MASALAH KONTROL OPTIMUM HAMA SECARA HAYATI CHASTRO SEPTIADI SIMANGUNSONG

MASALAH KONTROL OPTIMUM HAMA SECARA HAYATI

CHASTRO SEPTIADI SIMANGUNSONG

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

ABSTRAK CHASTRO SEPTIADI SIMANGUNSONG. Masalah Kontrol Optimum Hama Secara Hayati. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan FARIDA HANUM. Hama merupakan spesies yang dapat menyebabkan kerugian pada hasil panen, serta mengganggu aktivitas petani. Upaya untuk mengurangi kerugian yang disebabkan oleh hama sangat diperlukan, salah satunya dengan melakukan pengendalian kimiawi menggunakan obat pembasmi hama atau melakukan pengendalian hayati dengan melibatkan musuh alami untuk melumpuhkan hama. Pada kasus ini, upaya untuk mengendalikan hama dirumuskan ke dalam model matematika, yakni suatu masalah kontrol optimum hama. Tujuan utama permasalahan ini adalah menentukan upaya pengendalian untuk mempertahankan kepadatan populasi hama pada level kesetimbangan di bawah tingkat kerugian ekonomi. Terdapat dua tahap untuk mengendalikan hama yaitu dengan menggabungkan pengendalian kimiawi dan hayati pada tahap pertama untuk mempercepat pengurangan jumlah hama, dan pada tahap kedua hanya dilakukan pengendalian hayati untuk mempertahankan level yang diinginkan. Untuk mengetahui upaya pengendalian tersebut maka ditinjau suatu model hama-predator yang melibatkan Anticarsia gemmatalis sebagai hama pada tanaman kacang kedelai dan Geocoris sp sebagai predator. Upaya pengendalian yang diperoleh menunjukkan bahwa level yang diinginkan untuk jumlah populasi hama sebesar 20 ulat/m2 dapat dicapai dan kemudian akan dipertahankan. Kata Kunci: kontrol optimum, pengendalian hama, prinsip minimum Pontryagin.

ABSTRACT CHASTRO SEPTIADI SIMANGUNSONG. Optimal Biological Pest Control Problems. Supervised by TONI BAKHTIAR and FARIDA HANUM. Pests are species that can attack crops and interfere farming activity. Effort to reduce the effect of pests is necessary. It can be accomplished either by chemical control through insecticides or by biological control using natural enemy intervention. In this work, pest control effort is formulated by a mathematical model, i.e., an optimal pest control problem. The primary objective of this work is to determine control strategies which maintain the density of the pest population in the equilibrium level below economic losses. Two-step control strategy is proposed by using the combination of chemical and biological controls; in the first step to speed-up pest reduction, and solely by using the biological control in the second step to maintain the admissible level. The control strategy is then applied to a predator-prey model which involves Anticarsia gemmatalis as a pest to soybean and Geocoris sp. as a natural enemy. It shows that the admissible level of 20 pest/m2 can be attained and maintained subsequently. Keywords: optimal control, pest control, Pontryagin minimum principle.

MASALAH KONTROL OPTIMUM HAMA SECARA HAYATI

CHASTRO SEPTIADI SIMANGUNSONG

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013

Judul Nama NIM

: Masalah Kontrol Optimum Hama Secara Hayati : Chastro Septiadi Simangunsong : G54080061

Menyetujui,

Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. NIP. 19720627 199702 1 002

Dra. Farida Hanum, M.Si. NIP. 19651019 199103 2 002

Dra. Farida Hanum, M.Si. NIP 19651019 199103 2 002

Donny Citra Lesmana, S.Si., M.Fin.Math. NIP 19790227 200501 1 001

Mengetahui: Ketua Departemen

Dr. Berlian Setiawaty, M.S. NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus :

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala berkat, kasih, kekuatan, serta anugerah-Nya yang tak pernah berhenti sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluargaku tercinta, mamaku Rosjelita Gultom dan bapaku Zainal Abidin Simangunsong atas segala doa, kasih sayang, motivasi, pengorbanan, dan nasihat yang senantiasa mengiringi perjalanan penulis selama ini, kakakku Lestrida Gusniati dan adikku Devi Lusiana atas doa, kasih sayang dan dukungannya, 2. Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. dan Ibu Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing atas segala kesabaran, ilmu dan masukannya selama membimbing penulis, Bapak Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen penguji, dan seluruh dosen Departemen Matematika FMIPA IPB, 3. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Mas Heri, Mas Deni, Bu Ade, Bu Susi dan lainnya (terima kasih atas bantuan dan motivasinya), 4. Teman-teman satu bimbingan: Vivi, Wulan, dan Nurhadi atas dukungan, bantuan dan kerjasamanya selama ini, 5. Sahabat-sahabat: Ratna, Lya, Nita, Vonika, Ceant, Gio, Togar, Andreas, Tino, Rocky, Willy, Rido, Amudi, Bolas, Christian, Exas, Jeff, Gunawan, Irwan, Ridwan, Ijun, Khafidz, Beni, Herlan, Dono, Hendri, Fuka, Aci, Mega atas dukungan, suka-duka, nasihat, bantuan dan semangat selama ini, 6. Teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 45: Ari, Haryanto, Arbi, Bolo, Wahidi, Wulan, Gita, Fenny, Isna, Santi, Yunda, Putri, Fitriyah, Prama, Dimas, Erik, Ryan, Irma, Maya, Wijay, Edi, Fikri, Vikri, Tiwi, Ade, Fina, Ito, Rianiko, Aisyah, Heru, Ana, Risman, Nurhadi, Nova, Rahma, Dewi, Mya, Dini, Dina, Agustina, Anggun, Rini, Haya, Bramanto, Anissa, Rischa, Nurul, Kunedi atas segenap dukungan, suka-duka dan kebahagiaan selama penulis menempuh studi di Departemen Matematika IPB, 7. Kakak-kakak mahasiswa Matematika: Andrew, Kabil, Sabar, Mora, Faisal, Ali, Tendi, Aswin, Della, Ima, Pandi, Ruhiyat, Aze, Yuyun, Wewe, Denda, Dandi, Fajar, Agung, Cumi, Rofi, Aqil, Slamet, Adi, Apri, Pepi, Elly, Alfred, Ucok, Copi, Toper, Ririh, Imam, Abe, Devina, Selvi, Mutya, Rachma, Lukman, Tyas, Vianey atas segenap nasihat dan dukungan selama ini, 8. Adik-adik mahasiswa matematika: Dian, Bari, Andri, Ivonne, Danti, Fachri, Rudi, Desyi, Ipul, Amel, Reni, Chou, Rohmat, Jodi, Aditya, Adam, Didi, Karin, Kiki, Lola, Dayat, Widia, Sevira, Reni, Dio, Syahrul, Qowi, Dita atas dukungan dan bantuan selama ini, 9. Kakak-kakak mahasiswa Matematika angkatan 43 dan 44 yang tidak bisa disebutkan satu per satu, adik-adik mahasiswa Matematika angkatan 46 dan 47, dan seluruh pengajar, pegawai, dan staf Departemen Matematika IPB, 10. Pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat disebutkan satu per satu, Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat.

Bogor, Mei 2013

Chastro Septiadi Simangunsong

RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Bekasi pada tanggal 21 September 1990 sebagai anak kedua dari tiga bersaudara, anak dari pasangan Zainal Abidin Simangunsong dan Rosjelita Gultom. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD) pada tahun 2002 di SDN Kayuringin Jaya XXI Bekasi Selatan, dilanjutkan pendidikan menengah pertama (SMP) diselesaikan pada tahun 2005 di SMPN 7 Bekasi dan pendidikan lanjutan menengah atas (SMA) diselesaikan pada tahun 2008 di SMAN 3 Bekasi. Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor pada tahun 2008 melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Program Studi Matematika, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah mengikuti beberapa kegiatan kemahasiswaan di antaranya organisasi Unit Kegiatan Kampus (UKM) Sepak Bola IPB tahun 2008-2010, Persekutuan Mahasiswa Kristen (PMK) IPB tahun 2008-2011, Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) IPB tahun 2009-2010 dan Futsal IPB tahun 2009-2012. Penulis juga aktif pada beberapa kepanitiaan yaitu menjadi panitia Pesta Sains, Natal Civitas Akademika IPB, Festival Musik PMK IPB dan Masa Perkenalan Departemen (MPD).

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................ viii DAFTAR LAMPIRAN............................................................................................................. viii

I

PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang............................................................................................................... 1 1.2 Tujuan ........................................................................................................................... 1

II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial........................................................................................ 2 2.2 Kontrol Optimum .......................................................................................................... 2 2.3 Prinsip Minimum Pontryagin......................................................................................... 2 III MODEL HAMA-PREDATOR............................................................................................... 3 IV PEMBAHASAN 4.1 Sistem yang Dikendalikan dengan Kontrol .................................................................... 4 4.2 Masalah Kontrol Optimum ............................................................................................ 4 V

STUDI KASUS 5.1 Kontrol Optimum Hama untuk Tanaman Kacang Kedelai .............................................. 6 5.2 Pengendalian Hama dengan Memanfaatkan Musuh Alami ............................................. 8

VI SIMPULAN ....................................................................................................................... 10 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................ 11 LAMPIRAN .............................................................................................................................. 12

vii

DAFTAR GAMBAR Halaman

1 2 3 4 5

Kestabilan sistem hama-predator pada kasus kacang kedelai........................................... 7 Dinamika populasi hama pada waktu t ...................................................................... 7 Fungsi kontrol untuk kondisi awal 𝑥1 0 = 32 dan 𝑥2 0 = 16 ...................................... 7 Fungsi kontrol 𝑢∗ untuk kondisi awal 𝑥1 0 = 20,219 dan 𝑥2 0 = 12,161 ...................... 9 Variasi populasi hama dan predator dengan fungsi kontrol 𝑢∗ ....................................... 10

DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Bukti Teorema 1 (Prinsip Minimum Pontryagin) ....................................................... 13 Penurunan persamaan (4.11)................................................................................. 14 Penurunan persamaan (4.18) dan (4.19). .................................................................. 15 Penurunan persamaan (4.30) dan (4.31) ................................................................... 15 Penurunan persamaan (5.3) dan (5.4) ...................................................................... 16 Penurunan persamaan (5.5) dan (5.6) ...................................................................... 16 Program Maple 13 untuk Gambar 1 ........................................................................ 17 Penentuan solusi khusus untuk variabel 𝑥1∗ (𝑡) dan 𝑥2∗ (𝑡).............................................. 17 Program Mathematica untuk Gambar 2. .................................................................. 18 Program Mathematica untuk Gambar 3 ................................................................... 18 Pelinearan sistem (5.18) dan (5.19) ........................................................................ 18 Penurunan persamaan aljabar Riccati. ..................................................................... 19 Penentuan matriks P dengan menggunakan LQR pada software MATLAB ...................... 20 Penurunan persamaan (5.32) dan (5.33) ................................................................... 21 Program Mathematica untuk Gambar 4. .................................................................. 22 Program Mathematica untuk Gambar 5 ................................................................... 22

viii

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Hama merupakan salah satu spesies yang dapat mengganggu aktivitas manusia, khususnya para petani. Hama juga dapat menyebabkan kerugian dan kerusakan pada hasil panen, serta mengganggu aktivitas hewan lainnya. Banyak metode kontrol hama dalam bidang pertanian yang dapat digunakan untuk mengendalikan hama. Kecekatan petani dalam melakukan kontrol hama dengan menggunakan pembasmi hama sangat diperlukan, karena jika penggunaan pembasmi hama tidak benar akan menimbulkan kerugian. Beberapa kerugian yang disebabkan karena penggunaan pembasmi hama ialah: a) kurang efisien dikarenakan terdapat hama yang kebal terhadap pembasmi hama tertentu; b) berkurangnya populasi serangga yang menguntungkan; c) berkurangnya spesies predator yang dapat mengendalikan hama; d) gangguan pada hasil panen; e) bahaya ekologi; f) berdampak buruk pada ekosistem pertanian; g) tingginya bahaya keracunan pada manusia yang dapat menyebabkan kematian. Pengendalian hayati (biological control) merupakan metode pengendalian hama oleh manusia yang melibatkan musuh alami untuk mengurangi jumlah hama sampai pada batas tertentu. Musuh alami adalah organisme yang ditemukan di alam yang dapat membunuh, melemahkan, dan mengurangi fase reproduktif, sehingga dapat mengakibatkan kematian pada hama. Pengendalian hayati dapat diartikan sebagai pengendalian populasi hama dengan menambahkan sejumlah predator atau musuh alami ke dalam suatu ekosistem (Bosch et al. 1982) . Dalam bidang ekologi, jika jumlah hama berlebih dan menyebabkan kerugian ekonomi, maka perlu dilakukan upaya pengurangan jumlah hama sampai pada level kesetimbangan sehingga dapat menurunkan tingkat kerugian ekonomi. Terdapat empat pendekatan utama untuk melakukan pengendalian hayati yaitu: 1) pendekatan klasik atau yang sering disebut pendekatan importasi: pendekatan ini dilakukan untuk jenis hama yang hanya bisa dikendalikan dengan predator tertentu; 2) pendekatan augmentasi: pendekatan yang dilakukan pada situasi ketika jumlah predator tidak cukup optimal untuk mengendalikan hama dalam jumlah besar; 3) manipulasi genetik: pendekatan

