APLIKASI KONTROL OPTIMUM PADA PEMANENAN SARDINELLA LEMURU DI SELAT BALI
RIZAL NURBAYAN
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Aplikasi Kontrol Optimum pada Pemanenan Sardinella lemuru di Selat Bali adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, September 2014 Rizal Nurbayan NIM G54100077
ABSTRAK RIZAL NURBAYAN. Aplikasi Kontrol Optimum pada Pemanenan Sardinella lemuru di Selat Bali. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan ALI KUSNANTO. Karya ilmiah ini membahas analisis model matematika tentang sistem dinamika sumber daya perikanan di suatu wilayah perairan. Wilayah perairan yang dipertimbangkan terdiri atas dua zona: zona cadangan dan zona noncadangan, di mana pertumbuhan populasi ikan di setiap zona dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial taklinear. Kestabilan dari dua buah titik tetap taknegatif ditentukan dengan menyelesaikan persamaan karakteristik. Titik tetap tersebut berupa titik saddle dan titik simpul stabil. Selanjutnya, kebijakan penangkapan ikan yang optimum dianalisis menggunakan prinsip maksimum Pontryagin sehingga diperoleh kontrol bang-bang dan kontrol singular sebagai kontrol optimum. Suatu contoh ilustratif diberikan dengan mempertimbangkan studi kasus penangkapan Sardinella lemuru di Selat Bali. Studi kasus ini disimulasikan secara numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde empat sehingga diperoleh gambaran tentang dinamika populasi ikan di dua zona di bawah kendali pemanenan optimum. Kata kunci: metode Runge-Kutta, prinsip maksimum Pontryagin, titik tetap, zona cadangan, zona noncadangan
ABSTRACT RIZAL NURBAYAN. Optimal Control Application on the Harvesting of Sardinella lemuru in Bali Strait. Supervised by TONI BAKHTIAR and ALI KUSNANTO. This paper studied a mathematical model of fishery resource dynamics in an aquatic area. The considered area consists of two zones: reserve and unreserve zones, where growth of fish population on each zone is given by a nonlinear differential equation. The stability of two nonnegative fixed points are investigated by solving characteristic equation. The fixed points are saddle and stable node. More over, an optimal harvesting policy is analyzed by using Pontryagin maximum principle, from which the bang-bang and singular controls are found as optimal controls. An illustrative example is provided by considering the harvesting of Sardinella lemuru in Bali Strait. This case is simulated numerically by using fourth-order Runge-Kutta method, from which fishery resource dynamics in two zones under optimal harvesting are illustrated. Key words: Runge-Kutta method, Pontryagin maximum principle, fixed point, reserve zone, unreserve zone
APLIKASI KONTROL OPTIMUM PADA PEMANENAN SARDINELLA LEMURU DI SELAT BALI
RIZAL NURBAYAN
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
Judul Skripsi : Aplikasi Kontrol Optimum pada Pemanenan Sardinella lemuru di Selat Bali Nama : Rizal Nurbayan NIM : G54100077
Disetujui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan September 2013 ini adalah permodelan kontrol optimum, dengan judul Aplikasi Kontrol Optimum pada Pemanenan Sardinella lemuru di Selat Bali. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Toni Bakhtiar, MSc dan Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi serta Bapak Ruhiyat, MSi selaku pembimbing. Selain itu, penghargaan penulis sampaikan kepada teman-teman Departemen Matematika, khususnya tahun angkatan 2010 yang telah membantu selama penulisan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, seluruh keluarga, dan semua pihak yang telah membantu, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, September 2014 Rizal Nurbayan
DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Model Pertumbuhan Organisme
2
Persamaan Diferensial
3
Titik Tetap
4
Pelinearan
4
Klasifikasi Titik Tetap
5
Prinsip Maksimum Pontryagin
6
Metode Runge-Kutta
7
MODEL MATEMATIKA
7
Model Pertumbuhan Ikan di Zona Cadangan dan Noncadangan
7
Analisis Titik Tetap
8
Kestabilan Titik Tetap
9
Kebijakan Penangkapan Optimum STUDI KASUS
10 11
Potensi Sardinella lemuru di Selat Bali
11
Algoritma Simulasi Numerik
11
SIMPULAN DAN SARAN
14
Simpulan
14
Saran
15
DAFTAR PUSTAKA
15
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
22
DAFTAR GAMBAR 1 Bidang solusi populasi ikan di zona noncadangan 2 Bidang solusi populasi ikan di zona cadangan 3 Fungsi switching
12 13 14
DAFTAR LAMPIRAN 1 2 3 4
Nilai-nilai parameter simulasi numerik Kode Matlab solusi numerik model tanpa pemanenan Kode Matlab solusi numerik model dengan pemanenan Kode Matlab plot solusi numerik
17 18 19 21
