MODEL SUMBER - KONSUMEN
Oleh : UMI HIDAYATI G05400046
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2006
ABSTRAK UMI HIDAYATI. Model Sumber – Konsumen. Di bawah bimbingan PAIAN SIANTURI dan ANNIS D. RAKSANAGARA. Hubungan antara sumber dengan konsumen dapat dimodelkan melalui dua pendekatan model yaitu, model Individual Survival (IS) dan model Biomass Conversion (BC). Masing-masing model mempunyai kekurangan dan kelebihan yang berbeda karena setiap model melihat hubungan antara sumber dengan konsumen dari sisi yang berbeda. Oleh karena itu para ahli ekologi sepakat untuk membuat suatu teori tunggal ekologi sumber – konsumen dengan menggunakan elemen-elemen dari kedua model. Teori tunggal ekologi sumber – konsumen yaitu berbunyi bahwa hubungan antara sumber dengan konsumen harus digambarkan melalui proses terjadinya konversi biomassa, mempunyai struktur yang sama pada sumber dan konsumen dan dapat memberikan perbedaan antara sumber tetap dengan sumber habis. Teori tunggal ekologi sumber – konsumen menghasilkan model baru yang lebih baik dalam menggambarkan hubungan antara sumber dengan konsumen, yaitu model sumber – konsumen. Model sumber – konsumen ini akan menghasilkan dua kasus khusus yaitu, model Leslie dan model Berryman. Model Leslie adalah model yang tergantung pada rasio linear yang konstan antara sumber dengan konsumen. Sedangkan model Berryman adalah model yang tidak tergantung pada rasio linear yang konstan antara sumber dengan konsumen. Oleh karena itu model Berryman disebut sebagai model yang dapat menggambarkan terjadinya konversi biomassa dari sumber ke konsumen.
2
MODEL SUMBER – KONSUMEN
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh :
Umi Hidayati G05400046
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAAN BOGOR 2006
3
Judul : MODEL SUMBER – KONSUMEN Nama : Umi Hidayati NRP : G05400046
Menyetujui :
Pembimbing I,
Dr. Paian Sianturi NIP. 131 925 899
Pembimbing II,
Dra. Annis D. Raksanagara, M.Si. NIP. 132 133 396
Mengetahui : Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S NIP. 131 473 999
Tanggal Lulus :
4
Selalu Periksa Keadaan Batinmu Menggunakan Raja dari Hatimu
Tembaga Tidak Pernah Mengetahui Dirinya Tembaga, Sebelum Ia Berubah Menjadi Emas
Cinta Kasihmu Tidak Akan Mengenal Rajanya, Sebelum Ia Menyadari Ketidakberdayaannya
(Jalaludin Rumi)
Hanya Kepada – Mu Kami Mengabdi dan Hanya Kepada – Mu Kami Mohon Pertolongan
Kupersembahkan Karya Tulis ini Teruntuk Pahlawan Tanpa Tanda Jasa
5
PRAKATA Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, karena dengan izin dan karunia – Nya lah penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat dan salam tidak lupa penulis panjatkan kepada Rasul Allah, keluarga serta pengikut – nya sampai akhir zaman. Terima kasih penulis ucapkan kepada pembimbing pertama, yaitu Dr. Paian Sianturi yang telah bersedia meluangkan waktu dan membimbing penulis dengan sabar. Terima kasih juga kepada pembimbing kedua, yaitu Dra. Annis D. Raksanagara, M.Si. atas waktu dan kritikan yang membangun. Serta terima kasih kepada Drs. Ali Kusnanto, M.Si. sebagai moderator dan penguji dalam seminar dan sidang penulis. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada keluarga, yaitu Bapak, Mama, Tante Titi, Abang Komar, Mba Eko, Adik Ipur, Adik Iyut, Adik Dwi, Bude dan Pade yang telah menjadi inspirasi dalam menjalankan hidup dan sebagai motivator dalam hidup. Terima kasih kepada teman-teman penulis, yaitu Dian, Uni sweet, Andri, Cicih, Ecih, Dwi, Nita, Ka Danu, Ka Iqbal, Ka Eko, Gresi, Melinda, DC, Novie, Ami, Aling dan Suami, teman-teman Marwah : Diana, Dian, Rian, Dini Sofi, Tatir, Nina, Mba Dian, Mifa, teman-teman Mutazzah, dan teman-teman lain yang khilaf tak tersebutkan. Terima kasih kepada staf TU Departemen Matematika, yaitu Bu Susi, Bu Ade, Mas Deni, Bu Marisi, Mas Yono. Dan ucapan terima kasih terakhir penulis sampaikan pada semua pihak yang penulis lupa untuk menyebutkannya. Akhir kata, semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi setiap orang yang membacanya. Amien.
Bogor, 7 Februari 2006
Umi Hidayati
6
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta, tanggal 29 September 1981 sebagai anak kedua dari tiga bersaudara dari Almarhum Waluyo dan Ibu Awiyah. Tahun 1999 penulis lulus dari SMU Negeri 83 Jakarta dan pada satu tahun berikutnya penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur UMPTN sebagai mahasiswa Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Semasa kuliah, penulis aktif dalam kegiatan organisasi di Institut Pertanian Bogor, yaitu diantaranya sebagai bendahara GUMATIKA IPB (Gugus Mahasiswa Matematika Institut Pertanian Bogor) periode 2001/2002, anggota Departemen Anggaran Divisi Kewirausahaan BEM FMIPA IPB (Badan Eksekutif Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam Institut) periode 2002/2003, dan Bendahara Mozaic Sains (Bazaar, pameran dan apresiasi seni) BEM FMIPA periode 2003 dan sebagai ketua BURSA buku BEM FMIPA IPB periode 2002. Penulis juga pernah bekerja freelance sebagai Interviewer Executive MARK PLUS tahun 2004, Interviewer Q – Mark Profesional tahun 2003 – 2005. Selain itu penulis juga pernah magang di PT. Capricorn Mars Indotama bulan Juli – Agustus 2005, Freelance di PT. Capricorn Mars Indotama bulan September 2005 – Januari 2006. Dan sekarang penulis bekerja sebagai Assistent Research Executive PT. Capricorn Mars Indotama.
7
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR TABEL ……………………………………………………………………………......viii DAFTAR GAMBAR ….................................................................................................................viii DAFTAR LAMPIRAN ..................................................................................................................viii I.
