KONTROL OPTIMUM PADA MASALAH PERIKLANAN UTAMI PRIHARTINI

KONTROL OPTIMUM PADA MASALAH PERIKLANAN

UTAMI PRIHARTINI

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010

 

ABSTRAK UTAMI PRIHARTINI. Kontrol Optimum pada Masalah Periklanan. Dibawah bimbingan TONI BAKHTIAR dan ALI KUSNANTO. Iklan merupakan bentuk komunikasi dan promosi terhadap barang atau jasa. Iklan bertujuan menyampaikan informasi berupa suatu pesan melalui media dan bersifat membujuk sehingga menimbulkan tanggapan khalayak. Sebuah perusahaan harus mengeluarkan biaya tambahan untuk membuat sebuah iklan. Hal ini merupakan permasalahan baru bagi perusahaan karena pada umumnya perusahaan berorientasi untuk memaksimumkan keuntungan. Dibutuhkan suatu kebijakan yang tepat dari perusahaan untuk mengalokasikan anggaran periklanan dengan memperhatikan kendala-kendala yang ada. Karya tulis ini membahas model respons penjualan-periklanan yang menekankan hubungan antara biaya periklanan dan tingkat penjualan. Model-model periklanan yang digunakan dalam karya tulis ini adalah model V-W dan Contagion. Masalah periklanan diformulasikan dalam bentuk masalah kontrol optimum yang melibatkan fungsi respons berbentuk-S sebagai bentuk aplikasi untuk solusi masalah maksimisasi keuntungan. Masalah kontrol optimum kemudian diselesaikan dengan menggunakan prinsip maksimum Pontryagin. Selanjutnya dianalisis kestabilan titik tetap dari model. Dari model V-W dan Contagion dapat disimpulkan bahwa jika biaya iklan konstan maka tingkat penjualan yang didapat konstan, sehingga menghasilkan tingkat keuntungan yang konstan sepanjang waktu. Pelibatan fungsi respons berbentuk-S menghasilkan tiga titik tetap, yaitu simpul stabil, sadel, dan spiral takstabil. Hasil simulasi menunjukkan bahwa pada awal mula perusahaan belum beriklan, belum ada keuntungan yang dihasilkan perusahaan. Kemudian setelah perusahaan mulai beriklan, tingkat keuntungan yang diperoleh masih sangat kecil, bahkan pada model Contagion bernilai negatif karena terlalu banyak biaya yang dikeluarkan sedangkan tingkat penjualan belum dapat menutupi biaya pembuatan iklan. Pada titik tetap ketiga, tingkat keuntungan berisolasi dan membesar dari waktu ke waktu selama suatu perusahaan masih produktif.

 

ABSTRACT UTAMI PRIHARTINI. Optimum Control in Advertising Problem. Supervised by TONI BAKHTIAR and ALI KUSNANTO. Advertising is a form of communication and promotion of goods or services. It aims to convey the information in form of a message through the media and persuade that generate responses from audiences. A company must pay some additional cost to make advertising. Thus, it generates new problems, because in general a company will attempt to maximize the profit. It is necessary to find a right advertising policy from the company to allocate their advertising budget with some constraints. This paper discusses the sales-advertising response model that emphasizes the relationship between advertising costs and sales levels.  The advertising models used in this paper are V-W model and Contagion model. Advertising problem is formulated in a form of optimal control problem which involves the S-shaped response function as a form of application for the solutions of profit maximization problem. The optimum control problem is solved using Pontryagin’s maximum principle. Then, fixed points of the models are analyzed. From V-W and Contagion models it can be concluded that if the cost of advertising is constant then it will be obtained a constant level of sales, so that obtained constant profits rate is over time. Involvement of S-shaped response function produced three fixed points, i.e. stable node, saddle and unstable spiral. The simulation results show that at the beginning, the company has not advertised, there is no incentive for the company to produce. Then, after the company begins to advertise, the level of benefits is still very small even resulted in a negative value at Contagion model. The reason is because it costs too much while the sales rate can not cover the costs of making advertising. At third fixed point, the rate of return insulated and enlarged from time to time as long as a company is still productive.

 

KONTROL OPTIMUM PADA MASALAH PERIKLANAN

UTAMI PRIHARTINI

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

2010

 

Judul Skripsi : Kontrol Optimum pada Masalah Periklanan Nama : Utami Prihartini NIM : G54061353

Menyetujui Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Toni Bakhtiar, M. Sc. NIP : 19720627 199702 1 002

Drs. Ali Kusnanto, M. Si. NIP : 19650820 199003 1 001

Mengetahui: Ketua Departemen,

Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP : 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus :

 

KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala nikmat, rahmat, karunia dan pertolongan-Nya sehingga penulisan skripsi ini berhasil diselesaikan. Penyusunan skripsi ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Ibunda Nurani Winda Restuti dan Ayahanda Suhartono yang telah memberikan kasih sayang, dukungan, doa, pengorbanan dan nasihat yang senantiasa mengiringi perjalanan penulis selama ini; Kakakku Oki dan Adikku Erni atas semangat dan dukungannya; 2. Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku dosen pembimbing, atas segala masukan dan kesabarannya dalam membimbing penulis; tak lupa kepada Bapak Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc selaku dosen penguji; 3. semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan); 4. Bu Susi, Bu Ade, Mas Bono, Mas Deni, Pak Yono, Mas Heri dan seluruh staf pegawai Departemen Matematika, terima kasih atas bantuannya dalam memperlancar administrasi akdemik bagi penulis di Departemen Matematika; 5. Saepudin ‘Mbul’ Hidayatulloh atas kasih sayang, perhatian, doa dan semangat yang selalu diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini; 6. sahabat 193 community : Vita, Phewe, Lebe terima kasih atas kebersamaan kita selama ini yang tidak akan terlupakan; 7. sahabat-sahabat tercinta : Cophy, Wira, Nia, Arum, Cupit, Resti, Tania, Apri, Ketcup, Adi, Dandi, Bayu terima kasih atas semangat, dorongan, doa, perhatian kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Kebersamaan kita akan selalu dikenang; 8. teman-teman Himawari : Erni, Sipuy, Teci, Indro, Tika terima kasih atas kebersamaan kita selama ini dan teman-teman Ponahers : Dola, Irmoy, Mbak Yul, Epoy, Kaka, terima kasih atas semangat, doa, serta tumpangannya; 9. teman-teman Math’43: Ace, Fitria, Nene, Aini, Margi, Vera, Nidya, Rizky NS, Destya, Suci, Rizky SN, Kabil, SR, Agung, Ratna, Irsyad, Kunto, Erni, Lias, Rias, Nurmalina, Emta, Andrew, Sabar, Hendra, Lina, Arif, Ely, Bertrand, Gandi, Subro, Desi, Razon, Narsih, Cici, David, Adam, Sendy, Albrian, Zulkarnaen, Mubarok, Paisol, Dwi, Nanu, Syahrul, Kiki, Peli, terimakasih atas doa, dukungan semangatnya, terima kasih atas kebersamaannya selama 3 tahun di Math’43; 10. Kak Vita atas pinjaman bukunya selama di Math, Kak Okta, Kak Luri, Kak Jane, Kak Ryu, Kak Ricken, Kak Agnes, Kak Ayu, Kak Lina, Math 42 terimakasih atas doa, dukungan semangatnya; 11. adik-adik Math 44: Iam, Lingga, Denda, Fajar, Ayung, Dela, Tyas, Mutia, Rachma, Sri, Dian, dan lainnya serta Math 45 terimakasih atas doa, semangat dan dukungannya; 12. teman-teman PF: Kak Poye, Dudunk, Kak Hikmeh, Via, Echa, Didi, Gigi, Wewe, Deva, Sadek, Sars, Dela, Kak Peye, dan lainnya. Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat.

Bogor, September 2010

Utami Prihartini

 

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 21 Agustus 1988 dari pasangan Suhartono dan Nurani Winda Restuti. Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara. Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di SDN Ciganjur 01 Pagi Jakarta lulus pada tahun 2000, SLTP Negeri 131 Jakarta lulus pada tahun 2003, SMU Negeri 38 Jakarta lulus pada tahun 2006, dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur SPMB (Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru). Tahun pertama penulis memasuki Tingkat Persiapan Bersama (TPB) dan pada tahun 2007 penulis mengikuti program Mayor-Minor dengan Mayor Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dan Minor Komunikasi. Selama menuntut ilmu di IPB, penulis menjadi asisten dosen mata kuliah Pengantar Diferensial Biasa pada tahun ajaran 2008/2009 dan Pengantar Diferensial Parsial pada tahun ajaran 2009/2010. Penulis juga aktif dalam kegiatan kemahasiswaan, diantaranya pada tahun 2006-2009 penulis mengikuti kegiatan UKM Gentra Kaheman, pada tahun 2007-2008 menjabat sebagai Staff SOSINKOM Gumatika IPB dan tahun 2008-2009 menjabat sebagai Staff Keilmuan Gumatika IPB. Penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan antara lain: Tim Pengajar Bimbingan Belajar Pengantar Matematika dan Kalkulus I TPB untuk Gumatika, Staff Dokumentasi Pesta Sains tahun 2007, Staff Acara Liga Gumatika tahun 2008, Staff Acara Try Out SNMPTN pada tahun 2008, Staff Acara Matematika Ria tahun 2009, Staff Komisi Disiplin Masa Pengenalan Departemen (MPD) tahun 2008, Staff Acara Masa Pengenalan Departemen (MPD) tahun 2009 serta Tim Khusus Try Out Pengantar Matematika dan Kalkulus 1 Gumatika. Selain itu, penulis juga aktif di luar kampus, di antaranya mengikuti Sanggar Tari sejak tahun 1994-2010 dan telah mengikuti berbagai kompetisi tari serta mengikuti berbagai festival tari.

 

DAFTAR ISI

Halaman DAFTAR GAMBAR ................................................................................................................... viii DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................................. viii 1 PENDAHULUAN Latar Belakang ......................................................................................................................... 1 Tujuan ...................................................................................................................................... 1 2 LANDASAN TEORI Kontrol Optimum ..................................................................................................................... Sistem Persamaan Diferensial .................................................................................................. Analisis Kestabilan .............................................................................................................. Isoklin .................................................................................................................................

2 5 6 8

3 MODEL PERIKLANAN ............................................................................................................ 9 4 PEMBAHASAN Prinsip Maksimum .................................................................................................................. 10 Beberapa Kasus ....................................................................................................................... 10 5 SIMULASI Solusi dan Analisis Kestabilan Model ................................................................................... Kasus 1 .............................................................................................................................. Kasus 2 .............................................................................................................................. Kasus 3 .............................................................................................................................. Kasus 4 ..............................................................................................................................

13 13 13 13 15

6 KESIMPULAN ......................................................................................................................... 18 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................... 18 LAMPIRAN ................................................................................................................................... 19

vii

 

DAFTAR GAMBAR Halaman 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Simpul stabil ............................................................................................................................. 7 Simpul takstabil ........................................................................................................................ 7 Titik sadel ................................................................................................................................. 7 Spiral stabil ............................................................................................................................... 8 Center ......................................................................................................................................... 8 Spiral takstabil .......................................................................................................................... 8 Bidang solusi untuk u dan x pada Kasus 1 ............................................................................... 13 Bidang solusi untuk u dan x pada Kasus 2................................................................................ 13 Grafik hubungan f(u) terhadap u............................................................................................... 14 Bidang fase untuk u dan x pada Kasus 3 .................................................................................. 14 Bidang solusi Kasus 3 pada titik tetap pertama ........................................................................ 15 Bidang solusi Kasus 3 pada titik tetap kedua ........................................................................... 15 Bidang solusi Kasus 3 pada titik tetap ketiga ........................................................................... 15 Bidang fase untuk u dan x pada Kasus 4 .................................................................................. 16 Bidang solusi Kasus 4 pada titik tetap pertama ........................................................................ 16 Bidang solusi Kasus 4 pada titik tetap kedua ........................................................................... 17 Bidang solusi Kasus 3 pada titik tetap ketiga ........................................................................... 17

DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Bukti Teorema 4 ....................................................................................................................... Mencari solusi analitik dari Kasus 2 ......................................................................................... Bukti fungsi f(u) berbentuk-S ................................................................................................... Menentukan titik tetap pada Kasus 3 dengan software Maple 12............................................ Menentukan titik tetap pada Kasus 4 dengan software Maple 12............................................ Matriks Jacobi untuk Kasus 3 dan Kasus 4 .............................................................................. Menentukan nilai eigen pada Kasus 3 dengan software Mathematica 6.0 ............................... Menentukan nilai eigen pada Kasus 4 dengan software Mathematica 6.0 ............................... Menentukan nilai eigen Kasus 3 di setiap titik tetap T(u,x) dengan Mathematica 6.0 ....................................................................................................................... Menentukan nilai eigen Kasus 4 di setiap titik tetap T(u,x) dengan Mathematica 6.0 ....................................................................................................................... Gambar bidang fase Kasus 3 dan Kasus 4 dengan software Maple 12 ..................................... Gambar bidang solusi Kasus 1 dan Kasus 2 dengan software Mathematica 6.0 ............................................................................................................................................. Gambar bidang solusi Kasus 3 dan Kasus 4 dengan software Maple 12 ..................................