PENDAHULUAN Latar Belakang Kegiatan penangkapan dan pembudidayaan ikan telah berlangsung ribuan bahkan puluhan ribu tahun yang lalu. Dengan demikian, kegiatan perikanan merupakan proses pembelajaran kolektif dalam kurun waktu yang cukup lama (Fauzi 2010). Perikanan menjadi aspek yang tidak bisa dipisahkan dari sejarah peradaban manusia sejak zaman prasejarah, zaman batu, dan zaman modern. Sejak zaman manusia purba (Homo erectus dan Australophiticus), ikan menjadi salah satu bahan makanan manusia-manusia purba tersebut. Perikanan menjadi kegiatan masyarakat setempat untuk memanfaatkan ikan sebagai sumber pangan. Pada fase selanjutnya, perikanan juga dilakukan pada masa kekaisaran Romawi kuno, Mesir kuno, dan peradaban Cina (Fauzi 2010). Pada abad modern ini, kegiatan perikanan semakin berkembang dari sekedar urusan ekonomi lokal menjadi kegiatan ekonomi global yang menghasilkan miliaran dolar. Saat ini hasil perikanan telah mengarah pada produk bernilai tambah. Sebagai contoh pada tahun 2012, neraca perdagangan menunjukkan bahwa dari sektor perikanan, Indonesia surplus USD 3.52 miliar atau 81.11% dari total transaksi perdagangan ekspor impor (Hendriyana 2013). Selama beberapa dekade terakhir, telah dilakukan penelitian mengenai sumber daya perikanan. Kitabatake (1982) mengembangkan model dinamik untuk sumber daya perikanan tentang hubungan mangsa-pemangsa berdasarkan data amatan dari Danau Kasumigaura di Jepang. Ragozin dan Brown (1985) mempelajari kebijakan penangkapan yang optimum untuk sistem mangsapemangsa. Mangsa tidak memiliki nilai jual dan pemangsa ditangkap secara selektif. Chaudhuri (1986) mengusulkan sebuah model untuk mempelajari penangkapan gabungan pada dua spesies competing fish. Chauduri juga berhasil menunjukkan kesetimbangan bionomik di area yang ikannya boleh ditangkap dan berhasil menunjukkan adanya kemungkinan terjadinya kepunahan pada salah satu spesies ikan tersebut (Dubey et al. 2003). Beberapa literatur di atas membahas model yang mempertimbangkan satu zona saja, yaitu zona yang ikannya boleh ditangkap (zona noncadangan). Bahasan dalam literatur-literatur tersebut belum mempertimbangkan zona yang ikannya tidak boleh ditangkap (zona cadangan). Oleh karena itu, dalam karya ilmiah ini dibahas zona yang ikannya tidak boleh ditangkap (zona cadangan). Karena ada dua zona yang dipertimbangkan, maka sistem dinamika yang terjadi adalah dinamika populasi ikan di dua zona: zona cadangan dan zona noncadangan. Model yang mempertimbangkan zona cadangan dan zona noncadangan adalah model yang digagas oleh Dubey et al. (2003). Bahasan tentang simulasi numerik belum disajikan dalam tulisan Dubey et al. (2003). Oleh karena itu, studi kasus tentang simulasi numerik pemanenan Sardinella lemuru di Selat Bali menjadi hal yang menarik untuk dipelajari sebagai suatu contoh ilustratif.
2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah di atas, rumusan masalah dalam karya ilmiah ini adalah sebagai berikut: 1. Bagaimana mendeskripsikan model dinamik pertumbuhan ikan di zona cadangan dan zona noncadangan? 2. Bagaimana menganalisis titik tetap dari model dinamik pertumbuhan ikan di zona cadangan dan zona noncadangan? 3. Bagaimana kebijakan penangkapan ikan yang memaksimumkan keuntungan tanpa membahayakan habitatnya?
Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah yang dibuat, tujuan karya ilmiah ini adalah sebagai berikut: 1. Mendeskripsikan model dinamik pertumbuhan ikan di zona cadangan dan zona noncadangan. 2. Menganalisis titik tetap dari model dinamik pertumbuhan ikan di zona cadangan dan zona noncadangan. 3. Mengaplikasikan prinsip maksimum Pontryagin dalam menentukan kebijakan penangkapan ikan yang memaksimumkan keuntungan tanpa membahayakan habitatnya.
TINJAUAN PUSTAKA Model Pertumbuhan Organisme Proses pemodelan umumnya membutuhkan banyak keahlian, pengalaman, dan ilmu pengetahuan. Proses ini menetapkan suatu penyederhanaan masalah yang menggambarkan kejadian nyata. Sering kali di dalamnya terdapat suatu persamaan diferensial. Metode matematika tertentu digunakan untuk melakukan proses ini. Penyederhanaan masalah ini disebut model matematika untuk kejadian nyata (Farlow 1994). Model paling sederhana untuk menggambarkan pertumbuhan populasi suatu organisme adalah , dengan merupakan populasi pada waktu dan adalah laju pertumbuhan. Model merupakan model pertumbuhan eksponensial yang memiliki solusi dengan merupakan populasi pada saat Jelas bahwa model pertumbuhan eksponensial tidak bisa berlaku selamanya (Strogatz 1994). Efek dari keterbatasan ruang dan sumber daya, sifat biologis populasi, dan demografi menjadi asumsi yang dipertimbangkan dalam pemodelan. Laju pertumbuhan per kapita menurun ketika menjadi cukup besar. Untuk yang kecil, laju pertumbuhan sama dengan Akan tetapi, jika populasi lebih besar dari daya dukung lingkungan laju pertumbuhan menjadi negatif: laju
3 kematian lebih tinggi daripada laju kelahiran. Sebuah cara yang tepat menurut ilmu matematika untuk memasukan ide tersebut adalah asumsi bahwa laju pertumbuhan per kapita menurun secara linear terhadap . Hal ini menjadi konsep dasar persamaan logistik yang pertama kali diajukan untuk model pertumbuhan populasi manusia oleh Verhulst pada tahun 1838. Model logistik tersebut memiliki solusi
