PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA TAHUN 2015
Mata Kuliah
:
Kajian Matematika SMP
Dosen Pengampu
:
Palupi Sri Wijiyanti, M.Pd
Semester/Kelas
:
3A3
Tanggal Pengumpulan
:
14 Desember 2015
Petunjuk: 1. Tuliskan nama dan NPM mahasiswa pada lembar yang tersedia. 2. Perhatikan secara cermat dan isilah titik-titik yang sesuai menurut Anda. 3. Berdo’alah sebelum dan sesudah mengerjakan.
Nama
:
..................................................
NPM
:
..................................................
1
SEGITIGA A. Pengertian Segitiga Dalam kehidupan sehari-hari, segitiga banyak manfaatnya. Pada gamba disamping jembatan atau tiang listrik untuk transmisi tegangan tinggi dibuat dengan konstruksi bentuk segitiga Dipilih berbentuk segitiga agar konstruksinya kokoh. Sebuah segitiga terbentuk apabila tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus saling dihubungkan. Hal ini berarti : Segitiga adalah............................................................................................ ............................................................................................................................ Gambar bangun ABC di samping adalah sebuah segitiga. Ketiga titik segitiga tersebut, yaitu, AB, danC disebut titik sudut .AB, BC, dan AC disebut ............ Sisi-sisi dan sudut-sudut dalam segitiga ABC disebut ............................................................ Notasi untuk segitiga ABC sering digunakan ............. Rincian tentang unsur-unsur
pada
gambar disamping dapat diterangkan sebagai berikut. Sisi BC yang berhadapan dengan ................ ditulis Sisi AC yang berhadapan dengan ................ ditulis Sisi AB yang berhadapan dengan ................ ditulis
B. Jenis-jenis segitiga Penanaman sebuah segitiga bergantung dari cara peninjauan .Peninjauan ini meliputi panjang sisi-sisinya, sudut-sudutnya ataupun gabungan keduanya 1. Jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya Penanaman segitiga yang ditinjau dari panjang sisi-sisinya meliputi : ................................, .................................., dan ......................................
2
a. Segitiga sama kaki Segitiga
sama
kaki
terbentuk
dari
..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... .Gambar
disamping
bahwa segitiga sama kaki
memperlihatkan
merupakan ......... dari merupakan .........., serta
merupakan .............. segitiga dan sering pula disebut sebagai ..................................... Sudut
D.
Dari uraian diatas dapat disimpulkan bahwa : Segitiga sama kaki terbentuk dari ..................................................... ............................................................................................................
b. Segitiga sama sisi Segitiga
sama
sisi
adalah
................................................................. .................................................................
c. Segitiga sembarang segitiga
sembarang
adalah
............................................................. ............................................................. .............................................................
3
Dari pernyataan diatas dapat pula dinyatakan sebagai berikut : Segitiga sembarang adalah ............................................................... ....................................................... Ketiga jenis segitiga yang telah di kenal itu bila dituliskan dalam teori himpunan akan diperoleh hubungans ebagai berikut. Misal :
Maka ....................................................... 2. Jenis segitiga di tinjau dari sudut-sudutnya Pada topik sebelumnya kita telah mempelajari jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya. Sekarang akan meninjau jenis segitiga berdasarkan ukuran sudut-sudutnya. Apabila segiyiga ditinjau dari ukuran-ukuran sudut, maka nama segitiga itu mengikuti nama ukuran sudutnya, yaitu : a.
a. ................................................................................... ................................................................................... b. ................................................................................... ................................................................................... c. ................................................................................... ...................................................................................
3. Jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisi dan besar sudutnya Pada pembahasan yang lalu telah mengenal jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya dan ditinjau dari besar sudut-sudutnya secara terpisah. Jenis segitiga yang ditinjau dari panjang sisi-sisi dan besar sudutnya antara lain : a. Segitiga sama kaki
4
Segitiga sama kaki jika dikaitkan dengan besar sudut-sudutnya yang mungkin terbentuk adalah :
b. Segitiga sama sisi Segitiga sama sisi jika dikaitkan dengan besar sudut-sudutnya adalah ..................................... Untuk segitiga sama sisi tidak ada penamaan khusus seperti segitiga sama kaki. c. Segitiga sembarang Segitiga sembarang yang mungkin terbentuk jika dikaitkan dengan besar sudut-sudutnya adalah :
C. Sifat-sifat segitiga 1. Segitiga siku-siku Pada pembahasan terdahulu telah di ketahui bahwa segitiga siku-siku dapat dibentuk dari sebuah persegi panjang dengan menarik
diagonalnya.
