BIFURKASI HOPF PADA MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN WAKTU TUNDA DAN TINGKAT PEMANENAN KONSTAN
LOLA OKTASARI
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Bifurkasi Hopf pada Model Mangsa Pemangsa dengan Waktu tunda dan Tingkat Pemanenan Konstan adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Desember 2014 Lola Oktasari NIM G54100054
ABSTRAK LOLA OKTASARI. Bifurkasi Hopf pada Model Mangsa-Pemangsa dengan Waktu Tunda dan Tingkat Pemanenan Konstan. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan ENDAR H NUGRAHANI.
Model dinamika populasi dalam tulisan ini disusun dari model mangsapemangsa dengan mempertimbangkan waktu tunda terhadap populasi pemangsa dan tingkat pemanenan konstan pada kedua populasi mangsa dan pemangsa. Analisis kestabilan dilakukan terhadap model tanpa dan dengan waktu tunda. Untuk model tanpa waktu tunda diperoleh dua titik tetap dengan titik tetap pertama bersifat sadel dan titik tetap kedua bersifat spiral stabil pada suatu kasus atau simpul stabil pada kasus yang lain. Sedangkan model dengan waktu tunda memiliki 2 titik tetap yang bersifat sadel dan spiral stabil pada suatu kasus atau bersifat sadel dan spiral takstabil pada kasus yang lain. Waktu tunda yang semakin besar akan mengakibatkan munculnya limit cycle dan terjadinya bifurkasi Hopf. Kata kunci: mangsa-pemangsa, waktu tunda, tingkat pemanenan konstan, bifurkasi Hopf
ABSTRACT
LOLA OKTASARI. Hopf Bifurcation of Predators-Prey Model with Time Delay and Constant Rate of Harvesting. Supervised by ALI KUSNANTO and ENDAR H NUGRAHANI. In this paper we discussed a predator-prey model by considering a time delay to predator population and constant rate of harvesting in both predator and prey populations. We performed stability analysis to both models with and without time delay. For that without time delay we obtained two equilibrium points which are saddle for the case and spiral stable or node stable in another case. For the case of model with time delay, there are two equilibrium points which are saddle and spiral stable or saddle and spiral unstable in another case. Time delay parameter may result in the existence of limit cycle and Hopf bifurcation. Keywords: predator-prey, time delay, constant rate of harvesting, Hopf bifurcation
BIFURKASI HOPF PADA MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN WAKTU TUNDA DAN TINGKAT PEMANENAN KONSTAN
LOLA OKTASARI
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
Judul Skripsi : Bifurkasi Hopf pada Model Mangsa Pemangsa dengan Waktu Tunda dan Tingkat Pemanenan Konstan Nama : Lola Oktasari NIM : G54100054
Disetujui oleh
Drs Ali Kusnanto, MSi Pembimbing I
Dr Ir Endar H Nugrahani, MS Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan yang telah diberikan sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Bifurkasi Hopf pada Model Mangsa Pemangsa dengan Waktu Tunda dan Tingkat Pemanenan Konstan. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1 Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya, 2 Nabi besar Muhammad SAW sebagai nabi akhir zaman, 3 keluarga tercinta: Ibunda Yuni Fitria dan Ayahanda Syafrizal, serta keempat adik saya Ega, Husnul, Asyifa dan Fisya yang selalu memberikan doa, motivasi dan kasih sayang tiada henti, 4 Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi, dan Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku dosen pembimbing, terima kasih atas segala kesabaran, ilmu, saran dan motivasinya selama membimbing menulis, serta Bapak Dr Paian Sianturi selaku dosen penguji, 5 staf tata usaha Departemen Matematika IPB, 6 Syahrul Agus Nasifa atas kasih sayang, doa, semangat dan kebersamaanya selama ini serta terima kasih juga untuk sahabat terdekat penulis Yulia Rianti atas semangat, motivasi dan doanya. 7 keluarga Hadeers tercinta Mezi, Mira, Amel, Wilda, Deni, Ayu, Indah, Yani, Mutia dan keluarga Arundina yang telah memberikan motivasi, bantuan, keceriaan, dan arti sahabat juga keluarga bagi penulis, 8 Sahabat-sahabat penulis Febria Elvy, Ikhsan, Jepri, Fahmi, Agung, Rahma, Putri Claristha, Bella, Tuty, Novia, Atika, Ayun, Alin, Rizal, Kiki Septiani, hasan, Ryani, Ayu, Oki, Angga dan Habib terima kasih atas semangat, motivasi, dan doanya, 9 teman-teman satu bimbingan: Nyoman, Lilis dan Eka yang senantiasa saling mengingatkan dan memberikan motivasi dalam penyusunan karya ilmiah ini, 10 teman-teman mahasiswa Matematika 47, PSDM Gumatika 2011/2012 terima kasih atas doa, semangat, serta kebersamaannya selama ini, 11 semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini, terima kasih. Bogor, Desember 2014 Lola Oktasari
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN PENDAHULUAN
vii viii viii 1
Latar Belakang
1
Tujuan
2
LANDASAN TEORI
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
4
Model tanpa waktu tunda (
)
6
Penentuan Titik Tetap Model
