MASALAH KONTROL OPTIMUM INFEKSI WORM KOMPUTER
SEVIRA ROSANA
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Masalah Kontrol Optimum Infeksi Worm Komputer adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Juli 2014 Sevira Rosana NIM G54090026
ABSTRAK SEVIRA ROSANA. Masalah Kontrol Optimum Infeksi Worm Komputer. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan ALI KUSNANTO. Worm adalah sebuah program yang menyalin dirinya sendiri dan menyebarkan sepenuhnya sendiri ke mesin lain. Konsep program worm yang menyebar sendiri dari mesin ke mesin lain dikenalkan oleh John Brunner di tahun 1975 pada karya fiksi ilmiahnya yang berjudul The Shockwave Rider. Worm telah menjadi ancaman yang mematikan di internet sehingga beberapa peneliti menggunakan sebuah model epidemik untuk mempelajari penyebaran worm pada jaringan komputer. Pada karya ilmiah ini, dinamika penyebaran worm dirumuskan dalam bentuk model Susceptible Infectious Susceptible (SIS). Masalah meminimumkan biaya perawatan dirumuskan dengan model kontrol optimum dan diselesaikan dengan menggunakan prinsip minimum Pontryagin. Hasil simulasi numerik menunjukkan pengaruh dari perubahan laju infeksi dan laju perawatan terhadap upaya meminimumkan biaya perawatan. Kata kunci: worm, model epidemik, SIS, masalah kontrol optimum, prinsip minimum Pontryagin.
ABSTRACT SEVIRA ROSANA. Optimal Control Model of Computer Worm Infection. Supervised by TONI BAKHTIAR and ALI KUSNANTO. Worm is a program which duplicates and fully spreads itself to other machines. The concepts of worm which spreads itself from one machine to another was firstly introduced by John Brunner in 1975 at his science fiction book entitled The Shockwave Rider. Worm has become a deadly threat on the intenet so that some researchers using the epidemic model to study the worm spreading in computer network. In this work, the dynamic of worm transmission is formulated as a Susceptible Infectious Susceptible (SIS) model. While, the problem of the treatment cost minimization is formulated by optimal control framework and solved by Pontryagin minimum principle. The result of the numerical simulation shows the effects of the change in the rate of infection and the rate of treatment on the cost minimization effort. Keywords: worm, epidemic model, SIS, optimal control problem, Pontryagin minimum principle.
MASALAH KONTROL OPTIMUM INFEKSI WORM KOMPUTER
SEVIRA ROSANA
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
Judul Skripsi : Masalah Kontrol Optimum Infeksi Worm Komputer Nama : Sevira Rosana NIM : G54090026
Disetujui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian ini adalah Kontrol Optimum dengan judul “Masalah Kontrol Optimum Infeksi Worm Komputer”. Penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada Dr. Toni Bakhtiar, MSc selaku pembimbing akademik dan pembimbing skripsi atas segala ilmu, nasihat serta bimbingannya. Dan juga kepada Drs. Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing skripsi kedua atas ilmu dan sarannya, serta kepada Dr. Paian Sianturi selaku penguji atas ilmu dan nasihatnya. Kepada dosen-dosen Departemen Matematika untuk ilmu yang kelak menjadi bekal bagi penulis untuk dapat mengabdi pada negerinya. Serta para staf Departemen Matematika atas segala bantuannya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Penulis juga mendedikasikan terima kasih tertinggi untuk kedua orang tua yang tak pernah lelah atas kesabarannya memberikan kasih sayang dan semangat yang tak pernah henti. Dan untuk adikku atas segala perhatiannya. Keluarga besar Soemarno KS dan Keluarga besar (Alm) H. Mathohir atas cintanya yang terus memotivasi penulis untuk dapat menyelesaikan pendidikan ini. Sahabat-sahabat yang tak pernah putus memberikan semangat dan doa terbaiknya bagi penulis Salis, Oci, Puti, Sifa, Sarah, Syarifah, Yuli, Donna dan Galuh. Teman satu bimbingan Meda, Sonia, dan Syahrul. Matematika 46 yang selalu setia dengan semangatnya Windi, Anne, Dita, Widia, Desyi, Ermi, Risa, Fitri, Nisa, Randita, Nia, Danty, Elysa dan semua yang tidak dapat dituliskan satu per satu. Kakak Matematika 45, adik-adik Matematika 47 serta Keluarga Wisma Aulia atas kekeluargannya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2014 Sevira Rosana
DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Masalah Kontrol Optimum
2
Prinsip Minimum Pontryagin
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
3
Model Infeksi SIS
3
Masalah Kontrol Optimum
5
KESIMPULAN
9
DAFTAR PUSTAKA
10
LAMPIRAN
13
RIWAYAT HIDUP
17
DAFTAR GAMBAR 1 2 3 4 5 6
Diagram model infeksi SIS tanpa perawatan Diagram model infeksi SIS dengan perawatan Grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu Grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu Grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan perubahan nilai laju perawatan terhadap waktu Grafik banyaknya komputer yang mendapatkan perawatan berdasarkan perubahan nilai laju perawatan (λ) terhadap waktu
4 5 7 8 9 9
DAFTAR LAMPIRAN 1 Pembuktian prinsip minimum Pontryagin 2 Pembuktian solusi banyaknya komputer yang terinfeksi worm pada waktu t 3 Syntax grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu dengan menggunakan Mathematica 9.0 4 Syntax grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu dengan menggunakan Mathematica 9.0 5 Syntax grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan perubahan nilai laju penyembuhan (λ) terhadap waktu dengan menggunakan Mathematica 9.0 6 Syntax grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan perubahan nilai laju penyembuhan (λ) terhadap waktu dengan menggunakan Mathematica 9.0
11 12
13
14
15
16
PENDAHULUAN
Latar Belakang Virus komputer pertama kali tercipta bersamaan dengan komputer pada tahun 1949 oleh seorang pencipta komputer, John von Newman, yang menciptakan Electronic Discrete Variable Automatic Computer (EDVAC). Istilah virus komputer tak asing lagi bagi kalangan pengguna komputer saat ini. Virus yang terdapat pada komputer adalah program biasa, sebagaimana layaknya program-program lain (Pramuji 2010). Virus komputer merupakan program replikasi diri yang menyebar dengan menyisipkan salinan dirinya ke kode lain yang tereksekusi, dalam hal ini biasanya menyerang dokumen. Virus komputer berperilaku sama seperti virus biologis atau virus penyakit yang menyebar dengan memasukkan sendiri ke dalam sel hidup untuk memperluas analogi. Penyisipan virus ke dalam program disebut infeksi dan file yang terinfeksi disebut sebagai inang (Fosnock 2005). Worm adalah sebuah program yang menyalin dirinya sendiri dan menyebarkan sepenuhnya sendiri ke mesin lain. Kata worm berasal dari kata tapeworm atau cacing pita, yaitu organisme parasit yang hidup dalam sel inang dan menguras sumber daya inang agar dapat bertahan hidup. Konsep program worm yang menyebar sendiri dari mesin ke mesin lain pertama kali dikenalkan oleh John Brunner di tahun 1975 pada fiksi ilmiahnya yang berjudul The Shockwave Rider. Dia menyebut program ini sebagai tapeworm yang hidup dalam komputer dan menyebarkan ke komputer lain (Spafford 1988). Worm telah menjadi ancaman yang mematikan di internet, walaupun sebagian besar kasus yang terjadi secara spesifik adalah pada sistem berbasis Windows. Beberapa jenis worm terbaru memanfaatkan electronics mail (e-mail) sebagai medium penyebarannya. Perbedaan mendasar antara worm dan virus terletak pada bagaimana mereka membutuhkan campur tangan pengguna untuk melakukan penggandaan diri dan menyebar menginfeksi sistem komputer. Virus lebih lambat dalam melakukan penyebaran jika dibandingkan dengan worm. Namun virus mempunyai kemampuan lebih untuk menghindari deteksi program antivirus yang berusaha mengidentifikasi dan mengontrol penyebaran virus pada sistem komputer bahkan pada praktek penyebarannya sebuah virus dapat menjadi sebuah worm (Pramuji 2010). Beberapa peneliti menggunakan model epidemik untuk mempelajari penyebaran worm pada komputer. Di antaranya C. Wang, J.C. Knight dan M.C Elder pada tahun 2000 serta C.C. Zou, W. Gong, D. Towsley, J. Kim, S. Radhakrishnan dan S.K. Dhall di tahun 2002 (Kim et al. 2006). Model epidemik yang digunakan adalah Susceptible Infectious Susceptible (SIS). Pada karya ilmiah ini akan dibahas model yang berupa masalah kontrol optimum dengan satu variabel keadaan (banyaknya komputer yang terinfeksi worm), satu variabel kontrol (banyaknya komputer terinfeksi worm yang mendapat perawatan), dan fungsional objektif yaitu meminimumkan banyaknya komputer yang terinfeksi dan biaya perawatan komputer.
