Bab II Teori Pendukung
2.1. Dasar Statistika Untuk keperluan penaksiran outstanding claims liability, pengetahuan dalam statistika menjadi hal yang penting. Dasar statistika yang digunakan dalam tesis ini antara lain : 1. Distribusi normal Sebuah peubah acak X dikatakan berdistribusi normal dengan mean µ dan variansi σ 2 jika mempunyai pdf f ( x) =
1 2π σ
e
1 x−µ 2 ) − ( 2 σ
, σ > 0.
2. Distribusi lognormal Sebuah peubah acak X dikatakan berdistribusi lognormal dengan parameter µ dan σ 2 jika Y = log X berdistribusi normal dengan mean µ dan variansi σ 2 . Untuk distribusi lognormal bentuk pdfnya seperti
g ( x) =
1 2π σx
−
e
1 2σ 2
(log x − µ ) 2
, x > 0.
mean dan varian distribusi lognormal mempunyai bentuk
E( X ) = e
µ+
σ2 2
Var ( X ) = e 2 µ e σ [e σ − 1]. 2
,
2
3. Regresi linier sederhana Didefinisikan sebagai hubungan keterkaitan antara respon variabel Y dengan variabel independen X melalui persamaan Y = α + βX + ε
dengan α dan β adalah intercept dan slope parameters dan ε adalah peubah acak yang diasumsikan berdistribusi normal dengan E (ε) = 0 dan Var (ε) = σ 2 . Ukuran σ 2 sering dikatakan juga variansi error.
5
4. Model regresi linier menggunakan matriks Ketika menjumpai model regresi linier yang mempunyai jumlah variabel lebih dari 2, pengetahuan tentang teori matriks sangat membantu dalam hal manipulasi matematika. Misal suatu percobaan mempunyai k variabel bebas X 1 , X 2 ,..., X k dan n variabel tak bebas Y1 , Y2 ,..., Yn yang dapat dinotasikan dengan persamaan
Yi = β0 + β1 X 1i + β2 X 2i + ... + βk X ki + εi dengan menggunakan notasi matriks persamaan di atas dapat ditulis menjadi r r r Y = Xβ + ε dengan ⎡Y1 ⎤ r ⎢Y ⎥ Y = ⎢ 2⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣Yn ⎦
⎡1 X 11 ⎢1 X 12 X=⎢ ⎢M M ⎢ ⎣1 X 1n
X k1 ⎤ L X k 2 ⎥⎥ L M ⎥ ⎥ L X kn ⎦
X 21 L X 22 M X 2n
⎡β0 ⎤ ⎢β ⎥ r ⎢ 1⎥ β = ⎢β2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢M⎥ ⎢⎣βk ⎥⎦
dalam tesis ini nantinya matriks X di atas dikenal juga sebagai matriks desain.
2.2. Run-off triangle Data
Umumnya penaksiran outstanding claims liability untuk asuransi long-tailed business didasarkan pada run-off triangle data. Run-off triangle data memuat data klaim keseluruhan (aggregate). Data yang ada dalam run-off triangle biasanya merupakan salah satu dari dua kemungkinan berikut, yaitu claims amount (besarnya klaim) atau number of claims (banyaknya klaim), dimana keduanya tersaji dalam bentuk incremental atau cumulative. Jika datanya adalah claims amount, maka run-off triangle data umumnya berisikan paid claims data, yaitu data klaim yang sudah dibayarkan. Untuk lebih fokus, dalam bahasan selanjutnya hanya akan digunakan claims amount (besarnya klaim). Misalkan Dij menyatakan peubah acak besarnya klaim (dalam bentuk incremental) untuk klaim-klaim yang terjadi pada accident period i dan dibayarkan pada development period j, dimana 1 ≤ i ≤ n , dan 1 ≤ j ≤ n . Peubah acak Dij dengan i + j ≤ n + 1 merupakan data
yang diamati sedangkan yang lainnya merupakan pengamatan-pengamatan yang
6
akan datang atau merupakan klaim-klaim yang belum terselesaikan (outstanding
claims) dan berada dalam future triangle. Tabel II.1 mengilustrasikan run-off triangle dan future triangle dalam bentuk incremental, dimana baris menunjukkan accident period, kolom menunjukkan development period, sedangkan diagonal (kiri bawah sampai kanan atas) merepresentasikan pembayaran klaim dalam setiap
Dij (untuk i + j ≤ n + 1 )
payment period. Run-off triangle data adalah sel-sel
yang berwarna putih dan berada dalam segitiga atas pada tabel II.1. Sedangkan
future triangle data adalah sel-sel Dij (untuk i + j ≥ n + 1 ) yang berwarna abuabu dan berada dalam segitiga bawah pada tabel II.1.
