PENENTUAN NILAI UMUM ASURANSI MENGGUNAKAN TEORI KONTROL OPTIMUM
RAFIDHA
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
ABSTRACT RAFIDHA. Pricing of General Insurance with Optimal Control Theory. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and SISWANDI. Generally, premium calculations are essential in the discussion of insurance products, such as expected value principles, higher order moments, and utility theory. However, all of these principles fail to account for the competitive nature of insurance pricing. Furthermore, Taylor (1986) formulates this problem as a model based on a demand law and distribution of claims. He uses a simple discrete time deterministic model, which is analyzed using pontryagin’s maximum principle to maximize the final wealth of an insurer. This leads to a bang-bang optimal premium strategy, which cannot be optimal for the insurer in realistic applications. The model is then modified by introducing a new premium rate representing the accumulated premium rates received from the existing and new customers. This model has two demand functions, i.e. power law and linear demand functions. For these demand functions, it is known that withdrawal from the market, setting a premium above the break even point, or loss leading can be optimal. Furthermore, the optimal premium strategy is sensitive to the form of the demand function.
Keywords: pontryagin’s maximum principle, optimal premium strategy.
ABSTRAK RAFIDHA. Penentuan Nilai Umum Asuransi Menggunakan Teori Kontrol Optimum. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan SISWANDI. Secara umum, penghitungan premi dari suatu produk asuransi antara lain prinsip nilai harapan, momen orde tertinggi, dan teori utilitas. Namun, ternyata semua prinsip ini gagal untuk menghitung sifat kompetitif alami dari penentuan harga asuransi. Oleh karena itu Taylor (1986) membawa permasalahan ini ke suatu model formulasi berdasarkan permintaan dan sebaran klaim. Ia menggunakan model deterministik diskret, di mana analisisnya menggunakan teori kontrol optimum sehingga memaksimumkan kekayaan akhir asuransi. Hal ini membawa ke suatu strategi premi bang-bang optimum, dimana pada aplikasinya di asuransi tidak bisa optimum. Model kemudian dimodifikasi dengan memperkenalkan tingkat premi yang diperoleh yang merepresentasikan tingkat akumulasi premi yang diterima dari nasabah baru dan lama. Model ini mempunyai dua fungsi permintaan yaitu fungsi permintaan hukum pangkat dan fungsi permintaan linear. Untuk dua fungsi permintaan diketahui bahwa keputusan untuk keluar dari pasar, menetapkan premi di atas break even point atau loss leading bisa optimum. Oleh karena itu strategi premi optimum peka terhadap bentuk fungsi permintaan.
Kata kunci: prinsip maksimum pontryagin, strategi premi optimum.
PENENTUAN NILAI UMUM ASURANSI MENGGUNAKAN TEORI KONTROL OPTIMUM
RAFIDHA
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
Judul : Penentuan Nilai Umum Asuransi Menggunakan Teori Kontrol Optimum Nama : Rafidha NIM : G54054308
Menyetujui,
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. NIP. 19651218 199002 1 001
Drs. Siswandi, M.Si. NIP. 19640629 199103 1 001
Mengetahui, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. drh. Hasim, DEA. NIP. 19610328 198601 1 002
Tanggal Lulus : ………………………
KATA PENGANTAR Alhamdulillah, puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Serta shalawat dan salam selalu tercurahkan untuk Nabi Muhammad SAW, sahabat, dan keluarganya. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari dukungan dan bantuan berbagai pihak. Penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Keluarga tercinta atas semua semangat dan dukungannya. Ayah dan Mama yang telah memberikan kasih sayang, doa, didikan, serta dukungan baik secara moril dan materi, nasihat, dan motivasi yang sangat berharga bagi penulis. Semangat dan kesabaranmu adalah motivasi bagiku. Untuk Bang Ari, Kak Dhia, Ina, dan Dhila terimakasih atas doa dan dukungannya; 2. Keluarga besar yang selalu memberikan doa, semangat dan dukungannya. 3. Bapak I Gusti Putu Purnaba selaku dosen pembimbing I serta Bapak Siswandi selaku pembimbing II. Terimakasih atas waktu, ilmu yang diberikan dan kesabarannya dalam membimbing penulis. Semua ilmu yang Pak Pur dan Pak Siswandi berikan sangat bermanfaat bagi penulis. TERIMA KASIH; 4. Bapak Toni Bakhtiar selaku dosen penguji. Terimakasih atas waktu dan ilmu yang telah diberikan bagi penulis; 5. Semua dosen Departemen Matematika, terimakasih atas ilmu yang sanagt bermanfaat dan nasihatnya selama ini; 6. Ibu Susi, Ibu Ade, Bapak Yono, Mas Bono, Mas Heri, Mas Deni dan seluruh staf pegawai Departemen Matematika, terimakasih atas bantuannya dalam memperlancar administrasi akademik bagi penulis di departemen Matematika; 7. Danish: Icha, Nesh, Hida, Tante, Mba Ind, Rizki atas persahabatan, doa, semangat dan nasihatnya selama ini; 8. Erlin, Eyyi. Jane, Niken , dan Obi terimakasih atas persahabatan, doa, dukungan semangat, dan bantuannya yang sangat berharga bagi penulis; 9. Sahabat-sahabat idha: Fara, Mija, Dwi, Hilda, Ophie, Mayang, Qkee, Gita, dan Ella terimakasih atas persahabatan, doa, semangat dan dukungannya selama ini. 10. Teman-teman satu bimbingan: Nyoman dan Mega, terima kasih atas doa, bantuan, dukungan semangat, dan nasehatnya. 11. Eyyi, Ocoy, dan Luri, terimakasih atas bantuannya telah pembahas serta saran dan kritiknya. 12. Teman-teman Math’42: Erlin, Eyyi, Jane, Niken, Obi, Achy, Hap-hap, Die-die, Vino, Lisda, Vita, Hikmah, Ryu, Luri, Okta, Gita, Vera , Rita, Mega, Ricken, Agnes, Ayu, Ocoy, Nyomie, Hesti, Nola, Titi, Mira, Rima, Sima, Tia, Lina, Zil, Dewi, Lela, Pipit, Nofita, Ety, Yuni, Wiwi, Fachri , Ilyas, Iputh, Yusep, Warno , Sapto, Djawa, Bima, Awi, Ayeep, Danu, Dandy, Yudi, , Eko, Mocco, Qnun, Rendi, Acuy, Ridwan, Herry, Boy, Septian, Mas Mukhtar, terima kasih atas doa, dukungan semangatnya, terimakasih atas kebersamaannya selama 3 tahun di Math’42; 13. Adik-adik 43: Apri, Chopy, Nia, Buncit, Cupid, Tami, Arum, dan lainnya yang tidak dapat dituliskan satu per satu, terima kasih atas doa dan dukungan semangatnya; 14. Teman-teman TPB: Wildan, Nopeq, Lukman, Mutia ,dan Ragil terima kasih atas doa, dukungan semangatnya, dan semoga persahabatan ini akan terus terjalin; 15. Teman-teman SD: Ai, Ky, Mbe, Dinul, Eno, Eko, Chica, Cina, Nitya, Oetie, Rifki, Gita, Ukhen, dan Vemmy terima kasih atas pertemanan, doa, semangat dan dukungannya; 16. Semua civitas Matematika angkatan 40, 41, 43, dan 44, terimakasih untuk semuanya; Penulis menyadari tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu dibutuhkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika.
Bogor, November 2009
Rafidha
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Pontianak pada tanggal 13 Juli 1987 sebagai anak ketiga dari lima bersaudara, anak dari pasangan Amri H. Machjus dan Aisyah. Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di SD Muhammadiyah 2 Pontianak pada tahun 1999, SLTP Negeri 3 Pontianak pada tahun 2002, SMU Negeri 1 Pontianak pada tahun2005, dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur SPMB (Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru). Pada tahun 2006, penulis diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi pengajar di KPM (Klinik Pendidikan MIPA) pada tahun 2009. Penulis juga pernah terlibat dalam beberapa kepanitiaan yang diselenggarakan oleh Gumatika antara lain CO Danus Matematika Ria tahun 2007, LO Matematika Ria tahun 2007, CO Humas Try Out Pengantar Matematika tahun, dan Sie. Logstran Try Out SPMB.
viii
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI ................................................................................................................................ vii DAFTAR TABEL ....................................................................................................................... viii DAFTAR GAMBAR .................................................................................................................... viii DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................................... viii I
PENDAHULUAN ................................................................................................................. 1 1.1. Latar Belakang .............................................................................................................. 1 1.2. Tujuan ............................................................................................................................ 1
II
LANDASAN TEORI ............................................................................................................. 2.1 Asuransi dan Polis Asuransi ............................................................................................. 2.2 Barisan dan Deret ........................................................................................................... 2.3 Persamaan Diferensial Orde Satu .................................................................................... 2.4 Proses Stokastik .............................................................................................................. 2.5 Proses Markov ................................................................................................................ 2.6 Persamaan Bernoulli ....................................................................................................... 2.7 Persamaan Riccati ........................................................................................................... 2.8 Masalah Kontrol Optimum ............................................................................................. 2.9 State Sistem Dinamik dan Peubah Kontrol ..................................................................... 2.10 Reachability, Controllability, dan Observability............................................................. 2.11 Fungsional Objektif ......................................................................................................... 2.12 Formulasi Masalah Kontrol Optimum ............................................................................ 2.13 Prinsip Maksimum Pontryagin ........................................................................................ 2.14 Kontrol Optimum Linear .................................................................................................
1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 5
III HASIL dan PEMBAHASAN .................................................................................................. 5 3.1 Formulasi Model ............................................................................................................ 5 3.2 Strategi Premi ................................................................................................................. 6 3.3 Prinsip Maksimum Pontryagin dan Hamiltonian ........................................................... 7 3.4 Akumulasi Pendapatan Premi ........................................................................................ 8 3.4.1 Fungsi Permintaan Hukum Pangkat ..................................................................... 10 3.4.2 Fungsi Permintaan Linear .................................................................................... 12 IV SIMPULAN ............................................................................................................................ 16 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................................. 17 LAMPIRAN ................................................................................................................................. 19
ix
DAFTAR TABEL 1. 2.
Halaman Nilai Parameter Fungsi Permintaan Hukum Pangkat .............................................................. 11 Nilai Parameter Fungsi Permintaan Linear ............................................................................. 14
DAFTAR GAMBAR 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Halaman Pengaruh polis pada pendapatan premi perusahaan asuransi ................................................... 6 Perubahan akumulasi pendapatan premi ................................................................................... 8 Profil harga premi pada waktu t ............................................................................................... 9 Strategi optimum untuk fungsi permintaan hukum pangkat G dengan parameter pada Tabel 1 ................................................................................................ 11 Sensitifitas strategi optimum terhadap model parameter untuk fungsi permintaan hukum pangkat G ...................................................................................... 11 Strategi optimum untuk fungsi permintaan linear G dengan parameter pada Tabel 2 ................................................................................................ 14 Analisis sensitifitas strategi premi optimum untuk fungsi permintaan linear ......................... 14
DAFTAR LAMPIRAN 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.
Halaman Persamaan permintaan ............................................................................................................ 19 Nilai harapan persamaan kekayaan ......................................................................................... 20 Persamaan nilai harapan akumulasi pendapatan premi ........................................................... 21 Persamaan nilai harapan akumulasi pendapatan premi dengan nilai awal .............................. 21 Nilai harapan persamaan kekayaan ......................................................................................... 21 Solusi nilai awal persamaan adjoin ......................................................................................... 22 Pengali Lagrange ..................................................................................................................... 23 Persamaan adjoin nondimensional .......................................................................................... 24 Nilai omega .............................................................................................................................. 25 Batas perilaku untuk lambda .................................................................................................... 26 Persamaan adjoin .................................................................................................................... 26 Persamaan Riccati nondimensional ......................................................................................... 27 Batas perilaku untuk lambda dan kontrol optimum ................................................................. 28 Nilai lambda pada persamaan Riccati ...................................................................................... 29 Nilai awal untuk persamaan adjoint ........................................................................................ 30 Grafik lambda fungsi permintaan hukum pangkat ................................................................... 30 Grafik strategi premi ................................................................................................................ 30 Grafik strategi premi dengan bervariasi .............................................................................. 31 Grafik strategi premi dengan K bervariasi ............................................................................... 31 Grafik strategi premi dengan a1 bervariasi.............................................................................. 32 Grafik lambda fungsi permintaan linear ................................................................................... 32 Grafik strategi premi ................................................................................................................ 33 Grafik strategi premi dengan bervariasi ............................................................................... 33 Grafik strategi premi dengan K bervariasi ............................................................................... 33 Grafik strategi premi dengan b1 bervariasi ............................................................................... 34 Grafik strategi premi dengan perubahan bervariasi ............................................................ 35
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Secara umum produk asuransi memerlukan penghitungan premi. Prinsip penghitungan premi saat ini semakin berkembang dengan berbagai pendekatan. Pendekatan paling sederhana adalah prinsip nilai harapan yaitu premi bersih sama dengan nilai harapan klaim dikalikan konstanta tertentu. Dalam menentukan harga premi asuransi disarankan menggunakan momen orde tertinggi dari sebaran klaim atau menggunakan teori utilitas. Kenyataannya, semua prinsip ini gagal untuk menghitung sifat kompetitif alami dari penentuan harga asuransi (Emms & Haberman 2005). Penjelasan mengenai permodelan premi asuransi yang harus ditentukan di pasar yang kompetitif dan reaksi mereka terhadap perubahan premi yang ditawarkan perusahaan kompetitor sangat sedikit dibahas dalam literatur asuransi. Walaupun faktanya bahwa siklus pertanggungan pada non-life insurance yang dikenal sekarang dan analisis objektif diperlukan untuk merumuskan strategi pertanggungan dengan baik dibandingkan dengan mengikuti trend (Emms & Haberman 2005). Kebijakan perusahaan asuransi dipengaruhi oleh harga yang ditawarkan oleh perusahaan lain. Selama siklus pertanggungan, masing-masing perusahaan asuransi mengikuti pasar. Ketika premi pasar menurun maka premi perusahaan asuransi juga menurun. Sebaliknya ketika premi pasar mengalami peningkatan maka premi perusahaan asuransi juga meningkat (Emms & Haberman 2005).
