PENENTUAN BOBOT OPTIMUM DENGAN PENGGANDA LAGRANGE UNTUK PENGGABUNGAN NILAI DUGAAN EKSTRIM CURAH HUJAN DEBY VERTISA

PENENTUAN BOBOT OPTIMUM DENGAN PENGGANDA LAGRANGE UNTUK PENGGABUNGAN NILAI DUGAAN EKSTRIM CURAH HUJAN

DEBY VERTISA

DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Bobot Optimum dengan Pengganda Lagrange untuk Penggabungan Nilai Dugaan Ekstrim Curah Hujan adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, September 2014 Deby Vertisa NIM G14100039

ABSTRAK DEBY VERTISA. Penentuan Bobot Optimum dengan Pengganda Lagrange untuk Penggabungan Nilai Dugaan Ekstrim Curah Hujan. Dibimbing oleh AJI HAMIM WIGENA dan CICI SUHAENI. Fenomena curah hujan ekstrim dapat memberikan dampak buruk berupa tingginya risiko kegagalan produksi baik di bidang pertanian maupun perkebunan. Pendugaan nilai ekstrim menggunakan nilai gabungan sebaran Champernowne termodifikasi dan sebaran pareto terampat (Generalized Pareto Distribution/GPD) diharapkan dapat mengantisipasi risiko kegagalan produksi. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan bobot optimum dengan pengganda Lagrange dalam pendugaan nilai curah hujan ekstrim gabungan berdasarkan sebaran Champernownne termodifikasi dan GPD, membandingkan hasil pembobotan menggunakan pengganda Lagrange dengan pembobotan secara iterasi dan metode regresi linear, serta melakukan peramalan nilai ekstrim curah hujan. Penelitian ini menggunakan data curah hujan harian 1 Januari 1985 sampai 31 Maret 2011 di Stasiun Klimatologi Darmaga-Bogor, Jawa Barat. Pendugaan GPD cenderung bias ke atas sedangkan pendugaan sebaran Champernowne termodifikasi cenderung bias ke bawah. Penggabungan nilai dugaan sebaran Champernowne termodifikasi dan GPD menggunakan metode pengganda Lagrange menghasilkan nilai dugaan yang lebih baik. Metode pengganda Lagrange dapat dijadikan alternatif dalam penentuan bobot optimum pada metode gabungan tanpa harus melalui proses trial and error seperti pada proses iterasi. Peramalan jangka waktu satu bulan ke depan sangat baik diduga menggunakan nilai gabungan.

Kata kunci :

pengganda Lagrange, sebaran Champernowne termodifikasi, sebaran pareto terampat, ABSTRACT

DEBY VERTISA. Determining Optimum Weight with Lagrange Multipliers to Ensemble Two Extreme Value. Advised by AJI HAMIM WIGENA and CICI SUHAENI. The phenomenon of extreme rainfall could give negative impact such as a high risk of failure in agriculture and plantation productions. The estimation of extreme values using ensemble method to combine the estimates of modified Champernowne distribution and Generalized Pareto Distribution (GPD) is expected to anticipate the risk of production failure. The goals of this research are to determine optimum weight by Langrange multiplier in estimating the ensemble two extreme rainfall values based on modified Champernowne distribution and GPD, to compare the weighted results using Langrange multiplier by weighting iteratively and linear regression methods, and to forecast extreme rainfall values. The research used daily rainfalls data from January 1, 1985 to March 31, 2011 in Darmaga-Bogor Climatology Stations. The estimations using GPD tends to overestimate while the

modified Champernowne distribution tends to underestimate. The ensemble method to combine both estimates using Langrange multiplier resulted a better estimate. The Langrange multipliers could be used as an alternative method to determine the optimum weight without trial and error process as in the iteration process. Forecasting one month ahead is better using the ensemble method. Keywords : ensemble, Generalized Pareto Distribution, Lagrange multipliers, modified Champernowne distribution

PENENTUAN BOBOT OPTIMUM DENGAN PENGGANDA LAGRANGE UNTUK PENGGABUNGAN NILAI DUGAAN EKSTRIM CURAH HUJAN

DEBY VERTISA

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika

DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

Judul Skripsi : Penentuan Bobot Optimum dengan Pengganda Lagrange untuk Penggabungan Nilai Dugaan Ekstrim Curah Hujan Nama : Deby Vertisa NIM : G14100039

Disetujui oleh

Dr Ir Aji Hamim Wigena, MSc Pembimbing I

Cici Suhaeni, MSi Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Anang Kurnia, MSi Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Judul yang dipilih dalam karya ilmiah ini adalah Penentuan Bobot Optimum dengan Pengganda Lagrange untuk Penggabungan Nilai Dugaan Ekstrim Curah Hujan. Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr Ir Aji Hamim Wigena, MSc dan Cici Suhaeni, MSi selaku pembimbing yang telah banyak memberi saran, kritik, perhatian dan motivasi hingga selesainya karya ilmiah ini. Penghargaan dan penghormatan penulis sampaikan kepada segenap dosen beserta staf Departemen Statistika dan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga atas segala doa dan kasih sayangnya, serta kepada keluarga besar Statistika khususnya angkatan 47 dan teman-teman satu bimbingan yang selalu saling menyemangati dan bersama-sama menimba ilmu di Institut Pertanian Bogor. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat untuk memberikan kontribusi yang nyata terhadap pengembangan ilmu pengetahuan di bidang statistika dan penerapannya di bidang klimatologi.

Bogor, September 2014 Deby Vertisa

DAFTAR ISI DAFTAR TABEL

xi

DAFTAR GAMBAR

xi

DAFTAR LAMPIRAN

xi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

2

TINJAUAN PUSTAKA

2

Curah Hujan

2

Teori Nilai Ekstrim

2

Sebaran Champernowne Termodifikasi

4

Pengganda Langrange

4

METODOLOGI 5 Bahan

5

Metode

5

HASIL DAN PEMBAHASAN

7

Eksplorasi Data

7

Pendugaan Parameter GPD dan Sebaran Champernowne Termodifikasi

9

Pendugaan Nilai Ekstrim Gabungan

11

Peramalan Curah Hujan Ekstrim

13

SIMPULAN

15

DAFTAR PUSTAKA

16

LAMPIRAN

17

RIWAYAT HIDUP

23

DAFTAR TABEL 1 2 3 4 5 6

Pengelompokan Data Jumlah hari hujan tiap bulan periode 1985-2010 Nilai dugaan parameter GPD dan Champernowne termodifikasi Uji Kolmogorov-smirnov data ekstrim curah hujan Darmaga Bogor Nilai RMSE untuk setiap kelompok data training Ramalan curah hujan ekstrim berdasarkan nilai tingkat pengembalian

6 8 9 11 12 14

DAFTAR GAMBAR 1 Diagram kotak garis curah hujan harian periode 1985-2010 2 Fungsi kepekatan peluang GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2010 3 Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan GPD (a) dan sebaran Champernowne termodifikasi (b) periode analisis 1 Januari 198531 Desember 2010 4 Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan nilai gabungan (wopt =0.227) periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2010 5 Nilai RMSEP hasil peramalan periode i bulan ke depan

8 10

11 12 13

DAFTAR LAMPIRAN 1

Plot Kuantil-Kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan data GPD pada kuantil ≥ 0.9 2 Plot Kuantil-Kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan data sebaran Champernowne termodifikasi pada kuantil ≥ 0.9 3 Penentuan Nilai Bobot Optimum menggunakan metode Pengganda Lagrange

