SOLUSI MODEL SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA DENGAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE EMPAT
NUR AISYAH MUKARROMAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2017
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Solusi Model Siklus Bisnis Kaldor-Kalecki Tanpa Waktu Tunda dengan Metode Runge-Kutta Orde Empat adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Februari 2017 Nur Aisyah Mukarromah NIM G54120032
ABSTRAK NUR AISYAH MUKARROMAH. Solusi Model Siklus Bisnis Kaldor-Kalecki Tanpa Waktu Tunda dengan Metode Runge-Kutta Orde Empat. Dibimbing oleh FAHREN BUKHARI dan ALI KUSNANTO. Model siklus bisnis Kaldor-Kalecki adalah salah satu model siklus bisnis dalam bidang ekonomi. Model ini merupakan suatu siklus bisnis yang melibatkan pendapatan kotor dan stok modal yang dipengaruhi oleh fungsi tabungan dan fungsi investasi. Dalam tulisan ini disajikan model siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan dua tipe fungsi investasi, yaitu fungsi investasi yang merepresentasikan perilaku ekonomi global (fungsi investasi global) dan fungsi investasi yang merepresentasikan perilaku ekonomi lokal (fungsi investasi lokal). Dalam model ini dilakukan analisis kestabilan dan penyelesaian numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde empat. Model dengan fungsi investasi global siklusnya lebih cepat stabil dibanding model dengan fungsi investasi lokal. Hal ini terjadi karena adanya pengaruh tingkat depresiasi stok modal. Semakin besar tingkat depresiasi stok modal maka laju stok modal akan mengalami penurunan sehingga menyebabkan peningkatan laju pendapatan kotor. Penyelesaian numerik ini memperlihatkan perbedaan perilaku antara model dengan fungsi investasi global dan model dengan fungsi investasi lokal. Kata kunci: kriteria Routh-Hurwitz, metode Runge-Kutta orde empat, model siklus bisnis Kaldor-Kalecki.
ABSTRACT NUR AISYAH MUKARROMAH. Kaldor-Kalecki Model Solution of Business Cycles without Delays by Using the Fourth Order Runge-Kutta Method. Supervised by FAHREN BUKHARI and ALI KUSNANTO. Kaldor-Kalecki Model of Business Cycles is one of business cycles models in economic. This model is a business cycle that involves gross product and capital stock affected by saving function and investment function. This paper presents Kaldor-Kalecki model of business cycles without delays with two types of investment functions; the investment function describing the global economies (global investment function) and that describing the local economies (local investment function). In this model, the stability analysis is perfomed and the numerical solution is obtained by using the fourth order Runge-Kutta method. The stability of model with global investment function is faster than that of model with local investment function. This is caused by the depreciation rate on capital stock. As depreciation rate on capital stock rises, rate of capital stock decreases which will increase gross product rate. The numerical solution shows the different behavior system with global investment function and local investment function. Keywords: Routh-Hurwitz criteria, fourth order Runge-Kutta method, KaldorKalecki model of business cycles.
SOLUSI MODEL SIKLUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA DENGAN METODE RUNGE-KUTTA ORDE EMPAT
NUR AISYAH MUKARROMAH
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2017
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Topik yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Juli 2016 ini ialah Solusi Model Model Siklus Bisnis Kaldor-Kalecki Tanpa Waktu Tunda dengan Metode Runge-Kutta Orde Empat. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini antara lain: 1 Keluarga tercinta Ayah, Ibu, serta Kakak-Kakak tercinta atas semua doa, dukungan, semangat, perhatian, nasihat dan kasih sayangnya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. 2 Dr Ir Fahren Bukhari, MSc selaku dosen pembimbing pertama dan Drs Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing serta Elis Khatizah, SSi, MSi selaku dosen penguji yang telah memberi banyak saran. 3 Teman-teman BEM FMIPA, Penghuni RP, Ameroet, Matematika Angkatan 49, Angkatan 48 dan Angkatan 50, atas segala dukungan, doa, semangat, perhatian dan bantuannya. 4 Syifa Nurul Ainisa, Faza Sakinah, Lathifah Amalia, Aulia Khoirunnisa, Nur Rahmi dan Dwilaras Athina yang berperan besar dalam proses penyelesaian karya ilmiah ini. Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat banyak kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Februari 2017 Nur Aisyah Mukarromah