ini dilakukan untuk meningkatkan resistensi musuh alami terhadap lingkungan; 4) pendekatan konservasi: pendekatan ini dilakukan untuk melindungi, memelihara, dan meningkatkan efektivitas populasi musuh alami dalam suatu habitat (Bin-Yahya 2012). Diperlukan pemahaman yang lebih pada permasalahan dinamika populasi hama dan predator agar upaya pengendalian hayati dapat berhasil. Contoh keberhasilan yang diterapkan dari daerah Mediterranean di Eropa Selatan, bahwa penambahan predator serangga tomcat (Paederus sp) dilakukan untuk mengendalikan hama daun kubis (Plutella xylostella). Model matematika banyak digunakan pada bidang pertanian, khususnya pada masalah pengendalian hama secara hayati. Pada kasus ini, model matematika dapat membantu dalam penentuan fungsi kontrol atau upaya pengendalian pada sistem hama-predator, sehingga kedua populasi dapat mencapai level kesetimbangan dan tidak menyebabkan kerugian ekonomi. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas mengenai upaya pengendalian hama yang dibagi menjadi dua tahap. Pada tahap pertama upaya pengendalian hama dilakukan dengan menentukan dua fungsi kontrol untuk populasi hama dan predator, sedangkan pada tahap kedua upaya pengendalian hama dilakukan dengan menentukan satu fungsi kontrol, yaitu hanya dengan menambahkan sejumlah predator ke dalam sistem hama-predator untuk mencapai level kesetimbangan. Sumber utama karya ilmiah ini ialah artikel Optimal pest control problem in population dynamics yang ditulis oleh Marat Rafikov dan Jose Manoel Balthazar tahun 2005. 1.2 Tujuan Berdasarkan latar belakang tersebut, maka tujuan karya ilmiah ini ialah: 1. memelajari upaya pengendalian hama yang dibagi menjadi dua tahap seperti telah disebutkan di atas, 2. menganalisis peranan fungsi kontrol pada kedua tahap agar populasi hama dan predator mencapai level kesetimbangan, sehingga tidak menyebabkan kerugian ekonomi. .

II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Sistem persamaan diferensial (SPD) orde satu dengan n persamaan dan m buah fungsi yang tak diketahui 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 dapat ditulis sebagai berikut: 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑡 ,𝑡 , dengan 𝑥(𝑡) =

𝑥 1 (𝑡) . .. 𝑥 𝑛 (𝑡)

,𝑓 𝑥 =

𝑓 1 (𝑥 𝑡 ,𝑡) . .. 𝑓 𝑚 𝑥 ( 𝑡 ,𝑡)

.

Jika 𝑓 linear maka SPD di atas disebut linear, sebaliknya jika 𝑓 tidak linear maka SPD di atas disebut taklinear. 2.2 Kontrol Optimum Alat yang paling penting dari pengoptimuman dinamis adalah teori kontrol optimum yang berkembang secara pesat pada akhir tahun 1950. Ada dua metode penyelesaian masalah kontrol optimum, yaitu dynamic programming yang diperkenalkan oleh Bellman (1957) dan maximum principle yang diperkenalkan oleh Pontryagin (1962). Masalah kontrol optimum adalah memilih peubah kontrol 𝑈(𝑡) di antara semua peubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari state awal 𝑥(𝑡0 ) pada waktu 𝑡0 kepada state akhir 𝑥(𝑇) pada waktu akhir T, sedemikian rupa sehingga memberikan nilai maksimum atau nilai minimum bagi fungsional objektif. Pada masalah nyata yang berkembang menurut waktu 𝑡, sistem berada dalam keadaan atau kondisi (state) tertentu, yang dapat diungkapkan dengan peubah keadaan (state variables) 𝑥1 𝑡 , 𝑥2 𝑡 , … , 𝑥𝑛 𝑡 atau dalam bentuk vektor 𝑥(𝑡) ∈ ℝ𝑛 . Dengan nilai 𝑡 yang berbeda, vektor 𝑥(𝑡) menempati posisi yang berbeda di ruang ℝ𝑛 sehingga dapat dikatakan bahwa sistem bergerak sepanjang kurva di ℝ𝑛 . Sistem dinamika dapat dinyatakan secara matematik oleh sistem persamaan diferensial: 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑈(𝑡 , 𝑡), (2.1) dengan 𝑥 peubah state dan 𝑈 peubah kontrol. Jika kondisi sistem diketahui pada waktu 𝑡0 , maka 𝑥 𝑡0 = 𝑥0 , 𝑥0 ∈ ℝ𝑛 . Jika dipilih kontrol 𝑈 𝑡 ∈ ℝ𝑛 yang terdefinisi untuk waktu 𝑡 ≥ 𝑡0 , maka diperoleh sistem persamaan diferensial orde satu dengan peubah taktentu 𝑥 𝑡 . Karena 𝑥0 diberikan, maka persamaan (2.1) memunyai solusi tunggal. Solusi yang diperoleh merupakan respon terhadap 𝑈 yang dilambangkan dengan 𝑥𝑈 𝑡 .

Dengan memiliki fungsi kontrol yang sesuai, berbagai solusi dapat diperoleh. Agar solusi yang diperoleh adalah solusi yang diinginkan, diperlukan adanya kriteria bagi solusi yang diinginkan, artinya setiap kontrol 𝑈(𝑡) dan peubah state 𝑥 𝑡 dihubungkan dengan fungsional berikut: 𝑇

𝐽 𝑈 = 𝑆(𝑥 𝑇 , 𝑇)) +

𝑓0 𝑥, 𝑈, 𝑡 𝑑𝑡, (2.2) 0

dengan 𝑓0 fungsi yang diberikan, T tidak harus fixed (ditentukan) dan 𝑥(𝑇) memunyai kondisi tertentu. Di antara semua fungsi atau peubah kontrol yang diperoleh, ditentukan salah satu sehingga 𝐽 mencapai nilai maksimum atau minimum. Kontrol yang bersifat demikian disebut kontrol optimum. Permasalahan kontrol optimum dapat dinyatakan sebagai masalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsional (2.2) dengan kendala (2.1). (Tu 1994) 2.3 Prinsip Minimum Pontryagin Tinjau masalah kontrol optimum berikut: 𝑇

min 𝐽 𝑈 ∶= 𝑆(𝑥 𝑇 , 𝑇)) +

𝑓0 𝑥, 𝑈, 𝑡 𝑑𝑡, 0

dengan kendala 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑈(𝑡 , 𝑡) dan syarat batas 𝑥 0 = 𝑥0 , 𝑥 𝑇 = 𝑥𝑇 . Teorema 1 (Prinsip Minimum Pontryagin) Tinjau masalah kontrol optimum di atas. Didefinisikan fungsi Hamilton sebagai berikut: 𝐻 𝑥, 𝑈, 𝑝, 𝑡 = 𝑓0 𝑥 𝑡 , 𝑈(𝑡 , 𝑡) + 𝑝(𝑡)𝑓(𝑥 𝑡 , 𝑈 𝑡 , 𝑡). Misalkan 𝑈 ∗ 𝑡 adalah kontrol admissible yang membawa state awal (𝑥0 (𝑡0 ), 𝑡0 ) kepada state akhir (𝑥 𝑇 , 𝑇), dan 𝑥 ∗ 𝑡 merupakan trajektori dari sistem yang berkaitan dengan 𝑈 ∗ 𝑡 . Agar kontrol 𝑈 ∗ 𝑡 merupakan kontrol optimum, maka perlu terdapat fungsi vektor 𝑝∗ 𝑡 ≠ 0 sedemikian sehingga 1. 𝑥 ∗ 𝑡 =

𝜕𝐻 ∗ 𝑥 𝑡 , 𝑈 ∗ 𝑡 , 𝑝∗ 𝑡 , 𝑡 . 𝜕𝑝

3

𝜕𝐻 ∗ 𝑥 (𝑡), 𝑈 ∗ (𝑡), 𝑝∗ (𝑡), 𝑡 , 𝜕𝑥 dengan 𝑝∗ 𝑡 dan 𝑥 ∗ 𝑡 merupakan solusi dari sistem kanonik. 3. 𝐻𝑈 = 0. 4. 𝐻 𝑥 ∗ 𝑡 , 𝑈 ∗ 𝑡 , 𝑝∗ 𝑡 , 𝑡 ≤ 𝐻(𝑥 𝑡 , 𝑈 𝑡 , 𝑝 𝑡 , 𝑡). 5. Jika syarat batas 𝑥 0 = 𝑥0 dan 𝑥 𝑇 = 𝑥𝑇 tidak diberikan, maka syarat transversalitas berikut harus dipenuhi: 𝑡=𝑇 𝑆𝑥 − 𝑝 𝛿𝑥 𝑡=𝑇 𝑡=0 + 𝐻 + 𝑆𝑡 𝛿𝑡 𝑡=0 = 0. 2. 𝑝∗ 𝑡 = −

Jika 𝑡0 = 0 dan 𝑥0 diketahui, 𝑇 diketahui, dan 𝑥(𝑇) tidak diketahui (bebas), maka syarat transversalitas menjadi: 𝑆𝑥 − 𝑝 |𝑡=𝑇 = 0. Jika diberikan syarat tambahan yaitu 𝑆 ≡ 0 (tidak ada fungsi scrap), maka diperoleh syarat transversalitas: 𝑝 𝑇 = 0. Bukti: [Lihat Lampiran 1] (Tu 1994)

III MODEL HAMA-PREDATOR Model yang akan dianalisis merupakan suatu model yang dibangun berdasarkan interaksi antarspesies yang hidup secara bersamaan dalam suatu ekosistem. Dalam sistem hama-predator, ekosistem dibagi menjadi dua subsistem, yaitu subsistem yang dikendalikan tanpa campur tangan manusia dan subsistem yang dikendalikan dengan campur tangan manusia. Subsistem yang dikendalikan tanpa campur tangan manusia memanfaatkan pengendalian alami (natural control) yang melibatkan agen lain selain predator, seperti cuaca atau makanan. Contoh kasus yang terjadi pada subsistem ini adalah kandungan gossifo atau zat beracun pada kapas sehingga dapat menyebabkan kematian pada hama Helicoverpa (Bin-Yahya 2012). Subsistem yang dikendalikan dengan campur tangan manusia dibagi menjadi dua yaitu: 1. Pengendalian kimiawi: pengendalian ini dilakukan menggunakan bahan kimia beracun untuk melindungi tanaman atau hasil tanaman dari serangan hama. Contoh pendekatan ini adalah pemanfaatan pestisida COPALD untuk mengurangi hama ulat grayak (Spodoptera litura). 2. Pengendalian hayati: pengendalian yang dilakukan dengan memanfaatkan predator atau musuh alami untuk mengendalikan hama. Contoh pendekatan ini ialah dengan mengintroduksi serangga predator yaitu kumbang vedalia (Rodolia cardinalis) untuk mengendalikan hama serangga pada jeruk (Icerya purcasi) (Hartoyo 2008). Konstruksi model matematika untuk model hama-predator ini menggunakan asumsi: 1. Kontrol yang dilakukan oleh manusia dapat memengaruhi laju pertumbuhan populasi hama-predator secara langsung dan taklangsung, di mana pengaruh taklangsung

dapat memengaruhi laju pertumbuhan dengan memanfaatkan interaksi antara hama dan predator. 2. Bagi populasi hama, kontrol yang dilakukan adalah upaya untuk mengurangi jumlah hama dan bagi populasi predator, kontrol dapat meningkatkan jumlah predator. 3. Semua parameter dan variabel yang digunakan bernilai positif. Sistem hama-predator yang terdiri atas 𝑛 populasi, dengan 𝑛1 menyatakan banyaknya populasi hama, dan 𝑛 − 𝑛1 menyatakan banyaknya populasi predator, dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , (3.1) dengan 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 𝑡 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, menyatakan kepadatan populasi 𝑖 pada waktu 𝑡 dan 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 𝑡 ) merupakan fungsi kontinu yang bergantung pada kepadatan populasi hama dan predator. Terhadap sistem (3.1) diterapkan suatu kontrol 𝑈𝑖 yang dapat memengaruhi laju pertumbuhan populasi secara langsung dan taklangsung. Jika ke dalam sistem tersebut dimasukkan peubah kontrol 𝑈𝑖 = 𝑈𝑖 (𝑡) yaitu upaya pengendalian dengan campur tangan manusia terhadap populasi hama atau predator ke-𝑖 yang dapat memengaruhi laju pertumbuhan hama-predator pada waktu 𝑡, dan pengurangan jumlah hama dengan menggunakan pestisida atau penambahan jumlah predator, maka ditinjau sistem berikut: 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑈𝑖 𝑓𝑖 (𝑥1 − 𝑈1 , 𝑥2 − 𝑈2 , … , 𝑥𝑛 1 −𝑈𝑛 1 , … , 𝑥𝑛 1+1 + 𝑈𝑛 1+1 , … , 𝑥𝑛 + 𝑈𝑛 ) −𝑘𝑖 𝑈𝑖 , (3.2) 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 + 𝑈𝑖 𝑓𝑖 (𝑥1 − 𝑈1 , 𝑥2 − 𝑈2 , … , 𝑥𝑛 1 −𝑈𝑛 1 , … , 𝑥𝑛 1+1 + 𝑈𝑛 1+1 , … , 𝑥𝑛 + 𝑈𝑛 ) +𝑘𝑖 𝑈𝑖 , (3.3)

4

dengan 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 𝑡 menyatakan kepadatan populasi hama ke-𝑖 (𝑖 = 1,2, … , 𝑛1 ) dan populasi predator ke-𝑖 (𝑖 = 𝑛1+1 , 𝑛1+2 , … , 𝑛) pada saat 𝑡, dengan 𝑘𝑖 merupakan konstanta yang bernilai positif. Pada sistem (3.2) dan (3.3), suku 𝑥𝑖 − 𝑈𝑖 dan 𝑥𝑖 + 𝑈𝑖 menyatakan kontrol taklangsung, di

mana kontrol 𝑈𝑖 dapat memengaruhi laju pertumbuhan melalui interaksi dengan populasi hama atau predator, sedangkan suku 𝑘𝑖 𝑈𝑖 menyatakan kontrol langsung pada sistem yang dapat memengaruhi laju pertumbuhan tanpa melalui interaksi antara populasi hama dan predator.