PENDAHULUAN ......................................................................................................................1 1.1 Latar Belakang .............................................................................................................1 1.2 Tujuan ..........................................................................................................................1
II. LANDASAN TEORI .................................................................................................................1 III. PEMODELAN MATEMATIKA ...............................................................................................2 3.1 Model Individual Survival (IS) ....................................................................................2 3.2 Model Biomass Conversion (BC) ................................................................................2 IV. PEMBAHASAN ........................................................................................................................4 4.1 Tipe-tipe Pertumbuhan, Tingkat Ekstrasi, dan Fungsi Konversi .................................4 4.1.1 Tipe-tipe Pertumbuhan ( G ).....................................................................................4 4.1.2 Tipe-tipe Ekstrasi Sumber (Hi).................................................................................6 4.1.3 Tipe-tipe Fungsi Konversi ( f i ( H i ) )……………………………………………...6 4.2 Kekurangan dan kelebihan model IS dan model BC…………………………………8 4.2.1 Kekurangan model IS dan model BC ……………………………………………..8 4.2.2 Kelebihan model IS dan model BC ……………………………………………….9 4.3 Model Sumber – Konsumen ........................................................................................9 V. SIMPULAN .............................................................................................................................12 DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................................................12 LAMPIRAN ....................................................................................................................................13
8
DAFTAR TABEL Halaman 1 Tipe Pertumbuhan ...........................................................................................................................3 2 Tipe Ekstrasi Sumber ......................................................................................................................3 3 Tipe Fungsi konversi ......................................................................................................................3
DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Grafik Pertumbuhan Eksponensial .................................................................................................4 2 Grafik Pertumbuhan Logistik dengan Pembatas Diri Linear .........................................................5 3 Grafik Pertumbuhan Gompertz .......................................................................................................5 4 Grafik Pertumbuhan Logistik dengan Pembatas Diri Nonlinear ....................................................5 5 Grafik Fungsi Konversi Linear .......................................................................................................7 6 Grafik Fungsi Konversi Sigmoid ....................................................................................................8 7 Grafik Fungsi Konversi Hiperbolik ................................................................................................8
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Program Pembuatan Grafik Pertumbuhan Eksponensial ..............................................................14 2 Program Pembuatan Grafik Pertumbuhan Logistik dengan Pembatas Diri Linear ......................14 3 Program Pembuatan Grafik Pertumbuhan Gompertz ...................................................................14 4 Program Pembuatan Grafik Pertumbuhan Logistik dengan Pembatas Diri Nonlinear ................14 5 Program Pembuatan Grafik Fungsi Konversi Linear ...................................................................15 6 Program Pembuatan Grafik Fungsi Konversi Sigmoid ................................................................15 7 Program Pembuatan Grafik Fungsi Konversi Hiperbolik ............................................................15
9
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang Jaring-jaring makanan adalah gabungan dari beberapa rantai makanan yang saling terkait. Sedangkan rantai makanan adalah gabungan dari beberapa sumber dan konsumen. Untuk membentuk model jaringjaring makanan dapat dimulai dengan melihat hubungan antara sumber dengan konsumen dalam suatu rantai makanan. Dalam satu dekade terakhir terdapat kontroversi dalam menggambarkan hubungan antara sumber dengan konsumen. Modelmodel yang saling kontroversi tersebut adalah model Individual Survival (IS) dengan model Biomass Conversion (BC). Masing-masing pendukung model merasa bahwa modelnya adalah yang paling tepat dalam menggambarkan hubungan antara sumber dengan konsumen. Hal ini terlihat dengan adanya kritikan-kritikan dari kedua pendukung model.
Karya ilmiah ini akan membahas mengenai kedua model dalam menggambarkan hubungan antara sumber dengan konsumen, kekurangan dan kelebihan kedua model serta perbaikan-perbaikan yang perlu dilakukan. Gambar kurva pada karya ilmiah ini menggunakan software Mathematica 5.1. Nilai parameter yang digunakan pada tulisan ini adalah berdasarkan jurnal Resource – Consumer Model and The Biomass Conversion Principle (Ramos dan Jiliberto, 2005) dan beberapa nilai parameter yang dipilih sendiri. 1.2 Tujuan Tujuan dari karya tulis ini adalah untuk menunjukkan bahwa hubungan antara sumber dengan konsumen dapat digambarkan melalui satu model saja.
BAB II
LANDASAN TEORI Definisi 1 : Sistem Persamaan Diferensial Mandiri. Suatu sistem persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai : dx ⋅ = x = f (x), x ∈ R n (1) dt dengan f fungsi kontinu bernilai real dari x dan mempunyai turunan parsial kontinu. SPD tersebut disebut SPD Mandiri (autonomous) jika tidak memuat waktu (t) secara eksplisit di dalamnya. [Tu, 1994] Definisi 2: Persamaan dengan peubah terpisah. Suatu persamaan diferensial orde pertama dapat diubah ke dalam bentuk : g ( y ) y ′ = f ( x) dy , dengan manipulasi aljabar. Karena y ′ = dx maka dapat ditulis ke dalam bentuk : g ( y )dy = f ( x)dx . (2) [Tu, 1994]
Definisi 3 : Pengintegralan Persamaan Peubah Terpisah. Persamaan (2) tersebut di atas, jika diintegralkan maka didapat bentuk : (3) ∫ g ( y )dy = ∫ f ( x)dx + c dengan fungsi f dan g adalah fungsi kontinu, maka persamaan (3) tersebut akan ada. [Kreyszig, 1993] Definisi 4 : Pengintegralan Suatu Peubah. Untuk x >0 maka : 1 (4) ∫ dx = ln x + c, x > 0 . x [Kreyszig, 1993] Definisi 5 : Fungsi Eksponen Asli. Untuk x >0 bilangan real sebarang maka ln x e =x (5) dan untuk x sebarang, berlaku (6) ln e x = x . [Kreyszig, 1993]
10
BAB III PEMODELAN Hubungan antara sumber dengan konsumen dapat dimodelkan dengan dua pendekatan model sebagai berikut : 3.1 Pendekatan model IS (Individu Survival)
Andaikan hanya terdapat satu sumber dengan satu konsumen maka hubungan antara sumber dengan konsumen tersebut dapat dimodelkan dengan model IS sebagai berikut : dx1 = G1 x1 − Hx 2 (7) dt dx2 = G2 x 2 (8) dt dengan : x1 = Populasi sumber. x 2 = Populasi konsumen. G1 = Fungsi pertumbuhan perkapita sumber tanpa ada interaksi dengan tingkat yang lebih tinggi dalam rantai makanan. H = H ( x1 ) = Tingkat ekstrasi sumber per unit konsumen atau disebut sebagai fungsi respon. G2 = G2 ( x1 ) = Fungsi pertumbuhan perkapita konsumen tanpa ada interaksi dengan tingkat yang lebih tinggi dalam rantai makanan.
Bentuk umum dari model IS untuk populasi ke - i adalah sebagai berikut : dxi = Gi xi − H i +1 xi +1 (9) dt untuk i = 1,2 , dengan : xi = Populasi ke - i . x i +1 = Populasi ke – ( i + 1 ). H i +1 = Tingkat ekstrasi sumber ke - i per unit konsumen ke – ( i + 1 ) atau disebut sebagai fungsi respon. Gi = Gi ( xi −1 ) = Fungsi pertumbuhan perkapita populasi ke - i tanpa ada interaksi dengan tingkat yang lebih tinggi dalam rantai makanan.