dan memiliki titik tetap takstabil serta titik tetap stabil , artinya seiring dengan . Dengan kata lain, (Strogatz 1994). Sumber daya alam yang dapat diperbarui memiliki beberapa konsep pengukuran ketersediaan yang sering digunakan. Salah satu konsep pengukuran tersebut adalah kapasitas daya dukung (carrying capacity). Pengukuran kapasitas ini didasarkan pada pemikiran bahwa lingkungan memiliki kapasitas maksimum untuk mendukung suatu pertumbuhan organisme. Sebagai contoh adalah ikan dapat tumbuh di kolam secara positif jika daya dukung lingkungannya masih besar. Namun, pertumbuhan yang terus menerus akan menimbulkan kompetisi terhadap ruang dan makanan sampai daya dukung lingkungan tidak mampu lagi mendukung pertumbuhan (Fauzi 2004). Proses penangkapan ikan di suatu perairan membutuhkan berbagai sarana. Sarana tersebut merupakan faktor input yang dalam literatur perikanan biasa disebut sebagai upaya (effort). Upaya adalah indeks dari berbagai input seperti ekstraksi sumber daya perikanan yang merupakan aktivitas ekonomi dengan menggunakan input tenaga kerja, kapal, alat tangkap, mesin, bahan bakar, dan sebagainya. Adapun koefisien kemampuan tangkap ikan (koefisien catchability) merupakan proporsi stok ikan yang dapat ditangkap oleh satu unit upaya (Fauzi 2004). Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang menghubungkan fungsi-fungsi yang tidak diketahui, turunan-turunan dari fungsi tersebut, peubah yang didefinisikan dalam fungsi tersebut, dan konstanta-konstanta tertentu. Misalkan terdapat persamaan diferensial sebagai berikut: (1) dengan merupakan fungsi dari yang turunan-turunan parsial pertamanya kontinu. Jika pada (1) berupa skalar, maka disebut persamaan diferensial. Jika pada (1) berupa vektor, maka disebut sistem persamaan diferensial, yaitu terdapat buah persamaan diferensial dengan buah fungsi yang tidak diketahui dan merupakan bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan dua. Sistem persamaan diferensial dengan suatu fungsi yang tidak bergantung secara eksplisit terhadap disebut sistem mandiri. Sebaliknya, jika bergantung secara eksplisit terhadap , maka disebut sistem takmandiri (Farlow 1994).
4 Sebuah persamaan diferensial dikatakan linear jika fungsi pada (1) berbentuk linear atau persamaan diferensial ordedikatakan linear bila berbentuk: (2) . fungsi pada (1) berbentuk taklinear, maka disebut persamaan diferensial Bila taklinear. Fungsi ,..., pada (2) merupakan koefisien dari persamaan diferensial dan disebut bentuk takhomogen. Jika bernilai nol, maka persamaan diferensial disebut homogen. Jika bernilai taknol, maka persamaan diferensial disebut takhomogen (Farlow 1994).
Titik Tetap Titik dari persamaan (1) disebut vektor state. Titik tersebut berada dalam bidang fase sistem. Seiring dengan berubahnya nilai vektor state bergerak di sepanjang bidang fase. Suatu persamaan aljabar yang menghubungkan dua peubah dependen dan didefinisikan sebagai sebuah path (trajektori atau orbit). Berdasarkan pemikiran tersebut, bisa dikatakan bahwa solusi dari suatu persamaan diferensial adalah vektor state yang bergerak di sepanjang trajektori dalam bidang fase (Farlow 1994). Trajektori-trajektori yang paling sederhana adalah trajektori-trajektori yang menuju ke suatu titik tetap. Suatu titik dalam bidang fase disebut titik tetap (fixed point) jika bernilai nol, yaitu ketika = (Farlow 1994). Pelinearan Bagian ini akan menunjukkan teknik linearisasi pada sistem persamaan diferensial taklinear. Misalkan = = dan adalah titik tetap yaitu titik yang memberikan dan Misalkan dan merupakan komponen gangguan dari titik tetap yang bernilai kecil. Hal yang diperlukan untuk mengetahui apakah gangguan akan meningkat atau menurun adalah persamaan diferensial bagi dan . Pertama, tentukan persamaan diferensial bagi . Berikut adalah prosesnya: (karena adalah suatu konstanta) (substitusi) (Deret Taylor) . Turunan parsial
dan
(karena
)
merupakan suatu bilangan karena
dievaluasi pada titik tetap Adapun merupakan bentuk kuadratik dari dan . Karena dan bernilai kecil, maka bentuk kuadratik tersebut bernilai sangat kecil. Kedua, tentukan persamaan diferensial bagi . Dengan menggunakan cara yang sama, yaitu seperti cara dalam menentukan persamaan diferensial bagi diperoleh persamaan Setelah
dan
diperoleh, gangguan
dapat dituliskan dalam bentuk:
5
Karena bentuk kuadratik bernilai sangat kecil, maka bisa diabaikan sehingga diperoleh sistem terlinearisasi:
atau = tetap
dengan dan adalah matriks yang dievaluasi pada titik yang disebut sebagai matriks Jacobi (Strogatz 1994)
Klasifikasi Titik Tetap Bagian ini akan menerangkan teori untuk menentukan jenis kestabilan titik tetap suatu sistem persamaan diferensial. Misalkan terdapat dua buah persamaan diferensial linear sebagai berikut: = , (3) = . Berdasarkan persamaan (3) diperoleh: . Nilai eigen bagi matriks Jacobi ditentukan dari persamaan karakteristik det dengan adalah matriks identitas. Bentuk persamaan karakteristiknya adalah (4) Setelah menyelesaikan bentuk (4), maka diperoleh persamaan dengan tr dan det . Kemudian diperoleh pula (5) yang merupakan solusi dari persamaan . Jika , maka nilai eigen adalah bilangan real dan berbeda tanda. Oleh karena itu titik tetap merupakan titik saddle. Jika , nilai eigen dapat berupa bilangan real dengan tanda yang sama (titik tetap berupa simpul (nodes)) atau bilangan kompleks conjugate (titik tetap berupa spiral atau center). Nodes memenuhi dan spiral memenuhi . Stabilitas nodes dan spiral ditentukan oleh nilai . Ketika nilai , kedua nilai eigen merupakan bilangan real negatif, jadi titik tetap adalah titik tetap stabil. Spiral dan nodes takstabil memiliki nilai (Strogatz 1994).
