Bab 2 TEORI KONTROL H

Bab 2 TEORI KONTROL H∞ Penempatan pole (Pole Placement) dan Linear Quadratic Regulator merupakan strategi-strategi klasik untuk mencari pengontrol dari sistem. Kelemahan dari strategistrategi ini adalah tidak dapat mengatasi ketidakpastian dari model sistem ataupun gangguan dari luar. Untuk mengatasi kelemahan-kelemahan ini muncullah teori kontrol modern seperti teori kontrol H∞ . Kelebihan dari teori kontrol H∞ ini adalah mampu mengurangi ketidakpastian dari model sistem ataupun gangguan dari luar. Karena alasan inilah, strategi untuk mencari pengontrol H∞ pada sistem manipulator fleksibel digunakan. Akan tetapi, sebelum menerapkan teori kontrol H∞ pada manipulator fleksibel, kita perlu mengetahui bagaimana mencari pengontrol H∞ ini. Oleh karena itu, pada Bab 2 ini akan dibahas mengenai konsep dasar dari teori kontrol H∞ . Konsep penting dari kontrol H∞ adalah Aljabar Riccati yang akan dibahas pada Subbab 2.2. Akan tetapi, sebelum membahas Aljabar Riccati terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai sistem dinamika linear pada Subbab 2.1 yaitu merupakan konsep dasar dalam teori kontrol. Sedangkan untuk teori kontrol H∞ akan dibahas pada Subbab 2.3.

4

BAB 2. TEORI KONTROL H∞

2.1

5

Sistem Dinamika Linear

Persamaan ruang keadaan (state space equation) dari suatu sistem dinamika dapat diekspesikan oleh persamaan diferensial berikut: x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), x(t0 ) = x0 ,

(2.1)

y(t) = Cx(t) + Du(t),

(2.2)

dengan x(t) ∈ Rn disebut state sistem, x(t0 ) disebut syarat awal dari sistem, u(t) ∈ Rm disebut input sistem, dan y(t) ∈ Rp disebut output sistem. Sedangkan A, B, C, dan D adalah matriks real konstan. Matriks transfer dari u(t) ke y(t) didefinisikan sebagai Y (s) = G(s)U(s), dengan U(s) dan Y(s) adalah hasil transformasi Laplace dari u(t) dan y(t) dengan syarat awal nol (x(0) = 0). Matriks transfer G(s) dari u(t) ke y(t) dapat diperoleh dengan melakukan transformasi Laplace pada persamaan (2.1) dan (2.2), diperoleh G(s) = C(sI − A)−1 B + D. Sistem persamaan (2.1) dan (2.2) dapat dituliskan ke dalam bentuk matriks sebagai berikut:

⎡ ⎣

⎤ x(t) ˙ y(t)

⎡

⎦=⎣

⎤⎡ A B C D

⎦⎣

⎤ x(t)

⎦.

u(t)

Untuk mempercepat perhitungan yang melibatkan matriks transfer, kita akan gunakan notasi sebagai berikut: ⎤ ⎡ A B ⎦ := C(sI − A)−1 B + D. ⎣ C D Selanjutnya akan diperkenalkan beberapa definisi yang cukup penting dalam teori kontrol H∞ [1]. Definisi 2.1 Sistem dinamika pada persamaan (2.1) atau sepasang matriks (A,B )


6

disebut terkontrol (controllable) jika untuk setiap state awal x(0) = x0 , t1 > 0 dan state akhir x1 terdapat (piecewise continues) input u(·) sedemikian sehingga solusi dari persamaan (2.1) memenuhi x(t1 ) = x1 . Definisi 2.2 Suatu sistem dinamika x(t) ˙ = Ax(t) dikatakan stabil jika semua nilai eigen dari A terletak pada setengah bidang kompleks buka sebelah kiri, yaitu Reλ(A) < 0. Matriks A dengan sifat tersebut dikatakan stabil atau Hurwitz. Sebaliknya, jika Reλ(A) > 0 maka matriks A dikatakan antistabil. Definisi 2.3 Sistem dinamika pada persamaan (2.1) atau sepasang matriks (A,B ) disebut terstabilkan (stabilizable) jika terdapat state feedback u = F x sedemikan sehingga sistem tersebut stabil (yaitu A + BF stabil). Definisi 2.4 Sistem dinamika pada persamaan (2.1) dan (2.2) atau sepasang matriks (C,A) disebut terobservasi (observable) jika untuk setiap t1 > 0, state awal x(0) = x0 dapat ditentukan dari time history dari input u(t) dan output y(t) dalam interval [0, t1 ]. Definisi 2.5 Suatu sistem, atau sepasang matriks (C,A) disebut terdeteksi (detectable) jika A+LC stabil untuk suatu L.

