LABORATORIUM MANAJEMEN DASAR MODUL STATISTIKA 2
Nama
:
NPM/Kelas
:
Fakultas/Jurusan
:
FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS GUNADARMA KELAPA DUA ATA 2012/2013
Modul Praktikum
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga modul praktikum Statistika 2 ini dapat terselesaikan. Modul praktikum ini merupakan penyempurnaan dari modul praktikum sebelumnya dan diharapkan dengan adanya modul praktikum ini dapat
meningkatkan pemahaman dasar materi praktikum serta
sebagai pedoman bagi mahasiswa dalam melakukan penelitian-penelitian ekonomi. Kami menyadari
bahwa modul praktikum ini masih perlu
disempurnakan lagi, sehingga saran dan kritik untuk penyajian serta isinya sangat diperlukan. Akhir kata, kami ucapkan terima kasih kepada tim Litbang Statistika 2 Laboratorium Manajemen Dasar yang turut berpartisipasi dalam penulisan modul praktikum ini. Ucapan terima kasih juga kami sampaikan
kepada
seluruh
pihak
yang
berpartisipasi
sehingga
pelaksanaan praktikum ini dapat berjalan dengan lancar.
Kelapa Dua, Desember 2012
Tim Litbang
STATISTIKA 2
Page 1
ATA 12/13
Modul Praktikum
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ......................................................................................... 1 Daftar isi ................................................................................................... 2
Materi Distribusi Normal .......................................................................... 5 I.
Pendahuluan ................................................................................... 5
II.
Rumus Distribusi Normal ................................................................. 6
III.
Langkah – langkah Pengujian Hipotesis ......................................... 7
IV.
Kurva Normal .................................................................................. 9
V.
Contoh Kasus ................................................................................. 10
Daftar Pustaka
..................................................................................... 16
Materi Distribusi T ................................................................................... 17 I.
Pendahuluan .................................................................................. 17 1.1 Ciri – ciri Distribusi T ................................................................. 17 1.2 Fungsi Pengujian Distribusi T ................................................... 17
II.
Beberapa Macam Penggunaan Hipotesis ...................................... 18 2.1 Satu rata – rata ......................................................................... 18 2.2 Dua rata – rata ......................................................................... 19
III.
Langkah – langkah Uji Hipotesis .................................................... 20
IV.
Contoh Soal ................................................................................... 21
Daftar Pustaka .......................................................................................... 26
Materi Distribusi Chi Square .................................................................. 27 I.
Pendahuluan .................................................................................. 27
II.
Analisis yang Diperlukan ................................................................ 27
III.
Uji Independensi ............................................................................ 29
IV.
Contoh Kasus ................................................................................. 29
V.
Uji Keselarasan (Goodness of Fit) ................................................. 32
VI.
Contoh Kasus ................................................................................. 32
Daftar Pustaka ........................................................................................ 35
STATISTIKA 2
Page 2
ATA 12/13
Modul Praktikum
Materi Distribusi ANOVA ........................................................................ 36 I.
Pendahuluan .................................................................................. 36
II.
Rumus – rumus Distribusi F (ANOVA) ........................................... 36 A. Klasifikasi Satu Arah ................................................................ 36 1. Ukuran Data Sama .............................................................. 36 2. Ukuran Data Tidak Sama ..................................................... 37 B. Klasifikasi Dua Arah ................................................................. 38 1. Tanpa Interaksi .................................................................... 38 2. Dengan Interaksi .................................................................. 39
III.
Langkah – langkah Pengujian Hipotesis ........................................ 40
IV.
Contoh Soal ANOVA ...................................................................... 41 1. Satu Arah Data Sama ............................................................... 41 2. Satu Arah Data Tidak Sama ..................................................... 43
Daftar Pustaka .......................................................................................... 45
Materi Distribusi Exponensial ................................................................ 46 I.
Pendahuluan .................................................................................. 46
II.
Contoh Kasus 1 .............................................................................. 48
III.
Contoh Kasus 2 .............................................................................. 48
Daftar Pustaka .......................................................................................... 50
Materi Distribusi Weibull ........................................................................ 51 I.
Pendahuluan .................................................................................. 51
II.
Contoh Kasus 1 .............................................................................. 52
III.
Contoh Kasus 2 .............................................................................. 53
Daftar Pustaka .......................................................................................... 54
Materi Regresi Linier Sederhana ........................................................... 55 I.
Pendahuluan .................................................................................. 55
II.
Rumus Regresi Linier Sederhana .................................................. 56 1. Metode Least Square ................................................................ 56 2. Metode Setengah Rata – rata ................................................... 57
STATISTIKA 2
Page 3
ATA 12/13
Modul Praktikum
3. Koefisien Korelasi ..................................................................... 57 4. Koefifien Determinasi ................................................................ 57 5. Kesalahan Standar Estimasi ..................................................... 57 III.
Langkah – langkah Pengujian Hipotesis ........................................ 58
IV.
Manfaat dari Analisis Regresi Linier Sederhana ............................. 59
V.
Contoh Soal ................................................................................... 59
Daftar Pustaka .......................................................................................... 66
STATISTIKA 2
Page 4
ATA 12/13
Modul Praktikum
MODUL DISTRIBUSI NORMAL
I.PENDAHULUAN
Bidang inferensia statistik membahas generalasi/penarikan kesimpulan dan prediksi/peramalan. Generalisasi dan prediksi tersebut melibatkan sampel/contoh, sangat jarang menyangkut populasi. Sampling disebut juga
pendataan
sebagian
anggota
populasi/penarikan
contoh/
pengambilan sampel. Dalam modul ini akan dibahas tentang hipotesis dalam sebuah pengambilan suatu sampel, untuk dapat mengambil kesimpulan / keputusan suatu parameter populasi yang sedang diteliti, maka pada umumnya ada perumpamaan (asumsi) mengenai distribusi atau parameter populasi. Asumsi dalam populasi ini disebut hipotesis statistik. Benar tidaknya hipotesa ini harus di test. Untuk maksud ini harus diambil sampel populasi, berdasarkan sampel ini dilakukan test statistik yang
disebut
test
hipotesa.
Keputusan
yang
diambil
adalah
menerima/menolak hipotesa. Hipotesa adalah sebuah asumsi/argumen/pemikiran dari sebuah data atau populasi yang akan diuji. Hipotesa nol adalah hipotesa yang dirumuskan dengan harapan akan ditolak, dinotasikan dengan Ho . hipotesa lainya dari Ha disebut hipotesa alternatif adalah hipotesa alternatif apabila Ho ditolak.
Pengaplikasian
Distribusi
Normal
digunakan
untuk
berbagai
penelitian seperti: 1. Observasi tinggi badan 2. Obsevasi isi sebuah botol 3. Nilai hasil ujian
Ciri-ciri distribusi normal 1. n (jumlah sampel) ≥ 30 2. n.p ≥ 5
STATISTIKA 2
Page 5
ATA 12/13
Modul Praktikum
apa yang dipersoalkan atau yang akan diuji, tidak selamanya menjadi Ho. sangat sering kalimat pengujian menjadi Ha. Apakah suatu kalimat pengujian akan menjadi Ho atau Ha, tergantung pada tanda yang tersirat didalamnya. Contoh: a.) Uji dua arah Ujilah apakah rata-rata populasi sama dengan 100, maka: Ho : μ = 100 Ha : μ ≠ 100 Disini kalimat pengujian menjadi Ho.