6 Prinsip Maksimum Pontryagin Prinsip ini merupakan cara untuk menemukan suatu vektor kontrol yang kontinu dan yang merupakan suatu vektor state padanannya yang dapat diturunkan serta didefinisikan pada interval waktu tertentu sehingga memaksimumkan fungsional objektif dengan kendala persamaan diferensial , dan kondisi awal (initial conditions) , salah satu kondisi akhir (terminal conditions) sebagai berikut: , bebas dan peubah kontrol dengan merupakan suatu himpunan yang ditetapkan dalam Diasumsikan bahwa dan adalah fungsi-fungsi kontinu untuk setiap dan (Kamien dan Schwartz 2012). Teorema. Agar , keberadaan suatu
menjadi optimum untuk masalah di atas, diperlukan konstanta dan fungsi-fungsi kontinu di mana untuk setiap terdapat sehingga untuk setiap dipenuhi dengan fungsi hamilton didefinisikan sebagai berikut: kecuali pada titik-titik diskontinuitas
,
Selanjutnya atau dan akhirnya salah satu kondisi transversalitas di bawah ini terpenuhi: tidak dapat ditentukan, , (=0 jika ) , . Prinsip maksimum Pontryagin memiliki kajian tentang kontrol bang-bang dan kontrol singular. Jika berbatas, yaitu dan linear terhadap maka kontrol optimum merupakan kontrol bang-bang. Jika maka kontrol optimum merupakan kontrol singular. Dengan demikian, kontrol optimumnya adalah (Kamien dan Schwartz 2012): koefisien dari (6) koefisien dari
7 Metode Runge-Kutta Metode Runge-Kutta adalah alternatif dari metode Taylor. Metode ini memiliki ketelitian yang tinggi tanpa membutuhkan perhitungan turunan. Perhatikan masalah nilai awal berikut: dengan merupakan fungsi skalar atau fungsi vektor yang belum diketahui dan bergantung pada Untuk suatu yang disebut riap (increment), didefinisikan untuk dan titik terdapat nilai aproksimasi yang diperoleh melalui formula (Farlow 1994):
dengan
.
MODEL MATEMATIKA Model Pertumbuhan Ikan di Zona Cadangan dan Noncadangan Sumber daya perikanan merupakan sumber daya milik bersama (common resources) dan bersifat akses terbuka (open access) sehingga semua lapisan masyarakat berhak memanfaatkannya. Hal ini bisa memicu eksploitasi secara besar-besaran dan tidak terkontrol (Fauzi 2004). Oleh sebab itu, perlu adanya upaya-upaya untuk mencegah kondisi tersebut. Salah satunya dengan membuat peraturan tentang wilayah pemanfaatan ruang laut. Kegiatan pemanfaatan ruang laut memiliki beberapa aturan tipologi, salah satunya adalah tentang adanya zona preservasi. Zona preservasi adalah zona tertutup untuk umum, tidak ada aktivitas pengambilan sumber daya yang diizinkan. Setiap aktivitas yang ada di zona ini harus mendapatkan izin. Selain itu, ada juga zona konservasi, yaitu zona yang melakukan perlindungan dan konservasi terhadap sumber daya tertentu serta mengizinkan kegiatan pengambilan sumber daya dengan tetap memperhatikan keberlanjutan (sustainability) dari sumber daya tersebut (Pamungkas 2010). Pemodelan ekosistem perairan yang dibahas adalah model perikanan yang mempertimbangkan aturan ruang laut di atas. Misalkan suatu ruang laut tertentu didefinisikan terdiri atas zona cadangan dan zona noncadangan. Kemudian ada aturan bahwa penangkapan ikan di zona noncadangan diperbolehkan secara terbuka. Sebaliknya, penangkapan ikan di zona cadangan tidak diperbolehkan. Diasumsikan bahwa pertumbuhan populasi ikan di setiap zona mengikuti model logistik. Dengan demikian, dinamika populasi ikan di zona cadangan dan zona
8 noncadangan (model tanpa pemanenan) dapat disajikan dalam bentuk sebagai berikut (Dubey et al. 2003):
(7)
Keterangan: : populasi ikan (ton) di zona noncadangan pada waktu (tahun), : populasi ikan (ton) di zona cadangan pada waktu (tahun), : laju pertumbuhan populasi ikan di zona noncadangan ( per tahun), : laju pertumbuhan populasi ikan di zona cadangan ( per tahun), : laju migrasi ikan dari zona noncadangan ke zona cadangan ( per tahun), : laju migrasi ikan dari zona cadangan ke zona noncadangan ( per tahun), : daya dukung lingkungan di zona noncadangan (ton), : daya dukung lingkungan di zona cadangan (ton). Asumsi yang digunakan pada sistem (7) adalah sebagai berikut: 1. Parameter dan diasumsikan sebagai konstanta positif. 2. Jika tidak ada migrasi populasi ikan dari zona cadangan ke zona noncadangan ) dan , maka < 0. Ketika < 0 berarti laju pertumbuhan populasi ikan di zona noncadangan bernilai negatif. Hal tersebut tidak mungkin terjadi pada suatu populasi makhluk hidup yang mengikuti model logistik. Oleh sebab itu, diasumsikan . (8) 3. Jika tidak ada migrasi populasi ikan dari zona noncadangan ke zona cadangan ( ) dan , maka < 0. Ketika < 0 berarti laju pertumbuhan populasi ikan di zona cadangan bernilai negatif. Hal tersebut tidak mungkin terjadi pada suatu populasi makhluk hidup yang mengikuti model logistik. Oleh sebab itu, asumsi yang digunakan agar kondisi tersebut tidak terjadi adalah . (9) Analisis Titik Tetap Mencari titik tetap dari sistem (7) berarti sama saja dengan menyelesaikan bentuk persamaan Sistem (7) memiliki titik tetap taknegatif dan . Berikut merupakan langkah-langkah untuk memperoleh dan yang positif: 1. Ketika dan sistem (7) dapat dituliskan dalam bentuk: maka
maka 2. Persamaan (10) memberikan nilai y sebagai berikut:
(10)
9
(11) 3. Menyubstitusikan nilai y dari persamaan (11) ke persamaan (10) disertai dengan sedikit proses aljabar menghasilkan polinomial dalam bentuk x:
4. Jika dimisalkan
maka polinomial pada langkah tiga menjadi 5. Agar persamaan memiliki solusi positif
.