20 21 21 22 23 23 24 24 25 26 27 28 28

viii

 

PENDAHULUAN Latar Belakang Periklanan merupakan salah satu metode komunikasi pemasaran yang komersial dan promosi terhadap barang atau jasa. Dalam pemasaran suatu produk dibutuhkan iklan, yang bertujuan untuk meyakinkan konsumen bahwa suatu produk benar-benar berbeda atau bahkan lebih baik dibandingkan produk pesaing. Iklan berfungsi menyampaikan informasi berupa suatu pesan, pesan yang disampaikan dilakukan secara non-personal melalui media. Pesan yang disampaikan bersifat membujuk kepada konsumen yang dilakukan oleh perusahaan, maupun pribadi yang berkepentingan yang dibayar oleh satu sponsor atau pihak tertentu. Iklan sebagai sarana promosi banyak dijumpai pada berbagai media yaitu media cetak dan media elektronik. Seorang pengiklan berusaha untuk menghasilkan peningkatan konsumsi produk melalui pengulangan dari suatu gambar atau nama produk dalam upayanya mengasosiasikan kualitas produk di benak konsumen sehingga menimbulkan tanggapan (respons) khalayak dan mendorong terjadinya penjualan. Sedangkan bagi pelanggan (konsumen), iklan dapat mendidik masyarakat dan meningkatkan kesejahteraan dengan jalan memperbaiki alokasi barang yang akan dikonsumsi sehingga dapat membentuk sikap dan opini masyarakat. Perusahaan harus mengeluarkan biaya tambahan untuk membuat sebuah iklan. Hal ini merupakan permasalahan baru bagi perusahaan karena pada umumnya perusahaan berorientasi untuk memaksimumkan keuntungan. Maka dari itu dibutuhkan suatu kebijakan yang tepat dari perusahaan untuk mengalokasikan anggaran periklanan dengan memperhatikan kendalakendala yang ada sehingga dapat memaksimumkan keuntungan. Model yang digunakan untuk memodelkan pengeluaran periklanan yaitu model periklanan dinamik (dynamic advertising model). Model perikalanan dinamik merupakan aplikasi dari Prinsip Maksimum Pontryagin dalam bidang

 

ekonomi dan manajemen. Terdapat dua jenis model periklanan dinamik, yaitu model periklanan kapital (advertising capital model) dan model respons penjualanperiklanan (sales-advertising response model). Karya tulis ini akan membahas model respons penjualan-periklanan. Model ini menekankan hubungan antara biaya periklanan dan perubahan volume penjualan. Dalam model ini, iklan secara langsung membujuk pelanggan potensial yang belum mengkonsumsi produk agar membelinya, yaitu dengan cara memberikan informasi lebih banyak tentang produknya secara garis besar. Iklan juga ditujukan untuk mencegah pelanggan potensial yang sudah mengkonsumsi produk perusahaan tersebut agar tidak melupakan produknya dan berpindah ke produk lain. Masalah periklanan ini akan diformulasikan dalam bentuk pemrograman kontrol optimum. Calon solusi optimal diperoleh dengan menerapkan prinsip maksimum Pontryagin dengan menggunakan Current-Value Hamiltonian agar memudahkan penyelesaiannya. Supaya calon solusi optimal menjadi optimal maka diperlukan syarat Legendre-Clebsh untuk memeriksa apakah syarat perlu merupakan syarat cukup. Kemudian akan dianalisis juga kestabilan titik tetap, sehingga dari keadaan tersebut dapat ditetapkan sebuah kebijakan sebagai bentuk aplikasi dari solusi masalah maksimisasi keuntungan. Kebijakan yang akan dianalisis dengan melibatkan penggunaan kurva respons berbentuk-S. Tujuan 1. Menyelesaikan dan menganalisis model periklanan sebagai sebuah masalah kontrol optimum dengan menggunakan prinsip maksimum Pontryagin. 2. Mengidentifikasi penggunaan fungsi respons berbentuk-S terhadap tingkat penjualan dan keuntungan. 3. Menentukan kesetimbangan model jangka panjang dengan menganalisis kestabilan titik tetap.

 

LANDASAN TEORI Kontrol Optimum

dengan f0 fungsi yang diberikan. T tidak

Teori kontrol optimum berkembang secara pesat pada tahun 50-an, dengan adanya penemuan dua metode penyelesaian masalah kontrol optimum yaitu dynamic programming (pemrograman dinamik) yang ditemukan oleh Richard Bellman (1957) dan maximum principle (prinsip maksimum) oleh Pontryagin (1962). Pembahasan akan difokuskan pada teknik prinsip maksimum Pontryagin. Saat waktu t , sistem berada dalam keadaan atau kondisi (state), yang dapat diungkapkan dengan peubah keadaan (state variable) x1 (t ), x2 (t ), ..., xn (t ) , atau dalam

harus fixed (ditentukan) dan xT mempunyai kondisi tertentu. Di antara semua fungsi atau peubah kontrol yang diperoleh, ditentukan salah satu sehingga J menjadi maksimum. Kontrol yang bersifat demikian disebut kontrol optimum. Permasalahan kontrol optimum dapat dinyatakan sebagai masalah memaksimumkan suatu fungsional dengan kendala:

bentuk vektor x(t ) ∈ℜn . Dengan nilai t yang berbeda, vektor x (t ) menempati posisi yang berbeda di ruang ℜ n sehingga dapat dikatakan bahwa sistem bergerak sepanjang suatu kurva di ℜn . x (t ) adalah peubah keadaan (state variable) yang dapat dikontrol atau dikendalikan. Artinya ada fungsi atau peubah kontrol u (t ) yang mempengaruhi proses. Dinamika sistem dapat dinyatakan secara matematik melalui persamaan diferensial:

x = f ( x(t ), u(t ), t ). Misalkan diketahui

keadaan pada

(2.1)

(state) waktu

dari t0

sistem yaitu

x(t0 ) = x0 ∈ℜ . Jika dipilih peubah kontrol u (t ) = (u1(t ), u2 (t ),....uk (t )) ∈ ℜ

k

yang

terdefinisi untuk t > t0 , maka diperoleh sistem x(t). x(t) merupakan respons terhadap kontrol u(t). Karena x0 diberikan, maka (2.1) mempunyai solusi tunggal. Solusi yang diperoleh merupakan respons terhadap u yang dilambangkan dengan x u ( t ). Dengan memiliki fungsi kontrol yang sesuai, berbagai solusi dapat diperoleh. Agar solusi yang diperoleh adalah solusi yang diinginkan, diperlukan adanya kriteria bagi solusi yang diinginkan, artinya untuk setiap kontrol u (t ) dan responsnya state x (t ) dihubungkan dengan fungsi T

J (u ) = ∫ f 0 [ x (t ), u (t ), t ]dt , t0

 

x = f ( x(t ), u(t ), t ), sehingga dapat dilihat bahwa dengan mengganti peubah x dengan u pada fungsional J , maka permasalahan kalkulus variasi sama dengan permasalahan kontrol optimum. [Tu, 1993] Syarat Perlu Prinsip Maksimum Pontryagin Misalkan terdapat masalah suatu vektor kontrol

u (t ) = [u1 (t ), u 2 (t ), ..., u r (t )] dari himpunan semua fungsi yang kontinu bagian demi bagian (admissible control). Kontrol optimum dipilih untuk membawa sistem dinamik

x = f ( x(t ), u(t ), t ), dari keadaan awal [ x 0 , t 0 ] ke keadaan akhir [ xT , T ] sehingga memaksimumkan T

J (u ) = S ( xT , T ) + ∫ f 0 ( x (t ), u (t ), t ) dt 0

x (t )

dengan

variable

keadaan

(state

variable) dan S[ xT , T ] yang didefinisikan sebagai fungsi scrap. [Tu, 1993] Teorema 1 (Pontryagin) sebagai kontrol Misalkan u∗ (t ) admissible yang membawa state awal [ x ( t 0 ), t 0 ]

dengan (2.2)

memilih

kepada state akhir

xT dan

ditentukan.

T

Misalkan

[ xT , T ] ,

secara umum tidak x∗ (t )

merupakan

3

  trajektori dari sistem yang berkaitan dengan u∗ (t ) . Supaya kontrol u∗ (t ) merupakan kontrol optimum maka perlu terdapat fungsi vektor p∗ (t ) ≠ 0 sedemikian sehingga 1.

p ∗ (t ) dan x∗ (t ) merupakan solusi dari sistem kanonik

x ∗ (t ) =

∂H ∗ [ x (t ), u ∗ (t ), p∗ (t ), t ], ∂p

p ∗ (t ) = −

∂H ∗ [ x (t ), u ∗ (t ), p∗ (t ), t ], ∂x

dengan fungsi Hamilton oleh

H diberikan

H [ x , u , p , t ] = f 0 [ x , u , t ] + p. f [ x , u , t ].

2. 3.

H [ x∗ , u ∗ , p∗ , t ] ≥ H [ x, u, p, t ]. Semua syarat batas terpenuhi.

5. 6.

memberikan syarat perlu untuk masalah yang dibicarakan. 7. Syarat batas diberikan oleh persamaan

arti, kecuali maksimum dari H diberikan oleh bagian dalam (interior) himpunan U . Jika H fungsi monoton naik dalam peubah u dan U tertutup, maka kontrol optimum adalah uimax untuk masalah

uimin

untuk

masalah meminimumkan. Jika fungsi monoton turun, maka kontrol optimum adalah uimin untuk masalah memaksimumkan

dan

uimax

untuk

masalah meminimumkan. Hal ini juga berlaku apabila H adalah fungsi linear dalam u . Sehingga peubah kontrol optimum ui adalah kontinu bagian dan

3. 4.

 

0

loncat dari satu verteks ke verteks lainnya. Hal ini merupakan kasus khusus dari kontrol bang-bang. H [ x ∗ , u ∗ , p ∗ , t ] ≥ H [ x, u , p, t ] juga mencakup syarat cukup. Vektor p disebut juga vektor adjoin, memiliki peranan sebagai pengali Lagrange. Dalam masalah optimisasi dinamis, peubah atau vektor adjoin, merupakan shadow price nilai marginal

t =T

t =T

0

0

p (t )δ x (t ) t = t + H (t )δ t t = t = 0

(2.4)

Khususnya pada waktu awal t0 dan

x (t0 ) telah ditentukan, sedangkan T dan x(T ) belum ditentukan, maka syarat batas menjadi − p(T )δ x(T ) + H (T )δ T = 0 (2.5) [Tu, 1993]

tertutup, maka H u = 0 tidak memiliki

dan

t =T

0

Apabila fungsi scrap S = 0 , maka persamaan (2.3) menjadi

H uu < 0 . Jika u ∈ U dan U himpunan

memaksimumkan

t =T

[ S x − p ]δ x t = t + [ H + St ]δ t t = t = 0 (2.3)

Bukti : [Lihat lampiran 1] Catatan: disebut 1. H [ x∗ , u ∗ , p∗ , t ] ≥ H [ x, u, p, t ] dengan prinsip maksimum Pontryagin. Kondisi ini dipenuhi oleh H u = 0 dan

2.

x, dari vektor atau peubah menunjukkan jumlah kenaikan atau penurunan untuk setiap kenaikan atau penurunan dalam nilai x pada waktu t yang berkontribusi terhadap fungsional objektif optimum J sedangkan p mengindikasikan tingkat kenaikan p > 0 ) (appresiasi untuk atau penurunan (depresiasi untuk p < 0 ) dalam nilai dari tiap unit modal. dH ∂H = ∂t dt p = − H x , Hu = 0 , x = H p

Current-Value Hamilton Dalam penggunaan teori kontrol optimum pada masalah ekonomi, fungsi integran f0 sering memuat faktor diskon − rt

e . Dengan demikian, fungsi integran f0 secara umum dapat dituliskan menjadi f 0 (t , x , u ) = G (t , x , u ) e

− rt

,

sehingga masalah kontrol optimum menjadi memaksimumkan fungsi nilai T

max V = ∫ G (t , x,u )e− rt dt 0

terhadap kendala x = f (t , x, u ) ditambah dengan syarat batas. Dengan definisi standar, fungsi Hamilton dapat dituliskan dalam bentuk H (t , x , u , p ) = G (t , x , u ) e

− rt

+ p ( t ) f ( t , x , u ).

Akan tetapi, karena prinsip maksimum menggunakan prinsip turunan fungsi Hamilton terhadap x dan u, dengan hadirnya

4

  faktor diskon akan menambah kerumitan penentuan turunan tersebut. Untuk itu, dikenalkan fungsi Hamilton baru, yang sering disebut dengan current-value Hamilton. Untuk menerapkan konsep current-value Hamilton, diperlukan konsep current-value fungsi adjoin. Misalkan λ (t ) menyatakan current-value fungsi adjoin, yang didefinisikan dengan λ ( t ) = p ( t ) e rt , − rt yang berimplikasi p (t ) = λ (t ) e . Sehingga fungsi current-value Hamilton yang dinotasikan dengan H c , dapat

dituliskan menjadi rt Hˆ ≡ He = G ( t , x , u ) + λ ( t ) f ( t , x , u )

Perhatikan bahwa Hˆ , sebagaimana yang diinginkan sudah tidak memuat faktor ˆ − rt . diskon. Juga, perhatikan bahwa H ≡ He Kemudian penerapan prinsip maksimum Pontryagin terhadap Hˆ harus disesuaikan. Karena u yang memaksimumkan H juga akan memaksimumkan Hˆ , maka

max Hˆ , ∀t ∈ [0, T ]. u

Persamaan state yang muncul dalam sistem ∂H kanonik, aslinya adalah x (t ) = . Karena ∂p

∂H ∂Hˆ , = f 0 (t , x , u ) = ∂p ∂λ maka persamaan state disesuaikan menjadi ∂Hˆ x (t ) = . ∂λ Persamaan untuk peubah adjoin yang muncul dalam sistem kanonik, aslinya ∂H adalah dalam bentuk p (t ) = − . Pertama∂x tama, transformasikan masing-masing suku dalam bentuk yang melibatkan peubah adjoin baru, λ (t ) , kemudian hasilnya disamakan. Untuk suku kiri, − rt − rt p (t ) = λ(t )e − rλ (t )e .

Dengan memanfaatkan definisi H , suku kanan dapat dituliskan kembali dalam bentuk ∂H ∂Hˆ − rt − =− e ∂x ∂x Dengan menyamakan kedua persamaan di atas, persamaan adjoin menjadi

 

∂Hˆ + r λ (t ). ∂x Selanjutnya akan diperiksa kondisi (syarat) batas. Untuk syarat batas p(T ) = 0 , syarat

λ (t ) = −

batas yang sesuai adalah λ (T )e

− rT

= 0 dan

untuk syarat batas [ H ]t =T = 0 , syarat batas yang sesuai adalah ⎡⎣ Hˆ e − rt ⎤⎦

t =T

= 0.

