IV. NEJISTOTY M
ENÍ A ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDK
M ení pat í mezi základní zp soby získávání kvantitativních informací o stavu sledované veli iny.
4.1 Chyby m ení Nedokonalost metod m ení, našich smysl , omezená p esnost m icích p ístroj , prom nné podmínky m ení a další vlivy zp sobují, že m ením nem žeme zjistit skute nou hodnotu fyzikální veli iny x0. Rozdíl skute né a nam ené hodnoty nazýváme absolutní chybou m ení. Tato chyba má dv složky – systematickou a náhodnou.
4.1.1 Klasifikace chyb m ení Podle p í in vzniku d líme chyby do t í skupin. Systematické chyby jsou zp sobeny použitím nevhodné nebo mén vhodné m icí metody, nep esným m idlem i m icím p ístrojem, p ípadn osobou pozorovatele. Tyto chyby zkreslují numerický výsledek m ení zcela pravidelným zp sobem; bu jej za stejných podmínek vždy zv tšují nebo vždy zmenšují a to bez ohledu na po et opakovaných m ení. asto se navenek neprojevují a lze je odhalit až p i porovnání s výsledky z jiného p ístroje. Existují i systematické chyby s asovým trendem, zp sobené stárnutím nebo opot ebováním m icího p ístroje. P íklady: P i vážení ve vzduchu je v d sledku Archimédova zákona zjišt ná hmotnost t lesa vždy menší než skute ná hmotnost pro t lesa, jejichž hustota je menší než hustota závaží. Systematická chyba vznikla zanedbáním vztlaku vzduchu a vhodnou korekcí (korekce na vakuum) ji lze odstranit. P i m ení nap tí voltmetrem je zm ené nap tí vždy menší než skute né, protože voltmetr nemá nekone n velký vnit ní odpor. Systematická chyba má p vod v konstrukci p ístroje a lze ji odstranit použitím p ístroje s v tším vnit ním odporem. Protože víme z jakých p í in systematické chyby vznikají, m žeme odhadnout jejich velikost i znaménko a vyhodnocením jejich vlivu na výsledek m ení je dovedeme odstranit (zavedením vhodné korekce). Náhodné chyby, které kolísají náhodn co do velikosti i znaménka p i opakování m ení, vznikají spolup sobením velkého po tu náhodných vliv , které nem žeme p edvídat. Náhodné chyby jsou popsány ur itým pravd podobnostním rozd lením. Systematické chyby ovliv ují správnost, náhodné pak p esnost výsledku. Hrubé chyby (ozna ované jako vybo ující nebo odlehlé hodnoty) jsou zp sobeny výjime nou p í inou, nesprávným zapsáním výsledku, náhlým selháním m icí aparatury, nesprávným nastavením podmínek pokusu apod. Nam ená hodnota se p i opakovaném m ení zna n liší od ostatních hodnot. Takové m ení je t eba ze zpracování vylou it, aby nezkreslovalo výsledek m ení.
4.1.2 Náhodné chyby Na rozdíl od hrubých a systematických chyb, které m žeme správnou metodou m ení, p esnými p ístroji a pe livostí práce odstranit, se náhodné chyby vyskytují zcela zákonit p i každém m ení a nem žeme je ovlivnit. Na okolnostech m ení závisí, jak se ke skute né hodnot veli iny p iblížíme.
26
Nekontrolovatelné vlivy, které se p i opakování m ení m ní náhodn a nezávisle na vlivech kontrolovaných, jsou p í inou vzniku náhodné chyby. Výsledkem m ení je hodnota veli iny xi, která se od skute né hodnoty x0 liší. Jejich rozdíl je chyba m ení εi εi = xi - x0 . (1) Chybu εi nem žeme nikdy stanovit, m žeme ji pouze odhadnout. Chyba ur ená jako rozdíl nam ené hodnoty a skute né hodnoty veli iny se nazývá absolutní chyba. Vyjad ujeme ji v jednotkách veli iny. Relativní chyba, definována vztahem
ε r ,i =
εi x0
,
(2)
je veli inou bezrozm rnou. asto se udává v %. Náhodné chyby, které p i opakování m ení kolísají náhodn co do velikosti i znaménka, vznikají spolup sobením velkého po tu náhodných vliv , které nem žeme p edvídat. Náhodné chyby se chovají jako náhodné veli iny a ídí se matematickými zákony po tu pravd podobnosti. P i velkém po tu opakovaných m ení tak statistické zákonitosti m žeme použít k odhadu vlivu náhodných chyb na p esnost m ení.
4.1.3 Normální rozd lení 1 P edpokládejme, že byl korigován vliv systematických chyb. Vezmeme-li v úvahu etnost, s kterou je daná hodnota nam ena, a vyneseme-li do grafu závislost této etnosti na hodnot veli iny, zjistíme, že v p ípad velkého po tu m ení n → ∞ (základní soubor) bude k ivka hladká a rozd lení nam ených hodnot dokonale symetrické. Skute ná hodnota x0 odpovídá maximu k ivky (obr.1). Toto normální (tzv. Gaussovo) rozd lení vychází z p edpokladu, že • výsledná chyba každého m ení je výsledkem velkého po tu velmi malých, navzájem nezávislých chyb • kladné i záporné odchylky od skute né hodnoty jsou stejn pravd podobné. Funkce normálního rozd lení se uvádí nej ast ji ve tvaru
ϕ ( x) =
( x − x0 ) 1 exp − 2σ 2 σ 2π
2
,
(3)
kde σ2 - rozptyl, σ - sm rodatná odchylka (pr m rná odchylka nam ené hodnoty x od skute né hodnoty x0), x - hodnota n kterého z nekone né ady provedených m ení, ϕ (x) - hustota pravd podobnosti hodnot veli iny x. S pomocí funkce ϕ (x) je možné ur it pravd podobnost tak, aby nam ená veli ina byla v ur itém intervalu (obr. 2). Pokud 1 σ 2π
x0 +σ
exp x0 −σ
( x − x0 ) − 2σ 2
2
dx = 0, 683 ,
(4)
pak pravd podobnost, že se nam ená hodnota nachází v intervalu x0 − σ , x0 + σ , je 68,3 %. V intervalu x0 ± 2σ je to 95 %, mimo interval x0 ± 3σ bude pouze 3 promile hodnot.