, maka harus dipenuhi: , dan . (12) 6. Setelah nilai diperoleh dari langkah lima, nilai dapat dihitung dari persamaan (11). Agar nilai positif maka harus dipenuhi kondisi:
.
(13)
Kestabilan Titik Tetap Jenis kestabilan titik tetap dapat diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan karakteristik det dengan merupakan matriks Jacobi yang dievaluasi pada setiap titik tetap dan merupakan matriks identitas, serta adalah nilai eigen. Matriks Jacobi dari sistem (7) yaitu:
10 Sekarang akan diperiksa kestabilan dari titik tetap taknegatif dan Ketika matriks Jacobi dievaluasi pada titik diperoleh persamaan karakteristik dalam bentuk: (14) . Berdasarkan (14) dan (5), diperoleh (karena (8) dan (9)) dan (karena (12)), maka adalah titik saddle. Dengan menggunakan cara yang sama, ketika dievaluasikan terhadap matriks Jacobi , diperoleh persamaan karakteristik dalam bentuk: (15) Berdasarkan (15) dan (5), diperoleh diperoleh
dan , maka
adalah simpul stabil.
Kebijakan Penangkapan Optimum Prinsip maksimum Pontryagin merupakan salah satu konsep yang bisa digunakan dalam menentukan kebijakan penangkapan ikan yang optimum. Prinsip ini diaplikasikan pada model pemanenan ikan yang digagas oleh Dubey et al. (2003):
(16)
dengan merupakan total upaya penangkapan ikan di zona noncadangan (trip per tahun) pada tahun dan merupakan koefisien catchability populasi ikan di zona noncadangan (% per trip). Nilai sekarang (present value) dari pendapatan bersih dengan waktu kontinu dapat dinyatakan dalam bentuk fungsional sebagai berikut:
dengan merupakan tingkat diskonto kontinu tahunan (% per tahun). Kemudian bahasan sekarang adalah memaksimumkan fungsional dengan kendala persamaan diferensial (16). Adapun kendala peubah kontrolnya yaitu kendala peubah kontrol berbatas, dengan batasan Dengan demikian, fungsi hamiltonnya adalah:
=
=
11 Fungsi hamilton linear terhadap peubah kontrol sehingga Kondisi tersebut merupakan syarat perlu kontrol singular dengan batasan Berdasarkan (6), kontrol optimum dari kebijakan penangkapan ikan yang optimum adalah sebagai berikut: (17) dengan
disebut sebagai fungsi switching.
STUDI KASUS Potensi Sardinella lemuru di Selat Bali Perairan Selat Bali berbentuk corong dengan lebar bagian sebelah utara kira-kira 2.5 km dan bagian selatan kira-kira 55 km. Luas perairan Selat Bali kirakira 2,500 km2. Perairan ini cenderung dipengaruhi oleh massa air dari Samudra Indonesia dibanding oleh massa air dari Laut Flores karena bentuknya seperti corong yang menghadap ke selatan. Berdasarkan karakteristik oseanografis dan sumber daya ikannya, perairan laut Selat Bali merupakan daerah ruaya dari ikan lemuru. Oleh karena itu, perikanan lemuru di Selat Bali dinamakan Sardinella lemuru yang sangat spesifik dan satu-satunya di Indonesia (Setyohadi 2009). Ditinjau dari segi lingkungan, di perairan Selat Bali terjadi proses penaikan air pada musim timur sehingga perairan ini menjadi kaya akan bahan makanan yang sangat dibutuhkan oleh ikan lemuru. Jenis ikan lemuru ini biasanya mendiami daerah-daerah yang mengalami proses penaikan air sehingga dapat mencapai biomassa yang tinggi. Oleh karena itu, ikan lemuru sangat bergantung pada perubahan lingkungan perairan (Setyohadi 2009). Algoritma Simulasi Numerik Simulasi numerik yang dilakukan adalah aplikasi kontrol optimum pada pemanenan ikan lemuru (Sardinella lemuru) yang dijelaskan dalam literatur di atas. Simulasi tersebut melibatkan seperangkat persamaan diferensial di bawah ini:
12 Selain itu, digunakan pula nilai-nilai parameter (Lampiran 1) dari beberapa sumber pustaka dan nilai-nilai parameter hipotetik tertentu yang dipilih sehingga memenuhi beberapa asumsi yang digunakan, yaitu asumsi (8), (9), (12), dan (13). Metode yang dipakai dalam menyelesaikan persamaan diferensial adalah metode Runge-Kutta orde empat. Berikut ini adalah algoritmanya (Farlow 1994): 1. DEF = (definisikan fungsi ) 2. INPUT “masukan nilai awal and ”; 3. INPUT “masukan step size dan nilai maksimum dari ”; , ; 4. FOR i = 1 TO STEP
PRINT NEXT END. Berikut ini adalah hasil simulasi numerik yang diperoleh:
Gambar 1 Bidang solusi populasi ikan di zona noncadangan
13 Gambar 1 menunjukkan bidang solusi populasi ikan di zona noncadangan . Terdapat dua buah solusi yang dipelajari, yaitu solusi populasi ikan tanpa pemanenan dan solusi populasi ikan dengan pemanenan. Berdasarkan Gambar 1, dapat dilihat bahwa solusi populasi ikan tanpa pemanenan (kurva berwarna biru) konvergen ke suatu nilai di atas daya dukung lingkungan (garis putus-putus berwarna merah). Secara biologis kondisi tersebut mengartikan bahwa lingkungan tidak mampu mendukung pertumbuhan secara optimal. Oleh sebab itu, upaya pemanenan diperlukan untuk mencegah terjadinya kondisi tersebut. Sebaliknya, solusi populasi ikan dengan pemanenan (kurva berwarna hijau) konvergen ke suatu nilai di bawah daya dukung lingkungan. Secara biologis kondisi tersebut mengartikan bahwa lingkungan masih mampu mendukung pertumbuhan secara optimal.