17 19 20

PENDAHULUAN Latar Belakang Curah hujan merupakan salah satu unsur dari iklim dan cuaca yang dapat memengaruhi aktifitas kehidupan manusia terutama dalam bidang pertanian dan perkebunan. Permasalahan yang sering terjadi di bidang pertanian dan perkebunan adalah tingginya risiko kegagalan yang diakibatkan adanya curah hujan ekstrim. Curah hujan ekstrim baik ektrim basah (La Nina) maupun ekstrim kering (El Nino) dapat mengakibatkan adanya penyimpangan pola curah hujan dari kondisi normal (Djuraidah dan Wigena 2011). Risiko kegagalan dapat diantisipasi dengan memanfaatkan pendugaan curah hujan ekstrim menggunakan teori nilai ekstrim dan sebaran Champernowne termodifikasi. Teori nilai ekstrim (Extreme Value Theory/EVT) bermanfaat untuk mengetahui karakteristik nilai ekstrim curah hujan harian. Terdapat dua metode pendugaan nilai ekstrim pada EVT, yaitu sebaran nilai ekstrim terampat (Generalized Extreme Value Distribution/GEVD) dan sebaran pareto terampat (Generalized Pareto Distribution/GPD). Penelitian sebelumnya yang dilakukan Gilli dan Kellezi (2003) menyatakan bahwa GPD lebih baik dalam pendugaan nilai ekstrim daripada GEVD pada kasus risiko finansial. Selain EVT, sebaran Champernowne termodifikasi dapat pula digunakan dalam pendugaan nilai ekstrim. Penelitian Buch-Larsen et al. (2005) dalam bidang ekonomi menyatakan bahwa Champernowne termodifikasi merupakan metode alternatif dalam menganalisis kejadian nilai ekstrim dengan pola sebaran yang konvergen terhadap GPD. Beberapa kajian mengenai fenomena curah hujan dengan menggunakan EVT antara lain Prang (2006) menganalisis curah hujan ekstrim dengan menggunakan metode GEVD dan menyatakan bahwa GEVD dapat dijadikan acuan dalam menentukan curah hujan ekstrim. Irfan (2011) menganalisis curah hujan ekstrim dengan menggunakan metode GPD menyatakan bahwa GPD mampu memberikan gambaran nilai dugaan curah hujan maksimum yang dapat dijadikan referensi pengkajian lebih lanjut untuk mengantisipasi terjadinya curah hujan yang dikategorikan ekstrim. Hafid (2013) menganalisis curah hujan ekstrim dengan menggunakan sebaran Champernowne termodifikasi dan GPD menyatakan bahwa penggabungan nilai dugaan sebaran Champernowne termodifikasi dengan dugaan GPD berdasarkan pembobotan menghasilkan dugaan nilai ekstrim yang lebih akurat. Sebaran Champernowne termodifikasi menghasilkan nilai dugaan yang bias ke bawah, sedangkan GPD menghasilkan nilai dugaan yang bias ke atas, sehingga dibutuhkan penggabungan hasil kedua metode untuk memperoleh hasil dugaan yang lebih baik. Penggabungan nilai dugaan yang dilakukan Hafid (2013) adalah dengan memanfaatkan pembobotan secara iterasi, sedangkan Wigena et al. (2014) melakukan penggabungan nilai dugaan dengan memanfaatkan regresi linear untuk penentuan bobot optimum. Metode iterasi menempuh proses trial and error, sedangkan metode regresi linear mengalami kendala karena jumlah bobot harus sama dengan satu. Oleh karena itu dibutuhkan suatu alternatif dalam penentuan bobot optimum untuk metode penggabungan. Salah satu metode yang menarik untuk dicobakan adalah metode pengganda Lagrange. Metode pengganda Lagrange dinilai mampu menutupi kekurangan metode regresi linear dan metode iterasi

2 karena proses penentuan bobot optimum tidak melalui proses trial and error dan tidak terkendala oleh adanya syarat jumlah bobot yang harus sama dengan satu. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini antara lain: 1. Menentukan bobot optimum dengan pengganda Lagrange untuk pendugaan nilai curah hujan ekstrim gabungan berdasarkan sebaran Champernowne termodifikasi dan GPD. 2. Membandingkan penduga bobot optimum menggunakan metode pengganda Lagrange dengan penduga bobot optimum berdasarkan metode regresi linear dan iterasi. 3. Melakukan peramalan curah hujan ektrism berdasarkan sebaran Champernowne termodifikasi, GPD dan nilai gabungan.

TINJAUAN PUSTAKA Curah Hujan Curah hujan adalah butir-butir atau kristal es yang keluar dari awan. Butir air yang dapat keluar dari awan dan mencapai bumi sekurang-kurangnya bergaris tengah 200 µm. Derajat curah hujan dinyatakan dengan jumlah curah hujan dalam suatu satuan waktu. Biasanya satuan yang digunakan adalah mm/jam. Dalam meteorologi butiran hujan dengan diameter lebih dari 0.5 mm disebut hujan dan diameter antara 0.1 sampai 0.5 mm disebut gerimis. Semakin besar ukuran butiran hujan maka semakin besar pula kecepatan jatuhnya. Keadaan curah hujan dikatakan musim kering jika curah hujan kurang dari 50 mm/10 hari dan musim hujan jika curah hujan mencapai lebih dari atau sama dengan 50mm/10 hari. Dikatakan curah hujan ekstrim saat terjadi hujan sangat lebat secara terus menerus dengan jumlah di atas 50 mm/jam (BMKG 2007).

Teori Nilai Ekstrim Teori nilai ekstrim (Extreme Value Theory/ EVT) ialah salah satu teori yang membahas kejadian ekstrim yang memberi perhatian pada informasi kejadiankejadian ekstrim yang diperoleh untuk membentuk fungsi sebaran dari nilai-nilai tersebut. Model EVT didasarkan pada karakteristik Mn yang merupakan nilai maksimun dari Xi yang bebas stokastik identik (bsi) sebagai berikut: Mn = maks {X1, ... , Xn} ...(1) Menurut Gilli dan Kellezi (2003) terdapat dua cara untuk menentukan nilai ekstrim, yaitu dengan menggunakan metode blok maxima dan metode Peaks Over Threshold (POT). Metode blok maxima menentukan nilai ekstrim berdasarkan nilai-nilai maksimum dalam satu periode tertentu. Mn pada blok maxima konvergen pada sebaran Generalized Extreme Value (GEV) dengan fungsi sebaran yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

...(2)

3 1

𝑥 − 𝜇 −𝜉 𝑒𝑥𝑝 [− (1 + 𝜉 ) ] ,𝜉 ≠ 0 𝜎 𝐺(𝑥) = 𝑥−𝜇 𝑒𝑥𝑝 [−𝑒𝑥𝑝 (− )] , 𝜉 = 0 𝜎 { dengan µ adalah parameter lokasi, σ adalah parameter skala, dan ξ adalah parameter bentuk (Kotz dan Nudarajah 1999). Metode POT menentukan nilai ekstrim berdasarkan nilai-nilai yang melampaui nilai suatu ambang (threshold,u). Mn pada POT konvergen pada sebaran Generalized Pareto Distribution (GPD) dengan fungsi sebaran yang dapat dinyatakan sebagai berikut (Embrechts et al. 1997): 1

