TEORI KONTROL OPTIMUM

TEORI KONTROL OPTIMUM

TUGAS

Oleh RIRIN SISPIYATI NIM : 20106003 Program Studi Matematika

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2009

1

2.2-5

Comparison of Different Discrete Controllers

x k 1

a.

 12   3

 2 1 xk    u k ,  1  2 0 1 2

Find the open-loop control

Ja 

u 0 ,u1

8  x0     4

to drive the initial state to

x 2  0 while minimizing the cost

1 1 T  2 0 uk  uk 2 k 0 0 1

Check your answer by “simulation” (i.e., apply your

u 0 ,u1

to the plant to verify that

x 2  0 ).

Penyelesaian : 

Persamaan state :

x k 1  Ax k  Bu k ,

 1 A 2  3

dimana : 

Hamiltonian:

H

1 1 T  u k Ru k  pkT1 Axk  Bu k , 2 k 0

dimana: 

 2 0 R  0 1

Persamaan Costate:

pk  

 2 1 ; B   2 0  1   1 2

 1 3 H  AT p k 1   1 2  p k 1 x k  2 1

Stationary:

0

 2 0 2 2 H  Ru k  B T p k 1   uk     p k 1 u k 0 1 1 0 

sehingga:

 1 0  2 2  1  1  1  1 T u k   R 1 B T p k 1    2 p k 1   p k 1       A  1 0   1 0  0 1  1 0 

 

N  2,

pN

maka :

 1  1 T uk   A  1 0 

 

k 1



N  k 1

1 k

p2

 

x k  A k x0   A k i 1 BR 1 B T AT i 0

1 i

p2

Sehingga :

2

 

1

x 2  A 2 x0   A1i BR 1 B T AT

1i

i 0

 

1

G0, 2   A1i BR 1 B T AT

1i

p2



 

 ABR 1 B T AT  BR 1 B T



i 0

 3 2  12   1 2 2  12

 1  2  3

1 2

3  3 2  14    1 2 2  - 32

- 32  3 2  134 12     17  2 2  12 19

Maka :

p 2  G0, 2 

1



38  123 A x0  x2   1  123



2

1 123 13 246

  74   9   2

3 4 5 2



 1  1 T  1  1  12 u0    A p 2   1 0   1  1 0    2



 4188   1  1  1  1  148 41  u1   p    2  1 0   60   148   1 0     41   41 

38  8 0   123          1  4 0   123

1 123 13 246

  11   148 41      60    26  41 

3   148  120 41  41    254    60   1  41   41 

 

Cek /simulasi : 

 1 x1   2  3

  12  2 1 x  u  0  2 0 0  3  1   

 412  8 2 1  120  2  494 41  41  41       254     240   1060        1 4 2 0  41   20   41   41 



 1 x2   2  3

  12  2 1 x  u  1  2 0 1  3  1   

 324   412 2 1  4188   324 0  41  41  41      1060    148   176   176        1  41  2 0  41   41   41  0

1 2

1 2

1 2

1 2

3

b.

Find a constant state variable feedback to input component one of the form

u 1k   Kx k where



u k  u 1k

u k2

 , to yield a deadbeat control (all closed-loop poles at the origin). Find the closed-loop state T

trajectory. Penyelesaian : Misalkan :

K   k1 k2  Maka :

u10   Kx0    k1

8  120 k2      8k1  4k2 41  4

u   Kx1    k1

 412 41  k2   1060   88  412k1  1060k2 ...(2)  41 

1 1

maka dari (1) dan (2) diperoleh Jadi,

...(1)

k1  0, 40259 dan k2  0,0734 .

K   0, 40259 0, 0734

4

c.

Let

J c  10 x 2T x 2  J a , with J a

as in part a. Solve the Riccatti equation to determine the optimal control

u 0 ,u1 .

