MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS

MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS Model matematis suatu sistem : Persamaan matematis yang menunjukan hubungan input dan output dari suatu sistem yang bersangkutan. Dengan mengteahui model matematis ini, maka kita dapat menganalisa tingkah laku sistem. Sistem

G(s)

INPUT

OUPUT

R(s)

C(s)

Diagram diatas menunjukan diagram model matematis suatu sistem. R(s) = transformasi Laplace dari input C(s) = transformasi Laplace dari output G(s) = transformasi Laplace dari hubungan input dan output dari sistem. C(s) = G(s).R(s) ∴ Transfer function :

C ( s) = G (s) R( s)

model matematis sistem ekuivalen dengan transfer function.

Transfer function / fungsi alih : Perbandingan antara transformasi laplace dari output dengan transformasi laplace dari inputnya, dengan anggapan semua kondisi awal = 0. 1. F = input (gaya) ; x = output (pergeseran) k = konstanta pegas m = massa

f

= koefisien gesekan (piston)

carilah transfer function sistem mekanis diatas ! Solusi : ΣF = m.a

.

..

F – k.x – f. x = m. x 2

F(s) – kX(s) – fsX(s) = ms X(s) F(s) = (ms2 + fs + k) X(s)

X(s) 1 = F(s) ms2 + fs + k 1.

13

Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT

MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS

J = momen inersia f

= koefisien gesek

ω = kecepatan sudut (output) T = torsi (input) α = percepatan sudut Ω = pergeseran sudut Jα = ΣT

. J ω = T-f.ω JsΩ(s) = T(s) – fΩ(s) T(s) = (Js +f) Ω(s)

Ω(s) 1 = T(s) Js + f

eI =

L.

e0 =

1 c

di dt

+ R.i

+

1 ∫ i.dt c

∫ i.dt

………………

(1)

………………(2)

Transformasi Laplace : 1° EI(s) = Ls I(s) + R I(s) +

2° E0(s) = 2°→1°:

1 I(s) Cs

1 I(s) → I(s) = C s E0(s) Cs 2

EI(s) = L C s E0(s) + R C E0(s) + E0(s) EI(s) = C L C s2 + R (s +1) E0(s)

E (s) 1 0 = E (s) LCs 2 + RCs + 1 i

14


MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS E (s) 1 0 (Buktikan !!!) = E (s) RCs + 1 i Bila kedua rangkaian RC disamping tidak dianggap terpisah.

EI = R1.i1 + ``

0 =

e0 =

∫ (i1 − i 2 )dt

………………… (1)

1 1 ∫ (i 2 − i1)dt + R 2 .i2 + ∫ i 2 .dt ………..(2) C C 1 2 1 C

2

∫ i 2 .dt

………………….(3)

Transformasi Laplace : 1°

1 E (s) = R .i + (I (s) − I (s)) i 1 1 C (s) 1 2 1

2°

0=

3°

1 E (s) = I (s) 0 C s 2 2

1 1 (I (s) − I (s)) + R .I (s) + I (s) 1 2 2 Cs 2 C s 2 1 2

Eliminasi I1(s) dan I2(s) dari ketiga persamaan diatas menghasilkan :

E (s) 1 0 = E (s) R C R C s 2 + (R C + R C + R C )s + 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

Bila Kedua rangkaian RC diatas dianggap terpisah.

15


MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS E (s) 1 m = E (s) R C s +1 i 1 1

E (s) 1 m = E (s) R C s +1 i 2 2 Transfer Function :

E (s) E (s) E (s) 1 1 0 = 0 . m = . E (s) E (s) E (s) R C s +1 R C s +1 i m i 2 2 1 1

=

X1(s)

1 R C R C s 2 + (R C + R C )s + 1 1 1 2 2 1 1 2 2 X2(s)

G1(s)

G2(s)

X3(s)

≅ X1(s)

G1(s) G2(s)

X3(s)

X (s) X (s) G (s) = 2 , G (s) = 3 1 X (s) 2 X (s) 1 2

G(s) =

X (s) X (s) X (s) 3 = 2 . 3 = G (s).G (s) 1 2 X (s) X (s) X (s) 1 1 2

E (s) 1 1 0 =( )(K)( ) E (s) R C s +1 R C s +1 i 1 1 2 2

=

K (R C s + 1)(R C s + 1) 1 1 2 2

BLOK DIAGRAM (DIAGRAM KOTAK) Blok diagram : Suatu pernyataan grafis untuk menggambarkan sistem pengaturan.

16


X

MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS Elemen-elemen blok diagram : a. PROSES atau TRANSFER FUNCTION TRANSFER FUNCTION G(s) b. ELEMEN PENJUMLAHAN A

C

C=A-B

B c.

