ANALISIS SENSITIVITAS MODEL EPIDEMIOLOGI HIV DENGAN EDUKASI MARSUDI1 1
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Brawijaya,
[email protected]
ABSTRACT Model epidemiologi dapat memberikan informasi dasar untuk para praktisi kesehatan publik dalam menganalisis isu-isu yang dapat mempengaruhi strategi-strategi untuk pencegahan penyebaran suatu penyakit. Penulisan artikel ini difokuskan pada analisis sensitivitas dari angka reproduksi efektif untuk mengetahui parameter-parameter mana dari model yang berpengaruh terhadap penyebaran HIV. Angka reproduksi efektif diperoleh menggunakan metode matriks generasi berikutnya. Dalam model ini, populasi dibagi menjadi enam subpopulasi (susceptible tanpa edukasi, susceptible dengan edukasi, infected tanpa edukasi tanpa gejala AIDS, infected tanpa edukasi dengan gejala AIDS, infected dengan edukasi tanpa gejala AIDS dan infected dengan edukasi dan gejala AIDS. Simulasi numerik dari model diimplementasikan untuk memeriksa sensitivitas dari parameter-parameter kunci tertentu pada individuindividu yang terinfeksi. Kata Kunci: analisis sensitivitas, angka reproduksi efektif, model epidemiologi HIV
1. Pendahuluan HIV (Human Imunnodeficiency) dan AIDS (Acquired Immune Deficiency Syndrome) adalah salah satu masalah kesehatan. Saat ini tidak ada negara yang terbebas dari HIV/AIDS dan HIV/AIDS telah menyebabkan krisis multidimensi terutama dalam bidang kesehatan. Salah satu program dalam rangka untuk meminimalisasi prevalensi HIV/AIDS adalah dengan skrining HIV terapi HIV bagi orang yang terdeteksi positif HIV. Salah satu program pencegahan HIV/AIDS adalah sosialisasi pencegahan melalui media komunikasi, informasi dan edukasi (KIE) HIV/AIDS (Anonim [1]). Sampai saat ini, banyak penelitian menggunakan program atau srategi-strategi untuk pengendalian penyebaran HIV/AIDS, misalnya Naresh et al. [2] mengkaji efek vaksinasi pada penyebaran HIV/AIDS dalam populasi homogen, Hussaini et al. [3] dan Mukandavire et al. [4] mengkaji program penggunaan kondom, kampanye edukasi kesehatan publik dan perlakuan untuk pemberantasan epidemik HIV di berbagai negara dan komunitas seperti Uganda, Tailand, Zambia dan komunitas gay USA. Salah satu permasalahan yang timbul adalah bagaimana mengukur efektifitas dari program-program pengendalian tersebut. Marsudi et al. [8] mengkaji model HIV dengan skrining dan terapi menggunakan model SI yang diperluas. Disinilah perlunya model matematika yang mampu menghasilkan nilai ambang (threshold) yang bermakna sebagai dasar perbaikan dan pengembangan upaya penanggulangan HIV/AIDS. Diantara berbagai konsep nilai ambang, sebuah paameter epidemiologi yang disebut angka reproduksi dasar (efektif) memainkan peranan penting dalam teori penyebaran penyakit. Analisis sensitivitas mengkaji variasi output dari model yang disebabkan oleh variasi dalam input. Pada dasarnya, analisis sensitivitas menentukan parameter-parameter dan kondisi awal mana (input) mempengaruhi kuantitas yang diperhatikan (output) dari model. Safiel et al. [6] telah mengevaluasi indeks-indeks sensitivitas dari angka reproduksi efektif terhadap parameter-parameter model penyebaran HIV/AIDS dengan pengaruh skrining dan pengobatan. Sensitivitas dari angka reproduksi dasar untuk model penyebaran malaria dapat ditemukan dalam Chitnis et al. [5] yang bertujuan untuk menentukan parameter-parameter mana yang berpengaruh dalam model penyebaran dengue. Dalam makalah ini akan
difokuskan pada analisis sensitivitas dari angka reproduksi efektif dan simulasi numerik yang diimplementasikan untuk menerangkan parameter-parameter model yang berpengaruh pada penyebaran HIV/AIDS. Analisis sensitivitas memberikan informasi kepada kita sejauh mana pentingnya setiap parameter model dalam penyebaran penyakit.