Harga premi relatif yang lebih rendah menghasilkan resiko di dalam pasar asuransi pada keuntungan yang lebih rendah untuk perusahaan asuransi. Premi adalah sebuah bentuk yang ditetapkan dalam upaya mengoptimumkan kekayaan dengan cara menjual asuransi sesuai permintaan. Secara implisit, strategi masing-masing perusahaan asuransi tidak mempengaruhi pasar. Hal ini masuk akal sepanjang perusahaan asuransi relatif kecil dibanding dengan ukuran pasar (Emms & Haberman 2005). Taylor (1986) mengasumsikan bahwa kompetisi dapat memberikan pengaruh pada strategi premi perusahaan asuransi. Taylor meneliti perubahan drastis tingkat premi yang ditawarkan oleh perusahaan asuransi di pasar asuransi Australia. Harga asuransi setelah kejadian bencana besar, misalnya bencana alam, sering diikuti oleh periode tingkat premi yang lebih tinggi dan memperhitungkan keuntungan. Masing-masing perusahaan asuransi cenderung mengikuti pasar daripada harga asuransi berdasarkan prediksi sebaran klaim. Permasalahan ini membawa ke suatu model formulasi yang berdasarkan permintaan dan sebaran klaim. Taylor menggunakan model deterministik diskret. Sebelumnya telah dibuat secara umum pendekatannya menggunakan model stokastik kontinu, dengan analisisnya menggunakan teori kontrol optimum (Emms & Haberman 2005). 1.2 Tujuan Adapun tujuan dari karya tulis ini adalah menemukan strategi premi asuransi optimal yang memaksimumkan kekayaan akhir perusahaan asuransi dengan strategi deterministik.
II LANDASAN TEORI Untuk memahami penentuan nilai umum asuransi menggunakan teori kontrol optimum, berikut ini diberikan beberapa definisi dan teorema-teorema yang berkaitan di antaranya 2.1 Asuransi dan Polis Asuransi Definisi 2.1.1 (Asuransi) Asuransi adalah suatu kontrak antara dua pihak dengan satu pihak menyetujui untuk
mengganti kerugian dari pihak lain. Pihak yang menyetujui mengganti kerugian disebut penanggung dan pihak yang mengalami kerugian disebut tertanggung. Pihak tertanggung membayar klaim pembayaran yang disebut premi kepada pihak penanggung. (Dorfman 2004)
2
Definisi 2.1.2 (Polis Asuransi) Polis asuransi adalah kontrak asuransi antara pihak penanggung dan pihak tertanggung. (Dorfman 2004) 2.2 Barisan dan Deret Definisi 2.2.1 (Barisan Takhingga) Barisan takhingga adalah suatu susunan bilangan yang dituliskan dalam suatu urutan tertentu Barisan a1 , a2 , a3 ,..., an .
a1 , a2 , a3 ,...
dapat
dinyatakan
dengan
an n1 .
Diasumsikan bahwa p(x) dan f(x) adalah kontinu untuk x pada interval I. Persamaan ini mempunyai solusi umum yaitu y( x) e ax f ( x) eax x ce ax Bukti: lihat Farlow 1994, hal 30-31. (Farlow 1994) 2.4 Proses Stokastik Definisi 2.4.1 (Proses Stokastik) Proses stokastik X {X (t ), t T } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S. (Ross 2007)
(Stewart 1999) 2.5 Proses Markov Definisi 2.2.1 (Deret Takhingga) Deret takhingga adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan takhingga
an n 1
yaitu a1 a2 a3 ... an ... dan
dinotasikan dengan
a n 1
n
. ( Stewart 1999)
Definisi 2.2.1 (Deret Taylor) Fungsi f sebarang di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a) disebut deret Taylor jika memenuhi persamaan
f ( x) n0
f ( n ) (a) ( x a)n n!
f (a)
f (1) (a) f (2) (a) ( x a)1 ( x a) 2 ... 1! 2!
Bukti: lihat Stewart 1999, hal 188. (Stewart 1999) 2.3 Persamaan Diferensial Orde Satu Definisi 2.3.1 (Persamaan Linear Orde Satu) Persamaan linear orde satu dapat ditulis sebagai berikut dy a0 ( x) a1 ( x) y F ( x), dx dengan a0 ( x) , a1 ( x) , dan F ( x) adalah fungsi tertentu yang didefinisikan pada interval tertentu I. Diasumsikan bahwa a0 ( x) 0 untuk semua x I , kemudian masing-masing ruas dibagi oleh a0 ( x) dan menulis ulang persamaan menjadi y p ( x) y f ( x ) dengan p( x) a0 ( x) a1 ( x) dan f ( x) F ( x) a0 ( x).
Definisi 2.5.1 (Proses Markov) Proses Markov adalah suatu proses acak yang peluang nilai yang akan datang ditentukan oleh nilai saat ini. Suatu proses stokastik x(t) disebut Markov jika untuk setiap n dan t1
Karena t1
1 d 1 d (b b2 4 a (c ( (b b2 4 a (c (...)))))) 2a d x 2a dx
3
Prosedur yang dijelaskan di atas dapat diekspresikan dalam bentuk iterasi 1 y0 ( x) [b ( x) b2 ( x) 4 a ( x) c ( x)] 2 a ( x) dan yn 1 ( x)
dy 1 [b ( x) b 2 ( x) 4 a ( x) ( c ( x) n ], n 0. 2 a ( x) dx
(Agnew R.P. 1960) Berikut diberikan beberapa definisi mengenai dasar dari kontrol optimum. 2.8 Masalah Kontrol Optimum Definisi 2.8.1 (Masalah Kontrol Optimum) Masalah kontrol optimum adalah memilih peubah kontrol u(t) di antara semua peubah kontrol yang admissible, yaitu kontrol yang membawa sistem dari state awal x(t0 ) pada waktu t0 kepada state akhir x(T ) pada waktu akhir T, sedemikian sehingga memberikan nilai maksimum atau nilai minimum untuk fungsional objektif. Fungsional objektif adalah fungsi dari beberapa fungsi lainnya untuk memaksimumkan atau meminimumkan suatu permasalahan. (Tu 1983) 2.9 State Sistem Dinamik dan Peubah Kontrol Definisi 2.9.1 (State Sistem Dinamik dan Peubah Kontrol) State atau keadaan sistem dinamik adalah koleksi dari x(t ) ( x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t )) yang apabila diberikan suatu nilai pada waktu t t0 , maka nilainya akan dapat ditentukan pada t t0 melalui pilihan vektor peubah kontrol u(t ) (u1 (t ), u2 (t ),..., un (t )) .
x(t ) disebut vektor peubah state sedangkan xi (t ) disebut peubah state untuk (1 i n, t0 t T ) . Ruang state adalah ruang dimensi n yang memuat koordinat xi (t ) di mana 1 i n . State suatu sistem kontinu pada waktu t dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan diferensial yaitu x (t ) f [ x(t ), u(t ), t ] sedangkan state suatu sitem diskret dinyatakan dalam sistem persamaan beda yaitu x(k 1) f [ x(k ), u(k ), k ] . Sistem ini juga dapat berbentuk deterministik dan stokastik. Vektor
Peubah kontrol adalah peubah yang memengaruhi suatu sistem dilambangkan dengan ui (t ) dengan (1 i n, t0 t T ) . Secara umum, kendala peubah kontrol dinyatakan dengan persyaratan bahwa peubah kontrol harus dipilih dari kumpulan kontrolkontrol yang admissible, yang dilambangkan (u(t )) , artinya kontrol ui (t ) (u(t )) . Apabila kontrol u (t ) hanya fungsi dari t, maka disebut kontrol open-loop dan apabila kontrol u (t ) juga merupakan fungsi dari peubah state x(t ) yaitu u(t ) u[ x(t ), t ] , maka disebut kontrol closed-loop . (Tu 1983) 2.10 Reachability, Observability
Controllability,
dan
Definisi 2.10.1 (Reachability, Controllability, dan Observability) Suatu keadaan x1 dikatakan dapat dicapai (reachable) dari sebarang keadaan x 0 pada waktu t0 jika kontrol u1 (T ) (u(T )) dapat ditemukan sedemikian sehingga x(u1 , x0 , t1 ) x1 untuk waktu t1 t0 . Koleksi dari semua x1 tersebut disebut reachable state pada waktu t. Istilah controllability merujuk pada kenyataan bahwa beberapa state terminal x1 dapat dicapai dari state awal x 0 dengan pilihan kontrol yang tepat, u (t ) Jadi, controllability u1 (T ) (u(T )) . merupakan syarat perlu untuk adanya suatu solusi. Observability adalah kemampuan untuk menentukan state awal x 0 dari observasi data dan output. Output menyatakan hubungan antara peubah state dengan peubah kontrol, misalnya y(t ) g[ x(t ), u(t ), t ] . (Tu 1983) 2.11 Fungsional Objektif Definisi 2.11.1 (Fungsional Objektif) Peubah kontrol u (t ) harus dipilih dalam rangka memaksimumkan atau meminimumkan fungsional objektif J [u (t )] , yaitu T
J [u (t )] f 0 ( x(t ), u (t ), t ) dt , t0
dengan f 0 adalah fungsi bernilai real.
4
Secara umum, terdapat tiga alternatif untuk menyajikan formulasi fungsional objektif, yaitu: 1. Formulasi Bolza Formulasi fungsional objektif bentuk Bolza merupakan formulasi yang lebih umum.
