ANALISIS KESTABILAN DAN KEBIJAKAN KEUNTUNGAN MAKSIMAL PADA MODEL POPULASI SATU MANGSA-DUA PEMANGSA DENGAN TAHAPAN STRUKTUR

KNM XVII

11-14 Juni 2014

ITS, Surabaya

ANALISIS KESTABILAN DAN KEBIJAKAN KEUNTUNGAN MAKSIMAL PADA MODEL POPULASI SATU MANGSA-DUA PEMANGSA DENGAN TAHAPAN STRUKTUR SYAMSUDDIN TOAHA1, JEFFRY KUSUMA2, KHAERUDDIN3, M AWARDI4 1,2,3,4

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

Abstract Pada tulisan ini dibahas suatu model pertumbuhan populasi satu mangsa dan dua pemangsa. Model itu menyatakan laju pertumbuhan populasi mangsa, populasi pemangsa belum dewasa, dan populasi pemangsa sudah dewasa. Dinamika ketiga populasi tersebut dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan differensial. Dengan menganggap bahwa populasi yang ditinjau bernilai ekonomi, maka ketiga populasi tersebut dieksploitasi dengan melibatkan fungsi biaya dan fungsi penerimaan. Kewujudan titik ekuilibrium model beserta kestabilannya dianalisis dengan menggunakan metode linearisasi dan uji kestabilan Routh-Hurwitz. Kajian pada model ini bertujuan untuk menjamin ketiga populasi tidak akan punah dalam jangka waktu yang panjang dan juga diperoleh keuntungan maksimal dari usaha eksploitasi. Beberapa kasus dianalisis disertai dengan simulasi numerik untuk mengetahui kestabilan titik ekuilibrium dan keuntungan maksimal. Hasil analisis menunjukkan bahwa kewujudan dan kestabilan titik ekuilibrium interior pada model ditentukan oleh nilai-nilai paramater model dan usaha pemanenan. Ketiga populasi dapat tetap lestari meskipun dieksploitasi dengan usaha pemanenan konstan dan sekaligus memberikan keuntungan maksimal. Kata-kata kunci: Model mangsa pemangsa, pemanenan, kestabilan, keuntungan

1.

Pendahuluan

Model pertumbuhan populasi mangsa-pemangsa merujuk kepada model Lotka-Volterra merupakan salah model yang sangat populer dalam matematika ekologi. Luckinbill [1] menunjukkan bahwa populasi mangsa-pemangsa dapat hidup bersama untuk jangka waktu yang panjang jika kontak antara keduanya dikurangi. Martin & Ruan [2] menyarankan bahwa sangat ideal untuk mengkaji faktor pemanenan pada model populasi mangsa-pemangsa. Kar & Chauduri [3] mengkaji model mangsa-pemangsa dan kewujudan ekuilibrium bioekonomik serta pemanenan optimal. Holmberg [4] meneliti pengaruh pemanenan dengan usaha konstan dan ditunjukkan bahwa tangkapan dengan kuota konstan dapat mengakibatkan osilasi dan kacau serta menaikkan resiko ekploitasi yang berlebihan. Sistem satu mangsa dan satu pemangsa yang ditinjau dalam Hogart et.al. [5] dinyatakan bahwa kedua populasi mangsa dan pemangsa yang dipanen dengan hasil tangkapan konstan diperoleh suatu titik ekuilibrium yang stabil dan hasil maksimal yang lestari. Model dinamika populasi mangsa-pemangsa memainkan peranan yang penting dalam bioekonomik, khususnya dalam manajemen sumberdaya yang terbarukan. Salah satu contoh