Find the optimal cost. Penyelesaian:

J c  10 x 2T x 2 

1 1 T 2 0 uk ,  uk 2 k 0 0 1

20 0  0 0   2 0 S2   ; Q ; R     0 20 0 0  0 1

berarti :

Persamaan Riccatti:



S k  Q  AT S k 1 I  BR 1 B T S k 1



1



A  AT S k 1 I  BR 1 B T S k 1



1

A

Maka :



S 1  A T S 2 I  BR 1 B T S 2  12   12

3   20  1  0

  10   10   10   10

6 0   61  20   40



1

A

0   1  20    0

0 3  1   2

2   20 2   0

1

0    12  20    3

  1  1

2

1

1 40    1 2 2   41   3  1  1 6 0   41 901  40 901    1 2 2      20    40 901  461 901   3  1 

 13585 901    5465 901

  901 

 5465 2225

901

Kontrol Optimal :



u k   R 1 B T S k 1 I  BR 1 B T S k 1



1

Ax k

Maka: 



u 0   R 1 B T S1 I  BR 1 B T S1

 1   1

 1 13585 901 0  5465 901

 8120 901  13585 901 

3240

 8120 901  13585 901 

3240

1

Ax0

  1   2225 901    0

 5465

 30726 901  16240 5465 901  901 901

   797 3578   1160 5465 901  1789 3652012523 2,916     6,151  11005 1789     901



0 3 2 13585 901  1  2 2  5465 901

901

1

   1 2    2225 901    3

 5465

901

 8   1 4 1

2

1

1   1 2 2  8    3  1   4 5579 901     11945 1 1 25046   2 2  8    15363  1 4 12523   3

11945

901

5





u1   R 1 B T S 2 I  BR 1 B T S 2



1

Ax0 1

 1 20 0   1 0 3 2 20 0    1 2    0   0 20  0 1  2 2  0 20   3 1  20  20  41901  40 901   1 2 2  8       0    40 901  461901  3  1  4  20 1   20 901  420 901  1 2 2  8       820 901 800 901   3  1 4  1   1

 8   1 4 1

2

 80400 36941    2,176  124880    3,380 36941    

x1  Ax0  Bu0  1 2   3



 8  2 1 36520 12523  2 15007512523 125029 12523   9,984        1  4 2 0  110051789   20   73040 12523  323500 12523 25,832 1

2

x 2  Ax1  Bu1  1 2   3

  9,984  2 1  2,176 7,924  7,733  0,191       1 25,832 2 0  3,380  4,119   4,353  0,234 1

2

Optimal Cost

J c  10 x 2T x 2 

1 1 T 2 0 uk  uk 2 k 0 0 1

 0,191  1  2 0 2,916 2 0  2,176   100,191  0,234  2,916 6,151   2,176  3,380        0,234 2  0 1   6,151 0 1  3,380  1  0,909  54,849  20,902  0,909  37,876  38,785 2

d.

Compare the state trajectories of parts a, b, and c. Penyelesaian :



Untuk fixed final state diperoleh:

 412 8  0  41  x0    ; x1   1060 ; x2     4 0   41  

Untuk free final state diperoleh :

8   9,984   0,191  x0    ; x1   ; x2     4  25,832   0, 234  Perbandingan trajectory untuk fixed dan free final state, dapat dilihat pada gambar berikut :

6

e. Now suppose

x0  1 2

T

. How must the controls of parts a, b, and c be modified?

Penyelesaian: 

Bagian a : Kasus open loop control (fixed-final state) dengan

x 2  0 , x0  1 2

T

1 1 T  2 0 uk  uk 2 k 0 0 1

Ja 

, dan

maka analog dengan bagian a:

 

k 1

x k  A k x0   A k i 1 BR 1 B T AT

1 i

i 0

 1  1 T uk   A  1 0 

 

1 k

p2

p2

Sehingga :

 

1

x 2  A 2 x0   A1i BR 1 B T AT i 0

 

1

G0, 2   A1i BR 1 B T AT

1i

1i

p2



 

 ABR 1 B T AT  BR 1 B T



i 0

 1  2  3

 3 2  12   1 2 2  12 1 2

3  3 2  14    1 2 2  - 32

- 32  3 2  134 12     17  2 2  12 19

Maka :

