Bab 2 Teori Pendukung 2.1
Sistem Bonus Malus
Sistem bonus malus Belgia mulai diterapkan tahun 1971 terdiri dari 18 kelas. Tahun 1995, sistem bonus malus menjadi 23 kelas (Tabel 2.1), C = {0,1,… , 22} .
Tabel 2.1 Sistem Bonus Malus Belgia Kelas 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11
Premi 200 160 140 130 123 117 111 105 100 95 90 85
Kelas 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Premi 81 77 73 69 66 63 60 57 54 54 54
Lemaire (1995;4) menjelaskan bahwa sistem bonus malus merupakan sistem yang memberikan penalti kepada pemegang polis apabila terjadi sekurang-kurangnya satu klaim dengan menaikkan premi di periode berikutnya dan memberikan penghargaan berupa penurunan premi jika tidak klaim atau mengajukan sedikit klaim. Pemegang polis dikelompokkan ke dalam satu kelas premi tertentu ( C , T ) dengan C = {C1 ,… , C j } ,
{ ( )} . T
T = Tk = tij ( k )
k
merupakan aturan transisi yang menentukan perpindahan pemegang
polis dari kelas yang satu ke kelas yang lain bila terjadi k klaim. Aturan ini diperkenalkan pada bentuk transformasi Tk = tij ( k ) , yang menjadi
( )
Tk (i ) = j jika polis berpindah dari kelas C i ke dalam kelas C j jika klaim ke- k
⎧1, jika Tk (i ) = j dilaporkan. Tk juga dapat dituliskan dalam bentuk sebuah matriks Tk = ⎨ . ⎩0, jika Tk (i ) ≠ j Pemegang polis bisa pindah ke kelas yang atas atau ke kelas yang bawah dari kelas sebelumnya. Lemaire (1995) melaporkan aturan transisi sistem bonus-malus Belgia 1995 (Tabel 2.2).
Tabel 2.2 Transisi Markov Sistem Bonus Malus Belgia
Kelas
Premi
0
22 21.0 21.1 20.0 20.1 20.2 19.0 19.1 19.2 19.3 18.0 18.1 18.2 18.3 17 17.2 17.3 16 16.3 15
200 160 160 140 140 140 130 130 130 130 123 123 123 123 117 117 117 111 111 105
21.1 20.1 20.2 19.1 19.2 19.3 18.1 18.2 18.3 14 17 17.2 17.3 14 16 16.3 14 15 14 14
Kelas setelah k klaim 1 2 Klaim 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 21.0 22 21.0 22 21.0 22 20.0 22 20.0 22 19.0 22
3
4
>4
22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22
22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22
22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
100 95 90 85 81 77 73 69 66 63 60 57 54 54 54
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0
18.0 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4
22 22 21.0 20.0 19.0 18.0 17 16 15 14 13 12 11 10 9
22 22 22 22 22 22 22 21.0 20.0 19.0 18.0 17 16 15 14
22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 21.0 20.0 19.0
22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22
Dari tabel 2.2, jika pemegang polis pertama kali masuk di kelas 14 dengan nilai premi 100 dan di tahun pertama pemegang polis tidak mengajukan klaim,maka di tahun berikutnya pemegang polis akan pindah ke kelas 13 dengan premi 95, akan tetapi jika mengajukan 1 klaim maka akan pindah ke kelas 18.0 dengan premi 123. Dari aturan transisi pada Tabel 2.2 terlihat besarnya bonus terhadap premi ketika pemegang polis tidak mengajukan klaim atau mengajukan sedikit klaim yaitu 95 ×100% = 5% dan dari Tabel 2.2 bisa dilihat juga besarnya penalti atau malus ketika 100 pemegang polis mengajukan sedikit klaim atau banyak klaim yaitu sebesar 100 ×100% = 18, 6% . 123 Peluang transisi pij(λ ) adalah peluang pergerakan polis dari kelas tarif C i ke
C j dalam satu periode tertentu, untuk setiap pemegang polis dikarakterisasikan oleh ∞
parameter λ , dengan intensitas pij (λ ) = ∑ p k (λ )t ij(k ) dengan p k (λ ) merupakan peluang k =0
∞
tertanggung mengajukan k klaim.
Matriks M (λ ) = ( pij (λ )) = ∑ p k (λ )Tk dinamakan k =0
matriks peluang transisi. Sistem bonus malus merupakan sistem penentuan premi bagi para pemegang polis jika: 1. Portfolio dapat dikelompokkan menjadi kelas-kelas tertentu sehingga premi setiap periode tergantung dari kelas dimana pemegang polis berada pada periode tersebut. 2. Kelas yang sebenarnya digambarkan secara unik oleh kelas periode sebelumnya dan banyaknya klaim yang terjadi selama periode tersebut.