3.2 Pendekatan model BC (Biomass Conversion)
Andaikan hanya terdapat satu sumber dengan satu konsumen maka hubungan antara sumber dengan konsumen tersebut dapat dimodelkan dengan model BC sebagai berikut : dx1 (10) = G1 x1 − Hx2 dt dx2 = f ( H ) x2 (11) dt dengan : x1 = Populasi sumber. x2 = Populasi konsumen. G1 = Fungsi pertumbuhan perkapita sumber tanpa ada interaksi dengan tingkat yang lebih tinggi dalam rantai makanan. H = H ( x1 ) = Tingkat ekstrasi sumber per unit konsumen atau disebut sebagai fungsi respon. f (H ) = Fungsi konversi dari ekstrasi sumber. Bentuk umum dari model BC untuk populasi ke - i adalah sebagai berikut : dxi = f i ( H i ) xi − H i +1 xi +1 (12) dt untuk i = 1,2 , dengan : xi = Populasi ke - i . x i +1 = Populasi ke – ( i + 1 ). H i +1 = Tingkat ekstrasi sumber ke - i per unit konsumen ke – ( i + 1 ) atau disebut sebagai fungsi respon. f i ( H i ) = Fungsi konversi dari ekstrasi sumber (H ) . Perbedaan antara model IS dengan model BC adalah terletak pada pengungkapan formal dari G2. Bentuk G2 pada model IS (lihat persamaan (8)) adalah didasarkan pada tingkat pertambahan intrinsik perkapita. Sedangkan bentuk G2 pada model BC (lihat persamaan (11)) adalah merupakan fungsi eksplisit dari tingkat ekstrasi sumber yang bergantung pada ketersediaan sumber.
11
Tipe pertumbuhan (G ) disajikan dalam tabel 1 di bawah ini : Model Tipe 1.1 a i Eksponensial, tanpa batas 1.2 a i − b i x i Logistik dengan pembatas diri linear 1.3 a i − b i ln x i Gompertz dengan Pembatas diri nonlinear 1.4 a i − b i x iβ Logistik dengan pembatas diri nonlinear (β i ≠ 1) i
Tabel 1 : Tipe pertumbuhan Gi.
Keempat tipe pertumbuhan diatas, jika disubstitusikan ke dalam persamaan (9) dengan asumsi bahwa tidak ada ekstrasi pada populasi sumber, yaitu dxi = Gi xi , (13) dt maka keempat tipe pertumbuhan tersebut adalah sebagai berikut : Pertumbuhan Eksponensial tanpa batas adalah bentuk pertumbuhan yang terus meningkat karena laju pertumbuhan populasi perkapitanya tidak dibatasi oleh dx apapun , yaitu = a. xdt Pertumbuhan Logistik dengan pembatas diri linear adalah bentuk pertumbuhan dengan laju pertumbuhan populasi perkapitanya berkurang secara linear, dx yaitu = a − bx . xdt Pertumbuhan Gompertz dengan pembatas diri nonlinear adalah pertumbuhan dengan laju populasi perkapitanya berkurang secara nonlinear, yaitu dx = a − b ln x . xdt Pertumbuhan Logistik dengan pembatas diri nonlinear adalah pertumbuhan dengan laju populasi perkapita yang berkurang secara nonlinear, yaitu dx β = a − bx , β ≠ 1 . xdt Berkurangnya laju populasi pada pertumbuhan di atas adalah karena adanya kompetisi antara individu dalam populasi tersebut.
Tipe ekstrasi sumber (H) disajikan dalam tabel 2 sebagai berikut : Model Tipe Konstan 2.1 Φ Bergantung secara 2.2 φx i −1 linear terhadap sumber (Lotka Volterra) 2.3 Bergantung secara xi −1 φ linear terhadap rasio xi antara sumber dengan konsumen Tabel 2 : Tipe ekstrasi Hi.
Tipe (2.1) adalah ekstrasi sumber yang konstan. Tipe (2.2) adalah ekstrasi yang bergantung secara linear terhadap sumber atau mangsa, yaitu dengan xi −1 sebagai populasi sumber atau mangsa. Tipe (2.3) adalah ekstrasi yang bergantung secara linear terhadap rasio antara sumber dengan konsumen, yaitu dengan xi −1 sebagai populasi sumber dan xi sebagai populasi konsumen. Tipe fungsi konversi ( f (H ) ) disajikan dalam tabel 3 sebagai berikut : Model Tipe mH i + w 3.1 Linear σ −v 3.2 Sigmoid +v 1+
3.3
( )
(
γ
Z
Hi
ρ 1 − Hk
i
)
Hiperbolik
Tabel 3 : Tipe fungsi konversi f(Hi)
Tipe (3.1) pada tabel 3 adalah fungsi konversi yang berbentuk linear, dengan w sebagai tingkat pertumbuhan perkapita dan m sebagai gradien kurva. Tingkat pertumbuhan perkapita tersebut dapat bernilai negatif ketika konsumsi menuju nol. Tipe (3.2) pada tabel 3 adalah fungsi konversi yang berbentuk sigmoid. Dengan σ sebagai asimtot pertumbuhan maksimum, v sebagai tingkat pertumbuhan minimum, z sebagai gradien kurva dan γ sebagai parameter yang mengindikasikan titik perubahan pada sumbu konsumsi ketika z > 1 . Tingkat pertumbuhan minimum pada fungsi konversi ini dapat bernilai negatif ketika konsumsi menuju nol. Tipe (3.3) pada tabel 3 adalah fungsi konversi yang berbentuk hiperbolik dengan ρ sebagai batas atas kurva dan k sebagai syarat pemeliharaan atau tingkat konsumsi minimum yang dibutuhkan untuk mempertahankan pertumbuhan nol.
12
x Karya ilmiah ini akan membahas mengenai tipe-tipe G , H , dan f (H ) , menganalisis kekurangan dan kelebihan kedua
model (model IS dan model BC), serta perbaikan-perbaikan yang perlu dilakukan untuk memperbaiki model.
BAB IV PEMBAHASAN Model umum IS mengandung G, H dan x (lihat persamaan (9)). Sedangkan model BC mengandung f(H), H dan x (lihat persamaan (12)). Sehingga dengan otomatis model IS akan menggunakan tipe-tipe dari G dan H (dalam tabel 1 dan tabel 2). Sedangkan model umum BC akan menggunakan tipe-tipe dari H dan f(H) (dalam tabel 2 dan tabel 3). Bentuk pertumbuhan G dapat ditunjukkan dengan menggunakan asumsi bahwa tidak ada ekstrasi pada persamaan (9) sehingga persamaan (9) menjadi : dxi = Gi x i . (13) dt Sedangkan fungsi konversi (f(H)), dapat ditunjukkan dengan menggunakan asumsi bahwa tidak ada ekstrasi pada persamaan (12) maka persamaan (12) berubah menjadi : dxi = f i ( H i ) xi . (14) dt
4.1 Tipe-tipe Pertumbuhan ( G ), Tingkat Ekstrasi (H), dan Fungsi Konversi ( f (H ) ) 4.1.1 Tipe-tipe Pertumbuhan ( G ) Tipe pertumbuhan yang dibahas pada karya ilmiah ini ada empat tipe, yaitu pertumbuhan eksponensial, pertumbuhan logistik dengan pembatas diri linear, pertumbuhan gompertz, dan pertumbuhan logistik dengan pembatas diri nonlinear. Untuk mengetahui tipe pertumbuhan tersebut secara lebih detail maka dapat menggunakan persamaan umum IS (persamaan (9)) dengan asumsi bahwa tidak ada ekstrasi pada populasi dxi = Gi x i . (13) sumber, yaitu dt Pertumbuhan eksponensial didapat dari mensubstitusi persamaan (1.1) dalam tabel 1, yaitu G = a ke dalam persamaan (13), maka dx persamaan (13) berubah menjadi : i = ai xi . dt Pengintegralan pada persamaan tersebut akan
menghasilkan naik, yaitu:
pertumbuhan
eksponensial
xi (t ) = xi (0)e ait , a > 0 . Misalkan nilai parameter yang digunakan adalah a = 1 , dan x[0] = 3 . Maka diperoleh kurva pertumbuhan eksponensial sebagai berikut (lihat gambar 1): x 14 12 10 8 6 4 2
t 0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
Gambar 1. Pertumbuhan eksponensial dengan x[0]=3.