𝜉y −𝜉 ...(3) 1 − (1 + ) ,𝜉 ≠ 0 𝜎 𝐻(𝑦) = 𝑦 { 1 − 𝑒𝑥𝑝 (− 𝜎) , 𝜉 = 0 dengan y = x – u, x > u, σ > 0, dan 0 < ξ < 0. Pemilihan nilai ambang yang terlalu rendah akan menyebabkan data yang melamapui nilai ambang akan menyimpang secara signifikan, sedangkan pemilihan nilai ambang yang terlalu tinggi akan menyebabkan galat model relatif rendah dan galat perameternya tinggi. Fungsi kepekatan peluang GPD adalah (Mallor et al. 2009): 1 ...(4) 1 𝜉y −𝜉−1 (1 + ) ,𝜉 ≠ 0 𝜎 ℎ(𝑦) = 𝜎 1 𝑦 𝑒𝑥𝑝 (− ) ,𝜉 = 0 𝜎 {𝜎 serta invers dari fungsi sebaran GPD adalah: 𝜎 ...(5) − ((1 − 𝑝)−𝜉 − 1) ,𝜉 ≠ 0 −1 (𝑝) 𝐻 = {𝜉 −𝜎 ln(1 − 𝑝) ,𝜉 = 0 dengan p merupakan peluang komulatif. Nilai ξ menentukan karakteristik ujung sebaran. Sebaran memiliki titik ujung kanan yang terhingga jika ξ < 0 sedangkan ketika ξ ≥ 0 maka sebaran mempunyai titik ujung kanan yang tak terhingga yang menunjukan adanya kemungkinan nilai yang sangat ekstrim. Pada penelitian ini, penentuan nilai ekstrim didasarkan pada metode POT. Besaran atau kuantitas yang menjadi perhatian bukan hanya tertuju pada pendugaan parameter itu sendiri, tetapi pada tingkat pengembalian (return level) dari penduga GPD. Tingkat pengembalian merupakan nilai maksimum yang diharapkan akan dilampaui satu kali dalam jangka waktu m pengamatan dengan periode tertentu. Misalkan δu melambangkan peluang P{X>u} dan peluang bersyarat X dengan syarat X>u dapat dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut: 𝑥 − 𝑢 −1⁄𝜉 ) P{𝑋 > 𝑥|𝑋 > 𝑢} = (1 + 𝜉 𝜎 𝑥 − 𝑢 −1⁄𝜉 P{𝑋 > 𝑥} = 𝛿𝑢 (1 + 𝜉 ) 𝜎 1 𝑥𝑚 − 𝑢 −1⁄𝜉 = 𝛿𝑢 (1 + 𝜉 ) 𝑚 𝜎 ...(6)

4 𝑥𝑚 = 𝑢 +

𝜎 ((𝑚𝛿𝑢 )𝜉 − 1) 𝜉

Sebaran Champernowne Termodifikasi D.G Champernowne melakukan penelitian pada tahun 1936 mengenai teori distribusi pendapatan dengan memanfaatkan sebaran Champernowne sebagai berikut: 𝑐 ...(7) ,⩝ 𝑥 ∈ 𝑅 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 −𝛼 1 𝑥 𝛼 𝑥 ((2) (𝑀) + 𝜆 + (2) (𝑀) ) dengan c adalah koefisien normalisasi serta α, λ, M sebagai parameternya. Fungsi 𝛼 kepekatan peluang Champernowne ketika λ ≈ 1 ; c ≈ adalah : 2 𝛼𝑀𝛼 𝑥 𝛼−1 ...(8) 𝑓(𝑥) = 𝛼 (𝑥 + 𝑀𝛼 )2 dengan fungsi sebaran sebagai berikut : 𝑥𝛼 ...(9) 𝐹(𝑥) = 𝛼 𝑥 + 𝑀𝛼 Sebaran Champernowne tidak fleksibel ketika x ≈ 0, sehingga diperlukan sebaran Champernowne termodifikasi yang diperkenalkan oleh Buch-Larsen et al. (2005) dengan fungsi sebaran sebagai berikut: (𝑥 + 𝑐)𝛼 − 𝑐 𝛼 ...(10) , ∀𝑥 ∈ 𝑅 𝑇(𝑥) = (𝑥 + 𝑐)𝛼 + (𝑀 + 𝑐)𝛼 − 2𝑐 𝛼 Fungsi kepekatan peluangnya adalah: 𝛼(𝑥 + 𝑐)𝛼−1 ((𝑀 + 𝑐)𝛼 − 𝑐 𝛼 ) ...(11) 𝑡(𝑥) = , ∀𝑥 ∈ 𝑅+ ((𝑥 + 𝑐)𝛼 + (𝑀 + 𝑐)𝛼 − 2𝑐 𝛼 )2 Invers dari sebaran Champernowne termodifikasi adalah: 1⁄

𝑝(𝑀 + 𝑐)𝛼 − (2𝑝 − 1)𝑐 𝛼 𝛼 −1 (𝑝) ...(12) 𝑇 = [ ] −𝑐 1−𝑝 dengan p merupakan nilai peluang komulatif. Fungsi tingkat pengembalian sebaran Champernowne dihasilkan dari substitusi fungsi sebaran T(x) sebagai berikut: 1

...(13) 𝑥𝑚 = [𝑚. 𝛿𝑢 ((𝑀 + 𝑐)𝛼 − 𝑐 𝛼 ) − (𝑀 + 𝑐)𝛼 + 2𝑐 𝛼 ]𝛼 − 𝑐 dengan δu = ̂ k/N, k = banyaknya data ekstrim yang dianalisis, N = banyakya data pada periode yang dianalisis (Coles 2001).

Pengganda Langrange Pengganda Langrange (Lagrange Multiplier) merupakan metode penyelesaian optimasi Nonlinear Programming (NLP). Metode pengganda Lagrange pada dasarnya mengubah persoalan titik ekstrim terkendala menjadi persoalan ekstrim bebas kendala. Secara umum, permasalahan NLP sebagai berikut (Hillier 2000): fungsi objektif : min f(x) ; x = {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑝 }

5 fungsi kendala

: gi(x)=bi

; i= 1, ... ,m

dengan x merupakan peubah bebas yang akan ditentukan untuk memenuhi fungsi objektif,

p menunjukan banyaknya peubah bebas, bi merupakan konstanta, dan m merupakan banyaknya kendala. Fungsi Lagrange yang terbentuk adalah: 𝑚

𝐿(𝒙, 𝝀) = 𝑓(𝒙) − ∑ 𝜆𝑖 [𝑔𝑖 (𝒙) − 𝑏𝑖 ]

...(14)

𝑖=1

Dengan λ merupakan pengganda Lagrange. Solusi optimum dari metode pengganda Lagrange dapat diperoleh berdasarkan turunan pertama L terhadap (𝒙, 𝝀) sebagai berikut: 𝜕𝑓 𝜕𝑔𝑖 𝜕𝐿 ...(15) = − ∑𝑚 = 0 ; j = 1, 2, ..., p 𝑖=1 𝜆𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝐿 𝜕𝜆𝑖

𝜕𝑥𝑗

𝜕𝑥𝑗

= − 𝑔𝑖 (𝒙) + 𝑏𝑖 = 0

; i = 1, 2, ..., m

...(16)

Algoritma metode pengganda Lagrange: 1. Menentukan fungsi objektif (f(x)), fungsi kendala (gi(x)), dan fungsi Lagrange (𝐿(𝒙, 𝝀)). 𝜕𝐿

𝜕𝐿

2. Menentukan turunan pertama (𝜕𝑥 ) = 0 dan (𝜕𝜆 ) = 0. 𝑗

𝑖

𝜕𝐿

𝜕𝐿

3. Mensubstitusi hasil (𝜕𝜆 ) = 0 terhadap hasil (𝜕𝑥 ) = 0 𝑖

𝑗

𝜕𝐿

4. Menentukan hasil eliminasi antar ( ) = 0 untuk setiap j sehingga 𝜕𝑥 𝑗

ditemukan persamaan tak berkendala yang merupakan nilai x optimum.

