul dan busur hanya boleh muncul satu kali. Sedangkan lintasan berarah 𝑃 pada 𝒢 adalah sebuah subgraph dengan simpul { 𝑖𝑘 , 𝑖𝑘+1 , 𝑘 = 1,2, … , 𝑚 − 1}. Jika 𝑖𝑚 = 𝑖1 , 𝑃 disebut cycle berarah. Sebuah subgraph terhubung 𝒯 disebut sebuah pohon jika tidak terdapat cycle, berarah ataupun tak berarah. Simpul 𝑖 merupakan akar dari sebuah pohon, jika 𝑖 bukan simpul tujuan dari beberapa busur, dan setiap simpul yang tersisa merupakan simpul tujuan dari tepat satu busur. Sebuah subgraph 𝒬 disebut unicyclic jika 𝒬 merupakan pohon berakar dimana bentuk akarnya berupa cycle berarah, dan setiap simpul di 𝒬 adalah simpul tujuan dari tepat satu busur
Definisi 2.2 Misal 𝐸 = 𝑒𝑖𝑗 𝑛×𝑛 , 𝐹 = 𝑓𝑖𝑗 𝑛×𝑛 adalah matriks tak negatif. 𝐸 ≥ 𝐹 jika 𝑒𝑖𝑗 ≥ 𝑓𝑖𝑗 untuk semua 𝑖 dan 𝑗, dan 𝐸 > 𝐹 jika 𝐸 ≥ 𝐹 dan 𝐸 ≠ 𝐹. Diasumsikan
2
𝑃1.
Jika 𝐸 tak negatif, maka jarak spektral 𝜌 𝐸 dari 𝐸 adalah sebuah nilai eigen, dan 𝐸 memiliki sebuah vector eigen tak negatif yang bersesuaian dengan 𝜌 𝐸 .
𝑃2.
Jika 𝐸 tak negatif dan tak tereduksi, maka 𝜌 𝐸 adalah nilai eigen sederhana, dan 𝐸
memiliki sebuah vektor eigen positif 𝑥 yang bersesuaian dengan 𝜌 𝐸 .
Misalkan 𝑉𝑖 𝑡, 𝑢𝑖 adalah fungsi Lyapunov untuk setiap sistem simpul (2.4), dapat dikonstruksi sebuah fungsi Lyapunov untuk sistem berpasangan (2.5) yaitu
Jika 0 ≤ 𝐸 ≤ 𝐹, maka 𝜌 𝐸 ≤ 𝜌 𝐹 . Selain itu, jika 0 ≤ 𝐸 < 𝐹 dan 𝐸 + 𝐹 tak tereduksi, maka 𝜌 𝐸 < 𝜌 𝐹 .
𝑃3.
𝑃4.
𝑛
𝑉 𝑡, 𝑢 =
𝑐𝑖 𝑉𝑖 𝑡, 𝑢𝑖
Jika 𝐸 tak negatif dan tak tereduksi, dan 𝐹 adalah matriks diagonal dan positif, maka 𝐸𝐹 tak tereduksi.
Teorema 2.3 Diasumsikan bahwa asumsi berikut terpenuhi 1) Terdapat fungsi 𝑉𝑖 𝑡, 𝑢𝑖 , 𝐹𝑖𝑗 𝑡, 𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 , dan konstanta 𝑎𝑖𝑗 ≥ 0 sedemikian hingga
dengan 𝜌 𝐸 adalah sebuah nilai eigen. Jika 𝜆 adalah nilai eigen dari 𝐸 maka 𝜆 = 𝜌 𝐸 [1].
𝑛
𝑉𝑖 𝑡, 𝑢 ≤
Teorema 2.1
𝑎𝑖𝑗 𝐹𝑖𝑗 𝑡, 𝑢𝑖 , 𝑢𝑗 , 𝑡 > 0, 𝑢𝑖 ∈ 𝐷𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. 𝑗 =1
2) Sekitar setiap cycle berarah 𝒞 dari graph berarah berarah (𝒢, 𝐴),, 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 ,
Diasumsikan 𝑛 ≥ 2. Misalkan 𝑐𝑖 diberikan pada Definisi 2.1 maka berlaku:
𝐹𝑟𝑠 𝑡, 𝑢𝑟 , 𝑢𝑠 ≤ 0, 𝑡 > 0,
𝑛
𝑐𝑖 𝑎𝑖𝑗 𝐹𝑖𝑗 (𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 ) = 𝑖,𝑗 =1
(2.6)
𝑗 =1
𝑤(𝒬) 𝒬∈ℚ
𝐹𝑟𝑠 (𝑥𝑟 , 𝑥𝑠 )
(2.2)
3) Konstanta 𝑐𝑖 diberikan dalam (2.1)
(𝑠,𝑟)∈𝐸(𝐶𝒬 )
maka 𝑉 𝑡, 𝑢 ≤ 0 untuk 𝑡 > 0 dan 𝑢 ∈ 𝐷, V adalah fungsi Lyapunov untuk (2.5).
𝐹𝑖𝑗 𝑥𝑖 , 𝑥𝑗 , 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛, adalah fungsi sebarang, ℚ
adalah himpunan semua graph unicyclic pembentang dari (𝒢, 𝐴), 𝑤(𝒬) adalah bobot dari 𝒬, 𝐶𝒬 menunjukkan cycle berarah di 𝒬, 𝐸(𝐶𝒬 ) adalah himpunan busur dari cycle berarah di 𝒬.
2.4 Model Epidemik Multi Grup dengan Laju Penularan Taklinear Sebuah model epidemik multi grup 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dengan laju penularan taklinear diberikan oleh :
Teorema 2.2 Diasumsikan 𝑛 ≥ 2. Misalkan 𝑐𝑖 diberikan pada Definisi 2.1 maka berakibat: 𝑛
𝑛
𝑆𝑖 = 𝛬𝑖 − 𝑑𝑖𝑆 𝑆𝑖 −
𝑛
𝑐𝑖 𝑎𝑖𝑗 𝐺𝑖 (𝑥𝑖 ) = 𝑖,𝑗 =1
𝑐𝑖 𝑎𝑖𝑗 𝐺𝑗 (𝑥𝑗 )
𝛽𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 (𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 )
𝑛
𝛽𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 (𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 ) − 𝑑𝑖𝐸 + 𝜖𝑖 𝐸𝑖
dimana 𝐺𝑖 𝑥𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, adalah fungsi sebarang.
𝐸𝑖 =
2.3 Sistem Berpasangan dari Persamaan Diferensial pada Jaringan
𝐼𝑖 = 𝜖𝑖 𝐸𝑖 − 𝑑𝑖𝐼 + 𝛾𝑖 𝐼𝑖
(2.11)
Model tersebut menggambarkan penyebaran penyakit menular pada populasi yang heterogen, yang dibagi menjadi 𝑛 grup homogen. Setiap grup ke-𝑖 selanjutnya dibagi menjadi 𝑆𝑖 , 𝐸𝑖 dan 𝐼𝑖 , dengan: 𝑆𝑖 : Populasi pada grup ke- 𝑖 yang rentan terkena penyakit (Susceptible) 𝐸𝑖 : Populasi pada grup ke- 𝑖 yang terjangkit penyakit dan dapat menularkan penyakit tetapi belum menunjukkan adanya gejala penyakit awal (Exposed) 𝐼𝑖 : Populasi pada grup ke- 𝑖 yang mengalami gejala (terinfeksi, menular dan terdiagnosis) 𝑑𝑖𝑆 : Laju kematian alami dari 𝑆𝑖 𝑑𝑖𝐸 : Laju kematian alami dari 𝐸𝑖 𝑑𝑖𝐼 : Laju kematian alami dari 𝐼𝑖 𝛬𝑖 : Laju rekruitment dari populasi pada grup ke- 𝑖
(2.4)
dimana 𝑢𝑖 ∈ ℝ𝑚 𝑖 dan 𝑓𝑖 : ℝ × ℝ𝑚 𝑖 → ℝ𝑚 𝑖 . Misalkan 𝑔𝑖𝑗 : ℝ × ℝ𝑚 𝑖 × ℝ𝑚 𝑗 → ℝ𝑚 𝑖 merupakan pengaruh dari simpul 𝑗 pada simpul 𝑖, dan 𝑔𝑖𝑗 ≡ 0 jika tidak terdapat busur dari 𝑗 ke 𝑖 pada 𝒢. Sistem berpasangan pada graph 𝒢 digambarkan oleh persamaan berikut, 𝑛
𝑔𝑖𝑗 𝑡, 𝑢𝑖 , 𝑢𝑗
(2.10)
𝑗 =1
Sebuah jaringan ditampilkan oleh graph 𝒢 dengan 𝑛 simpul. Sistem berpasangan dibangun dengan menentukan dinamika simpul internalnya dan kemudian menggabungkan berdasarkan busur berarah di 𝒢. Diasumsikan setiap dinamika simpul dideskripsikan oleh sistem persamaan diferensial [4],
𝑢𝑖 = 𝑓𝑖 𝑡, 𝑢𝑖 +
(2.9)
𝑗 =1
(2.3)
𝑖,𝑗 =1
𝑢𝑖 = 𝑓𝑖 𝑡, 𝑢𝑖
𝑢𝑟 ∈ 𝐷𝑟 , 𝑢𝑠 ∈ 𝐷𝑠 .