[Tu, 1993] Syarat Cukup Syarat Legendre-Clebsch Didefinisikan fungsi ekstra E sebagai berikut: E ( x , x , p , t ) = f ( x , x , t ) − f ( x , p , t ) − ( x − p ) f p

dengan p(t , x) adalah fungsi kemiringan atau slope dari ekstremum yang melalui titik (t , x) . Jika f ( x, x , t ) diperluas dengan formula Taylor akan diperoleh bentuk: f ( x, x , t ) = f ( x, p, t ) + ( x − p) f p +

( x − p)2 f xx  (t , x, q ) 2!

dengan

q = θ x + (1 − θ ) p ,

0 < θ < 1.

Subtitusikan ke persamaan akan diperoleh bentuk sederhana dari fungsi ekstra, yaitu:

E ( x, x, p , t ) =

( x − p )2 f xx   (t , x , q ) 2!

dengan

q = θ x + (1 − θ ) p ,

0 < θ < 1.

Supaya x (t ) mencapai minimum (atau maksimum), cukup dipenuhi syarat Legendre-Clebsch, yaitu E ≥ 0 (≤ 0) yang berarti

f xx  ≥ 0 (≤ 0) atau dalam bentuk

yang lebih umum, matriks [ f xx  ] merupakan semi-definit positif (atau negatif). [Tu, 1993] Syarat Batas dan Syarat Transversalitas Masalah kontrol optimum yang memaksimumkan fungsional objektif T

max J = S [ xT , T ] + ∫ f [ x(t ), u (t ), t ]dt u ( t )∈u

0

0

(2.6)

5

  terhadap kendala

Sistem Persamaan Diferensial

x ( t ) = f ( x ( t ), u ( t ), t ), x ( t 0 ) = x 0 , x ( t ) ∈ ℜ

n

(2.7) Syarat transversalitas atau syarat batas diberikan oleh

[ S x − p ]δ x t =T + [ H + St ]δ t t =T = 0

(2.8)

Pada kasus di mana x (T ) taknegatif

[ xi (T ) ≥ 0] dengan i dan T besar (dalam hal ini T → ∞ ), syarat batas yang harus dipenuhi adalah: xi* (T ), pi* (T ) ≥ 0 dan pi* (T ) xi* (T ) = 0 dengan fungsi scrap didefinisikan dengan: n

S ( x) ≡ ∑ ci min( xi ,0) 1

di mana ∂S

{

c , x <0 = 0,i x i≥0 i ∂x

sehingga

syarat

batas

pi (T ) = S x

disederhanakan menjadi:

pi (T ) ≥ 0, xi (T ) ≥ 0 pi (T ) xi (T ) = 0. Syarat batas tersebut dikenal dengan istilah syarat Arrow-Kurz. Walaupun syarat batas ini sering digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah ekonomi, terdapat juga beberapa kesulitan dalam penggunaannya. Syarat Arrow-Kurz untuk waktu takhingga [ p(∞) x* (∞) = 0] ini dapat digunakan untuk kasus tertentu dengan syarat batas p∂x* ≥ 0 . Untuk t yang berukuran besar akan berlaku: p (t )∂x* (t ) ≡ p(t )[ x(t ) − x* (t )] ≥ 0 ≡ p (t )[ x(t )] − p(t )[ x* (t )] ≥ 0 lim p (t ) x (t ) − lim p (t ) x (t ) ≥ 0, *

t→∞

sehingga syarat batas yang dapat digunakan: lim p (t ) x * (t ) = 0, t→∞

lim p(t ) x(t ) > 0. t →∞

[Tu, 1993]

 

dx = x = f ( x) ; x = [ x1 , x2 ,..., xn ]T dt dengan f ( x ) merupakan fungsi dari x .

[Kreyszig, 1993] Sistem Persamaan Diferensial Mandiri Diberikan sistem persamaan diferensial (SPD) sebagai berikut:

x = F ( x, y),                          (2.9) y = G( x, y). SPD (2.9) disebut sistem persamaan mandiri karena secara eksplisit f dan g tidak bergantung oleh waktu (t), dengan f dan g adalah fungsi kontinu bernilai real dari x dan y serta mempunyai turunan parsial kontinu dengan x dan y adalah peubah bernilai real. [Verhulst, 1990] Sistem Persamaan Diferensial Linear Suatu persamaan diferensial linear (PDL) orde 1 dinyatakan sebagai berikut:

x + a(t ) x = g (t ).                    (2.10)

dan

x→∞

Sistem Dinamik Sistem Dinamik (SD) adalah suatu sistem yang berubah sesuai dengan waktu. Sistem Dinamik dinyatakan sebagai berikut:

Jika g (t ) = 0  maka persamaan (2.10) disebut PDL homogen dan jika g (t ) ≠ 0 maka disebut PDL takhomogen. [Farlow, 1994] Definisi 1 (Titik Tetap) Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dituliskan seperti persamaan (2.9), solusi yang memenuhi sistem F ( x, y ) = 0 persamaan dengan dan G ( x, y ) = 0 disebut titik tetap. (Kreyszig 1993) Titik Tetap Stabil Misalkan x* adalah titik tetap stabil sebuah sistem persamaan diferensial yang tidak bergantung pada waktu secara eksplisit dan x(t) adalah solusi yang memenuhi kondisi awal x(0) = x0 , dengan x0 ≠ x *. Titik x* dikatakan titik tetap stabil jika untuk sebarang radius ε > 0 , terdapat r > 0 sehingga posisi awal x0 memenuhi

6

  x0 − x * < r , maka solusi x(t) memenuhi x(t ) − x * < ε untuk t > 0. (Verhulst 1990) Titik Tetap Takstabil Misalkan x* adalah titik tetap stabil sebuah sistem persamaan diferensial yang tidak bergantung pada waktu secara eksplisit dan x(t) adalah solusi yamg memenuhi kondisi awal x(0) = x0 , dengan x0 ≠ x *. Titik x* dikatakan titik tetap takstabil jika untuk sebarang radius ε > 0 , terdapat r > 0 sehingga posisi awal x0 memenuhi x0 − x * < r , maka solusi x(t) memenuhi

x(t ) − x * ≥ ε untuk paling sedikit satu t > 0. (Verhulst 1990) Pelinearan Diberikan sistem persamaan diferensial tak linear x = f ( x) , x ∈ R n . (2.11) Dengan menggunakan perluasan Taylor pada titik tetapnya, maka diperoleh x = A( x) + ϕ ( x),

(2.12)

Ax = λ x , (2.15) nilai skalar λ dinamakan nilai eigen dari A. Untuk mencari nilai λ dari matriks A, maka persamaan (2.15) dapat ditulis kembali sebagai (2.16) ( A − λ I ) x = 0, dengan I matriks identitas. Persamaan di atas mempunyai solusi tak trivial jika dan hanya jika A − λ I = 0. (2.17) Persamaan (2.17) disebut persamaan karakteristik dari matriks A. (Anton 1995) Analisis Kestabilan Titik Tetap

Suatu titik tetap dikatakan stabil jika setiap solusi pada persamaan (2.9) yang berawal dari suatu titik x(0) akan menuju ke titik tetap tersebut dan akan tetap berada disana sepanjang waktu. Misalkan terdapat SPDL sebagai berikut: ⎡a b ⎤ A=⎢ ⎥, ⎣c d ⎦ dan memiliki persamaan karakteristik

det ( A − λ I ) = 0,

dengan ⎡ ∂f1 ⎢ ∂x ⎢ 1 A=⎢ # ⎢ ⎢ ∂f n ⎢⎣ ∂x1

∂f1 ⎤ " ∂xn ⎥ ⎥ % # ⎥ ⎥ ∂f n ⎥ " ∂xn ⎥⎦

λ 2 − τλ + ∆ = 0,

∆ = det A = ad − bc,

maka diperoleh nilai eigen dari A adalah

⎡ a11 " a1n ⎤ = ⎢⎢ # % # ⎥⎥ ⎢⎣ an1 " ann ⎥⎦ dan fungsi ϕ ( x) memenuhi lim ϕ ( x) = 0. x →0

Akibatnya persamaan diferensial (2.12) dapat dihampiri oleh persamaan x = Ax . (2.13) Persamaan (2.13) disebut pelinearan dari persamaan diferensial (2.12). (Tu 1994) Vektor Eigen dan Nilai Eigen Diberikan matriks koefisien konstan A berukuran n × n , dan sistem persamaan diferensial homogen berikut x = Ax , x(0) = x0 , x ∈ R . n

(2.14)

Suatu vektor taknol x dalam ruang Rn disebut vektor eigen dari A jka untuk suatu skalar λ berlaku

 

τ = tr( A) = a + b dan

dengan

λ1,2 =

(

)

1 τ ± τ 2 − 4∆ . 2

(2.18)

Analisis kestabilan titik tetap dilakukan untuk setiap nilai eigen yang diperoleh, sehingga terdapat dua kasus yang bergantung pada (τ 2 − 4 ∆ ).  

 

Kasus I (τ 2 − 4δ ) > 0 Nilai eigen yang diperoleh real dan berbeda (λ1 ≠ λ2 ) dengan solusi yang dapat dituliskan kembali sebagai berikut : x(t ) = c1v1eλ1t + c2 v2 eλ2t

(2.19)

dengan λ1 , λ2 adalah nilai-nilai eigen dari matriks A . Vektor v1 dan v2 adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai- nilai eigen tersebut. Pada kasus ini kestabilan titik tetap mempunyai tiga sifat, yaitu

7

  i. Jika nilai eigen negatif (λ1 < 0 dan

λ2 < 0) dengan τ < 0 dan δ > 0 , maka dari persamaan (2.19) diperoleh lim x(t ) = 0 , sehingga titik tetapnya

Nilai eigen yang diperoleh adalah nilai eigen real ganda (λ1 = λ2 = λ ) dengan solusi yang dapat dituliskan kembali sebagai berikut x(t ) = c1v1eλt + c2 (tv1 + v2 )eλt

t →∞

bersifat simpul stabil.

(2.20)

Pada kasus ini kestabilan titik tetap mempunyai dua sifat, yaitu a. Jika nilai eigen negatif (λ1 < 0 dan

1.0

0.5

λ2 < 0) maka dari persamaan (2.20)

0.0

diperoleh lim x(t ) = 0 , sehingga titik t →∞

-0.5

-1.0 -1.0

-0.5

0.0

0.5

b.

1.0

Gambar 1 Simpul stabil.

λ2 > 0) maka dari persamaan (2.20)

ii. Jika nilai eigen positif (λ1 > 0 dan

λ2 > 0) dengan τ > 0 dan δ > 0 , maka dari persamaan (2.19) diperoleh lim x(t ) = ∞ , sehingga titik tetapnya t →∞

bersifat simpul takstabil. 1.0

0.5

diperoleh lim x(t ) = ∞ , sehingga titik t →∞

tetapnya bersifat takstabil. Kasus III (τ 2 − 4δ ) < 0 Nilai eigen yang diperoleh adalah nilai eigen kompleks. Misalkan nilai eigen yang diperoleh adalah λ1,2 = α ± i β . Sistem yang

memiliki nilai eigen dilambangkan dengan

0.0

⎡α x = ⎢ ⎣−β

-0.5

-1.0 -1.0

-0.5

0.0

0.5

iii. Jika nilai eigen λ1 < 0 dan λ2 > 0 atau sebaliknya, dengan τ < 0 dan δ < 0 maka persamaan (2.19) diperoleh λ1 < 0 dan lim x(t ) = 0 untuk t →∞

lim x(t ) = ∞ t →∞

λ2 > 0

untuk

atau

x(t) akan menuju nol sepanjang vektor v1 dan menuju takhingga sepanjang vektor v2 atau sebaliknya,

sebaliknya sehingga membentuk asimtot pada bidang v1 dan v2 . Titik tetap ini adalah titik sadel. 1.0

0.5

0.0

-0.5

-0.5

0.0

0.5

1.0

Gambar 3 Titik sadel.

Kasus II (τ − 4δ ) = 0

dapat

β⎤ α ⎥⎦

atau dalam bentuk skalar x = α x + β y y = − β x + α y

(2.21)

Dalam bentuk koordinat polar (r,θ ) ,

x = r cos(θ ) dan

y = r sin(θ ) , sehingga y diperoleh r 2 = x 2 + y 2 dan tan(θ ) = . x Selanjutnya dengan menurunkan terhadap waktu t , diperoleh

2rr = 2 xx + 2 yy jika setiap ruas dikalikan diperoleh

1/ 2

r

maka

rr = xx + yy (2.22) dengan mensubtitusi persamaan (2.21) ke dalam persamaan (2.22), maka akan didapatkan rr = x(α x + β y ) + y (− β x + α y ) rr = xα x + x β y − y β x + yα y rr = xα x + yα y rr = α ( x 2 + y 2 )

2

 

tersebut

1.0

Gambar 2 Simpul takstabil.

-1.0 -1.0

tetapnya bersifat stabil. Jika nilai eigen positif (λ1 > 0 dan

Jadi diperoleh solusi

8

  r (t ) = r0 eα t

membentuk suatu lingkaran dengan titik tetapnya sebagai pusat. Titik tetap tersebut disebut center.

(2.23)

y diturunkan terhadap t , x maka akan menghasilkan Jika tan(θ ) =

1.0

0.5

xy − yx sec (θ )θ = x2 x 2 sec 2 (θ )θ = xy − yx 2

(2.24)

0.0

-0.5

Dengan mensubtitusi persamaan (2.21) dan x 2 sec 2 (θ ) = r 2 pada persamaan (2.24), akan diperoleh

-1.0 -1.0

c.

r 2θ = x ( − β x + α y ) − y (α x + β y ) r 2θ = − β ( x 2 + y 2 ) r 2θ = − β r 2 θ = − β

θ (t ) = −β t + θ0

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0 -1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Gambar 4 Spiral stabil.

b.

α =0 r(t) pada Jika α = 0 , maka persamaan (2.23) tidak berubah sepanjang waktu t . Jika β > 0 maka

θ (t ) pada persamaan (2.25) akan membesar dan jika β < 0 maka θ (t ) pada persamaan (2.25) akan mengecil. Karena r(t) tetap, maka gerak orbit

 

0.0

0.5

1.0

α >0 r(t) pada Jika α > 0 , maka persamaan (2.23) akan semakin besar pada saat t bertambah. Jika β > 0 maka θ (t ) pada persamaan (2.25) akan berkurang pada saat t bertambah besar, sehingga arah gerak orbit akan bergerak searah jarum jam menjauhi titik tetap. Jika β < 0 , maka arah gerak orbitnya akan berlawanan dengan arah jarum jam. Titik tetap yang terjadi bersifat spiral takstabil.