Gambar 1 menunjukkan bahwa populasi pada pertumbuhan ini akan terus meningkat seiring dengan meningkatnya waktu. Populasi pada pertumbuhan ini realistis untuk waktu yang kecil. Tetapi dalam waktu yang besar populasi tidak realistis karena jumlah populasi sangat besar. Pertumbuhan logistik dengan pembatas diri linear ditunjukkan dengan mensubstitusi persamaan (1.2) dalam tabel 1, yaitu G = a - bx ke dalam persamaan (13), maka persamaan (13) berubah menjadi, dxi = (ai − bi xi ) xi . dt Misalkan nilai parameter yang digunakan 1 ialah a = 3 dan b = , maka diperoleh grafik 2 pertumbuhan logistik dengan pembatas diri linear sebagai berikut (lihat gambar 2) :
13
Misalkan nilai parameter yang digunakan 1 ialah a = 2 , b = , dan β = 2 . Maka 100 diperoleh salah satu ilustrasi kurva pertumbuhan logistik dengan pembatas diri nonlinear adalah sebagai berikut : x
x6 5 4 3 2 1
2
4
6
8
10
14
t
12
Gambar 2. Pertumbuhan logistik dengan pembatas diri linear, dengan x[2]=3.
10 8 6
Gambar 2 menunjukkan bahwa tingkat populasi pada kondisi maksimum dan minimum adalah konstan. Hal ini menunjukkan bahwa laju pertumbuhan pada tingkat tersebut adalah rendah. Pada tingkat maksimum laju pertumbuhan populasi rendah karena adanya persaingan yang tinggi dalam populasi tersebut. Selain itu karena populasi mencapai titik jenuh. Sedangkan pada tingkat minimum adalah karena tidak adanya sumber. Pertumbuhan gompertz diperoleh dari mensubstitusi persamaan (1.3) dalam tabel 1, yaitu G = a – b ln x ke dalam persamaan (13), maka persamaan (13) berubah menjadi: dxi = (ai − bi ln xi ) xi . dt Misalkan nilai parameter yang digunakan 1 ialah a = 3 dan b = . Maka diperoleh salah 2 satu ilustrasi kurva pertumbuhan gompertz sebagai berikut : x 1100 1000 900 800 700 600
t
500 2
4
6
8
10
Gambar 3. Pertumbuhan Gompertz dengan a = 3 dan b = ½.
Gambar 3 menunjukkan bahwa tingkat populasi pada pertumbuhan ini akan terus menurun seiring dengan bertambahnya waktu. Hal ini adalah tidak realistis. Pertumbuhan logistik dengan pembatas diri nonlinear diperoleh dari mensubstitusi persamaan (1.4) dalam tabel 1, yaitu G = a − bx β ke dalam persamaan (13), maka persamaan (13) berubah menjadi: dxi = a − bxiβ xi , β ≠ 1 . dt
(
4 2 1
2
3
4
5
t
Gambar 4. Pertumbuhan logistik dengan pembatas diri nonlinear, dengan x[0] = 1.
Gambar 4 menunjukkan bahwa tingkat populasi pada kondisi maksimum adalah konstan. Hal ini menunjukkan bahwa laju pertumbuhan pada tingkat tersebut adalah rendah. Pada tingkat maksimum laju pertumbuhan populasi rendah karena adanya persaingan yang tinggi dalam populasi tersebut. Selain itu karena populasi sudah mencapai titik jenuh. Perbedaan antara pertumbuhan logistik dengan pembatas diri linear dengan pertumbuhan logistik dengan pembatas diri nonlinear adalah terletak pada laju pertumbuhan perkapitanya. Laju perkapita pada pertumbuhan logistik dengan pembatas diri linear adalah laju perkapita yang dx berkurang secara linear, yaitu = a − bx . xdt Sedangkan laju perkapita pada pertumbuhan logistik dengan pembatas diri nonlinear adalah laju perkapita yang berkurang secara dx β nonlinear, yaitu = a − bx , β ≠ 1 . xdt Dari keempat tipe pertumbuhan di atas maka tipe pertumbuhan yang dapat memperlihatkan adanya tingkat jenuh dalam populasi adalah pertumbuhan logistik dengan pembatas diri linear dan pertumbuhan logistik dengan pembatas diri nonlinear. Selain itu kedua pertumbuhan tersebut juga memperlihatkan efek dari tidak adanya sumber.
)
14
4.1.2 Tipe-tipe Ekstrasi Sumber (Hi) Bentuk ekstrasi sumber yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini ada tiga tipe yaitu, ekstrasi sumber yang berbentuk konstan, ekstrasi sumber yang bergantung secara linear terhadap mangsa, dan ekstrasi sumber yang bergantung secara linear terhadap rasio antara sumber dengan konsumen. Ekstrasi sumber yang berbentuk konstan, yaitu H = Φ . Tipe ini menunjukkan bahwa konsumen akan selalu mengekstrasi sumber dalam jumlah yang konstan. Ekstrasi sumber yang bergantung secara linear terhadap sumber, yaitu H = φxi −1 . Tipe tersebut menunjukkan bahwa tingkat ekstrasi oleh konsumen akan dipengaruhi oleh banyaknya populasi sumber. Sehingga jika populasi sumber meningkat maka tingkat ekstrasinya juga akan meningkat. Sedangkan jika populasi sumber menurun maka tingkat ekstrasinya juga akan menurun. Ekstrasi sumber yang bergantung secara linear terhadap rasio antara sumber dengan x konsumen, yaitu H = φ i −1 . Ekstrasi xi tersebut menunjukkan bahwa jika populasi sumber menurun karena dikonsumsi oleh konsumen maka hal ini menyebabkan adanya kenaikan biomassa pada biomassa konsumen. Dari ketiga ekstrasi sumber diatas, maka ekstrasi sumber yang memperlihatkan adanya konversi biomassa dalam hubungan antara sumber dengan konsumen adalah ekstrasi sumber yang bergantung secara linear terhadap rasio antara sumber dengan konsumen.