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
LANDASAN TEORI
2
Sistem Dinamik
2
Titik Tetap
2
Pelinearan
2
Nilai Eigen
3
Analisis Kestabilan Titik Tetap
3
Metode Runge-Kutta Orde Empat
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
5
Pemodelan
5
Pembahasan
7
Solusi Numerik dengan Metode Runge-Kutta Orde Empat
9
Hasil Numerik SIMPULAN DAN SARAN
10 16
Simpulan
16
Saran
16
DAFTAR PUSTAKA
17
RIWAYAT HIDUP
27
DAFTAR TABEL 1 Perubahan Nilai Parameter dan pada model 2 Kriteria Routh-Hurwitz dan kestabilan
11 11
DAFTAR GAMBAR 1 Grafik solusi model Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan 2 3 4 5
Grafik solusi model Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan Grafik solusi model Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan Grafik solusi model Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan Grafik solusi model Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan dan 6 Grafik solusi model Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan dan 7 Grafik solusi model Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan dan 8 Grafik solusi model Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan dan
12 13 14 14 15 15 15 15
DAFTAR LAMPIRAN 1 Penentuan titik tetap model Siklus Bisnis Kaldor-Kalecki 2 Penentuan nilai eigen model Siklus Bisnis Kaldor-Kalecki 3 Hasil numerik titik tetap dan nilai eigen model dengan software Maple 13 4 Program solusi numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde empat dengan software scilab 5.4.1 5 Program plot grafik solusi menggunakan metode Runge-Kutta orde empat dengan software scilab 5.4.1
18 19 23 24 26
PENDAHULUAN Latar Belakang Mankiw (2007) menyatakan bahwa perekonomian ideal adalah perekonomian yang pertumbuhannya stabil yaitu perekonomian yang bergerak konstan di satu titik. Perekonomian yang stabil juga dilihat dari proses perubahannya yang bergerak secara berkesinambungan menuju keadaan yang lebih baik selama periode tertentu. Namun dalam implementasinya pertumbuhan ekonomi umumnya mengalami gerakan pasang surut atau fluktuasi. Pergerakan pasang surut ini disebabkan oleh kondisi ekonomi yang selalu berubah karena adanya perubahan faktor ekonomi itu sendiri pada periode tertentu. Perubahan faktor ekonomi tersebut dapat terjadi dalam jangka panjang maupun jangka pendek yang diilustrasikan oleh siklus bisnis. Oleh karena itu, para ekonom perlu melakukan peramalan. Hal ini dilakukan untuk meminimalisasi risiko yang mungkin terjadi di masa depan. Peramalan tersebut dapat dilakukan dengan mencari solusi jangka panjang dari suatu model yang merepresentasikan fenomena ekonomi pada periode tersebut. Peramalan kondisi ekonomi di masa mendatang yang diilustrasikan oleh siklus bisnis ini merupakan salah satu sistem dinamik dalam bidang ekonomi. Salah satu modelnya adalah model siklus bisnis Kaldor-Kalecki. Model siklus bisnis Kaldor-Kalecki merupakan siklus bisnis yang melibatkan pendapatan kotor ( ) dan stok modal sebagai variabel terikat serta tabungan dan fungsi investasi sebagai variabel bebas. Faktor pendapatan kotor tersebut mengukur pendapatan dan pengeluaran total nasional sementara stok modal itu sendiri berpengaruh langsung terhadap pendapatan kotor. Pada model tersebut, dapat ditinjau pula interaksi yang terjadi antara dua tipe fungsi investasi yaitu fungsi investasi yang merepresentasikan perilaku ekonomi global dan fungsi investasi yang merepresentasikan perilaku ekonomi lokal. Selain siklus bisnis Kaldor-Kalecki, ada model siklus bisnis lainnya seperti siklus bisnis IS-LM yang melibatkan fungsi investasi (I), saving (S), permintaan akan uang (L) dan persediaan uang (M). Model siklus bisnis Kaldor-Kalecki ini merupakan sistem persamaan diferensial tak linear yang sulit ditentukan solusi eksaknya sehingga perlu analisis numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde empat. Metode tersebut mengacu pada analisis kestabilan model yang juga bertujuan melihat perilaku dua variabel terikat yang memengaruhi siklus bisnis. Selain itu dari metode tersebut akan dihasilkan pula grafik solusi sehingga dapat diketahui solusi jangka panjang dari model tersebut. Tujuan Penelitian Tujuan dari karya ilmiah ini adalah sebagai berikut: 1. Menganalisis kestabilan model Siklus Bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda untuk dua fungsi investasi yang digunakan dalam peramalan kondisi ekonomi di masa mendatang.
2 2.
Mengimplementasikan algoritme Metode Runge-Kutta orde empat pada model sehingga ditampilkan grafik solusi sistem yang digunakan sebagai ilustrasi perekonomian pada periode tertentu.
LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun karya ilmiah ini, yaitu meliputi sistem dinamik, titik tetap, pelinearan, nilai eigen, analisis kestabilan titik tetap dan metode Runge-Kutta orde empat. Sistem Dinamik Sistem dinamik adalah sebuah sistem yang berubah dari waktu ke waktu sesuai dengan seperangkat aturan yang menentukan suatu kondisi sistem yang bergerak ke sistem yang lain. Sistem dinamik memiliki dua bagian yaitu vektor kondisi yang menjelaskan kondisi dari sistem dan fungsi yang menjelaskan kondisi sistem saat ini serta perubahannya terhadap waktu. Vektor kondisi tersebut dijelaskan sebagai berikut: [
⃗
]
Sementara untuk fungsi dijelaskan dengan satu atau lebih dari satu persamaan, yakni sebagai berikut:
Dengan demikian sistem dinamik dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial sebagai berikut: ̇
(1) (Kreyszig 2011) Titik Tetap
Titik tetap adalah titik kritis atau titik kesetimbangan. Dari sistem dinamik pada persamaan (1), dengan fungsi yang terturunkan, suatu titik yang memenuhi disebut titik keseimbangan atau titik tetap (Tu 1994). Pelinearan Analisis kestabilan untuk sistem persamaan diferensial tak linear dilakukan dengan menggunakan teknik pelinearan. Sistem persamaan diferensial taklinear yang tidak bergantung terhadap waktu biasa dituliskan dalam bentuk: ̇ dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetapnya diperoleh:
(2)
3 ̇
(3)
karena persamaan (3) merupakan Sistem Persamaan Diferensial taklinear, suku berorde tinggi dengan dan matriks jacobi sebagai berikut: (
̇
*
̇ [
]
pada Persamaan (3) disebut pelinearan dari sistem taklinear Selanjutnya Persamaan (2) sehingga diperoleh persamaan berikut: ̇
. (Tu 1994)
Nilai Eigen Misalkan adalah martriks , maka suatu vektor tak nol di dalam disebut vektor eigen dari , jika untuk suatu skalar , yang disebut nilai eigen dari , berlaku: (4) Vektor pada persamaan (4) disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dan matriks yang berukuran . Persamaan (4) dapat pula dituliskan sebagai berikut: (5) dengan pada Persamaan (5) merupakan matriks identitas. Selanjutnya, diperoleh Persamaan (5) yang memiliki solusi tak nol jika dan hanya jika: (6) Persamaan (6) disebut persamaan karakteristik dari (Anton 2010). Analisis Kestabilan Titik Tetap Analisis kestabilan titik tetap dilakukan menggunakan matriks Jacobi yaitu matriks . Titik tetap disubstitusikan ke dalam matriks Jacobi , kemudian dengan persamaan (6) akan diperoleh nilai eigen . Berdasarkan nilai eigen yang diperoleh, secara umum kestabilan titik tetap memiliki tiga perilaku, yaitu: 1. Stabil, jika: a. Setiap nilai eigen bernilai negatif . b. Setiap nilai eigen kompleks memiliki bagian real negatif atau sama dengan nol .
4 2. Tidak stabil, jika: a. Beberapa nilai eigen bernilai positif . b. Beberapa nilai eigen kompleks memiliki bagian real positif atau sama dengan nol . 3. Sadel, jika ada perkalian dua buah nilai eigen real adalah negatif (Tu 1994). Berdasarkan persamaan karakteristik pada persamaan (6), penentuan kestabilan titik tetap juga dapat ditentukan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Menurut jika Fisher (1990), misal adalah bilangan asli dan dengan persamaan karakteristik:
dan matriks Hurwitz sebagai berikut: [
],
maka nilai eigen dari persamaan (6) akan memunyai bagian real negatif jika dan hanya jika determinan dari matriks bernilai positif: untuk setiap . Menurut kriteria Routh-Hurwitz, teorema di atas untuk suatu nilai ), titik tetap akan stabil jika dan hanya jika:
Khusus untuk , dengan persamaan karakteristik:
adalah negatif jika dan hanya jika
(untuk
adalah bagian real nilai eigen dari
positif dan (Fisher 1990)
Metode Runge-Kutta Orde Empat Metode Runge-Kutta orde empat merupakan salah satu teknik numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa orde satu. Metode ini tidak membutuhkan perhitungan turunan fungsi sehingga lebih efektif digunakan untuk mendapatkan derajat ketelitian yang lebih tinggi. Misalkan diberikan sebuah persamaan diferensial sebagai berikut: ̇
dengan
.
5 Formulasi metode Runge-Kutta:
dengan (
) (
*
(
*
Metode ini dilakukan dengan mengevaluasi fungsi pada titik terpilih dalam interval dengan ; dan untuk kemudian mengombinasikan nilai-nilai ini sehingga diperoleh ketelitian yang baik pada hampiran sebelumnya (Munir 2015).
HASIL DAN PEMBAHASAN Pemodelan Siklus Bisnis Kaldor-Kalecki Siklus bisnis Kaldor-Kalecki yang diperkenalkan oleh Nicholas Kaldor dan Michal Kalecki ini adalah suatu sistem dinamik dalam bidang ekonomi yang direpresentasikan sebagai sistem persamaan diferensial tundaan. Kalecki memperkenalkan gagasan bahwa ada waktu tunda untuk investasi sebelum keputusan bisnis. Selanjutnya, gagasan Kalecki tersebut diterapkan pada model Kaldor (Krawiec dan Szydlowski 2001). Model siklus bisnis Kaldor-Kalecki yang melibatkan fungsi pendapatan kotor dan fungsi stok modal adalah sebagai berikut: ( (
) )
(7)
dengan
(
)
: : : : : : : :
pendapatan kotor pada waktu t stok modal pada waktu t fungsi investasi terhadap pendapatan kotor dan stok modal fungsi tabungan terhadap pendapatan kotor dan stok modal fungsi investasi dengan waktu tunda pada pendapatan kotor koefisien penyesuaian di pasar barang ( ) tingkat depresiasi stok modal waktu tunda ( )
6 Adanya waktu tunda dalam model tersebut menunjukkan bahwa realiasisasi sistem bergantung keputusan-keputusan variabel sebelumnya. Sementara itu, menurut Zduniak et al. (2014) terdapat beberapa asumsi, yaitu: ; linear, , sehingga . (8) ; linear, Pada kedua model tersebut juga akan diasumsikan terdapat dua tipe fungsi investasi. Penggunaan dua tipe fungsi investasi tersebut mengacu pada perbedaan perilaku sistem yang akan diterapkan pada model siklus bisnis Kaldor-Kalecki. Fungsi investasi yang dimaksud adalah fungsi investasi ekonomi global dan (Zduniak et al. 2014).