METODOLOGI Bahan Penelitian ini menggunakan data curah hujan harian dari tanggal 1 Januari 1985 sampai 31 Maret 2011 di Stasiun Darmaga Bogor Jawa Barat. Data ini diperoleh dari Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika.

Metode Langkah yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu: 1. Eksplorasi data untuk mengetahui pemusatan data, sebaran data, data pencilan yang kemungkinan termasuk kejadian ekstrim, serta jumlah hari hujan. 2. Pengelompokan data berdasarkan periode tertentu menjadi data training dan data validasi.

6 Tabel 1 Pengelompokan Data Kelompok Data Training 1 1 Jan.1985-31 Des.2001 1 Jan.1985-31 Des.2002 2 1 Jan.1985-31 Des.2003 3 1 Jan.1985-31 Des.2004 4 1 Jan.1985-31 Des.2005 5 1 Jan.1985-31 Des.2006 6 1 Jan.1985-31 Des.2007 7 1 Jan.1985-31 Des.2008 8 1 Jan.1985-31 Des.2009 9 1 Jan.1985-31 Des.2010 10

Data Validasi 1 Jan.-31 Mar. 2002 1 Jan.-31 Mar. 2003 1 Jan.-31 Mar. 2004 1 Jan.-31 Mar. 2005 1 Jan.-31 Mar. 2006 1 Jan.-31 Mar. 2007 1 Jan.-31 Mar. 2008 1 Jan.-31 Mar. 2009 1 Jan.-31 Mar. 2010 1 Jan.-31 Mar. 2011

3. Penentuan nilai ambang batas (u) Data ekstrim curah hujan yang digunakan didasarkan pada nilai ambang batas (u) untuk setiap kelompok data training. Chavez-Demoulin (2006) dalam Irfan (2011) menyarankan bahwa sekitar 10% nilai tertinggi dari keseluruhan data dapat dikategorikan sebagai data ekstrim. 4. Pendugaan parameter GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi terhadap data ekstrim untuk setiap kelompok data training. 5. Pengujian asumsi sebaran curah hujan ekstrim untuk setiap kelompok data training terhadap GPD dan sebaran Champernowne termodifikas menggunakan plot kuantil-kuantil dan uji Kolmogorov-Smirnov. Uji Kolmogorov-Smirnov bertujuan untuk memeriksa kesesuaian pola sebaran data empirik terhadap sebaran teoritis dengan hipotesis: H0 : 𝐹(𝑥) = 𝐹0 (𝑥) untuk semua nilai x H1 : 𝐹(𝑥) ≠ 𝐹0 (𝑥) paling sedikit satu nilai x Statistik uji yang digunakan ialah: 𝐷 = 𝑚𝑎𝑥[|𝐹(𝑥) − 𝐹0 (𝑥)|] 𝐹(𝑥) merupakan sebaran empirik dengan 𝐹(𝑥) = (𝑖 − 0.5)/𝑛 sedangkan 𝐹0 (𝑥) merupakan sebaran teoritik dengan 𝐹0 (𝑥) = 𝐻 −1 (𝑝) untuk GPD dan 𝐹0 (𝑥) = 𝑇 −1 (𝑝) untuk sebaran Champernowne termodifikasi. Nilai 𝑝 merupakan nilai peluang komulatif dan i merupakan urutan data dari kecil ke besar dengan i=1,...,n. Hipotesis H0 akan di terima jika Nilai 𝐷 > 1.36/√𝑛 yang menunjukan bahwa pola sebaran data empirik menyebar mengikuti sebaran teoritis (Daniel 1990). 6. Evaluasi pendugaan nilai ekstrim menggunakan RMSE. Pengukuran simpangan galat berdasarkan Root Mean Square Error (RMSE) dugaan nilai ekstrim ( 𝑥̂ i) terhadap nilai aktual (xi). Dugaan nilai ekstrim yang digunakan berdasarkan GPD (𝑥̂GPD) dan Champernowne termodifikasi (𝑥̂Champ). ∑𝑡 (𝑥 −𝑥̂ )2 𝑅𝑀𝑆𝐸 = √ 𝑖=1 𝑡𝑖 𝑖 , t = banyaknya nilai di atas kuantil 0.9 7. Pendugaan nilai ekstrim gabungan ( 𝑥̂ Gab) dengan cara pemberian bobot optimum (wopt) terhadap nilai dugaan sebaran Champernowne termodifikasi (𝑥̂Champ) dan nilai dugaan GPD (𝑥̂GPD).

7 𝑥̂Gab = wopt . 𝑥̂Champ + (1- wopt) . 𝑥̂GPD 𝑥̂Gab = w1 . 𝑥̂Champ + w2. 𝑥̂GPD dengan w1 = wopt dan w2 = 1-wopt.

Bobot optimum ditentukan menggunakan metode iterasi yang mengacu pada prosedur yang dilakukan Hafid (2013), metode regresi linear yang mengacu pada prosedur yang dilakukan Wigena (2014), dan metode pengganda Lagrange dengan fungsi objektif, fungsi kendala dan fungsi Lagrange sebagai berikut: fungsi objektif : 𝑡

f(w) =min 𝑅𝑀𝑆𝐸(𝑤)

∑𝑖=1(𝑥𝑖 −𝑥̂𝐺𝑎𝑏 ) 𝑖 =√

2

𝑡

= min (∑𝑡𝑖=1 𝑥𝑖 2 − 2𝑤1 ∑𝑡𝑖=1 (𝑥𝑖 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 ) −

2𝑤2 ∑𝑡𝑖=1(𝑥𝑖 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) + 𝑤1 2 ∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 2 +

2𝑤1 𝑤2 ∑𝑡𝑖=1 ( 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) + 𝑤2 2 ∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 2 ) fungsi kendala : g(w) = 𝑤1 + 𝑤2 = 1

; 0 ≤ 𝑤1 , 𝑤2 ≤ 1

fungsi Lagrange : L(x,λ) = ∑𝑡𝑖=1 𝑥𝑖 2 − 2𝑤1 ∑𝑡𝑖=1 (𝑥𝑖 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 ) − 2𝑤2 ∑𝑡𝑖=1(𝑥𝑖 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) + 𝑤1 2 ∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 2 + 2𝑤1 𝑤2 ∑𝑡𝑖=1 ( 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) + 𝑤2 2 ∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 2 − 𝜆(𝑤1 + 𝑤2 − 1)

8. Peramalan nilai tingkat pengembalian curah hujan maksimum. Pengukuran simpangan galat berdasarkan Root Mean Square Error Prediction (RMSEP) nilai ramalan (𝑥̂m) terhadap nilai aktual (xm) jangka waktu m hari ke depan. 𝑅𝑀𝑆𝐸𝑃(𝑚)