 38 1 p 2  G0,2  A 2 x0  x2   123 1  123





1 123 13 246

  74   9   2

3 4 5 2

38  1 0   123          1  2 0   123

1 123 13 246

  14   413   1   1    2   41 

7

 1  1 T  1  1  12 u0    A p 2   1 0   1  1 0    2

3   413   412    1  411   823 

 

 1  1  1  1  413   414  u1    p 2   1 0   1    3   1 0     41   41  Cek /simulasi :

 1 x1   2  3

  12  2 1 x  u  0  2 0 0  3  1   

 1 2 1  412   12   8211   15 41    3       4    37       1 2 2 0  82  1  41   41 

 1 x2   2  3

  12 2 1 x  u  1  2 0 1  3  1   

 4111  0   15 2 1  414   11 41  41           3   8   8      1  37 2 0  41   41   41  0 41 



1 2

1 2

1 2

1 2

Bagian c : Kasus closed loop control (free-final state) dengan

J c  10 x 2T x 2 

1 1 T 2 0 uk ,  uk 2 k 0 0 1

maka analog dengan bagian a: Kontrol Optimal :



u k   R 1 B T S k 1 I  BR 1 B T S k 1



1

Ax k

Sehingga: 



u 0   R 1 B T S1 I  BR 1 B T S1

 1   1

 1 13585 901 0  5465 901

 8120 901  13585 901 

3240

 901  13585 901 

3240

 30726 901  16240 5465 901  901 901



901

Ax0



1

1

   1 2    2225 901    3

 5465

901

 1   1 2 1

2

1

1   1 2 2  1    5579  1  2 901   3 11945 1 1 25046   2 2  1    3  1   2 15363 12523    

11945

 797

u1   R 1 B T S 2 I  BR 1 B T S 2

0 3 2 13585 901  1  2 2  5465 901

901

5465



1

  1   2225 901    0

5465

  3578   1160 901  1789  610  12523   0,048     265  7156   0,037  8120



901

>

Ax0

8

 1 20 0   1  0   0 20  0

 1   1

 20  20  41901  40 901   1 2  0    40 901  461901  3  20 1   20 901  420 901  1 2 2  1     3  1 2 820 800 901    901    3580   0,097 36941   2620     0,071 36941    

 1 2 x1  Ax0  Bu0    3



 1 2 x 2  Ax1  Bu1    3

2.3-1

1

0 3 2 20 0    1 2   1  2 2  0 20   3

 1   1 2 1

2

 1   1  2 1

2

 1  2 1  61012523  1 2  6735 50092  18311 50092  0,365       1  2 2 0   265 7156   1   1220 12523  1130312523  0,903 1

2

 18311 50092  2 1  3580 36941 384314312   9780 36941 0,00377       1 1130312523  2 0  2620 36941 972150092   7160 36941 0,00024  1

2

Digital Control of Harmonic Oscillator An harmonic oscillator is described by

x1  x 2 x 2   n2 x1  u a.

…(2.1)

Discretize the plant using a sampling period of T. Penyelesaian: Sistem (2.1) dapat ditulis :

x (t )  Ax(t )  Bu (t ) dimana :

 0 A 2   n

1 0  dan B     0 1 

Diskritisasi dari sistem diatas dengan periode sampling T adalah:

x k 1  A s x k  B s u k dimana : 

A e s



AT

A nT n  I  n! n 1

9

1 1 0  0 1   n2  T  2!   2 0 1     n 0   0 1 1 2 4 A11s  1   nT    nT    2! 4! 1 1 A12s  T   n2T 3   n4T 5   3! 5!