IV PEMBAHASAN Dalam karya ilmiah ini, model interaksi hama-predator diasumsikan hanya terdiri atas satu populasi hama dan satu populasi predator. Pada kasus ini populasi hama dinyatakan dalam indeks 𝑖 = 1 dan populasi predator dinyatakan dalam indeks 𝑖 = 2. 4.1 Sistem yang Dikendalikan dengan Kontrol Model interaksi antara hama dan predator yang dikendalikan dengan kontrol diberikan oleh sistem persamaan diferensial berikut: 𝑥1 = 𝑥1 − 𝑈1 𝑓1 𝑥1 − 𝑈1 , 𝑥2 + 𝑈2 − 𝑘1 𝑈1 , (4.1) 𝑥2 = 𝑥2 + 𝑈2 𝑓2 𝑥1 − 𝑈1 , 𝑥2 + 𝑈2 + 𝑘2 𝑈2 , (4.2) dengan 𝑥1 : kepadatan populasi hama, 𝑥2 : kepadatan populasi predator, 𝑈1 : fungsi kontrol terhadap populasi hama berupa upaya untuk mengurangi jumlah hama dengan menggunakan pestisida, 𝑈2 : fungsi kontrol terhadap populasi predator berupa upaya untuk mempertahankan atau menambahkan jumlah predator, 𝑘1 , 𝑘2 : konstanta yang bernilai positif. 4.2 Masalah Kontrol Optimum Masalah kontrol optimum yang dihadapi adalah menentukan fungsi kontrol 𝑈1 dan 𝑈2 , yang membawa sistem dari kondisi awal ke kondisi akhir kepadatan populasi hama dan predator agar tidak menimbulkan kerugian ekonomi yang cukup signifikan. Didefinisikan fungsional objektif berikut: 𝑇

𝐽 ∶= 𝑐1 𝑥1 (𝑇) − 𝑐2 𝑥2 (𝑇) + 𝑐2 𝑘2 𝑈2 𝜏 )𝑑𝜏,

(𝑐1 𝑘1 𝑈1 𝜏 + 0

(4.3)

dengan 𝑐1 dan 𝑐2 merupakan parameter bobot yang dikenakan pada peubah kontrol 𝑈1 dan 𝑈2 . Meminimumkan fungsional objektif pada persamaan (4.3) berarti meminimumkan populasi hama 𝑥1 dan memaksimumkan populasi predator 𝑥2 di akhir periode 𝑇, dan sekaligus meminimumkan fungsi kontrol 𝑈1 serta memaksimumkan fungsi kontrol 𝑈2 . Dengan demikian masalah kontrol optimum dapat dituliskan sebagai berikut: min 𝐽 (4.4) dengan kendala: 𝑥1 = 𝑥1 − 𝑈1 𝑓1 𝑥1 − 𝑈1 , 𝑥2 + 𝑈2 − 𝑘1 𝑈1 , 𝑥2 = 𝑥2 + 𝑈2 𝑓2 𝑥1 − 𝑈1 , 𝑥2 + 𝑈2 + 𝑘2 𝑈2 , 0 ≤ 𝑈1 𝑡 ≤ 𝑥1 𝑡 , (4.5) 0 ≤ 𝑈2 𝑡 . (4.6) Masalah kontrol optimum di atas dapat diselesaikan dengan prinsip minimum Pontryagin. Untuk menyelesaikannya didefinisikan peubah berikut: 𝑡

𝑤(𝑡) = 𝑐1 𝑥1 (𝑡) − 𝑐2 𝑥2 (𝑡) + 𝑐2 𝑘2 𝑈2 𝜏 )𝑑𝜏, 𝑦1 𝑡 = 𝑥1 𝑡 − 𝑈1 𝑡 , 𝑦2 𝑡 = 𝑥2 𝑡 + 𝑈2 𝑡 ,

(𝑐1 𝑘1 𝑈1 𝜏 + 0

(4.7) (4.8) (4.9)

dengan 𝑦1 : populasi hama yang telah diberikan kontrol secara taklangsung, 𝑦2 : populasi predator yang telah diberikan kontrol secara taklangsung. Sebagai akibatnya masalah kontrol optimum di atas dapat dinyatakan dalam bentuk modifikasi dengan fungsional objektif dan kendala baru sebagai berikut: min 𝑤(𝑇)

(4.10)

56

dengan kendala: 𝑤 = 𝑐1 𝑦1 𝑓1 𝑦1 , 𝑦2 − 𝑐2 𝑦2 𝑓2 𝑦1 , 𝑦2 , (4.11) 𝑥1 = 𝑦1 𝑓1 𝑦1 , 𝑦2 − 𝑘1 𝑈1 , (4.12) 𝑥2 = 𝑦2 𝑓2 𝑦1 , 𝑦2 + 𝑘2 𝑈2 , (4.13) 𝑦1 𝑡 = 𝑥1 𝑡 − 𝑈1 𝑡 , 𝑦2 𝑡 = 𝑥2 𝑡 + 𝑈2 𝑡 , 0 ≤ 𝑈1 𝑡 ≤ 𝑥1 𝑡 , 0 ≤ 𝑈2 𝑡 . Penurunan persamaan (4.11) dapat dilihat pada Lampiran 2.

Persamaan (4.18) dan disederhanakan menjadi: 𝜕𝐻 𝜕𝑦 1 𝜕𝐻 𝜕𝑦 2

(4.19)

dapat

= −𝑘1 𝑝2 ,

(4.20)

= −𝑘2 𝑝3 .

(4.21)

Dengan prinsip minimum Pontryagin diperoleh fungsi Hamilton dari masalah kontrol optimum tersebut, ialah sebagai berikut: 𝐻 = 𝑝1 𝑐1 𝑦1 𝑓1 𝑦1 , 𝑦2 − 𝑝1 𝑐2 𝑦2 𝑦1 , 𝑦2 + 𝑝2 𝑦1 𝑓1 𝑦1 , 𝑦2 − 𝑘1 𝑈1 + 𝑝3 𝑦2 𝑓2 𝑦1 , 𝑦2 + 𝑘2 𝑈2 . (4.14) Karena 𝐻 = 𝐻(𝑦1 , 𝑦2 , 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 , 𝑡), maka syarat (1) Teorema 1 (Prinsip Minimum Pontryagin) memberikan: 𝑤 = 𝐻𝑝1 , 𝑥1 = 𝐻𝑝2 , 𝑥2 = 𝐻𝑝3 . Syarat (1) akan menghasilkan kembali kendala pada masalah kontrol optimum tersebut yang dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑤 = 𝑐1 𝑦1 𝑓1 𝑦1 , 𝑦2 − 𝑐2 𝑦2 𝑓2 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑥1 = 𝑦1 𝑓1 𝑦1 , 𝑦2 − 𝑘1 𝑈1 , 𝑥2 = 𝑦2 𝑓2 𝑦1 , 𝑦2 + 𝑘2 𝑈2 .

Dari persamaan (4.15), (4.16), (4.17), (4.18), dan (4.19) diperoleh fungsi-fungsi adjoin: 𝑝1 𝑡 = 𝐴, (4.22) 𝑝2 𝑡 = 𝐴2 ℯ 𝑘 1 𝑡 , (4.23) 𝑝3 𝑡 = 𝐴3 ℯ 𝑘 2 𝑡 . (4.24) Karena diasumsikan 𝑥(𝑇) bebas, maka harus dipenuhi syarat transversalitas berikut (syarat (5) pada Teorema 1): 𝑝1 𝑇 = 𝑆𝑤 𝑇 ⇔ 𝑝1 𝑇 = 1, (4.25) 𝑝2 𝑇 = 𝑆𝑥 1 𝑇 ⇔ 𝑝2 𝑇 = 0, (4.26) 𝑝3 𝑇 = 𝑆𝑥 3 𝑇 ⇔ 𝑝3 𝑇 = 0, (4.27) sehingga dari persamaan (4.22), (4.23), (4.24), (4.25), (4.26), dan (4.27) diperoleh nilai konstanta 𝐴1 = 1 dan 𝐴2 = 𝐴3 = 0, dan persamaan (4.25), (4.26), dan (4.27) dapat dituliskan menjadi: 𝑝1 𝑡 = 1, 𝑝2 𝑡 = 0, (4.28) 𝑝3 𝑡 = 0. Dari persamaan (4.28) maka fungsi Hamilton (4.14) dapat dituliskan menjadi: 𝐻 = 𝑐1 𝑦1 𝑓1 𝑦1 , 𝑦2 − 𝑐2 𝑦2 𝑓2 𝑦1 , 𝑦2 . (4.29)

Pada fungsi Hamilton juga terdapat peubah adjoin 𝑝1 , 𝑝2 , dan 𝑝3 yang nilainya ditentukan melalui syarat (2) berikut: 𝑝1 = −𝐻𝑤 = 0, (4.15) 𝑝2 = −𝐻𝑥 1 , (4.16) 𝑝3 = −𝐻𝑥 2 . (4.17) Peubah adjoin yang dihasilkan merupakan syarat batas yang akan memengaruhi perubahan setiap peubah 𝑦1 dan 𝑦2 pada waktu 𝑡, sedangkan 𝑝1 , 𝑝2 dan 𝑝3 menyatakan laju dari perubahan peubah tersebut.

Substitusi persamaan (4.28) dan (4.29) ke persamaan (4.20) dan (4.21) dapat dituliskan sebagai berikut: 𝜕(𝑦1 𝑓1 (𝑦1 , 𝑦2 )) 𝜕(𝑦2 𝑓2 (𝑦1 , 𝑦2 )) 𝑐1 − 𝑐2 = 0, 𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 (4.30) 𝜕(𝑦1 𝑓1 (𝑦1 , 𝑦2 )) 𝜕(𝑦2 𝑓2 (𝑦1 , 𝑦2 )) 𝑐1 − 𝑐2 = 0. 𝜕𝑦2 𝜕𝑦2 (4.31) Penurunan persamaan (4.30) dan (4.31) dapat dilihat pada Lampiran 4.

Untuk menentukan fungsi kontrol pada masalah kontrol optimum, maka syarat (3) memberikan dua kondisi berikut:

Dari persamaan (4.5), (4.6), (4.8), dan (4.9) diperoleh nilai fungsi kontrol untuk populasi hama dan predator, yang dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut: 𝑥 (𝑡) − 𝑦1 (𝑡) ; 𝑥1 > 𝑦1 𝑈1 (𝑡) = 1 , 0 ; 𝑥1 ≤ 𝑦1

𝜕𝐻 − 𝑘1 𝑝2 = 0, 𝜕𝑦1 𝜕𝐻 𝐻𝑈2 = 𝜕𝑦 + 𝑘2 𝑝3 = 0. 2

𝐻𝑈1 = −

(4.18) (4.19)

Penurunan persamaan (4.18) dan (4.19) dapat dilihat pada Lampiran 3.

