Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov Rukmono Budi Utomo, M.Sc. Email: [email protected]

January 20, 2017

Rukmono Budi Utomo, M.Sc. Email: [email protected] Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov


Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov

1




Latar Belakang Untuk menentukan kestabilan global dari suatu sistem PD tidaklah mudah. Diperlukan banyak titik pada domain D untuk di coba.



Latar Belakang Untuk menentukan kestabilan global dari suatu sistem PD tidaklah mudah. Diperlukan banyak titik pada domain D untuk di coba. Kestabilan Lokal yang biasa dilakukan dengan Linearisasi Jakobian umumnya hanya dapat menyelidiki kestabilan disekitar titik kesetimbangan saja ( bersifat lokal) dan tdak dapat menjelaskan kesetimbangan secara global.



Latar Belakang Untuk menentukan kestabilan global dari suatu sistem PD tidaklah mudah. Diperlukan banyak titik pada domain D untuk di coba. Kestabilan Lokal yang biasa dilakukan dengan Linearisasi Jakobian umumnya hanya dapat menyelidiki kestabilan disekitar titik kesetimbangan saja ( bersifat lokal) dan tdak dapat menjelaskan kesetimbangan secara global. Salah satu cara menentukan kestabilan secara global adalag dengan menggunakan Kestabilan Lyapunov.



Latar Belakang Untuk menentukan kestabilan global dari suatu sistem PD tidaklah mudah. Diperlukan banyak titik pada domain D untuk di coba. Kestabilan Lokal yang biasa dilakukan dengan Linearisasi Jakobian umumnya hanya dapat menyelidiki kestabilan disekitar titik kesetimbangan saja ( bersifat lokal) dan tdak dapat menjelaskan kesetimbangan secara global. Salah satu cara menentukan kestabilan secara global adalag dengan menggunakan Kestabilan Lyapunov. Apabila dapat ditemukan suatu fungsi V (x, y ) yang definit Postif dengan V˙ < 0, maka sistem PD dikatakan stabil global, sebaliknya sistem tidak stabil. Jika V˙ = 0, maka sistem stabil.



Pemasalahan Permasalahan yang muncul apabila ingin menyelidiki kestabilan global dengan menggunakan Fungsi Lyapunov adalah bagaimana cara mengkonstruksi Fungsi Lyapunov V (x, y )?



Pemasalahan Permasalahan yang muncul apabila ingin menyelidiki kestabilan global dengan menggunakan Fungsi Lyapunov adalah bagaimana cara mengkonstruksi Fungsi Lyapunov V (x, y )? Penentuan Fungsi Lyapunov yang diakukan dengan trial and eror sangatlah tidak efektif, dikarenakan tidak semua fungsi yang definit positif merupakan Fungsi Lyapunov.



Pemasalahan Permasalahan yang muncul apabila ingin menyelidiki kestabilan global dengan menggunakan Fungsi Lyapunov adalah bagaimana cara mengkonstruksi Fungsi Lyapunov V (x, y )? Penentuan Fungsi Lyapunov yang diakukan dengan trial and eror sangatlah tidak efektif, dikarenakan tidak semua fungsi yang definit positif merupakan Fungsi Lyapunov. Berdasarkan hal tersebut, diperlukan metode untuk mengkonstruksi Fungsi Lyapunov dari sistem PD yang diketahui



Tujuan Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menguraikan berbagai metode yang dapat digunakan dalam mengkonstruksi Fungsi Lyapunov, antara lain: 1

Metode First Integral

2

Metode Krasovsi

3

Metode Zubov dan

4

Metode Khalil



Metode First Integral Metode First Integral digunakan apabila pada sistem PD dimungkinkan dilakukan integrasi langsung. Salah satu bentuk sistem PD yang dapat dilakukan First Integral memiliki bentuk sebagai berikut x˙ = f (y1 , y2 , . . . , yn ) y˙ = f (x1 , x2 , . . . , xn )



