Johann Karl Friedrich Gauss ( ) adalah seorang Matematikawan Jerman yang lahir pada tanggal 30 April. Bakat Matematika

Standar Kompetensi: Menggunakan

konsep

Barisan dan Deret dalam Tahukah anda??

pemecahan masalah. Johann

Karl

Kompetensi dasar:

Friedrich Gauss (17771855)

adalah

Matematikawan

seorang Jerman

yang lahir pada tanggal 30 April. Bakat Matematika beliau sudah diperlihatkan semasa muda. Guru sekolah dasarnya meminta Gauss menulis bilangan 1 sampai 100 kemudian menghitung jumlahnya. Dengan cepat Gauss memberi jawaban 5050. Ia bisa menjawab secepat itu dengan menghitung diluar kepala, mengikuti pola berikut.

1 + 2 + 3 + ⋯ + 98 + 99 + 100 1 + 100 = 101 2 + 99 = 101 3 + 98 = 101 Karena ada 50 pasang bilangan, masingmasing

dengan

jumlah

101,

maka

seluruhnya adalah 50 × 101 = 5050.

jumlah

1. Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmatika dan geometri. 2. Menyelesaikan model Matematika masalah berkaitan deret.

dari yang dengan

Barisan dan Deret

Aritmatika

Geometri

Suku ke-n (Un)

Suku ke-n (Un)

Jumlah n suku pertama

Jumlah n suku pertama

Jumlah sampai tak hingga suku

Aplikasi barisan dan deret dalam kehidupan sehari-hari

BUKU AJAR MATEMATIKA/Edisi Barisan dan Deret

2

A. Barisan dan Deret Aritmatika A.1. Barisan Aritmatika Barisan Aritmatika adalah barisan bilangan-bilangan yang suku berikutnya didapatkan dengan cara menambahkan bilangan konstant kedalam suku berikutnya. Bilangan konstant tersebut disebut dengan beda. Contoh :

1. 1, 3, 5, 7, 9. . . . . beda = 2 2. 1, 4, 7, 10 . . . . . beda = 3 3. 80, 74, 68 . . . . . beda = −6

U1 , U2 , U3 . . . . . Un−1 , Un a b

b

b

Keterangan : U1 = a U2 = a + b U3 = a + 2b Un = a + n − 1 b

Dari ilustrasi diatas dapat disimpulkan bahwa rumus umum suku ke-n barisan aritmatika adalah

Un = a + n − 1 b dimana a adalah suku pertama dan b adalah beda

Contoh :

1. Tentukan rumus suku ke-n dan nilai dari suku ke-501 dari barisan 2, 5, 8, 11 . . . . Jawab : 2, 5, 8, 11 ….

U1 = a = 2

b = U2 − U1 = 5 − 3 = 2


3

Un = a + n − 1 b

Un = 3n − 1

=2+ n−1 3

= 3 501 − 1

= 2 + 3n − 3 = 3n − 1

= 1503 − 1 = 1502

∴ Un = 3n − 1 dan U501 = 1502 2. Diketahui barisan aritmatika suku ke-12 dan suku ke-21 sama dengan 29 dan 56. Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut! Jawab : U12 = 29 ⇒ U12 = a + 11b = 29

. . . . . .(1)

U21 = 56 ⇒ U21 = a + 20b = 56 −

. . . . . .(2)

−9b = −27 b=3 Substitusi b = 3 ke persamaan (1) a + 11b = 29

Un = a + n − 1 b

a + 11 3 = 29

= −4 + n − 1 b

a + 33 = 29

= −4 + 3n − 3

a = 29 − 33 = −4

= 3n − 7

∴ Un = 3n − 7

A.1.1. Suku tengah (Ut) Barisan Aritmatika Apabila banyak suku suatu barisan aritmatika ganjil dan minimal terdiri atas tiga suku maka terdapat suatu suku tengah yang disebut Ut. 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 → suku tengahnya 𝑈2 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , 𝑈4 , 𝑈5 → suku tenganya 𝑈3 Misalnya diberikan barisan aritmatika 𝑈1 , 𝑈2 , . . . 𝑈𝑡 , 𝑈𝑡+1 , . . . 𝑈2𝑡−1 dengan suku tengah 𝑈𝑡 dan banyanya suku 2𝑡 − 1, maka berdasarkan rumus 𝑈𝑛 diperoleh:


4

𝑈𝑡 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 1

1

1

= 2 2𝑎 + 2 2 𝑡 − 1 𝑏 = 2 [2𝑎 + 2 𝑡 − 1 𝑏] 1

= 2 [𝑎 + 𝑎 + 2𝑡 − 2 𝑏] → 𝑈2𝑡−1 1

1

= 2 𝑎 + 𝑈2𝑡−1 = 2 𝑈𝑖 + 𝑈2𝑡−1 Jadi, besarnya suku tengah dapat dihitung dengan rumus: 𝑈𝑡 =

1 1 𝑈1 + 𝑈2𝑡−1 atau 𝑈𝑡 = 𝑈1 + 𝑈𝑛 2 2

Contoh :

1. Tentukan suku tengah dari barisan aritmatika berikut 1, 5, 9, 13, 17 Jawab: 1, 5, 9, 13, 17

𝑈𝑛 = 17 𝑎=1

1

𝑈𝑡 = 2 1 + 17 = 9 ∴ Suku tengah barisan tersebut adalah 9 2. Diketahui barisan aritmatika 3, 8, 13, . . . , 283. Tentukan suku tengah barisan tersebut dan suku ke berapakah suku tengah tersebut! Jawab: 3, 8, 13, . . . , 283