6
Analisis Kestabilan Titik Tetap Model
7
Model dengan waktu tunda (
)
SIMULASI NUMERIK MODEL
8 10
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa dengan dan Tanpa Waktu Tunda dan Tingkat Pemanenan Konstan 11 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 1
11
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 2
12
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 3
13
SIMPULAN
14
DAFTAR PUSTAKA
15
LAMPIRAN
16
RIWAYAT HIDUP
34
LAMPIRAN
22
DAFTAR TABEL Tabel 1 Kondisi kestabilan titik tetap
8
Tabel 2 Nilai waktu tunda
11
Tabel 3 Pemilihan nilai awal, waktu tunda serta kestabilan model
11
DAFTAR GAMBAR Gambar 1 Bidang fase saat
12
Gambar 2 Bidang solusi mangsa saat
12
Gambar 3 Bidang solusi pemangsa saat
12
Gambar 4 Bidang fase saat
12
Gambar 6 Bidang solusi pemangsa saat
13
Gambar 5 Bidang solusi mangsa saat
13
Gambar 7 Bidang fase saat
13
Gambar 8 Bidang solusi mangsa saat
13
Gambar 9 Bidang solusi pemangsa saat
13
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1 Penondimensionalan Model
16
Lampiran 2 Penentuan Titik Tetap Model
18
Lampiran 3 Kode Program Penentuan Nilai Eigen Model
19
Lampiran 4 Penyederhanaan Model dengan Metode Linearisasi
20
Lampiran 5 Penentuan Persamaan Karakteristik (20)
22
Lampiran 6 Penentuan Akar Persamaan Karakteristik
(25)
23
Lampiran 7 Penentuan Waktu Tunda kritis (28)
24
Lampiran 8 Program Plot Bidang Fase Kasus 1 (Gambar 1)
25
Lampiran 9 Program Plot Bidang Solusi Mangsa Kasus 1 (Gambar 2)
26
Lampiran 10 Program Plot Bidang Solusi Pemangsa Kasus 1 (Gambar 3)
27
Lampiran 11 Program Plot Bidang Fase Kasus 2 (Gambar 4)
28
Lampiran 12 Program Plot Bidang Solusi Mangsa Kasus 2 (Gambar 5)
29
Lampiran 13 Program Plot Bidang Solusi Pemangsa Kasus 2 (Gambar 6)
30
Lampiran 14 Program Plot Bidang Fase Kasus 3 (Gambar 7)
31
Lampiran 18 Program Plot Bidang Solusi Mangsa Kasus 3 (Gambar 8)
32
Lampiran 19 Program Plot Bidang Solusi Pemangsa Kasus 3 (Gambar 9)
33
1
PENDAHULUAN Latar Belakang Dinamika sistem mangsa-pemangsa memiliki peranan yang penting dalam bidang biologi dan matematika. Dalam bidang biologi dikenal adanya ekosistem, populasi, individu, dan komunitas. Ekosistem adalah suatu sistem ekologi yang terbentuk karena hubungan timbal balik antara makhluk hidup dengan lingkungannya. Populasi adalah kelompok makhluk hidup yang tinggal dalam suatu ekosistem tertentu. Tiap spesies makhluk hidup saling berinteraksi antar individu maupun populasi. Dalam interaksi tersebut terdapat rangkaian peristiwa memakan dan dimakan atau bisa disebut dengan proses mangsa-pemangsa. Mangsa (prey) merupakan organisme yang dimakan, diserang atau kalah, sedangkan pemangsa (predator) adalah organisme yang memakan, menyerang, atau menang. Model mangsa-pemangsa dengan respons fungsional dari predator dengan kepadatan mangsa merujuk pada perubahan dalam kepadatan mangsa per unit waktu per predator sebagai fungsi kepadatan mangsa. Sistem mangsapemangsa dengan mangsa bergantung pada respons telah dipelajari secara ekstensif dan dinamika seperti sistem yang sekarang dipahami dengan baik. Pertumbuhan suatu pemangsa dapat dipelajari melalui indikator, variabel, komponen, dan populasi. Fenomena mangsa-pemangsa menjadi salah satu fenomena alam yang patut dipelajari, bukan hanya untuk upaya pelestarian organisme tersebut tetapi juga dampak keseimbangan alam yang diakibatkan oleh populasi keduanya di masa yang datang. Alfred Lotka pada tahun 1925 dan Vito Volterra pada tahun 1927 mengembangkan sepasang persamaan diferensial yang menggambarkan fenomena mangsa-pemangsa untuk pertama kali yang dikenal sebagai model Lotka-Volterra (Edelstein Keshet 1988). Kemudian untuk membangun model yang lebih realistis Baretta & Kuang (1996) dan Ruan (2009) mempertimbangkan asumsi lain diantaranya adalah tingkat pemanenan dan waktu tunda. Model dengan tingkat pemanenan sering kali mengaitkan populasi dengan masalah ekonomi. Pengaruh tingkat pemanenan telah dipelajari oleh Holmberg dan hasilnya menunjukkan bahwa kuota tangkapan dapat menyebabkan osilasi serta kekacauan serta meningkatkan risiko eksploitasi (Toaha dan Hassan 2008). Waktu tunda juga harus dipertimbangkan karena ada beberapa individu yang belum mampu berkembang biak. Selain itu waktu tunda penting dalam pemodelan masalah nyata sebab keputusan biasanya dibuat berdasarkan pada keadaan sebelumnya. Hal ini penting perlu dipertimbangkan dalam memodelkan pertumbuhan populasi karena laju pertumbuhan populasi tidak hanya bergantung pada jumlah populasi suatu saat tetapi juga bergantung pada jumlah populasi pada waktu sebelumnya. Pada karya ilmiah ini akan dibahas tentang model prey-predator atau analisis kestabilan model mangsa pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan dan waktu tunda. Dari model ini akan dianalisis kestabilan serta dinamika populasi mangsa pemangsa terhadap waktu.
