Kalkulus Variasi. Pendahuluan, Model Matematika, Keterkontrolan. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014

Kalkulus Variasi Pendahuluan, Model Matematika, Keterkontrolan Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB

Februari 2014

[email protected] (IPB)

MAT332 Kontrol Optimum

Februari 2014

1 / 42

Outline

Beberapa contoh masalah kontrol optimum Rumusan masalah kontrol optimum 1 2 3

Model matematika Persamaan state Fungsi kendala

Reachability, controllability, observability Sistem kendali



Februari 2014

2 / 42

Masalah Inventori-Produksi Sumber: Sethi & Thompson (2006) Fungsional objektif: min P

Z T 0

Iˆ )2

h (I 2

+

Pˆ )2

c (P 2

e

rt

dt.

Fungsi kendala: I˙ (t ) = P (t )

D (t ),

I ( 0 ) = I0 , dengan I tingkat inventori, P tingkat produksi, D tingkat permintaan, Iˆ tingkat inventori yang ingin dicapai, Pˆ tingkat produksi yang ingin dicapai, dan e rt faktor diskon. Masalah: menentukan tingkat produksi P = P (t ) sedemikian sehingga meminimumkan biaya-biaya penalti akibat tidak terpenuhinya target dalam inventori dan produksi. [email protected] (IPB)


Februari 2014

3 / 42

Masalah Pemasaran melalui Iklan Sumber: Sethi & Thompson (2006) Fungsional objektif: max c

Z ∞ 0

( π (G )

c (t ))e

rt

dt.

Fungsi kendala: G˙ (t ) = c (t )

δG (t ),

G ( 0 ) = G0 , dengan π tingkat penerimaan (revenue) yang merupakan fungsi dari citra perusahaan (goodwill) G , c biaya produksi (iklan), dan δ laju depresiasi. Masalah: menentukan besarnya biaya yang dikeluarkan untuk iklan c = c (t ) sedemikian sehingga memaksimumkan tingkat keuntungan.



Februari 2014

4 / 42

Masalah Pemeliharaan dan Pemanenan Ikan Sumber: Sydsæter et al. (2008) Fungsional objektif: max u

x (T )P (T , x (T ))e

rT

Z T

cx (t )u (t )e

rt

dt .

0

Fungsi kendala: x˙ (t ) = x (t )g (t, u (t )), x (0) = x0 , dengan x (t ) berat ikan pada saat t, P (t, x ) harga ikan dengan berat x pada saat t, u (t ) banyaknya pakan ikan yang digunakan, dan c > 0 biaya pakan ikan. Masalah: menentukan banyaknya pakan ikan yang digunakan u = u (t ) sedemikian sehingga memaksimumkan keuntungan. [email protected] (IPB)


Februari 2014

5 / 42

Masalah Energi dan Kualitas Lingkungan Sumber: Chiang (1992) Fungsional objektif: max E

Z T

U (C (E ), P (E )) dt.

0

Fungsi kendala: S˙ (t ) =

E (t ),

S ( 0 ) = S0 ,

S (T )

0,

dengan U fungsi utilitas yang bergantung pada konsumsi energi C (E ) dan polusi P (E ), E laju penggunaan energi (BBM), dan S persediaan energi (BBM). Masalah: menentukan laju penggunaan energi (BBM) E = E (t ) sedemikian sehingga memaksimumkan utilitas. [email protected] (IPB)


Februari 2014

6 / 42

Masalah Kebijakan Antipolusi Sumber: Chiang (1992) Fungsional objektif: max E

Z T

U (C (E ), P ) dt.

0

Fungsi kendala: S˙ (t ) = A(t ) P˙ (t ) = αE (t )

E (t ), βA(t )

S ( 0 ) = S0 ,

S (T )

0,

P ( 0 ) = P0 ,

P (T )

0,

δP (t ),

dengan U fungsi utilitas yang bergantung pada konsumsi energi C (E ) dan tingkat polusi P, E laju penggunaan energi (BBM), A aktivitas antipolusi, dan S persediaan energi (BBM). Masalah: menentukan laju penggunaan energi (BBM) E = E (t ) sedemikian sehingga memaksimumkan utilitas. [email protected] (IPB)


Februari 2014

7 / 42

Perumusan Masalah Kontrol Optimum Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan peubah kontrol yang dapat mengendalikan suatu proses sedemikian sehingga memenuhi beberapa kendala …sik dan dalam waktu yang sama mengoptimumkan kriteria tertentu. Masalah kontrol optimum dapat diselesaikan melalui dua pendekatan: 1 2

program dinamik (Bellman, 1957) prinsip maksimum (Pontryagin, 1962)