dxi (14) = f i ( H i ) xi . dt Persamaan (14) akan membantu dalam mengetahui bentuk fungsi konvesi linear, sigmoid, dan hiperbolik. Fungsi konversi linear, yaitu f ( H ) = mH i + w . Jika persamaan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (14)
maka laju perkapita menjadi, dxi = mH i + w . x i dt
Fungsi konversi linear mempunyai w sebagai tingkat pertumbuhan perkapita dan m sebagai gradien kurva. Tingkat pertumbuhan perkapita dapat bernilai negatif saat konsumsi menuju nol. Jika pertumbuhan perkapita tidak dapat bernilai negatif saat konsumsi menuju nol maka yang terjadi adalah sebagai berikut : • Jika w > 0, dan konsumsi menuju nol (H→0) maka persamaan dx i = mH i + w x i dt
•
dxi berubah menjadi = w, w > 0 . xi dt Jika persamaan tersebut diintegralkan maka diperoleh pertumbuhan eksponensial naik, yaitu xi (t ) = xi (0)e wt , w > 0. Pertumbuhan ini menunjukkan bahwa populasi tersebut akan terus meningkat seiring dengan meningkatnya waktu walaupun konsumsi menuju nol. Pertumbuhan ini tidak realistis karena tidak mungkin pertumbuhan suatu populasi akan terus meningkat saat tingkat konsumsi menuju nol. Jika w = 0 dan konsumsi menuju nol
(H→0) maka persamaan dxi = mH i + w xdt
4.1.3 Tipe-tipe Fungsi Konversi ( f i ( H i ) ) Fungsi konversi pada karya ilmiah ini adalah merupakan fungsi yang mengkonversi biomassa dari sumber ke konsumen. Fungsi konversi yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini ada tiga tipe, yaitu fungsi konversi linear, fungsi konversi sigmoid, dan fungsi konversi hiperbolik. Untuk mengetahui bentuk fungsi konversi maka digunakan persamaan umum BC, yaitu dxi = f i ( H i ) xi − H i +1 xi +1 (12) dt dengan asumsi bahwa tidak ada ekstrasi pada sumber maka persamaan (12) berubah menjadi :
dxi = 0. berubah menjadi, xi dt Jika persamaan tersebut diintegralkan maka diperoleh pertumbuhan yang konstan, yaitu xi (t ) = c . Pertumbuhan ini menunjukkan bahwa pertumbuhan konsumen akan selalu konstan walaupun tingkat konsumsi menuju nol. Pertumbuhan ini tidak realistis karena tidak mungkin suatu populasi dapat mempertahankan pertumbuhan pada tingkat tertentu saat konsumsi menuju nol (atau saat sumber tidak ada). Oleh karena itu, seharusnya w dapat bernilai negatif saat konsumsi menuju nol. Karena ketika w bernilai negatif (w < 0) dan
15
saat konsumsi menuju nol (H→0) maka persamaan dxi = mH i + w berubah menjadi, xdt
dxi = w , w < 0 . Jika persamaan tersebut xi dt diintegralkan maka diperoleh pertumbuhan populasi konsumen yang menurun secara eksponensial, yaitu xi (t ) = xi (0)e wt , w < 0 . Pertumbuhan ini realistis karena saat tingkat konsumsi menuju nol maka pertumbuhan populasi akan sulit untuk dipertahankan. Berdasarkan nilai parameter dari jurnal, yaitu m = 0,01 dan w = -0,1, maka diperoleh kurva fungsi konversi linear sebagai berikut (lihat gambar 5) : f(H) 0.8 0.6 0.4 0.2
20
40
60
80
100
H
Gambar 5. Kurva fungsi konversi linear, dengan parameter m = 0,01 dan w = - 0,1.
Fungsi f (H ) =
konversi
σ −v
sigmoid,
yaitu
+ v . Jika persamaan z ⎛ γ ⎞ ⎟ 1 + ⎜⎜ ⎟ ⎝ Hi ⎠ tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (14) maka laju perkapita berubah menjadi dxi σ −v +v. = Fungsi konversi z xi dt ⎛ γ ⎞ ⎟ 1 + ⎜⎜ ⎟ ⎝ Hi ⎠ sigmoid mempunyai v sebagai tingkat pertumbuhan minimum, z sebagai gradien kurva (dengan z > 0), σ sebagai asimtot pertumbuhan maksimum, dan γ sebagai parameter indikasi perubahan pada sumbu konsumsi saat z > 1. Pertumbuhan minimum pada fungsi konversi ini dapat bernilai negatif saat konsumsi menuju nol.
Jika pertumbuhan minimum pada fungsi konversi ini tidak dapat bernilai negatif maka yang terjadi adalah sebagai berikut (dengan z > 0) : • Jika v bernilai positif ( v > 0 ) dan konsumsi menuju nol ( H → 0 ) maka dxi σ −v +v = persamaan z xi dt ⎛ γ ⎞ ⎟ 1 + ⎜⎜ ⎟ ⎝ Hi ⎠ dxi = v,v > 0. berubah menjadi xi dt Jika persamaan tersebut diintegralkan maka diperoleh pertumbuhan eksponensial naik, yaitu xi (t ) = xi (0)e vt , v > 0 . Pertumbuhan tersebut menunjukkan bahwa populasi akan terus meningkat walaupun konsumsi menuju nol. Pertumbuhan ini tidak realistis karena pertumbuhan populasi akan sulit meningkat saat tingkat konsumsi menuju nol. • Jika v bernilai nol ( v = 0 ), dan konsumsi menuju nol ( H → 0 ) maka persamaan dxi σ −v + v berubah menjadi = z xi dt ⎛ γ ⎞ ⎟ 1 + ⎜⎜ ⎟ ⎝ Hi ⎠ dxi = 0 . Jika persamaan tersebut dt diintegralkan maka diperoleh pertumbuhan yang konstan, yaitu xi (t ) = c . Pertumbuhan ini tidak realistis karena suatu populasi akan sulit dalam mempertahankan pertumbuhan pada tingkat tertentu saat konsumsi menuju nol. Oleh karena itu v haruslah bernilai negatif saat konsumsi menuju nol sehingga dxi σ −v persamaan + v berubah = z xi dt ⎛ γ ⎞ ⎟ 1 + ⎜⎜ ⎟ ⎝ Hi ⎠ dxi = v , v < 0 . Jika persamaan menjadi xi dt tersebut diintegralkan maka diperoleh pertumbuhan populasi yang menurun secara eksponensial, yaitu xi (t ) = xi (0)e vt , v < 0. Berdasarkan nilai parameter dari jurnal, yaitu z = 4, σ = 1, v = −0,1 , dan γ = 50 , maka diperoleh kurva fungsi konversi sigmoid sebagai berikut (lihat gambar 6) :
16
Dari ketiga fungsi konversi di atas maka fungsi konversi yang dapat memperlihatkan perbedaan antara sumber tetap dengan sumber habis adalah fungsi konversi hiperbolik.
f(H) 0.8 0.6 0.4
4.2 Kekurangan dan kelebihan model IS dan model BC.
0.2
20
40
60
80
100
H
Gambar 6. Kurva fungsi konversi Sigmoid, dengan parameter z = 4, σ = 1, v = −0,1, dan γ = 50 .