2 Tujuan Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk: 1 Menganalisis kestabilan model mangsa pemangsa tanpa waktu tunda dengan tingkat pemanenan konstan 2 Memelajari pengaruh waktu tunda terhadap kestabilan sistem dengan tingkat pemanenan konstan 3 Menganalisis perubahan kestabilan titik tetap dari model tersebut
LANDASAN TEORI Diberikan sistem persamaan diferensial sederhana dalam bentuk sebagai berikut: (1) ( ) ̇ Persamaan (1) disebut sistem sistem orde satu. Persamaan (1) mempunyai titik tetap ketika memenuhi ( ) . Titik tetap juga disebut sebagai titik keseimbangan. Ada dua jenis titik tetap yaitu titik tetap stabil dan titik tetap tak stabil (Strogatz 1994). Misalkan dilakukan perluasan Taylor terhadap persamaan (1) pada titik tetapnya akan diperoleh: ( ) ̇
( )
( ) sehingga
[
]
A disebut matriks Jacobi pada titik tetap dan fungsi ( ) memenuhi ( ) sehingga menyebabkan persamaan diferensial (1) dapat didekati oleh persamaan ̇
(3)
Persamaan (3) disebut sebagai pelinearan dari persamaan diferensial (1) (Tu 1994). Menurut Anton (1987) jika A adalah sebuah matriks berukuran n x n, maka sebuah vektor tak nol di Rn dinamakan vektor eigen dari A jika adalah kelipatan skalar dari yaitu:
3 (4) Skalar ini dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan . Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran , maka
atau (
)
(5)
Persamaan (5) akan mempunyai penyelesaian tak nol jika dan hanya jika: t(
)
(6)
Persamaan (6) adalah sebuah persamaan polinomial dalam yang dinamakan polinomial karakteristik dari A. Dengan melihat nilai-nilai eigen (i, i ) = 1, 2, 3,.., n) yang diperoleh dari persamaan karakteristik t( . Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku sebagai berikut : 1 Titik tetap stabil, jika: Setiap nilai eigen real adalah negatif ( ) untuk semua i, Setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih kecil atau sama dengan nol ( ) untuk semua i. 2 Titik tetap tak stabil, jika: Setiap nilai eigen real adalah positif ( ) untuk semua i, Setiap komponen nilai eigen kompleks bagian realnya lebih besar atau untuk semua i. sama dengan nol ( ) 3 Titik tetap sadel, jika ada perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif (ij < 0, untuk suatu i dan j ). Titik tetap sadel ini bersifat tak stabil (Tu 1994) Sedangkan menurut Strogatz (1994) titik tetap dengan nilai eigen kompleks yang dinotasikan sebagai berikut: (7) dengan asumsi , bersifat spiral stabil jika dan bersifat spiral tak stabil jika . Lebih lanjut, Strogatz (1994) menjelaskan bahwa struktur kualitatif dari suatu sistem dinamika dapat berubah karena adanya perubahan dari parameter sistem dinamika tersebut. Hal inilah yang disebut bifurkasi. Bifurkasi adalah perubahan jumlah atau kestabilan titik tetap (titik kestabilan) dalam suatu sistem dinamik. Nilai parameter ketika terjadinya bifurkasi dinamakan titik bifurkasi. Salah satu jenis bifurkasi yaitu bifurkasi Hopf. Bifurkasi Hopf adalah kemunculan siklus batas (limit cycle) dari kesetimbangan dalam sistem dinamis yang dihasilkan oleh persamaan diferensial biasa, saat kesetimbangan mengalami perubahan stabilitas yang melalui sepasang nilai eigen murni imajiner. Bifurkasi dapat bersifat superkritis atau subkritis yang mengakibatkan limit cycle menjadi stabil atau tidak stabil. Limit Cycle sendiri
4 merupakan orbit tertutup yang terisolasi. Terisolasi artinya bahwa orbit di sekelilingnya menuju atau menjauhi siklus limit. Berdasarkan persamaan karakteristik, kriteria Routh-Hurwitz Criterion dapat digunakan untuk menentukan kestabilan suatu titik kesetimbangan. Secara umum menurut Fisher (1990), misalkan a1, a2, ..., ak adalah bilangan asli dan aj = 0 jika j > k dengan persamaan polinomial karakteristik: ( )
(8)
Nilai eigen dari persamaan (8) akan mempunyai bagian real negatif jika dan untuk n = 1,2,3,...,k dengan: hanya jika determinan matriks
[
]
adalah positif. Menurut kriteria Routh-Hourwitz pada teorema di atas untuk suatu nilai i (untuk semua i=2,3,4), titik tetap akan stabil jika dan hanya jika:
. Cara yang digunakan untuk mengetahui kemungkinan adanya akar real positif dari sebuah persamaan polinom berderajat n adalah dengan menggunakan aturan tanda Descartes yang dinyatakan sebagai berikut, misalkan ( ) dan adalah koefisien merupakan polinom derajat n dengan koefisien real bilangan bulat yang memenuhi Maka banyaknya akar real positif dari ( ) sama dengan banyaknya variasi tanda dari koefisien polinomialnya (Wang 2004).
HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam karya ilmiah ini dibahas model mangsa-pemangsa dua spesies dimana populasi mangsa dan pemangsa dilambangkan dengan dan oleh setiap waktu . Model mangsa–pemangsa ini adalah jenis model mangsapemangsa dengan tingkat pemanenan konstan (Gazi & Bandyopadhyay 2008). Dalam model ini jika dimisalkan ( ) adalah populasi mangsa pada waktu dan
5 ( ) adalah populasi pemangsa pada waktu . Laju pertumbuhan populasi mangsa dipengaruhi oleh kematian alami yang berkurang sebesar karena adanya interaksi atau persaingan antar individu sebelumnya dan karena adanya interaksi serta pemanenannya antara mangsa dan pemangsa akan berkurang sebesar didasarkan laju intrinsik dengan mangsa dan berkurang sebesar . Laju pertumbuhan populasi pemangsa akan terus berkurang sebesar serta pemanenannya didasarkan laju intrinsik dengan pemangsa dan berkurang sebesar ( ) dan ( ) adalah persamaan . Pada persamaan pertumbuhan logistik. Berikut ini adalah sistem persamaan modelnya: ̇ ( )
(
̇ ( )
(
) )
(9)
di mana dan dengan: : banyaknya populasi mangsa, : banyaknya populasi pemangsa, : laju pertumbuhan per kapita mangsa, : laju pertumbuhan per kapita pemangsa, : proporsi daya dukung lingkungan untuk mangsa, : proporsi daya dukung lingkungan untuk pemangsa, : laju pemanenan mangsa dan pemangsa, : daya dukung lingkungan. Untuk menganalisis model, populasi mangsa dan pemangsa pada persamaan (9) ditransformasikan ke bentuk yang lebih sederhana dengan cara penondimensialan model. Biasanya penondimensionalan mengelompokkan beberapa parameter dengan sebuah parameter tunggal. Skala parameter yang digunakan yaitu: ̂ dengan
Sistem persamaan (9) menjadi: ̇( )
(
) (10)
̇( )
(
)
Bukti dari persamaan tersebut ada di Lampiran 1.
6 Ada cara yang berbeda untuk menggabungkan waktu tunda diskret di dalam sistem model mangsa pemangsa. Pada penulisan karya ilmiah ini dikenalkan waktu tunda diskret di dalam persamaan pertumbuhan pemangsa. Pengenalan dari pertumbuhan pemangsa tipe waktu tunda diskret bergerak dari hipotesis bahwa laju pertumbuhan populasi pemangsa saat ini bergantung dari rasio mangsa dan pemangsa di dalam sistem pada beberapa waktu sebelumnya. Model persamaan pemangsa menjadi seperti berikut : ̇( )
( (
(
) ) )
(11)
Sehingga model persamaan (10) menjadi seperti berikut : ̇( ) ̇( )
(
) ( (
.