2 Tujuan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah: 1 Mempelajari dinamika penyebaran dan pengendalian infeksi worm pada komputer berdasarkan model epidemik SIS dengan atau tanpa perawatan, 2 menentukan fungsi perawatan yang meminimumkan biaya perawatan.
TINJAUAN PUSTAKA Masalah Kontrol Optimum Masalah kontrol optimum adalah memilih peubah kontrol di antara semua peubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari keadaan awal pada waktu ke keadaan terminal atau akhir pada waktu , sehingga memberikan nilai maksimum atau minimum bagi fungsional objektif. Persamaan diferensial dari sistem dinamika dinyatakan sebagai (1) ̇ Misalkan diketahui keadaan sistem pada waktu yaitu . Jika dipilih peubah kontrol yang terdefinisi pada . Karena diberikan, maka persamaan (1) mempunyai solusi tunggal. Solusi yang diperoleh merupakan respons terhadap yang dilambangkan dengan . Dengan memilih fungsi kontrol yang berbeda. Agar diperoleh solusi yang diinginkan, diperlukan adanya kriteria tertentu. Artinya, untuk setiap dan keadaan akhir dihubungkan dengan fungsi kontrol (2) ∫ dengan fungsi yang diberikan, tidak harus ditentukan, dan memunyai kondisi tertentu. Di antara semua fungsi atau peubah kontrol yang diperoleh, ditentukan salah satu sehingga menjadi maksimum atau minimum. Kontrol bersifat demikian disebut kontrol optimum. Permasalahan kontrol optimum dapat dinyatakan sebagai masalah meminimumkan suatu fungsional (2) terhadap kendala (1). Prinsip Minimum Pontryagin Syarat perlu tercapainya kondisi optimum dalam masalah kontrol optimum adalah terpenuhinya prinsip minimum Pontryagin. Misalkan terdapat masalah dalam memilih suatu vektor kontrol dari himpunan semua fungsi kontinu bagian demi bagian, nilai dari fungsi-fungsi tersebut dibawa ke sistem dinamik ̇
3 dari keadaan awal ke keadaan akhir sebuah maksimum atau minimum ke suatu fungsi objektif [
]
yang memberikan
∫
dengan merupakan vektor keadaan dan merupakan vektor kontrol di mana keduanya merupakan vektor yang tak terbatasi. [ ] didefinisikan sebagai fungsi Scrap, sebagai fungsi skalar serta sebagai fungsi vektor. Teorema (Prinsip Minimum Pontryagin) Misalkan sebagai vektor kontrol admissible yang membawa keadaan awal ke keadaan akhir dengan dan secara umum tidak ditentukan. Syarat perlu agar menjadi solusi optimum adalah terdapat vektor sedemikian rupa sehingga: 1. dan merupakan solusi dari sistem kanonik: ̇ di mana ∑
∑
fungsi Hamiltonian biasa dengan . 2. . 3. Semua syarat batas terpenuhi. Pembuktian dapat dilihat pada Lampiran 1. (Tu 1993)
HASIL DAN PEMBAHASAN Model Infeksi SIS Dalam karya ilmiah ini akan dibahas model infeksi SIS. Terdapat dua kelas pada model SIS, yaitu: 1 Kelas rentan (suspect), yaitu kelas yang berisi komputer yang rentan terhadap worm. Banyaknya komputer yang rentan terhadap worm pada , saat dinotasikan dengan 2 kelas terinfeksi (infectious), yaitu kelas yang berisi komputer yang terinfeksi worm. Banyaknya komputer yang terinfeksi worm pada saat dinotasikan dengan .