manajemen sumber daya terbarukan adalah populasi ikan. Tangkapan optimal berkelanjutan yang berdasarkan pada kriteria biaya bertujuan untuk memaksimalkan keuntungan. Faktorfaktor yang perlu dipertimbangkan dalam membuat model dinamika populasi yang kompleks adalah ukuran populasi, laju pertumbuhan, kapasitas bawaan, kompetitor, biaya operasional pemanenan, harga tangkapan, dan sebagainya, Clark [6]. Sun et al. [7] mengembangkan model dengan tahapan struktur yang mempertimbangkan kebijakan pemanenan optimal. Kar & Chattopadhyay [9] mengkaji model dengan tahapan struktur dan menghubungkannya dengan kebijakan pemanenan optimal. Problem kombinasi pemanenan telah dikaji secara mendalam oleh Chauduri [9]. Tulisan ini bertujuan untuk menganalisis suatu model pertumbuhan populasi mangsa-pemangsa dengan struktur pada populasi pemangsa berdasarkan model Lotka-Volterra dengan melibatkan usaha pemanenan konstan. Analisis pada model ini difokuskan pada hubungan antara titik ekuilibrium interior model mangsa-pemangsa yang stabil dan keuntungan maksimal dari usaha ekploitasi.

2. Model Populasi Satu Mangsa dan Dua Pemangsa Model yang ditinjau adalah model pertumbuhan populasi yang melibatkan tiga populasi, yaitu populasi mangsa, populasi pemangsa belum dewasa, dan populasi pemangsa sudah dewasa. Model dinamika populasi mangsa-pemangsa melibatkan dua populasi pemangsa dengan tahapan struktur telah ditinjau oleh Kar & Chattopadhyay [8] dengan beberapa asumsi yang berbeda. Model pertumbuhan populasi mangsa-pemangsa dinyatakan sebagai

dN1 N    r1 N1 1  1   1 N1 N 3 dt K   dN 2  r2 N 2   2 N 3   2 N 2 dt dN3  r3 N 3   2 N 2  m1 N1 N 3 . dt

(1)

Model (1) merupakan model dinamika pada populasi mangsa dan pemangsa dengan tahapan struktur karena melibatkan populasi pemangsa belum dewasa dan populasi pemangsa sudah dewasa. Variabel N1  N1 t  menyatakan ukuran populasi mangsa pada saat t, N 2  N 2 t  menyatakan ukuran populasi pemangsa belum dewasa pada saat t, dan N3  N3 t  menyatakan ukuran populasi pemangsa dewasa pada saat t. Dengan asumsi bahwa ketiga populasi yang ditinjau merupakan populasi (stok) yang bermanfaat, maka ketiga populasi tersebut selanjutnya dieksploitasi dengan laju penangkapan proporsional dengan masing-masing ukuran populasi. Dengan pertimbangan tersebut, model (1) dikembangkan menjadi

dN1 N    r1N1 1  1   1 N1N3  q1E1N1 dt K   dN 2  r2 N 2   2 N3   2 N 2  q2 E2 N 2 (2) dt dN3  r3 N3   2 N 2  m1N1 N3  q3 E3 N3. dt q1 , q2 , dan q3 pada model (2) masing-masing menyatakan koefisien

Parameter ketertangkapan untuk populasi mangsa, populasi pemangsa belum dewasa, dan populasi pemangsa dewasa. Parameter E1 , E2 , dan E3 masing-masing menyatakan usaha (effort) penangkapan yang memenuhi 0  Ei  Eimaks untuk i  1, 2, 3.

KNM XVII

11-14 Juni 2014

ITS, Surabaya

Dengan memisalkan r4  r1 K , q4  r1  q1E1 , q5  r2   2  q2 E2 , q6  r3  q3 E3 , dan

 3  m1 , maka model (2) dinyatakan sebagai dN1  N1 q4  r4 N1  1 N1  dt dN 2  q5 N 2   2 N3 dt dN3  q3 N3   2 N 2   3 N1 N3 . dt

(3)

q



4 Titik ekuilibrium non negatif dari model (3) adalah T1  0, 0, 0 , T2   , 0, 0  , dan  r4 

T3  N1E , N2 E , N3E 

dimana

N1E 

p5 ,  3q5

N2E 

 2 p6 ,  3q521

N3 E 

 2 p6 ,  3q521

p5  q5q6  22 , dan p6  q43q5  p5r4 . Titik ekuilibrium T3 merupakan titik interior jika p5  q5q6  22  0 dan p6  q43q5  p5r4  0 , yaitu keadaan dimana ketiga komponen titik tersebut bernilai positif.

3. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Interior Pada model (3) hanya titik ekuilibrium interior, yaitu titik T3 , yang akan dianalisis kestabilannya karena pada titik ekuilibrium ini keadaan ukuran populasi mangsa, populasi pemangsa belum dewasa, dan populasi pemangsa dewasa bernilai positif. Analisis kestabilan titik ekuilibrium dilakukan dengan metode pelinearan dan penentuan kestabilan dengan memperhatikan nilai eigen yang diperoleh dari matriks Jacobi yang dievaluasi pada titik T3 . Dari model (3) diperoleh matriks Jacobian

 q4  2r2 N1  1N3 J   0   3 N3 

0  q5

2

 1N1

   .  q6   3 N1 

Dengan mengevaluasi matriks Jacobian J pada titik T3 diperoleh

 q4  2r2 N1E  1N3E J E   0   N 3 3E 

0  q5

2

 1N1E



  .  q6  3 N1E 

Persamaan karakteristik untuk matriks Jacobian J pada titik ekuilibrium T3 diberikan oleh 3 2 f ( )  det I  J E , yaitu f      a2  a1  a0 , dimana a2  3 N1E  2r4 N1E  1N3E  q6  q5  q4 ,

a1  q6 q5  q5 3 N1E  1N3 E q6  1N 3 E q5  q4 q5  2r4 N1E  3  q4 3 N1E  q4 q6  q4 q6  2r4 N1E q6  2r4 N1E q5   2  2 , 2

a0  2r4 N1E 2  2  q4 q5q6  q4 q5 3 N1E  2r4 N1E q5 3  1N3 E 2  2  q4 2  2  1 N3 E q5q6  2r4 N1E q5q6 . Titik ekuilibrium T3 stabil asimptot secara lokal jika memenuhi tes kestabilan Routh-Hurwitz, yaitu a0  0 , a2  0 , a3  0 , dan a2a1  a0  0 , Jeffries, [10]. 2

4. Kebijakan Keuntungan Maksimal pada Titik Ekuilibrium Interior Titik ekuilibrium interior T3 yang stabil asimptotik dihubungkan dengan persoalan keuntungan maksimal. Fungsi biaya diasumsikan proporsional dengan usaha pemanenan yang dilakukan dan juga bergantung kepada biaya tetap, yaitu TC  c1  c2 E dimana c1 dan c 2 adalah suatu konstanta positif. Fungsi penerimaan didefinisikan sebagai TR  PY (E ) , dimana P menyatakan fungsi harga per unit tangkapan dan Y ( E , N )  qEN menyatakan hasil pemanenan. Fungsi harga per unit tangkapan diasumsikan sebagai fungsi turun jika jumlah tangkapan meningkat, Chakraborty, et. al [11]. Untuk itu fungsi harga diasumsikan berbentuk P  p1  v1Y , dimana p1 dan v1 menyatakan suatu kostanta positif. Fungsi keuntungan dinyatakan sebagai   TR  TC . Titik ekuilibrium T3 bergantung pada usaha pemanenan yang dilakukan. Dengan demikian fungsi keuntungan bergantung kepada usaha pemanenan, yaitu  ( E )  TR( E )  TC( E ) . Pada keadaan ini, nilai-nilai usaha pemanenan (E) akan ditentukan sehingga memberikan keuntungan maksimal dan titik ekuilibrium yang bersesuaian dengan usaha pemanenan tersebut juga stabil asimptotik. Kasus yang ditinjau adalah kasus dimana E1  E2  E3 , E3  E2 , dan E1  E2  E3 .