b.) Uji satu arah Ujilah apakah beda dua rata-rata populasi lebih besar dari 1, maka: Ho : μ1 - μ2 ≤ 1 Ha : μ1 - μ2 > 1 Disini kalimat pengujian menjadi Ha
c.) Uji satu arah Ujilah apakah proporsi populasi sekurang-kurangnya 0,5, maka: Ho : μ ≥ 0,5 Ha : μ < 0,5 Disini kalimat pengujian menjadi Ho
II.RUMUS DISTRIBUSI NORMAL
1. Satu rata-rata Z= dimana : x = rata-rata sampel μ = rata-rata populasi σ = simpangan baku
STATISTIKA 2
Page 6
ATA 12/13
Modul Praktikum
n = jumlah sampel
2. Dua rata-rata
Z= do = μ1 - μ2
3. Satu proporsi
Z= Dimana : p = proporsi berhasil q = proporsi gagal q=1–p
4. Dua Proporsi
Z= p1 = x1/n1 p2 = x2/n2 III. LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN HIPOTESIS 1. Tentukan Ho dan Ha a. Satu rata-rata 1. Ho : μ ≥ μ0 Ha : μ < μ0
Z < -Za
2. Ho : μ ≤ μ0 Ha : μ > μ0
Z > Za
3. Ho : μ = μ0 Ha : μ ≠ μ0
STATISTIKA 2
Z < -Za/2 dan Z > Za/2
Page 7
ATA 12/13
Modul Praktikum
b. Dua rata-rata 1. Ho : μ1 - μ2 ≥ do Ha : μ1 - μ2 < do
Z < -Za
2. Ho : μ1 - μ2 ≤ do Ha : μ1 - μ2 > do
Z > Za
3. Ho : μ1 - μ2 = do Ha : μ1 - μ2 ≠ do
Z < -Za/2 dan Z > Za/2
c. Satu proporsi 1. Ho : p ≥ p0 Ha : p < p0
Z < -Z
2. Ho : p ≤ p0 Ha : p > p0
Z > Za
3. Ho : p = p0 Ha : p ≠ p0
Z < -Za/2 dan Z > Za/2
d. Dua proporsi 1. Ho : p1 - p2 ≥ do Ha : p1 - p2 < do
Z < -Za
2. Ho : p1 - p2 ≤ do Ha : p1 - p2 > do
Z > Za
3. Ho : p1 - p2 = do Ha : p1 - p2 ≠ do
Z < -Za/2 dan Z > Za/2
2. Pilih arah uji hipotesis : 1 arah atau 2 arah 3. Menentukan Taraf Nyata (α) : a. Jika 1 arah α tidak dibagi 2 b. Jika 2 arah α dibagi 2 4. Menentukan nilai kritis Z tabel 5. Menentukan nilai hitung Z hitung 6. Keputusan dan gambar 7. Kesimpulan
STATISTIKA 2
Page 8
ATA 12/13
Modul Praktikum
IV.KURVA NORMAL
σ
μ
x
Kurva normal berbentuk seperti lonceng dan simetris terhadap rata–rata (μ ) a. Kurva distribusi normal dua arah Ho : μ = μ0 Ha : μ ≠ μ0
Ho
Ho
Ha
Ha
b. Kurva distribusi normal satu arah sisi kiri Ho : μ ≥ μ0 Ha : μ < μ0
Ho
Ho
Ha
STATISTIKA 2
Page 9
ATA 12/13
Modul Praktikum
c. Kurva distribusi normal satu arah sisi kanan Ho : μ ≤ μ0 Ha : μ > μ0
Ho
Ho
Ha
V.Contoh Kasus 1. Manajer PT.RAHMAT menyatakan bahwa laba penjualan yang diperoleh
tiap
bulannya
mencapai
Rp
2.500.000,-
dengan
mengambil sampel sebanyak 45 bulan. Diketahui rata-rata laba penjualan
yang
diperoleh
sebesar
Rp
2.540.000,-
dengan
simpangan baku sebesar Rp 2.450.000,-. Ujilah hipotesa tersebut dengan taraf nyata 5% ? (MADAS 1213) Diket : n = 45 µ = Rp 2.500.000,x = Rp 2.540.000,= Rp 2.450.000,α= 5%
Dit : Z ? Jawab : Langkah-langkah pengujian hipotesis : 1. Ho : µ = Rp 2.500.000 Ha : µ ≠Rp 2.500.000 2. Uji hipotesis 2 arah 1 rata-rata 3. Taraf nyata
STATISTIKA 2
Page 10
ATA 12/13
Modul Praktikum
α= 5% = 0,05 : 2 = 0,025 0,5 – 0,025 = 0,475 4. Wilayah kritis Z(0,475) = ±1,96 5. Nilai hitung Z=
=
= 0,110
6. Gambar dan keputusan
Ho
-1,65
Ho
0,110
1,65
Keputusan : Terima Ho, tolak Ha 7. Kesimpulan : Pernyataan bahwa laba yang diperoleh tiap bulannya sebesar Rp 2.500.000,- adalah benar 2. Pemilik toko iPad menyatakan bahwa sampel penjualan iPad tiap bulannya paling banyak terjual 205 unit, dengan mengambil sampel sebanyak 40 bulan dengan simpangan baku 222 unit dan diketahui rata-rata penjualan yang diperoleh 252 unit, ujilah hipotesis dengan taraf nyata 5%! (MADAS 1213)
Diket : n = 40 µ = 205 x = 252 = 222 α= 5%
STATISTIKA 2
Page 11
ATA 12/13
Modul Praktikum
Dit : Z ?
Jawab : Langkah-langkah pengujian hipotesis : 1. Ho : µ ≤ 205 Ha : µ > 205 2. Uji hipotesis 1 arah 1 rata-rata 3. Taraf nyata α= 5% = 0,05 0,5 – 0,05 = 0,45 4. Wilayah kritis Z(0,45) = 1,65 (uji kanan) 5. Nilai hitung Z=
=
= 1,340
6. Gambar dan keputusan
Ho
Ho
1,65 1,340 Keputusan : Terima Ho, tolak Ha
7. Kesimpulan : Pernyataan bahwa penjualan iPad tiap bulannya terjual paling banyak 205 adalah benar
STATISTIKA 2
Page 12
ATA 12/13
Modul Praktikum
3. Seorang petani ingin menguji 2 pupuk yang mana bisa menaikkan tinggi tanamannya. Pengujian dilakukan untuk menentukan apakah ada perbedaan pada tinggi tanaman secara rata-rata akibat adanya perbedaa pemberian pupuk yang diberikan. Taraf nyata 5%. Dari data sampel didapat : Pupuk A : n1 = 50
x1 = 25
s1 = 24
Pupuk B : n2 = 50
x2 = 22
s2 = 20
Diket : x1 = 25 x2 = 22 n1 = 50 n2 = 50 s1 = 24 s2 = 20 α=5%=0,05
Dit : Apakah ada perbedaan pada tinggi tanaman secara rata-rata akibat adanya perbedaan pemberian pupuk yang diberikan?
Jawab : Langkah-langkah pengujian hipotesis : 1. Ho : µ1 - µ2 = 0 Ha : µ1 - µ2 ≠ 0 2. Uji hipotesis 2 arah 2 rata-rata 3. Taraf nyata α= 5% = 0,05 : 2 = 0,025 0,5 – 0,025 = 0,475 4. Wilayah kritis Z(0,475) = ±1,96
STATISTIKA 2
Page 13
ATA 12/13
Modul Praktikum
5. Nilai hitung Z=
=
=
= 0,679
6. Gambar dan keputusan
Ho
Ho
-1,65 Keputusan : Terima Ho, tolak Ha
0,679
1,65
7. Kesimpulan : tidak ada perbedaan tinggi tanaman secara ratarata akibat adanya perbedaan pupuk yang diberikan.
4. Dalam mata kuliah Statistik diperkirakan paling banyak 50% mahasiswanya yang lulus dikarenakan mereka tidak bermasalah dalam hal absensi. Jika dari 55 mahasiswa ada 22 mahasiswa yang
bermasalah
absensinya.
