JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) 1-6
1
Analisis Stabilitas dan Sensitivitas Model Epidemik Flu Burung pada Unggas-Manusia dengan Vaksinasi Wahyuni Ningsih, Mohammad Setijo Winarko, Nuri Wahyuningsih Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 E-mail:
[email protected]
AbstrakβPenyakit menular seperti flu burung merupakan jenis penyakit menular yang sudah bersifat pandemik. Sehingga perlu adanya penelitian lebih lanjut untuk menganalisa pola penyebaran virus flu burung tersebut. Pada penelitian kali ini dilakukan analisa stabilitas lokal dan analisa sensitivitas terhadap model epidemik flu burung pada unggas-manusia dengan vaksinasi. Dari model epidemik tersebut dicari bilangan reproduksi dasar, analisa stabilitas lokal pada titik setimbang, serta analisa sensitivitas untuk mengetahui parameter-parameter yang sensitif. Hasil yang diperoleh menyatakan bahwa masih terjadi penyebaran virus flu burung saat πΉπΉππ > 1 , dan tidak terjadi penyebaran virus flu burung saat πΉπΉππ < 1. Selain itu dari setiap asumsi parameter, didapatkan beberapa parameter yang mempengaruhi tingkat penyebaran virus flu burung, baik pada populasi manusia maupun pada populasi unggas. Parameterparameter yang sensitif tersebut yaitu laju kelahiran dan laju kematian pada populasi manusia ππ , laju kelahiran dan laju kematian pada populasi unggas ππππ , laju kontak rata-rata populasi ππππ β ππππ π·π·ππ , laju kontak rata-rata populasi ππππ β ππππ π·π·ππ , laju kontak rata-rata populasi ππππ β ππππ π·π·ππ , serta laju kesembuhan dari infeksi πΈπΈ.
Kata KunciβAnalisis sensitivitas, analisis stabilitas lokal, bilangan reproduksi dasar, flu burung, parameter sensitif.
I. PENDAHULUAN
S
AAT ini penyakit yang sering dijumpai adalah penyakit menular. Salah satu jenis penyakit menular yang cukup ganas dan telah menelan banyak korban di berbagai negara di dunia adalah virus flu burung. Flu atau bisa disebut sebagai influenza adalah suatu infeksi virus pada sistem pernapasan yang disebabkan oleh virus RNA tertentu dari keluarga Orthomyxoviridae [7]. Dari ketiga jenis virus influenza A, B, dan C, virus flu burung sendiri merupakan jenis virus influenza tipe A yang tidak hanya menyerang pada manusia tapi juga pada hewan. Berdasarkan data WHO, virus flu burung telah menelan banyak korban di berbagai negara. Salah satunya yaitu di Indonesia. Sepanjang tahun 2005-2012 di Indonesia terdapat 192 kasus flu burung yang menyerang manusia dengan 160 kematian [1], [2]. Tentu saja kondisi ini cukup mengkhawatirkan. Sehingga diperlukan langkah lebih lanjut untuk mencegahnya. Seperti teori yang dikemukakan Kermark dan Mckendrick, penyebaran penyakit menular dapat dideskripsikan secara matematis dengan model kompartemen [3]. Bentuk matematis dari model epidemik flu burung pada unggas-manusia dengan
vaksinasi ini yaitu terdiri dari dua subpopulasi pada populasi unggas dan empat subpopulasi pada populasi manusia [4]. πΌπΌ (π‘π‘) ππβΜ (π‘π‘) = ππ(1 β ππ)ππβ β ππππβ (π‘π‘) β π½π½1 ππβ (π‘π‘) ππ + ππππβ (π‘π‘) + ππππ
πππ
π
β (π‘π‘) πΌπΌ (π‘π‘) ππβΜ (π‘π‘) = ππππππβ β π½π½2 ππβ (π‘π‘) ππ β (ππ + ππ)ππβ (π‘π‘)
(1) (2)
π
π
Μβ (π‘π‘) = πΎπΎπΌπΌβ (π‘π‘) β (ππ + ππ)π
π