Kasus 1 ( E  E1  E2  E3 ) Pada kasus 1, usaha pemanenan yang dikenakan pada setiap populasi adalah sama. Dengan demikian, titik T3 berada pada oktan pertama jika (i) p5  q5q6  22  0 dan (ii)

p6  q43q5  p5r4  0 . Syarat (i) dapat dinyatakan sebagai A1E 2  B1E  C1  0 dengan A1  q2 q3  0 , B1  r3q2   2q3  r2q3  0 , dan C1  r2r3  r3 2   2 2 . Syarat (ii) dapat A2  3q1q2 K  r1q2q3  0 ,  A2 E 2  B2 E  C2  0 dengan B2  3q1K (r2   2 )  3q2r1  r1 (r3q2  q3 (r2   2 )) , dan C2  r1( 2 2  r3 (r2   2 )) .

dinyatakan

sebagai

Dengan asumsi bahwa terdapat nilai E yang memenuhi syarat (i) dan (ii) serta memenuhi 0  E  Emaks maka titik T3 berada pada oktan pertama. Fungsi keuntungan yang bersesuaian dengan titik T3 diberikan sebagai

 ( E )   p1  v1q1EN1E  q1EN1E   p2  v2 q2 EN 2 E  q2 EN 2 E

  p3  v3q3 EN3 E  q3 EN3 E  c11  c21  c31   c12  c22  c32  E ,

dimana p1, p2 , p3 , v1, v2 , dan v3 menyatakan suatu konstanta positif yang berhubungan dengan harga

stok.

Konstanta c11, c21, dan c31

menyatakan

biaya

tetap

dan

konstanta

c12 , c22 , dan c32 menyatakan biaya variabel . Pada fungsi keuntungan tersebut nilai N1E , N2 E , dan N 3 E bergantung pada E . Selanjutnya akan ditentukan nilai E yang memenuhi syarat (i) dan (ii) serta 0  E  Emaks yang memaksimalkan  (E ) dan titik T3 stabil asimptotik. Contoh 1. Diberikan parameter untuk model (3) dengan nilai r1 1,5 , r 2  0,2 , r 3 0,3 , K  10.000 ,  2 0,3 ,  1 0,001 , m  0,5 ,  2 0,05 , q1 0,1 , q 2  0,2 , dan q3  0,3 . Demikian pula diberikan nilai p1 1 , p 2  5 , p 3  5 , v1 0,1 , v 2  0,1 , v 3  0,1 , c11  2 ,

c21 2 , c31 2 , c12  1 , c 22  1 , dan c 32  1 . Dengan nilai parameter tersebut diperoleh titik

KNM XVII

11-14 Juni 2014

T3  N1E , N2 E , N3E  , N2E 

ITS, Surabaya

N1E

dengan











600 4  9 E  4 E 2  , 5  4E



60 714  469E  76E 2 10 714  469E  76 E 2 , N  . dan 3E 5  4E 25  40E  16E 2

Titik T3 merupakan titik interior jika nilai E memenuhi (i) 0,06E 2  0,135E  0,06  0 dan (ii)  0,19E  1,1725E  1,7850  0 . Dari syarat (i) diperoleh maks0,  0,6096  E  Emaks dan dari syarat (ii) diperoleh maks0,  1,2636  E  minEmaks , 7.4347 . Dengan mengambil 2

nilai Emaks  1 , maka diperoleh syarat 0  E  1 sehingga titik T3 merupakan titik interior. Fungsi

keuntungan

yang

bersesuaian

dengan

titik

T3

diberikan

oleh

 ( E )  ( p1q1N1E  p2q2 N2 E  p3q3 N3E ) E  (c1  c2  c3 ) E . Dengan nilai parameter yang diberikan dan nilai pada titik ekuilibrium dan setelah disederhanakan diperoleh

 (E) 

 0,3000

5  4 E 

4

5,8445x10 E 5

8

 5,7830x105 E 7  3,8023x106 E 6  4,5067 x107 E 5



 1,1733x108 E 4  1,2491x108 E 3  4,1090x107 E 2  8,0863x106 E  12.500 . Plot kurva fungsi keuntungan  (E ) diberikan pada Gambar 1. Dengan memperhatikan titik kritis fungsi keuntungan pada interval 0  E  1 diperoleh titik kritis E   0,06577 yang  memaksimalkan fungsi keuntungan dengan  ( E )  118,78250 .