2. Model HIV dengan Edukasi Model epidemiologi HIV dengan edukasi dideskripsikan menggunakan model kompartemen. Secara demografi, populasi dibagi menjadi enam subpopulasi, yaitu susceptible tanpa edukasi ( S1 ), susceptible dengan edukasi ( S2 ), infected tanpa edukasi tanpa gejala AIDS ( I 1 ), infected tanpa edukasi dengan gejala AIDS ( A1 ), infected dengan edukasi dan tanpa gejala AIDS ( I 2 ) dan infected dengan edukasi dan gejala AIDS ( A2 ). Secara matematis, transisi antara keenam subpopulasi berbentuk sistem persamaan diferensial nonlinear (Hussaini et al. [3] dan Marsudi dan Wibowo [7]), dS1 (1 p) 1 (1 )2 S1 ( )S1 dt dS2 p S1 (1 )1 (1 )2 S2 S2 dt dI1 1 (1 )2 S1 ( 1 ) I 1 1I 1 dt (1) dA1 1I 1 ( 1 ) A1 2 A1 dt dI 2 (1 )1 (1 )2 S2 1I 1 ( 2 ) I 2 dt dA2 2 I 2 2 A1 ( 2 ) A2 dt
1 dan
( I 1 1 A1 ) N
, 2
( I 2 2 A2 ) N
N S1 S2 I 1 I 2 A1 A2 .
(2)
(3)
dengan adalah laju rekrutmen susceptible, adalah laju kematian alami, 1 ( 2 ) adalah laju kematian karena AIDS dalam A1 ( A2 ) , p adalah bagian dari individu rekruitmen baru dengan edukasi, adalah laju edukasi susceptible tanpa edukasi, 1 ( 2 ) adalah laju edukasi individu-individu dalam I 1 ( A1 ) , adalah laju kontak efektif, 1 (2 ) adalah parameter modifikasi dari keinfeksian tanpa edukasi (dengan edukasi), 1 ( 2 ) adalah laju progresi dari I 1 ke A1 (I 2 ke A2 ), (0 1) adalah kehandalan edukasi dalam mencegah infeksi baru dan (0 1) adalah faktor reduksi dari penyebaran HIV/AIDS dengan edukasi. Nilai parameter-parameter model sebagai nilai basis yang digunakan dalam simulasi numerik diberikan dalam Tabel 1.
