BAB 2 TEORI-TEORI PENDUKUNG

BAB 2 TEORI-TEORI PENDUKUNG

Untuk lebih memahami isi dari tulisan ini dibutuhkan beberapa pengetahuan tentang konsep, formula, dan definisi yang berhubungan dengan rancangan jaringan distribusi. Secara keseluruhan konsep, formula dan definisi berdasarkan tulisan Anton J. Kleywegt (2006). Daganzo (1978) menganggap permintaan banyak asal ke banyak tujuan sebagai suatu sistem yang responsif, misalnya taksi paling banyak satu kali permintaan per waktu dan bus yang memungkinkan beberapa permintaan yang akan diangkut per waktu. Daganzo memodelkan tiga algoritma yang membahas tentang rute dan approximate expressions yang diperoleh dari waktu tunggu rata-rata dan waktu setiap kali pelanggan naik ke dalam kenderaan. Operasi distribusi berlangsung berulang kali dalam jangka waktu. Dimisalkan, O adalah titik asal dan D adalah titik tujuan. Diberikan beberapa asumsi: 1. Setiap pengiriman dilakukan melalui satu terminal dari titik asal ke titik tujuan. 2. Dalam satu periode waktu tertentu, pengiriman dimulai dari terminal (barangbarang tetap diambil dari daerah asal) ke tujuan dan kembali lagi ke terminal dimana kenderaan berada, dengan kata lain barang dipindahkan dari titik asal O yang ditetapkan ke himpunan tujuan D. Daganzo dan Hall (1993) membahas perkiraan biaya rute kenderaan untuk melakukan pengambilan dan pengiriman barang, dimana pengiriman telah selesai sebelum pengambilan dilakukan. Diasumsikan pengambilan dan pengiriman terdistribusi merata pada wilayah yang telah dipartisi menjadi approximate rectangles dan tidak terikat pada jumlah rute pengambilan.

6 Universitas Sumatera Utara

7 Blumenfeld (1985) menjelaskan ekspresi biaya pada kasus-kasus sebagai berikut: 1. Pengiriman langsung dari satu asal ke satu tujuan. 2. Pengiriman langsung dari banyak asal ke satu tujuan. 3. Pengiriman langsung dari satu asal ke banyak tujuan. 4. Pengiriman langsung dari banyak asal ke banyak tujuan. 5. Pengiriman dari banyak asal ke banyak tujuan dengan semua beban bergerak dan dimana rute tidak dianggap. 6. Pengiriman dari banyak asal ke banyak tujuan dengan beberapa beban bergerak langsung dari asal ke tujuan. Berikut akan diberikan beberapa definisi yang diperlukan untuk meminimalkan biaya. Diberikan sebuah himpunan berhingga jalur-jalur (Ω). Misalkan ∃ω ∈ Ω dengan probabilitas atau bobot sebesar p(ω). Himpunan Ω menunjukkan probabilitas distribusi yang masuk atau dapat diperoleh dari probabilitas yang masuk dengan sampling atau dapat juga merupakan perbedaan prediksi jalur pada periode waktu. Diberikan sebuah pertidaksamaan: ∀ω ∈ Ω, qij (ω) ≥ 0 yaitu menunjukkan jumlah barang per periode waktu yang harus pindah dari titik asal i ∈ O ke tujuan j ∈ D pada ω. Setiap kenderaan memiliki kapasitas yang sama Qv . Himpunan terminal yang ada dinotasikan dengan XE , dan terminal potensial oleh XP . Dari pernyataan tersebut, dapat dibuat suatu persamaan: ∀ terminal m ∈ X := XE ∪ XP

Universitas Sumatera Utara

8 Diberikan Cm yang menunjukkan perbedaan biaya per periode waktu antara terminal m yang beroperasi dengan terminal m yang tidak beroperasi. Diberikan dij menunjukkan biaya untuk memindahkan kenderaan dari titik asal i ke titik tujuan j , dengan asumsi biaya berpindahnya kenderaan tidak tergantung pada beban yang dibawa. Notasi Cv menunjukkan biaya per periode waktu untuk setiap kenderaan berdasarkan tiap terminal, baik kenderaan yang digunakan atau tidak, dan cv untuk setiap kenderaan yang digunakan selama periode waktu, tidak tergantung oleh jarak yang ditempuh oleh kenderaan. Hall (1993) menganggap desain banyak asal ke banyak tujuan sebagai angkutan jaringan distribusi di area lokal, seperti daerah metropolitan. Area tersebut memiliki satu gerbang terminal yang terletak di pusat, dimana semua pengiriman ke dan dari lokasi tersebut akan melewatinya. Berikut akan diberikan beberapa definisi mengenai terminal yang berpotensi untuk dibuka pada semua jalur. Diambil variabel keputusan um yang menunjukkan terminal m yang terbuka untuk semua jalur, yaitu:  1, jika m ∈ χ terbuka um := 0, jika lainnya

(2.1)

Variabel keputusan integer nvm menyatakan jumlah kenderaan yang ditugaskan ke terminal m. Untuk setiap jalur ω ∈ Ω, akan diputuskan cara untuk memindahkan setiap pengiriman dari asal ke tujuan melalui terminal terbuka. Artinya, untuk setiap pasangan asal-tujuan (i , j ) ∈ O × D dengan qij > 0, akan ditentukan terminal terbuka yang digunakan dalam pengiriman dan akan diputuskan masalah rute yang akan dipakai.