Perhatikan
gambar
disamping. Bidang ABCD adalah persegi panjang. Dengan menarik diagonal AC, akan terbentuk .................................................................................... ....................................................................................
5
Segitiga siku-siku mempunyai dua sisi siku-siku yang mengapit sudut siku-siku dan satu sisi miring (hypotenusa). Pada gambar diatas, ∆ABC mempunyai ciri-ciri : AB dan BC sebagai sisi siku-siku, AC sebagai ..................... dan sudut ABC atau sudut B adalah sudut siku-siku (=900) Dalam sebuah segitiga siku-siku, ............................................................ .............................................................................
2. Segitiga sama kaki Dua buah segitiga siku-siku yang kongruen dapat membentuk ...................................................................... ........................................................................................ .......................................................................................... Perhatikan gambar disamping. Segitiga ABD dan segitiga DBC adalah segitiga .......................................... ......................................... Sisi BD adalah ...................... ................................. Jadi, segitiga ACD adalah segitiga ................ dengan sisi AD=DC. Di dalam segitiga sama kaki terdapat : a. Dua sisi yang sama panjang, sisi tersebut sering disebut ........................ b. Dua sudut yang sama besar yaitu ........... ............................................................................................. c. Satu sumbu simetri. Segitiga sama kaki merupakan bangun simetri lipat dan dapat menempati bingkainya dalam ..................... Dari gambar disamping terlihat bahwa :
CD sebagai ..........................
A pindah ke B;B pindah ke A, dan C tetap.
AC pindah ke BC, maka AC=BC.
pindah ke
maka
.
6
3. Segitiga sama sisi Tiga buah garis lurus yang sama panjang dapat membentuk sebuah segitiga sama sisi dengan cara mempertemukan setiap ujung garis satu sama lainnya. Gambar (i) disamping menunjukkan gambar tiga garis lurus yang sama panjang yaitu AB=BA=CA.
Apabila
ujung-ujung
ketiga
garis
tersebut
saling
dipertemukan, A dengan A,B dengan B, dan C dengan C, maka akan terbentuk segitiga sama sisi ABC sepertu terlihat pada gambar (ii) di samping. Didalam segitiga sama sama sisi terdapat : a. .............................................. b. .............................................. c. .............................................. Dari gambar (ii) diatas terlihat bahwa AB=AC=BC; garis putus-putus adalah ................................................... Segitiga sama sisi merupakan bangun simetri lipat yang dapat menempati bingkainya dengan ............. Hal itu diilustrasikan pada gambar berikut.
7
D. Menggambar segitiga istimewa Ada beberapa cara untuk menggambar segitiga istimewa diantaranya dengan menggunakan busur derajat dan penggaris, koordinat cartesius, dan jangka. 1. Menggunakan busur derajat dan penggaris Segitiga siku-siku Lukislah segitiga siku-siku menurut langkah-langkah berikut : 1. Lukislah garis lurus AB sebagai sisi pertama dari segitiga ABC 2. Buatlah
0
(dititik B) dengaan busur derajat dan ditandai
titik C. 3. Hubungkan titik A dan titik C.
Segitiga sama kaki Untuk menggambar segitiga sama kaki PQR dengan menggunakan busur derajat dan penggaris pada kertas polos dapat di tempuh dengan cara berikut ini. 1. Lukislah sisi PQ. 2. Pada titik Q buatlah
menggunakan busur derajat dengan
ukuran sembarang (sudut ini bisa tumpul atau lancip sesuai dengan ketentuan yang diberikan) dan tandai titik R. 3. Ukurlah sisi QR agar sama dengan sisi PQ. 4. Hubungkan titik P dan titik R tersebut.
