PERILAKU DINAMIS MODEL MANGSA-PEMANGSA TIPE GAUSE YANG DIPERUMUM DENGAN WAKTU TUNDA PEMANENAN KONSTAN HASANNUDIN

PERILAKU DINAMIS MODEL MANGSA-PEMANGSA TIPE GAUSE YANG DIPERUMUM DENGAN WAKTU TUNDA PEMANENAN KONSTAN

HASANNUDIN

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perilaku Dinamis Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang Diperumum dengan Waktu Tunda Pemanenan Konstan adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2015 Hasannudin NIM G54110004

ABSTRAK HASANNUDIN. Perilaku Dinamis Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang Diperumum dengan Waktu Tunda Pemanenan Konstan. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan JAHARUDDIN. Terdapat beberapa model matematis untuk memodelkan peristiwa mangsapemangsa. Salah satu model yang cukup banyak penerapannya adalah model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum dengan mempertimbangkan waktu tunda dan sebuah parameter pemanenan konstan. Analisis kestabilan dilakukan terhadap model tanpa dan dengan waktu tunda. Untuk model tanpa waktu tunda diperoleh titik tetap yang salah satunya bersifat spiral stabil, sedangkan titik tetap pada model dengan waktu tunda terdapat titik tetap yang bersifat spiral stabil/tidak stabil. Untuk model dengan waktu tunda, semakin besar nilai waktu tunda mengakibatkan munculnya limit cycle, dan terjadi bifurkasi Hopf superkritis saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil. Kata kunci: bifurkasi Hopf superkritis, mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum, waktu tunda

ABSTRACT HASANNUDIN. Dynamic Behavior of Generalized Gause Type Prey-Predator Model with a Constant Time Delay Harvesting. Supervised by ALI KUSNANTO and JAHARUDDIN. There are several mathematical models to describe prey-predator events. One model that has many applications is the generalized Gause type prey-predator model by considering a time delay and a constant harvesting parameter in both prey-predator populations. We performed stability analysis to both models without time delay and with time delay. For the model without time delay, we obtained three equilibrium points with one is spiral stable, while model with time delay possesses equilibrium points which can be either spiral stable or spiral unstable. In addition to the model with time delay, when the value of time delay increases, this causes the appearance of a limit-cycle and supercritical Hopf bifurcation occurs when the equilibrium stability change from spiral stable to spiral unstable. Keywords: generalized Gause type prey-predator model, supercritical Hopf bifurcation, time delay

PERILAKU DINAMIS MODEL MANGSA-PEMANGSA TIPE GAUSE YANG DIPERUMUM DENGAN WAKTU TUNDA PEMANENAN KONSTAN

HASANNUDIN

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

Judul Skripsi : Perilaku Dinamis Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang Diperumum dengan Waktu Tunda Pemanenan Konstan Nama : Hasannudin NIM : G54110004

Disetujui oleh

Drs Ali Kusnanto, MSi Pembimbing I

Dr Jaharuddin, MS Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan yang telah diberikan sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Perilaku Dinamis Model Mangsa-Pemangsa Tipe Gause yang Diperumum dengan Waktu Tunda Pemanenan Konstan. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terimakasih kepada: 1 Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya, 2 Nabi besar Muhammad SAW sebagai nabi akhir zaman, 3 keluarga tercinta: Ibunda Riesa Pri Handayani dan Ayahanda Cecep Supriyanto yang selalu memberikan doa, motivasi dan kasih sayang tiada henti, 4 keluarga besar Bapak A Soehartoyo dan keluarga besar Bapak Djoko (alm), 5 Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi, dan Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku dosen pembimbing, terima kasih atas segala kesabaran, ilmu, saran dan motivasinya selama membimbing menulis, serta Bapak Dr Paian Sianturi selaku dosen penguji, 6 staf tata usaha Departemen Matematika IPB, 7 Widyawati atas kasih sayang, doa, semangat dan kebersamaanya selama ini, 8 keluarga Wisma Hijau tercinta: Ahmad, Ibrahim, Noorul Amin, Prahditya, Yoppy, Firman, Arman, dan keluarga C1 Lorong 1 yang telah memberikan motivasi, bantuan, keceriaan, dan arti sahabat juga keluarga bagi penulis, 9 sahabat-sahabat penulis: Parara, Ikhwan A, Adam, Deva, Dedi H, Dedy S, Dwinanda, Rachman, Arli, Firi, Arpi, Fakhri, Dinar, Rizky, Hendar, Imam, Ariyanto P, dan Fiki terimakasih atas semangat, motivasi, dan doanya, 10 teman-teman satu bimbingan: Mutammimul Ula dan Anif Lailil A yang senantiasa saling mengingatkan dan memberikan motivasi dalam penyusunan karya ilmiah ini, 11 teman-teman satu perwalian: Intan Fitria dan Vina A yang senantiasa saling mengingatkan, 12 teman-teman seperjuangan: Alfi, Sabila, Putri, Dinita, Riefdah, Sifa, Riski, Rika, Andini, Lidya, Dyah Ayu, Siti, Dini, Deby, Henny, Disti, Giovanni dan Intan Mugi terima kasih atas motivasi dan keceriaannya selama ini, 13 teman-teman asisten praktikum: Resty, Ariyanto H, Atikah, dan Restu A terima kasih atas bantuannya dan kebersamaannya, 14 teman-teman mahasiswa Matematika 48, Matematika 49, BPH Gumatika 2012/2013 dan Kestari Gumatika 2013/2014 terimakasih atas doa, semangat, serta kebersamaannya selama ini, 15 teman-teman satu lulusan: M Reza, Ichsan Rayyan, Nurul M, Annisa N, Ria N, dan Lingga Detia terima kasih atas kebersamaannya, 16 semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini, terima kasih. Bogor, Mei 2015 Hasannudin

DAFTAR ISI DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan

2

LANDASAN TEORI

2

HASIL DAN PEMBAHASAN

6

Pemodelan

6

Pembahasan

7

Model 1

7

Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda

7

Pelinearan Model dengan Waktu Tunda

8

Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis

10

Bifurkasi Hopf

12

Model 2

13

Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda

13

Pelinearan Model dengan Waktu Tunda

14

Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis

16

Bifurkasi Hopf

17

Simulasi Numerik

18

SIMPULAN DAN SARAN

26

Simpulan

26

Saran

26

DAFTAR PUSTAKA

26

LAMPIRAN

28

RIWAYAT HIDUP

50

DAFTAR TABEL 1 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan saat 2 Pemilihan nilai waktu tunda model pertama 3 Pemilihan nilai waktu tunda model kedua