) / )
Model tanpa waktu tunda (
(12)
)
Penentuan Titik Tetap Model Titik tetap persamaan (10) didapat dari persamaan menjadi: (
dan
)
, sehingga (13)
(
(14)
)
Dengan menyelesaikan sistem persamaan (13) dan (14), diperoleh 2 titik ) ( ) dengan: tetap, yaitu (
( Titik tetap
(
)
) akan berada di kuadran pertama jika memenuhi: (15) (
)
(16)
Agar persamaan (15) dan (16) terpenuhi, maka: dan Karena
dan
maka
7 Karena (
)
dan
maka
(
)
Analisis Kestabilan Titik Tetap Model Dengan melakukan pelinearan pada persamaan (10), diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: (17) (
)
Kestabilan titik tetap dapat dilihat dari nilai eigen yang dihasilkan oleh matriks Jacobi yang dievaluasi pada titik tetap tersebut. Selanjutnya, kestabilan di sekitar titik tetap diperiksa. ) disubstitusikan ke dalam persamaan matriks Jacobi, Titik tetap ( sehingga dihasilkan matriks Jacobi (
( (
(
)
) ) )
(18) (
Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik diperoleh nilai eigen untuk matriks ( ) , yaitu: (
(
)
)
)
Karena parameter yang digunakan bernilai dan maka dan . Karena kedua nilai eigen real berbeda tanda, maka kestabilan ( ) bersifat sadel (Strogatz 1994). Lalu, titik tetap titik tetap ( ) disubstitusikan ke dalam persamaan matriks Jacobi persamaan (10), sehingga dihasilkan matriks Jacobi (
(19)
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik diperoleh nilai eigen untuk matriks ( ) yaitu: ( ( di mana:
) )
(
√ )
( (
(
) (
)
) )
(
)
√ )
8 ) Berdasarkan nilai eigen yang diperoleh, kestabilan titik tetap ( bergantung pada nilai dan yang didalamnya terdapat parameter , dan . Jika , dan maka titik tetap menjadi simpul stabil (Strogatz 1994). Sementara jika dan titik tetap akan bersifat spiral stabil (Strogatz 1994). Dari kondisi ini, diperoleh kondisi kestabilan titik tetap (i) Jika (ii) Jika
, maka titik tetap ( , maka titik tetap (
dan dan
(
), yaitu:
) bersifat simpul stabil, ) bersifat spiral stabil.
Berikut adalah tabel kondisi kestabilan titik tetap. Tabel 1 Kondisi kestabilan titik tetap serta kestabilan model Kasus
Kondisi
1
,
2
dan
dan
Sadel
Simpul Stabil
Sadel
Spiral Stabil
)
Model dengan waktu tunda (
Hasil dari analisis dan simulasi model (10) menunjukkan bahwa titik tetap bersifat stabil. Pemberian waktu tunda akan menyebabkan perubahan kestabilan titik tetap . Dalam menganalisis kestabilan titik tetap dengan waktu tunda perlu terlebih dahulu dilakukan linearisasi persamaan (12) dengan mensubsitusikan titik tetap ke matriks Jacobi (17). Jika titik tetap tersebut disubstitusikan ke dalam matriks Jacobi (17) dengan asumsi bahwa waktu tunda terjadi hanya pada laju pertumbuhan populasi pemangsa dan menyederhanakannya, maka diperoleh ̇( )
( )
̇( )
(
( ) ( )
(
)
)
dengan = = =
( )
=
Bukti dari pelinearan tersebut ada di (Lampiran 4). Persamaan karakteristik dari persamaan (20) adalah sebagai berikut (
)
(
)
, (21)
dengan =
9 = = Menurut kriteria Routh-Hurwitz, nilai eigen dari persamaan karakteristik akan bernilai negatif jika dan hanya jika (22) dan Titik tetap akan positif jika dan hanya jika memenuhi kondisi (22), sehingga nilai eigen dari matriks Jacobi dimisalkan dengan dan ( ). Untuk melihat perubahan kestabilan pada model persamaan dengan waktu tunda maka nilai eigen tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (21) sehingga didapatkan akar-akar persamaan karakteristik (
)
(
)
(
)(
)
Dengan mengganti suku eksponensial ke bentuk trigonometri, persamaan tersebut berubah menjadi (
)
( ( =( (
)
) ( ) ))
( (
))
)
(
) (
(
)
Persamaan tersebut akan bernilai nol jika bagian imajiner dan realnya sama dengan nol, sehingga didapatkan ( ) ( )
( ) ( )
atau ekuivalen dengan (
)
(
) (23)
(
)
(
)
Eliminasi terhadap dilakukan dengan mengkuadratkan masing – masing ruas persamaan (23) menjadi ( (
= =
) )
( (
) )
( (
) )
( (
), ).
Kemudian kedua persamaan tersebut dijumlahkan dan dikelompokkan sesuai pangkat , maka akan diperoleh polinomial berderajat empat (
)
(24)
Dari persamaan (24) dapat dilihat bahwa bentuk trigonometri hilang dan tundaan tidak muncul. Sehingga, persamaan (24) merupakan polinomial
10 berderajat genap, bila didefinisikan sebagai akar dari persamaan (24) dan karena ( ) ( ) hanya ada satu solusi real untuk maka akan diperoleh , (
)
√(
)
-
(25)
Menurut aturan tanda Descrates, persamaan (24) akan memiliki paling tidak satu akar real positif jika persamaan (25) dapat diketahui (
)
(26)
dan
menyebabkan persamaan polinom (24) tidak memiliki perubahan tanda koefisien sehingga persamaan (25) tidak memiliki akar real positif. Dalam hal ini akan ditinjau jika dan (
)
dan (
)
(27)
maka ada satu solusi positif dari persamaan (25). Dengan demikian persamaan (24) memiliki akar imajiner murni . Sehingga dengan mensubtitusi ke persamaan (23) maka akan diperoleh nilai waktu tunda kritis .