𝑈𝑛 = 283 𝑎=3

𝑏 = 8−3 =5

1

𝑈𝑡 = 2 3 + 283 = 143 𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 maka 𝑈𝑡 = 𝑎 + 𝑡 − 1 𝑏 143 = 3 + 𝑡 − 1 5 143 = 3 + 5𝑡 − 5 5𝑡 = 143 + 2 𝑡=

145 5

= 29


5

∴ Suku tengah dari barisan berikut adalah 143 dan suku tengah tersebut merupakan suku ke-29

A.1.2. Sisipan Barisan Aritmatika Jika diantara dua suku yang berurutan dalam suatu barisan aritmatika dimasukkan satu atau lebih suku (bilangan) yang lain sehingga menjadi barisan aritmatika yang baru, maka proses ini disebut menyisipkan atau interpolasi. Misalkan, diantara dua suku (dua bilangan) U1 dan U2 disisipkan k bilangan sehingga terjadi barisan aritmatika, maka: Barisan pertama U1, U2 dimana beda 𝑏 = 𝑈2 − 𝑈1 . Apabila beda barisan aritmatika yang baru dimisalkan 𝑏′, maka barisan aritmatika baru ialah: 𝑈1 , 𝑈1 + 𝑏′ , 𝑈1 + 2𝑏′ , . . . , 𝑈1 + 𝑘𝑏′ , 𝑈2 𝑈1 + 𝑘𝑏 ′ + 𝑏 ′ = 𝑈2 ⇒ 𝑈1 + 𝑘 + 1 𝑏 = 𝑈2

Dimana

⇔ 𝑏′ =

𝑈2 −𝑈1 𝑘+1

atau 𝑏 ′ =

𝑏 𝑘+1

Jadi beda baru dari barisan aritmatika yang telah disisipkan sebuah bilangan berbeda dapat dicari dengan menggunakan rumus: 𝑏′ =

𝑏 𝑘+1

Contoh :

1. Diantara bilangan 2 dan 50 disisipkan 5 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika. Hitunglah beda dari barisan tersebut! Jawab: 𝑘=5


6

𝑏 = 50 − 2 = 48 𝑏

48

𝑏 ′ = 𝑘+1 = 5+1 =

48 6

=8

Jadi, beda barisan yang baru adalah 8 2. Sisipkanlah sebelas bilangan diantara 23 dan 119 sehingga terjadi sebuah barisan aritmatika. Tentukanlah barisan itu! Jawab: 23,119

𝑛 =2 𝑏 = 119 − 23 = 96 𝑘 = 11

𝑏′ =

𝑏 𝑘+1

=

96 11+1

=

96 12

=8

Banyak suku baru 𝑛′ = 𝑛 + 𝑛 − 1 𝑘 = 2 + 2 − 1 11 = 13 Jadi, barisan aritmatika yang dimaksud adalah 23, 23 + 𝑏 ′ , 23 + 2𝑏 ′ , 23 + 3𝑏 ′ , . . . , 23 + 11𝑏 ′ , 119 . . . . . . 1 23, 31, 39, 47, . . . 111, 119 Alternatif lain: Untuk menentukan beda baru 𝑏 ′ barisan aritmatika dapat digunakan persamaan (1) dengan rumus: 23 + 12𝑏 ′ = 119 ⇒ 12𝑏 ′ = 119 − 23 ⇒ 𝑏 ′ =

96 =8 12

A.2. Deret Aritmatika Deret Aritmatika adalah jumlah suku-suku dari barisan aritmatika. Adapun bentuk umum dari deret aritmatika adalah: U1 + U2 + U3 + . . . . . +Un atau a + a + b + a + 2b + . . . . . + a + n − 1 b


7

Jika Sn merupakan jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmatika, maka rumus umum untu Sn dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + . . . 𝑈𝑛 Maka 𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 + 2𝑏 + . . . + 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 𝑆𝑛 = 𝑈𝑛 + 𝑈𝑛 − 𝑏 + 𝑈𝑛 − 2𝑏 + . . . +𝑎

+

2𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑈𝑛 + 𝑎 + 𝑈𝑛 + 𝑎 + 𝑈𝑛 +. . . + 𝑎 + 𝑈𝑛 Penjumlahan sebanyak n suku 1 2𝑆𝑛 = 𝑛 𝑎 + 𝑈𝑛 ⟹ 𝑆𝑛 = 𝑛 𝑎 + 𝑈𝑛 2 1

𝑆𝑛 = 2 𝑛[𝑎 + 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏 ] 1

𝑆𝑛 = 2 𝑛[2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏] Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah: 1

1

𝑆𝑛 = 2 𝑛[2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏] atau 𝑆𝑛 = 2 𝑛 𝑎 + 𝑈𝑛

Contoh :

1. Tentukan jumlah suku 200 suku pertama dari deret 2+5+8+11+. . . , Jawab: 2 + 5 + 8 + 11+. . .,

𝑎=2 𝑏 = 𝑈2 − 𝑈1 = 5 − 2 = 3 𝑛 = 200

U1 U2 1

𝑆𝑛 = 2 𝑛[2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏]


8

1

𝑆200 = 2 200[2.2 + 200 − 1 3] = 100 4 + 199.3 = 100 4 + 597 = 100 601 = 60100 2. Tentukan jumlah bilangan pertama dari deret