∑𝑟𝑖=1(𝑥𝑚𝑖 − 𝑥̂𝑚𝑖 ) =√ 𝑟

2

; r = banyaknya kelompok data validasi

HASIL DAN PEMBAHASAN Eksplorasi Data Curah hujan pada tahun 1985 sampai 2010 di stasiun Darmaga Bogor menunjukan adanya nilai-nilai ekstrim seperti yang terlihat pada Gambar 1. Terdapatnya data pencilan yang relatif jauh dari pusat data menunjukan adanya penyimpangan curah hujan dari kondisi normal yang menjadi pusat perhatian pada penelitian ini. Terdapat nilai curah hujan harian yang sangat jauh memencil dari data ekstrim lainnya, yaitu curah hujan harian pada tanggal 1 April 2004 mencapai 507 mm, pada tanggal 3 Juni 1995 mencapai 315 mm, dan pada tanggal 13 Februari 1998 mencapai 240 mm. Penelitian yang dilakukan Prang (2006) dan Irfan (2011)

8

Curah hujan harian (mm)

tidak menunjukan adanya nilai amatan yang lebih dari 200 mm, sedangkan Hafid (2013) menghilangkan ketiga data tersebut dan melakukan penanganan data hilang. Pada penelitian ini, dilakukan hal serupa dengan Hafid (2013) dengan pertimbangan bahwa data yang sangat jauh memencil dapat memengaruhi keakuratan pendugaan.

Bulan Gambar 1 Diagram kotak garis curah hujan harian periode 1985-2010 Tabel 2 Jumlah hari hujan tiap bulan periode 1985-2010 Jumlah Rata-rata Bulan Hari Hujan Curah Hujan Januari 594 17.79 Februari 572 17.34 Maret 563 18.44 April 488 20.52 Mei 443 22.31 Juni 326 20.88 Juli 273 19.66 Agustus 243 22.41 September 323 20.46 Oktober 449 20.47 November 545 19.72 Desember 517 15.77 Tabel 2 menunjukan bahwa jumlah hari hujan tertinggi sepanjang periode 1985-2010 terjadi di bulan Januari sebanyak 594 hari dengan rata-rata curah hujan sebesar 17.78 mm, sedangkan jumlah hari hujan terendah terjadi di bulan Agustus sebanyak 243 hari dengan rata-rata curah hujan sebesar 22.41 mm. Rata-rata curah

9 hujan di musim kemarau (bulan Maret sampai April) lebih tinggi dari rata-rata curah hujan di musim hujan (bulan September sampai Februari). Hal ini menunjukan adanya kemungkinan curah hujan ekstrim di musim kemarau. Pendugaan Parameter GPD dan Sebaran Champernowne Termodifikasi Sebelum melakukan pendugaan parameter GPD, terlebih dahulu dilakukan penentuan nilai ambang u berdasarkan 10 % nilai tertinggi. Nulai u pada setiap periode analisis berbeda dikarenakan jumlah hari hujan dan tinggiya curah hujan berbeda-beda di setiap periode analisis. Nilai u pada periode 1985 sampai 2010 sebesar 35.5 mm. Jumlah curah hujan harian yang berada di atas nilai u selama periode 1985 sampai 2010 sebanyak 949 hari. Data curah hujan yang berada di atas nilai u ini yang selanjutnya akan dijadikan sebagai data training untuk pendugaan parameter GPD dan Champernowne termodifikasi. Sementara periode untuk data training lainnya mempunyai proses yang sama dalam penentuan nilai ambang u. Interpretasi terhadap parameter skala σ menyatakan bentuk dari fungsi peluang yang menggambarkan pola keragaman data. Parameter ξ menggambarkan perilaku ekor kanan dari fungsi peluangnya. Hasil pendugaan parameter GPD (Tabel 3) periode 1 Januari 1985 sampai 31 Desember 2007 memiliki keragaman terbesar dengan nilai σ sebesar 25.30. Parameter ξ yang selalu bernilai negatif untuk setiap kelompok data training menunjukan fungsi kepekatan peluang yang terhingga sehingga kemungkinan terjadinya curah hujan yang sangat ekstrim sangat kecil sekali. Interpretasi terhadap parameter M menggambarkan titik pemusatan data, parameter α menggambarkan pola keragaman data, sedangkan parameter c menggambarkan pola sebaran ekor kanan. Namun nilai parameter c masih belum dapat diketahui karakteristiknya. Hasil pendugaan parameter Champernowne termodifikasi pada Tabel 3 menunjukan bahwa keragaman terbesar terjadi pada periode 1 Januari 1985 sampai 31 Desember 2010 dengan parameter α terkecil yaitu 5.42. Karakteristik α pada Champernowne termodifikasi tidak sejalan dengan karakteristik σ pada GPD karena karakteristik α pada Champernowne termodifikasi dipengaruhi oleh parameter M. Tabel 3 Nilai dugaan parameter GPD dan Champernowne termodifikasi Periode Analisis

GPD

u σ

1 Jan.1985-31 Des.2001 1 Jan.1985-31 Des.2002 1 Jan.1985-31 Des.2003 1 Jan.1985-31 Des.2004 1 Jan.1985-31 Des.2005 1 Jan.1985-31 Des.2006 1 Jan.1985-31 Des.2007 1 Jan.1985-31 Des.2008 1 Jan.1985-31 Des.2009 1 Jan.1985-31 Des.2010

35.50 36.00 35.80 36.00 36.40 36.10 36.00 36.00 35.70 35.50

24.74 24.62 24.42 24.74 25.06 24.99 25.30 25.22 24.99 25.00

ξ -0.0902 -0.0884 -0.0856 -0.0862 -0.0885 -0.0854 -0.0851 -0.0862 -0.0828 -0.0805

Champernowne Termodifikasi M α c 53.0 53.0 53.0 53.0 53.2 53.0 53.0 53.0 52.8 52.5

5.59 5.64 5.60 5.60 5.57 5.53 5.51 5.51 5.47 5.42

0.0000166 0.0000048 0.0000442 0.0000040 0.0000119 0.0000476 0.0000012 0.0000284 0.0000059 0.0000117

0.00005

0.00010

0.00015

GPD Champernowne T.

(174.5 , 0.0000603)

0.00000

fkp periode 1985-Des.2010

0.00020

10

160

180

200

220

240

Curah hujan ekstrim (mm)

Gambar 2 Fungsi kepekatan peluang GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2010

Karakteristik GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2010 ketika peluang kumulatif sebesar 0.9 dapat dilihat pada Gambar 2. Penentuan peluang komulatif sebesar 0.9 didasarkan pada penentuan nilai ambang u berdasarkan 10 % nilai tertinggi. Perpotongan kurva GPD dan Champernowne termodifikasi terjadi ketika h(x)=t(x) (persamaan 4 dan 11). Pada periode analisis 1 Januari 1985 sampai 31 Desember 2010 perpotongan kurva terjadi pada saat nilai x sebesar 174.5 mm, dengan peluang h(174.5)=t(174.5)=0.0000603. Perpotongan ini menunjukan bahwa nilai pendugaan GPD selalu lebih besar dibandingkan nilai dugaan sebaran Champernowne termodifikasi untuk peluang > 0.0000603, sebaliknya ketika peluang ≤ 0.0000603 sampai konvergen ≈ 0, nilai pendugaan GPD selalu lebih kecil dibandingkan nilai dugaan sebaran Champernowne termodifikasi. Plot kuantil-kuantil pada Gambar 3 memperlihatkan bahwa data curah hujan ekstrim di Darmaga Bogor memiliki indikasi menyebar GPD maupun Champernowne termodifikasi. Plot kuantil-kuantil yang berada di atas garis linear menunjukan pendugaan bernilai lebih kecil dari nilai aktual dengan kata lain pendugaan bias ke bawah. Sebaliknya, plot kuantil-kuantil yang berada di bawah garis linear menunjukan pendugaan bernilai lebih besar dari nilai aktual atau dengan kata lain nilai dugaan bias ke atas. Pendugaan curah hujan ekstrim berdasarkan GPD memiliki kecenderungan bias ke atas sedangkan pendugaan curah hujan ekstrim berdasarkan sebaran Champernowne termodifikasi cenderung bias ke bawah. Hal ini menunjukan bahwa pendugaan akan menjadi lebih baik apabila dilakukan penggabungan nilai dugaan GPD dan nilai dugaan sebaran Champernowne termodifikasi.

