Kontrol Optimum. MKO dengan Mixed Constraints dan Pure State Constraints. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014

Kontrol Optimum MKO dengan Mixed Constraints dan Pure State Constraints

Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB

Februari 2014

[email protected] (IPB)

MAT332 Kontrol Optimum

Februari 2014

1 / 38

Outline

MKO dengan mixed constraints MKO dengan pure state constraints



Februari 2014

2 / 38

MKO dengan Mixed Constraints Bentuk Umum

Mixed constraint di sini merujuk pada kendala pertaksamaan yang harus dipenuhi oleh peubah state dan peubah kontrol secara bersama-sama. Bentuk umum MKO dengan mixed constraint diberikan oleh:

RT = 0 f (x, u, t ) dt s.t. x˙ = g (x, u, t ), h (x, u, t ) 0, (mixed constraint) x (0) = x0 . max

J

Syarat batas di waktu akhir dapat ditambahkan, misalnya x (T ) = xT , x (T ) b, atau x (T ) bebas. Kendala h (x, u, t ) 0 disebut sebagai mixed constraint, dan dapat terdiri atas lebih dari satu pertaksamaan. [email protected] (IPB)


Februari 2014

3 / 38

MKO dengan Mixed Constraints Syarat Perlu dan Cukup Optimalitas

Fungsi hamilton dan fungsi lagrange diberikan oleh: H H¯

= f + pg , = H + λh = f + pg + λh.

Theorem (Seierstad & Sydsæter, 1987) Syarat perlu agar (x (t ), u (t )) merupakan solusi optimum ialah: 1

Hu = 0 (u memaksimumkan H),

2

x˙ = Hp , H¯ u = 0,

3 4

5

0, h 0, λh = 0 (maksimisasi), 0, h 0, λh = 0 (minimisasi), p˙ = H¯ x . λ λ



Februari 2014

4 / 38

MKO dengan Mixed Constraints Example Selesaikan MKO dengan mixed constraints berikut: R1 max J = 0 u dt

= u, u 0, x u 0, x (0) = 1, x (1) bebas.

s.t. x˙

Solution Dari MKO di atas dide…nisikan h1 = u dan h2 = x hamilton: H = u + pu = (1 + p )u. [email protected] (IPB)


u dengan fungsi

Februari 2014

5 / 38

MKO dengan Mixed Constraints Solution Karena H linear terhadap u dan 0

u

x maka

x ; 1+p > 0 = 0 ; 1+p < 0

u =

x ; p> 0 ; p<

1 . 1

Fungsi lagrange: H¯ = H + λ1 u + λ2 (x

u ) = (1 + p + λ1

λ2 )u + λ2 x.

Selanjutnya, H¯ u = 0 , 1 + p + λ1 p˙ = H¯ x , p˙ = λ2 ,

λ2 = 0,

dengan syarat transversalitas p (1) = 0 (karena x (1) bebas). [email protected] (IPB)


Februari 2014

6 / 38

MKO dengan Mixed Constraints Solution I Jika u = x maka kondisi (λ

0, λh = 0) memberikan:

0, h

h1 = x

0 ) λ1 = 0,

h2 = 0 ) λ 2

0.

Akibatnya, 1+p

λ2 = 0 , λ2 = p + 1,

sehingga p˙ =

λ2 , p˙ =

p

1

, p (t ) = Ae t 1 (p (1) = 0) , p (t ) = e 1 t 1 (jelas p (t ) > , λ2 (t ) = e 1 t . [email protected] (IPB)


1)

Februari 2014

7 / 38

MKO dengan Mixed Constraints Solution Peubah state:

(x˙ = u dan u = x ) , x˙ = x , x (t ) = Be t (x (0) = 1) , x (t ) = e t ) u (t ) = e t . Jadi, u (t ) = e t , x (t ) = e t , p (t ) = e 1 λ2 (t ) = e

t

1 t

1, ,

λ1 (t ) = 0.



Februari 2014

8 / 38

MKO dengan Mixed Constraints Solution I Jika u = 0 maka kondisi (λ

0, λh = 0) memberikan:

0, h

h1 = 0 ) λ 1

h2 = x

0,

0 ) λ2 = 0.

Akibatnya, 1 + p + λ1 = 0 , λ1 =

p

1.

Kondisi p˙ = H¯ x , p˙ = λ2 memberikan p˙ = 0 , p (t ) = A. Syarat transversalitas p (1) = 0 mengakibatkan p (t ) Jelas p (t ) >

0.