19 20 21

DAFTAR GAMBAR 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Bidang fase saat Bidang solusi mangsa saat Bidang solusi pemangsa saat Bidang fase model pertama saat Bidang solusi mangsa model pertama saat Bidang solusi pemangsa model pertama saat Bidang fase model kedua saat Bidang solusi mangsa model kedua saat Bidang solusi pemangsa model kedua saat Bidang fase model pertama saat Bidang solusi mangsa model pertama saat Bidang solusi pemangsa model pertama saat Bidang fase model pertama saat Bidang solusi mangsa model pertama saat Bidang solusi pemangsa model pertama saat Bidang fase model kedua saat Bidang solusi mangsa model kedua saat Bidang solusi pemangsa model kedua saat Bidang fase model kedua saat Bidang solusi mangsa model kedua saat Bidang solusi pemangsa model kedua saat

19 20 20 21 21 21 22 22 22 22 23 23 23 23 23 24 24 24 25 25 25

DAFTAR LAMPIRAN 1 Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model pertama 2 Penyederhanaan model pertama dengan metode linearisasi 3 Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda model pertama 4 Penentuan tundaan waktu kritis model pertama 5 Penjabaran fungsi sign model pertama 6 Penjabaran kondisi transversal model pertama 7 Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model kedua 8 Penyederhanaan model kedua dengan metode linearisasi 9 Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda model kedua 10 Penentuan tundaan waktu kritis model kedua 11 Penjabaran fungsi sign model kedua

28 29 32 34 35 37 38 39 42 44 45

12 Penjabaran kondisi transversal model kedua 13 Program plot bidang fase kedua model tanpa waktu tunda (Gambar 1) 14 Program plot bidang solusi mangsa kedua model tanpa waktu tunda (Gambar 2) 15 Program plot bidang solusi pemangsa kedua model tanpa waktu tunda (Gambar 3)

46 47 48 49

1

PENDAHULUAN Latar Belakang Pada kehidupan nyata, setiap makhluk hidup melakukan proses interaksi dengan makhluk hidup lainnya. Dalam konteks memenuhi kebutuhan makanan, proses interaksi tersebut memunculkan proses rantai makanan yaitu peristiwa makan dan dimakan untuk mempertahankan jumlah populasi. Interaksi yang dilakukan oleh spesies pemangsa (predator) memengaruhi jumlah dari spesies mangsa (prey). Peristiwa rantai makanan atau makan dan dimakan menjadi latar belakang bidang pemodelan matematika untuk meniru perilaku dinamika sistem mangsa-pemangsa tersebut agar diperoleh jumlah mangsa-pemangsa dipertahankan seimbang. Alfred Lotka pada tahun 1925 dan Vito Volterra pada tahun 1927 mengembangkan sepasang persamaan diferensial yang menggambarkan fenomena mangsa-pemangsa untuk pertama kali dikenal sebagai model Lotka-Volterra (Bacaer 2011). Kemudian Holling pada tahun 1959 memperkenalkan fungsi respons. Dalam hal ini fungsi respons dibagi atas tiga macam, yaitu fungsi respons tipe I, tipe II, dan tipe III. Fungsi respons tipe I terjadi pada pemangsa yang memiliki karakteristik pasif atau lebih suka menunggu mangsanya, sebagai contoh pemangsanya adalah hewan penyaring yaitu sponge (Garrott et al. 2009). Fungsi respons tipe II terjadi pada pemangsa yang berkarakteristik aktif dalam mencari mangsa sebagai contoh pemangsanya adalah serigala (Skalski 2001). Fungsi respons tipe III terjadi pada pemangsa yang mencari populasi mangsa yang lain ketika populasi mangsa yang dimakan mulai berkurang atau pemangsa beralih mencari mangsa lain. Sebagai contoh pada tikus yang bertindak sebagai pemangsa dengan kepompong ngengat gipsi sebagai mangsa. Pada suatu sistem, perubahan populasi tidak selalu monoton. Hal ini disebabkan makhluk hidup tidak dapat melahirkan terus menerus dan ada beberapa makhluk hidup belum mampu berkembang biak. Penyebabnya yaitu karena fasilitas yang terbatas. Gejala ini merupakan suatu fenomena dimana suatu makhluk hidup memerlukan tenggang atau tundaan waktu (time delay). Salah satu bentuk model mangsa-pemangsa yaitu model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum (generalized Gause-type). Kemudian Beretta dan Kuang (1996) serta Ruan (2009) menambahkan komponen perlambatan agar model mangsa-pemangsa lebih realistis. Asumsi dasar dari model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum yaitu terdapat pengaruh interaksi antara mangsa dengan pemangsa dan terdapat komponen perlambatan yang didefinisikan bahwa jumlah populasi makhluk hidup saat ini bergantung pada jumlah populasi makhluk hidup pada waktu terdahulu atau waktu yang dibutuhkan makhluk hidup untuk mempersiapkan tahap tertentu. Pada karya ilmiah ini akan dibahas tentang perilaku dinamis terhadap model mangsa pemangsa dengan perlambatan. Model yang dibahas adalah model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum. Dalam setiap model akan ditambahkan pemanenan yang konstan.

2

Tujuan Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk: membangun model mangsa-pemangsa tanpa dan dengan waktu tunda serta pemanenan konstan yang dituliskan oleh Martin dan Ruan (2001), menganalisis kestabilan model mangsa-pemangsa tanpa dan dengan waktu tunda serta pemanenan konstan, memelajari pengaruh waktu tunda terhadap kestabilan sistem, dan memelajari keberadaan bifurkasi Hopf pada model mangsapemangsa.

1.

2. 3. 4.

LANDASAN TEORI Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai: ̇

(1)

dengan [

] dan

[

].

Jika fungsi tak linear terhadap , maka sistem persamaan diferensial (1) disebut sistem persamaan diferensial tak linear dan jika fungsi linear, maka sistem persamaan diferensial (1) disebut persamaan diferensial linear (Braun 1983). Jika sistem persamaan diferensial (1) tidak memuat variabel waktu secara eksplisit, maka disebut sebagai persamaan diferensial mandiri yang dapat ditulis: ̇ Titik

.

disebut titik tetap atau titik kritis atau titik keseimbangan, jika .

Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial dengan dua persamaan dan dua peubah seperti berikut: ̇ (2) ̇ Andai

adalah titik tetap dari persamaan (2), maka .

dan

3

Misalkan

dan ̇

, maka didapatkan: ̇

.

Dengan uraian deret Taylor dua peubah terhadap fungsi , maka didapatkan sistem sebagai berikut: ̇

dengan suku sebelumnya.

memiliki nilai yang cukup kecil dibandingkan suku-

Dengan cara yang sama diperoleh: ̇

̇

Dengan uraian deret Taylor dua peubah terhadap fungsi , maka didapatkan sistem sebagai berikut: ̇

Dalam bentuk matriks dapat dituliskan:

̇ * + ̇

* + [

]

Matriks A yaitu:

[

]

disebut sebagai matriks Jacobi yang dievaluasi di titik tetap , maka didapatkan persamaan linear: ̇ * + ̇

[

. Karena

]* +

Bentuk (3) disebut pelinearan dari sistem persamaan (2) (Strogatz 1994).