Gambar 1. Fungsi keuntungan Selanjutnya dengan mengambil nilai usaha pemanenan sebesar E  E*  0,06577 diperoleh titik T3  525,4553, 1.612,6831, 1.414,6054. Persamaan karakteristik yang bersesuaian dengan titik ekuilibrium tersebut diberikan oleh

f ( )  3  0,398972  0,39689  0,09780 dengan nilai eigen  0,06443  0,59827i dan  0,27011 . Hal ini bermakna bahwa dengan mengaplikasikan nilai usaha pemanenan sebesar E  E*  0,06577 maka ketiga populasi mangsa dan pemangsa yang dieksploitasi dengan usaha pemanenan konstan tetap akan lestari untuk waktu yang panjang dan juga memberikan keuntungan maksimal.

Kasus 2. E3  E2 Pada kasus 2, usaha pemanenan yang dikenakan sama untuk populasi pemangsa belum dewasa dan populasi pemangsa dewasa. Dengan demikian, titik T3  N1E , N2 E , N3E  berada pada

oktan pertama jika memenuhi (i) p5  q5q6  22  0 dan (ii) p6  q43q5  p5r4  0 . 2 A3  q2q3  0 , A3E2  B3E2  C3  0 dengan B3  r3q2   2q3  r2q3  0 , dan C3  r2r3  r3 2   2 2 . Syarat (ii) dinyatakan r sebagai 3 r2   2  q2 E2 r1  q1E1   1 r3  q3E2 r2   2  q2 E2    22   0. Dengan K  asumsi bahwa terdapat pasangan E1 , E2  yang memenuhi syarat (i) dan (ii) serta memenuhi 0  E1  E1maks dan 0  E2  E2maks maka titik T3 berada pada oktan pertama.

Syarat (i) dapat dinyatakan sebagai

Fungsi keuntungan yang bersesuaian dengan titik T3 diberikan sebagai

 ( E1 , E2 )   p1  v1q1E1 N1E q1E1 N1E   p2  v2 q2 E2 N 2 E q2 E2 N 2 E

  p3  v3q3 E2 N 3 E q3 E2 N 3 E  c11  c21  c31   c12 E  c22  c32 E2 ,

dimana p1, p2 , p3 , v1, v2 , dan v3 menyatakan suatu konstanta positif yang berhubungan dengan harga stok. Konstanta c11, c21, dan c31 menyatakan biaya tetap dan konstanta c12 , c22 , dan c32 menyatakan biaya variabel. Pada fungsi keuntungan tersebut nilai N1E , N2 E , dan N 3 E bergantung pada E1 dan E2 . Selanjutnya akan ditentukan nilai E1 dan E2 yang memenuhi syarat (i) dan (ii)

serta 0  E1  E1maks dan 0  E2  E2 maks yang memaksimalkan nilai

 ( E1, E2 ) dan titik T3 stabil asimptotik. Contoh 2. Diberikan parameter untuk model (3) dengan nilai r1 1,5 , r 2 0,2 , r 3 0,3 ,

K  10.000 ,  2 0,3 ,  1 0,001 , m  0,5 ,  2 0,05 , q1  0,1 , q 2  0,2 , dan q3  0,3 . Demikian pula diberikan nilai p1 1 , p 2  5 , p 3  5 , v1  0,1 , v 2  0,1 , v 3  0,1 , c11  2 ,

c 21 2 , c31 2 , c12  1 , c 22  1 , dan c 32  1 . Dengan nilai parameter tersebut diperoleh titik T3  N1E , N2 E , N3E  , dengan

N1E  N3 E  Titik





600 4  9E2  4E22 , 5  4E2



N2 E 





60 714  519E2  36E22  50E1  40E2 E1 , 25  40E 2 16E22



10 714  519E2  36E22  50E1  40E2 E1 . 5  4E 2 T3 merupakan titik interior jika nilai

E1

dan

1,785  1,2975E2  0,090E22

 0,135E2  0,06  0 dan (ii) Dari syarat (i) diperoleh maks0,  0,6096  E2  E2maks 0,06E22

dan

E2

memenuhi

(i)

 0,125E1  0,1E2 E1  0.