Dalam kuliah ini akan dibahas penyelesaian masalah kontrol optimum melalui pendekatan prinsip maksimum. Pendekatan prinsip maksimum banyak menggunakan teknik dalam kalkulus variasi. Dalam kuliah ini, kalkulus variasi merupakan bahan UTS dan kontrol optimum, sebagai penerapan kalkulus variasi, merupakan bahan UAS. [email protected] (IPB)


Februari 2014

8 / 42

Model Matematika Perumusan masalah kontrol optimum membutuhkan: Model matematika dari proses yang akan dikendalikan. Fungsi kendala. Spesi…kasi dari kriteria yang akan dioptimumkan (fungsional objektif). Model matematika dari suatu proses umumnya dinyatakan dalam bentuk persamaan state (berupa persamaan diferensial): x˙ (t ) = g (x (t ), u (t ), t ), dengan

0

B B x (t ) = B @

x1 (t ) x2 (t ) .. . xn (t )

1

0

C B C B C , u (t ) = B A @

u1 ( t ) u2 ( t ) .. . um ( t )

1

0

C B C B C , g (x, u, t ) = B A @

g1 (x, u, t ) g2 (x, u, t ) .. . gn (x, u, t )

1

C C C. A

x (t ) disebut sebagai vektor peubah state dan u (t ) disebut sebagai vektor peubah kontrol



Februari 2014

9 / 42

Model Matematika Klasi…kasi model: nonlinear dan time-varying (non-autonomous atau takmandiri): x˙ (t ) = g (x (t ), u (t ), t ). nonlinear dan time-invariant (autonomous atau mandiri): x˙ (t ) = g (x (t ), u (t )). linear dan time-varying : x˙ (t ) = A(t )x (t ) + B (t )u (t ). linear dan time-invariant: x˙ (t ) = Ax (t ) + Bu (t ). [email protected] (IPB)


Februari 2014

10 / 42

Model Matematika

Analisis model taklinear x˙ = g (x, u ) biasanya dilakukan melalui model linear padanannya (linearized model) yang berbentuk x˙ = Ax + Bu, dengan A merupakan matriks Jacobi yang dievaluasi di sekitar titik tetapnya: 2 ∂g1 ∂g 1 3 ∂x1

6 A = 4 ...

∂g n ∂x1


..

∂xn

.

.. 7 . 5

∂g n ∂xn


.

x =x¯

Februari 2014

11 / 42

Model Matematika

Example Sebuah mobil berjalan lurus meninggalkan titik asal. Jarak mobil dari titik asal pada saat t dinyatakan sebagai s (t ). Mobil diasumsikan dapat dikendalikan melalui percepatan (menginjak pedal gas) atau perlambatan (menginjak pedal rem) yang dinyatakan sebagai s¨ (t ) = a(t ) + b (t ), dengan peubah kontrol a merupakan percepatan dan b perlambatan.



Februari 2014

12 / 42

Persamaan State

Example (Lanjutan) Dapat dide…niskan vektor peubah state dan vektor peubah kontrol: x (t ) =

x1 (t ) x2 (t )

=

s (t ) s˙ (t )

,

u (t ) =

u1 ( t ) u2 ( t )

=

a (t ) b (t )

.

Diperoleh x˙ 1 = x2 dan x˙ 2 = u1 + u2 , sehingga dalam notasi matriks diperoleh model matematika x˙ (t ) =


0 1 0 0

x (t ) +


0 0 1 1

u (t ).

Februari 2014

13 / 42

Fungsi Kendala Example (Lanjutan) Jika mobil mulai berjalan dari titik asal pada saat t0 dan berhenti di titik e pada saat tf , maka diperoleh kendala x1 (t0 ) = 0,

x1 (tf ) = e,

x2 (t0 ) = 0,

x2 (tf ) = 0.

Dalam notasi matriks, x (t0 ) =

0 0

,

e 0

x (tf ) =

.

Jika ada syarat tambahan bahwa mobil tidak boleh mundur, berputar, atau berbelok maka harus ada kendala tambahan 0 [email protected] (IPB)

x1 (t )

e,

0


x2 . Februari 2014

14 / 42

Fungsi Kendala Example (Lanjutan) Maksimum percepatan ialah M1 dan maksimum perlambatan ialah M2 (admissible control): 0

u1 ( t )

M1 ,

M2

u2 ( t )

0.