(3)

4

Beberapa tundaan dapat digabungkan persamaan diferensial tundaan sebagai berikut (

dengan

menggunakan

)

dengan sebagai parameter waktu tunda (Murray 2002). Persamaan diferensial tundaan atau delayed differential equation adalah suatu persamaan diferensial dengan turunan dari fungsi yang tidak diketahui untuk beberapa waktu tunda yang diberikan. Hal ini berkaitan dengan nilai fungsi pada waktu sebelumnya. Misal A adalah sebuah matriks berukuran n x n, maka sebuah vektor tak nol di dinamakan vektor eigen dari A, jika adalah kelipatan skalar dari yaitu:

untuk suatu skalar . Skalar ini dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan . Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n x n, maka sebagai: dituliskan kembali

atau (4) dengan merupakan matriks identitas. Persamaan (4) akan memunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika: (5) Persamaan (5) dinamakan persamaan karakteristik

(Anton 1987).

Misalkan suatu sistem persamaan diferensial memiliki bentuk seperti berikut: ̇ ̇ sehingga matriks koefisien dari sistem persamaan diferensial di atas ialah: *

+

Berdasarkan persamaan (5), maka persamaan karakteristiknya menjadi: (

)

5

atau dengan: dan Dengan demikian diperoleh nilai eigen dari A adalah: √

Nilai eigen

akan memenuhi kondisi:

, maka nilai eigen adalah bilangan real dan berbeda tanda 1. Jika sehingga titik tetap merupakan titik sadel. 2. Jika , maka nilai eigen dapat berupa bilangan real dengan tanda yang sama (titik tetap berupa simpul) atau bilangan kompleks conjugate (titik tetap berupa spiral atau center). Jika , maka berupa simpul dan jika , maka berupa spiral. Persamaan parabola adalah garis batas antara simpul dan spiral; star nodes dan degenerate nodes berada pada parabola ini. 3. Ketika , kedua nilai eigen memiliki tanda yang negatif, sehingga titik tetap stabil. Spiral dan simpul tak stabil memiliki . Titik stabil netral atau center berada pada garis , dimana nilai eigen adalah imajiner murni. 4. Jika , setidaknya ada satu nilai eigen yang sama dengan nol, maka titik tetap merupakan titik tak terisolasi (Strogatz 1994). Selanjutnya, Strogatz (1994) menjelaskan bahwa struktur kualitatif dari suatu sistem dinamika dapat berubah karena adanya perubahan dari parameter sistem dinamika tersebut. Hal inilah yang disebut bifurkasi. Bifurkasi adalah perubahan jumlah atau kestabilan titik tetap (titik kestabilan) dalam suatu sistem dinamik. Nilai parameter ketika terjadinya bifurkasi dinamakan titik bifurkasi. Salah satu jenis bifurkasi yaitu Bifurkasi Hopf. Bifurkasi Hopf adalah kemunculan siklus batas (limit cycle) dalam suatu sistem dinamis. Limit cycle sendiri merupakan orbit tertutup yang terisolasi. Terisolasi artinya bahwa orbit di sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus limit. Hal ini terjadi pada saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil atau sebaliknya. Titik bifurkasi terjadi pada saat sistem melalui sepasang nilai eigen murni imajiner. Bifurkasi dapat bersifat superkritis atau subkritis yang mengakibatkan limit cycle menjadi stabil atau tidak stabil. Bifurkasi Hopf bersifat superkritis saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dari spiral stabil menjadi spiral tak stabil, sedangkan bifurkasi Hopf bersifat subkritis saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas dari spiral tak stabil menjadi spiral stabil (Strogatz 1994).

6

HASIL DAN PEMBAHASAN Pemodelan Dalam karya ilmiah ini akan dibangun dua model mangsa-pemangsa, yaitu model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 (model pertama) yang merupakan model mangsa-pemangsa dengan pemanenan mangsa dan waktu tunda pada mangsa, dan model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 2 (model kedua) yang merupakan model mangsapemangsa dengan pemanenan mangsa dan waktu tunda pada pemangsa (Martin dan Ruan 2001). Berikut ini adalah uraian dari kedua model mangsa-pemangsa tersebut. Model 1 : Model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 Model ini menggambarkan interaksi antara mangsa dengan pemangsa, pemanenan konstan pada mangsa, dan komponen perlambatan pada tingkat pertumbuhan mangsa yang berpengaruh pada laju perubahan mangsa terhadap waktu. Berikut adalah model tipe Gause yang diperumum 1: [ (

)

(

)] (6)

[ di mana

, dan konstanta

(

)

] , dengan

: banyaknya populasi mangsa pada waktu t (populasi), : banyaknya populasi pemangsa pada waktu t (populasi), : faktor pengali (tanpa dimensi), : banyaknya populasi mangsa minimum yang dibutuhkan pemangsa agar stabil (populasi), : tingkat pertumbuhan spesifik mangsa berupa suatu fungsi sembarang (1/waktu), : koefisien interaksi antara mangsa dengan pemangsa berupa suatu fungsi sembarang (1/(populasi.waktu)), : respons fungsional dengan berupa suatu fungsi sembarang (1/waktu), : waktu tunda atau perlambatan (waktu), dan : upaya pemanenan populasi mangsa (populasi/waktu).

7

Model 2 : Model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 2 Model ini menggambarkan interaksi antara mangsa dengan pemangsa, pemanenan konstan pada mangsa, dan komponen perlambatan pada respons fungsional yang berpengaruh pada laju perubahan pemangsa terhadap waktu. Berikut adalah model tipe Gause yang diperumum 2: [ (

)

(

)] (7)

[ di mana

(

, dan konstanta

)]

, dengan

: banyaknya populasi mangsa pada waktu t (populasi), : banyaknya populasi pemangsa pada waktu t (populasi), : laju mengonsumsi mangsa oleh pemangsa (tanpa dimensi), : laju kematian pemangsa (1/waktu), : tingkat pertumbuhan spesifik mangsa (1/waktu), : koefisien interaksi antara mangsa dengan pemangsa berupa suatu fungsi sembarang (1/(populasi.waktu)), : respons fungsional dengan berupa suatu fungsi sembarang (1/waktu), : waktu tunda atau perlambatan (waktu), dan : upaya pemanenan populasi mangsa (populasi/waktu). Pada saat parameter

, persamaan (6) ekivalen dengan persamaan (7) di mana nilai sama dengan dan sama dengan . Pembahasan

Model 1 Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda Titik tetap didapat dari (6) diperoleh [

dan

[

]

, sehingga dari persamaan

]

Karena dan terdapat dua titik tetap yang mungkin, yaitu dengan

dan nilai

diperoleh dari penyelesaian persamaan

, maka hanya dan

8

Agar titik tetap memiliki komponen-komponen yang bernilai positif, batasan upaya pemanenan untuk titik tetap sebesar