/
(28)
. dengan adalah nilai batas pada jarak Bukti dari nilai waktu tunda tersebut ada di (Lampiran 7).
SIMULASI NUMERIK MODEL Dinamika populasi mangsa pemangsa digambarkan oleh kurva dalam bidang fase dan bidang solusi untuk memudahkan kita melihat kestabilan populasi mangsa pemangsa ( ) pada waktu t. Solusi numerik dilakukan dengan cara mensubstitusikan nilai parameter yang telah ditentukan berdasarkan analisis kedalam persamaan model matematika mangsa pemangsa dengaan waktu tunda dan tingkat pemanenan konstan. Nilai – nilai parameter yang digunakan harus memenuhi batas keberadaan titik tetap. Nilai parameter yang bernilai tetap untuk setiap simulasi yaitu dan . Nilai parameter tingkat pemanenan konstan yang akan digunakan juga bernilai tetap yaitu , sehingga diperoleh nilai , serta nilai . Pada Tabel 2 ini dapat dilihat bahwa nilai batas waktu tunda pada jarak
11 Tabel 2 Nilai waktu tunda
Dalam karya ilmiah ini hanya di bahas nilai waktu tunda sesudah nilai batas waktu tunda pada jarak .
pada saat sebelum dan
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa dengan dan Tanpa Waktu Tunda dan Tingkat Pemanenan Konstan Simulasi numerik model mangsa pemangsa dengan waktu tunda dan tingkat 𝑦 pemanenan konstan dilakukan untuk menunjukkan terdapatnya pengaruh waktu tunda pada kestabilan titik tetap model. Proses komputasi ini menggunakan sistem aljabar komputer Mathematica 9. Selain parameter yang telah disebutkan di atas, perlu dilakukan pemilihan nilai awal dan parameter waktu tunda yang ditunjukkan untuk memperlihatkan perubahan kestabilan titik tetap. Pada simulasi ini akan disediakan tiga kasus untuk menunjukkan keberadaan bifurkasi Hopf. Tabel 3 Pemilihan nilai awal, waktu tunda serta kestabilan model Kasus 1 2 3
Kestabilan Spiral stabil Spiral stabil Spiral tak stabil
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 1 Kasus pertama menggunakan nilai parameter serta nilai awal yang telah diberikan pada Tabel 3. Titik tetap yang diperoleh pada kasus ini, yaitu ( ). Gambar 1 menunjukkan nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak secara spiral mendekati titik tetap . Kestabilan dimanika populasi mangsa dan pemangsa pada kasus 1 ini bersifat spiral stabil.
12
𝑦
𝑇 𝑥 Gambar 1 Bidang fase saat 𝜏 𝑦
𝑥
𝑡 Gambar 2 Bidang solusi mangsa saat 𝜏
𝑡 Gambar 3 Bidang solusi pemangsa saat 𝜏
Gambar 2 memperlihatkan bahwa di awal populasi mangsa mengalami penurunan yang drastis dan setelah itu pertumbuhan mangsa mengalami kestabilan pada titik sedangkan Gambar 3 memperlihatkan bahwa di awal waktu populasi pemangsa mengalami kenaikan dan penurunan setelah itu pertumbuhan pemangsa mengalami kestabilan pada titik . Ini menunjukkan bahwa jumlah populasi mangsa terlebih dahulu mengalami kestabilan lalu diikuti dengan kestabilan jumlah populasi pemangsa.
Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 2 serta nilai awal yang Kasus kedua menggunakan nilai parameter telah diberikan pada Tabel 3. Titik tetap yang diperoleh pada kasus ini, yaitu ( ) Gambar 4 menunjukkan nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak secara spiral mendekati titik tetap . 𝑦
𝑇 𝑥
Gambar 4 Bidang fase saat 𝜏
13 𝑥
𝑦
𝑡
𝑡
Gambar 5 Bidang solusi mangsa saat 𝜏
Gambar 6 Bidang solusi pemangsa saat 𝜏
Gambar 4 merupakan ilustrasi bidang fase di sekitar titik tetap yang menunjukkan kedua populasi stabil menuju titik tetapnya dan memperlihatkan bahwa jenis kestabilannya adalah spiral stabil. Kestabilan dinamika populasi mangsa dan pemangsa dapat dilihat dalam gambar 5 dan 6. Di awal pertumbuhan populasi mangsa – pemangsa mengalami osilasi yang besar, namun semakin lama nilai simpangannya semakin kecil dan menyebabkan kedua populasi tersebut stabil. Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Kasus 3 Kasus ketiga menggunakan nilai parameter serta nilai awal yang telah diberikan pada Tabel 3. Titik tetap yang diperoleh pada kasus ini, yaitu ( ). 𝑦
𝑇 𝑥
𝑥
Gambar 7 Bidang fase saat 𝜏 𝑦
𝑡
𝑡
Gambar 8 Bidang solusi mangsa saat 𝜏
Gambar 9 Bidang solusi pemangsa saat 𝜏
14 Kemunculan limit cycle pada Gambar 7 menunjukkan bahwa pada saat terjadi bifurkasi Hopf. Gambar 7 menunjukkan nilai awal dengan simbol bahwa kurva bergerak secara spiral menjauhi titik tetap , sehingga kestabilan dinamika mangsa dan pemangsa kasus 3 adalah spiral tak stabil. Populasi mangsa sebagai sumber makanan populasi pemangsa. Namun kedua populasi akan stabil dan mendekati titik keseimbangannya. Gambar 8 dan 9 bidang solusi saat menunjukkan kedua populasi terjadi osilasi yang semakin besar sehingga populasi mengalami kenaikan jumlah populasi karena adanya laju kelahiran mangsa yang ditentukan oleh tingkat interaksi pemangsa. Dalam kasus ini populasi akan menjauhi titik keseimbangannya sehingga kedua populasi akan terus bertambah.