4 + 8 + 12 +

16+ . . . +196 Jawab: 4 + 8 + 12 + 16+ . . . +196

𝑎=4 𝑏 = 𝑈2 − 𝑈1 = 8 − 4 = 4 𝑈𝑛 = 196

𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏

1

𝑆𝑛 = 2 𝑛 𝑎 + 𝑈𝑛

196 = 4 + 𝑛 − 1 4 1

= 2 49 4 + 196

196 = 4 + 4𝑛 − 4

1

= 2 49 200

4𝑛 = 196 𝑛 = 49

= 49.100 = 4900

Soal Latihan

A. Berilah tanda silang (x) huruf a,b,c,d atau e pada jawaban yang paling benar! 1. Suku ke 11 dari barisan 7,8,9,11,.... adalah.. a. 19

b. 20

c. 23

d. 27

e. 22

2. Diketahui suku ke-2 deret aritmatika sama dengan 5 suku ke-4 = 8. Suku ke satu adalah.. a. -2

b. 3

c. 2

d. 1

e. 4

3. Diketahui deret aritmatika suku. Suku ke-4=17, dan suku ke-9=37. Suku ke-21 adalah.. a. 65

c. 89

b. 69

d. 99

e. 84


9

4. Dari suatu barisan aritmatika, suku ketiga adalah 7, jumlah suku ke dua dan ketujuh adalah 20. Suku pertama deret tersebut adalah... a. -2

b. 2

c. 1

d. -1

e. 3

5. Biaya penggalian parit sebagai berikut. Satu meter pertama biayanya Rp 30.000,00; 1 m kedua biayanya bertambah Rp 5.000,00; 1 m ketiga biayanya bertamabah Rp 5.000,00; demikian seterusnya. Jika biaya penggalian seluruhnya habis Rp 525.000,00; maka dalamnya sumur tersebut adalah... meter. a. 100

c. 11

b. 98

d. 20

e. 20

6. Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatia 80+77+74+... adalah... a. 764 c. 692 e. 759 b. 763 d. 665 7. Suku ke-n barisn aritmatika dinyatakan dengan Un. Jika U1+U3 = 10 dan jumlah 3 suku pertama deret itu 15, nilai U1.U3 =.... a. 21

c. 16

b. 18

d. 12

e. 15

8. Diketahui suku pertama dari barisan aritmatika adalah -5 dan suku ke3 merupakan lawan dari suku pertama, maka besaran suku ke-7 adalah... a.

5

c. 15

b. 20

d. 25

e. 10

9. Diketahui suku pertama dari barisan aritmatika adalah -5 dan suku ke3 merupakan lawan dari suku pertama, maka besaran suku ke-7 adalah... a. 5 c. 20 e. 15 b. 10 d. 25 10. Suku ke-n suatu deret aritmatika adalah Un=2n-7. Jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah... a. -5 c. 1 e. -1 b. -2 d. 3


10

B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan jelas! 1. Diketahui tiga bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 15 dan hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 80, maka nilai ketiga bilangan tersebut! 2. Tentukan K jika -3+4+11+...+k=225! 3. Diketahui Matriks A=(

𝑈1 𝑈3 ) Un adalah suku ke-n barisan 𝑈2 𝑈4

aritmatika. Jika U6=18 dan U10=30, maka tentukanlah determinan matriks A! 4. Dari suatu deret aritmatika, diketahui U5=5 dan U10=15. Tentukan S20! 5. Dari suatu deret aritmatika diketahui jumlah 4 suku pertamanya sama dengan 20 dan jumlah 7 suku pertamanya sama dengan 35. Tentukan suku pertama dari deret tersebut!

B. Barisan dan Deret Geometri B.1. Barisan Geometri Suatu barisan disebut barisan geometri jika perbandingan dua suku berurutan selelu tetap (konstan). Misal ada barisan sebagai berikut: 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , … , 𝑈𝑛−1 , 𝑈𝑛 Jika 𝑈𝑛 𝑈𝑛−1

𝑈2 𝑈1

=

𝑈3 𝑈2

=⋯=

𝑈𝑛 𝑈𝑛−1

maka barisan tersebut adalah barisan geometri. Jika

disebut rasio (r) maka barisan geometri adalah barisan yang mempunyai

rasio tetap.


11

B.1.1. Syarat Barisan Geometri 2

𝑈2

= 𝑈1 . 𝑈3 atau 𝑈𝑛

2

= 𝑈𝑛−1 . 𝑈𝑛+1

Contoh : 1

2𝑘 − 5 , 𝑘 − 4 , 5 𝑘 − 4 , … menjadi barisan

Supaya barisan

geometri maka tentukan nilai k! Jawab : 𝑈2 𝑈1 𝑘−4 2𝑘−5

= =

𝑈3 𝑈2 1 5

𝑘−4 𝑘−4

1

𝑘 − 4 𝑘 − 4 = 5 𝑘 − 4 2𝑘 − 5 1

𝑘 2 − 8𝑘 + 16 = 5 2𝑘 2 − 13 + 20 5 𝑘 2 − 8𝑘 + 16 = 2𝑘 2 − 13 + 20 5𝑘 2 − 40𝑘 + 80 = 2𝑘 2 − 13 + 20 5𝑘 2 − 2𝑘 2 − 40𝑘 + 13𝑘 + 80 − 20 = 0 3𝑘 2 − 27𝑘 + 60 = 0 𝑘 2 − 9𝑘 + 20 = 0

Dibagi 3 semua Setelah itu di faktorkan

𝑘−5 𝑘−1 Jadi, nilai k nya adalah 𝑘 = 5 atau 𝑘 = 1

B.1.2. Rumus Suku ke-n Barisan Geometri Jika 𝑈1 = 𝑎 dan

𝑈2 𝑈1

=

𝑈𝑛 𝑈𝑛−1

= 𝑟, maka

𝑈𝑛 = 𝑎 . 𝑟 𝑛−1

Contoh :

Tentukan suku ke-10 dari barisan geometri berikut: 3, 6, 12, 24,...! Jawab :

𝑟=

𝑈2 𝑈1

6

= =2 3

𝑈10 = 𝑎 . 𝑟 9


12

𝑈10 = 3 . 2

9

= 3 . 512 = 1536 Jadi, U10 dari barisan geometri diatas adalah 1536

B.1.3. Suku Tengah (Ut) Barisan Geometri Misal 𝑈𝑡 adalah suku tengah dari barisan sebagai berikut: 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , … , 𝑈𝑡 , 𝑈𝑛−2 , 𝑈𝑛−1 , 𝑈𝑛 Maka:

𝑡=

𝑈𝑡 = 𝑎. 𝑟 𝑡−1 𝑈𝑡 = 𝑎. 𝑟 ( = 𝑎. 𝑟

𝑛+1 2

𝑛+1 )−1 2

𝑛−1 2

= √𝑎. 𝑟 𝑛−1 =

𝑎. 𝑈𝑛

Jadi rumus yang dapat digunakan untuk mencari suku tengah adalah:

𝑈𝑡 =

𝑎. 𝑈𝑛

Contoh :

Diketahui barisan geometri sebagai berikut:

1 1

, , 1, … ,64. Tentukan

4 2

suku tengahnya! Jawab: 𝑈𝑡 =

𝑎. 𝑈𝑛 1

𝑈𝑡 = √4 × 64 1

𝑈𝑡 = 2 × 8 = 4

B.1.4. Sisipan Barisan Geometri Misalkan antara 2 suku berurutan barisan geometri, disisipkan k buah bilangan sehingga terjadi arisan geometri yang baru sebagai berikut:


13

a,.....................................,ar maka 𝑎, 𝑎𝑟 ′ , 𝑎 𝑟′ 2 , 𝑎 𝑟′ 3 , … , 𝑎 𝑟′ 4 𝑘, 𝑎𝑟

Disisipkan sebanyak k bilangan

Karena barisan diatas adalah barisan geometri maka: 𝑎𝑟 𝑎 𝑟′ 𝑘

𝑟′

𝑘+1

= 𝑟′ =𝑟

′

𝑟 = 𝑟

1 𝑘+1

Jadi rumus yang dapat digunakan untuk mencari rasio baru setelah barisan geometri disisipkan beberapa bilangan adalah:

𝑟′ = 𝑟

1 𝑘+1

B.2. Deret Geometri Seperti halnya pada deret aritmatika, jika kita memiliki suatu barisan geometri maka dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut, yang disebut deret geometri. Deret geometri terbagi menjadi beberapa jenis, yaitu: B.2.1. Deret Geometri Berhingga Secara umum dapat dinyatakan bahwa: Jika 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , … 𝑈𝑛 merupakan suku-suku dari suatu barisan geometri maka 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 disebut deret geometri, dengan 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1 . Jika 𝑆𝑛 merupakan jumlah n suku pertama dari deret geometri, maka rumus untuk 𝑆𝑛 dapat ditentukan dengan langkah sebagai berikut. 𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 + ⋯ + 𝑈𝑛


14

Maka: 𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−2 + 𝑎𝑟 𝑛−1 Kalikan 𝑆𝑛 dengan r 𝑟𝑆𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−1 + 𝑎𝑟 𝑛 Kurangkan 𝑟𝑆𝑛 terhadap 𝑆𝑛 𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−2 + 𝑎𝑟 𝑛−1 𝑟𝑆𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛−1 + 𝑎𝑟 𝑛

−

𝑆𝑛 − 𝑟𝑆𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑟 𝑛 𝑆𝑛 1 − 𝑟 = 𝑎 1 − 𝑟 𝑛 𝑆𝑛 =

𝑎 1−𝑟 𝑛 1−𝑟

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret geometri adalah:

𝑆𝑛 =

𝑎 1−𝑟 𝑛

untuk 𝑟 < 1 atau 𝑆𝑛 = 1−𝑟 suku pertama, dan r adalah rasio.

𝑎 𝑟 𝑛 −1 𝑟−1

; untuk 𝑟 > 1, a adalah

Contoh : 1

1

Hitunglah jumlah 7 suku pertama deret geometr −2 + 1 − 2 + 4 − ⋯ Jawab: Oleh karena

𝑎 = −2

1 𝑟 = − < 1, 2 Maka menggunakan rumus: 𝑎 1 − 𝑟𝑛 𝑆𝑛 = 1−𝑟

1

𝑟 = −2 𝑛=7

𝑆7 =

1 7 2 1 1−(−2)

−2[1−(− ) ]

−2(1+

=

3 2

1 ) 128

=

−4(

129 ) 128

3

129 1 43 𝑆7 = −4 ( ). = − 128 3 32


15

B.2.2. Deret Geometri Tak Hingga 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ = 𝑆 a

Ada (konvergen) untuk −1 < 𝑟 < 1 yaitu S~ = 1−r S= ~ (divergen) untuk 𝑟 ≤ −1 atau 𝑟 ≥ 1

Contoh :

Seorang berjalan dengan kecepatan 12km/jam selama 1 jam pertama. Pada 1 jam kedua kecepatan berkurang menjadi sepertiganya, demikian juga pada 1 jam berikutnya kecepatannya menjadi sepertiga dari sebelumnya. Jarak terjauh yang dapat ditempuh orang itu selama perjalanan adalah...(SBMPTN 2009) Jawab: a

S~ = 1−r =

12 1−

1 3

=

12 2 3

= 18

Soal Latihan

A. Berilah tanda silang (x) huruf a,b,c,d atau e pada jawaban yang paling benar! 1. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika dengan beda empat. Jika suku kedua dikurangi 2 maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 13. Rasio barisan tersebut adalah ... a. 9

c. 3

b. 2

d. 1

e. −1


16

2. Jika Jumlah semua suku deret geometri tak berhingga adalah 6, sedangkan jumlah suku-sukunya yang bernomor genap adalah 2, maka suku pertama deret itu adalah ... a. 2

b. 3

c. 4

d. 5

e. 6

3. Rasio barisan geometri sebesar 3 dan suku ke-8 adalah 10.935, maka suku ke-5 adalah ... a. 400

b. 435

c. 420 𝑈4

4. Dari deret geometri diketahui

𝑈6

d. 415

e. 405 1

= p dan 𝑈2 × 𝑈8 = 𝑝 maka 𝑈1

adalah ... a. P

1

c. 𝑝

b. 𝑝

5. Jika ℎ + 1, ℎ − 1, ℎ − 5

1

d.