T
max J [u (t )] S x(T ), T f 0 ( x(t ), u(t ), t )
u ( t )U
t0
terhadap kendala x(t ) f ( x(t ), u(t ), t ); x(t0 ) x0 , x(t ) Rn . (Tu 1983)
T
J [u (t )] S[ x(T ), T ] f ( x(t ), u(t ), t ) dt , t0
dengan f 0 dan S adalah fungsi kontinu yang dapat diturunkan. Fungsi S[ x(T ), T ] dikenal dengan fungsi ‘scrap value’ pada waktu terminal T . 2. Formulasi Lagrange Formulasi Lagrange adalah bentuk khusus dari formulasi Bolza dengan S[ x(T ), T ] 0 , yaitu T
J [u (t )] f ( x(t ), u (t ), t ) dt. t0
3. Formulasi Mayer Formulasi Mayer juga merupakan bentuk khusus dari formulasi Bolza, dengan T
f ( x(t ), u(t ), t ) dt 0 , yaitu
t0
J [u(t )] S[ x(T ), T ]. Dengan mendefinisikan kembali peubahpeubahnya, maka ketiga Bolza dapat dikonversikan menjadi formulasi Mayer dengan mendefinisikan peubah tambahan xn 1 (t ) sebagai t
xn 1 (t ) f 0 ( x, u, ) dt , xn 1 (t0 ) 0 t0
akan menghasilkan J xn 1 (t ) S[ x(T ), T ] . (Tu 1983) 2.12 Formulasi Masalah Kontrol Optimum Definisi 2.12.1 (Formulasi Masalah Kontrol Optimum) Misalkan U menyatakan himpunan dari semua fungsi yang kontinu sesepenggal (piecewise). Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan fungsi kontrol u*(t) di antara fungsi admissible u(t) yang membawa sistem dari state awal x0 kepada state akhir / terminal xT yang memenuhi kondisi akhir / terminal, melalui x (t ) f ( x(t ), u(t ), t ) sehingga fungsional J mencapai nilai maksimum. Dengan perkataan lain, masalah kontrol optimum adalah memaksimumkan fungsional objektif
Berikut optimum
adalah
syarat
perlu
kontrol
2.13 Prinsip Maksimum Pontryagin Teorema 2.13.1 (Prinsip Maksimum Pontryagin) Misalkan u*(t) sebagai kontrol admissible yang membawa state awal ( x(t0 ), t0 ) kepada target state terminal
( x(T ), T ) , dengan x(T ) dan T secara umum tidak ditentukan. Misalkan x* (t ) merupakan trajektori atau lintasan dari sistem yang berkaitan dengan u*(t). Supaya kontrol u*(t) merupakan kontrol optimum adalah perlu terdapat fungsi vektor p* (t ) 0 , sedemikian sehingga 1. p* (t ) dan x* (t ) merupakan solusi dari sistem kanonik H * x* (t ) ( x (t ), u* (t ), p* (t ), t ) p H * ( x (t ), u* (t ), p* (t ), t ) x dengan fungsi Hamiltonian H diberikan oleh p * (t )
H ( x, u, p, t ) f0 ( x(t ), u(t ), t ) p f ( x(t ), u(t ), t )
2. H ( x* (t ), u* (t ), p* (t ), t ) H ( x(t ), u(t ), p(t ), t ) . 3. Semua syarat batas terpenuhi. H ( x* (t ), u* (t ), p* (t ), t ) H ( x(t ), u(t ), p(t ), t ) disebut Prinsip Maksimum Pontryagin. Kondisi ini dipenuhi oleh H u 0 dan
H uu 0 . Jika u U dan U himpunan tertutup, maka H u 0 tidak memiliki arti, kecuali maksimum dari H diberikan oleh bagian dalam himpunan U. Jika H fungsi monoton naik dalam peubah u, dan U tertutup, maka kontrol optimum adalah umax untuk masalah memaksimumkan dan
umin untuk masalah meminimumkan. Hal
ini juga berlaku apabila H adalah fungsi linear dalam u. Sehingga peubah kontrol optimum u adalah kontrol bagian dan loncat dari satu
verteks ke verteks yang lainnya. Ini adalah kasus khusus dari kontrol ‘bang-bang’. Syarat cukup mencakup H ( x* (t ), u* (t ), p* (t ), t ) H ( x(t ), u(t ), p(t ), t ) . Vektor p disebut juga vektor adjoin yang memiliki peranan sebagai pengali Lagrange. Dalam masalah optimisasi dinamis, peubah atau vektor adjoin merupakan ‘shadow price’ dari vektor atau peubah x , menunjukkan jumlah kenaikan/penurunan untuk setiap kenaikan/penurunan dalam nilai x pada waktu t yang berkontribusi terhadap fungsional objektif optimum J. Sedangkan p sebagai tingkat kenaikan (apresiasi untuk p 0 ), atau penurunan (depresiasi untuk p 0 ) dalam nilai dari tiap unit modal. dH H . Syarat perlu dt t untuk masalah kontrol optimum adalah p H x , H u 0 , x H p . Syarat batas
Nilai dari suatu
diberikan oleh persamaan t T
t T
0
0
(S x p) x t t [ H (t ) St ] t t t 0 Apabila scrap S=0, maka persamaan menjadi t T
t T
0
0
p(t ) x(t ) t t H (t ) t t t 0 Khususnya jika waktu awal t0 dan x(t0 ) telah ditentukan, sedangkan T dan x(T ) belum ditentukan, maka syarat batas menjadi p(T ) x(T ) H (T ) T 0 . Bukti: lihat Tu 1983, hal 114-118. (Tu 1983) 2.14 Kontrol Optimum Linear Definisi 2.14.1 (Kontrol Optimum Linear) Masalah kontrol optimum linear adalah masalah kontrol optimum dengan fungsi Hamiltonian merupakan fungsi linear dari peubah kontrol. Sifat linear tersebut dapat muncul pada Hamiltonian karena fungsi objektif dan atau fungsi kendala merupakan fungsi linear dari peubah kontrol.
Secara umum, fungsi Hamiltonian dalam bentuk linear dapat dituliskan dalam bentuk berikut : H ( x, p, t ) ( x, p, t ) u(t ) dengan ( x, p, t ) menyatakan kumpulan koefisien dari
u (t ) yang disebut sebagai switching function dan ( x, p, t ) merupakan kumpulan koefisien yang tidak memuat u (t ) . Secara umum, untuk kontrol yang tidak bounded, kontrol ekstremum tidak ada. Jika kontrol terbatas maka kontrol ekstremum tersebut akan terdapat pada batas-batasnya. Misalkan u berbatas, untuk semua i, mi ui M i , dengan mi dan M i berturutturut merupakan nilai minimum dan maksimum yang dapat dicapai oleh ui . Apabila mi dan M i merupakan konstanta maka dapat ditulis sebagai 1 ui 1 . Dengan menerapkan prinsip maksimum Pontryagin pada masalah tersebut diperoleh kontrol optimum ui* berikut 1 jika i 0 ui* 1 jika i 0 Jadi, jika u (t ) muncul linear dalam fungsi Hamiltonian dan tiap komponen ui terbatas, maka kontrol optimum ui* (t ) tak kontinu : loncat dari nilai minimum ke nilai maksimum atau sebaliknya sebagai respons terhadap perubahan tanda dari i . Dengan kata lain,
( x, p, t ) disebut sebagai switching function dan kontrol ui* disebut sebagai kontrol ‘bangbang’. (Tu 1983)
III HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Formulasi Model Exposure adalah kemungkinan kerugiankerugian yang bisa terjadi atas suatu risiko disebabkan oleh keadaan lingkungan sekitar. Misalnya pada asuransi kendaraan, exposure adalah tahun kendaraan, tariff premi adalah rupiah per tahun kendaraan. Pada waktu t, q
adalah exposure, p adalah tarif premi (per unit exposure), p adalah tarif premi rata-rata pasar (per unit exposure), π adalah rata-rata klaim atau tingkat break-even (per unit exposure), w adalah kekayaan perusahaan asuransi. Berdasarkan model dari Taylor
6
(1986), proses berikut adalah deskripsi dari sebuah pasar asuransi (1) dq q g ( p p) dt (2) dw w dt q ( p ) dt (Penurunan rumus lihat Lampiran 1) dengan fungsi permintaan adalah f ( p, p) exp ( g ) , g adalah parameter fungsi permintaan dan α adalah excess return yaitu biaya yang dikeluarkan perusahaan asuransi kepada pemegang saham. Premi rata-rata pasar diasumsikan sebagai proses acak positif dengan rata-rata terbatas pada waktu t dan sebaran tidak ditentukan. Diketahui bahwa tarif premi ditentukan pada waktu t sehingga semua premi memiliki satuan per unit waktu per unit exposure. Dengan formulasi ini, w adalah refleksi yang akurat untuk kekayaan perusahaan pada waktu t karena setiap pemegang polis membayar premi p per unit exposure untuk setiap t. Prinsip pada asumsi model ini adalah semua pemegang polis baik yang baru maupun yang lama diharuskan membayar tarif premi p yang berlaku. Gambar 1 menunjukkan bagaimana polis mempengaruhi pendapatan premi perusahaan asuransi pada kondisi diskret.
proses acak adalah Markov. Hal ini masuk akal sepanjang tingkat premi tidak berubah secara drastis selama jangka waktu polis. 3.1.1 Parameter Fungsi permintaan memerlukan parameter sebagai variabel bantu untuk menyelesaikan suatu permasalahan. Taylor (1986) mengambil dua bentuk parameter g ( p / p) untuk fungsi permintaan yaitu 1. Parameter untuk fungsi permintaan eksponensial berbentuk (3) g ( p p) a (1 p p). Bentuk tersebut diperoleh dari
f ( p, p ) e
a( p p) p
e a ( p
p 1)
e g ( p p ) e a (1 p p ) g ( p p ) a (1 p p ) 2. Parameter untuk fungsi permintaan elastisitas harga konstan berbentuk (4) g ( p p) a log( p p). Bentuk tersebut diperoleh dari a f ( p, p ) ( p p ) eg ( p
p)
( p p)
a a
log e g ( p p ) log( p p ) g ( p p ) a log( p p ) dengan a konstan yang menjelaskan berapa banyak exposure yang ditingkatkan oleh perubahan premi relatif. Bentuk persamaan (3) telah dijelaskan oleh Taylor (1986) sedangkan bentuk persamaan (4) mengacu pada Lilien & Koetler 1983.
Gambar 1 Pengaruh polis pada pendapatan premi perusahaan asuransi
Pada Gambar 1 exposure sebagai fungsi dari waktu dengan pemegang polis membayar premi p(t) yang saat ini berlaku untuk jangka waktu rata-rata polis yang dinotasikan dengan τm. Garis tebal menyatakan jangka waktu polis dengan tanggal mulai yang sama. Tarif pendapatan premi yang diakui pada waktu t dari semua polis yang berlaku adalah p(t) q(t). Perubahan kekayaan pada waktu t disebabkan oleh pendapatan premi yang dinotasikan oleh pq dt pada persamaan (2). Asumsi ini menarik karena artinya semua
3.2 Strategi Premi Terdapat dua strategi premi, yaitu fungsi linear premi rata-rata pasar serta fungsi linear premi rata-rata pasar dan premi break-even (Emms, Haberman & Savoulli 2004). Pada karya tulis ini hanya dijelaskan mengenai strategi pertama yaitu fungsi linear terhadap premi rata-rata pasar. Untuk memaksimumkan nilai harapan dari total kekayaan pada akhir waktu T jika diketahui state S pada saat t=0 maka dibentuk fungsi objektif V max{E[ w(T ) | S (0)]} p
Strategi premi yang digunakan adalah (5) p k (t ) p dengan mengambil nilai k sebagai konstanta pada saat memaksimumkan fungsi objektif dari fungsi k(t) (Emms & Haberman 2005).
7
Fungsi deterministik k(t) digunakan untuk analisis model seperti pada persamaan (1)-(2). Untuk premi tidak negatif maka k 0 . Fungsi permintaan dan bentuk strategi menghasilkan exposure q(t) yang deterministik. Hal ini menjadikan model lebih sederhana dan alasan mengapa strategi yang ada pada persamaan (5) digunakan. Berdasarkan terminologi dari teori kontrol optimum maka peubah kontrol adalah k dan peubah state adalah q dengan dq q g (k ) dt. Untuk fungsi permintaan elastisitas harga konstan dan fungsi permintaan eksponensial, parameter g adalah fungsi menurun terhadap k. Dari persamaan (2) diperoleh nilai harapan persamaan kekayaan sebagai berikut T
E[w(T )] eT [w(0) F dt ],
H (q, k , , t ) e t q (k mp m ) q a log k
0
(Bukti lihat Lampiran 2) dengan F F (q, k , t ) e t q ( p )
e t q (k p )
F F (q, k , t ) e t q (k mp m ) (6) dan (7) mX mX (t; s) E [ X (t ) | S (0) s], dengan S adalah state dari sistemdan X adalah peubah yang ingin kita cari. Akibatnya masalah strategi premi ditulis sebagai suatu bentuk baku untuk teori kontrol (Sethi & Thompson 2000). Kemudian menentukan fungsi nilai T
V max{ J F (q, k , t ) dt }, k 0
0
Untuk fungsi permintaan eksponensial g a (1 k ) , Hamiltonian merupakan fungsi linear dari peubah kontrol. Kontrol optimumnya adalah bang-bang: untuk 0 , k* dan 0, k* 0 atau tergantung dari parameter model. Jika 0 dan k* 0 maka hal ini adalah loss leader: perusahaan asuransi melepas asuransi untuk mendapatkan pasar dan menagih nasabah premi tanpa batas pada saat t=T supaya meningkatkan kekayaan tanpa batas. Jika k* untuk t [0, T ] yang artinya optimum untuk tidak menjual asuransi. Untuk fungsi permintaan elastisitas harga konstan g a log k , Hamiltoniannya adalah H (q, k , , t ) f (q, k , t ) q g (k )
(8)
dengan kontrol optimum k*. Nilai dari fungsi objektif ini menentukan nilai maksimum dari harapan akhir kekayaan. 3.3 Prinsip Maksimum Pontryagin dan Hamiltonian Kondisi yang dibutuhkan untuk kontrol optimum ditentukan oleh Prinsip Maksimum Pontryagin yang dapat dinyatakan dalam bentuk Hamiltonian H ( x, u, p, t ) F ( x, u, t ) p f ( x, u )
F ( q, k , t ) f ( q, k ) (9) H (q, k , , t ) F (q, k , t ) q g (k ), dengan λ adalah pengali Lagrange (Tu 1983). Prinsip Maksimum dinyatakan dalam H ( x* , u* , p* , t ) H ( x, u, p, t ), H (q* , k* , , t ) H (q* , k , , t ), untuk semua k 0 .