4 Infeksi tanpa perawatan
𝛿 𝛽
S
I
Gambar 1 Diagram model infeksi SIS tanpa perawatan
Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa komputer yang rentan menjadi terinfeksi pada tingkat tertentu dan di waktu yang sama komputer yang terinfeksi disembuhkan dan terinfeksi kembali. Pada model ini, komputer yang sedang disembuhkan dan yang terinfeksi tidak memiliki kekebalan. Misalkan merupakan banyaknya populasi komputer. Dengan merupakan laju infeksi worm (waktu) sedangkan laju . Pada model ini penyembuhan komputer yang terinfeksi worm (waktu). Jika dituliskan pada bentuk persamaan diferensial, maka (3) (4) Jika
maka persamaan (4) menjadi (
)
(5)
Menggunakan metode fraksi parsial, banyaknya komputer yang terinfeksi worm pada waktu didapatkan (6)
dengan adalah banyaknya komputer yang terinfeksi worm di waktu awal. Pembuktian dapat dilihat pada Lampiran 2. Untuk waktu yang menuju takhingga , banyaknya komputer yang terinfeksi dituliskan (7)
5
Infeksi dengan perawatan
𝛿 𝛽
S
I
𝜆
U Gambar 2 Diagram model infeksi SIS dengan perawatan
Perbedaan antara model SIS dengan atau tanpa perawatan adalah pada model ini komputer yang terinfeksi mendapatkan tindakan perawatan yang lajunya dilambangkan dengan (waktu), sehingga diperoleh model (8) ( ) (
)
(9)
dengan merupakan variabel kontrol, yaitu banyaknya komputer terinfeksi worm yang mendapat perawatan pada waktu . Karena maka persamaan (9) menjadi (
)
(
)
(10)
Masalah Kontrol Optimum Dalam karya ilmiah ini akan dibahas model masalah kontrol optimum dengan bahasan model fungsi objektif, fungsi kendala dan penyelesaian dengan menggunakan prinsip minimum Pontryagin. Fungsi Objektif Di dalam suatu populasi yang terjadi endemik penyakit terdapat suatu permasalahan, yaitu tingkat dari penyebaran penyakit tersebut. Penyebaran penyakit ini diakibatkan adanya kontak langsung dengan individu kelas yang terinfeksi (infectious) dan individu pada kelas rentan (suspect). Individu pada kelas rentan berperan besar terhadap penyebaran penyebaran penyakit di dalam suatu populasi sehingga diperlukan suatu cara untuk mengendalikannya agar meminimumkan jumlah populasi yang terinfeksi. Pada kasus ini komputer yang terinfeksi worm adalah variabel keadaan yang dapat dikontrol atau dikendalikan. Artinya ada variabel kontrol berupa tindakan perawatan terhadap komputer yang terinfeksi dapat mempengaruhi proses penyembuhan. Fungsi objektif yang digunakan adalah meminimumkan total biaya yang digunakan pada komputer yang terinfeksi dan biaya perawatan . merupakan konstanta yang diasumsikan bernilai tetap dan tidak tergantung terhadap waktu. Berbeda halnya
6 dengan yang nilainya berbeda-beda bergantung terhadap waktu. Dengan demikian masalah kontrol optimum pengendalian worm dituliskan sebagai min
∫ [
(
)]
(11)
Fungsi Kendala Dari hasil modifikasi model infeksi SIS dengan perawatan didapatkan fungsi kendala: ̇ (12) ( ) (13) dan e a Persamaan (12) dan (13) menyatakan banyaknya individu pada kelas yang terinfeksi dipengaruhi oleh laju dari infeksi worm sehingga semakin banyaknya individu yang terinfeksi maka laju penyembuhan serta perawatannya semakin ditingkatkan. Prinsip Minimum Pontryagin Dari persamaan (11) dan (12) diperoleh fungsi Hamilton yang didefinisikan (14) [ ] [ ] Syarat perlu berupa ̇ ̇
(15)
Dengan menerapkan prinsip minimum Pontryagin diperoleh syarat yang meminimumkan fungsi Hamilton, yaitu yang menghasilkan . merupakan biaya marjinal dari perawatan. Misalkan didefinisikan sehingga dengan merupakan biaya marjinal dari suatu unit komputer yang mendapat perawatan, maka didapatkan fungsi (16) Sedangkan untuk syarat yang kedua yaitu ̇
̇
̇
. Jika persamaan (16) disubtitusikan maka
̇
(
)
̇ ̇ ̇
.