β (π‘π‘) πΌπΌ (π‘π‘) ππππΜ (π‘π‘) = ππππ ππππ β ππππ ππππ (π‘π‘) β π½π½3 ππππ (π‘π‘) ππ
(4) (5)
πΌπΌβΜ (π‘π‘) = π½π½1 ππβ (π‘π‘)
πΌπΌππ (π‘π‘) ππππ
ππππ
+ π½π½2 ππβ (π‘π‘)
πΌπΌ (π‘π‘) πΌπΌππΜ (π‘π‘) = π½π½3 ππππ (π‘π‘) ππ β ππππ πΌπΌππ (π‘π‘) ππππ
πΌπΌππ (π‘π‘) ππππ
β (πΎπΎ + ππ)πΌπΌβ (π‘π‘) ππππ
(3)
(6)
Populasi manusia terdiri dari populasi individu manusia yang rentan terhadap penyakit (susceptible) ππβ , populasi individu manusia yang berada dibawah pengaruh vaksinasi (vaccinated) ππβ , populasi individu manusia yang terjangkit penyakit (infected) πΌπΌβ , dan populasi individu manusia yang sembuh (recovered) π
π
β . Sementara populasi unggas terdiri dari subpopulasi unggas yang rentan terhadap penyakit (susceptible) ππππ dan subpopulasi unggas yang terjangkit penyakit (infected) πΌπΌππ . Disertakan dengan parameter asumsi yaitu ππ sebagai laju kelahiran dan kematian manusia yang besarnya dianggap sama, ππππ sebagai laju kelahiran dan kematian unggas yang besarnya dianggap sama, π½π½1 sebagai laju kontak rata-rata antara ππβ dengan πΌπΌππ , π½π½2 sebagai laju kontak rata-rata antara ππβ dengan πΌπΌππ , π½π½3 sebagai laju kontak rata-rata antara ππππ dengan πΌπΌππ , ππ sebagai bagian dari populasi manusia yang mendapat pemberian obat pencegah flu, ππ sebagai laju hilangnya kekebalan pada populasi manusia akibat infeksi, πΎπΎ sebagai laju kesembuhan populasi manusia dari infeksi, serta ππ sebagai laju menurunnya vaksin pada populasi manusia akibat hilangnya kekebalan alami. Dari (1) sampai dengan (6), agar setiap besaran pada model tidak memiliki dimensi dan untuk memudahkan dalam menganalisa model, maka diperlukan adanya normalisasi. Didefinisikan π π β (π‘π‘) = π π ππ (π‘π‘) =
ππβ (π‘π‘)
ππβ (π‘π‘) ππππ (π‘π‘) ππππ (π‘π‘)
π£π£β (π‘π‘) = ππππ (π‘π‘) =
ππ β (π‘π‘)
ππβ (π‘π‘) πΌπΌππ (π‘π‘)
ππππ (π‘π‘)
ππβ (π‘π‘) =
π
π
β (π‘π‘)
ππβ (π‘π‘)
(7)
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) 1-6
2 π
π
0 . Setelah itu dicari titik setimbang yang nantinya digunakan untuk menganalisa stabilitas lokal sistem dinamik tersebut.
D. Simulasi dan Analisis Hasil yang didapatkan disimulasikan menggunakan software pemrograman untuk menampilkan grafik kestabilan sistem. Selain itu pada simulasi ini dilakukan analisa sensitivitas dengan cara mengubah besarnya nilai parameter dengan nilai yang berbeda-beda yang disesuaikan dengan sistem. Hal ini dilakukan untuk mengidentifikasi parameter yang sensitif. Dan estimasi pada parameter-parameter tersebut berhenti ketika tingkat ketelitian terpenuhi.
Gambar. 1. Diagram kompartemen model penyebaran virus flu burung pada unggas-manusia dengan vaksinasi
Dapat dibentuk pula diagram kompartemen dari (1) sampai dengan (6) seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 1. Permasalahan yang ada dari model kompartemen tersebut yaitu bagaimana mencari bilangan reproduksi dasar untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit, bagaimana hasil analisis stabilitas lokal dan analisis sensitivitas parameter dari titik setimbang, serta bagaimana hasil simulasi dan interpretasinya. Dengan batasan masalahnya yaitu model epidemik yang dikaji merupakan model epidemik campuran flu burung pada unggas-manusia yang