(10) Jika maksimum dari H melalui k (0, ) diberikan oleh Hk=0 yaitu turunan Hamiltonian terhadap k kemudian menggunakan persamaan (10) maka Hk 0 e t q m p e t m p
qa k
0
a
(11) 0. k Karena k harus positif maka λ juga positif. Persamaan ini ketika dipasangkan dengan persamaan adjoint menentukan suatu kontrol optimum. (Gelfand & Fomin 2000). Persamaan adjointnya adalah H q e t (k mp m ) a log k (12) Untuk maksimum, turunan kedua dari H adalah H kk 0 saat k k* . Dari persamaan (10) diperoleh a q H kk 2 0 k untuk k 0 , titiknya minimum. Dari bentuk Hamiltonian pada fungsi permintaan eksponensial diketahui kontrol optimumnya menurun dan tidak unik : jika 0 maka sementara jika k*
0 maka k* 0 atau . Berdasarkan kedua fungsi permintaan pada persamaan (3) dan persamaan (4) kontrol optimum adalah fungsi yang menurun. Strategi bang-bang adalah optimum karena prinsip pada asumsi model kontinu pada persamaan (1) dan persamaan (2), yaitu
8
sebuah perusahaan asuransi memerlukan semua pelanggan yang ada untuk membayar tarif premi yang saat ini berlaku. Terdapat batasan pada seberapa besar peningkatan pemegang polis yang diperlukan untuk membayar premi asuransi sebelum jangka waktu polis habis. Strategi yang optimum akan bergantung pada peningkatan nilai ini. Solusi untuk masalah ini adalah dengan menempatkan kendala pada strategi premi sehingga harga premi asuransi tidak dapat mengubah polis asuransi secara drastis (Emms, Haberman & Savoulli 2004). Pendekatan alternatifnya adalah dengan mengubah asumsi dari model ini. 3.4 Akumulasi Pendapatan Premi Diberikan model kontinu yang sederhana oleh Gerrad & Glass (2004). Penyebab perubahan exposure adalah kerugian akibat penghentian polis serta adanya new business atau polis yang dilanjutkan. Oleh karena itu diperlukan parameter untuk tarif new business. New business adalah produk dan polis baru yang belum pernah dipasarkan oleh perusahaan asuransi. Persamaan exposure dipecah menjadi new busines dan penghentian polis selama parameter new business memiliki bentuk yang mirip dengan fungsi permintaan pada persamaan (3) dan persamaan (4). Berdasarkan fungsi permintaan pada persamaan (3) dan persamaan (4), diperoleh persamaan new business sebagai berikut (13) n q G( p p), dengan G adalah fungsi permintaan tak negatif. Parameter ini mencerminkan gagasan bahwa reputasi sebuah perusahaan adalah sebanding dengan exposure di pasar dan hal ini merupakan bagian dari reputasi sebuah perusahaan asuransi yang dapat meningkatkan kemungkinan untuk menghasilkan peluang new business (Emms & Haberman 2005). New business ini juga ditentukan oleh premi asuransi yang ditetapkan relatif pada pasar yang diwakili oleh fungsi permintaan G. Jangka waktu rata-rata sebuah polis asuransi termasuk polis yang dilanjutkan dilambangkan dengan τm. Perubahan exposure pada saat t bergantung pada new business dari t-τm hingga t (lihat Gambar 2). Oleh karena itu proses q non-Markov, yang sangat sulit dimodelkan. Untuk tetap membuat model tersebut Markov dan menggunakan teori kontrol konvensional maka digunakan parameter kehilangan exposure akibat penghentian polis yaitu κq dengan m 1 .
Nasabah yang ada tidak diwajibkan membayar premi saat ini sebagai gantinya nasabah membayar premi pada awal waktu polis. Artinya bahwa pada saat t ada kisaran harga premi yang dibayarkan kepada asuransi sehingga terdapat tingkat akumulasi pendapatan premi Q sehingga Q juga nonMarkov. Untuk model Markov dimisalkan bahwa penurunan akumulasi pendapatan premi akibat penghentian polis sebanding dengan akumulasi pendapatan premi saat ini κQ. Berikut ini diberikan gambar perubahan akumulasi pendapatan tergantung pada new business dan tarif premi antara t-τm dan t.
Gambar 2 Perubahan akumulasi pendapatan premi
Pada Gambar 2, exposure asuransi sebagai fungsi dari waktu dengan premi dimulai dari awal polis dan konstan selama jangka waktu polis. Pendapatan premi adalah t
Q
p( s) n( s) ds .
t m
Dimisalkan bahwa π konstan dan p menyebar lognormal, yaitu sebaran kemungkinan dari p yang logaritmanya menyebar normal. Hal ini tidak realistis karena diasumsikan bahwa π dan p bebas karena π dan p tidak saling mempengaruhi. Jika pasar menggunakan prinsip nilai harapan maka p sebanding dengan π . Oleh karena itu p, (14) dengan γ adalah rasio kerugian. Pasar akan menghasilkan keuntungan dengan menjual produk asuransinya jika 1 .
9
Dengan asumsi ini didapat model dq (n q) dt
dQ ( pn Q) dt dw ( w Q p q) dt.
(15) (16) (17)
Berdasarkan strategi (5) maka exposure q dan new business n adalah deterministik. Diasumsikan bahwa terdapat m p bebas terhadap peubah state lainnya sehingga terdapat dua peubah state baru yaitu q dan mQ. Misalnya jika p menyebar log-normal dengan perubahan μ maka mp p(0) et , menggunakan notasi pada persamaan (7). Dari persamaan (16) diperoleh dmQ q k G(k ) m p mQ . dt Dengan mengintegralkan persamaan ini didapat t
mQ (t ) mQ (0) e ( s t ) m p ( s) n( s) ds 0
B (t )
mQ (0)
e (b ( s ) t ) m p (b( s )) db
(18)
mQ (0) q(0) mp
yang artinya pendapatan
akumulasi premi perusahaan asuransi didapat dari exposure q (Bukti lihat Lampiran 4). Pada Gambar 3, rataan tarif profil premi diterima pada saat t dengan tarif premi dimulai pada awal polis dan konstan selama jangka waktu. Polis individu dijelaskan oleh garis tebal. Jika tingkat premi konstan kemudian premi yang terjadi Q(t) diberikan oleh wilayah yang berbayang. Pendapatan premi yang sebenarnya di model kontinu adalah yang ditutupi oleh garis titik-titik. Dengan nilai harapan dari persamaan (17) dan integral didapat t
0
(Bukti lihat Lampiran 3) t
dengan
(18) menyatakan bahwa profil ini adalah fungsi terboboti dari seluruh premi pada [0, t], walaupun demikian hanya nilai premi dalam rentang [t-τm , t] yang penting. Namun, perlu diketahui bahwa hal ini memaksakan sebuah struktur premi tiruan yang berbeda dari yang sebenarnya diterima, kecuali dalam kasus tarif premi konstan. Jika mp konstan dengan menggunakan persamaan (15) dan (16) dan integral dihasilkan mQ q mp menggunakan
B(t ) n( s) ds adalah total bisnis
mw (t ) e t [mw (0) e s (mQ ( s) qm p (s)) ds] 0
(Bukti lihat Lampiran 5).
0
yang dihasilkan sepanjang waktu t. Dimisalkan bahwa B adalah fungsi monoton naik terhadap t sehingga invers dari t t ( B) terdefinisi.
Fungsi kekayaan dijelaskan dalam bentuk Lagrange sebagai T
V max{ J F dt } 0
k
dengan F ( x, t ) e t (mQ qmp )
(19)
dengan mQ pada persamaan (18) dan vektor statenya adalah x (q, mQ )T . Persamaan statenya adalah q (G(k ) ) x f ( x, k , t ) q k G (k ) m p mQ (20) Hamiltonian diberikan oleh
H ( x, k , , t ) F f
e t (mQ qm p ) 1q (G(k ) ) 2 (q k G (k ) m p mQ ),
Gambar 3 Profil harga premi pada waktu t
Gambar 3 menunjukkan profil harga premi yang diperoleh model ini pada waktu t. Profil premi yang benar tergantung pada sejarah harga premi antara t-τm dan t. Dengan membuat model tersebut Markov, persamaan
dengan vektor pengali Lagrange adalah (1 , 2 ) Dimisalkan kontrol optimum k* diberikan oleh turunan pertama untuk memaksimumkan H. Persamaan state dan persamaan adjoin yang merupakan syarat perlu suatu kontrol optimum adalah (21) Hk 0 (22) x H H (23) x
10
Untuk turunan kedua H kk 0 saat k k* . Syarat batasnya adalah x(0) (q(0), mQ (0))T , (T ) 0. Untuk menentukan kontrol optimum k* , hanya perlu memecahkan masalah nilai awal yang terdiri dari persamaan adjoin (23) dan syarat batas. Persamaan adjoin yang kedua bebas terhadap pilihan fungsi permintaan G. Dari persamaan (19) dan (20) didapat (24) 2 HmQ 2 e t , dengan syarat batas 2 (T ) 0 . Persamaan ini kemudian diintegralkan sehingga diperoleh e t 2 (1 e( ) (t T ) ), (25) (Bukti lihat Lampiran 6) Akibatnya untuk 0 t T maka 2 0 . 3.4.1 Fungsi Permintaan Hukum Pangkat Fungsi permintaan G merupakan fungsi tak naik tak negatif dari harga relatif premi. Oleh karena itu terdapat parameter yang sesuai yang didefinisikan untuk semua premi positif dengan bentuk G b1 k a1 , (26) dengan a1 , b1 0 : a1 konstan dan satuan b1 adalah per unit waktu. Walaupun G didefinisikan untuk semua k 0 , persamaan (26) akan menjadi parameter yang tidak realistik karena k menjadi besar. Jika strategi optimum tergantung pada generasi new bussiness untuk tarif premi relatif besar maka hal ini bukan model yang baik untuk fungsi permintaan (Emss & Haberman 2005). Hamiltonian untuk fungsi permintaan ini adalah H F f
e t (mQ qm p ) 1 q(b1 k a1 ) 2 (qkb1 k a1 m p mQ ) t
e (mQ qm p ) 1 q(b1 k
a1
) 2 (qb1 k
a1 1
m p mQ ).
Dengan melakukan turunan pertama dan kedua fungsi H diperoleh H k a1 1 q b1 k a1 1 (1 a1 ) q b1 k a1 m p 2 q b1 k a1 1 ((1 a1 )k m p 2 a1 1 ) H kk (a1 1) a1 1 q b1 k a1 2 a1 (1 a1 ) q b1 k a1 1 m p 2 (1 a1 ) a1 1 q b1 k a1 2 (1 a1 ) a1 q b1 k a1 1 m p 2 a1 q b1 k a1 2 ( (1 a1 ) 1 (1 a1 ) k m p 2 ).
Misalkan ekstremum dari H pada titik interior ki* , dengan ki* (0, ) . Oleh karena itu strategi optimum diberikan oleh H k 0 :
qb1k a1 1 ((1 a1 )km p 2 a11 ) 0 (1 a1 ) k m p 2 a11 a1 1 (1 a1 ) m p 2 yang memberikan hasil jika H kk 0 ki*
(27) maksimum
H kk a1 qb1 ki* a1 2 ( (1 a1 ) 1 (1 a1 ) km p 2 ) a1 qb1 ki* a1 2 ( (1 a1 ) 1 (1 a1 ) m p 2
a1 1 ) (1 a1 ) m p 2
a1 qb1 ki* a1 2 ( (1 a1 ) 1 a1 1 ) a1 qb1 ki* a1 2 0
Akibatnya terdapat maksimum interior dari H jika 1 0 dan ki* 0 . Selanjutnya dari (25) dan (27) maka a1 1 . Pengali Lagrange ditentukan oleh (1 a1 )m p 2 a 1 1 mp e t 1 1b1 ( )( )1 a1 1 a1 1 (28) (Bukti lihat Lampiran 7) menggunakan persamaan (25) dengan syarat batas 1 (T ) 0 . Hal ini mirip dengan persamaan Bernoulli tetapi tak homogen sehingga secara umum tidak mempunyai solusi analitik. Kemudian dilakukan penondimensionalan pada premi rata-rata pasar untuk penyederhanaan persamaan sehingga diperoleh solusi numerik dengan menggunakan nilai awal. Skala yang digunakan adalah b1 2 b1 1 p(0) t T (1 s) ˆ T
K b1 (b1 T )1 m p p (0) M (s) Substitusikan skala tersebut ke dalam persamaan (28) sehingga diperoleh persamaan adjoint nondimensional yaitu
d 1 (1 a1 ) M ( s) a1 [ M ( s) eˆ (1 s ) K ( )( ) ]. ds a1 1 a1
(29) (Bukti lihat Lampiran 8). Dari persamaan (25) diperoleh (ˆ ) s eˆ (1 s ) (1 e ) ( K ˆ ) (Bukti lihat Lampiran 9). dan strategi optimum a 1 ki* 1 1 a1 2 m p K
a1 p (0) 1 a1 p (0) M ( s)
11
ki*
a1 1 a1 M ( s)
s 0, 0
Saat
sehingga
0.0
M ( s) e
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2
k i*
tidak
terdefinisi. Dalam hal ini hanya bisa ditemukan sifat batas secara numerik dengan mensubstitusikan ekspansi deret Taylor untuk λ dan ω saat s 0 sehingga persamaan aljabarnya '(0) M (0) eˆ . (Bukti lihat Lampiran 10). Diberikan akar numerik dari persamaan ini, kemudian dapat diintegralkan persamaan (29) secara numerik dengan nilai awal ( s) '(0) s. Jika dimisalkan 1 maka orde utama eˆ (1 s ) K dan persamaan aljabar untuk λ: ˆ (1 s )
0.2
(30)
(a 1) M ( s) e (1 s ) a1 1 K ( ) ( )( 1 ) 0. a1 1 a1 K ( )
0.4
0.6
λ numerik λ pendekatan
0.8
1.0
s (i) 3.0
λ numerik λ pendekatan
2.5
K 1 a1 2.0
1.5
ˆ
(31) Secara umum, solusi persamaan ini hanya bisa ditentukan secara numerik. Untuk lebih sederhana, dimisalkan p adalah konstan sehingga M 1 . Untuk menetapkan bentuk parameter, dimisalkan bahwa asuransi menetapkan preminya 80% terhadap premi pasar sehingga exposure asuransi akan meningkat sebesar 40% setelah satu tahun. Jadi, dipilih a1 2 dan diperoleh
b1 0.256 dari persamaan (26). Lama ratarata polis ditetapkan selama satu tahun dan perencanaan horizon selama 10 tahun. Excess return diambil sebesar 6% dan rasio premi sebesar 0.67. Tabel 1 Nilai Parameter Fungsi Permintaan Hukum Pangkat Waktu Horizon T 10 tahun Pertumbuhan permintaan a1 Parameter Permintaan b1
2
Penurunan Kekayaan α
0.06 per tahun
Rasio break-even terhadap premi rata-rata γ Lama rata-rata polis τ = κ-1
0.67
0.256 per tahun
1 per tahun
Berikut diberikan hasil simulasi untuk fungsi permintaan hukum pangkat dengan menggunakan parameter pada Tabel 1.
