BIFURKASI HOPF PADA MODEL SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA DAN DENGAN WAKTU TUNDA NURRACHMAWATI

BIFURKASI HOPF PADA MODEL SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA DAN DENGAN WAKTU TUNDA

NURRACHMAWATI

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

ABSTRAK NURRACHMAWATI. Bifurkasi Hopf pada Model Siklus Bisnis Kaldor-Kalecki tanpa dan dengan Waktu Tunda. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan TONI BAKHTIAR. Model siklus bisnis adalah salah satu sistem dinamik dalam bidang ekonomi. Ada beberapa model siklus bisnis, diantaranya model Kaldor-Kalecki. Model siklus bisnis Kaldor-Kalecki yang dituliskan dalam persamaan diferensial tundaan, merupakan suatu siklus bisnis yang melibatkan pendapatan kotor dan stok modal dari suatu perusahaan. Dalam tulisan ini dianalisis model siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dan dengan waktu tunda dalam stok modal. Dengan melakukan ekspansi Taylor untuk waktu tunda, model ini dianalisis dengan mencari kestabilan di sekitar titik tetap. Selanjutnya dengan menggunakan teorema Bifurkasi Hopf, dapat ditunjukkan keberadaan orbit periodik dan siklus limit (limit cycle). Dalam model tanpa waktu tunda, dengan mengubah parameter “koefisien penyesuaian di pasar barang” dapat mengakibatkan terjadinya bifurkasi Hopf serta adanya siklus limit. Begitu juga untuk model dengan waktu tunda, ditunjukkan bahwa pengubahan parameter “waktu tunda” dapat mengakibatkan terjadinya bifurkasi Hopf dan memunculkan siklus limit. Kata kunci : model siklus bisnis Kaldor-Kalecki, bifurkasi Hopf, persamaan deferensial tundaan

ABSTRACT NURRACHMAWATI. Hopf Bifurcation in Nondelayed and Delayed Kaldor-Kalecki Business Cycle Models. Supervised by ALI KUSNANTO and TONI BAKHTIAR. Business cycle model is one of dynamical system models in economic. One of the business cycles model is Kaldor-Kalecki model. Kaldor-Kalecki business cycle model that is written in delayed defferential equations, is a business cycle model that involves gross product and capital stock of a company. In this paper Kaldor-Kalecki business cycle model is analyzed using both nondelay and delay in time of capital stock. By Taylor expansion for the time delayed model, an analysis of stability around the fixed points has been done. Furthermore, by using Hopf bifurcation theorem, it can be shown that there exists periodic orbits and limit cycle. In the nondelayed model, changing the parameter of goods market could lead to the occurrence of Hopf bifurcation and the existence of limit cycle. Similarly, for the delayed model, it has been shown that changing the time delay parameter may result in the occurrence of Hopf bifurcation and limit cycle. Keywords: Kaldor-Kalecki business cycle model, Hopf bifurcation, delayed defferential equations

BIFURKASI HOPF PADA MODEL SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA DAN DENGAN WAKTU TUNDA

NURRACHMAWATI

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

Judul Nama NRP

: Bifurkasi Hopf pada Model Siklus Bisnis Kaldor-Kalecki tanpa dan dengan Waktu Tunda : Nurrachmawati : G54070027

Menyetujui,

Pembimbing I

Drs. Ali Kusnanto, M.Si. NIP 19650820 199003 1 001

Pembimbing II

Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. NIP 19720627 199702 1 002

Mengetahui, Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, M.S. NIP 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus :

KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan pertolongan-Nya sehingga penulisan skripsi ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih adalah Pemodelan Matematika dengan judul Bifurkasi Hopf pada Model Siklus Bisnis Kaldor-Kalecki tanpa dan dengan Waktu Tunda. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada : 1.

Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si dan Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc selaku dosen pembimbing atas segala kesabaran, ilmu dan masukkannya selama membimbing penulis; kepada Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS selaku penguji; 2. Ayahanda Timbang Subroto (Alm) dan Ibunda Rojiah Rambe yang banyak memberi nasihat dan dukungan serta do’a yang takterkira, Adikku Toto Suhariyanto yang selalu memberi doa dan keceriaan. Saudaraku Tulang Dalkot, Bang Ipul dan Bang Dede yang selalu memberi doa dan nasihatnya; 3. Keluarga besar dan staf Departemen Matematika FMIPA IPB: Pak Yono, Bu Susi, Bu Ade, Mas Heri, Mas Deni, Pak Bono, dkk yang telah banyak membantu dalam penyusunan skripsi; 4. Teman-teman satu bimbingan: Sri, Fajar dan Aje yang selalu saling mengingatkan dan membantu dalam penyusunan skripsi; 5. Teman-teman terbaikku di kampus: Sri, Melon, Ayung, Della, Tyas, Fajar, Denda, Rofi, Pandi, Dian, dan Rizky yang selalu memberikan semangat, keceriaan, dan bantuan serta mengingatkan penulis dalam penyusunan skripsi; 6. Teman-teman mahasiswa matematika angkatan 44: Sri, Melon, Ayung, Tyas, Della, Fajar, Rofi, Denda, Dian, Pandi, Rizky, Ruhiyat, Wahyu, Iam, Lingga, Ima, Dora, Lugina, Yuyun, Nunuy, Ucu, Wenti, Ndep, Pepi, Ali, Aje, Deva, Eka, Titi, Lilis, Aqil, Ikhsan, Vianey, Yuli, Masayu, Diana, Yanti, Indin, Sari, Lukman, Olih, Cepi, Aswin, Imam, Ririh, Iresa, Anis, Tita, Arina, Tanti, Lili, Nurus, Nadiroh, Naim, Endro, Copa, Yogi, Tendy, Siska, Lina atas segenap dukungan, suka-duka dan kebahagiaan selama penulis menempuh studi di Departemen Matematika; 7. Kakak-kakak mahasiswa angkatan 43: Kak Nia, Kak Copi, Kak Apri, Kak Cupit, Kak Wira, Kak Arum, Kak Tami, Kak Slamet dkk yang telah memberikan banyak informasi dan motivasinya; adik-adik mahasiswa matematika angkatan 45: Isna, Megha, Bolo, Vivi, Dono, Feni dkk yang telah mendukung penulis dalam menyusun skripsi; 8. Keluarga besar kosan Nusa Indah: Elvita, Rini, Shiva, Riri, Ratih, Sarah, dan Ajeng yang telah memberikan keceriaan, do’a dan motivasinya kepada penulis dalam penyusunan skripsi; 9. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil. Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.

Bogor, Oktober 2011

Nurrachmawati

RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Jakarta pada tanggal 23 September 1989 sebagai anak pertama dari dua bersaudara, anak dari pasangan Timbang Subroto dan Rojiah Rambe. Tahun 2001 penulis lulus dari SDN Kelapa Gading Barat 01 Pagi. Tahun 2004 penulis lulus dari SMPN 123 Jakarta. Tahun 2007 penulis lulus dari SMAN 72 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2008, penulis memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai staf Sosinkom periode 2008/2009 dan juga sebagai sekertaris Forum Silahturahmi Matematika (FORSMATH) periode 2009/2010. Selain itu, penulis pernah terlibat dalam berbagai kegiatan mahasiswa, divisi acara pada Agricultural Creativity Festival di Badan Eksekutif Mahasiswa-Keluarga Mahasiswa (BEM-KM) tahun 2008, divisi publikasi dan dekorasi pada Lomba Karya Cipta Mahasiswa (LKCM) nasional di BEM FMIPA tahun 2009, divisi danus Matematika Ria, Pesta Sains tahun 2009 dan divisi kreatif pada Masa Perkenalan Departemen (MPD) Matematika tahun 2010.

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI ............................................................................................................................... vii DAFTAR TABEL....................................................................................................................... viii DAFTAR GAMBAR .................................................................................................................. viii DAFTAR LAMPIRAN .............................................................................................................. viii I

PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang .............................................................................................................. 1.2 Tujuan ........................................................................................................................... 1.3 Metode........................................................................................................................... 1.4 Sistematika Penulisan ....................................................................................................