2.2

Operator Riccati

Misalkan A, Q, R matriks real berukuran n x n dengan Q dan R simetri, yaitu Q = Q∗ dan R = R∗ . Definisikan matriks Hamiltonian 2n x 2n : ⎤ ⎡ A R ⎦. H := ⎣ ∗ Q −A Asumsikan H tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner, maka H haruslah mempunyai n nilai eigen di Re s < 0 dan n nilai eigen di Re s > 0. Misalkan


7

χ− (H) adalah subruang spectral berdimensi n yaitu pembentuk subruang tersebut merupakan subruang invariant yang berkaitan dengan nilai-nilai eigen di Re s < 0. Dengan mencari basis dari χ− (H), kemudian menyusunnya menjadi sebuah matriks, dan mempartisi matriks tersebut, maka akan diperoleh ⎡ ⎤ X1 ⎦, χ− (H) = Im ⎣ X2 dengan X1 , X2 ∈ Cn×n . Jika X1 nonsingular, atau ekivalen dengan jika dua buah subruang

⎤

⎡ χ− (H), Im ⎣

0

⎦

(2.3)

I

saling komplementer, maka kita dapat memisalkan X := X2 X1−1 dan X ditentukan oleh H secara tunggal yaitu H → X adalah sebuah fungsi y, disimbolkan dengan Ric. Jadi, X = Ric (H ). Kita akan ambil domain dari Ric, disimbolkan dengan dom (Ric), terdiri dari matriks-matriks Hamiltonian H dengan dua buah sifat yaitu H tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner dan dua buah subruang pada (2.3) saling komplementer. Sifat yang pertama disebut sifat stabilitas dan sifat yang kedua disebut sifat kekomplementeran. Lemma 2.1 Misalkan H ∈ dom(Ric) dan X = Ric(H ). Maka 1. X simetri. 2. X memenuhi persamaan aljabar Riccati, yaitu A∗ X + XA + XRX − Q = 0. 3. A + RX stabil. Lemma 2.2 Misalkan H tidak mempunyai nilai-nilai eigen imajiner, R semidefinit positif atau semidefinit negatif, dan (A,R) terstabilkan maka H ∈ dom(Ric).


8

Lemma 2.3 Misalkan H mempunyai bentuk ⎤ ⎡ ∗ A −BB ⎦, H=⎣ −CC ∗ −A∗ dengan (A,B ) terstabilkan dan (C,A) terdeteksi . Maka H ∈ dom(Ric), X = Ric(H ) = 0, dan ker(X ) ⊂ χ.

2.3

Masalah Kontrol H∞

Salah satu pengukur unjuk kerja performance dalam teori kontrol optimal adalah menggunakan norm H∞ yang didefinisikan dalam suatu domain frekuensi untuk suatu matriks transfer stabil G(s), yaitu G∞ := sup σmax [G (jω)] (σmax := nilai singular maksimum). ω

Misalkan suatu sistem digambarkan oleh diagram blok sebagai berikut:

Gambar 2.1: Diagram blok dengan G adalah plant diperumum dan K adalah pengontrol (controller ). Plant diperumum terdiri dari plant suatu masalah kontrol ditambah dengan semua fungsi bobot untuk masalah kontrol tersebut. Sinyal w terdiri dari semua input dari luar, termasuk gangguan (disturbance) dan sensor noise; output z adalah sinyal error; y adalah variabel pengukur; dan u adalah input kontrol. Fungsi transfer lup tertutup dari w ke z dilambangkan dengan Tzw Plant diperumum G dan pengontrol K kita asumsikan real rasional dan proper. Model ruang keadaan untuk G dan K kita