Fungsi konversi terakhir yang dibahas dalam karya ilmiah ini adalah fungsi konversi ⎛ k ⎞ ⎟ . Fungsi hiperbolik, yaitu f ( H ) = ρ ⎜⎜1 − ⎟ H i ⎠ ⎝ konversi ini mempunyai ρ sebagai batas atas kurva dan k sebagai syarat pemeliharaan atau tingkat konsumsi minimum yang dibutuhkan untuk mempertahankan pertumbuhan nol. Definisi nilai k tersebut menunjukkan bahwa tidak ada sumber alternatif lain yang dapat mensubstitusi sumber tetap. Sumber tetap adalah sumber yang dapat diperbaharui dan sumber habis adalah sumber yang tidak dapat diperbaharui. Fungsi konversi hiperbolik dapat memperlihatkan perbedaan antara sumber tetap dengan sumber habis. Jika sumber tetap yang habis maka konsumen tidak akan mengkonsumsi sumber lain. Sehingga pertumbuhan konsumen mencapai pertumbuhan nol. Sedangkan jika sumber habis yang habis maka konsumen akan mengkonsumsi sumber lain. Sehingga pertumbuhannya tidak mencapai pertumbuhan nol. Berdasarkan nilai parameter dari jurnal, yaitu ρ = 1 dan k = 20 maka diperoleh kurva fungsi konversi hiperbolik sebagai berikut (lihat gambar 7) : H f(H) 20 40 60 80 100 -10 -20 -30 -40
Gambar 7. Kurva fungsi konversi Hiperbolik, dengan ρ = 1 dan k = 20 .
4.2.1 Kekurangan model IS dan model BC. Model IS mempunyai kekurangan, yaitu tidak mengasumsikan bahwa reproduksi konsumen bergantung pada ekstrasi sumber ( H 2 ) (atau persamaan (8) tidak mengandung H 2 ). Selain itu, model IS juga tidak mempunyai kondisi eksplisit dimana konsumen (x2) mencapai tingkat jenuh dalam populasi. Hal ini terlihat pada persamaan laju konsumen bernilai positif terhadap dirinya sendiri tanpa dibatasi oleh apapun (lihat persamaan (8)). Model BC mempunyai kekurangan, yaitu laju pertumbuhan populasi konsumen (x2) akan mendekati −∞ saat konsumsi (H) menuju nol. Kekurangan ini terlihat jika fungsi konversi hiperbolik (persamaan (3.1) dalam tabel 3) disubstitusikan ke dalam persamaan laju populasi konsumen model BC, dx 2 = f ( H ) x 2 , maka persamaan yaitu dt dx 2 k ⎞ ⎛ tersebut menjadi, = ρ ⎜1 − ⎟ x 2 . Ketika dt H ⎝ ⎠ konsumsi menuju nol maka laju populasi konsumen akan mendekati −∞ . Hal ini tidak realistis karena seharusnya laju populasi konsumen mendekati negatif berhingga saat konsumsi menuju nol seperti pada fungsi konversi linear dan sigmoid sebagai berikut : Fungsi konversi linear : Jika fungsi konversi linear, yaitu f ( H ) = mH i + w disubstitusikan ke dalam persamaan (11) maka laju populasi konsumen dx 2 = ( mH + w) x 2 , w < 0 . Saat menjadi dt konsumsi menuju nol (H→0) maka populasi konsumen akan menurun secara eksponensial, yaitu x 2 (t ) = x 2 (0)e wt , w < 0.
17
Fungsi konversi sigmoid : Jika fungsi konversi sigmoid, yaitu σ −v f (H ) = + v disubstitusikan ke z ⎛ γ ⎞ ⎟ 1 + ⎜⎜ ⎟ ⎝ Hi ⎠ dalam persamaan (11) maka laju populasi konsumen berubah menjadi : ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ dx 2 ⎜ σ − v + v ⎟x2 , v < 0 . =⎜ z dt ⎜ ⎛γ ⎞ ⎟ ⎜1+ ⎜ H ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Saat konsumsi menuju nol maka populasi konsumen akan menurun secara eksponensial, yaitu x 2 (t ) = x 2 (0)e vt , v < 0.
4.2.2 Kelebihan model IS dan model BC Kelebihan model IS, yaitu memberikan stuktur yang sama pada persamaan sumber dan konsumen. Kelebihan model BC, yaitu adanya penggambaran terjadinya proses konversi biomassa dari sumber ke konsumen dalam hubungan antara sumber dengan konsumen. Hal ini terlihat pada model BC yang mengandung fungsi konversi ( f (H ) ).
4.3 Model Sumber – Konsumen Ahli ekologi membuat kesepakatan tentang teori tunggal ekologi sumber – konsumen. Teori ini berguna untuk menentukan model dasar dalam menggambarkan hubungan antara sumber dengan konsumen. Teori tersebut menggunakan elemen dari model IS dan model BC. Teori tunggal ekologi sumber – konsumen berbunyi bahwa model yang menggambarkan hubungan antara sumber dengan konsumen tersebut haruslah mengikuti prinsip konversi biomassa, mempunyai struktur yang sama pada persamaan sumber dan konsumen, dan dapat memberikan perbedaan antara sumber tetap dengan sumber habis.
Beberapa prosedur untuk membangun model sumber – konsumen, yaitu sebagai berikut : 1. Menentukan pertumbuhan dan ekstrasi sumber, yaitu persamaan (7) atau persamaan (9) sebagai berikut : dx1 (7) = G1 x1 − Hx2 dt atau dxi (9) = Gi xi − H i +1 xi +1 . dt persamaan populasi 2. Menentukan konsumen dengan asumsi bahwa ketersediaan terhadap sumber yang dapat diperbaharui adalah tidak terbatas seperti pada G2 dalam persamaan (8). 3. Menentukan maksimum dari G2, yaitu berkorespondensi dengan parameter a2 (untuk kasus yang terdaftar dalam tabel 1). Kemudian dijadikan sebagai salah satu fungsi f yang ada di tabel 3. Dengan tingkat ekstrasi (H) yang telah dipilih sebelumnya dalam tabel 2. Prosedur di atas menghasilkan model sumber – konsumen, yaitu sebagai berikut : dxi = f i ( H i ) − bi xiβi xi − H i +1 xi +1 , (15) dt dengan : xi = Populasi ke – i. f i ( H i ) = Fungsi pertumbuhan perkapita.
[
]
bi xiβ i
= Batasan pada kompetisi sumber tetap yang essensial. H i +1 xi +1 = Fungsi ekstrasi sumber ke – i oleh konsumen ke – (i + 1).