1.0
0.5
0.0 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
s (ii) Gambar 4 Strategi optimum untuk fungsi permintaan hukum pangkat G dengan parameter pada Tabel 1
Gambar 4 menunjukkan solusi numerik dari persamaan (29) dan (31) untuk perbandingan dengan data pada Tabel 1. Strategi dimulai dari s 1 bersesuaian dengan t 0 sampai s 0 bersesuaian dengan t T . Dari persamaan (15), persamaan state untuk exposure adalah dq (n q ) dt
(q G (k ) q) dt (q b1 k a1 K b1 q ) dt dq q b1 (k a1 K ) dt. (32) Hal ini bisa dilihat Gambar 4 (ii) bahwa strategi optimum ki* selalu di atas K 1 a1 sehingga exposure menurun secara eksponensial dengan waktu t meningkat. Jadi parameter ini menetapkan strategi optimum yang menjelaskan strategi keluar dari pasar.
12
3.0
γ=0.9
2.5
k i
2.0
1.5
1.0
γ=0.1 0.5
0.0 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
s
(i) 3.0
2.5
K=4 k i
2.0
1.5
K=1
1.0
0.5
0.0 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
s
(ii)
bisa tumbuh secara eksponensial tetapi premi relatif optimum masih besar dibandingkan premi rata-rata pasar. Pada saat lama rata-rata waktu polis lebih panjang dari perencanaan horizon T maka sangat sedikit pemegang polis meninggalkan asuransi dengan premi berapapun yang ditetapkan: nasabah terus membayar tingkat premi yang ditetapkan saat awal polis. Keterbatasan model ini adalah lama rata-rata waktu polis bebas terhadap tingkat premi. Dari Gambar 5 (iii) bisa dilihat bahwa parameter pertumbuhan permintaan a1 meningkat, premi optimum menurun di bawah premi rata-rata pasar. Untuk kisaran parameter dikaji pada premi relatif optimum di atas K 1 a1 0.5 sehingga strategi premi menuju ke penarikan dari pasar. Hal ini jelas bahwa strategi premi sangat bergantung pada parameter permintaan. Diketahui bahwa untuk parameter yang dipilih menetapkan premi relatif optimum ki* , yang berarti bahwa
p sehingga tidak ada strategi yang lossleading.
3.0
3.4.2 Fungsi Permintaan Linear Parameter produk dan polis baru disederhanakan dengan a (b k ) jika k b2 G 2 2 jika k b2 0
2.5
a1 2
k i
2.0
1.5
1.0
0.0 0.0
dengan a2 0 memiliki satuan per unit waktu
a1 10
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
s
(iii) Gambar 5 Sensitifitas strategi optimum terhadap model parameter untuk fungsi permintaan hukum pangkat G
Kontrol optimum adalah fungsi dari parameter γ, K, a1, ε, dan ˆ . Gambar 5 menunjukkan kontrol optimum yang berbeda jika salah satu parameter bervariasi sedangkan sisanya diambil dari Tabel 1. Kontrol optimum menunjukkan untuk γ = 0.1 sampai dengan 0.9 dengan langkah 0.2 pada Gambar 5 (i), K = 1 sampai dengan 4 dengan langkah 1 pada Gambar 5 (ii), dan a1 = 2 sampai dengan 10 dengan langkah 2 pada Gambar 5 (iii). Dengan meningkatkan γ, premi relatif optimum meningkat dan perusahaan asuransi melakukan repricing. Untuk K, strategi optimum tidak terpengaruh oleh K. Jika K cukup kecil (sesuai dengan lama polis) maka persamaan (32) menunjukkan bahwa exposure
dan b2 konstan. Diketahui bahwa G adalah parameter yang berbeda dengan g di (3) karena G adalah fungsi tak negatif yang menjelaskan karakteristik permintaan pada new business dibanding perubahan di bagian tertentu pada eksposure. Hamiltonian pada kasus ini adalah H F f
e t (mQ q m p ) 1 q (a2 (b2 k ) ) 2 (q k a2 (b2 k ) m p mQ )
dengan turunan pertama dan kedua H k a2 q 1 2 q a2 b2 m p 2 2 q a2 k m p a2 q 1 2 q a2 m p (b2 2 k ) H kk 2 2 q a2 k
jika k b2 . Oleh karena itu maksimum H pada saat
13
Hk 0
dengan
a2 q 1 2 q a2 m p (b2 2 k ) 0 b2 2 k b2 ki*
1 2 m p
a2 q 1 2 q a2 m p 2k
1 (b2 1 ) 2 2 m p
(ˆ ) s eˆ (1 s ) (1 e ) (40) ( K ˆ ) dan syarat batas adalah (0) 0 . Dalam hal ini peubah baru strategi interior optimum adalah 1 ki* (b2 1 ) 2 2 m p
(34)
yang memberikan strategi interior optimum dengan 0 ki* b2 dan 2 0 . Persamaan adjoin menentukan kontrol interior optimum: 1 H q
t
( m p e 1 (a2 (b2 k ) ) 2 a2 k (b2 k ) m p ) t
m p e 1 (a2 (b2 ki* ) ) 2 a2 ki* (b2 ki* ) m p
(35) dengan syarat batas 1 (T ) 0 . Pengali Lagrange kedua hanya merupakan fungsi dari t sehingga persamaan (34) dapat disubstitusi ke (35) sehingga diperoleh: 2 a2 b2 2 mp a b a 2 1 mp e t 1 ( 2 2 ) 2 1 2 4 2 m p 4 (36) (Bukti lihat Lampiran 11) yang merupakan persamaan Riccati. Kemudian dilakukan skala ulang menggunakan peubah: a2 2 a2 1 p(0) t T (1 s) mp p(0) M (s)
(37) dan parameter penondimensionalan: K a2 (a2 T )1 ˆ T . Diketahui bahwa definisi dari K dan ε telah berubah dari bagian sebelumnya karena perubahan fungsi permintaan. Dari persamaan (15) eksposure dibentuk oleh: q a (b k K ) ; k b2 dq 2 2 ; k b2 q a2 K
(38)
Jika k b2 maka polis berakhir pada tarif yang lebih tinggi daripada tarif dimana new business yang dihasilkan terlepas dari tarif premi relatif. Hal ini tidak realistik sehingga k b2 . Persamaan Riccati dengan skala ulang adalah
b d b2 2 M ( s) 2 ( 2 K) M ( s) eˆ (1 s ) , ds 4 2 4 M ( s)
(39) (Bukti lihat Lampiran 12)
K
ki*
p (0) 1 (b2 ) 2 p (0) M ( s)
1 (b2 ) 2 M (s)
asalkan M . Karena
(41)
0 saat
s 0 maka ki* tidak terdefinisi pada akhir waktu horizon. Jika dimisalkan λ cukup dekat dengan s 0 maka ekspansi deret Taylor disubstitusikan pada persamaan (39) sehingga diperoleh 1 ki* (b2 ) ; s 0 . (42) 2 (Bukti lihat Lampiran 13) Ekspresi ini memberikan tarif premi relatif optimum akhir. Dimisalkan 1 maka untuk orde utama eˆ (1 s ) K dan
M(
2 K b2 2 ( K 2 b2 K K ) )1/ 2 K eˆ ( s 1)
)
(43) (Bukti lihat Lampiran 14) dengan c b2 K .
(44) Dimisalkan bahwa jika perusahaan asuransi menetapkan premi 80% terhadap premi pasar maka akan mendapatkan eksposure 40% selama satu tahun. Jika a2 2 maka diperoleh b2 1 dari persamaan (33). Parameter yang lain diambil dari Tabel 1 dan menghasilkan Jika c 1/ 2 .
c 1/ 2 maka kontrol optimum tidak seimbang. Pada kasus ini, terdapat kemungkinan bahwa kontrol optimum bisa negatif atau bahkan terdapat singularitas spontan untuk s (0,1] . Menggunakan persamaan (43), pendekatan strategi interior optimum adalah
14
M (2 K b2 2 ( K 2 b2 K K ) )1/ 2 ) 1 ki* (b2 ) 2 eˆ (1 s ) M K eˆ ( s 1) K 1 (b2 2 K b2 2 ( K 2 b2 K K ) )1/ 2 ) 2 1 (2 b2 2 K 2 ( K 2 b2 K K ) )1/ 2 ) 2
γ 0.8
0.7
0.6
(45) adalah bebas terhadap M
0.5
dan s. Sebagai catatan bahwa ekspresi pendekatan ini hanya berlaku jika solusi persamaan Riccati seimbang. Dalam perhitungan numerik ditemukan bahwa solusi cenderung ke arah kontrol bang-bang maka pendekatan ini menjadi tidak berlaku (Emms & Haberman 2005). Berikut diberikan Tabel 2 yang digunakan untuk simulasi. Tabel 2 Nilai Parameter Fungsi Permintaan Linear Waktu Horizon T 10 tahun Pertumbuhan permintaan a2 Parameter Permintaan b2
2 per tahun
Penurunan Kekayaan α
0.06 per tahun 0.67
1
Rasio break-even terhadap premi rata-rata γ Lama rata-rata polis τ = κ-1
1 per tahun
Gambar 6 menunjukkan pendekatan strategi premi dengan solusi numerik dari persamaan Riccati (39) menggunakan parameter di Tabel 2. Dari penjelasan sebelumnya ditetapkan b2 1 sehingga tidak ada permintaan untuk asuransi jika premi asuransi diatas rata-rata pasar. Sebagai tambahan, ditetapkan M 1 sehingga tidak ada perubahan pada premi rata-rata pasar. 0.0 0.2
0.5
0.9
ki* b2 K ( K 2 b2 K K ) )1/ 2 . Nilai orde utama ki*
0.4
0.6
λ numerik λ pendekatan
1.0
1.5
2.0
s (i)
0.8
1.0
λ numerik λ pendekatan b2 K
1.0
0.4 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
s (ii) Gambar 6: Strategi premi optimum untuk fungsi permintaan linear G dengan parameter dari Tabel 2.
Gambar 6 (i) memperlihatkan bahwa terdapat wilayah bagian dalam dengan ekspresi pendekatan untuk λ tidak memenuhi syarat batas. Bagaimanapun, wilayah ini terlihat tidak penting saat pendekatan rasio kontrol optimum ki* di plot. Diketahui bahwa strategi dimulai dari waktu s 1 sampai ke s 0 dan exposure selalu menurun selama s menurun ( karena k b2 K ) sehingga strategi ini secara efektif mewakili penarikan yang bertahap dari pasar. Kebalikan dari fungsi permintaan hukum pangkat, kontrol optimum ki* untuk fungsi permintaan linear meningkat setiap waktu. Kontrol optimum adalah fungsi dari enam parameter yaitu γ, K, b2, M, ˆ dan ε. Parameter ε adalah pengukur seberapa cepat 1 mencapai keseimbangan. Gambar 7 (i) (iv) menunjukkan bahwa kontrol optimum berbeda untuk setiap parameter yang bervariasi dan parameter lainnya konstan untuk setiap grafik. Kontrol optimum ditampilkan untuk γ = 0.4 sampai dengan 0.8 dengan langkah 0.1 pada Gambar 7 (i), untuk K = 0.2 sampai dengan 0.4 dengan langkah 0.05 pada Gambar 7 (ii), untuk b2 = 1.0 sampai dengan 1.4 dengan langkah 0.1 pada Gambar 7 (iii), dan untuk ˆ = 0.1 sampai dengan 0.9 dengan langkah 0.2 pada Gambar 7 (iv).
