MODEL MATEMATIKA SISTEM PERMUKAAN ZAT CAIR
PENGANTAR Pada bagian ini kita akan menurunkan model matematika sistem permukaan zat cair. Dengan memperkenalkan prinsip resistansi dan kapasitansi untuk sistem permukaan zat cair, memungkinkan kita untuk menggambarkan karakteristik dinamika sistem dalam bentuk sederhana.
MODEL MATEMATIKA SISTEM PERMUKAAN ZAT CAIR Dalam analisa sistem aliran zat cair, aliran zat cair dibedakan berdasarkan bilangan Reynoldnya yaitu aliran laminar dan aliran turbulen. Bila bilangan Reynoldnya lebih besar dari 3000 – 4000 maka sistem aliran zat cair termasuk aliran turbulen. Sistem aliran turbulen biasanya dinyatakan dengan persamaan differensial tak linier. Aliran dikatakan laminar bila bilangan Reynoldnya lebih kecil dari 2000. Dalam kasus laminar, aliran zat cair terjadi sacara ”streamlines” tanpa turbulensi. Sistem aliran laminar biasanya dinyatakan dengan persamaan differensial linier. Resistansi untuk aliran zat cair dalam pipa yang dihubungkan pada dua tangki didefinisikan sebagai perubahan dalam perbedaan tinggi (perbedaan permukaan zat cair dalam dua tangki) yang diperlukan untuk membuat satu satuan perubahan laju aliran, yang dapat dirumuskan : R=
perubahan perbedaan permukaan , m perubahan laju aliran , m 3 / det
Karena hubungan antara laju aliran dan perbedaan tinggi terjadi untuk aliran laminar dan aliran turbulen, maka besarnya resistansi akan kita tinjau untuk kedua keadaan aliran ini. Untuk sistem permukaan zat cair dengan aliran laminar, maka hubungan antara laju aliran pada keadaan tunak dan tinggi permukaan pada keadaan tunak diberikan oleh persamaan berikut :
Q=K H
1
Dimana Q adalah laju aliran zat cair, m3/det, K adalah koefisien m2/det, dan H adalah permukaan zat cair pada keadaan tunak. Perhatikan bahwa hukum untuk aliran laminar analog dengan hukum Coloumb yang menyatakan bahwa arus berbanding lurus dengan beda potensial Untuk aliran laminar, besarnya resistansi Rl adalah Rl =
dH H = dQ Q
Resistansi aliran laminar adalah konstan dan analog dengan resistansi listrik. Untuk sistem permukaan zat cair dengan aliran turbulen, besarnya laju aliran pada keadaan tunak adalah :
Q=K H Sedangkan besarnya resistansi turbulen adalah :
Rt =
dH 2 H = dQ Q
Tampak bahwa nilai resistansi Rt aliran turbulen tergantung pada laju aliran dan permukaan zat cair. Nilai Rt yang kecil dapat dikatakan konstan bila perubahan permukaan zat cair dan laju aliran kecil. Dengan menggunakan resistansi aliran turbulen, maka hubungan antara Q dan H adalah
Q=
2H Rt
Dalam beberapa kasus, nilai koefisien K yang tergantung pada koefisien aliran dan daerah penghambat tidak diketahui. Maka resistansi dapat diketahui dengan membuat kurva laju aliran versus permukaan zat cair yang didasarkan dari data percobaan dan mengukur kemiringan kurva pada keadaan operasi. Gambar (1) menunjukkan kurva laju aliran versus permukaan zat cair. Titik P pada gambar adalah titik operasi keadaan tunak. Garing miring kurva di titik P memotong ordinat pada
(− H ,0) .
Jadi kurva memiliki kemiringan 2 H Q .