Banyaknya BBM mula-mula G liter dan diasumsikan tidak ada pengisian BBM di tengah jalan yang dilewati: Z tf t0

[k1 u1 (t ) + k2 x2 (t )] dt

G.

Diinginkan mobil tiba di titik e secepat mungkin: min [email protected] (IPB)

J = tf

t0 =

Z tf


dt.

t0

Februari 2014

15 / 42

Example (Ringkasan) Masalah kontrol optimum (multivariabel, state terbatas, input terbatas, kendala integral): Z J :=

min

tf

dt

t0

dengan kendala: x˙ 1 = x2 , x˙ 2 = u1 + u2 , x1 (t0 ) = 0,

x1 (tf ) = e,

x2 (t0 ) = 0,

x2 (tf ) = 0,

0

x1 (t )

e,

0

u1 ( t )

M1 ,

Z tf t0


0

x2 , M2

[k1 u1 (t ) + k2 x2 (t )] dt


u2 ( t )

0,

G.

Februari 2014

16 / 42

Masalah Kontrol Optimum Untuk selanjutnya, kriteria (fungsional objektif) diasumsikan berbentuk J = S ( x ( tf ) , tf ) +

Z tf

f (x (t ), u (t ), t )dt.

t0

Fungsi S disebut sebagai scrap value atau salvage value. Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan admissible control u (t ) yang dapat mengendalikan sistem dinamik x˙ (t ) = g (x (t ), u (t ), t ), sedemikian sehingga mampu mengikuti admissible trajectory x (t ) dalam interval waktu [t0 , tf ] dan mengoptimumkan fungsional objektif J = S ( x ( tf ) , tf ) +

Z tf

f (x (t ), u (t ), t )dt.

t0

u (t ) disebut kontrol optimum dan x (t ) trajektori optimum. [email protected] (IPB)


Februari 2014

17 / 42

Reachability Diberikan sistem dinamik (proses): x˙ (t ) = g (x (t ), u (t ), t ),

De…nition State z dikatakan reachable (dapat dicapai) pada waktu T dari sebarang state y jika 9u 2 Ω(u ) sedemikian sehingga x (t0 ) = y , x (T ) = z.



Februari 2014

18 / 42

Controllability Diberikan sistem dinamik (proses): x˙ (t ) = g (x (t ), u (t ), t ),

De…nition Sistem dinamik dikatakan controllable (terkontrol) jika sebarang state z reachable (dapat dicapai) dari sebarang state y .



Februari 2014

19 / 42

Observability

Diberikan sistem dinamik (proses): x˙ (t ) = g (x (t ), u (t ), t ), w (t ) = h (x (t ))

!

x ( t0 ) = x0 , observasi (pengamatan, pengukuran)

De…nition Sistem dinamik dikatakan observable (dapat diobservasi) jika berdasarkan u, w , dan [t0 , tf ], kondisi awal x0 dapat ditentukan.



Februari 2014

20 / 42

Controllability Example Adakah u sehingga sistem berikut terkontrol? x˙ = x + u,

x (t0 ) = x0 ,

x (T ) = xT .

Jawab: Sistem di atas dikatakan terkontrol jika dapat ditemukan fungsi kendali u (t ) sedemikian sehingga membawa sistem dari titik (t0 , x0 ) menuju titik (T , xT ) dengan x0 , xT , t0 6= T sebarang. Akan dicari u dalam bentuk paling sederhana, yaitu u (t ) = k (konstan). Diperoleh x˙ = x + k


dx = dt x +k Z Z dx , = dt x +k , x (t ) = Ce t k.

,


Februari 2014

21 / 42

Example (Lanjutan) Dari nilai awal dan nilai akhir diperoleh sistem persamaan: x (t0 ) = x0 , Ce t

x (T ) = xT

, Ce

k = x0 ,

T

k = xT ,

sehingga diperoleh solusi: C

=

k

=

x0 e t0 x0 e t0

xT , eT xT t 0 e eT

x0 =: u (t ).

) Sistem terkontrol.



Februari 2014

22 / 42

Controllability

Example Tentukan kendali konstan u (t ) = k sehingga sistem berikut terkontrol:

= x (0) = x (1) = x˙ (0) = x¨


x˙ + 2x + u, 0, 1, 0.


