Bab 2 Teori Pendukung 2.1
Pendahuluan
Untuk mengekspresikan perhitungan tentang nilai tunai (cash value) yang dipengaruhi oleh prospektif mortality diperlukan teori-teori pendukung sehingga dalam perhitungannya berdasar pada teori tersebut dan diberikan uraian sebagai berikut.
2.2
Future Life Time
Misalkan seseorang berusia x tahun, dinotasikan sebagai (x), maka seseorang tersebut mempunyai sisa umur (future lifetime), T (x), mempunyai variabel acak yang kontinu terhadap selang waktu sehingga ia akan meninggal pada usia x + T (x). sebagai variabel acak, T mempunyai fungsi distribusi sebagai
4
2.2. Future Life Time
5
berikut: F (t) = Pr(T (x) =
t qx
,t
t) 0:
(2.1)
dimana : F (t) = =
Peluang (x) akan meninggal dalam periode t tahun Pr((x) akan meninggal sebelu mencapai usia t tahun)
sehingga dapat diberikan : F (t) = Pr(T (x) = =
t)
t qx
s(x)
s(x + t) s(x) s(x + t) s(x)
= 1 dimana : t qx
= probabilitas (x) akan meninggal dalam kurun waktu t tahun.
Sekarang diberikan fungsi distribusi S(t) adalah sebagai berikut : S(t) = Pr((x) akan hidup dalam periode t tahun = Pr(T (x) > t); t = 1
Pr(T (x)
= 1
F (t)
= 1
1
s(x + t) s(x) = t px =
0
t)
s(x + t) s(x)
(2.2) (2.3) (2.4)
2.2. Future Life Time
6
dimana : t px
= probabilitas (x) akan bertahan hidup sedikitnya hingga t tahun.
Untuk perihal diskrit, diberikan simbol K(x) dengan diberikan penjelasan bahwa K(x) adalah bilangan integer terbesar dari T (x): Secara informal K(x) adalah menyatakan berapa kali lagi ulang tahun yang bisa dirayakan oleh (x) sebelum ia meninggal dunia, dengan fungsi distribusi sebagai berikut: Pr[K(x) = k] = Pr[k
T (x) < k + 1
= Pr[k < T (x) = = = = = =
k px
k+1
px s(x + k) s(x + k + 1) s(x) s(x) s(x + k) s(x + k + 1) s(x) s(x + k) s(x + k) s(x + k + 1) : s(x) s(x + k) k px :qx+k k jqx
k+1
, k = 0; 1; 2; 3; :::
(2.5)
Adapun didalam pembentukan life tabel terdapat lx yaitu jumlah sekelompok orang hidup pada usia x , hubungan dengan fungsi distribusinya adalah: lx = l0 . s(x) atau secara umum lx+t = l0 . s(x + t)
2.3. Bunga Majemuk
2.3
7
Bunga Majemuk
Metode pembungaan majemuk adalah salah satu metode pembungaan dimana bunga yang dihasilkan pada setiap akhir periode ditambahkan kepada modal sehingga diperoleh modal baru yang akan dibungakan lagi satu periode berikutnya dan demikian seterusnya sampai dengan akhir suatu periode yang ditentukan.Dalam metode pembungaan majemuk dide…niskan beberapa hal: Faktor akumulasi dari pembungaan majemuk dide…nisikan (1 + i)1 dan faktor diskonto (v) adalah: v = (1 + i) 1 = 1+i
1
(2.6)
serta tingkat diskonto (d) adalah : d = 1
v
i 1+i = iv
=
2.4
(2.7)
Asuransi Jiwa
Asuransi jiwa adalah suatu bentuk transfer atas suatu resiko kerugian …nansial yang disebabkan oleh kematian atas diri seseorang dari …hak tertanggung kepada …hak penanggung, dimana kerjasama antara tertanggung dan penanggung tersebut ditandai dengan diterbitkannya polis asuransi.
2.4. Asuransi Jiwa
2.4.1
8
Asuransi Jiwa Kontinu
Adalah suatu model asuransi jiwa yang mana santunan akan diberikan seketika apabila tertanggung meninggal dunia. Beberapa model asuransi jiwa kontinu yang antara lain asuransi jiwa seumur hidup, asuransi jiwa berjangka, asuransi jiwa dwiguna dan beberapa model asuransi jiwa lainya. Pada penulisan tesis ini asuransi jiwa dengan santunan akan diberikan seketika apabila tertanggung meninggal tidak dibahas, namun penulis maksudkan untuk memberikan pengertian bahwa salah satu model pemberian maanfaat asuransi ada yang kontinu.