untuk fungsi investasi ekonomi lokal
Model Siklus Bisnis Kaldor-Kalecki tanpa Waktu Tunda Tidak adanya waktu tunda dalam model menunjukkan bahwa tidak ada waktu untuk kesiapan modal sebelum investasi selanjutnya dilakukan. Dengan demikian, model siklus bisnis Kaldor-Kalecki jika diasumsikan tanpa waktu tunda dengan maka akan diperoleh model sebagai berikut: (
) (9)
(
)
Pada persamaan (9) akan diterapkan asumsi (8) sehingga menjadi: (10)
Selanjutnya dengan adanya pengaruh fungsi investasi ekonomi global dan fungsi investasi ekonomi lokal maka persamaan (10) menjadi: 1 a. ( ) I
I
(11) (
b.
)
I (
dan
)
: fungsi investasi ekonomi global pada saat t : fungsi investasi ekonomi lokal pada saat t : koefisien penyesuaian di pasar barang dengan
7 1,
2
1,
2
: laju investasi terhadap stok modal : laju tabungan terhadap pendapatan kotor : tingkat depresiasi pada stok modal dengan : korelasi ekonomi global dengan ekonomi lokal
Menurut Zduniak et al.(2014), korelasi ekonomi global dengan ekonomi lokal sebesar Hal ini dimaksudkan agar lebih mudah menunjukkan adalah pengaruh ekonomi global dan lokal terhadap model. Sesuai dengan Zduniak et al. (2014), jika disubstitusikan bentuk fungsi investasi global dan lokal maka persamaan (11) menjadi: (
)
(12) (
) (
)
Dalam dinamika siklus bisnis Kaldor-Kalecki, parameter koefisien penyesuaian di pasar barang memengaruhi dinamika pendapatan kotor karena besarnya laju pendapatan kotor suatu perusahaan dipengaruhi oleh nilai . Asumsi pada saat kondisi , yaitu koefisien penyesuaian pada model yang merepresentasikan perilaku ekonomi global lebih besar atau sama dengan nilai koefisien penyesuaian pada model yang merepresentasikan perilaku ekonomi lokal. Jadi, laju pendapatan kotor pada model yang merepresentasikan perilaku ekonomi global akan meningkat lebih cepat atau sama dengan laju pendapatan kotor pada model yang merepresentasikan perilaku ekonomi lokal. Pembahasan Penentuan Titik Tetap Model Penentuan titik tetap untuk mencari titik tetap pendapatan kotor dan stok modal pada persamaan (12) diperoleh dari sehingga diperoleh sebagai berikut: (
) (13)
(
)
8 Dengan menyelesaikan persamaan (13) maka akan diperoleh titik tetap yaitu dengan:
(14) (
) (Lampiran 1)
Analisis Kestabilan Model Model siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan dua tipe fungsi investasi merupakan sistem persamaan diferensial tak linear, sehingga untuk mempermudah analisis kestabilan model, dilakukan analisis titik tetap dari sistem persamaan (12), sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: (
)
[
(
)
(
)
Selanjutnya akan disubstitusikan titik tetap matriks Jacobi sebagai berikut: (
sehingga diperoleh
)
[
akan
]
(
)
(
)
Kemudian dengan menyelesaikan persamaan karakteristik diperoleh persamaan yang bergantung pada dengan: (
(
)
)
]
yaitu
(15)
9 (
) (16) (
(
)
(
)
)
(17) (
jika
(
)
(
)
(18)
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz titik tetap akan stabil jika dan hanya dan Berdasarkan persamaan
(18) akan diperoleh nilai ,
)
, (
karena
(
)
)
. Selanjutnya, dapat dibuktikan pula nilai .
sehingga (Lampiran 2)
Solusi Numerik dengan Metode Runge-Kutta Orde Empat Setelah mencari kondisi kestabilan, dilakukan pendekatan penyelesaian dari sistem persamaan (12) untuk memperoleh solusi numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde empat. Berikut ini adalah algoritme penyelesaian model siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda. Sistem persamaan (12) dituliskan kembali sehingga:
Algoritme untuk menentukan solusi diberikan seperti berikut: a. Menentukan persamaan fungsi dan nilai
b. Menentukan nilai dengan sebagai nilai awal, sebagai jumlah iterasi, c. Menentukan solusi dari persamaan fungsi terhadap for i = 1,.......,n, do:
awal
terhadap
sebagai nilai akhir, dan selama
iterasi.