𝑈2 (𝑡) =

𝑦2 (𝑡) − 𝑥2 (𝑡) 0

; 𝑥2 < 𝑦2 . ; 𝑥2 ≥ 𝑦2 (4.32)

6

Fungsi kontrol yang diperoleh pada persamaan (4.32) merupakan upaya pengendalian hama dan predator yang akan membawa sistem pada level kesetimbangan yang diinginkan. Upaya pengendalian hama merupakan pengurangan jumlah hama dengan menggunakan pestisida dan upaya pengendalian predator untuk mempertahankan atau menambahkan jumlah predator. Dengan menyelesaikan persamaan (4.30) dan (4.31) secara serentak, akan diperoleh 𝑦1∗ (𝑡) dan 𝑦2∗ (𝑡). Nilai 𝑦1∗ (𝑡) dan 𝑦2∗ (𝑡) yang diperoleh

kemudian disubstitusi kembali ke persamaan (4.32), sehingga dapat dituliskan menjadi: 𝑥 ∗ 𝑡 − 𝑦1∗ 𝑡 ; 𝑥1∗ > 𝑦1∗ 𝑈1∗ 𝑡 = 1 , (4.33) 0 ; 𝑥1∗ ≤ 𝑦1∗ 𝑈2∗ (𝑡) =

𝑦2∗ (𝑡) − 𝑥2∗ (𝑡) 0

; 𝑥2∗ < 𝑦2∗ . (4.34) ; 𝑥2∗ ≥ 𝑦2∗

Persamaan (4.33) dan (4.34) disubstitusikan ke persamaan (4.12) dan (4.13), sehingga diperoleh: 𝑥1 = 𝑦1∗ 𝑓1 𝑦1∗ , 𝑦2∗ − 𝑘1 𝑥1∗ (𝑡) − 𝑦1∗ 𝑡 , (4.35) 𝑥2 = 𝑦2∗ 𝑓2 𝑦1∗ , 𝑦2∗ + 𝑘2 𝑦2∗ 𝑡 − 𝑥2∗ (𝑡) . (4.36)

V STUDI KASUS Bagian ini akan membahas model interaksi hama-predator Lotka-Volterra, yang melibatkan dua fungsi kepadatan populasi berikut: 𝑓1 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑎 − 𝛾𝑥1 − 𝛼𝑥2 , 𝑓2 𝑥1 , 𝑥2 = 𝛽𝑥1 − 𝛿𝑥2 − 𝑏. Pada sistem (3.1) diterapkan kontrol 𝑈1 dan 𝑈2 , sehingga fungsi kepadatan populasi hama predator dituliskan menjadi: 𝑓1 𝑥1 − 𝑈1 , 𝑥2 + 𝑈2 = 𝑎 − 𝛾(𝑥1 − 𝑈1 ) −𝛼(𝑥2 + 𝑈2 ), 𝑓2 𝑥1 − 𝑈1 , 𝑥2 + 𝑈2 = 𝛽(𝑥1 − 𝑈1 ) −𝛿(𝑥2 + 𝑈2 ) − 𝑏, atau dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑓1 𝑦1 , 𝑦2 = 𝑎 − 𝛾𝑦1 − 𝛼𝑦2 , (5.1) 𝑓2 𝑦1 , 𝑦2 = 𝛽𝑦1 − 𝛿𝑦2 − 𝑏, (5.2) dengan 𝑎 : tingkat pertumbuhan populasi hama tanpa adanya interaksi dengan predator, 𝛾 : laju kematian populasi hama karena adanya interaksi dengan predator, 𝛼 : koefisien tingkat pemangsaan, 𝛽 : koefisien pertumbuhan predator saat memangsa hama, 𝛿 : laju penurunan populasi predator, 𝑏 : tingkat kematian populasi predator tanpa adanya interaksi dengan populasi hama. Substitusi persamaan (5.1) dan (5.2) ke persamaan (4.30) dan (4.31) akan memberikan persamaan berikut: 𝑐1 𝑎 − 𝛼𝑦2 − 2𝛾𝑦1 − 𝑐2 𝛽𝑦2 = 0, (5.3) 𝑐1 𝛼𝑦1 + 𝑐2 (−𝑏 + 𝛽𝑦1 − 2𝛿𝑦2 ) = 0. (5.4) Penurunan persamaan (5.3) dan (5.4) dapat dilihat pada Lampiran 5.

Solusi dari sistem (5.3) dan (5.4) adalah: 𝑦1∗ 𝑡 = 𝑦2∗ 𝑡 =

𝑐1𝑏 𝑐1𝛼+𝑐2 𝛽 +2𝑐1 𝑐2 𝑎𝛿 , 2 𝑐1 𝛼+𝑐2𝛽 +4𝑐1 𝑐2𝛾𝛿 𝑐1𝑎 𝑐1 𝛼+𝑐2𝛽 −2𝑐1 𝑐2𝑏𝛾 2

𝑐1 𝛼+𝑐2 𝛽 +4𝑐1 𝑐2𝛾𝛿

.

(5.5) (5.6)

Penurunan persamaan (5.5) dan (5.6) dapat dilihat pada Lampiran 6. 5.1 Kontrol Optimum Hama untuk Tanaman Kacang Kedelai Sebagai studi kasus akan ditinjau model interaksi hama-predator pada tanaman kedelai, dengan ulat kedelai (Anticarsia gemmatalis) sebagai hama dan kepik mata besar (Geocoris) sebagai predator atau musuh alami. Nilai parameter-parameter berikut diambil dari Rafikov (1997): 𝑎 = 0,216; 𝛼 = 0,011; 𝑏 = 0,173; 𝛽 = 0,003; 𝑐1 = 1,030; 𝑐2 = 1,900; 𝑘1 = 2; 𝑘2 = 1; 𝛾 = 0; 𝛿 = 0. Nilai 𝑐1 dan 𝑐2 dipilih sedemikian sehingga ambang batas populasi hama sebesar 𝑥𝑑 = 20 ulat/m2 menurut Empresa Brasileira de Pequisa Agropecuaria (EMBRAPA) atau Pusat Penelitian Pertanian Brasil. Dengan memasukkan nilai parameter tersebut ke persamaan (5.5) dan (5.6) diperoleh: 𝑦1∗ (𝑡) = 19,301, (5.7) 𝑦2∗ (𝑡) = 13,064. (5.8) Substitusi kedua nilai di atas ke dalam persamaan (4.35) dan (4.36) diperoleh sistem persamaan diferensial yang menggambarkan dinamika populasi hama dan predator yaitu: 𝑥1∗ (𝑡) = 39,998 − 2𝑥1∗ (𝑡), (5.9) 𝑥2∗ 𝑡 = 11,560 − 𝑥2∗ (𝑡). (5.10) Dari persamaan (5.9) dan (5.10) diperoleh titik tetap atau level kesetimbangan yang diinginkan,

7

Gambar 1 Kestabilan sistem hama-predator pada kasus kacang kedelai. Gambar 1 menunjukkan bahwa untuk setiap jumlah populasi hama dan predator pada sistem akan menuju level kesetimbangan yang diinginkan. Untuk kondisi awal 𝑥1 0 = 32 dan 𝑥2 0 = 16, maka sistem (5.9) dan (5.10) akan memberikan solusi khusus untuk variabel 𝑥1∗ (𝑡) dan 𝑥2∗ (𝑡), yang dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑥1∗ (𝑡) = 19,999 + 12,001𝑒 −2𝑡 , (5.11) 𝑥2∗ 𝑡 = 11,560 + 4,440𝑒 −𝑡 . (5.12)

Gambar 2 menjelaskan dinamika populasi hama dan predator pada kondisi awal sampai kondisi akhir yang mencapai level kesetimbangan. Level kesetimbangan diperoleh karena adanya dua fungsi kontrol untuk populasi hama dan predator yang memengaruhi sistem dinamik. Substitusi persamaan (5.7), (5.8), (5.11), dan (5.12) ke persamaan (4.33) dan (4.34) akan diperoleh dua fungsi kontrol untuk populasi hama dan predator sebagai berikut: 𝑈1∗ (𝑡) = 0,698 + 12,001𝑒 −2𝑡 , (5.13) 𝑈2∗ 𝑡 = 1,504 − 4,440𝑒 −𝑡 . (5.14) Dari persamaan (5.13) dan (5.14) diperoleh nilai kesetimbangan dari dua fungsi kontrol 𝑈1∗ (𝑡) = 0,698 dan 𝑈2∗ (𝑡) = 1,504. Nilai fungsi kontrol 𝑈1∗ dan 𝑈2∗ diinterpretasikan sebagai upaya pengendalian ulat sebesar 0,698 ulat/m2 dan upaya pengendalian predator sebesar 1,504 predator/m2 .

- - - fungsi kontrol 𝑈1∗ (𝑡)

12

fungsi kontrol 𝑈2∗ (𝑡) 10 fungsi kontrol

yaitu untuk populasi hama 𝑥1∗ (𝑡) = 19,999 dan populasi predator 𝑥2∗ (𝑡) = 11,560.

8 6 4

--- populasi hama 𝑥1 (𝑡) populasi predator 𝑥2 (𝑡)

30

2

kepadatan populasi

0 0

25

2

4

6

8

10

t

Gambar 3 Fungsi kontrol untuk kondisi awal 𝑥1 (0) = 32 dan 𝑥2 (0) = 16.

20

15

10 0

2

4

6

8

10

t

Gambar 2 Dinamika populasi hama pada waktu 𝑡.

Gambar 3 menjelaskan dua fungsi kontrol berhasil membawa sistem pada level kesetimbangan yang diinginkan. Fungsi kontrol 𝑈1∗ mengalami penurunan sampai hari ke-2, namun setelah hari ke-2 populasi hama dapat dikendalikan untuk menuju level kesetimbangan. Fungsi kontrol 𝑈1∗ merupakan upaya pengendalian hama dengan menggunakan pestisida. Penurunan fungsi kontrol 𝑈1∗ sampai hari ke-2 dikarenakan upaya pengendalian hama selanjutnya akan ditambahkan dengan upaya

8

pengendalian hayati pada hari ke-1 yang dinyatakan dalam fungsi kontrol 𝑈2∗, yaitu dengan mengintroduksi predator ke dalam sistem. Pada tahap pertama cukup sulit untuk memperoleh pengendalian hama ulat yang sangat kecil sebesar 0,698 ulat/m2 , oleh karena itu proses pengendalian hama selanjutnya dibagi menjadi dua tahap. Tahap pertama populasi hama dan predator dapat distabilkan dengan dua fungsi kontrol dan tahap kedua akan diselesaikan pada bagian selanjutnya. 5.2 Pengendalian Hama dengan Memanfaatkan Musuh Alami Pada bagian ini proses pengendalian hama selanjutnya dilakukan hanya dengan mengintroduksi predator ke dalam sistem, di mana kontrol bergerak mempertahankan sistem pada keadaan setimbang. Masalah ini dituliskan dalam sistem dinamik berikut: 𝑥1 = 𝑥1 𝑓1 𝑥1 , 𝑥2 , (5.15) 𝑥2 = 𝑥2 𝑓2 𝑥1 , 𝑥2 − 𝑥2∗ 𝑓2 𝑥1∗ , 𝑥2∗ + 𝑢. (5.16) Kontrol 𝑢 merupakan upaya pengendalian hama dengan memanfaatkan predator untuk mempertahankan sistem pada keadaan setimbang, yaitu tingkat populasi hama 𝑥1∗ = 𝑥𝑑 = 20 dan populasi predator 𝑥2∗. Di sini nilai 𝑥2∗ ditentukan melalui persamaan berikut: 𝑓1 𝑥1∗ , 𝑥2∗ = 0. (5.17) Dengan menggunakan nilai parameter Lotka-Volterra 𝑎 = 0,216; 𝛼 = 0,011; 𝑏 = 0,173; 𝛽 = 0,003; 𝛿 = 0, dan 𝛾 = 0, maka dari persamaan (5.17) diperoleh nilai 𝑥2∗ = 19,636. Analisis model (5.15) dan (5.16) dilakukan terhadap model linear padanannya. Didefinisikan: 𝑔1 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥1 𝑓1 𝑥1 , 𝑥2 , (5.18) 𝑔2 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑥2 𝑓2 𝑥1 , 𝑥2 − 𝑥2∗ 𝑓2 𝑥1∗ , 𝑥2∗ . (5.19) Model terlinearkan dituliskan sebagai berikut: 𝑋 = 𝐴𝑋 + 𝐵𝑢 dengan 𝜕𝑔1 𝜕𝑔1 𝑎1 𝑎2 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝐴= = 𝑎 𝑎 ; 𝜕𝑔2 𝜕𝑔2 3 4 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝑥 ∗ ,𝑥 ∗ 1 2 𝑥 − 𝑥1∗ 0 𝑋= 1 ;𝐵 = . (5.20) 𝑥2 − 𝑥2∗ 1

Selanjutnya, akan ditentukan fungsi kontrol 𝑢 yang membawa sistem dari keadaan awal ke level kesetimbangan 𝑥1∗ , 𝑥2∗ , dengan meminimumkan suatu fungsional objekif, yang dinyatakan dalam masalah kontrol optimum berikut: ∞

𝑋 𝑇 𝑄𝑋 + 𝑢2 𝑑𝑡

min 𝐽 𝑢 ≔

(5.21)

0

dengan kendala 𝑋 = 𝐴𝑋 + 𝐵𝑢 dan

𝑞1 𝑞2 𝑄= 𝑞 𝑞 adalah matriks simetrik. 2 3 Masalah kontrol optimum di atas disebut sebagai masalah regulasi linear kuadratik (linear quadratic regulator, LQR). Dari permasalahan kontrol optimum tersebut diperoleh fungsi Hamilton sebagai berikut: 1 𝐻 = 𝑋 𝑇 𝑄𝑋 + 𝑢2 + 𝜆𝑇 𝐴𝑋 + 𝐵𝑢 , (5.22) 2 atau dapat dituliskan menjadi: 1 𝐻 = (𝑞1 𝑥1 − 𝑥1∗ 2 + 2𝑞2 𝑥1 − 𝑥1∗ 𝑥2 − 𝑥2∗ 2 +𝑞3 𝑥2 − 𝑥2∗ 2 + 𝑢2 ) + 𝜆1 (𝑎1 𝑥1 − 𝑥1∗ +𝑎2 𝑥2 − 𝑥2∗ ) + 𝜆2 (𝑎3 𝑥1 − 𝑥1∗ 𝑎4 𝑥2 − 𝑥2∗ +𝑢). Dengan menggunakan kembali prinsip minimum Pontryagin, maka syarat (1) memberikan: 𝜕𝑔1 𝜕𝑔1 𝑥1 = 𝐻𝜆 1 = 𝑥1 − 𝑥1∗ + 𝑥 − 𝑥2∗ , 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 2 𝜕𝑔2 𝜕𝑔2 𝑥2 = 𝐻𝜆 2 = 𝑥1 − 𝑥1∗ + 𝑥 − 𝑥2∗ 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 2 +𝑢, yang tak lain adalah kendala sistem dinamik 𝑋 = 𝐴𝑋 + 𝐵𝑢. Syarat (2) prinsip memberikan:

minimum

Pontryagin

𝜆1 = −𝐻𝑥 1 = − 𝑞1 𝑥1 − 𝑥1∗ + 𝑞2 𝑥2 − 𝑥2∗ +

𝜕𝑔1 𝜕𝑔2 𝜆1 + 𝜆 , 𝜕𝑥1 𝜕𝑥1 2

𝜆2 = −𝐻𝑥 2 = − 𝑞2 𝑥1 − 𝑥1∗ + 𝑞3 𝑥2 − 𝑥2∗ 𝜕𝑔1 𝜕𝑔2 𝜆1 + 𝜆 , 𝜕𝑥2 𝜕𝑥2 2 atau dapat dituliskan menjadi: 𝜆 = − 𝑄𝑋 + 𝐴𝑇 𝜆 . +