Dengan mengambil nilai E1maks  1

dan E2 maks  1 , maka titik T3 merupakan titik interior jika E1, E2  D1 , dimana



D1  E1 , E2  : 0  E1  1, 0  E2  1, 1,785  1,2975E2  0,090E22  0,125E1  0,1E2 E1  0 .

Dengan nilai parameter yang diberikan dan nilai pada titik ekuilibrium dan setelah disederhanakan diperoleh

KNM XVII

 ( E1 , E2 ) 

11-14 Juni 2014

 0,1000

37.500  1,215x10 E 8

5  4 E2 

2

ITS, Surabaya

2 2

 3,125x105 E1E2  2,402 x107 E1E22

 2,938x105 E1  2,397 x107 E2  3,900 x108 E23  3,926 x108 E24  1,681x108 E25  1,876 x107 E26  4,914 x106 E27  1,866 x105 E28  6,305x107 E1E23  6,214 x107 E1E24  2,806 x107 E1E25  4,424 x107 E1E26  8,784 x106 E12 E2  2,238x107 E12 E22  1,440 x107 E12  2,928x107 E12 E23  2,071x107 E12 E24  7,603x106 E12 E25  1,152 x106 E12 E26  4,147 x105 E1E27 . Plot permukaan fungsi keuntungan  ( E1, E2 ) diberikan pada Gambar 2. Dengan memperhatikan titik kritis fungsi keuntungan pada daerah D1 diperoleh titik kritis



E

 1 ,





E2  0,09324, 0,06559 

  ( E1 , E2 )

yang

memaksimalkan

fungsi

keuntungan

dengan

pemanenan

sebesar

 188,99321 .

Gambar 2. Permukaan fungsi keuntungan Selanjutnya



dengan

mengambil

  0,09324, 0,06559

pasangan

nilai

usaha

diperoleh titik T3  525,3367, 1.609,7818, 1.411,8751. Persamaan karakteristik yang bersesuaian dengan titik ekuilibrium tersebut diberikan oleh  E1 ,

 E2

f ( )  3  0,398932  0,39608  0,09758 dengan nilai eigen  0,06442  0,59761i dan  0,27009 . Hal ini bermakna bahwa dengan mengaplikasikan nilai usaha pemanenan 



sebesar E1  0,09324 dan E2  0,06559 maka ketiga populasi mangsa dan pemangsa yang dieksploitasi dengan usaha pemanenan konstan tetap akan lestari untuk waktu yang panjang dan juga memberikan keuntungan maksimal. Kasus 3 ( E1  E2  E3 ) Pada kasus 3, usaha pemanenan yang dikenakan untuk ketiga populasi tidak sama. Dengan demikian, titik T3 berada pada oktan pertama jika memenuhi (i) p5  q5q6  22  0 dan (ii)

p6  q43q5  p5r4  0 . Selanjutnya syarat (i) dan (ii) dapat dinyatakan sebagai r3  q3E3 r2   2  q2 E2    22  0 dan r 3 r2   2  q2 E2 r1  q1E1   1 r3  q3E3 r2   2  q2 E2    22   0. Dengan asumsi K bahwa terdapat pasangan E1, E2 , E3  yang memenuhi syarat (i) dan (ii) serta memenuhi

0  Ei  Eimaks untuk i  1, 2, 3 , maka titik T3 berada pada oktan pertama. Fungsi keuntungan yang bersesuaian dengan titik T3 diberikan sebagai