diasumsikan penyebaran flu burung berasal dari populasi unggas ke populasi manusia dengan tambahan subpopulasi manusia yang berada dibawah pengaruh vaksinasi, dan simulasi model dilakukan dengan menggunakan software pemrograman. Sehingga hasil akhir nantinya didapatkan bilangan reproduksi dasar, hasil analisis stabilitas lokal dan hasil analisis sensitivitas, serta hasil simulasi dan interpretasinya. II. METODE PENELITIAN A. Studi Literatur Berdasarkan permasalahan dan tujuan yang telah dirumuskan sebelumnya, maka selanjutnya akan dilakukan studi literatur sebagai bahan acuan dalam pemecahan permasalahan. Studi literatur ini dilakukan pada jurnal-jurnal ilmiah, tugas akhir, thesis, dan buku-buku yang berkaitan dengan analisis stabilitas dan sensitivitas pada model epidemik. B. Kajian Model Epidemik Model epidemik flu burung pada unggas-manusia dengan vaksinasi pada penelitian ini merupakan jenis model epidemik campuran. Sehingga untuk memahami model tersebut diperlukan kajian agar dapat disusun asumsi-asumsi tertentu dan dapat dibuat model kompartemen dengan empat populasi individu pada manusia, dan juga dua subpopulasi pada populasi unggas. C. Analisa Stabilitas Pada tahap ini dilakukan analisa terhadap model epidemik secara analitik untuk mendapatkan bilangan reproduksi dasar
E. Penarikan Kesimpulan dan Saran Penarikan kesimpulan dilakukan berdasarkan hasil simulasi dan analisa yang dilakukan sebelumnya. Selanjutnya akan diberikan saran sebagai bahan masukan untuk pengembangan pada penelitian selanjutnya. III. HASIL DAN PEMBAHASAN A. Analisis Stabilitas Lokal Dalam melakukan analisis stabilitas model epidemik, ada beberapa langkah yang harus dilakukan. Dengan melakukan normalisasi model, setelah diinputkan (7) dan direduksi dengan mensubstitusi ππβ (π‘π‘) = 1 β (π π β (π‘π‘) + π£π£β (π‘π‘) + ππβ (π‘π‘)) dan π π ππ (π‘π‘) = 1 β ππππ (π‘π‘), maka (1) sampai dengan (6) akan berubah menjadi, πππ π β (π‘π‘) ππππ
= ππ β π π β (π‘π‘)οΏ½ππ + π½π½1 ππππ(π‘π‘) + πποΏ½ β π£π£β (π‘π‘)(ππ β ππ) β ππππβ (π‘π‘)
πππ£π£β (π‘π‘) ππππ ππππβ (π‘π‘)
ππππ ππππππ (π‘π‘) ππππ
= ππππ β π½π½2 π£π£β (π‘π‘)ππππ (π‘π‘) β (ππ + ππ)π£π£β (π‘π‘)
= π½π½1 π π β (π‘π‘)ππππ (π‘π‘) + π½π½2 π£π£β (π‘π‘)ππππ (π‘π‘) β (πΎπΎ + ππ)ππβ (π‘π‘)
(8)
= π½π½3 οΏ½1 β ππππ (π‘π‘)οΏ½ππππ (π‘π‘) β ππππ ππππ (π‘π‘)
dengan ππ = ππ(1 β ππ) + ππ dan daerah batas penyelesaian Ξ© = {οΏ½π π β (π‘π‘), π£π£β (π‘π‘), ππβ (π‘π‘), , ππππ (π‘π‘)οΏ½|0 β€ οΏ½π π β (π‘π‘) + π£π£β (π‘π‘) + ππβ (π‘π‘)οΏ½ β€ 1, 0 β€ ππππ (π‘π‘) β€ 1} serta semua parameter bernilai positif. Dengan menggunakan (8), maka selanjutnya akan dicari titik setimbang. 1. Titik setimbang bebas penyakit Titik setimbang bebas penyakit πΈπΈ0 (π π οΏ½β , οΏ½οΏ½οΏ½, π£π£β 0,0) dengan οΏ½ οΏ½ ππΜβ = ππΜππ = 0. πππ π β (π‘π‘)
β ππ) = 0 = ππ β π π οΏ½β (π‘π‘)(ππ + ππ) β οΏ½οΏ½οΏ½(π‘π‘)(ππ π£π£β ππ = π π οΏ½β (π‘π‘)(ππ + ππ) + οΏ½οΏ½οΏ½(π‘π‘)(ππ π£π£β β ππ) ππππ
πππ£π£β (π‘π‘) ππππ
= ππππ β (ππ + ππ)π£π£ οΏ½οΏ½οΏ½(π‘π‘) =0 β ππππ
= (ππ π£π£β οΏ½οΏ½οΏ½(π‘π‘)
+ππ )
= ππ
Substitusi (10) ke dalam (9), sehingga didapatkan
π π οΏ½β (π‘π‘) = οΏ½1 β
ππ Ξ΅+ππ(ππ βππ ) (ππ +ππ )
οΏ½
(9) (10)
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) 1-6 2.