(5.23)

9

Misalkan 𝜆 = 𝑃𝑋, (5.25) dengan 𝑃 merupakan matriks simetrik berukuran 2 × 2. Dengan menurunkan persamaan (5.25), maka akan diperoleh persamaan aljabar Riccati berikut: 𝑃 + 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵𝐵 𝑇 𝑃 + 𝑄 + 𝐴𝑇 𝑃 = 0. (5.26) Jika diasumsikan 𝑃 konstan, maka persamaan (5.26) berubah menjadi: 𝑃𝐴 + 𝐴𝑇 𝑃 − 𝑃𝐵𝐵 𝑇 𝑃 + 𝑄 = 0. (5.27) Pelinearan model (5.15) dan (5.16) di sekitar titik keseimbangan 𝑥1∗ , 𝑥2∗ = (20; 19,636) memberikan: 0 −0,220 𝐴= . Selanjutnya diambil 0,059 −0,113 0 1,2 𝑄= . 1,2 1,226 Dengan menggunakan fungsi LQR dari software MATLAB, diperoleh solusi persamaan aljabar Riccati, yaitu: 5,723 0 𝑃= . (5.28) 0 1 Substitusi persamaan (5.25) ke persamaan (5.24) memberikan: 𝑢 = −𝐵 𝑇 𝑃𝑋, sehingga dari persamaan (5.20) dan (5.28) fungsi kontrol 𝑢 dapat dituliskan menjadi: 𝑢∗ = − 𝑥2 − 19,636 . (5.29) Fungsi kontrol 𝑢∗ pada persamaan (5.29) disubstitusi ke persamaan (5.16), sehingga diperoleh persamaan berikut: 𝑥1 = −0,220 𝑥2 − 19,636 , (5.30) 𝑥2 = 1,415 𝑥1 − 20 − 0,800 𝑥2 − 19,636 . (5.31)

Dari persamaan (5.30) dan (5.31) akan diperoleh solusi khusus untuk kondisi awal populasi hama 𝑥1 0 = 20,219 dan populasi predator 𝑥2 0 = 12,161, yaitu: 𝑥1∗ 𝑡 = 20 + 𝑒 −0,4𝑡 (4,453 sin(0,389𝑡) +0,219 cos(0,389𝑡)), (5.32) 𝑥2∗ 𝑡 = 19,636 + 𝑒 −0,4𝑡 (8,483 sin(0,389𝑡) −7,475 cos(0,389𝑡)). (5.33) Dengan menyubstitusi persamaan (5.32) dan (5.33) ke persamaan (5.29), diperoleh kontrol optimum berikut: 𝑢∗ (𝑡) = 𝑒 −0,4𝑡 (7,475 cos(0,389𝑡) −8,483 sin(0,389𝑡)). (5.33) Fungsi kontrol 𝑢∗ 6

fungs i kontrol

Untuk menentukan fungsi kontrol 𝑢 pada masalah kontrol optimum persamaan (5.21), maka syarat (3) memberikan: 𝐻𝑢 = 𝑢 + 𝜆2 = 0, sehingga fungsi kontrol 𝑢 = −𝜆2 dapat dinyatakan dalam bentuk: 𝑢 = −𝐵 𝑇 𝜆, (5.24) dengan 𝜆 𝜆= 1 . 𝜆2

4

2

0

2 0

5

10

15

20

25

30

t

Gambar 4 Fungsi kontrol 𝑢∗ untuk kondisi awal 𝑥1 (0) = 20,219 dan 𝑥2 (0) = 12,161. Gambar 4 menunjukkan kembali fungsi kontrol 𝑢∗ berhasil membawa sistem pada level kesetimbangan yang diinginkan. Pada tahap ini fungsi kontrol 𝑢∗ dilakukan sebagai upaya pengendalian hama lanjutan dari tahap pertama, yaitu dengan menambahkan sejumlah predator ke dalam sistem. Pada kondisi awal dimasukkan predator sejumlah 𝑢∗ 0 = 7,475. Jumlah ini terus diturunkan dan bahkan pada hari ke-2 sampai hari ke-9 sejumlah predator harus diambil dari sistem (ditunjukkan oleh 𝑢∗ 𝑡 < 0, 2 ≤ 𝑡 ≤ 9).

10

22

ke pa da ta n popula s i

20

18

16

14

populasi hama 𝑥1 (𝑡) - - - populasi predator 𝑥2 (𝑡) 0

5

10

15

20

25

Karena kontrol dilakukan dengan menambahkan sejumlah predator ke dalam sistem (meski dengan jumlah yang terus menurun), maka dari Gambar 5 dapat dilihat bahwa populasi predator terus meningkat hingga mencapai 21,34 predator/m2 pada hari ke-4. Kepadatan populasi predator kemudian menurun dan mencapai level stabil 19,636 predator/m2 setelah hari ke-10. Pada kondisi awal populasi hama 20,219 ulat/m2 juga meningkat hingga mencapai 21,5 ulat/m2 pada hari ke-2. Kepadatan populasi hama kemudian menurun dan mencapai level stabil 20 ulat/m2 setelah hari ke-8.

30

t

Gambar 5 Variasi populasi hama dan predator dengan fungsi kontrol 𝑢∗ .

VI SIMPULAN Dalam permasalahan kontrol optimum hama, penyelesaiannya dibagi menjadi dua tahap. Tahap pertama menentukan dua fungsi kontrol untuk populasi hama dan predator dengan menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin, dan tahap kedua menentukan satu fungsi kontrol yang dapat mengendalikan populasi hama dan membawa sistem pada level kesetimbangan yang diinginkan, diselesaikan kembali dengan menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin. Penentuan dua fungsi kontrol 𝑈1∗ (𝑡) = 0,698 dan 𝑈2∗ (𝑡) = 1,504 mampu mencapai sistem pada level kesetimbangan populasi hama 𝑥1∗ (𝑡) dan populasi predator 𝑥2∗ (𝑡) yang diinginkan agar tidak menyebabkan kerugian ekonomi. Pada tahap pertama, untuk dua hari pertama sulit untuk mengendalikan hama dalam jumlah yang sangat kecil sebesar 0,698 ulat/𝑚2 , sehingga upaya pengendalian sebaiknya dilakukan dengan

menentukan satu fungsi kontrol 𝑢∗ pada tahap kedua, yaitu upaya pengendalian hama dengan mengintroduksi predator sebesar 7,475 predator/𝑚2 ke dalam sistem. Pada tahap kedua untuk kondisi awal populasi hama yang melebihi nilai ambang batas 𝑥𝑑 = 20 hama/𝑚2 , fungsi kontrol 𝑢∗ mampu membawa sistem lebih cepat ke level kesetimbangan yang diinginkan (20; 19,636). Dalam penelitian ini, upaya pengendalian hama hanya dengan memanfaatkan predator pada tahap kedua lebih efektif dibandingkan dengan melakukan dua upaya pengendalian pada tahap pertama, karena jika terjadi kepadatan hama yang melebihi nilai ambang batas 𝑥𝑑 , populasi hama lebih cepat untuk dikendalikan hanya dengan menambahkan sejumlah predator.

DAFTAR PUSTAKA Bin-Yahya H. 2012. Bentuk pengendalian hama. http://infohamapenyakittumbuhan.blogspot.c om/2012/04/bentuk-bentuk-pengendalianhama-tanaman.html. [22 Januari 2013]. Bosch R van den, Messenger PS, and Gutierrez AP. 1982. An Introduction to Biological Control. Plenum Press, New York. Hartoyo D. 2008. Pengendalian hama nonhayati. http://www.htysite.com/hama musuh alami pengertian.htm. [3 Agustus 2012].

Rafikov M, Balthazar JM. 2005. Optimal pest control problem in population dynamics. Computational and Applied Mathematics, 25: 65-81. Rafikov M. 1997. Determinação dos parâmetros de modelos biomatemáticos, Ciência e Natura. UFSM, Santa Maria, 19: 7- 20. TU PNV. 1994. Dynamical System, An Introduction with Application in Economics and Biology. Second Revised and Enlarged Edition. Spriger Verlag, Berlin.

LAMPIRAN

13

Lampiran 1 Bukti Teorema 1 (Prinsip Minimum Pontryagin) Misalkan akan diminimumkan 𝑇

𝐽 𝑢 =

𝑓0 𝑥, 𝑢, 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑆(𝑥 𝑇 , 𝑇)),

(1)

0

dengan kendala : 𝑥 𝑡 = 𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑢 𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡. (2) Misalkan 𝑥 0 = 𝑥0 , 𝑡 = 0, sedangkan 𝑥(𝑇) dan 𝑇 keduanya tidak ditentukan. Fungsi “Scrap” 𝑆(𝑥 𝑇 , 𝑇) dapat didefinisikan sebagai 𝑇

𝑆 𝑥 𝑇 , 𝑇 = 𝑆 𝑥0 , 0 + 0

𝑑 𝑆(𝑥 𝑡 , 𝑡)𝑑𝑡 , 𝑑𝑡

(3)

sehingga persamaan (1) menjadi 𝑇

𝐽 = 𝑆 𝑥0 , 0 +

𝑓0 𝑥, 𝑢, 𝑡 + 0 𝑇

= 𝑆 𝑥0 , 0 +

𝑓0 ∙ + 0

𝑑 𝑆(𝑥 𝑡 , 𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝜕𝑆 𝜕𝑆 𝑥+ 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥

(4)

dengan 𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑓0 𝑥, 𝑢, 𝑡 , dan 𝑆(𝑥 𝑇 , 𝑇) secara sederhana dapat dituliskan sebagai 𝑥, 𝑢, 𝑓0 (∙) dan 𝑆. Untuk meminimumkan 𝐽 pada persamaan (4) tidak dipengaruhi oleh 𝑆 pada saat 𝑡 = 0 tetapi ditentukan oleh bentuk integral pada suku kedua oleh persamaan (4). Selanjutnya didefinisikan fungsional objektif yang diperbesar sebagai berikut: 𝑇

𝐽𝑎 𝑢 =

𝐿 𝑥, 𝑥, 𝑝, 𝑢, 𝑡 𝑑𝑡,

(5)

0

dengan 𝜕𝑆 𝜕𝑆 𝑥+ (6) 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑆 𝜕𝑆 = 𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 − 𝑝𝑥 + 𝑥 + . 𝜕𝑥 𝜕𝑡 Bentuk 𝐻 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 = 𝑓0 𝑥, 𝑢, 𝑝, 𝑡 + 𝑝𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) disebut fungsi Hamilton. Syarat perlu agar fungsional (5) memiliki nilai ekstrim adalah 𝛿𝐽𝑎 𝑢 = 0. Berdasarkan kalkulus variasi maka diperoleh 𝐿 𝑥, 𝑥, 𝑝, 𝑢, 𝑡 = 𝑓0 ∙ + 𝑝 𝑓 ∙ − 𝑥 +

𝑇

𝛿𝐽𝑎 𝑢 =

𝐿𝑥 − 0

Agar

persamaan

𝑑 𝐿 𝛿𝑥 + 𝐿𝑢 𝛿𝑢 + 𝐿𝑝 𝛿𝑝 𝑑𝑡 + 𝐿𝑥 𝛿𝑥 + (𝐿 − 𝐿𝑥 𝑥 )𝛿𝑡 𝑑𝑡 𝑥 (7)

dipenuhi,

maka

persamaan 𝑑 𝐿𝑥 − 𝐿𝑥 = 0, 𝑑𝑡

Euler

𝑡=𝑇

harus

= 0.

dipenuhi,

(7)

yaitu

sehingga 𝑑 𝜕 𝜕 𝐿𝑥 = 𝐻𝑥 + 𝑆𝑥 𝑥 + 𝑆𝑡 − 𝑆 −𝑝 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝑥 = 𝐻𝑥 + 𝑆𝑥𝑥 𝑥 + 𝑆𝑥𝑡 − 𝑆𝑥𝑡 + 𝑝 = 𝐻𝑥 + 𝑝 dan berakibat 𝑝 = −𝐻𝑥 . 𝐿𝑥 −

(8) (9)