3. Angka Reproduksi Dasar Solusi dari sistem (1) termuat dalam daerah fisibel (invarian positif) (S1 , S2 , I 1 , A1 , I 2 , A2 ) R 6 S1 S2 I 1 A1 I 2 A2 N
(4)
dengan kondisi awal S10 0, S20 0, I10 0, A10 0, I 20 0, A20 0
(5)
Tabel 1 Nilai parameter model Parameter
p
1, 2 1, 2 1 , 2 1 , 2
Nilai 0.4 0.4 0.8 0.02 0.8 0.4 2.6, 0.07
Sumber Asumsi Elbasha&Gumel (2006) Karen&Susan (1999) Tripath et.al. 2007 Asumsi Asumsi Gumel et. al.(2006)
0.47, 0.04
Gumel et. al.(2006)
1.5, 1.3
Sharomi&Gumel (2006)
0.4, 0.4
Asumsi
Sistem (1) mempunyai titik kesetimbangan bebas penyakit (1 p) ( p ) E0 , , 0, 0, 0, 0 . (6) ( ) Angka reproduksi efektif dari sistem (1) diperoleh menggunakan metode matriks generasi berikutnya seperti yang dideskripsikan oleh van den Driessche dan Watmough [8]. Misalkan X (I 1* , A1* , S1* )T . Sistem (1) dapat ditulis sebagai dX (7) F ( X) V ( X) dt dengan ( I 1* 1 A1* )S1* * ( 1 ) I 1 N1* F ( X) 0 1I 1* ( 1 ) A1* . danV ( X ) * * * ( I 1 1 A1 )S1 0 * S 1 N1* Matriks-matriks Jacobi dari F ( X) danV ( X) pada titik kesetimbangan bebas penyakit E0 masingmasing adalah F 0 1 DF ( E0 ) , F , 0 0 0 0 0 V 0 DV ( E0 ) , V 1 . 1 1 J3 J4 Matriks generasi berikutnya dari sistem (1) adalah 1 1 1 1 FV 1 ( 1 )( 1 ) 1 . 0 0
Angka reproduksi efektif (Re) dari sistem (1) adalah radius spektral dari matriks FV 1 ,
(K L M ) PQRT( ) dengan K PQ(1 )(1 )( p )(T 2 2 ), L RT(1 p)(Q 11 ) dan M (1 p)(1 )(1QT 212 R 2 21Q). Re
(8)
Angka reproduksi efektif, Re mengukur rata-rata jumlah infeksi baru yang disebabkan oleh satu individu terinfeksi HIV dalam suatu komunitas di mana program edukasi kesehatan publik digunakan sebagai strategi kontrol. Jika edukasi kesehatan publik tidak ada (I 2 A2 p 2 2 1 2 0), maka (8) menjadi angka reproduksi dasar R0, ( 1 1 1 ) (9) Re R0 . ( 1 )( 1 ) Nilai ambang R0 mengukur rata-rata jumlah dari infeksi HIV baru yang disebabkan oleh satu individu terinfeksi dalam populasi susceptible tanpa intervensi program edukasi. Kestabilan lokal dan global titik kesetimbangan bebas penyakit E 0 dari sistem (1) dapat dirumuskan dalam lemma berikut. Lemma. Titik kesetimbangan bebas penyakit Re 1 dan tidak stabil jika Re 1.
E0 dari sistem (1) adalah stabil asimptotik lokal jika
Jadi, HIV dapat dieliminasi dari komunitas jika Re 1 , artinya jika ukuran populasi awal dari model dengan program edukasi kesehatan (1) diberikan dalam daerah stabil .
4. Analisis Sensitivitas Pada dasarnya, analisis sensitivitas menentukan parameter-parameter dan kondisi awal mana (input) mempengaruhi kuantitas yang diperhatikan (output) dari model. Analisis sensitivitas memberikan informasi kepada kita sejauh mana pentingnya setiap parameter model dalam penyebaran penyakit. Untuk menilai efek program edukasi kesehatan publik perlu dihitung indeks sensitifitas dari nilai ambang Re yang mengukur penyebaran penyakit awal menggunakan pendekatan seperti dalam Chitnis et al. [5]. Indeks sensitivitas dari nilai ambang Re mengukur penyebaran penyakit awal dan untuk mengukur perubahan relatif dalam Re jika suatu parameter berubah. Indeks sensitivitas pada semua parameter yang mempunyai pengaruh tinggi pada Re dapat dijadikan sasaran untuk diberikan intervensi dalam rangka mengendalikan penyebaran penyakit. Definisi (cf. Chitnis et al. [5]). Indeks sensitivitas normalisasi maju dari Re yang bergantung diferensiasi pada parameter p , didefinisikan dengan I pRe
Re p . p Re
(10)