Metode First Integral Metode First Integral digunakan apabila pada sistem PD dimungkinkan dilakukan integrasi langsung. Salah satu bentuk sistem PD yang dapat dilakukan First Integral memiliki bentuk sebagai berikut x˙ = f (y1 , y2 , . . . , yn ) y˙ = f (x1 , x2 , . . . , xn ) Contoh 1 Diberikan sistem PD sebagi berikut x˙ = y y˙ = −x Akan ditentukan Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode First Integral Rukmono Budi Utomo, M.Sc. Email: [email protected] Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov


Solusi y dx = −x , maka diperoleh Dengan membentuk sistem menjadi dy 1 2 1 2 solusi 2 x + 2 y = C . Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih Fungsi Lyapunov yakni V (x, y ) = x 2 + y 2 .



Solusi y dx = −x , maka diperoleh Dengan membentuk sistem menjadi dy 1 2 1 2 solusi 2 x + 2 y = C . Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih Fungsi Lyapunov yakni V (x, y ) = x 2 + y 2 . Perhatikan bahwa nilai V˙ = 0, maka berdasarkan hal tersebut Sistem PD stabil.



Solusi y dx = −x , maka diperoleh Dengan membentuk sistem menjadi dy 1 2 1 2 solusi 2 x + 2 y = C . Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih Fungsi Lyapunov yakni V (x, y ) = x 2 + y 2 . Perhatikan bahwa nilai V˙ = 0, maka berdasarkan hal tersebut Sistem PD stabil. Contoh 2 Diberikan sistem PD sebagai berikut x˙ = y y˙ = 4x 3 − 4x Akan ditentukan Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode First Integral



Solusi Fungsi Lyapunov yang dapat dipilih berdasarkan sistem PD adalah 1 2 2 4 ˙ 2 y + 2x − x .Lebih lanjut Karena V = 0, maka sistem PD stabil.



Solusi Fungsi Lyapunov yang dapat dipilih berdasarkan sistem PD adalah 1 2 2 4 ˙ 2 y + 2x − x .Lebih lanjut Karena V = 0, maka sistem PD stabil. Contoh 3 Diberikan sistem PD sebagi berikut x˙ = 23 xy 2 − 12 x y˙ = 14 x 2 y − 7y Akan ditentukan Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode First Integral



Solusi Dengan mengubah sistem PD menjadi x˙ = x y˙ = y

2 2 3y 1 2 4x

− 12 −7

dan dilakukan pengintegralan, maka dapat diperoleh solusi 1 1 1 2 x − 7 ln |x| + ln |y | − y 2 = C 8 2 3 Berdasarkan hal tersebut Fungsi Lyapunov yang dapat dipilih adalah V (x, y ) = 3x 2 − 168 ln |x| + 12 ln |y | − 8y 2 .



Solusi Dengan mengubah sistem PD menjadi x˙ = x y˙ = y

2 2 3y 1 2 4x

− 12 −7

dan dilakukan pengintegralan, maka dapat diperoleh solusi 1 1 1 2 x − 7 ln |x| + ln |y | − y 2 = C 8 2 3 Berdasarkan hal tersebut Fungsi Lyapunov yang dapat dipilih adalah V (x, y ) = 3x 2 − 168 ln |x| + 12 ln |y | − 8y 2 . Perhatikan bahwa nilai V˙ (x, y ) = −2x 2 y 2 + 56y 2 < 0 maka berdasarkan hal tersebut sistem stabil asimptotik ke titik kesetimbangan (0, 0) Rukmono Budi Utomo, M.Sc. Email: [email protected] Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov


Metode Krasovski Metode bentuk kuadratik atau Metode Krasovski dapat digunakan apabila terdapat matriks konstan definit positif P sedemikian hingga diperoleh matriks definit negatif Q(x) yang didefinisikan sebagai Q(x) = PJ(x) + J T (x)P dengan J(x) merupakan matriks Jakobian.