Maka
ujilah
hipotesis
yang
menyatakan bahwa paling banyak 50% mahasiswa akan lulus dalam mata kuliah Statistik. Gunakan tingkat signifikan 5%! (Madas 12/13)
Diket : P ≤ 0,50 n = 55 x = 55 – 22 = 33 α=5%
Dit : Uji hipotesis
STATISTIKA 2
Page 14
ATA 12/13
Modul Praktikum
Jawab : 1. Ho : p ≤ 0,50 Ha : p > 0,50 2. Uji hipotesis 1 arah 1 proporsi 3. Taraf nyata α= 5% = 0,05 0,5 – 0,05 = 0,45 4. Wilayah kritis Z(0,45) = 1,65 (uji kanan) 5. Nilai hitung Z=
=
=
= 1,483
6. Gambar dan keputusan
Ho
Ho
1,29
1,483
Keputusan : Terima Ha, tolak Ho
7. Kesimpulan : bahwa anggapan paling banyak 50% mahasiswa akan lulus dalam mata kuliah Statistik adalah salah.
STATISTIKA 2
Page 15
ATA 12/13
Modul Praktikum
DAFTAR PUSTAKA Statistika 2 Universitas Gunadarma
Walpole, Ronald E., 1995, Pengantar Statistika Edisi ke-3, Jakarta, PT.Gramedia Pustaka Utama
Prof.Dr.J.Supranto,MA.,APU dan Limakrisna, Dr.H.Nandan.,2010, Statistika Ekonomi dan Bisnis, Jakarta, Mitra Wacana Media
Agung, I Gusti Ngurah., 2001, Statistika Analisis Hubungan Kasual Berdasarkan Data kategorik, Jakarta, PT.Raja Grafindo Persada
STATISTIKA 2
Page 16
ATA 12/13
Modul Praktikum
MODUL DISTRIBUSI T
I. PENDAHULUAN Pengujian hipotesis dengan distribusi t adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi t sebagai uji statistik. Tabel pengujiannya disebut tabel t-student. Distribusi t pertama kali diterbitkan pada tahun 1908 dalam suatu makalah oleh W. S. Gosset. Pada waktu itu, Gosset bekerja pada perusahaan bir Irlandia yang melarang penerbitan penelitian oleh karyawannya. Untuk mengelakkan larangan ini dia menerbitkan karyanya secara rahasia dibawah nama‘Student’. Karena itulah Distribusi t biasanya disebut Distribusi Student. Hasil uji statistiknya kemudian dibandingkan dengan nilai yang ada pada tabel untuk kemudian menerima atau menolak hipotesis nol (Ho) yang dikemukakan.
1.1 Ciri-Ciri Distribusi T a) Sampel yang diuji berukuran kecil ( n < 30 ). b) Penentuan nilai tabel dilihat dari besarnya tingkat signifikan (α) dan besarnya derajat bebas (db).
1.2 Fungsi Pengujian Distribusi T
a) Untuk memperkirakan interval rata-rata. b) Untuk menguji hipotesis tentang rata-rata suatu sampel. c) Menunjukkan batas penerimaan suatu hipotesis. d) Untuk menguji suatu pernyataan apakah sudah layak untuk dipercaya.
STATISTIKA 2
Page 17
ATA 12/13
Modul Praktikum
II. BEBERAPA MACAM PENGGUNAAN HIPOTESIS
Pengujian sampel dalam distribusi t dibedakan menjadi 2 jenis hipotesa, yaitu :
2.1 Satu Rata-Rata Rumus :
Ket : to = t hitung x = rata-rata sampel μ = rata-rata populasi s = standar deviasi n = jumlah sampel Db = n – 1 Penyusunan Hipotesa : 1. Ho : μ1 = μ2
Ha : μ1 ≠ μ2 2. Ho : μ1 ≤ μ2
Ha : μ1 > μ2 3. Ho : μ1 ≥ μ2
Ha : μ1 < μ2
STATISTIKA 2
Page 18
ATA 12/13
Modul Praktikum
Apabila data yang diambil dari hasil eksperimen, maka langkah yang harus dilakukan sebelum mencari t hitung adalah : a. Menentukan rata-ratanya terlebih dahulu :
b. Menentukan standar deviasi :
2.2 Dua Rata – Rata Rumus :
Syarat : S1 ≠ S2 do = selisih μ1 dengan μ2 (μ1 - μ2) Db = (n1 + n2) – 2
STATISTIKA 2
Page 19
ATA 12/13
Modul Praktikum
Penyusunan Hipotesa : 1. Ho : μ1 – μ2 = do
Ha : μ1 – μ2 ≠ do 2. Ho : μ1 – μ2 ≤ do
Ha : μ1 – μ2 > do 3. Ho : μ1 – μ2 ≥ do
Ha : μ1 – μ2 < do III. LANGKAH – LANGKAH UJI HIPOTESIS 1. Tentukan Ho dan Ha 2. Tentukan arah uji hipotesa ( satu arah atau dua arah ) 3. Tentukan tingkat signifikan ( α ) 4. Tentukan nilai derajat bebas ( Db ) 5. Tentukan wilayah kritisnya atau nilai tabel t tabel = (α, Db ) 6. Tentukan nilai hitung (t hitung = to ) 7. Tentukan keputusan dan gambar 8. Kesimpulan dan analisis
Ada 3 wilayah kritis dalam distribusi t, yaitu : 1. Dua Arah ( Ho : μ1 = μ2, Ha : μ1 ≠ μ2 ) Ho diterima jika : -t tabel ( α/2, Db ) < to < t tabel ( α/2, Db ) Ho ditolak jika : to > t tabel ( α/2, Db ) atau to < - t tabel ( α/2, Db )
-α/2
0
+α/2
Gambar 2.1 : Kurva Distribusi t Dua Arah
STATISTIKA 2
Page 20
ATA 12/13
Modul Praktikum
2. Satu Arah, Sisi Kanan ( Ho : μ1 ≤ μ2, Ha : μ1 > μ2 ) Ho diterima jika : to < t tabel ( α, Db ) Ho ditolak jika : to > t tabel ( α, Db )
0
+t tabel
Gambar 2.2 : Kurva Distribusi t Satu Arah Sisi Kanan 3. Satu Arah, Sisi Kiri ( Ho : μ1 ≥ μ2, Ha : μ1 < μ2 ) Ho diterima jika : to > - t tabel ( α, Db ) Ho ditolak jika : to < - t tabel ( α, Db )
Ho Ha
-t tabel Gambar 2.3 : Kurva Distribusi t Satu Arah Sisi Kiri
IV. Contoh Soal : 1. Sebuah perusahaan mobil di turki meramalkan bahwa rata – rata jumlah penjualan produksi mobilnya sebesar 50 mobil/bulan. Untuk menguji apakah hipotesis itu benar maka perusahaan melakukan pengujian dalam 25 bulan dan diketahui rata – rata sampel 55 mobil/bulan dengan simpangan baku 5 mobil/bulan. Apakah hasil penelitian tersebut sesuai dengan hipotesis awal perusahaan ? (selang kepercayaan 95%) (MADAS 1213) Dik : μ = 50 x = 55 α = 5% = 0,05 n = 25
STATISTIKA 2
Page 21
ATA 12/13
Modul Praktikum
s=5
Pengujian Hipotesis : 1. Ho : μ1 = 50 Ha : μ1 ≠ 50 2. 1 rata – rata, uji 2 arah 3. α/2 = 5 % /2 = 0,025 4. Db = n – 1 = 25 – 1 = 24 5. t tabel (α, Db) = ( 0,025 ; 24 ) = ± 2,064 6. to =
=
= =5
7. Keputusan : karena t hitung = 5 berada di luar selang -2,064 < t > 2,064 maka Tolak Ho, Terima Ha
-2,064
0
2,064 5
Gambar 2.4 Kurva Distribusi t Satu Rata-rata Dua Arah Contoh
8. Kesimpulan : Jadi, rata – rata jumlah penjualan produksi mobilnya sebesar 50 mobil/bulan adalah salah.
STATISTIKA 2
Page 22
ATA 12/13
Modul Praktikum
2. Sebuah perusahaan asuransi menyatakan bahwa rata – rata nasabahnya melakukan pembayaran premi paling banyak $550/bulan melalui agen nya,untuk menguji pernyataan tersebut ia mengambil sampel sebanyak 20 nasabah dan diketahui rata – ratanya $455/bulan dengan simpangan baku $40. Ujilah pendapat tersebut dengan taraf nyata 5 %. (MADAS 1213) Dik : μ = 550 x = 455 α = 5% = 0,05 n = 20 s = 40
Pengujian Hipotesis : 1. Ho : μ1 ≤ 550 Ha : μ1 > 550 2. 1 rata – rata, uji 1 arah 3. α = 5% = 0,05 4. Db = n – 1 = 20 – 1 = 19 5. t tabel (α, Db) = ( 0,05 ; 19 ) = 1,729 6. to =