 ( E1 , E2 , E3 )   p1  v1q1E1N1E q1E1N1E   p2  v2 q2 E2 N 2 E q2 E2 N 2 E

  p3  v3q3 E3 N 3 E  q3 E3 N 3 E  c11  c21  c31   c12 E  c22 E2  c32 E3 ,

p1, p2 , p3 , v1, v2 , dan v3 menyatakan suatu konstanta positif yang berhubungan dengan harga stok. Konstanta c11 , c21 , dan c31 menyatakan biaya tetap dan konstanta c12 , c22 , dan c32 menyatakan biaya variabel. Pada fungsi keuntungan tersebut nilai N1E , N2 E , dan N 3 E bergantung pada E1 , E2 , dan E3 . Selanjutnya akan ditentukan nilai E1 , E2 , dan E3 yang memenuhi syarat (i) dan (ii) serta 0  Ei  Eimaks untuk i  1, 2, 3 yang memaksimalkan nilai  ( E1, E2 , E3 ) dan titik T3 stabil asimptotik. dimana

Contoh 3. Diberikan parameter untuk model (3) dengan nilai r1 1,5 , r 2  0,2 , r 3 0,3 ,

K  10.000 ,  2 0,3 ,  1 0,001 , m  0,5 ,  2  0,05 , q1  0,1 , q 2  0,2 , dan q3  0,3 . Demikian pula diberikan nilai p1 1 , p 2  5 , p 3  5 , v1  0,1 , v 2  0,1 , v 3  0,1 , c11  2 ,

c21 2 , c31 2 , c12  1 , c 22  1 , dan c 32  1 . Dengan nilai parameter tersebut diperoleh titik T3  N1E , N2 E , N3E  , dengan 6004  4 E2  5E3  4 E2 E3  N1E  , 5  4 E2 60714  564E2  45E3  36E2 E3  50E1  40E2 E1  , dan 25  40E 216E22 10714  564E2  45E3  36E2 E3  50E1  40E2 E1   . 5  4E 2

N2E  N3 E

Titik T3 merupakan titik interior jika nilai 0,06E2 E3  0,06E2  0,075E3  0,06  0

E2 , dan

E1 ,

E3

memenuhi

dan

 0,125E1  1,410E2  0,1125E3  0,090E2 E3  0,01E2 E1  1,785  0.

(i) (ii)

Dengan

mengambil nilai E1maks  1, E2 maks  1 dan E3maks  1 , maka titik T3 merupakan titik interior jika E1, E2 , E3  D2 , dimana

D2  E1 , E2 , E3  : 0  E1  1, 0  E2  1, 0  E3  1, 0,06E2 E3  0,06 E2  0,075E3  0,06  0, 60  36 E2  30E3  24E2 E3  5 E1  4 E2 E1   0.

Dengan nilai parameter yang diberikan dan nilai pada titik ekuilibrium tersebut dan setelah disederhanakan diperoleh fungsi keuntungan  ( E1, E2 , E3 ) seperti diberikan pada Lampiran 1. Dengan memperhatikan titik kritis fungsi keuntungan pada daerah D2 diperoleh titik kritis

E

 1 ,



E2 , E3  0,09385, 0,07833, 0,05898 



yang

memberikan

 ( E1 , E2 , E3 )  121,26786 . Matriks Hessian untuk fungsi keuntungan pada titik kritis diberikan sebagai

97,79282 91,06443    547,19327 H   97,79282  17.991,83453 113,58178  ,   113,58178  35.637,43429  91,06443  17.991,65823 , dan  546,40544 . Dengan dengan nilai eigen  35.638,39842 , memperhatikan Matriks Hessian pada titik kritis

E

 1 ,





E2 , E3



dan nilai-nilai eigen,

KNM XVII

11-14 Juni 2014 



ITS, Surabaya



disimpulkan bahwa  ( E1 , E2 , E3 )  121,26786 merupakan nilai maksimum lokal. Selanjutnya