Metode Krasovski Metode bentuk kuadratik atau Metode Krasovski dapat digunakan apabila terdapat matriks konstan definit positif P sedemikian hingga diperoleh matriks definit negatif Q(x) yang didefinisikan sebagai Q(x) = PJ(x) + J T (x)P dengan J(x) merupakan matriks Jakobian. Apabila hal tersebut terjadi, maka sistem stabil asimptotik.



Metode Krasovski Metode bentuk kuadratik atau Metode Krasovski dapat digunakan apabila terdapat matriks konstan definit positif P sedemikian hingga diperoleh matriks definit negatif Q(x) yang didefinisikan sebagai Q(x) = PJ(x) + J T (x)P dengan J(x) merupakan matriks Jakobian. Apabila hal tersebut terjadi, maka sistem stabil asimptotik. Perhatikan bahwa, misalkan diberikan Fungsi Lyapunov V (x, y ) = f T Pf yang definit positif pada ruang f . Berdasarkan ghal tersebut derivatif V (x, y ) didefinisikan sebagai V˙ (x, y ) = f˙ T Pf + f T P f˙ .



Metode Krasovski Metode bentuk kuadratik atau Metode Krasovski dapat digunakan apabila terdapat matriks konstan definit positif P sedemikian hingga diperoleh matriks definit negatif Q(x) yang didefinisikan sebagai Q(x) = PJ(x) + J T (x)P dengan J(x) merupakan matriks Jakobian. Apabila hal tersebut terjadi, maka sistem stabil asimptotik. Perhatikan bahwa, misalkan diberikan Fungsi Lyapunov V (x, y ) = f T Pf yang definit positif pada ruang f . Berdasarkan ghal tersebut derivatif V (x, y ) didefinisikan sebagai V˙ (x, y ) = f˙ T Pf + f T P f˙ . Dengan aturan rantai diperolah f˙ (x) = J (x) x˙ = J (x) f (x) berdasarkan hal tersebut V˙ (x, y ) = f T J T (x) P + PJ (x) f = f T Q (x) f Rukmono Budi Utomo, M.Sc. Email: [email protected] Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov


Lanjutan Dengan mengingat Q(x) definit negatif, maka V˙ juga definit negatif, berdasarkan hal tersebut sistem PD stabil asimptotik.



Lanjutan Dengan mengingat Q(x) definit negatif, maka V˙ juga definit negatif, berdasarkan hal tersebut sistem PD stabil asimptotik. Contoh 4 Diberikan sistem sebagai berikut x˙ = −ax + y y˙ = x − y − y 3 untuk a¿1, Akan ditentukan Fungsi Lyapunov dengan Metode Krasovsi.



Lanjutan Dengan mengingat Q(x) definit negatif, maka V˙ juga definit negatif, berdasarkan hal tersebut sistem PD stabil asimptotik. Contoh 4 Diberikan sistem sebagai berikut x˙ = −ax + y y˙ = x − y − y 3 untuk a¿1, Akan ditentukan Fungsi Lyapunov dengan Metode Krasovsi. Solusi Berdasarkan sistem di atas dapat ditentukan matriks Jakobian J(x) sebagai berikut −a 1 J (x) = 1 −1 − 3y 2



Lanjutan Dipilih matriks definit positif P , misalkan dalam hal ini P = I 2 , maka berdasarkan hal tersebut diperoleh matriksQ(x) sebagai berikut T Q (x) = PJ (x) + J (x) P −2a 2 = 2 −2 − 6y 2



Lanjutan Dipilih matriks definit positif P , misalkan dalam hal ini P = I 2 , maka berdasarkan hal tersebut diperoleh matriksQ(x) sebagai berikut T Q (x) = PJ (x) + J (x) P −2a 2 = 2 −2 − 6y 2 Perhatikan bahwa meski 4a + 12ay 2 − 4 > 0, namun −2a < 0 untuk a > 1, berdasarkan hal demikian Q(x) definit negatif. Dengan demikian sistem PD stabil asimptotik.