Februari 2014

23 / 42

Solution Dengan mensubstitusikan u (t ) = k diperoleh PD orde dua x¨ x˙ 2x = k. Penyelesaian dari persamaan karakteristik r 2 r ialah r = 2 dan r = 1, sehingga diperoleh solusi homogen xh (t ) = C1 e 2t + C2 e t . Jika xp merupakan solusi partikular maka 2xp = k atau xp (t ) = 21 k, sehingga solusi umum PD ialah x (t ) = C1 e 2t + C2 e

t

2=0

1 2 k.

Syarat batas x (0) = 0 dan x˙ (0) = 0 memberikan C1 + C2

1 2k

= 0,

2C1

C2 = 0,

sehingga didapatkan 3C1 = 12 k atau C1 = 61 k dan C2 = 13 k. Solusi umum PD menjadi x (t ) = 16 ke 2t + 13 ke t 12 k. Dari syarat batas x (1) = 1 diperoleh 1 k = 1 2 1 1 1 = : u (t ). e + 6 3e 2 [email protected] (IPB)


Februari 2014

24 / 42

Problem Adakah u sehingga sistem berikut terkontrol? x˙ = x + ut,

x (t0 ) = x0 ,

x (T ) = xT .

Problem Adakah u sehingga sistem berikut terkontrol? x¨ =

x˙ + 2x + u,


x (t0 ) = x0 ,

x (T ) = xT ,


x˙ (t0 ) = v0 .

Februari 2014

25 / 42

Teorema Keterkontrolan Diberikan sistem dinamik linear dan time-invariant: x˙ = Ax + Bu dengan A berukuran n

n.

Theorem Sistem dinamik di atas controllable (terkontrol) jika dan hanya jika controllability matrix M = [B AB A2 B . . . An

1

B]

berpangkat penuh, yaitu rank(M ) = n. Bukti: lihat, misalnya, Ogata (1997), hal. 737. Teorema di atas hanya menjamin keterkontrolan sistem tetapi tidak memberikan fungsi input u yang dapat mengontrol sistem. [email protected] (IPB)


Februari 2014

26 / 42

Example Dari sistem x˙ = x + u diperoleh A = 1 dan B = 1 sehingga M = (1) ) rank(M ) = 1 (penuh).

Example Untuk sistem x¨ =

x˙ + 2x + u,

misalkan x1 = x dan x2 = x, ˙ sehingga diperoleh x˙ 1 = x˙ = x2 , x˙ 2 = x¨ =

x˙ + 2x + u =

x2 + 2x1 + u.

0 2

+

Dalam notasi matriks: x˙ 1 x˙ 2 [email protected] (IPB)

=

1 1

x1 x2


0 1

u. Februari 2014

27 / 42

Example (Lanjutan) Sistem: x˙ =

0 2

1 1

x+

A

0 1

u.

B

Controlability matrix: M=


0 1

1 1

) rank(M ) = 2 (penuh)


Februari 2014

28 / 42

Example Sistem

2

x˙ = 4

a1 0 0

0 a2 0

3 2 3 0 1 5 4 0 x + 1 5u a3 1

terkontrol karena untuk ai 6= 0 diperoleh 2 3 1 a1 a12 a2 a22 5 ) rank(M ) = 3. M=4 1 1 a3 a32



Februari 2014

29 / 42

Example Sistem

2

x˙ = 4

a1 0 0

0 a2 0

3 2 3 0 0 5 4 0 x + 1 5u a3 1

tidak terkontrol (uncontrolable) karena 2 3 0 0 0 a2 a22 5 ) rank(M ) = 2. M=4 1 1 a3 a32



Februari 2014

30 / 42

Problem Periksa keterkontrolan sistem-sistem berikut: 2

1 4 0 x˙ = 0 x˙ =


1 1 0 a b 0 c

3 2 3 0 0 5 4 0 x + 1 5 u. 2 1 x+


1 0

u.

Februari 2014

31 / 42

Sistem Kendali (Control System) Sistem: susunan, himpunan, atau kumpulan benda (komponen …sik) yang saling berhubungan dan saling memengaruhi sebagai sebuah kesatuan. Contoh: sistem pengatur suhu, sistem kesetimbangan tubuh, sistem perekonomian, dsb. Kendali: pengendali (control), pengatur (regulator ). Sistem kendali: susunan beberapa komponen …sik yang saling terhubung sedemikian sehingga dapat mengatur/mengendalikan/memerintah diri sendiri atau sistem lain. Bagian-bagian sistem kendali: 1 2

3 4

Sistem (proses, plant) Input: rangsangan, tindakan, perintah (biasanya dari luar) kepada sistem agar melakukan sesuatu. Output: respon dari sistem akibat input. Disturbance input (noisy, exogeneous input): angin, gelombang, sinar matahari, dsb.