Universitas Sumatera Utara

9 Diberikan variabel keputusan biner zijm (ω) yang menunjukkan pengiriman dari i ke j melalui terminal m, yaitu:

zijm

  1, jika terminal m ∈ χ digunakan dalam perpindahan    := pengiriman dalam rute ω ∈ Ω     0, jika lainnya

(2.2)

zijm menunjukkan bahwa penugasan terminal dari asal ke tujuan bervariasi sesuai rute. Jika pengangkutan dari asal ke tujuan melalui terminal harus sama untuk semua rute, maka syarat perlu variabel zijm tidak bergantung pada ω. Pada bab ini hanya untuk menentukan bahwa τ (O0, D0 , Q0, d 0 , nv ) menunjukkan biaya optimum dari masalah rute dengan jumlah kenderaan tertentu pada suatu terminal. Dimisalkan, O0 ⊂ O untuk daerah asal dan D0 ⊂ D untuk daerah tujuan. Diberikan beberapa asumsi: 1. Jumlah yang harus dijemput dan dikirimkan diberikan oleh (1+|O 0|+|D0 |)

Q 0 ∈ R+

(dimana untuk setiap asal i ∈ O0 , Q0 menunjukkan kuan-

titas yang akan diambil dari terminal dan disampaikan di j ). 2. Biaya perpindahan kenderaan antara terminal, asal dan tujuan diberikan 0

0

2

oleh d 0 ∈ R(1+|O| +|D |) . 3. nv adalah kenderaan dengan kapasitas Qv masing-masing. Berdasarkan asumsi di atas, dapat diperoleh beberapa persamaan dari fungsi τ dan bergantung pada variabel keputusan pada Persamaan (3.2), yaitu : ∀m ∈ X dan z m (ω) ∈ {0, 1}|O×|D| diambil,
 P Om z m (ω) := i ∈ O : j ∈D zijm (ω) > 0

(3.3)


 P Dm z m (ω) := j ∈ D : i∈O zijm (ω) > 0

(3.4)

Universitas Sumatera Utara

10
P m m m m m Qm i z (ω), ω := j ∈Dm (z (ω))qij (ω)zij (ω), untuk i ∈ O (z (ω)) (3.5)
P m m m m m Qm j z (ω), ω := i∈O m (z (ω))qij (ω)zij (ω), untuk j ∈ D (z (ω)) (3.6)



 m m Qm z m (ω), ω := Qm z m (ω) ∪ Dm z m (ω) i z (ω), ω : l ∈ O

(3.7)




 d m z m (ω), ω := di j : i , j ∈ Om z m (ω) ∪ Dm z m (ω) ∪ {m}

(3.8)

Dari Persamaan (3.3)-(3.8) diperoleh fungsi objektif yang memberikan rencana biaya minimum dari distribusi untuk rute yang diberikan oleh terminal terbuka ω yang ditentukan oleh u, ukuran armada angkutan yang ditentukan oleh nv , dan rute dari asal ke tujuan yang ditentukan q(ω). Fungsi objektif: min{ u,nv

P

m∈X (cm um

+ Cv nvm ) +

P

ω∈Ω p(ω)V (u, nv , ω)}

(3.9)

dengan u ∈ {0, 1}|X | dan nv ∈ N|X | dimana, V (u, nv , ω) := min Z (ω)

X

m∈X


τ Om (z m (ω) , Dm (z m (ω)),

Qm (z m (ω), ω)d m (z m (ω)), nvm




(3.10)

dengan kendala, m m∈X zij (ω) = I{qij ω>0} zijm (ω) ≤ um zijm (ω) ∈ {0, 1}

P

, untuk semua i ∈ O, j ∈ D

(3.11)

, untuk semua i ∈ O, j ∈ D, m ∈ X

(3.12)

, untuk semua i ∈ O, j ∈ D, m ∈ X

(3.13)