e. 𝑝 𝑝

√𝑝

membentuk deret geometri, maka nilai h

adalah ... a. 2

b. 3

c. 4

e. −5

d.−3

6. Suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah 𝑎−4 𝑑𝑎𝑛 𝑎 𝑥 . Jika suku kedelapan ialah 𝑎52 , maka 𝑥 sama dengan … a. −32 7. Dalam

b. −16 sebuah

deret

c. 4 geometri

d. 8 diketahui

e. 5

𝑈9 = 128 𝑑𝑎𝑛 𝑈4 =

4. Nilai 𝑆10 = ⋯ a. 551

1

b. 511

1

c. 5112

d. 5122

e. 512

8. Diketahui 3 + 32 + 33 + ⋯ + 3𝑛 = 120. Banyaknya suku pada deret tersebut adalah ... a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5

9. Jumlah 5 suku pertama sebuah deret geometri adalah −33. Jika nilai perbandingannya adalah −2, maka jumlah suku ke-3 dan ke-4 deret ini adalah ... a. 18

b. 12

c. 15 1

d. 14 1

1

e. 45

1

10. Jumlah tak hingga dari 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ⋯ adalah ... a.

1 3

2

b. 3

5

c. 6

4

d.3

5

e. 8


17

B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan jelas! 1. Jumlah n suku pertama dari deret: log 3 + log 9 + log 27 + log 81 + ⋯ adalah ... 2. Di ketahui deret: sin 𝑥 + sin 𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + ⋯ Suku ke − n dari deret tersebut adalah … 3. Suatu deret aritmatika tediri dari atas tiga suku. Bila suku yang di tengah dikurangi 5, maka berubah menjadi deret geometri dengan rasio=2. Suku ketiga deret tersebut adalah ... 4. Dari barisan geometri naik diketahui bahwa jumlah suku ke-3 dan suku ke-5 sama dengan 40, dan jumalh logaritma dari 5 sukunya yang pertama sama dengan 15 log 2. Rasio barisan itu adalah ... 5. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika hasil kali ketiga bilangan = 8000 dan jumlah bilangan terkecil dan terbesar = 104, maka rasio barisan di atas adalah ....

C. Aplikasi Deret Dan Barisan Dalam Kehidupan Sehari-Hari Apakah kalian sering mendengar istilah untung, rugi, modal, jasa, bunga, deposito, menabung, bunga tunggal, bunga majemuk,diskon, anuitas dan lain-lain? Kata-kata tersebut sering kita dengarkan dalam istilah perdagangan dan keuangan. Kata-kata tersebut merupakan contoh aplikasi deret dan barisan matematika dalam kehidupan sehari-hari. C.1. Bunga Tunggal Bunga suatu modal dikatakan bunga tunggal apabila sepanjang waktu transaksi keuangan, hanya modal semula yang berbunga.


18

Dari definisi di atas,maka dapat diturunkan teorema sebagai berikut: Teorema

Besar bunga tunggal dari sebuah modal 𝑀𝑜 , yang diinvestasikan selama

𝑛 satuan waktu(misal tahun atau bulan) dengan suku bunga = 𝑟 persatuan waktu sam dengan 𝑏𝑛 = 𝑀𝑜 𝑟 𝑛, sedangkan besarnya modal pada akhir n satuan waktu adalah 𝑀𝑛 = 𝑀𝑜 + 𝑏𝑛 = 𝑀𝑜 + 𝑀𝑜 𝑟 𝑛 = 𝑀𝑜 1 + 𝑟 𝑛

Contoh :

Pada awal tahhun, modal sebesar Rp 1.000.000,00 diinvestasikan dalam sebuah perusahaan dengan presentase bunga tunggal 10% tiap tahun dalam waktu 5 tahun. Tentukanlah besarnya bunga pada akhir tahun ke-5 dan besar modal setelah uang diambil kembali. Jawab: Dik: 𝑀𝑜 = 𝑅𝑝1.000.000,00 ; 𝑟 = 10% ; 𝑛 = 5 𝑏𝑛 = 𝑀𝑜 𝑟 𝑛 = 1.000.000,00 × 10% × 5 = 5.00.000 Jadi , besarnya bunga pada akhir tahun ke-5 adalah 𝑅𝑝 500.000,00 𝑀5 = 𝑀𝑜 1 + 𝑟 𝑛 = 1.000.000,00 1 + 10% × 5 = 1.000.000,00 1,5 = 1.500.000 Jadi, modalnya menjadi 𝑅𝑝1.500.000,00 C.1.1. Macam-Macam Bunga Tunggal 

Bunga Tunggal Eksak Bunga tunggal eksak memperhitungkan 1 tahun 365 hari atau 366 hari untuk tahun kabisat. o Bunga tunggal eksak dengan waktu yang sebenarnya. 1 tahun = 365 hari atau 366 hari, 1 bulan – jumlah hari dalam kalender o Bunga tunggal eksak dengan waktu pendekatan


19

1 tahun = 365 hari atau 366 hari, 1 bulan = 30 hari 

Bunga Tunggal Biasa Binga tunggal biasa memperhitungkan 1 tahun = 360 hari o Bunga tunggal biasa dengan waktu sebenarnya 1 tahun= 360 hari 1 bulan = jumlah hari dalam kalender o Bunga tunggal biasa dengan waktu pendekatan 1 tahun= 360 hari dan 1 bulan = 30 hari Contoh :

Modal sebesar Rp5.000.000,00 diinvestasikan dari april 2009 sampai dengan juli 2009, presentase bunga 6% per tahun. Tentukan : 1. Besar bunga tunggal eksak dengan waktu sebenarnya 2. Besar bunga tunggal eksak dengan waktu pendekatan 3. Besar bunga tunggal biasa dengan waktu sebenarnya 4. Besar bunga tunggal biasa dengan waktu pendekatan Jawab: a.