1 1 1 1

LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Dinamik ............................................................................................................. 2.1.1 Titik Tetap ........................................................................................................... 2.1.2 Kestabilan Titik Tetap ......................................................................................... 2.2 Persamaan Deferensial Tundaan ................................................................................... 2.3 Ekspansi Taylor ............................................................................................................. 2.4 Pelinearan ...................................................................................................................... 2.5 Vektor Eigen dan Nilai Eigen ........................................................................................ 2.6 Analisis Kestabilan Titik Tetap ..................................................................................... 2.7 Bifurkasi ........................................................................................................................ 2.7.1 Siklus Limit (Limit Cycle) ................................................................................... 2.7.2 Bilangan Lyapunov ..............................................................................................

2 2 2 2 2 2 3 3 4 4 4

III SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA 3.1 Model tanpa Waktu Tunda ............................................................................................ 3.2 Analisis Model tanpa Waktu Tunda .............................................................................. 3.3 Simulasi Model tanpa Waktu Tunda .............................................................................

5 5 6

II

IV SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI DENGAN WAKTU TUNDA 4.1 Model dengan Waktu tunda........................................................................................... 8 4.2 Analisis Model dengan Waktu Tunda ........................................................................... 8 4.3 Model dengan ..................................................................................................... 9 4.4 Analisis Model dengan ....................................................................................... 9 4.5 Model dengan ..................................................................................................... 9 4.6 Analisis Model dengan ....................................................................................... 9 4.7 Simulasi Model dengan Waktu Tunda .......................................................................... 10 V

KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan ....................................................................................................................... 17 5.2 Saran.............................................................................................................................. 17

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................. 18 LAMPIRAN ................................................................................................................................ 19

vii

DAFTAR TABEL Halaman 1 2 3 4

Kestabilan Titik Tetap Model tanpa Waktu Tunda .............................................................. 6 Kestabilan Titik Tetap Model dengan ....................................................................... 9 Kestabilan Titik Tetap Model dengan ....................................................................... 9 Perubahan Nilai Parameter ................................................................................................ 10

DAFTAR GAMBAR Halaman 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Kurva Fungsi Investasi dan Fungsi Simpanan ..................................................................... Bidang Solusi dan Bidang Fase Model tanpa Waktu Tunda pada Simulasi 1 ...................... Bidang Solusi dan Bidang Fase Model tanpa Waktu Tunda pada Simulasi 2 ...................... Bidang Solusi dan Bidang Fase Model tanpa Waktu Tunda pada Simulasi 3 ...................... Kurva Fungsi Investasi ......................................................................................................... Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi 1 ............................... Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi 2 ............................... Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi 3 ............................... Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi 4 ............................... Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi 1: ................. Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi 1: ................. Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi 1: ................. Bidang Solusi Model dengan pada Simulasi 1 .......................................................... Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi 2: ................. Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi 2: .............. Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi 2: ................. Bidang Solusi dan Bidang Fase Model dengan pada Simulasi 3 ...............................

6 6 7 7 10 10 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16

DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Pelinearan Model tanpa Waktu Tunda ................................................................................. Penentuan Jenis Kestabilan Model tanpa Waktu Tunda....................................................... Program Mathematica 7.0 pada Gambar 1 ........................................................................... Analisis Model tanpa Waktu Tunda ..................................................................................... Program Maple 13 pada Gambar 2, Gambar 3, Gambar 4 ................................................... Bilangan Lyapunov Model tanpa Waktu Tunda ................................................................... Pendekatan Ekspansi Taylor Model dengan Waktu Tunda .................................................. Penentuan Titik Tetap Model dengan Waktu Tunda ............................................................ Model Pelinearan pada Model dengan Waktu Tunda .......................................................... Penentuan Nilai tr A dan det A Model dengan Waktu Tunda ............................................... Penentuan Jenis Kestabilan Model dengan ................................................................ Penentuan pada Model Waktu Tunda ................................................................ Penentuan Jenis Kestabilan Model dengan ................................................................ Program Mathematica 7.0 pada Gambar 5 ........................................................................... Analisis Model dengan .............................................................................................. Program Maple 13 pada Gambar 6, Gambar 7, Gambar 8, Gambar 9 ................................. Analisis Model dengan , Simulasi 1 ........................................................................... Program Maple 13 pada Gambar 10, Gambar 11, Gambar 12 ............................................. Bilangan Lyapunov pada Model dengan , Simulasi 1 ................................................. Program Maple 13 pada Gambar 13..................................................................................... Analisis Model dengan , Simulasi 2 ........................................................................... Program Maple 13 pada Gambar 14, Gambar 15, Gambar 16 ............................................. Bilangan Lyapunov pada Model dengan , Simulasi 2 ................................................. Analisis Model dengan , Simulasi 3 ........................................................................... Program Maple 13 pada Gambar 17.....................................................................................

20 20 22 22 25 26 27 28 29 30 30 31 32 33 34 38 40 41 43 44 45 46 48 48 49

viii

I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Sistem dinamik dapat diterapkan dalam berbagai bidang kehidupan, seperti dalam bidang ekonomi, baik ekonomi mikro maupun ekonomi makro. Salah satu sistem dinamik dalam bidang ini adalah model siklus bisnis. Ada beberapa model siklus bisnis seperti siklus bisnis IS-LM, siklus bisnis KaldorKalecki, siklus bisnis Torre, siklus bisnis Gabisch dan Lorenz, siklus bisnis Cai, dan siklus binis Zhou dan Li. Dalam karya ilmiah ini akan dianalisis model siklus bisnis KaldorKalecki (Anwarudin 2009). Model siklus bisnis Kaldor-Kalecki merupakan pengembangan pertama dari model siklus bisnis IS-LM. Model IS-LM merupakan suatu sistem dinamik dalam bidang ekonomi yang melibatkan fungsi investasi (I), fungsi simpanan (S), permintaan uang (L), dan persediaan uang (M). Sedangkan model siklus bisnis Kaldor-Kalecki sendiri merupakan suatu siklus bisnis yang melibatkan stok modal (K) dan pendapatan kotor (Y). Dalam karya ilmiah ini dianalisis model siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dan dengan waktu tunda. Waktu tunda akan diperkenalkan untuk persamaan akumulasi modal dan gagasan tentang keterlambatan dalam proses investasi. Kalecki (1935) menerangkan bahwa waktu tunda dalam model siklus bisnis merupakan hasil dari interval waktu yang diperlukan antara keputusan berinvestasi dan pemasangan investasi modal (Anwarudin 2009). Sedangkan model tanpa waktu tunda menyatakan bahwa tidak ada masa persiapan atau penundaan sampai perlengkapan modal tersedia dan siap untuk digunakan. Model ini dituliskan dalam persamaan diferensial tunda orde kedua. Beberapa teknik umum dalam teori bifurkasi akan dipakai untuk menganalisis model siklus ini. Teori bifurkasi digunakan dalam memelajari dinamika sistem taklinear, yaitu untuk menggambarkan beberapa perubahan perilaku dari sistem dengan beberapa nilai parameter yang bervariasi.

Dalam menganalisis model siklus bisnis Kaldor-Kalecki ini, salah satu alat yang digunakan adalah teorema bifurkasi dari Poincar´e–Andronov–Hopf, yaitu teorema bifurkasi Hopf. Bifurkasi Hopf digunakan untuk menentukan eksistensi orbit periodik dan limit cycle dari suatu sistem, menjamin keberadaan dan keunikan solusi periodik, serta dapat menunjukkan bahwa dinamika kondisi pendapatan kotor dan stok modal suatu perusahaan dapat digambarkan dalam model Kaldor-Kalecki (Krawiec dan Szydlowski 2001). 1.2 Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini ialah sebagai berikut: 1. Menganalisis perilaku dinamik yang terjadi pada model siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa dan dengan waktu tunda. 2. Menunjukan terjadinya bifurkasi Hopf pada model siklus bisnis Kaldor-Kalecki. 1.3 Metode Metode dari penulisan karya ilmiah ini adalah menganalisis kestabilan, meneliti kondisi bifurkasi Hopf dan menggambarkan solusi dengan nilai awal tertentu menggunakan pemrograman berbasis sistem aljabar komputer. 1.4 Sistematika Penulisan Pada Bab I dijelaskan latar belakang, tujuan, dan metode dari penulisan karya ilmiah ini. Bab II berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pada Bab III akan dibahas model siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan terlebih dahulu melakukan pencarian titik tetap, analisis kestabilan titik tetap dan analisis bifurkasi yang terjadi pada model tersebut. Bab IV adalah pembahasan model siklus bisnis Kaldor-Kalecki dengan waktu tunda. Simpulan karya ilmiah ini akan diberikan pada Bab V.