Jadi diperoleh solusi

(2.25) Solusi di atas mempunyai tiga kasus yang bergantung pada nilai α dan β seperti pada persamaan (2.23) dan (2.25), yaitu a. α < 0 r(t) pada Jika α < 0 , maka persamaan (2.23) berkurang pada saat t bertambah. Jika β > 0 maka θ (t ) pada persamaan (2.25) akan berkurang pada saat t bertambah besar, sehinga arah gerak orbitnya akan bergerak searah jarum jam menuju titik tetap. Jika β < 0 , maka arah gerak orbitnya akan berlawanan dengan arah jarum jam menuju titik tetap. Dalam hal ini titik tetapnya bersifat spiral stabil.

-0.5

Gambar 5 Center.

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0 -1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Gambar 6 Spiral takstabil.

  [Strogatz 1994] Isoklin Diketahui persamaan diferensial x = f ( x, t ). Kemiringan kurva dari persamaan di atas merupakan sebuah konstanta yang disebut sebagai isoklin dari persamaan tersebut. Selain itu, isoklin merupakan himpunan solusi dari persamaan f (x, t) = m, untuk beberapa nilai m. Cara yang baik untuk menciptakan medan arah adalah dengan menghubungkan beberapa isoklin (terutama null-cline, di mana f (x, t) = 0). (Tu 1994)

 

MODEL PERIKLANAN Dalam pemasaran produk, perusahaan menggunakan periklanan sebagai media untuk meningkatkan volume penjualan. Perusahaan berorientasi untuk memaksimumkan keuntungan, salah satu caranya yaitu dengan mengalokasikan anggaran periklanan secara efisien dan mengamati daya beli masyarakat dengan memperhatikan kendala-kendala yang ada. Model yang digunakan untuk memodelkan pengeluaran periklanan yaitu model periklanan dinamik (dynamic advertising model). Model perikalanan dinamik merupakan aplikasi dari Prinsip Maksimum Pontryagin dalam bidang ekonomi dan manajemen. Terdapat dua jenis model periklanan dinamik, model periklanan kapital (advertising capital model) dan model respons penjualan-periklanan (salesadvertising response model). Dalam karya tulis ini akan dibahas model respons penjualan-periklanan, model ini menekankan hubungan antara biaya periklanan dan perubahan volume penjualan. Dalam model ini, iklan secara langsung membujuk pelanggan potensial yang belum mengkonsumsi produk agar membelinya, yaitu dengan cara memberikan informasi lebih banyak tentang produknya secara garis besar. Iklan juga ditujukan untuk mencegah pelanggan potensial yang sudah mengkonsumsi produk perusahaan tersebut agar tidak melupakan produknya dan berpindah ke produk lain. Masalah utama dari model ini adalah bagaimana menentukan biaya periklanan optimum yang berkembang dari waktu ke waktu sehingga perusahaan dapat memperoleh keuntungan yang maksimum dengan cara melibatkan penggunaan kurva berbentuk S. Untuk itu diperlukan sebuah kebijakan untuk membantu perusahaan dalam memaksimumkan keuntungan. Secara umum fungsi keuntungan π (t ) adalah selisih antara tingkat penjualan x(t )

 

dan tingkat pengeluaran periklanan u (t ) terhadap waktu t. Tingkat keuntungan π (t ) dapat dirumuskan sebagai berikut:

π (t ) = x(t ) − u (t ).

(3.1)

Karena permasalahan ini merupakan permasalahan kontrol optimum yang kontinu sepanjang waktu, maka waktu t dipilih berada pada selang [0, ∞ ) . Pada karya tulis ini, yang akan diperhatikan adalah nilai sekarang (present value) dari arus kas yang terus-menerus (dalam hal ini pendapatan yang bergantung pada tingkat penjualan), maka present value dari keuntungan perusahaan π e− rt dengan tingkat suku bunga r dan e− rt merupakan faktor diskon. Dengan demikian model masalah memaksimumkan keuntungan menjadi: ∞

max ∫ [ x (t ) − u (t )]e − rt dt u (t )

(3.2)

0

dengan kendala, x = g ( x, u ) (3.3) x(0) = x0 (3.4) di mana g merupakan fungsi respons, u merupakan peubah kontrol, dan x merupakan peubah state, dengan asumsi x(t ) dan u (t ) bernilai tidak negatif dan lebih besar atau sama dengan nol. Hal ini menggambarkan bahwa selalu ada biaya yang dialokasikan untuk membuat iklan atau minimal bernilai nol. Pada karya tulis ini akan dilakukan modifikasi pada bagian kendala (fungsi respons) yang akan terbagi dalam beberapa kasus, yang diambil dari model Vidale Wolve (Vidale Wolve 1957) dan model Contagion (Ozga 1960, Sethi 1979), sehingga akan dianalisis fungsi respons g berbentuk-S. Analisis lebih mendalam pada permasalahaan di atas dibahas pada bab selanjutnya.

 

PEMBAHASAN Prinsip Maksimum

Dalam menyelesaikan masalah maksimisasi keuntungan, akan digunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Penggunaan teori Kontrol Optimum dalam masalah ekonomi, fungsi integran f 0 sering memuat faktor diskon e− rt . Dengan demikian, fungsi integran f 0 secara umum dapat dituliskan menjadi f 0 = π e − rt dengan π (t ) = x(t ) − u (t ) sehingga masalah Kontrol Optimum menjadi memaksimumkan keuntungan a

max ∫ [ x (t ) − u (t )]e − rt dt u (t )

0

terhadap kendala

x = g ( x, u ),

x(0) = x0 dalam bentuk standar, fungsi Hamilton dapat dituliskan dalam bentuk H ( x, u ) = [ x − u ]e − rt + p ( g ( x, u )).

Dengan menggunakan Current-Value Hamiltonian didapatkan fungsi Hamilton baru yaitu: Hˆ ( x, u ) = [ x − u ] + λ[ g ( x, u )]

(4.1)

dengan λ adalah shadow price yang merupakan vektor adjoin. Pada masalah ini didefinisikan x sebagai peubah state dan u sebagai peubah kontrol yang keduanya saling berkaitan untuk menyelesaikan persamaan (3.2). Pada prinsip maksimum Pontryagin dibutuhkan syarat optimalitas (syarat perlu): ∂Hˆ = −λ + r λ ∂x ∂Hˆ =0 ∂u ∂Hˆ = x = g ( x, u , t ). ∂λ

(4.2) (4.3) (4.4)

Pembahasan akan dilakukan pada masalah maksimisasi keuntungan pada unit waktu tak terbatas ( t ∈ [0, ∞) ) sehingga digunakan syarat batas x(0) = x0 , lim e − rt λ (t ) x (t ) = 0. t →∞

 

Dengan menggunakan peubah kontrol u, maka akan didapat calon solusi optimal di sepanjang unit waktu tak terbatas. Untuk lebih lanjut akan dianalisis apakah syarat perlu juga merupakan syarat cukup. Hal ini terpenuhi apabila Hˆ adalah fungsi cekung ke bawah (concave). Turunan pertama Hˆ terhadap x yaitu ∂Hˆ = 1+ λ gx . (4.5) ∂x Kondisi turunan pertama tidak cukup untuk menunjukkan permasalahan pengoptimuman yang mencapai nilai maksimum atau minimum. Karena itu digunakan kondisi turunan kedua atau kondisi LegendreClebsch agar sebuah ekstremum menjadi minimum atau maksimum. Kondisi Legendre-Clebsch terpenuhi jika turunan kedua dari persamaan Hamilton negatif. Turunan kedua Hˆ terhadap x yaitu ∂ 2 Hˆ = λ g xx (4.6) ∂x 2 berdasarkan asumsi diperoleh ∂ 2 Hˆ ≤ 0. λ g xx ≤ 0 sehingga ∂x 2 Jadi terbukti bahwa Hˆ ( x, u ) adalah fungsi cekung ke bawah di x. Beberapa Kasus

Di bagian ini akan dibahas model V-W, model Contagion dan model yang melibatkan fungsi berbentuk S. Kasus 1 Pada kasus ini, model periklanan yang digunakan adalah model V-W oleh Vidale Wolfe yang menyatakan bahwa periklanan secara langsung membujuk pelanggan yang belum mengkonsumsi produk dari perusahaan agar mengkonsumsinya ketika pelanggan yang sudah mengkonsumsi produk dari perusahaan mulai mengurangi konsumsi produknya. Berdasarkan model VW fungsi respons g adalah g ( x, u ) = ρ u (1 − x) − δ x          (4.7)

di mana ρ merupakan konstanta periklanan dan δ merupakan konstanta depresiasi. Masalah maksimisasi keuntungan di sepanjang unit waktu tak terbatas t ∈ [0, ∞) dapat ditulis sebagai berikut

11

  ∞

max ∫ [ x(t ) − u (t )]e − rt dt 0

u (t )

dengan kendala x = ρ u (1 − x) − δ x. Dengan mensubtitusi ke persamaan (4.1) didapat current value Hamiltonian menjadi: Hˆ ( x, u, t ) = ( x − u) + λ (t )[ ρ u(1 − x) − δ x]. (4.8)

Dengan syarat optimalitas (4.3) didapat: ∂Hˆ =0 ∂u −1 + λρ (1 − x ) = 0,

1

ρ (1 − x)

∞

Jika ekspresi di atas diturunkan terhadap t akan diperoleh x λ = . (4.9) ρ (1 − x) 2 Dari syarat optimalitas (4.2) dan (4.4) didapat persamaan adjoin (4.10)

dan didapat persamaan state x = ρ u (1 − x) − δ x.

(4.11)

Subtitusi persamaan (4.9) ke (4.10) maka didapat r − 2 ρ + r 2 + 4δρ . (4.12) 2ρ Dari persamaan (4.12) didapat x = 0 sehingga dari (4.11) ρ u (1 − x) − δ x = 0, maka didapat r + 2δ − r 2 + 4δρ 2ρ yang menghasilkan δu δ 2x u = − . (1 − x) ρ (1 − x) 2 Sehingga solusi analitiknya

r − 2 ρ + r 2 + 4δρ x (t ) = − 2ρ

(4.13)

Hˆ ( x, u, t ) = ( x − u ) + λ (t )[ ρ ux(1 − x) − δ x]. (4.17)

Dengan syarat optimalitas (4.3) didapat: ∂Hˆ =0 ∂u −1 + λρ x (1 − x) = 0,

sehingga

λ=

.

λ = −

x − 2 xx . ρ ( x(1 − x)) 2

(4.18)

Dari syarat optimalitas (4.2) dan (4.4) didapat persamaan adjoin

λ = −1 − λ[ ρ u (1 − 2 x) − δ − r ],

(4.19)

dan didapat persamaan state x = ρ ux(1 − x) − δ x.

(4.20)

Subtitusi persamaan (4.18) ke (4.19) maka diperoleh solusi analitiknya [lihat Lampiran 2].

(4.15)

Kasus 3 Selain dua kasus di atas didapatkan masalah maksimisasi keuntungan di sepanjang unit waktu tak terbatas t ∈ [0, ∞) sebagai berikut

Kasus 2 Model periklanan lain yang digunakan adalah model Contagion oleh Ozga, yang

 

1

ρ x(1 − x) Jika ekspresi di atas diturunkan terhadap t akan diperoleh

(4.14)

*

r + 2δ − r 2 + 4δρ u * (t ) = − . 2ρ

0

dengan kendala x = ρ ux(1 − x ) − δ x, sehingga dengan mensubtitusi ke persamaan (4.1) didapat current value Hamiltonian menjadi:

x* = −

u* = −

(4.16)

Masalah maksimisasi keuntungan di sepanjang unit waktu tak terbatas t ∈ [0, ∞) dapat ditulis sebagai berikut u (t )

.

λ = −1 + λ[ ρ u + δ + r ],

g ( x, u ) = ρ ux(1 − x) − δ x.

max ∫ [ x(t ) − u (t )]e − rt dt

sehingga

λ=

menyatakan periklanan merupakan fenomena penyebaran pengaruh secara lisan (dari mulut ke mulut), di mana respons penjualan muncul dari pihak yang membeli x dan pihak yang belum membeli (1 − x ) , fungsi respons g dinyatakan sebagai berikut

∞

max ∫ [ x(t ) − u (t )]e − rt dt u (t )

0

dengan kendala

(4.21)

12

  x = f (u )a ( x) − b( x) (4.22) di mana a adalah fungsi acceleration dan b adalah fungsi decay (depresiasi) dari penjualan. Sehingga dengan mensubtitusi (4.21) dan (4.22) ke persamaan (4.1) didapat current value Hamiltonian menjadi: Hˆ ( x, u , t ) = ( x − u ) + λ (t )[ f (u ) a ( x) − b( x)].

(4.23) Berdasarkan syarat optimalitas dari current value Hamiltonian didapat : − λ + r λ = 1 + λ [ fa x − bx ]

− 1 + λ fu a = 0

x = fa − b

(4.24) (4.25) (4.26)

dari persamaan (4.25) didapat : (4.27) λ −1 = f u a dengan mengambil turunan dari persamaan (4.27) terhadap waktu t maka akan didapat: ∂ −1 ∂ (λ ) = ( f u a ) dt dt  −2 = f au + f a x. −λλ uu u x

(4.28)

Dari persamaan (4.24) didapat : −λ = 1 + λ (ax f − bx − r ).

(4.29)

Dengan mensubtitusikan persamaan (4.26), (4.27) dan (4.29) ke persamaan (4.28) maka akan didapat (afu )2 [1+ (ax f − bx − r)/ afu ] = (afuu )u + (ax fu )(af − b).

Kemudian, didapat u sebagai berikut : u = [afu − r − bx + b

 

ax fu ] . a fuu

(4.30)

Pada Kasus 3, dibahas fungsi respons g yang memiliki a ( x) = (1 − x), b( x) = δ x sehingga fungsi respons g berbentuk g ( x, u ) = f (u )(1 − x) − δ x.