8
Segitiga sama sisi Lukislah segitiga sama sisi sesuai dengan langkah-langkah berikut : 1. Lukislah garis KL, 2. Pada titik L buatlah
0
dengan busur derajat dan tandai
titik M. 3. Ukurlah sisi LM agar sama dengan sisi KL. 4. Hubungkan titik K dengan titik M tersebut.
2. Menggunakan Koordinat Cartesius Sebuah segitiga dapat digambarkan pada koordinat cartesius apabila diketahui koordinat titik-titik sudutnya. Contoh 1: Lukislah segitiga ABC apabila A(-2,1), B(3,1), dan C(3,4). Segitiga apakah segitiga ABC ?
9
Penyelesaian:
Segitiga ABC adalah ............................................
3. Menggunakan Jangka Segitiga sama kaki dan segitiga sama sisi lebih mudah digambar dengan menggunakan jangka. Berikut ini ada beberapa cara menggambar segitiga dengan menggunakan jangka. Segitiga sama kaki Cara pertama: 1. Lukislah satu sudut dengan membuat dua garis lurus yang saling berpotongan. 2. Dari titik sudut tersebut pergunakan jangka untuk mengukur panjang kaki-kaki sudut tersebut. 3. Hubungkan titik potong kaki sudut dengan hasil putaran jangka.
10
Cara kedua: 1. Lukislah sisi segitiga yang ukurannya tidak sama dengan yang lainnya. 2. Dari titik-titik ujung sisi tersebut, putar jangka sesuai dengan dasar ukuran (jarak kaki jangka = kaki segitiga) 3. Hubungkan titik-titik ujung sisi tersebut dengan perpotongan hasil putar jangka.
Segitiga sama sisi 1. Lukislah salah satu sisi segitiga berdasarkan dasar ukuran yang tersedia. 2. Dari titik-titik ujung sisi tersebut, putar jangka (jarak kaki sama dengan panjang sisi segitiga (1)).
11
3. Hubungkan titik-titik ujung sisi tersebut dengan perpotongan hasil putaran jangka. (perhatikan gambar berikut)
E. Menggambar Segitiga Secara Umum Sebuah segitiga dapat digambar atau dilukis jika diketahui: i) Tiga sisinya sekaligus, atau ii) Dua sisi dan satu sudut yang diapit sisi tersebut, atau iii) Dua sudut dan satu sisi yang merupakan kaki sekutu kedua sudut yang diketahui. 1. Menggambar segitiga jika diketahui ketiga sisinya Misalkan kita akan melukis ABC dengan panjang ketiga sisinya adalah AB = 3 cm, BC = 2 cm, dan AC = 4 cm. Langkah-langkah: 1. Buatlah tiga ruas garis berukuran 3 cm, 2 cm, dan 4 cm sebagai dasar ukuran. 2. Lukislah garis AB = 3 cm. 3. Ambillah jangka, buat kakinya berjarak 4 cm, putar jangka dari titik A. 4. Kemudian buat kaki jangka berjarak 2 cm, putar dari titik B. 5. Perpotongan kedua putaran jangka tadi tandai dengan titik C. 6. Hubungkan titik C dengan titik A dan titik B maka akan terjadi segitiga ABC yang kita inginkan.
12
2. Menggambar segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut yang diapitnya Misalnya kita akan melukis PQR dengan P = 30 , PQ = 4 cm, dan PR = 5 cm.
Langkah-langkahnya: 1. Lukislah dan ukur
P
menggunakan penggaris, jangka, dan
busur. 2. Ukur PQ = 4cm dan PR = 5 cm menggunakan penggaris. 3. Hubungkan titik R dan titik Q, maka akan terbentuk segitiga PQR yang kita inginkan.
13
3. Menggambar segitiga jika diketahui dua sudut dan satu sisi persekutuan kedua sudut Misalnya kita ingin melukis ABC dengan panjang AB = 5 cm, CAB = 55 , dan sudut CBA = 65 . Langkah-langkahnya: 1. Lukis garis AB yang panjangnya 5 cm. 2. Dengan menggunakan busur derajat buatlah pada titik A sudut yang besarnya 55 dan pada titik B sudut besarnya 65 . Kedua kaki sudutsudut tersebut berpotongan dititik C.