II

LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Dinamik Sistem dinamik adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu dan vektor parameter d. Sistem dinamik dinyatakan sebagai berikut: (2.1) dengan dan serta . (Kreyszig 1993) Definisi 2.1.1 Titik Tetap Dari sistem dinamik (2.1), dengan f fungsi yang terturunkan, titik disebut titik tetap jika memenuhi . Titik tetap disebut juga titik kritis atau titik keseimbangan. (Tu 1994) Definisi 2.1.2 Kestabilan Titik Tetap Jika f secara eksplisit tidak bergantung vektor parameter d, maka sistem persamaan diferensial (2.1) dapat ditulis dalam bentuk: (2.2) Misalkan adalah titik tetap sistem persamaan diferensial pada (2.2). adalah solusi yang memenuhi kondisi awal dengan dan sehingga menghasilkan solusi awal . Titik tetap dikatakan titik tetap stabil jika untuk setiap dan sedemikian sehingga jika maka untuk . Jika tidak terpenuhi, maka takstabil. (Verhulst 1990) 2.2 Persamaan Diferensial Tundaan Persamaan diferensial tundaan atau delayed differential equations adalah salah satu bentuk persamaan diferensial di mana turunan dari fungsi yang tidak diketahui berapa waktu tundaan yang diberikan. Hal ini berkaitan dengan nilai dari fungsi waktu sebelumnya. Bentuk umum persamaan diferensial tundaan untuk , yaitu: , (2.3) di mana merepresentasikan lintasan solusi waktu lampau. Pada persamaan ini f adalah fungsi bentuk ke . Bentuk persamaan diferensial tundaan kontinu yaitu:

(2.4) dan persamaan diferensial tunda diskret yaitu:

(2.5) untuk

. (Bellman et al. 1963)

2.3 Ekspansi Taylor Jika f memunyai penyajian deret pangkat di a, yaitu jika: dengan adalah jari-jari kekonvergenan, maka koefisiennya diberikan oleh

Koefisien di atas adalah tunggal (unique). Jadi, jika f memiliki penyajian deret pangkat di a, maka deretnya berbentuk:

(2.6) Deret persamaan (2.6) di atas disebut ekspansi Taylor dari fungsi f di a (di sekitar a atau yang berpusat di a). Adapun bentuk ekspansi Taylor dua peubah yaitu: . (2.7) Deret persamaan (2.7) di atas disebut ekspansi Taylor dua peubah dari fungsi f di (di sekitar atau yang berpusat di ). (Stewart 2003) 2.4 Pelinearan Perhatikan sistem persamaan deferensial dengan dua persamaan dan dua peubah berikut: (2.8) Andaikan adalah titik tetap dari dua persamaan di atas, maka dan . Misalkan, dan , maka didapatkan: .

3

Dengan melakukan pendekatan ekspansi Taylor dua peubah, maka didapatkan sistem sebagai berikut:

; dengan merupakan galat yang cukup kecil. Selanjutnya diperoleh: . Dengan melakukan pendekatan ekspansi Taylor dua peubah, maka didapatkan sistem sebagai berikut:

dengan adalah matriks identitas. Persamaan (2.11) mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika: (2.12) persamaan (2.12) disebut persamaan karakteristik dari A. (Tu 1994) 2.6 Analisis Kestabilan Titik Tetap Misalkan diberikan sistem persamaan linear berikut:

dan didefinisikan matriks A berukuran berikut: .

.

Persamaan karakteristik dari A ialah , sedemikian sehingga diperoleh persamaan dengan:

Dalam bentuk matriks dapat dituliskan . Matriks

Nilai eigen matriks A ialah

yaitu:

(2.13) Solusi dari sistem persamaan deferensial diberikan oleh

, disebut sebagai matriks Jacobi yang dievaluasi di titik tetap . Karena , maka dapat diabaikan, sehingga didapatkan persamaan linear: .

dengan dan adalah vektor eigen yang berpadanan dengan dan . Kestabilan titik tetap ditentukan sebagai berikut:

(2.9) 1.

Bentuk (2.9) disebut model terlinearkan dari model taklinear (2.8). (Strogatz 1994) 2. 2.5 Vektor Eigen dan Nilai Eigen Misalkan matriks A berukuran , Maka suatu vektor taknol x di disebut vektor eigen dari A, jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen dari A, berlaku: . (2.10) Vektor x disebut vektor eigen yang bersesuaikan dengan nilai eigen . Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran , maka persamaan (2.10) dapat ditulis sebagai berikut: , (2.11)

3.

4.

Jika , maka nilai eigen mempunyai akar real yang berbeda tanda, sehingga titik tetap bersifat titik pelana (saddle point) takstabil. Jika , dan memenuhi kondisi , nilai eigen mempunyai akar real dengan tanda yang sama yaitu positif, maka titik tetap merupakan simpul taksejati (node) takstabil. Jika , nilai eigen mempunyai akar real dengan tanda yang sama yaitu negatif maka titik tetap menjadi simpul taksejati (node) stabil. Jika , dan memenuhi kondisi , nilai eigennya merupakan complex conjugat, maka titik tetap bersifat spiral takstabil. Jika maka titik tetap menjadi spiral stabil. Jika , dan ada dua vektor eigen bebas linear dengan tanda

4

5.

6.

yang sama yaitu positif, maka titik tetap bersifat simpul sejati (star node) takstabil. Jika dan ada dua vektor eigen bebas linear dengan tanda yang sama yaitu negatif, maka titik tetap bersifat simpul sejati (star node) stabil. Jika , dan mempunyai nilai eigen yaitu: dengan , maka titik tetap bersifat simple degenerate. Jika , maka nilai eigen bernilai 0, sehingga titik tetap bersifat double degenerate. Jika , nilai eigen merupakan imajiner murni, maka titik tetap bersifat center yang selalu stabil.

Dalam persamaan diferensial taklinear, untuk nilai eigen yang berupa imajiner murni jenis kestabilannya dapat bersifat center atau spiral. (Tu 1994) 2.7 Bifurkasi Bifurkasi adalah suatu kondisi di mana terjadi perubahan pada sistem, biasanya berupa perubahan banyaknya titik tetap atau perubahan kestabilan titik tetap. Titik yang mengalami kondisi ini disebut titik bifurkasi. Pada bifurkasi satu-dimensi ditemukan kasuskasus bifurkasi saddle-node, bifurkasi transcritical, bifurkasi pitchfork (supercritical dan subcritical). Sedangkan pada kasus duadimensi ditemukan kasus bifurkasi Hopf. (Strogatz 1994) Teorema 1 Bifurkasi Hopf Perhatikan sistem persamaan deferensial orde-2 berikut: (2.14) dengan parameter dan positif serta vektor fungsi dengan D adalah daerah asal pada . Misalkan bahwa sistem (2.14) memiliki titik tetap di sekitar setiap v yaitu , sehingga:

. (2.15) Misalkan matriks pelinearan dari (2.14) di sekitar titik tetap , maka: . (2.16) Misalkan bahwa memiliki nilai eigen imaginer murni , , sehingga: . (2.17) Jika matriks didefinisikan oleh: , (2.18) maka sehingga terjadi perubahan kestabilan titik tetap yaitu spiral stabil dan spiral takstabil serta ada solusi periodik dari (2.14) untuk v di sekitar dan x di sekitar a dengan periode untuk v yang kecil. (Murray 1993) Definisi 2.7.1 Siklus Limit (Limit Cycle) Siklus limit adalah orbit tertutup yang terisolasi, yaitu bahwa orbit di sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus limit. Siklus limit dikatakan stabil jika dikelilingi oleh orbit yang menuju ke siklus limit tersebut, jika menjauhi maka siklus limit takstabil. (Strogatz 1994) Definisi 2.7.2 Bilangan Lyapunov Misalkan sistem persamaan diferensial (2.8) yang memenuhi kondisi pada saat titik tetap dapat dituliskan sebagai berikut:

dengan dan adalah persamaan taklinear dalam dan . Bilangan Lyapunov adalah bilangan yang memenuhi persamaan

Jika

. (2.19) maka orbit periodik stabil, jika maka orbit periodik takstabil. (Wiggins 1990)