0  2 10 T   4 3!  n   n2 

  n2  3 1  n4 T   4!  0 0 

0 4 1 0 T   5!   n6  n4 

 n4  5 T   0

 cos nT  

sin  nT  n

  n sin  nT 

1 4 3 1 6 5 n T  n T   3! 5! 1 1 2 4 A22s  1   nT    nT    2! 4! A21s   n2T 

 cos nT 

Jadi,

sin  nT    cos nT   A  n      n sin  nT  cos nT  s

sin  n    0  cos n   B   e Bd    n    d   1 0 0   sin    cos     n n  n  T



T

A

s

  cos n   T  sin  n      n2      d  n sin       n   0 cos   n     n

1  cos nT      n2     sin  nT     n

 T

 0

Dengan demikian, diperoleh suatu sistem diskrit:

x k 1

b.

1  cos nT   sin  nT      cos nT   n2   x   u k  sin  nT   k   sin  T  cos T   n n     

…(2.2)

With the discretized plant, associate a performance index of

J







1 1 N 1 s1 ( x 1N ) 2  s 2 ( x N2 ) 2   q1 ( x1k ) 2  q 2 ( x k2 ) 2  ru k2 2 2 k 0

where the state is



x k  x 1k

x k2



 . Write scalar equations for a digital optimal controller. T

Penyelesaian: Diketahui sistem :

x k 1  Ax k  Bu k

10

dimana :

dan

1  cos nT   sin  nT      cos nT   n2    A ; B  n sin  nT        n sin  n T  cos nT    n

J

1 T  s1 xN 2  0

Oleh karena

Sk



s S a  sb

sb  sc 



  B T S k 1 B  R

0 1 1 T q1 x  x s 2  N 2 k 0 k  0

0 x  ru k2 q 2  k

simetri untuk setiap k, maka misalkan :

1  cos nT    1  cos nT  sin  nT   s a s b    n2    r     n   s b s c   sin  nT    n2    n  1  cos nT s a sin  nT s b   1  cos nT s b sin  nT s c  1  cos nT     2  n n  n2      2 n n maka:

K k  k1





k 2   B T S k 1 A / 

 1  1  cos nT       n2 

sin  nT    s a   n   s b

  sin  nT   r

sin  nT    sb   cos nT   n     sc     n sin  nT  cos nT  

1   1  cos nT s a sin  nT s b      n  n2

  1  cos nT s b sin  nT s c  cos nT       n  n2  

   n sin  nT     

  1  cos nT s a sin  nT sb    n  n2 1  k2    n  

  sin  nT    1  cos nT s b sin  nT s c     n  n2 

     cos nT      

k1 

Matriks plant closed-loop adalah:

11

1  cos nT k1   cos nT    n2 Akcl  A  BK k     sin  T   sin  nT k1 n  n n

Misalkan

 a11cl A   cl a 21 cl k

sin  nT  1  cos nT k 2    n  n2  sin  nT k 2  cos nT    n

a12cl  , maka diperoleh persamaan-persamaan skalar: cl  a 22 

a11cl  cos nT  

1  cos nT k1 ;  n2

cl a 21   n sin  nT  

sin  nT k1 ; n

a12cl 

sin  nT  1  cos nT k 2  ; n  n2

cl a 22  cos nT  

sin  nT k 2 n

Selanjutnya,

s S k  AT S k 1 Akcl  Q   a  sb

sb  s c 

sehingga diperoleh : cl s a  cos nT s a   n sin  nT s b a11cl  cos nT s b   n sin  nT s c a 21  q1 cl sb  cos nT s a   n sin  nT s b a12cl  cos nT s b   n sin  nT s c a 22

 sin  nT s a   sin  nT sb  cl    cos nT sb a11cl    cos n T s c a 21 n n      sin  nT s a   sin  nT s b  cl s c    cos nT s b a12cl    cos nT s c a 22  q2 n n     Optimal kontrol diberikan oleh persamaan :

u k   K k xk c.

Write a MATLAB subroutine to simulate the plant dynamics, and use the time response program lsim.m to obtain zero-input state trajectories.

d.

Write a MATLAB subroutine to compute, store the optimal control gains, and to update the control

uk

given the current

state . Write a MATLAB driver program to obtain tim response plots for the optimal controller.