F. Melukis Garis Tinggi, Garis Bagi, Garis Berat, dan Garis Sumbu Pada Segitiga. 1. Melukis garis tinggi pada segitiga sembarang Garis tinggi adalah garis yang ditarik dari sebuah titik sudut dalam segitiga yang tegak lurus pada sisi dihadapan sudut itu. Cara melukis: 1. Lukis sebuah ABC sembarang. 2. Lukis busur dengan pusat A yang memotong garis BC dititik K dan L. 3. Lukislah dua busur masing-masing berpusat di K dan L dengan lebar jangka yang sama dan saling berpotongan. 4. Tarik garis dari titik A ke perpotongan dua busur tersebut hingga memotong tegak lurus garis BC di D.
14
5. Dengan cara yang sama, kita dapat melukis garis tinggi dari B yang tegak lurus AC dan garis tinggi dari C yang tegak lurus AB. 6. Garis-garis AD, BE, dan CF merupakan garis tinggi segitiga ABC.
Perlu diingat bahwa melukis garis tinggi pada segitiga merupakan pengembangan melukis garis dari suatu titik di luar garis yang tegak lurus garis tersebut. 2. Melukis garis bagi pada segitiga sembarang Garis bagi adalah garis yang ditarik dari titik sudut dalam segitiga dan membagi sudut itu menjadi dua bagian yang sama besar. Cara melukis: 1. Lukis sebuah ABC sembarang. 2. Lukis busur dengan pusat A yang memotong garis AB dan AC di titik K dan L. 3. Lukis dua busur dengan lebar jangka yang sama di pusat K dan L sehingga saling berpotongan. 4. Tarik garis dari titik A ke perpotongan dua busur tersebut hingga memotong garis BC di D. 5. Dengan cara yang sama kita dapat melukis garis bagi BE, dan CF.
15
3. Melukis garis berat pada segitiga sembarang Garis berat adalah garis yang ditarik dari sebuah sudut dalam segitiga dan membagi sisi yang di hadapan sudut itu menjadi dua bagian sama panjang. Cara melukis: 1. Lukis sebuah ABC sembarang. 2. Dengan pusat B dan C dan lebar jangka yang sama, lukis busur lingkaran yang berpotongan dua kali. Hubungkan keduanya hingga berpotongan dengan garis BC di titik D. D merupakan titik tengah BC dan garis AD merupakan garis berat ABC. 3. Dengan cara yang sama kita bisa dapatkan garis BE dan garis CF yang merupakan garis berat ABC.
16
Garis-garis AD, BE, dan CF masing-masing adalah garis berat pada ABC dengan pusat berat di titik R. Titik R sering disebut sebagai titik berat ABC. 4. Melukis garis sumbu pada segitiga sembarang Garis sumbu adalah garis yang tegak lurus dengan suatu sisi segitiga dan membagi sisi tersebut menjadi dua bagian sama panjang. Cara melukis: 1. Lukis sebuah ABC sembarang. 2. Dengan pusat B dan C dan lebar jangka yang sama, lukis busur lingkaran yang berpotongan dua kali. Hubungkan keduanya hingga memotong sisi BC dan salah satu sisi yang lain (dinamakan garis p) garis p adalah garis sumbu pada sisi BC. 3. Dengan cara yang sama kita bisa dapatkan garis q dan garis r yang merupakan garis sumbu ABC. 4. Garis-garis p,q dan r merupakan garis sumbu pada ABC.
G. Menghitung Besaran-Besaran Pada Segitiga 1. Jumlah sudut-sudut segitiga yang membentuk sudut lurus Untuk menentukan jumlah sudut-sudut segitiga dapat dilakukan dengan berbagai cara, yaitu mengukur masing-masing sudut dengan busur derajat dan membentuk sudut lurus dari ketiga sudut segitiga tersebut.
17
Penekanan dalam topik ini adalah menentukan jumlah sudut-sudut segitiga yang membentuk sudut lurus. Perhatikan gambar berikut ini!
Pada ABC dalam gambar di atas, garis AB diperpanjang hingga E. Dari titik B ditarik garis yang sejajar dengan AC, yaitu BD. Apabila ukuran bahwa
BAC = a ,
ACB = c ,dan
ABC = b , maka dapat dilihat
DBE = ........................ (sudut sehadap), dan
DBC = ...............