III

SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA

Siklus bisnis Kaldor-Kalecki, nama untuk Nicholas Kaldor dan Michal Kalecki, adalah suatu sistem dinamik dalam bidang ekonomi yang direpresentasikan sebagai sistem persamaan diferensial tundaan. Kalecki menerangkan bahwa waktu tunda dalam model siklus bisnis merupakan hasil dari interval waktu yang diperlukan antara keputusan berinvestasi dan pemasangan investasi modal (Krawiec dan Szydlowski 2001). Model siklus bisnis Kaldor-Kalecki yang melibatkan fungsi pendapatan kotor dan fungsi stok modal adalah sebagai berikut:

dengan pendapatan kotor pada waktu stok modal pada waktu fungsi investasi fungsi simpanan fungsi investasi dengan waktu tunda α koefisien penyesuaian di pasar barang δ tingkat depresiasi stok modal T waktu tunda Dari model di atas didefinisikan bahwa laju pendapatan kotor diperoleh dari fungsi investasi yang dikurangi dengan fungsi simpanan. Hasil dari pengurangan tersebut yang apabila dikalikan dengan koefisien penyesuaian di pasar barang, merupakan laju pendapatan kotor yang dihasilkan. Laju stok modal diperoleh dari fungsi investasi dengan waktu tunda yang dikurangi dengan depresiasi stok modal. Dengan mengasumsikan bahwa fungsi investasi merupakan fungsi taklinear dan waktu tunda (T) adalah konstanta, sistem tersebut merupakan suatu persamaan diferensial tundaan. Ini berarti bahwa perilaku aktual dari sistem tergantung pada keputusankeputusan investasi di masa sebelumnya. Agar mendapatkan gambaran tentang model ini, terlebih dahulu akan dibahas model siklus bisnis tanpa waktu tunda.

3.1 Model tanpa Waktu Tunda Pada model siklus bisnis Kaldor-Kalecki, jika diasumsikan tanpa waktu tunda yaitu T=0, maka diperoleh model sebagai berikut:

Misalkan adalah titik tetap dan , , , dan menunjukkan turunan yang berkaitan dengan pendapatan kotor (Y) dan modal (K). Dengan asumsi bahwa , , , , untuk dan sebaliknya serta , siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda ini menyatakan tidak adanya masa persiapan atau penundaan sampai perlengkapan modal tersedia dan siap untuk digunakan. Model ini merupakan model tanpa waktu tunda dengan terjadinya bifurkasi Hopf (Wiens EG 2011). 3.2 Analisis Model tanpa Waktu Tunda Sistem (3.2) merupakan sistem tanpa waktu tunda yang umum, sehingga tidak bisa di dapatkan bentuk umum dari titik tetapnya, terlebih dahulu harus mesubtitusikan fungsi investasi dan simpanan. Berikut akan dianalisis kestabilan titik tetap dari sistem, misalkan: (3.3) Dari persamaan linear pada (2.9) maka didapat model pelinearan yaitu: (3.4) (penentuan model pelinearan dapat dilihat pada Lampiran 1). Dari bentuk pelinearan di atas didapatkan matriks Jacobi sebagai berikut: Nilai eigen dari matriks Jacobi J diberikan oleh:

6

dengan: Perhatikan bahwa

Selanjutnya didefinisikan

Untuk , ada tiga kasus yang akan dianalisis, dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1 Kestabilan Titik Tetap Kasus tr J det J Kestabilan 0 >0 Center atau Spiral <0 >0 Spiral stabil >0 > 0 Spiral takstabil (penentuan jenis kestabilan dapat dilihat pada Lampiran 2). Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa ada perubahan kestabilan, yaitu dari spiral stabil ke spiral takstabil, maka berdasarkan Teorema 1 Bifurkasi Hopf sistem (3.2) mengalami bifurkasi Hopf.

Dengan mengambil nilai , dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa kurva investasi akan meningkat di awal. Kemudian pada saat pendapatan kotor bernilai 9 fungsi investasi akan berada pada limit fungsi yaitu di 1.3 dan akan tetap bernilai 1.3 untuk pemberian nilai berikutnya. Sedangkan kurva simpanan akan meningkat seiring dengan penambahan nilai . Dalam simulasi ini akan ditetapkan nilai yaitu , , dan . Simulasi 1: Pada saat , didapat nilai dan yaitu 0.236 dan −0.262 serta nilai eigen yaitu . Titik tetap berupa spiral stabil. Pada Gambar 2 dapat dilihat bidang solusi dan bidang fasenya.

3.3 Simulasi Model tanpa Waktu Tunda Dalam simulasi ini akan diberikan nilainilai sebagai berikut:  fungsi investasi yaitu ,  fungsi simpanan yaitu ,  tingkat depresiasi stok modal sebesar 0.2. Dari asumsi-asumsi diatas didapatkan titik tetap yaitu dan diperoleh nilai yaitu 3.32.

Pendapatan Kotor Stok Modal

Gambar 2 Bidang Solusi dan Bidang Fase. Gambar 1 Kurva Fungsi Investasi dan Fungsi Simpanan.

Dari bidang solusi dengan memberikan nilai awal y(0)=1 dan k(0)=1, dapat dilihat

7

pendapatan kotor dan stok modal akan berisolasi di awal kemudian menuju kestabilan. Dari plot bidang fase dapat dilihat bahwa titik tetap kearah dalam yaitu menuju kestabilan, yang berarti posisi perusahaan menjadi stabil kedepannya.

Simulasi 3: Pada saat , didapat nilai d dan yaitu 0.532 dan 0.235 serta nilai eigen yaitu . Titik tetap berupa spiral takstabil. Pada Gambar 4 dapat dilihat bidang solusi dan bidang fasenya.

Simulasi 2: Pada saat didapat nilai dan yaitu 0.392 dan 0 serta nilai eigen yaitu . Titik tetap berupa spiral stabil. Pada Gambar 3 dapat dilihat bidang solusi dan bidang fasenya.



Gambar 4 Bidang Solusi dan Bidang Fase.

Gambar 3 Bidang Solusi dan Bidang Fase. Dari bidang solusi dapat dilihat pendapatan kotor dan stok modal akan modal akan berisolasi di awal kemudian menuju kestabilan. Dari plot bidang fase dapat dilihat bahwa titik tetap kearah dalam yaitu menuju kestabilan dan orbit periodiknya stabil asimtotik (pembuktian orbit periodik stabil asimtotik terdapat pada Lampiran 6).

Dari bidang solusi dapat dilihat pendapatan kotor dan stok modal akan terus berisolasi menuju limit cycle sampai periode waktu tertentu, tidak stabil. Dari plot bidang fase dapat dilihat bahwa titik tetap ke arah luar yaitu menuju ketakstabilan, yang berarti posisi perusahaan menjadi tidak stabil kedepannya dan terdapat limit cycle stabil. Limit cycle stabil membuktikan bahwa pendapatan kotor dan stok modal akan menuju kesuatu nilai tertentu. Dengan adanya limit cycle berarti dinamika mikro ekonomi perusahaan khususnya mengenai pendapatan kotor dan stok modal mempunyai siklus dengan periode tertentu

8

Dalam dinamika siklus bisnis KaldorKalecki tanpa waktu tunda, parameter koefisien penyesuaian di pasar barang memengaruhi dinamika pendapatan kotor. Hal tersebut karena besarnya laju pendapatan kotor suatu perusahaan dipengaruhi oleh nilai .

Dengan mengambil nilai sebesar 2, 3.32, dan 4.5 pergerakan laju pendapatan kotor lebih meningkat dibandingkan dengan laju stok modal (perhitungan simulasi terdapat pada Lampiran 4). .

IV SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI DENGAN WAKTU TUNDA 4.1 Model dengan Waktu Tunda Pada model (3.1) akan dilakukan beberapa asumsi, transformasi koordinat dan pendekatan Taylor. Diasumsikan fungsi investasi di mana linear, , sehingga . Fungsi simpanan di mana linear, , maka model (3.1) menjadi: (4.1) dengan β laju investasi terhadap stok modal γ laju simpanan terhadap pendapatan kotor Diketahui (Y*,K*) adalah titik tetap di mana , dilakukan transformasi koordinat sehingga sistem ini berpusat pada titik tetap (Y*,K*). Misalkan , , dan , sehingga diperoleh model sebagai berikut: .

(4.2)

Suku dengan waktu tunda, dapat dihampiri melalui ekspansi Taylor, yaitu:

. (4.3) (Pendekatan ekspansi Taylor dapat dilihat pada Lampiran 7). Dalam pendekatan yang dilakukan pada (4.3) di atas, sistem (4.2) direduksi menjadi bentuk dua dimensi sistem dinamik otonom, di mana: . Laju perubahan fungsi investasi dievaluasi pada saat pendapatan kotor ( ) sebesar nol. Hal tersebut menjelaskan bahwa laju perubahan fungsi investasi bersifat konstan dan tidak bergantung pada , sehingga sistem menjadi:

.