Menggunakan nilai-nilai parameter dalam Tabel 1, indeks sensitivitas dari parameter-parameter dalam sisem diberikan dalam Tabel 2. Dari Tabel 2 menunjukkan bahwa indeks sensitivitas yang bernilai positif adalah parameter-parameter , 1, 2 , 1 dan 2 . Hal ini menunjukkan bahwa jika salah satu parameter dari , 1, 2 , 1 dan 2 dinaikkan sementara parameter yang lain dibuat konstan akan menaikkan nilai Re dan akibatnya menaikkan endemisitas penyakit HIV. Misalnya, I R2e 0.5930, artinya dengan menaikkan
(menurunkan) nilai parameter 2 sebesar 10% akan menaikkan (menurunkan) nilai Re sebesar 5.93% . Sedangkan parameter-parameter , , 1, 2 ,1, 2 , , dan p mempunyai nilai indeks sensitivitas negatif, artinya jika salah satu parameter dari , , 1, 2 ,1, 2 , , dan p dinaikkan sementara parameter lain dibuat konstan akan menurunkan nilai Re dan akibatnya menurunkan endemisitas penyakit HIV. Karena I Re 3.8312, maka dengan menaikkan (menurunkan) nilai parameter sebesar 10% akan menurunkan (menaikkan) nilai Re sebesar 38.3% . Tabel 2 Nilai Indeks Sensitivitas dari Re No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Parameter
2 2 2 p
1
1 1 2 1
Indeks Sensitivitas -3.8312 -3.6022 1 0.5930 -0.3953 -0.3345 -0.1608 -0.0695 -0.0486 -0.0391 0.0344 -0.0116 0.0064 0.0044
Dari atas ke bawah, Tabel 2 menunjukkan tingkat sensitivitas dari parameter yang paling sensitif sampai dengan parameter yang kurang sensitif. Jadi, secara individu, parameter yang paling sensitif adalah faktor reduksi dari penyebaran HIV/AIDS dengan edukasi ( ), diikuti kehandalan edukasi dalam mencegah infeksi baru ( ), diikuti laju kontak efektif ( ), parameter modifikasi dari keinfeksian dengan edukasi (2 ) , laju kematian karena AIDS dalam A2 ( 2 ) dan laju kematian alami ( ). Parameter yang kurang sensitif adalah laju edukasi individu-individu dalam A1 ( 2 ) dan parameter yang kurang sensitif adalah laju edukasi individu-individu dalam I 1 (1 ) .
5. Simulasi Numerik Menggunakan nilai-nilai parameter dalam Tabel 1, sistem (1) disimulasikan menggunakan ODE solver (ode45) dalam bahasa pemrograman Matlab. Model disimulasikan untuk berbagai nilai parameter model untuk mengetahui perubahan-perubahan perilaku solusi grafik model dengan populasi awal S10 1.010.000.000, S20 10.000.000, I 10 1.000.000, I 20 1.000.000, A10 1.000.000, A20 1.000.000, dan 1.510.000. Grafik dinamika populasi dengan intervensi edukasi kesehatan publik ditunjukkan dalam Gambar 1. Dari Gambar 1 (a) tampak baha dinamika populasi susceptible turun seiring berjalannya waktu karena infeksi HIV. Sebelum intervensi, infected tanpa edukasi tanpa gejala AIDS ( I 1 ) naik dengan bertambahnya waktu dan akhirnya menuju ke titik kesetimbangannya, tetapi karena intervensi adanya edukasi kesehatan
publik, laju infeksi turun seiring dengan turunnya infected dengan edukasi tanpa gejala AIDS ( I 2 ) dan infected dengan edukasi dan gejala AIDS, A2 (Gambar 1 (b)). 6
10
7
(a)
x 10
10 S1
9
A1
A2
7
6
Populasi Total
Populasi Total
I2
8
7
5 4
6 5 4
3
3
2
2
1 0
S2
9
I1
8
(b)
x 10
1 0
5
10
15
20 25 30 waktu (tahun)
35
40
45
0
50
0
50
100
150
200 250 300 waktu (tahun)
350
400
450
500
Gambar 1. Dinamika (a) populasi tanpa edukasi, (b) populasi dengan edukasi Gambar 1 menunjukkan bahwa dinamika populasi I 1, I 2 , A1 dan A2 menuju nol, artinya dengan intervensi edukasi kesehatan publik penyakit dapat diberantas. Dalam hal ini, angka reproduksi efektif lebih kecil dari satu (Re = 0.4826). Titik kesetimbangan bebas penyakit untuk model HIV dengan edukasi kesehatan publik adalah E0 2.157x106 , 7.334x107 , 0, 0, 0, 0 . Selama tidak ada intervensi untuk mengendalikan penyebaran penyakit HIV, penyakit tidak akan hilang dari populasi karena angka reproduksi dasar lebih besar dari satu (R0=1.3678).