Kemudian, agar titik tetap memiliki komponen-komponen yang bernilai sebesar positif, maka batasan upaya pemanenan untuk titik tetap

(bukti lampiran 1) Pelinearan Model dengan Waktu Tunda Model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda yang diberikan pada persamaan (6) dianalisis dengan menggunakan pendekatan model linear di titik tetap . Untuk itu dimisalkan dan Jika pemisalan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (6) dan disederhanakan, maka [

] (8)

(bukti lampiran 2) Analisis kestabilan di titik tetap pada model (8) ekivalen dengan analisis kestabilan dari titik tetap pada model persamaan (6) setelah dilinearisasi. Berikut ini akan ditentukan persamaan karakteristik untuk model persamaan (8). Jika persamaan pertama dan persamaan kedua pada persamaan (8) diturunkan terhadap dan , maka diperoleh

[

]

9

Jika penyelesaian titik tetap berbentuk

digunakan, maka diperoleh matriks Jacobi di

(

)

Penyelesaian persamaan karakteristik

, menghasilkan (9)

dengan (10) (bukti lampiran 3) Analisis kestabilan dilakukan dengan mencari nilai eigen pada masing-masing titik tetap. Dengan diperoleh persamaan (9), kita dapat menganalisis kestabilan dalam bentuk umum. Jika nilai maka diperoleh

sehingga diperoleh nilai eigen, yaitu √

1. Jika titik tetap maka diperoleh

disubstitusikan ke dalam persamaan (10),

dengan

sehingga diperoleh nilai eigen berikut √

atau dan Karena ada salah satu nilai eigen bernilai nol, maka titik tetap bersifat tak terisolasi.

10



dengan

sehingga diperoleh nilai eigen √

(11) terdapat 3

Berdasarkan nilai eigen pada persamaan (11) dengan kemungkinan, yaitu: i. ii. iii.

sehingga tetap bersifat simpul stabil jika sehingga tetap bersifat spiral stabil jika sehingga tetap bersifat spiral tidak stabil jika

Agar titik tetap

. Dalam hal ini titik . . Dalam hal ini titik . . Dalam hal ini titik .

stabil, maka nilai eigen harus negatif, sehingga √

atau

.

Jadi diperoleh nilai eigen yang negatif, maka titik tetap stabil. Jenis kestabilan titik tetap didasarkan pada kemungkinan di atas. Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis Model mangsa-pemangsa untuk waktu tunda pada persamaan (6) titik tetapnya bersifat spiral (stabil atau tidak stabil), sehingga nilai eigen dari matriks Jacobi dimisalkan dengan dan Untuk memeroleh nilai maka nilai eigen disubstitusikan ke dalam persamaan (9) sehingga didapatkan persamaan karakteristik

atau (12) dengan

.

11

Kemudian dengan memisahkan bagian real dan imajiner, pada persamaan (12) diperoleh

atau ekivalen dengan

(13)

Kuadratkan persamaan (13), diperoleh

Selanjutnya kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan sesuai pangkat dengan maka diperoleh polinomial berderajat empat (14) Dari persamaan (14) dapat dilihat dua hal, yang pertama bahwa suku yang memuat fungsi trigonometri tereliminasi dan waktu tunda juga tidak muncul. Kemudian yang kedua, persamaan (14) merupakan polinomial berderajat genap, bila didefinisikan sebagai akar dari persamaan (14) maka diperoleh (

√

)

(15)

Menurut aturan tanda Descartes, persamaan (14) akan memiliki paling tidak satu akar real positif jika variasi perubahan tanda koefisien polinomnya lebih dari satu atau sama dengan satu. Dari persamaan (15) dapat diketahui jika

menyebabkan persamaan polinom (14) tidak memiliki variasi perubahan tanda koefisien sehingga persamaan (15) tidak memiliki akar real positif. Dalam hal ini akan ditinjau jika dan

12

akan ada satu solusi positif dari persamaan (15). Dengan demikian persamaan (14) memiliki akar imajiner murni Sehingga dengan mensubstitusikan ke persamaan (13) diperoleh nilai tundaan kritis

)

(

(bukti lampiran 4) Bifurkasi Hopf Teorema Kar (2003) Misalkan ada sebuah bilangan bulat positif sedemikian sehingga berubah kestabilan dari stabil ke tidak stabil atau sebaliknya. Jika [ ) titik tetap bersifat stabil dan [ titik tetap bersifat tidak stabil, maka sistem akan terjadi bifurkasi Hopf terhadap titik tetap untuk

Berdasarkan persamaan (6), titik tetap stabil untuk . Untuk membuktikan Teorema Kar (2003) cukup dilakukan uji kebenaran kondisi transversal, yaitu kondisi yang menyebabkan perubahan kestabilan titik tetap dengan waktu tunda. Kriteria kondisi yang digunakan adalah (

)

dan (

)

Langkah pertama untuk memenuhi Teorema Kar (2003), persamaan (9) diturunkan terhadap (

)

atau

( ) Dari

persamaan

(16)

karakteristik

(9),

didapat

disubstitusikan pada persamaan (16) didapat (

)

Oleh karena itu, (

)

(

(

) )

lalu

13

(

(

(

)

)

( )

)

(

)

(

)

(bukti lampiran 5) Untuk nilai

diperoleh (

) (√

)

sehingga terpenuhi bahwa (

)

diperoleh

Untuk nilai (

) ( √

)


)

Oleh karena itu, kondisi transversal terpenuhi. Jadi, merupakan perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan model (8) sehingga terjadi bifurkasi Hopf. (bukti lampiran 6) Model 2 Penentuan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda Dari persamaan (7) diperoleh [

] [

]

14

Terdapat dua titik tetap yang mungkin, yaitu dengan

dan nilai

dan

diperoleh dari penyelesaian persamaan

Batasan upaya pemanenan untuk titik tetap

sebesar

Kemudian, batasan upaya pemanenan untuk titik tetap

sebesar

(bukti lampiran 7) Pelinearan Model dengan Waktu Tunda Model mangsa-pemangsa dengan waktu tunda yang diberikan pada persamaan (7) dianalisis dengan menggunakan pendekatan model linear di titik tetap . Untuk itu dimisalkan dan

.

