Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
IV.2. VÁNYVÁNYVÁNYVÁNYVÁNYVÁNY (HATVÁNY) A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Algebra, hatványozás, hatványazonosságok. Előzmények Hatványozás fogalma, azonosságainak ismerete elemi szinten. Cél Hatványfogalom megalapozása és elmélyítése játékos formában; a modellalkotás és a szövegértés fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata
+ + + + + + + +
Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei
+ + + + +
Felhasználási útmutató A feladatsort elsősorban órai munkára javasoljuk. A feldolgozás során kapjon komoly szerepet a játékosság, hiszen a feladatsor – jellegéből fakadóan – erre lehetőséget kínál. Az 1. feladat megoldása előtt vagy a megoldás közben – ha szükséges – beszéljünk a rokoni viszonyokról, a családfáról. A 2. feladatban az összehasonlítás módszere célravezető, azonban érdemes valamilyen egységre (például „apró”-ra) át is váltatni a diákokkal a feladatban szereplő súlyokat. A 3. feladat egyik-másik alkérdésénél a 2. feladatban szereplő összehasonlítás segít a feladatok megoldásában, azonban itt is az átváltásra helyezzük a hangsúlyt! Néhány helyen (például a d) kérdésnél) számolási trükkök is bevethetők, melyeket a feladat szövegében szereplő átváltási ábra mutat. Itt tehát érdemes felhívni arra a figyelmet, hogy a fityingek összevonásával újabb összevonásokra nyílik lehetőség. A feladatok további lehetőséget adnak a kettes számrendszer felé haladásra a jobb képességű tanulók számára, ebben az esetben a fizetendő összegeket mindig úgy kell megállapítaniuk a gyerekeknek, hogy egy pénzérméből legfeljebb egy szerepeljen a műveletekben. Ha valaki a feladatsor elején elakad, akkor tegyünk fel neki hasonló kérdéseket, mert ő feltehetőleg még nincs tisztában a hatványfogalommal.
IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek
IV.2. Hatvány
1.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
VÁNYVÁNYVÁNYVÁNYVÁNYVÁNY Feladat sor K ÉR D É SE S
T A LÁ L ÓK
1. a) A nagyapám kertjében volt három rózsafa. Minden rózsafának három ága, minden ág végén három rózsa, minden rózsa felett három méhecske zümmögött. Szemléltesd ábrával a feladat szövegében megadott szituációt! Hány méhecske zümmögött a rózsafák felett összesen? b) Két vándornak két-két botja, a botokon két-két bugyor, a bugyrokban két-két flaska, a flaskákban két-két béka. Szemléltesd ábrával a feladat szövegében megadott szituációt! Hány béka van a bugyrokban összesen?
c) Gabi családfája nagyon érdekes. Ükapjának két fia volt, továbbá igaz volt az ükapa leszármazottaira, hogy minden fiúnak két lánya, minden lánynak két fia volt. Szemléltesd ábrával a megadott szituációt! Hány unokája volt Gabi ükapjának? Hány dédunokája? Hány leszármazottja volt összesen Gabi generációjáig? És végül: Gabi fiú vagy lány?
IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek
IV.2. Hatvány
2.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
B I N ÁR I 2.
P I AC
A Binári-szigeteken a piacon háromféle súlyt használnak a méréshez: a „nagy”-ot, a „közepes”-t és az „apró”-t. 1 nagy ugyanannyit nyom, mint 2 közepes; 1 közepes ugyanannyit nyom, mint 2 apró. A súlyokat a rájuk írt n, k és a betűkkel jelöljük. Egészítsük ki az alábbi ábrákat a megadott utasítások alapján úgy, hogy a mérlegek egyensúlyban legyenek! a) Tegyünk a bal serpenyőbe annyi közepest, hogy egyensúly legyen!
b) Tegyünk a jobb serpenyőbe annyi aprót, hogy egyensúly legyen!
c) Vegyünk el a bal serpenyőből annyit, hogy egyensúly legyen (a jobb serpenyőt hagyjuk változatlanul)!
d) Vegyünk el a bal serpenyőből egy súlyt, és tegyük át a jobb serpenyőbe, hogy egyensúly legyen!
e) A bal serpenyőben levő egyik súlyt cseréljük ki a jobb serpenyőben levő egyik súllyal úgy, hogy egyensúly legyen!
IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek
IV.2. Hatvány
3.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
B I N ÁR I
P E R SE L Y
A Binári-szigeteken hatféle pénzérme van forgalomban: 1 fitying, 1 garas, 1 peták, 1 krajcár, 1 drachma, 1 binó. 2 fitying annyit ér, mint egy garas; 2 garas annyit ér, mint 1 peták; 2 peták annyit ér, mint 1 krajcár; 2 krajcár annyit ér, mint 1 drachma; 2 drachma annyit ér, mint 1 binó. 3. a) Hány fityinget ér 1 krajcár? b) Hány fityinget ér 1 binó? c) Sanyi vásárolni szeretne egy biciklit, ami egy binóba kerül. A perselyében 1 fitying, 1 garas, 1 peták, 1 krajcár és 1 drachma gyűlt össze. Hány fityingbe kerül a bicikli? Meg tudja-e venni Sanyi az összegyűjtött pénzéből? d) Pisti apránként gyűjtötte össze a zsebpénzét, most a perselyében 1 fitying, 1 garas, 1 peták, 1 krajcár és 1 drachma van. Talált a fiókjában még további 1 fityinget. Szeretné beváltani úgy, hogy a lehető legkevesebb darab pénzérméje legyen. Hány pénzérméje lesz a beváltás után? Folytasd az ábrán jelzett átváltási folyamatot!
e) Ancsi és Jancsi ikrek. Jancsi perselyében 1 fitying, 2 peták és 4 drachma van, Ancsiéban 2 garas, 1 peták és 8 krajcár. Melyiküknek hány fityingje van? f) Kati olyan számítógépet szeretne venni, amilyet Tomi vett. Tomi összesen 100 fityinget, 50 petákot és 248 krajcárt fizetett. Kati összes pénze 150 garas és 62 binó. Meg tudja-e venni a számítógépet?
IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek
IV.2. Hatvány
4.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
MEGOLDÁSOK 1. a) 3 3 ág, 3 3 3 rózsa, 3 3 3 3 méhecske, azaz 81 db méhecske. A megoldás rajza:
b) 2 2 bot, 2 2 2 táska, 2 2 2 2 flaska, 2 2 2 2 2 béka, tehát 32 béka van a bugyrokban. (A rajz itt már inkább sematikus, faábraszerű legyen.) c) Gabi ükapjának 2 fia, 2 2 = 4 lányunokája, 2 2 2 = 8 fiú dédunokája és 2 2 2 2 = 16 lány ükunokája volt. Vagyis Gabi lány, és az ő generációjáig 2 + 4 + 8 + 16 = 30 leszármazottja volt az ükapjának. 2. a) Összehasonlítva a serpenyőket, a bal oldalon levő n, n, k, a megfelel a jobb oldalon levő n, k, k, k, a -nek, vagyis a jobb oldalon a, a -val több van, ami éppen egy k. Tehát a bal oldali serpenyőbe egy közepest kell tenni. b) A bal oldalon levő n, k, k, megfelel a jobb oldalon levő n, n -nek. A bal oldalon levő k, a megfelel a jobb oldalon levő a, a, a -nak. A bal oldalon tehát egy k pár nélkül maradt, amit a jobb serpenyőbe helyezett a, a -val egyensúlyozhatunk ki. Így a jobb serpenyőbe két aprót kell tenni. c) A korábbi megoldások alapján párosíthatjuk a megfelelő súlyokat az egyes serpenyőkben. A bal oldalon egy k-nak és egy a-nak nem lesz párja a jobb serpenyőben, így ezeket kell elvenni. d) A párosítás módszerével kiderül, hogy a bal oldalon egy k-val van több, mint a jobb oldalon. Ezt úgy tudjuk ellensúlyozni, ha ennek felét, azaz egy a-t teszünk át a jobb oldali serpenyőbe. e) A bal oldalon ismét egy k-val van több, mint a jobb oldalon. Ezt egy a áthelyezésével tudjuk kompenzálni, ami azt jelenti, hogy egy k-t átteszünk balról jobbra, és egy a-t jobbról balra. 3. a) 1 krajcár = 2 peták = 2 2 garas = 2 2 2 fitying. Tehát 1 krajcár = 8 fitying. b) 1 binó = 2 drachma = 2 2 krajcár = 2 2 8 fitying, tehát 1 binó 32 fityinget ér. c) Nem tudja, mert 1 fitying + 1 garas + 1 peták + 1krajcár + 1 drachma = 31 fitying, ami egy fityinggel kevesebb, mint egy binó. d) Pisti pénze összesen 32 fityinggel, azaz 1 binóval egyenlő. Tehát a váltás után 1 érméje lesz. (Az ábrán jelzett váltási folyamatban mindig a nagyságrendben következő névértékű érmével indulunk, így végigmegy a váltás egészen 1 binóig.) IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek
IV.2. Hatvány
5.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
e) Jancsi pénze 1 fitying + 2 peták + 4 drachma = 1 fitying + 8 fitying + 64 fitying = 73 fitying. Ancsi pénze 2 garas + 1 peták + 8 krajcár = 4 fitying + 4 fitying + 64 fitying = 72 fitying. Tehát Jancsinak 1 fityinggel több pénze van. f) 100 fitying = 50 garas; 50 peták = 100 garas; 248 krajcár = 62 binó, így Katinak pont annyi pénze van, amennyibe a számítógép kerül. (Persze ezt ez eredményt kapjuk akkor is, ha minden pénzt beváltunk fityingre.)
IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek
IV.2. Hatvány
6.oldal/6