1, sehingga u = 0 tidak mungkin terjadi.



Februari 2014

9 / 38

MKO dengan Mixed Constraints Example Selesaikan MKO dengan mixed constraints berikut: R1 max J = 0 u dt

= 2x u, u 1 0, 2x u 0, x (0) = 1, x (1) bebas.

s.t. x˙

Solution Fungsi hamilton dan fungsi lagrange diberikan oleh: H H¯

= u + p (2x u ) = 2xp + (1 p )u, = u + p (2x u ) + λ1 (u 1) + λ2 (2x u ) = (2xp λ1 + 2x λ2 ) + (1 p + λ1 λ2 )u



Februari 2014

10 / 38

MKO dengan Mixed Constraints Solution Karena H linear terhadap u dan 1 u =

2x 1

; 1 ; 1

u

2x maka

p>0 = p<0

2x 1

; p<1 . ; p>1

Syarat berikutnya memberikan: H¯ u = 0 , 1 p + λ1 λ2 = 0, p˙ = H¯ x , p˙ = 2p 2λ2 , dengan p (1) = 0.

I Jika u = 2x maka kondisi (λi 0, hi 0, λi hi = 0), dengan h1 = u 1 dan h2 = 2x u, memberikan: h1 = 2x

1 ) λ1 = 0,

h2 = 0 ) λ 2 [email protected] (IPB)

0.


Februari 2014

11 / 38

MKO dengan Mixed Constraints Solution Didapatkan 1

p + λ1

λ2 = 0 , 1

, , , (p (1) = 0) ,

λ2 = 0

p

λ2 = 1

p˙ =

2p

p 2(1

p (t ) =

2t + A

p (t ) =

2t + 2,

p) =

2

sehingga u (t ) =

2x 1


; 1 ; 1

( 2t + 2) > 0 = ( 2t + 2) < 0


2x 1

; 21 < t 1 . ; 0 t < 12

Februari 2014

12 / 38

MKO dengan Mixed Constraints

Solution Peubah state: untuk u = 2x diperoleh x˙ = 0 , x (t ) = A,dan untuk u = 1 diperoleh x˙ = 2x 1 , x (t ) = Be 2t + 12 ,sehingga x (t ) =

A Be 2t +

1 2

; 12 < t 1 . ; 0 t < 21

Karena x (0) = 1 maka B = 12 . Agar x kontinu haruslah A = 21 e + 12 . Jadi, x (t ) =

1 1 2e + 2 1 2t 1 2e + 2


; 12 ; 0

t 1 ) u (t ) = t < 12


e + 1 ; 12 < t 1 . 1 ; 0 t < 12

Februari 2014

13 / 38


Solution Fungsi adjoin dan pengganda lagrange: p (t ) = λ2 (t ) = λ1 (t ) =


2t + 2, 0 t 1, 2t 1 ; 21 < t 1 , 0 ; 0 t < 21 0 1

; 12 < t 1 . 2t ; 0 t < 21


Februari 2014

14 / 38

MKO dengan Mixed Constraints Example Selesaikan MKO berikut:

R1 = 0 x dt s.t. x˙ = x + u, x (0) = 0, x (1) bebas, 1 u 0, 1+u 0, 2 x u 0. max

J

De…nisikan fungsi hamilton: H = x + p (x + u ) = x + px + pu. Terlihat bahwa H linear terhadap u. [email protected] (IPB)


Februari 2014

15 / 38

MKO dengan Mixed Constraints Karena pertaksamaan-pertaksamaan 1 u 0 dan 1 + u dengan 1 u 1 dan 2 x u 0 ekivalen dengan u diperoleh bang-bang control 1

u = asalkan

1

u

1

2

De…nisikan h1 (u ) = 1 fungsi lagrange:

; p>0 , 1 ; p<0

x. Tetapi jika 2

u =

x 1

1

u

2

x

1 maka

; p>0 . ; p<0

u, h2 (u ) = 1 + u, h3 (u, x ) = 2

H¯ = x + px + pu + λ1 (1

0 ekuivalen 2 x, maka

u ) + λ2 (1 + u ) + λ3 (2

x x

u, dan u ).

Syarat H¯ u = 0 memberikan p [email protected] (IPB)

λ1 + λ2

λ3 = 0.