14

Variasi 𝛿𝑢 dan 𝛿𝑝 memberikan sifat saling bebas sehingga koefisiennya bernilai nol, yaitu 𝐿𝑢 = 0 dan 𝐿𝑝 = 0. Persamaan (6) memberikan 𝐿𝑢 = 𝐻𝑢 dan 𝐿𝑝 = 𝑓 ∙ − 𝑥 = 𝐻𝑝 − 𝑥 , sehingga 𝐻𝑢 = 0 (10) 𝑥 = 𝐻𝑝 . (11) Selanjutnya syarat batas diberikan oleh suku terakhir persamaan (7), yaitu 𝐿𝑥 𝛿𝑥 + (𝐿 − 𝐿𝑥 𝑥 )𝛿𝑡 𝑡=𝑇 = 0. (12) Karena 𝐿𝑥 = 𝑆𝑥 − 𝑝 𝐿 − 𝑥𝐿𝑥 = 𝐻 − 𝑝𝑥 + 𝑆𝑥 𝑥 + 𝑆𝑡 − 𝑥𝑆𝑥 + 𝑥𝑝 = 𝐻 + 𝑆𝑡 , maka persamaan (12) menjadi 𝑆𝑥 − 𝑝 𝛿𝑥 𝑡=𝑇 + 𝐻 + 𝑆𝑡 𝛿𝑡 𝑡=𝑇 (13) 𝑡=0 = 0, persamaan ini dikenal sebagai transversality condition atau syarat batas. Apabila 𝑥(𝑡0 ) dan 𝑡0 belum ditentukan, maka syarat batas menjadi 𝑡=𝑇 𝑆𝑥 − 𝑝 𝛿𝑥 𝑡=𝑇 𝑡=0 + 𝐻 + 𝑆𝑡 𝛿𝑡 𝑡=0 = 0, yang menghasilkan teorema Pontryagin. (Tu 1994)

Lampiran 2 penurunan persamaan (4.11) Diketahui persamaan (4.1), (4.2), (4.7), (4.8) dan (4.9) sebagai berikut: 𝑥1 = 𝑥1 − 𝑈1 𝑓1 𝑥1 − 𝑈1 , 𝑥2 + 𝑈2 − 𝑘1 𝑈1 𝑥2 = 𝑥2 + 𝑈2 𝑓2 𝑥1 − 𝑈1 , 𝑥2 + 𝑈2 + 𝑘2 𝑈2 𝑡

𝑤(𝑡) = 𝑐1 𝑥1 (𝑡) − 𝑐2 𝑥2 (𝑡) +

(𝑐1 𝑘1 𝑈1 𝜏 + 𝑐2 𝑘2 𝑈2 𝜏 )𝑑𝜏 0

𝑦1 = 𝑥1 − 𝑈1 𝑦2 = 𝑥2 + 𝑈2 Dengan menurunkan persamaan (4.7) terhadap 𝑡 dan menyubstitusi persamaan (4.1), (4.2), (4.8), dan (4.9) akan diperoleh persamaan (4.11). 𝑑𝑤 𝑑 = 𝑐 𝑥 (𝑡) − 𝑐2 𝑥2 (𝑡) + 𝑑𝑡 𝑑𝑡 1 1

𝑡

(𝑐1 𝑘1 𝑈1 𝜏 + 𝑐2 𝑘2 𝑈2 𝜏 )𝑑𝜏 0

𝑑𝑥1 𝑡 𝑑𝑥2 𝑡 𝑑 = 𝑐1 − 𝑐2 + 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑 = 𝑐1 𝑥1 − 𝑐2 𝑥2 + 𝑑𝑡

𝑡

0

𝑡

0

𝑑 𝑐1 𝑘1 𝑈1 𝜏 𝑑𝜏 + 𝑑𝑡

𝑑 𝑐1 𝑘1 𝑈1 𝜏 𝑑𝜏 + 𝑑𝑡

𝑡

𝑡

𝑐2 𝑘2 𝑈2 𝜏 𝑑𝜏 0

𝑐2 𝑘2 𝑈2 𝜏 𝑑𝜏 0

= 𝑐1 ( 𝑥1 − 𝑈1 𝑓1 𝑥1 − 𝑈1 , 𝑥2 + 𝑈2 − 𝑘1 𝑈1 ) − 𝑐2 ( 𝑥2 + 𝑈2 𝑓2 𝑥1 − 𝑈1 , 𝑥2 + 𝑈2 𝑑 +𝑘2 𝑈2 ) + 𝑑𝑡

𝑡

0

𝑑 𝑐1 𝑘1 𝑈1 𝜏 𝑑𝜏 + 𝑑𝑡

𝑡

𝑐2 𝑘2 𝑈2 𝜏 𝑑𝜏 0

= 𝑐1 𝑦1 𝑓1 𝑦1 , 𝑦2 − 𝑐1 𝑘1 𝑈1 − 𝑐2 𝑦2 𝑓2 𝑦1 , 𝑦2 − 𝑐2 𝑘2 𝑈2 + 𝑐1 𝑘1 𝑈1 + 𝑐2 𝑘2 𝑈2 = 𝑐1 𝑦1 𝑓1 𝑦1 , 𝑦2 − 𝑐2 𝑦2 𝑓2 𝑦1 , 𝑦2

15

Lampiran 3 Penurunan persamaan (4.18) dan (4.19) Diketahui persamaan (4.8), (4.9), dan (4.14) 𝑦1 = 𝑥1 − 𝑈1 𝑦2 = 𝑥2 + 𝑈2 𝐻 = 𝑝1 𝑐1 𝑦1 𝑓1 𝑦1 , 𝑦2 − 𝑝1 𝑐2 𝑦2 𝑓2 𝑦1 , 𝑦2 + 𝑝2 𝑦1 𝑓1 𝑦1 , 𝑦2 − 𝑘1 𝑈1 + 𝑝3 𝑦2 𝑓2 𝑦1 , 𝑦2 + 𝑘2 𝑈2 Dengan menurunkan 𝐻 terhadap 𝑈1 dan 𝑈2 menggunakan aturan rantai, sehingga dari syarat (3) Prinsip Minimum Pontryagin dapat diperoleh sebagai berikut: 𝜕𝐻 𝐻𝑈1 = =0 𝜕𝑈1 𝜕𝐻 𝑑𝑦1 𝜕𝐻 = . + =0 𝜕𝑦1 𝑑𝑈1 𝜕𝑈1 𝜕𝐻 = . (−1) − 𝑘1 𝑝2 = 0 𝜕𝑦1 𝜕𝐻 Jadi 𝐻𝑈1 = − − 𝑘1 𝑝2 = 0 … (4.18) 𝜕𝑦1 𝜕𝐻 𝐻𝑈2 = =0 𝜕𝑈2 𝜕𝐻 𝑑𝑦2 𝜕𝐻 = . + =0 𝜕𝑦2 𝑑𝑈2 𝜕𝑈2 𝜕𝐻 = . (1) + 𝑘2 𝑝3 = 0 𝜕𝑦2 𝜕𝐻 Jadi 𝐻𝑈2 = + 𝑘2 𝑝3 = 0 … (4.19) 𝜕𝑦2 Lampiran 4 Penurunan persamaan (4.30) dan (4.31) Diketahui persamaan (4.20), (4.21), (4.28) dan (4.29) 𝜕𝐻 = −𝑘1 𝑝2 𝜕𝑦1 𝜕𝐻 = −𝑘2 𝑝3 𝜕𝑦2 𝑝1 𝑡 = 1 𝑝2 𝑡 = 0 𝑝3 𝑡 = 0 𝐻 = 𝑐1 𝑦1 𝑓1 𝑦1 , 𝑦2 − 𝑐2 𝑦2 𝑓2 𝑦1 , 𝑦2 Kemudian dengan menyubstitusi persamaan (4.28) dan (4.29) ke persamaan (4.20) dan (4.21) sehingga diperoleh: 𝜕𝐻 𝜕[𝑐1 𝑦1 𝑓1 𝑦1 , 𝑦2 − 𝑐2 𝑦2 𝑓2 𝑦1 , 𝑦2 ] = = −𝑘1 𝑝2 𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 𝜕(𝑐1 𝑦1 𝑓1 𝑦1 , 𝑦2 ) 𝜕(𝑐2 𝑦2 𝑓2 𝑦1 , 𝑦2 ) = − =0 𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 𝜕(𝑦1 𝑓1 (𝑦1 , 𝑦2 ) 𝜕(𝑦2 𝑓2 (𝑦1 , 𝑦2 ) 𝑐1 − 𝑐2 =0 𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 𝜕𝐻 𝜕[𝑐1 𝑦1 𝑓1 𝑦1 , 𝑦2 − 𝑐2 𝑦2 𝑓2 𝑦1 , 𝑦2 ] = = −𝑘2 𝑝3 𝜕𝑦2 𝜕𝑦2 𝜕(𝑐1 𝑦1 𝑓1 𝑦1 , 𝑦2 ) 𝜕(𝑐2 𝑦2 𝑓2 𝑦1 , 𝑦2 ) = − =0 𝜕𝑦2 𝜕𝑦2 𝜕(𝑦1 𝑓1 (𝑦1 , 𝑦2 ) 𝜕(𝑦2 𝑓2 (𝑦1 , 𝑦2 ) 𝑐1 − 𝑐2 =0 𝜕𝑦2 𝜕𝑦2

16

Lampiran 5 Penurunan persamaan (5.3) dan (5.4) Diketahui persamaan (4.30) , (4.31), (5.1) dan (5.2) 𝜕(𝑦1 𝑓1 (𝑦1 , 𝑦2 ) 𝜕(𝑦2 𝑓2 (𝑦1 , 𝑦2 ) 𝑐1 − 𝑐2 =0 𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 𝜕(𝑦1 𝑓1 (𝑦1 , 𝑦2 ) 𝜕(𝑦2 𝑓2 (𝑦1 , 𝑦2 ) 𝑐1 − 𝑐2 =0 𝜕𝑦2 𝜕𝑦2 𝑓1 (𝑦1 , 𝑦2 ) = 𝑎 − 𝛾𝑦1 − 𝛼𝑦2 𝑓2 𝑦1 , 𝑦2 = 𝛽𝑦1 − 𝛿𝑦2 − 𝑏 Dengan menyubstitusi persamaan (5.1) dan (5.2) ke persamaan (4.30) dan (4.31) sehingga diperoleh persamaan (5.3) dan (5.4). 𝜕(𝑦1 (𝑎 − 𝛾𝑦1 − 𝛼𝑦2 )) 𝜕(𝑦2 (𝛽𝑦1 − 𝛿𝑦2 − 𝑏)) − 𝑐2 =0 𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 𝜕(𝑦1 𝑎 − 𝛾𝑦12 − 𝛼𝑦1 𝑦2 )) 𝜕(𝛽𝑦1 𝑦2 − 𝛿𝑦22 − 𝑏𝑦2 )) 𝑐1 − 𝑐2 =0 𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 𝑐1 𝑎 − 𝛼𝑦2 − 2𝛾𝑦1 − 𝑐2 𝛽𝑦2 = 0 𝑐1

𝑐1

𝜕(𝑦1 (𝑎 − 𝛾𝑦1 − 𝛼𝑦2 )) 𝜕(𝑦2 (𝛽𝑦1 − 𝛿𝑦2 − 𝑏)) − 𝑐2 =0 𝜕𝑦2 𝜕𝑦2

𝑐1

𝜕(𝑦1 𝑎 − 𝛾𝑦12 − 𝛼𝑦1 𝑦2 )) 𝜕(𝛽𝑦1 𝑦2 − 𝛿𝑦22 − 𝑏𝑦2 )) − 𝑐2 =0 𝜕𝑦2 𝜕𝑦2 𝑐1 𝛼𝑦1 + 𝑐2 (−𝑏 + 𝛽𝑦2 − 2𝛿𝑦2 ) = 0

Lampiran 6 Penurunan persamaan (5.5) dan (5.6) Diketahui persamaan (5.3) dan (5.4) 𝑐1 𝑎 − 𝛼𝑦2 − 2𝛾𝑦1 − 𝑐2 𝛽𝑦2 = 0 𝑐1 𝛼𝑦1 + 𝑐2 (−𝑏 + 𝛽𝑦1 − 2𝛿𝑦2 ) = 0 Dari persamaan (5.3) dapat disederhanakan sehingga diperoleh nilai𝑦1 𝑐1 𝑎 − 𝑦2 (𝛼𝑐1 + 𝛽𝑐2 ) 𝑦1 = … (𝐴) 2𝛾𝑐1 Dengan menyubstitusi persamaan (A) ke persamaan (5.4) sehingga diperoleh persamaan (5.6) 𝑐1 𝑎 − 𝑦2 𝛼𝑐1 + 𝛽𝑐2 𝑐1 𝑎 − 𝑦2 𝛼𝑐1 + 𝛽𝑐2 𝑐1 𝛼 + 𝑐2 (−𝑏 + 𝛽 − 2𝛿𝑦2 ) = 0 2𝛾𝑐1 2𝛾𝑐1 𝑐1 𝑎𝑐1 𝛼 − 𝑐1 𝛼𝑦2 𝛼𝑐1 + 𝛽𝑐2 − 2𝛾𝑐1 𝑐2 𝑏 + 𝑐2 𝛽𝑐1 𝑎 − 𝑐2 𝛽𝑦2 𝛼𝑐1 + 𝛽𝑐2 − 4𝛿𝛾𝑐1 𝑐2 𝑦2 = 0 𝑐1 𝑎𝑐1 𝛼 + 𝑐2 𝛽𝑐1 𝑎 − 2𝛾𝑐1 𝑐2 𝑏 − 𝑦2 𝑐1 𝛼𝑐1 𝛼 + 𝑐1 𝛼𝑐2 𝛽 + 𝑐1 𝛼𝑐2 𝛽 + 𝑐2 𝛽𝑐2 𝛽 + 4𝛿𝛾𝑐1 𝑐2 = 0 𝑐1 𝑎 𝑐1 𝛼 + 𝑐2 𝛽 − 2𝑐1 𝑐2 𝑏𝛾 𝑦2∗ (𝑡) = 𝑐1 𝛼 + 𝑐2 𝛽 2 + 4𝑐1 𝑐2 𝛾𝛿 Dari persamaan (5.4) dapat disederhanakan sehingga diperoleh nilai 𝑦2 𝑦1 𝑐1 𝛼 + 𝑐2 𝛽 − 𝑐2 𝑏 𝑦2 = … (𝐵) 2𝛿𝑐2 Dengan menyubstitusi persamaan (B) ke persamaan (5.3) sehingga diperoleh persamaan (5.5) 𝑦1 𝑐1 𝛼 + 𝑐2 𝛽 − 𝑐2 𝑏 𝑦1 𝑐1 𝛼 + 𝑐2 𝛽 − 𝑐2 𝑏 𝑐1 𝑎 − 𝑐1 𝛼 − 2𝛾𝑐1 𝑦1 − 𝑐2 𝛽 =0 2𝛿𝑐2 2𝛿𝑐2