Februari 2014

32 / 42

Ktesibios (Yunani, 300 SM): Float valve regulator 1 2 3

Sistem: proses penampungan air (on-o¤ control, bang-bang control) Input: ketinggian air Output: air mengalir atau berhenti



Februari 2014

33 / 42

Berdasarkan cara pengendalian (control action), sistem dibedakan atas: 1

Open-loop system: sistem yang tidak mempertimbangkan output dalam proses selanjutnya. Contoh: mesin cuci, AC, microwave, lampu lalu-lintas. lebih sederhana, lebih murah, kurang presisi selalu stabil

2

Closed-loop system: sistem yang menggunakan output sebagai umpanbalik (feedback) dalam proses selanjutnya. Contoh: katup Ktesibios, autopilot, AC automatik, dsb. lebih rumit, butuh sensor untuk mencatat output (karena itu lebih mahal), lebih presisi bisa menjadi takstabil



Februari 2014

34 / 42

Diagram Blok Open-loop system

Closed-loop system



Februari 2014

35 / 42

Sistem Pengendali Suhu Ruangan



Februari 2014

36 / 42

Diagram Blok Sistem Pengendali Suhu Ruangan



Februari 2014

37 / 42

Sistem Pengendali Kapal dengan Autopilot Autopilot didesain untuk menjaga arah kapal (heading ) terhadap berbagai gangguan seperti angin (wind), arus (current), dan gelombang (waves). Arah kapal diukur dengan gyro-compass dan dicocokkan dengan arah yang dikehendaki. Autopilot kemudian menghitung sudut kemudi (rudder ) yang dibutuhkan dan mengirim sinyal ke gir kendali (steering gear ). Sudut kemudi aktual diukur dengan sensor dan dibandingkan dengan sudut yang dibutuhkan. Beda sudut dan beda arah dijadikan umpanbalik (feedback).



Februari 2014

38 / 42

Diagram Blok Sistem Pengendali Kapal dengan Autopilot



Februari 2014

39 / 42

Sistem Pengendali Kecepatan

Kecepatan mobil diukur menggunakan sensor (speedometer ) dan dibandingkan dengan kecepatan yang diinginkan (reference speed, di jalan tol 80-100 km/jam) dalam blok "Compute". Berdasarkan perbedaan kecepatan aktual dan yang diinginkan, pedal gas/rem/kopling diinjak untuk mengubah gaya yang dikenakan pada mobil melalui mesin, sistem transmisi, dan roda. [email protected] (IPB)


Februari 2014

40 / 42

Fungsi Transfer Misalkan sistem dinamik suatu proses dinyatakan dalam persamaan diferensial orde-2 berikut: ax¨ (t ) + b x˙ (t ) + cx (t ) = Ku (t ),

x (0) = 0,

x˙ (0) = 0,

dengan x peubah state, u peubah kontrol, dan a, b, c, K konstanta-konstanta. Transformasi Laplace persamaan di atas memberikan: as 2 X (s ) + bsX (s ) + cX (s ) = KU (s ) , X (s ) =

as 2

K U (s ) + bs + c

Fungsi transfer P (s ) merupakan fungsi yang menghubungkan input dan output, yaitu P (s ) : = [email protected] (IPB)

K ) X (s ) = P (s )U (s ). as 2 + bs + c MAT332 Kontrol Optimum

Februari 2014

41 / 42

Fungsi Transfer Dalam bentuk diagram blok: U (s ) !

as 2

K + bs + c

! X (s )

Beberapa fungsi yang lazim dijadikan input: Fungsi Impulse

u (t ) =

Step

u (t ) =

Ramp

u (t ) =

Parabolic

u (t ) =


u (t ) ∞ ; t=0 0 ; t 6= 0 C ; t 0 0 ; t<0 Ct ; t 0 0 ; t<0 Ct 2 ; t 0 0 ; t<0


U (s ) U (s ) = e

s

C s C U (s ) = 2 s 2C U (s ) = 3 s U (s ) =

Februari 2014

42 / 42

Kalkulus Variasi. Pendahuluan, Model Matematika, Keterkontrolan. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014

Recommend Documents