 E1 ,

  E2 , E3

dengan

mengambil

pasangan

  0,09385, 0,07833, 0,05898

nilai

usaha

pemanenan

diperoleh

sebesar titik

T3  522,46586, 1.594,75974, 1.412,24504 . Persamaan karakteristik yang bersesuaian dengan

titik

diberikan oleh f ( )    0,40050  0,39417  0,09801 dengan nilai eigen  0,06387  0,59603i dan  0,27276 . Hal ini bermakna bahwa dengan mengaplikasikan nilai usaha pemanenan 3

ekuilibrium

tersebut

2

sebesar E1  0,09385 , E2  0,07833, dan E3  0,05898 maka ketiga populasi mangsa dan pemangsa yang dieksploitasi dengan usaha pemanenan konstan tetap akan lestari untuk waktu yang panjang dan juga memberikan keuntungan maksimal.

5. Kesimpulan Dari model dinamika populasi mangsa-pemangsa dengan pemanenan usaha konstan pada masing-masing populasi diperoleh satu titik ekuilibrium interior jika berlaku q5q6   22  0 ,

q43q5  p5r4  0 dan 0  Ei  Eimaks untuk i  1, 2, 3 dan titik ekuilibrium interior tersebut

stabil jika memenuhi syarat uji kestabilan Routh-Hurwitz. Dari hasil simulasi dalam kasus E1  E2  E3 , E3  E3 , dan E1  E2  E3 diperoleh nilai usaha-usaha pemanenan yang optimal yang memberikan titik ekuilibrium interior T3  N1E , N2 E , N3E  stabil asimptotik dan memberikan keuntungan maksimal dari usaha ekploitasi populasi mangsa dan populasi pemangsa. Dari hasil analisis teoritis dan numerik, disimpulkan bahwa kewujudan dan kestabilan titik ekuilibrium interior T3  N1E , N2 E , N3E  ditentukan oleh besaran nilai usaha-usaha pemanenan yang diberikan. Ketiga populasi dapat tetap lestari meskipun dieksploitasi dengan usaha pemanenan konstan dan juga memberikan keuntungan maksimal.

Daftar Pustaka [1] Luckinbill, L.S. Coexistence in laboratory populations of paramecium aurelia and its predator didinium nasutum. Journal of Ecology. 54(6):1320-1327, 1973. [2] Martin, A. and Ruan, S. Predator-prey models with time delay and prey havesting. J. Math. Biol. 43:247-267, 2001. [3] Kar, T.K. and Chauduri, K.S. On non-selective harvesting of a multispecies fishery. Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 33(4):543-556, 2002. [4] Holmberg, J. Socio-ecological principles and indicators for sustainability, PhD Thesis, Goteborg University, Sweden, 1995. [5] Hogarth, W.L., Norbury, J., Cunning, I. and Sommers, K. Stability of a predator-prey model with harvesting. Ecological Modelling. 62:83-106, 1992. [6] Clark, C.W. Mathematical Bioeconomics, The optimal management of renewable resources, 2nd Ed., John Wiley & Sons, New York-Toronto, 1990. [7] Sun, Z., Li, Y., Yang, H. and Lin, L. A stage-structure predator-prey model with functional response. Applied Mathematical Sciences. Vol.2 No.7, 333-339, 2008. [8] Kar, T.K. and Chattopadhyay, S. K. A dynamic reaction model of a prey-predator system with stage-structure for predator. Modern Applied Science, 4, No.5: 183-195, 2010. [9] Chaudhuri, K. S. Dynamic optimization of combined harvesting of two species fishery. Ecological Modelling, 41, 17-25, 1998. [10] Jeffries, C. Mathematical Modeling in Ecology, Boston, Birkhauser,1989.

[11] Chakraborty, K., Chakraborty, M., and Kar, T.K. Optimal control of harvest and bifurcation of a prey-predator model with stage struktur, Applied Mathematics and Computation, 217, 8778-8792, 2011.

KNM XVII

11-14 Juni 2014

Lampiran 1. Fungsi keuntungan untuk Kasus 3

ITS, Surabaya