(17)
̇ akan menghasilkan
Dan syarat yang terakhir, yaitu ̇
(18)
7 Dari persamaan (16), (17) dan (18) maka sistem optimum dari kontrol optimum dituliskan sebagai (19) ̇
(20) ̇
(21)
Simulasi Simulasi 1 Di bagian ini akan dilakukan simulasi pada banyaknya komputer yang terinfeksi worm untuk model infeksi SIS dengan atau tanpa perawatan serta banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan perubahan laju infeksi worm. Dengan memasukkan nilai parameter pada persamaan (20) dan (21), Gambar 3 menunjukkan nilai dari laju infeksi yang berubah, dengan nilai serta dengan nilai awal dan .
Keterangan: Tanpa perawatan: β = 0.04: Dengan perawatan: β = 0.01: β = 0.02:
β = 0.04:
0.7 0.6
It
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
5
10
15
20
waktu t
Gambar 3 Grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu
Gambar 3 menunjukkan banyaknya komputer yang terinfeksi worm. Garis titik-titik merah merupakan banyaknya komputer yang terinfeksi worm pada model SIS tanpa perawatan, yaitu memasukkan nilai parameter pada persamaan (6). Jika dilihat lebih teliti banyaknya komputer yang terinfeksi mengalami
8 kenaikan, hal ini berkesinambungan dengan sifat fungsi eksponensial yang akan cekung ke atas. Namun hal ini berbanding terbalik apabila komputer yang terinfeksi diberikan perawatan. Jika dibandingkan pada garis berwarna biru yaitu dengan nilai laju infeksi sebesar 0.04 didapat banyaknya komputer yang terinfeksi akan signifikan mengalami penurunan. Komputer yang terinfeksi worm akan terlihat semakin sedikit sesuai dengan laju infeksinya. Semakin kecil laju infeksi maka akan membuat semakin sedikit pula komputer yang terinfeksi. Perawatan dikatakan berhasil jika banyaknya komputer yang mendapat perawatan akan sedikit pada waktu awal. Hal ini terlihat pada garis berwarna hijau di Gambar 4. Jika laju infeksinya sedikit maka banyaknya komputer yang mendapat perawatan akan sedikit pula. Jika dibandingkan dengan Gambar 3, dengan bobot biaya sama didapatkan hasil yang berbeda. Keterangan: β = 0.01:
β = 0.02:
β = 0.04:
0.7 0.6 0.5
ut
0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0
5
10
15
20
waktu t
Gambar 4 Grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu
Simulasi 2 Pada simulasi selanjutnya, parameter yang diubah adalah laju perawatannya. Laju perawatan adalah keadaan yang terjadi pada saat suatu komputer dalam masa penyembuhan mendapatkan perlakuan lebih pada waktu tertentu. Nilai parameter yang digunakan adalah erta dengan nilai awal dan . Gambar 5 menunjukkan banyaknya komputer yang terinfeksi worm dengan perubahan nilai laju perawatannya. Sama seperti simulasi sebelumnya, pada gambar ini dibandingkan banyaknya komputer yang terinfeksi dengan menggunakan model SIS dengan atau tanpa perawatan. Untuk model SIS tanpa perawatan diperlihatkan oleh garis merah putus-putus. Karena nilai parameter yang dimasukkan sama dengan simulasi pertama maka garis merah putus-putus juga memperlihatkan bahwa banyaknya komputer yang terinfeksi akan cenderung meningkat tanpa adanya perawatan. Sedangkan untuk laju perawatan dengan nilai
9 paling besar akan terjadi penurunan yang signifikan untuk banyaknya komputer yang terinfeksi. Keterangan: Tanpa perawatan: = 0.1: Dengan perawatan: = 0.06: = 0.08:
= 0.1:
0.7 0.6
It
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
5
10
15
20
waktu t
Gambar 5 Grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan penurunan nilai laju perawatan terhadap waktu
Keterangan: = 0.06:
= 0.08:
= 0.1:
0.7 0.6 0.5
ut
0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0
5
10
15
20
waktu t
Gambar 6
Grafik banyaknya komputer yang mendapatkan perawatan berdasarkan perubahan nilai laju perawatan (λ) terhadap waktu
10 Gambar 6 menunjukkan banyaknya komputer yang mendapatkan perawatan untuk setiap perubahan laju perawatan. Untuk nilai laju perawatan yang semakin kecil maka banyaknya komputer yang mendapatkan perawatan di waktu awal jumlahnya semakin sedikit. Hal ini berbanding terbalik dengan banyaknya komputer yang terinfeksi.