180 160 140 100

120

y(i) Periode 1985-Des.2010

160 140 120 100


180

11

100

120

140

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ GPD

160

180

80

100

120

140

160

180

200

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ Champernowne

(a)

(b)

Gambar 3 Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan GPD (a) dan sebaran Champernowne termodifikasi (b) periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2010 Pengujian asumsi secara formal berdasarkan uji Kolmogorof-Smirnov menunjukan bahwa sebaran data empirik setiap periode analisis mengikuti GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi (Tabel 4) pada taraf nyata 5% dengan nilai statistik uji D lebih kecil dari nilai kritis D pada Tabel Kolmogorov-Smirnov. Tabel 4 Uji Kolmogorov-smirnov data ekstrim curah hujan Darmaga Bogor Nilai Tabel Nilai Statistik Uji D KolmogorovPeriode Analisis Smirnov GPD Champernown T. (α=5%) 1 Jan.1985-31 Des.2001 0.0191* 0.0330* 0.0547 1 Jan.1985-31 Des.2002 0.0184* 0.0202* 0.0534 1 Jan.1985-31 Des.2003 0.0227* 0.0292* 0.0516 1 Jan.1985-31 Des.2004 0.0168* 0.0202* 0.0505 1 Jan.1985-31 Des.2005 0.0175* 0.0124* 0.0491 1 Jan.1985-31 Des.2006 0.0173* 0.0152* 0.0480 1 Jan.1985-31 Des.2007 0.0145* 0.0124* 0.0472 1 Jan.1985-31 Des.2008 0.0149* 0.0162* 0.0462 1 Jan.1985-31 Des.2009 0.0146* 0.0242* 0.0451 1 Jan.1985-31 Des.2010 0.0138* 0.0232* 0.0441 *tidak nyata pada taraf nyata 0.05 Pendugaan Nilai Ekstrim Gabungan Penentuan bobot menggunakan metode pengganda Lagrange secara rinci dapat dilihat pada Lampiran 3. Bobot optimum berdasarkan metode pengganda Lagrange menghasilkan nilai RMSE yang lebih kecil dibandingkan RMSE pada

12 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 maupun RMSE 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 . Penentuan bobot optimum dilakukan terhadap semua kelompok data training dengan hasil disajikan pada Tabel 5. Tabel 5 Nilai RMSE untuk setiap kelompok data training RMSE

wopt

Periode Analisis Jan.1985-Des.2001 Jan.1985-Des.2002 Jan.1985-Des.2003 Jan.1985-Des.2004 Jan.1985-Des.2005 Jan.1985-Des.2006 Jan.1985-Des.2007 Jan.1985-Des.2008 Jan.1985-Des.2009 Jan.1985-Des.2010

GPD

Champ.T.

Gabungan

Lagrange

Iterasi

6.449 6.732 6.247 5.705 4.616 4.116 3.885 3.884 3.625 3.414

7.514 7.294 6.681 7.744 8.752 8.842 9.532 9.246 8.742 9.059

4.727 4.394 3.923 3.617 3.094 2.756 2.704 2.638 2.356 2.238

0.571 0.467 0.473 0.392 0.295 0.267 0.234 0.243 0.247 0.227

0.571 0.467 0.473 0.392 0.295 0.267 0.234 0.243 0.247 0.227

Regresi Linear 0.571 0.467 0.473 0.392 0.295 0.267 0.234 0.243 0.247 0.227

160 140 120 100


180

Hasil pengukuran simpangan galat berdasarkan akar dari rata-rata jumlah kuadrat galat (RMSE) pada Tabel 5 menunjukan bahwa pendugaan nilai gabungan merupakan pendugaan terbaik dibandingkan dengan pendugaan GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi karena memiliki nilai RMSE yang minimum. Baik secara iterasi, metode regrei linear, maupun menggunakan metode pengganda Lagrange, ketiganya menghasilkan nilai bobot optimum (wopt) yang sama. Hal ini menunjukan bahwa metode pengganda Lagrange dapat dijadikan alternatif dalam penentuan bobot optimum pada metode gabungan tanpa harus mengalami proses trial and error seperti pada proses iterasi. Bobot optimum yang diperoleh untuk sebaran Champernowne termodifikasi secara rata-rata sebesar 0.342 sedangkan bobot optimum yang diperoleh untuk GPD secara rata-rata sebesar 0.658. Nilai bobot optimum yang diperoleh untuk setiap periode analisis digunakan untuk meramalkan nilai ekstrim berdasarkan pendugaan nilai gabungan.

100

120

140

160

180

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ Metode Gabungan

Gambar 4 Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan nilai gabungan (𝑤𝑜𝑝𝑡 =0.227) periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2010

13 Gambar 4 menunjukan kesesuaian pola sebaran data empirik terhadap pola 𝑥̂𝐺𝑎𝑏 . Hasil pendugaan hampir secara tepat berada pada garis linear yang menunjukan keandalan nilai gabungan dalam mengatasi bias ke atas pendugaan GPD dan bias ke bawah pendugaan sebaran Champernowne termodifikasi. Peramalan Curah Hujan Ekstrim Penentuan pendugaan nilai terbaik dapat dilihat berdasarkan nilai RMSEP antara nilai ramalan dengan nilai aktual pada setiap kelompok data validasi. Peramalan berdasarkan nilai tingkat pengembalian (return level) bertujuan untuk menduga nilai curah hujan maksimum yang secara rata-rata mungkin terjadi selama m hari ke depan. Penentuan m hari ke depan dalam penelitian ini berdasarkan jangka waktu i bulan ke depan. Jangka waktu dalam penelitian ini adalah peramalan jangka waktu 1, 2, dan 3 bulan ke depan. Hasil peramalan curah hujan ekstrim untuk setiap peramalan i bulan ke depan disajikan pada Tabel 6. Peramalan i bulan ke depan berdasarkan nilai RMSEP yang paling kecil (Gambar 5) menunjukan bahwa peramalan untuk jangka waktu 1 bulan ke depan sangat baik diduga oleh nilai gabungan. Peramalan untuk jangka waktu 2 dan 3 bulan ke depan baik diduga oleh sebaran Champernowne termodifikasi. Keakuratan peramalan 1 bulan ke depan menghasilkan nilai RMSEP yang lebih kecil dibandingkan peramalan untuk 2 atau 3 bulan ke depan untuk ketiga metode. Hal ini menunjukan bahwa peramalan sebaiknya dilakukan untuk 1 bulan ke depan. 50 45 36,684