Februari 2014

16 / 38

MKO dengan Mixed Constraints Syarat p˙ =

H¯ x memberikan p˙ =

p + λ3 ,

1

I Jika u = 1 maka syarat (λi

0, hi

dengan p (1) = 0. 0, λi hi = 0) memberikan

h1 ( u ) = 0 ) λ 1

0,

h2 (u ) = 2 ) λ2 = 0,

h3 (u, x ) = 1

x ) λ3 = 0.

Akibatnya, p

λ1 = 0. (tidak dapat diselesaikan)

Namun dari syarat p˙ = p˙ =

H¯ x diperoleh 1

p , p (t ) = Ae

(p (1) = 0) , p (t ) = e [email protected] (IPB)


1 t

t

1 1. Februari 2014

17 / 38

MKO dengan Mixed Constraints Karena p (t ) = e 1 optimum

t

1 > 0 untuk t 2 [0, 1] maka diperoleh kontrol u (t )

1.

Persamaan diferensial x˙ = x + u memberikan x˙ = x + 1 , x (t ) = Be t

(x (0) = 0) , x (t ) = e

t

1 1.

Perhatikan keterpenuhan kendala pertaksamaan terakhir: 2

x

u

0 , 2

, 2 , et , 0


(e t 1) 1 et 0 2 t ln 2.


0

Februari 2014

18 / 38

MKO dengan Mixed Constraints I Jika u = 2

x maka syarat (λi g1 ( u ) = x g2 ( u ) = 3

0, gi

0, λi gi = 0) memberikan

1 ) λ1 = 0,

x ) λ2 = 0,

g3 (u, x ) = 0 ) λ3

0.

Akibatnya, λ3 = 0 , p = λ3 ,

p

sehingga diperoleh persamaan diferensial p˙ =

1 , p (t ) =

t + A.

Syarat p (1) = 0 memberikan


p (t ) = 1

t,

λ3 (t ) = 1

t.


Februari 2014

19 / 38

MKO dengan Mixed Constraints Karena p (t ) = 1 optimum

t

0 untuk 0

t

u =2

1, maka diperoleh kontrol x.

Persamaan diferensial x˙ = x + u memberikan x˙ = 2 , x (t ) = 2t + B

(x (0) = 0) , x (t ) = 2t ) u = 2 2t.

Mudah diperiksa bahwa kendala pertaksamaan kedua dan ketiga terpenuhi. Perhatikan keterpenuhan kendala pertaksamaan pertama: 1

u

0,1

(2

2t )

0,

1 2

t,

1 2

t

1.

Karena t terde…nisi pada [ 12 , 1] maka syarat x (0) = 0 tidak dapat dikenakan pada x. Jadi, x (t ) = 2t + B. [email protected] (IPB)


Februari 2014

20 / 38

MKO dengan Mixed Constraints Perhatikan kasus sebelumnya. Karena ln 2 0.69 2 [ 12 , 1] maka konstanta B ditentukan sehingga x kontinu pada [0, 1], khususnya di titik t = ln 2 : e ln 2

1 = 2 ln 2 + B , B = 1

2 ln 2,

sehingga x (t ) = 2t + 1 u (t ) = 1

2 ln 2,

ln 2 < t

1,

2t + 2 ln 2,

ln 2 < t

1.

Jadi secara keseluruhan, x (t ) =

et 1 2t + 1

u (t ) =

1 1

; 0 t ln 2 , 2 ln 2 ; ln 2 < t 1

; 0 t ln 2 . 2t + 2 ln 2 ; ln 2 < t 1

Tugas: tentukan p (t ), λ1 (t ), λ2 (t ), dan λ3 (t ). [email protected] (IPB)


Februari 2014

21 / 38


Problem Selesaikan MKO berikut:

R2 = 0 u dt s.t. x˙ = x u, u 1 0, x u 0, (mixed constraint) x (0) = 2, x (2) bebas.

max


J


Februari 2014

22 / 38


Solution x (t ) = p (t ) = 2 λ1 (t ) =

e +1 ; 1 et + 1 ; 0

t 2 , t<1

t, 1 t ; 0 t 0 ; 1

1 , 2

u (t ) =

λ2 (t ) =


e +1 ; 1 1 ; 0 0 t

t 2 , t<1

; 0 t 1 ; 1
Februari 2014

1 . 2

23 / 38

MKO dengan Pure State Constraints Bentuk Umum

Pure state constraint di sini merujuk pada kendala pertaksamaan yang harus dipenuhi hanya oleh peubah state. Bentuk umum MKO dengan pure state constraint diberikan oleh:

RT = 0 F (x, u, t ) dt s.t. x˙ = f (x, u, t ), g (x, t ) 0, (pure state constraint) x (0) = x0 .

max

J

Secara umum syarat optimalitas bagi MKO dengan pure state constraints sama dengan MKO dengan mixed constraints. Namun, kekontinuan p (t ) seringkali tidak terpenuhi. Oleh karena itu p (t ) dibolehkan memiliki diskontinuitas lompat di t = T . [email protected] (IPB)


Februari 2014

24 / 38

MKO dengan Pure State Constraints Example Sebuah toko memiliki persediaan barang pada saat t sebesar x (t ) dan menghadapi permintaan sebesar d (t ) = at. Untuk memenuhi permintaan tersebut toko juga melakukan pemesanan barang sebesar u (t ) (sebagai peubah kontrol). Toko bertujuan meminimumkan biaya pemesanan cu (t ) dan biaya penyimpanan kx (t ) dalam periode [0, T ]. Jika dimisalkan x (0) = 1, maka masalah di atas dapat diformulasikan sebagai berikut:

RT RT = 0 (cu + kx ) dt ) max Jˆ = 0 s.t. x˙ = u d, d = at, x 0, (pure state constraint) u 0, x (0) = 1, x (T ) bebas,

min

J

(cu + kx ) dt

dengan c, k, a, dan T adalah konstanta-konstanta positif dan T > [email protected] (IPB)


p

Februari 2014

2/a. 25 / 38

MKO dengan Pure State Constraints Solution ¯ Dide…nisikan fungsi hamilton H dan fungsi lagrange H: H = ( kx

atp ) + (p

Karena H linear terhadap u dan 0 u (t ) = 0,

jika p (t )

c )u,

H¯ = H + λ1 x + λ2 u.

u maka untuk maksimisasi: c < 0 atau p (t ) < c.

Jika u = 0 maka kendala persamaan diferensial memberikan: x˙ =

Untuk

p

at , x (t ) =

(x (0) = 1) , x (t ) = 2/a < t


1 2 2 at + B 1 2 2 at + 1,

0

T terjadi pelanggaran kendala x MAT332 Kontrol Optimum

p

t

2/a.

0. Februari 2014

26 / 38

MKO dengan Pure State Constraints Solution H¯ x memberikan

Selanjutnya, syarat p˙ = p˙ (t ) = Syarat (λi

0, gi

( k + λ1 (t )) = k

λ1 (t ).

0, λi gi = 0) memberikan g1 = x

0 ) λ1 = 0,

g2 = u = 0 ) λ 2

0.

Diperoleh p (t ) = kt + A. Syarat transversalitas p (T ) = 0 tidak dapat diterapkan p di sini. Untuk 2/a < t T dipilih strategi banyaknya barang yang dipesan sama dengan banyaknya barang yang diminta sehingga tidak ada stok, yaitu u (t ) = at ) x (t ) = 0. [email protected] (IPB)


Februari 2014

27 / 38

MKO dengan Pure State Constraints Solution Jadi, u (t ) = x (t ) =

p 0 ; 0p t 2/a , 2/a < t T at ; p 1 2 at + 1 ; 0 t 2/a 2 p . 0 ; 2/a < t T

Karena u harus memaksimumkan H, maka untuk

p

2/a < t

T,

p (t ) = c ) p˙ = 0 ) λ1 (t ) = k. Dari H¯ u = 0 diperoleh p


c + λ2 = 0 atau λ2 = c


p.

Februari 2014

28 / 38

MKO dengan Pure State Constraints Solution Dengan demikian,

p 8 2/a < kt + A ; 0p t p (t ) = c ; 2/a < t < T , : 0 ; t=T p 0 ; 0p t 2/a λ1 (t ) = , k ; 2/a < t T p c (kt + A) ; 0p t 2/a λ2 (t ) = . 2/a < t T 0 ; Perhatikan bahwa p (t ) mengalami diskontinuitas lompat di p t = T. Konstanta A dipilih sehingga p (t ) kontinu, yaitu A = c k 2/a.