27
ϕ (x)
ϕ (x)
σ1
P = 68,3% n=∞
σ1 < σ2
P = 95,0% σ2
x0-3 σ
x0 Obr. 1 Gaussovo rozd lení
x
x0-2 σ
x0- σ
x0
x0 + σ
x0+2 σ x0+3 σ
Obr. 2 Intervaly pravd podobnosti
x
U souboru s kone ným po tem m ení (výb rový soubor) m žeme ale mluvit jen o nejpravd podobn jší hodnot m ené veli iny, která se skute né hodnot bude blížit. Jako nejlepší odhad skute né hodnoty x0 použijeme aritmetický pr m r x z n nam ených hodnot x1, x2,….. xn. x=
1 n
n
xi ,
(5)
i =1
kde n – po et m ení, xi – hodnoty nam ených veli in (i = 1,2,…….n). Jestliže zv tšujeme po et m ení, hodnota aritmetického pr m ru se p ibližuje skute né hodnot (obr. 3). P esto nelze opakovaným m ením dosáhnout libovoln velké p esnosti výsledku. Mírou rozptylu v základním soubo- f (x) ru je sm rodatná odchylka σ. Rozptyl hodnot výb rového souboru charakterizun = 50 je výb rová sm rodatná odchylka s jednoho m ení n
s=
(xi − x )2
i =1
n −1
n=5
.
(6)
S rostoucím po tem n m ení se p esnost m ení zvyšuje. Proto pro opakovaná m ení zavádíme výb rovou sm x0 x x x rodatnou odchylku aritmetického (výb Obr. 3 Vliv po tu m ení na hodnotu x rového) pr m ru s , která závisí na tom, jak se od sebe liší x0 a x (viz obr. 3). Plná k ivka znázor uje rozložení hodnot x kolem skute né hodnoty x0, zatímco árkované k ivky znázor ují rozložení nam ených hodnot kolem aritmetického pr m ru. Z obr. 3 vyplývá, že s rostoucím n se hodnota aritmetického pr m ru p ibližuje ke skute né hodnot x0. Výb rovou sm rodatnou odchylku aritmetického pr m ru vypo teme ze vztahu
28
n
s=
( x i − x )2
i =1
.
n(n − 1)
(7)
• Poznámka: Provádíme-li výpo ty na kalkula ce, je možno vztah pro výpo et sm rodatné odchylky s upravit na tvar, který je pro výpo et mén pracný: n
s=
xi2 − nx 2
i =1
n ( n − 1)
.
N které kalkula ky mají zabudovaný program pro výpo et sm rodatné odchylky ve tvarech: n
s=
n
xi2 − nx 2 nebo
i =1
n −1
σ=
xi2 − nx 2
i =1
n
.
kde zna ení s a σ neodpovídají zna ení v p edchozím textu. N které kalkula ky mají p ípadn místo s a σ zna ení σn-1 a σn. Pak platí:
s=
s σ = . n n −1
4.1.4 Systematické chyby Systematické chyby zkreslují p i opakovaném m ení za stejných podmínek hodnotu m ené veli iny stále stejným zp sobem. Pokud bychom je cht li vylou it, museli bychom použít p esn jší p ístroje nebo zavést korekce. V laboratorním cvi ení n kdy nelze tento požadavek splnit. Proto provedeme odhad systematických chyb tak, aby maximální chyba, kterou ur íme, byla vždy v tší nebo nejvýše rovna chyb , které se p i m ení dopouštíme. Chyby, které se podílejí na systematické chyb , jsou zp sobeny omezenou p esností m icích p ístroj a za ízení, chybou metody a chybou pozorovatele. Odhad chyby každého m ení samoz ejm závisí na konkrétních podmínkách pokusu a experimentální zkušenosti pozorovatele. M íme-li nap . délku, jejíž velikost se nastavuje spln ním n kterých podmínek pokusu, vyskytne se p i m ení krom chyby tení na stupnici ješt chyba v nastavení, která bývá zpravidla mnohem v tší než chyba tení. Obdobn budou chyby tení na stupnicích elektrických m icích p ístroj zanedbatelné v i chyb , zadané výrobcem prost ednictvím t ídy p esnosti. Z tohoto hlediska pozorovatel rovn ž musí posoudit, zda jsou chyby tení na stupnici menší než možné chyby náhodné. Pouze v tomto p ípad lze totiž m ení opakováním a statistickým zpracováním zp esnit. Naopak, dostáváme-li p i opakovaných m eních stále stejné hodnoty, neznamená to, že m íme p esn skute nou hodnotu, ale že chyba tení na stupnici je mnohem v tší než chyba náhodná a chybu m ení musíme odhadnout.