2.4.2
Asuransi Jiwa Diskrit
Dalam model asuransi jiwa kontinu tersebut diatas diberikan asumsi bahwa pembayaran santunan dilaksanakan segera setelah tertanggung meninggal dunia. Sedangkan untuk asuransi jiwa diskrit adalah suatu model pembayaran santunan yang diberikan pada akhir periode dimana tertanggung meninggal dunia. Berikut diberikan beberap model asuransi jiwa diskrit. Asuransi Jiwa Seumur Hidup Adalah suatu pertanggungan asuransi dimana manfaat akan diberikan jika tertanggung meninggal dunia selama jangka waktu asuransi (seumur hidup) dan diberikan pada akhir periode dimana tertanggung meninggal dunia. Nilai tunai pembayaran santunan sebesar Rp 1 dinyatakan dengan notasi premi tunggal neto untuk asuransi ini adalah Ax dan dinyatakan dengan Ax =
1 X k=0
v k+1 k px qx+k
2.5. Anuitas
9
Asuransi Jiwa Berjangka Adalah suatu pertanggungan asuransi dimana manfaat akan diberikan jika tertanggung meninggal dunia selama jangka waktu asuransi ( n tahun ) dan diberikan pada akhir periode dimana tertanggung meninggal dunia. Nilai tunai pembayaran santunan sebesar Rp 1 dinyatakan dengan notasi premi tunggal neto asuransi berjangka adalah Ax:ne dan dinyatakan dengan 1
Ax:ne = 1
n 1 X
v k+1 k px qx+k
k=0
Asuransi Jiwa Dwiguna Adalah suatu pertanggungan asuransi dimana manfaat akan diberikan jika tertanggung meninggal dunia selama jangka waktu asuransi (n tahun) atau tertanggung hidup sampai dengan akhir jangka waktu asuransi . Nilai tunai pembayaran santunan sebesar Rp 1 dinyatakan dengan notasi premi tunggal neto asuransi dwiguna adalah Ax:ne dan dinyatakan dengan Ax:ne =
n 1 X
v k+1 k px qx+k + v n k px
k=0
2.5
Anuitas
Anuitas adalah suatu rangkaian pembayaran yang sifatnya periodik, dengan pembayaran setiap periode tertentu dilakukan dalam jangka waktu tertentu. Rangkaian pembayaran tersebut apabila dilakukan pada awal periode disebut anuitas awal (annuity due), adapun total nilai sekarang (present value) dari anuitas awal dengan pembayaran n tahun diberikan notasi a •ne adalah sebagai
2.5. Anuitas
10
berikut: a •ne = 1 + v + v 2 + ::: + v n 2 + v n 1 1 vn , dengan (2.6), maka = 1 v 1 vn a •ne = d Sedangkan rangkaian pembayaran yang dilakukan pada akhir setiap periode pembayaran disebut anuitas akhir (annuity immediate), present value dari anuitas akhir adalah sebagai berikut : ane = v + v 2 + v 3 + ::: + v n
ane
1
+ vn
= v 1 + v + v 2 + ::: + v n 2 + v n 1 1 vn = v , dengan (2.6), maka 1 v 1 vn = v iv n 1 v = i
Adapun anuitas hidup adalah rangkaian pembayaran yang dilakukan dengan syarat anuitan masih hidup. Berikut diberikan beberapa jenis anuitas hidup antara lain :
2.5.1
Anuitas Kehidupan Seumur Hidup
Adalah rangkaian pembayaran yang dilakukan setiap awal periode selama anuitan masih hidup, dan nilai sekarang dari pembayaran anuitas hidup setiap awal tahun sebesar 1 seumur hidup untuk orang berusia x adalah sebagai
2.5. Anuitas
11
berikut: a •x = = =
1 X
k=0 1 X
k=0 1 X
(1 + v + v 2 + ::: + v k )P (K = k) (1 + v + v 2 + ::: + v k )(k px
k+1
px )
(1 + v + v 2 + ::: + v k )(k px
k+1
px ) + (1 + v + v 2 + ::: + v n 1 )n px
k=0
= 1(0 px
a •x
1
px ) + (1 + v)(1 px
2
px ) + (1 + v + v 2 )(2 px
3
px ) + :::
= 1 + v 1 px + v 2 2 px + ::: 1 X v k k px = k=0
2.5.2
Anuitas Kehidupan Berjangka
Adalah rangkaian pembayaran yang dilakukan setiap awal periode selama jangka waktu tertentu, dan nilai sekarang dari pembayaran anuitas hidup setiap awal tahun sebesar 1 selama jangka waktu (misal jangka n ) untuk orang berusia x adalah sebagai berikut: a •x:ne =
n 1 X
(1 + v + v 2 + ::: + v k )P (K = k) +
k=0
+ =
1 X
(1 + v + v 2 + :v n 1 )P (K = k)
k=n n 1 X
(1 + v + v 2 + ::: + v k )(k px
k+1
px )
k=0
+(1 + v + v 2 + ::: + v n 1 )
1 X k=n
P (K = k)
2.6. Premi