Februari 2014

29 / 38

MKO dengan Pure State Constraints

Problem Selesaikan MKO berikut:

R5 = 0 (u + x ) dt s.t. x˙ = u t, x 0, (pure state constraint) u 0, x (0) = 1, x (5) bebas.

max


J


Februari 2014

30 / 38

MKO dengan Pure State Constraints Solution Dengan a = c = k = 1 dan T = 5 diperoleh: p 0 ; 0p t 2 u (t ) = , t ; 2
p ; 0p t 2 x (t ) = , ; 2

1 2 2t


Februari 2014

31 / 38

MKO dengan Pure State Constraints Example Selesaikan MKO berikut:

R4 = 0 (x (u 2)2 ) dt s.t. x˙ = u, 1 x 0, (pure state constraint) x (0) = 0, x (4) bebas.

max

J

Solution ¯ Dide…nisikan fungsi hamilton H dan fungsi lagrange H: H H¯

= x (u 2)2 + pu, = H + λ (1 x ) = x (u


2)2 + pu + λ(1


x ). Februari 2014

32 / 38

MKO dengan Pure State Constraints Solution Syarat perlu optimalitas: 1 2

Hu = 0 , 2(u 2) + p = 0 , u = 12 p + 2. p˙ = H¯ x , p˙ = λ 1, dengan p (4) = 0 karena x (4) bebas.

Terhadap pure state constraint 1

< 1, x = 1,

x

x

0 atau x 0

t

t
1, misalkan

t , 4,

untuk suatu t yang akan ditentukan kemudian. Jika 0 t t maka x < 1 atau 1 x > 0. Misalkan h (x, t ) = 1 x > 0. Kondisi Kuhn-Tucker λ 0, h 0, λh = 0 mengakibatkan λ = 0, sehingga dari kondisi kedua diperoleh p˙ = [email protected] (IPB)

1 , p (t ) =


t + A. Februari 2014

33 / 38

MKO dengan Pure State Constraints Solution Jika t < t memberikan

4 maka x = 1, sehingga x˙ = 0 = u. Kondisi pertama 0 = 21 p + 2 , p (t ) =

4.

Padahal ada syarat p (4) = 0. Di sinilah diskontinuitas lompat diperbolehkan, yaitu p (t ) =

4 ; t
Fungsi adjoin p harus kontinu di t = t , sehingga harus dipenuhi p (t Untuk 0

t

) = p (t

+

),

t +A =

4,A=t

4.

t diperoleh

p (t ) = [email protected] (IPB)

t +t

4 ) u (t ) = 21 p + 2 = 12 (t


t ). Februari 2014

34 / 38

MKO dengan Pure State Constraints Solution Akibatnya, kendala persamaan diferensial memberikan x˙ = u , x˙ = 12 (t Di lain pihak, untuk t < t

1 4 (t

t ) , x (t ) =

t )2 + B.

4 diperoleh

x˙ = 0 ) x (t ) = C = 1. Agar x kontinu: x (t

) = x (t

+

) , B = 1 ) x (t ) =

t )2 + 1.

1 4 (t

Karena x (0) = 0 maka t = 2, sehingga x (t ) = [email protected] (IPB)

1 4 (2

t )2 + 1 =


1 4t

(t

4) . Februari 2014

35 / 38

MKO dengan Pure State Constraints Example Selesaikan MKO berikut:

R2 = 0 (1 x ) dt s.t. x˙ = u, x 0, (pure state constraint) 0 2 [ 1, 1], x (0) = 0, x (2) bebas.

max

J

Solution ¯ Dide…nisikan fungsi hamilton H dan fungsi lagrange H: H H¯ [email protected] (IPB)

= 1 x + pu, = H + λx = 1

x + pu + λx.


Februari 2014

36 / 38

MKO dengan Pure State Constraints Solution Karena H linear terhadap u dan peubah kontrol u berbatas, maka lazimnya kontrol optimum diberikan oleh solusi bang-bang 1

u (t ) = Perhatikan bahwa kendala x

0 dapat ditulis menjadi

> 0, x = 0,

x

; p>0 . 1 ; p<0

0

t

t
t , 2,

dengan t akan ditentukan kemudian. Jika u (t ) = 1 maka x˙ = u , x˙ = 1 , x (t ) = t + A. [email protected] (IPB)


Februari 2014

37 / 38

MKO dengan Pure State Constraints

Solution Namun demikian, x (t ) = t + A merupakan fungsi naik. Hal ini R2 bertentangan dengan fungsional objektif max 0 (1 x ) dt yang seharusnya dipenuhi oleh x yang menurun. Jadi haruslah u (t ) =



Februari 2014

1.

38 / 38

Kontrol Optimum. MKO dengan Mixed Constraints dan Pure State Constraints. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014

Recommend Documents