(𝑠,𝑟)∈𝐸(𝒞)
(2.5)
𝑗 =1
3
𝛽𝑖𝑗 :
Sifat stabilitas titik setimbang berdasarkan tanda bagian real dibagi menjadi 3 yaitu : 1. Stabil Titik Setimbang dikatakan stabil jika dan hanya jika akar karakteristik (nilai eigen 𝜆) adalah real dan negatif atau mempunyai bagian real tak positif. 2. Stabil Asimtotis Titik Setimbang dikatakan stabil asimtotis jika dan hanya jika akar karakteristik (nilai eigen 𝜆) adalah real dan negatif atau mempunyai bagian real negatif. 3. Tidak stabil Titik Setimbang dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika nilai eigen 𝜆 adalah real dan positif atau mempunyai paling sedikit satu niai eigen dengan bagian real positif.
Peluang terjadinya penularan silang diantara grup terpisah 𝑆𝑖 dan 𝐼𝑗 𝛾𝑖 : Laju kesembuhan dari individu yang terinfeksi pada grup ke- 𝑖 𝜖𝑖 : Laju inkubasi pada grup ke- 𝑖 𝑓𝑖𝑗 (𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 ) : Fungsi laju penularan silang diantara grup 𝑆𝑖 dan 𝐼𝑗 Diberikan asumsi dasar untuk fungsi 𝑓𝑖𝑗 (𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 ) adalah : (𝐻1 ) 0 < lim+ 𝐼𝑗 →0
𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 = 𝐶𝑖𝑗 𝑆𝑖 ≤ +∞, 0 < 𝑆𝑖 ≤ 𝑆𝑖0 ; 𝐼𝑗
(𝐻2 ) 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 ≤ 𝐶𝑖𝑗 𝑆𝑖 𝐼𝑗
untuk 𝐼𝑗 cukup kecil;
(𝐻3 ) 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 ≤ 𝐶𝑖𝑗 𝑆𝑖 𝐼𝑗
untuk semua 𝐼𝑗 > 0
(𝐻4 ) 𝐶𝑖𝑗 𝑆𝑖 < 𝐶𝑖𝑗 𝑆𝑖0 , 0 < 𝑆𝑖 < 𝑆𝑖0
Bentuk dari 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 yang memenuhi (𝐻1 ) − (𝐻4 ) meliputi laju penularan umum 𝑝 𝑞 dan seperti 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 = 𝐼𝑗 𝑆𝑖 , 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 = 𝐼𝑗 𝑗 𝑆𝑖 𝑖 , 𝑝𝑗
𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 =
𝐼𝑗
Kriteria kestabilan Routh – Hurwitz Kriteria kestabilan Routh – Hurwitz adalah metode untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akarakar karakteristik secara langsung.
𝑞𝑖
𝑆𝑖
𝐼𝑗 +𝐴 𝑗 𝑆𝑖 +𝐵𝑖
Titik Setimbang dan Kestabilannya Untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, pandang persamaan diferensial 2.5.
Jika diketahui persamaan karakteristik dengan orde ke-𝑛, yaitu 𝑞 . Kemudian susun koefisien persamaan karakteristik menjadi
𝑑𝑆1 = 𝑓1 (𝑆10 , 𝐸10 , 𝐼10 , … , 𝑆𝑛0 , 𝐸𝑛0 , 𝐼𝑛0 ) 𝑑𝑡 𝑑𝐸1 = 𝑔1 (𝑆10 , 𝐸10 , 𝐼10 , … , 𝑆𝑛0 , 𝐸𝑛0 , 𝐼𝑛0 ) 𝑑𝑡 𝑑𝐼1 = 1 𝑆10 , 𝐸10 , 𝐼10 , … , 𝑆𝑛0 , 𝐸𝑛0 , 𝐼𝑛0 𝑑𝑡
Tabel 2.1 Tabel Routh – Hurwitz 𝑛
𝑎0
𝑎2
𝑎4
⋮
𝑛−1
𝑎1
𝑎3
𝑎5
𝑑𝐼𝑛 = 𝑛 𝑆10 , 𝐸10 , 𝐼10 , … , 𝑆𝑛0 , 𝐸𝑛0 , 𝐼𝑛0 𝑑𝑡
𝑛−2
𝑏1
𝑏2
𝑏3
⋮
⋮
⋮
⋮
0
𝑞
(2.12)
Sebuah titik 𝑆01 , 𝐸01 , 𝐼01, … , 𝑆0𝑛 , 𝐸0𝑛 , 𝐼0𝑛 merupakan titik setimbang dari persamaan (2.9) – (2.11) jika memenuhi
dengan
𝑓1 𝑆10 , 𝐸10 , 𝐼10 , … , 𝑆𝑛0 , 𝐸𝑛0 , 𝐼𝑛0 = =
= 𝑔1 𝑆10 , 𝐸10 , 𝐼10 , … , 𝑆𝑛0 , 𝐸𝑛0 , 𝐼𝑛0 0 0 0 1 𝑆1 , 𝐸1 , 𝐼1 , … , 𝑆𝑛0 , 𝐸𝑛0 , 𝐼𝑛0 = ⋯ 𝑛 𝑆10 , 𝐸10 , 𝐼10 , … , 𝑆𝑛0 , 𝐸𝑛0 , 𝐼𝑛0 = 0
𝑏1 =
karena turunannya sama dengan nol, maka 𝑆1 𝑡 ≡ 𝑆10 , 𝐸1 𝑡 ≡ 𝐸10 , 𝐼1 𝑡 ≡ 𝐼10 , … , 𝐼𝑛 𝑡 ≡ 𝐼𝑛0
adalah penyelesaian kesetimbangan persamaan (2.1) untuk semua 𝑡.
𝑎1 𝑎4 − 𝑎0 𝑎5 𝑎1 𝑎6 − 𝑎0 𝑎7 𝑎1 𝑎2 − 𝑎0 𝑎3 , 𝑏2 = , 𝑏3 = , 𝑎1 𝑎1 𝑎1 𝑏1 𝑎3 − 𝑎1 𝑏2 𝑏1 𝑎5 − 𝑏3 𝑎1 𝑐1 = , 𝑐2 = 𝑏1 𝑏1
Dengan menggunakan akar karakteristik, sistem dikatakan stabil atau mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika elemen pada kolom pertama memiliki tanda yang sama.
dari
Stabilitas Lokal
2.6 Kestabilan Global
Kestabilan suatu titik setimbang juga dapat diperiksa dari akar karakteristik (nilai eigen 𝜆) dengan menyelesaikan 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0 dengan 𝐴 adalah matrik dari sistem persamaan diferensial (2.12) yang linear dan berukuran 𝑛 × 𝑛, menghasilkan polinomial dengan derajat tertinggi sama dengan ukuran matrik 𝐴 yaitu polinomial 𝑛 yang mempunyai bentuk umum
Kestabilan global dari titik setimbang dapat ditentukan dengan membangun fungsi Lyapunov. Fungsi Lyapunov 𝑉(𝑥) merupakan himpunan kurva tertutup yang mengelilingi titik setimbang tertentu, jika diambil sembarang titik yang ada pada kurva tertutup maka lintasan titik tersebut akan mendekati titik setimbang.