=
=
= -10,621
7. Keputusan : karena t hitung = -10,621 berada di luar selang t > 1,729 maka Terima Ho, Tolak Ha
Ho Ha -10,621
1,729
8. Kesimpulan : Jadi rata-rata nasabah melakukan pembayaran premi kurang sama dengan $550/bulan adalah benar.
STATISTIKA 2
Page 23
ATA 12/13
Modul Praktikum
3. Diketahui data kerusakan produk yang dibuat oleh karyawan shift siang dan shift malam Shift Malam
Shift Siang
Rata-rata kerusakan
45
42
Simpangan baku
2
2
Banyak sampel
5
4
Dengan α = 5%. Ujilah rata-rata kerusakan produk tersebut lebih dari sama dengan 5 ? (MADAS 1213)
Jawab : Diketahui : x1 = 45 s1 = 2 x2 = 42 s2 = 2 n1 = 5
α = 5% = 0,05
n2 = 4
do = 5
Pengujian hipotesis : 1. Ho : μ1 – μ2 ≥ 5 Ha : μ1 – μ2 < 5 2. Dua rata-rata , uji kiri 3. α = 5 % = 0,05 4. Db = n1 + n2 – 2 = 5 + 4 – 2 = 7 5. t tabel (α : Db ) = (0,05 : 7 ) = -1,895 6. to =
=
=
=
= -1,490
7. Karena t hitung = - 1,490 berada diluar selang – 1,895 < t maka terima Ho dan tolak Ha
STATISTIKA 2
Page 24
ATA 12/13
Modul Praktikum
--1,89 -1,49 0
Gambar 2.6 Kurva Distribusi t Dua Rata-rata Satu Arah Uji Kiri Contol Soal 3
8. Kesimpulan : Jadi rata-rata kerusakan produk yang dibuat oleh karyawan shift siang dan shift malam adalah lebih dari sama dengan 5.
STATISTIKA 2
Page 25
ATA 12/13
Modul Praktikum
DAFTAR PUSTAKA
Ronald Walpole, Pengantar Statistika Edisi ke 3 Haryono Subiyakto, Statistika 2 Haryono Subiyakto, Praktikum Statistika dengan Program Microsta
STATISTIKA 2
Page 26
ATA 12/13
Modul Praktikum
MODUL UJI NON PARAMETIK (CHI-SQUARE / X²)
I.
PENDAHULUAN Dalam uji statistika dikenal uji parametrik dan uji nonparametrik. Uji statistika parametrik hanya dapat digunakan jika data menyebar normal atau tidak ditemukannya petunjuk pelanggaran kenormalan dan keragaman atau variasi antara perlakuan-perlakuan / peubah bebas yang dibandingkan dengan homogen. Untuk data yang tidak memenuhi syarat tersebut dan data dengan satuan pengukuran nominal dan ordinal digunakan uji lain yaitu statistika nonparametrika. Pada modul ini uji statistika nonprmetrik yanga kan dibahas adalah Chisquare (X²). Chi square merupakan salah satu alat analisis yang banyak digunakan dalam pengujian hipotesis. Chi square terutama digunakan untuk Uji Homogenitas, Uji Independensi, Dan Uji Keselarasan (Goodness Of Fit Test).
II.
ANALISIS YANG DIPERLUKAN Rumus untuk uji Chi Square yaitu sebagai berikut : X² = (∑(fo – fe) ² ) / fe Keterangan : fo : hasil observasi pada baris b kolom k fe : nilai harapan ( expected value ) pada baris b kolom k
Distribusi X2 digunakan untuk menguji: a. Apakah frekuensi observasi berbeda secara signifikan terhadap frekuensi ekspektasi. b. Apakah dua variable independent atau tidak. c. Apakah data sampel menyerupai distribusi hipotesis tertentu seperti distribusi normal, binomial, poisson atau yang lain.
STATISTIKA 2
Page 27
ATA 12/13
Modul Praktikum
Nilai X2 selalu positif karena didapat dari penjumlahan kuadrat dari variable normal standar Z sehingga kurva chi kuadrat tidak mungkin berada di sebelah kiri nilai nol. Bentuk distribusi X2 tergantung dari derajat Distribusi
bebas (db) atau Degree of freedom.
X2 bukan suatu kurva probabilitas tunggal tetapi
merupakan suatu keluarga dari kurva bermacam-macam distribusi X2.
db=1-2 db=3-4 db=5-8 db=9
Gambar Macam-macam Kurva Distribusi Chi Square
Uji X2 dibagi menjadi:
a. Uji Kecocokan = Uji Kebaikan = test goodness of fit Hanya terdapat satu baris Db=k-m-1 Dengan: k = jumlah kategori data sampel m= jumlah nilai-nilai parameter yang diestimasi. b. Uji Kebebasan Jika terdapat lebih dari satu baris Db=(k-1)(b-1)
STATISTIKA 2
Page 28
ATA 12/13
Modul Praktikum
Dengan: k = jumlah kolom b = jumlah baris
III.
UJI INDEPENDENSI Uji ini digunakan untuk menguji ada atau tidaknya interdependensi antara variabel kuantitaif yang satu dengan yang lainnya berdasarkan observasi yang ada.
IV.
CONTOH KASUS Dalam suatu penelitian yang bertujuan untuk mengetahui apakah ada hubungan antara jabatan seseorang dengan status pendidikan, diperoleh data sebagai berikut : Status pendidikan
Jabatan
S2
S1
SMA
Total
Manager
50
20
2
72
Supervisor
44
45
2
91
Karyawan
22
50
55
127
116
115
59
290
Total
Dengan taraf nyata 5%, ujilah hipotesis tersebut !
Pengujian Hipotesis : a. Ho
: Tidak ada hubungan antara jabatan seseorang
dengan status pendidikan Ha
: Ada hubungan antara jabatan seseorang dengan
status pendidikan b. Menetapkan tingkat signifikan dan derajat bebas a
= 5% = 0.05
db = (k -1) (b -1) = (3 – 1) (3 – 1) = 4
STATISTIKA 2
Page 29
ATA 12/13
Modul Praktikum
c. Menentukan nilai kritis X2 tabel = ( α : db ) = ( 0.05 : 4 ) = 9,488
d. Menentukan nilai test statistik ( nilai hitung)
Fe = Jmlh mnrt baris X jmlh menurut kolom Jmlh seluruh baris dan kolom
Feij
i = baris
j = kolom
Fe11 = (72 X 116) / 290 = 28.8 Fe12 = (72 X 115) / 290 = 28.5517 Fe13 = (72 X 59) / 290 = 14.6483 Fe21 = (91 X 116) / 290 = 36.4 Fe22 = (91 X 115) / 290 = 36.0862 Fe23 = (91 X 59) / 290 = 18.5138 Fe31 = (127 X 116) / 290 = 50.8 Fe32 = (127 X 115) / 290 = 50.3621 Fe33 = (127 X 59) / 290 = 25.8379
Rumus : X2 = Σ (Fo – Fe)2 Fe
STATISTIKA 2
Page 30
ATA 12/13
Modul Praktikum
fo
fe
(fo-fe)
(fo-fe)2
(fo-fe)2 /fe
50
28.8
21.2
449.44
15.60
20
28.5517
-8.5517
73.1316
2.56
2
14.6483
-12.6483
159.9794
10.92
44
36.4
7.6
57.76
1.58
45
36.0862
8.9138
79.4558
2.20
2
18.5138
-16.5138
273.6973
14.78
22
50.8
-28.8
829.44
16.3
50
50.3621
-0.3621
0.1311
0.003
55
25.8379
29.1621
850.4281
32.91
Total
96.8
e. Gambar dan Keputusan :
Ha diterima Ho ditolak
9,488
96.8
Kesimpulan : Ada hubungan antara jabatan seseorang dengan status pendidikan
STATISTIKA 2
Page 31
ATA 12/13
Modul Praktikum
V.
UJI KESELARASAN (GOODNESS OF FIT) Uji keselarasan adalah perbandingan antara frekuensi observasi dengan frekuensi harapan. Uji keselarasan pada prinsipnya bertujuan untuk mengetahui apakah sebuah distribusi data dari sampel mengikuti sebuah distribusi data dari sampel mengikuti sebuah distribusi teoritis tertentu ataukah tidak.
VI.