Dengan mensubtitusi nilai a dan b ke persamaan (4.26) dan (4.30) maka didapat x = f (u )(1 − x) − δ x u = [(1 − x) fu − r − δ −

(4.31)

δ x fu ] . (1 − x) fuu

(4.32)

Persamaan (4.31) dan (4.32) merupakan sistem persamaan diferensial taklinear sehingga solusi analitik sistem tersebut sulit diperoleh. Solusi numerik akan diberikan di bab selanjutnya, termasuk analisis kestabilan model linear padanannnya. Kasus 4 Pada kasus ini, dibahas fungsi respons g yang memiliki a ( x) = x (1 − x), b( x) = δ x sehingga fungsi respons g berbentuk g ( x, u ) = f (u ) x (1 − x ) − δ x.

Dengan mensubtitusi nilai a dan b ke (4.26) dan (4.30) didapat x = f (u ) x(1 − x) − δ x

(4.33)

⎡ δ (1 − 2 x) ⎤ f u (4.34) u = ⎢ x (1 − x ) f u − r − δ + . (1 − x ) ⎥⎦ f uu ⎣

Persamaan (4.30) dan (4.31) merupakan sistem persamaan diferensial taklinear sehingga untuk mendapatkan solusinya harus dilakukan pelinearan. Pada bab selanjutnya akan diperlihatkan analisis kestabilan model linear padanannnya serta solusi numeriknya.

 

SIMULASI Untuk mengilustrasikan bentuk-bentuk khusus dari berbagai macam fungsi dan parameter yang dibentuk dari persamaan ∞

max ∫ ( x − u )e − rt dt u (t )

0

2, solusi analitik persamaan (15), nilai parameter diperoleh solusi

x* (t ) = 0.767

x = g ( x, u )

x(0) = x0 maka akan dilakukan simulasi terhadap beberapa kasus berikut : Kasus 1 Fungsi respons g pada kasus ini berbentuk g ( x, u ) = ρ u (1 − x) − δ x

Dari persamaan (4.15), dengan memasukkan nilai parameter r = 0.08, ρ = 1, δ = 0.03 diperoleh solusi analitiknya yaitu : x* (t ) = 0.782

u * (t ) = 0.129

Dari solusi analitik tersebut didapat gambar berikut : Tingkat Pengeluaran Periklanan H uL dan Tingkat Penjualan HxL

dengan kendala

Dari permasalahan Kasus tedapat dalam lampiran bila dengan dimasukkan r = 0.08, ρ = 1, δ = 0.03 analitiknya yaitu :

0.7

x(t ) : u (t ) :

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0

20

40

waktuH tL

60

80

100

u (t ) = 0.108

Gambar 8 Grafik hubungan x dan u terhadap t.

Solusi analitik tersebut bila digambarkan berupa gambar berikut :

Gambar 8 merupakan bidang solusi yang diperoleh dengan menggambarkan solusi analitik di atas, dengan parameter-parameter yang digunakan r = 0.08, ρ = 1, δ = 0.03 . Pada Gambar 8 terlihat bahwa pada saat biaya iklan yang dikeluarkan konstan maka akan menghasilkan tingkat penjualan yang konstan, sehingga menghasilkan tingkat keuntungan yang konstan terhadap waktu t sebesar π * = 0.638.

Tingkat Pengeluaran Periklanan H uL dan Tingkat Penjualan HxL

*

0.8 0.7

x(t ) : u (t ) :

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

20

40

waktuH tL

60

80

100

Gambar 7 Grafik hubungan x dan u terhadap t.

Gambar 7 merupakan bidang solusi yang diperoleh dengan menggambarkan persamaan (4.15), dengan parameterr = 0.08, parameter yang digunakan ρ = 1, δ = 0.03 . Pada Gambar 7 dapat dilihat bahwa pada saat biaya iklan yang dikeluarkan konstan maka akan menghasilkan tingkat penjualan yang konstan, sehingga menghasilkan tingkat keuntungan yang konstan terhadap waktu t sebesar π * = 0.674. Kasus 2 Fungsi respons g pada kasus ini berbentuk g ( x, u ) = ρ ux(1 − x) − δ x

 

Kasus 3 Fungsi respons g pada kasus ini berbentuk

g ( x, u ) = f (u )(1 − x) − δ x Dipilih fungsi 80u 3 1 + 10u 3 dengan analisis sederhana dapat diperlihatkan bahwa kurva fungsi di atas berbentuk-S [bukti lihat Lampiran 3], sehingga didapat kurva f(u) berbentuk-S berikut: f (u ) =

14

Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut: 11 λ1 = − 200 λ2 = − 3 . 100 Karena ∆ = 0.001> 0 dan λ1 < 0, λ2 < 0

7 6 5 4 3 2 1 0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gambar 9 Grafik hubungan f(u) terhadap u.

Gambar 9 merupakan gambar dari fungsi berbentuk-S, yang menggambarkan bahwa biaya periklanan yang dikeluarkan pada awalnya selalu meningkat dari waktu ke waktu hingga mencapai titik maksimum kemudian konstan menuju garis batasnya. Analisis Titik Tetap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular ( x = 0 dan u = 0 ) dengan parameter yang digunakan r = 0.08, δ = 0.03 , sehingga dari persamaan (4.31) dan (4.32) didapat : f (u )(1 − x) − 0.03 x = 0 [(1 − x ) fu − 0.08 − 0.03 −

0.03x fu ] =0 (1 − x) fuu

Dengan menggunakan Software Maple 12 didapat beberapa nilai titik tetap yaitu T1 (0, 0) , T2 (0.021, 0.026) dan T3 (0.16, 0.92) . (bukti lihat Lampiran 4) Persamaan (4.31) dan (4.32) merupakan persaman taklinear sehingga dilakukan pelinearan sebagai berikut ⎡ ∂x ⎡ x ⎤ ⎢ ∂x ⎢u ⎥ = ⎢ ∂u ⎣ ⎦ ⎢ ⎣⎢ ∂x

∂x ⎤ ∂u ⎥ ⎡ x ⎤ ⎥ ∂u ⎥ ⎢⎣u ⎥⎦ ∂u ⎦⎥

stabil.

• Untuk titik tetap T2 (0.021, 0.026)   diperoleh matriks Jacobi

⎛ 0.11 −0.001⎞ ⎟. ⎝ 0.11 −0.03 ⎠

J (0.021, 0.026) = ⎜

Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut: λ1 = 0.109 λ2 = −0.029 karena ∆ = −0.003 < 0 dan λ1 > 0, λ2 < 0 sehingga di titik T2 (0.021, 0.026) merupakan titik sadel.

• Untuk titik tetap T3 (0.16, 0.92) diperoleh matriks Jacobi

⎛ 0.472 −1.09 ⎞ ⎟. ⎝ 0.472 −0.39 ⎠

J (0.16, 0.92) = ⎜

Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut: λ1 = 0.039 + 0.57i λ2 = 0.039 − 0.57i karena τ = 0.082 > 0 dan 2

τ − 4 ∆ = −1.31 < 0 sehingga

⎡ ∂x ∂x ⎤ ⎢ ∂x ∂u ⎥ di mana J = ⎢ ⎥ merupakan matriks ⎢ ∂u ∂u ⎥ ⎢⎣ ∂x ∂u ⎥⎦ Jacobi. Selanjutnya akan dianalisis titik tetap berdasarkan kestabilannya.

• Untuk titik tetap T1 (0, 0)

sehingga di titik T1 (0, 0) merupakan simpul

di titik T3 (0.16, 0.92) merupakan spiral tak stabil.

diperoleh

matriks Jacobi

⎛ 11 ⎞ − 0 ⎟ ⎜ 200 . J (0, 0) = ⎜ 3 ⎟⎟ ⎜ 0 − ⎝ 100 ⎠

 

Gambar 10 Bidang fase untuk u dan x.

15

Gambar 10 merupakan bidang fase dari Kasus 3, terdapat tiga titik tetap yaitu di titik T1 (0, 0) bersifat stabil, di titik T2 (0.021, 0.026) bersifat sadel dan di titik x (t ) :

T3 (0.16, 0.92) bersifat spiral tak stabil.

u (t ) :

π (t ) : x (t ) : u (t ) :

π (t ) : Gambar 13 Bidang solusi untuk u dan x.

Gambar 13 merupakan bidang solusi untuk u dan x yang berbentuk spiral dekat dengan titik T3 (0.16, 0.92) ,  karena di titik tersebut Gambar 11 Bidang solusi untuk u dan x.

Gambar 11 merupakan bidang solusi untuk u dan x yang menuju titik tetap stabil bila dimasukkan nilai u = 0.001 dan x = 0.001 , sehingga kurva tersebut menuju titik T1 (0, 0) . Pada titik ini menunjukkan belum ada keuntungan yang dihasilkan sebuah perusahaan bila tidak ada biaya periklanan yang dikeluarkan. x (t ) : u (t ) :

π (t ) :

bersifat spiral takstabil. Titik ini menunjukkan dinamika biaya iklan u dan tingkat penjualan x terhadap waktu t yang selalu berisolasi. Pada titik ini tingkat keuntungan yang diperoleh perusahaan sebesar π = 0.756. Berdasarkan Gambar 13 dapat dilihat bahwa biaya iklan maupun tingkat penjualan akan meningkat setelah itu menurun kemudian meningkat lagi dari waktu ke waktu. Kasus 4 Fungsi respons g pada kasus ini berbentuk

g ( x, u ) = f (u ) x(1 − x) − δ x Dengan menggunakan fungsi 80u 3 f (u ) = (1 + 10u 3 ) yang berbentuk-S maka akan dilakukan analisis titik tetap.

Gambar 12 Bidang solusi untuk u dan x.

Gambar 12 merupakan bidang solusi untuk u dan x, terlihat kurva yang menjauhi titik T2 (0.021, 0.026)   bila dimasukkan nilai

u = 0.025 dan x = 0.035 , karena di titik tersebut bersifat sadel, artinya di titik tersebut tidak stabil. Titik ini menggambarkan, bila perusahaan mengeluarkan biaya yang meningkat maka tingkat penjualan juga akan meningkat dari waktu ke waktu, pada titik ini diperoleh tingkat keuntungan sebesar π = 0.005.

 

Analisis Titik Tetap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular ( x = 0 dan u = 0 ) dengan parameter yang digunakan r = 0.08, δ = 0.03 , sehingga dari persamaan (4.33) dan (4.34) didapat : f (u ) x(1 − x) − 0.03 x = 0

0.03(1 − 2 x) ] (1 − x)

fu = 0. fuu Dengan menggunakan Software Maple 12 didapat beberapa nilai titik tetap yaitu T1 (0, 0) , T2 (0.073, 0.067) dan [ x(1 − x) fu − 0.08 − 0.03 +

T3 (0.174, 0.925) . (bukti lihat Lampiran 5)

16

Persamaan (4.33) dan (4.34) merupakan persaman taklinear sehingga dilakukan pelinearan sebagai berikut ⎡ ∂x  ⎡ x ⎤ ⎢ ∂x ⎢u ⎥ = ⎢ ∂u ⎣ ⎦ ⎢ ⎢⎣ ∂x

⎛ 0.45 −1.13 ⎞ ⎟. ⎝ 0.45 −0.37 ⎠

J (0.174, 0.925) = ⎜

Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut: λ1 = 0.04 + 0.58i

∂x ⎤ ∂u ⎥ ⎡ x ⎤ ⎥ ∂u ⎥ ⎢⎣u ⎥⎦ ∂u ⎥⎦

λ2 = 0.04 − 0.58i

⎡ ∂x ∂x ⎤ ⎢ ∂x ∂u ⎥ di mana J = ⎢ ⎥ merupakan matriks ⎢ ∂u ∂u ⎥ ⎣⎢ ∂x ∂u ⎦⎥ Jacobi. Selanjutnya akan dianalisis titik tetap berdasarkan kestabilannya.

• Untuk titik tetap T1 (0, 0)

karena τ = 0.08 > 0 dan τ 2 − 4∆ = −1.36 < 0 sehingga di titik T3 (0.43, 0.72) merupakan spiral tak stabil.

diperoleh

matriks Jacobi :

⎛ 1 ⎞ 0 ⎟ − ⎜ 25 J (0, 0) = ⎜ ⎟. ⎜ 0 − 3 ⎟ ⎝ 100 ⎠ Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut: 1 λ1 = − 25 λ2 = − 3 100 karena ∆ = 0.001> 0 serta λ1 < 0, λ2 < 0 sehi

Gambar 14 merupakan bidang fase dari kasus 4, terdapat tiga titik tetap yaitu di titik bersifat stabil, di titik T1 (0, 0)

ngga di titik T1 (0, 0) merupakan simpul

T2 (0.073, 0.067) bersifat sadel dan di titik

stabil.

T3 (0.174, 0.925) bersifat spiral tak stabil.

Gambar 14 Bidang fase untuk u dan x.

• Untuk titik tetap T2 (0.073, 0.067)   diperoleh matriks Jacobi:

⎛ 0.082 0.04 ⎞ ⎟. ⎝ 0.082 −0.002 ⎠

J (0.073, 0.067) = ⎜

x (t ) : u (t ) :

π (t ) :

Dari matriks di atas diperoleh nilai-nilai eigen sebagai berikut: λ1 = 0.11

λ2 = −0.031 karena ∆ = −0.003 < 0 dan λ1 < 0, λ2 > 0 sehingga di titik T2 (0.073, 0.067) merupakan titik sadel.

• Untuk titik tetap T3 (0.174, 0.925) diperoleh matriks Jacobi:

Gambar 15 Bidang solusi untuk u dan x.

Gambar 15 merupakan bidang solusi untuk u dan x yang menuju titik tetap stabil bila dimasukkan nilai u = 0.001 dan x = 0.001 , sehingga menuju titik T1 (0, 0) . Titik ini menunjukkan belum ada keuntungan yang

 

17

dihasilkan sebuah perusahaan bila tidak ada biaya periklanan yang dikeluarkan.

dikeluarkan perusahaan dalam membuat iklan.

x (t ) : u (t ) :

π (t ) : x (t ) : u (t ) :

π (t ) :

Gambar 16 Bidang solusi untuk u dan x.