𝑞 = 𝑎0 𝑛 + 𝑎1 𝑛−1 + 𝑎2 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎𝑛 = 0
4
III METODOLOGI
4.1.2. Kestabilan Lokal Bebas Penyakit
1. Mendapatkan titik setimbang dari model epidemik multi grup yaitu titik setimbang bebas penyakit dan titik setimbang endemik. 2. Mendapatkan bilangan reproduksi dasar, menentukan jenis kestabilan lokal dan global pada titik setimbang. 3. Mengambil kasus khusus sebagai penerapan dari model epidemik multi grup yaitu dengan menggunakan 𝑛 = 1,2 setelah itu dicari bilangan reproduksi dasar, empat titik setimbang, menganalisis stabilitas lokal, serta membuat simulasi dengan menggunakan software Matlab. 4. Analisis Hasil kesimpulan dan Penarikan Kesimpulan
Titik setimbang 𝑃0 = 𝑆10 , 0,0, … , 𝑆𝑛0 , 0,0 𝛬 dengan 𝑆𝑖0 = 𝑆𝑖 menunjukkan bahwa populasi 𝑑𝑖
Infectious tidak ada, sehingga 𝛽𝑖𝑗 = 𝐸𝑖0 = 𝐼𝑖0 = 𝜖𝑖 = 𝛾𝑖 = 0. Pada titik setimbang 𝑃0 matriks Jacobiannya adalah :
𝐽 𝑃0
−𝑑𝑆1 − 𝜆 0 0 0 0 ⋮ 0
Model epidemik multi grup merupakan model epidemik dengan 𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛, yang memenuhi (2.9) – 92.11) atau disebut juga model epidemik 𝑛-Grup.
𝑑 𝑖𝐸 +𝜖 𝑖 𝑑 𝑖𝐼 +𝛾 𝑖
0 0 0 0 0 ⋮ 0
0 0 0 =0 0 0 0 −𝑑𝐼𝑛 − 𝜆
Jika 𝑅0 = 𝜌 𝑀0 ≤ 1 dan 𝑆 ≠ 𝑆 0 , maka 𝜌 𝑀 𝑆 < 1 dan 𝑀 𝑆 𝐼 = 𝐼 hanya memiliki solusi trivial 𝐼 = 0. Jadi 𝑃0 merupakan satu – satunya titik setimbang di Г jika 𝑅0 ≤ 1. Dengan menggunakan asumsi 𝑃2, misalkan 𝜔1 , … , 𝜔𝑛 adalah vektor eigen dari 𝑀0 yang sesuai dengan 𝜌 𝑀0 , maka
𝛽1𝑛 𝜖1 𝐶1𝑛 (𝑆10 ) 𝑑1𝐸 + 𝜖1 𝑑1𝐼 + 𝛾1 ⋮ 𝛽𝑛𝑛 𝜖𝑛 𝐶𝑛𝑛 (𝑆𝑛0 ) 𝑑𝑛𝐸 + 𝜖𝑛 𝑑𝑛𝐼 + 𝛾𝑛
𝛽𝑖𝑗 𝜖 𝑖 𝐶𝑖𝑗 (𝑆𝑖0 )
0 0 0 0 𝐸 −𝑑2 − 𝜆 ⋮ 0
dengan
Karena 𝐿 tak tereduksi, dapat diketahui bahwa 𝑀 𝑆 dan 𝑀0 tak tereduksi, selanjutnya 𝑀 𝑆 + 𝑀0 juga tak tereduksi. Dengan menggunakan asumsi 𝑃3 didapatkan bahwa 𝜌 𝑀 𝑆 < 𝜌 𝑀0 jika 𝑆 ≠ 𝑆 0 .
misalkan 𝑅0 = 𝜌 𝑀0 maka
dimana matriks
diperoleh
𝑆10 , 𝑆20 , … , 𝑆𝑛0
𝛽𝑖𝑗 𝜖𝑖 𝐶𝑖𝑗 (𝑆𝑖0 ) 𝑑𝑖𝐸 + 𝜖𝑖 𝑑𝑖𝐼 + 𝛾𝑖
⋱
0 0 0 −𝑑𝑆2 − 𝜆 0 ⋮ 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮ 0 0 −𝑑𝑛𝐼
Misalkan 𝑆 = 𝑆1 , 𝑆2 , … , 𝑆𝑛 dan 𝑆 0 = maka 𝑀0 = 𝑀 𝑆 0 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 0 ≤ 𝑆 ≤ 𝑆 0 sehingga 0 ≤ 𝑀 𝑆 ≤ 𝑀 𝑆 0 . Jika 𝑆 ≠ 𝑆 0 maka 𝑀 𝑆 < 𝑀 𝑆 0 .
serta
maka
⋯
0 0 −𝑑𝐼1 − 𝜆 0 0 ⋮ 0
0 0 0 0 −𝑑2𝐸 ⋮ 0
4.1.3. Kestabilan Global Titik Setimbang Bebas penyakit
𝐹12 = 𝛽𝑖𝑗 𝐶𝑖𝑗 (𝑆𝑖0 ) , 𝑉11 = diag 𝑑𝑖𝐸 + 𝜖𝑖 , 𝑉21 = diag 𝜖𝑖 , 𝑉22 = diag 𝑑𝑖𝐼 + 𝛾𝑖
𝑅0 = 𝜌
0 −𝑑𝐸1 − 𝜆 0 0 0 ⋮ 0
0 0 0 −𝑑2𝑆 0 ⋮ 0
Karena nilai eigen (𝜆1 , 𝜆2 , 𝜆3 , ⋯ , 𝜆𝑛 ) bernilai negatif pada bagian realnya, maka titik setimbang 𝑃0 bersifat stabil asimtotis lokal.
−1 −1 𝑅0 = 𝜌 𝐹12 𝑉22 𝑉21 𝑉11
⋯
0 0 −𝑑1𝐼 0 0 ⋮ 0
𝜆1 = −𝑑1𝑆 , 𝜆2 = −𝑑1𝐸 , 𝜆3 = −𝑑1𝐼 , 𝜆4 = −𝑑2𝑆 , 𝜆5 = 𝑑2𝐸 , ⋯ , 𝜆𝑛 = −𝑑𝑛𝐼
Untuk menentukan bilangan reproduksi dasar, akan digunakan metode Driessche dan Watmough [11] yang dirumuskan
𝛽11 𝜖1 𝐶11 (𝑆10 ) 𝑑1𝐸 + 𝜖1 𝑑1𝐼 + 𝛾1 ⋮ 𝛽𝑛1 𝜖1 𝐶𝑛1 (𝑆𝑛0 ) 𝑑𝑛𝐸 + 𝜖𝑛 𝑑𝑛𝐼 + 𝛾𝑛
0 −𝑑1𝐸 0 0 0 ⋮ 0
sehingga didapatkan nilai eigen
4.1.1. Bilangan Reproduksi Dasar
𝑅0 = 𝜌
−𝑑1𝑆 0 0 = 0 0 ⋮ 0
nilai eigen dari 𝐽 𝑃0 det 𝐽 𝑃0 − 𝜆𝐼 = 0, maka
IV ANALISIS PEMBAHASAN 4.1. Model Epidemik Multi Grup
dari persamaan (2.10) dan (2.11) menerapkan asumsi 𝐻1 didapatkan
Titik Setimbang
disebut next
generation matrix. Parameter 𝑅0 disebut sebagai bilangan reproduksi dasar. Jika 𝑅0 ≤ 1 penyakit akan hilang dari populasi sedangkan jika 𝑅0 > 1 penyakit menjadi endemik.