(sudut dalam berseberangan). Pada gambar di atas terlihat bahwa ketiga sudut
a , b dan c membentuk ...................... Karena jumlah sudut
pelurus adalah .......... maka
a + b
+ c
= ..........., atau dapat
disimpulkan bahwa jumlah sudut-sudut dalam suatu segitiga adalah ........... 2. Menghitung besar salah salah satu sudut pada segitiga jika dua sudut lainnya diketahui Untuk menghitung besar salah satu sudut pada segitiga jika dua sudut lainnya diketahui yang perlu diingat adalah jumlah sudut-sudut dalam suatu segitiga adalah 180.
Contoh: Tentukan nilai x dari segitiga segitiga pada gambar berikut ini!
18
Penyelesaian:
3. Hubungan sudut dalam dan sudut luar pada segitiga Perhatikan gambar di samping. Pada disebut
ABC, sudut A1, B1, dan C1 sudut
dalam dari
ABC,
sedangkan sudut A2, B2, dan C2 merupakan sudut luar +
ABC.
= 180 . Sekarang kita
akan memperluas pembahasan tentang hubungan sudut dalam dan sudut luar pada segitiga. Hal yang perlu diingat dalam menentukan hubungan ini adalah tentang sudut berpelurus, yaitu
berpelurus dengan
bila
i)
berpelurus dengan
maka
atau
ii)
berpelurus dengan
maka
atau
iii)
berpelurus dengan
maka
atau
Dari keterangan tersebut dapat kita simpulkan
19
Besar sebuah sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah besar dua sudut dalam yang tidak bersisian dengan sudut tersebut.
Contoh: Perhatikan gambar di bawah. Hitinglah besar sudut luar
dan
!
Penyelesaian :
H. Keliling dan Luas Segitiga 1. Keliling segitiga Sebuah segitiga mempunyai tiga sisi dan tiga sudut. Sisi yang terletak di bawah disebut alas. Sudut yang berhadapan dengan alas disebut sudut puncak, dan titik sudut puncak disebut titik puncak. Jarak terdekat antara titik puncak dengan alas disebut tinggi segitiga. Perhatikan gambar di samping. Pada segitiga ABC, AB sebagai alas segitiga, C sebagai titik puncak, dan CD sebagai
20
tinggi segitiga. Sisi di depan sudut A atau α adalah BC ditulis a. Sisi di depan sudut B atau β adalah AC ditulis b. Sisi di depan sudut C atau
adalah AB ditulis c.
Keliling segitiga sembarang adalah jumlah panjang ketiga sisinya. Atau secara umum ditulis: Keliling (K) = a + b + c
Contoh: Apabila sisi-sisi segitiga ABC adalah a = x cm, b = 2x cm, dan c = 4x cm serta keliling segitiga ABC = 28 cm, tentukan sisi-sisi segitiga ABC tersebut!
Penyelesaian:
2. Luas Segitiga Perhatikan gambar segitiga di samping. AB adalah alas segitiga, C adalah titik puncak, dan CD adalah tinggi segitiga ABC. Persegi
panjang
ABEF
mempunyai panjang AB atau EF sama dengan p, dan lebar AF atau BE sama
21
dengan
, maka luas persegi panjang
ABEF =
.
Luas ABEF = luas Karena
+ luas
+ luas
kongruen dengan
Luas ABEF = 2
luas
=2
(luas
+ luas
=2
luas
Maka luas
dan
+2
+ luas
.
kongruen dengan
luas
)
, =
luas persegi panjang ABEF
= Karena
alas segitiga ABC dan
ABC, maka luas Luas segitiga =
= alas
alas
tinggi segitiga
tinggi atau ditulis:
tinggi
Secara umum ditulis:
Catatan: Alas dalam segitiga sering disimbolkan dengan huruf a dan tinggi disimbolkan dengan huruf t serta luas dengan huruf L.
Contoh: Segitiga KLM mempunyai titik-titik sudut K(-1,1), L(3,2), dan M(-1,4). Tentukan luas
!
Penyelesaian: Untuk menjawab soal ini, mula-mula kita gambarkan
pada kertas
berpetak.
22
Dari gambar tersebut diperoleh:
23