10 (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
end. Hasil Numerik Pada bagian ini akan ditampilkan hasil numerik dan grafik solusi metode Runge-Kutta orde empat untuk model siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda yang diperoleh dari analisis titik tetap dan nilai eigen dengan pengaruh tingkat depresiasi dan koefisien penyesuaian di pasar barang sehingga
11 akan dilakukan simulasi untuk beberapa nilai yang berbeda. Hasil numerik dilakukan dengan mensubsitusikan nilai parameter pada Tabel 1. Tabel 1 Perubahan Nilai Parameter Parameter
dan
1
2
3
0.2 0.2 0.2 0.2 0.025 0.1
0.2 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1
0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.1
pada model Simulasi 4 5 3 1.5 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 1 0.025 0.1 0.1
6 4 3 0.2 0.2 0.2 0.2 0.025 0.1
7 3 1.5 0.2 0.2 0.2 0.2 1 0.1
8 4 3 0.2 0.2 0.2 0.2 1 0.1
Nilai didapat dari Zduniak et al (2014). Pada simulasi 1, 2, 3, dan 4 diterapkan empat tingkat depresiasi yang berbeda sehingga akan ditunjukkan pengaruhnya terhadap model siklus bisnis Kaldor-Kalecki. Sedangkan pada simulasi 5, 6, 7, dan 8 dengan menerapkan nilai koefisien penyesuaian akan ditunjukkan bahwa tidak terlalu berpengaruh terhadap model siklus bisnis Kaldor-Kalecki. Hasil Numerik Titik Tetap dan Nilai Eigen Pada bagian ini akan diperoleh hasil numerik dengan menyubstitusikan nilai parameter pada Tabel 1 dan titik tetap stabil yang diperoleh dari metode RungeKutta orde empat ke dalam persamaan (15), (16), (17), (18) berdasarkan pada kriteria Routh-Hurwitz sehingga diperoleh Tabel 2 sebagai berikut: Tabel 2 Kriteria Routh-Hurwitz dan kestabilan Simulasi Luaran
1
2
3
Jenis kestabilan
0.619125 0.087469 -0.009106 -0.001988 -0.000493 0.000166 -0.001524 Tak Stabil
0.999001 0.359101 0.053730 0.002673 0.019275 0.005774 0.005335 Stabil
1.742612 1.125396 0.318437 0.033196 0.624496 0.202804 0.201612 Stabil
4 3.251827 3.649933 1.623946 0.238389 19.274534 5.274402 5.041636 Stabil
Berdasarkan Tabel 2 kriteria Routh-Hurwitz akan terpenuhi pada saat simulasi 2, 3, dan 4 dengan nilai yang tidak terlalu kecil. Hasil Numerik Metode Runge-Kutta Orde Empat Pada bagian ini akan ditampilkan solusi numerik dan grafik solusi model siklus bisnis Kaldor-Kalecki menggunakan metode Runge-Kutta orde empat. Hasil
12 numerik dilakukan dengan menyubstitusi nilai parameter pada Tabel 1 ke dalam algoritme metode Runge-Kutta orde empat menggunakan software Scilab5.4.1 dengan nilai awal maka diperoleh hasil numerik berupa luaran dari metode Runge-Kutta orde empat pada periode waktu tertentu sehingga dapat dilihat titik tetap stabil pada model. Simulasi 1 Pada simulasi 1, digunakan koefisien penyesuaian di pasar barang , laju simpanan terhadap , laju investasi terhadap stok modal pendapatan kotor dan tingkat depresiasi stok modal . Maka akan diperoleh grafik solusi dari model siklus bisnis Kaldor-Kalecki dengan fungsi investasi yang merepresentasikan perilaku ekonomi global dan ekonomi lokal untuk melihat kestabilan titik tetap dan perbedaan perilaku model sebagai berikut.
Gambar 1 Grafik solusi model Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan
Berdasarkan bentuk fungsi investasi ekonomi global yang merupakan fungsi logistik, pada Gambar 1 dapat dilihat bahwa pada awalnya laju pendapatan kotor dan stok modal berosilasi pada interval tertentu dan kemudian bergerak konstan di suatu titik. Begitu pula dengan fungsi investasi ekonomi lokal yang merupakan fungsi sinus, yang akan terus berosilasi pada interval tertentu. Pada grafik terlihat bahwa siklus bisnis dengan fungsi investasi global mengalami kestabilan disekitar dengan laju pendapatan kotor dan laju stok modal yang akan konstan pada dan , sedangkan untuk siklus bisnis dengan fungsi investasi lokal laju pendapatan kotornya akan terus berosilasi dalam interval [ ] dan [ ] . Hal ini terjadi karena adanya pengaruh tingkat depresiasi yang nilainya terlalu kecil sehingga memengaruhi stok modal. Semakin kecil tingkat depresiasi maka stok modal akan mengalami peningkatan sehingga laju stok modal pun akan meningkat dan menyebabkan laju pendapatan kotor menurun. Oleh karena itu, berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz laju siklus bisnis pada simulasi 1 ini adalah tidak stabil (hasil pada Tabel 2). Simulasi 2 Pada simulasi 2, digunakan koefisien penyesuaian di pasar barang , laju investasi terhadap stok modal , laju simpanan terhadap pendapatan kotor dan tingkat depresiasi stok modal .