𝜔1 , … , 𝜔𝑛 𝜌 𝑀0 = 𝜔1 , … , 𝜔𝑛 𝑀0 karena 𝑀0 tak tereduksi, diketahui 𝜔𝑖 > 0 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 . didefinisikan 5
𝑛
𝐵=
𝑛
𝜖𝑖 𝐸𝑖 − 𝑑𝐸𝑖 + 𝜖𝑖 𝐼𝑖
𝜔𝑖
𝑑𝐸𝑖 + 𝜖𝑖
𝑖,𝑗=1
𝑑𝑖𝑠 𝑆𝑖∗ +
𝑑𝐼𝑖 + 𝛾𝑖
𝐵=
+ 1− 𝑛
𝜖𝑖 𝛽𝑖𝑗 𝐶𝑖𝑗 𝑆𝑖 𝐼𝑖 − 𝐼𝑖 𝐸 𝑑𝑖 + 𝜖𝑖 𝑑𝑖𝐼 + 𝛾𝑖
𝜔𝑖 𝑖,𝑗 =1
+ 𝑗 =1
=−
maka
𝑗 =1 𝑛
𝐸𝑖∗ 𝐸𝑖
𝑗 =1
𝛽𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗ (3 − 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑖∗
𝑉𝑖 𝑆𝑖 , 𝐸𝑖 , 𝐼𝑖 =
𝑓𝑖𝑖 𝜉, 𝐼𝑖∗ − 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑖∗ 𝑓𝑖𝑖 𝜉, 𝐼𝑖∗
𝑆𝑖 ∗
+
+
𝑑𝜉 + 𝐸𝑖 − 𝐸𝑖∗ ln 𝐸𝑖
+ 1−
𝐸𝑖∗ 𝐸𝑖
𝑉𝑖 = 1 −
𝐼𝑗∗ 𝑓𝑖𝑗
𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑖∗
𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑖∗ 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗
𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖 , 𝐼𝑖∗
𝐹𝑖𝑗 ≤ 𝐺𝑖 𝐼𝑖 − 𝐺𝑗 𝐼𝑗 +
1−
(4.5)
−1
+𝜙
+𝜙
1−
𝐸𝑖 𝐼𝑖∗ 𝐸𝑖∗ 𝐼𝑖
𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 𝐸𝑖∗ 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗ 𝐸𝑖 𝐼𝑗 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗ 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖 , 𝐼𝑖∗ 𝐼𝑗∗ 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑖∗
𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑖∗ 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗ 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖 , 𝐼𝑖∗
−1
𝐼𝑗 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗ 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖 , 𝐼𝑖∗ 𝐼𝑗∗ 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑖∗
Dengan kondisi (4.3) dapat ditunjukkan bahwa 𝑉𝑖 , 𝐹𝑖𝑗 , 𝐺𝑖 , 𝑎𝑖𝑗 memenuhi asumsi pada Teorema 2.3. Sehingga fungsi 𝑉= 𝑛 𝑐 𝑉 𝐸 , 𝐸 , 𝐼 merupakan fungsi Lyapunov 𝑖=1 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 untuk (2.9) – (2.11). Dari Teorema 2.3, didapat 𝑉 ≤ 0 untuk semua 𝑆1 , 𝐸1 , 𝐼1 , … , 𝑆𝑛 , 𝐸𝑛 , 𝐼𝑛 ∈ Ѓ.
𝛽𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 𝑗 =1
𝑛
𝛽𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 − 𝑑𝑖𝐸 + 𝜖𝑖 𝐸𝑖
Untuk menunjukkan 𝑃 ∗ stabil asimtotik global, akan diperiksa himpunan invariant kompak terbesar dimana 𝑉 = 0. Karena 𝒢, 𝐴 terhubung kuat, maka 𝑐𝑖 > 0 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.
𝑗 =1
𝑑𝑖𝐸 + 𝜖𝑖 𝐼𝑖∗ + 1− 𝜖𝑖 𝐼𝑖
𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑖∗ 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖 , 𝐼𝑖∗
𝐼𝑗 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗ 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖 , 𝐼𝑖∗
dan
𝑑𝑖𝐸 + 𝜖𝑖 𝐼𝑖 − 𝐼𝑖∗ ln 𝐼𝑖 𝜖𝑖
Λ𝑖 − 𝑑𝑖𝑠 𝑆𝑖 −
𝑎𝑖𝑗 𝐹𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐸𝑖 , 𝐼𝑖 , 𝐼𝑗
𝐹𝑖𝑗 = 𝐺𝑖 𝐼𝑖 − 𝐺𝑗 𝐼𝑗 + 𝜙
𝑛
𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑖∗ 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖 , 𝐼𝑖∗
𝑖
𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑖∗ 3− + 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗ 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖 , 𝐼𝑖∗ ∗ 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 𝐸𝑖 𝐼𝑖 𝐸𝑖 𝐼𝑖∗ − − ∗− ∗ ∗ ∗ 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 𝐸𝑖 𝐼𝑖 𝐸𝑖 𝐼𝑖
(4.3)
Selanjutnya fungsi Lyapunov diturunkan terhadap 𝑡 diperoleh 𝑉𝑖 = 1 −
(4.4)
Untuk menunjukkan bahwa 𝐹𝑖𝑗 memenuhi asumsi pada Teorema 2.3, dimisalkan 𝛷 𝑎 = 1 − 𝑎 + ln 𝑎, kemudian 𝛷 𝑎 ≤ 0 untuk 𝑎 > 0, dan 𝛷 𝑎 = 0 jika 𝑎 = 1, selanjutnya
(4.2)
+𝜙
𝑆𝑖
𝐼𝑖 𝐸𝑖 𝐼𝑖∗ − ) 𝐼𝑖∗ 𝐸𝑖∗ 𝐼𝑖
𝑖,𝑗 =1
≤ 0, 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 > 0
Misalkan 𝑆1∗ , 𝐸1∗ , 𝐼1∗ , … , 𝑆𝑛∗ , 𝐸𝑛∗ , 𝐼𝑛∗ ∈ Ѓ, dipilih sebuah fungsi Lyapunov
𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗ 𝐸𝑖
−
𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑖∗ 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖 , 𝐼𝑖∗
𝑉𝑖 ≤
𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑖∗
−
𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 𝐸𝑖∗
𝑛
Diasumsikan 𝐵 = 𝛽𝑖𝑗 tak tereduksi, 𝑅0 > 1 dan 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 memenuhi 𝐻1 dan
𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖 , 𝐼𝑖∗ ∗ 𝐼𝑗
𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑖∗ 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖 , 𝐼𝑖∗
karena 𝛽𝑖𝑗 tak tereduksi, maka 𝑎𝑖𝑗 tak tereduksi. Diasumsikan 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 memenuhi kondisi (4.2), sehingga persamaan (4.4) menjadi
4.1.4. Kestabilan Global Titik Setimbang Endemik
𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗
𝜖𝑖 𝐸𝑖∗ 𝐼𝑖 𝐼𝑖∗
𝑖
Maka 𝐵 = 0 ⟺ 𝐼 = 0 atau 𝑆 = 𝑆 0 dengan 𝑅0 < 1, serta 𝐵 = 0 jika 𝑅0 = 1. Dapat disimpulkan bahwa 𝑃0 stabil asimtotik global di Г jika 𝑅0 ≤ 1.
𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑖∗ 𝐼𝑗
−
𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗ 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖 , 𝐼𝑖∗
𝐹𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐸𝑖 , 𝐼𝑖 , 𝐼𝑗 =
.
𝜖𝑖 𝐸𝑖 −
𝑆𝑖 − 𝑆𝑖∗ 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖 , 𝐼𝑖∗ − 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑖∗
𝜔1 , … , 𝜔𝑛 𝑀 𝑆 < 𝜔1 , … , 𝜔𝑛 𝑀0
− 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗ 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖 , 𝐼𝑖∗
𝐼𝑖∗ 𝐼𝑖
𝐸𝑖 𝐸𝑖∗
Misalkan 𝑎𝑖𝑗 = 𝛽𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗ , 𝐺𝑖 𝐼𝑖 = − 𝐼𝐼𝑖∗ + ln 𝐼𝐼𝑖∗, dan
(4.1)
jika 𝑆 ≠ 𝑆 0 maka
> 0, 𝑆𝑖 ≠ 𝑆𝑖∗
1−
𝑗 =1
+
𝛽𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗ 𝑗 =1
𝛽𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗ 𝜖𝑖 𝐸𝑖∗
𝑑𝑖𝑠 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖 , 𝐼𝑖∗
+
Jika 𝑅0 = 𝜌 𝑀0 < 1 maka 𝐵 = 0 ⟺ 𝐼 = 0, jika 𝑅0 = 1, maka 𝐵 = 0 menunjukkan bahwa
𝑆𝑖 − 𝑆𝑖∗ 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖 , 𝐼𝑖∗ − 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑖∗
𝑛
𝛽𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 −
𝑛
𝐵 = 𝜔1 , … , 𝜔𝑛 𝑀 𝑆 𝐼 − 𝐼 ≤ 𝜔1 , … , 𝜔𝑛 𝑀 𝑆 0 𝐼 − 𝐼 = 𝜔1 , … , 𝜔𝑛 𝜌 𝑀0 − 1 𝐼
𝜔1 , … , 𝜔𝑛 𝑀 𝑆 𝐼 = 𝜔1 , … , 𝜔𝑛 𝐼
𝛽𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗
𝑗 =1
Dengan mensubstitusikan (2.10) dan (2.11) serta asumsi (𝐻3 ) diperoleh : 𝑛
𝑛
𝛽𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗ − 𝑑𝑖𝑠 𝑆𝑖 −
𝜖𝑖 𝐸𝑖 − 𝑑𝑖𝐼 + 𝛾𝑖 𝐼𝑖
𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑖∗ 𝑓𝑖𝑖 𝑆𝑖 , 𝐼𝑖∗
6
2
Sehingga secara tidak langsung 𝑉=0 ∗ menyatakan bahwa 𝑆𝑖 = 𝑆𝑖 dan 𝐹𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐸𝑖 , 𝐼𝑖 , 𝐼𝑗 = 0 untuk 𝑎𝑖𝑗 > 0. Dari 𝐹𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐸𝑖 , 𝐼𝑖 , 𝐼𝑗 = 0 dan karena 𝛷 𝑎 = 0 jika 𝑎 = 1 didapatkan 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 𝐼𝑗 𝐸𝑖 𝐼𝑖 = = = ∗ 𝐸𝑖∗ 𝐼𝑖∗ 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗ 𝐼𝑗
(4.12)
4.2.1. Titik Setimbang Titik setimbang dari model epidemik dua grup dengan laju penularan taklinear yaitu : Setimbang Bebas Penyakit 𝑃0 = 𝛬 𝛬 dengan 𝑆10 = 𝑑 𝑆1 , 𝑆20 = 𝑑 𝑆2 .