Persamaan (15) merupakan model sumber – konsumen yang telah sesuai dengan teori tunggal ekologi sumber – konsumen. Persamaan tersebut mengikuti prinsip konversi biomassa, yaitu dengan adanya fungsi konversi ( f ( H ) ) sebagai fungsi pertumbuhan perkapita. Selain itu persamaan tersebut juga mempunyai struktur yang sama untuk sumber dan konsumen serta dapat memberikan perbedaan antara sumber tetap dengan sumber habis. Perbedaan antara sumber tetap dengan sumber habis terlihat dari adanya bi xiβ i sebagai batasan pada sumber tetap yang essensial. Sumber tetap adalah sumber yang dapat diperbaharui. Jika sumber tetap habis maka konsumen tidak akan memakan sumber lain. Hal ini menyebabkan adanya batasan
18
pada pertumbuhan yang disebabkan oleh ketersediaan sumber tetap. Sedangkan sumber habis adalah sumber yang tidak dapat diperbaharui. Jika sumber habis yang habis maka konsumen akan memakan sumber lain. Sehingga ketersediaan sumber habis tidak akan menjadi batasan pada pertumbuhan. Model sumber – konsumen yang dihasilkan juga merupakan model BC karena menggunakan fungsi konversi ( f ( H ) ). Perbedaan antara model sumber – konsumen dengan model BC adalah terletak pada definisi f (H ) . f (H ) pada model BC adalah merupakan fungsi konversi, yaitu fungsi yang mengkonversi biomassa dari sumber ke konsumen. Sedangkan f ( H ) pada model sumber – konsumen adalah merupakan fungsi pertumbuhan perkapita. Jika menggunakan beberapa asumsi pada model sumber – konsumen maka diperoleh dua kasus khusus, yaitu sebagai berikut :
Kasus khusus A : Model sumber – konsumen untuk populasi tingkat i , dengan i ≥ 2 , yaitu dxi = f i ( H i ) − bi xiβi xi − H i +1 xi +1 (15) . dt Jika menggunakan beberapa asumsi, yaitu bahwa : • Tidak ada konsumen tingkat tinggi, yaitu xi +1 = 0 . Maka tidak ada ekstrasi sumber oleh konsumen tingkat tinggi. • Pertumbuhan dalam kondisi yang tidak terbatas, yaitu bi = 0 .
[
]
Persamaan (15) menjadi : dxi = f i ( H i ) xi . dt
tersebut
akan
berubah (16)
Lalu pilih : • Fungsi konversi hiperbolik (persamaan (3.3)) dalam tabel 3, yaitu f ( H i ) = ρ 1 − Hk . Memilih fungsi ini
(
i
)
karena fungsi konversi hiperbolik mempunyai batas atas kurva sebagai kondisi eksplisit dimana populasi konsumen telah mencapai titik jenuh. Selain itu, fungsi ini juga memberikan perbedaan antara sumber tetap dengan sumber habis.
•
Ekstrasi sumber yang bergantung secara linear terhadap rasio antara sumber dengan konsumen (persamaan (2.3)) x dalam tabel 2, yaitu φ i −1 . Ekstrasi ini xi dipilih karena menggambarkan terjadinya konversi biomassa dari sumber ke konsumen dalam hubungan antara sumber dengan konsumen, yaitu jika terjadi ekstrasi terhadap populasi sumber maka akan terjadi perpindahan biomassa dari sumber ke konsumen.
Berdasarkan fungsi konversi hiperbolik dan ekstrasi sumber yang bergantung linear terhadap rasio antara sumber dengan konsumen maka persamaan (16) berubah menjadi: ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ dxi kxi ⎞ k ⎟ ⎜ ⎟ . (17) = ρ ⎜1 − x = ρxi ⎜⎜1 − xi −1 ⎟ i dt φ xi −1 ⎟⎠ ⎝ ⎜⎜ φ ⎟ xi ⎟⎠ ⎝ Kemudian dengan menentukan ri = ρ dan ni =
φ
maka persamaan (17) menjadi sebagai k berikut : ⎛ ⎛ x ⎞ xi ⎞ dxi ⎟ (18) = ρxi ⎜1 − φ i ⎟ = ri xi ⎜⎜1 − ⎜ ⎟ n xi −1 ⎟⎠ dt x i ⎝ − 1 i k ⎝ ⎠ dengan : xi = Populasi ke - i .
xi −1 = Populasi ke - ( i − 1 ). ri ni
= Maksimum tingkat pertumbuhan perkapita. = Koefisien kebergantungan terhadap rasio antara tingkat kenaikan ekstrasi sumber dengan syarat pemeliharaan konsumen.
Persamaan (18) disebut sebagai model Leslie. Model Leslie mengasumsikan bahwa batas atas fungsi konversi hiperbolik sebagai tingkat maksimum pertumbuhan perkapita, yaitu r = ρ . Selain itu model Leslie juga mempunyai koefisien kebergantungan rasio antara tingkat kenaikan ekstrasi sumber ( φ ) dengan syarat pemeliharaan konsumen (atau tingkat konsumsi minimum yang diperlukan dalam mempertahankan pertumbuhan nol ( k ). Hal ini mengimplikasikan bahwa kompetisi intrapopulasi model Leslie hanya akan dibatasi oleh sumber makanan.
19
Kasus Khusus B : Model sumber – konsumen untuk populasi ke - i , yaitu dxi (15) = f i ( H i ) − bi xiβi xi − H i +1 xi +1 . dt
[
]
Jika pada persamaan (15) tersebut diasumsikan bahwa : • Pembatas pada pertumbuhan populasi ke - i adalah linear, yaitu β i = 1 , • Fungsi konversinya adalah hiperbolik dengan pusat di nol, yaitu ⎛ k ⎞ ⎟⎟ (persamaan (3.3) f i ( H i ) = ρ ⎜⎜1 − H i ⎠ ⎝
•
•
dalam tabel 3), Ekstrasi sumber ke - (i-1) oleh konsumen ke - i adalah bergantung secara linear terhadap rasio antara sumber dengan φx konsumen, yaitu H i = i −1 (persamaan xi (2.3) dalam tabel 2), Ekstrasi sumber ke - i oleh konsumen ke (i+1) adalah konstan, yaitu Hi+1 = Φ (persamaan (2.1) dalam tabel 2),
maka model sumber – konsumen (persamaan (15)) berubah menjadi : ⎤ dxi ⎡ ⎛ kxi ⎞ ⎟ − bi xi ⎥ xi − Φxi +1 (19). = ⎢ ρ ⎜⎜1 − ⎟ dt ⎣⎢ ⎝ φxi −1 ⎠ ⎦⎥ Kemudian dengan menentukan a i = ρ ,
ci =
φ dan d i = Φ , maka persamaan (19) ρk
akan menjadi sebagai berikut : ⎛ xi d x ⎞ dxi bi xi − i i +1 ⎟⎟ = xi ⎜⎜ a i − dt c x xi ⎠ i i −1 ⎝
dengan : xi = Populasi ke - i .
xi −1 = Populasi ke - ( i − 1 ). x i +1 = Populasi ke - ( i + 1 ). ci ai
= Efek kerusakan dari kompetisi terhadap sumber makanan. = Tingkat pertumbuhan potensial perkapita.
Persamaan (20) disebut sebagai model Berryman. Model Berryman mengasumsikan bahwa batas atas fungsi konversi hiperbolik ( ρ ) sebagai tingkat pertumbuhan potensial perkapita. Selain itu, model Berryman juga memperlihatkan bahwa efek kerusakan dari kompetisi terhadap sumber adalah berbanding lurus dengan efisiensi ekstrasi sumber dan berbanding terbalik dengan batas atas kurva fungsi hiperbolik dan syarat pemeliharaan konsumen, yaitu ci =
φ . ρk
Model Berryman menunjukkan hal yang berbeda dari model Leslie, yaitu bahwa proses ekstrasi sumber ke - ( i − 1 ) oleh konsumen ke - i adalah dipengaruhi oleh proses ekstrasi sumber ke - i oleh konsumen ke - ( i + 1 ). Jadi model Berryman tidak bergantung pada rasio linear antara sumber dengan konsumen yang konstan. Sedangkan model Leslie bergantung pada rasio linear yang konstan antara sumber dengan konsumen. Oleh karena itu model Berryman dapat dinyatakan sebagai model yang dapat menggambarkan terjadinya konversi biomassa dari sumber ke konsumen.