(1) Efek laju kontak efektif Gambar 2 menunjukkan hubungan antara angka reproduksi efektif (Re) dan angka reproduksi dasar (R0) jika berubah. Nampak bahwa jika naik mengakibatkan ekpektasi banyaknya kasus kedua yang dihasilkan (Re dan R0) ikut naik dengan Re R0 . 8
e o
Angka Reproduksi (R , R )
7 6 5
Re
4
Ro
3 2 1 0
0
0.5
1 1.5 Laju Kontak Efektif ( )
2
2.5
Gambar 2 Hubungan antara angka reproduksi jika berubah Jadi, jika intervensi diberikan pada komunitas, program edukasi kesehatan harus tetap diupayakan untuk menurunkan penyebaran penyakit atau untuk membasmi penyakit secara total. Selanjutnya, akan diverifikasi efek parameter model terhadap angka reprodukasi efektif dan terhadap dinamika infected dengan edukasi tanpa gejala AIDS ( I 2 ) dan infected dengan edukasi dan gejala AIDS ( A2 ). (2) Efek faktor reduksi dari penyebaran HIV dengan edukasi Gambar 3 (a) menunjukkan hubungan antara angka reproduksi efektif (Re) dan faktor reduksi dari
penyebaran HIV/AIDS dengan edukasi ( ).Nampak bahwa jika naik (10%), maka ekpektasi banyaknya kasus kedua yang dihasilkan (Re) turun (0.38%). Hal ini diperkuat Gambar 3 (b) dan Gambar 3 (c) yang menunjukkan bahwa populasi infected dengan edukasi tanpa (dengan) gejala AIDS turun jika naik. Jadi, nilai parameter faktor reduksi penyebaran HIV dengan edukasi harus dipertahankan atau dinaikkan untuk menurunkan penyebaran penyakit HIV/AIDS. 2.5
ef
Angka Reproduksi (R )
2
1.5
1
0.5
0 0
0.2 0.4 0.6 0.8 Faktor reduksi penyebaran HIV ( )
1
(a) 6
x 10
Invected dengan edukasi dan AIDS
Invected dengan edukasi tanpa AIDS
6
1.8
=0.8 =0.9
1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6
0
2
4
6
8
10 12 Waktu (Tahun)
14
16
18
3
x 10
2.5 2 1.5
=0.8 =0.9
1 0.5
20
0
0
2
4
6
8
10 12 Waktu (Tahun)
14
16
18
20
(b) (c) Gambar 3. Efek terhadap angka reproduksi efektif dan infected dengan edukasi tanpa (dengan) gejala AIDS Hal yang sama tejadi pada laju kehandalan edukasi dalam mencegah infeksi baru ( ). Jika naik sebesar 10%, maka ekpektasi banyaknya kasus kedua yang dihasilkan (Re) turun sebesar 0.36% (Gambar 4(a)). Populasi infected dengan edukasi tanpa (dengan) gejala AIDS turun jika naik (Gambar 4 (b) dan Gambar 4 (c)). Jadi, nilai parameter laju kehandalan edukasi dalam mencegah infeksi baru harus dipertahankan atau dinaikkan untuk menurunkan penyebaran penyakit HIV/AIDS. 2.5
ef
Angka Reproduksi (R )
2
1.5
1
0.5
0 0
0.2
0.4 0.6 Kehandalan edukasi ()
(a)
0.8
1
6
x 10
Invected dengan edukasi dan AIDS
Invected dengan edukasi tanpa AIDS
6
1.8
=0.8 =0.9
1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6
0
2
4
6
8
10 12 Waktu (Tahun)
14
16
18
20
3
x 10
2.5 2 1.5
=0.8 =0.9
1 0.5 0
0
2
4
6
8
10 12 Waktu (Tahun)
14
16
18
20