2.2
Pemodelan Number of Claims
Binomial Negatif
Misalkan N ( t ) menyatakan banyaknya klaim dalam selang ( 0, t ) dan misalkan N (t ) Λ ∼ P ( Λ )
Λ ∼ G ( a,τ ) ,
dengan
⎛ k + a − 1⎞ ⎛ τ ⎞ ⎛ 1 P ( N (t ) = k ) = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎝ k ⎠ ⎝ 1+τ ⎠ ⎝ 1+τ Λ N ( t ) = k ∼ G ( a + k ,τ + t ) , dengan k a
maka
k
⎞ ⎛ 1 ⎞ dan posterior ⎟ ∼ BN ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 1+τ ⎠ menyatakan banyaknya klaim yang dicover oleh
perusahaan asuransi dan a menyatakan banyaknya klaim yang tidak dicover ke perusahaan asuransi. Distribusi N ( t ) untuk model binomial negatif adalah k +a ⎛ τ ⎞ P ( N ( t ) = k + 1) = P ( N (t ) = k ) , P ( N (t ) = 0) = ⎜ ⎟ ( k + 1)(1 + τ ) ⎝ 1+τ ⎠
Premi model binomial negatif adalah Pt +1 ( k1 ,… , kt ) =
100
a
a+k τ + t = 100 τ ( a + k ) , a a (τ + t )
τ
dengan Pt +1 ( k1 ,… , kt ) adalah premi pada selang waktu t + 1 dengan pengalaman mengemudi
( k1 ,… , kt ) ,
E ⎡Λ ⎣ k1 ,… , kt ⎤⎦ =
a+k τ +t
100 adalah premi dasar yang ditentukan sebelumnya,
merupakan ekspektasi distribusi posterior dari Λ dengan
pengalaman mengemudi ( k1 ,… , kt ) dan
a
τ
adalah expected income perusahaan asuransi
per pemegang polis. Poisson-Inverse Gaussian
Selain model binomial negatif, pemodelan banyaknya klaim untuk portofolio asuransi yang heterogen dapat juga dimodelkan dengan model Poisson-Inverse Gaussian. Jika prior Λ ∼ IG ( g , h ) maka posterior Λ N ( t ) ∼ PIG m = g , σ 2 = g (1 + h ) . Distribusi
(
)
marginal N ( t ) untuk Poisson-Inverse Gaussian adalah: P ( N (t ) = 0) = e
1⎤ g⎡ ⎢1− (1+ 2 h ) 2 ⎥ h⎣ ⎦
;
P ( N ( t ) = 1) = gp0 (1 + 2h ) 2 , (1 + 2h ) k ( k − 1) ; −
1
P ( N ( t ) = k ) = h ( k − 1)( 2k − 3) P ( N ( t ) = k − 1) + g 2 P( N ( t ) = k − 2) k = 2,3,…
Premi model Poisson-Inverse Gaussian Q0 (u ) = 1 , Qk (u ) =
⎛μ⎞ Pt +1 ( k1 ,… , kt ) = μ Qk ⎜ ⎟ , dengan ⎝β ⎠
2k − 1 1 + . u Qk −1 (u )
Good-risk/bad-risk Pada model Good-risk/Bad-risk, portofolionya terdiri dua kategori a1 "good" drivers Poisson ( λ1 ) dan a2 = 1 − a1 "bad" drivers Poisson ( λ2 ). Distribusi marginal N ( t ) untuk Good-risk/Bad-risk adalah:
P ( N ( t ) = k ) = a1
λ1k e − λ
1
k!
+ a2
λ2 k e − λ
2
k!
Premi model Good-risk/Bad-risk adalah: Pt +1 (k1 ,… , k t ) = (1 + α ){a1 (k1 , …, k t )λ1 + [1 − a1 (k1 , …, k t )]λ 2 } , 1 dengan a1 (k1 ,… , k t ) = k ( 1 − a1 ) ⎛ λ 2 ⎞ −t (λ2 −λ1 ) ⎜ ⎟ e 1+ a1 ⎜⎝ λ1 ⎟⎠ 2.3
Simulasi sistem bonus malus
Untuk menghasilkan data klaim asuransi kecelakaan mobil, tesis ini menerapkan metode simulasi invers (Ross, 1997) yang akan menghasilkan data peubah acak N ( t ) , P ( N ( t ) = k ) , k = 0,1, 2,3, 4, > 4 dengan mengenerate 106974 angka acak U ( 0,1)
{
}
dan N ( t ) :
⎧ ⎪0, u ≤ P ( N ( t ) = 0 ) ⎪ k ⎪ k −1 N ( t ) = ⎨k , ∑ P ( N ( t ) = i ) < u ≤ ∑ P ( N ( t ) = i ) , k = 1, 2,3, 4 i =0 ⎪ i 4 ⎪ ⎪> 4, u > ∑ P ( N ( t ) = i ) i =0 ⎩