4.1.4.1 Výrobní údaje Výrobním údajem o chyb je t ída p esnosti u elektrických m icích p ístroj a odporových dekád a výrobní tolerance závaží, odpor , kapacit kondenzátor apod. U analogových (ru kových) m icích p ístroj t ída p esnosti ur uje nejv tší p ípustnou chybu, se kterou p ístroj m í. Je zadaná v procentech rozsahu celé stupnice a p edstavuje absolutní chybu hodnoty zm ené p i daném rozsahu. T ída p esnosti 1,5 na stupnici voltmetru s rozsahem 60 V znamená, že každá hodnota zm ená na tomto rozsahu je nam ena s absolutní chybou ± 0,9 V (1,5 % ze 60 V).
29
U digitálních ( íslicových) m icích p ístroj je maximální chyba udávaná výrobcem stanovena ze dvou složek. Jedna je závislá na velikosti m ené hodnoty a je vyjád ena v % m ené hodnoty. Druhá je závislá bu na použitém rozsahu a nebo vyjád ená po tem jednotek (digit ) nejnižšího místa íslicového displeje na zvoleném rozsahu. Výrobce udává u m icího p ístroje METEX M-3850 pro m ení st ídavého nap tí v rozsahu 400 mV až 400 V nejv tší p ípustnou odchylku 0,8 % z m ené hodnoty a 3 jednotky (digity) nejnižšího místa íslicového displeje. Zm íme nap tí U = 49,7 V. Chyba z procentického údaje je (0,8/100) · 49,7 = 0,3976 V. Údaj t i jednotky nejnižšího místa íslicového displeje znamená chybu 0,3 V. Celková chyba (0,3976 + 0,3) = 0,6976 V = 0,7 V. Relativní chyba nam ené hodnoty 0,7/49,7 = 0,0140, tj. 1,4 %. Výrobní tolerance je rovn ž údaj o chyb . Nap . výrobní tolerance sady analytických závaží 10-4 znamená, že každé závaží této sady má svoji hodnotu zatíženu relativní chybou 0,01 %. Údaj na odporu M 1 ± 15 % znamená, že odpor má hodnotu 100 kΩ v mezích tolerance ± 15 kΩ. Nemáme-li k dispozici údaje o p esnosti m idla, musíme sami odhadnout maximální chybu nam ené hodnoty.
4.1.4.2 Odhad chyb tení na stupnici V p esnosti tení na stupnici p ístroje (m idla) existují jistá omezení. tení na stupnici provádíme tak, abychom získali co nejp esn jší výsledek. Nej ast ji se ukazatel velikosti m ené veli iny na stupnici nekryje p ímo s žádným dílkem stupnice, ale leží nap . mezi k-tou a (k + 1) - ní d licí árkou. tená hodnota je v tší než k dílk stupnice a menší než (k + 1) dílek. Pro p esn jší výsledek velikost tené hodnoty v desetinách dílku odhadujeme. ídíme se p itom následujícími empirickými zásadami: • je-li d lení stupnice husté a má-li d licí árky (rysky) tlusté (široké), odhadujeme alespo poloviny dílk , • jsou-li d licí árky dostate n tenké proti jejich vzdálenostem, je pravidlem odhadovat desetiny nejmenších dílk stupnice, • je-li stupnice opat ena desetinným noniem - pomocnou stupnicí, teme p esn desetiny dílku hlavní stupnice a odhadujeme poloviny desetin, • má-li pomocná stupnice n-tinové d lení (n > 10), teme p esn n-tiny dílku hlavní stupnice a odhadujeme poloviny n-tin. tením na stupnici získáme íselný údaj o hodnot m ené veli iny s daným po tem platných cifer. Poslední platná cifra je neur itá, získaná odhadem desetin dílku, a je tedy již zatížena chybou m ení. P i odhadu velikosti chyby tení vycházíme z uvedených empirických pravidel pro tení na stupnici: • odhadujeme-li p i tení polovinu dílku základní stupnice, je p im ený odhad chyby 0,5 dílku, • odhadujeme-li p i tení desetiny dílku, p im ený odhad chyby iní 0,1 až 0,2 dílku, • má-li stupnice pomocnou stupnici (nonius), je pravidlem odhadovat chybu na polovinu zlomku (n-tiny) dílku, který p e teme p esn . P íklady odhadu chyb pro n která m idla jsou uvedeny v tabulce . 1.