3
Titik setimbang endemik Titik setimbang endemik πΈπΈ1 (π π β β , π£π£β β , ππΜβ β , ππΜππ β ) dengan ππΜβ β 0, ππΜππ β 0. Untuk mendapatkan π π β β , π£π£β β , ππΜβ β , dan ππΜππ β dengan menggunakan (8) maka dilakukan langkahlangkah sebagai berikut : πππ π β (π‘π‘) ππππ
π π β β (π‘π‘) = π π β β (π‘π‘) =
β
πππ£π£β (π‘π‘) ππππ
(πΎπΎ+ππ )ππβ β (π‘π‘)βπ½π½ 2 ππππ
(17)
π½π½ 1 ππ
Setelah itu substitusi (17) ke dalam (11), sehingga didapat
(πΎπΎ+ππ )ππβ β (π‘π‘)βπ½π½ 2 ππππ
didapatkan π π β β (π‘π‘) =
(16)
π½π½ 1 ππππ β (π‘π‘)
Substitusi (14), dan (15) ke dalam (16) sehingga didapat
= ππ β π π β β (π‘π‘) οΏ½ππ + π½π½1 ππΜππ (π‘π‘) + πποΏ½ β π£π£β β (π‘π‘)(ππ β ππ) β ππππΜβ β (π‘π‘) = 0 οΏ½ππβπ£π£β β (π‘π‘)(ππ βππ )βππ ππΜ β β (π‘π‘)οΏ½ οΏ½ππ +π½π½ 1 ππΜππ β (π‘π‘)+ππ οΏ½
(πΎπΎ+ππ )ππβ β (π‘π‘)βπ½π½ 2 π£π£β β (π‘π‘)ππππ β (π‘π‘)
β
π½π½ 1 ππ
ππβ (π‘π‘) =
(11)
= ππππ β π½π½2 π£π£β (π‘π‘)ππππ (π‘π‘) β (ππ + ππ)π£π£β (π‘π‘) = 0
=
οΏ½ππβππ(ππ βππ )βππ ππΜβ β (π‘π‘)οΏ½
(ππ +π½π½ 1 ππ+ππ ) οΏ½π½π½ 1 ππππ βπ½π½ 1 ππππ (ππ βππ )+π½π½ 2 ππππ (ππ +π½π½ 1 ππ+ππ )οΏ½
= ππ
(18)
setimbang
endemik
(ππ +π½π½ 1 ππ+ππ )(πΎπΎ+ππ )+π½π½ 1 ππππ
Selanjutnya substitusi (14), (15), dan (18) ke dalam (11), sehingga didapatkan
didapatkan β
π£π£β (π‘π‘) = ππππβ (π‘π‘) ππππ
ππππ
(12)
οΏ½π½π½ 2 ππΜππ β (π‘π‘)+(ππ +ππ )οΏ½
ππ)ππΜβ β (π‘π‘) = 0
ππΜβ (π‘π‘) = ππππππ (π‘π‘) ππππ
οΏ½π½π½ 1 π π β β (π‘π‘)ππΜππ β (π‘π‘)+π½π½ 2 π£π£β β (π‘π‘)ππΜ ππ β (π‘π‘)οΏ½ (πΎπΎ+ππ )
1
(π½π½3 β ππππ ) = ππ
β
ππΜππ (π‘π‘) =
1
π½π½ 3 ππ ππ
(14)
π½π½ 3
οΏ½
ππ ππ
ππππ πππ£π£β (π‘π‘)
β 1οΏ½
Berdasarkan persamaan diatas, jika nilai (π½π½3 /ππππ ) < 1 maka penyebaran virus flu burung akan berkurang. Namun, jika (π½π½3 /ππππ ) > 1 maka penyebaran virus flu burung masih terjadi. Dengan demikian dapat dikatakan bilangan reproduksi dasar yang dicari yaitu π
π
0 =
π½π½3 ππππ
Substitusi (14) ke dalam (12), didapatkan π£π£β β (π‘π‘) =
ππππ
οΏ½π½π½ 2 ππ+(ππ +ππ )οΏ½
= ππ
Selanjutnya (13) menjadi
(ππ +π½π½ 1 ππ+ππ )
=
(15)
(ππ +π½π½ 1 ππ+ππ ) ππππ
titik
= ππ
οΏ½π½π½ 2 ππ+(ππ +ππ )οΏ½ οΏ½π½π½ 1 ππππ βπ½π½ 1 ππππ (ππ βππ )+π½π½ 2 ππππ (ππ +π½π½ 1 ππ+ππ )οΏ½ 1
π½π½ 3
(ππ +π½π½ 1 ππ+ππ )(πΎπΎ+ππ )+π½π½ 1 ππππ
(π½π½3 β ππππ ) = ππ
= ππ
Karena titik setimbang sudah didapatkan maka selanjutnya yaitu melakukan analisa stabilitas lokal. Namun sebelumnya, terlebih dahulu dilakukan linierisasi sebagai berikut : Misalkan πππ π β (π‘π‘)
(π½π½3 β ππππ ) π½π½ 3
β (π‘π‘)
ππΜππ β (π‘π‘) =
Dari (14) dapat dicari bilangan reproduksi dasar yaitu
ππΜππ β (π‘π‘) =
(ππβππ(ππ βππ )βππππ)
ππβ β (π‘π‘) =
didapatkan
π½π½ 3
π π β β (π‘π‘) = π£π£β
(13)
= π½π½3 οΏ½1 β ππΜππ β (π‘π‘)οΏ½ππΜππ β (π‘π‘) β ππππ ππΜππ β (π‘π‘) = 0
ππΜππ β (π‘π‘) =
(ππβππ(ππ βππ )βππππ)
Jadi, diperoleh πΈπΈ1 (π π β β , π£π£β β , ππΜβ β , ππΜππ β ) dengan