Dik: 𝑀𝑂 = 5.000.00,00 ; 𝑟 = 6% per tahun Tahun 2005 bukan tahun kabisat, maka 1 tahun = 365 hari Banyaknya hari dari 20 april sampai 1 juli = 30 − 20 + 31 + 30 + 1 = 72 ℎ𝑎𝑟𝑖 72

𝑛 = 72 ℎ𝑎𝑟𝑖 = 365 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 𝑏𝑛 = 𝑀𝑜 𝑟 𝑛 = 5.000.000 × 6% ×

72 = 59.178,08 365

Jadi, bunga tunggal eksak dengan waktu sebenarnya adalah 𝑅𝑝59.178,08 b.

Dik: Mo = 5.000.000 ; r = 6% per tahun; 1 tahun = 365 hari; 1 bulan = 30 hari 1-7-2009 ditulis

2009-6-31

20-4-2009 ditulis

2009-4-20 0-2-11

Jadi,

waktu

pendekatannya

ditulis

0 tahun + 2 bulan + 11 hari

= 0 + 2 × 30 + 11 = 71hari.


20

71

𝑏𝑛 = 𝑀𝑜 𝑟 𝑛 = 5.000.000 × 6% × 365 = 58.365,16 Jadi, bunga tunggal eksak dengan waktu pendekatan = 𝑅𝑝58.365,16

c.

Dik: 𝑀𝑜 = 5.000.000; 𝑟 = 6% per tahun; 1 tahun = 360 hari s ∑ hari dari 20 april 1 juli = 30 − 20 + 31 + 30 + 1 = 72 hari d 72 𝑏𝑛 = 𝑀𝑜 𝑟 𝑛 = 5.000.000 × 6% × = 60.000 360 Jadi, bunga tunggal biasa dengan waktu sebenarnya = 𝑅𝑝60.000,00

d.

Dik: 𝑀𝑜 = 5.000.000; 𝑟 = 6% per tahun; 1 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 = 360 hari; 1 bulan = 30 hari 1-7-2009 ditulis

2009-6-31

20-4-2009 ditulis

2009-4-20 0-2-11

∴ waktu pendekatan 0 tahun + 2 bulan + 11 hari = 0 + 2 × 30 + 11 = 71 hari 𝑛 = 71 hari

71 tahun 360

𝑏𝑛 = 𝑀𝑜 𝑟 𝑛 = 5.000.000 × 6% ×

71 = 59.166,67 360

Jadi, bunga tunggal eksak dengan waktu pendekatan = 𝑅𝑝59.166,67

C.2. Bunga Majemuk Jika sebuah modal dibungakan dan tiap periode waktu tertentu digabungkan (ditambahkan) dengan modalnya, maka akan ada modal baru pada periode berikutnya. Selanjutnya, modal baru ini juga dibungakan pada periode berikutnya, dan demikian seterusnya. Bunga dengan sistem seperti ini disebut bunga majemuk. Penggabungan bunga dan modal dalam periode tertentu dapat dalam jangka tahunan, semesteran, caturwulan, triwulan, atau dalam satuan waktu lainnya. Jika dalam 1 tahun terjadi 𝑛 kali penggabungan


21

bunga dengan modalnya maka dikatakan frekuensi penggabungan bunga dan modalnya sama dengan 𝑛. Jarak waktu antara penggabungan bunga yang berurutan disebut periode bunga atau periode pengembalian. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut : Contoh :

Sebuah modal sebesar Rp1.000.000,00 dibungakan selama setengah tahun, dengan bunga majemuk 5% tiap tahun dan penggabungan modal dan bunganya tiap tiga bulan. Tentukan : a. Periode bunganya. b. Frekuensi penggabungannya. c. Suku bunga untuk periode bunganya. d. Banyak periode bunga selama peminjaman. e. Besar modal akhir selama setengah tahun. Jawab: a. Penggabungan bunga dan modal tiap tiga bulan, jadi periode bunganya 3 bulan. b. Tiap 3 bulan terjadi penggabungan, maka dalam 1 tahun terjadi

12 3

penggabungan. Jadi, frekuensi penggabungannya = 4. c. Suku bunga untuk periode bunga 𝑟 =

0,05 4

= 0,0125 atau 1,25% 1

d. Banyak periode bunga selama peminjaman = 2 e. Pada akhir periode bunga kesatu: 𝑏1 = 𝑀𝑜 𝑟 = 100.000 × 1,25% = 1250 Modal baru pada akhir periode bunga kesatu: 𝑀1 = 𝑀𝑜 + 𝑏1 = 100.000 + 1.250 = 101.250 Pada akhir periode bunga kedua: 𝑏2 = 101.250 × 1,25% = 1.265,63 𝑀2 = 101.250 + 1.265,63 = 102.515,63 Jadi, setelah setengah tahun adalah Rp102.515,63 Dari contoh diatasdapat diperoleh rumus sebagai berikut:


22

Jika modal sebesar 𝑀𝑂 dibungakan dengan bunga majemuk r untuk setiap periode bunga, maka modal akhir setelah n periode bunga sama dengan: 𝑀𝑛 = 𝑀𝑜 1 + 𝑟

𝑛

Contoh :