9

asumsikan tersedia (available) dan realisasi dari model ruang keadaan kita asumsikan terstabilkan (stabilizable) dan terdeteksi (detectable). Realisasi matriks transfer G kita ambil berbentuk ⎡ A B1 B2 ⎢ ⎢ G(s) = ⎢ C1 0 D12 ⎣ C2 D21 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

dengan asumsi sebagai berikut: 1. (A,B1 ) terkontrol dan (C1 ,A) terobservasi. 2. (A,B2 ) terstabilkan dan (C2 ,A) terdeteksi. ∗ [C1 D12 ] = [0 I]. 3. D12 ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ 0 B1 ∗ ⎦ D21 = ⎣ ⎦. 4. ⎣ I D21

Asumsi (1) dan (2) dibuat untuk menjamin bahwa dua buah persamaan aljabar Riccati mempunyai solusi terstabilkan definit positif. Asumsi (2) merupakan syarat cukup dan syarat perlu untuk plant G agar terstabilkan secara internal. Misalkan realisasi pengontrol K dapat dituliskan sebagai berikut: ⎤ ⎡ ˆ ˆ A B ⎦. K(s) = ⎣ ˆ Cˆ D


10

Fungsi transfer lup tertutup dari w ke z yaitu Tzw dapat dicari dengan cara menuliskan G dan K kedalam persamaan ruang keadaan, sebagai berikut: ⎧ ⎪ ⎪ x˙ = Ax + B1 w + B2 u ⎪ ⎨ G(s) : z = C1 x + 0w + D12 u , ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ y = C x + D w + 0u 2

(2.4)

21

⎧ ⎨ v˙ = Av ˆ + By ˆ . K(s) : ⎩ u = Cv ˆ + Dy ˆ

(2.5)

Kemudian substitusikan u dari persamaan (2.5) kedalam persamaan (2.4), diperoleh ⎧ ⎪ ˆ + Dy) ˆ ⎪ x˙ = Ax + B1 w + B2 (Cv ⎪ ⎨ ˆ + Dy) ˆ , (2.6) z = C1 x + D12 (Cv ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ y =C x+D w 2 21 dengan mengeliminasi y pada persamaan (2.6) maka akan diperoleh ⎧ ⎨ x˙ = Ax + B w + B Cv ˆ + B2 D(C ˆ 2 x + D21 w) 1 2 , ⎩ z = C x + D Cv ˆ + D D(C ˆ x + D w) 1

atau

12

12

2

⎧ ⎨ x˙ = (A + B DC ˆ 2 )x + B2 Cv ˆ + (B1 + B2 DD ˆ 21 )w 2 . ⎩ z = (C + D DC ˆ )x + D Cv ˆ + D DD ˆ w 1

12

2

12

(2.7)

21

12

(2.8)

21

Selanjutnya substitusikan y dari persamaan (2.4) kedalam persamaan (2.5), diperoleh ˆ + B(C ˆ 2 x + D21 w) v˙ = Av ˆ 21 w ˆ + BC ˆ 2 x + BD = Av

.

(2.9)


11

Kita tuliskan persamaaan (2.8) dan (2.9) dalam bentuk matriks ⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎪ ˆ ˆ ˆ ⎪ x ˙ A + B x B DC C DD B + B 2 2 2 2 21 ⎪ ⎪ ⎣ ⎦=⎣ ⎦⎣ ⎦ + ⎣ 1 ⎦ w = AC x˜ + BC w ⎪ ⎪ ⎨ ˆ ˆ ˆ v˙ BC2 A v BD21 ⎡ ⎤ ⎪

x ⎪ ⎪ ⎪ ˆ 21 w = CC x˜ + DC w. ˆ ˆ z = C1 + D12 DC2 D12 C ⎣ ⎦ + D12 DD ⎪ ⎪ ⎩ v (2.10) Jadi, fungsi transfer lup tertutup dari w ke z adalah Tzw (s) = CC (sI − AC )−1 BC + DC .