a. Titik
𝑆10 , 0,0, 𝑆20 , 0,0
1
Setimbang Endemik ∗ 𝑃∗ = 𝑆1∗ , 𝐸1∗ , 𝐼1∗ , 𝑆2 , 𝐸2∗ , 𝐼2∗ c. Titik Setimbang 𝑃1∗ = 𝑆10 , 0,0, 𝑆2∗ , 𝐸2∗ , 𝐼2∗ dimana Grup Pertama Bebas Penyakit dan Grup Kedua Terjadi Endemik. d. Titik Setimbang 𝑃2∗ = 𝑆1∗ , 𝐸1∗ , 𝐼1∗ , 𝑆20 , 0,0 dimana Grup Pertama Terjadi Endemik dan Grup Kedua Bebas Penyakit
(4.7)
4.2.2. Bilangan Reproduksi Dasar Dari pembahasan pada bagian 4.1.1 dan dari asumsi awal dapat diketahui bahwa
Maka 𝑉 = 0 jika dan hanya jika 𝑆𝑖 = 𝑆𝑖∗ , 𝐸𝑖 = 𝑐𝐸𝑖∗ dan 𝐼𝑖 = 𝑐𝐼𝑖∗ untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Kemudian dengan mensubstitusikan ke dua persamaan pertama pada (2.9) – (2.10) diperoleh
𝑝 −1
𝑞
𝑝 −1
𝑞
𝛽11 𝜖1 𝑝1 𝐼1 1 𝑆10 1 𝑑1𝐸 + 𝜖1 𝑑1𝐼 + 𝛾1
𝑅0 = 𝜌
𝐸𝑝 𝐼𝑝 𝐼𝑞 𝐸𝑞 = = = 𝐸𝑝∗ 𝐼𝑝∗ 𝐼𝑞∗ 𝐸𝑞∗
Ruas kanan persamaan (4.8) menurun bergantung pada 𝑐. Dari titik setimbang dapat diketahui bahwa (4.8) berlaku jika dan hanya jika 𝑐 = 1, yaitu pada 𝑃 ∗ . Hal ini menunjukkan bahwa himpunan bagian invariant kompak dari 𝑆1 , 𝐸1 , 𝐼1 , … , 𝑆𝑛 , 𝐸𝑛 , 𝐼𝑛 ∈ Ѓ|𝑉 = 0 adalah 𝑃 ∗ , sehingga dapat disimpulkan 𝑃∗ stabil asimtotik global pada Ѓ jika 𝑅0 > 1.
+
𝛽21 𝜖2 𝑝1 𝐼1 1 𝑆20 2 𝑑2𝐸 + 𝜖2 𝑑2𝐼 + 𝛾2
𝑞
2
𝑝𝑗
𝛽1𝑗 𝐼𝑗
− 2
𝑝𝑗
𝛽1𝑗 𝐼𝑗
𝑞 −1
0
−𝛽11 𝑝1 𝐼11
𝑞 −1
− 𝑑1𝐸 + 𝜖1
𝛽11 𝑝1 𝐼11
𝑞1 𝑆11
0
𝜖1
0
0
0 0
0
−𝛽12 𝑝2 𝐼22
0
0
𝛽12 𝑝2 𝐼22
𝑝 −1 𝑞1 𝑆1
− 𝑑1𝐼 + 𝛾1
0 2
𝑝 −1 𝑞2 𝑆2
−𝛽21 𝑝1 𝐼11
0 𝑝𝑗
𝛽2𝑗 𝐼𝑗
−𝑑2𝑆 −
𝑞 −1
0 𝑝 −1 𝑞2 𝑆2
𝑞2 𝑆22
0
−𝛽22 𝑝2 𝐼2 2
𝑝𝑗
𝑝 −1 𝑞2 𝑆2
𝛽2𝑗 𝐼𝑗
𝛽21 𝑝1 𝐼11
𝑞 −1
− 𝑑2𝐸 + 𝜖2
𝛽22 𝑝2 𝐼22
𝑞2 𝑆22
𝑝 −1 𝑞2 𝑆2
0
0
0
𝜖2
− 𝑑2𝐼 + 𝛾2
a. Kestabilan Lokal Titik Setimbang 𝑷𝟎
(4.7)
Pada titik setimbang ini 𝛽1𝑗 = 𝛽2𝑗 = 𝜖1 = 𝜖2 = 𝛾1 = 𝛾2 = 0. Matriks Jacobiannya adalah : (4.8) 𝐽 𝑃0
2 𝑞
𝑝 −1 𝑞1 𝑆1
0
𝑗 =1
(4.9) 𝑝
𝑝 −1 𝑞1 𝑆1
0
𝑗 =1
𝛽2𝑗 𝐼𝑗 𝑗 𝑆2 2
𝑝 −1 𝑞1 𝑆1
𝑞1 𝑆11
𝑗 =1
𝑗 =1
𝑆2 = 𝛬2 − 𝑑2𝑆 𝑆2 −
𝑞
𝛽12 𝜖2 𝑝2 𝐼2𝑝 2 −1 𝑆10 1 𝛽21 𝜖2 𝑝1 𝐼1𝑝1 −1 𝑆20 2 𝑑1𝐸 + 𝜖1 𝑑1𝐼 + 𝛾1 𝑑2𝐸 + 𝜖2 𝑑2𝐼 + 𝛾2
Kestabilan Lokal
2
2
𝐼1 = 𝜖1 𝐸1 − 𝑑1𝐼 + 𝛾1 𝐼1
𝑞
+4
𝑗 =1
2
𝑞
2
𝑗 =1
𝑝
𝑝
𝑞
Matriks Jacobian dari (4.7) – (4.12) adalah : −𝑑1𝑆
Diberikan 𝑖, 𝑗 = 1,2 dan 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 = 𝐼𝑗 𝑗 𝑆𝑖𝑞 𝑖 . Maka
𝛽1𝑗 𝐼𝑗 𝑗 𝑆1 1 − 𝑑1𝐸 + 𝜖1 𝐸1
𝑞
𝑞
𝛽11 𝜖1 𝑝1 𝐼1𝑝1 −1 𝑆10 1 𝛽22 𝜖2 𝑝2 𝐼2𝑝2 −1 𝑆20 2 − 𝐸 𝑑1𝐸 + 𝜖1 𝑑1𝐼 + 𝛾1 𝑑2 + 𝜖2 𝑑2𝐼 + 𝛾2
4.2.3.