30
Tabulka . 1 Chyby nejb žn jších m idel
M idlo
Velikost jednoho dílku
skládací metr ocelové m ítko posuvné m ítko mikrometr stopky teplom r stupnice anal. vah obchodní váhy
1 mm 1 mm 1 mm 0,5 mm 0,1 s 0,2 °C 1d 5g
Po et dílk pomocné stupnice
P esnost tení 1 mm 0,1 mm 0,05 mm 0,005 mm 0,1 s 0,1 °C 0,5 d 2,5 g
10 50 -
P íklad
Odhad chyb
843 mm 174,6 mm 83,85 mm 12,115 mm 36,9 s 21,7 °C 9,5 d 325 g
± 1 mm ± 0,2 mm ± 0,05 mm ± 0,005 mm ± 0,2 s ± 0,1 °C ± 0,5 d ±3g
4.2 Nejistoty m ení Na základ nového p ístupu k hodnocení p esnosti m ení se základem pro hodnocení výsledk m ení staly nejistoty m ení∗. Nejistota m ení je parametr p i azený k výsledku m ení, udávající interval hodnot m ené veli iny kolem výsledku m ení, který obsahuje skute nou hodnotu x0 m ené veli iny. Nejistota m ení zahrnuje obecn mnoho složek. N které z nich lze vyhodnotit na základ statistického rozložení výsledk série m ení a charakterizovat výb rovou sm rodatnou odchylkou. Nejistota se však nevztahuje pouze k výsledk m m ení, ale také na m idla, použité konstanty, korekce atd. Nejistoty jsou ur ovány na základ statistického p ístupu. P edpokládá se ur ité rozd lení pravd podobnosti, které popisuje, jak se m že nam ená hodnota m ené veli iny lišit od skute né hodnoty. Z tohoto rozd lení pravd podobnosti m žeme ur it pravd podobnost, s jakou se v intervalu daném nejistotou skute ná hodnota m že nacházet. Mírou nejistoty je sm rodatná odchylka udávané hodnoty (odhadu skute né hodnoty). Takto vyjád ená nejistota se ozna uje jako standardní nejistota u a udává rozsah hodnot -u , + u okolo nam ené (stanovené) hodnoty, ve kterém se s danou pravd podobností nachází skute ná hodnota (nap . pro normální rozd lení je tato pravd podobnost rovna 68,3 %). Standardní nejistoty se podle zdroj , z kterých vznikají, d lí na standardní nejistoty typu A a standardní nejistoty typu B. Standardní nejistoty typu A (uA) jsou zp sobovány náhodnými vlivy, jejichž p í iny nejsou známy. Stanovují se z opakovaných m ení ur ité hodnoty dané veli iny za stále stejných podmínek na základ statistického p ístupu. Charakteristické pro nejistotu typu A je, že se její hodnota zmenšuje se zv tšujícím se po tem opakovaných m ení. Standardní nejistoty typu B (uB) vznikají ze známých a odhadnutelných p í in. Mohou pocházet z r zných zdroj . Jejich ur ení vychází z odhadu systematických chyb nam ených hodnot. Standardní nejistota typu B je dána odmocninou ze sou tu kvadrát nejistot od ∗
!"#$ % /
&
'
2
7
*
*
* 1
40
(%& ')
#+ 2'
#, %
%& ' 5
31
2
' ++,!-". 0 34%% 56 2
-
jednotlivých zdroj . Hodnoty standardní nejistoty typu B nezávisí na po tu opakovaných m ení. Shodný p ístup k stanovení nejistot typu A i B umož uje slou it všechny standardní nejistoty (tj. typu A a B) do jediné hodnoty. Sumací kvadrát standardních nejistot typ A a B se dostane kvadrát kombinované standardní nejistoty u, která je dána vztahem
u = u A2 + u B2 .
(8)
V laborato i fyziky budete výsledek m ení nej ast ji udávat s touto standardní nejistotou u.V praxi se doporu uje udávat nejistoty intervalem, u kterého je jen malá pravd podobnost, že bude p ekro en. Proto se zavádí rozší ená standardní nejistota U, která je dána vztahem U = ku u, (9) kde ku je koeficient rozší ení (koeficient pokrytí). Konven ní hodnota ku se obvykle volí 2. P i ku = 2 je U = 2 u, což p i normálním rozd lení pravd podobnosti znamená, že skute ná hodnota leží s pravd podobností 95 % v intervalu, vymezeném rozší enou nejistotou.∗
4.2.1 Model m ení Z teoretického hlediska lze stanovení hodnoty m ené veli iny vyjád it modelem m ení. Model m ení vyjad uje závislost výstupní veli iny Y (výsledek m ení) na vstupních veliinách (X1, X2,….. Xn ). Obecn lze pro výslednou veli inu Y psát Y = f (X1, X2,….. Xn). (10) Vztah popisující m ení a p edstavující model m ení má být co nejobecn jší a má umož ovat zahrnout všechny vlivy projevující se na výsledku m ení, tedy i pracovní prost edí, v kterém m ení probíhá a znalosti a zkušenosti experimentátora.
4.2.2 Standardní nejistota typu A Standardní nejistota typu A je rovna výb rové sm rodatné odchylce s aritmetického pr m ru n
( x i − x )2
i =1
uA = s =
n(n − 1)
.
(11)
Pokud je po et opakovaných m ení menší než 10 a není možné u init kvalifikovaný odhad na základ zkušeností, lze standardní nejistotu typu A p ibližn stanovit2 ze vztahu (12)
u A = ks s , kde ks je koeficient, jehož velikost závisí na po tu m ení (viz tab. . 2). Tabulka . 2 Velikost koeficientu ks v závislosti na po tu m ení
n ks
9 1,2
8 1,2
7 1,3
6 1,3
5 1,4
4 1,7
3 2,3
2 7,0
Z tabulky vyplývá, že zmenšování po tu m ení vede k neúm rnému zvyšování nejistoty. P i po tu m ení menším než 5 tak mají nam ené hodnoty pouze informativní charakter. ∗
8
*
(
32
9 :
* 1 )
4.2.3 Standardní nejistota typu B Zdroji standardních nejistot typu B (uB) p i m ení jsou známé a odhadnutelné p í iny. Jsou jimi nedokonalosti zp sobené použitými m icími p ístroji a m icí technikou, použitými m icími metodami, použitými konstantami, podmínkami, za kterých m ení probíhá, nedostate nými teoretickými znalostmi nebo nedostate nými praktickými zkušenostmi. Korelace mezi jednotlivými zdroji nejistot typu B p i našich výpo tech nebudeme brát v úvahu. P i odhadu standardní nejistoty typu B uBz ze zdroje Z nejprve odhadneme maximální rozsah odchylek (zm n) ± ∆zmax od hodnoty veli iny p íslušející zdroji tak, aby p ekro ení ∆zmax bylo málo pravd podobné (nap . z výrobních údaj i z chyby tení na stupnici). V tabulce 3 vybereme rozd lení pravd podobnosti, které nejlépe vystihuje výskyt hodnot ∆z v intervalu ± ∆zmax . • Poznámka: Volba rozd lení pravd podobnosti odchylek ∆z vychází z teoretických znalostí, zkušeností nebo jinak získaných poznatk o rozd lení velikostí ∆z. Pokud pravd podobnost odchylek s jejich rostoucí hodnotou klesá a nejv tší pravd podobnost mají odchylky malé, je vhodnou aproximací Gaussovo nebo trojúhelníkové (Simpsonovo) rozd lení. V opa ném p ípad použijeme n které rozd lení bimodální. Rovnom rné rozd lení použijeme v p ípad , kdy pravd podobnost malých i velkých odchylek v intervalu -∆ zmax , + ∆ zmax je p ibližn stejná.