(2.11)

Suatu sistem lup tertutup dikatakan stabil secara internal jika dan hanya jika nilainilai eigen dari

⎡ AC = ⎣

ˆ 2 B2 Cˆ A + B2 DC ˆ 2 BC

Aˆ

⎤ ⎦,

terletak pada setengah bidang kompleks buka kiri, yaitu Reλ(AC ) < 0. Suatu pengontrol dikatakan diperkenankan (admissible) jika pengontrol tersebut menyetabilkan sistem secara internal. Oleh karena itu, kestabilan adalah syarat paling dasar agar suatu sistem dapat bekerja. Secara umum masalah kontrol optimal H∞ dapat dinyatakan sebagai berikut : Kontrol Optimal H∞ : Mencari semua pengontrol K(s) yang diperkenankan sehingga Tzw ∞ minimum. Untuk kasus sistem MIMO (Multi Input Multi Output) pengontrol optimal H∞ tidaklah tunggal. Lebih jauh lagi bahwa mencari pengontrol optimal H∞ sangatlah rumit baik secara numerik maupun secara teoritis. Oleh karena itu, dalam praktiknya cukup dicari pengontrol dengan norm yang sangat dekat dengan norm pengontrol optimal. Pengontrol yang demikian disebut pengontrol suboptimal. Masalah kontrol suboptimal H∞ dapat dinyatakan sebagai berikut : Kontrol Suboptimal H∞ : Diberikan γ > 0, menentukan semua pengontrol yang


12

diperkenankan K(s), jika ada, sehingga Tzw ∞ < γ. Solusi dari H∞ terkait dengan dua matriks Hamiltonian sebagai berikut : ⎡ H∞ = ⎣

A

γ −2 B1 B1∗ − B2 B2∗

−C1∗ C1

∗

−A

⎡

⎤

⎦ , J∞ = ⎣

A∗

γ −2 C1∗ C1 − C2∗ C2

−B1 B1∗

−A

⎤ ⎦.

Teorema 2.1 Terdapat pengontrol yang diperkenankan sehingga Tzw ∞ < γ jika dan hanya jika tiga kondisi berikut dipenuhi: 1. Matriks Hamiltonian H∞ ∈ dom(Ric) dan Ric(H∞ ) > 0. 2. Matriks Hamiltonian J∞ ∈ dom(Ric) dan Ric(J∞ ) > 0. 3. ρ(X∞ Y∞ ) < γ 2 . Jika ketiga kondisi ini terpenuhi, salah satu pengontrol K mempunyai realisasi sebagai berikut:

⎡ Ksub(s) := ⎣

Aˆ∞

−Z∞ L∞

F∞

0

⎤ ⎦,

dengan Aˆ∞ := A + γ −2 B1 B1∗ X + B2 F∞ + Z∞ L∞ C2 ,

F∞ := −B2∗ X∞ ,

L∞ := −Y∞ C2∗ ,

Z∞ := (I − γ −2 X∞ Y∞ )−1 .

Untuk membuktikan Teorema 2.1 kita memerlukan beberapa lemma dan teorema pendukung. Lemma 2.4 Misalkan X ∈ Rn×n , Y ∈ Rn×n , dengan X = X ∗ > 0, dan Y = Y ∗ > 0. Misalkan r adalah bilangan bulat positif, maka terdapat matriks X12 ∈ Rn×r , X2 ∈ Rr×r X2 ∈ Rr×r sehingga X2 = X2∗ , ⎤

⎡ ⎣

X ∗ X12

X12 X2

⎡

⎦ > 0 dan ⎣

⎤−1 X

X12

∗ X12

X2

⎦

⎡ =⎣

Y

∗

∗ ∗

⎤ ⎦,


13

jika dan jika ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ X In X In ⎣ ⎦ ≥ 0 dan rank ⎣ ⎦ ≤ n + r. In Y In Y Bukti: ∗ . (⇐) Berdasarkan asumsi, terdapat matriks X12 ∈ Rn×r sehingga X −Y −1 = X12 X12

Definisikan X2 = Ir , maka bukti telah lengkap. (⇒) Gunakan Schur Complement, ∗ ∗ Y = X −1 + X −1 X12 (X2 − X12 X −1 X12 )−1 X12 X −1 ,

invers-kan persamaan diatas diperoleh ∗ Y −1 = X − X12 X2−1 X12 . ∗ ∗ ≥ 0 dan rank(X − Y −1 ) = rank(X12 X2−1 X12 ) ≤ r. Jadi, X − Y −1 = X12 X2−1 X12