(4.4)

4.2 Analisis Model dengan Waktu Tunda Akan ditentukan titik tetap dari model (4.1):

dan

sehingga diperoleh titik tetap:

(penentuan titik tetap dapat dilihat pada Lampiran 8). Bentuk umum dari titik tetap tidak mengandung parameter waktu tunda, maka titik tetap dapat berlaku untuk model dengan dan . Berikut akan dianalisis dengan waktu tunda. Dari sistem (4.1), didapat model pelinearan yaitu:

(4.5) (penentuan model pelinearan dapat dilihat pada Lampiran 9). Dari pelinearan didapatkan matriks Jacobi sebagai berikut:

serta dari matriks Jacobi didapat:

(penentuan Lampiran 10).

dan

dapat dilihat pada

9

4.3 Model dengan Pada model dengan waktu nol, diasumsikan T=0. Dengan asumsi tersebut diperoleh model siklus bisnis Kaldor-Kalecki dengan waktu tunda nol sebagai berikut: (4.6) 4.4 Analisis Model dengan Berikut akan dianalisis kestabilan titik tetap dari sistem (4.6). Dengan model pelinearan yaitu:

maka didapatkan matriks Jacobi yaitu: , serta dari matriks Jacobi didapat:

Dengan dan tersebut di atas, maka dan dapat bernilai negatif, positif dan nol. Nilai akan negatif jika , dan . Akan bernilai positif jika . Serta dapat bernilai nol jika . Nilai akan bernilai negatif jika . Bernilai positif jika , dan . Bernilai nol jika . Untuk mengetahui jenis kestabilan titik tetap pada model (4.6), dapat dilihat pada Tabel 2.

4.5 Model dengan Pada model dengan waktu tunda tidak nol, memertimbangkan waktu tunda , sehingga diperoleh model sebagai berikut:

. (4.7) Siklus bisnis Kaldor-Kalecki dengan waktu tunda tidak nol ini menyatakan sebagian tabungan dari keuntungan investasi dan penambahan modal adalah karena keputusan investasi dimasa lalu, maka diperlukan masa persiapan atau penundaan sampai perlengkapan modal tersedia dan siap untuk digunakan. 4.6 Analisis Model dengan Berikut akan dianalisis kestabilan titik tetap. Nilai didapat dari yaitu nilai dari model (4.1). Didapatkan nilai yaitu:

(Penentuan dapat dilihat pada lampiran 12). Dengan model pelinearan yaitu:

, maka didapat matriks Jacobi sebagai berikut:

serta dari matriks Jacobi didapat: Tabel 2 Kestabilan Titik Tetap Kasus Kestabilan Spiral Stabil dan Simpul stabil Spiral Stabil Spiral stabil, Spiral takstabil, Simpul stabil, Simpul takstabil, Sadel, Simple Degenerate dan Double Degenerate (penentuan jenis kestabilan titik tetap dapat dilihat pada Lampiran 11). Jenis titik tetap tidak memungkinkan untuk terjadi semuanya. Hal tersebut disebabkan pada sistem ini hanya terdapat satu titik tetap.

Untuk mengetahui jenis kestabilan titik tetap pada model siklus bisnis Kaldor-Kalecki dengan waktu tunda, dapat dilihat pada Tabel 3. Tabel 3 Kestabilan Titik Tetap Kasus Center Center Center atau atau atau spiral spiral spiral Spiral Spiral Spiral stabil stabil stabil Spiral Spiral Spiral takstabil takstabil takstabil (penentuan jenis kestabilan dapat dilihat pada Lampiran 13).

10

Dari Tabel 3 dapat dilihat bahwa ada perubahan kestabilan, yaitu dari spiral stabil ke spiral takstabil, maka berdasarkan Teorema 1 Bifurkasi Hopf sistem (4.7) mengalami bifurkasi Hopf. 4.7 Simulasi Model dengan Waktu Tunda Simulasi Sistem (4.6) Untuk mengetahui pengaruh perubahan nilai parameter terhadap jenis kestabilan titik tetap, dapat dilihat pada Tabel 4. Tabel 4 Perubahan Nilai Parameter Para Simulasi meter 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 −0.1 −0.1 −0.1 −0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.65 0.17 0.125 0.01 Jenis Spiral Simpul Simple Sadel kestabi stabil stabil degene lan rate

Simulasi 1: Dengan koefisien penyesuaian di pasar barang sebesar 0.25, tingkat depresiasi stok modal sebesar 0.1, laju investasi terhadap stok modal sebesar −0.1 dan laju simpanan terhadap pendapatan kotor sebesar 0.65. Untuk simulasi tersebut diperoleh bidang solusi dan bidang fase pada Gambar 6. Dari Gambar 6, bidang solusi menunjukan bahwa stok modal naik kemudian stabil di . Sedangkan pendapatan kotor menurun kemudian stabil di . Pengambilan nilai sebesar 0.65 mengakibatkan pendapatan kotor mengalami penurunan. Hal tersebut karena laju simpanan cukup besar yaitu 0.65. Semakin besar laju simpanan, maka laju pendapatan kotor perusahaan akan semakin kecil.

Dalam simulasi ini akan diberikan nilai fungsi investasi yaitu . Dari Gambar 5 dapat dilihat kurva fungsi investasi tersebut meningkat di awal, kemudian pada saat pendapatan kotor bernilai 10 fungsi investasi akan berada pada limit fungsi yaitu di 1 dan akan tetap bernilai 1 untuk pemberian nilai berikutnya. Laju fungsi investasi, yaitu sebesar 0.25.


iy 1.0000

0.9999

0.9998

0.9997

y 10

20

30

40

Gambar 5 Kurva Fungsi Investasi.

50

Gambar 6 Bidang Solusi dan Bidang Fase. Dari simulasi didapatkan titik tetap dalam bentuk fungsi investasi yaitu . Didapatkan juga

11

nilai d yaitu 0.026, yai u −0.3 dan nilai eigen yaitu . Titik tetap berupa spiral stabil, terbukti dengan nilai eigen yang berupa kompleks sekawan dengan bagian real negatif. Dengan titik tetap yaitu (0.562, 3.655). Dari plot bidang fase, dapat dilihat bahwa titik tetap berada di daerah stabil, yang berarti posisi perusahaan yaitu pendapatan kotor dan stok modal berada pada kondisi stabil Simulasi 2: Dengan koefisien penyesuaian di pasar barang sebesar 0.25, tingkat depresiasi stok modal sebesar 0.1, laju investasi terhadap stok modal sebesar −0.1 dan laju simpanan terhadap pendapatan kotor sebesar 0.17. Untuk simulasi tersebut diperoleh bidang solusi dan bidang fase pada Gambar 7.



Dari Gambar 7, bidang solusi menunjukan bahwa laju pendapatan kotor dan stok modal mengalami kenaikan di awal kemudian stabil di dan . Pengambilan nilai sebesar 0.17 mengakibatkan pendapatan kotor mengalami kenaikan. Hal tersebut karena laju simpanan kecil yaitu sebesar 0.17. Semakin kecil laju simpanan, maka laju pendapatan kotor perusahaan akan semakin besar. Sedangkan untuk stok modal, pengambilan nilai tidak berpengaruh terhadap dinamika stok modal itu sendiri. Hal tersebut karena pada sistem laju stok modal tidak dipengaruhi oleh laju simpanan terhadap pendapatan kotor. Dari simulasi didapatkan titik tetap dalam bentuk fungsi investasi yaitu . Nilai d yaitu 0.002, yai u −0.18 dan nilai eigen yaitu . Titik tetap berupa simpul stabil. terbukti dengan mempunyai akar real dengan tanda yang sama yaitu negatif. Dengan mengambil nilai stok modal sebesar 1 maka didapatkan titik tetap yaitu (2.150,3.655). Titik tetap berada di daerah stabil, yang berarti keadaan perusahaan stabil Simulasi 3: Dengan koefisien penyesuaian di pasar barang sebesar 0.25, tingkat depresiasi stok modal sebesar 0.1, laju investasi terhadap stok modal sebesar −0.1 dan laju simpanan terhadap pendapatan kotor sebesar 0.125. Untuk simulasi tersebut diperoleh bidang solusi dan bidang fase pada Gambar 8.