SIMPULAN Dari model mangsa pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan dan tanpa waktu tunda diperoleh dua titik tetap positif. Kestabilan titik tetap pertama selalu bersifat sadel, sedangkan titik tetap kedua bersifat simpul stabil pada suatu kasus dan bersifat spiral stabil pada kasus yang lain. Pada kondisi ini tidak akan menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf. Dinamika populasi mangsa-pemangsa pada model juga dipengaruhi oleh waktu tunda untuk kestabilan titik tetap. Perubahan parameter waktu tunda menyebabkan perubahan kestabilan titik tetap dari spiral stabil menjadi spiral takstabil. Hal ini menandakan bahwa pada model mangsa pemangsa dengan tingkat pemanenan konstan dan waktu tunda menyebabkan terjadinya bifurkasi Hopf.
15
DAFTAR PUSTAKA Anton H. 1987. Aljabar Linear Elementer, [terjemahan], Ed ke-5, Jakarta (ID): Erlangga. Baretta E and Kuang Y. 1996. Convergence Results in a Well-Known Delayed Predator-Prey System. Journal Mathematics Analysis 204:840-853. Cushing JM. 1977. Integrodifferential Equations and Delay Models in Population Dynamics. Heidelberg: Springer-Verlag. Edelstein-Keshet L. 1988. Mathematica Models in Biology. New York (US): Random House. Fisher SD. 1990. Complex Variables. Ed ke-2. California (US): Wadsworth & Brooks. Gazi NH and Bandyopadhyay M. 2008. Effect of Time Delay on a Harvested Predator-Prey Model. JAMC.26:263-280. Kar TK and Chaudhuri KS. 2004. Harvesting in a Two-prey One Predator Fishery: A Bioeconomic Model. J. ANZIAM 45:443-456. Ruan S. 2009. On Nonlinear Dynamics of Predator-Prey Models with Discrete Delay. Math. Model. Nat. Phenom. 4:140-188. Toaha S, Hassan MA. 2008. Stability Analysis of Predator-Prey Population Model with Time Delay and Constant Rate of Harvesting. Punjab University of Mathematics. 40:37-48. Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos, with Application to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Massachusetts (US): Addison-Wesley Publishing Company. Tu PNV. 1994. Dynamical System. An Introduction with Application in Economics and Biology. Heidelberg (DE): Springer-Verlag. Wang X. 004. A S p Proof of D scart s’s Ru of S gns. The American Mathematical Monthly. 111:525-526.