Lemma 2.5 (Bounded Real Lemma) Misalkan ⎡ A γ > 0, G(s) = ⎣ C ⎡

dan

H := ⎣

−1

∗

A + BR D C

⎤ B

⎦

D −1

BR B

∗

−C ∗ (I + DR−1 D ∗ )C −(A + BR−1 D ∗ C)∗

⎤ ⎦,

dengan R = γ 2 I − D ∗ D, maka pernyataan- pernyataan berikut ekivalen: 1. G∞ < γ. 2. σ ¯ (D) < γ dan H tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner. 3. σ ¯ (D) < γ dan H∈ dom(Ric). 4. σ ¯ (D) < γ dan H∈ dom(Ric) dan Ric(H) = 0 (Ric(H ) > 0 jika (C,A) terobservasi).


14

5. σ ¯ (D) < γ dan terdapat X ≥ 0 sehingga X(A + BR−1 D ∗ C) + (A + BR−1 D ∗ C)∗ X + XBR −1 B ∗ X + C ∗ (I + DR−1 D ∗ )C = 0 dan A + BR−1 D ∗ C + BR−1 B ∗ Xtidak mempunyai nilai eigen di sumbu imajiner. 6. σ ¯ (D) < γ dan terdapat X > 0 sehingga X(A + BR−1 D ∗ C) + (A + BR−1 D ∗ C)∗ X + XBR −1 B ∗ X + C ∗ (I + DR−1 D ∗ )C < 0. 7. Terdapat X > 0 sehingga ⎡ XA + A∗ X XB C ∗ ⎢ ⎢ ⎢ B∗X −γI D∗ ⎣ C D −γI

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ < 0. ⎦

Lemma 2.5 Terdapat pengontrol yang diperkenankan berorde r sehingga Tzw ∞ <γ hanya jika tiga kondisi berikut dipenuhi : 1. Terdapat Y1 > 0 sehingga AY1 + Y1 A∗ + Y1 C1∗ C1 Y1 /γ 2 + B1 B1∗ − γ 2 B2 B2∗ < 0. 2. Terdapat X1 > 0 sehingga X1 A + A∗ X1 + X1 B1 B1∗ X1 /γ 2 + B1 B1∗ − γ 2 C2∗ C2 < 0. ⎡ 3. ⎣

⎤ X1/γ

In

In

Y1/γ

⎤

⎡

⎦ ≥ 0, rank ⎣

X1/γ

In

In

Y1/γ

⎦ ≤ n + r.

Bukti: Misalkan terdapat pengontrol K(s) berorde r sehingga Tzw ∞ < γ. Misalkan K(s) mempunyai realisasi ruang keadaan sebagai berikut: ⎡ ⎤ ˆ ˆ A B ⎦ K(s) = ⎣ ˆ Cˆ D


15

Fungsi transfer lup tertutup dari z ke w pada persamaan (2.11) dapat dituliskan sebagai ⎡ Tzw

⎢ ⎢ =⎢ ⎣

ˆ 2 A + B2 DC

B2 Cˆ

ˆ 21 B1 + B2 DD

ˆ 2 BC

Aˆ

ˆ 21 BD

ˆ 2 C1 + D12 DC

D12 Cˆ

ˆ 21 D12 DD

⎤

⎡ ⎥ AC ⎥ ⎥ =: ⎣ ⎦ CC

⎤ BC

⎦.