40 35

RMSEP

30

26,491 21,711

25 20 15 10 5 0 1

2

3

Periode GPD

Champernowne termodifikasi

niai gabnungan

Gambar 5 Nilai RMSEP hasil peramalan periode i bulan ke depan

14 Tabel 6

Ramalan curah hujan ekstrim berdasarkan nilai tingkat pengembalian Ramalan i bulan ke depan, Curah Hujan dengan i: Periode Analisis Ekstrim 1 2 3 1 Jan.1985-31 Jan.2001 85.170 52.730 44.170 1 Jan.1985-31 Jan.2002 43.670 68.230 60.570 1 Jan.1985-31 Jan.2003 65.100 37.070 56.400 1 Jan.1985-31 Jan.2004 77.670 84.570 111.670 1 Jan.1985-31 Jan.2005 99.030 56.500 23.170 Nilai aktual 1 Jan.1985-31 Jan.2006 86.400 67.570 32.730 1 Jan.1985-31 Jan.2007 47.030 47.370 74.870 1 Jan.1985-31 Jan.2008 42.270 35.900 32.530 1 Jan.1985-31 Jan.2009 39.400 74.730 54.270 1 Jan.1985-31 Jan.2010 39.200 12.830 22.300 1 Jan.1985-31 Jan.2001 61.966 76.293 84.901 1 Jan.1985-31 Jan.2002 62.265 76.658 85.289 1 Jan.1985-31 Jan.2003 62.135 76.711 85.157 1 Jan.1985-31 Jan.2004 62.267 77.287 85.361 1 Jan.1985-31 Jan.2005 62.745 77.287 86.031 1 Jan.1985-31 Jan.2006 62.735 77.302 86.077 GPD 1 Jan.1985-31 Jan.2007 62.783 77.911 86.679 1 Jan.1985-31 Jan.2008 62.731 77.428 86.277 1 Jan.1985-31 Jan.2009 62.741 77.368 86.192 1 Jan.1985-31 Jan.2010 62.825 77.506 86.372 RMSEP 21.855 31.024 43.289 1 Jan.1985-31 Jan.2001 60.420 70.582 76.949 1 Jan.1985-31 Jan.2002 60.220 70.278 76.566 1 Jan.1985-31 Jan.2003 60.505 70.885 77.154 1 Jan.1985-31 Jan.2004 60.370 70.522 76.879 Champernowne 1 Jan.1985-31 Jan.2005 60.705 70.945 77.367 termodifikasi 1 Jan.1985-31 Jan.2006 60.593 70.876 77.332 1 Jan.1985-31 Jan.2007 60.427 71.037 77.447 1 Jan.1985-31 Jan.2008 60.456 70.799 77.286 1 Jan.1985-31 Jan.2009 60.438 70.840 77.379 1 Jan.1985-31 Jan.2010 60.189 70.635 77.209 RMSEP 21.760 26.491 36.684

15 Tabel 6 Ramalan curah hujan ekstrim berdasarkan nilai tingkat pengembalian (lanjutan) Ramalan i bulan ke depan. Curah Hujan dengan i: Periode Analisis Ekstrim 1 2 3 1 Jan.1985-31 Jan.2001 61.083 73.032 80.360 1 Jan.1985-31 Jan.2002 61.175 73.258 80.640 1 Jan.1985-31 Jan.2003 61.276 73.641 80.939 1 Jan.1985-31 Jan.2004 61.113 73.174 80.204 1 Jan.1985-31 Jan.2005 61.307 72.816 79.923 1 Jan.1985-31 Jan.2006 61.165 72.592 79.667 Gabungan 1 Jan.1985-31 Jan.2007 60.979 72.646 79.607 1 Jan.1985-31 Jan.2008 61.009 72.410 79.471 1 Jan.1985-31 Jan.2009 61.007 72.453 79.556 1 Jan.1985-31 Jan.2010 60.787 72.195 79.289 RMSEP 21.711 27.744 38.525

SIMPULAN Hasil pendugaan GPD cenderung bias ke atas sedangkan pendugaan sebaran Champernowne termodifikasi cenderung bias ke bawah. Penentuan bobot optimum pada nilai gabungan dengan menggunakan pengganda Lagrange memberikan hasil dugaan yang lebih baik dengan rata-rata bobot optimum 0.342 untuk dugaan sebaran Champernowne termodifikasi dan 0.658 untuk dugaan GPD. Nilai bobot optimum yang diperoleh menggunakan metode pengganda Lagrange sama dengan bobot optimum metode iterasi dan regresi linear. Hal ini menunjukan bahwa metode pengganda Lagrange dapat dijadikan alternatif dalam penentuan bobot optimum pada metode gabungan tanpa harus mengalami proses trial and error seperti pada proses iterasi. Hasil peramalan sangat baik diduga untuk jangka waktu satu bulan ke depan berdasarkan nilai gabungan dengan nilai RMSEP terkecil dibandingkan GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi.

16

DAFTAR PUSTAKA [BMKG] Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika. 2007. Teori metode prediksi HyBMG versi 2.0.7. Jakarta (ID): BMKG. Buch-Larsen T, Nielsen JP, Guillen M, Bolance C. 2005. Kernel density estimation for heavy-tailed distribution using the Champernowne transformation. Statistics. 39(6):503-518. DOI:10.1080/02331880500439782. Coles. S. 2001. An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. London (GB): Springer. Daniel WW. 1990. Applied Nonparametric Statistics. Boston (US): PWS-KENT Publishing Company. Djuraidah A, Wigena AH. 2011. Regresi kuantil untuk eksplorasi pola curah hujan di Kabupaten Indramayu. Jurnal Ilmu Dasar. 12(1):50-56. Embrechts P, Kliippelberg C, Mikosch T. 1997. Modelling Extremal Events. London (GB) : Springer. Gilli M,Kellezi E. 2003. An Application of Extreme Value Theory for Measuring Financial Risk. Computational Economics. 27(1):1-23. DOI:10.1007/s10614-006-9025-7. Hafid M. 2013. Pendugaan nilai ekstrim menggunakan sebaran Champernowne termodifikasi. sebaran pareto terampat dan nilai gabungan studi kasus curah hujan harian Darmaga Bogor [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Hillier FS, Lieberman GJ. 2000. Introduction to Operations Research. New York (US): McGraw-Hill. Irfan M. 2011. Sebaran Pareto Terampat untuk menentukan curah hujan ekstrim (studi kasus: curah hujan periode 2001-2010 pada Stasiun Darmaga) [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Kotz S, Nudarajah S. 1999. Extreme Value Distribution Theory and Applications. London (GB): Imperial College Press. Mallor F, Nualart E, Omey E. 2009. An introduction to statistical modelling of extreme values application to calculate extreme wind speeds. HUB Research Paper Economics snd Management. Brussel (GB) : HUB Prang JD. 2006. Sebaran Nilai Ekstrim Terampat dalam fenomena curah hujan [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Wigena AH, Djuraidah A, Mangku IW. 2014. Ensemble two return level of generalized pareto and modified champernowne distributions using linear regression. Advances and Applications in Statistics. 40(2):157-167

17

LAMPIRAN

180 160 140 100

120


160 140 120 100


180

Lampiran 1 Plot Kuantil-Kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan data GPD pada kuantil ≥ 0.9

100

120

140

160

100


140

160

180 160 140 100

120


180 160 140 120 100


120


100

120

140


160

100

120

140


160

100

100

140

160

100 180

120

120 100

100

140

160

140

140


160 120

140

160


120

180

180

140

160

100

120

140

180


100

120


120


100

100

140

160

120

140

160


120


180

180

18

Lanjutan Lampiran 1

160 100

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ GPD Q(pi)=inv{F(pi)} ~ GPD

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ GPD 160

100

100

120

120

120

140

140

140


160

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ GPD 160

160

180

19

180 160 140 100

120


160 140 120 100


180

Lampiran 2 Plot Kuantil-Kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan data sebaran Champernowne termodifikasi pada kuantil ≥ 0.9