16
LAMPIRAN Lampiran 1 Penondimensionalan Model Model persamaan (9) : ̇ ( )
(
̇ ( )
(
) )
Dilakukan penondimensionalan untuk mendapatkan sistem persamaan dengan parameter yang lebih sederhana. Skala parameter yang digunakan, yaitu : ̂ dengan
= =
= ̂ = ̂ = ̂ =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
̂ = ̂ = ̂
̂
=
(
) (
(
)
)
17 =
(
̂ =
*
̂ =
(
(
)
=
(
)
=
(
̂ ̂ ̂
) )
)
+
18 Lampiran 2 Penentuan Titik Tetap Model
Titik tetap persamaan (10) didapat dari persamaan menjadi: (
) (
dan (tidak memenuhi)
dan (tidak memenuhi)
Jadi, titik tetap
(14)
dan
(
)
) dan ( Dengan software MAPLE 13 diperoleh solusi yaitu
Jadi, titik tetap
(
, sehingga (13)
)
dan
(
)
)
19 Lampiran 3 Kode Program Penentuan Nilai Eigen Model
Kode untuk mencari titik tetap
Kode untuk untuk matriks Jacobi
Kode untuk mengevaluasi titik tetap
pada matriks Jacobi
Kode untuk mengevaluasi titik tetap
pada matriks Jacobi
Kode untuk mendapatkan titik tetap
Kode untuk mendapatkan titik tetap
20 Lampiran 4 Penyederhanaan Model dengan Metode Linearisasi Untuk memahami kestabilan lokal dari titik linearisasi terhadap model persamaan berikut: ̇( )
(
̇( )
setelah dilakukan metode
) ( (
(
) ) ) (
)
Dengan mensubsitusi dan ke persamaan (12). Jika titik tetap tersebut disubstitusikan ke dalam matriks Jacobi berikut (
)
sehingga didapatkan, (
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
dimisalkan matriks Jacobi di atas sebagai berikut (
) (
) )
(
)
(
)
21 ( )
(
)
(
)
(
(
) (
(
(
)
)
)
)
)
̇( ) ) ( ̇( ) dapat ditulis juga sebagai berikut
̇
)
)
(
( ) ( )
(
(
Setelah disubstitusikan nilai tersebut maka
̇
(
dan
)(
ke matriks Jacobi
( ) ) ( )
( ) ( )
karena asumsi bahwa waktu tunda terjadi hanya pada laju pertumbuhan populasi pemangsa, maka diperoleh: ̇ ̇
( ) (
( ) )
(
)
22 Lampiran 5 Penentuan Persamaan Karakteristik (20) Misal ) ̇( ) ) ̇( )
( (
( ) (
( ) )
(
)
(
Matriks Jacobi
)
(
sehingga
)
Kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik ) det ( , sehingga diperoleh :
| (
)( ( (
)
(
)
|
) )
dengan = = =
(
)
= = =
0 0 0
=
0
23
Lampiran 6 Penentuan Akar Persamaan Karakteristik
(25)
Persamaan karakteristik (12) ( ) ( ) Misalkan akar persamaan karakteristik diatas , (20) menjadi : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
maka persamaan
(
)
Persamaan tersebut akan bernilai nol jika bagian real dan imajinernya sama dengan nol, sehingga didapatkan : ( ) ( ) ( ) ( ) atau ekuivalen dengan ( (
) )
( (
) )
Eliminasi terhadap dilakukan dengan mengkuatradkan masing – masing ruas persamaan menjadi = ( ) ( ) ( ) ( ), = ( ) ( ) ( ) ( ). Kemudian kedua persamaan dijumlahkan serta dikelompokkan sesuai pangkat = = = 0 ( ) Maka diperoleh polinomial derajat empat : = 0 ( ) lalu didapatkan : , (
)
√(
)
-
24 Lampiran 7 Penentuan Waktu Tunda kritis (28) ( (
) )
( (
) )
= =
sehingga, ( ) ( ) Kedua ruas dijumlahkan, ( ) eliminasi sin ( ) (
( (
( (
(
) ( (
) ) (
) )
. )
)
= =
(
Kedua ruas dikurangkan, ( ) ( ) )
)
(
untuk eliminasi cos ( ) ( ) sehingga, ( ) ( )
( (
)
) )
. ( )
(
)
)
=
(
)
=
(
)
=
(
)
= = = =
( ( (
) ) ) )
.
/ .
/
.
/
25 Lampiran 8 Program Plot Bidang Fase Kasus 1 (Gambar 1)
26 Lampiran 9 Program Plot Bidang Solusi Mangsa Kasus 1 (Gambar 2)
27 Lampiran 10 Program Plot Bidang Solusi Pemangsa Kasus 1 (Gambar 3)
28 Lampiran 11 Program Plot Bidang Fase Kasus 2 (Gambar 4)
29 Lampiran 12 Program Plot Bidang Solusi Mangsa Kasus 2 (Gambar 5)
30 Lampiran 13 Program Plot Bidang Solusi Pemangsa Kasus 2 (Gambar 6)
31 Lampiran 14 Program Plot Bidang Fase Kasus 3 (Gambar 7)
32 Lampiran 18 Program Plot Bidang Solusi Mangsa Kasus 3 (Gambar 8)
33 Lampiran 19 Program Plot Bidang Solusi Pemangsa Kasus 3 (Gambar 9)
34
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Solok pada tanggal 25 Oktober 1992 dari ayah Syafrizal dan ibu Yuni Fitria. Penulis adalah putri pertama dari lima bersaudara. Pada tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Solok dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dengan mendapatkan beasiswa BUMN. Selama menjadi mahasiswa IPB penulis aktif menjadi pengurus Gumatika sebagai Staf Pengembangan Sumber Daya Manusia (PSDM) periode 2011-2012. Pada tahun 2011 penulis pernah menjadi Finalis Uda - Uni Ikatan Pelajar Mahasiswa Minang (IPMM). Penulis pernah mengikuti Latihan Kepemimpinan dan Manajemen Mahasiswa (LKMM) pada tahun 2012 dan pelatihan Beauty To Share Paragon Goes To Campus pada tahun 2014. Bulan Juli-Agustus 2013 penulis melaksanakan Praktek Kerja Lapang di Departemen Pengembangan Akses Keuangan dan UMKM, Bank Indonesia. Penulis juga pernah menjadi panitia di berbagai acara yang diselenggarakan oleh Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika).