PERCABANGAN

BLOK DIAGRAM LENGKAP UNTUK SISTEM SEDERHANA :

R(s) = input C(s) = output G(s) = transfer function “feedforward” H(s) = transfer function “feedback” G(s)H(s) = transfer function “open-loop” Transfer function “closed-loop” : E(s) = R(s) – B(s) ……….. (1) B(s) = C(s) . H(s) ………. (2) C(s) = E(s) . G(s) ………..(3) 2°→1° : E(s) = R(s) – C(s).H(s) ……..(4) 4°→3° : C(s) = (R(s) – C(s).H(s)) G(s) C(s) + G(s)H(s)C(s) = G(s)R(s) ∴

C(s) G(s) = R(s) 1 + G(s)H(s)

Contoh :

17



G (s)G (s) C(s) 1 2 = R(s) 1 + G (s)G (s)H(s) 1 2 SISTEM CLOSED-LOOP (SISTEM TERTUTUP) DENGAN DISTURBANSI : N(s) = Disturbance

a. N(s) = 0

G (s)G (s) C(s) 1 2 = R(s) 1 + G (s)G (s)H(s) 1 2 C(s) =

G (s)G (s) 1 2 R(s) 1 + G (s)G (s)H(s) 1 2

b. R(s) = 0

18


MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS Atau

G (s) C(s) 2 = N(s) 1 + G (s)G (s).H(s) 1 2

C(s) =

G (s) 2 N(s) 1 + G (s)G (s).H(s) 1 2

∴ output total :

C(s) =

G (s)G (s) G (s) 1 2 2 R(s) + N(s) 1 + G (s)G (s)H(s) 1 + G (s)G (s)H(s) 1 2 1 2

BLOK DIAGRAM SISTEM FISIS :

EI = R.i +

E0 =

1 ∫ i.dt .…. (1) C

1 ∫ i.dt C

….. (2)

Transformasi Laplace : 1° EI(s) = RI(s) +

2° E0(s) = 2°→1° :

19

1 I(s) Cs

1 I(s) Cs EI(s) = RI(s) + E0(s) Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT

MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS RI(s) = EI(s) – E0(s) I(s) =

E (s) − E (s) i 0 R

BLOK DIAGRAM PERSAMAAN : I(s) =

E (s) − E (s) i 0 R

BLOK DIAGRAM PERSAMAAN : E0(s) =

1 I(s) Cs

I(s)

1 Cs

E0(s)

BLOK DIAGRAM RANGKAIAN RC Atau :

E (s) 1/RCs 1 0 = = E (s) 1 + 1/RCs 1 + RCs i ATURAN PENYEDERHANAAN BLOK DIAGRAM

20



Contoh : Hitung

21

C(s) u/ sistem yang mempunyai blok diagram sebagai berikut : R(s)



MENDAPATKAN TRANSFER FUNCTION DARI SISTEM FISIS 1° MOTOR DC DENGAN PENGATURAN JANGKAR

22


MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS Ra

= tahanan jangkar

La

= induktansi jangkar

ia

= arus jangkar

if

= arus medan

ea

= tegangan jangkar

eb

= emf terinduksi

θ

= perpindahan sudut dari poros / batang meter

T

= torsi

J

= momen inersia total

f

= koefisien geseran total

Persamaan Sistem :

di (1) ea = Ra.ia + La.

a +e b dt

(2) eb = K . n . φ = c . n = c . ω (3) T = KI . φ . Ia = cI . ia (4) J.

. ω+ f . ω = T

Ω(s) = ......? E (s) a Transformasi Laplace : (1) Ea(s) = Ia(s) [Ra + La . s] + Eb(s) (2) Eb(s) = c . Ω(s) (3) T(s) = CI.Ia(s) (4) T(s) = Ω(s) [Js +f] (1) Ia(s) [Ra + Las] = Ea(s) – Eb(s)

(2) Eb(s) = c . Ω(s)

Ω(s)

23

C Eb(s)


MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS (3) T(s) = cI . Ia(s)

CI

Ia(s)

(4) Ω(s) = T(s)

T(s)

1 T(s) Js + f 1 Js + f

Ω(s)

Blok Diagram Sistem : ∴

2°

c Ω(s) 1 = E (s) L Js 2 + (L f + R J)s + (R f + cc ) a a a a a 1

SISTEM LEVEL CAIRAN

A)

qI = aliran air yg masuk q0 = aliran air yang keluar R = tahanan kran C = kapasitas tangki h = tinggi air (1) h = q0 . R → H(s) = R Q0(s)

24


MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS (2)