= π½π½1 π π β β (π‘π‘)ππΜππ β (π‘π‘) + π½π½2 π£π£β β (π‘π‘)ππΜππ β (π‘π‘) β (πΎπΎ +
didapatkan β
π π β β (π‘π‘) =
ππππ ππππβ (π‘π‘) ππππ ππππππ (π‘π‘) ππππ
= π€π€(π π β , π£π£β , ππβ , ππππ ) = π₯π₯(π π β , π£π£β , ππβ , ππππ )
= π¦π¦(π π β , π£π£β , ππβ , ππππ )
= π§π§(π π β , π£π£β , ππβ , ππππ )
Pendekatan linier dilakukan disekitar titik setimbang. Misalkan titik setimbang οΏ½π π β 0 , ππβ 0 , π£π£β 0 , ππππ 0 οΏ½. Sehingga dengan menggunakan ekspansi deret Taylor maka didapatkan matriks Jacobian π½π½ untuk titik setimbang οΏ½π π β 0 , ππβ 0 , π£π£β 0 , ππππ 0 οΏ½ yaitu ππππ ππππ ππππ ππππ β‘ β€ β’πππ π β πππ£π£β ππππβ ππππππ β₯ β’ ππππ ππππ ππππ ππππ β₯ β’πππ π πππ£π£β ππππβ ππππππ β₯ π½π½ = β’ β ππππ ππππ ππππ ππππ β₯ β’ β₯ β’πππ π β πππ£π£β ππππβ ππππππ β₯ ππππ ππππ ππππ β₯ β’ ππππ β£πππ π β πππ£π£β ππππβ ππππππ β¦οΏ½π π 0 ,ππ 0 ,π£π£ 0 ,ππ 0 οΏ½ β
β
β
ππ
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) 1-6
β(ππ + ππ) β(ππ β ππ) β‘ 0 β(ππ + ππ) π½π½1 = β’ 0 0 β’ β£ 0 0
Hasil determinan karakteristik yaitu
dari
π½π½1 ,
π π β βππ βπ½π½1 οΏ½οΏ½οΏ½ β€ 0 βπ½π½2 οΏ½οΏ½οΏ½ π£π£β β₯ β(πΎπΎ + ππ) π½π½1 οΏ½οΏ½οΏ½ π π β + π½π½2 οΏ½οΏ½οΏ½ π£π£β β₯ 0 π½π½3 β ππππ β¦
didapatkan
persamaan
ππ1 (ππ) = (β(ππ + ππ) β ππ)(β(ππ + ππ) β ππ)(β(πΎπΎ + ππ) β πππ½π½3βππππβππ
Sehingga didapatkan akar-akar karakteristiknya yaitu
ππ1 = β(ππ + ππ), ππ2 = β(ππ + ππ), ππ3 = β(πΎπΎ + ππ), dan ππ4 = π½π½3 β ππππ = ππππ (π
π
0 β 1)
2.
Titik setimbang suatu sistem dikatakan stabil jika nilai bagian real dari akar-akar persamaan karakteristik bernilai negatif. Maka dari itu, berdasarkan akar-akar karakteristik diatas, titik setimbang bersifat stabil asimtotis jika π
π
0 < 1 [8]. Analisis stabilitas titik setimbang endemik Matriks Jacobian nya yaitu π½π½2 = βππ βπ½π½1 π π β β β(ππ + ππ + π½π½1 ππΜππ β ) β(ππ β ππ) β‘ β€ β β 0 βπ½π½ (ππ 0 βπ½π½ ππΜ β + ππ) 2 π£π£β 2 ππ β’ β₯ β β β β β(πΎπΎ + ππ) π½π½1 π π β + π½π½2 π£π£β β₯ π½π½1 ππΜππ π½π½2 ππΜππ β’ β£ 0 π½π½3 β 2π½π½3 ππΜππ β β ππππ β¦ 0 0
Hasil determinan karakteristik yaitu
dari
π½π½2 ,
didapatkan
persamaan
ππ2 (ππ) = (π½π½2 ππππ β + ππ + ππ + ππ)(βπ½π½3 + ππππ β ππ)(βππ2 β πΊπΊπΊπΊ β π»π») = 0 Sehingga didapatkan akar-akar karakteristiknya yaitu
ππ1 = β(π½π½2 ππππ β + ππ + ππ) π½π½ βππ ππ2 = βπ½π½3 οΏ½ 3 ππ οΏ½ = βππππ (π
π
0 β 1)
Secara umum, analisis sensitivitas dilakukan dengan [10]: Mendefinisikan model yaitu menentukan variabel bebas dan tak bebas b. Menetapkan kemungkinan nilai fungsi input untuk tiap parameter c. Menghasilkan suatu matriks input melalui sebuah metode sampling random, menghitung vektor output d. Menilai pengaruh dan kepentingan relatif dari setiap hubungan input/output. Untuk melakukan analasis sensitivitas ini, diasumsikan nilai inputan dari masing-masing parameter [3] yaitu a.