Metode Zubov Fungsi Lyapunov yang dicari dengan Metode Zubov dilakukan dengan mencari suatu Fungsi Phi yang definit Positif yang h i n P 2 ∂V memenuhi f (x) = −Φ (x) [1 − V (x)] 1 + kf k dengan ∂xi i i=1

V (x) itu sendiri merupakan Fungsi Lyapunov.




V (x) itu sendiri merupakan Fungsi Lyapunov. n P ∂V Apabila ada, karena ∂xi fi (x) negatif, maka SPD stabil i=1

asimptotik




V (x) itu sendiri merupakan Fungsi Lyapunov. n P ∂V Apabila ada, karena ∂xi fi (x) negatif, maka SPD stabil i=1

asimptotik Contoh 5 Diberikan Sistem Persamaan Differensial sebagai berikut x˙ 1 = −x1 + x2 + x1 x1 2 + x2 2 x˙ 2 = −x1 + x2 + x2 x1 2 + x2 2 Akan dicari Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode Zubov Rukmono Budi Utomo, M.Sc. Email: [email protected] Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov


Solusi Ambil fungsi definit positif Φ (x) = 2 x1 2 + x2 2 , berdasarkan hal tersebut diperoleh ∂V ∂V V˙ = (x˙ 1 ) + (x˙ 2 ) ∂x1 ∂x2 .



Solusi Ambil fungsi definit positif Φ (x) = 2 x1 2 + x2 2 , berdasarkan hal tersebut diperoleh ∂V ∂V V˙ = (x˙ 1 ) + (x˙ 2 ) ∂x1 ∂x2 . Berdasarkan Teorema Zubov ∂V ∂V (x˙ 1 ) + (x˙ 2 ) = −2 x1 2 + x2 2 [1 − V (x)] ∂x1 ∂x2



Solusi Ambil fungsi definit positif Φ (x) = 2 x1 2 + x2 2 , berdasarkan hal tersebut diperoleh ∂V ∂V V˙ = (x˙ 1 ) + (x˙ 2 ) ∂x1 ∂x2 . Berdasarkan Teorema Zubov ∂V ∂V (x˙ 1 ) + (x˙ 2 ) = −2 x1 2 + x2 2 [1 − V (x)] ∂x1 ∂x2 sehingga fungsi Lyapunov yang dimaksud adalah V (x, y ) = x 2 + y 2 .



Contoh 6 Diberikan Sistem Persamaan Differensial sebagai berikut x˙ 1 = −x1 + 2x1 2 x2 x˙ 2 = −x2 Akan dicari Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode Zubov



Contoh 6 Diberikan Sistem Persamaan Differensial sebagai berikut x˙ 1 = −x1 + 2x1 2 x2 x˙ 2 = −x2 Akan dicari Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode Zubov Solusi Dengan menggunakan Teorema Zubov, maka diperoleh persamaan differensial sebagai berikut h i1 2 (x˙ 2 ) = −Φ (x) [1 − V (x)] 1 + kf k2 h 2 i 12 = −Φ (x) [1 − V (x)] 1 + x2 2 + 2x1 2 x2 − x1 ∂V ∂x1

(x˙ 1 ) +

∂V ∂x2

Berdasarkan hal tersebut, di ambil fungsi Φ (x) =

x1 2 +x2 2 1+x2 2 +(2x1 2 x2 −x1 )2



Lanjutan Berdasarkan hal Fungsi Lyapunov tersebut diperoleh x1 2 1 2 V = 1 + exp − 2 x2 + 2(1−x1 x2 ) Fungsi V (x, y ) hilang pada titik asal sama dengan 1 pada kurva x1 x2 = 1, karenanya kestabilan didefiniskan pada derah dalam kurva x1 x2 = 1



Metode Khalil Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode Khalil dicari dengan V = x T Px dengan AT P + PA = −I . Jika V˙ negatif maka SPD stabil asimptotik, sebaliknya tidak stabil.