80

100

120

140

160

180

80

100


140

160

180

160 140 100

120


180

180 160 140 120 100


80

100

120

140

160

180

80

100


120

140

160

180

160 140 120 100

120

140

160


180

180


100


120


80

100

120

140

160


180

200

80

100

120

140

160


180

200

20

180 160 140 100

120


160 140 120 100


180

Lanjutan Lampiran 2

80

100

120

140

160

180

80

200

100

140

160

180

200

160 140 120 100

100

120

140

160


180

180



120


80

100

120

140

160

180

200

80

100

120

140

160

180

200



Lampiran 3 Penentuan Nilai Bobot Optimum menggunakan metode Pengganda Lagrange Fungsi objektif: f(w) = min RMSE(w) 𝑡

∑𝑖=1(𝑥𝑖 −𝑥̂𝐺𝑎𝑏 ) 𝑖 = min √

2

𝑡

𝑡

√∑𝑖=1(𝑥𝑖 −𝑥̂𝐺𝑎𝑏𝑖 )

2

𝑡

objektif menjadi :

2

minimum jika ∑𝑡𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̂𝐺𝑎𝑏𝑖 ) minimum. Maka fungsi

21

f(w) = 𝑚𝑖𝑛 ∑𝑡𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̂𝐺𝑎𝑏𝑖 )

2 2

= min ∑𝑡𝑖=1 (𝑥𝑖 − 𝑤𝑜𝑝𝑡 . 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 − (1 − 𝑤𝑜𝑝𝑡 ) . 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) 2

= min ∑𝑡𝑖=1 (𝑥𝑖 − 𝑤1 . 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 − 𝑤2 . 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 )

= min ∑𝑡𝑖=1 (𝑥𝑖 2 − 2𝑤1 𝑥𝑖 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 − 2𝑤2 𝑥𝑖 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 + 𝑤1 2 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 2 + 2𝑤1 𝑤2 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 + 𝑤2 2 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 2 ) = min (∑𝑡𝑖=1 𝑥𝑖 2 − 2𝑤1 ∑𝑡𝑖=1 (𝑥𝑖 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 ) − 2𝑤2 ∑𝑡𝑖=1(𝑥𝑖 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) + 𝑤1 2 ∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 2 + 2𝑤1 𝑤2 ∑𝑡𝑖=1 ( 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) + 𝑤2 2 ∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 2 )

fungsi kendala: g(w) = 𝑤1 + 𝑤2 = 1 ; 0 ≤ 𝑤1 , 𝑤2 ≤ 1

fungsi Lagrange: L(x,𝜆) = ∑𝑡𝑖=1 𝑥𝑖 2 − 2𝑤1 ∑𝑡𝑖=1 (𝑥𝑖 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 ) − 2𝑤2 ∑𝑡𝑖=1(𝑥𝑖 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) + 𝑤1 2 ∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 2 + 2𝑤1 𝑤2 ∑𝑡𝑖=1 ( 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) + 𝑤2 2 ∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 2 − 𝜆(𝑤1 + 𝑤2 − 1) Penyelesaian: 𝜕𝐿 𝜕𝑤1

=0

-2 ∑𝑡𝑖=1 (𝑥𝑖 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 ) + 2𝑤1 ∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 2 + 2𝑤2 ∑𝑡𝑖=1 ( 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) − 𝜆 = 0

𝜕𝐿 𝜕𝑤2

=0

-2 ∑𝑡𝑖=1(𝑥𝑖 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) + 2𝑤1 ∑𝑡𝑖=1 ( 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) + 2𝑤2 ∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 2 − 𝜆 = 0

𝜕𝐿 𝜕𝑤2

=0

𝑤1 + 𝑤2 − 1 = 0 𝑤2 = 1 − 𝑤1

22

Eliminasi

𝜕𝐿 𝜕𝑤1

dengan

𝜕𝐿 𝜕𝑤2

:

-2 ∑𝑡𝑖=1 (𝑥𝑖 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 ) + 2𝑤1 ∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 2 + 2𝑤2 ∑𝑡𝑖=1 ( 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) − 𝜆 = -2 ∑𝑡𝑖=1(𝑥𝑖 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) + 2𝑤1 ∑𝑡𝑖=1 ( 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) + 2𝑤2 ∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 2 − 𝜆

-2 ∑𝑡𝑖=1 (𝑥𝑖 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 ) + 2 ∑𝑡𝑖=1 (𝑥𝑖 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 ) + 2𝑤1 [∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 2 − ∑𝑡𝑖=1 ( 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 )] + 2𝑤2 [∑𝑡𝑖=1 ( 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) − ∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 2 ] = 0 𝑖 𝑖

-2 ∑𝑡𝑖=1 (𝑥𝑖 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 ) + 2 ∑𝑡𝑖=1 (𝑥𝑖 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 ) + 2𝑤1 [∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 2 − ∑𝑡𝑖=1 ( 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 )] + 2(1 − 𝑤1 ) [∑𝑡𝑖=1 ( 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) − ∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 2 ] = 0 𝑖 𝑖

𝑤1 =

[∑𝑡𝑖=1 (𝑥𝑖 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 ) − ∑𝑡𝑖=1 (𝑥𝑖 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 ) − ∑𝑡𝑖=1 ( 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) + ∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 2 ] [∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 2 − 2 ∑𝑡𝑖=1 ( 𝑥̂𝐶ℎ𝑎𝑚𝑝 𝑖 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 ) + ∑𝑡𝑖=1 𝑥̂𝐺𝑃𝐷 𝑖 2 ]

23

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Cianjur, Jawa Barat pada tanggal 20 September 1992 sebagai anak ketiga dari tiga bersaudara pasangan Syafrizal dan Marni. Penulis menempuh pendidikan sekolah dasar di SD Negeri Cipanas 4 dan lulus pada tahun 2004, pendidikan menengah pertama di SMP Negeri 1 Pacet dan lulus pada tahun 2007, pendidikan menengah atas di SMA Negeri 1 Sukaresmi dan lulus tahun 2010. Tahun 2010 Penulis melanjutkan pendidikan melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) di Institut Pertanian Bogor (IPB) dan diterima di Mayor Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif di beberapa kegiatan kemahasiswaan. Tingkat pertama (Tingkat Persiapan Bersama/TPB ) penulis mengikuti keanggotaan Dewan Gedung Asrama TPB IPB 2010, penulis pun aktif di organisasi Lembaga Dakwah Kampus Al-Hurriyah di divisi Bimbingan Remaja dan Anak-anak (Birena) sebagai anggota divisi Usaha dan Bisnis dan sebagai bendahara divisi Kurikulum dan Kesiswaan (pada tingkat tiga). Penulis aktif menjadi pengurus Himpunan Profesi Statistika Gamma Sigma Beta sebagai anggota divisi Sains pada periode 2011/2012. Penulis juga aktif dalam berbagai kepanitian seperti Statistika Ria 2011 dan 2012, serta kepanitian Pesta SAINS Nasional 2011. Bulan Juli-Agustus 2013 penulis melaksanakan Praktik Lapangan di Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika Jakarta.

PENENTUAN BOBOT OPTIMUM DENGAN PENGGANDA LAGRANGE UNTUK PENGGABUNGAN NILAI DUGAAN EKSTRIM CURAH HUJAN DEBY VERTISA

Recommend Documents