(20)
20
BAB V SIMPULAN Hubungan antara sumber dengan konsumen dapat digambarkan melalui dua pendekatan model, yaitu model IS dan model BC. Model IS mengandung G, H dan x. Sedangkan model BC mengandung f(H), H, dan x. Bentuk pertumbuhan (G) dalam karya ilmiah ini ada empat tipe, yaitu pertumbuhan eksponensial, pertumbuhan logistik dengan pembatas diri linear, pertumbuhan gompertz dan pertumbuhan logistik dengan pembatas diri nonlinear. Dari keempat tipe pertumbuhan tersebut, maka pertumbuhan yang dapat memperlihatkan adanya titik jenuh dalam populasi adalah pertumbuhan logistik dengan pembatas diri linear dan pertumbuhan dengan pembatasdiri nonlinear. Selain itu, kedua pertumbuhan tersebut juga memperlihatkan efek dari ketidakadaan sumber. Bentuk ekstrasi sumber (H) ada tiga tipe, yaitu ekstrasi sumber yang berbentuk konstan, ekstrasi yang bergantung secara linear terhadap sumber, dan ekstrasi yang bergantung secara linear terhadap rasio antara sumber dengan konsumen. Dari ketiga tipe tersebut, maka ekstrasi sumber yang dapat memperlihatkan adanya proses konversi biomassa antara sumber dengan konsumen adalah tipe ekstrasi sumber yang bergantung secara linear terhadap rasio antara sumber dengan konsumen. Bentuk fungsi konversi (f(H)) ada tiga tipe yaitu, fungsi konversi linear, fungsi konversi sigmoid, dan fungsi konversi hiperbolik. Dari ketiga tipe ekstrasi tersebut maka fungsi konversi yang dapat memberikan perbedaan antara sumber tetap dengan sumber habis adalah fungsi konversi hiperbolik. Fungsi konversi hiperbolik menunjukkan bila sumber
tetap habis maka konsumen tidak akan memakan sumber lain. Sehingga pertumbuhannya dapat mencapai pertumbuhan nol. Sedangkan jika sumber habis yang habis maka konsumen akan memakan sumber lain sehingga pertumbuhan konsumen tidak sampai pada tingkat pertumbuhan nol. Hal ini karena sumber tetap adalah sumber yang dapat diperbaharui, sedangkan sumber habis adalah sumber yang tidak dapat diperbaharui. Model IS dan model BC mempunyai perbedaan prinsip dalam menggambarkan hubungan antara sumber dengan konsumen. Sehingga untuk menyatukan kedua prinsip maka diperlukan suatu teori tunggal mengenai hubungan antara sumber dengan konsumen, yaitu teori tunggal ekologi sumber – konsumen. Dari teori tersebut, maka diperoleh model baru yang dapat menggambarkan hubungan antara sumber dengan konsumen, yaitu model sumber – konsumen. Model tersebut adalah merupakan model BC. Dan dengan beberapa asumsi maka dari model sumber – konsumen tersebut dihasilkan dua kasus khusus, yaitu model Leslie dan model Berryman. Model Leslie bergantung pada rasio linear yang konstan antara sumber dengan konsumen. Sedangkan model Berryman tidak tergantung pada rasio yang konstan antara sumber dengan konsumen. Sehingga model Berryman lebih memperlihatkan adanya konversi biomassa dari sumber ke konsumen. Selain itu, model sumber – konsumen akan menghasilkan kasus khusus yang lain, yaitu dengan mengkombinasikan ekstrasi sumber (H) dan fungsi pertumbuhan perkapita (f(H)).
DAFTAR PUSTAKA Kreyszig, M. 1993. Matematika Tehnik Lanjutan. Edisi ke – 6, Buku I. Terjemahan Sumantri, B. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. Tu, P. N. V. 1994. Dynamical System,An Introduction with Application in Economics and Biology. Springer – Verlag. Heidelberg. Germany. Ramos, R and Jiliberto. 2005. Resource – Consumer Model and TheBiomass Conversion
Principle. Environmental Modelling Software 20:85 – 91. Elsevier.
&
Vandermeer, J. 1990. Elementary Mathematical Ecology. Krieger Publishing Company. Malabar, Florida.
21
LAMPIRAN
22
Lampiran 1. Program Pembuatan Grafik Pertumbuhan (G) dengan Software Mathematica. 1.
Program Grafik Pertumbuhan Eksponensial
a=1; Flatten[gensol=DSolve[{x'[t] a*x[t],x[0] 3},x[t],t]]
8x@tD → 3 t<
numsol=NDSolve[{x'[t] a*x[t],x[0] 3},x[t],{t,0,10}] {{x[t]→InterpolatingFunction[{{0.,10.}},<>][t]}} Plot[x[t]/.numsol,{t,0,10},PlotRange→{{0,2},{0,15}}] 2.
Program Grafik Pertumbuhan Logistik dengan Pembatas Diri Linear
numsol=NDSolve [{x'[t] (a-b*x[t])*x[t],x[2] 3},x[t],{t,0,10}]//Flatten {x[t]→InterpolatingFunction[{{0.,10.}},<>][t]} Plot[x[t]/.numsol,{t,0,10},PlotRange→All] 3.
Program Grafik Pertumbuhan Gompertz
coba a=3 dan b=1/2 persamaan1={x'[t] (a-b Log[x[t]]) x[t]}
8x @tD
Ha − b Log@x@tDDL x@tD< 1 a = 3; b = ; 2 sol1 = DSolve@ persamaan1, x@tD, tD êê Flatten ff@t_D = sol1@@1, 2DD ê. C@1D → 0 :x@tD → 6+ −tê2
6+
− t +C@1D 2
>
Plot[ff[x],{x,0,10}] 4.
Program Grafik Pertumbuhan Logistik dengan Pembatas Diri Nonlinear numsol = NDSolveA9x'@tD
Ia − b ∗ Hx@tDLβM ∗ x@tD, x@0D
1=, x@tD, 8t, 0, 10<E
{{x[t]→InterpolatingFunction[{{0.,10.}},<>][t]}} Plot[x[t]/.numsol,{t,0,10},PlotRange→{{0,5},{0,15}}]
Lampiran 2. Program Pembuatan Grafik Fungsi Konversi (f(H)) dengan Software
23
Mathematica. 1. Program grafik fungsi konversi linear adalah sebagai berikut : f[H_]:=m H+w m=0.01; w=-0.1; gbr1=Plot[f[H],{H,0,100}] 2. Program grafik fungsi konversi sigmoid adalah sebagai berikut : σ−v f2@H_D := +v 1 + I γ Mz H
z = 4; σ = 1; v = −0.1; γ = 50; gbr2=Plot[f2[H],{H,0,100}] 3. Program grafik fungsi konversi hiperbolik adalah sebagai berikut :
f3@ H_D := ρ J1 −
k N H
ρ = 1; k = 20;
gbr3=Plot[f3[H],{H,0,100}]
24