4.2. Model Epidemik Dua Grup
𝐸1 =
𝑝 −1
𝛽22 𝜖2 𝑝2 𝐼2 2 𝑆20 2 𝑑2𝐸 + 𝜖2 𝑑2𝐼 + 𝛾2
𝛽11 𝜖1 𝑝1 𝐼1𝑝1 −1 𝑆10 1 𝛽22 𝜖2 𝑝2 𝐼2𝑝2 −1 𝑆20 2 + 𝐸 𝑑1𝐸 + 𝜖1 𝑑1𝐼 + 𝛾1 𝑑2 + 𝜖2 𝑑2𝐼 + 𝛾2
1 2
𝑞
𝑞
𝑞
𝑅0 =
𝑝
𝑝 −1
𝛽12 𝜖2 𝑝2 𝐼2 2 𝑆10 1 𝑑1𝐸 + 𝜖1 𝑑1𝐼 + 𝛾1
Untuk mendapatkan 𝑅0 , akan dicari akar terbesar dari matriks 𝑀0 dengan menggunakan persamaan det 𝑀0 − 𝜆𝐼 = 0, didapatkan
(4.8)
𝛽1𝑗 𝐼𝑗 𝑗 𝑆1 1
2
b. Titik
Karena 𝒢 terhubung kuat jelas bahwa setiap busur (𝑖, 𝑗) di graph 𝒢 merupakan cycle dari subgraph 𝒬 sehingga persamaan (4.7) berlaku untuk setiap busur (𝑖, 𝑗). Misalkan 𝑝 dan 𝑞 merupakan simpul berbeda pada 𝒢, maka terdapat sebuah lintasan dari 𝑝 ke 𝑞. Dengan mengaplikasikan persamaan (4.7) untuk busur pada lintasan ini secara berurutan didapatkan
𝑆1 = 𝛬1 − 𝑑1𝑆 𝑆1 −
(4.11)
𝐼2 = 𝜖2 𝐸2 − 𝑑2𝐼 + 𝛾2 𝐼2
dengan (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐸 𝒞𝒬 . Jika 𝑆𝑖 = 𝑆𝑖∗ untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, kemudian 𝐹𝑖𝑗 = 0 jika dan hanya jika 𝐸𝑖 = 𝑐𝐸𝑖∗ dan 𝐼𝑖 = 𝑐𝐼𝑖∗ untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 dengan 𝑐 adalah bilangan positif sebarang. Dari persamaan (4.6) dapat disimpulkan bahwa
0 = 𝛬𝑖 − 𝑑𝑖𝑆 𝑆𝑖∗ − 𝑑𝑖𝐸 + 𝜖𝑖 𝑐𝐸𝑖∗
𝑞
𝑗 =1
(4.6)
𝐼𝑗 𝐸𝑖 𝐼𝑖 ∗= ∗ = ∗ 𝐸𝑖 𝐼𝑖 𝐼𝑗
𝑝
𝛽2𝑗 𝐼𝑗 𝑗 𝑆2 2 − 𝑑2𝐸 + 𝜖2 𝐸2
𝐸2 =
(4.10)
𝑗 =1
−𝑑1𝑆 0 0 = 0 0 0
0 −𝑑1𝐸 0 0 0 0
didapatkan nilai eigen 7
0 0 −𝑑1𝐼 0 0 0
0 0 0 −𝑑2𝑆 0 0
0 0 0 0 −𝑑2𝐸 0
0 0 0 0 0 −𝑑2𝐼
3. − 𝑑2𝑆 + 2𝑗 =1 𝛽2𝑗 𝐼𝑗∗ 𝑝𝑗 𝑞2 𝑆2∗ 𝑞 2 −1 𝜆3 − 𝑑1𝑆 𝛽21 𝑝1 𝐼1∗ 𝑝1 −1 𝑆2∗ 𝑞2 < 0 4. − 𝑑2𝐸 + 𝜖2 𝜆4 − 𝑑1𝑆 𝑑2𝑆 < 0 5. − 𝑑2𝐼 + 𝛾2 𝛽21 𝑝1 𝐼1∗ 𝑝1 −1 𝑆2∗ 𝑞2 𝜆5 +
𝜆1 = −𝑑1𝑆 , 𝜆2 = −𝑑1𝐸 , 𝜆3 = −𝑑1𝐼 , 𝜆4 = −𝑑2𝑆 , 𝜆5 = 𝑑2𝐸 , 𝜆6 = −𝑑2𝐼
Karena nilai eigen (𝜆1 , 𝜆2 , 𝜆3 , 𝜆4 , 𝜆5 , 𝜆6 ) bernilai negatif pada bagian realnya, maka titik setimbang 𝑃0 bersifat stabil asimtotis lokal.
𝜖2 𝛽22 𝑝2 𝐼2∗ 𝑝2 −1 𝑆2∗ 𝑞2 𝜆3 − 𝑑1𝑆 𝜖2 𝛽21 𝑝1 𝐼1∗ 𝑝 1−1 𝑆2∗ 𝑞2 < 0
Dapat disimpulkan bahwa titik setimbang 𝑃∗ stabil asimtotis lokal jika syarat terpenuhi.
b. Kestabilan Lokal di Titik Setimbang 𝑷∗
c. Kestabilan Lokal Titik Setimbang 𝑷∗𝟏
Matriks Jacobian untuk 𝑃∗ adalah : −𝑎 − 𝑏 𝑏 0 𝐽= 0 0 0
0 −𝑐 𝜖1 0 0 0
−𝑑 𝑑 𝑓 −𝑔 𝑔 0
0 0 0 − − 𝑖 𝑖 0
0 0 0 0 −𝑗 𝜖2
Pada titik setimbang ini 𝛽11 = 𝛽12 = 𝛽21 = 𝜖1 = 𝛾1 = 0. Sehingga didapatkan
−𝑘 𝑘 0 −𝑙 𝑙 𝑚
dan matriks jacobian dari 𝑃1∗ adalah :
dengan : 𝑎 = 𝑑1𝑆
−𝑑1𝑆 0 0 0 0 0
= 𝑑2𝑆
2
2 𝑞 −1
𝑝
𝛽1𝑗 𝐼𝑗∗ 𝑗 𝑞1 𝑆1 1
𝑏=
𝑝
𝛽2𝑗 𝐼𝑗∗ 𝑗 𝑞2 𝑆2∗ 𝑞 2−1
𝑖=
𝑗 =1
𝑗 =1
𝑐 = 𝑑1𝐸 + 𝜖1
𝑗 = 𝑑2𝐸 + 𝜖2
𝑑 = 𝛽11 𝑝1 𝐼1∗ 𝑝 1 −1 𝑆1∗ 𝑞1
𝑘 = 𝛽12 𝑝2 𝐼2 2
𝑓 = − 𝑑1𝐼 + 𝛾1
𝑙 = 𝛽22 𝑝2 𝐼2∗ 𝑝 2 −1 𝑆2∗ 𝑞2
𝑔 = 𝛽21 𝑝1 𝐼1∗ 𝑝 1 −1 𝑆2∗ 𝑞2
𝑚 = − 𝑑2𝐼 + 𝛾2
𝐽=
−𝑑 + 𝑎 𝑑 𝑀
𝑎 𝑎 −𝑎
𝑎 𝑎 −𝑎
0
0
0
𝑁
−𝑎
0
0
0
0
𝑃
0
0
0
0
0
−𝑙 𝑔 −𝑙 𝑔
−𝑘 + 𝑎 𝑎 𝑎 −𝑓𝑐 + 𝑎 𝑓 − 𝜖1 𝜖1 −𝑓𝑐 + 𝑎 𝑓 − 𝜖1 𝜖1 𝑄
𝛽21
−𝑓𝑐 + 𝑎 𝑓 − 𝜖1 𝜖1
𝑁=
−( + 1) −𝑓𝑐 + 𝑎 𝑓 − 𝜖1 𝑔 𝜖1
𝑃=
𝑄=
0 0 0 −𝑑2𝑆 − 𝛽22 𝐼2∗ 𝑝 2 𝑞2 𝑆2∗𝑞 2 −1 𝛽22 𝐼2∗𝑝2 𝑞2 𝑆2∗𝑞 2 −1 0
0 0 0 −𝛽22 𝑝2 𝐼2∗ 𝑝 2 −1 𝑆2∗𝑞 2 𝛽22 𝑝2 𝐼2∗𝑝 2 −1 𝑆2∗𝑞 2 − 𝑑2𝐼 + 𝛾2
𝑑2
𝛽11 𝜖1 𝑝1 𝐼1∗ 𝑝 1 −1 𝑆1∗ 𝑞1 𝑑1𝐸 + 𝜖1 𝑑1𝐼 + 𝛾1
𝑅2 =
+𝑎
dan matriks jacobian dari 𝑃2∗ adalah : ∗𝑝
∗ 𝑞1 −1
−𝑑1𝑆 − 𝛽11 𝐼1 1 𝑞1 𝑆1
∗𝑝 ∗ 𝑞 −1 𝛽11 𝐼1 1 𝑞1 𝑆1 1
0 0 0 0
−𝑎
−𝑗 −( + 1) −𝑓𝑐 + 𝑎 𝑓 − 𝜖1 −𝑎 𝑔 𝜖1
0 0 0 0 − 𝑑2𝐸 + 𝜖2 𝜖2
Pada titik setimbang ini 𝛽12 = 𝛽22 = 𝛬 = 𝜖2 = 0, dan 𝑆20 = 2𝑆 . Sehingga
+𝑎
dengan 𝑀=
0 0 −𝑑1𝐼 0 0 0
d. Kestabilan Lokal Titik Setimbang 𝑷∗𝟐
Untuk mendapatkan nilai eigen akan dilakukan operasi baris elementer, didapatkan 𝑎 −𝑐 + 𝑎 0
0 −𝑑1𝐸 0 0 0 0
Dapat diketahui −𝑑1𝑆 , −𝑑1𝐸 , − 𝑑1𝐼 + 𝛾1 merupakan nilai eigen dari 𝐽 𝑃1∗ sedangkan 3 nilai eigen berikutnya diperoleh menggunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz, yang kemudian menghasilkan syarat 𝑅1 > 1 agar 𝑃1∗ stabil.