Jika pemisalan tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (7), maka [

] (17)

(bukti lampiran 8) Jika persamaan pertama dan persamaan kedua pada persamaan (17) diturunkan terhadap dan , maka diperoleh [

]

15

Jika penyelesaian

digunakan, maka diperoleh matriks Jacobi (

)


, menghasilkan (18)

dengan (19) (bukti lampiran 9) Jika nilai

pada persamaan (18), maka diperoleh

sehingga diperoleh nilai eigen, yaitu √



dengan sehingga diperoleh nilai eigen berikut √

atau dan Karena ada salah satu nilai eigen bernilai nol, maka titik tetap bersifat tak terisolasi. 2. Jika titik tetap maka diperoleh

dengan


16

sehingga diperoleh nilai eigen √

(20)

Berdasarkan nilai eigen pada persamaan (20) dengan kemungkinan, yaitu: i. ii. iii.

sehingga simpul stabil jika . sehingga spiral stabil jika . sehingga spiral tidak stabil jika

Agar titik tetap

terdapat 3

. Dalam hal ini titik tetap bersifat . Dalam hal ini titik tetap bersifat . Dalam hal ini titik tetap bersifat .

stabil, maka nilai eigen harus negatif, sehingga √

atau

Penentuan Nilai Waktu Tunda Kritis disubstitusikan Untuk memeroleh nilai , maka nilai eigen ke dalam persamaan (18) sehingga didapatkan persamaan karakteristik

atau (21) dengan

.

Kemudian dengan memisahkan bagian real dan imajiner, pada persamaan (21) diperoleh

atau ekivalen dengan (22)

Kuadratkan persamaan (22), diperoleh

Selanjutnya kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan sesuai pangkat dengan maka diperoleh (23)

17

Bila didefinisikan diperoleh

sebagai akar dari persamaan (23) maka (

)

√

(24)

Karena maka akan ada satu solusi positif dari persamaan ke persamaan (22) diperoleh (24). Sehingga dengan mensubstitusikan nilai tundaan kritis

(

) (bukti lampiran 10)

Bifurkasi Hopf Berdasarkan persamaan (7), titik tetap stabil untuk . Untuk membuktikan Teorema Kar (2003) cukup dilakukan uji kebenaran kondisi transversal, yaitu kondisi yang menyebabkan perubahan kestabilan titik tetap dengan waktu tunda. Kriteria kondisi yang digunakan adalah (

)

dan (

)

Langkah pertama untuk memenuhi Teorema Kar (2003), persamaan (18) diturunkan terhadap (

)

atau

( ) Dari

persamaan

(25)

karakteristik

(18),

didapat

lalu

disubstitusikan pada persamaan (25) didapat (

)

Oleh karena itu, (

)

(

(

(

(

(

) ) )

(

)

)

) (bukti lampiran 11)

18

Untuk nilai

diperoleh (

) (√

)

sehingga terpenuhi bahwa ( Untuk nilai

)

diperoleh (

) ( √

)


)

Oleh karena itu, kondisi transversal terpenuhi. Jadi, merupakan perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan model (17) sehingga terjadi bifurkasi Hopf. (bukti lampiran 12) Simulasi Numerik Dinamika populasi mangsa pemangsa digambarkan oleh kurva dalam bidang fase dan bidang solusi untuk menentukan kestabilan populasi mangsa pemangsa pada waktu . Simulasi numerik dilakukan dengan cara mensubstitusikan nilai parameter yang telah ditentukan ke dalam persamaan model matematika mangsa-pemangsa dengan tundaan waktu dan pemanenan konstan. Pada simulasi ini, didefinisikan ( di mana konstanta

) dan , dengan

: laju intrinsik dari populasi mangsa (1/waktu), : daya dukung lingkungan, yang ditentukan oleh sumber daya yang tersedia (populasi), dan : tingkat kejenuhan pemangsaan (populasi).

19

Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa Tanpa dan dengan Waktu Tunda Pemanenan Konstan Untuk model tipe Gause yang diperumum 1 dan 2, diambil sembarang beberapa parameter tetap yaitu: dengan nilai awal . Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat Pada saat model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 ekivalen dengan model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 2. Dengan menggunakan parameter-parameter yang diberikan, dan diperlukan titik tetap, nilai eigen dan kestabilan pada saat diberikan dalam Tabel 1 Tabel 1 Titik tetap, nilai eigen, dan kestabilan saat Titik Tetap Luaran

Batas nilai

Jenis kestabilan

Tak Terisolasi

Tak Terisolasi

Spiral Stabil

Titik tetap yang diperoleh ada tiga untuk model pertama dan kedua, terdapat pada Tabel 1. Gambar 1 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan atau . simbol bahwa kurva bergerak spiral mendekati titik tetap

Gambar 1 Bidang fase saat

20

x

y 16.0

20.5

15.5

𝑦

20.0

𝑥

15.0 19.5

20

40

60

Gambar 2 Bidang solusi mangsa saat

80

t

20

40

60

80

t

Gambar 3 Bidang solusi pemangsa saat

Gambar 2 memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa model pertama dan kedua, mengalami penurunan setelah itu kenaikan yang drastis. Kemudian, pertumbuhan mangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan mangsa menuju . Gambar 3 memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi pemangsa mengalami penurunan yang drastis setelah itu kenaikan. Kemudian, pertumbuhan pemangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan pemangsa menuju . Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat Model 1 Titik tetap yang diperoleh ada tiga, terdapat pada Tabel 1. Untuk memenuhi teorema, maka dilakukan pemilihan nilai waktu tunda sebagai berikut Tabel 2 Pemilihan nilai waktu tunda model pertama

Menurut Teorema Kar (2003), titik tetap stabil ketika

dikatakan

21

Gambar 4 Bidang fase model pertama saat x

y 17

26

16

𝑥

𝑦

24

15

22

14 20

13

18

20

40

60

80

Gambar 5 Bidang solusi mangsa model pertama saat

100

t

20

40

60

80

100

t

Gambar 6 Bidang solusi pemangsa model pertama saat

Gambar 4 memperlihatkan limit cycle dan menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak secara spiral menjauhi titik tetap . Gambar 5 dan 6 menunjukkan kedua populasi terjadi osilasi terus menerus. Oleh karena itu, semakin besar nilai waktu tunda dalam pertumbuhan populasi menyebabkan ketidakstabilan terhadap pertumbuhan. Model 2 Titik tetap yang diperoleh ada tiga, terdapat pada Tabel 1. Untuk memenuhi teorema, maka dilakukan pemilihan nilai waktu tunda sebagai berikut Tabel 3 Pemilihan nilai waktu tunda model kedua

22

Gambar 7 Bidang fase model kedua saat y

x

20

18 25

16

𝑦

𝑥

14

20

12

10

50

100

150

200

t

8

50

Gambar 8 Bidang solusi mangsa model kedua saat

100

150

200

t

Gambar 9 Bidang solusi pemangsa model kedua saat

Gambar 7 memperlihatkan limit cycle dan menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak secara spiral menjauhi titik tetap . Gambar 8 dan 9 menunjukkan kedua populasi terjadi osilasi terus menerus. Oleh karena itu, semakin besar nilai waktu tunda dalam pertumbuhan populasi menyebabkan ketidakstabilan terhadap pertumbuhan. Perbandingan dan Pengaruh Waktu Tunda Kedua Model Model 1 Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat

Gambar 10 Bidang fase model pertama saat

23

x

y 16.0

21.0

20.5

𝑥

15.5

𝑦

20.0

15.0

19.5

20

40

60

80


t

20

40

60

80

t


Gambar 10 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak spiral mendekati titik tetap . Gambar 11 memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa model pertama, mengalami penurunan setelah itu kenaikan yang drastis. Kemudian, pertumbuhan mangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan mangsa menuju . Gambar 12 memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi pemangsa mengalami penurunan yang drastis setelah itu kenaikan. Kemudian, pertumbuhan pemangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan pemangsa menuju . Terlihat pula pada Gambar 10 kerapatan spiral kecil, menandakan bahwa terjadi sedikit osilasi tetapi cepat menuju kestabilan pada populasi mangsa dan pemangsa. Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat

Gambar 13 Bidang fase model pertama saat y

x

16.0

21.5

21.0

15.5 20.5

𝑦

20.0

15.0

𝑥

19.5

50

19.0

50

100

150

200


100

150

200

t

t


24

Gambar 13 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak spiral mendekati titik tetap . Gambar 14 memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa model pertama, mengalami penurunan setelah itu kenaikan yang drastis. Kemudian, pertumbuhan mangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan mangsa menuju . Gambar 15 memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi pemangsa mengalami penurunan yang drastis setelah itu kenaikan. Kemudian, pertumbuhan pemangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan pemangsa menuju . Terlihat pula pada Gambar 13 kerapatan spiral sedang, menandakan bahwa terjadi banyak osilasi dan dibutuhkan waktu lama untuk menuju kestabilan pada populasi mangsa dan pemangsa. Kemunculan limit cycle pada Gambar 4 menunjukkan bahwa terjadi bifurkasi Hopf superkritis, disebabkan karena perubahan kestabilan dari keadaan stabil saat menjadi tidak stabil saat . Model 2 Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat


x

16.0 21.0

15.5 20.5

𝑦

𝑥

15.0

20.0

19.5

14.5

200

400

600

800


t

200

400

600

800

t


Gambar 16 menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak spiral mendekati titik tetap . Gambar 17 memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa model pertama, mengalami penurunan setelah itu kenaikan yang drastis. Kemudian, pertumbuhan

25

mangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan mangsa menuju . Gambar 18 memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi pemangsa mengalami penurunan yang drastis setelah itu kenaikan. Kemudian, pertumbuhan pemangsa mengalami osilasi namun semakin lama simpangannya semakin kecil menyebabkan kestabilan pemangsa menuju . Terlihat pula pada Gambar 16 kerapatan spiral tinggi, menandakan bahwa terjadi banyak osilasi dan dibutuhkan waktu lama untuk menuju kestabilan pada populasi mangsa dan pemangsa. Dinamika Populasi Mangsa-Pemangsa saat


x 26

18 24

𝑥

𝑦

22

16

14 20

12

18

20

40

60

80


100

t

20

40

60

80

100

t


Gambar 19 memperlihatkan limit cycle dan menunjukkan starting point atau nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak secara spiral menjauhi titik tetap . Gambar 20 dan 21 menunjukkan kedua populasi terjadi osilasi terus menerus. Oleh karena itu, semakin besar nilai waktu tunda dalam pertumbuhan populasi menyebabkan ketidakstabilan terhadap pertumbuhan. Kemunculan limit cycle pada Gambar 19 menunjukkan bahwa terjadi bifurkasi Hopf superkritis, disebabkan karena perubahan kestabilan dari keadaan stabil saat menjadi tidak stabil saat .

26

SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Dari model mangsa pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan dan tanpa waktu tunda diperoleh tiga titik tetap positif di setiap model. Pada model mangsa-pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 dan 2, kestabilan titik tetap pertama dan kedua bersifat tak terisolasi, sedangkan titik tetap ketiga bersifat spiral stabil. Dinamika populasi mangsa-pemangsa pada model juga dipengaruhi oleh waktu tunda dalam masa kelahiran untuk kestabilan titik tetap. Waktu tunda yang didapat pada model mangsa pemangsa tipe Gause yang diperumum 1 lebih besar dibandingkan dengan model mangsa pemangsa tipe Gause yang diperumum 2. Perubahan parameter waktu tunda dari kecil ke besar menyebabkan perubahan kestabilan titik tetap dari stabil menjadi tidak stabil. Hal ini menandakan bahwa pada model mangsa-pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan dan waktu tunda menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf superkritis. Saran Pada karya ilmiah ini, dipilih fungsi adalah fungsi pertumbuhan logistik dan fungsi adalah fungsi respons Holling-Tanner tipe II. Untuk penelitian selanjutnya, dapat digunakan fungsi lainnya, pengaruh waktu tunda dapat diperluas, dan pemanenan dapat berupa fungsi tidak konstan.

DAFTAR PUSTAKA Anton H. 1987. Aljabar Linear Elementer. Jakarta (ID): Erlangga. Bacaer N. 2011. A Short History of Mathematical Population Dynamics. New York (US): Springer-Verlag. Beretta E, Kuang Y. 1996. Convergence Results in a Well-Known Delayed Predator-Prey System. J. Math. Anal. Appl. 204:840-853. doi:10.1006/jmaa.1996.0471. Braun M. 1983. Differential Equations and Their Applications. New York (US): Springer-Verlag. Garrott RA, White PJ, Watson FGR. 2009. The Ecology of Large Mammals in Central Yellowstone Sixteen Years of Integrated Field Studies. San Diego (US): Elsevier. Kar TK. 2003. Selective Harvesting in a Prey-Predator Fishery with Time Delay. Mathematical and Computer Modelling. 38:449-458. doi:10.1016/S0895-7177(03)00232-2. Martin A, Ruan S. 2001. Predator-Prey Models with Delay and Prey Harvesting. J. Math. Biol. 43:247-267. doi:10.1007/s002850100095 Murray JD. 2002. Mathematical Biology. I. An Introduction Third Edition. New York (US): Springer-Verlag.

27

Ruan S. 2009. On Nonlinear Dynamics of Predator-Prey Models with Discrete Delay. Math. Model. Nat. Phenom. 4:140-188. doi:10.1051/mmnp/20094207. Skalski GT, Gilliam JF. 2001. Functional Response with Predator Interference: Viable Alternatives to the Holling Type II Model. Ecology. 82:3083-3092. doi:10.2307/2679836. Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusetts (US): Addison-Wesley Publishing Company.