13 Diperoleh grafik solusi dari model siklus bisnis Kaldor-Kalecki dengan fungsi investasi yang merepresentasikan perilaku ekonomi global dan ekonomi lokal untuk melihat kestabilan titik tetap dan perbedaan perilaku model sebagai berikut.
Gambar 2 Grafik solusi model Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan
Implementasi dalam bidang ekonomi, laju pendapatan kotor dan stok modal akan mulai mengalami kestabilan pada titik yang berbeda. Kestabilan model siklus bisnis dengan fungsi investasi ekonomi global cenderung lebih cepat stabil dengan nilai yang lebih besar dibandingkan dengan model siklus bisnis dengan fungsi investasi ekonomi lokal. Laju pendapatan kotor akan lebih besar jika dibandingkan laju stok modal karena adanya pengaruh koefisien penyesuaian dan . Namun pada Gambar 2 laju stok modal lebih besar dibandingkan dengan laju pendapatan kotor, hal ini disebabkan oleh tingkat depresiasi yang masih cenderung kecil. Jika dilihat secara seksama pada grafik terlihat bahwa siklus bisnis dengan fungsi investasi global akan mulai mengalami kestabilan disekitar dengan laju dan pendapatan kotor dan stok modal yang akan konstan pada , sedangkan untuk siklus bisnis dengan fungsi investasi lokal akan mulai mengalami kestabilan disekitar dengan laju pendapatan kotor dan stok modal yang akan konstan pada dan . Berdasarkan laju pendapatan kotor dan laju stok modal tersebut, maka menurut kriteria Routh-Hurwitz laju siklus bisnis pada simulasi 2 adalah stabil (hasil pada Tabel 2). Simulasi 3 Selanjutnya, digunakan koefisien penyesuaian di pasar barang , laju investasi terhadap stok modal , laju simpanan terhadap pendapatan kotor dan tingkat depresiasi stok modal . Diperoleh grafik solusi dari model siklus bisnis Kaldor-Kalecki dengan fungsi investasi yang merepresentasikan perilaku ekonomi global dan ekonomi lokal untuk melihat kestabilan titik tetap dan perbedaan perilaku model sebagai berikut.
14
Gambar 3 Grafik solusi model Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan
Pada Gambar 3, dapat dilihat bahwa laju pendapatan kotor pada model siklus bisnis dengan fungsi investasi ekonomi global dan model siklus bisnis dengan fungsi investasi ekonomi lokal cenderung lebih besar dibandingkan dengan laju pendapatan kotor pada model siklus bisnis di simulasi sebelumnya. Tingkat depresiasi yang meningkat yaitu menyebabkan penurunan laju stok modal dan peningkatan pada laju pendapatan kotor. Pada grafik terlihat bahwa siklus bisnis dengan fungsi investasi global akan mulai mengalami kestabilan disekitar dengan laju pendapatan kotor dan stok modal yang akan konstan pada dan sedangkan untuk siklus bisnis dengan dengan fungsi investasi lokal akan mulai mengalami kestabilan pada saat laju pendapatan kotor dan stok modal yang akan konstan pada dan . Berdasarkan laju pendapatan kotor dan laju stok modal tersebut, maka menurut kriteria Routh-Hurwitz laju siklus bisnis pada simulasi 3 adalah stabil (hasil pada Tabel 2). Simulasi 4 Selanjutnya, digunakan koefisien penyesuaian di pasar barang , laju investasi terhadap stok modal laju simpanan terhadap pendapatan kotor dan tingkat depresiasi stok modal . Diperoleh grafik solusi dari model siklus bisnis Kaldor-Kalecki dengan fungsi investasi yang merepresentasikan perilaku ekonomi global dan ekonomi lokal untuk melihat kestabilan titik tetap dan perbedaan perilaku model sebagai berikut.