Pada Persamaan (3.7) jumlah yang harus dijemput dan ditunjukkan dalam periode waktu pada rute ω ditentukan oleh daerah asal dan daerah tujuan qij (ω). Jadi interpretasi yang dapat diambil dari Formulasi (3.10)-(3.13) yaitu untuk mengantarkan barang-barang yang diperoleh dari periode waktu sebelumnya dan kemudian untuk mengambil dan selanjutnya membawa barang-barang tersebut untuk diangkut ke terminal yang akan disampaikan pada perode waktu berikutnya. Jika rute daerah asal ke daerah tujuan bervariasi setiap minggu, ma-

Universitas Sumatera Utara

11 ka jumlah total barang yang di jemput pada minggu tertentu tidak sama dengan jumlah total yang sama di antar pada minggu yang lainnya. Berdasarkan penjelasan di atas dan Formulasi (3.3)-(3.13) dapat didefinisikan fungsi τ . Fungsi τ merupakan kemungkinan beberapa kenderaan untuk mengunjungi daerah asal atau daerah tujuan selama periode waktu, dan pengiriman akan selesai sebelum pengambilan dilakukan dalam satu rute. Dengan menetapkan daerah asal O0 , daerah tujuan D0 , jumlah barang yang akan diambil dan dikirimkan ditunjukkan oleh Q0, biaya berpindahnya kenderaan antara daerah asal, daerah tujuan dan terminal yang dilewati diberikan oleh d 0 , dan nv0 kenderaan dengan kapasitas Qv . Dimisalkan 0 menyatakan terminal. Diberikan V 0 := {0} ∪ O0 ∪ D0 yang menyatakan himpunan titik-titik. Karena pengiriman harus diselesaikan sebelum pengambilan yang dilakukan pada rute, maka himpunan feasible arc pada rute adalah A0 := {(i , j ) ∈ (V 0)2 \ O0 × D0 : i 6= j Diberikan variabel keputusan sebagai berikut:  1, jika kenderaan k digunakan vk := 0, lainnya xijk

 1, jika kenderaan k berpindah pada arc (i , j ) := 0, lainnya

aik ≥ 0, jumlah barang yang diambil pada i jika i ∈ O0 atau jumlah barang yang diantar ke i jika i ∈ D0 , dengan kenderaan k.

Universitas Sumatera Utara

12 Dari definisi fungsi τ dan penjelasan di atas, diperoleh: τ (O0 , D0 , Q0, d 0 , nv ) := min

P Pnv0

x ,v ,a (i,j )∈A0

0 k =1 dij xijk

+ cv

Pnv0

k =1 vk

(3.14)

dengan kendala, P

{j :(j ,i)∈A xjik

=

P

{j :(j ,i)∈A} xijk

, untuk semua i ∈ O0 ∪ D0 , k ∈ {1, ..., nv0 } (3.15)

P aik ≤ ( {j :(j ,i)∈A} xijk )Qv P i∈D0 aik ≤ Qv vk P i∈O 0 aik ≤ Qv vk Pnv0 0 k =1 aik = Qi Pnv0 0 k =1 ajk = Qj P {(i,j )∈A:i,j ∈S} xjik ≤ |S| − 1

, untuk semua i ∈ O0 ∪ D0 , k ∈ {1, ..., nv0 } (3.16)

vk ∈ {0, 1}

, untuk semua k ∈ {1, ..., nv0 }

(3.22)

xijk ∈ {0, 1}

, untuk semua (i , j ) ∈ A,k ∈ {1, ..., nv0 }

(3.23)

aik ≥ 0

, untuk semua i ∈ O0 ∪ D0 , k ∈ {1, ..., nv0 } (3.24)

, untuk semua k ∈ {1, ..., nv0 }

(3.17)

, untuk semua k ∈ {1, ..., nv0 }

(3.18)

, untuk semua i ∈ O0

(3.19)

, untuk semua j ∈ D , untuk semua k ∈

0

(3.20)

{1, ..., nv0 }, S

⊂O

0

atau S ⊂ D0 , |S| = 6 2

(3.21)

Fungsi τ yang diberikan dalam Formulasi (3.14)-(3.24), fungsi objektif (3.9) beserta kendalanya (3.11)-(3.13) dapat diformulasikan sebagai bentuk two-stage mixed integer linear program. Laporte (1988) membahas tentang masalah optimasi yang menggabungkan kedua sarana lokasi dan rute kenderaan serta memberikan gambaran dari kedua algoritma branch and bound yang tepat, dan heuristic untuk sejumlah masalah sarana lokasi yang spesifik khusus kasus komoditas tunggal yaitu semua pengiriman dianggap sebagai produk yang sama, sehingga pengiriman barang diambil dari asal tetapi tidak memiliki tujuan. Namun, Laporte juga tidak mempertimbangkan pengiriman pada rute yang sama. Selanjutnya, Laporte, dkk (1989) kembali mengusulkan integer programming models of stochastic untuk masalah lokasi rute dan ukuran kenderaan. Berikut akan diberikan contoh dari masalah yang akan dibahas dan dapat diselesaikan dengan software yang tersedia. Diberikan 5 titik asal, 5 titik tujuan, 3 calon terminal dan 1 jalur. Contoh tersebut dapat diselesaikan dengan software