Modal sebesar Rp1.000.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 10% tiap tahunnya. Tentukan jangka waktunya agar nilai akhir menjadi 2 kali nilai tunai. Jawab: Dik: 𝑀𝑜 = 1.000.000; 𝑟 = 10% tiap tahun; 𝑀𝑛 = 2 × 1.000.000 = 2.000.000; Dit: 𝑟 =? 𝑀𝑛 = 𝑀𝑜 1 + 𝑟

𝑛

𝑀𝑛 = 𝑀𝑜 1 + 𝑟

−𝑛

𝑀𝑜 = 𝑀𝑜 1 + 𝑟

−𝑛

log 𝑀𝑜 = log 𝑀𝑜 1 + 𝑟

−𝑛

log 106 = log 2 × 106 − 𝑛 log 1 + 0,1 6 = log 2 × 106 − 𝑛 log 1,1 6 = log 2 + 106 − 𝑛 log 1,1 6 = 0,301 + 6 − 𝑛 0,0414 6 = 6,301 − 𝑛 0,0414 0,301

𝑛 = 0,0414 = 7,72 = 7 Jadi, harus dibungakan selama 7 tahun. C.3. Anuitas 1. Pengertian Anuitas Perhatikan contoh di bawah ini: a.

Pembayaran gaji karyawan perusahaan pada akhir bulan selama 1 tahun sesuai kontrak.


23

b.

Pembayaran uang kos pada awal bulan selama kuliah.

Pada contoh diatas terlihat terjadi pembayaran berurutan yang tetap dalam jangka waktu tertentu. Suatu pembayaran seperti inilah yang diberi nama anuitas. Jangka waktu antara pembayaran-pembayaran tetap misal 1 minggu, 1 bulan,1 tahun, disebut interval(periode) pembayaran. Waktu dari mulai iterval pertama sampai interval pembayaran terakhir disebut jangka pembayaran / pelunasan. Ada 2 Macam Anuitas yaitu: a. Anuitas Pasti Yaitu anuitas yang tanggal pembayarannya mulai dan terakhirnya pasti. Contoh: pelunasan hutang. b. Anuitas Tidak Pasti Yaitu anuitas yang jangka pembayarannya tidak pasti. Contoh: pembayaran santunan asuransi kecelakaan. 2. Pembuatan Tabel Rencana Angsuran Secara Anuitas Perhatikan ilustrasi berikut: Pak ali membeli rumah dari sebuah developer. Untuk itu ia meminjam uang ke sebuah bank sebesar 𝑀𝑜 rupiah, dengan presentase bunga sebesar r tiap bulan dalam jangka waktu n bulan. Uatang tersebut akan dilunasi secara anuitas sebesar 𝐴 rupiah. Rencana angsurannya digambarkan sebagai berikut. Pada akhir bulan pertama Pak ali membayar kepada bank sebesar A rupiah, uang ini digunakan untuk membayar bunga dan angsuran bulan pertama 𝑏1) sebesar 𝑀𝑜 𝑟 dan untuk angsuran pertama sebesar 𝑎1 sebesar 𝑎1 = 𝐴 − 𝑏1 = 𝑀𝑜 𝑟 Sehingga sisa utang akhir bulan pertama 𝑀1 = 𝑀𝑜 − 𝑎1 . sisa utang ini akan menjadi utang awal bulan kedua.


24

Pada akhir bulan kedua Pak ali membayar kepada bank sebesar A rupiah, uang ini digunakan untuk membayar bunga dan angsuran bulan kedua 𝑏2 sebesar 𝑀1 𝑟 dan untuk angsuran pertama 𝑎2 sebesar 𝑎2 = 𝐴 − 𝑏2 = 𝐴 − 𝑀1 𝑟 Sehingga sisa utang akhir pertama 𝑀2 = 𝑀1 − 𝑎2 . Sisa utang ini akan menjadi utang awal bulan kedua........................dan seterusnya. Pada akhir bulan terakhir. Pak ali membayar kepada bank sebesar A rupiah, uang ini akan digunakan untuk membayar bunga dan angsuran bulan terakhir 𝑏1 sebesar 𝑀𝑛−1 𝑟 dan untuk angsuran terakhir 𝑎𝑛 sebesar 𝑎𝑛 = 𝐴 − 𝑏𝑛 = 𝐴 − 𝑀𝑛−1 𝑟. Sehingga sisa utang akhir bulan pertama 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛−1 = 𝑎𝑛 = 0. Tabel rencananya seperti dibawah ini:


25

Dari ilustrasi tersebut, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: Pembayaran tiap akhir interval tetap sebesar A rupiah, dengan perincian untuk membayar bunga tiap periode pembayaran yang nilainya makin berkurang(mengapa?) sesuai naiknya nilai angsuran (𝐴 = 𝑎1 + 𝑏1 = 𝑎2 + 𝑏2 = ⋯ = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 dan untuk membayar angsuran. 1. 𝑏𝑚 = 𝑀𝑚−1 𝑟 2. 𝑎𝑚 = 𝐴 − 𝑏𝑚 3. 𝑀0 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 4. 𝑀𝑚 = 𝑀𝑚−1 + 𝑎𝑚 5. 𝑀𝑛 = 0 Keterangan: 𝐴 : besar anuitas 𝑎𝑚 : besar angsuran pada periode pembayaran ke-m 𝑏𝑚 : besar bunga selam periode ke-m 𝑟 : besar presentase bunga per periode 𝑀𝑜 : besar uang yang dipinjam 𝑀𝑛 : besar sisa pinjaman pada akhir periode pembayaran 𝑛 : jangka waktu pembayaran

Contoh :

Pak badu meminjam uang di bank sebesar Rp1.000.000,00 diangsur selama anuitas dengan angsuran sebesar Rp230.974,80 selama 5 tahun, dengan suku bunga 5% per tahun. Buatlah tabel rencana angsurannya. Jawab: Akhir tahun pertama Dibayar