ππ = 0,2 (per tahun), ππππ = 0,02 (per hari), π½π½1 = 0,026 (per (tahun*orang*ekor)), π½π½2 = 0,035 (per (tahun*orang*ekor)), π½π½3 = 0,045 (per (hari*ekor)), ππ = 0,2 , ππ = 0,06 (per tahun),ππ = 0,04 (per tahun), πΎπΎ = 0,09 (per tahun)
Dengan nilai awal tiap subpopulasi yaitu π π β (0) = π£π£β (0) = ππβ (0) = ππππ (0) = 0,03. Didapatkan hasil simulasinya dalam waktu (bulan) yaitu 0.9 s h terhadap t
0.8
populasi
Selanjutnya dilakukan analisis stabilitas titik setimbang bebas penyakit dan analisis stabilitas titik setimbang endemik. 1. Analisis stabilitas titik setimbang bebas penyakit Matriks Jacobian nya yaitu
4
vh terhadap t
0.7
ih terhadap t
0.6
ib terhadap t
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
B. Analisis Sensitivitas Setelah dilakukan analisis stabilitas lokal terhadap titik setimbang, maka selanjutnya dilakukan analisis sensitivitas untuk mendapatkan parameter yang sensitif dan mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung, baik pada populasi manusia maupun populasi unggas.
300 waktu(t)
600
500
400
Gambar. 2. Grafik tiap populasi terhadap waktu (bulan)
Didapatkan pula titik setimbang endemik πΈπΈ1 (π π β β , π£π£β β , ππΜβ β , ππΜππ β ), dengan π π β β = 0,789586; π£π£β β = 0,143141; ππΜβ β = 0,048926; dan ππΜππ β = 0,555556; serta π
π
0 = 2,25. Dalam melakukan analisis sensitivitas, maka perlu dilakukan memasukkan nilai input yang berbeda secara random dari setiap parameter terhadap titik setimbang endemik. 0.08
π½π½ 3
0.07 0.06
h
0.05
i
ππ3 dan ππ4 dicari dengan menggunakan teori kestabilan Routh-Hurwitz. Misalkan πΊπΊ = (ππ + ππ + π½π½1 ππππ β + πΎπΎ + ππ) dan π»π» = οΏ½(ππ + ππ + π½π½1 ππππ β )(πΎπΎ + ππ) + πππ½π½1 ππππ β οΏ½. Sehingga untuk π
π
0 > 1 , didapatkan πΊπΊ > 0 , π»π» > 0 , dan πΊπΊπΊπΊ > 0 . Jadi dapat disimpulkan bahwa titik setimbang endemik bersifat stabil asimtotis lokal untuk π
π
0 > 1 [8].
200
100
0
0.04 0.03
Β΅ Β΅ Β΅ Β΅ Β΅
0.02 0.01 0
0
100
200
300 waktu(t)
400
500
awal - 50% - 35% + 20% + 65% 600
Gambar. 3. Grafik populasi ππβ terhadap waktu dengan variasi nilai input parameter ππ
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) 1-6
5
Pada Gambar 3 terlihat bahwa parameter ππ cukup mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi manusia ππβ .
0.06 0.05
0.07
0.04
i
h
0.06
Ξ²2 awal
0.03
Ξ²2 - 50%
0.05
0.02
0.04
Ξ²2 - 35% Ξ²2 + 20%
0.01
i
h
Ξ²2 + 65%
0.03
0
Β΅b awal Β΅b - 35% Β΅b + 20%
0.01
Β΅b + 65% 0
0
100
200
Β΅b - 50%
0.02
100
0
200
300 waktu(t)
400
500
600
Gambar. 4. Grafik populasi ππβ terhadap waktu dengan variasi nilai input parameter ππππ
Pada Gambar 4 terlihat bahwa parameter ππππ mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi manusia ππβ .