(b) (c) Gambar 4. Efek terhadap angka reproduksi efektif dan infected dengan edukasi tanpa (dengan) gejala AIDS Gambar 5 (a) menunjukkan hubungan antara angka reproduksi efektif (Re) dan laju kontak efektif ( ). Jika naik sebesar 10%, maka ekpektasi banyaknya kasus kedua yang dihasilkan (Re) naik sebesar 0.1%. Dari Gambar 5 (b) dan Gambar 5 (c) nampak bahwa populasi infected dengan edukasi tanpa (dengan) gejala AIDS naik jika naik. Jadi, nilai parameter laju laju kontak efektif harus diturunkan untuk menurunkan penyebaran penyakit HIV/AIDS. 1.4
1
ef
Angka Reproduksi (R )
1.2
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
0.2
0.4 0.6 Laju kontak ( )
0.8
1
(a) 6
2.2
3.5 Invected dengan edukasi dan AIDS
Invected dengan edukasi tanpa AIDS
6
x 10
=0.4 2
=0.5
1.8 1.6 1.4 1.2 1
0
2
4
6
8
10 12 Waktu (Tahun)
14
16
18
20
x 10
3 2.5 2
=0.4 1.5
=0.5
1 0.5 0
0
2
4
6
8
10 12 Waktu (Tahun)
14
16
18
20
(b) (c) Gambar 5. Efek terhadap angka reproduksi efektif dan infected dengan edukasi tanpa (dengan) gejala AIDS Hal yang sama tejadi pada parameter modifikasi keinfeksian dengan edukasi ( 2 ). Jika 2 naik sebesar 10%, maka ekpektasi banyaknya kasus kedua yang dihasilkan (Re) naik sebesar 0.059% (Gambar 6(a)). Populasi infected dengan edukasi tanpa (dengan) gejala AIDS naik jika 2 naik (Gambar 6 (b) dan Gambar 6 (c)). Jadi, nilai parameter modifikasi keinfeksian dengan edukasi harus diturunkan untuk menurunkan penyebaran penyakit HIV/AIDS.
0.65
ef
Angka Reproduksi (R )
0.6
0.55
0.5
0.45
0.4 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Parameter modifikasi dari keinfeksian dengan edukasi (2)
(a) 6
1.8
Invected dengan edukasi dan AIDS
Invected dengan edukasi tanpa AIDS
6
x 10
2=1.3 2=1.4
1.6
1.4
1.2
1
0
2
4
6
8
10 12 Waktu (Tahun)
14
16
18
3
x 10
2.5 2
2=1.3
1.5
2=1.4
1 0.5 0
20
0
2
4
6
8
10 12 Waktu (Tahun)
14
16
18
20
(b) (c) Gambar 6. Efek 2 terhadap angka reproduksi efektif dan infected dengan edukasi tanpa (dengan) gejala AIDS Pada kasus jika semua parameter dinaikkan 10%, maka nilai angka reproduksi efektif (Re) turun dari 0.4826 menjadi 0.1110. Dalam hal ini populasi infected dengan edukasi tanpa (dengan) gejala AIDS tampak turun dari populasi awal (Gambar 7 (a) dan Gamba 7 (b)). 6
x 10
Invected dengan edukasi dan AIDS
Invected dengan edukasi tanpa AIDS
6
2
Nilai parameter awal Nilai parameter naik 1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10 12 Waktu (Tahun)
14
16
18
20
3
x 10
2.5 2 1.5 Nilai parameter awal Nilai parameter naik
1 0.5 0
0
2
4
6
8
10 12 Waktu (Tahun)
14
16
18
20
(a) (b) Gambar 7. Efek terhadap angka reproduksi efektif dan infected dengan edukasi tanpa (dengan) gejala AIDS jika semua parameter dinaikkan 10%
6. Kesimpulan Parameter-parameter yang meningkatkan endemisitas adalah parameter-parameter , 1, 2 , 1 dan 2 dan parameter-parameter yang menurunkan endemisitas adalah , , 1, 2 ,1, 2 , , dan p . Parameter yang paling sensitif pada angka reproduksi efektif adalah faktor reduksi dari penyebaran HIV/AIDS dengan edukasi ( ) diikuti oleh kehandalan edukasi dalam mencegah infeksi baru ( ).