Pokud nelze odpov dn rozhodnout o rozložení pravd podobnosti odchylek a lze-li vyjít z p edpokladu, že všechny hodnoty ∆z v intervalu -∆ zmax , + ∆ zmax se mohou vyskytovat se stejnou pravd podobností, pak se volí rovnom rné rozd lení. Tento p ípad je nejjednodušší, a proto i když p ináší nejv tší nejistoty, se používá nej ast ji. Nejistoty typu B jednotlivých zdroj Zj se ur í ze vztahu uBz j =
∆ z j max Θ
,
(13)
kde parametr Θ se ode te z tabulky 3 pro zvolené rozd lení pravd podobnosti. Odhadnuté nejistoty jednotlivých zdroj Zj se promítají p es funk ní závislost X = f (Z1,…Zj,…Zm) do nejistoty hodnoty m ené veli iny X a tvo í její složky ux,zj, které se vypo tou ze vztahu ux,zj = Ax,zj uz,j , (14) kde je
uzj standardní nejistota odhadu vlivu zdroje Zj a ∂X Ax , zj = koeficient citlivosti. ∂Z j
Protože p i p ímém m ení jedné veli iny lze p edpokládat, že korelace mezi jednotlivými zdroji nejistot typu B jsou zpravidla zanedbatelné a u ostatních m ení jsme ekli, že je nebudeme uvažovat, lze výslednou nejistotu typu B stanovit podle Gaussova zákona rozd lení nejistot z výrazu
u Bx =
m j =1
u x2, z j =
m j =1
Ax2, z j u z2j .
(15)
33
4.3 Postupy ur ování standardních nejistot Postup p i stanovení standardních a rozší ených nejistot se liší podle toho, zda se jedná o p ímé i nep ímé m ení veli iny.
4.3.1 P ímé m ení jedné veli iny P i opakovaném m ení veli iny X získáme sérii n hodnot x1, … xn. Výsledkem m ení je aritmetický pr m r x daný vztahem (5). Standardní nejistota typu A je rovna výb rové sm rodatné odchylce aritmetického pr m ru n
u A = sx =
(xi − x )2
i =1
n(n − 1)
.
M íme-li mén než 10 hodnot, dosadíme do vztahu (12) pro výpo et uA koeficient ks z tabulky . 2. Standardní nejistoty typu B ur íme na základ vztah (13) až (15), kombinovanou nejistotu podle vztahu (8) a rozší enou nejistotu dle vztahu (9).
4.3.2 Nep ímé m ení veli in asto nelze hledanou fyzikální veli inu m it p ímo a musíme ji získat z více p ímo m ených veli in na základ odpovídajících závislostí. P edpokládejme nyní, že hledaná veli ina W je funkcí n kolika p ímo m ených veli in a konstant: (16) W = f (X, Y, Z, V1, V2, V3), kde X, Y a Z jsou p ímo m ené veli iny a V1, V2, V3 jsou konstanty. • Poznámka Funkce W obecn zahrnuje i konstanty. V laborato i fyziky však budete všechny použité konstanty považovat za p esné, takže se do funk ní závislosti nepromítnou.
V p ípad , že m ené veli iny X, Y, Z budou stanoveny z v tšího po tu nam ených hodnot, st ední hodnotu hledané veli iny W získáte, když hodnoty m ených veli in, získané ze vztahu (5), dosadíte do funkce W = f ( X ,Y , Z ) .
(17)
Pokud jsou m ené veli iny X,Y a Z vzájemn nezávislé, m že být výb rová sm rodatná odchylka sW vypo tena ze vztahu sW = s X2
∂W ∂X
2
+ sY2 X ,Y , Z
∂W ∂Y
2
∂W ∂Z
+ sZ2 X ,Y , Z
2
,
(18)
X ,Y , Z
kde výrazy v závorkách jsou parciální derivace funkce W, odpovídající koeficient m citlivosti ve vztazích (14) a (15). Analogicky k rovnici (18) platí pro výpo et nejistoty m ení uW uW = u
2 X
∂W ∂X
2 2 Y
+u X ,Y , Z
∂W ∂Y
2
+u
2 Z
X ,Y , Z
∂W ∂Z
2
.