Universitas Sumatera Utara

13 yang tersedia, tetapi jika diberikan 6 titik asal, 6 titik tujuan, 3 calon terminal dan 1 jalur, maka contoh tersebut tidak dapat diselesaikan dengan software yang tersedia. Hal tersebut diakibatkan karena memori komputer tidak cukup untuk menyelesaikan masalah Branch and Bound. Dari contoh tersebut, untuk merancang jaringan distribusi dengan pola banyak asal ke banyak tujuan maka fungsi objektif pada Formulasi (3.9) akan diperbaiki dengan menyederhanakan masalah rute kenderaan pada Formulasi (3.11)(3.13). Selanjutnya akan dijelaskan faktor-faktor yang penting dalam rancangan jaringan distribusi. Faktor-faktor yang diperlukan dalam merancang jaringan distribusi yaitu: 1. Pilih jumlah terminal. 2. Tentukan lokasi terminal. 3. Tentukan jumlah lokasi pada setiap terminal. Berdasarkan faktor-faktor di atas, Formulasi (3.9) dapat dituliskan kembali menjadi min∗

minP

N ∈z u∈{0,1}|X | :

min {

P

um =N nv ∈N|X | m∈X

(cm um + Cv nvm ) +

P

p(ω)V (u, nv , ω)}

ω∈Ω

m∈X

= min∗ f (N )

(3.26)

N ∈z

dimana, f (N ) := min∗

min P

N ∈z u∈z ∗|X | :

min {

um =N nv ∈N| X | m∈X

m∈X

+

P

P

p(ω)V (u, nv , ω)}

(cm um + Cv nvm )

(3.27)

ω∈Ω

dengan z ∗ = {1, 2, ...}. Jika memilih N jumlah terminal, maka yang harus diperhatikan bagaimana op-

Universitas Sumatera Utara

14 timisasi bergantung pada N . Oleh karena itu, akan diberikan suatu pendekatan untuk memilih jumlah N terminal, yaitu pendekatan yang bergantung pada N . Dimisalkan lokasi yang paling mungkin dipilih sebagai terminal (biasanya lokasi dengan nilai cm paling kecil) memiliki biaya tetap yang sama cm ≈ c. P Kemudian m∈X (cm um ) pada fungsi objektif (3.9) diganti dengan cN . Jumlah P kenderaan yang dibutuhkan m∈X nvm dapat diperkirakan dengan data rute dan PP kapasitas kenderaan. Misalnya, max qij (ω)/Qv maka biaya total kenderaan ω∈Ω i∈O j ∈D P tetap Cv nvm tidak tergantung pada jumlah N terminal yang dipilih. Pemilim∈X

han jumlah kenderaan yang optimal nvm dari setiap terminal masing-masing akan

diselesaikan pada bagian berikutnya. Selanjutnya pendekatan yang tersisa dari fungsi objektif, yaitu min

min P

N ∈{1,2,...} u∈{1,2,...}|X | :

m∈X um =N

min

P

nv ∈N| X | ω∈Ω

p(ω)V (u, nv , ω),

dengan, ¯ := V

P

ˆ (N , ω). p(ω)V

ω∈Ω

Maka diperoleh formulasi pendekatan dari fungsi objektif, yaitu ¯ (N )} min {fˆ(N ) := cN + V

N ∈{1,2,...}

(3.28)

Newell (1973) menjelaskan penggunaan metode continuous approximation (CA) untuk memberikan pemahaman tentang perilaku kualitatif berbagai masalah optimasi diskrit serta menemukan solusi masalah tersebut. Kemudian, Dasci dan Verter (2001) mengembangkan sebuah continuous approximation (CA) yang dibutuhkan untuk ukuran area layanan atau ekuivalen terhadap kepadatan terminal yang akan dipilih pada setiap titik di wilayah tersebut. Selanjutnya, Ouyang dan Daganzo (2006) mengusulkan sebuah algoritma untuk mengkonversi ukuran area pelayanan sebagai fungsi dari titik di dalam suatu daerah untuk solusi dengan lokasi terminal diskrit. Ouyang dan Daganzo juga mengevaluasi perbedaan antara biaya yang dihasilkan oleh metode continuous approximation (CA) dengan biaya yang dihasilkan oleh algoritma mereka.

Universitas Sumatera Utara

15 Selanjutnya, Ahuja (1993) dan Bazaara (1977) juga memberikan referensi tentang teori rancangan distribusi.

Universitas Sumatera Utara