DC

Misalkan ˜ = γ 2 I − Dc DC∗ . R = γ 2 I − DC∗ Dc , R ⎤

⎡ ˜ =⎣ Berdasarkan bounded real lemma, terdapat X

X1

X12

∗ X12

X2

⎦ > 0 sehingga

˜ + XB ˜ C R−1 B ∗ X ˜ + C∗ R ˜ −1 CC < 0. ˜ C + BC R−1 D ∗ CC ) + (AC + BC R−1 D ∗ CC )∗ X X(A C C C C (2.12) Setelah melalui beberapa manipulasi aljabar, diperoleh X1 A + A∗ X1 + X1 B1 B1∗ X1 /γ 2 + C1∗ C1 − γ 2 C2∗ C2 ˜ + X12 B ˜ + γ 2 C ∗ )(γ 2 I − D ˜ −1 (X1 B1 D ˜ + X12 B ˜ + γ 2 C ∗ )∗ < 0, ˜ ∗ D) +(X1 B1 D 2 2 yang mengakibatkan bahwa X1 A + A∗ X1 + X1 B1 B1∗ X1 /γ 2 + C1∗ C1 − γ 2 C2∗ C2 < 0. Dipihak lain, misalkan ˜ −1 , Y˜ = γ 2 X dan partisi Y sebagai

⎤

⎡ Y˜ = ⎣

Y1

Y12

Y12∗

Y2

⎦ > 0,

maka ˜ −1 CC Y˜ + BC R−1 B ∗ < 0. (AC + BC R−1 DC∗ CC )Y˜ + Y˜ (AC + BC R−1 DC∗ CC )∗ + Y˜ CC∗ R C (2.13)


16

Ini memberikan AY1 + Y1 A∗ + B1 B1∗ X1 − γ 2 B2 B2∗ + Y1 C1∗ C1 Y1 /γ 2 ˜ ∗ + Y12 C˜ ∗ + γ 2 B2 )(γ 2 I − D ˜ ∗ + Y12 C˜ ∗ + γ 2 B2 )∗ < 0, ˜D ˜ ∗ )−1 (Y1 C ∗ D +(Y1 C1∗ D 1 yang mengakibatkan bahwa AY1 + Y1 A∗ + B1 B1∗ X1 − γ 2 B2 B2∗ + Y1 C1∗ C1 Y1 /γ 2 < 0. Berdasarkan Lemma 2.4, diberikan X1 > 0 dan Y1 > 0 terdapat X12 dan X2 sehingga −1 ˜ −1 atau Y /γ = X/γ : Y = γ 2 X ⎤−1

⎡ ⎣

X1 /γ

X12 /γ

∗ /γ X12

X2 /γ

⎦

⎡ =⎣

Y1 /γ ∗ ∗

∗

⎤ ⎦

jika dan hanya jika ⎤

⎡ ⎣

X1 /γ

In

In

Y1 /γ

⎡

⎦ ≥ 0, rank ⎣

⎤ X1 /γ

In

In

Y1 /γ

⎦ ≤ n + r.

Untuk menunjukkan peridaksamaan pada lemma terakhir termasuk eksistensi dari solusi stabil persamaan Riccati X∞ dan Y∞ , kita memerlukan teorema berikut. Teorema 2.2 Misalkan R ≥ 0 dan andaikan (A, R) terkontrol dan terdapat X = X* sehingga ϑ(X) := XA + A∗ X + XRX + X < 0,

(2.14)

maka terdapat solusi X+ > X untuk persamaan Riccati X+ A + A∗ X+ + X+ RX+ + Q = 0,

(2.15)

sehingga A+ RX+ antistabil. Bukti: Misalkan R = BB ∗ untuk suatu B. Perhatikan bahwa (A, R) terkontrol jika dan


17

hanya jika (A, B) terkontrol. Misalkan X sedemikian sehingga ϑ(X) < 0. Karena (A, B) terkontrol maka terdapat F0 sehingga A0 := A − BF0 antistabil. Misalkan X0 = X0∗ adalah solusi tunggal untuk persamaan Lyapunov X0 A0 + A∗0 X0 − F0∗ F0 + Q = 0. Definisikan Fˆ0 := F0 + B ∗ X, maka kita mempunyai persamaan berikut : (X0 − X)A0 + A∗0 (X0 − X) = Fˆ0∗ − ϑ(X) > 0. Karena A0 antistabil, ini mengakibatkan X0 > X. Kita mulai dengan X0 , definisikan barisan tak turun matriks Hermitian {Xi }. Berkaitan dengan {Xi}, kita definisikan juga barisan matriks antistabil {Ai } dan barisan matriks {Fi }. Asumsikan secara induktif bahwa kita telah mendefinisikan matriks {Xi }, {Ai }, dan {Fi } untuk i sampai n − 1 sehingga Xi Hermitian dan X0 ≥ X1 ≥ · · · ≥ Xn−1 > X, Ai = A − BFi antistabil, i = 0, . . . , n − 1;

Fi = −B ∗ Xi−1 , i = 1, . . . , n − 1; Xi Ai + A∗i Xi = Fi∗ Fi − Q, i = 0, 1, . . . , n − 1. Selanjutnya, kita perkenalkan Fn = −B ∗ Xn−1 , An = A − BFn .