Gambar 2 Bidang solusi populasi ikan di zona cadangan Gambar 2 menunjukkan bidang solusi populasi ikan di zona cadangan . Terdapat dua buah solusi yang dipelajari, yaitu solusi populasi ikan tanpa pemanenan dan solusi populasi ikan dengan pemanenan. Berdasarkan Gambar 2, dapat dilihat bahwa solusi populasi ikan tanpa pemanenan (kurva berwarna biru) dan solusi populasi ikan dengan pemanenan (kurva berwarna hijau) konvergen ke suatu nilai di bawah daya dukung lingkungan. Hal tersebut menunjukkan bahwa secara biologis lingkungan mampu mendukung pertumbuhan secara optimal. Selain itu, dapat dilihat pula bahwa solusi populasi ikan dengan pemanenan (kurva berwarna hijau) berada di bawah solusi populasi ikan tanpa pemanenan (kurva berwarna biru). Secara matematis hal tersebut terjadi akibat pengaruh tidak langsung dari pemanenan ikan di zona noncadangan.
14
Gambar 3 Fungsi switching Gambar 3 adalah kurva dari fungsi switching yang merupakan koefisien dari peubah kontrol (berdasarkan (6)). Fungsi ini digunakan untuk menentukan interval waktu dalam skema pemanenan. Berdasarkan (17), ketika fungsi switching bernilai positif maka dilakukan upaya pemanenan sebesar . Sebaliknya, ketika fungsi switching bernilai negatif maka pemanenan adalah sebesar nol (tidak ada upaya pemanenan).
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Karya ilmiah ini telah membahas dan menganalisis model matematika tentang sistem dinamika sumber daya perikanan yang terdiri atas dua zona: zona cadangan dan zona noncadangan. Berdasarkan hasil simulasi numerik, model telah mampu menggambarkan dinamika populasi ikan di dua zona tersebut. Berdasarkan asumsi dan batasan nilai parameter, telah dijelaskan bahwa model matematika tentang sistem dinamika sumber daya perikanan yang terdiri atas dua zona memiliki dua buah titik tetap taknegatif. Titik tetap tersebut berupa titik saddle dan simpul stabil. Kebijakan penangkapan ikan yang optimum telah ditentukan menggunakan prinsip maksimum Pontryagin. Solusi populasi ikan di zona noncadangan solusi populasi ikan di zona cadangan serta fungsi switching diselesaikan secara numerik menggunakan metode Runge-Kutta orde empat. Melalui simulasi numerik, solusi populasi ikan di zona noncadangan dan solusi populasi ikan di zona cadangan ditentukan pada dua kondisi yang berbeda, yaitu pada kondisi tanpa pemanenan serta kondisi dengan pemanenan.
15 Dapat disimpulkan bahwa pada studi kasus simulasi numerik potensi Sardinella lemuru di Selat Bali, perlu dilakukan upaya pemanenan di zona noncadangan agar populasi ikan tidak melebihi daya dukung lingkungan. Selanjutnya, penentuan waktu pemanenan tersebut ditentukan berdasarkan nilai fungsi switching Saran Bahasan tentang simulasi numerik berkaitan erat dengan beberapa parameter dalam model. Karya ilmiah ini menggunakan nilai-nilai parameter tertentu dari sumber pustaka. Selain itu, digunakan pula nilai-nilai parameter yang ditentukan secara hipotetik. Nilai parameter hipotetik tersebut jelas kurang bisa menggambarkan kondisi yang sebenarnya. Oleh sebab itu, jika ingin memperoleh hasil yang akurat dalam menggambarkan keadaan yang sebenarnya, sebaiknya dipilih objek simulasi yang lebih tepat dan tanpa menggunakan nilai-nilai parameter yang hipotetik.
DAFTAR PUSTAKA Chaudhuri K. 1986. A bioeconomic model of harvesting a multispecies fishery. J Ecological Modelling. 32(4):267-279.doi:10.1016/0304-3800(86)90091-8. Chevny AA. 2013. Ikan lemuru terbatas, produksi pengalengan ikan turun. [diunduh 2014 Apr 3]. Tersedia pada: http://m.bisnis.com/industri/read/20131111/99/185702/ikan-lemuru-terbatasproduksi-industri-pengalengan-ikan-turun. Dubey B, Chandra P, and Sinha P. 2003. A model for fishery resource with reserve area. J Nonlinear Analysis: Real World Applications. 4:625637.doi:10.1016/S1468-1218(02)00082-2. Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equations and Their Aplication. Singapore (SG): McGraw-Hill Book Co. Fauzi A. 2004. Ekonomi Sumber Daya Alam dan Lingkungan. Jakarta (ID): PT Gramedia Pustaka Utama. Fauzi A. 2010. Ekonomi Perikanan. Jakarta (ID): PT Gramedia Pustaka Utama. Hendriyana A. 2013. Strategi ekonomi biru untuk tingkatkan produksi perikanan dan kelautan. [diunduh 2014 Mei 1]. Tersedia pada: http://www.unpad.ac.id/2013/10/strategi-ekonomi-biru-untuk-tingkatkanproduksi-perikanan-dan-kelautan/. Kamien MI, and Schwartz NL. 2012. Dynamic Optimization: The Calculus of Variations and Control Optimal in Economics and Management. Ed ke-2. Amsterdam (NL): Elsevier Science B. V. Kitabatake Y. 1982. A dynamic predator - prey model for fishery resources: a case of Lake Kasumigaura. J Environment and Planning A. 14(2):225-235. doi:10.1068/a140225. Pamungkas A. 2010. Integrasi perencanaan konvensional dengan perencanaan pesisir: bade kamana ?3. J Mitra Bahari. 4(2):42-54.