=
12
n 1 X
(1 + v + v 2 + ::: + v k )(k px
k=0 n 2
v
k+1
+ v n 1 )n px
= 1(0 px
1
px ) + (1 + v)(1 px
2
px ) + (1 + v + v 2 )(2 px
+(1 + v + v 2 + ::: + v n 1 )(n 1 px +v n
a •x:ne
px ) + (1 + v + v 2 + :::
2
n
3
px ) + :::
px ) + (1 + v + v 2 +
+ vn 1)
= 1 + v 1 px + v 2 2 px + ::: + v n n 1 X v n n px =
2
n 2 px
+ vn
1
n 1 px
k=0
2.6
Premi
Premi adalah suatu jumlah tertentu yang harus dibayarkan oleh pihak tertanggung kepada pihak penanggung (perusahaan asuransi) yang dimana dengan hal tersebut pihak penanggung memberikan jaminan atas suatu resiko …nansial yang disebabkan oleh kematian pihak tertanggung dengan ditandai diterbitkannya suatu polis asuransi sebagai tanda dari perjanjian dimaksud. Dalam pola pembayaran premi dimaksud ada beberapa model yang dikenal sebagai contoh premi tunggal neto (net single premiums) dimana yang dimaksud dengan premi tunggal adalah pembayaran premi asuransi yang dilakukan pada waktu kontrak asuransi disetujui, dan selanjutnya tidak ada pembayaran premi lagi sampai dengan waktu kontrak asuransi berakhir, atau dengan cara dibayarkan secara berkala (misal bulanan, tahunan ) dengan jumlah yang tetap dalam setiap pembayaran sering disebut ( net level premium) dan masih banyak modi…kasi pola pembayaran premi dimaksud. Untuk mencari premi neto tahunan didapat dari prinsip kesetaraan pada awal asuransi yakni
2.7. Cadangan (Reserve)
13
"nilai sekarang dari premi neto tahunan yang akan dibayarkan pada masa yang akan datang selama masa pembayaran premi = nilai sekarang bene…t yang akan dibayarkan pada masa yang akan datang selama masa asuransi". Dengan diberikan notasi Px =
Ax a •x
(2.8)
dimana Px = Premi neto tahunan Ax = Nilai sekarang dari bene…t asuransi sebesar 1 dan a •x = Nilai sekarang dari anuitas hidup awal dari pembayaran sebesar 1 setiap awal tahun. sebagaimana prinsip dari kesetaraan dimaksud ( 2.8 ), maka untuk premi tunggal sebesar nilai dari nilai sekarang dari bene…t asuransi adalah Ax a •x = Ax , dimana a •x = 1
Px = Px a •x
P x = Ax
2.7
Cadangan (Reserve)
Cadangan (reserve) adalah suatu jumlah dana yang harus disediakan oleh suatu perusahaan asuransi sehingga dengan dana dimaksud perusahaan asuransi dapat memenuhi kewajibannya kepada pemegang polis. Karena hal tersebut adalah suatu kewajiban perusahaan maka jumlah tersebut bukanlah sebagai aset perusahaan. Dalam literatur didapatkan model perhitun-
2.7. Cadangan (Reserve)
14
gan cadangan terdiri dari dua cara yakni cadangan retrospektif dan cadangan prospektif. Cadangan retrospektif adalah model perhitungan cadangan yang berdasarkan jumlah total pendapatan diwaktu yang lalu sampai saat dilakukan perhitungan dikurangi dengan jumlah pengeluaran diwaktu yang lalu untuk setiap pemegang polis. t Vx
= Px :t ux
t
kx
dimana t Vx
=
cadangan premi pada akhir tahun ke t untuk asuransi seumur hidup untuk setiap peserta yang masuk pada usia x
Pxt ux = t kx
=
nilai tunai santunan sampai dengan tahun ke t nilai tunai pengeluaran sampai akhir tahun ke t
Cadangan prospektif adalah model perhitungan cadangan berdasarkan pada nilai sekarang dari semua pengeluaran yang akan datang dikurangi dengan nilai sekarang dari total pendapatan pada waktu yang akan datang untuk setiap pemegang polis. t Vx
= Ax+t
P:• ax+t
dimana t Vx
=
cadangan premi pada akhir tahun ke t untuk asuransi seumur hidup untuk setiap peserta yang masuk pada usia x
Ax+t = P:• ax+t =
nilai tunai santunan sampai dengan tahun ke t nilai tunai penerimaan premi sampai akhir tahun ke t
2.7. Cadangan (Reserve)
15
Metode yang digunakan untuk menghitung cadangan dalam tulisan ini adalah berdasarkan prospektif dan waktu perhitungan yang digunakan adalah akhir periode serta menggunakan diskrit (fully discrete).