Gambar 4 Grafik solusi model Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan
15 Pada Gambar 4, dapat dilihat bahwa kestabilan model siklus bisnis dengan fungsi investasi ekonomi global lebih besar dan lebih cepat stabil dibandingkan dengan model siklus bisnis dengan fungsi investasi ekonomi lokal pada grafik di simulasi sebelumnya. Hal ini terjadi karena peningkatan tingkat depresiasi yaitu sehingga menyebabkan penurunan laju stok modal dan peningkatan pada laju pendapatan kotor. Pada grafik terlihat bahwa siklus bisnis dengan fungsi investasi global akan mengalami kestabilan dengan laju pendapatan kotor dan stok modal yang akan konstan pada dan sedangkan untuk siklus bisnis dengan fungsi investasi lokal akan mengalami kestabilan dengan laju pendapatan kotor dan stok modal yang akan konstan pada dan . Berdasarkan laju pendapatan kotor dan laju stok modal tersebut, maka menurut kriteria Routh-Hurwitz laju siklus bisnis pada simulasi 4 adalah stabil (hasil pada Tabel 2). Simulasi 5, 6, 7, dan 8 Pada simulasi 5, 6, 7, dan 8 akan ditunjukan bahwa nilai koefisien penyesuaian di pasar barang tidak terlalu berpengaruh terhadap kestabilan model siklus bisnis Kaldor-Kalecki, dengan laju investasi terhadap stok modal , laju simpanan terhadap pendapatan kotor dan tingkat depresiasi stok modal dan Diperoleh grafik solusi dari model siklus bisnis Kaldor-Kalecki dengan fungsi investasi yang merepresentasikan perilaku ekonomi global dan ekonomi lokal untuk melihat kestabilan titik tetap dan perbedaan perilaku model sebagai berikut.
Gambar 5 Grafik solusi model Kaldor- Gambar 6 Grafik solusi model KaldorKalecki tanpa waktu tunda dengan Kalecki tanpa waktu tunda dengan dan dan
Gambar 7 Grafik solusi model Kaldor- Gambar 8 Grafik solusi model KaldorKalecki tanpa waktu tunda dengan Kalecki tanpa waktu tunda dengan dan dan
Pada Gambar 5 dan Gambar 6 ditampilkan grafik kestabilan model dengan pada masing-masing grafik. Pada tingkat depresiasi yang sama dan nilai kedua grafik tersebut terlihat bahwa kedua grafik tidak berbeda jauh dengan grafik
16 yang ditampilkan pada Simulasi 1. Hal ini menunjukkan bahwa nilai koefisien penyesuaian di pasar barang tidak terlalu berpengaruh terhadap kestabilan laju siklus bisnis Kaldor-Kalecki. Begitu pula pada Gambar 7 dan Gambar 8 yang tidak berbeda jauh dengan grafik yang terlihat pada grafik yang ditampilkan pada Simulasi 4. Oleh sebab itu model kestabilan siklus bisnis Kaldor-Kalecki dengan nilai koefisien yang berbeda tidak ditentukan hasil numeriknya menggunakan kriteria Routh-Hurwitz.
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Model siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan fungsi investasi yang merepresentasikan perilaku ekonomi global dibedakan dari laju siklusnya yang lebih cepat stabil dibandingkan dengan model siklus bisnis KaldorKalecki tanpa waktu tunda dengan fungsi investasi yang merepresentasikan perilaku ekonomi lokal. Hal ini terjadi karena adanya pengaruh tingkat depresiasi . tidak terlalu berpengaruh Keofisien penyesuaian di pasar barang dan sebagaimana pengaruh tingkat depresiasi terhadap laju siklus bisnis. Semakin besar tingkat depresiasi maka laju stok modal juga akan mengalami penurunan sehingga menyebabkan peningkatan pada laju pendapatan kotor. Pada model matematika, perbedaan perilaku ini direpresentasikan melalui fungsi logistik dan fungsi sinus. Solusi numerik diselesaikan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat untuk melihat perilaku model siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan dua bentuk fungsi investasi yang berbeda. Model ini dengan parameter tertentu juga dapat digunakan untuk mengimplementasikan algoritme metode Runge-Kutta orde empat sehingga ditampilkan grafik solusi yang menunjukkan kestabilan sistem. Saran Karya ilmiah ini membahas penyelesaian secara numerik yang menggunakan analisis kestabilan sebagai acuan pada model siklus bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan dua tipe fungsi investasi yang juga bertujuan untuk melihat perbedaan antara perilaku siklus bisnis pada model siklus bisnis dengan fungsi investasi yang merepresentasikan perilaku pada ekonomi global dan ekonomi lokal. Pengembangan penelitian selajutnya dapat meggunakan model yang sama namun dengan menganalisis kestabilan pada model dengan waktu tunda.