17

2𝑐1 𝑐2 𝑎𝛿 − 𝑐1 𝛼𝑦1 𝑐1 𝛼 + 𝑐2 𝛽 + 𝑐1 𝛼𝑐2 𝛽 − 2𝛾𝑦1 2𝑐2 𝛿𝑐1 − 𝑐2 𝛽𝑦1 𝑐1 𝛼 + 𝑐2 𝛽 + 𝑐2 𝛽𝑐2 𝛽 = 0 2𝑐1 𝑐2 𝑎𝛿 + 𝑐1 𝛼𝑐2 𝛽 + 𝑐2 𝛽𝑐2 𝛽 − 𝑦1 𝑐1 𝛼𝑐1 𝛼 + 𝑐1 𝛼𝑐2 𝛽 + 𝑐1 𝛼𝑐2 𝛽 + 𝑐2 𝛽𝑐2 𝛽 + 4𝛿𝛾𝑐1 𝑐2 = 0 𝑐1 𝑏 𝑐1 𝛼 + 𝑐2 𝛽 + 2𝑐1 𝑐2 𝑎𝛿 𝑦1∗ (𝑡) = 𝑐1 𝛼 + 𝑐2 𝛽 2 + 4𝑐1 𝑐2 𝛾𝛿 Lampiran 7 Program Maple 13 untuk Gambar 1

>

>

Lampiran 8 Penentuan solusi khusus untuk variabel 𝒙∗𝟏 (𝒕) dan 𝒙∗𝟐 (𝒕) Diketahui persamaan (5.9) dan (5.10) 𝑥1 (𝑡) = 39,998 − 2𝑥1 (𝑡) 𝑥2 𝑡 = 11,56 − 𝑥2 𝑡 Dengan menggunakan metode pengintegralan, maka persamaan diferensial orde satu di atas dapat ditentukan solusinya. Bentuk umum 𝑥 + 𝑎 𝑥 = 𝑓 𝑡 di mana 𝑥 merupakan fungsi dalam 𝑡 dan 𝑎 dalah suatu konstanta. Solusi𝑥 𝑡 dinyatakan dalam bentuk 𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝑎𝑡 𝑒 𝑎𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 Maka dari persamaan (5.9) dan (5.10) solusi dari variabel 𝑥1∗ (𝑡) dan 𝑥2∗ (𝑡) dapat diselesaikan menjadi: 𝑥1 𝑡 + 2𝑥1 (𝑡) = 39,998 ⇔ 𝑒 2𝑡 𝑥1 𝑡 + 2𝑥1 𝑡 = 𝑒 2𝑡 39,998 … (kedua ruas dikalikan dengan 𝑒 2𝑡 ) 𝑑 atau dapat dituliskan menjadi: 𝑑𝑡 (𝑒 2𝑡 𝑥1 (𝑡)) = 𝑒 2𝑡 39,998 ⇔

𝑑

𝑑𝑡

(𝑒 2𝑡 𝑥1 (𝑡)) 𝑑𝑡 =

⇔ 𝑒 2𝑡 𝑥1 (𝑡) = ⟺ 𝑥1 𝑡 = 𝑒 −2𝑡

𝑒 2𝑡 39,998 𝑑𝑡 … (kedua ruas diintegralkan terhadap 𝑡)

39,998𝑒 2𝑡 𝑑𝑡 39,998𝑒 2𝑡 𝑑𝑡

1 2𝑡 𝑒 + 𝐶1 2 ⟺ 𝑥1 𝑡 = 𝑒 −2𝑡 19,999𝑒 2𝑡 + 𝐶2 ; 𝐶2 = 39,998𝐶1 ⟺ 𝑥1 𝑡 = 19,999 + 𝑒 −2𝑡 𝐶2 Diketahui kondisi awal 𝑥1 0 = 32. Maka solusi khusus dari 𝑥1∗ (𝑡) diperoleh 𝑥1∗ (𝑡) = 19,999 + 12,001𝑒 −2𝑡 . ⟺ 𝑥1 𝑡 = 𝑒 −2𝑡 39,998

𝑥2 𝑡 + 𝑥2 𝑡 = 11,56 ⇔ 𝑒 𝑡 𝑥2 𝑡 + 𝑥2 𝑡 = 𝑒 𝑡 11,56 … (kedua ruas dikalikan dengan 𝑒 𝑡 ) 𝑑

atau dapat dituliskan menjadi: 𝑑𝑡 (𝑒 𝑡 𝑥2 (𝑡)) = 𝑒 𝑡 11,56

18

⇔

𝑑 𝑑𝑡

(𝑒 𝑡 𝑥2 (𝑡)) 𝑑𝑡 =

⇔ 𝑒 𝑡 𝑥2 (𝑡) = ⟺ 𝑥2 𝑡 = 𝑒 −𝑡

𝑒 𝑡 11,56 𝑑𝑡 … (kedua ruas diintegralkan terhadap 𝑡)

11,56 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 11,56 𝑒 𝑡 𝑑𝑡

⟺ 𝑥2 𝑡 = 𝑒 −𝑡 11,56 𝑒 𝑡 + 𝐶3 ⟺ 𝑥2 𝑡 = 𝑒 −𝑡 11,56 𝑒 𝑡 + 𝐶4 ; 𝐶4 = 11,56 𝐶3 ⟺ 𝑥2 𝑡 = 11,56 + 𝑒 −𝑡 𝐶4 Diketahui kondisi awal 𝑥2 0 = 16. Maka solusi khusus dari 𝑥2∗ 𝑡 diperoleh 𝑥2∗ 𝑡 = 11,56 + 4,440𝑒 −𝑡 . Lampiran 9 Program Mathematica untuk Gambar 2 Plot[{19.999 + 12.001 ∗ Exp[−2 ∗ 𝑡],11.56 + 4.44 ∗ Exp[−1 ∗ 𝑡]}, {𝑡, 0,10}, PlotRange → {32,10}, PlotStyle → {Dashed, Thick}, Frame → True, FrameLabel → {𝑡, 𝑥}]

Lampiran 10 Program Mathematica untuk Gambar 3 Plot[{0.698 + 12.001 ∗ Exp[−2 ∗ 𝑡],1.504 − 4.440 ∗ Exp[−𝑡]}, {𝑡, 0,10}, PlotRange → {0,13}, PlotStyle → {Dashed, Thick}, AxesOrigin → {0,0}, Frame → True, FrameLabel → {𝑡}

Lampiran 11 Pelinearan sistem (5.18) dan (5.19) Diketahui persamaan (5.18) dan (5.19) 𝑥1 = 𝑔1 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑥1 𝑓1 𝑥1 , 𝑥2 𝑥2 = 𝑔2 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑥2 𝑓2 𝑥1 , 𝑥2 − 𝑥2∗ 𝑓2 𝑥1∗ , 𝑥2∗ untuk titik keseimbangan (𝑥1∗ , 𝑥2∗ ) ⟺ 𝑓1 𝑥1∗ , 𝑥2∗ = 0 ⟺ 𝑓2 𝑥1∗ , 𝑥2∗ ≠ 0 ∗ Misalkan 𝑣1 = 𝑥1 − 𝑥1 ⟺ 𝑥1 = 𝑥1∗ + 𝑣1 𝑣2 = 𝑥2 − 𝑥2∗ ⟺ 𝑥2 = 𝑥2∗ + 𝑣2 sehingga pelinearan untuk sistem di atas dapat dituliskan menjadi: 𝑥1 = 𝑣1 = (𝑥1∗ + 𝑣1 )𝑓1 𝑥1∗ + 𝑣1 , 𝑥2∗ + 𝑣2 𝜕𝑔1 𝜕𝑔1 𝑥1 = (𝑥1∗ + 𝑣1 ) 𝑓1 𝑥1∗ , 𝑥2∗ + 𝑣1 + 𝑣 + 𝒪(𝑣12 , 𝑣22 , 𝑣1 𝑣2 ) 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 2 𝜕𝑔1 𝜕𝑔1 𝜕𝑔1 𝜕𝑔1 𝑥1 = 𝑥1∗ 𝑣1 + 𝑥1∗ 𝑣2 + 𝑣12 + 𝑣1 𝑣2 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑔 𝜕𝑔 1 1 𝑥1 = 𝑥1∗ + 𝑣1 𝑣1 + 𝑥1∗ + 𝑣1 𝑣2 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑔1 𝜕𝑔1 𝑥1 = 𝑥1 𝑣 + 𝑥1 𝑣 𝜕𝑥1 1 𝜕𝑥2 2 𝜕𝑔1 𝜕𝑔1 𝑥1 = 𝑥1 𝑥1 − 𝑥1∗ + 𝑥1 𝑥2 − 𝑥2∗ … (𝐶) 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝑥2 = 𝑣2 = 𝑥2∗ + 𝑣2 𝑓2 𝑥1∗ + 𝑣1 , 𝑥2∗ + 𝑣2 − 𝑥2∗ 𝑓2 𝑥1∗ , 𝑥2∗ 𝜕𝑔2 𝜕𝑔2 𝑥2 = (𝑥2∗ + 𝑣2 ) 𝑓2 𝑥1∗ , 𝑥2∗ + 𝑣1 + 𝑣 + 𝒪(𝑣12 , 𝑣22 , 𝑣1 𝑣2 ) − 𝑥2∗ 𝑓2 𝑥1∗ , 𝑥2∗ 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 2 𝜕𝑔2 𝜕𝑔2 𝜕𝑔2 𝜕𝑔2 𝑥2 = 𝑥2∗ 𝑓2 𝑥1∗ , 𝑥2∗ + 𝑥2∗ 𝑣1 + 𝑥2∗ 𝑣2 + 𝑣2 𝑓2 𝑥1∗ , 𝑥2∗ + 𝑣1 𝑣2 + 𝑣22 − 𝑥2∗ 𝑓2 𝑥1∗ , 𝑥2∗ 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2

19

𝑥2 = 𝑥2∗ + 𝑣2 𝑣1 𝑥2 = 𝑥2 𝑥2 = 𝑥2

𝜕𝑔2 𝜕 𝑥1

𝜕𝑔2 𝜕𝑔2 + 𝑥2∗ + 𝑣2 𝑣2 + 𝑣2 𝑓2 𝑥1∗ , 𝑥2∗ 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2

𝑣1 + 𝑥2

𝜕𝑔2 𝜕𝑥1

𝜕 𝑔2 𝜕 𝑥2

+ 𝑓2 𝑥1∗ , 𝑥2∗

𝑥1 − 𝑥1∗ + 𝑥2

𝑣2

𝜕𝑔2 + 𝑓2 𝑥1∗ , 𝑥2∗ 𝜕𝑥2

𝑥2 − 𝑥2∗

… (D)

Dari persamaan (C) dan (D) dapat dituliskan ke dalam bentuk matriks berikut: 𝜕𝑔1 𝜕𝑔1 𝑥1∗ 𝑥1∗ 𝑥1 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝑥1 − 𝑥1∗ = 𝑥2 𝜕𝑔2 𝜕𝑔2 𝑥2 − 𝑥2∗ 𝑥2∗ 𝑥2∗ + 𝑓2 𝑥1∗ , 𝑥2∗ 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 dengan 𝜕𝑔1 𝜕𝑔1 𝜕𝑔1 𝜕𝑔1 𝑥1∗ 𝑥1∗ 𝑎1 𝑎2 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝐴= = = 𝑎 𝑎 𝜕𝑔2 𝜕𝑔2 𝜕𝑔2 𝜕𝑔2 3 4 𝑥2∗ 𝑥2∗ + 𝑓2 𝑥1∗ , 𝑥2∗ 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝑥 ∗ ,𝑥 ∗ 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 1 2 𝑥1 − 𝑥1∗ 𝑋= 𝑥2 − 𝑥2∗ Model terlinearkan dituliskan sebagai berikut: 𝑋 = 𝐴𝑋 + 𝐵𝑢 atau dapat dituliskan menjadi: 𝜕𝑔1 𝜕𝑔1 𝑥1∗ 𝑥1∗ 𝑥1 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 = 𝑥2 𝜕𝑔 𝜕𝑔 2 2 𝑥2∗ 𝑥2∗ + 𝑓2 𝑥1∗ , 𝑥2∗ 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2