Gambar 17 Bidang solusi untuk u dan x.

Gambar 16 merupakan bidang solusi untuk u dan x yang kurvanya menjauhi titik T2 (0.073, 0.067)   bila dimasukkan nilai

Gambar 17 merupakan bidang solusi untuk u dan x, kurva di atas berbentuk spiral dekat dengan titik T3 (0.174, 0.925) , karena di titik

u = 0.074 dan x = 0.068 , karena di titik tersebut bersifat sadel, artinya di titik tersebut tidak stabil. Titik ini menggambarkan, bila perusahaan mengeluarkan biaya yang meningkat maka tingkat penjualan juga akan meningkat dari waktu ke waktu, namun tingkat keuntungan yang diperoleh negatif sebesar π = −0.006 Hal ini terjadi karena terlalu banyak biaya yang dikeluarkan sedangkan tingkat penjualan belum dapat menutupi biaya yang

 

tersebut bersifat spiral takstabil. Titik ini menggambarkan dinamika biaya iklan u maupun tingkat penjualan x yang terlihat berisolasi. Pada Gambar 17 dapat dilihat bahwa dengan bertambahnya waktu t, biaya iklan maupun tingkat penjualan akan meningkat setelah itu menurun kemudian meningkat lagi. Pada titik ini tingkat keuntungan yang diperoleh perusahaan sebesar π = 0.751.

 

KESIMPULAN Metode Kontrol Optimum dengan pendekatan Prinsip Maksimum Pontryagin dapat digunakan untuk masalah maksimisasi keuntungan. Dalam karya tulis ini dibahas masalah maksimisasi keuntungan dengan kendala laju tingkat penjualan perusahaan dalam permasalahan model periklanan suatu perusahaan yang menginginkan keuntungan maksimum dengan mengidentifikasi penggunaan kurva respons berbentuk-S. Simulasi menunjukkan bahwa pada model periklanan V-W dan Contagion yang tidak menggunakan fungsi berbentuk-S menggambarkan saat biaya yang dikeluarkan perusahaan untuk periklanan konstan maka menghasilkan tingkat penjualan yang konstan sehingga tingkat keuntungan yang diperoleh konstan. Sedangkan pada model yang melibatkan penggunaan fungsi berbentuk-S, diperoleh tiga titik tetap yaitu .

stabil, sadel dan spiral takstabil. Pada titik stabil digambarkan perusahaan belum ada keuntungan bila tidak ada biaya yang dikeluarkan untuk iklan. Pada titik sadel, bila perusahaan mengeluarkan biaya yang meningkat maka tingkat penjualan juga akan meningkat dari waktu ke waktu, namun pada model keempat tingkat keuntungan yang diperoleh negatif dikarenakan terlalu banyak biaya yang dikeluarkan sedangkan tingkat penjualan belum dapat menutupi biaya yang dikeluarkan dalam membuat iklan. Pada titik spiral takstabil, biaya iklan maupun tingkat penjualan akan meningkat setelah itu menurun kemudian meningkat lagi dari waktu ke waktu, sehingga tingkat keuntungan pun berisolasi dan membesar dari waktu ke waktu sampai batas yang tidak ditentukan, kemudian kembali menuju titik stabil.

DAFTAR PUSTAKA Anton H. 1995. Aljabar Linear Elementer. Edisi ke-5. Terjemahan Pantur Silaban dan I Nyoman Susila. Erlangga, Jakarta. Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equation and Their Application. Mc Graw-Hill, New York. Feinberg, M. 2001. On Continuous-Time Optimal Advertising Under S-Shaped Response. Management Sci. 47(11) 14761487. Kreyszig E. 1993. Matematika Teknik Lanjutan. Terjemahan Bambang Sumantri. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. Ozga S. 1960. Imperfect Market through lack of Knowledge. Quart. J. Econom. 74 29-52. Sethi SP. 1979. Optimal Advertising with the Contagion Model. J. Optim. Theory Appl. 29(4) 615-627. Sethi SP, Thompson L. 1981. Optimal Control Theory: Applications to Management Science. M. Nijhoff

 

Publishers, Hingham, MA, and Kluwer, Boston, MA. Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics and Chaos with Application to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Perseus Books, New York. Tu PNV. 1993. Introductory Optimization Dynamics : Optimal Control with Economics and Management Applications. Second Revised and Enlarged Edition. Springer Verlag, Berlin. Tu PNV. 1994. Dynamical System. An Introduction with Application in Economics and Biology. Second Revised and Enlarged Edition. Springer Verlag, Berlin. Verhulst F. 1990. Nonlinear Differential Equation and Dynamical System. Springer Verlag, Germany. Wolfe, Vidale. 1957. An Operations Research Study of Sales Response to Advertising. Oper. Res. 5 370-381. .

 

LAMPIRAN  

 

20

  Lampiran 1. Bukti Teorema 4

Diketahui masalah memaksimumkan: T

J ( x) = S ( x(T ), T ) + ∫ f 0 ( x(t ), u (t ), t ) dt

(1)

0

dengan kendala : x(t ) = f ( x(t ), u (t ), t )dt

(2)

Misalkan x(0) = x0 , t0 = 0 , sedangkan x(T ) dan T keduanya tidak ditentukan. Fungsi “scrap”

S ( x(T ), T ) dapat dituliskan sebagai: S ( x(T ), T ) = S ( x0 , 0) + ∫

T

0

d S ( x (t ), t ) dt dt

(3)

sehingga persamaan (1) menjadi: T ⎡ d ⎤ J = S ( x0 , 0) + ∫ ⎢ f 0 ( x, u , t ) + S ( x(t ), t ) ⎥ dt 0 dt ⎣ ⎦ T ⎡ ∂S ∂S ⎤ (4) x + ⎥ dt = S ( x0 , 0) + ∫ ⎢ f 0 (.) + 0 ∂x ∂t ⎦ ⎣ dengan x(t ) , u (t ) , f 0 ( x, u, t ) dan S ( x(t ), t ) secara sederhana dapat dituliskan sebagai x , u ,

f0 (.) dan S . Dapat dilihat bahwa upaya untuk mengoptimalkan persamaan (4) tidak dipengaruhi S pada saat t = 0 tetapi ditentukan oleh integral persamaan tersebut. Selanjutnya didefinisikan fungsional objektif yang diperbesar (augmented) J a (u ) sebagai: T

J a (u ) = ∫ F ( x, x , p, u , t )dt

(5)

0

∂S ∂S x + ∂x ∂t ∂S ∂S x + = H ( x, u , p, t ) − px + ∂x ∂t dengan H ( x, u, p, t ) = f 0 ( x, u, p, t ) + pf ( x, u, t ) adalah Hamiltonian.

dengan F ( x, x, p, u , t ) = f 0 (.) + p ( f (.) − x ) +

(6)

Syarat perlu dengan fungsional (5) memiliki nilai ekstrim adalah δ J a (u ) = 0 . Untuk T dan

x(T ) tidak ditentukan, nilai δ J a (u ) = 0 diperoleh seperti pada kalkulus variasi yaitu : ⎡⎡

d

⎤ ⎦

⎤

δ J a (u ) = ∫ ⎢ ⎢ Fx − Fx ⎥ δ x + Fuδ u + Fpδ p ⎥ dt + [ Fx δ x + ( F − Fx x )δ t ]t =T = 0 0 dt T

⎣⎣

⎦

Agar persamaan (7) dipenuhi maka persamaan Euler harus dipenuhi, yaitu Fx − Sedangkan Fx −

(7)

d Fx = 0 . dt

d d ∂ Fx = H x + ( S x x + St ) − ( S x − p ) dt ∂x dt = H x + S xx x + S xt − S xx x − S xt + p = H x + p

Sehingga persamaan euler ini memberikan p = − H x

(8) (9)

Variasi δ u dan δ p mempunyai sifat saling bebas sehingga koefisiennya bernilai nol, yaitu Fu = 0 dan Fp = 0 . Persamaan (2.6) memberikan Fu = H u dan Fp = f (.) − x = H p − x , sehingga

Hu = 0 x = f ( x, u, t ) = H p Selanjutnya syarat batas diberikan oleh suku terakhir persamaan (7), yaitu [ Fxδ x + ( F − Fx x )δ t ]t =T = 0 karena Fx = S x − p

 x = H − px + S x x + St − xS  x + xp  F − xF = H + St maka persamaan (12) menjadi

 

(10) (11)

(12)

21

  ( S x − p)δ x t =T + ( H + St )δ t t =T = 0

(13)

persamaan ini dikenal sebagai transversality condition atau syarat batas. Apabila x(t0 ) dan t0 belum ditentukan, maka syarat batas menjadi t =T

t =T

( S x − p )δ x t = 0 + ( H + St )δ t t = 0 = 0

(14)

yang menghasilkan teorema Pontryagin. Lampiran 2. Mencari solusi analitik dari Kasus 2 Jika mensubtitusi persamaan (4.7) ke (4.8) didapat hasil akhir ρ x 4 − 2 ρ x 2 + x( ρ − δ + r ) − r = 0 Dengan menggunakan Softwre Mathematica 6.0 didapat 2 + ((1 − i 3)(3r ρ − 3δρ − ρ 2 )) * 3 x (t ) =

(

3 22/3 ρ 9r ρ 2 + 18δρ 2 − 2 ρ 3 + 4(3r ρ − 3δρ − ρ 2 )3 + (9r ρ 2 + 18δρ 2 − 2 ρ 3 ) 2

)

1/3

)

(

1/3

(1 + i 3) 9r ρ 2 + 18δρ 2 − 2 ρ 3 + 4(3r ρ − 3δρ − ρ 2 )3 + (9r ρ 2 + 18δρ 2 − 2 ρ 3 ) 2 6 21/3 ρ kemudian bila diturunkan terhadap t menjadi

menghasilkan u =

x (t ) = *

x = 0 sehingga

−

ρ ux(1 − x) − δ x = 0 , yang

δ , bila nilai x dimasukkan maka akan didapat solusi analitik: ρ (1 − x) 2 + ((1 − i 3)(3r ρ − 3δρ − ρ 2 )) 3

(

3 22/3 ρ 9r ρ 2 + 18δρ 2 − 2 ρ 3 + 4(3r ρ − 3δρ − ρ 2 )3 + (9r ρ 2 + 18δρ 2 − 2 ρ 3 ) 2

(

)

(1 + i 3) 9r ρ 2 + 18δρ 2 − 2 ρ 3 + 4(3r ρ − 3δρ − ρ 2 )3 + (9r ρ 2 + 18δρ 2 − 2 ρ 3 ) 2

1/3

−

)

1/3

6 21/3 ρ δ 2 i 3δ 2 22/3 r ρ i 22/3 r ρ 2 2/3 δρ i 2 2/3 δρ ρ2 i ρ2 r 2 i 3r 2 + 1/3 − 2 2/3 rδ − i 2 2/3 3rδ + 1/3 + 1/3 − − + + + + 1/3 1/3 −r + δ 2 2 2 2 3 3 92 3 3 3 21/3 3 + + u * (t ) = 2/3 3ρ 9r ρ 2 + 18δρ 2 − 2 ρ 3 + 4(3r ρ − 3δρ − ρ 2 )3 + (9r ρ 2 + 18δρ 2 − 2 ρ 3 ) 2

)

(

r 2

2/3

−

δ 2 21/3 δ 2 i 21/3 δ i 3 δ ρ 2 21/3 ρ iρ 2 i 21/3 ρ 2 21/3 r 2 i 21/3 r i 3 r + − 2/3 − 2/3 + − + 2/3 − + + 2/3 − 2/3 3 9 3 2 2 2 32 3 3 2 3 3 3 + 1/3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 9r ρ + 18δρ − 2 ρ + 4(3r ρ − 3δρ − ρ ) + (9r ρ + 18δρ − 2 ρ )

)

(

(

⎛ 1 2 2/3 i i 2 2/3 ⎞ 2 3 2 3 2 2 3 2 2 + + − ⎜− ⎟ 9r ρ + 18δρ − 2 ρ + 4(3r ρ − 3δρ − ρ ) + (9r ρ + 18δρ − 2 ρ ) 1/3 2/3 3ρ 3 3ρ⎠ ⎝ 6 2 ρ 9ρ 2 2

(

⎛ ⎞ 1 i − 9r ρ 2 + 18δρ 2 − 2 ρ 3 + 4(3r ρ − 3δρ − ρ 2 )3 + (9r ρ 2 + 18δρ 2 − 2 ρ 3 ) 2 ⎜ 2/3 2 2/3 2 ⎟ 62 3ρ ⎠ ⎝ 18 2 ρ

)

2/3

(15) Lampiran 3. Bukti fungsi f(u) berbentuk S Untuk membuktikan f(u) berbentuk-S dengan mencari titik kritis dengan turunan pertama terhadap u: f u (u ) = f uu (u ) =

240u 2 (1 + 10u 3 ) 2 480u (1 − 20u 3 ) (1 + 10u 3 )3

Mencari titik ekstrem dan fungsi naik dan turun dengan:

 

)

1/3

+

22

 

f u (u ) =

240u 2 =0 (1 + 10u 3 ) 2

⇒u=0

fu (u )

+

+

0 Untuk mencari kecekungan dan titik belok maka diuji turunan kedua fuu (u ) =

3 480u (1 − 20u ) =0 3 3 (1 + 10u )

didapat

⇒ u = 3 20 ≈ 0.368 ⇒ titik belok +

_

fuu (u ) 3

20

dengan 

f (0) = 0, f ′(0) = 0, f (u )u →∞ = 8, f '(u )u →∞ = 0  

Sehingga didapat kurva f(u) berbentuk-S pada Gambar 9. Lampiran 4. Mencari nilai titik tetap T ( u, x ) pada Kasus 3 dengan menggunakan software Maple 12 Untuk mendapatkan titik tetap dengan menggunakan program di bawah ini:

⎛ ⎞ (240 ⋅ u (t ) 2 ) ⎜ ⎟ ⎛ (1 − x (t )) ⋅ (240 ⋅ u (t ) ) δ ⋅ x (t ) ⋅ ( −1) ⎞ ⎜ (1 + 10 ⋅ u (t )3 ) 2 ⎟, − r −δ + sys := diff (u (t ), t ) = ⎜ ⎟⋅ 3 2 3 (1 + 10 ⋅ u (t ) ) (1 − x(t )) ⎠ ⎜ 480 ⋅ u (t ) ⋅ (1 − 20 ⋅ u (t ) ) ⎟ ⎝ ⎜ ⎟ (1 + 10 ⋅ u (t )3 )3 ⎝ ⎠ 80 ⋅ u (t )3 ⋅ (1 − x (t )) − δ ⋅ x(t ) diff ( x(t ), t ) = 1 + 10 ⋅ u (t )3 2

⎛⎧ ⎞ ⎫ ⎛ ⎞ (240 ⋅ u 2 ) ⎜⎪ ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ 2 3 3 2 ⎛ ⎞ 80 ⋅ u δ ⋅ x ⋅ (−1) ⎜ (1 + 10 ⋅ u ) ⎪ (1 − x) ⋅ (240 ⋅ u ) ⎪ ⎟ ⎟ , (1 ) , , solve ⎜ ⎨⎜ r x x x u − − + ⋅ ⋅ − − ⋅ δ δ { } ⎬ ⎟ ⎜ ⎝ (1 + 10 ⋅ u 3 ) 2 ⎟ (1 − x) ⎠ ⎜ 480 ⋅ u ⋅ (1 − 20 ⋅ u 3 ) ⎟ 1 + 10 ⋅ u 3 ⎪ ⎜⎜ ⎪ ⎟⎟ ⎜ ⎟ 3 3 (1 + 10 ⋅ u ) ⎝ ⎠ ⎭⎪ ⎝ ⎩⎪ ⎠

diperoleh beberapa titik tetap

maka titik tetap yang memenuhi T1 (0, 0) , T2 (0.021, 0.026) dan T3 (0.16, 0.92) .