C

dh = q − q → C.sH(s) = QI(s) – Q0(s) i 0 dt H(s) = .....? Q (s) i

H(s) = R [QI(s) – CsH(s)] [RC.s + 1] H(s) = RQi(s)] ∴

H(s) R = Q (s) R(s + 1) i

B)

Q (s) 0 = ......? Q (s) i Tangki 2 :

h

2 → Q (s) = 0 R 2

q0 =

H (s) 2 …. (1) R 2

dh C2

2 = q – q → C sH (s) = Q (s) – Q (s) ….(2) m 0 2 2 m 0 dt

Tangki 1 :

h −h H (s) − H (s) 2 → Q (s) = 1 2 .....(3) = 1 m m R R 1 1 dh 1 = q − q → C sH (s) = Q (s) − Q (s)....(4) C 1 dt 1 m 1 1 i m

q

(1)

25

H2(s)

1 R 2

Q0(s)



Penggabungan :

1 ∴

R C R C s2 + R C s + R C s 1 1 2 2 1 1 2 1 = R C s+1 Q (s) 2 2 i 1+ 2 R C R C s + R C s+ R C s 1 1 2 2 1 1 2 1

Q

0

(s)

=

26

1 R C R C s 2 + (R C + R C + R C )s + 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1


MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS SIGNAL FLOW GRAPH (GRAF ALIRAN SINYAL) HUBUNGAN ANTARA SIGNAL FLOW GRAPH DENGAN BLOK DIAGRAM BLOK DIAGRAM R(s)

SIGNAL FLOW GRAPH

C(s)

R(s)

G(s)

C(s)

G(s)

SIFAT-SIFAT SIGNAL FLOW GRAPH (a)

x

(b)

x

a

a

y

b

y

y=a.x

z

x

a.b

z

≡ (c)

(d) x1

x1 a

ac x3

c

≡ x4

x4

b

27

x2

bc x2 Modul Model-Model Matematis dari system-sistem Fisis Oleh : Ir. Hasanuddin, MT


DEFINISI

→ x1, x2, x3, x4

→ node (simpul)

→ G1, H2, G2, G3, H1

→ transmittance / gain

→ x1

→ input node (source)

→ x4

→ output node (sink)

→ x2, x3

→ mixed node

→ G1 G2 G3

= gain lintasan maju / kedepan (forward path gain)

→ Gain lintasan tertutup : G1, G2, H2 / G2, H2, G1 G2, G3, H1 → Dua atau lebih lintasan tertutup dikatakan tidak bersentuhan bila lintasan-lintasan tersebut tidak melintasi suatu transmittance yang sama.

Contoh :

28


MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS Gain lintasan maju :

1) G1 G2 G3 G4 G5 2) G1 G2 G6 G5

gain lintasan tertutup : 1) G1 G2 H1

3) G4 G5 H3

2) G2 G3 H2

4) G2 G6 G5 H3 H2

TEORI MASON

C(s) 1 = P = ∑P ∆ ∆ i i i R(s) P

= fungsi alih / tranfer function total

∆

=

PI

= gain / transmittance lintasan maju ke I

1 − ∑ L + ∑ L L − ∑ L L L + .... i i j i j k i i, j i, j, k

LiLj = gain total dari dua buah lintasan tertutup yang tidak saling bersinggungan LiLjLk = gain total dari tiga buah lintasan tertutup yang tidak saling bersinggungan ∆I

= ∆ bila lintasan maju ke i dihilangkan, atau bila lintasan-lintasan tertutup yang menyentuh lintasan maju ke i dihilangkan

Contoh : P1

= G 1 G 2 G3 G4 G5

P2

= G 1 G 2 G5 G6

L1

= G1 G2 H1

L3 = G4 G5 H3

L2

= G2 G3 H2

L4 = G2 G5 G6 H2 H3

Dua buah lintasan tertutup yang tidak bersinggungan L1 L3 = G1 G2 G4 G5 H1 H3 L2 L3 = G2 G3 G4 G5 H2 H3

∴

∆

= 1 – L1 – L2 – L3 – L4 + L1 L3 + L2 L3

∆1

=1

∆2

=1

C(s) P1∆1 + P2∆ 2 =P= R(s) 1 − L1 − L 2 − L3 − L 4 + L1L3 + L 2 L3

C(s) = R(s) G1G 2G 3G 4G 5 + G1G 2G 5G 6 1 − G1G 2 H1 − G 2G 3H 2 − G 4G 5H 3 − G 2G 5G 6 H 2 H 3 + G1G 2G 4G 5 H1H 3 + G 2G 3G 4G 5 H 2 H 3

29



soal latihan :

30


MODEL-MODEL MATEMATIS DARI SISTEM-SISTEM FISIS

Recommend Documents