MODEL MATEMATIKA SISTEM THERMAL
PENGANTAR Sistem thermal merupakan sistem yang melibatkan pemindahan panas dari bahan yang satu ke bahan yang lain. Sistem thermal dapat dianalisa dalam bentuk tahanan dan kapasitansi, meskipun kapasitansi thermal dan tahanan thermal tidak dapat digambarkan secara tepat sebagai parameter yang bulat, karena sebenarnya mereka terdistribusi di seluruh bahan yang bersangkutan. Pada bagian ini kita akan menurunkan model matematika dari sistem thermal.
MODEL MATEMATIKA SISTEM THERMAL Perpindahan panas dari suatu bahan ke bahan yang lain dibedakan menjadi tiga cara yaitu konduksi, konveksi dan radiasi Untuk perpindahan panas secara konduksi atau konveksi, besarnya aliran arus panas adalah:
q = K .Δθ Dimana q
= tingkat arus panas, kcal/det
Δθ
= perbedaan temperatur, 0C
K
= koefisien, kcal/det 0C
Untuk perpindahan panas secara konduksi, besarnya koefisien K adalah :
K =
kA ΔX
Untuk perpindahan panas secara konveksi, besarnya koefisien K adalah :
K = HA dimana
K
= konduktivitas thermal, kcal/m det 0C
A
= luas daerah normal terhadap arus panas, m2
ΔX
= ketebalan konduktor, m
1
H
= koefisien konveksi, kcal/m2 det 0C
Untuk perpindahan panas secara radiasi, besarnya aliran arus panas adalah :
(
q = K r θ1 4 − θ 2 4
)
dimana
q
= tingkat arus panas, kcal/det
Kr
= koefisien yang tergantung pada emisitivitas, ukuran, dan konfigurasi dari permukaaan pemancar dan permukaan penerima
θ1
= temperatur pemancar absolut, K
θ2
= temperatur penerima absolut, K
Konstanta Kr nilainya amat kecil sehingga perpindahan panas radiasi hanya berpengaruh jika temperatur pemancar tinggi sekali dibandingkan terhadap penerima atau θ1 >> θ2 Untuk kasus demikian besarnya aliran arus panas secara radiasi dapat didekati menjadi : q = Kr θ 4
(1)
Dimana θ adalah perbedaan temperatur efektif antara pemancar dan penerima, yang nilainya adalah : θ = 4 θ1 4 − θ 2 4 Tahanan thermal R untuk perpindahan panas antara dua bahan dapat didefinisikan sebagai berikut :
R=
perbedaan perubahan temperatur , 0 C perubahan laju aliran panas, kcal / det
Untuk perpindahan panas secara konduksi atau konveksi, besarnya tahanan thermal adalah : R=
d (Δθ ) 1 = dq K
Karena konduktivitas thermal dan koefisien thermal hampir konstan, maka tahanan thermal baik untuk konduksi maupun konveksi juga konstan. Dengan mengacu pada persamaan (1) maka tahanan thermal untuk perpindahan panas secara radiasi besarnya adalah : R=
dθ 1 = dq 4 K r θ 3
2
dimana θ adalah perbedaan temperatur efektif antara pemancar dan penerima. Kapasitansi thermal C didefinisikan sebagai berikut : C=
perubahan panas yang disimpan, kcal perubahan temperatur , 0 C
atau
C = W .c p dimana W
= berat bahan yang ditinjau, kg
cp
= panas spesifik dari bahan, kcal/kg 0C
Berikut ini mari kita tinjau salah satu cotoh dari sistem thermal yaitu Stirred Tank Heater. Strirred Tank Heater merupakan tangki yang digunakan untuk mencampur dan
memanaskan cairan ke temperatur yang diinginkan. Diagram skematik dari Stirred Tank Heater adalah sepeti berikut ini :
Diasumsikan bahwa tangki diisolasi untuk mencegah kehilangan panas ke udara sekitar. Diasumsikan pula tidak terdapat panas masuk dan zat cair pada tangki pada temperatur yang seragam. Anggap bahwa temperatur zat cair pada aliran masuk dijaga tetap dan laju aliran panas masuk sistem (panas dari pemanas) tiba-tiba diubah dari H menjadi H + hi .Dimana hi
3
menyatakan perubahan kecil laju panas masuk. Laju aliran panas keluar kemudian diubah secara perlahan dari H menjadi H + ho . Temperatur zat cair pada aliran keluar juga akan berubah dari Θ o menjadi Θ o + θ . Dalam hal ini besarnya perubahan kecil laju panas keluar ho, kapasitansi thermal C dan tahanan thermal R berturut – urut adalah :
ho = Gcθ C = Mc
R=
θ 1 = ho Gc
Persamaan differensial untuk sistem ini adalah C
dθ = hi − ho dt
Dengan mensubstitusikan persamaan untuk ho, C, dan R ke dalam persamaan differensial sistem diperoleh
RC
dθ + θ = Rhi dt
Dengan menggunakan transformasi Laplace didapatkan
RCsΘ( s ) + Θ( s ) = RH i ( s) Sehingga fungsi alih yang menghubungkan Θ(s) dan Hi(s) adalah Θ( s ) R = H i ( s ) RCs + 1 Dalam prakteknya, temperatur zat cair pada aliran masuk dapat berfluktuasi dan mungkin berperan sebagai bebam gangguan. Jika temperatur zat cair pada aliran masuk tiba-tiba diubah dari Θ menjadi Θ i + θ i , sementara laju panas masuh H dan laju aliran zat cair G dijaga tetap, maka laju panas keluar akan berubah dari H menjadi H + ho dan temperatur zat cair pada aliran keluar akan berubah dari Θ o menjadi Θ o + θ Persamaan differensial sistem untuk keadaan ini adalah :
C
dθ = Gcθ i − ho dt
4
Dengan mensubstitusikan persamaan untuk ho, C, dan R ke dalam persamaan differensial sistem diperoleh RC
dθ + θ = θi dt
Sehingga dengan menggunakan transformasi Laplace didapatkan : RCsΘ( s) + Θ( s ) = Θ i ( s) Maka fungsi alih sistem yang menghubungkan Θ(s) dan Θi(s) adalah Θ( s ) 1 = Θ i ( s ) RCs + 1
LATIHAN
1. Tinjau sistem pemanas udara berikut ini :
Anggap bahwa kehilangan panas ke lingkungannya dan kapasitansi thermal dari bagianbagian logam pemanas dapat diabaikan. Anggap pula bahwa masukan panas tiba-tiba diubah dari H menjadi H + hi dan temperatur udara masuk tiba-tiba diubah dari Θ i menjadi Θ i + θ i . Kemudian temperatur udara keluar akan diubah dari Θ o menjadi Θo + θo .
Gambarkan diagram blok dari sistem pemanasan udara tersebut jika diinginkan θ i dan hi sebagai masukan dan sebagai keluaran adalah θ o .
5