28

LAMPIRAN Lampiran 1 Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model pertama Titik tetap didapat dari (6) diperoleh [

dan


] [



dan [

]

]

Jadi, diperoleh titik tetap

[

]

Nilai

dan [

diperoleh dari persamaan

]

]

[

]

[

Jadi, diperoleh titik tetap

(

) dengan didefinisikan

Agar titik tetap memiliki komponen-komponen yang bernilai positif, maka dari titik tetap ( ) diperoleh

sehingga batasan upaya pemanenan untuk titik tetap

sebesar

29

Lampiran 2 Penyederhanaan model pertama dengan metode linearisasi Tinjau persamaan (6) berikut [ ( [

) (

( )

)] ]

Persamaan (6) akan dilinearisasikan dengan memisalkan variabel berikut: dan

.

dan , adalah parameter perturbasi. Tinjau Dengan persamaan pertama dari persamaan (6) berikut [ ( Jika variabel diperoleh [

dan

)

(

)]

disubstitusikan ke dalam persamaan pertama, maka

][

[

]

]

Dengan melakukan pendekatan uraian Taylor satu peubah, maka didapatkan persamaan sebagai berikut:

dengan

dapat diabaikan sehingga persamaan menjadi

30

Persamaan pertama sebelumnya menjadi [

] [ [

[

]

[

] ]

] [

]

asumsikan

(

Karena fungsi tak linear dan karena maka berimplikasi pada persamaan pertama tersebut menjadi

Karena

)

dan

( ) sehingga

maka [

]

[

]

Dengan dan , adalah parameter perturbasi. Tinjau persamaan kedua dari persamaan (6) berikut [ Jika variabel diperoleh [ [

dan

(

)

]

disubstitusikan ke dalam persamaan kedua, maka

][[ ][

]

] ]

31


dengan


Persamaan kedua sebelumnya menjadi [

] [

[

] ]

[

]

asumsikan

Karena fungsi tak linear dan karena ( ) maka berimplikasi pada sehingga persamaan kedua tersebut menjadi

Karena

dan

maka

32

Lampiran 3 Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda model pertama Tinjau persamaan (8) berikut [

]

Jika persamaan pertama dan persamaan kedua pada persamaan (8) diturunkan terhadap dan , maka diperoleh

[

Jika penyelesaian

]

digunakan, maka diperoleh dan

sehingga

Dengan disubstitusikan

ke dalam persamaan turunan kedua

di atas, diperoleh [

]

33

sehingga didapat matriks Jacobi (

)


, menghasilkan

|

|

[ [ jika dimisalkan

maka diperoleh

] ]

[

]

34

Lampiran 4 Penentuan tundaan waktu kritis model pertama Dari persamaan (13) diperoleh

Untuk persamaan pertama pada persamaan (13), ubah ke dalam bentuk

Untuk persamaan kedua pada persamaan (13), ubah ke dalam bentuk

Eliminasi kedua ruas menjadi

diperoleh

(

)

35

Lampiran 5 Penjabaran fungsi sign model pertama (

)

(

(

(

(

( (

)

) ) )

( )

)

(

)

( )

(

))

Pada masing-masing suku akan dilakukan manipulasi aljabar agar mendapatkan bagian real saja untuk digunakan pada fungsi sign  Bagian

(

)

      

karena bagian

    Bagian

( )

 Bagian

(

)

 

karena bagian

maka hasilnya nol.

maka

36

Sehingga (

)

(

)

Dari persamaan (14) diketahui bahwa

maka diperoleh (

)

(

)

Selanjutnya pada pecahan tersebut hanya akan dikaji pembilangnya saja karena penyebut dalam bentuk kuadratik berderajat genap yang akan selalu bernilai positif, sehingga (

)

37

Lampiran 6 Penjabaran kondisi transversal model pertama Dari persamaan (16) diketahui √

(

)

sehingga √ Untuk nilai (

diperoleh ) √ √

sehingga terpenuhi bahwa ( diperoleh

Untuk nilai (

)

) √ √


)

38

Lampiran 7 Penentuan titik tetap dan batas nilai upaya pemanenan model kedua Titik tetap didapat dari (7) diperoleh [ 

dan [

dan


]

[

]

]

Jadi, diperoleh titik tetap 

Nilai

dan [

[

Jadi, diperoleh titik tetap persamaan

diperoleh dari persamaan

]

]

Nilai

dan

diperoleh dari

Agar titik tetap memiliki komponen-komponen yang bernilai positif, maka dari titik tetap dengan

diperoleh

sehingga batasan upaya pemanenan untuk titik tetap

sebesar

39

Lampiran 8 Penyederhanaan model kedua dengan metode linearisasi Tinjau persamaan (7) berikut [ (

)

[

(

)]

(

)]

Persamaan (7) akan dilinearisasikan dengan memisalkan variabel berikut: dan

.

dan , adalah parameter perturbasi. Tinjau Dengan persamaan pertama dari persamaan (7) berikut [ ( Jika variabel diperoleh [

dan

)

(

)]

disubstitusikan ke dalam persamaan pertama, maka

][

[

]

]


dengan


40

Persamaan pertama sebelumnya menjadi [

] [ [

[ ] ]

[

] ]

[

]

asumsikan

Karena fungsi tak linear dan ( maka berimplikasi pada persamaan pertama tersebut menjadi

Karena

)

(

dan

) sehingga

maka

[

]

[

]

Dengan dan , adalah parameter perturbasi. Tinjau persamaan kedua dari persamaan (7) berikut [ Jika variabel diperoleh [

dan

(

)]

disubstitusikan ke dalam persamaan kedua, maka

][

[

]

]

41


dengan


Persamaan kedua sebelumnya menjadi [ [

]

] ]

[

[

]

asumsikan

(

Karena fungsi tak linear dan karena maka berimplikasi pada

sehingga persamaan kedua tersebut menjadi

karena

dan

maka

)

42

Lampiran 9 Penentuan matriks Jacobi dan persamaan karakteristik waktu tunda model kedua Tinjau persamaan (17) berikut [

]

Jika persamaan pertama dan persamaan kedua pada persamaan (18) dan , maka diperoleh diturunkan terhadap [

Jika penyelesaian

]

digunakan, maka diperoleh dan

sehingga

Dengan disubstitusikan

ke dalam persamaan turunan kedua

di atas, diperoleh [

]

43

sehingga didapat matriks Jacobi (

)


, menghasilkan

| [

| ]

[ jika dimisalkan

maka diperoleh

]

44

Lampiran 10 Penentuan tundaan waktu kritis model kedua Dari persamaan (22) diperoleh

Untuk persamaan pertama pada persamaan (22), ubah ke dalam bentuk

Untuk persamaan kedua pada persamaan (22), ubah ke dalam bentuk

Eliminasi kedua ruas menjadi

diperoleh

(

)

45

Lampiran 11 Penjabaran fungsi sign model kedua (

)

(

(

) )

(

(

(

(

) )

( (

)

)

))

Pada masing-masing suku akan dilakukan manipulasi aljabar agar mendapatkan bagian real saja untuk digunakan pada fungsi sign  Bagian

(

)

     

karena bagian

maka

   Bagian

(

)

 

karena bagian

maka hasilnya nol.