 

23

  Lampiran 5. Mencari nilai titik tetap T ( u, x ) pada Kasus 4 dengan menggunakan software Maple 12 Untuk mendapatkan titik tetap dengan menggunakan program di bawah ini:

⎛ ⎞ (240 ⋅ u (t ) 2 ) ⎜ ⎟ ⎛ x(t ) ⋅ (1 − x(t )) ⋅ (240 ⋅ u (t ) ) δ ⋅ (1 − 2 ⋅ x(t )) ⎞ ⎜ (1 + 10 ⋅ u (t )3 ) 2 ⎟, − r −δ + sys1:= diff (u (t ), t ) = ⎜ ⎟⋅ 3 2 3 (1 + 10 ⋅ u (t ) ) (1 − x (t )) ⎠ ⎜ 480 ⋅ u (t ) ⋅ (1 − 20 ⋅ u (t ) ) ⎟ ⎝ ⎜ ⎟ (1 + 10 ⋅ u (t )3 )3 ⎝ ⎠ 80 ⋅ u (t )3 ⋅ x(t ) ⋅ (1 − x(t )) − δ ⋅ x (t ) diff ( x(t ), t ) = 1 + 10 ⋅ u (t )3 2

⎛⎧ ⎞ ⎫ ⎛ ⎞ (240 ⋅ u 2 ) ⎜⎪ ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ 2 3 3 2 ⎛ ⎞ x (1 x ) (240 u ) (1 2 x ) 80 u ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ δ (1 10 u ) + ⋅ ⎪ ⎪ ⎟ ⎜ ⎟, (1 ) , , solve ⎜ ⎨⎜ r x x x x u − − + ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ δ δ { } ⎬ ⎟ ⎜ ⎝ ⎟ (1 − x) ⎠ ⎜ 480 ⋅ u ⋅ (1 − 20 ⋅ u 3 ) ⎟ 1 + 10 ⋅ u 3 (1 + 10 ⋅ u 3 ) 2 ⎪ ⎜⎜ ⎪ ⎟⎟ ⎜ ⎟ 3 3 ⎪ ⎪ (1 + 10 ⋅ u ) ⎝ ⎠ ⎭ ⎝⎩ ⎠

diperoleh beberapa titik tetap

maka titik tetap yang memenuhi T1 (0, 0) , T2 (0.073, 0.067) dan T3 (0.174, 0.925) . Lampiran 6. Matriks Jacobi untuk Kasus 3 dan Kasus 4 • Kasus 3 Dari persamaan (4.28) dan (4.29) dilakukan pelinearan dengan mengkonstruksi matriks Jacobi yaitu :

− f −δ ⎛ ⎜ J (u, x) = ⎜ ⎛ δ ⎞ fu −f − ⎜ ⎜ u (1 − x) 2 ⎟ f ⎠ uu ⎝⎝ digunakan f (u ) =

⎞ ⎟ ⎛ f u fuuu ⎞ ⎛ f u fuuu ⎞ ⎟ δ x ⎞⎛ (1 − x) fu ⎜ 2 − ⎟ + ⎜ −r − δ − ⎟ ⎟ ⎜1 − (1 − x) ⎠ ⎝ ( f uu ) 2 ⎠ ⎠⎟ ( f uu ) 2 ⎠ ⎝ ⎝

80u 3 sehingga matriks Jacobi menjadi : (1 + 10u 3 )

⎛ 80u 3 − −δ ⎜ 1 + 10u 3 ⎜ ⎛ 240u 2 δ ⎞ J =⎜ ⎜ ( u + 10u 4 ) ⎜ − − ⎟ 3 2 + − (1 10 ) ( 1) 2 ⎠ u x ⎜ ⎝ 3 ⎜ 2 − 40u ⎜ ⎝

•

 

fu (1 − x)

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 6 3 6 360u (1 + 200u ) ( x − 1) ( −1 − 80u + 200u ) ( r ( x − 1) − δ ) ⎟ − + 2 2 ⎟ ⎟ 2 (1 − 20u 3 ) ( x − 1) ( −1 + 10u 3 + 200u 6 ) ⎠ −

240u 2 ( x − 1) (1 + 10u 3 ) 2

Kasus 4 Dari persamaan (4.30) dan (4.31) dilakukan pelinearan dengan mengkonstruksi matriks Jacobi yaitu :

24

  f (1 − 2 x ) − δ ⎛ ⎜ J (u , x ) = ⎜ ⎛ δ ⎞ fu 1 − 2 x ) fu − ⎟ ⎜⎜( (1 − x ) 2 ⎠ f uu ⎝⎝

digunakan f (u ) =

f u x (1 − x)

⎞ ⎟ ⎛ f f ⎞ ⎛ f u f uuu ⎞ ⎟ δ (1 − 2 x) ⎞ ⎛ x (1 − x ) f u ⎜ 2 − u uuu2 ⎟ + ⎜ − r − δ − 1 − ⎟ ⎟⎜ ( f uu ) ⎠ ⎝ (1 − x ) ⎠ ⎝ ( f uu ) 2 ⎠ ⎟⎠ ⎝

80u 3 sehingga matriks Jacobi menjadi : (1 + 10u 3 )

⎛ 80u 3 (1 − 2 x) −δ ⎜ 1 + 10u 3 ⎜ ⎛ 240u 2 (1 − 2 x) δ ⎞ J =⎜ ⎜ ( u + 10u 4 ) ⎜ − ⎟ 3 2 + − (1 10 ) ( 1) 2 ⎠ u x ⎜ ⎝ ⎜ 2 − 40u 3 ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 360u 2 (1 + 200u 6 ) ( x − 1) x ( −1 − 80u 3 + 200u 6 ) ( r ( x − 1) − δ x ) ⎟ − + 2 2 ⎟ ⎟ 2 (1 − 20u 3 ) ( x − 1) ( −1 + 10u 3 + 200u 6 ) ⎠ −

240u 2 ( x − 1) x (1 + 10u 3 ) 2

Lampiran 7. Penentuan nilai eigen pada Kasus 3 dengan Mathematica 6.0 Untuk menentukan nilai eigen dapat menggunakan program di bawah ini : ⎡⎛ 2 6 3 6 ⎛ ⎞ ⎞⎤ 3 ⎢⎜ ⎛ − 80u − δ − λ ⎞ ⎜ − 360u (1 + 200u ) ( x − 1) + ( −1 − 80u + 200u ) ( r ( x − 1) − δ ) − λ ⎟ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ 3 2 2 ⎢⎜⎜ ⎝ 1 + 10u ⎟ ⎟⎟ ⎥ ⎠⎜ 2 (1 − 20u 3 ) ( x − 1) ( −1 + 10u 3 + 200u 6 ) ⎢⎝ ⎝ ⎠ ⎠⎥ ⎢ ⎥ ⎛ Solve ⎢ ⎛ 240u 2 δ ⎞ ⎞⎞ ⎥ 4 ⎛ ⎢ ⎜ ⎛ 240u 2 ( x − 1) ⎞ ⎜ ( u + 10u ) ⎜ − (1 + 10u 3 ) 2 − ( x − 1) 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ == 0, λ ⎜ ⎢− ⎜ ⎜ − ⎥ 3 2 ⎟⎜ 3 ⎜ ⎟ ⎟ 2 − 40u ⎢ ⎝ (1 + 10u ) ⎠ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎜ ⎥ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠⎠ ⎣⎢ ⎝ ⎦⎥

menghasilkan 1 λ1 = − m − m 2 − 4ns 2n 1 λ2 = − m + m 2 − 4ns 2n

( (

) )

dimana m = r − 720u 2 + 160u 3 + 100ru 3 − 4800u 6 − 1500ru 6 − 144000u 8 + 4000ru 9 + 640000u12 −20000ru12 − rx + 1440u 2 x − 160u 3 x − 100ru 3 x + 4800u 6 x − 1500ru 6 x + 288000u 8 x −4000ru 9 x − 640000u12 x + 20000ru12 x − 720u 2 x 2 − 144000u 8 x 2 + 3δ + 60u 3δ + 900u 6δ +12000u 9δ + 60000u12δ − 2 xδ + 40 x 3 xδ + 600u 6 xδ − 8000u 9 xδ − 80000u12 xδ

n = 2 − 40u 3 − 600u 6 + 8000u 9 + 80000u12 − 2 x + 40u 3 x + 600u 6 x − 8000u 9 x − 80000u12 x s = 80ru 3 + 7200ru 6 − 1152000u 8 + 48000ru 9 − 160000ru12 − 80ru 3 x − 7200ru 6 x + 2304000u 8 x −48000ru 9 x + 160000ru12 x − 1152000u 8 x 2 + rδ − 720u 2δ + 320u 3δ + 100ru 3δ + 4800u 6δ +1500ru 6δ − 144000u 8δ + 4000ru 9δ − 160000u12δ − 20000ru12δ − rxδ + 1440u 2 xδ − 100ru 3 xδ −1500ru 6 xδ + 288000u 8 xδ − 4000u 9δ 2 − 20000u12δ 2

Lampiran 8. Penentuan nilai eigen pada Kasus 4 dengan Mathematica 6.0 Untuk menentukan nilai eigen dapat menggunakan program di bawah ini : ⎡ ⎛ 360u 2 (1 + 200u 6 ) ( x − 1) x ( −1 − 80u 3 + 200u 6 ) ( r ( x − 1) − δ x ) ⎞⎤ 3 ⎢⎛⎜ 80u (1 − 2 x ) − δ − λ ⎞⎟ ⎜ − + − λ ⎟⎥ 3 3 6 2 3 2 ⎢⎝ 1 + 10u ⎟⎥ ⎠ ⎜⎝ −1 + 10u + 200u ) 2 (1 − 20u ) ( x − 1) ( ⎠⎥ ⎢ 2 ⎢ ⎥ ⎛ δ ⎞⎞ Solve 4 ⎛ 240u (1 − 2 x ) − ⎢ ⎥ ⎜ ( u + 10u ) ⎜ 3 2 2 ⎟⎟ 2 ( x − 1) ⎠ ⎟ ⎢− ⎛ − 240u ( x − 1) x ⎞ ⎜ ⎥ ⎝ (1 + 10u ) == 0, λ 3 ⎢ ⎜⎝ (1 + 10u 3 ) 2 ⎟⎠ ⎜ ⎥ ⎟ 2 − 40u ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ ⎠

 

25

  menghasilkan 1 λ1 = − d − d 2 − 4ce 2c 1 λ2 = − d + d 2 − 4ce 2c

( (

) )

dimana d = r − 160u 3 + 100ru 3 + 4800u 6 + 1500ru 6 + 4000ru 9 − 640000u12 − 20000ru12 − rx − 720u 2 x +480u 3 x − 100ru 3 x − 14400u 6 x − 1500ru 6 x + 144000u 8 x − 4000ru 9 x − 1920000u12 x + 20000ru12 x +1440u 2 x 2 − 320u 3 x 2 + 9600u 6 x 2 + 288000u 8 x 2 − 1280000u12 x 2 − 720u 2 x3 − 144000u 8 x3 + 2δ −40u 3δ − 600u 6δ + 8000u 9δ + 80000u12δ − xδ + 140u 3 xδ + 2100u 6 xδ − 4000u 9 xδ − 100000u12 xδ

c = 2 − 40u 3 − 600u 6 + 8000u 9 + 80000u12 − 2 x + 40u 3 x + 600u 6 x − 8000u 9 x − 80000u12 x

e = −80ru 3 − 7200ru 6 − 48000ru 9 + 160000ru12 + 240ru 3 x + 21600ru 6 x + 1152000u 8 x + 144000ru 9 x −480000ru12 x − 160ru 3 x 2 − 14400ru 6 x 2 − 4608000u 8 x 2 − 96000ru 9 x 2 + 320000ru12 x 2 + 5760000u 8 x 3 −2304000u 8 x 4 + rδ + 100ru 3δ + 1500ru 6δ + 4000ru 9δ − 20000ru12δ − rxδ − 720u 2 xδ + 160u 3 xδ −100ru 3 xδ − 9600u 6 xδ − 1500ru 6 xδ − 144000u 8 xδ − 96000u 9 xδ − 4000ru 9 xδ + 160000u12 xδ +20000ru12 xδ + 1440u 2 x 2δ + 160u 3 x 2δ + 14400u 6 x 2δ + 288000u 8 x 2δ + +96000u 9 x 2δ − 320000u12 x 2δ −720u 2 x 3δ − 144000u 8 x 3δ + xδ 2 + 100u 3 xδ 2 + 1500u 6 xδ 2 + 4000u 9 xδ 2 − 20000u12 xδ 2