Sedangkan parameter yang kurang sensitif pada angka reproduksi efektif adalah laju edukasi dalam I1 ( 1 ) dan laju edukasi dalam A1 ( 2 ). Dari simulasi numerik disimpulkan bahwa model HIV/AIDS dengan edukasi kesehatan publik mempunyai titik kesetimbangan bebas penyakit E0 2.157x106 , 7.334x107 , 0, 0, 0, 0 . Angka
reproduksi efektif Re=0.4826 dan E0 stabil asimtotik lokal, artinya berdasarkan data simulasi yang diberikan penyakit HIV/AIDS dapat direduksi menggunakan program intervensi edukasi kesehatan publik.
Daftar Pustaka [1] Anonim, Strategi Nasional Penanggulangan HIV dan AIDS 2010-2014. Komisi Penanggulangan AIDS Nasional, 2010. [2] Naresh, R. , Tripath, A. and Sharma, D. , Modelling the Effect of Risky Sexual Behavior on The Spread of HIV/AIDS, International Journal of Applied Mathematics and Computation 1 (3), 132147, 2009. [3] Hussaini, N., Winter, M. and Gumel, A.B., Qualitative Assesment of The Role of Public Health Education Program on HIV Transmission Dynamics, Mathematical Medicine and Biology 28 (3), 245–270, 2011. [4] Mukandavire, Z., Garira, W. and Tchuenche, J.M, Modelling Effects of Public Health Educational Campaigns on HIV/AIDS Transmission Dynamics,” Applied Mathematical Modelling 33, 2084– 2095, 2009. [5] Chitnis, N., Hyman, J.M. and Cushing, J.M., Determining Important Parameter in the Spread of Malaria Through the Sensitivity Analysis of Mathematical Model, Department of Public Health and Epidemiology 70, 1272-1296, 2008. [6] Safiel, R., Massawe, E. S. and Makinde, D. O., Modelling the Effect Screening and Treatment on Transmission of HIV/AIDS Infection in a Population, American Journal of Mathematics and Statistics 2 (4), 75–88, 2012. [7] Marsudi dan Wibowo, R.B.E., Analisis Kualitatif Dampak Program Kampanye Edukasi Kesehatan Masyarakat pada Dinamika Penyebaran HIV, Laporan Penelitian Fundamental 2012, LPPM Universitas Brawijaya, 2012. [8] Marsudi, Majono dan Andari, A. Evaluasi Dampak Program Skrining dan Terapi HIV dalam Upaya Pencegahan Penyebaran HIV di Malang Melalui Analisis Sensitivitas Model Matematika, Laporan Penelitian BOPTN 2013, LPPM Universitas Brawijaya, 2013. [9] van den Driessche, P. and Watmough, J., Reproduction Numbers and Subthreshold Endemic Equilibria for Compartmental Models of DiseaseTransmission, Mathematical Biosciences 180, 29– 48, 2002.