Penyelesaian:

% Program Digital Control of Harmonic Oscillator T = 0:.05:5; U = zeros(1,101); A=[0 1;w^2 0]; b = [0;1] ; c= eye(2); d= zeros(2,1); ic = [10 10];

12

lsim(A,b,c,dU,T,ic); axis( [0 5 0 60] );

Function u=m(A_d,b_d,q,r,s,N,T,x0,C,S) % Iterasi untuk Cost Kernl dan Feedback Gains For k=N:-:1 C=cos(w*T); S= sin(w*T); w2=w^2; Div=r + (((1-C1*s(1))/w2 + S*s(2)/w)*(1-C)/w2) + ((1-C1*s(2))/w2 + S*s(3)/w)*S/w)) ;

% Feedback Gains K(k,1) = (((1-C1*s(1))/w2 + S*s(2)/w)*C - ((1-C1*s(2))/w2 + S*s(3)/w)*w*S)/div; K(k,2) = (((1-C1*s(1))/w2 + S*s(2)/w)*S/w) +((1-C1*s(2))/w2 + S*s(3)/w)*C)/div;

% Closed loop Plant Matrix Acl(1,1) = C-(1-C*K(k,1)/w2); Acl(1,2) = S/w-(1-C*K(k,2)/w2); Acl(2,1) = -w*S-(S*K(k,1))/w; Acl(2,2) = C-(S*K(k,2))/w;

% Cost Kernel Update s(3) = (S*s(1)/w + C*s(2))*Acl(1,2)+ (S*s(2)/w+C*s(3))*Acl(2,2)+q(2); temp=s(2); s(2) = (C*s(1)-w*S*temp)*Acl(1,2) + (C*temp-w*S*s(3))*Acl(2,2); s(1) = (C*s(1)-w*S*temp)*Acl(1,1) + (C*temp-w*S*s(3))*Acl(2,1)+q(1);

% Optimal Control x(:,1)=x0 for k=1:N % Menghitung Optimal Control U(k) = -K(k,:)*x(:, k); % Plant State x(:, k+1) = A_d* x(:, k) + b_d*u(k); end

13

2.4-1

Steady-State Behavior. In this problem we consider a rather unrealistic discrete system because it is simple enough to allow an analytic treatment. Thus, let the plant

0 1  0  x k 1   x k   u k  0 0  1

…(3.1)

have performance index of

J0 

1 T 1 N 1   q1 x N x N    x kT  2 2 k 0  q 2

Find the optimal steady-state (i.e., N

a.

steady-state gain

K 

 q2  2  x  ru k k  q3  

  ) Riccatti solution

...(3.2)

S and show that it is positive definite. Find the optimal

and determine when it is nonzero.

Penyelesaian: 

Diketahui plant :

0 1  A ; 0 0 

dengan 

Jika

N 

J

dengan 

x k 1  Ax k  Bu k ,

maka

0  B  1 

x  0 , sehingga index performansi dapat dimodifikasi menjadi:





1  T x k Qx k  ru k2  2 k 0

q Q 1 q 2

q2  q3 

Persamaan Riccatti :







1



S k  AT S k 1  S k 1 B BT S k 1 B  R BT S k 1 A  Q Oleh karena

Misalkan

N   dan misalkan S k

s S 1 s2



s2  , maka : s 3 





1

konvergen, maka

S  S k  S k 1 .



S  AT S  SB BT SB  R BT S A  Q

14

0 0  s1 S   1 0  s 2 0 0  s1    1 0  s 2 0 0  s1    1 0  s 2

s2  s2  s 1   r  s 3  0 1 1  s 3   s3  s2

  0 0  s1    1 0  s 2 

 s2 2 s 2   r  s3  s 3   s 2 s 3   r  s3

 q1  q 2 

 q1 S  q 2 

Karena

s 2   s 2  s    0 1 1  s 3   s3  s 2

 s 2  0   r     s3  1 

 s 2  0   r     s 3  1 

1

 s  q1  s1  2  r  s 3 

s S 1 s2

s2  , berarti : s 3 

0 1

s 0 1 1 s2

s 2 s3    r  s 3  0 1  q1   2 s 3  0 0 q 2  r  s 3  

 