(2.16)


18

Pertama kita tunjukkan bahwa An antistabil. Gunakan persamaan (2.16) dengan i = n-1, kita peroleh Xn−1 An + A∗n Xn−1 + Q − Fn∗ Fn − (Fn − Fn−1 )∗ (Fn − Fn−1 ) = 0.

(2.17)

Misalkan Fˆn∗ := Fn + B ∗ X, maka (Xn−1 − X)An + A∗n (Xn−1 − X) = −ϑ(X) + Fˆn∗ Fˆn + (Fn − Fn−1 )∗ (Fn − Fn−1 ) > 0, (2.18) ini mengakibatkan bahwa An antistabil menurut teorema Lyapunov karena Xn−1 − X > 0. Sekarang kita perkenalkan Xn sebagai solusi tunggal dari persamaan Lyapunov : Xn An + A∗n Xn = Fn∗ Fn − Q,

(2.19)

maka Xn Hermitian. Selanjutnya kita mempunyai (Xn − X)An + A∗n (Xn − X) = −ϑ(X) + Fˆn∗ Fˆn > 0, Dengan menggunakan persamaan (2.17), (Xn−1 − Xn )An + A∗n (Xn−1 − Xn ) = (Fn − Fn−1 )∗ (Fn − Fn−1 ) > 0. Karena An antistabil maka Xn−1 ≥ Xn > X. Kita mempunyai barisan tak turun {Xi }, dan barisan terbatas dibawah oleh Xi > X. Oleh karena itu, limit X+ := lim Xn n→∞

ada dan Hermitian, dan kita mempunyai X+ > X. Kita ambil limit n → ∞ pada persamaan (2.18) kita peroleh ϑ(X+ ) = 0. Jadi, X+ adalah solusi dari persamaan (2.15). Perlu dicatat bahwa X+ − X ≥ 0 dan (X+ − X)A+ + A∗+ (X+ − X) = −ϑ(X) + (X+ − X)R(X+ − X) > 0.

(2.20)


19

Jadi, X+ − X > 0 dan A+ = A + RX+ stabil. Bukti (Teorema 2.1): (⇒) 1. Karena Tzw ∞ < γ maka berdasarkan Bounded Real Lemma H∞ ∈ dom(Ric). Selanjutnya dengan menggunakan lemma 2.6 bagian (1), kita peroleh bahwa terdapat Y1 > 0 sehingga AY1 + Y1 A∗ + Y1 C1 C1∗ Y1 /γ 2 + B1∗ B1 − γ 2 B2∗ B2 < 0. Dengan menggunakan Teorema (2.2) dapat disimpulkan bahwa terdapat Y > Y1 > 0 sehingga AY + Y A∗ + Y C1 C1∗ Y /γ 2 + B1∗ B1 − γ 2 B2∗ B2 = 0

(2.21)

dan A∗ + C1∗ C1 Y /γ 2 antistabil. Misalkan X∞ = γ 2 Y −1 , karena Y > 0 maka X∞ > 0. Kalikan persamaan (2.21) dengan Y −1 dari kanan dan dengan X∞ dari kiri, maka diperoleh X∞ A + A∗ X∞ + X∞ (B1 B1∗ /γ 2 − B2 B2∗ )X∞ + C1 C1∗ = 0.

(2.22)

Persamaan (2.22) dapat dituliskan sebagai −1 X∞ . X∞ A + X∞ (B1 B1∗ /γ 2 − B 2 B2∗ )X∞ = −A∗ X∞ − C1∗ CX∞

(2.23)

Kalikan persamaan (2.23) dengan X −1 , diperoleh −1 ∗ −1 ∗ −1 A + (B1 B1∗ /γ 2 − B 2 B2∗ )X∞ = −X∞ A X∞ − X∞ C1 CX∞ X∞ .