15
γ=0.8
1.0
0.8
k i
0.6
0.4
γ=0.4 0.2
0.0 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
s
(i) 1.2
1.0
K= 0.4
k i
0.8
0.6
K=0.2 0.4
γ
0.2
0.0 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
s
(ii) 1.2
b2 1.0
1.0
k i
0.8
0.6
0.4
b2 1.4
0.2
0.0 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
s
(iii) 1.0
ˆ 0.1
0.9
k i
0.8
0.7
ˆ 0.9 ˆ 0.9
ˆ 0.9
0.6
ki* numerik γ
0.5
0.4 0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
s
(iv) Gambar 7: Analisis sensitifitas strategi premi optimum untuk fungsi permintaan linear G.
Gambar 7 (i) dan 7 (ii) menunjukkan strategi optimum bervariasi dengan γ dan K masing-masing. Saat γ menurun, kerugian awal meningkat, c untuk diberikan oleh persamaan (44), strategi optimum ditentukan oleh kendala k 0 . Sifat yang hampir sama terjadi saat K menurun, sebanding dengan meningkatnya lama rata-rata waktu polis. Kemudian, untuk K 0.35 , eksposure meningkat di atas nilai awal strategi, sehingga kondisi ini bisa digunakan untuk memasuki pasar. Awalnya perusahaan asuransi mengalami kerugian untuk membangun eksposure yang akan meningkatkan reputasi perusahaan. Menuju akhir waktu horizon, premi ditinggikan untuk mendapatkan keuntungan. Diketahui juga untuk K yang cukup kecil strategi optimum adalah lossleading karena ki* . Gambar 7(iii) menunjukkan kontrol optimum bervariasi dengan meningkatnya b2 yang berkaitan dengan meningkatkan pemotongan premi relatif: jika k b2 maka tidak ada permintaan untuk asuransi. Dapat dilihat dengan meningkatnya b2 maka batas rasio kerugian kritis c diberikan oleh persamaan (44). Oleh karena itu, jika terdapat permintaan untuk premi relatif yang tinggi, kontrol optimum kemungkinan terbatas oleh kendala bahwa premi harus tak negatif. Apalagi jika ditetapkan c maka premi relatif optimum akhir meningkat bersama b2. Lebih jelasnya, kekayaan semakin meningkat dengan menjual asuransi pada tingkat premi relatif yang tinggi walaupun eksposure yang dihasilkan sedikit. Hal seperti ini tidak mungkin bahwa new business bisa dihasilkan pada tingkat premi tinggi : tarif generasi new business bisa nol jika premi yang ditetapkan terlalu tinggi di atas rata-rata pasar. Harus diyakinkan bahwa parameter permintaan mencerminkan hal ini jika diharapkan memperoleh strategi optimum yang realistik. Gambar 7(iv) menunjukkan variasi strategi optimum jika dimisalkan p menyebar lognormal , diberikan M eˆ (1 s ) , dengan ˆ T adalah perubahan konstan. Variasi parameter ini mempunyai pengaruh kecil pada strategi optimum. sehingga hasil tidak begitu terlihat.
16
V SIMPULAN Premi asuransi optimum diberikan oleh premi relatif asuransi yang sebanding dengan rasio premi asuransi terhadap premi rata-rata pasar. Asuransi menetapkan k sedemikian sehingga premi pasar di atas tingkat break even premi jika tidak terjadi perubahan pada premi rata-rata pasar. Diasumsikan bahwa rasio kerugian p konstan sehingga mempersulit tingkah laku kontrol optimum. Khususnya, jika terjadi perubahan tingkat premi rata-rata pasar di atas break even maka kontrol optimum yang diperlukan adalah loss-leader. Namun, alasan mengapa nilai premi tinggi adalah klaim yang lebih tinggi sehingga terdapat korelasi langsung antara premi ratarata pasar dan break even premi. Bentuk umum dari strategi premi deterministik adalah p k (t ) p . Di dalam sebuah model tanpa kendala, ditemukan bahwa kontrol optimum dari strategi premi deterministik adalah bang-bang. Ini adalah akibat langsung dari asumsi bahwa asuransi dapat meminta pelanggan yang ada saat ini untuk membayar tingkat premi yang tinggi. Kontrol optimum sangat tergantung pada seberapa besar asuransi dapat meningkatkan nilai premi selama jangka waktu polis. Hal ini membawa ke sebuah modifikasi model yang menetapkan tingkat premi pada awal kontrak polis.
Untuk dua pilihan fungsi permintaan telah dihitung kontrol optimum yang baik. Ditemukan bahwa keluar dari pasar, menetapkan premi di atas break-even atau loss-leading bisa optimum dan bentuk kualitatif dari strategi premi optimum peka terhadap bentuk fungsi permintaan. Strategi premi loss-leading optimum untuk fungsi permintaan linear saat rasio kerugian cukup kecil atau jangka waktu kontrak panjang. Jika diadopsi parameter yang meningkatkan permintaan untuk asuransi dengan premi relatif yang tinggi maka akan menuju ke kontrol optimum yang tidak baik dengan tingkat akhir premi yang tinggi. Strategi premi loss-leading yang diikuti dengan pengambilan keuntungan merupakan salah satu penyebab dari siklus aktuaria yang telah diamati (Daykin et al. 1994). Banyak perusahaan asuransi melarang loss-leading yang menyebabkan pembatasan harga premi pada pemegang polis. Taylor (1986) memodelkan pembatasan ini dengan memodifikasi fungsi permintaan. Menggunakan teori kontrol optimum, persyaratannya menjadi kendala pada premi relatif dan membawa ke kontrol yang tidak baik. Strategi premi deterministik dapat diselidiki secara numerik untuk kendala yang berbeda.
17
DAFTAR PUSTAKA Agnew RP. 1960. Differential Equations. New York: McGraw-Hill. Dorfman MS. 2005. Introduction to risk management and insurance. Ed ke-8. New Jersey: Pearson Prentice Hall. Emms P, Haberman S, Savoulli I. 2004. Optimal Strategies for Pricing General Insurance. (in review) Cass Business School, City University, London. Emms P, Haberman S. 2005. Pricing General Insurance using Optimal Control Theory. Astin Bulletin, 35(2), 427-453. Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equation and Their Applications. New York: McGraw-Hill, Inc. Gelfand IM, Fomin SV. 2000. Calculus of Variations. Dover. Gerrard RJ, Glass CA. 2004. Optimal Premium Policy in Motor Insurance; Discrete Approximation. London: Working paper, Cass Business School.
Lilien GL, Kotler P. 1983. Marketing Decision Making. Harper & Row. Papoulis A. 1984. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes.Ed ke-2. New York: McGraw-Hill. Ross SM. 2007. Introduction to Probability Models. Ed ke-9. Florida: Academic Press Inc. Orlando. Sethi SP, Thompson GL. 2000. Optimal Control Theory. Ed ke-2. Kluwer Academic Publishers. Stewart J. 1999. Kalkulus. Jilid 2. Ed ke-4. Penerbit Erlangga. Jakarta. Taylor GC. 1986. Underwriting Strategy in a Competitive Insurance Environment. Insurance: Mathematics and Economics, 5(1), 5-77. Tu PNV. 1983. Introductory Optimization Dynamics: Optimal Control with Economics and Management Applications. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag.
0
LAMPIRAN
19
Lampiran 1 Persamaan Permintaan dan Kekayaan Berikut adalah proses permintaan. Taylor (1986) mendefinisikan proses permintaan sebagai berikut
qk 1 f ( pk 1 , pk 1 ) qk
dengan f ( pk , pk ) adalah fungsi permintaan pada tahun ke k. Menyesuaikan dengan bentuk kontinu sehingga qt t qt f ( pt t , pt t ) t qt qt
qt [ f ( pt t , pt t ) t 1] Untuk mempermudah pembacaan, persamaan di atas dapat ditulis dengan f ( x) f ( t ) qt t qt qt ( f t 1) q ( f t 1) f '( x) q .1. f t log f 0 f '( x) q f t log f f (0) 0 f '(0) q log f Kemudian dengan menggunakan ekspansi deret Taylor, maka f ( x) f (0) f '(0) x o( x 2 ) 0 q log f t o( t 2 ) q log f t o( t 2 )
Karena itu, laju proses permintaan dijelaskan oleh dq log f ( p, p ) dt ; f ( p, p ) exp[ g ( p p )] q
log e g ( p p ) dt g ( p p ) dt dq q g ( p p ) dt dengan g ( p p) adalah parameter permintaan. Berikut adalah proses kekayaan. W (t ) r W (t ) C (t )
dw w dt q ( p ) dt
20
Lampiran 2 Nilai Harapan Persamaan Kekayaan Berikut persamaan kekayaan
dw ( w q ( p )) dt dw w q ( p ) dt dw w q ( p ) dt dw e t ( w) q ( p ) e t dt d t (e w) q ( p ) e t dt
; e t (
dw d w) (e t w) dt dt
e t w
q ( p ) e t dt C
w
dt dt e [C e q ( p ) dt ]
e t [C e t q ( p ) dt ] e t [C
q ( p )
e t ]
dengan nilai awal w(0) 0 maka w(0) 0
C C w(0)
q ( p )
q ( p )
C w(0) 0 C w(0) nilai
q ( p )
0 dikarenakan pada saat awal,belum ada nilai premi,excess return, exposure,
break-even. Diperoleh dt dt w e [ w(0) e q ( p ) dt ] e t [ w(0) e t q ( p ) dt ] T
Sehingga nilai harapan kekayaan adalah E[w(T )] eT [w(0) F dt ] 0
21
Lampiran 3 Persamaan Nilai Harapan Akumulasi Pendapatan Premi Berikut persamaan akumulasi pendapatan premi mQ (t ) e t e t q k G (k ) m p dt c e t
e t e t q k G (k ) m p dt mQ (0) e t e t m p (t ) n(t ) dt mQ (0) t
mQ (0) e t e s m p ( s ) n( s ) ds 0
t
mQ (0) e ( s t ) m p ( s ) n( s ) ds 0
dengan s
b( s ) n(t ) dt 0
0
s 0 b n(t ) dt 0 0
t
s t b n( s ) ds B (t ) 0
s 1 s (b) sehingga B (t )
mQ (t ) mQ (0)
e (b ( s ) t ) m p (b( s)) db
0
Lampiran 4 Nilai Harapan Akumulasi Pendapatan Premi dengan Nilai Awal Dari persamaan dq (n q) dt dan persamaan dQ ( pn Q) dt diketahui bahwa Q q p sehingga mQ q mp dan nilai awal mQ (0) q(0) mp
Lampiran 5 Nilai Harapan Persamaan Kekayaan Dengan asumsi yang sama pada Lampiran 1 mengenai persamaan kekayaan diketahui nilai c w(0) . Kemudian dengan menggunakan persamaan diferensial biasa maka diperoleh
mw (t ) e t [ e t (Q q p ) dt c e t ] e t [mw (0) e t (mQ (t ) qm p (t )) dt ] t
e t [mw (0) e s (mQ ( s) qm p ( s)) ds] 0
22
Lampiran 6 Solusi Nilai Awal Persamaan Adjoin Berikut adalah persamaan adjoint untuk mencari solusi nilai awal.