(19)
X ,Y , Z
V p ípad , že n která z veli in X, Y, Z byla zm ena pouze jednou, místo st ední hodnoty dané veli iny dosazujte ve vztazích (17) až (19) tuto hodnotu. 34
4.3.3 Stanovení standardních nejistot pro speciální p ípady nep ímých m ení Je-li souvislost mezi hledanou veli inou W a p ímo m enými veli inami dána jednoduchou funkcí (sou et, rozdíl, sou in, podíl, mocnina), vedou parciální derivace podle Gaussova zákona rozd lení chyb zase na jednoduchou funkci, takže obdržíme jednoduché výrazy pro nejistoty uW . W=aX
uW = a 2u X2 = a u X
∂W ∂X
2
2
∂W u + ∂Y 2 X
uY2 = u X2 + uY2
W=X±Y
uW =
W = Xk
uW = k 2 ( X k −1 ) u X2 kde úpravou a rozší ením zlomkem
2
X dostaneme X
uX u u . Jestliže po úprav Wk = k X nazveme zlomky relativní X X X nejistotou dané veli iny, m žeme zjednodušen psát ur ,W = k ur , X .
uW = X k k
W = Xa Yb
uW = W a 2
uX X
2
+ b2
2
uY Y
nebo ur ,W = a 2ur2, X + b 2ur2, X
Obdobn dojdeme k výrazu pro nejistoty sou inu a podílu. W = XY
uW = Y 2u X2 + X 2uY2 = XY
W = X/Y
uW =
∂W ∂X
2
u X2 +
∂W ∂Y
uX X
2
2
uY2 =
+ X Y
uY Y uX X
2
2
+
uY Y
2
Pokud použijeme relativní nejistotu, dostáváme pro sou in i podíl identický výraz ur ,W = ur2, X + ur2,Y . Standardní nejistotu m žeme vyjád it v jednotkách m ené veli iny, pak pro ni budeme používat název absolutní standardní nejistota, nebo pom rem absolutní standardní nejistoty a hodnoty p íslušné veli iny, a pak ji budeme nazývat relativní standardní nejistotou.
4.4 Výsledek m ení Výslednou hodnotu veli iny W zapíšeme ve tvaru W = (w ± uW ) · jednotka.
Nejistotu m ení u budeme zaokrouhlovat vždy na jedno platné místo. Výjimkou budou íselné hodnoty, mající na za átku jedni ku nebo dvojku, ty budeme zaokrouhlovat na dv místa (relativní chyba zaokrouhlení). Po et cifer aritmetického pr m ru omezíme tak, aby ád jeho poslední platné cifry byl stejný jako ád poslední íslice nejistoty.
4.5 Zpracování nam ených hodnot - praktické pokyny P i m ení pe liv zapisujte nam ené hodnoty, abyste se zbyte n nedopustili hrubých chyb. Sledujte p itom, zda-li se jednotlivé hodnoty m ení od sebe neliší více, než o ekáváte. Zjistíte-li nep im ené odchylky, zkontrolujte podmínky pokusu.
35
Zapisujte údaje na tolik míst, kolik m žete ode íst ze stupnice (ne víc, ne mén ). Nam ené hodnoty jsou neúplná ísla! M íte-li jednou, odhadn te nejistotu m ení. M íte-li vícekrát tutéž veli inu za stejných podmínek, vypo ítejte z nam ených hodnot aritmetický pr m r a standardní nejistotu typu A (uA) podle vztah (5) a (11), p ípadn (12). V p ípad , že stanovujete i nejistotu typu B (uB), bude m ená veli ina zapsána s údajem kombinované nejistoty u (8). Je-li požadována vyšší p esnost, uve te rozší enou nejistotu U (9). Nejistotu m ení zaokrouhlete na jednu platnou cifru vždy sm rem nahoru (nap . 0,0327 na 0,04). Výjimka platí pouze pro p ípad, kdy nejistota za íná íslicí 1 nebo 2 (viz bod 4.4). Výsledek m ení uvád jte na tolik míst, aby nejistota opravovala poslední platnou cifru výsledku. Výsledek zapište ve tvaru W = (w ± uW ) · jednotka.
4.6 P íklady a pravidla 1. Správný zápis neúplného ísla s nejistotou je d = (17,873 ± 0,003) mm. 2. Nesprávné jsou následující zápisy: f = (11,43 ± 0,728) cm; R = (252,7 ± 6) Ω; J = (0,01410 ± 0,0002145) kg m2; C = (1,2 ± 0,05) µF. V prvním údaji je pot eba ob ísla zaokrouhlit na desetiny (nejistotu sm rem nahoru). Správný zápis: f = (11,4 ± 0,8) cm. V druhém údaji je výsledek zbyte n p esný, nejistota opravuje jednotky. Správný zápis: R = (253 ± 6) Ω. Ve t etím údaji je nesprávn uvedena nejistota. Správný zápis: J = (0,01410 ± 0,00022) kg m2 (údaj nejistoty za íná íslicí 2, proto uvádíme údaj na dv desetinná místa). Ve tvrtém údaji je naopak pot eba dopo ítat výsledek v setinách, protože nejistota opravuje až druhé místo za desetinnou árkou. Správný zápis: C = (1,20 ± 0,05) µF. 3. Nula je platnou cifrou, je-li uprost ed ísla a m že být platnou cifrou na konci neúplného ísla. P i udávání velkých ísel nemusí být nuly na konci ísla platnými ciframi, nap . v zápisu U = 14000 V jsou platné pouze první t i cifry. Údaj musíme zapsat tak, že bu zv tšíme jednotku (jde-li to: U = 14,0 kV) nebo íslo zapíšeme ve tvaru mocniny deseti (U = 1,40 ·104 V), p i emž po et platných cifer musíme zachovat. 4. Jsou-li platné cifry vzdáleny od desetinné árky, zapisujeme ísla v semilogaritmickém tvaru ( íslo z intervalu (1 - 10) krát mocnina deseti). Zápisy c = (2,99792 ± 0,00001) · 108 m·s-1, e = (1,602± 0,002) · 10-19 C, jsou správné a p ehledné. T etí údaj p íkladu 2. budeme proto psát ve tvaru J = (1,410 ± 0,022) · 10-2 kg m2 ;
36
obdobn tvrtý údaj m žeme správn zapsat jako C = (1,20 ± 0,05) · 10-6 F. 5. P i po ítání s neúplnými ísly zaokrouhlete výsledek na takový po et platných cifer, aby byl v souladu s p esností výchozích ísel: a) P i s ítání a od ítání se výsledek zaokrouhluje na poslední platné místo toho ádu, který je u všech s ítanc platný. P .: 17,1 + 0,24 - 0,178 + 0,092 = 17,245 = 17,3. b) P i násobení a d lení se výsledek zaokrouhluje na tolik platných cifer, kolik jich má íslo s nejmenším po tem platných cifer. P .: 24,152 x 3,46 = 83,56592 = 83,6; 1,29 : 0,9814 = 1,3144 ... = 1,31; (4,85)3 = 114,084125 = 114. c) Konstanty (π, e, 2 ) uvádíme p i výpo tu s neúplnými ísly tak, že uvedeme o jednu platnou cifru více než má íslo s nejmenším po tem platných cifer. P . : π · 0,9210 · 17,249 = 3,1416 · 0,9210 · 17,249 = 49,908, 2 : 0,0180 = 1,414 : 0,0180 = 78,567.