300 waktu(t)
400
500
600
Gambar. 7 Grafik populasi ππβ terhadap waktu dengan variasi nilai input parameter π½π½2
Pada Gambar 7 terlihat bahwa parameter π½π½2 mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi manusia. 0.07 0.06 0.05
0.8
h
0.04 i
0.7
Ξ²3 awal
0.03 0.6
Ξ²3 - 50% 0.02
0
Β΅b - 50%
0.2
Β΅b - 35% Β΅b + 20%
0.1
Β΅b + 65% 0
100
200
300 waktu(t)
400
500
600
Gambar. 5. Grafik populasi ππππ terhadap waktu dengan variasi nilai input parameter ππππ
h
Pada Gambar 5 terlihat bahwa parameter ππππ mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi unggas ππππ .
i
Ξ²3 + 20% Ξ²3 + 65%
Β΅b awal
0.3
0
Ξ²3 - 35%
0.01
0.4
0
100
200
300 waktu(t)
400
500
Pada Gambar 8 terlihat bahwa parameter π½π½3 mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi manusia ππβ . 0.8 0.7
0.6
0.08
0.5
0.07
0.4
Ξ²3 awal
0.06
0.3
Ξ²3 - 50%
0.05
0.2
Ξ²3 - 35%
0.04
0.1
i
Ξ²1 awal
0.03
Ξ²1 - 35%
0.02
Ξ²1 + 20%
0.01 0
0
Ξ²1 - 50%
Ξ²1 + 65% 0
100
200
300 waktu(t)
400
500
600
Gambar. 6. Grafik populasi ππβ terhadap waktu dengan variasi nilai input parameter π½π½1 .
Pada Gambar 6 terlihat bahwa parameter π½π½1 mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi manusia ππβ .
600
Gambar. 8 Grafik populasi ππβ terhadap waktu dengan variasi nilai input parameter π½π½3
b
i
b
0.5
Ξ²3 + 20% Ξ²3 + 65% 0
100
200
300 waktu(t)
400
500
600
Gambar. 9 Grafik populasi ππππ terhadap waktu dengan variasi nilai input parameter π½π½3
Pada Gambar 9 terlihat bahwa parameter π½π½3 mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung pada populasi unggas ππππ .
Simulasi dengan variasi nilai input ini juga dilakukan untuk parameter ππ, πΎπΎ, ππ, dan ππ . Serta dilakukan juga variasi input terhadap perubahan nilai output populasi yang lainnya. Berdasarkan hasil simulasi tersebut didapatkan parameter-
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No. 1, (2013) 1-6 parameter yang sensitif yaitu ππ, ππππ , π½π½1 , π½π½2 , π½π½3 , dan πΎπΎ . Parameter-parameter yang sensitif tersebut merupakan parameter yang berpengaruh terhadap arah penyebaran virus flu burung, baik pada populasi manusia maupun pada populasi unggas. Untuk lebih jelasnya berikut diberikan variasi nilai input tiap parameter dan hasil nilai outputnya pada Tabel 1. Tabel 1. Variasi nilai input tiap parameter terhadap nilai output tiap subpopulasi Nilai Nilai (%) ππππ ππππ ππππ ππππ awal variasi ππ = -50% 0,1 0,7732 0,1114 0,0702 0,5556 0,2 -35% 0,13 0,7806 0,1241 0,0622 0,5556
ππππ = 0,02
20%
0,24
0,7922
0,1502
0,0435
0,5556
65%
0,33
0,7955
0,1612
0,0348
0,5556
-50%
0,01
0,769
0,1392
0,0667
0,7778
-35%
0,013
0,775
0,1404
0,0614
0,7111
20%
0,024
0,7981
0,1447
0,0415
0,4667
65%
0,033
0,8180
0,1485
0,0243
0,2667
0,013
0,8157
0,1431
0,0299
0,5556
0,0169
0,8077
0,1431
0,0357
0,5556
20%
00312
0,7795
0,1431
0,0561
0,5556
65%
0,0429
0,7580
0,1431
0,0718
0,5556
-50%
0,0175
0,7907
0,1483
0,0443
0,5556
-35%
0,02275
0,7903
0,1466
0,0457
0,5556
20%
0,042
0,7891
0,1412
0,0506
0,5556
65%
0,05775
0,7882
0,1369
0,0544
0,5556
0,0225
0,8342
0,1515
0,0103
0,1111
0,02925
0,8129
0,1475
0,0286
0,3162
20%
0,054
0,7826
0,1418
0,0549
0,6296
π½π½1 -50% = 0,026 -35%
π½π½2 = 0,035
π½π½3 -50% = 0,045 -35%