17
DAFTAR PUSTAKA Anton H. 2010. Aljabar Linear Elementer. Ed ke-8. Jakarta (ID): Erlangga. Fisher SD.1990. Complex Variables. California (US): Wadsworth & Brooks Krawiec A, Szydlowski M. 2001. The Kaldor-Kalecki model of business cycle as a two dimentional dynamical system. Nonlinear Mathematical Physics 8:288-271. Kreyzig E. 2011. Advanced Engineering Mathematics. Ed ke-10. Hoboken (US): John Wiley & Sons, Inc. Mankiw NG. 2007. Makroekonomi Edisi Keenam. Fitria L, Imam N, penerjemah. Jakarta (ID): Penerbit Erlangga. Terjemahan dari: Macroeconomics Edition. Munir R. 2015. Metode Numerik. Bandung (ID): Informatika. Tu PNV.1994. Dynamical System, An Introduction with Application in Economics and Biology. Hiedelberg (DE): Springer-Verlag. Zduniak, Jackowska B, Grzybowska U, Orlowski A. 2014. Numerical analysis of two coupled Kaldor-Kalecki models with delay. Proceedings of the 7th Symposium FENS, Lublin, May 14-17, 2014. DOI:10.12693/APhysPolA.127.A70
18 Lampiran 1. Penentuan titik tetap model Siklus Bisnis Kaldor-Kalecki Titik tetap ditentukan dari dari persamaan (12) diperoleh:
sehingga
(
+
(
) (12)
(
+
(
) (
( ( (
(
) )
)
;
)
(
(
)
)
) )
( (
( )
)
19 Lampiran 2. Penentuan nilai eigen model Siklus Bisnis Kaldor-Kalecki Misalkan model persamaan (13) dituliskan sebagai berikut: (
)
(
)
Dengan melakukan pelinearan didapatkan matriks Jacobi sebagai berikut:
[
]
(
(
)+
(
(
)+
(
(
)+
(
(
)+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
))
(
(
))
(
(
))
(
(
))
(
(
(
)
)
*
20
(
(
))
(
(
))
(
(
))
(
(
))
(
)
[ Analisis titik tetap (
(
)
(
)
(
)
]
)
Diketahui matriks Jacobi (
)
( ) [ ] Merupakan pelinearan pada titik tetap seperti pada persamaan (14) diperoleh matriks , kemudian akan ditentukan nilai eigennya menggunakan persamaan karakteristik
|
(
)
|
|
(
*( )
(
(
)
)
+
)
*
( (
(
dan
)
(
)(
sehingga:
(
|
) (
)
(
) )
) )
+
21
*( (
(
*
)
)
(
(
*( (
(
*
)
(
(
)
(
*
,
)
(
(
)
)
)+
)
)
)(
) +
)+
(
) +
+
)
)
[
]
(
( (
(
(
(
(
)
)
( (
)
( (
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
)
maka:
)
)
(
)+
(
(
)
(
)
)( (
)
)
(
Misalkan:
(
)(
(
*( (
( (
)( )
)
Karena
)
(
)
(
(
(
)
)
)
)
),
)
Persamaan diatas adalah persamaan karakteristik yang ditulis sebagai berikut dengan:
22
( (
)
) (15)
(
) ( (
(
(
)
)
)
, (16)
(
)
( (
)
), (17)
(
)
(18)
Berdasarkan persamaan karakteristik diatas akan ditentukan kestabilan titik tetap yang didapatkan dari penerapan metode Runge-Kutta orde empat. Menurut dan kriteria Routh Hurwitz jika terpenuhi, maka berdasarkan persamaan karakteristik tersebut dapat digunakan untuk menentukan kestabilan titik tetap, dengan: ,(
dengan
karena ( (
(
(
(
(
)
Dapat dibuktikan dibuktikan pula bahwa
)
)
)
(
karena
, )
(
( (
)
)
dan ( (
)
)
)
)
)
) dan
sehingga dapat
23 Lampiran 3. Hasil numerik titik tetap dan nilai eigen dengan software Maple 13
24 Lampiran 4. Program solusi numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde empat dengan software scilab 5.4.1 Model Siklus Bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan fungsi investasi Ekonomi Global dan fungsi investasi Ekonomi Lokal [
]
25
26 Lampiran 5. Program plot grafik solusi menggunakan metode Runge-Kutta orde empat dengan software scilab 5.4.1 Plot Model Siklus Bisnis Kaldor-Kalecki tanpa waktu tunda dengan fungsi investasi Ekonomi Global dan fungsi investasi Ekonomi Lokal
[ [ ]
]
27
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada 31 Agustus 1994 sebagai anak keenam dari enam bersaudara. Tahun 2012 penulis lulus dari SMA Negeri 44 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor melalui jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Undangan. Semasa menjadi mahasiswa aktif, penulis aktif di berbagai kegiatan organisasi dan kepanitiaan. Penulis tergabung sebagai bendahara Departemen Internal BEM FMIPA periode 2013/2014, sekretaris Departemen Internal BEM FMIPA periode 2014/2015 serta berperan aktif pada seluruh kegiatan BEM FMIPA selama dua periode tersebut. Kepanitiaan yang pernah diikuti penulis, yaitu staf Divisi Hubungan Masyarakat Festival Kampus IPB 2013, staf Divisi Hubungan Masyarakat Olimpiade Mahasiswa IPB (OMI) 2014, Sekretaris Umum II Pesta Sains Nasional 2014 dan Sekretaris Umum I Pesta Sains Nasional 2015. Selain itu penulis juga pernah mengikuti perlombaan di bidang olahraga dan seni yaitu, juara 2 Lomba Senam Aerobik pada ajang SPIRIT 2014, juara 2 Lomba Drama Musikal pada ajang SPIRIT 2015 dan juara 1 lomba Futsal Putri pada ajang SPIRIT 2016.