𝑝 −1 ∗ 𝑞 1 𝑆1
−𝑏 0 0
𝛽22 𝜖2 𝑝2 𝐼2∗ 𝑝 2 −1 𝑆2∗ 𝑞2 𝑑2𝐸 + 𝜖2 𝑑2𝐼 + 𝛾2
𝑅1 =
0 −
𝑑1𝐸
+ 𝜖1
𝜖1 0 0 0
∗ 𝑝1 −1 ∗ 𝑞1 𝑆1
−𝛽11 𝑝1 𝐼1
∗ 𝑝 −1 ∗ 𝑞 𝛽11 𝑝1 𝐼1 1 𝑆1 1
− 𝑑1𝐼 + 𝛾1 0 0 0
0
0
0
0 0 −𝑑2𝑆 0 0
0 0 0 −𝑑2𝐸 0
0 0 0 0 − 𝑑2𝐼 − 𝛾2
Matriks 𝐽(𝑃2∗ ) similar dengan matriks dengan cara yang sama diperoleh hasil yaitu 𝑃2∗ stabil asimtotik lokal untuk 𝑅2 > 1. 𝐽(𝑃1∗ ),
−𝑎
𝑚 𝑗( + 𝑖) −𝑓𝑐 + 𝑎 𝑓 − 𝜖1 + 𝑗𝑎𝑔𝜖1 + 𝑎𝑔𝜖1 𝜖2 𝑔𝜖1 −𝑙 −𝑓𝑐 + 𝑎 𝑓 − 𝜖1 − +𝑎 𝑔 𝜖1
4.3. Simulasi Model Epidemik Dua Grup Untuk 𝑹𝟎 ≤ 1 Dengan mengambil parameter
nilai eigen diperoleh dari det 𝐽 𝑃∗ − 𝜆𝐼 = 0. Karena 𝐽 𝑃∗ merupakan matriks segitiga atas, maka nilai eigen ada pada diagonal utama.
Grup Pertama 𝛬1 = 0.2 𝑑1𝑆 = 0.009 𝑑1𝐸 = 0.02 𝑑1𝐼 = 0.025 𝜖1 = 0.003 𝛾1 = 0.003
Agar sistem stabil, maka nilai real dari 𝜆 harus negatif. Dari 𝜆1 telah dapat dipastikan bahwa 𝜆1 < 0. Selanjutnya akan diberikan syarat agar 𝜆2 , 𝜆3 , 𝜆4 , 𝜆5 , 𝜆6 < 0, yaitu :
Grup Kedua 𝛬2 = 0.1 𝑑2𝑆 = 0.007 𝑑2𝐸 = 0.017 𝑑2𝐼 = 0.02 𝜖2 = 0.001 𝛾2 = 0.002
Nilai Awal 𝑆1 0 𝐸1 0 𝐼1 0 𝑆2 0 𝐸2 0 𝐼2 0
= 15 =1 =4 = 10 =1 =3
Laju Penularan 𝛽11 𝛽12 𝛽21 𝛽22
= 0.001 = 0.001 = 0.001 = 0.001
serta koefisien 𝑝1 = 1, 𝑞1 = 1, 𝑝2 = 1, 𝑞2 = 1 diperoleh nilai 𝑅0 = 0.095 < 1. Grafik laju perubahan untuk kasus ini adalah :
1. 𝑑1𝑆 < 𝑑1𝐸 + 𝜖1 2. 𝑑1𝐼 + 𝛾1 𝑑1𝐸 + 𝜖1 − 𝑑1𝑆 − 𝜖1 𝑑1𝑆 < 0 8
Gambar 4.1. Grafik Laju Perubahan Model Epidemik Dua Grup dengan 𝑅0 ≤ 1
Gambar 4.2. Grafik Laju Perubahan Model Epidemik Dua Grup dengan 𝑅0 > 1
Laju Perubahan pada Populasi Susceptible
Laju Perubahan pada Populasi Susceptible
Pada awal laju perubahan populasi susceptible kedua grup mengalami penurunan karena adanya individu awal yang terinfeksi serta laju penularan yang kecil, namun kemudian kurva mengalami peningkatan, kemudian stabil ketika jumlah populasi sekitar 22 untuk grup pertama dan sekitar 14 untuk grup kedua. Ini menunjukkan bahwa dalam keadaan bebas penyakit, jumlah individu rentan bertambah.
Laju perubahan populasi susceptible mengalami penurunan pada kedua grup dikarenakan dalam kondisi ini terjadi penyebaran penyakit atau endemik, sehingga banyak populasi susceptible yang tertular penyakit dan masuk kedalam populasi exposed. Setelah itu, laju perubahan mengalami sedikit kenaikan disebabkan oleh adanya laju rekruitmen yang cukup besar.
Laju Perubahan pada Populasi Exposed
Laju Perubahan pada Populasi Exposed
Pada awal laju perubahan populasi exposed kedua grup mengalami peningkatan ini disebabkan karena adanya laju penularan serta adanya individu awal yang terifeksi, sehingga beberapa individu pada populasi susceptible masuk kedalam populasi exposed. Setelah itu laju perubahan mengalami penurunan kemudian konstan menuju nol, ini menunjukkan bahwa sistem dalam kondisi bebas penyakit.
Laju perubahan populasi exposed mengalami kenaikan pada kedua grup. Ini diakibatkan oleh adanya laju penularan penyakit yang cukup besar, sehingga banyak individu yang masuk dalam populasi exposed. Kemudian kurva laju perubahan mengalami penurunan disebabkan individu exposed kini telah menampakkan gejala penyakit menular, sehingga individu pada populasi exposed masuk kedalam populasi infectious dan kemudian stabil di sekitar 8 untuk grup pertama dan disekitar 4 untuk grup kedua. Ini diakibatkan tidak ada penambahan dari individu susceptible yang terinfeksi.
Laju Perubahan Populasi Infectious Laju perubahan populasi infectious pada kedua grup mengalami penurunan kemudian konstan menuju ke nol, sehingga dapat disimpulkan penyakit telah hilang dari populasi.
Laju Perubahan Populasi Infectious
Untuk 𝑹𝟎 > 1
Laju perubahan populasi infectious pada kedua grup mengalami kenaikan karena pada populasi di kedua grup tersebut terjadi endemik. Kenaikan laju perubahan pada populasi infectious bergantung pada banyaknya individu pada populasi exposed yang telah menimbulkan gejala awal penyakit menular. Kemudian kurva laju perubahan populasi infectious mengalami penurunan dan stabil karena tidak ada penambahan dari individu exposed yang telah menampakkan gejala penyakit.