16 Ragozin DL, and Brown G. 1985. Harvest policies and nonmarket valuation in a predator-prey system. J Environmental Economics and Management. 12(2):155-168.doi:10.1016/0095-0696(85)90025-7. Setyohadi D. 2009. Studi potensi dan dinamika stok ikan lemuru (Sardinella lemuru) di selat bali serta alternatif penangkapannya. J Perikanan. 11(1):78-86. Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynmics and Chaos. Massachusetts (US): Perseus Books Publishing, L.L.C. Wagiantoro FA. 2014. Analisis Bioekonomi untuk Pengelolaan Sumber Daya Ikan Tembang (Sardinella fimbriata) yang Didaratkan di TPI Blanakan, Subang, Jawa Barat [Skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
17 Lampiran 1 Nilai-nilai parameter simulasi numerik No. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
Parameter
Nilai 50 65 20 25 0.00456 416,304.4 450,000 5,000,000 744,456 8
Satuan per tahun per tahun per tahun per tahun % per trip ton ton Rp/ton Rp/trip per tahun ton trip per tahun
Pustaka (Setyohadi 2009) Hipotetik Hipotetik Hipotetik (Setyohadi 2009) (Setyohadi 2009) Hipotetik (Chevny 2013) (Wagiantoro 2014) (Fauzi 2010) Hipotetik Hipotetik
18 Lampiran 2 Kode Matlab solusi numerik model tanpa pemanenan Function[X,Y,t]=fish_nocontrol(phi,theta,r1,r2,K,L,X0,Y0,t0,tf,n) h = (tf-t0)/n; X = zeros(1,n+1); Y = zeros(1,n+1); X(1) = X0; Y(1) = Y0; t = linspace(t0,tf,n+1); for i = 1:n n11 = phi*X(i)*(1-X(i)/K)-r1*X(i)+r2*Y(i); n12 = phi*(X(i)+h*n11/2)*(1-(X(i)+h*n11/2)/K) -r1*(X(i)+h*n11/2)+r2*(Y(i)+h*n11/2); n13 = phi*(X(i)+h*n12/2)*(1-(X(i)+h*n12/2)/K) -r1*(X(i)+h*n12/2)+r2*(Y(i)+h*n12/2); n14 = phi*(X(i)+h*n13)*(1-(X(i)+h*n13)/K) -r1*(X(i)+h*n13)+r2*(Y(i)+h*n13); n1 = (n11+2*n12+2*n13+n14)/6; n21 = theta*Y(i)*(1-Y(i)/L)+r1*X(i)-r2*Y(i); n22 = theta*(Y(i)+h*n21/2)*(1-(Y(i)+h*n21/2)/L) +r1*(X(i)+h*n21/2)-r2*(Y(i)+h*n21/2); n23 = theta*(Y(i)+h*n22/2)*(1(Y(i)+h*n22/2)/L) +r1*(X(i)+h*n22/2)-r2*(Y(i)+h*n22/2); n24 = theta*(Y(i)+h*n23)*(1-(Y(i)+h*n23)/L) +r1*(X(i)+h*n23)-r2*(Y(i)+h*n23); n2 = (n21+2*n22+2*n23+n24)/6; X(i+1) = X(i) + h*n1; Y(i+1) = Y(i) + h*n2; end
19 Lampiran 3 Kode Matlab solusi numerik model dengan pemanenan Function [X,Y,gamma1,gamma2,E,t,tau] = fish_withcontrol(phi,theta,r1,r2,K,L,p,q,c,d,Emax,Emin,X0,Y0,t0,tf ,n) tol error h t X Y gamma1 gamma2
= = = = = = = =
1e-6; tol + 1; (tf-t0)/n; linspace(t0,tf,n+1); zeros(1,n+1); zeros(1,n+1); zeros(1,n+1); zeros(1,n+1);
X(1) Y(1)
= X0; = Y0;
E E1 E1(1)
= zeros(1,n+1)+1; = zeros(1,n+1); = Emax;
while(error > tol) oldE = E; for i = 1:n n11 = phi*X(i)*(1-X(i)/K)-r1*X(i)+r2*Y(i)-q*E(i)*X(i); n12 = phi*(X(i)+h*n11/2)*(1-(X(i)+h*n11/2)/K) -r1*(X(i)+h*n11/2)+r2*(Y(i)+h*n11/2)-q*E(i)*(X(i)+h*n11/2); n13 = phi*(X(i)+h*n12/2)*(1-(X(i)+h*n12/2)/K) -r1*(X(i)+h*n12/2)+r2*(Y(i)+h*n12/2)-q*E(i)*(X(i)+h*n12/2); n14 = phi*(X(i)+h*n13)*(1-(X(i)+h*n13)/K) -r1*(X(i)+h*n13)+r2*(Y(i)+h*n13)-q*E(i)*(X(i)+h*n13); n1 = (n11+2*n12+2*n13+n14)/6; n21 = theta*Y(i)*(1-Y(i)/L)+r1*X(i)-r2*Y(i); n22 = theta*(Y(i)+h*n21/2)*(1-(Y(i)+h*n21/2)/L) +r1*(X(i)+h*n21/2)-r2*(Y(i)+h*n21/2); n23 = theta*(Y(i)+h*n22/2)*(1-(Y(i)+h*n22/2)/L) +r1*(X(i)+h*n22/2)-r2*(Y(i)+h*n22/2); n24 = theta*(Y(i)+h*n23)*(1-(Y(i)+h*n23)/L) +r1*(X(i)+h*n23)-r2*(Y(i)+h*n23); n2 = (n21+2*n22+2*n23+n24)/6; X(i+1) = X(i) + h*n1; Y(i+1) = Y(i) + h*n2; end for i = 1:n j = (n+1)-i; n11 = -exp(-d*t(j+1))*p*q*E(j+1)-gamma1(j+1) *(phi- 2*phi*X(j+1)/K-r1-q*E(j+1))-r1*gamma2(j+1); n12 = -exp(-d*(t(j+1)+h/2))*p*q*E(j+1)-(gamma1(j+1)+h*n11/2) *(phi-2*phi*(X(j+1)+h*n11/2)/K-r1- q*E(j+1)) -r1*(gamma2(j+1)+h*n11/2);