ππ = 0,2
ππ = 0,06
ππ = 0,04
πΎπΎ = 0,09
65%
0,07425
0,7732
0,14
0,0630
0,73
-50%
0,1
0,8627
0,0715
0,0477
0,5556
-35%
0,13
0,8407
0,093
0,0481
0,5556
20%
0,24
0,7603
0,1717
0,0493
0,5556
65%
0,33
0,694
0,2361
0,0504
0,5556
-50%
0,03
0,7719
0,1603
0,0492
0,5556
-35%
0,039
0,7776
0,1547
0,0491
0,5556
20%
0,072
0,7956
0,1372
0,0488
0,5556
65%
0,099
0,8075
0,1256
0,0486
0,5556
-50%
0,02
0,7880
0,1431
0,0488
0,5556
-35%
0,026
0,7885
0,1431
0,0488
0,5556
20%
0,048
0,7901
0,1431
0,0489
0,5556
65%
0,066
0,7912
0,1431
0,0490
0,5556
-50%
0,045
0,7881
0,1431
0,0578
0,5556
-35%
0,0585
0,7886
0,1431
0,0548
0,5556
20%
0,108
0,7900
0,1431
0,0460
0,5556
65%
0,1485
0,7908
0,1431
0,0407
0,5556
6 IV. KESIMPULAN Kesimpulan yang dapat diambil dari hasil analisa diatas yaitu : 1. Bilangan reproduksi dasar dari model epidemik flu burung pada unggas-manusia dengan vaksinasi yaitu 2.
3.
π
π
0 =
π½π½ 3
ππ ππ
.
Penyebaran virus flu burung tetap akan terjadi jika bilangan reproduksi dasar π
π
0 > 1 dan tidak akan terjadi penyerbaran virus flu burung jikabilangan reproduksi dasar π
π
0 < 1. Didapatkan pula parameter yang sensitif yang dapat mempengaruhi arah penyebaran virus flu burung baik pada populasi unggas maupun pada populasi manusia. Parameter-parameter yang sensitif tersebut yaitu laju kelahiran dan laju kematian pada subpopulasi manusia ππ, laju kelahiran dan laju kematian pada subpopulasi unggas ππππ , laju kontak rata-rata populasi π π β β ππππ π½π½1 , laju kontak rata-rata populasi π£π£β β ππππ π½π½2 , laju kontak rata-rata populasi π π ππ β ππππ π½π½3 , serta laju kesembuhan dari infeksi πΎπΎ. DAFTAR PUSTAKA
[1 ] WHO, H5N1 Avian Influenza : Timeline of Major Events. 17 December 2012. http://www.who.int/influenza/H5N1_avian_influenza_update_20121217 b.pdf. Diakses pada tanggal 21 Desember 2012, pukul 10.00 WIB [2] DEPKES RI, Laporan Kasus Fu Burung 192. 12 Desember 2012. http://www.depkes.go.id/index.php/berita/press-release/2173-laporankasus-flu-burung-192.html Diakses pada tanggal 21 Desember 2012, pukul 10.00 WIB [3] Liu, X., Takeuchi, Y., Iwami, S. (2007). βSVIR epidemic models with vaccination strategiesβ. Journal of Theoretical Biology. [4] Agarwal, M., dan Verma, V. (2010). βAn Avian-Human Influenza Epidemic Model with Vaccinationβ. Journal of Applied Sciences. Vol 5 (6). Hal : 451-458. [5] Rahmalia, D. (2010). βPemodelan Matematika dan Analisa Stabilitas dari Penyebaran Penyakit Flu Burungβ. Surabaya : Institut Teknologi Sepuluh Nopember. [6] Taslima. (2011). βKendali Optimal pada Pencegahan Wabah Flu Burung dengan Eliminasi, Karantina, dan Pengobatanβ. Surabaya : Institut Teknologi Sepuluh Nopember. [7] Earn, D. J. D., Dushoff, J., dan Levin, S. A. (2002). βEcology and evolution of the fluβ, Trends Ecol. Evol., 17, Hal : 334-340. [8] Finizio, N., dan Landas, G. (1988). βOrdinary Differential Equations with Modern Applicationsβ. California: Wadsworth Publishing Company. [9] Linda J.S. Allen. (2007). βAn Introduction to: Mathematical Biologyβ. United States: Prentice Hall. [10] Hamby, D. M. (1994). βA Review of Techniques for Parameter Sensitivity Analysis of Environmental Modelsβ. Netherlands : Kluwer Academic Publisher.