𝑥1 − 𝑥1∗ 𝑥2 − 𝑥2∗

+

0 𝑢 1

Lampiran 12 Penurunan persamaan aljabar Riccati Diketahui matriks 𝑋=

𝑎1 𝑥1 − 𝑥1∗ ;𝐴 = 𝑎 𝑥2 − 𝑥2∗ 3

𝑎2 𝑞1 𝑎4 ; 𝑄 = 𝑞2

FO 1 min 𝐽 𝑢 = 2

𝑞2 0 𝑞3 ; 𝐵 = 1

; 𝜆=

∞

[𝑋 𝑇 𝑄𝑋 + 𝑢2 ]𝑑𝑡 0

dengan kendala 𝑋 = 𝐴𝑋 + 𝐵𝑢 Fungsi Hamilton 1 𝐻 = 𝑋 𝑇 𝑄𝑋 + 𝑢2 + 𝜆𝑇 (𝐴𝑋 + 𝐵𝑢) 2 1 ⇔ 𝐻 = 𝑞1 𝑥1 − 𝑥1∗ 2 + 2𝑞2 𝑥1 − 𝑥1∗ 𝑥2 − 𝑥2∗ + 𝑞3 𝑥2 − 𝑥2∗ 2 + 𝑢2 + 2 𝜆1 𝑎1 𝑥1 − 𝑥1∗ + 𝑎2 𝑥2 − 𝑥2∗ + 𝜆2 𝑎3 𝑥1 − 𝑥1∗ + 𝑎4 𝑥2 − 𝑥2∗ + 𝑢

𝜆1 𝜆2

20

Prinsip Minimum Pontryagin 𝑥1 = 𝐻𝜆 1 = 𝑎1 𝑥1 − 𝑥1∗ + 𝑎2 𝑥2 − 𝑥2∗ 𝑥2 = 𝐻𝜆 2 = 𝑎3 𝑥1 − 𝑥1∗ + 𝑎4 𝑥2 − 𝑥2∗ + 𝑢 ⇔ 𝑋 = 𝐴𝑋 + 𝐵𝑢 𝜆1 = −𝐻𝑥 1 = − 𝑞1 𝑥1 − 𝑥1∗ + 𝑞2 𝑥2 − 𝑥2∗ + 𝑎1 𝜆1 + 𝑎3 𝜆2 𝜆2 = −𝐻𝑥 2 = − 𝑞2 𝑥1 − 𝑥1∗ + 𝑞3 𝑥2 − 𝑥2∗ + 𝑎2 𝜆1 + 𝑎4 𝜆2 ⇔ 𝜆 = − 𝑄𝑋 + 𝐴𝑇 𝜆 𝐻𝑢 = 0 ⇔ 𝑢 + 𝜆2 = 0 ⇔ 𝑢 = −𝜆2 ⇔ 𝑢 = −𝐵 𝑇 𝜆 … (*) Misalkan 𝜆 = 𝑃𝑋 , 𝑃 matriks simetrik berukuran 2x2 (konstan). 𝜆 = 𝑃𝑋… (**) 𝜆 = 𝑃𝑋 + 𝑃𝑋 ⇔ 𝜆 = 𝑃𝑋 + 𝑃 𝐴𝑋 + 𝐵𝑢 ⇔ 𝜆 = 𝑃𝑋 + 𝑃 𝐴𝑋 − 𝐵𝐵 𝑇 𝜆 ⇔ 𝜆 = 𝑃𝑋 + 𝑃 𝐴𝑋 − 𝐵𝐵 𝑇 𝑃𝑋 ⇔ − 𝑄𝑋 + 𝐴𝑇 𝜆 = 𝑃𝑋 + 𝑃𝐴𝑋 − 𝑃𝐵𝐵 𝑇 𝑃𝑋 ⇔ − 𝑄𝑋 + 𝐴𝑇 𝑃𝑋 = 𝑃𝑋 + 𝑃𝐴𝑋 − 𝑃𝐵𝐵 𝑇 𝑃𝑋 ⇔ 0 = 𝑃𝑋 + 𝑃𝐴𝑋 − 𝑃𝐵𝐵 𝑇 𝑃𝑋 + 𝑄𝑋 + 𝐴𝑇 𝑃𝑋 ⇔ 0 = 𝑃 + 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵𝐵 𝑇 𝑃 + 𝑄 + 𝐴𝑇 𝑃 𝑋 ⇔ 𝑃 + 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵𝐵 𝑇 𝑃 + 𝑄 + 𝐴𝑇 𝑃 = 0… (***) Untuk 𝑡 → ∞ dan 𝑃 konstan, maka 𝑃 → 0, sehingga persamaan (***) akan menghasilkan algebraic Riccati equation (ARE) atau persamaan aljabar Riccati berikut: 𝑃𝐴 + 𝐴𝑇 𝑃 − 𝑃𝐵𝐵 𝑇 𝑃 + 𝑄 = 0. Substitusi persamaan (**) ke persamaan (*) memberikan fungsi kontrol 𝑢 = −𝐵 𝑇 𝑃𝑋.

Lampiran 13 Penentuan matriks P dengan menggunakan LQR pada software MATLAB A=[0 -0.22; 0.059 -0.113]; >> B=[0;1]; >> Q=[0 1.2;1.2 1.226]; >> [P,L,G]=care(A,B,Q) P= 5.7227 0.0000 0.0000 1.0000 L= -1.1012 -0.0118 G= 0.0000 1.0000

21

Lampiran 14 Penurunan persamaan (5.32) dan (5.33) Diketahui persamaan (5.30) dan (5.31) 𝑥1 = −0,22𝑥2 + 4,319 𝑥2 = 1,415𝑥1 − 0,8𝑥2 − 12,591 𝑥 0 −0,22 𝑥1 4,319 𝑥= 1 = + 𝑥2 1,415 −0,8 𝑥2 −12,591 0 −0,22 4,319 𝐴= ;𝐵 = 1,415 −0,8 −12,591 Solusi partikular −2,569 0,707 𝐴−1 = −4,545 0 𝑥𝑝 𝑡 = −𝐴−1 𝐵 =

𝑥1𝑝 𝑡 = 20 20 ⇔ 19,636 𝑥2𝑝 𝑡 = 19,636

Solusi homogen 𝑥𝑕 𝑡 = 𝐶1 𝑣1 𝑒 𝜆 1 𝑡 + 𝐶2 𝑣2 𝑒 𝜆 2 𝑡 Nilai eigen (𝜆) 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0 0 −0,22 𝜆 0 − 1,415 −0,8 0 𝜆 𝜆2 + 0,8𝜆 + 0,311 = 0 𝜆1,2 = −0,4 ± 0,389𝑖

=0

Vektor eigen yang berpadanan dengan 𝜆1 = −0,4 − 0,389𝑖 𝑤1 0,4 + 0,389𝑖 −0,22 =0 1,415 −0,8 + 0,4 + 0,389𝑖 𝑤2 0,4 + 0,389𝑖 𝑤1 − 0,22𝑤2 = 0 ⇔ 𝑤2 = (1,818 + 1,768𝑖)𝑤1 1,415𝑤1 + −0,4 + 0,389𝑖 𝑤2 = 0 Misal 𝑤1 = 𝑘 ⇔ 𝑤2 = (1,818 + 1,768𝑖)𝑘 Maka vektor eigen yang berpadanan dengan 𝜆1 adalah 𝑣1 =

1 1,818 + 1,768𝑖

Vektor eigen yang berpadanan dengan 𝜆2 = −0,4 + 0,389𝑖 𝑤1 0,4 − 0,389𝑖 −0,22 =0 1,415 −0,8 + 0,4 − 0,389𝑖 𝑤2 0,4 − 0,389𝑖 𝑤1 − 0,22𝑤2 = 0 ⇔ 𝑤2 = (1,818 − 1,768𝑖)𝑤1 1,415𝑤1 + −0,4 − 0,389𝑖 𝑤2 = 0 Misal 𝑤1 = 𝑘 ⇔ 𝑤2 = (1,818 − 1,768𝑖)𝑘 Maka vektor eigen yang berpadanan dengan 𝜆2 adalah 𝑣2 =

1 1,818 − 1,768𝑖

𝑥𝑕 𝑡 = 𝐶1 𝑣1 𝑒 𝜆 1 𝑡 + 𝐶2 𝑣2 𝑒 𝜆 2 𝑡 1 1 𝑥𝑕 𝑡 = 𝐶1 𝑒 (−0,4−0,389𝑖)𝑡 + 𝐶2 𝑒 (−0,4+0,389𝑖)𝑡 1,818 + 1,768𝑖 1,818 − 1,768𝑖

22

1 (cos 0,389𝑡 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛 0,389𝑡 ) 1,818 + 1,768𝑖 1 +𝑒 −0,4𝑡 𝐶2 (cos 0,389𝑡 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 0,389𝑡 ) 1,818 − 1,768𝑖 𝐶1 (cos 0,389𝑡 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛 0,389𝑡 ) = 𝑒 −0,4𝑡 𝐶1 (1,818(cos 0,389𝑡 − 𝑖 sin⁡ (0,389𝑡)) + 1,768𝑖 (cos 0,389𝑡 − 𝑖 sin⁡ (0,389𝑡))) 𝐶 (cos 0,389𝑡 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 0,389𝑡 ) 2 + 𝑒 −0,4𝑡 𝐶2 (1,818(cos 0,389𝑡 + 𝑖 sin⁡ (0,389𝑡)) − 1,768𝑖 (cos 0,389𝑡 + 𝑖 sin⁡ (0,389𝑡))) 𝐶1 cos 0,389𝑡 + 𝐶2 cos 0,389𝑡 (0,389𝑡)) = 𝑒 −0,4𝑡 {𝐶1 (1,818cos 0,389𝑡 + 1,768sin⁡ +𝐶2 (1,818cos 0,389𝑡 + 1,768sin⁡ (0,389𝑡))} −𝐶1 sin 0,389𝑡 + 𝐶2 sin 0,389𝑡 +𝑖𝑒 −0,4𝑡 {𝐶1 (−1,818sin 0,389𝑡 + 1,768cos(0,389𝑡)) +𝐶2 (1,818sin 0,389𝑡 − 1,768cos(0,389𝑡))} = 𝑒 −0,4𝑡 𝐶1

= 𝑒 −0,4𝑡

𝐾1 cos 0,389𝑡 + 𝐾2 sin 0,389𝑡 𝐾 = 𝐶1 + 𝐶2 {𝐾1 (1,818cos 0,389𝑡 + 1,768sin⁡ (0,389𝑡)) ; 1 𝐾2 = −𝐶1 + 𝐶2 +𝐾2 (1,818cos 0,385𝑡 − 1,768sin⁡ (0,389𝑡))}

𝑥1𝑕 𝑡 = 𝑒 −0,4𝑡 (𝐾1 cos 0,389𝑡 + 𝐾2 sin 0,389𝑡 ) 𝑥2𝑕 𝑡 = 𝑒 −0,4𝑡 𝐾1 (1,818cos 0,389𝑡 + 1,768sin⁡ (0,389𝑡)) + 𝐾2 (1,818sin 0,389𝑡 − 1,768cos⁡ (0,389𝑡)) Solusi Umum 𝑥1 𝑡 = 𝑥1𝑝 𝑡 + 𝑥1𝑕 𝑡 = 20 + 𝑒 −0,4𝑡 (𝐾1 cos 0,389𝑡 + 𝐾2 sin 0,389𝑡 ) 𝑥2 𝑡 = 𝑥2𝑝 𝑡 + 𝑥2𝑕 𝑡 = 19.636 + 𝑒 −0,4𝑡 𝐾1 (1,818cos 0,389𝑡 + 1,768sin⁡ (0,389𝑡) +𝐾2 (1,818sin 0,389𝑡 − 1,768cos⁡ (0,389𝑡))) Kondisi awal 𝑥1 0 = 20,219 𝑥2 0 = 12,161

𝐾1 = 0,219 𝐾2 = 4,453

Solusi Khusus 𝑥1 𝑡 = 20 + 𝑒 −0,4𝑡 4,453 sin 0,389𝑡 + 0,219 cos 0,389𝑡 𝑥2 𝑡 = 19,636+𝑒 −0,4𝑡 8,483 sin(0,389𝑡) − 7,475 cos 0,389𝑡

Lampiran 15 Program Mathematica untuk Gambar 4 Plot[{Exp[−0.4 ∗ 𝑡] ∗ (7.475 ∗ Cos[0.389 ∗ 𝑡] − 8.483 ∗ Sin[0.389 ∗ 𝑡])}, {𝑡, 0,32}, AxesOrigin → {0, −1.1}, PlotStyle → Thick, Frame → True, PlotRange → All, FrameLabel → {𝑡}]

Lampiran 16 Program Mathematica untuk Gambar 5 Plot[{20 + Exp −0.4 ∗ 𝑡 ∗ 4.453 ∗ Sin 0.389 ∗ 𝑡 + 0.219 ∗ Cos[0.389 ∗ 𝑡],19.636 + Exp[−0.4 ∗ 𝑡] ∗ (8.483 ∗ Sin[0.389 ∗ 𝑡] − 7.475 ∗ Cos[0.389 ∗ 𝑡])}, {𝑡, 0,32}, PlotStyle → {Thick, Dashed}, Frame → True, AxesOrigin → {0,0}, PlotRange → {12.161,22}, FrameLabel → {𝑡}]