Lampiran 9. Menentukan nilai eigen pada titik tetap T ( u, x ) pada Kasus 3 dengan menggunakan software Mathematica 6.0 Parameter yang diberikan r := 0.08; δ := 0.03;

•

Untuk titik tetap T1 (0, 0)

⎡⎛ 2 6 3 6 ⎛ ⎞ ⎞⎤ 3 ⎢⎜ ⎛ − 80u − δ − λ ⎞ ⎜ − 360u (1 + 200u ) ( x − 1) + ( −1 − 80u + 200u ) ( r ( x − 1) − δ ) − λ ⎟ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ 3 2 2 ⎢⎜⎜ ⎝ 1 + 10u ⎟ ⎟⎟ ⎥ ⎠⎜ 2 (1 − 20u 3 ) ( x − 1) ( −1 + 10u 3 + 200u 6 ) ⎢⎝ ⎝ ⎠ ⎠⎥ ⎢ ⎥ ⎛ Solve ⎢ ⎛ 240u 2 δ ⎞ ⎞⎞ ⎥ 4 ⎛ ⎢ ⎜ ⎛ 240u 2 ( x − 1) ⎞ ⎜ ( u + 10u ) ⎜ − (1 + 10u 3 ) 2 − ( x − 1) 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ == 0, λ ⎜ ⎢− ⎜ ⎜ − ⎥ 3 2 ⎟⎜ 3 ⎜ ⎟ ⎟ 2 − 40u ⎢ ⎝ (1 + 10u ) ⎠ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎜ ⎥ ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠⎠ ⎣⎢ ⎝ ⎦⎥

menghasilkan nilai eigen 11 3 ⎫ ⎧ },{λ → − }⎬ ⎨{λ → − 200 100 ⎭ ⎩ Titik tetapnya merupakan simpul stabil. •

Untuk titik tetap T2 (0.021, 0.026)

⎡⎛ 2 6 3 6 ⎛ ⎞ ⎞⎤ 3 ⎢⎜ ⎛ − 80u − δ − λ ⎞ ⎜ − 360u (1 + 200u ) ( x − 1) + ( −1 − 80u + 200u ) ( r ( x − 1) − δ ) − λ ⎟ ⎟ ⎥ ⎟ 2 2 ⎢⎜⎜ ⎝⎜ 1 + 10u 3 ⎟ ⎟⎟ ⎥ ⎠⎜ 2 (1 − 20u 3 ) ( x − 1) ( −1 + 10u 3 + 200u 6 ) ⎢⎝ ⎝ ⎠ ⎠⎥ ⎢ ⎥ ⎛ Solve ⎢ ⎛ 240u 2 δ ⎞ ⎞⎞ ⎥ 4 ⎛ 10 u u + − − ⎟ ⎜ ( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎛ 240u 2 ( x − 1) ⎞ ⎥ (1 + 10u 3 ) 2 ( x − 1) 2 ⎠ ⎟ ⎟ ⎝ ⎜ ⎜ ⎢− ⎜ − ⎥ == 0, λ ⎟ ⎟⎟ 2 − 40u 3 ⎢ ⎜ ⎝ (1 + 10u 3 ) 2 ⎠ ⎜ ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎢ ⎜⎜ ⎥ ⎟ ⎝ ⎠⎠ ⎣⎢ ⎝ ⎦⎥

menghasilkan nilai eigen {{λ → 0.109},{λ → −0.029}}

 

26

  Titik tetapnya merupakan titik sadel. •

Untuk titik tetap T3 (0.16, 0.92)

⎡⎛ 2 6 3 6 ⎛ ⎞ ⎞⎤ 3 ⎢⎜ ⎛ − 80u − δ − λ ⎞ ⎜ − 360u (1 + 200u ) ( x − 1) + ( −1 − 80u + 200u ) ( r ( x − 1) − δ ) − λ ⎟ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ 2 2 ⎢⎜⎜ ⎝ 1 + 10u 3 ⎟ ⎟⎟ ⎥ ⎠⎜ 2 (1 − 20u 3 ) ( x − 1) ( −1 + 10u 3 + 200u 6 ) ⎢⎝ ⎝ ⎠ ⎠⎥ ⎢ ⎥ ⎛ Solve ⎢ ⎛ 240u 2 δ ⎞ ⎞⎞ ⎥ 4 ⎛ 10 u u + − − ⎟ ⎜ ( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 2 2 ⎢ ⎛ 240u 2 ( x − 1) ⎞ ⎥ (1 + 10u ) ( x − 1) ⎠ ⎟ ⎟ ⎝ ⎜ ⎜ ⎢− ⎜ − ⎥ == 0, λ ⎟ ⎟⎟ 2 − 40u 3 ⎢ ⎜ ⎝ (1 + 10u 3 ) 2 ⎠ ⎜ ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎢ ⎜⎜ ⎥ ⎟ ⎝ ⎠⎠ ⎣⎢ ⎝ ⎦⎥

menghasilkan nilai eigen {{λ → 0.039 + 0.57i},{λ → 0.039 − 0.57i}} Titik tetapnya merupakan spiral tak stabil. Lampiran 10. Menentukan nilai eigen pada titik tetap T ( u, x ) pada Kasus 4 dengan menggunakan software Mathematica 6.0

Parameter yang diberikan r := 0.08; δ := 0.03; •

Untuk titik tetap T1 (0, 0)

⎡ ⎛ 360u 2 (1 + 200u 6 ) ( x − 1) x ( −1 − 80u 3 + 200u 6 ) ( r ( x − 1) − δ x ) ⎞⎤ 3 ⎢⎛⎜ 80u (1 − 2 x ) − δ − λ ⎞⎟ ⎜ − + − λ ⎟⎥ 3 6 2 3 2 ⎢⎝ 1 + 10u 3 ⎟⎥ ⎠ ⎜⎝ −1 + 10u + 200u ) 2 (1 − 20u ) ( x − 1) ( ⎠⎥ ⎢ 2 ⎢ ⎥ ⎛ δ ⎞⎞ Solve 4 ⎛ 240u (1 − 2 x ) − ⎢ ⎥ ⎜ ( u + 10u ) ⎜ 3 2 2 ⎟⎟ 2 ( x − 1) ⎠ ⎟ ⎢− ⎛ − 240u ( x − 1) x ⎞ ⎜ ⎥ ⎝ (1 + 10u ) == 0, λ 3 ⎢ ⎜⎝ (1 + 10u 3 ) 2 ⎟⎠ ⎜ ⎥ ⎟ 2 − 40u ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ ⎠

menghasilkan nilai eigen ⎧⎧ 1⎫ ⎧ 3 ⎫⎫ ⎨⎨λ1 → − ⎬ , ⎨λ2 → − ⎬⎬ 25 ⎭ ⎩ 100 ⎭ ⎭ ⎩⎩ Titik tetapnya merupakan simpul stabil. •

Untuk titik tetap T2 (0.073, 0.067)

⎡ ⎛ 360u 2 (1 + 200u 6 ) ( x − 1) x ( −1 − 80u 3 + 200u 6 ) ( r ( x − 1) − δ x ) ⎞⎤ 3 ⎢⎜⎛ 80u (1 − 2 x ) − δ − λ ⎟⎞ ⎜ − + − λ ⎟⎥ 3 3 6 2 3 2 ⎢⎝ 1 + 10u ⎟⎥ ⎠ ⎜⎝ −1 + 10u + 200u ) 2 (1 − 20u ) ( x − 1) ( ⎠⎥ ⎢ 2 ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ δ 240u (1 − 2 x ) Solve 4 − ⎢ ⎥ ⎜ ( u + 10u ) ⎜ 3 2 2 ⎟⎟ 2 ( x − 1) ⎠ ⎢− ⎛ − 240u ( x − 1) x ⎞ ⎜ ⎥ ⎝ (1 + 10u ) ⎟ == 0, λ 3 ⎢ ⎜⎝ (1 + 10u 3 ) 2 ⎟⎠ ⎜ ⎥ ⎟ 2 − 40u ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ ⎠

menghasilkan {{λ1 → 0.11} ,{λ2 → −0.031}} Titik tetapnya merupakan titik sadel. •

 

Untuk titik tetap T3 (0.174, 0.925)

27

  ⎡ ⎛ 360u 2 (1 + 200u 6 ) ( x − 1) x ( −1 − 80u 3 + 200u 6 ) ( r ( x − 1) − δ x ) ⎞⎤ 3 ⎢⎜⎛ 80u (1 − 2 x ) − δ − λ ⎟⎞ ⎜ − + − λ ⎟⎥ 3 6 2 3 2 ⎢⎝ 1 + 10u 3 ⎟⎥ ⎠ ⎜⎝ −1 + 10u + 200u ) 2 (1 − 20u ) ( x − 1) ( ⎠⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x δ 240 u (1 − 2 ) Solve ⎢ 4 u + 10 u − ⎢ ⎥ ( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 2 2 2 ( x − 1) ⎠ ⎢− ⎛ − 240u ( x − 1) x ⎞ ⎜ ⎥ ⎝ (1 + 10u ) ⎟ == 0, λ 3 ⎢ ⎜⎝ (1 + 10u 3 ) 2 ⎟⎠ ⎜ ⎥ ⎟ 2 − 40u ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ ⎠

menghasilkan nilai eigen {{λ1 → 0.04 + 0.58i} , {λ2 → 0.04 − 0.58i}} Titik tetap merupakan spiral tak stabil. Lampiran 11. Gambar bidang fase Kasus 3 dan Kasus 4 dengan menggunakan Software Maple 12

•

Kasus 3

⎛ ⎞ (240 ⋅ u (t ) 2 ) ⎜ ⎟ 3 2 ⎛ (1 − x (t )) ⋅ (240 ⋅ u (t ) 2 ) ⎞ δ ⋅ x (t ) ⋅ (−1) ⎜ (1 + 10 ⋅ u (t ) ) ⎟, − − + ⋅ δ sys := diff (u (t ), t ) = ⎜ r ⎟ (1 + 10 ⋅ u (t )3 ) 2 (1 − x(t )) ⎠ ⎜ 480 ⋅ u (t ) ⋅ (1 − 20 ⋅ u (t )3 ) ⎟ ⎝ ⎜ ⎟ (1 + 10 ⋅ u (t )3 )3 ⎝ ⎠ 3 80 ⋅ u (t ) ⋅ (1 − x (t )) − δ ⋅ x(t ) diff ( x(t ), t ) = 1 + 10 ⋅ u (t )3

•

Kasus 4

⎛ ⎞ (240 ⋅ u (t ) 2 ) ⎜ ⎟ ⎛ x(t ) ⋅ (1 − x(t )) ⋅ (240 ⋅ u (t ) ) δ ⋅ (1 − 2 ⋅ x(t )) ⎞ ⎜ (1 + 10 ⋅ u (t )3 ) 2 ⎟, − r −δ + sys1:= diff (u (t ), t ) = ⎜ ⎟⋅ 3 2 3 (1 + 10 ⋅ u (t ) ) (1 − x (t )) ⎠ ⎜ 480 ⋅ u (t ) ⋅ (1 − 20 ⋅ u (t ) ) ⎟ ⎝ ⎜ ⎟ (1 + 10 ⋅ u (t )3 )3 ⎝ ⎠ 80 ⋅ u (t )3 ⋅ x(t ) ⋅ (1 − x(t )) − δ ⋅ x (t ) diff ( x(t ), t ) = 1 + 10 ⋅ u (t )3 2

 

28

  Lampiran 12. Gambar bidang solusi Kasus 1 dan Kasus 2 dengan menggunakan Software Mathematica 6.0

•

Kasus 1

•

Kasus 2

Lampiran 13. Gambar bidang solusi Kasus 3 dan Kasus 4 dengan menggunakan Software Maple 12 • Kasus 3

⎛ ⎞ (240 ⋅ u (t ) 2 ) ⎜ ⎟ ⎛ (1 − x (t )) ⋅ (240 ⋅ u (t ) ) δ ⋅ x (t ) ⋅ (−1) ⎞ ⎜ (1 + 10 ⋅ u (t )3 ) 2 ⎟, − r −δ + sys := diff (u (t ), t ) = ⎜ ⎟⋅ 3 2 3 (1 + 10 ⋅ u (t ) ) (1 − x(t )) ⎠ ⎜ 480 ⋅ u (t ) ⋅ (1 − 20 ⋅ u (t ) ) ⎟ ⎝ ⎜ ⎟ (1 + 10 ⋅ u (t )3 )3 ⎝ ⎠ 80 ⋅ u (t )3 ⋅ (1 − x (t )) − δ ⋅ x(t ) diff ( x(t ), t ) = 1 + 10 ⋅ u (t )3 2

Gambar 11

>

     

  >

 

29

  Gambar 12

>

     

> Gambar 13

>

           

>   •

Kasus 4

⎛ ⎞ (240 ⋅ u (t ) 2 ) ⎜ ⎟ ⎛ x(t ) ⋅ (1 − x(t )) ⋅ (240 ⋅ u (t ) ) δ ⋅ (1 − 2 ⋅ x(t )) ⎞ ⎜ (1 + 10 ⋅ u (t )3 ) 2 ⎟, − r −δ + sys1:= diff (u (t ), t ) = ⎜ ⎟⋅ 3 2 3 (1 + 10 ⋅ u (t ) ) (1 − x (t )) ⎠ ⎜ 480 ⋅ u (t ) ⋅ (1 − 20 ⋅ u (t ) ) ⎟ ⎝ ⎜ ⎟ (1 + 10 ⋅ u (t )3 )3 ⎝ ⎠ 80 ⋅ u (t )3 ⋅ x(t ) ⋅ (1 − x(t )) − δ ⋅ x (t ) diff ( x(t ), t ) = 1 + 10 ⋅ u (t )3 2

Gambar 15

>

           

> Gambar 16

>      

 

30

 

> Gambar 17

>

           

>