12

Gambar 9, bidang solusi menunjukan bahwa kurva pendapatan kotor dan stok modal akan terus meningkat seiring dengan penambahan waktu.



Gambar 8 Bidang Solusi dan Bidang Fase. Dari Gambar 8, bidang solusi menunjukan bahwa pendapatan kotor dan stok modal akan menuju ke suatu kestabilan di dan . Dari simulasi didapatkan titik tetap dalam bentuk fungsi investasi yaitu . Nilai d yaitu 0, yaitu −0.169 dan nilai eigen yaitu . Titik tetap berupa simple degenerate, terbukti dengan salah satu nilai eigen yang bernilai nol. Dengan titik tetap yaitu (2.924, 3.655), dapat dilihat bahwa titik tetap berada di daerah stabil, yang berarti posisi perusahaan berada pada kondisi stabil Simulasi 4: Dengan koefisien penyesuaian di pasar barang sebesar 0.25, tingkat depresiasi stok modal sebesar 0.1, laju investasi terhadap stok modal sebesar −0.1 dan laju simpanan terhadap pendapatan kotor sebesar 0.01. Untuk simulasi tersebut diperoleh bidang solusi dan bidang fase pada Gambar 9. Dari

Gambar 9 Bidang Solusi dan Bidang Fase. Dari simulasi didapatkan titik tetap dalam bentuk fungsi investasi yaitu . Nilai d yaitu −0.006, yai u −0.14 dan nilai ig n yai u . Titik tetap berupa sadel, terbukti dengan dua nilai eigen yang bernilai positif dan negatif. Dengan titik tetap yaitu (36.553, 3.655). Titik tetap berada pada posisi tidak stabil, yang berarti posisi perusahaan berada pada kondisi tidak stabil (perhitungan simulasi terdapat pada Lampiran 15).

13

Simulasi Sistem (4.7) Simulasi 1: Dalam simulasi ini akan diberikan nilainilai fungsi investasi, nilai parameter, dan titik tetap yang sama dengan Simulasi 1 pada Simulasi sistem (4.6). Diperoleh nilai yaitu 48 dan ditetapkan nilai yaitu , dan . 

 Titik tetap berupa spiral stabil pada saat . Pada Gambar 11 dapat dilihat bidang solusi dan bidang fase. Dari bidang solusi, dapat dilihat pendapatan kotor dan stok modal akan berisolasi di awal kemudian menuju kestabilan. Dari plot bidang fase, dengan titik tetap yaitu (0.562, 3.655) posisi perusahaan akan stabil dan orbit periodiknya stabil asimtotik (pembuktian orbit periodik stabil asimtotik terdapat pada Lampiran 19).

Titik tetap berupa spiral stabil pada saat . Pada Gambar 10 dapat dilihat bidang solusi dan bidang fase. Dari bidang solusi dengan memberikan nilai awal y(0)=1 dan k(0)=1, dapat dilihat pendapatan kotor dan stok modal akan berisolasi di awal kemudian menuju kestabilan. Dari plot bidang fase, dengan titik tetap yaitu (0.562, 3.655) menujukkan posisi perusahaan akan stabil.





14

 Titik tetap berupa spiral takstabil pada saat . Pada Gambar 12 dapat dilihat bidang solusi dan bidang fase. Dari bidang solusi, pendapatan kotor dan stok modal akan terus berisolasi menuju limit cycle sampai periode waktu tertentu, tidak stabil.

tersebut menjelaskan bahwa dengan mengambil nilai awal tersebut, perusahaan akan mengalami kerugian di awal lalu perusahan akan mencapai kondisi yang stabil. Sedangkan pada saat , kondisi perusahaan yaitu pendapatan kotor dan stok modal tidak stabil dan akan menuju limit cycle.


Gambar 12 Bidang Solusi dan Bidang Fase. Dari plot bidang fase, dengan titik tetap yaitu (0.562, 3.655) posisi perusahaan menjadi tidak stabil dan terdapat limit cycle stabil (perhitungan simulasi terdapat pada Lampiran 17). Pada gambar 13 akan diperlihatkan bidang solusi dengan memberikan nilai awal yang berbeda dari bidang solusi pada , dan sebelumnya. Dengan memberikan nilai awal y(0)=6 dan k(0)=3, dari gambar dapat dilihat bahwa pada saat dan dinamika pendapatan kotor dan stok modal cenderung mengalami penurunan sampai ke angka negatif di awal kemudian akan stabil pada waktu tertentu. Hal

Pendapatan Kotor Stok Modal Gambar 13 Bidang Solusi.

15

Simulasi 2: Dalam simulasi ini akan diberikan nilainilai fungsi investasi, nilai parameter, dan titik tetap yang sama dengan Simulasi 2 pada Simulasi sistem (4.6). Diperoleh nilai yaitu 28.8 dan ditetapkan nilai yaitu , dan .

solusi, dapat dilihat pendapatan kotor dan stok modal akan berisolasi di awal kemudian menuju kestabilan. Dari plot bidang fase, dengan titik tetap yaitu (2.150,3.655) posisi perusahaan akan stabil dan orbit periodiknya stabil asimtotik (pembuktian orbit periodik stabil asimtotik terdapat pada Lampiran 23).

 Titik tetap berupa spiral stabil pada saat . Pada Gambar 14 dapat dilihat bidang solusi dan bidang fase. Dari bidang solusi dapat dilihat pendapatan kotor dan stok modal akan berisolasi di awal kemudian menuju kestabilan. Dari plot bidang fase, dengan titik tetap yaitu (2.150,3.655) posisi perusahaan akan stabil.



Gambar 15 Bidang Solusi dan Bidang Fase.  Titik tetap berupa spiral takstabil pada saat . Pada Gambar 16 dapat dilihat bidang solusi dan bidang fase. Dari bidang solusi, pendapatan kotor dan stok modal akan terus berisolasi menuju limit cycle sampai periode waktu tertentu, tidak stabil. Gambar 14 Bidang Solusi dan Bidang Fase.  Titik tetap berupa spiral stabil pada saat . Pada Gambar 15 dapat dilihat bidang solusi dan bidang fase. Dari bidang

16

Dari Gambar 17, pada bidang solusi dapat dilihat pendapatan kotor dan stok modal akan terus meningkat seiring dengan penambahan waktu. Pada simulasi ini tidak terjadi bifurkasi Hopf karena nilai det yang di dapat adalah n ga if yai u −0.006. Dari plot bidang fase, dengan titik tetap yaitu (36.553, 3.655), perusahaan berada pada posisi tidak stabil (perhitungan simulasi terdapat pada Lampiran 24).



Gambar 16 Bidang Solusi dan Bidang Fase. Dari plot bidang fase, dengan titik tetap yaitu (2.150,3.655) posisi perusahaan menjadi tidak stabil dan terdapat limit cycle stabil (perhitungan simulasi periodik stabil asimtotik terdapat pada Lampiran 21). Simulasi 3: Misalkan fungsi investasi suatu perusahaan, nilai parameter, dan titik tetap sama dengan Simulasi 4 pada model (4.6). Dari simulasi diperoleh nilai yaitu 22.4. Untuk simulasi tersebut diperoleh bidang solusi dan bidang fase pada Gambar 17.


V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan Siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dapat terjadi bifurkasi Hopf dengan mengubah parameter koefisien penyesuaian di pasar barang dari kecil menjadi besar dari batas koefisien penyesuaian di pasar barang yang telah ditetapkan. Hal ini menyebabkan terjadinya pertukaran kestabilan titik tetap dan adanya siklus limit (limit cycle) dalam dinamika siklus bisnis tersebut. Titik tetap yang semula memiliki kestabilan spiral stabil menjadi spiral takstabil dan terdapat limit cycle didalamnya, sehingga terjadi bifurkasi Hopf. Dengan menetapkan fungsi investasi, fungsi simpanan, dan tingkat depresiasi stok modal akan diperoleh suatu nilai koefisien penyesuaian di pasar barang saat terjadinya bifurkasi Hopf. Dari simulasi. dengan mengambil nilai koefisien penyesuaian di pasar barang kecil dan sama dengan dari koefisien penyesuaian di pasar barang saat terjadinya bifurkasi, maka kestabilan titik tetap spiral stabil. Hal ini berarti posisi suatu perusahaan yaitu pendapatan kotor dan stok modal berada pada posisi stabil. Dengan mengambil nilai koefisien penyesuaian di pasar barang besar dari koefisien penyesuaian di pasar barang saat terjadinya bifurkasi, maka kestabilan titik tetap spiral takstabil, perusahaan berada pada posisi tidak stabil. Siklus bisnis Kaldor-Kalecki dengan waktu tunda nol, menghasilkan jenis kestabilan titik tetap berupa spiral stabil, simpul stabil, simple degenerate dan sadel. Untuk titik tetap simpul stabil, spiral stabil dan simple degenerate, perusahaan berada pada posisi stabil. Sedangkan untuk jenis kestabilan sadel, perusahaan berada pada posisi tidak stabil.