Tabel II.1 Run-off triangle data dalam bentuk incremental
Development period
Accident 1
2
K
j
K
n −1
n
1
D11
D12
K
D1 j
K
D1n −1
D1n
2
D21
D22
K
D2 j
K
D2 n −1
D2 n
M
M
M
M
M
N
N
M
i
Di1
Di 2
K
Dij
N
Din −1
Din
M
M
M
N
N
M
M
M
n −1
Dn −11
Dn −12
N
K
Dn −1n −1
Dn −1n
n
Dn1
Dn 2
K
K
Dnn −1
Dnn
period
Run-off triangle data dalam bentuk cumulative, Cij , dapat dibentuk berdasarkan incremental, Dij , melalui hubungan berikut j
Cij = ∑ Dik
untuk 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ n , dan i + j ≤ n + 1
k =1
Cij dapat dinyatakan sebagai besarnya klaim kumulatif untuk klaim-klaim yang
terjadi pada accident periode i
dan dibayarkan sampai dengan development
period j. Besarnya klaim kumulatif sampai dengan development periode n, yaitu
7
n
Cin = ∑ Dik ; untuk i = 2,3,..., n k =1
disebut sebagai ultimate claims (Mack,1993). Run-off triangle data dalam bentuk kumulatif disajikan dalam tabel II.2.
Tabel II.2. Run-off triangle data dalam bentuk cumulative
Development period
Accident 1
2
K
j
K
n −1
n
1
C11
C12
K
C1 j
K
C1n −1
C1n
2
C 21
C 22
K
C2 j
K
C 2 n −1
C 2n
M
M
M
M
M
N
N
M
i
C i1
Ci2
K
C ij
N
C in −1
C in
M
M
M
N
N
M
M
M
n −1
C n −11
C n −12
N
K
C n −1n −1
C n −1n
n
C n1
Cn2
K
K
C nn −1
C nn
period
Outstanding claims liability untuk accident period i ( Ri ) didefinisikan sebagai Ri =
n
∑D
k = n + 2 −i
; untuk i = 2,..., n
ik
atau Ri = C in − C i ,n +1−i
; untuk i = 2,..., n
Dengan perkataan lain, outstanding claims liability untuk accident period i merupakan penjumlahan sel-sel Dij dibaris i yang ada pada future triangle. Sedangkan total outstanding claims liability ( R ) didefinisikan sebagai penjumlahan outstanding claims liability untuk semua accident period i ( i =2,...,n), yaitu n
R=∑ i =2
8
n
∑D
k = n + 2 −i
ik
Dengan kata lain, total outstanding claims liability ( R ), merupakan jumlah semua Dij dalam future triangle. Dalam praktek, outstanding claims liability perlu
ditaksir menggunakan informasi dari run-off triangle data. Misalkan Dˆ ij merupakan penaksir untuk Dij yang ada dalam future triangle, maka outstanding claims liability untuk accident period i ditaksir oleh, Rˆi =
n
∑ Dˆ
k = n + 2−i
; untuk i = 2,..., n
ik
dan total outstanding claims liability ditaksir oleh, n
Rˆ = ∑ i =2
9
n
∑ Dˆ
k = n + 2 −i
ik