4.7 P íklad zpracování opakovaných m ení P íklad 1 Úkol: Zm it výšku vále ku posuvným m ítkem a pr m r vále ku mikrometrem. Posuvným m ítkem m íme p esn desetiny mm a odhadujeme poloviny desetin (0,05 mm). Zm ený údaj musí být zapsán s poslední platnou cifrou v setinách mm. P esnost tení na pomocné stupnici mikrometru je 0,5 dílku = 0,005 mm a p e tený údaj musí být zapsán s poslední platnou cifrou udávající tisíciny mm.
A. P íklad výpo tu standardní nejistoty p ímo m ené veli iny Tabulka nam ených hodnot
íslo m ení
h cm
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5,020 5,020 5,020 5,020 5,020 5,020 5,020 5,020 5,020 5,020
h = 5,020 cm
d mm
10,005 10,010 10,020 9,995 9,990 10,000 10,010 9,980 10,005 10,020
d = 10,0035 mm
37
(∆ d ) 10−3 mm
(∆ d )2 10−6 mm 2
+ 1,5 + 6,5 + 16,5 - 8,5 - 13,5 - 3,5 + 6,5 - 23,5 + 1,5 + 16,5
2,25 42,25 272,25 72,25 182,25 12,25 42,25 552,25 2,25 272,25
(∆d )2 =
1452,5 · 10-6 mm2
M ení pr m ru vále ku 10
di
i =1
= 10,0035 mm. n Protože sm rodatná odchylka výb rového pr m ru je rovna standardní nejistot typu A, platí d =
n
u Ad = sd =
(d
i =1
−d)
2
i
n(n − 1)
=
(∆d )2 10 ⋅ 9
=
1452,5 ⋅ 10 − 6 = 0,00402 mm. 90
Nejistota typu B je dána vztahem uB =
∆ z max Θ
,
kde ∆ zmax - maximální odchylka, jejíž p ekro ení je málo pravd podobné, Θ - parametr, jehož hodnotu pro zvolené rovnom rné rozd lení bereme z tabulky 3. P edpokládáme-li chybu tení na stupnici mikrometru ∆ zmax = 0,005 mm a bereme-li v úvahu rovnom rné rozd lení (Θ = 3 ), pak uBd = 0,005/ 3 = 0,00288675 mm. Kombinovaná standardní nejistota ud bude ud = u A2 + uB2 = 0, 004022 + 0, 002886752 = 4,949 ⋅10−3 mm.
Velikost pr m ru vále ku d zapíšeme po zaokrouhlení d = (10,004 ± 0,005) mm. P i opakovaném m ení výšky vále ku posuvným m ítkem jsme obdrželi pokaždé stejnou hodnotu: h = 5,020 cm.
Není to zp sobeno tím, že bychom tak p esn m ili, ale tím, že náhodné odchylky jsou menší než odchylky vzniklé tením na stupnici posuvného m ítka. Nem žeme proto po ítat standardní nejistotu typu A. Z odchylky p esnosti tení posuvným m ítkem (∆ zmax = 0,05 mm) ur íme nejistotu typu B. Op t p edpokládáme rovnom rné rozd lení (Θ = 3 ): uBh = 0,05/ 3 = 0,028867 mm.
Výšku vále ku zapíšeme ve tvaru h = (50,20 ± 0,03) mm nebo
h = (5,020 ± 0,003) cm.
B. P íklad výpo tu standardní nejistoty pro nep ímé m ení Úkol: Ur it objem vále ku z p edchozího p íkladu. Objem vále ku spo ítáme ze vztahu: 1 V = π d 2h , 4 2 1 1 2 V = π d h = π (1,00035 ) ⋅ 5,020 = 3,94546 cm3. 4 4 Nejistotu m ení objemu vále ku spo ítáme podle vztahu
( )
38
uV = V a 2
2
ud d
+ b2
uh h
2
,
kde za ud dosadíme kombinovanou nejistotu pr m ru vále ku, za uh dosadíme nejistotu uBh výšky vále ku, konstanty jsou rovny a = 2, b = 1. Potom:
uV = V 2
2
0, 004949 10, 0035
2 2
+1
0, 028867 50, 2
2
= 3945, 46 ⋅1,1444 ⋅10−3 = 4,515 mm3.
Výsledek m ení V = (3945,46 ± 4,515) mm3 zapíšeme po úprav a zaokrouhlení ve tvaru:
V = (3,946 ± 0,005) cm3.