2 HmQ 2 e t Kemudian dengan menggunakan persamaan diferensial diperoleh 1 c 2 t e t e t dt t e e T
e t [ e( )t dt c ] 0
e t [
1
e ( ) t c ]
e t t ( ) c e t e t t ( ) c e t
dengan syarat tranversalitas 2 (T ) 0 maka
e T T ( ) c e T 0 e T T T c e T 0 e T c e T 0 e T c e T e T e T c eT ( ) c eT ( ) c T ( ) e c e T ( ) c
23
kemudian nilai c disubstitusi ke persamaan adjoin sehingga didapat e t t ( ) 2 c e t e t t ( ) e T ( ) t e e t t t e T T t t ( t T ) T e e e e t e (t T ) e T e t e t e t e (t T ) e t e (t T ) e t e( ) ( t T ) e t t e (1 e( ) ( t T ) ) Dengan demikian diperoleh solusi e t 2 (1 e( ) (t T ) )
Lampiran 7 Pengali Lagrange Berikut adalah Hamiltonian untuk mencari pengali Lagrange H e t (mQ qmp ) 1 q(b1 k a1 ) 2 (qb1 k a1 1 mp mQ )
kemudian Hamiltonian diturunkan terhadap q 1 H q
( m p e t 1 1b1 k a1 2 b1 k a1 1 m p ) m p e t 1 1b1 k a1 2 b1 k a1 1 m p m p e t 1 k a1 (1b1 2 b1 km p ) dengan
ki*
a1 1 (1 a1 ) m p 2
24
maka 1 m p e t 1 b1 ki* a1 (1 2 ki* m p )
m p e t 1 b1 ki* a1 (1 2 m p m p e t 1 b1 ki* a1 (1 (1
a1 1 ) (1 a1 ) m p 2
a1 ) 1 a1
m p e t 1 1b1 ki* a1 (
1 a1 a1 ) 1 a1
m p e t 1 1b1 ki* a1 (
1 ) a1 1
m p e t 1 1b1 (
(1 a1 ) m p 2 a 1 )( )1 a1 1 a1 1
Dengan demikian pengali lagrange adalah
1 m p e t 1 1b1 (
Lampiran 8 Persamaan Adjoin nondimensional Berikut adalah pengali lagrange
1 qm p e t 1 1b1 ( dengan skala b1 2 b1 1 p (0)
K b1
(b1 T )
1
(1 a1 ) m p 2 a 1 )( )1 a1 1 a1 1
t T (1 s) ˆ T
m p p (0) M (s )
kemudian dicari turunan dari t dan 1 dari skala
1 t T (1 s ) dt d T (1 s ) dt T ds dt T ds
p (0) b1
d 1 d
p (0) b1
d 1 d
p (0) b1
d d 1
b1 p (0)
(1 a1 ) m p 2 a 1 )( )1 a1 1 a1 1
25
maka d d dt ds dt ds d 1 b1 (T ) dt p (0) ˆ
( p (0) M ( s) e T
T (1 s )
1 K b1 p (0) (
(1 a1 ) 2 p (0) M ( s) b1 a1 b1 1 )( ) ) ( T ) a1 1 p (0) 1 a1 p (0)
( p (0) M ( s) eˆ (1 s ) p (0) K p (0) ( p (0)[ M ( s ) eˆ (1 s ) K (
(1 a1 ) M ( s ) a1 b1 1 )( ) ) ( T ) a1 1 a1 p (0)
(1 a1 ) M ( s ) a1 b1 1 )( ) ] ( T ) a1 1 a1 p (0)
(
(1 a1 ) M ( s ) a1 1 d 1 ) M ( s ) eˆ (1 s ) K ( )( ) b1 T ds a1 1 a1
(1 a1 ) M ( s ) a1 d 1 M ( s ) eˆ (1 s ) K ( )( ) ds a1 1 a1
(1 a1 ) M ( s ) a1 d 1 M ( s ) eˆ (1 s ) K ( )( ) ds a1 1 a1
Dengan demikian persamaan adjoint tanpa dimensi adalah (1 a1 ) M ( s) a1 d 1 M ( s) eˆ (1 s ) K ( )( ) ds a1 1 a1
Lampiran 9 Nilai Omega Dari skala diketahui bahwa
b1 2 maka dengan skala yang diketahui sebelumnya b1 2
e t (1 e( ) ( t T ) ) ˆ ( K b1 ) (T (1 s ) T ) eˆ (1 s ) T b1 (1 e ) ˆ K b1 T K b T ˆ ˆ (1 s ) ( 1 ) ( Ts ) e b1 (1 e T ) ˆ (K ) b1 b1 T b1
(ˆ ) s eˆ (1 s ) (1 e ) ( K ˆ ) K
26
Lampiran 10 Batas perilaku untuk λ Dengan ekspansi deret Taylor
( s ) (0)
'(0)
( s 0)1 1! ( s ) (0) '(0) s '(0) s
( s ) (0)
'(0)
( s 0) 1! ( s ) (0) '(0) s '(0) s kemudian di cari turunan ω K (ˆ ) s eˆ (1 s ) ( s) (1 e ) K ˆ
'( s )
(ˆ ) s ˆ K (ˆ ) s eˆ (1 s ) eˆ (1 s ) (1 e ) (ˆ ) e K ˆ K ˆ K
'(0) (ˆ (
( s)
K
eˆ K ˆ
K
)
ˆ K eˆ ) K ˆ
eˆ
ˆ
e
s
sehingga persamaannya menjadi
'( s) M ( s) eˆ (1 s ) K (
(1 a1 ) M ( s) a1 1 )( ) a1 1 a1
'(0) M (0) eˆ K '(0) s '(0) s(
(1 a1 ) M (0) eˆ s a1 1 )( ) a1 1 a1 '(0) s
M (0) eˆ
Lampiran 11 Persamaan Adjoin Berikut adalah Hamiltonian untuk mencari persamaan adjoin
H e t (mQ q mp ) 1 q (a2 (b2 k ) ) 2 (q k a2 (b2 k ) mp mQ ) kemudian Hamiltonian diturunkan terhadap q 1 H q
m p e t 1 (a2 (b2 ki* ) ) 2 a2 ki* (b2 ki* ) m p ) dengan ki*
1 (b2 1 ) maka 2 2 m p
27
1 1 1 1 1 1 m p e t 1 (a2 (b2 (b2 1 )) ) 2 a2 b2 m p ( b2 ) 2 a2 m p ( b2 )2 2 2 m p 2 2 2 m p 2 2 2 m p 1 1 b 1 1 1 1 m p e t 1 (a2 (b2 b2 ) ) 2 a2 b2 m p ( b2 ) 2 a2 m p ( b2 2 2 1 ) 2 2 2 m p 2 2 2 m p 4 2 2 m p 4 2 2 m p 2 2
2 a2 b2 2 m p 1 a2 b2 2 a2 b2 2 m p 1 a2 b2 12 a2 1 1 m p e t 1 (a2 (b2 b2 ) ) 2 2 2 m p 2 2 4 2 4 2 m p 2 a2 b2 2 m p 1 a2 b2 2 a2 b2 2 m p 1 a2 b2 12 a2 1 1 m p e t 1 (a2 (b2 b2 ) ) 2 2 2 m p 2 2 4 2 4 2 m p m p e t 1 ( m p e t
2 a2 b2 2 m p 12 a2 1 a2 b2 a2 12 1 2 2 2 m p 4 4 2 m p
m p e t 1 ( m p e t
2 a2 b2 2 m p 12 a2 a2 b2 a 2 1 ) 2 2 2 m p 4 4 2 m p
2 a2 b2 2 m p a2 b2 a 2 ) 2 1 2 4 2 m p 4
2 a2 b2 2 m p 4
1 (
a2 b2 a 2 ) 2 1 2 4 2 m p
Dengan demikian persamaan adjoinnya
1 m p e t 1 (
2 a2 b2 2 m p a2 b2 a 2 ) 2 1 2 4 2 m p 4
yang merupakan persamaan Riccati.
Lampiran 12 Persamaan Riccati nondimensional Berikut adalah persamaan Riccati
1 m p e t 1 (
2 a2 b2 2 m p a2 b2 a 2 ) 2 1 2 4 2 m p 4
dengan skala a2 2 a2 1 p(0)
K a2
(a2 T )
1
t T (1 s) ˆ T
ˆ T
kemudian dicari turunan dari t dan 1 dari skala
1 t T (1 s ) dt d T (1 s ) dt T ds dt T ds
p (0) a2
d 1 d
p (0) a2
d 1 d
p (0) a2
d d 1
a2 p (0)
28
maka d d dt ds dt ds d 1 a2 (T ) dt p (0)
( m p e t
a2 b2 2 2 m p 4
b2 2 p (0) M ( s ) p (0) b2 p (0) p (0) a2 p (0) K ) ( T ) 4 2 4 p (0) M ( s) p (0)
( p (0) M ( s ) e t
b2 2 p (0) M ( s ) b a p (0) 2 p (0) ( 2 K ) ) 2 (T ) 4 2 4 M ( s ) p (0) b2 2 M ( s ) b a 2 ( 2 K) ] 2 (T ) 4 2 4 M ( s) p (0)
b 2 M (s) b 2 1 d M ( s ) e t 2 ( 2 K) a2 T ds 4 2 4 M ( s )
a2 b2 a 2 a ) 2 1 ) 2 (T ) 2 42 m p p (0)
( p (0) M ( s ) e t
p (0) [ M ( s ) e t
1 (
b 2 M (s) b 2 d M ( s ) e t 2 ( 2 K) ds 4 2 4 M ( s)
2 b 2 d b2 M ( s ) ( 2 K) M ( s ) eˆ (1 s ) ds 4 2 4 M ( s)
Lampiran 13 Batas perilaku untuk λ dan kontrol optimum Dengan ekspansi deret Taylor yang telah dilakukan pada Lampiran 5 maka
2 b 2 d b2 M ( s ) ( 2 K) M ( s) eˆ (1 s ) ds 4 2 4 M ( s)
b2 2 eˆ s M (0) b ( '(0)) 2 s 2 '(0) s ( 2 K ) ˆ M (0) eˆ 4 2 4e s M (0)
'(0) M (0) eˆ
sehingga persamaan kontrol optimum menjadi 1 ki* (b2 1 ) 2 M
M (0) eˆ 1 (b2 ) ; 1 dan s 0 2 M (0) eˆ s 1 ki* (b2 ) 2
29
Lampiran 14 Nilai λ pada persamaan Riccati Berikut persamaan Riccati 2 b 2 d b2 M ( s) ( 2 K) M ( s) eˆ (1 s ) ds 4 2 4 M ( s) dengan 1 maka eˆ (1 s ) / K dan b b 2 M (s) 2 ( 2 K) 2 M ( s) eˆ (1 s ) 0 4 M ( s) 2 4 sehingga
2 K 4 eˆ (1 s ) M ( s)
(
b2 b 2 eˆ (1 s ) M (s) K) 2 M ( s) eˆ (1 s ) 0 2 4K
diperoleh solusi
b b 2 4 ac 2a
dengan 4 eˆ (1 s ) M ( s) 2 M eˆ (1 s ) 1 2a 2K K
b2 b K) K 2 2 2 2 b b b2 ( 2 K )2 2 b2 K K 2 2 4 b 2 eˆ (1 s ) M (s) b2 K 4a c 4( ˆ (1 s ) )( 2 M ( s) eˆ (1 s ) ) 2 K 4K 4 4e M ( s) b (
sehingga
b b2 b2 2 M eˆ (1 s ) ( K 2 2 b2 K K 2 ( 2 K ) ) K 2 4 4
b 2 M eˆ (1 s ) ( K 2 b2 K K 2 K ) ) K 2
M eˆ (1 s ) (2 K b2 2 K 2 b2 K K ) ) K
M e ˆ ( s 1) (2 K b2 2 K 2 b2 K K ) ) K
M (2 K b2 2 K 2 b2 K K ) ) K eˆ ( s 1)
Dengan demikian nilai λ pada persamaan Riccati adalah
M (2 K b2 2 K 2 b2 K K ) ) K eˆ ( s 1)
30
Berikut adalah lampiran input untuk grafik dengan menggunakan software Mathematica 7 Untuk Fungsi Permintaan Hukum Pangkat Lampiran 15 Nilai Awal untuk Persamaan Adjoin :=1/2.56;:=0.67;a:=2;:=0.6;M:=1;k:=3.90625;:=1; k s
[s_]:= (1-s)/(k- ) (1- ) Solve[*- M -(1/(a-1)) (((1-a) M )/( a )),]
Lampiran 16 Grafik λ j=Solve[ M (1-s)-k (-)+(1/(a-1)) ( ((a-1)M ^( (1-s)))/(a k (-)))a0,]/.{ 0.67, 0.6,a 2,k 3.90625,M 1} M:=1;:= 0.67;:= 0.6;a:= 2;k:= 3.906251;:=1/2.56;[s_]:= (1k s
s)/k; 1[s_]:= *(1-s)/(k- )*(1-
);:=0.000000000001; s1=NDSolve[{ '[s]- M (1-s)- k [s]- (1/(a-1)) (((1-a)M 1[s])/(a [s]))a,[0]*-4.463095780258649`},[s],{s,0,1}] Plot[{[s]/.s1[[1,1]],j[[2,1,2]]},{s,0,1},PlotRange {{0,1},{1,0}}]
Lampiran 17 Grafik ki
*
k s
1[s_]:=*(1-s)/(k- )*(1- ) [s_]:=*(1-s)/k :=0.6;:=1/2.56;k:=3.90625;a:=2; K1[s_]:=k-1/a; ki[s_]:=a/((1-a) 1[s])*( -0.10417660554766003` -0.6` s((40059.45484504768` +69385.0111151338` ) 0.` s)/(4.5487753008480774`*^17 ^(1.8` s)-2.801348653558962`*^18 ^(2.4` 4.2` s
4.8` s
4.2` s
4.8` s
1.` 3.0792339347215902` s)+1.5964150816359148`*^18 )1/3(6.772911155064318`*^-8-1.1731026235721409`*^-7 ) -1.2` s (4.5487753008480774`*^17 ^(1.8` s)-2.801348653558962`*^18 ^(2.4` 1.` 3.0792339347215902` s)+1.5964150816359148`*^18 kn[s_]:=(a [s]/.s1[[1,1]])/((1-a) 1[s]) Plot[{ki[s],K1[s],kn[s]},{s,0,1},PlotRange{{0,1},{0,3}}]
)1/3)
31
Lampiran 18 Grafik ki dengan γ bervariasi *
M:=1;:= 0.6;a:= 2;k:= 3.906251;:=1/2.56;[s_]:= (1k s
s)/k;1[s_]:=*(1-s)/(k- )*(1- );:=0.000000000001; := 0.9; s1=NDSolve[{ '[s]- M (1-s)- k [s]- (1/(a-1)) (((1-a)M 1[s])/(a [s]))a,[0]*-4.463095780258649`},[s],{s,0,1}] kn1[s_]:=(a [s]/.s1[[1,1]])/((1-a) 1[s]) Plot[{kn1[s],kn2[s],kn3[s],kn4[s],kn5[s]},{s,0,1},PlotRange{{0,1 },{0,3}}] := 0.7; s2=NDSolve[{ '[s]- M (1-s)- k [s]- (1/(a-1)) (((1-a)M 1[s])/(a [s]))a,[0]*-4.463095780258649`},[s],{s,0,1}] kn2[s_]:=(a [s]/.s2[[1,1]])/((1-a) 1[s]) := 0.5; s3=NDSolve[{ '[s]- M (1-s)- k [s]- (1/(a-1)) (((1-a)M 1[s])/(a [s]))a,[0]*-4.463095780258649`},[s],{s,0,1}] kn3[s_]:=(a [s]/.s3[[1,1]])/((1-a) 1[s]) := 0.3; s4=NDSolve[{ '[s]- M (1-s)- k [s]- (1/(a-1)) (((1-a)M 1[s])/(a [s]))a,[0]*-4.463095780258649`},[s],{s,0,1}] kn4[s_]:=(a [s]/.s4[[1,1]])/((1-a) 1[s]) := 0.1; s5=NDSolve[{ '[s]- M (1-s)- k [s]- (1/(a-1)) (((1-a)M 1[s])/(a [s]))a,[0]*-4.463095780258649`},[s],{s,0,1}] kn5[s_]:=(a [s]/.s5[[1,1]])/((1-a) 1[s]) Plot[{kn1[s],kn2[s],kn3[s],kn4[s],kn5[s]},{s,0,1},PlotRange{{0,1 },{0,3}}]
Lampiran 19 Grafik ki dengan K bervariasi *
M:=1;:= 0.67;:= 0.6;a:= 2;:=1/2.56;[s_]:= (1k s