CONTOH KASUS Seorang Manajer Pemasaran sabun mandi SINZUI selama ini menggangap bahwa konsumen sama-sama menyukai tiga warna sabun mandi yang diproduksi, yaitu Putih, Biru, dan Merah. Untuk mengetahui apakah pendapat Manajer tersebut benar, maka kepada dua belas responden ditanya warna sabun mandi yang paling disukainya. Berikut adalah data kuesioner tersebut. Responden
Warna kesukaan
Rani
Putih
Fanny
Merah
Anna
Biru
Nina
Merah
Shinta
Biru
Rina
Putih
Dita
Biru
Citra
Merah
Desti
Merah
Lala
Biru
Rani
Putih
Novi
Merah
Acha
Biru
Ujilah data diatas dengan menggunakan R commander serta analisislah!
STATISTIKA 2
Page 32
ATA 12/13
Modul Praktikum
a. Tabel Frekuensi :
Pilihan Warna
Putih
Merah
Biru
3
5
5
Sabun Frekuensi
b. Ho
: Jumlah konsumen yang menyukai ketiga warna
sabun mandi merata Ha
: Jumlah konsumen yang menyukai ketiga warna
sabun mandi tidak merata c. α = 5% =k–m–1
db
=3–0–1 =2
d. Nilai Kritis
: 5,991
e. Nilai Hitung : fe
= jmlh data / banyaknya kolom = 13 / 3= 4.3
Rumus : X2 = Σ (fo – fe)2 Fe fo
fe
(fo-fe)
(fo-fe)2 /fe
3
4.3
-1.3
1.69
0.39
5
4.3
0.7
0.49
0.11
5
4.3
0.7
0.49
0.11
Total
STATISTIKA 2
(fo-fe)2
Page 33
0.61
ATA 12/13
Modul Praktikum
f. Gambar dan Keputusan :
Ho diterima Ha ditolak
0,61
5,991
Kesimpulan : jumlah konsumen yang meyukai ketiga warna sabun mandi merata.
STATISTIKA 2
Page 34
ATA 12/13
Modul Praktikum
DAFTAR PUSTAKA
Budiyono, 2009, Statistik untuk penelitian, Jakarta : Edisi 2, Sebelas maret university press.
Stephen Larry J dan Siegel Murray R, 2005, Statistik,
: Edisi 3,
Erlangga.
Soerjadi, 1991, Statistika, ITB BANDUNG.
Walpole, E Ronald, Pengantar Statistika, Jakarta : Edisi 3, Gramedia.
STATISTIKA 2
Page 35
ATA 12/13
Modul Praktikum
MODUL DISTRIBUSI F (ANOVA)
I. PENDAHULUAN
Ditemukan oleh seorang ahli statistik yang bernama R.A. Fisher pada tahun 1920.
Anova kepanjangan dari Analysis of Variance.
Distribusi F/ANOVA adalah prosedur statistika untuk mengkaji (mendeterminasi) apakah rata-rata hitung (mean) dari 3 (tiga) populasi atau lebih, sama atau tidak.
Digunakan untuk menguji rata - rata atau nilai tengah dari tiga atau lebih populasi secara sekaligus, apakah rata-rata atau nilai tengah tersebut sama atau tidak sama.
II. RUMUS-RUMUS DISTRIBUSI F / ANOVA : A. Klasifikasi Satu Arah
Klasifikasi satu arah, adalah klasifikasi pangamatan yang hanya didasarkan pada
satu kriteria. Misalnya saja varietas padi. Dalam
klasifikasi satu arah ini, rumus-rumus yang digunakan adalah
1) Ukuran Data Sama
JKT = JKK =
-
JKG = JKT – JKK
Keterangan: JKT : Jumlah Kuadrat Total X 2ij : Pengamatan ke-j dari populasi ke-i T 2 : Total semua pengamatan
STATISTIKA 2
Page 36
ATA 12/13
Modul Praktikum
JKK : Jumlah Kuadrat Kolom JKG : Jumlah Kuadrat Galat nk
: Banyaknya anggota secara keseluruhan
T2i
: Total semua pengamatan dalam contoh dari populasi ke-i
n
: Banyaknya pengamatan / anggota baris
Analisis ragam dalam klasifikasi satu arah dengan data sama
Sumber
Jumlah
Derajat
Kuadrat
Keragaman
Kuadrat
Bebas
Tengah
k-1
S21 = JKK / (k-
Nilai
Tengah JKK
Kolom
F Hitung
1)
Galat
JKG
k(n-1)
S22 = JKG / S21 / S22 (k(n-1)
Total
JKT
nk-1
2) Ukuran Data Tidak Sama –
JKT = JKK =
–
JKG = JKT - JKK
Analisis ragam dalam klasifikasi satu arah dengan data tidak sama Sumber
Jumlah
Derajat
Kuadrat
Keragaman
Kuadrat
Bebas
Tengah
k-1
S21 = JKK / (k-
Nilai
Tengah JKK
Kolom Galat
F Hitung
1) JKG
S22 = JKG / (N S21 / S22
N-k
– k) Total
STATISTIKA 2
JKT
N-1
Page 37
ATA 12/13
Modul Praktikum
B. Klasifikasi Dua Arah Adalah
klasifikasi
pengamatan
yang
didasarkan
pada
2
kriteria, seperti varietas dan jenis pupuk. Segugus pengamatan dapat diklasifikasikan menurut dua kriteria dengan menyusun data tersebut dalam baris dan kolom, Kolom menyatakan kriteria klasifikasi yang satu, sedangkan baris menyatakan kriteria klasifikasi yang lain. Rumus-rumus yang digunakan dalam klasifikasi 2 arah adalah :
1) Tanpa Interaksi JKT = JKK =
-
JKG = JKT - JKB - JKK
Keterangan : JKT : Jumlah Kuadrat Total JKB : Jumlah Kuadrat Baris JKK : Jumlah Kuadrat Kolom JKG : Jumlah Kuadrat Galat T2
: Total semua pengamatan
T2 i : Jumlah/total pengamatan pada baris T2 j
: Jumlah/total pengamatan pada Kolom
2
X ij : Jumlah/total keseluruhan dari baris dan kolom k
: Jumlah Kolom
bk
: Jumlah kolom dan baris
b
: Jumlah baris
STATISTIKA 2
Page 38
ATA 12/13
Modul Praktikum
Analisis ragam dalam klasifikasi dua arah tanpa interaksi Sumber
Jumlah
Derajat
Keragaman
Kuadrat
Bebas
Nilai
Tengah JKB
Kuadrat Tengah
F Hitung
S21 = JKB / (b-1)
b-1
f1 = S21 /
Baris Nilai
Tengah JKK
S22 = JKK / (k-1)
k-1
f2 = S22 /
Kolom Galat
JKG
Total
S23
JKT
(b-1)(k-
S23 = JKG / (b- S23
1)
1)(k-1)
bk-1
2) Dengan Interaksi
–
JKT = JKK =
-
JKB =
–
JK(BK) =
-
-
+
JKG = JKT - JKB - JKK - JK(BK)
Analisis ragam dalam klasifikasi dua arah dengan interaksi Sumber
Jumlah
Keragaman
Kuadrat Bebas
Nilai
Derajat
Kuadrat Tengah
Tengah JKB
b-1
S21 = JKB / (b-1)
Tengah JKK
k-1
S22 = JKK / (k-1)
F Hitung
Baris Nilai
f2 = S22 / S24
Kolom Interaksi
JK(BK)
(b-1)(k-
S23 = JK(BK) / (b- f3 = S23 / S24
1)
1)(k-1) S24 = JKG / bk(n-1)
Galat
JKG
bk(n-1)
Total
JKT
bkn-1
STATISTIKA 2
f1 = S21 / S24
Page 39
ATA 12/13
Modul Praktikum
III.
LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN HIPOTESIS
Langkah - langkah dalam pengujian hipotesis dalam Distribusi F / Anova dengan klasifikasi satu arah atau dua arah adalah sbb : 1. Tentukan Ho dan Ha : μ1 = μ2 = μ3 = ... = μn
Ho
Ha: sekurang-kurangnya dua nilai tengah tidak sama Atau Ho
: Semua nilai tengah sama
Ha
: sekurang-kurangnya dua nilai tengah adalah tidak sama
2. Tentukan tingkat signifikan () 3. Tentukan derajat bebas (db) a. Klasifikasi 1 arah data sama V1 = k-1
V2 = k (n-1)
b. Klasifikasi 1 arah data tidak sama V1 = k-1
V2 = N - k
c. Klasifikasi 2 arah tanpa interaksi V1 (baris) = b-1
V1 (kolom) = k-1
V2 = (k-1) (b-1)
d. Klasifikasi 2 arah dengan interaksi V1 (baris) = b-1
V1 (kolom) = k-1
V1 (interaksi) = (k-1) (b-1) V2 = b.k (n-1) Ket : k = kolom ; b = baris 4. Tentukan wilayah kritis (F tabel) ƒ > ( ; V1 ; V2) 5. Menentukan kriteria pengujian Ho diterima jika Fo F tabel Ha diterima jika Fo > F tabel 6. Nilai hitung (F hitung)
Ho
Ha
7. Keputusan 8. Kesimpulan F tabel
STATISTIKA 2
Page 40
ATA 12/13
Modul Praktikum
IV. CONTOH SOAL ANOVA 1. Satu arah data sama 1. Eksperimen dilakukan untuk mengetahui produktivitas 4 varietas gandum yang ditanam
pada suatu lahan. Tingkat produkvitas
yang diamati selama 5 kali musim panen akan disajikan dalam tabel dibawah ini : (dalam kuintal) Gandum I Gandum II
Gandum III
Gandum IV
244
250
252
245
202
242
204
205
255
225
254
225
245
204
202
242
240
220
254
240
1186
1141
1166
1157
4650
Dengan taraf nyata 5%, ujilah apakah ada perbedaan yang signifikan pada tingkat produktivitas tiap – tiap varietas gandum ? Penyelesaian : 1. Ho : rata – rata tingkat produktivitas tiap – tiap varietas gandum sama Ha : rata – rata tingkat produktivitas tiap – tiap varietas gandum tidak sama 2. α = 0.05 3. Derajat bebas V1 = ( k – 1 ) = ( 4 – 1 ) = 3
V2 = k (n-1) = 4 (5-1) = 16
4. Daerah kritis f tabel ( 0,05 ; 3 ; 16 ) = 3,24 5. Kriteria Pengujian Ho diterima jika Fo ≤ F tabel Ha diterima jika Fo > F tabel
STATISTIKA 2
Page 41
ATA 12/13
Modul Praktikum
6. Nilai Hitung JKT = (2442 + 2022+ 2552 +….. + 2252 + 2422 + 2402) – (46502 /20) = 7365 JKK = ( ( 11862 + 11412 + 11662 + 11572 ) / 5 ) – (46502/20) = 211,4 JKG = 7365 – 211,4 = 7153,6
Analisis ragam dalam klasifikasi satu arah dengan data sama Sumber
Jumlah
Derajat
Kuadrat
F
Keragaman
Kuadrat
Bebas
Tengah
Hitung (Fo)
Nilai Tengah
211,4
3
70,5
Galat
7153,6
16
447,1
Total
7365
19
Kolom 0,1576
7. Keputusan Ho diterima, Ha ditolak
Ho
Ha
0,1576 3,24 8. Kesimpulan Jadi, rata – rata tingkat produktivitas tiap – tiap varietas gandum sama
STATISTIKA 2
Page 42
ATA 12/13
Modul Praktikum
2. Satu Arah Data Tidak Sama “Maulana tbk” memiliki 3 Cat
andalannya yaitu w a r n a B i r u ,
Ungu dan Coklat . Ketiga cat tersebut diberikan secara acak selama 6 hari, berikut data rata-ratanya: Hari
Biru
Ungu
Coklat
Senin
22
44
55
Selasa
-
40
20
Rabu
50
55
-
Kamis
20
-
24
Jumat
42
25
22
Sabtu
-
40
-
Total
134
204
121
Lakukan pengujian Anova pada data diatas! (taraf nyata 5%)
Jawab : μ1 = μ2 = μ3 = ... = μn
1. Ho
Ha: sekurang-kurangnya dua rata-rata tidak sama Atau Ho
: Semua rata-rata sama
Ha
: sekurang-kurangnya dua rata-rata adalah tidak
sama 2. α = 0.05 3. Derajat bebas (db) V1
V2 = N – k = 13 – 3 = 10
= k-1 =3-1=
4. Wilayah ktitis : ƒ > ( 5% ; 2 ; 10 ) = 4,10 (f tabel) 5. Kriteria Pengujian Ho diterima jika Fo ≤ F tabel Ha diterima jika Fo > F tabel
STATISTIKA 2
Page 43
ATA 12/13
459
Modul Praktikum
6. Nilai Hitung : 0.6838 7. Keputusan : Ho diterima
Ho
Ha
0.6838 4.10
8.
Kesimpulan : Semua rata-rata dari penjualan ketiga cake di toko The Harvest tersebut adalah sama
STATISTIKA 2
Page 44
ATA 12/13
Modul Praktikum
DAFTAR PUSTAKA
Hasan Iqbal. Pokok-Pokok Materi Statistik 2 (Statistik Inferensif). 2003. Bumi Aksara : Jakarta Siagian Dergibson, Sugianto. Metode Statistika Untuk Bisnis dan Ekonomi. 2002. Gramedia : Jakarta Walpole, R.E. 1982. Pengantar Statistika. PT. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.
STATISTIKA 2
Page 45
ATA 12/13
Modul Praktikum
MODUL DISTRIBUSI EXPONENSIAL
I. Pendahuluan Distribusi eksponensial merupakan pengujian digunakan untuk melakukan perkiraan atau prediksi dengan hanya membutuhkan perkiraan rata-rata populasi karena dalam distribusi eksponensial memiliki standar deviasi sama dengan rata-rata. Distribusi ini termasuk ke dalam distribusi kontinu. Ciri dari distribusi ini adalah kurvanya mempunyai ekor di sebelah kanan dan nilai x dimulai dari 0 sampai tak hingga. Gambar kurva distribusi eksponensial berbeda-beda tergantung dari nilai x dan λ sebagai berikut :
Syarat dari distribusi eksponensial yaitu : 1.) X ≥ 0 2.) λ > 0 3.) e = 2,71828...
STATISTIKA 2
Page 46
ATA 12/13
Modul Praktikum
Dalam menghitung distribusi eksponensial, rumus yang digunakan adalah: P ( X ≤ Xo ) = 1 – (e – λ . Xo)
Atau
P ( X ≥ Xo ) = e – λ . Xo
Keterangan: X = interval rata-rata λ = parameter rata-rata Xo = rata-rata sampel yang ditanyakan e = eksponensial = 2,71828
Gambar daerah luas kurva distribusi eksponensial :
STATISTIKA 2
Page 47
ATA 12/13
Modul Praktikum
II. Contoh 1: Sebuah
toko
buku
mempunyai
kedatangan
pengunjungnya
yang
berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 4 orang pengunjung per 55,5 menit. Berapakah probabilitas bahwa kedatangan pengunjung memiliki selang waktu 22,4 menit atau kurang? (MADAS 1213) Dik: λ=4 Xo = 22,4 / 55,5 = 0,403 Dit: P(X ≤ 0,403)? Jawab: P(X ≤ Xo) = 1 – (e – λ . Xo) P(X ≤ 0,403) = 1 – (2,71828 -4 . 0,403) P(X ≤ 0,403) = 1 – (2,71828 -1,612) P(X ≤ 0,403) = 1 - 0,1994 = 0,8005 = 80,05 %
III. Contoh 2: Sebuah
toko
buku
mempunyai
kedatangan
pengunjungnya
yang
berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 4 orang pengunjung per 55,5 menit. Berapakah probabilitas bahwa kedatangan pengunjung memiliki selang waktu 22,4 menit atau lebih? (MADAS 1213)
Dik: λ=4 Xo = 22,4 / 55,5 = 0,403
Dit: P(X ≥ 0,403)?
STATISTIKA 2
Page 48
ATA 12/13
Modul Praktikum
Jawab: P(X ≥ Xo) = (e – λ . Xo) P(X ≥ 0,403) = (2,71828 -4 . 0,403) P(X ≥ 0,403) = (2,71828 -1,612) P(X ≥ 0,403) = 0,1994 = 19,94 %
Analisis: Jadi, probabilitas kedatangan pengunjung yang memiliki selang waktu 22,4 menit atau lebih adalah 19,94%.