Metode Khalil Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode Khalil dicari dengan V = x T Px dengan AT P + PA = −I . Jika V˙ negatif maka SPD stabil asimptotik, sebaliknya tidak stabil. Contoh 7 Diberikan sistem PD sebagai berikut x˙ 1 = −2x1 + x1 x2 x˙ 2 = −x2 + x1 x2 Akan dicari Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode Khalil



Metode Khalil Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode Khalil dicari dengan V = x T Px dengan AT P + PA = −I . Jika V˙ negatif maka SPD stabil asimptotik, sebaliknya tidak stabil. Contoh 7 Diberikan sistem PD sebagai berikut x˙ 1 = −2x1 + x1 x2 x˙ 2 = −x2 + x1 x2 Akan dicari Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode Khalil Solusi Linearisasi disekitar titik kesetimbangan (0, 0) menghasilkan −2 0 matriks A = . 0 −1



Metode Khalil Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode Khalil dicari dengan V = x T Px dengan AT P + PA = −I . Jika V˙ negatif maka SPD stabil asimptotik, sebaliknya tidak stabil. Contoh 7 Diberikan sistem PD sebagai berikut x˙ 1 = −2x1 + x1 x2 x˙ 2 = −x2 + x1 x2 Akan dicari Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode Khalil Solusi Linearisasi disekitar titik kesetimbangan (0, 0) menghasilkan −2 0 matriks A = . Lebih lanjut berdasarkan 0 −1 1 0 T 4 persamaanA P + PA = −I , diperoleh P = 0 21 Rukmono Budi Utomo, M.Sc. Email: [email protected] Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov


Lanjutan Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih Fungsi Lyapunov V = x T Px = 14 x1 2 + 12 x2 2 dengan 1 2 V˙ = − x1 2 + x2 2 + x1 x2 + x1 x2 2 2



Lanjutan Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih Fungsi Lyapunov V = x T Px = 14 x1 2 + 12 x2 2 dengan 1 2 V˙ = − x1 2 + x2 2 + x1 x2 + x1 x2 2 2 Dengan transformasi polar x1 = ρ cos θ dan x2 = ρ sin θ diperoleh 1 V˙ = −ρ2 + ρ3 cos θ sin θ sin θ + cos θ 2 1 3 1 ≤ −ρ2 + √ 2 ρ |sin 2θ| sin θ + 2 cos θ 5 3 2 ≤ −ρ + 4 ρ ≤0



Lanjutan Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih Fungsi Lyapunov V = x T Px = 14 x1 2 + 12 x2 2 dengan 1 2 V˙ = − x1 2 + x2 2 + x1 x2 + x1 x2 2 2 Dengan transformasi polar x1 = ρ cos θ dan x2 = ρ sin θ diperoleh 1 V˙ = −ρ2 + ρ3 cos θ sin θ sin θ + cos θ 2 1 3 1 ≤ −ρ2 + √ 2 ρ |sin 2θ| sin θ + 2 cos θ 5 3 2 ≤ −ρ + 4 ρ ≤0 2 dengan ρ < √415 . Lebih lanjut c = λmin (P) r 2 = 14 √45 = 0.8 dan karenanya diperoleh 14 x1 2 + 21 x2 2 < 0.8



Kesimpulan 1

Untuk menyelidiki kestbilan global dari suatu Sistem Persamaan Differensial perlu dikonstruksi Fungsi Lyapunov V yang definit positif. Apabila V˙ < 0, maka Sistem Persamaan Differensial tersebut stabil asimptotik, sebaliknya tidak stabil.

2

Untuk mengkonstruksi Fungsi Lyapunov dapat dilakukan dengan empat metode antara lain Metode First Integral, Metode Krasovski, Metode Zubov dan Metode Khalil



Referensi 1 A.M. Lyapunov, Probleme General de la Stabilite du Movement, Reprinted in Annals of Mathematical Studies No. 17 , Princenton University Press, Princenton, N.J., 1949 (Russian Edition 1892) 2

W. Hahn, Theory and Aplication of Lyapunovs Direct Method, Prentice Hall, Eagle wood Cliffs, N.J., 1963


Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov

Recommend Documents