Sehingga (

)

(

)

Selanjutnya pada pecahan tersebut hanya akan dikaji pembilangnya saja karena penyebut dalam bentuk kuadratik berderajat genap yang akan selalu bernilai positif, sehingga (

)

46

Lampiran 12 Penjabaran kondisi transversal model kedua Dari persamaan (24) diketahui √

(

)

sehingga √ Untuk nilai (

diperoleh ) (

)

√

(√

)

sehingga terpenuhi bahwa )

( diperoleh

Untuk nilai (

) ( ( √

)


)

√

)

47

Lampiran 13 Program plot bidang fase kedua model tanpa waktu tunda (Gambar 1) f[x_]:=r*(1-x/k);h[x_]:=1/(b+x);k=40;r=2;b=10; Manipulate[Module[{plt1,plt2,sol,x0=xx0,y0=yy0},sol =NDSolve[{x'[t]==x[t]*(f[x[t-]]-y[t]*h[x[t]])H,y'[t]*y[t]*(x[t]*h[x[t]]j*h[j]),x[t/;t0]==x0,y[t/;t0]==y0},{x[t],y[t]},{t ,0,50}]; plt1=ParametricPlot[{x[t],y[t]}/.sol,{t,0,50},PlotR angeAll, AspectRatio0.6, PlotStyle{RGBColor[1,0,1], Thick}, AxesLabel{x, y}]; start = Graphics[Locator[Dynamic[{xx0, yy0}], BackgroundYellow, LocatorRegionAutomatic], PlotRangeAll]; plt2={plt1, start}; Show[plt2,ImageSize {450,400}]], Style["Persamaan differensial :",Bold], Style["x = x(f[x]-yh[x])-H ",Bold], Style[" y = y(xh[x]-jh[j]) ",Bold], Delimiter, Style["parameters",Bold,10], {{,3,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La beled"}, {{H,10,"H"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance" Labeled"}, {{j,20,"j"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance" Labeled"}, {{,0,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La beled"}, Delimiter, Style["initial conditions",Bold,10],{{xx0,20,"x0"},0,50,.01,ImageS izeSmall,Appearance"Labeled"},{{yy0,16,"y0"},0,5 0,.01,ImageSizeSmall,Appearance"Labeled"}, ControlPlacement Left,SynchronousUpdatingFalse]

48

Lampiran 14 Program plot bidang solusi mangsa kedua model tanpa waktu tunda (Gambar 2) f[x_]:=r*(1-x/k);h[x_]:=1/(b+x);k=40;r=2;b=10; Manipulate[Module[{plt1,sol,x0=xx0,y0=yy0},sol=NDSo lve[{x'[t]==x[t]*(f[x[t-]]-y[t]*h[x[t]])H,y'[t]*y[t]*(x[t]*h[x[t]]j*h[j]),x[t/;t0]==x0,y[t/;t0]==y0},{x[t],y[t]},{t ,0,80}]; plt1=ParametricPlot[{t,x[t]}/.sol,{t,0,80},PlotRang eAll, AspectRatio0.6, PlotStyle{RGBColor[1,0,0], Thick}, AxesLabel{“t”,“x”}]; Show[plt1,ImageSize {450,400}]], Style["Persamaan differensial :",Bold], Style["x = x(f[x]-yh[x])-H ",Bold], Style[" y = y(xh[x]-jh[j]) ",Bold], Delimiter, Style["parameters",Bold,10], {{,3,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La beled"}, {{H,10,"H"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance" Labeled"}, {{j,20,"j"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance" Labeled"}, {{,0,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La beled"}, Delimiter, Style["initial conditions",Bold,10],{{xx0,20,"x0"},0,50,.01,ImageS izeSmall,Appearance"Labeled"},{{yy0,16,"y0"},0,5 0,.01,ImageSizeSmall,Appearance"Labeled"}, ControlPlacement Left,SynchronousUpdatingFalse]

49

Lampiran 15 Program plot bidang solusi pemangsa kedua model tanpa waktu tunda (Gambar 3) f[x_]:=r*(1-x/k);h[x_]:=1/(b+x);k=40;r=2;b=10; Manipulate[Module[{plt1,sol,x0=xx0,y0=yy0},sol=NDSo lve[{x'[t]==x[t]*(f[x[t-]]-y[t]*h[x[t]])H,y'[t]*y[t]*(x[t]*h[x[t]]j*h[j]),x[t/;t0]==x0,y[t/;t0]==y0},{x[t],y[t]},{t ,0,80}]; plt1=ParametricPlot[{t,y[t]}/.sol,{t,0,80},PlotRang eAll, AspectRatio0.6, PlotStyle{RGBColor[0,1,0], Thick}, AxesLabel{“t”,“y”}]; Show[plt1,ImageSize {450,400}]], Style["Persamaan differensial :",Bold], Style["x = x(f[x]-yh[x])-H ",Bold], Style[" y = y(xh[x]-jh[j]) ",Bold], Delimiter, Style["parameters",Bold,10], {{,3,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La beled"}, {{H,10,"H"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance" Labeled"}, {{j,20,"j"},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance" Labeled"}, {{,0,""},0,50,.01,ImageSizeSmall,Appearance"La beled"}, Delimiter, Style["initial conditions",Bold,10],{{xx0,20,"x0"},0,50,.01,ImageS izeSmall,Appearance"Labeled"},{{yy0,16,"y0"},0,5 0,.01,ImageSizeSmall,Appearance"Labeled"}, ControlPlacement Left,SynchronousUpdatingFalse]

50

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 2 April 1993 dari ibunda Riesa Pri Handayani dan ayahanda Cecep Supriyanto. Pada tahun 2011 penulis lulus dari SMA Negeri 3 Bekasi dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Undangan dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menjadi mahasiswa IPB penulis aktif menjadi pengurus Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) sebagai Sekretaris II Badan Pengurus Harian (BPH) 2012/2013, sebagai Ketua Biro Kesekretariatan 2013/2014 dan pernah menjadi panitia di berbagai acara yang diselenggarakan oleh Gumatika. Penulis pernah mengikuti dan mendapatkan juara I Gumatika Calculus Cup pada tahun 2012. Penulis juga pernah menjadi asisten praktikum mata kuliah Kalkulus II (MAT 211) semester genap 2012/2013, Persamaan Diferensial Biasa (MAT 252) semester ganjil 2013/2014, Pengantar Teori Peluang (MAT 352) semester genap 2013/2014, Pemrograman Tak Linear (MAT 331) semester ganjil 2014/2015, Sistem Dinamika Dasar (MAT 451) semester genap 2014/2015, serta menjadi pengajar tutor matakuliah Statistika Matematika (MAT 354) untuk angkatan 48 dan 49.

PERILAKU DINAMIS MODEL MANGSA-PEMANGSA TIPE GAUSE YANG DIPERUMUM DENGAN WAKTU TUNDA PEMANENAN KONSTAN HASANNUDIN

Recommend Documents