STATISTIKA 2
Page 49
ATA 12/13
Modul Praktikum
DAFTAR PUSTAKA
Harinaldi. 2005. PRINSIP-PRINSIP STATIISTIK UNTUK TEKNIK DAN SAINS. Jakarta : Erlangga
Kazmier, Leonard J. 2005. Schaum's Easy Outlines STATISTIK UNTUK BISNIS. Jakarta : Erlangga
Nawari. 2010. Analisis Statistik dengan Ms. Excel 2007 dan SPSS 17. Jakarta : PT. Elex Media Komputindo
STATISTIKA 2
Page 50
ATA 12/13
Modul Praktikum
MODUL DISTRIBUSI WEIBULL
I. PENDAHULUAN Distribusi Weibull pertama kali diperkenalkan oleh ahli fisikawan Swedia Waloddi Weibull pada tahun 1939. Grafik distribusi weibull untuk dan berbagai nilai parameter dilukiskan pada gambar berikut ini :
Ciri khusus dari distribusi ini adalah adanya parameter skala (α) dan parameter bentuk (β). Parameter skala (scale parameter) adalah jenis khusus dari parameter numeric yang menunjukkan besarnya distribusi data. Semakin besar nilai parameter skala maka distribusi data akan semakin menyebar dan sebaliknya. Sedangkan parameter bentuk (shape parameter)
adalah
jenis
khusus
dari
parameter
numeric
yang
menunjukkan bentuk dari kurva.
STATISTIKA 2
Page 51
ATA 12/13
Modul Praktikum
Rumus untuk mencari peluang distribusi weibull :
> (Lebih dari)
< (Kurang dari)
Keterangan : t = waktu e = eksponensial = 2.71828 α = parameter skala β = parameter bentuk
II. CONTOH KASUS 1 Sebuah mesin pencetak sepatu bola internasional mempunyai masa hidup berdistribusi weibull. Dengan alpha 0.4 dan beta 0.2. Berapa peluang mesin tersebut beroperasi lebih dari dua setengah tahun?
Dik: t =2.5 alfa = 0.4 beta = 0.2
Dit: f ( > 2.5 ) ?
Jawab : f( t ) = e ^ - ( t / alfa ) ^ beta f ( t > 2.5) = e ^ - ( 2.5 / 0.4 ) ^ 0.2 f ( > 2.5 ) = 0.2362889
Analisis : jadi besarnya peluang mesin pencetak sepatu bola internasional tersebut adalah sebesar 0.2362889 atau 23.63 %.
STATISTIKA 2
Page 52
ATA 12/13
Modul Praktikum
III. CONTOH KASUS 2 Sebuah mesin jahit mempunyai masa hidup berdistribusi weibull. Dengan alpha 2.2 dan beta 2.5. Berapa peluang mesin tersebut beroperasi kurang dari dua tahun?
Dik: t =2 alfa = 2.2 beta = 2.5
Dit: f ( < 2 ) ?
Jawab : f ( t ) = 1 – e ^ - ( t / alfa ) ^ beta f ( t < 2 ) = 1 – e ^ - ( 2 / 2.2 ) ^ 2.5 f ( t < 2 ) = 0.5452401
Analisis : jadi besarnya peluang mesin pencetak sepatu bola internasional tersebut adalah sebesar 0.5452401 atau 54.52 %.
STATISTIKA 2
Page 53
ATA 12/13
Modul Praktikum
DAFTAR PUSTAKA
Dr. Tedjo N. Reksoatmodjo ST., M.Pd. Statistika Teknik. Jakarta : Gramedia
Dr. Ir. Harinaldi M.Eng. Prinsip-prinsip Statistik. 2005. Jakarta : Erlangga
Ronald E. Walpole dan Raymond H. Myers. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan Edisi Keempat. Bandung : ITB
STATISTIKA 2
Page 54
ATA 12/13
Modul Praktikum
MODUL REGRESI LINIER SEDERHANA
I.
Pendahuluan Di dalam analisa ekonomi dan bisnis, dalam mengolah data sering
digunakan analisis regresi dan korelasi. Analisa regresi dan korelasi telah dikembangkan untuk mempelajari pola dan mengukur hubungan statistik antara dua atau lebih variabel. Namun karena bab ini hanya membahas tentang regresi linier sederhana, maka hanya dua variabel yang digunakan. Sedangkan sebaliknya jika lebih dari dua variabel yang terlibat maka disebut regresi dan korelasi berganda. Analisa ini akan memberikan hasil apakah antara variabel-variabel yang sedang diteliti atau sedang dianalisis terdapat hubungan, baik saling berhubungan, saling mempengaruhi dan seberapa besar tingkat hubungannya. Pada dasarnya analisis ini menganalisis hubungan dua variabel dimana membutuhkan dua kelompok hasil observasi atau pengukuran sebanyak n ( data ).
Data hubungan antara variabel X dan Y berdasarkan pada dua hal yaitu : 1. Penentuan bentuk persamaan yang sesuai guna meramalkan rata-rata Y melalui X atau rata-rata X melalui Y dan menduga kesalahan selisih peramalan. Hal ini menitikberatkan pada observasi variabel tertentu, sedangkan variabel-variabel lain dikonstantir pada berbagai tingkat atau keadaan, hal inilah yang dinamakan Regresi. 2. Pengukuran derajat keeratan antara variabel X dan Y. Derajat ini tergantung pada pola variasi atau interelasi yang bersifat simultan dari variabel X dan Y. Pengukuran ini disebut Korelasi.
Hubungan antara variabel X dan Y kemungkinan merupakan hubungan dependen sempurna dan kemugkinan merupakan hubungan independen sempurna. Variabel X dan Y dapat dikatakan berasosiasi atau berkorelasi secara statistik jika terdapat batasan antara dependen dan independen sempurna. Metode analisis ini juga digunakan untuk
STATISTIKA 2
Page 55
ATA 12/13
Modul Praktikum
mengestimasi atau menduga besarnya suatu variabel yang lain telah diketahui nilainya. Salah satu contoh adalah untuk menganalisis hubungan antara tingkat pendapatan dan tingkat konsumsi.
II.
Rumusan Regresi Linier Sederhana Persamaan regresi linier sederhana : Y = a + b (X)
Dimana : a = konstanta b = koefisien regresi Y = Variabel dependen ( variabel tak bebas ) X = Variabel independen ( variabel bebas )
Untuk mencari rumus a dan b dapat digunakan metode Least Square sbb:
a=
ΣY – b ΣX
b = n ΣXY – ΣX . ΣY n ΣX2 – (ΣX)2
n
Jika (X) 0 nilai a dan b dapat dicari dengan metode:
1. Metode Least Square a=
ΣY
b=
ΣX2
n
STATISTIKA 2
ΣXY
Page 56
ATA 12/13
Modul Praktikum
2. Metode setengah rata-rata
a = rata-rata K1 ( rata-rata kelompok 1) b = ( rata-rata K2 – rata-rata K1) / n n = jarak waktu antara rata-rata K1 dan K2
3. Koefisien Korelasi Untuk mencari koefisien relasi dapat digunakan rumusan koefisien korelasi Pearson yaitu :
Keterangan : 1. Jika r = 0 maka tidak ada hubungan antara kedua variabel. 2. Jika r = (-1) maka hubungan sangat kuat dan bersifat tidak searah. 3. Jika r = (+1) maka hubungannya sangat kuat dan bersifat searah.
4. Koefisien Determinasi Koefisien determinasi dilambangkan dengan r2, merupakan kuadrat dari
koefisien
korelasi.
Koefisien
ini
dapat
digunakan
untuk
menganalisis apakah variabel yang diduga / diramal (Y) dipengaruhi oleh variabel (X) atau seberapa variabel independen ( bebas ) mempengaruhi variabel dependen ( tak bebas ).
5. Kesalahan Standar Estimasi Untuk mengetahui ketepatan persamaan estimasi dapat digunakan dengan mengukur besar kecilnya kesalahan standar estimasi. Semakin kecil nilai kesalahan standar estimasi maka semakin tinggi ketepatan persamaan estimasi dihasilkan untuk menjelaskan nilai variabel yang sesungguhnya.
STATISTIKA 2
Page 57
ATA 12/13
Modul Praktikum
Dan sebaliknya, semakin besar nilai kesalahan standar estimasi maka semakin rendah ketepatan persamaan estimasi yang dihasilkan untuk menjelaskan nilai variabel dependen yang sesungguhnya. Kesalahan standar estimasi diberi simbol Se yang dapat ditentukan dengan rumus berikut :
III.