Dengan mengambil parameter Grup Pertama 𝛬1 = 0.2 𝑑1𝑆 = 0.003 𝑑1𝐸 = 0.004 𝑑1𝐼 = 0.005 𝜖1 = 0.02 𝛾1 = 0.011
Grup Kedua 𝛬2 = 0.1 𝑑2𝑆 = 0.002 𝑑2𝐸 = 0.002 𝑑2𝐼 = 0.002 𝜖2 = 0.02 𝛾2 = 0.012
Nilai Awal 𝑆1 0 𝐸1 0 𝐼1 0 𝑆2 0 𝐸2 0 𝐼2 0
= 30 =2 =8 = 20 =2 =6
Laju Penularan 𝛽11 𝛽12 𝛽21 𝛽22
= 0.005 = 0.002 = 0.002 = 0.002
serta koefisien 𝑝1 = 1, 𝑞1 = 1, 𝑝2 = 1, 𝑞2 = 1 diperoleh nilai 𝑅0 = 9.06 > 1. Grafik laju perubahan untuk kasus ini adalah : 9
b. Jika 𝑅0 > 1 maka 𝑃∗ stabil asimtotik lokal. c. Jika 𝑅1 > 1 maka 𝑃1∗ stabil asimtotik
V KESIMPULAN DAN SARAN 1.1. Kesimpulan Pada model epidemik multi grup :
lokal dengan 𝑅1 =
1. Didapatkan titik setimbang bebas penyakit 𝛬 𝑃0 = 𝑆10 , 0,0, … , 𝑆𝑛0 , 0,0 dengan 𝑆𝑖0 = 𝑑 𝑆𝑖 , 𝑖 =
lokal dengan 𝑅2 =
1,2, … , 𝑛 dan titik setimbang endemik 𝑃∗ = 𝑆1∗ , 𝐸1∗ , 𝐼1∗ , … , 𝑆𝑛∗ , 𝐸𝑛∗ , 𝐼𝑛∗ yang memenuhi
Pada pembahasan Tugas Akhir ini telah dijelaskan analisis stabilitas pada model epidemik multi grup dengan laju penularan taklinear secara umum. Perlu dikembangkan lagi penerapan dari model epidemik multi grup pada suatu kasus khusus untuk penelitian selanjutnya.
𝛽𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 (𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗ ) 𝑗 =1 𝑛
𝛽𝑖𝑗 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖∗ , 𝐼𝑗∗
𝑑𝑖𝐸 + 𝜖𝑖 𝐸𝑖∗ = 𝑗 =1
𝜖𝑖 𝐸𝑖∗ = 𝑑𝑖𝐼 + 𝛾𝑖 𝐼𝑖∗
2. Didapatkan bilangan reproduksi dasar 𝑅0 = 𝜌
𝛽11 𝜖1 𝐶11 (𝑆10 ) 𝑑1𝐸 + 𝜖1 𝑑1𝐼 + 𝛾1 ⋮ 𝛽𝑛1 𝜖1 𝐶𝑛1 (𝑆𝑛0 ) 𝑑𝑛𝐸 + 𝜖𝑛 𝑑𝑛𝐼 + 𝛾𝑛
DAFTAR PUSTAKA
𝛽1𝑛 𝜖1 𝐶1𝑛 (𝑆10 ) 𝑑1𝐸 + 𝜖1 𝑑1𝐼 + 𝛾1 ⋮ 𝛽𝑛𝑛 𝜖𝑛 𝐶𝑛𝑛 (𝑆𝑛0 ) 𝑑𝑛𝐸 + 𝜖𝑛 𝑑𝑛𝐼 + 𝛾𝑛
⋯ ⋱ ⋯
[1]
Berman, A., Plemmons, R. J. 1979. Nonnegative Matrices in the Mathematical Science. New York : Academic Press.
[2]
Budayasa, K. 2007. Teori Graph dan Aplikasinya. Surabaya : Unesa University Press.
[3]
Finizio N., Ladas G. 1988. Ordinary Differential Equations with Modern Applications. California : Wadsworth Publishing Company Belmont.
[4]
Li, M. Y., Shuai, Z. Global-stability for Coupled Systems of Differential Equation on Network. J. Differential Equation 248 (2010) 1-20.
[5]
Rahmalia, D. 2010. Pemodelan Matematika dan Analisis Stabilitas dari Penyebaran Penyakit Flu Burung. Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS Surabaya.
[6]
Sari, A.N. 2011. Analisis Stabilitas dari Model Penyebaran Penyakit Menular Melalui Transportasi Antar Dua Wilayah (Kota). Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS Surabaya.
[7]
Wiggins, S. 1990. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. New York : Splinger-Verlag.
dimana 𝜌 menyatakan jarak spektral dan 𝛽𝑖𝑗 𝜖 𝑖 𝐶𝑖𝑗 (𝑆𝑖0 )
matriks
disebut
𝑑 𝑖𝐸 +𝜖 𝑖 𝑑 𝑖𝐼 +𝛾 𝑖
next
generation matrix. 3. Didapatkan analisis stabilitas dengan mengasumsikan 𝐵 = (𝛽𝑖𝑗 ) tak tereduksi dan 𝑓𝑖𝑗 𝑆𝑖 , 𝐼𝑗 memenihi (𝐻1 ), maka : a. Jika 𝑅0 ≤ 1 maka 𝑃0 stabil asimtotik lokal. b. Jika 𝑅0 ≤ 1 maka 𝑃0 stabil asimtotik global. c. Jika 𝑅0 > 1 maka 𝑃∗ stabil asimtotik global. Pada model epidemik dua grup : 1. Didapatkan empat titik setimbang, yaitu titik setimbang bebas penyakit 𝑃0 = 𝑆10 , 0,0, 𝑆20 , 0,0 ; titik setimbang endemik 𝑃∗ = 𝑆1∗ , 𝐸1∗ , 𝐼1∗ , 𝑆2∗ , 𝐸2∗ , 𝐼2∗ ; titik setimbang dimana pada grup pertama bebas penyakit dan pada grup kedua terjadi endemik 𝑃1∗ = 𝑆10 , 0,0, 𝑆2∗ , 𝐸2∗ , 𝐼2∗ ; titik setimbang dimana pada grup pertama terjadi endemik dan pada grup kedua bebas penyakit 𝑃2∗ = 𝑆10 , 0,0, 𝑆2∗ , 𝐸2∗ , 𝐼2∗ . 2. Didapatkan bilangan reproduksi dasar 𝑅0 =
1 2
𝑞
𝑞
𝛽11 𝜖1 𝑝1 𝐼1𝑝1 −1 𝑆10 1 𝛽22 𝜖2 𝑝2 𝐼2𝑝2 −1 𝑆20 2 + 𝐸 𝑑1𝐸 + 𝜖1 𝑑1𝐼 + 𝛾1 𝑑2 + 𝜖2 𝑑2𝐼 + 𝛾2 𝑞
+
𝑞
𝛽11 𝜖1 𝑝1 𝐼1𝑝1 −1 𝑆10 1 𝛽22 𝜖2 𝑝2 𝐼2𝑝2 −1 𝑆20 2 − 𝐸 𝑑1𝐸 + 𝜖1 𝑑1𝐼 + 𝛾1 𝑑2 + 𝜖2 𝑑2𝐼 + 𝛾2
2
𝑞
+4
𝑝 −1 0 𝑞 2 𝑆2 𝐸 𝐼 𝑑 2 +𝜖 2 𝑑 2 +𝛾2
𝛽22 𝜖 2 𝑝 2 𝐼2 2
5.2. Saran
𝑛
𝛬𝑖 = 𝑑𝑖𝑆 𝑆𝑖∗ +
𝑑 1𝐸 +𝜖 1
d. Jika 𝑅2 > 1 maka 𝑃2∗ stabil asimtotik
𝑖
persamaan
𝑝 −1 0 𝑞 1 𝑆1 𝑑 1𝐼 +𝛾1
𝛽11 𝜖 1 𝑝 1 𝐼1 1
𝑞
𝛽12 𝜖2 𝑝2 𝐼2𝑝2 −1 𝑆10 1 𝛽21 𝜖2 𝑝1 𝐼1𝑝1 −1 𝑆20 2 𝑑1𝐸 + 𝜖1 𝑑1𝐼 + 𝛾1 𝑑2𝐸 + 𝜖2 𝑑2𝐼 + 𝛾2
3. Didapatkan analisis stabilitas lokal sebagai berikut : a. Jika 𝑅0 ≤ 1 maka 𝑃0 stabil asimtotik lokal. 10