𝐴 = 𝑅𝑝230.974,80

Pembayaran bunga 5% × 1.000.000

𝑏1 = 𝑅𝑝50.000,00

Jadi angsuran pertama

𝑎1 = 𝑅𝑝180.974,80


26

Sisa utang akhir tahun pertama = 𝑅𝑝1.000.000,00 − 𝑅𝑝180.974,80 𝑀1 = 𝑅𝑝819.025,20 Akhir tahun kedua 𝐴 = 𝑅𝑝230.974,80

Dibayar

Pembayaran bunga 5% × 𝑅𝑝819.025,20 𝑏1 = 𝑅𝑝40.951,26 Jadi angsuran kedua

𝑎1 = 𝑅𝑝190.023,54

Sisa utang akhir tahun kedua = 𝑅𝑝819.025,20 − 𝑅𝑝190.023,54 𝑀1 = 𝑅𝑝629.001,66 Akhir tahun ketiga Dibayar

𝐴 = 𝑅𝑝230.974,80

Pembayaran bunga 5% × 629.001,66

𝑏1 = 𝑅𝑝31.450,00

Jadi angsuran tahun ketiga

𝑎1 = 𝑅𝑝199.524,72

Sisa utang akhir tahun ketiga = Rp429.476,94– Rp199.524,72 𝑀1 = 𝑅𝑝429.476,94 Akhir tahun keempat Dibayar

𝐴 = 𝑅𝑝230.974,80


𝑏1 = 𝑅𝑝21.473,85

Jadi angsuran tahun keempat

𝑎1 = 𝑅𝑝209.500,95

Sisa utang akhir tahun keempat = 𝑅𝑝219.975,99 − 𝑅𝑝219.975,99 𝑀1 = 𝑅𝑝219.975,99 Akhir tahun kelima Dibayar

𝐴 = 𝑅𝑝230.974,80


𝑏1 = 𝑅𝑝10.998,81

Jadi angsuran tahun kelima

𝑎1 = 𝑅𝑝219.975,99

Sisa utang akhir tahun kelima = 𝑅𝑝219.975,99 − 𝑅𝑝219.975,99 𝑀1 = 𝑅𝑝0


27

Tabel rencana angsurannya sebagai berikut: Anuitas = Rp 𝐴 Bulan

Utang Awal

Bunga 𝑏

ke-

Bulan

dengan Suku

Sisa Utang Akhir Bulan

Angsuran 𝑎

𝑀

Bunga = 𝑟 1.

𝑅𝑝1.000.000,00 𝑅𝑝50.000,00

𝑅𝑝180.974,80 𝑅𝑝819.025,20

2.

𝑅𝑝819.025,20

𝑅𝑝40.951,26

𝑅𝑝190.023,54 𝑅𝑝629.001,66

3.

𝑅𝑝629.001,66

𝑅𝑝31.450,08

𝑅𝑝199.023,54 𝑅𝑝429.476,94

4.

𝑅𝑝429.476,94

𝑅𝑝21.473,85

𝑅𝑝209.500,95 𝑅𝑝219.975,99

5.

𝑅𝑝219.975,00

𝑅𝑝10.998,81

𝑅𝑝219.975,99

𝑅𝑝0

Soal Latihan

Jawablah pertanyaan berikut ini dengan benar! 1. Seorang tukang kayu meminjam uang kepada pengusaha meubel sebesar Rp1.000.000. selama 1 tahun suku bunganya sebesar 15%. Tentukan: a. Besar modal b. Besar bunga c. Jumlah yang harus dikembalikan d. Jenis bunganya 2. Badrun meminjam uang Rp2.000.000,00 kepada dini selama jangka waktu 1 bulan. Badrun diminta untuk mengembalikan hutangnya menjadi satu seperempat kali lebih besar. Berapa & suku bunga pinjaman tersebut? 3. Diki meminjam uang Rp1.000.000,00 selama 75 hari dengan suku

bunga 5% pada tahun 2008 dan tahun 2009. Hitunglah dengn bunga tunggal eksak dan bunga tunggal biasa.


28

4. Berapa bunga majemuk yang diperoleh jika modal Rp1.000.000,00 disimpan di bank dengan suku bunga 6% selama 3 tahun dan 5 tahun masing-masing? 5. Modal M disimpan dengan suku bunga 4% perbulan yang bunganya sama dengan bila disimpan dengan bunga majemuk dengan suku bunga x% per bulan selama 3 bulan. Tentukan x! 6. Modal sebesar Rp1.00.000,00 sisimpan selama 1 tahun dengan suku bunga 2% per bulan. Tentukan besarnya bunga majemuk.


29

BIODATA PENULIS

Ery Eryani Perempuan kelahiran Cirebon, 5 Juli 1995 merupakan anak tunggal dari pasangan bapak Yanto dan ibu Panca Erni. Dia seorang muslim yang bertempat tinggal di Jl. Ki Gede Mayung blok desa Desa Buyut Rt/Rw 01/02 no 23 Kec. Gunung Jati Kab. Cirebon. Riwayat pendidikannya dimulai dari TK AlIkhlas kemudian mengenyam pendidikan dasar di SDN 2

Mayung. Kemudian melanjutkan sekolah menengah pertama di SMPN 2 Gunung Jati yang dilanjutkan dengan sekolah menengah atas di SMAN 1 Sumber. Dia mempunyai hobi menonton film. Dan film yang paling dia suka adalah Film animasi. Motto hidupnya adalah “hari ini harus lebih baik dari kemarin”. Alamat emaillnya

[email protected]

.

username facebook: ery eryani dan twitter: @eryaniery.


30

Johann Karl Friedrich Gauss ( ) adalah seorang Matematikawan Jerman yang lahir pada tanggal 30 April. Bakat Matematika

Recommend Documents