20 n13 = -exp(-d*(t(j+1)+h/2))*p*q*E(j+1)-(gamma1(j+1)+h*n12/2) *(phi-2*phi*(X(j+1)+h*n12/2)/K-r1-q*E(j+1)) -r1*(gamma2(j+1)+h*n12/2); n12 = -exp(-d*(t(j+1)+h/2))*p*q*E(j+1)-(gamma1(j+1)+h*n13) *(phi-2*phi*(X(j+1)+h*n13)/K-r1-q*E(j+1)) -r1*(gamma2(j+1)+h*n13); n1 = (n11+2*n12+2*n13+n14)/6; n21 = -r2*gamma1(j+1)-gamma2(j+1)*(theta-2*theta*Y(j+1)/L-r2); n22 = -r2*(gamma1(j+1)+h*n21/2) -(gamma2(j+1)+h*n21/2)*(theta-2*theta*Y(j+1)/L-r2); n23 = -r2*(gamma1(j+1)+h*n22/2) -(gamma2(j+1)+h*n22/2)*(theta-2*theta*Y(j+1)/L-r2); n24 = -r2*(gamma1(j+1)+h*n23) -(gamma2(j+1)+h*n23)*(theta-2*theta*Y(j+1)/L-r2); n2 = (n21+2*n22+2*n23+n24)/6; gamma1(j) = gamma1(j+1) - h*n1; gamma2(j) = gamma2(j+1) - h*n2; end tau = exp(-d*t).*(p*q*X-c)-q*gamma1.*X; for i = 2:n+1 if tau(i) > 0 E1(i) = Emax; elseif tau(i) == 0 E1(i) = (Emax-Emin)/2; else E1(i) = Emin; end end E = (E1+oldE)/2; error = sum(abs(oldE-E)) end
21 Lampiran 4 Kode Matlab plot solusi numerik close all clear all phi theta r1 r2 K L p q c d Emin Emax
= = = = = = = = = = = =
0.5; 0.65; 0.20; 0.25; 416304.4; 450000; 5000000; 0.0000456; 744456; 0.08; 0; 1970;
t0 = 0; tf = 50; n = 10000; X0 = 7500; Y0 = 9000; [X,Y] = fish_nocontrol(phi,theta,r1,r2,K,L,X0,Y0,t0,tf,n); [Xc,Yc,gamma1,gamma2,E,t,tau] = fish_withcontrol(phi,theta,r1,r2,K,L,p,q,c,d,Emax,Emin,X0,Y0,t0,tf ,n); plot(t,X,t,Xc,t,K*ones(1,n+1),'--','LineWidth',2); title('Populasi Ikan di Zona Noncadangan'); legend('solusi populasi ikan tanpa pemanenan','solusi populasi ikan dengan pemanenan',4); grid; xlabel('tahun'); ylabel('jumlah (ton)');axis([t0 tf 0 500000]); figure; plot(t,Y,t,Yc,t,L*ones(1,n+1),'--','LineWidth',2); title('Populasi Ikan di Zona Cadangan'); legend('solusi populasi ikan tanpa pemanenan','solusi populasi ikan dengan pemanenan',4); grid; xlabel('tahun'); ylabel('jumlah (ton)'); axis([t0 tf 0 500000]); figure; plot(t,E,'LineWidth',2); title('Kontrol Optimum (E)'); grid; xlabel('tahun'); figure; plot(t,gamma1,t,gamma2,'LineWidth',2); grid; title('Fungsi Adjoin (\gamma)'); legend('\gamma_1','\gamma_2'); figure; plot(t,tau,'LineWidth',2); title('Fungsi Switching (\tau)'); grid; xlabel('tahun'); ylabel('\tau');
22
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Garut pada tanggal 1 Januari 1992 dari ayah Saripudin dan ibu Wowon Nurhaida. Penulis adalah putra kedua dari lima bersaudara. Tahun 2010 penulis lulus SMA Negeri 1 Garut dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahun Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah mengikuti organisasi yaitu International Association of Agricultural and Related Science (IAAS) Local Committee (LC) IPB divisi Science and Technology. Penulis juga pernah menjadi penerima Beasiswa Bantuan Belajar Pemerintah Provinsi Jawa Barat pada tahun 2013. Selain itu, penulis juga pernah menjadi juara ke-1 Kompetisi Statistika Dasar IPB tahun 2013.