(2.24)

−1 > 0, sedangkan A∗ + C1∗ C1 Y /γ 2 antistabil, maka Karena X∞ > 0 maka X∞ −1 (A∗ + C1∗ CY /γ 2 )X∞ < 0. Jadi, A + A∗ + C1∗ C1 Y /γ 2 > 0, sehingga −X∞

(B1 B1∗ /γ 2 − B 2 B2∗ )X∞ stabil. 2. Dengan cara yang sama pada bagian (1) diperoleh bahwa H∞ ∈dom(Ric) dan berdasarkan Lemma 2.6 bagian (2) dan Teorema 2.2 dapat disimpulkan bahwa


20

terdapat X > X1 > 0 sehingga XA + A∗ X + XB1 B1∗ X/γ 2 + C1∗ C1 − γ 2 C2∗ C2 = 0 dan A + B1 B1∗ X/γ 2 antistabil. Misalkan Y∞ = γ 2 X −1 , kita peroleh AY∞ + Y∞ A∗ + Y∞ (C1∗ C1 /γ 2 − C2∗ C2 )Y∞ + B1 B1∗ = 0

(2.25)

danA + (C1∗ C1 /γ 2 − C2∗ C2 )Y∞ stabil. Jadi, Y∞ = Ric(H∞ ) > 0. 3. Berdasarkan Lemma (2.6) bagian (3) diperoleh ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ −1 X/γ In X/γ In In γY∞ ⎦=⎣ ⎦>⎣ ⎦≥0 ⎣ −1 In γX∞ In Y /γ In Y1 /γ ⎡ Karena ⎣

⎤

γY∞−1

In

In

−1 γX∞

⎦ > 0 dan γY∞−1 > 0 maka berdasarkan Schur Complement

kita peroleh γY∞−1 − In γ −1 X∞ In > 0 atau ρ(X∞ Y∞ ) < γ 2 . (⇐) Untuk melengkapi bukti, kita hanya perlu menunjukkan bahwa pengontrol Ksub (s) yang diberikan pada Teorema 2.1 mengakibatkan Tzw ∞ < γ. Perhatikan fungsi transfer lup tertutup dari w ke z (dengan Ksub diberikan), ⎤ ⎡ ⎡ B1 A B2 F∞ ⎥ ⎢ AC ⎥ ⎢ Tzw = ⎢ −Z∞ L∞ C2 Aˆ∞ −Z∞ L∞ D21 ⎥ =: ⎣ ⎦ ⎣ CC C1 D12 F∞ 0 Definisikan

⎡ P =⎣

γ

2

Y∞−1

∗ γ 2 (Z∞ ) Y∞−1

−γ

2

−1 Y∞−1 Z∞

−1 γ 2 Y∞−1 Z∞

⎤ ⎦,

maka P>0 dan P AC + A∗C P + P BC BC∗ P/γ 2 = 0.

⎤ BC DC

⎦.


21

Selain itu, ⎡ AC + BC BC∗ P/γ 2 = ⎣

A+

B1 B1∗ Y∞−1 0

B2 F∞ −

−1 B1 B1∗ Y∞−1 Z∞

A + B1 B1∗ X∞ /γ 2 + B2 F∞

⎤ ⎦

tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner karena A + B1 B1∗ X∞ /γ 2 + B2 F∞ stabil dan A+B1 B1∗ Y∞−1 antistabil. Berdasarkan Bounded Real Lemma maka Tzw ∞ < γ. Teorema 2.1 menunjukkan eksistensi dari pengontrol H∞ dan juga menjelaskan mengenai langkah-langkah untuk mencari pengontrol H∞ . Masalah selanjutnya adalah bagaimana menerapkan pengontrol H∞ ini pada sistem manipulator fleksibel. Untuk menerapkan kontrol H∞ ini maka perlu dibuat model matematika dari sistem manipulator fleksibel kemudian mendesain sistem kontrolnya.

Bab 2 TEORI KONTROL H

Recommend Documents