2
Head
h
Tan -1R f
H P q 0 Q
Kecepatan aliran
Kemiringan =
2H h = Q q
H
Tinjau keadaan operasi sekitar titik P. Anggap penyimpangan kecil permukaan zat cair pada keadaan tunak sebagai h dan perubahan kecil pada laju aliran sebagai q, maka : Kemiringan kurva pada titik P =
h 2H = = Rt q Q
Pendekatan linier ini didasarkan pada kenyataan bahwa kurva sesungguhnya tidak berbeda jauh dari tangen garis jika variasi keadaan operasi tidak terlalu besar. Kapasitansi C dari tangki didefinisikan sebagai besar perubahan cairan yang diperlukan untuk membuat perubahan potensial sebesar satu satuan. (Potensial adalah besaran yang menunjukkan tingkat tenaga sistem) Besarnya kapasitansi C dirumuskan sebagai berikut : perubahan cairan yang disimpan, m 3 C= perubahan potensial , m
3
Tinjau sistem permukaan zat cair berikut ini : Katup pengontrol Q + q1
Katup beban H+h Q + q0 Resistansi R
Kapasitansi C
dimana, Q
= laju keadaan tunak (sebelum ada perubahan), m3/det
qi
= penyimpangan kecil laju aliran masuk pada keadaan tunak, m3/det
qo
= penyimpangan kecil laju aliran keluar pada keadaan tunak, m3/det
H
= tinggi permukaan zat cair (sebelum terjadi perubahan), m
h
= penyimpangan kecil permukaan zat cair pada keadaan tunak, m
Jika kita asumsikan bahwa sistem linier atau dilinierkan , maka persamaan differensial sistem dapat diperoleh sebagai berikut : Karena aliran masuk dikurangi aliran keluar selama selang waktu dt kecil sama dengan jumlah tambahan air dalam tangki, maka : C dh = (qi − qo )dt Dari definisi resistansi, hubungan antara qo dan h adalah qo =
h R
Sehingga persamaan differensial untuk sistem ini pada nilai R konstan menjadi
RC
dh + h = Rqi dt
Dengan menggunakan transformasi Laplace didapatkan
4
(RCs + 1) H (s ) = RQi (s ) l Jika qi dipandang sebagai masukan dan h adalah keluaran untuk sistem permukaan zat cait, maka fungsi alih sistem adalah
H (s ) R = Qi (s ) RCs + 1 Sedangkan, jika yang dipandang sebagai keluaran sistem adalah qo dan sebagai masukan adalah qi maka fungsi alih sistem adalah Qo (s ) 1 = Qi (s ) RCs + 1
Contoh :
Tinjau sistem permukaan zat cair berikut ini. Sistem terdiri dari dua buah tangki yang berinteraksi.
Q+q
Tangki 1 Tangki 2
R1
H + h1
H +h
R2
2
Q+q
2
C1
C2
q
1
Persamaan dinamik sistem dalam bentuk persamaan differensial dapat diturunkan sebagai berikut : Persamaan untuk tangki 1 : h1 − h2 = q1 R1 C1
dh1 = q − q1 dt
(1)
(2)
5
Persamaan untuk tangki 2 : h2 = q2 R2
C2
(3)
dh2 = q1 − q 2 dt
(4)
Transformasi Laplace dan diagram blok dari persamaan (1) – (4) adalah sebagai berikut : Transformasi Laplace untuk persamaan (1) : H1 ( s) − H 2 ( s) = Q1 ( s ) R1
H1(s)
+-
Q(s)
+-
1 C1s
H1(s)
Q1(s)
Transformasi Laplace untuk persamaan (3) : H 2 (s) = Q2 ( s ) R2
Q1(s)
Q2(s)
Transformasi Laplace untuk persamaan (2) : C1 sH 1 ( s ) = Q( s ) − Q1 ( s )
1 R1
H2(s)
1 R2
Q2(s)
Transformasi Laplace untuk persamaan (4) : C 2 sH 2 ( s ) = Q1 ( s ) − Q2 ( s )
Q1(s)
+-
1 C2 s
H2(s)
Q2(s) Dengan menghubungkan sinyal-sinyal sebagaimana mestinya, maka diagram blok total sistem adalah sebagai berikut
Q(s) +-
1 C1s
+
-
1 R1
6
+-
1 C2 s
1 R2
Q2(s)
Dengan reduksi diagram blok, diagram blok total sistem ini dapat disederhanakan menjadi : 1
Q(s)
R1C1 R2 C 2 s + (R1C1 + R2 C 2 + R2 C1 )s + 1 2
Q2(s)
Dengan fungsi alih sistem adalah : Q2 ( s ) 1 = 2 Q( s) R1C1 R2 C 2 s + (R1C1 + R2 C 2 + R2 C1 )s + 1
LATIHAN
1. Tinjau sistem tingkat cairan berikut : Q+q
Tangki 1 Tangki 2
R1
H + h1
H +h
R2
2
Q+q
2
C1
C2
q
1
Pada kedudukan seimbang, laju aliran masuk dan laju aliran keluar keduanya sama dengan Q dan laju aliran antara tangki-tangki adalah nol. Permukaan zat cair dari tangki-tangki 1 dan 2 keduanya sama dengan H . Pada t = 0 laju aliran masuk diubah diubah dari Q menjadi Q + q , dimana q merupakan perubahan kecil laju aliran masuk. Hasil perubahan v permukaan zat cair (h1 dan h2) dan aliran masuk (q1 dan q2) dianggap kecil. Kapasitansi tangki 1 dan 2 masing-masing adalah C1 dan C2. Resistansi katup diantara tangki-tangki adalah R1 dan diantara katup alira keluar adalah R2. Turunkan model matemtika untuk sistem ini dalam bentuk fungsi alih, jika q adalah masukan dan h2 keluaran.
7