KESIMPULAN Model Susceptible Infectious Suceptible (SIS) pada karya ilmiah ini menggambarkan masalah infeksi worm pada komputer, di mana dilakukan dua model infeksi, yaitu model infeksi tanpa perawatan dan model infeksi dengan perawatan. Pada model infeksi SIS tanpa perawatan didapatkan banyaknya komputer yang terinfeksi akan semakin banyak dari waktu ke waktu. Sedangkan jika dilakukan perawatan banyaknya komputer yang terinfeksi berbanding terbalik dengan sebelumnya, yaitu akan semakin menurun jika laju perawatannya dinaikkan. Jika dilihat banyaknya komputer yang mendapat perawatan, laju perawatan yang dinaikkan akan membuat jumlah komputer yang mendapat perawatan lebih sedikit, hal ini berbanding terbalik dengan penurunan dari laju perawatan yang akan membuat komputer yang terinfeksi worm meningkat. Jika laju penyembuhannya diperkecil akan membuat komputer yang mendapat perawatan semakin meningkat. Hal ini disebabkan karena laju infeksi worm lebih besar dibandingkan laju penyembuhannya.
DAFTAR PUSTAKA Fosnock C. 2005. Computer Worms: Past, Present, Future. East Carolina University. Kim J, Radhakrishnan S, Jang J. 2006. Cost Optimization in SIS Model of Worm Infection. ETRI Journal. 28(5): 692-695. doi: 10.4218/etrij.06.0206.0026. Pramuji T. 2010. Studi tentang Kombinasi Superworms vs Cryptovirologi. Orbith. 6(1): 86-89. Diunduh dari http://www.polines.ac.id/orbith/files/6-12010%20Hal%2089-96.pdf. Diakses April 2014. Spafford EH. 1988. The Internet Worm Program: An Analysis. West Lavayette: Purdue University. Diunduh dari http://spaf.cerias.purdue.edu/techreps/823.pdf. Diakses Oktober 2013. Tu PNV. 1993. Introductory Optimization Dynamics: Optimum Control with Economics and Management Applications. Berlin (DE): Springer-Verlag
11 Lampiran 1 Pembuktian prinsip minimum Pontryagin Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus (TDK) dapat ditulis: ∫ sehingga (
)
∫ (
(
)
∫ (
) ̇
)
Karena konstan maka tersebut dapat diabaikan dalam proses pengoptimuman, sehingga ∫ (
̇
)
Definisikan fungsional objektif imbuhan (augmented): ∫
̇
dengan (
̇
)
̇
̇
̇
̇
̇
Syarat perlu masalah kakulus variasi dengan ∫ (
dan
̇)
̇
tidak ditentukan adalah ̇
Terapkan pada ((
̇)
[
)
̇ ̇
] ̇
Dengan demikian syarat perlu optimalitasnya diberikan oleh: 1 (Persamaan Euler), ̇ 2 , 3 , 4 ̇ ̇ (syarat transversalitas). ̇ Perhatikan bahwa: ̇
(
̇ ̇ ̇
sehingga 1 2 3
̇ ̇
) ̇
̇
,
̇
, ̇
,
̇
12 4
Karena ̇
̇ Syarat transfersalitas
̇
̇ ̇
̇
̇ ̇
̇ menjadi
Terbukti ■ Lampiran 2 Pembuktian solusi banyaknya komputer yang terinfeksi worm pada waktu t Diketahui (5)
Dengan metode fraksial diperoleh (5.a)
(5.b) (5.c) Dengan mensubtitusikan persamaan (5.c) ke persamaaan (5.b) diperoleh nilai
sehingga persamaan (5.a) menjadi
Selanjutnya,
Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh ∫ Misalkan
sehingga
∫
∫
13 ∫
(
)
∫
∫
(
)
(5.d)
Untuk = 0 didapat (
)
sehingga persamaan (5.d) menjadi ( (
(
)
)
(
)
) (
)
(
) ( (
(
)
)
) [
]
.