s)/k;1[s_]:= *(1-s)/(k- )*(1- );:=0.000000000001; k:=1; s1=NDSolve[{ '[s]- M (1-s)- k [s]- (1/(a-1)) (((1-a)M 1[s])/(a [s]))a,[0]*-4.463095780258649`},[s],{s,0,1}] kn1[s_]:=(a [s]/.s1[[1,1]])/((1-a) 1[s]) k1=Plot[{kn1[s]},{s,0,1},PlotRange{{0,1},{0,3}}] k:=2; s2=NDSolve[{ '[s]- M (1-s)- k [s]- (1/(a-1)) (((1-a)M 1[s])/(a [s]))a,[0]*-4.463095780258649`},[s],{s,0,1}] kn2[s_]:=(a [s]/.s2[[1,1]])/((1-a) 1[s]) k2=Plot[{kn2[s]},{s,0,1},PlotRange{{0,1},{0,3}}] k:=3; s3=NDSolve[{ '[s]- M (1-s)- k [s]- (1/(a-1)) (((1-a)M 1[s])/(a [s]))a,[0]*-4.463095780258649`},[s],{s,0,1}] kn3[s_]:=(a [s]/.s3[[1,1]])/((1-a) 1[s]) k3=Plot[{kn3[s]},{s,0,1},PlotRange{{0,1},{0,3}}] k:=4;
32
s4=NDSolve[{ '[s]- M (1-s)- k [s]- (1/(a-1)) (((1-a)M 1[s])/(a [s]))a,[0]*-4.463095780258649`},[s],{s,0,1}] kn4[s_]:=(a [s]/.s4[[1,1]])/((1-a) 1[s]) k4=Plot[{kn4[s]},{s,0,1},PlotRange{{0,1},{0,3}}] Show[k1,k2,k3,k4]
Lampiran 20 Grafik ki dengan a1 bervariasi *
M:=1;:= 0.67;:= 0.6;k:= 3.906251;:=1/2.56;[s_]:= (1k s
s)/k;1[s_]:=*(1-s)/(k- )*(1- );:=0.000000000001; a:= 2; s1=NDSolve[{ '[s]- M (1-s)- k [s]- (1/(a-1)) (((1-a)M 1[s])/(a [s]))a,[0]*-4.463095780258649`},[s],{s,0,1}] kn1[s_]:=(a [s]/.s1[[1,1]])/((1-a) 1[s]) a1=Plot[{kn1[s]},{s,0,1},PlotRange{{0,1},{0,3}}] a:= 4; s2=NDSolve[{ '[s]- M (1-s)- k [s]- (1/(a-1)) (((1-a)M 1[s])/(a [s]))a,[0]*-4.463095780258649`},[s],{s,0,1}] kn2[s_]:=(a [s]/.s2[[1,1]])/((1-a) 1[s]) a2=Plot[{kn2[s]},{s,0,1},PlotRange{{0,1},{0,3}}] a:= 6; s3=NDSolve[{ '[s]- M (1-s)- k [s]- (1/(a-1)) (((1-a)M 1[s])/(a [s]))a,[0]*-4.463095780258649`},[s],{s,0,1}] kn3[s_]:=(a [s]/.s3[[1,1]])/((1-a) 1[s]) a3=Plot[{kn3[s]},{s,0,1},PlotRange{{0,1},{0,3}}] a:= 8; s4=NDSolve[{ '[s]- M (1-s)- k [s]- (1/(a-1)) (((1-a)M 1[s])/(a [s]))a,[0]*-4.463095780258649`},[s],{s,0,1}] kn4[s_]:=(a [s]/.s4[[1,1]])/((1-a) 1[s]) a4=Plot[{kn4[s]},{s,0,1},PlotRange{{0,1},{0,3}}] a:= 10; s5=NDSolve[{ '[s]- M (1-s)- k [s]- (1/(a-1)) (((1-a)M 1[s])/(a [s]))a,[0]*-4.463095780258649`},[s],{s,0,1}] kn5[s_]:=(a [s]/.s5[[1,1]])/((1-a) 1[s]) a5=Plot[{kn5[s]},{s,0,1},PlotRange{{0,1},{0,3}}] Show[a1,a2,a3,a4,a5]
Untuk Fungsi Permintaan Linear Lampiran 21 Grafik λ 1[s]:= (1-s)/K1 :=1/20;K1:=0.5;b:=1;M:=1;:=0.6;:=0.67; tes1=NDSolve[{ '[s](b2 M [s])/4+[s] (b/2-K1)+([s])2/(4 M 1[s])- M (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] sol=Solve[{0(b2 M 1[s])/4+[s] (b/2-K1)+([s])2/(4 1[s] M)- M (1-s)},[s]] Plot[{Evaluate[[s]/.tes1],Evaluate[[s]/.sol[[1,1]]]},{s,0,1},Plo tRange {{0,1},{-2,0}}]
33
Lampiran 22 Grafik ki
*
:=1/20;K1:=0.5;b2:=1;M:=1;:=0.6;:=0.67; sol2=Solve[{0==(b22*M 1[s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M)-*M* (1-s)},[s]] c2[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.sol2[[1]]]/( M 1[s])) gg[s_]:=b2-K1 g[s_]:=0.67 tes1=NDSolve[{*'[s]==(b22*M [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M)-*M* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c1[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes1]/(M*[s])) Plot[{c2[s],c1[s],gg[s],g[s]},{s,0,1},PlotRange{{0,1},{0.4,1}}]
Lampiran 23 Grafik ki dengan γ bervariasi *
1[s_]:=*(1-s)/K1
K1
s
[s_]:=*(1-s)/(K1- )*(1- ) :=1/20;K1:=0.5;b2:=1;M:=1;:=0.6;:=0.8; tes1=NDSolve[{*'[s]==(b22*M* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M)-*M* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c1[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes1]/(M*[s])) :=0.4 tes2=NDSolve[{*'[s]==(b22*M* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M)-*M* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c2[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes2]/(M*[s])) :=0.5 tes3=NDSolve[{*'[s]==(b22*M* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M)-*M* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c3[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes3]/(M*[s])) :=0.6 tes4=NDSolve[{*'[s]==(b22*M* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M)-*M* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c4[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes4]/(M*[s])) :=0.7 tes5=NDSolve[{*'[s]==(b22*M* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M)-*M* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c5[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes5]/(M*[s])) Plot[{c1[s],c2[s],c3[s],c4[s],c5[s]},{s,0,1},PlotRange {{0,1},{0,1}}]
Lampiran 24 Grafik ki dengan K bervariasi *
1[s_]:=*(1-s)/K1
K1
s
[s_]:= *(1-s)/(K1- )*(1- ) :=1/28.5;K1:=0.2;b2:=1;M:=1;:=0.6;:=0.67; tes1=NDSolve[{*'[s]==(b22*M* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M)-*M* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c1[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes1]/(M*[s])) g[s_]:=0.67 k1=Plot[{c1[s],g[s]},{s,0,1},PlotRange {{0,1},{0,1.2}}]
34
:=1/25;K1:=0.25; tes2=NDSolve[{*'[s]==(b22*M* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M)-*M* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c2[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes2]/(M*[s])) k2=Plot[c2[s],{s,0,1},PlotRange {{0,1},{0,1.2}}] :=1/20;K1:=0.3; tes2=NDSolve[{*'[s]==(b22*M* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M)-*M* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c2[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes2]/(M*[s])) k3=Plot[c2[s],{s,0,1},PlotRange {{0,1},{0,1.2}}] :=1/20;K1:=0.35; tes2=NDSolve[{*'[s]==(b22*M* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M)-*M* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c2[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes2]/(M*[s])) k4=Plot[c2[s],{s,0,1},PlotRange {{0,1},{0,1.2}}] :=1/20;K1:=0.4; tes2=NDSolve[{*'[s]==(b22*M* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M)-*M* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c2[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes2]/(M*[s])) k5=Plot[c2[s],{s,0,1},PlotRange {{0,1},{0,1.2}}] Show[k1,k2,k3,k4,k5]
Lampiran 25 Grafik ki dengan b2 bervariasi *
1[s_]:=*(1-s)/K1
K1
s
[s_]:=*(1-s)/(K1- )*(1- ) :=1/21.5;K1:=0.5;b2:=1;M:=1;:=0.6;:=0.67; tes1=NDSolve[{*'[s]==(b22*M* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M)-*M* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c1[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes1]/(M*[s])) b3=Plot[c1[s],{s,0,1},PlotRange {{0,1},{0,1.2}}] b2=1.1; tes2=NDSolve[{*'[s]==(b22*M* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M)-*M* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c2[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes2]/(M*[s])) b4=Plot[c2[s],{s,0,1},PlotRange {{0,1},{0,1.2}}] b2=1.2; tes3=NDSolve[{*'[s]==(b22*M* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M)-*M* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c3[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes3]/(M*[s])) b5=Plot[c3[s],{s,0,1},PlotRange {{0,1},{0,1.2}}] b2=1.3; tes4=NDSolve[{*'[s]==(b22*M* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M)-*M* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c4[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes4]/(M*[s])) b6=Plot[c4[s],{s,0,1},PlotRange {{0,1},{0,1.2}}] b2=1.4; tes5=NDSolve[{*'[s]==(b22*M* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M)-*M* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c5[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes5]/(M*[s])) b7=Plot[c5[s],{s,0,1},PlotRange {{0,1},{0,1.2}}] Show[b3,b4,b5,b6,b7]
35
Lampiran 26 Grafik ki dengan μ bervariasi *
M[s_]:= (1-s) 1[s_]:=*(1-s)/K1
[s_]:= *(1-s)/(K1- )*(1-
K1 s
) :=1/20;K1:=0.5;b2:=1;:=0.6;:=0.67; g[s_]:=0.67 :=0.1; tes1=NDSolve[{*'[s]==(b22*M[s]* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M[s])-*M[s]* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c1[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes1]/(M[s]*[s])) u1=Plot[{c1[s],g[s]},{s,0,1},PlotRange {{0,1},{0.4,1}}] :=0.3; tes2=NDSolve[{*'[s]==(b22*M[s]* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M[s])-*M[s]* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c2[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes2]/(M[s]*[s])) u2=Plot[c2[s],{s,0,1},PlotRange {{0,1},{0.4,1}}] :=0.5; tes3=NDSolve[{*'[s]==(b22*M[s]* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M[s])-*M[s]* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c3[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes3]/(M[s]*[s])) u3=Plot[c3[s],{s,0,1},PlotRange {{0,1},{0.4,1}}] :=0.7; tes4=NDSolve[{*'[s]==(b22*M[s]* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M[s])-*M[s]* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c4[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes4]/(M[s]*[s])) u4=Plot[c4[s],{s,0,1},PlotRange {{0,1},{0.4,1}}] :=0.9; tes5=NDSolve[{*'[s]==(b22*M[s]* [s])/4+[s] (b2/2K1)+([s])^2/(4*1[s]*M[s])-*M[s]* (1-s),[0]0},[s],{s,0,1}] c5[s_]:=0.5 (b2-Evaluate[[s]/.tes5]/(M[s]*[s])) u5=Plot[c5[s],{s,0,1},PlotRange {{0,1},{0.4,1}}] Show[u1,u2,u3,u4,u5]