Siklus bisnis Kaldor-Kalecki dengan waktu tunda tidak nol, dengan menetapkan fungsi investasi, koefisien penyesuaian di pasar barang, laju investasi terhadap stok modal, laju simpanan terhadap pendapatan kotor dan tingkat depresiasi stok modal akan diperoleh suatu nilai waktu tunda saat terjadinya bifurkasi Hopf. Dengan mengubah parameter waktu tunda dari kecil menjadi besar dari batas waktu tunda yang telah ditetapkan menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf. Dari simulasi, pada saat waktu tunda diubah menjadi kecil dan sama dengan waktu tunda saat terjadinya bifurkasi, perusahaan berada pada posisi stabil. Pada saat waktu tunda diubah menjadi besar dari waktu tunda saat terjadinya bifurkasi, perusahaan berada pada posisi tidak stabil. Posisi awal berpengaruh terhadap untung atau ruginya perusahaan. 5.2 Saran Penelitian ini masih dapat dilanjutkan. Ada beberapa hal yang dapat dilakukan, yaitu memperbaiki sistem misalnya dengan memasukkan variabel-variabel perekonomian lain kedalam sistem, misalnya variabel tingkat suku bunga dan penelitian dapat dilanjutkan dengan memberikan penundaan pada komponen perekonomian yang lain, misalnya waktu tunda yang tidak hanya diberikan pada stok modal (stock capital) tetapi juga pada pendapatan kotor (gross product). Kemudian, dapat pula dipelajari model-model siklus bisnis lainnya dengan menganalissa perilaku dinamik dari model serta mengkaji apakah pemberian waktu tunda dapat menyebabkan kestabilan sistem perekonomian hilang atau diperoleh kestabilan baru dan siklus dalam dinamika siklus bisnis tersebut.

DAFTAR PUSTAKA Anwarudin. 2009. Analisa Dinamika Model Siklus Bisnis IS-LM dengan Dua Waktu Tunda dalam Persamaan Akumulasi Modal. http://digilib.its.ac.id/public/ITSMaster-8515-1207201716CHAPTER1.pdf [10 Mei 2011]. Bellman R, Cooke KL. 1963. Differentialdifference equations. New York-London: Academic Press. Krawiec A, Szydlowski M. 2001. The Kaldor-Kalecki Model of Bisnis Cycle as a Two-Dimensional Dynamical System. Nonlinear Mathematical Physics 8 : 288271.

Stewart J. 2003. Kalkulus. Terjemahan Edisi Keempat, Jilid 2. Jakarta: Erlangga. Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamic and Chaos with Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusetts: Perseus Books Publishing, LLC. Tu

PNV. 1994. Dynamic System, An Introduction with Application in Economics and Biology. Hiedel berg, Germany: Springer-Verlag.

Verhulst F. 1990. Nonlinear Differential Equations and Dynamical System. New York: Springer-Verlag.

Kreyszig E. 1993. Matematika Teknik Lanjutan. Terjemahan: Bambang Sumantri. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.

Wiens EG. Cycles and Two Dimensional Flows.http://www.egwald.ca/nonlineardy namics/limitcycles.php. [22 Juli 2011].

Murray JD. 1993. Mathematical Biology. Second, Corrected Edition. New York: Springer-Verlag.

Wiggins S. 1990. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical System and Chaos. New York: Springer-Verlag.

LAMPIRAN

20

Lampiran 1. Pelinearan Model tanpa Waktu Tunda Dari persamaan (3.2), misalkan:

(3.3) dari persamaan linear yaitu :

maka didapat model pelinearan untuk siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda, sistem (3.2) yaitu:

karena

dan

maka

dan

sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:

Lampiran 2. Penentuan Jenis Kestabilan Model tanpa Waktu Tunda  Matriks Jacobi yang didapatkan dari sistem (3.2) yaitu:

akan diperoleh nilai

dan

sebagai berikut:

21

Persamaan karakteristik

, maka

maka didapatkan nilai eigen sebagai berikut:

nilai eigen berupa imajiner murni (Kestabilan titik tetap berupa spiral stabil). 


, maka

didapatkan nilai eigen sebagai berikut:

nilai eigen berupa kompleks sekawan dengan bagian real negatif (kestabilan titik tetap berupa spiral stabil). 

22


, maka

didapatkan nilai eigen sebagai berikut:

nilai eigen berupa kompleks sekawan dengan bagian real positif (kestabilan titik tetap berupa spiral takstabil).

Lampiran 3. Program Mathematica 7.0 pada Gambar 1

Lampiran 4. Analisis Model tanpa Waktu Tunda Simulasi Titik Tetap Misalkan: , investasi dan fungsi simpanan tersebut maka didapatkan:

dan

. Dari fungsi

Dengan mengambil nilai Y=3.9, maka didapat nilai dengan mensubtitusi nilai-nilai tersebut kedalam titik tetap yaitu:

23

dari

didapat bahwa

, maka:

maka didapatkan titik tetap

dengan mengambil nilai

dan

yaitu: 3.9 dan 1.5, maka didapatkan titik tetap yaitu: (3.95, 1.448)

Mencari nilai Diketahui

dengan mensubtitusi nilai-nilai diatas maka didapatkan nilai

yaitu:

Matiks Jacobi dan Nilai eigen Dari matriks Jacobi :

Simulasi 1, untuk Jacobi sebagai berikut:

didapatkan nilai

dan

, dengan mensubtitusi nilai-nilai parameter didapatkan matriks

sebagai berikut:


, maka

dan didapatkan nilai eigen sebagai berikut:

dan

24

Simulasi 2, untuk didapatkan matriks Jacobi sebagai berikut:

didapatkan nilai

dan

, dengan mensubtitusi nilai-nilai parameter

sebagai berikut:


dan

, maka

dan didapatkan nilai eigen sebagai berikut: Simulasi 3, untuk Jacobi sebagai berikut:

didapatkan nilai

dan

, dengan mensubtitusi nilai-nilai parameter didapatkan matriks

sebagai berikut:


, maka


dan

25

Lampiran 5. Program Maple 13 pada Gambar 2, Gambar 3, dan Gambar 4 Simulasi  Bidang Solusi

Bidang Fase

 Bidang Solusi

26

Bidang Fase

 Bidang Solusi

Bidang Fase

Lampiran 6. Bilangan Lyapunov Model tanpa Waktu Tunda Simulasi Pada saat sebagai berikut:

sistem persamaan siklus bisnis Kaldor-Kalecki adalah

Diketahui Bilangan Lyapunov adalah sebagai berikut:

dengan misalkan :

.

27

maka:

ambil nilai awal untuk Y yaitu 3.9, Y=3.9, maka:

didapatkan karena , maka orbit periodik adalah stabil asimtotik Lampiran 7. Pendekatan Ekspansi Taylor pada Model dengan Waktu Tunda Diketahui persamaan umum ekspansi Taylor yaitu:

akan dibuktikan bahwa:

 Pertama akan dibuktikan bahwa misalkan ,

karena

, maka:

28

misalkan

,

 Kedua akan dibuktikan bahwa sudah terbukti bahwa

kalikan

dengan , maka

Dengan mensubtitusi persamaan berikut:

maka didapatkan hasil sebagai

Lampiran 8. Penentuan Titik Tetap Model dengan Waktu Tunda

(4.4) Dari persamaan diatas, titik tetap diperoleh dengan menyederhanakan:

sehingga: 



subtitusi

ke

, didapat:

29

subtitusi

ke

, maka didapat:

maka diperoleh titik tetap:

atau dapat dituliskan sebagai berikut:

Lampiran 9. Model Pelinearan pada Model dengan Waktu Tunda Dari persamaan (4.4) yaitu:

misalkan:

dari persamaan linear yaitu :

maka didapat model pelinearan untuk siklus bisnis Kaldor-Kalecki yaitu:

karena

dan

maka

dan

sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:

(4.5)

30

Lampiran 10. Penentuan nilai

dan

pada Model dengan Waktu Tunda

Dari matriks Jacobi sistem (4.5) yaitu:

akan didapatkan

dan

:

. Jadi

dan

adalah:

Lampiran 11. Penentuan Jenis Kestabilan Model dengan Matriks Jacobi yang didapatkan dari persamaan (4.6) yaitu sebagai berikut:

akan diperoleh nilai

dan


sebagai berikut:

, maka

didapat nilai eigen untuk model siklus bisnis tanpa waktu tunda yaitu:

31

Karena sistem berupa dua persamaan, maka nilai eigen dapat dianalisis dengan menggunakan nilai dan . Analisis nilai eigen dan jenis kestabilan titik tetap yaitu sebagai berikut:   



, maka dua nilai eigen akan bernilai positif dan negatif (Sadel) ,  jika ( , maka dua nilai eigen akan bernilai negatif (Simpul stabil)  jika , maka dua nilai eigen akan berupa kompleks sekawan dengan bagian real negatif (Spiral stabil) , maka dua nilai eigen akan bernilai nol dan negatif (Simple Degenerate)

  



, maka dua nilai eigen akan bernilai positif dan negatif (Sadel) ,  jika ( , maka dua nilai eigen akan bernilai positif (Simpul takstabil)  jika ( , maka dua nilai eigen akan berupa kompleks sekawan dengan bagian real positif (Spiral takstabil) , maka dua nilai eigen akan bernilai nol dan positif (Simple Degenerate)

  

, maka dua nilai eigen akan bernilai positif dan negatif (Sadel) , maka dua nilai eigen akan berupa imajiner murni (Center) , maka dua nilai eigen akan bernilai nol (Double Degenerate)



Lampiran 12. Penentuan

pada Model dengan

Dari persamaan (4.4), didapatkan matriks Jacobi yaitu:

Kemudian didapatkan nilai

, sebagai berikut:

karena merupakan model siklus bisnis dengan waktu tunda, maka

untuk memenuhi Teorema 1 bifurkasi Hopf , maka ambil

sehingga didapatkan

sebagai berikut:

,

yaitu:

32

Lampiran 13. Penentuan Jenis Kestabilan pada Model dengan  Diketahui nilai tr A dan det A sebagai berikut:


, maka


nilai eigen berupa imajiner murni (Jenis kestabilan titik tetap berupa spiral stabil). 


, maka


nilai eigen berupa kompleks sekawan dengan bagian real negatif (kestabilan titik tetap berupa spiral stabil).

33




, maka


nilai eigen berupa kompleks sekawan dengan bagian real positif (kestabilan titik tetap berupa spiral takstabil). Lampiran 14. Program Mathematica 7.0 pada Gambar 5 Fungsi investasi

34

Lampiran 15. Analisis Model dengan Simulasi 1 Titik Tetap Misalkan:

,

dan

dengan mensubtitusi nilai parameter tersebut kedalam titik tetap yaitu:

maka didapatkan titik tetap dalam bentuk fungsi investasi


yaitu: 1, maka didapatkan titik tetap yaitu: (0.562, 3.655)

Matiks Jacobi dan Nilai Eigen Dari matriks Jacobi yaitu:

dengan mensubtitusi nilai-nilai parameter didapatkan matriks Jacobi sebagai berikut:

didapatkan nilai

dan

sebagai berikut:


dan , maka


35

Simulasi 2 Titik Tetap Misalkan:

,

dan




yaitu: 1, maka didapatkan titik tetap yaitu: (2.150,3.655)

Matiks Jacobi dan Nilai Eigen Dari matriks Jacobi:


didapatkan nilai

dan

sebagai berikut: dan



, maka

36

Simulasi 3 Titik Tetap Misalkan:

,

dan







didapatkan nilai

dan

sebagai berikut:



, maka

dan

37

Simulasi 4 Titik Tetap Misalkan: , dan dengan mensubtitusi nilai parameter tersebut kedalam titik tetap yaitu:





dengan mensubtitusi nilai-nilai parameter didapatkan matriks Jacobi sebagai berikut: didapatkan nilai

dan

sebagai berikut:



dan , maka

38

Lampiran 16. Program Maple 13 pada Gambar 6, Gambar 7, Gambar 8, Gambar 9 Gambar 6 Bidang Solusi

Bidang Fase

Gambar 7 Bidang Solusi

Bidang Fase

39


Bidang Fase


Bidang Fase

40

Lampiran 17. Analisis Model dengan

Simulasi 1


dengan mensubtitusi nilai-nilai parameter diatas maka didapatkan nilai

yaitu:

Matiks Jacobi dan Nilai eigen Dari matriks Jacobi yaitu:

untuk berikut:

, dengan mensubtitusi nilai-nilai parameter didapatkan matriks Jacobi sebagai

didapatkan nilai dan Persamaan karakteristik

sebagai berikut:

dan , maka

dan didapatkan nilai eigen sebagai berikut: Untuk , dengan mensubtitusi nilai-nilai parameter didapatkan matriks Jacobi sebagai berikut:

didapatkan nilai

dan

sebagai berikut:



, maka

dan

41

Untuk sebagai berikut:

didapatkan nilai

, dengan mensubtitusi nilai-nilai parameter didapatkan matriks Jacobi

dan

sebagai berikut:


dan , maka


Lampiran 18. Program Maple 13 pada Gambar 10, Gambar 11, Gambar 12 Simulasi 1  Bidang Solusi

Bidang Fase

42

 Bidang Solusi

Bidang Fase

 Bidang Solusi

43

Bidang Fase

Lampiran 19. Bilangan Lyapunov pada Model Simulasi 1 Pada saat

sistem persamaan siklus bisnis Kaldor-Kalecki adalah sebagai berikut:

Diketahui bilangan Lyapunov adalah sebagai berikut:

dengan

, maka didapat

(penentuan

lihat The Kaldor-Kalecki Model of

Bisnis Cycle as a Two-Dimensional Dynamical System oleh Krawiec A dan Szydlowski M) misalkan :

maka:

ambil nilai awal untuk y yaitu 1, y=1, maka:

didapatkan karena , maka orbit periodik adalah stabil asimtotik.

44

Lampiran 20. Program Maple 13 pada Gambar 13

45

Lampiran 21. Analisis Model dengan

Simulasi 2



yaitu:

Matiks Jacobi dan Nilai eigen Dari matriks Jacobi:

untuk berikut:

, dengan mensubtitusi nilai-nilai parameter didapatkan matriks Jacobi sebagai

didapatkan nilai dan Persamaan karakteristik

sebagai berikut:

dan , maka

dan didapatkan nilai eigen sebagai berikut: Untuk sebagai berikut:

didapatkan nilai


dan

sebagai berikut:



, maka

dan

46

Untuk sebagai berikut:

didapatkan nilai


dan

sebagai berikut:


dan , maka


Lampiran 22. Program Maple 13 pada Gambar 14, Gambar 15, Gambar 16 Simulasi 2  Bidang Solusi

Bidang Fase

47

 Bidang Solusi

Bidang Fase

 Bidang Solusi

Bidang Fase

48

Lampiran 23. Bilangan Lyapunov pada Model dengan Simulasi 2 Pada saat sistem persamaan siklus bisnis Kaldor-Kalecki adalah sebagai berikut:

Diketahui bilangan Lyapunov adalah sebagai berikut:

dengan

, maka didapat

(penentuan

lihat The Kaldor-Kalecki Model of

Bisnis Cycle as a Two-Dimensional Dynamical System oleh Krawiec A dan Szydlowski M) misalkan :

maka:

ambil nilai awal untuk y yaitu 1, y=1, maka:

didapatkan karena , maka orbit periodik adalah stabil asimtotik. Lampiran 24. Analisis Model dengan Mencari nilai Diketahui

Simulasi 3

49


yaitu:

Matiks Jacobi dan Nilai eigen Dari matriks Jacobi:

untuk didapatkan nilai

, dengan mensubtitusi nilai-nilai parameter didapatkan matriks Jacobi sebagai berikut: dan

sebagai berikut:


dan , maka

dan didapatkan nilai eigen sebagai berikut: Lampiran 25. Program Maple 13 pada Gambar 17 Bidang Solusi

Bidang Fase

BIFURKASI HOPF PADA MODEL SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA DAN DENGAN WAKTU TUNDA NURRACHMAWATI

Recommend Documents