Langkah-langkah Pengujian Hipotesis
a. Tentukan hipotesis nol ( Ho ) dan hipotesis alternatif ( Ha ) Ho : β ≤ k
Ha : β > k
Ho : β ≥ k
Ha : β < k
Ho : β = k
Ha : β ≠ k
b. Tentukan arah uji hipotesis ( 1 arah atau 2 arah ) a. Tentukan tingkat signifikan ( α ) - Jika 1 arah α tidak dibagi dua - Jika 2 arah α dibagi dua ( α / 2 ) c. Tentukan wilayah kritis ( t tabel ) t tabel = ( α ; db )
db = n – 2
d. Tentukan nilai hitung ( t hitung ) e. Gambar dan keputusan f. Kesimpulan
Gambar : a. Ho : β ≤ k ; Ha : β > k
H o
H a
H a 0
STATISTIKA 2
b. Ho : β ≥ k ; Ha : β < k
t tabel
- t tabel
Page 58
H o 0
ATA 12/13
Modul Praktikum
c. Ho : β = k ; Ha : β ≠ k
H o
H a - t tabel
IV.
0
H a t tabel
Manfaat Dari Analisis Regresi Sederhana
Salah satu kegunaan dari regresi adalah untuk memprediksi atau
meramalkan
nilai
suatu
variabel,
misalnya
kita
dapat
meramalkan konsumsi masa depan pada tingkat pendapatan tertentu. Selain itu analisis regresi sederhana juga digunakan untuk mengetahui apakah variabel-variabel yang sedang diteliti saling berhubungan. Dimana keadaan satu variabel membutuhkan adanya variabel yang lain dan sejauh mana pengaruhnya, serta dapat mengestimasi tentang nilai suatu variabel. Hal ini dapat digunakan untuk mengetahui kondisi ideal suatu variabel jika variabel yang lain diketahui.
V. Contoh Soal :
1. Diketahui hasil dari suatu penelitian terhadap hubungan antara biaya pemasaran dengan tingkat penjualan mobil PT. Alheefa Motor adalah sebagai berikut :
Biaya Pemasaran
Tingkat Penjualan Mobil
424
402
420
450
502
455
255
400
a. Tentukan persamaan regresinya?
STATISTIKA 2
Page 59
ATA 12/13
Modul Praktikum
b. Berapakah
besarnya
koefisien
korelasi
dan
koefisien
determinasinya? c. Berapakah besarnya kesalahan standar estimasinya? d. Dengan tingkat signifikan 5%, ujilah hipotesis yang menyatakan hubungan antara biaya pemasaran dan tingkat penjualan sedikitnya 40%! Dik : α = 5% = 0,05 β = 40% = 0,04
Dit
: a) Persamaan regresi ! b) r dan r2 ! c) Se ! d) Ujilah hipotesis !
Jawab : a. Menentukan persamaan regresi
Langkah 1 : Menentukan variabel X dan variabel Y. Dalam soal ini biaya pemasaran merupakan variabel X dan tingkat penjualan mobil adalah variabel Y.
Langkah 2 : Membuat tabel regresi sederhana. X2
Y2
XY
402
179776
161604
170448
420
450
176400
202500
189000
502
455
252004
207025
228410
255
400
65025
160000
102000
1601
1707
673205
731129
689858
Pemasaran
Tingkat
(X)
Penjualan (Y)
424
STATISTIKA 2
Page 60
ATA 12/13
Modul Praktikum
Langkah 3 : Menentukan koefisien a dan koefisien b. n ∑XY – ∑X . ∑Y b= n ∑X2 – (∑X)2 (4) (689858) – (1601) (1707) = (4) (673205) – (1601)2
= 0,2046 ∑Y – b ∑X a= n (1707) – (0,2046) (1601) a= 4 a = 344,8436
Langkah 4 : Menentukan persamaan regresi linear sederhana. Y = a + bX Y = 344,8436 + 0,2046X
STATISTIKA 2
Page 61
ATA 12/13
Modul Praktikum
b. Menentukan
besarnya
koefisien
korelasi
dan
koefisien
determinasi Koefisien korelasi : n (∑XY) - (∑X).(∑Y) r= [ n(∑X2) - (∑X)2 ]1/2 . [ n(∑Y2) - (∑Y)2 ]1/2 (4)(689858) – (1601)(1707) r= [ (4)(673205) – (1601)2 ]1/2 . [ (4)(731129) – (1707)2 ] ½
r = 0,7133
koefisien determinasi : r2 = (0,7133)2 = 0,5088 = 50,88%
c. Menentukan besarnya kesalahan standar estimasi. √(∑Y2 – a ∑Y – b ∑XY) Se = n–2 √(731129) – (344,8436)(1707) – (0,2046)(689858) Se = 4–2 Se =
25,59
d. Pengujian hipotesis 1. Tentukan Ho dan Ha Ho : β >= 0,4 Ha : β < 0,4 2. Uji hipotesis 1 arah 3. Tingkat signifikan (α) α = 0,05
STATISTIKA 2
Page 62
ATA 12/13
Modul Praktikum
4. Wilayah kritis t (α; db) Db = n – 2 = 4 – 2 = 2 t (0,05; 2) = 2,920 5. Nilai hitung Sb = Se / √ ((∑X2) – ((∑X)2 / n)) = 25,59 / √ ((673205) – ((1601)2 / 4)) = 0,1422 T hitung = b / Sb = 0,2046 / 0,1422 = 1,4388
Ha
-2,920
Ho
1,4388
6. Keputusan Tolak Ho, terima Ha 7. Kesimpulan Pendapat yang menyatakan bahwa hubungan biaya pemasaran dengan tingkat penjualan mobil sedikitnya 40% adalah salah, dimana biaya pemasaran tidak mempengaruhi tingkat penjualan mobil sebesar 50,88%.
STATISTIKA 2
Page 63
ATA 12/13
Modul Praktikum
2. Diketahui hasil dari suatu penelitian terhadap hubungan antara biaya iklan dengan tingkat penjualan ponsel adalah sebagai berikut :
Biaya Iklan
Tingkat Penjualan Ponsel
200
400
420
500
240
550
255
452
a. Tentukan persamaan regresinya? b. Berapakah
besarnya
koefisien
korelasi
dan
koefisien
determinasinya? c. Berapakah besarnya kesalahan standar estimasinya? d. Dengan tingkat signifikan 10%, ujilah hipotesis yang menyatakan hubungan antara biaya iklan dan tingkat penjualan sedikitnya 40%! Dik : α = 5% = 0,05 β = 40% = 0,04
Dit
: a) Persamaan regresi ! b) r dan r2 ! c) Se ! d) Ujilah hipotesis !
Jawab : a) Persamaan regresi : Y = 405,5872 + 0,2508 X b) Koefisien determinasi (R2) : 0,1431
c) Se : 72,9
STATISTIKA 2
Page 64
ATA 12/13
Modul Praktikum
d) Langkah pengujian hipotesis : 1. Tentukan Ho dan Ha Ho : β >= 0,4 Ha : β < 0,4 2. Uji hipotesis 1 arah 3. Tingkat signifikan (α) α = 0,05 4. Wilayah kritis t (α; db) Db = n – 2 = 4 – 2 = 2 t (0,05; 2) = 2,920 5. Nilai hitung T value : 0,578
Ha
Ho
-2,920
0,578
6. Keputusan Terima Ho, tolak Ha 7. Kesimpulan Pendapat yang menyatakan bahwa hubungan biaya iklan dengan tingkat penjualan ponsel sedikitnya 40% adalah benar, dimana biaya iklan mempengaruhi tingkat penjualan ponsel sebesar 14,31%.
STATISTIKA 2
Page 65
ATA 12/13
Modul Praktikum
DAFTAR PUSTAKA
Sunyoto, Danang. 2011. Analisis Regresi dan Uji Hipotesis. Yogyakarta : CAPS.
Tim Litbang Statistika 2. Modul Statistika 2. Jakarta : Laboratorium Manajemen Dasar, Universitas Gunadarma.
STATISTIKA 2
Page 66
ATA 12/13