P íklad 2 Úkol: Na základ m ení nap tí a proudu ur it velikost odporu. V tabulce jsou vedeny nam ené hodnoty U, I a vypo tené hodnoty odpor . Tabulka nam ených hodnot
íslo m ení 1 2 3 4 5
U
I
R
∆I
(∆I)2 ·10-4
V
mA
mA
mA2
1,1 1,1 1,1 1,1 1,1
11,46 11,45 11,48 11,50 11,49
Ω 95,98 96,07 95,82 95,65 95,74
-0,016 -0,026 0,004 0,024 0,014
2,56 6,76 0,16 5,76 1,96
I = 11,476 mA
U = 1,1 V
R = 95,852 Ω
(∆I )2
= 17,2 ·10-4 mA2
Nejprve spo ítáme nejistoty každé p ímo m ené veli iny. Z nam ených hodnot v tabulce vyplývá, že standardní nejistotu typu A m žeme ur it pouze pro hodnoty proudu. Protože se jedná o p ímo m enou veli inu, bude nejistota typu A dána vztahem 5
u A, I =
( ∆I )
2
i =1
5⋅4
=
17, 2 ⋅ 10−4 = 0,86 ⋅ 10−4 = 0,927 ⋅ 10−2 mA = 0,927 · 10-5 A. 20
Protože po et m ení je menší než 10, použijeme vztah (12) a dostaneme pro ks = 1,4: uA,I = 1,4 · 0,927 · 10-5 = 1,2978 · 10-5 A,
u A2 , I = 1,6843 ⋅ 10−10 A2. U analogového ampérmetru t ídy p esnosti 1 jsme použili rozsah 12 mA. Znamená to tedy, že hodnoty proudu jsme nam ili s chybou ± 0,12 mA (0,12 · 10-3 A). Parametr Θ volíme z tabulky 3 pro rovnom rné rozd lení. Nejistotu typu B spo teme ze vztahu
u B ,I =
u
2 B ,I
0,12 ⋅ 10 −3 3
= 0,06928 ⋅ 10 −3 A,
= 47,997 ⋅ 10 −10 A2 .
39
Pro výslednou kombinovanou nejistotu proudu platí
(1,684 + 47,997 )−10
u I = u A2 , I + u B2 , I =
= 7,0485 ⋅ 10 −5 A.
V uvedeném vztahu je možné zanedbat nejistotu uA,I, protože je mnohem menší než nejistota uB,I. Hodnotu proudu po zaokrouhlení zapíšeme ve tvaru
I = (11,48 ± 0,07) ·10-3 A. Voltmetr má t ídu p esnosti 1, zvolený rozsah je 1,2 V. Znamená to tedy, že nap ové hodnoty jsme nam ili s chybou ± 0,012 V. Parametr Θ volíme jako u ampérmetru pro rovnom rné rozd lení. Nejistotu typu B spo teme ze vztahu ∆ zmax 0,012 = = 6,928 ⋅ 10−3 V. u B ,U = Θ 3 Výslednou hodnotu nap tí zapíšeme ve tvaru
U = (1,100 ± 0,007) V. Neznámý odpor spo ítáme z Ohmova zákona ze vztahu R =U/I. Jedná se tedy o nep ímé m ení a proto musíme p i výpo tu celkové nejistoty vzít v úvahu koeficient citlivosti Ax,zj (viz (14)), který je definován derivací Ax , zj =
∂X , takže v našem p ípad dostáváme pro ∂Z j
nap tí a proud koeficienty citlivosti AU a AI U U ∂ 1 U I I AI = = =− 2 . AU = ∂U I ∂I I Výsledná nejistota je dána pouze p ísp vky nejistot typu B a ur í se ze vztahu: ∂
u B2 , R =
m
2 Axj2 u Bxj =
j =1
2
1 I
1 = 11, 476 ⋅ 10−3
u B2 ,U + −
U I2
2
u B2 , I = 2
2
−3 2
( 6,928 ⋅ 10 )
+ −
= 0,36445 + 0,33484 = 0,69929 Ω
1,100
2
⋅ ( 6,928 ⋅ 10−5 ) =
−3 2
(11, 476 ⋅ 10 )
2
uB,R = 0,8362 Ω . Hodnotu odporu R = (95,852 ± 0,8362) Ω zaokrouhlíme a zapíšeme ve tvaru
R = (95,9 ± 0,9) Ω. Nejistotu odporu R m žeme spo ítat i jednodušším zp sobem. Použijeme vztah (viz lánek 4.3.3) pro veli inu danou podílem p ímo m ených veli in.
uR =
U I
uI I
2
+
uU U
2
=
7,0485 ⋅ 10−5 11, 476 ⋅ 10−3
1,100 11, 476 ⋅ 10 −3
= 95,8522 ⋅ 0,8798 ⋅ 10 −2 = 0,8424 Ω Nam enou hodnotu odporu zapíšeme ve tvaru
40
2
+
6,928 ⋅ 10−3 1,100
2
=
R = (95,9 ± 0,9) Ω. Pokud chceme výsledek uvést s rozší enou nejistotou UR, pak na základ vztahu (9) platí UR = 2 uR = 2 · 0,8424 = 1,6848 Ω, a výsledek zapíšeme ve tvaru R = (95,9 ± 1,7) Ω.
Literatura 1. Meloun M., Militký J.: Statistické zpracování experimentálních dat, East Publishing Praha, 1998 2. Vítovec J.: Stanovení nejistot m ení, MÚ Praha 3. SN IEC 484 4. Technický p edpis metrologický TPM 0051-93, Stanovenie neistôt p i meraniach, 1. a 2. diel, SMÚ, Bratislava 1993
41