1

s1 s2

s 2  0 1  q1   s3  0 0 q 2 

s 2  0 1  q1   s3  0 0 q 2 

s 2  0 1  q1   s 3  0 0 q 2

2  s s  s2 s1  s2  2 3   0  r  s3 r  s 3  0 1   q1  2  0  s 2 s3 s 3  0 0 q 2 s3  s 2   r  s3 r  s3   q2  2  s q1  s1  2  r  s 3 

0  1

Jadi,

s 2  0   s  0 1 1     s 3  1 s2

s 2   s1  s 3   s 2

q2  q 3 

q2  q 3 

q2  q3 

q2  q3 

q2  q 3 

q2

2

…(3.3)

s1  q1 s2  q2 2

s3  q1  s1 

s2 2  s3 r  s 3   2q1 r  s3   q 2 r  s3  s3  r  2q1 s3  q 2  2q1r  0 2

 s3   s3 

2

2q1  r   r  2q1 2  4q 2 2  2q1r  2

2q1  r  





r 2  4 q1  q 2  4q1 r 2

2

2

15

Oleh karena: 

r0



Q adalah matriks definit positif, berarti

Dengan demikian,



det( S )  q1  q 2 2

2



q1  0 , dan det(Q)  q1  q 2





2

2

 0.



r 2  4 q1  q 2  4q1 r qr  1  0 2 2 2

2

Jadi S adalah matriks definit positif.





K   K k  B T SB  R



1

B T SA

 1   s1  0 1 s 2  r  s3    0  Berarti

b.

s 2  0 1  s 3  0 0

s2   r  s3 

K   0

jika

s2  0 , yaitu jika s 2  0 . r  s3

Find the optimal steady-state closed-loop plant and demonstrate its stability. Penyelesaian: Misal

Acl

adalah steady-state closed loop plant matrix, maka:

0 1  0   A  A  BK       0 0 0 1    

cl 

x k 1

c.

0 s 2  0 1      r  s 3  0 0 0 

0  0 1  s2    s  0  2    r  s3   r  s3 

1  0   A  BK x k  0  s 2  x k  r  s 3  



 



Now the suboptimal constant feedback

u k   K  x k is applied to the plant. Find scalar updates for the components of the suboptimal cost kernel steady-state cost kernel

S

and demonstrate that

S k . Find the suboptimal

S  = S  .

16

Penyelesaian: 

Misalkan :

K k  k1

k2 ,

maka matriks plant closed-loop adalah:

0 1   0  Akcl  A  BK k      k1 0 0  1 

Misalkan

A

cl k

 a 11cl   cl  a 21

a 12cl  cl  a 22 

a11cl  0;

a12cl  1;

cl a 21   k1

cl a 22  k 2

0 1   0 k2     0 0 k1

0  0  k 2   k1

1   k 2 

, maka diperoleh persamaan-persamaan skalar:

Updated cost kernel adalah:

Sk  AT SAkcl  Q 0 0 0   s1 s2   a11cl a12cl   q1 q2       cl  cl     cl cl  1 0   s2 s3   a21 a22   q2 q2   s1a11  s2 a21 q1 q2    cl cl cl cl   q2  s1a11  s2 a21 q1  s1a12  s2 a22  q1   cl cl  q2  q1a11  s2 a21 

Misalkan

S

  q1  s a  s a   q2 0

cl 1 12

cl 2 22

q2  q1 

 q1  q a  s a  q2

cl 1 12

cl 2 22

adalah sub-optimal steady state cost kernel maka :

S  AT SAcl  Q 0 0   s1    1 0   s2

Dari persamaan (3.3),

Berati

0 1  0  0 s2   q q   q 1 2   2     1 s s   2 2   q q2  0 s1  s3   0   q2  r  s3   2  r  s3  q2  q1  2    s S  q 2 q1  s1  2  r  s 3  

 q1 q2    q2   q2 

  s q1  s1  2  r  s3  q2

2

S   S 

17