(6)
Terbukti ■
Lampiran 3 Syntax grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu dengan menggunakan Mathematica 9.0
[
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] ]
[ ]
[ ]
14 [
[ [ ]
] ]
[
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [
[ ]
[ ]
[ ] ]
[ [ ]
[ ]
[
[ ] ]
] ]
[
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [
[ [ ]
[ ]
[ ]
[ ] ]
[ ]
[
[ ] ]
] ]
[
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [
[ [ ]
[ ]
[ ]
[ ] ]
]
[ ]
[
[ ] ]
] [
]
Lampiran 4 Syntax grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan perubahan nilai laju infeksi (β) terhadap waktu dengan menggunakan Mathematica 9.0
[
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [
[
[ ]
[ ]
[ ] ] [ ]
[ ]
[
[ ] ]
] ]
[
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [
[
[ ] ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
[
] ]
[ ] ]
15
[
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [
[ ] ]
[
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[
[ ] ]
] ]
[
]
Lampiran 5 Syntax grafik banyaknya komputer yang terinfeksi worm berdasarkan perubahan nilai laju penyembuhan ( ) terhadap waktu dengan menggunakan Mathematica 9.0
[ [
[ ] [ ] [ ] [ ] [ [ ] ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] ]
[ ]
[ ]
] [
[ ]
[ ] [ ]
[
[ ] ]
[ [ ]
[ ] [ ]
[
[ ] ]
] ]
[
[ ]
[ ] [ ]
[
[ ]
[ ]
[ ] ]
[ [ ]
[ ] [ ]
[
[ ] ]
] ]
[
[ ]
[ ] [ ]
[
[ [ ]
] ]
[
]
[ ] [ ] ]
[ ]
[ ] [ ]
[
[ ] ]
16 Lampiran 6 Syntax grafik banyaknya komputer yang mendapat perawatan berdasarkan perubahan nilai laju penyembuhan ( ) terhadap waktu dengan menggunakan Mathematica 9.0 [
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [
[ ]
[ ] ] [ ]
[
[ ] [ ]
[
[ ] ]
] ]
[
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [
[ ] ] [ ]
[
[ ]
[ ] [ ]
[
[ ] ]
] ]
[
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [
[
[ ] ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
] ]
[
]
[
[ ] ]
17
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada 6 September 1990. Penulis merupakan anak pertama dari dua bersaudara pasangan ayah Edi Rosadi dan ibu Titi Suprilani. Mempunyai seorang adik laki-laki yang bernama Muhammad Istiadi. Pada tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 104 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis diterima di Departemen Matematika IPB melalui jalur USMI. Selama menjadi mahasiswi penulis pernah mengikuti keorganisasian dan beberapa kepanitian. Di antaranya adalah Bendahara Dua Gumatika pada tahun 2010-2011 dan staf Badan Pengawas Gumatika tahun 2011-2012. Selain itu penulis juga pernah menjadi Scientist Guardian (SG) pada kepanitiaan Masa Perkenalan Fakultas MIPA untuk angkatan 47 dan 48, menjadi staf Tim Kreatif pada Matematika Angkatan 47 di tahun 2011 dan di tahun yang sama penulis juga berkesempatan menjadi staf Publikasi, Dokumentasi dan Dekorasi (PDD) pada acara Welcome Ceremony Matematika Ria. Menjadi beberapa Master of Ceremony di antaranya pada acara Seminar Dunia Kerja Departemen Forsmath Gumatika (2011), Integral Lipat 2 Welcome Ceremony Angkatan 48 (2012), dan Muslimah’ Creative Trainning Departemen Kemuslimahan Serum-G (2012). Pada semester genap tahun ajaran 2012-2013 menjadi asisten mata kuliah Proses Stokastik Dasar dan di semester ganjil tahun ajaran 2013-2014 penulis menjadi asisten mata kuliah Analisis Model Empirik.
